UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
PRO GRA MA DE PÓ S –GRADUA ÇÃO E M E NS INO DE CIÊ NCIAS
NAT URAIS E MAT E MÁT ICA
MARIA BETÂNIA SOARES DA SILVA BATISTA
GEOMETRIA E ARITMÉTICA NUMA VISÃO MULTICULTURAL: UMA
EXPERIÊNCIA PEDAGÓGICA
NATAL
2012
MARIA BETÂNIA SOARES DA SILVA BATISTA
GEOMETRIA E ARITMÉTICA NUMA VISÃO MULTICULTURAL: UMA
EXPERIÊNCIA PEDAGÓGICA
Dissertação de Mestrado apresentada à
Universidade Federal do Rio Grande do
Norte, como requisito para obtenção de
título de Mestre, em Ensino de Ciências
Naturais e Matemática.
Orientadora: Profa.
Barbosa Morey
NATAL
2012
Dra. Bernadete
MARIA BETÂNIA SOARES DA SILVA BATISTA
GEOMETRIA E ARITMÉTICA NUMA VISÃO MULTICULTURAL: UMA
EXPERIÊNCIA PEDAGÓGICA
Dissertação de Mestrado apresentada à
Universidade Federal do Rio Grande do
Norte, como requisito para a obtenção do
título de Mestre, em Ensino de Ciências
Naturais e Matemática.
Aprovada em: ______/______/______
Profa. Dra. Bernadete Barbosa Morey - Orientadora
(Universidade Federal do Rio Grande do Norte-UFRN)
Prof. Dr. Francisco de Assis Bandeira
(Universidade Federal do Rio Grande do Norte-UFRN)
Profa. Dra. Rosalba Lopes de Oliveira
(Instituto de Educação Superior Presidente Kennedy IFESP)
Ao meu pai Felisberto Soares da Silva (in
memorian), que acreditava no meu desejo de
vencer na vida. Dedicarei sempre todas as minhas
vitórias, pois sei que onde ele estiver, estará
sempre me abençoando.
Aos meus filhos Lívia Chris e Leonardo
Cleyton que muitas vezes não compreenderam
minha ausência como mãe, mas mesmo assim me
apoiaram, a eles dedico todo meu amor, pois nunca
medirei esforços para lutar por eles.
AGRADECIMENTOS
A Deus, pelo dom da vida e por Ele ter me concedido o dom da inteligência, do
conhecimento e da sabedoria, sem Ele jamais concluiria este curso com êxito.
A minha família, por todo o apoio, no que diz respeito a minha pós-graduação.
À Nazineide Brito, que acreditou na minha força de vontade. A ela agradeço a
compreensão, carinho, por tudo que me ofereceu nos momentos mais difíceis da minha
vida.
Ao professor Dr. Francisco de Assis Bandeira, pela força nos momentos de
difíceis de finalização deste trabalho.
Ao corpo docente, a oportunidade de terminar esta dissertação, deixo as minhas
congratulações a toda equipe de profissionais da educação.
Aos meus amigos Elionardo Rochelly Melo de Almeida, Francisco Djnnathan da
Silva Gonçalves, Daniel Carvalho Soares, Nízia Maria de Lima que estiveram sempre
próximos.
A todos que direta ou indiretamente me apoiaram para a conclusão deste curso.
Sem sonhos, a vida não tem brilho;
Sem metas, os sonhos não têm alicerces;
Sem prioridade, os sonhos não se tornam reais;
Sonhe, trace metas, estabeleça prioridades e
corra riscos para executar seus sonhos.
Melhor é errar por tentar do que errar por se omitir!
Não tenha medo dos tropeços da jornada.
Não se esqueça de que você é insubstituível.
Por isso, nunca desista dos seus sonhos.
Augusto Cury
RESUMO
O presente trabalho tem como objetivo a construção de um caderno de atividades que
possa auxiliar o professor de matemática do ensino fundamental. Os tópicos abordados
são geometria e aritmética sendo que as atividades aqui propostas foram desenvolvidas
buscando imprimir nelas um caráter multicultural. Tomamos como base a linha de
multiculturalismo desenvolvida por Claudia Zaslavsky e refletida em seus livros “Jogos
e atividades do mundo inteiro” e “Mais jogos e atividades do mundo inteiro”.
Estruturamos nosso trabalho em torno de quatro temas: o símbolo dos jogos olímpicos,
as pirâmides do Egito, o ábaco russo e o ábaco Chinês. Os dois primeiros temas
permitem explorar conceitos básicos da geometria enquanto que os dois últimos temas
nos possibilitam explorar notação numérica e operações aritméticas.
Palavras chave: Geometria. Aritmética. Educação Matemática. Multiculturalismo.
ABSTRACT
This paper aims to build a notebook of activities that can help the teacher of elementary
school mathematics. Topics covered are arithmetic and geometry and the activities
proposed here were developed aiming print them a multicultural character. We take as a
base line developed by Claudia Zaslavsky multiculturalism and reflected in his books
"Games and activities worldwide" and "More games and activities worldwide." We
structure our work around four themes: the symbol of the Olympic Games, the pyramids
of Egypt, the Russian abacus abacus and Chinese. The first two themes allow you to
explore basic concepts of geometry while the latter two themes allow us to explore
numerical notation and arithmetic operations.
Keywords: Geometry. Arithmetic. Mathematics Education. Multiculturalism.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Símbolo dos Jogos Olímpicos..............................................................
19
Figura 2 – Mapa-mundí.......................................................................................... 21
Figura 3 – Circunferência, centro, raio, região interna e diâmetro........................
21
Figura 4 – Desenhando uma circunferência........................................................... 22
Figura 5 – As pirâmides do Egito..........................................................................
24
Figura 6 – Pirâmides de Quéops, Quéfren e Miquerino........................................
25
Figura 7 – Pirâmides..............................................................................................
26
Figura 8 – Conchas coloridas representando 258 animais.....................................
29
Figura 9 – Alguns tipos de ábacos.........................................................................
30
Figura 10 – O Ábaco Russo...................................................................................
31
Figura 11 – Mapa da Rússia..................................................................................
32
Figura12 – Construindo o Ábaco Russo................................................................
33
Figura 13 – Suan Pan ou Ábaco Chinês................................................................. 36
Figura 14 – Mapa da China.................................................................................... 37
Figura 15 – Construindo um ábaco Chinês............................................................
38
Figura 16 – Foto de um aluno fazendo operação...................................................
46
Figura 17 – Foto de um aluno simbolizando número............................................
51
Sumário
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 11
2 MULTICULTURALISMO E EDUCAÇÃO ........................................................... 14
Multiculturalismo, Cultura e Educação ................................................................. 14
Multiculturalismo e Educação Matemática ........................................................... 15
3 MULTICULTURALISMO E GEOMETRIA : CÍRCULO E PIRÂMIDE ......... 20
Primeiro tema: Conceitos de Círculo...................................................................... 20
Como desenvolvemos as atividades .................................................................................... 21
Segundo tema: Conceitos de triângulos de base quadrada .................................. 25
Como desenvolvemos as atividades .................................................................................... 26
4 MULTICULTURALISMO E ARITMÉTICA: ÁBACO RUSSO E ÁBACO
CHINÊS ......................................................................................................................... 29
O que é o ábaco? ....................................................................................................... 29
Terceiro tema: Ábaco Russo.................................................................................... 32
Como desenvolvemos as atividades .................................................................................... 33
Como construir o ábaco russo ............................................................................................. 34
Como calcular com o ábaco russo ....................................................................................... 34
Quarto tema: O ábaco chinês .................................................................................. 37
Como desenvolvemos as atividades .................................................................................... 38
Como construir o ábaco chinês ........................................................................................... 39
Como calcular com o Ábaco Chinês ................................................................................... 40
5 APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES E RECOMENDAÇÕES AOS
PROFESSORES ........................................................................................................... 42
A sequência de atividades: aplicações e resultados .................................................... 42
Aplicação e resultados ................................................................................................ 43
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 53
REFERÊNCIAS .......................................................................................................... 55
APÊNDICE ................................................................................................................... 56
11
1 INTRODUÇÃO
Um homem completo possui a força do pensamento, a força
da vontade e a força do coração. A força do pensamento é a
luz do conhecimento; a força da vontade é a energia do
caráter; a força do coração é o amor.
Ludwig Feuerbach
Em nosso trabalho direcionamos este olhar para a educação e tentamos entender como
a matemática pode ser trabalhada e contribuir a um universo pouco explorado, onde se
concentra uma diversidade de cultural muito acentuada a “escola”. È também na escola onde
todo o processo de exclusão e inclusão ao mundo externo começa, ao meio cultural, social e
político começa.
A criança descobre a sua volta Nosso objetivo geral é elaborar uma
sequencia de atividades em geometria e aritmética que permita o professor do ensino
fundamental, cultivar ideias de cunho multicultural em seus alunos ao mesmo tempo em que
ensina conceitos de geometria e aritmética diversa maneira de interagir ao aceitar ou negar
seu colega, e nós como educadores /educadoras poderemos contribuir de forma positiva para
esta realidade.
Objetivos específicos:
1. Elaborar estratégias para o ensino de conceitos geométricos e aritméticos aliados a
uma visão multicultural
2. Escrever uma sequencia didática que reflita a estratégia de aliar o ensino de conceitos
aritméticos e geométricos a uma visão multicultural
3. Aplicar a sequencia elaborada em sala de aula e com base nisto fazer recomendações
aos professores sobre seu uso, suas possibilidades e limitações.
Como justificativa temos uma preocupação em quanto mais cedo à criança perceber
que o mundo ao seu redor é vasto e variado, e que esta vastidão e esta variedade se refletem
também no modo de ser de cada indivíduo, ele estará mais propenso a aceitar ideias
vinculadas à tolerância e respeito ao outro.
O termo multiculturalismo vem sendo apresentado ao mundo inteiro como uma forma
de percebermos que vivemos numa sociedade com diversas culturas. Este processo de
aceitação do “outro” no mundo passou a ser visto por pesquisadores/pesquisadoras como uma
forma de explorar esta diversidade numa no esforço de criar uma consciência real de que
nossas diferenças não podem permanecer gerando a exclusão, a desigualdade e preconceitos.
12
A nossa formação construtiva brasileira tem como base uma diversidade cultural
muito marcada com uma sociedade que se formou a partir de colonizadores europeus, grupos
indígenas, afrodescendentes e, mais recentemente, com uma imigração acentuada de
japoneses, italianos, alemães entre outros.
Direcionamos este olhar para a educação e tentamos contribuir para criar ou expandir
visões multiculturais na escola. É na escola onde todo o processo de exclusão e inclusão ao
mundo externo, ao meio cultural, social e político começa. A criança descobre à sua volta
diversas maneiras de interagir ao aceitar ou negar seu colega, e nós como educadores
/educadoras poderemos contribuir de forma positiva para esta realidade.
Nossa concepção, Cultura é um conjunto de mitos, valores, normas de comportamento
e estilos de conhecimento compartilhados por indivíduos vivendo num determinado tempo e
espaço (D’Ambrosio, 1999, p. 37).
Neste sentido, nossas escolas são um meio marcadamente multicultural porque nelas
estão presentes numa mesma sala de aula: crianças criadas no meio rural e na cidade; crianças
cujos pais professam diferentes religiões, crianças advindas de extratos econômicos distintos,
crianças que pertencem a grupos familiares estruturados de modos distintos, crianças que
vieram de distintas regiões do país. Tais diferenças geram, por sua vez, distintas maneiras de
ver o mundo, de valorizar o dinheiro, de brincar, de se vestir, de valorizar o estudo.
Cabe à escola promover a tolerância e a aceitação do outro ainda nos anos iniciais.
Consideramos que ao introduzir os primeiros conceitos matemáticos convém ir promovendo
uma ampliação dos horizontes da criança e é neste sentido que estamos neste trabalho
promovendo atividades multiculturais em geometria e aritmética.
Pensando em contribuir com ensino e aprendizado em matemática impregnado a uma
visão multicultural, criamos um caderno de atividades apoiado em jogos apresentados por
Claudia Zaslavsky nos livros Jogos e atividades do mundo inteiro e Mais jogos e atividades
do mundo inteiro.
Nosso trabalho é direcionado aos 5º e 6º ano do Ensino Fundamental e busca articular
Geometria e Aritmética numa visão multicultural. Desenvolvemos ao todo quatro temas sendo
que os dois primeiros são temas geométricos: conceito de circulo e circunferência e a conceito
de pirâmide; os dois últimos são temas aritméticos nos quais focamos a atenção no trabalho
com o ábaco.
O nosso trabalho está estruturado em quatro seções, uma introdução e considerações
finais e bibliografia. Consta do trabalho também uma sessão denominada Apêndice que traz o
caderno com as atividades elaboradas e aplicadas na escola.
13
Na introdução, temos uma visão geral do nosso trabalho e o objetivo da pesquisa. Na
primeira seção discorremos sobre questões teóricas envolvendo o multiculturalismo e suas
implicações na educação matemática.
A segunda seção aborda o multiculturalismo e geometria. Nesta seção detalhamos a
elaboração das atividades que giram em torno do conceito de círculo e de pirâmide.
Na terceira seção, abordamos o multiculturalismo e aritmética. Nele apresentado o
ábaco com instrumento de auxílio ao cálculo.
Ao final fazemos considerações relativas às seções anteriores e sua relação com uma
Educação Matemática Multicultural.
14
2 MULTICULTURALISMO E EDUCAÇÃO
Podemos começar a falar sobre o multiculturalismo refletindo sobre o significado
destas duas sentenças: “O Brasil é um país multicultural” e “A nação brasileira é um todo
multicultural”. O que significa para nós educadores o reconhecimento das afirmações acima
como verdadeiras? Em que isto afeta nossa atividade profissional?
Na verdade existem vários olhares sobre a percepção do multiculturalismo, uma delas
é a de Canen (2008b, p. 17-30) que diz que o “multiculturalismo é definido como um
conjunto de princípios e práticas voltadas para valorização da diversidade cultural e para o
desafio de preconceitos e estereótipos a ela relacionado”. Segundo a autora citada, o sentido
do termo multiculturalismo guarda estreita relação com as raízes da própria palavra (multi e
cultura) numa sociedade na qual se podem detectar distintas atividades, grupos sociais,
diferentes praticas profissionais.
Estamos aqui entendendo cultura seguindo D’Ambrosio (1999, p. 37) que afirma que
“cultura é um conjunto de mitos, valores, normas de comportamento e estilos de
conhecimento compartilhados por indivíduos vivendo num determinado tempo e espaço.” Em
cada cultura existe um modo de falar, de pensar, de agir e diferentes formas de os indivíduos
se relacionarem entre si.
Diversidade cultural contempla as diferenças culturais existentes entre as pessoas,
considerando sua linguagem e tradições, bem como, a sua concepção da moral e da religião.
Multiculturalismo ou pluralidade cultural é uma designação que descreve a existência de
muitas culturas numa localidade, cidade ou país, sem que necessariamente uma delas
predomine. Observa-se que para que diversidade cultural não gere conflitos se faz necessário
que haja compreensão e aceitação dos modos de vida e valores do “outro”, mas não
necessariamente uma apropriação destes mesmos valores.
Multiculturalismo, Cultura e Educação
A discussão sobre educação e cultura é questão que não pode ser ignorada por
educadores e educadoras presentes numa sociedade com diversidade cultural marcante. Aqui
consiste salientar que na proposta educacional do Ministério de Educação, os Parâmetros
Curriculares Nacionais, está incorporado como um dos temas transversais o da pluralidade
Cultural:
15
É sabido que, apresentando heterogeneidade notáveis em sua composição
populacional, o Brasil desconhece a si mesmo. Na relação do país consigo
mesmo é comum prevalecer vários estereótipos, tanto regionais quanto em
relação a grupos étnicos, sociais e culturais. Historicamente, registra-se
dificuldade para se lidar com a temática do preconceito e da discriminação
racial/étnica. O país evitou o tema por muito tempo sendo marcado por
“mitos” que veicularam uma imagem de um Brasil homogêneo, sem
diferenças, ou, em outra hipótese, promotor de uma suposta “democracia
racial” (BRASIL, 1997, p. 22).
É seguindo estas recomendações que buscamos introduzir ainda no ensino
Fundamental um caráter diversificado culturalmente das atividades relacionadas ao aprender
Matemática. Acreditamos que ainda no Ensino Fundamental, o mais cedo possível, os jovens
devem ser apresentados ao mundo para além das fronteiras geográficas e culturais nas quais
vivem.
O professor de matemática pode então apresentar a matemática como sendo uma
atividade multicultural, elaborada e desenvolvida e praticada pelos diversos povos do planeta.
Vale até a pergunta que permanece aberta: e fora de nosso planeta, como seria a matemática?
Seria a mesma? Outra? Não importa se não temos as respostas. Quando os pequenos se
acostumam a fazer perguntas, a especular, é sempre bom.
Multiculturalismo e Educação Matemática
De modo mais concreto a questão do multiculturalismo na educação matemática foi
implementado por Claudia Zaslavsky. O multiculturalismo é apresentado e discutido explicita
ou implicitamente em muitas de suas obras, entre as quais podemos citar: The Multicultural
Math Classroom - bringing in the world (1996), Jogos e Atividades Matemáticas do Mundo
Inteiro (2000), Mais Jogos e Atividades Matemáticas do Mundo Inteiro (2009) e World
cultures in the mathematics class, que é o capítulo 15 do livro Ethnomathematics: challenging
eurocentrism in Mathematics Education (1997).
Em Zaslavsky (1996, p. 5) podemos encontrar uma listagem de alguns “pontos de
partida úteis para professores do ensino fundamental que querem aprender meios de favorecer
uma educação multicultural em suas classes”:
16
Igualdade educacional
Por igualdade educacional se entende uma política que trate de modo igualitário as
escola de bairros centrais e periféricos, das cidades e das zonas rurais, de modo que as
crianças de grupos minoritários possam ter o mesmo acesso à educação que as demais. É uma
meta a ser perseguida.
Capacitação dos alunos e de seus pais
Outra meta a ser perseguida numa educação multicultural é preparar os alunos e seus
pais para que possam resolver problemas do mundo real. Para isto, eles devem praticar
resolvendo problemas reais, os tipos de problemas que as pessoas têm de lidar com em suas
vidas diárias. A matemática deve ser apresentada em um contexto significativo, como matéria
na sociedade dos próprios alunos ou para os problemas que confrontam as pessoas no passado
e/ou em outras partes do nosso mundo. A fim de capacitar os alunos, devemos oferecer-lhes
um currículo de matemática que seja multicultural. Capacitação significa que os alunos serão
capazes de analisar as estatísticas e os gráficos que lêem na mídia, para aplicar seus
conhecimentos matemáticos para os problemas da sociedade, e tomar as medidas adequadas
como cidadãos de suas comunidades.
Os professores também devem ser capacitados. Um aspecto dessa capacitação é ter
confiança no seu conhecimento matemático ou aquisição do conhecimento matemático lhes
falta por qualquer razão. Outra maneira de incentivo é ser livre para moldar o estilo e o
conteúdo de suas aulas a fim de atender os alunos com quem trabalham de modo que cada
aluno tenha uma experiência bem sucedida em aprendizagem.
Pluralismo cultural na sociedade
O pluralismo cultural na educação se busca cultivando nos alunos o respeito e a
valorização de indivíduos e grupos que são diferentes deles próprios. O professor pode
incentivar meninas e meninos a aprender a trabalhar juntos em grupos de aprendizagem
cooperativa. Em algumas salas de aula, pode ser possível formar grupos que incluem crianças
de origem étnica/racial diferente, uma maneira mais eficaz de superar os preconceitos sobre as
pessoas que são diferentes entre si. Além disso, o professor pode trabalhar dentro de sua
realidade conteúdos envolvendo os alunos a busca na sua própria cultura seu significado e
expor ideias sobre esta diversidade de pensamentos que envolvem seu ambiente escolar.
17
Harmonia intercultural/intragrupal
Perspectivas multiculturais ajudam crianças a combater os preconceitos e a os levar
rumo a uma apreciação das ideias matemáticas desenvolvidas por todas as sociedades,
incluindo os grupos culturais com os quais se identificam. Os professores também devem
estar cientes de seus próprios preconceitos sobre a capacidade de seus estudantes de certos
grupos étnico-raciais para aprender matemática. Ele deve estar atento à realidade do aluno e
como ele relaciona este conteúdo a seu cotidiano, como definem como aprendeu e como ele
se apropria deste conhecimento.
Conhecimento multicultural/multiétnico expandido
Os alunos precisam aprender sobre o envolvimento matemática de sua própria e de
outras sociedades (ou grupos sociais). Tal conhecimento aumenta a autoconfiança e
autoconfiança dos estudantes, para que eles percebam que suas origens culturais devem ser
integradas na sua experiência de aprendizagem. Podemos ainda salientar que o professor pode
fazer uma integração destas diversidades e trabalhar esta igualdade fazendo exposições de um
determinado tema, como por exemplo, o conteúdo abordado seria círculo e circunferência,
então o professor usaria como exposição dos símbolos dos jogos olímpicos, explicaria o que
significa cada símbolo e traria este aluno para sua realidade e buscaria elementos do seu
cotidiano para seu aprendizado significativo.
Desenvolvimento dos alunos, pais e demais membros da comunidade escolar
Este objetivo a ser atingido numa educação multicultural implica que toda
comunidade educativa esteja envolvida na criação de perspectivas multiculturais em educação
matemática. A escola é responsável em acomodar todos os alunos sem que façam
descriminação por cor, raça, gênero entre outros preconceitos que a sociedade moderna
impõe. Ainda é válido salientar que na escola todos os componentes desde a administração e
toda a equipe estejam comprometidos com a educação multicultural, e as aulas deverão ser
heterogeneamente agrupadas. O professor deve encontrar soluções para problemas reais, tanto
por conta própria como em cooperação com seus colegas. A aprendizagem escolar não está
separada do mundo exterior; escola, comunidade e o mundo além dela são integrados em um
todo significativo.
18
A visão multiculturalista em nosso trabalho
Como proposta educacional multicultural nosso trabalho tem a preocupação com a
diversidade de expressões culturais nos ambiente educacional existente em nossas salas de
aula. Com isso, o objetivo de nosso trabalho inclui a busca de modos de explorar conceitos
geométricos e aritméticos ao mesmo tempo que buscamos construir juntamente com os alunos
uma visão multicultural na sala de aula.
É na escola que ampliamos a formação como indivíduo e sua integração numa
sociedade, é nela que começamos a criar um sentimento de pertencer a uma identidade
cultural, social e histórica. Também estamos diante de muita diferença sejam elas reais ou
concretas dentro das nossas escolas.
A diferença é antes de tudo uma realidade concreta, um processo humano e
social, que os homens empregam em suas práticas cotidianas e encontra-se
inseridas no processo histórico. Assim é impossível estudar a diferença
desconsiderando-se as mudanças e as evoluções que fazem dessa ideia uma
realização dinâmica (SEMPRINI, 1999, p. 11).
É missão da escola conduzir a pessoa ao pleno amadurecimento de suas capacidades,
mas temos que lembrar que educar não se restringe somente a este contexto escolar, temos a
questão dos valores morais e éticos, que as famílias são responsáveis de passar para seus
filhos, pois são eles que ensinam a dar seus primeiros passos e a falar suas primeiras palavras,
a criança começa a trazer para a escola valores adquiridos na sua própria realidade familiar,
como ela é tratada com ou sem carinho, seu modo de falar e vestir, seus costumes entre
outros.
[...] a escola é concebida como um centro cultural em diferentes linguagens e
expressões culturais está presentes e são produzidas. Não se trata
simplesmente de introduzir na escola as novas tecnologias de informação e
comunicação e sim de dialogar com os processos de mudança cultural,
presentes em toda a população, tendo, no entanto maior incidência entre os
jovens e as crianças, configurando suas identidades. (CANDAU, 2008, p.
34).
Contudo, entendemos que a escola é este espaço cultural que podemos expressar nosso
conhecimento entrelaçados a uma diversidade cultural favorecendo uma analise destas
diferentes linguagens e expressões culturais envolvendo alunos e alunas mostrando que um
respeito mútuo as diferentes culturas. Ainda salientamos que este processo de
ensino/aprendizado depende de cada professor e professora fazendo uma ponte entre cotidiano
escolar e cultura.
19
Nosso modo ou caminho
Na busca por desenvolver nas crianças dos 5º e 6º anos do ensino fundamental uma
visão multicultural há, sem dúvida alguma, muitos caminhos a serem experimentados. Poderse-ia elaborar jogos que mais de perto retratassem a diversidade cultural no Brasil. Poder-seia, por exemplo, explorar jogos e brincadeiras de norte a sul do Brasil. Poder-se-ia também
explorar a diversidade cultural campo/cidade.
Nossa escolha foi por sair das fronteiras
nacionais e situar a criança para além de nosso tempo e de nosso quotidiano. Acreditamos que
é também aconselhável acostumar às crianças desde cedo que o mundo vai além de nossas
fronteiras. Acostumá-las a uma visão global da matemática pode contribuir para uma boa
formação geral do cidadão.
Por outro lado, convém sublinhar um aspecto importante. Apresentar a criança às
diferentes culturas é algo que pode ser feito sem grandes dificuldades. Levá-la a ser tolerante,
a reconhecer que sua cultura e seu modo de viver não é o único possível, a respeitar outras
culturas que se apresentam, sejam elas dominantes ou não, é algo bem mais difícil. E não é a
simples presença de um material didático de caráter multicultural que vai garantir esta
aceitação. Seria ingênuo de nossa parte se acreditássemos nisto.
Nossa proposta aqui é apresentar um material pedagógico que sirva de ponte para o
professor introduzir, desenvolver na criança uma visão multicultural (que para nós significa
uma visão impregnada de respeito e tolerância para com outras culturas, outros modos de
viver).
20
3 MULTICULTURALISMO E GEOMETRIA : CÍRCULO E PIRÂMIDE
As atividades que estamos aqui propondo para a sala de aula foram baseadas nos livros
de Claudia Zaslavsky Jogos e Atividades Matemáticas do mundo inteiro (2000) e Mais jogos
e atividades matemáticas do mundo inteiro (2007). Aqui elaboramos quatro atividades com o
objetivo de que enquanto explora conceitos geométricos e aritméticos ao mesmo tempo
constrói uma visão multicultural com as crianças.
A ideia foi trabalhar através de uma sequência didática para introduzir os conceitos
geométricos explorando conteúdos conceituais relacionados ao círculo e ao triângulo.
Primeiro tema: Conceitos de Círculo
Adaptamos algumas atividades para apresentar os conceitos básicos de geometria
sugerindo o conceito básico de círculo, tendo percebido como professora do ensino
fundamental nos níveis 5º ano e 6º ano, a dificuldade que os alunos têm quanto à forma e sua
definição básica de figuras geométricas no plano e no espaço. Pensamos no símbolo dos
Jogos Olímpicos.
Figura 1 – Símbolo dos Jogos Olímpicos
Fonte: reprodução própria
21
Pensando em aprimorar outros conceitos, assim fizemos. Adaptamos atividades que
possam além de mostrar e explicar o símbolo dos jogos olímpicos identificar o círculo
trabalhando seu conceito geométrico, como centro, raio, diâmetro, circunferência e região
interna. Ainda buscamos recursos que auxilie este processo de reconhecimento da figura
mostrando ao aluno objetos semelhantes utilizando compasso, cordão ou uma moeda, para
uma melhor visualização de estudo.
Com o mesmo olhar exploramos o significado dessas figuras juntas, falamos das
formas diferentes de culturas existentes nesses continentes e tentamos mostrar a
homogeneidades de raças. Com isso desenvolvemos a sequência de atividades bem detalhas
para que o professor possa ter uma visão ampla da diversidade cultural nela existentes.
Explicaremos como foi constituída a sequência de atividades sobre conceitos básicos
de circulo.
Como desenvolver as atividades em sala
As atividades podem se iniciar com uma fala do professor para os alunos abordando os
seguintes temas:
1. Mostrar no globo ou no mapa-múndi os cinco continentes.
2. Falar sobre os Jogos Olímpicos
3. Falar sobre a bandeira ou o símbolo dos Jogos Olímpicos
4. Falar sobre as cores dos anéis olímpicos.
A seguir os alunos formam grupos com o objetivo de identificar no globo ou no mapamúndi os cinco continentes, no intuito de trocarem ideias sobre seus próprios conhecimentos.
Em seguida, o professor compara e associa a cada continente identificado um anel
colorido do símbolo.
Estas são ideias gerais. Cada professor pode e deve modificar sua fala para familiarizar
os alunos com o símbolo olímpico e explorar a diversidade mundial.
22
Figura 2 – Mapa-múndi
Fonte: google imagens
A seguir vem o momento em que os alunos vão desenhar ou reproduzir o símbolo dos
Jogos Olímpicos. Inicia-se pelo desenho da figura geométrica básica no símbolo olímpico que
é o círculo e pelo estudo de seus elementos: centro, raio, diâmetro e outros elementos que o
professor achar conveniente (corda e ângulo, por exemplo).
Figura 3 – Circunferência, centro, raio, região interna e diâmetro
Fonte: produção própria
23
Para que os alunos desenhem o círculo, o professor deve instruí-los a usar objetos
redondos tais como moeda, tampa de garrafa, etc. Também pode ser usado o compasso, mas
para isto o professor tem de mostrar como se usa. Além disso, o círculo pode ser desenhado
usando-se um cordão uma das extremidades do qual é fixado no papel por meio de um prego e
a outra extremidade tem um lápis que corre pelo papel traçando a borda do circulo como
indicado na figura 4.
Figura 4 – Desenhando uma circunferência
Fonte: google imagens
Por qualquer dos modos indicados acima, desenhe uma circunferência e mostre: raio,
centro e diâmetro.
Em uma folha, construa círculos com diversos tamanhos. Depois use uma régua para
medir os diferentes raios. Meça também o diâmetro de cada círculo.
24
Agora tente reproduzir o símbolo das olimpíadas, tentando criar o efeito de um círculo
passar por dentro do outro, agora pinte com as cores:
Amarelo
Preto
Vermelho
Verde
Azul
Analise a figura acima e descreva com palavras como ela foi construída.
25
Segundo tema: Conceitos de triângulos de base quadrada
Seguindo o mesmo raciocínio o segundo tema de conceito geométrico aqui sugerido
também do livro Atividade do mundo inteiro escrito por (Zaslavsky, p. 116, 2007)
exploramos algumas atividades relacionada a conceitos básicos de geometria, neste sugerindo
o conceito básico de pirâmides.
Figura 5 - As pirâmides do Egito
Fonte: google imagens
A estes adaptamos atividades que possam mostrar ao aluno sua forma espacial no
mundo real além de mostrar e explicar ou identificar as pirâmides em suas formas e seu
conceito geométrico, como face, vértice, arestas e base. Ainda buscamos recursos que auxilie
este processo de reconhecimento da figura mostrando ao aluno objetos semelhantes utilizando
matérias como: cartolina, régua, cola para uma melhor visualização de estudo.
Com o mesmo olhar exploramos o significado dessa figura, falamos das formas
diferentes de culturas existentes nesses continentes e tentamos mostrar a homogeneidades de
raças. Com isso desenvolvemos a sequência de atividades bem detalhadas para que o
educador e educando possa ter uma visão ampla da diversidade cultural nela existentes.
Explicaremos como foi desenvolvida a sequência de atividades sobre conceitos
básicos de pirâmides.
26
Como desenvolvemos as atividades
As atividades podem se iniciar com uma fala do professor abordando os seguintes
temas:
1. Mostrar no mapa-múndi a localização do Egito.
2. Falar sobre o Egito, seu povo, seus governantes e suas crenças.
3. Falar sobre as pirâmides, sua finalidade e sua construção.
4. Falar sobre os recursos necessários e sobre o processo de construção das pirâmides.
5. Falar sobre as formas geométricas visíveis nas pirâmides.
6. Propor a construção de modelos de pirâmides.
7. Explorar, buscar exemplos, construções modernas em forma de pirâmide.
8. Continuar explorando os conceitos geométricos relacionados.
Logo após o professor explica que as pirâmides de Queóps, Quéfren e Miquerinos são
as mais conhecidas. A explicação do porque pode ficar a cargo dos alunos. Eles também
podem buscar e comparar diferentes grafias para os nomes destas três pirâmides, questionar,
por exemplo, se existem grafias mais “corretas” que outras reforçando, assim, a ideia do
multiculturalismo.
Figura 6 – Pirâmides de Quéops, Quéfren e Miquerinos
Fonte: http://www.google.com.br Acessado em 20.05.2012.
Depois desse estudo da pirâmide enquanto objeto multicultural, histórico, decorativo,
etc., pode-se explorar a pirâmide enquanto figura geométrica.
O professor mostra a figura de uma pirâmide esquematizada, isto é, algo semelhante à
figura abaixo.
27
Figura 7 – Pirâmide
Fonte: http://www.google.com.br Acessado em 20.05.2012
Chama a atenção para os elementos constitutivos da pirâmide, ou seja, faces, base e
arestas. Pede que os alunos reproduzam em seu caderno o desenho pirâmide. Destaca o fato
de que as partes constitutivas da pirâmide são figuras geométricas conhecidas anteriormente:
quadrado, triângulos, segmentos de reta. Fala também sobre figuras geométricas planas e
figuras geométricas tridimensionais.
Por fim, vai se acercando ao conceito matemático de pirâmide como uma figura
geométrica que tem uma face inferior que chamamos de base e que pode ser um polígono
qualquer. As faces laterais são todas triangulares.
É conveniente refletir sobre os objetos a que demos o nome de pirâmide até aqui:
a) objetos da vida real, as pirâmides egípcias e;
b) objetos matemáticos, figuras geométricas formadas por base, face e arestas.
Observa-se que tanto as pirâmides da vida real como as figuras geométricas vistas até
agora têm base quadrada. Mas em matemática se chama também de pirâmide figuras
geométricas que tem faces laterais triangulares e base não necessariamente quadrada. Como
seria então uma pirâmide de base pentagonal? Como seria seu desenho? É possível encontrar
ou construir um modelo para tal pirâmide?
Abaixo, como sugestão, segue uma sequência de perguntas que podem ser usadas
como tarefas para os alunos:
1. Faça um desenho em seu caderno, representando as imagens que o nome Egito lhe
traz.
2. Procure um mapa ou globo e veja a localização do Egito atual.
28
3. Procure respostas às perguntas: Como é o Egito nos dias de hoje? Que língua eles
falam? Qual a principal religião? De que vivem os egípcios? Quais os tipos físicos
predominantes? É muito ou pouco parecido com o Brasil? Você gostaria de viajar para
o Egito?
4. Existem hoje edifícios e ou monumentos que represente uma forma geométrica com as
pirâmides do Egito?
5. Utilizando um dicionário procure o significado de:
Íngremes
Colunata
Equilátero
Isósceles
Perpendicular
6. Faça o desenho de uma pirâmide de base hexagonal. Analise o desenho e responda:
a) Quantos vértices tem a pirâmide
b) Quantas faces?
c) Quantas arestas?
29
4 MULTICULTURALISMO E ARITMÉTICA: ÁBACO RUSSO E
ÁBACO CHINÊS
O que é o ábaco?
Podemos dizer que ábaco é o nome genérico dado a um instrumento que nos auxilie na
contagem de objetos ou mesmo na efetuação de operações aritméticas simples como adição e
subtração. Neste sentido, ábacos ou contadores mecânicos são milenares. Há registros de sua
existência muito antes da era cristã. Os ábacos mais antigos e rudimentares eram na verdade
pedrinhas ou contas usadas para representar quantidades.
De qualquer modo, sendo a contagem uma atividade tão universal na humanidade, os
diversos povos inventaram ou adaptaram o seu próprio ábaco. Existe, portanto, uma
infinidade de ábacos ou variações destes. Esta característica do ábaco se adequa perfeitamente
ao nosso trabalho, pois, se de um lado, o ábaco incorpora uma necessidade universal no
homem, a necessidade de contar, por outro lado ele também incorpora a diversas
manifestações culturais que se apresentam na humanidade. Ele é um e muitos ao mesmo
tempo. É uma manifestação multicultural.
Os ábacos mantêm o princípio da ideia de agrupar quantidades em bases précombinadas e trocá-las, que é o princípio da contagem valor posicional, tanto da base dez
como de quaisquer outras bases.
O ábaco nos acompanha há muitos séculos, pois ele foi útil mesmo quando o homem
“contava sem saber contar”. Chamamos de contar sem saber contar àquele tipo de contagem
na qual se procede a uma contabilidade silenciosa: correspondência um a um dos objetos com
quaisquer marcadores, por exemplo, os dedos das mãos. Isto é o que acontece quando uma
criança faz corresponder uma a uma pessoas com os pratos que lhe foram solicitados para pôr
à mesa; quando fazem corresponder uma a uma tampinhas e garrafas. Em todas estas
situações ela estará fazendo uma contagem elementar denominada também de
correspondência termo a termo.
Fazer esta correspondência é importante para o princípio da contagem, mas nem por
isto pode ser considerada uma contagem legítima com a necessária abstração. Isto significa
que muito antes da humanidade criar seus inúmeros sistemas de numeração ela contava
visualmente.
Para demarcar quantos guerreiros estavam indo para uma batalha ou qualquer outro
agrupamento que se quisesse contabilizar um objeto era colocado em determinado lugar,
30
representando cada um dos guerreiros, ou então se adotava uma sequência mnemônica1.
Nossos ancestrais usavam versinhos, músicas, poesias, marcas em madeiras ou no próprio
corpo numa sequência cadenciada, segundo valores de cada cultura, inclusive ligados a ritos
religiosos.
Em certas regiões da África Ocidental, até pouco tempo atrás, pastores tinham um
costume bastante prático para avaliar seu rebanho. Faziam os animais passarem um a um, em
fila. Após a passagem do primeiro enfiavam uma concha num fio de lã branca, após o
segundo outra concha, e assim por diante até dez. Nesse momento desmanchava-se o colar e
se introduzia uma concha numa lã azul, associada às dezenas, e se recomeçava a enfiar
conchas na lã branca até a passagem do vigésimo animal, quando se introduzia uma segunda
concha no fio azul. Quando esta tinha, por sua vez, dez conchas, e cem animais haviam sido
contados, desfazia-se o colar das dezenas e enfiava-se uma concha numa lã vermelha,
reservada desta vez para as centenas. E assim por diante até o término da contagem dos
animais.
Para duzentos e cinquenta e oito animais, por exemplo, haveria oito conchas de lã
branca, cinco azuis e duas vermelhas.
Figura 8 – Conchas coloridas representando 258 animais
Fonte: reprodução própria
Observe que o ponto crucial com o qual se depararam nossos ancestrais foi como
demarcar as pedras, de maneira que se soubesse quando elas assumiam o valor de unidade ou
de grupo. Assim foi inventado o princípio da posição ou das ordens das pedras – no ábaco: a
cada grupo formado troca-se a pedra de lugar ou posição - por convenção posterior sempre à
1
Arte de facilitar as operações da memória.
31
esquerda, sendo então que cada conta passa a valer mais do que a da ordem imediata da
direita, tantas vezes mais quanto é a base escolhida. Portanto, crescendo potencialmente para
a esquerda, neste caso, em grupos de dez, ou seja, na base dez.
Figura 9 – Alguns tipos de ábaco
Fonte: google imagens
32
Terceiro tema: Ábaco Russo
Em nosso trabalho escolhemos para desenvolvermos conceitos aritméticos a utilização
do ábaco. Detemos-nos no ábaco russo e no ábaco chinês, é interessante mostrarmos algumas
ideias para construí-los. Mesmo porque não convém que o professor fique dependente
exclusivamente o material didático que a escola compra. No caso da escola não ter ábaco para
todos os alunos, confeccionar um modelo simples pode ser uma alternativa viável.
Figura 10 – O ábaco Russo
Fonte: arquivo próprio
Para construir um ábaco russo será necessário o seguinte material:
1. 1 retângulo de cartolina dura com mais ou menos 21 x 27 cm. (Você pode
usar uma caixa de sapatos!!)
2. Barbante grosso o suficiente para fazer várias fileiras e firmar nas pontas.
Em torno de 2m10cm.
3. Grampeador
4. Tesoura
5. Régua
6. 49 contas de cor clara e 12 contas de cor escura. (Você pode usar pedaços de
macarrão, colorindo se necessário com caneta ou pincel atômico. Também
pode usar botões.) Certifique-se de que você tem espaço suficiente para
mover 10 contas ou em cada barbante.
33
Como desenvolvemos as atividades
Deve-se iniciar com a fala do professor para os alunos abordando os seguintes temas:
1. Mostrar no mapa-múndi a localização da Rússia.
2. Falar sobre a Rússia, seu povo, seus governantes.
3. Falar sobre o ábaco Russo, sua finalidade e sua construção.
4. Falar sobre os recursos necessários e sobre o processo de construção do
ábaco russo.
5. Propor a construção do ábaco Russo.
Com o mapa-múndi o professor mostra sua localização, fala como vive este povo e
sobre seus governantes. Em seguida, mostra o ábaco russo explicando que também existem
outros tipos de ábacos. Faz uma sondagem sobre quem deles já conhecia algum tipo de ábaco,
e para que acha que serve. Irão surgir vários questionamentos.
Figura 11: Mapa da Rússia
Fonte: http://www.google.com.br Acessado em 06.09.2012.
Depois apresenta o ábaco enquanto objeto multicultural, histórico.
Logo após, explore ideia de unidade, dezena e centena, como conceito aritmético.
O professor mostra o ábaco russo explicando bem detalhado o que cada linha e contas
representam, e como pode utilizar o ábaco no nosso cotidiano. Propondo sua construção:
34
Figura 12- Construindo o Ábaco Russo
Fonte: arquivo pessoal
Como construir o ábaco russo
1. Corte o barbante 7 pedaços iguais, um pouco maior que o comprimento da
cartolina.
2. Grampeie uma das extremidades de cada pedaço de corda na cartolina.
Amarre a corda no grampo.
3. Comece com a corda de cima. Coloque quatro contas claras, depois duas
escuras, então mais quatro claras. Grampeie a extremidade da corda na
cartolina. Amarre a extremidade do barbante no grampo.
4. Faça o mesmo que fez no passo 3 para cada corda, exceto para a da vírgula
decimal que tem só uma conta clara.
5. Pronto! O seu ábaco.
Como calcular com o ábaco russo
Diferente do ábaco do chinês o cálculo sempre começa da esquerda para direita, ou
pelo numero mais alto do seu calculo. Por exemplo, somar 345 com 620, primeiro colocará o
numero 345 no ábaco, adiciona 3 ao 6. Seque 9 = 10 – 1 remove-se 6 na varra das centenas
daí, adiciona 4 ao 2 nas contas das dezenas. Depois 5 ao 0 que fica na mesma posição pois o
zero não representa nem uma conta. O resultado esperado esta no ábaco: 965.
Seguindo sempre da esquerda para direita, o cálculo deve se iniciar sempre que
colocar o primeiro número a ser somado a parti da unidade ou do número maior representado.
35
Agora o professor separa em grupos para que um aluno veja o outro fazendo contas e
depois se inverte o procedimento.
Sugestões de trabalho com o ábaco Russo
1. Representem no ábaco russo os seguintes números:
a)
25
b)
55
c)
73
d)
81
e)
102
f)
220
g)
341
h)
2012
i)
2124
j)
4013
2. Operação de adição usando o ábaco russo:
a)
7+2
b)
8+1
c)
12 + 7
d)
13 + 5
e)
5 + 11
f)
201 + 18
g)
102 + 15
h)
130 + 20
i)
205 + 12
j)
310 + 2
36
3. Ainda calculando operação com adição
a)
17 + 3
b)
125 + 18
c)
209 + 7
d)
119 + 48
e)
229 + 82
4. Operações de subtração usando ábaco russo
a)
15 4
b)
9 7
c)
23 12
d)
16 4
e)
10 8
f)
16 9
g)
23 17
h)
2220 150
i)
234 67
j)
25 14
5. Agora inventem utilizando seu ábaco e represente as operações com adição e
subtração. Escreva em seu caderno como se faz para somar e subtrair usando o
ábaco.
37
Quarto tema: O ábaco chinês
Figura 13 – Suan Pan ou Ábaco Chinês
Fonte: arquivo pessoal
O Ábaco Chinês, tal como aparece na figura acima, consiste em uma estrutura
retangular de madeira dividida longitudinalmente em duas partes iguais por uma vareta
horizontal. Pode possuir nove, onze, treze ou mais colunas de bolas móveis, feitas geralmente
de madeira. São sete bolas em cada coluna: duas em cima da vareta horizontal e cinco abaixo
dela. As bolas situadas na parte superior da vareta chamam-se hiperbolas; as da parte inferior,
hipobolas. Uma hiperbola equivale a cinco hipérbolas.
Para construir um ábaco chinês você vai precisar do seguinte material:
 Use os mesmos materiais usados para o ábaco russo com estas diferenças:
 Mais ou menos 1,25 m = 125 cm de barbante
 Trinta e cinco contas
 Fita adesiva (opcional)
38
Como desenvolvemos as atividades
Deve-se iniciar com a fala do professor para os alunos abordando os seguintes temas:
1. Mostrar no mapa-múndi a localização da China.
2. Falar sobre seu povo, sua cultura.
3. Falar sobre o ábaco Chinês, sua finalidade e sua construção.
4. Falar sobre os recursos necessários e sobre o processo de construção do
ábaco chinês.
5. Propor a construção do ábaco chinês.
6. Propor calcular com ábaco chinês.
Com o mapa-múndi o professor mostra sua localização, fala como vive este povo e
sobre sua cultura.
Figura 14 – Mapa da China
Fonte: disponível em: http://www.google.com.br acessado em 06.09.2012.
Em seguida, mostra o ábaco chinês explicando que também existem outros tipos de
ábacos. Faz uma sondagem sobre quem deles já conhecia algum tipo de ábaco, e para que
acha que serve. Irão surgir vários questionamentos.
Depois apresenta o ábaco enquanto objeto multicultural, histórico.
Logo após, explore ideia de unidade, dezena e centena, como conceito aritmético.
39
O professor mostra o ábaco chinês explicando bem detalhado o que cada linha e contas
representam, e como pode utilizar o ábaco no nosso cotidiano. Propondo sua construção:
Figura 15 – Construindo o Ábaco Chinês
Fonte: google imagens
Como construir o ábaco chinês
1. Corte o barbante em cinco pedaços, um pouco mais longo que a largura da
cartolina
2. Grampeie a extremidade de cada barbante na cartolina e amarre no grampo
3. Comece com o primeiro barbante. Prenda 2 contas nele e grampeie ou cole
com fita adesiva o barbante de forma que as contas possam ser movidas. O
grampo ou a fita serve como uma barra de divisão.
4. Prenda 5 contas no barbante grampeie a extremidade na cartolina e amarre
5. Repita os passos 3 e 4 com as contas e pedaços de barbante que sobraram.
Pronto, seu ábaco chinês está pronto.
40
Como calcular com o Ábaco Chinês
(Texto extraído da revista Educação Pública, 2007)
As quatro operações com o ábaco chinês
Este texto explica somente as operações fundamentais da aritmética do ábaco, mas suas
possibilidades vão muito além. A intenção do autor é familiarizar os leitores com esse antigo e
engenhoso instrumento, que foi durante tanto tempo de domínio exclusivo dos chineses. Ele
espera que, doravante, muito mais pessoas possam se beneficiar de suas vantagens.
Valor segundo sua colocação
O valor de bola depende da coluna que tomemos como unidade. As bolas da coluna
situada na mão esquerda têm mais valor que as situadas na coluna da direita. A unidade da coluna
do lado esquerdo possui valor dez vezes maior que sua equivalente situada na coluna do lado
direito. Deste modo, se tomamos como unidade a primeira coluna do lado direito da vareta, uma
hipobola da segunda coluna valerá dez vezes mais; uma da terceira será cem vezes maior etc.
Digitação
Comprovou-se que a melhor forma de mover as hipobolas é usando as pontas do polegar e
do indicador; as hiperbolas, usando o dedo médio. Se fossem usados o polegar e o médio para
mover as hipobolas, o indicador ficaria sem função e poderia induzir ao erro. O desenho abaixo
mostra a forma correta de manusear as hipobolas e as hiperbolas.
41
(Continuação)
Como usar o ábaco
Antes de começar a usar o ábaco, todas as hiperbolas devem ser colocadas no extremo
superior da tabuinha e as hipobolas no extremo inferior. Uma vez colocadas assim, estão em
posição para serem movidas para cima ou para baixo para registrar qualquer número. A vareta do
meio é o eixo ao lado do qual se vão colocando as bolas que vamos usando. As bolas que
permanecem inativas ou neutras devem ser colocadas nos lados.
Para somar ou subtrair não é necessário mover a hiperbola que está no extremo superior
nem a última das hipobolas. Já que uma hiperbola equivale a cinco hipobolas, em vez de mover a
última hipobola para contar até cinco, podemos usar uma hiperbola e devolver a posição neutra
ou de inatividade as quatro hipobolas restantes. Do mesmo modo, já que uma hipobola situada na
coluna da esquerda é igual a duas hiperbolas adjacentes situadas na coluna da direita, em vez de
usar a hiperbola do extremo superior para somar dez, podemos usar uma hipobola da coluna à
esquerda e devolver à posição neutra a hiperbola do extremo inferior.
Comprovação
É aconselhável, sobretudo para os principiantes, comprovar os resultados de um cálculo.
Para isso, pode-se usar um ou dois métodos. Adição, subtração, multiplicação e divisão nos
permitem verificar através de sua operação oposta. Assim, por exemplo, o resultado de uma soma
pode ser comprovado por uma subtração e vice-versa. O mesmo ocorre com a multiplicação e a
divisão. Contudo, o método geralmente usado pelos especialistas no uso do ábaco é repetir a
operação.
Acima temos a figura de um ábaco chinês representando o número 1427.
42
5 APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES E RECOMENDAÇÕES AOS
PROFESSORES
A sequência de atividades: aplicações e resultados- 04.01 aqui
O produto educacional surgiu com a leitura de alguns livros, artigos e dissertações
com alusões ao multiculturalismo, assim como no meu cotidiano diário de sala de aula então
pensamos em desenvolver quatro temas envolvendo conceitos geométricos e aritméticos.
Diante destas leituras encontramos subsídios relacionados com uma sequência de atividades
para alunos do 5º ano e 6º ano do ensino fundamental, cuja finalidade é fazer com que o aluno
aprendam conceitos básicos de geometria: círculo e triangulo e aritmética: contagem descritos
numa visão multicultural.
As sequências se basearam nos livros: Jogos e atividades matemáticas do mundo
inteiro e Mais jogos e atividades do mundo inteiro, ambos de Claúdia Zaslavsky. Um trabalho
que mostra a diversidade cultura existente em diversos países a jogos matemáticos, ainda
ressaltam vários tipos de jogos existentes no mundo inteiro em sua forma variada de culturas
mostrando o multiculturalismo em seus vários aspectos.
Estes conhecimentos desenvolve o raciocínio uma forma unificada de diversidade
cultural, estimular o pensamento independente, a criatividade e a capacidade de lidar com o
diferente. Nós como educadores, devemos procurar alternativas para aumentar a motivação
para a aprendizagem, trazendo uma forma diversificada de mostrar as diferenças em seu
cotidiano e assim estimular, desenvolver a socialização e aumentar as interações do indivíduo
com outras pessoas.
As atividades, se convenientemente planejadas, são um recurso pedagógico eficaz para
a construção do conhecimento numa abordagem multicultural. Nosso objetivo é fazer com
que os adolescentes gostem de aprender essa disciplina, mudando a rotina da classe e
despertando o interesse do aluno envolvido. A aprendizagem através de atividades, com
aritméticos, conceitos geométricos, e outros permite que o aluno faça da aprendizagem um
processo interessante e até divertido. Para isso, eles devem ser utilizados ocasionalmente para
sanar as lacunas que se produzem na atividade escolar diária. Neste sentido verificamos que
há dois aspectos que por si só justificam a incorporação dessas atividades numa visão
multicultural nas aulas de matemáticas, o desenvolvimento educativo e a formação de
relações sociais.
43
Este desenvolvimento educativo proporciona aos alunos o conhecimento coletivo no
ambiente da sala de aula, sendo assim, requerem um plano de ação que permita a
aprendizagem de conceitos matemáticos e culturais de uma maneira geral. Em sala de aula é
importante. O professor explorar ideias multiculturais trazendo a realidade do aluno para o
conteúdo trabalhado, de modo a permitir que o professor possa explorar todo o potencial
desses alunos, processo de pensamentos, registros e discussões sobre possíveis caminhos que
poderão surgir. A exploração dos temas pode ser utilizada pra introduzir, amadurecer
conteúdos e preparar o aluno para aprofundar os itens já trabalhados. Devem ser escolhidos e
preparados com cuidado para levar o estudante a adquirir conceitos matemáticos de
importância.
Poderemos utilizá-los não como instrumentos recreativos na aprendizagem, mas como
facilitadores, colaborando para trabalhar os bloqueios que os alunos apresentam em relação a
alguns conteúdos matemáticos como conceitos geométricos e aritméticos. Outro motivo para
a introdução do multiculturalismo nas aulas de matemática é a possibilidade de conhecer
outras culturas apresentados por muitos de nossos alunos que temem a Matemática e sentemse incapacitados para aprendê-la. Dentro da situação, onde é impossível uma atitude passiva e
a motivação é grande, notamos que, ao mesmo tempo em que estes alunos falam Matemática,
apresentam também um melhor desempenho e atitudes mais positivas frente a seus processos
de aprendizagem.
Devemos
escolher
atividades
que
estimulem
a
relação
multicultural
e
educativa/matemática, principalmente quando o conteúdo a ser estudado for abstrato, difícil e
desvinculado da prática diária, não nos esquecendo de respeitar as condições de cada
comunidade e suas culturas e o querer de cada aluno. Essas atividades não devem ser muito
fáceis nem muito difíceis e ser testadas antes de sua aplicação, a fim de enriquecer as
experiências através de propostas de novas atividades, propiciando mais de uma situação.
Cada atividade teve um olhar diferente e uma visão multicultural.
Aplicação e resultados
Nesse momento do nosso trabalho relatar aplicação de uma das atividades do caderno,
priorizamos o ábaco russo para este teste, procuramos uma escola estadual cuja média de
idade dos alunos estar entre 10 a 12 anos para alunos do 5º ano e 6ºano do ensino
fundamental, faixa etária esta que podemos introduzir conceitos aritmético e geométrico numa
visão multicultural que é nosso objetivo principal. Para iniciar, realizamos um contato com a
Diretora da Escola Estadual Vilagran Cabrita, situado na vila Brasil s/n, bairro: Paraíba, em
44
Caicó/RN, distante da capital 290 km. Onde funciona o Ensino Fundamental até 5º ano,
mostramos nossa proposta como colaboração na construção do Caderno de atividades sob o
título de “Geometria e aritmética numa visão multicultural”, com o intuito de apresentamos
mais uma proposta de ensino aos professores do Ensino fundamental. Estes procedimentos
pedagógicos têm os seguintes enfoques:
Objetivos Gerais
 Explorar conceitos geométricos e aritméticos numa visão multicultural com as
crianças do 5º ano do Ensino Fundamental.
Objetivos Específicos
 Explorar conceitos geométricos: circulo e triângulos e conceitos aritméticos: ábaco
russo e ábaco chinês como contagem
Conteúdos conceituais matemáticos
 O símbolo dos jogos olímpicos: circulo
 As pirâmides do Antigo Egito: triângulos
 O ábaco Russo: Leitura e representação de números.
 O ábaco chinês: Operação de adição e de subtração.
Conteúdos procedimentais
 Ler e interpretar as atividades propostas.
Recursos Metodológicos
 Lista com atividade
 Mapas
Nessa concepção buscamos por meio de leitura a construção dos conceitos
geométricos e aritméticos numa visão multicultural. Assim nossa proposta de atividades no
momento com alunos é perceber dificuldades encontradas nos assuntos abordados e ter como
também de aprofundar o conhecimento dos professores da rede pública de ensino no que diz
respeito às operações aritméticas. Para isso vamos utilizar o Ábaco Russo para ensinar
operação de adição e subtração com o objetivo de melhorar nosso caderno de atividades
proposto inicialmente e validar para futuras aplicações.
45
No caderno propomos trabalhar em sala de aula dois temas: conceitos geométricos e
conceitos aritméticos. Nosso objetivo é que enquanto exploramos conceitos geométricos e
aritméticos construímos com as crianças uma visão multicultural. Neste caminho elaboramos
atividades trazendo uma visão multicultural desenvolvido em quatro temas sendo nos dois
primeiros conceitos geométricos e nos dois últimos conceitos aritméticos.
I.
II.
O símbolo dos Jogos Olímpicos;
As pirâmides do Egito;
III.
O ábaco russo;
IV.
O ábaco chinês.
Em todos os temas acima descritos trabalhamos um conceito diferente, o primeiro
tema o símbolo dos jogos olímpicos traz uma exploração de círculo e seus componentes
como: circunferência, centro, raio, região interna e diâmetro. O segundo tema, as pirâmides
do Egito fazemos uma viagem ao conceito de pirâmides e triângulos de base quadrada
explicando suas diferentes formas e elementos de sua constituição como: face, vértices,
arestas e base. Com esses dois temas descritos reforçaram conceitos geométricos. O terceiro
tema o ábaco Russo e o quarto tema o ábaco Chinês buscamos adaptar as formas culturais
existente em todos os conceitos básicos aritméticos descritos da adição e subtração, não
poderíamos deixar de citar que o ábaco também é um instrumento de contagem muito antigo
que ainda é utilizado em diversos países.
Ao priorizar uma das atividades tivemos o cuidado de fazer um roteiro descrevendo
todos os processos em enquanto tivéssemos em sala de aula. Começando com um plano de
aula somente com uma das atividades, neste caso o ábaco Russo. Com objetivos gerais,
objetivos específicos, conteúdos atitudinais e procedimentais e recursos metodológicos. A
sequência foi a seguinte:
Objetivos Gerais
 Introduzir o ábaco na sala de matemática para auxiliar no aprendizado da aritmética;
Apresentar o ábaco como artefato do quais várias culturas se apropriaram para superar
necessidades cotidianas.
Objetivos Específicos
46
 Introduzir o uso do ábaco na sala de aula do 5º ano para resolver operações de adição e
subtração de números naturais
Conteúdos conceituais
 Leitura e representação de números no ábaco. Operação de adição no ábaco. Operação
de subtração no ábaco.
Atitudinais
 Participar da atividade proposta.
Recursos Metodológicos
 Mapa da Rússia
 Lista com atividade
Acima descritos destacamos o ábaco Russo como analise de teste, salientamos que
todas as atividades sugeridas devem ser testadas antes de ser explorada em sala de aula, ao
escolhemos o ábaco russo iniciamos nossa aplicação com o seguinte roteiro:
Roteiro da aula para dia 22 de junho
8h
início da aula, apresentação dos professores e da classe.
8h 15min
apresentação do Mapa da Rússia, como aspecto multicultural.
8h 30min
construção do ábaco Russo.
8h 45min
início das atividades com a distribuição e familiarização do ábaco.
9h 30min
exercícios de leitura de números no ábaco e de representação de números no ábaco.
9h 50min
início das atividades de adição sem recurso e com recurso.
10h
início das atividades de subtração sem recurso e com recurso.
10h15min
atividades de adição e subtração propostas pelos alunos.
10h30min
solicitar que entrega ao colega a lista proposta para resolvê-la.
11h
Encerramento.
Ao começar com as atividades verificamos que a turma era muito imatura para
intender o conceito do multiculturalismo, então a explicação como o mapa foi somente para
47
mostrar sua localização, surgimento do ábaco, para que ele era utilizado e como ele deveria
ajudar como aprendizado. Salientamos também que a escola onde aplicamos uma de nossas
atividades faz parte do Projeto Mais Educação, com recursos Federais e contra partida do
Governo do Estado e prefeitura locais, tendo como foco principal atender financeiramente a
demanda de cada escola e desenvolver projetos educativos voltados para ensino e aprendizado
onde a criança passa oito horas na escola. Com isto as escolas têm bibliotecas, salas de
informáticas, salas de jogos e brinquedos, entre outros. Esta explicação foi para que todos
entendessem que nesta escola especificamente tinha ábaco suficientes para nosso trabalho
desenvolvidos, assim não precisamos fazer a construção do mesmo, lembrando que é
necessário, pois não é toda escola que oferece estes recursos. Seguindo nosso roteiro
exploramos as atividades com adição e subtração.
Figura 16 – Foto de um aluno fazendo operação.
Fonte: arquivo pessoal
Nesta foto acima o aluno com seu ábaco tenta fazer um calculo de adição descrito da
folha que distribuímos para todos os alunos, o amigo tenta olhar como fez e depois é a vez do
outro colega tentar realizar o calculo, lembrando que cada um tem que obedecer a ordem das
atividades sugeridas. Foi evidente que o conceito de adição eles compreendem, mas como
realizar as etapas não. Eles não percebiam que a cada 10 bolinhas eles convertia uma casa das
contas superior, o raciocínio deles é muito rápido e eles já sabiam o resultado, antes de
48
manipular o ábaco Russo. Claro que nesta etapa precisamos parar, explicar e de novo
recomeçar, introduzindo outra atividade. A sequência das atividades foram as seguintes:
Atividades para realizá-la no ábaco
1. Representem no ábaco russo os seguintes números:
a)
25
b)
55
c)
73
d)
81
e)
102
f)
220
g)
341
h)
2012
i)
2124
j)
4013
2. Realize as adições abaixo, utilizando o ábaco russo:
a)
7+2
b)
8+1
c)
12 + 7
d)
13 + 5
e)
5 + 11
f)
201 + 18
g)
102 + 15
h)
130 + 20
i)
205 + 12
49
3. Operações de subtração usando ábaco russo
a)
15 4
b)
9 7
c)
23 12
d)
16 4
e)
10 8
f)
16 9
g)
23 17
h)
2220 150
i)
234 67
j)
25 14
4. Agora inventem e represente as operações com adição e subtração. (Logo após os
alunos criarem sua própria lista de exercício o professor pede para que eles deem ao
colega ao lado para resolvê-las).
50
Conduzimos as atividades com operações de adição e subtração utilizando esta sequência
que elaboramos com intuito de verificar como os alunos percebem números e sue valor
relativo: unidade, dezena e centena. Sua representação, seu calculo e seu raciocínio.
Começamos com exemplos simples:
 De representação
11
32
51
102
135
220
 De cálculo
Somar 7 a 2
 Ressaltar que 7 é unidades;
 A seguir, adicionamos 2 nas unidades;
 Lemos o resultado;
 Agora fazemos esta representação com os símbolos do nosso sistema de numeração no
caderno.
Somar 155 a 123
 Destacamos que 155 e igual a 100 + 50 + 5, posicionando 155 no ábaco russo;
 A seguir, adicionamos 3 nas unidades, 2 nas dezenas e 1 nas centenas;
 Lemos o resultado;
 Agora fazemos esta representação com os símbolos do nosso sistema de numeração no
caderno.
Somar 201 a 18
 Enfatizamos que 201 é igual a 200 + 1;
 A seguir, adicionamos 8 nas unidades e 1 nas dezenas;
 Lemos o resultado;
 Agora fazemos esta representação com os símbolos do nosso sistema de numeração no
caderno.
51
Somar 119 a 48
 Enfatizamos que 119 são iguais a 100 + 10 + 9;
 A seguir, adicionamos 8 nas unidades e ficamos com dezoito unidades , então
devolvemos dez unidades convertendo em uma dezena e o que sobrar colocamos no
valor das unidades, 4 nas dezenas;
 Lemos o resultado;
 Agora fazemos esta representação com os símbolos do nosso sistema de numeração no
caderno.
Subtrair 4 de 15
 Enfatizamos que 15 é igual a 10 + 5, posicionando no ábaco russo;
 A seguir, das 5 unidades subtraímos 4.
 Lemos o resultado;
 Agora fazemos esta representação com os símbolos do nosso sistema de numeração no
caderno.
Subtrair 431 de 725
 Enfatizamos que 725 é igual a 700 + 20 + 5, posicionamos no ábaco russo;
 A seguir, das 5 unidades subtraímos 1, na casa das dezenas, onde temos 2 bolinhas,
não podemos retirar 3, por isso desagrupamos uma centena convertendo-a em dezenas;
 Agora, na casa das dezenas, temos 12 bolinhas e podemos retirar 3;
 Finalmente, das 6 centenas retiramos 4;
 Lemos o resultado;
 Agora fazemos esta representação com os símbolos do nosso sistema de numeração no
caderno.
Diante disto conseguimos verificar que alunos do 5º ano Fundamental da Escola
Estadual Vilagran Cabrita, situada no interior do Rio Grande do Norte, cerca de 290Km, da
capital do Estado. Conseguem perceber uma lógica de agrupar esses números com adição e
desagrupar quando se trata de subtração. Vimos ainda que apesar da imaturidade os mesmos
tem certo conhecimento de como o resultado depende da manipulação das etapas corretas
chegando a um resultado. Não poderemos afirmar que este aprendizado é melhor que outros.
52
A seguir mostraremos algumas fotos onde o aluno estava representado número, ele
utilizando a trocar de todas as contas azuis por uma amarela; na seguinte a soma de e o
resultado.
Figura 17 – Foto de um aluno simbolizando números.
Fonte: arquivo pessoal
53
Considerações finais
O trabalho foi desenvolvido através de pesquisas bibliográficas, artigos entre outros.
Escolhemos geometria e aritmética para o desenvolvimento desta pesquisa. As atividades são
suportes didáticos que permitam ao professor utiliza-las na sala de aula para desenvolver uma
educação de visão multicultural.
Nosso objetivo foi elaborar atividades com conceitos geométricos e aritméticos numa
visão multicultural, fazendo com que a criança veja que existem outros horizontes fora do
universo escolar e aprendam a respeitar suas diferenças e diversidades.
Portanto, poderá ser trabalhada por professores em sala de aula com qualquer
conteúdo, aqui especificamente de matemática. Utilizando uma elaboração feita de uma
sequência por Claudia Zaslavsky e adaptamos conceitos geométrico e aritmético numa visão
multicultural dando prioridade a conceitos básicos. O conceito para formulação de métodos,
condições e fundamentos foram elaborados de acordo com a turma em estudo no nosso caso
5º e 6º ano do ensino fundamental.
As condições necessárias para o uso do caderno de atividades precisam ser feita a parti
do nível de cada turma, os educadores poderá utilizar o multiculturalismo adaptado a
realidade de seus conteúdos como recurso para o ensino, certo de que poderemos melhorar e
contribuir nas aulas de matemáticas.
Este produto educacional no qual trabalhamos estar voltados para educação em sala de
aula é quer tentar verificar suas dificuldades de aprendizados sugerindo métodos em prol de
melhores condições de ensino. O professor como mediador de conhecimento pode utilizar de
várias formas na organização neste processo. No entanto podemos verificar que a dificuldade
do ensino da matemática estar voltado para métodos capazes de melhorar a dinâmica de
conteúdos e sua utilização, com isto previamente podemos dizer que estas novas tendências
juntos com uma didática para dinamizar este processo.
O professor do ensino fundamental poderá obter vantagem usando o caderno de
atividades por que a crianças começará a ter contato com a diversidade cultural e a si
questionar que existem diferentes povos, cada um com seus próprios costumes, seu modo de
falar, de vestir, cor, enfim uma diversidade muito grande ao seu redor. Além disso, esta
sequência pode ser adaptada a outros conteúdos geométricos e aritméticos. Em nosso trabalho
sugerimos como conceitos geométricos: círculos e pirâmides e para conceitos aritméticos:
ábaco Russo e ábaco chinês, mas o professor pode utilizar de outros conceitos para o
desenvolvimento cognitivo dos alunos.
54
Contudo, buscamos apenas melhores condições de ensino dando suporte para que estes
procedimentos se deparem com várias formas de conhecimento e desenvolvimento analisada
de maneira correta traduzindo em uma nova solução para o ensino e aprendizado.
Acreditando que é possível continuar com futuros trabalhos direcionados as diversidades
culturais existentes valorizando ainda mais nossas culturas.
55
Referências e bibliografia consultada
BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental, Parâmetros Curriculares Nacionais:
terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental. Introdução aos PCN. Brasília: MEC/SEF,
1997. p.22
CANDAU, V. M. (org.). Multiculturalismo: diferenças culturais e práticas pedagógicas. 2
ed. –Petrópolis, RJ: vozes, 2008.p. 13, 34
CANEN, A. A pesquisa multicultural como eixo na formação docente: potenciais para a
discussão da diversidade e das diferenças. Ensaio: Avaliação e Políticas Públicas em
Educação. Rio de Janeiro, v. 16, n. 59, p.297-308, abr. / jun., 2008ª
CANEN, A. O multiculturalismo e o papel da pesquisa na formação docente: uma
experiência de currículo em ação. Currículo sem Fronteiras, v.8, n.1, p.17-30, jan./jun.
2008b.
D’AMBROSIO, U. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e matemática – São
Paulo: Campinas: Editora da Universidade Estadual de Campinas, 1986.
D’AMBROSIO, U. Educação Matemática: da teoria a prática. São Paulo: Papirus, 1996.
D’AMBROSIO, U. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. Belo
horizonte: Autênticas, 2001 – Coleção Tendências em educação matemática.
D’AMBROSIO, U. Educação Matemática: da teoria a prática. São Paulo: Papiros, 1996.
D’AMBROSIO, U. Educação para uma sociedade em transição. Campinas, SP: Papirus,
1999.p. 37.
D’AMBROSIO, U. Etnomatemática: arte ou técnica de explicar e conhecer. São Paulo:
Ática, 1989.
POWELL, A. B. Ethnomathematics: challengig eurocentrism in mathematics education.
Ed. 1997. State University of New York.
RÊGO, R. G. Matematicativa -3ª Ed. Ver. E ampl./ Reimpressaão – Campinas, SP: Autores
Associados, 2009. (Coleção formação de Professores).
SEMPRINI, A. Multiculturalismo. Bauru, SP: EDUSC, 1999.
ZASLAVSKY, C. Jogos e atividades do mundo inteiro- diversão multicultural para
idades de 8 a 12 ano. ( Traduzido por Pedro Theobald). Porto Alegre: Artmed, 2000.
ZASLAVSKY, C. The multicultural math classroom: bringing in the world- Heinemann
– 1996.
ZASLAVSKY, C. Mais Jogos e atividades do mundo inteiro- diversão multicultural a
partir de 9 anos. Trad. Adriano Moraes Migliavaca – Porto alegre: Artmed, 2009.
56
Apêndice
Geometria e aritmética numa visão multicultural.
Maria Betânia S. S. Batista
UFRN – PPGECNM
2012
SUMÁRIO
Apresentação....................................................................................................................
2
Primeiro tema: O Símbolo dos Jogos Olímpicos............................................................
3
Segundo tema: As pirâmides do Antigo Egito................................................................
7
Terceiro tema: O Ábaco da Rússia..................................................................................
15
Quarto tema: O Ábaco da China......................................................................................
23
Conclusão.........................................................................................................................
27
Referências.......................................................................................................................
28
Apresentação
Neste caderno queremos propor atividades para a sala de aula de matemática do ensino
fundamental a partir de uma perspectiva multiculturalista. Multiculturalismo é um termo que
pode ter diversos significados e nuances. Em nosso caso, nos referimos ao multiculturalismo
na educação, na formação da criança e do pré-adolescente.
Cultivar o multiculturalismo na sala de aula é um modo de educar a criança com a
consciência da diversidade existente em sua sala de aula, em sua escola, em sua cidade e no
mundo. Na nossa sociedade em que estão presentes muitos conflitos e realidades distintas é
importante que o jovem se coloque numa posição de aceitar as diferenças e praticar a
tolerância seja ela cultural, religiosa, social, política ou outras.
Seguindo as ideias de Claudia Zaslavsky, educadora cujo trabalho é centrado no
multiculturalismo na Educação Matemática, nós destacamos algumas atividades e as
organizamos de modo a integrar os aspectos que favorecem ao aprendizado da matemática e
ao mesmo tempo abrem possibilidades de discutir a diversidade cultural.
As atividades propostas giram em torno de quatro temas: o símbolo dos jogos
olímpicos, as pirâmides do Egito, o ábaco russo e o ábaco chinês.
Os dois primeiros temas permitem explorar conceitos geométricos básicos e o mundo
multicultural dos Jogos Olímpicos e as pirâmides do Egito enquanto que os dois últimos
temas nos possibilitam explorar conceitos aritméticos e a diversidade cultural do processo de
contagem incorporada no ábaco russo e no ábaco chinês.
Primeiro tema: O símbolo dos Jogos Olímpicos
Os Jogos Olímpicos é um grande evento esportivo que se dá a cada quatro anos. Do
evento participam delegações de atletas que vêm de várias partes do mundo representar seu
país. Quase todos os países do mundo participam dos jogos. Os Jogos Olímpicos são um
evento itinerante, isto é, cada vez são promovidos em um país diferente. É um evento alegre,
colorido e bonito. Neles se pode apreciar a diversidade incorporada nas distintas delegações
de atletas: algumas delegações se destacam mais num determinado esporte e não tanto em
outro; a constituição física dos atletas também varia bastante. Os uniformes e as bandeiras de
cada país contribuem para que o evento seja bastante especial.
Os Jogos Olímpicos têm um símbolo que é bastante conhecido. Ele aparece abaixo na
figura 1. Os cinco círculos representam os cinco continentes. Vamos desenvolver algumas
tarefas e brincadeiras em torno deste símbolo?
Figura 01 – Símbolo dos Jogos Olímpicos
Fonte: reprodução própria
Material:
 Folha de papel branco e sem pauta
 Lápis
 Compasso
 Canetas hidrocor ou giz de cera em cinco cores (preto, azul, verde, vermelho e
amarelo)
Como desenhar o símbolo olímpico:
1. Copie o símbolo a lápis. Use o compasso para desenhar os círculos. Um vidro, uma
tampa de garrafa ou uma moeda também servem.
2. Reforce a lápis de cada círculo com uma caneta hidrocor ou giz de cera. Faça cada
círculo de uma cor diferente.
Para fazer:
Agora faça outra cópia do símbolo. Use as cinco canetas hidrocor ou giz de cera para
colori-lo em cores diferentes da primeira cópia.
No 1º momento através do mapa-múndi apresentamos aos alunos onde está localizado
os cinco continentes (Europa, Ásia, África, América e Oceania), através destas informações
falamos das diferentes formas de culturas existentes no mundo.
Ainda exploramos as cores que representam cada continente:
Vermelho – Europa
Amarelo – Ásia
Preto – África
Azul – Oceania
Verde – América.
A bandeira olímpica é toda branca com cinco anéis entrelaçados, foi idealizado em
1993 pelo Barão Coubertin (Francês que em 1896 recuperou os Jogos Olímpicos). Também
com as cinco cores podem ser compostas todas as bandeiras do mundo.
Como desenvolver as atividades:
As atividades podem se iniciar com uma fala do professor para os alunos abordando os
seguintes temas:
5. Mostrar no globo ou no mapa-múndi os cinco continentes.
6. Falar sobre os Jogos Olímpicos
7. Falar sobre a bandeira ou o símbolo dos Jogos Olímpicos
8. Falar sobre as cores dos anéis olímpicos.
A seguir os alunos formam grupos com o objetivo de identificar no globo ou no mapamúndi os cinco continentes, no intuito de trocarem ideias sobre seus próprios conhecimentos.
Em seguida, o professor compara e associa a cada continente identificado um anel
colorido do símbolo.
Estas são ideias gerais. Cada professor pode e deve modificar sua fala para familiarizar
os alunos com o símbolo olímpico e explorar a diversidade mundial.
Figura 02 – Mapa-múndi
Fonte: google imagens
A seguir vem o momento em que os alunos vão desenhar ou reproduzir o símbolo dos
Jogos Olímpicos. Inicia-se pelo desenho da figura geométrica básica no símbolo olímpico que
é o círculo e pelo estudo de seus elementos: centro, raio, diâmetro e outros elementos que o
professor achar conveniente (corda e ângulo, por exemplo).
Figura 03 – Circunferência, centro, raio, região interna e diâmetro
Fonte: reprodução própria
Para que os alunos desenhem o círculo, o professor deve instruí-los a usar objetos
redondos tais como moeda, tampa de garrafa, etc. Também pode ser usado o compasso, mas
para isto o professor tem de mostrar como se usa. Além disso, o círculo pode ser desenhado
usando-se um cordão uma das extremidades do qual é fixado no papel por meio de um prego e
a outra extremidade tem um lápis que corre pelo papel traçando a borda do circulo como
indicado na figura 4.
Figura 4 – Desenhando uma circunferência
Fonte: google imagens
Por qualquer dos modos indicados acima, desenhe um círculo e mostre: raio, centro e
diâmetro.
Em uma folha, construa círculos com de diversos tamanhos. Depois use uma régua
para medir os diferentes raios. Meça também o diâmetro de cada círculo.
Agora tente reproduzir o símbolo das olimpíadas, tentando criar o efeito de um círculo
passar por dentro do outro, agora pinte com as cores:
Amarelo
Preto
Vermelho
Verde
Azul
Analise a figura acima e descreva com palavras como ela foi construída.
Segundo tema: As Pirâmides do Antigo Egito
Uma das Sete Maravilhas do Mundo Antigo era a Grande Pirâmide do Egito. Ela foi construída
cerca de 4.600 anos atrás para o Rei Khufu e é a maior das três pirâmides que ainda se
encontram na planície de Gizé. Cerca de 2.300.000 blocos de pedra, pesando um total de 6
milhões de toneladas, tiveram de ser cortados nas pedreiras e transportados para o local. No
interior da pirâmide há várias passagens e compartimentos. Cada face da pirâmide há várias
passagens e compartimentos. Cada face da pirâmide há várias passagens e compartimentos.
Cada face da pirâmide é um triângulo, e a base é um quadrado de cerca de 23m de lado. A
altura, 431 pés, é aproximadamente a de um edifício moderno de 50 andares.
Calcula-se que 100 mil trabalhadores precisaram mais de 20 anos para executar essa tarefa.
Havia habilidosos arquitetos, pedreiros, contabilistas, escribas, cortadores de pedras e pessoas
que faziam o pesadíssimo trabalho de arrastar as pedras até o alto de rampas íngremes. A
maioria dessas pessoas eram camponeses que trabalham durante os três meses do ano em que o
Rio Nilo alagava as planícies e tornava impossível o trabalho na agricultura. Que formidável
habilidade foi necessária para o planejamento, a organização e a construção de uma pirâmide!
As cinco maiores pirâmides foram construídas no período de um século. Mais tarde, os egípcios
construíram templos com colunatas, como fizeram os gregos alguns séculos depois.
Texto do livro: Jogos e atividades matemáticas do mundo inteiro. Claudia Zaslavsky
Figura 05 - As pirâmides do Egito
Fonte: http://www.google.com.br Acessado em 20.05.2012.
Você também pode construir sua pirâmide!
Material:
 Várias folhas de cartolina
 Lápis
 Régua
 Tesoura
 Fita adesiva
Figura 6
Base de 3
Polegadas
7,5 cm
Fonte: google imagens
Figura 7 – planificação de uma pirâmide
Fonte: google imagens
Figura 8 – Vértice de uma pirâmide
Fonte: google imagens
Para construir uma pirâmide como a da figura 8, comece com um modelo pequeno
seguindo as instruções abaixo:
1. Desenhe um quadrado de 7,5 cm como o da figura 6.
2. Encontre o meio de cada lado.
3. Trace uma linha perpendicular de 6,5cm em cada lado do quadrado
4. Desenhe os dois lados de cada triângulo e forme uma rede como na figura 7.
5. Recorte a rede.
6. Dobre a rede de modo que as pontas do triângulo encontrem-se no vértice (na ponta)
da pirâmide.
7. Cole os lados dos triângulos com fita adesiva e está pronta a sua pirâmide.
Depois feito um modelo pode-se partir para a construção de uma pirâmide maior
usando papelão ou isopor. Pode-se multiplicar as medidas por dois, três ou quatro,
dependendo do tamanho da pirâmide que se deseja construir. Talvez você tenha que recortar
cada triângulo separadamente e depois colar toda a estrutura.
Para pensar e fazer
Em sua opinião, por que os antigos egípcios construíram estruturas tão
impressionantes?
O professor junto com alunos podem pesquisar fotografias das pirâmides do Egito e
dos templos com colunas que eles construíram posteriormente, em especial o templo do Faraó
Ramsés II.
Figura 9- Templo do Faraó Ramsés II
Fonte: http://www.google.com.br Acessado em 20.05.2012.
Para saber mais sobre o assunto, leia Historia das civilizações-V. 01. Ed. Bertrand
Brasil.
Como desenvolver as atividades
As atividades podem se iniciar com uma fala do professor abordando os seguintes
temas:
1 .Mostrar no mapa-múndi a localização do Egito.
2 Falar sobre o Egito, seu povo, seus governantes e suas crenças.
3. Falar sobre as pirâmides, sua finalidade e sua construção.
4. Falar sobre os recursos necessários e sobre o processo de construção das pirâmides.
5. Falar sobre as formas geométricas visíveis nas pirâmides.
6. Propor a construção de modelos de pirâmides.
7. Explorar, buscar exemplos, construções modernas em forma de pirâmide.
8. Continuar explorando os conceitos geométricos relacionados.
Logo após o professor explica que as pirâmides de Queóps, Quéfren e Miquerinos são
as mais conhecidas. A explicação do porque pode ficar a cargo dos alunos. Eles também
podem buscar e comparar diferentes grafias para os nomes destas três pirâmides, questionar,
por exemplo, se existem grafias mais “corretas” que outras reforçando, assim, a ideia do
multiculturalismo.
Figura 10 – Pirâmides de Quéops, Quéfren e Miquerinos
Fonte: http://www.google.com.br Acessado em 20.05.2012.
Depois desse estudo da pirâmide enquanto objeto multicultural, histórico, decorativo,
etc., pode-se explorar a pirâmide enquanto figura geométrica.
O professor mostra a figura de uma pirâmide esquematizada, isto é, algo semelhante à
figura abaixo.
Figura 11 – Pirâmide
Fonte: http://www.google.com.br Acessado em 20.05.2012
Chama a atenção para os elementos constitutivos da pirâmide, ou seja, faces, base e
arestas. Pede que os alunos reproduzam em seu caderno o desenho pirâmide. Destaca o fato
de que as partes constitutivas da pirâmide são figuras geométricas conhecidas anteriormente:
quadrado, triângulos, segmentos de retas. Fala também sobre figuras geométricas planas e
figuras geométricas tridimensionais.
Por fim, vai se acercando ao conceito matemático de pirâmide como uma figura
geométrica que tem uma face inferior que chamamos de base e que pode ser um polígono
qualquer. As faces laterais são todas triangulares.
É conveniente refletir sobre os objetos a que demos o nome de pirâmide até aqui:
c) objetos da vida real, as pirâmides egípcias e;
d) objetos matemáticos, figuras geométricas formadas por base, face e arestas.
Observa-se que tanto as pirâmides da vida real como as figuras geométricas vistas até agora
têm base quadrada. Mas em matemática se chama também de pirâmide figuras geométricas
que tem faces laterais triangulares e base não necessariamente quadrada. Como seria então
uma pirâmide de base pentagonal? Como seria seu desenho? É possível encontrar ou construir
um modelo para tal pirâmide?
Abaixo, como sugestão, segue uma sequencia de perguntas que podem ser usadas
como tarefas para os alunos:
1. Faça um desenho em seu caderno, representando as imagens que o nome Egito lhe
traz.
2. Procure um mapa ou globo e veja a localização do Egito atual.
3. Procure respostas às perguntas: Como é o Egito nos dias de hoje? Que língua eles
falam? Qual a principal religião? De que vivem os egípcios? Quais os tipos físicos
predominantes? É muito ou pouco parecido com o Brasil? Você gostaria de viajar para
o Egito?
4. Existem hoje edifícios e ou monumentos que represente uma forma geométrica com as
pirâmides do Egito?
5. Utilizando um dicionário procure o significado de:
Íngremes
Colunata
Equilátero
Isósceles
Perpendicular
6. Faça o desenho de uma pirâmide de base hexagonal. Analise o desenho e responda:
d) Quantos vértices tem a pirâmide
e) Quantas faces?
f) Quantas arestas?
Terceiro tema: O ábaco russo
Talvez você tenha visto crianças brincando com um objeto que se parece com a Figura
12. Tem uma moldura retangular e vários arames que seguram fileiras de contas. Este objeto é
conhecido entre nós como ábaco russo. O que é um ábaco?
Podemos dizer que ábaco é o nome genérico dado a um instrumento que nos auxilie na
contagem de objetos ou mesmo na efetuação de operações aritméticas simples como adição e
subtração. Neste sentido, ábacos ou contadores mecânicos são milenares. Há registros de sua
existência muito antes da era cristã. Os ábacos mais antigos e rudimentares eram na verdade
pedrinhas ou contas usadas pare representar quantidades.
De qualquer modo, sendo a contagem uma atividade tão universal na humanidade, os
diversos povos inventaram ou adaptaram o seu próprio ábaco. Existe, portanto, uma
infinidade de ábacos ou variações destes. Esta característica do ábaco se adequa perfeitamente
ao nosso trabalho, pois, se de um lado, o ábaco incorpora uma necessidade universal no
homem, a necessidade de contar, por outro lado ele também incorpora a diversas
manifestações culturais que se apresentam na humanidade. Ele é um e muitos ao mesmo
tempo. É uma manifestação multicultural.
O ábaco russo é uma das variedades do ábaco. Na Rússia o ábaco evoluiu por um
caminho que o fez da forma que é: várias linhas, dez contas em cada linha, as duas contas do
meio de cada linha são de cores diferentes das demais. Dependendo de sua finalidade, se
indica as linhas que servirão para representar as casas decimais. Quando o ábaco é usado para
calcular com dinheiro, as casas decimais são duas.
Figura 12 – Modelo de um Ábaco russo
Fonte: arquivo pessoal
Para construir um ábaco russo será necessário o seguinte material:
1. 1 retângulo de cartolina dura com mais ou menos 21 x 27 cm. (Você pode usar uma
caixa de sapatos!).
2. Barbante grosso o suficiente para fazer várias fileiras e firmar nas pontas. Em torno
de 2m10cm.
3. Grampeador
4. Tesoura
5. Régua
6. 49 contas de cor clara e 12 contas de cor escura. (Você pode usar pedaços de
macarrão, colorindo se necessário com caneta ou pincel atômico. Também pode usar botões.)
Certifique-se de que você tem espaço suficiente para mover 10 contas ou em cada barbante.
Como desenvolvemos as atividades
Deve-se iniciar com a fala do professor para os alunos abordando os seguintes temas:
1. Mostrar no mapa-múndi a localização da Rússia.
2. Falar sobre a Rússia, seu povo, seus governantes.
3. Falar sobre o ábaco Russo, sua finalidade e sua construção.
4. Falar sobre os recursos necessários e sobre o processo de construção do ábaco russo.
5. Propor a construção do ábaco Russo.
Com o mapa-múndi o professor mostra sua localização, fala como vive este povo e
sobre seus governantes. Em seguida, mostra o ábaco russo explicando que também existem
outros tipos de ábacos. Faz uma sondagem sobre quem deles já conhecia algum tipo de ábaco,
e para que acha que serve. Irão surgir vários questionamentos.
Figura 13 – Mapa da Rússia
Fonte: http://www.google.com.br Acessado em 06.09.2012
Depois apresenta o ábaco enquanto objeto multicultural, histórico.
Logo após, explore ideia de unidade, dezena e centena, como conceito aritmético.
O professor mostra o ábaco russo explicando bem detalhado o que cada linha e contas
representam, e como pode utilizar o ábaco no nosso cotidiano. Propondo sua construção:
Figura 14 – Construindo o ábaco Russo
Fonte: arquivo pessoal
Como construir o ábaco russo
1. Corte o barbante 7 pedaços iguais, um pouco maior que o comprimento da cartolina.
2. Grampeie uma das extremidades de cada pedaço de corda na cartolina. Amarre a corda
no grampo.
3. Comece com a corda de cima. Coloque quatro contas claras, depois duas escuras,
então mais quatro claras. Grampeie a extremidade da corda na cartolina. Amarre a
extremidade do barbante no grampo.
4. Faça o mesmo que fez no passo 3 para cada corda, exceto para a da vírgula decimal
que tem só uma conta clara.
5. Pronto! O seu ábaco.
Como calcular com o ábaco russo
Diferente do ábaco do chinês o cálculo sempre começa da esquerda para direita, ou
pelo numero mais alto do seu calculo. Por exemplo, somar 345 com 620, primeiro colocará o
numero 345 no ábaco, adiciona 3 ao 6. Seque 9 = 10 – 1 remove-se 6 na varra das centenas
daí, adiciona 4 ao 2 nas contas das dezenas. Depois 5 ao 0 que fica na mesma posição pois o
zero não representa nem uma conta. O resultado esperado esta no ábaco: 965.
Seguindo sempre da esquerda para direita, o cálculo deve se iniciar sempre que
colocar o primeiro número a ser somado a parti da unidade ou do número maior representado.
Agora o professor separa em grupos para que um aluno veja o outro fazendo contas e
depois se inverte o procedimento.
Calculando com o Ábaco Russo
Diferente do ábaco do chinês o cálculo sempre começa da esquerda para direita, ou
pelo numero mais alto do seu calculo. Por exemplo, somar 345 com 620, primeiro colocará o
numero 345 no ábaco, adiciona 3 ao 6. Seque 9 = 10 – 1 remove-se 6 na varra das centenas
daí, adiciona 4 ao 2 nas contas das dezenas. Depois 5 ao 0 que fica na mesma posição pois o
zero não representa nem uma conta. O resultado esperado esta no ábaco: 965.
Seguindo sempre da esquerda para direita, o cálculo deve se iniciar sempre que
colocar o primeiro número a ser somado a parti da unidade ou do número maior representado.
Agora o professor separa em grupos para que um aluno veja o outro fazendo contas e
depois se inverte o procedimento.
Sugestões de trabalho com o ábaco
1 Representem no ábaco russo os seguintes números:
a)
25
b)
55
c)
73
d)
81
e)
102
f)
220
g)
341
h)
2012
i)
2124
j)
4013
2 Operação de adição usando o ábaco russo:
a)
7+2
b)
8+1
c)
12 + 7
d)
13 + 5
e)
5 + 11
f)
201 + 18
g)
102 + 15
h)
130 + 20
i)
205 + 12
j)
310 + 2
3 Ainda calculando operação com adição
a)
17 + 3
b)
125 + 18
c)
209 + 7
d)
119 + 48
e)
229 + 82
4 Operações de subtração usando ábaco russo
a)
15 4
b)
9 7
c)
23 12
d)
16 4
e)
10 8
f)
16 9
g)
23 17
h)
2220 150
i)
234 67
j)
25 14
5 Agora inventem utilizando seu ábaco e represente as operações com adição e
subtração. Escreva em seu caderno como se faz para somar e subtrair usando o
ábaco.
Quarto tema: o ábaco chinês
Construindo um ábaco chinês
Figura 15 – Suan Pan ou Ábaco chinês
Fonte: arquivo pessoal
O Ábaco Chinês, tal como aparece na figura acima, consiste em uma estrutura
retangular de madeira dividida longitudinalmente em duas partes iguais por uma vareta
horizontal. Pode possuir nove, onze, treze ou mais colunas de bolas móveis, feitas geralmente
de madeira. São sete bolas em cada coluna: duas em cima da vareta horizontal e cinco abaixo
dela. As bolas situadas na parte superior da vareta chamam-se hiperbolas; as da parte inferior,
hipobolas. Uma hiperbola equivale a cinco hipobolas.
Para construir um ábaco chinês você vai precisar do seguinte material:
 Use os mesmos materiais usados para o ábaco russo com estas diferenças:
 Mais ou menos 1,25 m = 125 cm de barbante
 Trinta e cinco contas
 Fita adesiva (opcional)
Como desenvolvemos as atividades
Deve-se iniciar com a fala do professor para os alunos abordando os seguintes temas:
1. Mostrar no mapa-múndi a localização da China.
2. Falar sobre seu povo, sua cultura.
3. Falar sobre o ábaco Chinês, sua finalidade e sua construção.
4. Falar sobre os recursos necessários e sobre o processo de construção do ábaco chinês.
5. Propor a construção do ábaco chinês.
6. Propor calcular com ábaco chinês.
Com o mapa-múndi o professor mostra sua localização, fala como vive este povo e
sobre sua cultura.
Figura 16 – Mapa da china
Fonte: http://www.google.com.br Acessado em 06.09.2012.
Em seguida, mostra o ábaco chinês explicando que também existem outros tipos de
ábacos. Faz uma sondagem sobre quem deles já conhecia algum tipo de ábaco, e para que
acha que serve. Irão surgir vários questionamentos.
Depois apresenta o ábaco enquanto objeto multicultural, histórico.
Logo após, explore ideia de unidade, dezena e centena, como conceito aritmético.
O professor mostra o ábaco chinês explicando bem detalhado o que cada linha e contas
representam, e como pode utilizar o ábaco no nosso cotidiano. Propondo sua construção:
Figura 17 – Construindo o Ábaco Chinês
Fonte: google imagens
Como construir o ábaco chinês
6. Corte o barbante em cinco pedaços, um pouco mais longo que a largura da
cartolina
7. Grampeie a extremidade de cada barbante na cartolina e amarre no grampo
8. Comece com o primeiro barbante. Prenda 2 contas nele e grampeie ou cole
com fita adesiva o barbante de forma que as contas possam ser movidas. O
grampo ou a fita serve como uma barra de divisão.
9. Prenda 5 contas no barbante grampeie a extremidade na cartolina e amarre
10. Repita os passos 3 e 4 com as contas e pedaços de barbante que sobraram.
Pronto, seu ábaco chinês está pronto.
Sugestões de atividades com o Ábaco Chinês
1. Utilize seu ábaco chinês para expressar os números
a)
3
b)
6
c)
8
d)
12
e)
15
f)
25
g)
53
h)
155
i)
157
j)
454
k)
455
l)
45
2. Utilize seu ábaco chinês para efetuar as operações
a)
45 + 34
b)
124 + 23
c)
42 – 14
d)
134 – 45
3. Compare o uso do ábaco chinês com o Ábaco Russo.
CONCLUSÃO
Neste trabalho buscamos integrar o multiculturalismo a diversas atividades
matemáticas de sala de aula no ensino fundamental. Com a manipulação de objetos concretos
a realidade destes alunos, adaptado atividades matemática, através do livro Jogos e atividades
do mundo inteiro e mais jogos de matemática do mundo inteiro de Claúdia Zaslavsky,
encontramos conceitos que possa ser utilizados na educação fundamental. Esta é uma
preocupação plausível para o desenvolvimento deste caderno de atividade.
Por tanto, unindo-se destas novas inovações adaptamos atividades onde a matemática
pode ser bem trabalhada pelos professores em sala de aula utilizando o conceito para
formulação de métodos, condições e fundamentos. Com isso, os educadores utilizam a
conceitos geométricos e aritméticos ao mesmo tempo constrói uma visão multicultural com as
crianças, certo de que poderemos contribuir para o professor de matemática.
Este caderno de atividades estar voltados para educação em sala de aula é quer tentar
contribuir no desenvolvimento da auto estima melhorando as dificuldades de aprendizados
sugerindo métodos em prol de melhores condições de ensino. O professor como mediador de
conhecimento pode utilizar de várias formas na organização neste processo. No entanto
podemos verificar que a dificuldade do ensino da matemática estar voltado para métodos
capazes de melhorar a dinâmica de conteúdos e sua utilização, com isto previamente podemos
dizer que estas novas tendências juntos com jogos matemáticos possam dinamizar este
processo.
Contudo, buscamos apenas melhores condições de ensino dando suporte para que estes
procedimentos se deparem com várias formas de conhecimento e desenvolvimento analisada
de maneira correta traduzindo em uma nova solução para o ensino e aprendizado.
REFERÊNCIAS
D’AMBROSIO, U. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. Belo
horizonte: Autênticas, 2001 – Coleção Tendências em educação matemática.
BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental, Parâmetros Curriculares Nacionais:
terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental. Introdução aos PCN. Brasília: MEC/SEF,
1997.
Zaslavsky, C. Jogos e atividades do mundo inteiro- diversão multicultural para idades de
8 a 12 ano. (Traduzido por Pedro Theobald) . Porto alegre: Artmed, 2000.
__________.Mais Jogos e atividades do mundo inteiro- diversão multicultural a partir
de 9 anos. (Traduzido por Adriano Moraes Migliavaca ). Porto alegre: Artmed, 2009.
Powell, Arthur B.(org) .Ethnomathematics: challengig eurocentrism in mathematics
education. Ed. 1997.