SE NÃO TIVESSEMOS DEZ DEDOS NAS MÃOS
Nilton Cezar Ferreira
Os olhos não eram verdes, possivelmente cor de mel. Não sou muito bom para
classificar os olhos pela cor. Sempre pensei nos olhos como pretos, castanhos, verdes
ou azuis. É possível que eu já tenha visto olhos assim, mas esses eram diferentes,
pareciam refletir o som da minha voz e eu podia medir a minha entonação pela
expressão deles, o que me dava certa segurança, pois era como se, através deles, eu
pudesse avaliar a todo tempo, a aceitação da minha fala e com isso explanar com mais
clareza e motivação.
Depois dos agradecimentos pertinentes, comecei a narrar sem o mínimo
propósito de fidelidade, o preâmbulo do livro “A universidade do Sucesso”. Sempre
que possível eu acrescentava um comentário irônico acompanhado de um sorriso.
Existia um homem, vou chamá-lo de X. X era um homem bem sucedido, tinha um ótimo
trabalho, uma ótima família. X não precisava de mais nada, X era muito feliz. Certo dia X
precisou fazer uma viagem de avião, a negócios e seu avião chocou-se contra uma montanha e
X foi atirado para dentro de uma caverna – com uma voz triste e cheia de lamentações
murmurei – exceto X, todos os demais integrantes do vôo morreram. Ali estava X, dentro de
uma caverna. Ele não sentia frio, fome, dores ou qualquer sensação desagradável, pelo
contrário, ele estava confortável e poderia ficar ali até morrer sem nenhum sofrimento. Mas,
quanto tentou se mover sentiu dores horríveis que o fez desmaiar. Cerca de trinta minutos
depois recobrou a consciência e continuou ali, muito confortável, exceto quando tentava se
mover, o que lhe proporcionava dores horríveis. X se encontrava num dilema, ele poderia ficar
ali esperando ser encontrado por alguém, com chances muito remotas, ou morrer
confortavelmente, ou então podia tentar se arrastar para fora da caverna e aumentar suas
chances de ser encontrado. A última opção era recheada de muita dor, muito sofrimento e,
além disso, ninguém lhe dava garantia nenhuma de que todos os seus esforços e sofrimentos
seriam recompensados. Ele poderia se arrastar impregnado pela dor e mesmo assim não ser
encontrado e salvo, ou até mesmo ser devorado por um animal selvagem. O que X devia fazer?
– Depois de uma pausa, continuei:
O autor afirma que na nossa vida enfrentamos o mesmo dilema. Podemos ficar num
marasmo, dentro da nossa caverna, esperando a vida passar, ou podemos tomar uma atitude e
tentar nos arrastar para fora da caverna. Lembre-se, a segunda opção pode ser muito dolorosa
e não há garantias de que seus esforços serão recompensados.
A expressão dos olhos me incentivou a prosseguir, então continuei a narração.
– Na época, incentivado por essa leitura, tomei a decisão me arrastar para fora da
caverna. Tracei objetivos e decidi aproveitar ao máximo o meu tempo. Como eu era ainda um
jovem estudante, meus objetivos foram traçados com base nos meus estudos. Desenhei uma
enorme Tabela Periódica e fixei-a sobre o teto acima da minha cama, para poder obter
conhecimentos de química mesmo quando eu estivesse deitado. Aproveitava todo tempo,
inclusive quando ficava esperando ônibus para ir ao trabalho ou a escola. Ao invés de ficar
criticando os políticos ou empresários do transporte pela demora do transporte coletivo, eu
aproveitava esse tempo para ler livros indicados ao vestibular e decorar fórmulas de
trigonometria. Senti-me outra pessoa. Porém, essas mudanças duraram pouco mais de uma
semana e novamente me vi caído no marasmo. Alguns dias depois retomei a minha antiga
atitude e prometi a mim mesmo que dessa vez era pra valer. Mas não consegui cumprir minha
promessa, e em menos de um mês lá estava eu de novo caído na estagnação. Continuei nessa
oscilação, tomava a decisão de mudança que duravam dias, semanas ou até alguns meses,
mas logo estava parado de novo, e isso me deixava frustrado. Esses desapontamentos
continuaram até eu perceber que isso era natural do ser humano, quando somos tomados pelo
cansaço, desânimo e outras situações nos enfraquecemos, então devemos descansar e
recomeçar. Na verdade a caverna é enorme e cada retomada nos leva para mais perto da
saída, devemos descansar quando já não podemos mais nos arrastar, e continuar assim que
nossas forças se renovarem. Até hoje ainda me arrasto para fora caverna, sempre descansando
quando necessário, e retomo ainda a minha lida com a promessa que dessa vez será diferente.
Caminhei até o público, observando a expressão de cada rosto, voltei a falar de X, só
que dessa vez deixei de lado a história do livro e tomei as rédeas.
– X viu uma imagem no interior da caverna onde havia algumas inscrições que
pareciam indicar uma data, porém os números não faziam sentidos. A escrita apresentada era
41/20/1502. Os números 41 e 20 da forma que se apresentavam não faziam sentido para
indicar uma data, foi aí que X se perguntou, mas afinal de contas o que é número? Depois de
lembrar-se das palavras de um antigo professor de matemática ele concluiu: número não é o
que se escreve, e sim a idéia de grandeza que ele representa. Por exemplo, escrevemos o
número cinco em algarismo romano por V e em algarismo arábico por 5, sem contar que
podemos escrevê-lo por extenso e até expressá-lo de outras formas. Porém, não importa a
forma que você o escreve, sempre representará a mesma idéia de grandeza, no caso, a
grandeza que entendemos por cinco. Assim, a escrita na parede da caverna poderia
representar mesmo uma data, desde que as grafias 41 e 20 representassem outros números,
isto é, outras idéias de grandezas diferentes das que entendemos por quarenta e um e vinte.
A partir desse momento, X se viu mergulhado em pensamentos, lembrando do que
havia aprendido sobre números, matemática, história e outros. Em geral a mente comanda e
não conseguimos controlar os nossos pensamentos, nem mesmo a situação em que se
encontrava deixou a mente de X fugir desse mundo fascinante.
***
Há muitas lendas sobre o princípio de contagem. Sabe-se que o homem primitivo não
tinha necessidade de contar, a necessidade surgiu quando o homem começou a cultivar,
construir casas, criar animais e etc. A lenda dos carneiros mostra uma idéia de como o homem
começou o princípio de contagem.
Na época em que não havia nenhum método de contagem, existia um criador de
ovelhas que durante o dia as soltavam para pastar e a noite recolhia-as em um redil para
poder protegê-la de lobos e outros predadores. Como era um número muito grande, na hora de
recolhê-las ele nunca tinha certeza se estava faltando alguma. Por esse motivo ele desenvolveu
um método para resolver o problema. Ele passou a associar cada ovelha a uma pedra e assim,
cada pedra colocada num cesto correspondia a uma ovelha recolhida, se ficasse alguma pedra
fora do cesto faltava a recolhida.
Assim, surgiu o princípio de contagem, ou seja, contar é nada mais que, fazer uma
correspondência dos elementos que se deseja contar com a seqüência de números naturais (0,
1, 2, ...).
Quando a quantidade é muito pequena não há necessidade de contagem, isso
acontece devido à percepção que nós e alguns animais possuímos. Isso pode ser entendido
através da lenda do corvo.
Um corvo fazia suas refeições no celeiro de uma fazenda. O fazendeiro irritado decidiu
colocar um fim na farra da folgada ave. Ele pegou sua espingarda, entrou no celeiro e ficou a
espreita, porém o corvo que morava no alto de uma árvore viu-o entrar no celeiro, e temendo o
pior decidiu adiar o almoço. O fazendeiro tentando enganar o pássaro arrumou um amigo que
entrou com ele no celeiro, o amigo saiu e ele ficou lá esperando a ave. Porém a ave que possui
uma percepção de contagem percebeu que o número de pessoas que entrara era diferente do
que saíra e preferiu degustar em outro lugar. O fazendeiro insistente chamou mais uma
pessoa, entrando dessa vez três saindo dois, ainda assim o corvo percebeu. O fazendeiro
continuou insistindo aumentando o número de pessoas que entravam e saiam do celeiro,
deixando apenas ele à espreita. A percepção do corvo durou até quatro, porém quando
entraram cinco pessoas e saíram quatro, o corvo já não conseguiu identificar a quantidade
apenas pela percepção. A partir dessa quantidade ele precisava de um princípio de contagem,
como não o possuía, o pobre animal pereceu.
E nós, a partir de qual quantidade necessitamos contar?
Sem princípio de contagem, verifique quantas bolas que têm em cada situação:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
O ser humano, em geral possui uma percepção de contagem parecida com a do corvo,
conseguimos distinguir quantidade até quatro ou cinco, a partir daí só conseguimos identificar
quantidade adotando um princípio de contagem.
A percepção humana vai muito além da percepção de contagem, outro exemplo
interessante é a percepção visual.
Você é bom em cores?
As cores dos quadrados “A” e “B”, na figura abaixo, são iguais?
Não?
Melhor olhar de novo...
Convencido?? Não, ninguém mudou as cores dos quadrados enquanto eles eram
isolados. Você apenas acabou de testemunhar um fato importante do funcionamento do nosso
cérebro. Ele se esforça ao máximo para
p
enxergar os quadrados como eless deveriam ser,
ser isto é,
de cores diferentes pelo fato de serem adjacentes. Isso é importantíssimo, isso nos confere
maior precisão visual para podermos perceber mais detalhes nas coisas que nos
no rodeiam.
Portanto, O importante não é como o mundo é e sim como você o vê.
***
Um pouco de História
As primeiras representações numéricas foram criadas pelos babilônios e os egípcios a
cerca de 3500 ac. Porém conceitos mais formais e demonstrações matemáticas só surgiram a
aproximadamente 600 ac. com Tales de Mileto, seguido por Pitágoras, Euclides, Arquimedes e
outros.
Todas as coisas são números. Pitágoras acreditava que todas as coisas eram números.
Não o símbolo que o representa, mas a grandeza que ele exprime. Não existem provas
irrefutáveis sobre a vida e os trabalhos de Pitágoras. Tudo que se tem são baseados em contos
e mitos. Pitágoras nasceu em Samos, uma ilha grega, por volta de 572 a.C. e morreu 497 a.C.
aproximadamente. Pelo que tudo indica, seus conhecimentos matemáticos foram adquiridos
no Egito e Babilônia. Há quem afirma que ele aprendeu matemática com Tales e seus
discípulos. Depois de 20 anos de viagem ele adquiriu todo conhecimento matemático de que se
tinha notícia e então retornou a Samos com propósito de criar uma escola, ou seja, um centro
de estudos e discussões. Seus planos não deram certos porque quando voltou, a ilha era
governada pelo tirano Polícrates que não concordou com suas idéias. O máximo que conseguiu
foi um aluno que ele precisava pagar para assistir suas aulas. O jovem tomou gosto pela
matemática e acabou seguindo Pitágoras quando ele fugiu da ilha por perseguições políticas.
Por sorte foram parar em Crotona no sul da Itália que pertencia a Magna Grécia e que
atualmente é chamada de Crotone. Pitágoras tornou-se amigo de Milo um dos homens mais
ricos da cidade e bastante conhecido por seus grandes desempenhos em várias Olimpíadas.
Milo ajudou Pitágoras a fundar a famosa escola pitagórica. Na verdade era mais que uma
escola, não tinha alunos e sim seguidores. Para fazer parte dessa escola à pessoa deveria ter
uma mente considerada superior, doar todos os seus bens a escola e fazer um juramento de
que todo conhecimento adquirido nela não seria divulgado fora dela. Se algum dia a pessoa
resolvesse ir embora, ele receberia o dobro do que tinha doado e seu nome era colocado em
uma lápide.
Certa vez, Ciro, um homem influente da cidade tentou entrar para a escola pitagórica,
mas não foi aceito por não ser considerado de mente superior e muitos anos depois ele vingouse instigando o povo contra a escola. Em 510 ac. houve uma revolução na cidade de Síbares,
próxima de Crotona. Telis, o líder da revolução exigia que Crotona extraditasse os refugiados
políticos que fugiram para Crotona durante a revolução. A recusa ao pedido de Telis gerou uma
guerra entre as duas cidades que perdurou por sessenta dias. Apesar de Telis ter o triplo do
número de soldados, a estratégia desenvolvida por Milo e outros líderes na defesa de Crotona
acabou prevalecendo, graças à adesão de toda a população. Foi então que Ciro instigou a
população contra a escola pitagórica dizendo ao povo que todos dos espólios da guerra iriam
ser confiscados pela escola. Com os boatos o povo indignado e liderado por Ciro trancou a
escola com seus membros dentro, inclusive Pitágoras, e ateou fogo, pondo fim a uma das
escolas mais brilhantes da história. Felizmente alguns integrantes conseguiram fugir e graças a
eles, hoje conhecemos algumas de suas descobertas, como o famoso Teorema de Pitágoras.
Pitágoras, além do famoso Teorema com seu nome, ele desenvolveu muitas outras
teorias (quando falamos em Pitágoras, estamos nos referindo à escola pitagórica, pois todos os
créditos dentro da escola são dados a ele já que nada havia publicação individual).
De acordo com Pitágoras a perfeição dos números dependia da soma de seus divisores
próprios (todos seus divisores exceto ele próprio). Um número era considerado:
Excessivo se a soma dos seus divisores próprios o excedia
Deficiente se a somas de seus divisores próprios é inferior ao próprio número
Perfeito: se a soma de seus divisores próprios coincidisse com o próprio número.
•
•
•
12 é um exemplo de um número excessivo, de fato seus divisores próprios são: 1, 2, 3,
4 e 6, cuja soma vale 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12 .
10 é Deficiente. Seus divisores próprios são: 1 e 5 e 1 + 5 = 6 < 10
6, 28, 496, 8128 e 33.550.336 são os cinco primeiros números perfeitos existentes.
Número
6
28
496
8128
Soma dos Divisores Próprios
1+2+3
1 + 2 + 4 + 7 + 14
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064
=
=
=
=
6
28
496
8128
Ainda sobre números perfeitos, Pitágoras descobriu que:
6 =
28 =
496 =
8.128 =
p=
1+2+3
1+2+3+4+5+6+7
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ... + 30 + 31
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 +...+ 126 + 127
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n (sendo p um número perfeito e n algum natural)
Além disso, ele classificou os números como levemente imperfeitos:
“São números cuja soma de seus divisores próprio difere do próprio número por apena uma
unidade”.
As potências de 2 são exemplos de números levemente imperfeitos:
22 = 4,
23 = 8,
24 = 16,
25 = 32,
divisores:
divisores:
divisores:
divisores:
1 e 2.
1, 2 e 4.
1, 2, 4, 8.
1, 2, 4, 8, 16.
Soma:
Soma:
Soma
Soma:
1+2=3
1+2+4=7
1+ 2 + 4 + 8 = 15
1+2+ 4+8+16 =31
(4 – 1)
(8 – 1)
(16 – 1)
(32 – 1)
Pergunta:
“Existe algum número cuja soma de seus divisores
divisores próprios excede o próprio número por
apenas uma unidade?”
Fique famoso! Descubra um número assim ou prove que não existe.
Euclides viveu possivelmente de 360 a 295 anos antes da era cristã. Viveu na época do
reinado de Ptolomeu I, era ativo em Alexandria,
Alexandria, professor e escritor, responsável por escrever
“Os elementos” livros onde é baseada toda geometria atual. Não há menção sobre as
primeiras cópias de Os elementos,
elementos, o texto considerado primário é guardado pelo vaticano e
nele não é mencionado nenhum
nenhum autor, a única menção sobre Euclides é em comentários de um
escritor antigo chamado Proclo que atribui a autoria a Euclides.
***
O sistema de numeração atual começou no norte da Índia por volta do século V, da
seguinte forma:
Por que temos exatamente
exatamen dez algarismos?
“A
A enumeração assim efetuada sem uma só palavra prova, consequentemente,
conseq
que
foram mesmo os dez dedos que impuseram ao homem a idéia de grupos por feixes de dez. É
por essa razão que a base dez ocupa nas nossas numerações um lugar de certo
ce
modo
inexpugnável.”
(Ifrah, Georges. Os números: história de uma grande invenção; pág. 59.)
“E como todo mundo começou a contar com seus dez dedos, a maioria dos sistemas de
numeração que existem atualmente são de base dez. Houve, contudo, alguns excêntricos que
escolheram a base doze. Os maias, astecas, celtas e bastos deram-se conta de que, dobrandose um pouco mais podia se contar também com seus artelhos e adotaram então a base vinte”.
(Ifrah, Georges. História universal dos algarismos, volume I).
Como temos dez dedos nas mãos usamos um sistema de base 10. Um número em base
dez é representado pela combinação dos algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Assim, cada
número de 0 a 9 é representado por um único algarismo, de 10 a 99 por dois, e assim por
diante. As tabelas a seguir mostram esses fatos:
0a9
(um símbolo)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 a 99
(dois símbolos)
10
11
12
13
14
15
...
97
98
99
100 a 999
(três símbolos)
100
101
102
103
104
105
...
997
998
999
Assim, segundo Ifram, se tivéssemos apenas Nove dedos nas mãos, a nossa base de
numeração seria 9 e todo número seria representado pela combinação de 9 símbolos: 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8. Conseqüentemente, cada número de zero a oito seria representado por um
algarismo, o nove por 10, o dez por 11, até 80 que seria o último número a ser representado
por dois algarismos e sua representação deveria ser 88. Os números de 81 a 728 seriam
representados, respectivamente por 100, 101,..., 888. As tabelas a seguir ilustram isso:
0a8
(um símbolo)
0
1
2
3
4
5
9 a 80
(dois símbolos)
10
11
12
13
14
15
81 a 728
(três símbolos)
100
101
102
103
104
105
6
7
8
...
87
88
...
887
888
E isso aconteceria também se tivéssemos, oito dedos, sete, seis, ..., dois. A tabela a
seguir mostra como seriam a representação dos números de zero a onze para cada um desses
casos. A primeira linha indica a quantidade de dedos que teríamos e nas mãos e nas outras
linhas temos a representação dos números de 0 a 11:
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
10
11
12
8
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
7
0
1
2
3
4
5
6
10
11
12
13
14
6
0
1
2
3
4
5
10
11
12
13
14
15
5
0
1
2
3
4
10
11
12
13
14
100
101
4
0
1
2
3
10
11
12
13
100
101
110
111
3
0
1
2
10
11
12
100
101
110
111
1000
1001
2
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
Para bases maiores que dez, são necessários mais que 10 algarismos. É comum
utilizarmos as letras do nosso alfabeto para representá-los: A, B, C, etc.
A base 16 é conhecida como hexadecimal. Os números de zero a quinze necessitam de
apenas um símbolo para representá-lo. Assim, a base 16 é composta por:
0, 1, ... , 9, A, B, C, D, E, F.
Exemplo: 7891 é escrito em base 16 como: 1ED3
A tabela a seguir mostra a representação dos números de zero a quinze, em base
maiores que dez:
10
0
1
2
...
8
9
11
0
1
2
...
8
9
12
0
1
2
...
8
9
13
0
1
2
...
8
9
14
0
1
2
...
8
9
15
0
1
2
...
8
9
16
0
1
2
...
8
9
10
11
12
13
14
15
A
10
11
12
13
14
A
B
10
11
12
13
A
B
C
10
11
12
A
B
C
D
10
11
A
B
C
D
E
10
A
B
C
D
E
F
Mudança de Base
Seja b > 1 um número inteiro e considere d0, d1, ..., dn ∈ {0, 1, ... , b – 1}. O número
(dndn-1...d0)b é a representação, em base b, do número decimal dn×bn + …+ d1×b1 + d0×b0 .
Exemplo1:
(20101)3 = 2×34 + 0×33 + 1×32 + 0×31 + 1×30 = 172
Exemplo 2:
Para transformar 17 para a base 3, consideremos 17 ≡ (dndn-1...d0 )3 , com di ∈{0, 1, 2},
ou seja, 17 = dn×3n +dn-1 ×3n-1 + … + d1 ×31 + d0 ×30 .
Pelo algoritmo da divisão 17 = 3 × 5 + 2. Substituindo esse valor na expressão e
colocando 3 em evidência no segundo membro temos 3 × 5 + 2 = 3 × (dn× 3n-1 +dn-1 × 3n-2 + … +
d1) + d0 . Logo, d0 = 2 e dn× 3n-1 +dn-1 × 3n-2 + … + d1 = 5. (Observe que d0 é o resto da divisão
de 17 por 2).
Repetindo o processo, d1 será o resto da divisão de 5 por 3 e o quociente é usado para
o cálculo de d2.
Conclusão: A mudança de um número de base 10 para base b é uma aplicação imediata do
algoritmo da divisão. Os algarismos da nova base são obtidos pelos restos das divisões
sucessivas, por b, do número e dos seus quocientes obtidos em cada divisão.
Um problema
Um menino enterrou na praia 14 bolinha e anotou a quantidade em uma placa,
deixando-a sobre o local. Um extraterrestre viu, foi até lá e riscou o número 14 e escrevendo no
local os símbolos ۩۩, sabendo-se que o ET tem dois braços e duas mãos com mesma
quantidade de dedos em cada uma e seu sistema de numeração foi obtido da mesma forma
que o nosso, quantos dedos ele tem nas mãos?
Solução:
O número 14 é representado pelo ET por
do ET é b, podemos escrever:
14 =
×b1 +
×b0 = (b + 1) ⇒ 2 × 7 =
. Considerando
o que a base de numeração
× (b + 1). Como b é par, temos b + 1 ímpar.
Daí,
× (b + 1) = 2 × 7 , b + 1 ímpar e
< b. Logo,
= 2 e b + 1 = 7 ⇒ b = 6.
Portanto, o ET tem
t 6 dedos nas mãos, 3 em cada mão.
Bases maiores X Bases menores
Observe que o número 15 em base 2 é representado por 11112. Assim podemos ver que
um número em base 2 requer mais algarismos para ser representado do que um número em
base 10. Ou seja, quanto
anto menor a base menos algarismos
algarismo disponíveis para representá-los
representá
e isso
requer um número maior de algarismos. Em contrapartida,
contr
uma tomada de decisão é mais
rápida para bases menores. No caso dos números de dois algarismos na base dez temos, em
base 2, duas possibilidades para cada preenchimento (0 ou 1) com 4 campos para preencher,
dando um total de 16 possibilidades. Em base 10, dois campos com dez possibilidades para
cada campo (0, 1, 2, ..., 9),, com total de 100 possibilidades.
Voltando a X
X tomou
omou uma decisão... Arrastou-se para fora da caverna, foi encontrado por uma tribo
indígena que cuidou deles até que ele pudesse voltar para sua família.
Hoje X está aposentado e passa o tempo estudando matemática. Seu contato é:
[email protected]
Bibliografia e Sugestões de Leituras
Um jovem saiu de casa aos
ao 23 anos em busca da verdade... A princípio decidiu duvidar
de tudo, inclusive da própria existência. – Eu existo ou apenas penso que existo? Se penso logo
existo. Depois de muitos questionamentos
questiona
acabou descobrindo o segredo da felicidade.
felicidade Não
existe felicidade plena, o que existe são momentos felizes
es e esses momentos acontecem
quando conseguimos algo que almejamos.
almejamos Então para você ser feliz basta desejar o que já está
ao seu alcance. Se conseguir
seguir condicionar sua mente assim,, você sempre será feliz. Isso mostra
que felicidade está dentro de você, na sua forma de pensar e não nas coisas externas ou nos
outros. É por isso que os sábios são felizes com tão pouco. Esse jovem descobriu muitas outras
coisas e criou uma nova Teoria.
Mas, isso é outra história...
***
Uma coisa sempre me chamou a atenção, o comportamento do ser humano de
acordo com cada situação. Algumas atitudes são bem contraditórias, por exemplo, os
palhaços de circo, no palco são muito alegres e brincalhões, mas fora deles são em
geral, completamente taciturnos. Algumas pessoas dizem que excesso
xcesso de alegria é
uma forma inconsciente de se esconder a tristeza. Um professor, por mais tímido que
seja, quando entra em cena também se transforma, a expressão no olhar de cada
expectador é uma inspiração. Não é necessário que seja exatamente aqueles olhos,
não precisam ser cor de mel, nem mesmo refletir o som de cada palavra, não é
importante que pulse ou se manifeste em aprovação ou desaprovação, ... apenas
brilhe.