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Unidade VII – Conservação da Energia no Movimento Geral
FIS121 – Fı́sica Geral e Experimental I - E - Turma: T09
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1. Na Figura 1, um carro de montanha-russa de massa m chega sem atrito ao alto da primeira
elevação com velocidade v0 . Quanto trabalho a força gravitacional realiza sobre ele desse
ponto até
Figura 1: Problema 1
(a) o ponto A,
(b) o ponto B,
(c) o ponto C?
(d) Se a energia potencial gravitacional do sistema carro-Terra for tomada como nula no
ponto C, qual será o seu valor quando o carro estiver no ponto B e
(e) no ponto A?
(f) Se a massa m fosse duplicada, a variação de energia pontencial gravitacional do sistema
entre os pontos A e B aumentaria ou permaneceria a mesma? Justifique as suas
respostas.
2. A Figura 2 mostra uma bola de massa m presa à extremidade de uma haste fina de comprimento L e massa desprezı́vel. A outra extremidade da haste é pivotada de modo que a
bola possa se mover em um cı́rculo vertical. A haste é mantida na posição horizontal como
mostrado e depois recebe um empurrão para baixo suficiente para fazer com que a bola gire
para baixo e continue a girar no sentido trigonométrico até alcançar exatamente a posição
vertical para cima, ali chegando com velocidade nula.
(a) Qual o trabalho realizado sobre a bola pela força gravitacional do ponto inicial até o
ponto mais baixo,
(b) até o ponto mais alto e
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Figura 2: Problema 2
(c) até o ponto na direita no qual a bola possui o mesmo nı́vel do ponto inicial?
(d) Se tormarmos a energia potencial gravitacional do sistema bola-Terra como nula no
ponto inicial, qual será o seu valor qando a bola atingir o ponto mais baixo,
(e) o ponto mais alto e
(f) o ponto no lado direito em que a bola está no memso nı́vel do ponto inicial?
(g) Suponha que a haste fosse empurrada com mais força de modo que a bola passasse
pelo ponto mais alto com velocidade diferente de zero. A variação da energia potencial
gravitacional do ponto mais baixo para o ponto mais alto seria então maior, menor ou
a mesma?
3. Na Figura 3, um pequeno bloco de massa m pode deslizar ao longo de um loop sem atrito.
O bloco é solto do repouso no ponto P , a uma altura h = 5R acima da parte mais baixa do
loop.
Figura 3: Problema 3
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(a) Quanto trabalho a força gravitacional realiza sobre o bloco enquanto o bloco desloca-se
do ponto P até o ponto Q e
(b) até a parte mais alta do loop?
(c) Se a energia potencial gravitacional do sistema bloco-Terra for tomada como nula na
parte mais baixa do loop, qual será a energia potencial quando o bloco estiver no ponto
P,
(d) no ponto Q e
(e) no ponto mais alto do loop?
(f) Se, em vez de ser solto do repouso, o bloco receber alguma velocidade inicial para baixo
ao longo da pista as respostas para os itens de (a) até (e) aumentam, diminuem ou
permanecem as mesmas?
4. A Figura 4 mostra uma haste fina, de comprimento L e massa desprezı́vel, que pode girar
em torno de uma extremidade. Uma bola de massa m bem mais pesada que a haste é
presa à outra extremidade e desloca-se descrevendo um cı́rculo vertical. A haste é deslocada
lateralmente de um ângulo θ0 e depois é solta (v0 = 0).
Figura 4: Problemas 4, 5 e 7
(a) Enquanto a bola desce até o seu ponto mais baixo, quanto trabalho a força gravitacional
realiza sobre ela e
(b) qual a variação de energia potencial gravitacional do ssitema bola-Terra?
(c) Se a energia potencial gravitacional for tomada como nula no ponto mais baixo, qual
será o seu valor assim que a bola for largada?
(d) Os módulos das respostas para os itens (a) até (c) aumentam, diminuem ou permanecem
os mesmos se aumentarmos o ângulo θ0 ?
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5. (a) No Problema 4, qual a velocidade da bola no ponto mais baixo se L = 2, 00 m, θ0 = 30◦
e m = 50 kg?
(b) A velocidade aumentará, diminuirá ou permanecerá a mesma se aumentarmos a massa?
6. Uma bola de gude de 5,0 g é disparada para cima na vertical usando-se um revólver de mola.
A mola deve ser comprimida de 8,0 cm para que a bola de gude chega a atingir um alvo 20 m
acima da posição da bola de gude com a mola comprimida.
(a) Qual a variação de ∆Ug da energia potencial gravitacional dos sistema bola de gudeTerra nos 20 m da subida?
(b) Qual a variação ∆Uelástica da energia potencial elástica da mola durante o lançamento
da bola de gude?
(c) Qual a constante de rigidez da mola?
7. A Figura 4 mostra um pêndulo de comprimento L. A massa presa na extremidade da corda
(que concentra praticamente toda a massa do pêndulo) possui velocidade v0 quando o fio faz
um ângulo θ0 com a vertical.
(a) Deduza uma expressão para a velocidade da massa na extremidade do pêndulo quando
ele estiver em sua posição mais baixa.
(b) Qual o valor mı́nimo que v0 pode ter para que o pêndulo oscile para baixo e depois para
cima até uma posição horizontal e
(c) até uma posição vertical, com o fio permanecendo reto? As respostas para (a) e (b) aumentarão, diminuirão ou permanecerão as mesmas se aumentarmos θ0 de alguns graus?
8. Um bloco de 2,00 kg é posicionado contra uma mola sobre um plano inclinado de 30◦ sem
atrito (Figura 5). O bloco não está preso à mola. A mola, cuja constante de mola é igual a
19,6 N/cm, é comprimida 20,0 cm e depois solta.
Figura 5: Problema 8
(a) Qual a energia potencial elástica da mola comprimida?
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(b) Qual a variação da energia potencial gravitacional do sistema bloco-Terra quando o
bloco move-se do ponto de onde foi solto até seu ponto mais alto no plano inclinado?
(c) Qual a distância, ao longo do plano inclinado, do ponto mais alto que o bloco atinge
até o ponto de onde ele foi solto?
9. Na Figura 6 solta-se um bloco de 12 kg a partir do repouso em uma rampa de 30◦ sem atrito.
Abaixo do bloco está uma mola que pode ser comprimida 2,0 cm por um força de 270 N. O
bloco para por um instante ao comprimir 5,5 cm da mola.
Figura 6: Problema 9
(a) Que distância o bloco percorre ao descer a rampa da sua posição de repouso até este
ponto de parada?
(b) Qual a velocidade do bloco no exato momento em que ele toca a mola?
10. O fio da Figura 7, de comprimento L = 120 cm, aprsenta uma bola presa a uma de suas
extremidades e está fixado na outra extremidade. A distância d até o pino fixo no ponto P
Figura 7: Problemas 10 e 14
é de 75,0 cm. Quando a bola inicialmente em repouso é solta com o fio horizontal, como
mostrado, ela irá oscilar ao longo do arco tracejado.
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(a) Qual a sua velocidade ao alcançar o seu ponto mais baixo e
(b) o seu ponto mais alto depois de o fio tocar o pino e passar a oscilar ao redor dele?
11. Um bloco de 2,0 kg é solto de uma altura de 40 cm sobre uma mola, cuja constante de mola
k é igual a 1960 N/m (Figura 11). Encontre a distância máxima que a mola foi comprimida.
Figura 8: Problema 11
12. Tarzan, que pesa 688 N, salta de um penhasco balançando-se na extremidade de um cipó de
18 m de comprimento (Figura 9). Ele desce 3,2 m do alto do penhasco até o ponto em que
ele larga o cipó. O cipó irá romper-se se a força que atua sobre ele exceder 950 N.
Figura 9: Problema 12
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(a) O cipó chega a romper-se?
(b) Caso não se rompa, qual a maior força que atua sobre ele durante o balanço?
13. Duas crianças estão disputando um jogo no qual tentam atingir uma pequena caixa no chão
com uma bola de gude disparada de um revólver de mola que está colocado em cima de
uma mesa. A caixa-alvo está a uma distância da beirada da mesa de 2,20 m medidos na
horizontalmente: veja a Figura 10. Uma das crianças comprime 1,10 cm da mola, mas o
centro da bola de gude cai a 27,0 cm antes do centro da caixa. Até onde a outra criança
deveria comprimir a mola para marcar ponto em um disparo certeiro? Suponha que nem a
mola nem a bola estejam sujeitas a atritos no mecanismo de disparo.
Figura 10: Problema 13
14. Na Figura 7, mostre que se quisermos que a bola dê uma volta completa em torno do pino
fixo, então d > 3L/5. (Dica: A bola tem que ainda estar movendo-se na parte mais alta da
sua oscilação. Voce entende o porquê?)
15. Para fazer um pêndulo, prende-se uma bola de 300 g a uma das extremidades de um fio com
um comprimento de 1,4 m e massa desprezı́vel. (A outra extremidade do fio está fixa.) A
bola é puxada para um lado até que o fio faça um ângulo de 30, 0◦ com a vertical; então (com
a corda bem esticada) a bola é solta do repouso.
(a) Encontre a velocidade da bola quando o ângulo que o fio faz com a vertical for de 20, 0◦
e
(b) a velocidade máxima da bola.
(c) Qual o ângulo entre o fio e a vertical quando a velocidade da bola for um terço de seu
valor máximo?
16. Na Figura 11, uma mola com constante de mola k = 170 N/m está no alto de um plano
inclinado de 37, 0◦ sem atrito. A extremidade inferior do plano inclinado está a 1,00 m da
extremidade da mola, que está com o seu comprimento indeformado. Uma lata de 2,00 kg é
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empurrada contra a mola até que esta sofra uma compressão de 0,200 m, sendo então solta
do repouso.
Figura 11: Problema 16
(a) Qual a velocidade da lata no instante emq ue a mola retorna ao seu comprimento
indeformado (que ocorre quando a lata perde contato com a mola)?
(b) Qual a velocidade da lata ao atingir a extremidade inferior do plano inclinado?
17. Na Figura 12, uma corrente é mantida sobre uma mesa sem atrito com um quarto do seu
comprimento pendendo da sua borda. Se a corrente possui comprimento L e massa m, qual
o trabalho necessário para puxar a parte suspensa de volta para cima?
Figura 12: Problema 17
18. Um menino está sentado no alto de um monte hemisférico de gelo (Figura 13). Ele recebe
Figura 13: Problema 18
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um empurrão bem leve e começa a deslizar no gelo. Mostre que ele perde contato com o gelo
em um ponto cuja altura é 2R/3 se o gelo não tiver atrito. (Dica: A força normal anula-se
quando ele deixa de ter contato com o gelo.)
19. Uma força conservativa F (x) age sobre uma partı́cula de 2,0 kg que se move ao longo do eixo
x. O gráfico da Figura 14 apresenta a energia potencial U (x) associada a F (x). Quando a
partı́cula está em x = 2, 0 m, sua velocidade é igual a −1, 5 m/s.
Figura 14: Problema 19
(a) Qual a intensidade e o sentido de F (x) nesta posição?
(b) Entre que limite de x a partı́cula move-se?
(c) Qual a sua velocidade em x = 7, 0 m
20. A temperatura de um cubo plástico é monitorada enquanto o cubo é empurrado 3,0 m em
um piso com velocidade constante por um força horizontal de 15 N. O monitoramento revela
que a energia térmica do cubo aumenta de 20 J. Qual o aumento da energia térmica do piso
sobre o qual o cubo desliza?
21. Um trabalhador empurrou um bloco de 27 kg por 9,2 m sobre um piso horizontal com
velocidade constante, exercendo uma força que faz um ângulo de 32◦ para baixo da horizontal.
Se o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o piso era de 0,20, quais eram
(a) o trabalho realizado pela força do trabalhador e
(b) o aumento de energia térmica do sistema bloco-piso?
22. Um disco de plástico de 75 g é arremessado de um ponto 1,1 m acima do chão com uma
velocidade de 12 m/s. Ao atingir uma altura de 2,1 m, sua velocidade é de 10,5 m/s. Qual
a redução da energia mecânica do sistema disco-Terra causada pelo arrasto do ar?
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23. Você empurra um bloco de 2,0 kg contra uma mola horizontal, comprimindo-a por 15 cm.
Você então solta o bloco e a mola faz com que ele deslize sobre o tampo de uma mesa. O
bloco para a 75 cm do local de onde foi solto. A constante da mola é igual a 200 N/m. Qual
o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a mesa?
24. Como mostrado na Figura 15, um bloco de 3,5 kg é acelerado por uma mola comprimida,
cuja constante de mola é igual a 640 N/m. Após separar-se da mola, quando esta retorna ao
seu comprimento indeformado, o bloco desloca-se sobre uma superfı́cie horizontal, que possui
um coeficiente de atrito cinético de 0,25, por uma distância de 7,8 m antes de parar.
Figura 15: Problema 24
(a) Qual o aumento da energia térmica do sistema bloco-piso?
(b) Qual a energia cinética máxima do bloco?
(c) Qual a redução do comprimento original da mola antes de o bloco começar a mover-se?
25. Uma trabalhador de uma fábrica solta sem querer um caixote de 180 kg que estava sendo
mantido em repouso no alto de uma rampa 3,7 m inclinada de 39◦ em relação à horizontal.
O coeficiente de atrito cinético entre o caixote e a rampa e entre o caixote e o piso horizontal
da fábrica é igual a 0,28.
(a) Com que velocidade o caixote estará movendo-se ao atingir a parte de baixo da rampa?
(b) Até que distância ele irá deslizar sobre o piso da fábrica após alcançar a parte mais
baixa da rampa? (Suponha que a energia cinética do caixote não se altera enquanto o
caixote desloca-se da rampa para cima do piso.)
(c) As respostas para os itens (a) e (b) aumentarão, diminuirão ou permanecerão as mesmas
se a massa do caixote for reduzida à metade?
26. Na Figura 16, um bloco desliza ao longo de uma pista indo de um certo nı́vel para um nı́vel
mais elevado, atravessando um vale intermediário. a pista possui atrito desprezı́vel até que o
bloco atinja o nı́vel mais alto. Daı́ por diante, uma força de atrito faz com que o bloco pare
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em uma distância d. Ache d sabendo que a velocidade inicial do bloco v0 é 6,0 m/s, que a
diferença de alturas h é igual a 1,1 m e que o conficiente de atrito cinético µ é igual a 0,60.
Figura 16: Problema 26
27. Uma pedra com massa igual a m é lançada no ar para cima, na direção vertical, a partir do
nı́vel do sol, com velocidade inicial v0 . Se uma força constante f devida à força de arrasto
do ar atuar sobre a pedra no inı́cio ao fim do seu voo,
(a) mostre que a altura máxima alcançada pela pedra será
h=
v02
f
2g 1 + mg
(b) Mostre que a velocidade da pedra será
s
v = v0
m − f /g
m + f /g
imediatamente antes do impacto contra o solo.
28. A rampa de um escorrega de um parque tem a forma de um arco de cı́rculo com uma altura
Figura 17: Problema 28
máxima de 4,0 m, com um raio de 12 m e com o solo tangente ao cı́rculo (Figura 17). Uma
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criança de 25 kg parte do repouso no alto do escorrega com uma velocidade de 6,2 m/s na
sua parte inferior.
(a) Qual o comprimento da rampa?
(b) Qual força de atrito média atua sobre a criança ao longo desta distância?
(c) Se, em vez do solo, uma linha vertical passando pela parte mais alta da rampa for
tangente ao cı́rculo, quais serão o comprimento da rampa e
(d) a força de atrito média atuando sobre a criança?
29. Em uma certa fábrica, caixote de 300 kg são largados na vertical de uma máquina de empacotamento para cima de uma esteira transportadora que se desloca a 1,20 m/s (Figura 18). (Um
modor elétrico mantém a velocidade da esteira constante.) O coeficiente de atrito cinético
Figura 18: Problema 29
entre a esteira e cada caixote é igual a 0,400. Após um curto intervalo de tempo, deixa de
existir escorregamento entre o caixote e a esteira, e a partir daı́ o caixote move-se junto com
a esteira.
(a) Durante o perı́odo de tempo no qual o caixote está sendo levado ao repouso em relação
à esteira, calcule, para um sistema de coordenadas em repouso na fábrica, a energia
cinética fornecida ao pacote,
(b) a intensidade da força de atrito cinético atuando sobre o caixote e
(c) a energia fornecida pelo motor elétrico.
(d) As respostas dos itens (a) e (c) são diferentes?
30. Você está projetando uma rampa de descarga para engradados contendo equipamentos de
ginástica. Os engradados de 1470 N se movem a 1,8 m/s no topo de uma rampa com
inclinação de 22, 0◦ para baixo. A rampa exerce sobre cada engradado uma força de atrito
cinético igual a 550 N, e a força máxima de atrito estático também possui este valor. Cada
engradado comprimirá uma mola na extremidade inferior da rampa e atingirá o repouso
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depois de percorrer uma distância de 8,0 m ao longo da rampa. Depois de parar, o engradado
não deve voltar a deslizar para trás. Calcule qual deve ser a constante da mola que preencha
esses requisitos para sua compressão.
31. Uma pedra está amarrada a uma corda e a outra extremidade da corda é mantida fixa. A
pedra é largada com uma velocidade inicial tal que ela passa a descrever um movimento
circular em um plano vertical. Prove que a tensão na corda no ponto inferior da trajetória é
igual a seis vezes o peso da pedra mais a tensão na corda no ponto superior da trajetória.
32. O freio de um caminhão de massa m deixa de funcionar quando ele está descendo uma estrada
de montanha com gelo inclinada de um ângulo α. Inicialmente o caminhão desce a montanha
com velocidade v0 . Depois de percorrer com atrito desprezı́vel uma distância L até a base
da montanha, o motorista vira o volante e faz o caminhão subir uma rampa de emergência
para caminhões inclinada para cima com um ângulo β constante. A rampa para caminhões
é pavimentada com areia fofa que possui um atrito cinético igual a µc . Qual é a distância
percorrida pelo caminhão ao subir a rampa até parar? Use o método da energia.
33. Um homem de 80,0 kg pula de uma altura de 2,50 m sobre uma plataforma apoiada sobre
molas. Ao ser comprimida, a plataforma é empurrada para baixo até uma distância de 0,240
m abaixo de sua posição de equilı́brio, e a seguir ela é rebatida para cima. A massa da mola
e a massa da plataforma são desprezı́veis.
(a) Qual é a velocidade do homem quando a mola é descomprimida de 0,120 m?
(b) Se em vez de pular o homem subisse suavemente na plataforma, qual seria a distância
máxima abaixo de sua posição de equilı́brio?
34. Um peixe está preso em uma mola vertical, e quando ele é lentamente abaixado até atingir
sua posição de equilı́brio, a mola fica comprimida uma distância d. Quando o mesmo peixo
está preso a essa mola e cai a partir da posição da mola sem deformação, qual é a distância
máxima que a mola fica comprimida? (Sugestão: Calcule a constante da mola em termos da
distância d e da massa m do peixe.)
35. Uma mola com massa desprezı́vel e constante k é comprimida de uma distância x por uma
caixa de massa m. A caixa é libertada e sobe uma rampa inclinada de um ângulo α acima
da horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a rampa é µc , onde µc < 1. A
caixa ainda sobe a rampa depois de se deslocar uma distância s > |x| ao longo da rampa.
Calcule o ângulo α para o qual a velocidade da caixa atinge seu valor mı́nimo depois de ela
se deslocar uma distância s. Explique por que a velocidade mı́nima não ocorre para α = 90◦ ,
embora para este α exista um aumento máximo da energia potencial gravitacional.
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36. Um professor de uma escola sugeriu, certa vez, medir a magnitude da aceleração de uma
queda livre pelo seguinte método:
• pendure um peso em uma linha muito fina de comprimento L para fazer um pêndulo, o
qual é então fixado na borda de uma mesa, de forma que o peso fique a uma altura H
acima do piso quando em seu ponto mais baixo.
• Empurre o pêndulo para trás, de forma a fazer um ângulo θ0 com a vertical.
• No ponto da base do pêndulo coloque uma “gilete” afiada, posicionada para cortar o fio
em sua posição mais baixa.
• Uma vez que o fio seja cortado, o peso é projeto horizontalmente e percorre uma distância
D a partir do eixo de fixação do pêndulo na mesa.
A idéia foi relacionar a medida D com o ângulo θ0 de forma a determinar o valor de g. Fora
as óbvias dificuldades do experimento, este teve um defeito fatal: a distância D não depende
de g!! Mostre que isso é verdade e que D depende somente do ângulo θ0 , ou seja, mostre que
p
D = 2 HL(1 − cos θ0 )
37. Um pêndulo é pendurado no teto e ligado por uma mola fixada no piso exatamente abaixo do
suporte do pêndulo. A massa do pêndulo é m, o comprimento do pêndulo é L e a constante
Figura 19: Problema 37
da mola é k. O comprimento relaxado da mola é
14
L
, e a distância entre o piso e o teto é de
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L. O pêndulo é empurrado para o lado, de maneira a formar um ângulo θ com a vertical, e é
2
então abandonado do repouso conforme a Figura 19. Mostre que a intensidade da velocidade
do pêndulo em sua trajetória mais baixa é
v
u
u 2g
k
v = Lt (1 − cos θ) +
L
m
r
13
1
− 3 cos θ −
4
2
!2
38. Modelo cientı́fico ou simplesmente modelo é empregado na Ciência como algo intermediário
entre as leis fenomenológicas (que são regras extraı́das diretamente da observação dos
fenômenos, sem análise de seus fundamentos) e teorias cientı́ficas (que são levadas por um
conjunto de leis fenomenológicas e envolve considerações ligando causas e efeitos). Um dos
modelos mais simples na Fı́sica é o oscilador harmônico. Este modelo foi, por exemplo, usado
por Max Planck (1858-1947) para explicar a radiação do corpo negro (que é um corpo que
emite ou absorve radiação eletromagnética em todos os comprimentos de onda) e que foi uma
das origens da Teoria Quântica, que descreve o movimento de corpos na escala atômica ou
menor. Planck assumiu que a radiação eletromagnética emitida fosse quantizada em pacotes
de energia denominada de quanta. Sua suposição considera que o material da superfı́cie emissora do corpo negro é composto por pequenos osciladores que ao oscilarem emitem energia
eletromagnética. Este modelo também é usado para estudar a vibração de uma molécula
diatômica (a molécula é representada com sucesso por um par de átomos ligados por uma
mola de contante elástica k). Considere um oscilador harmônico formado por um bloco de
massa m, preso a uma mola de massa desprezı́vel e constante elástica k com a outra extremidade fixa na parede (vide a Figura 20). O sistema está em uma região na ausência de atritos
e o bloco está oscilando em relação à posição de equilı́brio da mola.
Figura 20: Problema 38
(a) Explique porque o sistema é conservativo.
(b) Determine a energia do sistema em um instante em que o bloco está na posição x(t) em
relação à posição de equilı́brio da mola e velocidade v(t).
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39. Um pêndulo de massa m é ligado por uma corda fina, de massa desprezı́vel, de comprimento
L e a uma mola de constante elástica k. Com o pêndulo na posição mostrada na Figura 21, a
mola está em sua posição relaxada. Mostre que, se o pêndulo é então puxado para um lado, de
maneira a formar um pequeno ângulo θ com a vertical e abandonado, o módulo da velocidade
do pêndulo quando ele passa através de sua posição equilı́brio é, aproximadamente,
r
v ≈ Lθ
k
g
+
m L
Para θ em radianos, se |θ| 1, então sen θ ≈ tan θ ≈ θ e cos θ ≈ 1 − 21 θ2 . Despreze a
resistência do ar e o atrito do pêndulo com o teto.
Figura 21: Problema 39
40. Dois blocos de massas M e 2M estão conectados a uma mola de constante elástica k que
tem uma de suas extremidades fixa como mostrado na Figura 22. A superfı́cie horizontal e a
polia não possuem atrito e a polia tem massa desprezı́vel. Os blocos são liberados do repouso
com a mola em sua posição relaxada. Determine em função das variáveis do problema:
(a) A energia cinética total dos dois blocos após o bloco que está pendurado ter caı́do uma
distância d.
(b) A energia cinética do bloco pendurado após ele ter caı́do essa distância d.
(c) A distância máxima que o bloco pendurado cai antes de parar momentaneamente.
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Figura 22: Problema 40
41. Uma esquiadora de massa m desloca-se sobre uma elevação circular sem atrito de raio R,
conforme a Figura 23. Suponha que os efeitos da resistência do ar sobre a esquiadora sejam
desprezı́veis. Enquanto ela sobe a elevação, sua velocidade vale v0 no ponto B, em um ângulo
θ. Em função de m e/ou g e/ou R e/ou v0 e/ou θ:
(a) determine a sua velocidade no topo da elevação (ponto A) se ela esquia sem usar os
bastões;
(b) determine a menor velocidade que ela pode ter no ponto B para que ainda atinja o topo
da elevação.
(c) As respostas dos itens anteriores desta questão aumentariam, diminuiriam ou permaneceriam as mesmas se a esquiadora tive a massa igual a 2m?
Figura 23: Problema 41
42. Um projétil de massa m é lançado verticalmente de baixo para cima contra uma folha fina de
madeira de massa M que, inicialmente, repousa sobre uma folha delgada de papel. O projétil
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colide inelasticamente (ou seja, parcialmente inelástica) com a madeira atravessando-a que,
antes de cair, a madeira é lançada para cima, até uma altura H acima da folha de papel. O
projétil continua a subir até uma altura h acima da folha de papel.
(a) Determine a expressão da velocidade ascendente do projétil e da madeira imediatamente
após o projétil atravessar o bloco de madeira, em função de h e de H.
(b) Utilize a conservação do momento linear total para determinar a velocidade do projétil
antes de atingir a folha de madeira, em função dos parâmetros m, h, M e H.
(c) Obtenha as expressões das energias mecânicas do sistema antes e após a colisão
inelástica.
(d) Determine a energia dissipada em função de m, h, M e H.
43. Uma arma de mola é engatilhada por uma pequena compressão de uma mola forte a uma
distância d. Ela dispara um sinalizador luminoso de massa m diretamente para cima. O
sinalizador tem velocidade de magnitude v0 quando deixa a mola, e pode-se observar que ele
atinge a altura máxima h acima do ponto de onde deixou a mola. Após ele deixar a mola,
o efeito de uma força de arrasto do ar é significativo. (Expresse as respostas em termos de
m e/ou v0 e/ou d e/ou h e/ou g e assuma que a compressão da mola é pequena comparada
com a altura máxima atingida pela bala.)
(a) Determine quanto de trabalho é feito na mola para comprimi-la.
(b) Determine o valor da constante k da mola.
(c) Determine quanto de energia mecânica é convertida em energia térmica devido à força
de arrasto do ar no sinalizador entre o tempo de disparo e o tempo que ele alcança a
altura máxima.
44. Um pêndulo consiste em uma massa m ligada a uma haste de comprimento L. A massa é
deslocada lateralmente, de modo que a haste faz um ângulo θ0 com a vertical e é, então,
abandonada, conforme mostrado na Figura 24. Despreze a resistência do ar.
(a) Determine, em função de m e/ou θ0 e/ou L e/ou g:
(i) a magnitude da velocidade quando a massa passa pela base do arco pela utilização
da conservação de energia;
(ii) a magnitude da tração na haste quando a massa passa pela base do arco pela
utilização das leis de Newton;
(b) Obtenha a velocidade da massa na base do balanço do pêndulo pela utilização da segunda
lei de Newton pelos seguintes passos:
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Figura 24: Problema 44
(i) Mostre que a componente tangencial da segunda lei de Newton dá
dv
= −gsen θ ,
dt
onde v é a velocidade e θ é o ângulo da corda do pêndulo com a vertical. Justifique!;
(ii) Mostre que v pode ser escrito como
v=L
dθ
dt
(iii) Use o resultado do ı́tem (b.ii) e a regra da derivação em cadeia para obter
dv
dv dθ
dv v
=
=
dt
dθ dt
dθ L
Justifique.
(iv) Combine os resultados dos ı́tens (b.i) e (b.iii) para obter
vdv = −gLsen θdθ
(v) Integre o lado esquerdo da equação da parte do ı́tem (b.iv) de v = 0 até v final
e o lado direito de θ = θ0 até θ = 0 (justifique!), e mostre que o resultado é
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equivalente a
√
2gh, em que h é a altura original do pêndulo acima de seu ponto
mais baixo. Compare com o ı́tem (a.i) e justifique o fato dos dois procedimentos
darem o mesmo resultado.
45. Um carro em um parque de diversões desloca-se sem atrito ao longo do trilho indicado na
Figura 25. Ele parte do repouso no ponto A situado a uma altura h acima da base do cı́rculo
de raio R. Considere o carro como uma partı́cula.
Figura 25: Problema 45
(a) Determine o menor valor de h, em termos do raio R, para que o carro atinja o topo do
cı́rculo (ponto B) sem cair.
(b) Determine a velocidade, o componente radial da aceleração e o componente tangencial
da aceleração dos passageiros quando o carro está no ponto C, que está na extremidade
de um diâmetro horizontal.
46. Um dispositivo experimental de massa m está apoiado sobre uma mola vertical com massa
desprezı́vel e empurrado para baixo até que a mola seja comprimida de uma distância x.
O dispositivo é então libertado e atinge uma altura máxima h acima do ponte onde ele foi
libertado. O dispositivo não está ligado à mola, e para essa altura máxima ele não está
mais em contato com a mola. A aceleração máxima que o dispositivo pode suportar sem se
danificar é a, onde a > g.
(a) Determine a constante da mola, em termos de a, g, m e h, para necessária para a
configuração descrita no enunciado.
(b) Em termos de a, g e h, determine a distância que a mola é comprimida inicialmente.
47. A Figura 26 mostra um bloco desliza em uma pista sem atrito até chegar a um trecho de
comprimento L, que começa a uma altura h em uma rampa de inclinação θ. Nesse trecho o
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coeficiente de atrito cinético é µ. O bloco passa pelo ponto A com uma velocidade v0 . Se o
bloco chega ao ponto B, determine (em termos de v0 , g, h, L, µ e θ) a sua velocidade nesse
ponto.
Figura 26: Problema 47
48. Em um posto para carga de caminhões do correio, um pacote de massa m é largado do
repouso no ponto A sobre um trilho com forma de um quarto de circunferência de raio igual
a R, veja a Figura 27. O tamanho do pacote é muito menor do que R, de modo que ele pode
ser considerado como uma partı́cula. Ele desliza para baixo ao longo do trilho e atinge o
ponto B com uma velocidade vB . Depois de passar pelo ponto B, ele desliza uma distância
igual a L sobre uma superfı́cie horizontal até parar no ponto C. O atrito atua em toda a
extensão do trilho.
Figura 27: Problema 48
(a) Determine o coeficiente de atrito cinético entre o pacote e a superfı́cie horizontal em
função de m e/ou g (aceleração da gravidade) e/ou R e/ou L e/ou vB .
(b) Determine o trabalho realizado pela força de atrito, em função de m e/ou g e/ou R e/ou
L e/ou vB , ao longo do aro circular do ponto A ao ponto B.
49. Seja um sistema isolado que contém uma partı́cula de massa m acelerada em relação a um
referencial inercial. Devido às interações com meio, atuam na partı́cula N forças conservativas
e M ≤ N forças não conservativas.
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(a) O que é um sistema isolado?
(b) O que são forças conservativas e não conservativas?
(c) Dadas duas configurações do sistema, cada uma identificada pela posição e velocidade
da partı́cula, mostre que a variação da energia mecânica é igual à soma dos trabalhos
realizados de cada uma das forças não conservativas.
50. Um bloco de massa m é empurrado contra uma mola horizontal de massa desprezı́vel até
que a mola seja comprimida por uma distância x (veja Figura 28). A constante elástica da
64mg
mola é
. Quando ela é solta, o bloco percorre uma superfı́cie horizontal sem atrito até
R
o ponto B, a parte inferior de uma pista circular de raio R, e continua a subir a pista sob a
11
ação de uma força de atrito aproximadamente constante e igual a
mg. A intensidade da
2π
aceleração da gravidade local é representada por g.
Figura 28: Problema 50
(a) Determine o trabalho realizado de cada uma das forças atuantes sobre a partı́cula entre
os pontos em que ela parte do repouso (quando a partı́cula comprime a mola) até o
ponto T (topo da trajetória circular) em termos de x e/ou m e/ou g e/ou R.
(b) Determine o menor módulo da velocidade no ponto B, em termos de R e g, para que o
bloco consiga completar uma volta no circuito.
(c) Determine o menor valor de x, em termos de R, para que a condição do item (b) seja
satisfeita.
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RESPOSTAS
(b) −mgL(1 − cos θ)
1. (a) nulo
mgh
(b)
2
(c) mgh
mgh
(d)
2
(e) mgh
(c) mgL(1 − cos θ)
(d) Se aumentarmos o ângulo cos θ diminui e 1 − cos θ aumenta.
5. (a) 2,3 m/s
(f) A energia potencial aumentaria e to-
(b) Como vB não depende da massa,
das as respostas anteriores seriam
então seu valor não se altera.
duplicadas.
6. (a) 0,98 J
2. (a) mgL
(b) −0, 98 J
(b) −mgL
(c) 3,1 N/m
q
7. (a) v02 + 2gL(1 − cos θ0 )
p
(b) 2gL cos θ0
p
(c) gL(3 + 2 cos θ0 ). Se θ0 aumentar
(c) nulo
(d) mgL
(e) mgL
(f) nulo
então cos θ0 diminui, logo mgL(1 −
(g) a mudança da energia potencial de-
cos θ0 ) aumenta e os valores das ve-
pende apenas das posições inicial e
locidades diminuem.
final. Assim, as variações da energia
8. (a) 39,2 J
potencial serão as mesmas em todos
(b) 39,2 J
os casos anteriores.
(c) 4,00 m
3. (a) 4mgR
9. (a) 0,35 m
(b) 3mgR
(b) 1,7 m/s
(c) 5mgR
(d) mgR
10. (a) 4,85 m/s
(e) 2mgR
(f) A nova informação, vi
(b) 2,42 m/s
6= 0, é
11. 0,10 m
dispensável nos cálculos anteriores
12. (a) O cipó não se rompe.
de trabalho. Assim, os resultados
(b) 933 N
acima não se alteram.
4. (a) mgL(1 − cos θ)
13. 1,25 cm
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14. Mostre!
26. 1,2 m
15. (a) 1,42 m/s
27. (a) Mostre!
(b) 1,92 m/s
(b) Mostre!
◦
(c) 28, 2
28. (a) 10 m
16. (a) 2,40 m/s
(b) 50 N
(b) 4,19 m/s
(c) 4,1 m
mgL
32
2R
18.
3
17.
(d) 122 N
29. (a) 216 J
19. (a) 4,9 N na direção +x
(b) 1, 18 × 103 N
(b) A partı́cula está confinada na região
(c) 432 J
1, 5 < x < 13, 5 m
(d) O motor acaba tendo de forne-
(c) 3,5 m/s
cer mais energia do que a energia
20. 25 J
cinética final do pacote devida a
21. (a) 560 J
perda de energia por atrito com a
esteira.
(b) −560 J
22. −0, 53 J
30. 2439 N/m
23. 0,15
31. Mostre!
24. (a) −67 J
32.
(b) 67 J
v02
+ Lsen α
2g
sen β + µc cos β
(c) 0,46 m
25. (a) 5,5 m/s
33. (a) 6,16 m/s
(b) 5,4 m
(b) 0,0210 m
(c) Todos os resultados anteriores não
dependem da masas e portanto, não
34. 2d
se alterarão com a diminuição dela.
não depender da massa, também não
1
. Para α0 = 90◦ , devemos
µc
ter µc → 0 e, neste caso, maximiza o des-
depende da aceleração da gravidade
locamento vertical.
35. arctan
Por outro lado, no item (b), além de
podendo ser realizada em qualquer
36. Mostre!
lugar independente do valor da gravidade.
37. Mostre!
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mv02
d
1
(c) mv02 − mgh
2
p
44. (a) 2gL(1 − cos θ0 ) e (3 − 2 cos θ0 )mg
p
(b) 2gh
38. (a) Explique!
1
1
(b) kx2 + mv 2
2
2
(b)
39. Mostre!
1
40. (a) 2M gd − kd2
2
1
4
(b) M gd − kd2
3
3
4M g
(c)
k
q
41. (a) v02 − 2gR(1 − cos θ)
p
(b) 2Rg(1 − cos θ)
45. (a)
(b) velocidade:
46. (a)
(b)
des encontradas nos itens anteriores
não dependem da massa. Logo, do47.
brando a massa da esquiadora não
3gR; aceleração ra-
48. (a)
itens anteriores.
√
√
2gh e 2gH
p
Mp
(b) 2gh +
2gH
m
(c) Antes:
"
2 #
2M √
M
mg h +
H ;
hH +
m
m
após: g(mh + M H)
!
r
h
M
(d) M gH 2
+
−1
H
m
m(a + g)2
2gh
2gh
a+g
q
v02 − 2g(µd cos θ + Lsen θ + h)
alterará as condições impostas nos
43. (a)
p
dial: 3g; aceleração tangencial: g
(c) Podemos verificar que as velocida-
42. (a)
5
R
2
(b)
2
vB
2gL
1
mv 2 − mgR
2 B
49. Responda os itens (a), (b) e (c).
50. (a) WN~ = 0, Wm~g = −2mgR, Wk~x =
32mgx2
11
, WF~a = − mgR,
R
2
p
(b) 4 Rg
(c)
1
mv 2
2 0
25
R
2