JOGOS DE REGRA E A CALCULADORA COMO AUXILIARES NA
APRENDIZAGEM DA DIVISÃO
Lidiane Feitoza 1
Isis Vicente2
Gilda Guimarães3
RESUMO
O presente artigo versa sobre como os jogos de regras e o uso da calculadora podem
auxiliar na aprendizagem da divisão. Participaram da pesquisa por meio de pré-teste,
intervenção e pós-teste alunos de duas 4ª séries de escolas públicas da Região
Metropolitana do Recife, com idades entre 9 e 14 anos. Os educandos foram distribuídos em
duplas e também em grupos, os quais resolveram os problemas com dois tipos de
representações: dois jogos de regras e duas atividades com calculadora, distribuídos em
Turma A e Turma B, respectivamente. O artigo conclui que no desempenho do pré-teste e
pós-teste não tiveram grandes diferenças entre as turmas. Como também, de uma forma
geral as intervenções não foram suficientes para gerar grandes progressos na compreensão
da lógica da divisão com e sem resto por parte dos alunos pesquisados.
Durante o curso de Pedagogia da Universidade Federal de Pernambuco –
especificamente nas disciplinas de Pesquisa e Prática Pedagógica - as
pesquisadoras puderam observar que alunos que se encontram em processo de
conclusão das séries iniciais do Ensino Fundamental apresentam dificuldades na
construção do algoritmo de divisão com e sem resto. Este fato também vem sendo
vivenciado por uma de nós, uma vez que a mesma é professora desse nível de
ensino e por outras professoras, com as quais conversamos, as quais afirmam que
não conseguem levar seus alunos a superarem ou até mesmo diminuir tais
dificuldades. Como elas não sabem a quem recorrer, acabam limitando-se as regras
e explicações sem saber de fato levar seus alunos a compreensão do algoritmo da
divisão.
1
Concluinte de Pedagogia- Centro de Educação -UFPE - [email protected]
² Concluinte de Pedagogia- Centro de Educação - UFPE. [email protected]
3
Doutora em Psicologia Cognitiva e Professora do Departamento de Métodos e Técnicas de Ensino
da UFPE. [email protected]
1
As professoras demonstram uma preocupação em ‘ensinar’ a divisão de
forma menos técnica e mais reflexiva, uma vez que desejam realizar um processo de
ensino-aprendizagem que não se enquadre no que os PCNs (1997) afirmavam: “na
maioria das vezes, subestimam-se os conceitos desenvolvidos no decorrer da
atividade prática da criança, de suas interações sociais imediatas e parte-se para o
tratamento escolar, de forma esquemática, privando os alunos da riqueza de
conteúdo proveniente da experiência pessoal” (p. 25).
Diante desses fatos nos perguntamos se o uso de outros recursos didáticos
ajudaria na compreensão da construção do algoritmo da divisão? Buscamos, então,
recursos que possibilitassem um ensino-aprendizagem mais prazeroso e lúdico aos
educandos, tendo em vista que o domínio da construção do algoritmo da divisão
deve ser concebido de forma que torne a criança mais autônoma para decidir que
recurso deve usar para encontrar o resultado em determinada situação. Assim como
destacam os PCNs (1997) “recursos didáticos como jogos, livros, vídeos,
calculadoras, computadores e outros materiais têm um papel importante no processo
de ensino e aprendizagem.” (p.20)
Ser educador hoje é uma tarefa árdua, pois implica ser um profissional que
busque caminhos para desenvolver a autonomia e a reflexão dos seus alunos. Não
basta planejar aulas que sigam uma ordem de execução de conteúdos, mas que
busque atividades que estimulem o crescimento pessoal das crianças, individual e
coletivamente, pois “se queremos alunos diferentes, precisamos agir diferente.(...)
Nossos alunos precisam confrontar-se com problemas, criar alternativas para
solucioná-los, agir de forma cooperativa e, principalmente acreditar em si mesmos.”
(STAREPRAVO, 1997, p. 39).
Contudo, o que é visto nas escolas é uma prática diferente, na qual os
números
são
aprendidos
mecanicamente,
os
algoritmos
das
operações
fundamentais são ‘ensinados’ de forma isolada para que sejam, posteriormente,
adequados às situações-problema, por meio de exercícios repetitivos e infindáveis,
restando ao aluno fazer “(...) exaustivamente cálculos em seu caderno somente pelo
treino da técnica, sem pensar no porquê de os estarem realizando” (STAREPRAVO,
1997, p. 37).
2
CALCULADORA: UM INSTRUMENTO DE ENSINO
Em meio ao século XXI, o acesso aos recursos tecnológicos é uma
prerrogativa fundamental para a inserção de todos numa sociedade mais justa e
igualitária. É preciso iniciar o aluno no uso de novas tecnologias e a calculadora é
uma delas. Apesar das orientações dos PCNs (1997) dizerem que a calculadora
“abre novas possibilidades educativas, como a de levar o aluno a perceber a
importância
do
uso
dos
meios
tecnológicos
disponíveis
na
sociedade
contemporânea” (p. 46), ainda há professores que resistem ao uso desse
instrumento na sala de aula, por acharem, por exemplo, que as calculadoras tornam
as crianças ociosas, além de não permitir o desenvolvimento do raciocínio lógico.
Alguns professores e pesquisadoras colocam restrições com relação ao uso
da calculadora no ambiente escolar. Em 1994, Ruthven realizou um estudo com
alunos, na transição da escola primária para a secundária, e constatou que a
calculadora proporcionava a falta de prazer com números e falta de confiança no ato
de calcular. Este mesmo argumento ainda é muito utilizado por vários professores,
como argumentam Sá e Jucá (2005) em Borba e Selva (2005). Aqueles autores
realizaram uma pesquisa com professores brasileiros que justificavam o não uso da
calculadora em sala de aula por vários motivos, tais como o aluno se tornar
dependente da máquina; não aprender as quatro operações fundamentais, além de
permitir o desenvolvimento pleno do raciocínio lógico do aluno.
Contrapondo a essas afirmações outras pesquisas apontam a importância da
calculadora como instrumento de aprendizagem dos alunos. Medeiros (2000), por
exemplo, em um estudo com crianças que foram solicitadas a resolver problemas
matemáticos abertos, constataram que “com a calculadora as tentativas são
agilizadas, permitindo que o aluno se concentre mais no processo de resolução do
que na realização de cálculos repetitivos” (p.53), conforme afirmam Borba et al
(2005).
Essas autoras também apresentam um estudo realizado por Araújo (2002) a
qual investigou crianças de 4ª série do Ensino Fundamental que tinham hábito de
usar calculadora desde a 1ª série para resolverem operações. Araújo solicitou as
crianças que resolvessem questões apresentadas em duas situações: a) utilizando
outros tipos de recursos como cálculo mental, escrito, material dourado e estimativa.
Nessa situação as crianças utilizaram tais recursos, excetuando a estimativa,
3
demonstrando que a calculadora não foi um fator inibidor da aprendizagem; b) as
crianças podiam optar pela forma de solução e, nesse caso, a calculadora também
era disponibilizada. Mesmo assim, as crianças apesar de terem o hábito de trabalhar
com a calculadora em sala de aula, não recorreram ao seu uso com freqüência,
preferindo o cálculo mental ou o escrito.
Borba et al (2005), a partir desse estudo questionam “que tipo de trabalho tem
sido desenvolvido com a calculadora nas escolas” (p. 54), pois de fato, era de se
esperar que os alunos preferissem utilizar à calculadora, uma vez que a mesma
facilita e permite uma maior rapidez na resolução de contas, mas não foi essa a
opção desses alunos.
Essas autoras apresentam um estudo realizado pelas mesmas com crianças
de 3ª e 5ª séries de uma escola pública. O estudo propôs uma intervenção a qual os
alunos foram separados em grupos, os quais tinham diferentes materiais para
resolverem problemas que envolviam a divisão (papel e lápis, calculadora e
materiais manipulativos). Para resolver os problemas, as crianças tinham que
escolher um recurso disponível em seu grupo. As autoras constataram que os
alunos utilizaram a calculadora para verificação de resultados após o uso de papel e
lápis. No entanto, as crianças com menos familiaridade com esse instrumento,
tiveram dificuldades em compreender o resultado obtido e relacioná-lo com os
resultados da representação escrita. Para elas, este instrumento, “parece ter
proporcionado melhores condições para que as crianças (...) realizassem maiores
reflexões sobre os resultados que estavam obtendo na resolução dos mesmos
problemas no papel e calculadora” (p. 71). As autoras constataram que as crianças
passaram a dar mais importância à existência do resto na resolução dos problemas
com divisão inexata, a partir do uso da calculadora, que estimulou os alunos a refletir
sobre o resto e suas forma de representação.
Groves (1994), no seu estudo sobre o uso da calculadora, observou que
alunos de 3ª e 4ª séries que responderam questões que envolviam o conhecimento
de divisão com resto, também constatou que os que usaram a calculadora saíram-se
melhor do que aqueles que não tiveram a oportunidade de utilizá-la como recurso
didático. Segundo ela “a presença da calculadora não apenas dá às crianças a
oportunidade de engajarem-se em investigações matemáticas, mas também as
capacita a partilhar com professores e as outras crianças fornecendo um objeto que
pode tornar o foco para uma genuína discussão matemática” (p. 39).
4
Dante (2002) aponta duas razões para que a calculadora seja encarada como
um recurso importante no processo de ensino e aprendizagem dos alunos, que pode
e deve ser usado na sala de aula:
(...) uma razão social: a escola não pode se distanciar da vida do
aluno e sua vida em sociedade está impregnada do uso da
calculadora. Outra razão é pedagógica: usando a calculadora para
efetuar cálculos, o aluno terá mais tempo livre para raciocinar, criar e
resolver problemas (p. 22).
Essa citação demonstra que a calculadora é um instrumento que pode auxiliar
no processo de ensino-aprendizagem, além de ser uma ferramenta útil para uma
resolução mais rápida dos algoritmos nas situações-problema, facilitando a
aprendizagem da matemática, por servir como “um recurso para verificação de
resultados, correção de erros, podendo ser um valioso instrumento de autoavaliação” (PCNs, 1997, p. 46).
Percebe-se que esse instrumento pode ser usado com a finalidade de ajudar
os alunos na aprendizagem de operações matemáticas, permitindo que os mesmos
desenvolvam estratégias de construção e resolução de problemas que envolvem
divisão, além de fazê-los revisar cálculos e refletir sobre os erros cometidos,
transformando-se, assim, em um instrumento de auto-avaliação para os educandos.
JOGOS: APRENDIZAGEM COM LUDICIDADE
Passam-se os anos e a Matemática continua sendo ensinada da mesma
forma tradicional: ensina-se o algoritmo, o aluno memoriza e depois aplica em
atividades idênticas como o modelo inicial. Na maioria das escolas, o trabalho com
os números e as operações nas séries iniciais no Ensino Fundamental ainda está
baseado na transmissão de técnicas, às quais serão aplicadas em ‘contas’ que
servirão para medir o que foi absorvido pelos alunos, nas aulas. Nessa mesma linha
encontramos também alguns livros didáticos que continuam apresentando um
modelo de resposta que será reproduzido pelos alunos.
Na conversa com as professoras, já referidas anteriormente, percebemos
que elas não dão muita credibilidade aos jogos como um recurso didático, por
acharem que jogar é uma forma de distrair os alunos, principalmente quando o
cansaço de um dia de aula não permite um rendimento satisfatório na sala. Para a
maioria dos professores, o jogo é uma hora para brincar, mas Starepravo (1997)
5
discorda dessa forma de pensar, pois para ela “o jogo é um momento em que as
crianças estão estabelecendo novas relações, fazendo descobertas, procurando
soluções para problemas que lhes envolvem diretamente” (p. 134).
Os jogos favorecem a criatividade dos alunos, quando os permite elaborar
estratégias para resolver problemas, pois “quando jogam, as crianças devem realizar
cálculos mentais e eles não são aleatórios e nem tampouco desvinculados de um
contexto maior” (Starepravo, 1997, p. 7).
Em nossa formação acadêmica, o jogo não tem sua devida importância
enquanto recurso didático que ajuda aos alunos desenvolver o raciocínio lógico,
enfrentar desafios, desenvolver argumentação, a criação de estratégias, a resolver
conflitos entre os jogadores sem a ajuda do professor, mas sim exercitar os
conhecimentos matemáticos adquiridos durante as aulas. Para que o jogo tenha
toda essa dimensão é preciso que o professor faça “um planejamento prévio das
atividades a ser desenvolvidas com clareza de objetivos até o acompanhamento
direto desta atividade, no momento em que está sendo realizada por nossos alunos.”
(Starepravo, 1997, p.134)
Depois de selecionados objetivos e planejamento das ações a serem
alcançadas, é necessário que o educador faça “uma investigação para decidir que
jogos são mais adequados ao conteúdo que está querendo trabalhar, (...)
considerando não apenas o número de alunos, mas também as características de
cada um.” (Costa, Santos e Guimarães, 2005, p. 5)
Outro ponto fundamental nas aulas com jogos é a participação ativa do
professor, pois a presença deste durante as jogadas permite ao mesmo observar
para “conhecer o pensamento deles, as estratégias que usam e como poderemos
interferir em seu pensamento para que construam relações mais complexas” (p.15) e
estimular os alunos a resolver os conflitos que surgem entre eles, pois “nossos
alunos precisam aprender a resolver conflitos, sem esperar passivamente que nós,
professores, o façamos.” (STAREPRAVO, 1997, p. 16)
Conforme a citação acima, percebe-se que o professor é o ponto chave para
a inserção do jogo como um instrumento de aprendizagem dentro da sala, pois é
preciso que este se disponha a procurar jogos que estimulem os alunos a usar
estratégias próprias, não se limitando as técnicas ensinadas anteriormente.
Quando trabalhamos com jogos, estimulamos os alunos a desenvolver o
raciocínio lógico, atitudes e comportamentos como autonomia, criatividade,
6
responsabilidade, respeito ao colega, competitividade, cooperação e regras
estabelecidas pelo jogo de regras e que precisam ser respeitadas. Como afirma
Costa, Santos e Guimarães (2005), “ele cria um contexto de observação e diálogo
sobre os processos de pensar e construir conhecimento de acordo com os limites de
cada jogador, estimulando uma série de exercícios comportamentais e mentais que
auxiliam o indivíduo na sua vida cotidiana.” (p.6)
Nesse sentido, esse estudo teve como objetivo investigar como jogos de
regras e a calculadora podem auxiliar os alunos a compreenderem a construção do
algoritmo da divisão.
O que foi proposto
Investigamos duas turmas de 4ª séries do Ensino Fundamental I de duas
escolas municipais da região metropolitana do Recife. A turma “A” era composta por
37 alunos com idade entre 09 e 14 anos e a turma “B” era formada por 20 alunos
com faixa etária entre 10 e 13 anos.
Esse estudo constituiu-se de uma diagnose, uma fase de intervenção e um teste
ao término das intervenções. Na diagnose solicitamos que os alunos dessas turmas,
individualmente, respondessem 10 questões que envolviam divisão com e sem
resto, apresentadas em uma folha mimeografada, a fim de sondar o conhecimento
dos educandos na operação da divisão. Para a escolha das operações dos testes foi
levado em consideração à grandeza do número, o uso do “zero” em diferentes
ordens e o resto ser igual ou diferente de “zero”.
7
Escola ________________________
Aluno (a): _____________________
DIAGNOSE
Resolva as divisões:
a)
b)
c)
d)
e)
84 : 4 ______ f) 225 : 6 ______
13 : 2 ______ g) 43 : 4 _______
120 : 5 _____ h) 123 : 2 _______
18 : 4 ______ i) 102 : 4 ______
63 : 3 ______ j) 93 : 9 _______
Cálculos
.
As intervenções foram combinadas previamente com as professoras titulares.
Foram realizadas duas intervenções em cada turma, as quais foram áudio-gravadas.
As intervenções foram realizadas com toda a turma como uma atividade comumente
realizada pelos professores em suas salas de aula. Cada turma teve um tipo de
intervenção:
Turma A: Proposição de jogos como forma de ajudar na compreensão do algoritmo
da divisão com e sem resto. (anexo 1)
Turma B: Proposição de atividades com calculadora como forma de ajudar na
compreensão do algoritmo da divisão com e sem resto. (anexo 2)
Após a fase de intervenção, foi proposto um outro teste individual envolvendo uma
atividade similar à diagnose a fim de verificarmos uma possível aprendizagem dos
alunos.
8
Escola ________________________
Aluno(a): _____________________
TESTE FINAL
Resolva as divisões:
a) 19 : 2 _____ f) 52 : 4 ____
b) 17 : 7 _____ g) 130 : 5 ____
c) 204 : 5 ____ h) 99 : 8 _____
d) 189 : 9 ____ i) 420 : 4 ____
e) 155 : 6 ____ j) 34 : 3 _____
Cálculos
O que encontramos?
Nossa primeira análise foi investigar o percentual de acerto considerando
cada uma das questões na sondagem e no teste final. Os resultados obtidos podem
ser observados na Tabela 1abaixo:
TABELA 1 – Percentual de acerto nas questões de sondagem e no teste final
QUESTÕES
TESTE
%
da
sondagem
P1
P2
84:4
13:2 120:5 18:4
62
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
63:3 225:6 43:4 123:2 102:4 93:9
28
34
40
06
17
23
19
15
PO1 PO2 PO3
PO4
PO5
PO6
PO7
PO8
PO9
P010
% do teste
19:2
final
66
57
P3
17:7 204:5 189:9 155:6 52:4 130:5 99:8 420:4 34:3
57
15
38
19
47
32
19
11
49
Observa-se na Tabela 1 que houve uma grande variação em relação ao
percentual de acerto em função da operação solicitada tanto na sondagem como no
teste final. Entretanto ao compararmos a diagnose e o teste final, verificamos que os
alunos apresentaram muitas dificuldades em resolver o algoritmo da divisão em
ambas as situações.
9
Para compreendermos essas diferenças, resolvemos analisar as estratégias de
resolução dos alunos. Observamos dois tipos de estratégias utilizadas por eles.
Algumas operações obtiveram um percentual de acerto superior a 57%, pois nesses
casos a operação apresentada possibilitava uma resolução através de desenho uma
vez que envolvia quantidades pequenas como 13:2 (P2) ou 17:7 (PO2). Foi
constatado que na diagnose e no teste final a estratégia desenho foi a mais utilizada
para a resolução de todas as contas em ambas as turmas.
Outra estratégia observada foi que, em geral, os alunos tendem a dividir cada
grandeza de forma independente. Assim, em contas como 84:4 (P1), na qual essa
estratégia leva ao acerto, encontramos 62% dos alunos acertando. Por outro lado,
nas situações as quais essa correspondência não se aplica, como em 102:4 (P9)
420:4 (PO9), os ou alunos erram porque utilizam a mesma estratégia como descrito
abaixo:
102:4 = 2 (2) (10 dividido por 4 é igual a 2. Restam 2 unidades porque não dá
para dividi-las por 4)
420:4 = 15 (4 dividido por 4 é igual a 1. 20 dividido por 4 é igual a 5)
Quando escolhemos as contas selecionamos números a serem divididos com
“zero” em diferentes ordens. Entretanto, esse não foi um fator relevante para os
alunos, uma vez que eles juntavam o zero ao numeral anterior como descrito acima.
Da mesma forma, constatamos que os alunos utilizaram essa mesma
estratégia ao resolverem as contas 43:4 (P7) e 93:9 (P10). Nessas contas, houve um
percentual de acertos muito baixo (17% e 15% respectivamente). Os alunos
novamente desconsideraram o valor relativo dos numerais considerando apenas os
valores absolutos e desconsiderando o zero no quociente.
43 : 4 = 1 (3) (4 dividido por 4 é igual a 1. Sobram 3.)
93 : 9 = 1 (3) (9 dividido por 9 é igual 1. Sobram 3.)
Considerando as contas terem ou não resto igual a zero, ou seja serem ou
não exatas, observa-se na Tabela 1 que esse não foi um fator determinante para o
percentual de acerto uma vez que existe uma grande variação entre eles, como
podemos ver na Tabela 1 nas questões P1, P3, P5, PO4, PO6, PO7 e PO9.
Observa-se (em amarelo) que as questões P4, P6, P9, PO5, PO6, PO7 e
PO8 implicavam em operações que tinham restos internos na conta, ou seja, não era
10
possível dividir as dezenas de forma exata sendo necessário transformá-las em
unidades para dar continuidade a operação que não obtivemos percentuais de
acerto semelhantes. Tais resultados não nos ajudam a entender porque os alunos
estão acertando ou não resolver as operações.
Em função desses resultados buscamos relacionar a sondagem com o teste
final, e novamente não encontramos explicações para as diferentes especificidades
de cada operação considerando o percentual de acerto.
Resolvemos, então, analisar se houveram diferenças entre as turmas. A
Tabela 2 abaixo apresenta os percentuais de acerto na sondagem para cada turma.
TABELA 2 – Percentual de acerto nas questões de sondagem em cada turma
QUESTÕES
TESTE
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
Turma A
47
50
32
35
50
9
15
23
20
9
Turma B
45
77
15
31
15
0
23
23
15
31
Observa-se que apenas nas questões P5 (63:3) e P10 (93:9) os percentuais
são diferentes (50% e 9% na turma A e 15% e 31% na turma B). Percebe-se que as
contas envolvem uma mesma lógica, ou seja, é possível dividir o primeiro algarismo
pelo divisor tendo uma resposta exata e sobram 3 unidades. Tal resultado é
bastante intrigante uma vez que não podemos afirmar que alguns alunos sabem (ou
alguma turma) e a outra não, pois para a questão P5 a turma A foi melhor e para a
questão P10 a turma B foi melhor.
Em seguida analisamos cada turma no teste final buscando investigar se
alguma turma havia aprendido algum tipo de operação específico que nos ajudasse
a entender o que nossos dados apresentavam. Esses resultados estão na Tabela 3
abaixo:
TABELA 3 – Percentual de acerto nas questões do teste final em cada turma
QUESTÕES
TESTE
PO1
PO2
PO3
PO4
PO5
PO6
PO7
PO8
PO9
PO10
Turma A
65
67
20
41
17
47
29
17
9
47
Turma B
69
31
0
31
23
46
38
23
15
54
Observa-se diferenças para as questões PO2 (17:7) e PO3 (204:5) entre as
turmas. A turma A foi melhor em ambas as questões, porém na questão PO2 o
11
percentual de acerto foi bem superior a outra conta. Até aqui, não conseguimos,
ainda, compreender o porque das diferenças de percentuais de acerto entre as
contas e entre as turmas.
Acrescido a esses resultados, observamos que na turma A teste final o
material dourado foi desenhado por 50% dos alunos como estratégia de resolução
das contas. Os educandos que usaram este material demonstraram ter
compreendido o uso desta estratégia, como demonstra o protocolo abaixo, porém,
mesmo utilizando este recurso não houve um progresso em relação à sondagem.
Trabalhar com jogos ajudou a aprendizagem?
É importante ressaltar que tivemos dificuldades em encontrar sugestões de
atividades e jogos para a nossa pesquisa, que para realizá-la procuramos em livros,
sites e trabalhos já publicados. Como também foi bastante difícil encontrar situações
referentes ao algoritmo da divisão com e sem resto. Diante desta dificuldade em
encontrarmos o material necessário para a realização das intervenções, tivemos que
adaptar atividades e jogos já existentes.
A turma A trabalhou com jogos durante as intervenções. No jogo da TRILHA
DA DIVISÃO, os alunos precisavam resolver as contas através do cálculo mental,
não podendo utilizar nenhum material manipulativo para encontrar as respostas.
Eles só podiam avançar na trilha quando o resultado da conta sobrava resto.
Esse jogo mostrou-se difícil para esses alunos uma vez que os mesmos não
conseguiam resolver a divisão através de cálculo mental e, muitas vezes eles
encontravam a resposta certa, mas não podiam passar a frente, porque o resto da
12
conta era igual a zero. Dentre os vários grupos, apenas três demonstraram interesse
em terminar a partida. Um deles era constituído por meninas, que se ajudavam entre
si para encontrar a resposta: quando o número a ser dividido não cabia nas mãos de
quem estava jogando, uma menina pedia para que sua colega estirasse os dedos
que faltavam para completar o numeral fazendo, em seguida, grupinhos de acordo
com o divisor. Mesmo sabendo que deveria haver um vencedor, todas cooperavam
entre si para ver quem ganharia a partida.
Nos outros grupos, os integrantes resolviam as contas individualmente não
havendo uma troca de estratégias entre eles. Os que sabiam resolver não queriam
esperar pelos outros. Esse jogo não alcançou o objetivo desejado. Buscávamos com
ele levar os alunos a refletirem sobre o resto, entretanto, a dificuldade deles com a
operação de divisão era tão acentuada que não permitiu que os mesmos pudessem
de fato jogar com uma fluência necessária ao ritmo do jogo.
Por outro lado, esse jogo também parece não ter propiciado para esses
alunos uma troca de estratégias e argumentações que pudessem levar os mesmos a
construírem conhecimentos sobre o papel do resto na divisão.
Uma vez que jogar tendo como estratégia o cálculo mental não havia sido
uma forma interessante de estimular os alunos a uma reflexão, para o segundo jogo
proposto a esses alunos buscamos proporcionar uma reflexão sobre o resto a partir
da manipulação de materiais concretos.
No jogo TRÊS EM LINHA, o resultado deveria ser encontrado por meio do
material dourado e depois ser marcado na cartela que cada aluno em seu respectivo
grupo recebia. O ganhador da partida era quem marcasse uma linha (vertical,
horizontal ou diagonal) das respostas encontradas das divisões ditadas por um dos
alunos. Nesse jogo, muitos alunos se atrapalharam na transformação dos números
do dividendo para a realização das contas, dificultando o encontro das respostas
para marcar na cartela. Entretanto, o uso do material dourado na sala de aula,
auxiliou o ensino-aprendizagem dos alunos, uma vez que possibilitava uma troca de
formas de manipulação do material entre os alunos levando os mesmos a
explicitarem seus procedimentos e conseqüentemente a compreensão da operação.
Dessa forma, nossos dados demonstram que os jogos utilizados durante
esses dois dias de intervenção com esses alunos não foram suficientemente
adequados para que houvesse uma maior compreensão da turma em relação a
operação de divisão.
13
Trabalhar com a calculadora ajudou a aprendizagem?
Já na turma “B”, na qual foi trabalhada atividades com calculadora, os alunos
já tinham contato com este recurso em outro espaço fora da escola deixando-nos
mais à vontade para propor as atividades.
Na atividade 1 (ver anexo) com a calculadora, os alunos precisavam recebiam
uma folha a qual solicitava que eles encontrassem o dividendo a partir da
multiplicação do divisor pelo cociente e somado ao resto. Essa atividade também
buscava levá-los a compreender o papel do resto na divisão. Entretanto, na ânsia de
ajudar os alunos a compreenderem a lógica da divisão, nós nos precipitamos e
mostramos um modelo de como poderiam proceder. Minutos depois percebemos
que nossa precipitação havia transformado a atividade de construção de uma lógica
numa atividade mecânica a ser solucionada com o uso da calculadora. O resultado
foi que nem nós nem os alunos acharam a atividade, no mínimo interessante, e
questionamos o fato dela ter auxiliado os mesmos a compreenderem o papel do
resto na divisão.
Já a atividade 2 (ver anexo) foi mais dinâmica, uma vez que a proposta era mais
desafiadora, pois os alunos construíram as próprias contas através dos números
ditados pelas pesquisadoras. Ao longo da atividade, percebemos que os alunos
foram compreendendo que os algarismos de maior valor precisavam estar nas
primeiras casas e o divisor deveria ser o menor algarismo. Para auxiliar a essa
construção, realizamos após 3 operações uma reflexão conjunta sobre o que
estavam pensando sobre onde colocar os algarismos. Finalmente, a maioria da
turma compreendeu a lógica da atividade favorecendo assim a compreensão da
divisão.
Durante a resolução das contas, que não eram exatas, foram geradas muitas
dúvidas entre os alunos, porque a resposta encontrada na calculadora era com
números decimais, os quais não foram ensinados aos educandos, segundo a
professora titular. Este fato gerou várias dúvidas nos alunos ao registrar as
respostas na folha mimeografada. Como esse não era nosso foco da pesquisa
naquele momento, sugerimos que os alunos só escrevessem apenas os números na
frente do ponto.
A realização desta atividade foi bastante produtiva, no sentido que as
respostas do ditado eram constantemente comparadas por eles, que através das
14
discussões foi proporcionado a estes perceberem a importância da ordem e do valor
dos números do dividendo e do divisor, os quais influenciam no resultado da divisão.
A calculadora é vista pela maioria das professoras como uma ferramenta que
‘não permite’ que os alunos reflitam sobre o resultado encontrado, mas o que
percebemos, em nossa pesquisa, é que o recurso pode ajudar no raciocínio lógicomatemático. Entretanto, se as atividades a serem aplicadas não forem bem
elaboradas podem não contribuir com o processo de ensino-aprendizagem dos
alunos como ocorreu na nossa primeira atividade. É importante pensar que a
calculadora é um recurso e não um método a ser aplicado em todas as aulas de
matemática e por isso é preciso que as educadoras reflitam sobre que objetivos
devem ser alcançados pelos alunos com este recurso.
Assim, concluímos que este recurso proporcionou interação entre os
educandos na realização das atividades, a manipulação de um diferente material
didático na verificação dos resultados das operações com divisão e agilidade na
resolução dos problemas. Dessa forma, a calculadora parece ter contribuído com a
aprendizagem dos alunos em relação à divisão. Porém, esse dado não foi
observado em relação ao teste final como já relatamos. Diante desses resultados
nos cabe refletir se os alunos de fato aprenderam sobre a divisão, ou se a situação
proposta no teste final era de natureza diferente a proposta nessas atividades, o que
levou os alunos a apresentarem um bom desempenho em uma e não em outra.
Alguns alunos avançaram!
Dentre os 47 alunos de nossa pesquisa, três alunos conseguiram
compreender o algoritmo da divisão. O que será que levou eles a essa
aprendizagem?
O aluno ‘A’, na diagnose escreve números aleatórios e sem nenhum registro
de suas estratégias. No teste final, esse aluno mostra uma grande evolução, pois
armou as contas corretamente e conseguiu resolver através de desenhos (bolinhas)
as suas respostas, apesar de ainda apresentar dificuldades com o resto da divisão.
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Aluno “A” na diagnose e no teste final
O aluno ‘B’ é repetente e fora de faixa (com 13 anos de idade). Foi
observado pela professora titular que este educando consegue resolver sem maiores
dificuldades o algoritmo das outras três operações fundamentais, assim como
identifica-los em situações-problema. No entanto, com a divisão, havia uma grande
resistência em aprendê-la, por achar sempre muito “difícil”. Essa dificuldade pode
ser percebida na diagnose desse aluno, na qual foram colocadas como respostas
para as contas numerais aleatórios e sem nenhum registro das estratégias utilizadas
para encontrar o resultado. No teste final, que pode ser visto abaixo, o aluno passa a
se preocupar com o registro das estratégias utilizadas para cada conta,
demonstrando que a utilização do material dourado foi fundamental para a
construção do conhecimento do algoritmo da divisão. Mesmo que essa criança não
tenha acertado todas as contas, podemos perceber por meio desse ‘teste’ que
houve um progresso significativo.
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Aluno B diagnose e teste final
Finalmente, o aluno ‘C’, que também é um aluno repetente, na diagnose
demonstrou não conhecer o algoritmo da divisão, pois resolveu as contas por meio
da operação da subtração, isto pode ser constatado na reprodução da diagnose e no
teste final desse aluno descrita abaixo:
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Aluno C diagnose e teste final
A partir desses alunos podemos dizer que as intervenções não contribuíram
de maneira mais efetiva para as turmas como um todo, entretanto, alguns alunos se
beneficiaram dessas intervenções. Esses três alunos descritos acima, mostram
claramente que passaram a compreender a lógica da divisão. Os outros, não
podemos afirmar que não se beneficiaram, o que podemos dizer é que nas
atividades propostas por nós no teste final eles não mostraram evidencias de suas
construções.
Assim, a experiência em trabalhar com material dourado mostrou-se válida,
porque observamos que alguns alunos que não sabiam resolver a divisão na
diagnose conseguiram no teste final resolver as contas com esse recurso, além
disso, podemos acrescentar que os alunos gostaram de trabalhar com este material
manipulativo.
Nos perguntamos nesse momento, se o jogo ou a calculadora auxiliaram a
aprendizagem. Podemos argumentar que o material manipulativo ajudou talvez
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porque esses alunos interagiram com os colegas a partir dele e, assim, puderam
confrontar argumentos e estratégias.
Conclusão comparativa das turmas
Ao observar a diagnose das duas turmas, percebemos que as crianças da
turma A, apesar de já ter contato com o algoritmo da divisão desde a 2ª série, de
forma tradicional, tiveram muitas dificuldades em encontrar os resultados corretos,
principalmente, com relação ao resto e ao zero no quociente. Na turma B, os alunos
demonstram já ter trabalhado a divisão, pois nos números ‘menores’, eles encontram
os resultados corretos, mas com aumenta o valor dos números eles demonstram
não saber como resolver. A professora titular desta turma disse que trabalha a
divisão com eles por meio de situações-problema, pois, para ela, facilita a
compreensão das contas. Acreditamos como ela, que as operações precisam ser
trabalhadas a partir de situações problemas, entretanto, existem especificidades das
operações que precisam ser também objeto de estudo.
Consideramos que as intervenções não foram suficientes para contribuir na
compreensão do algoritmo da divisão, mas verificamos que esses momentos de
construção de conhecimento em grupo, deveriam acontecer mais vezes na sala de
aula, pois o que sabe mais pode ajudar o outro a compreender como dividir de forma
mais autônoma com ou sem auxílio de recursos didáticos, não deixando toda a
responsabilidade para o professor.
CONCLUSÃO
Os resultados obtidos mostraram que com apenas duas intervenções (jogos
ou uso de calculadora) não foi possível contribuir de forma significativa na
aprendizagem desses alunos em relação à compreensão do resto em divisões.
Contudo, destacamos a importância de trabalhar tanto a calculadora quanto os jogos
de regras na sala de aula, como ferramentas auxiliares no processo de ensinoaprendizagem das quatro operações fundamentais, pois os alunos podem
compreender de forma concreta como ocorre a divisão com e sem resto.
Para finalizar, conseguimos perceber com nossa pesquisa que a divisão
precisa ser trabalhada desde a alfabetização para que os alunos já tenham
familiaridade com esta operação desde cedo, não deixando para as séries finais,
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essa responsabilidade de fazê-los entender uma conta que é construída de forma
diferente das outras (adição, subtração, multiplicação). É necessário frisar, mais uma
vez, que os recursos didáticos são meios auxiliares para o processo de ensinoaprendizagem e não métodos, por isso devem ser planejados com bastante
coerência.
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BIBLIOGRAFIA
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cálculo de crianças que usaram calculadora em sua formação. Anais do ENEM,
Recife, 2004.
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calculadora em sua formação. Dissertação de Mestrado. Mestrado em Educação da
UFPE, 2002.
BORBA, Rute e SELVA, Ana. O uso de diferentes representações na resolução de
problemas de divisão inexata: analisando a contribuição da calculadora. Boletim:
GEPEM/ n.º 47 – jul/ dez. 2005.
COSTA,Ana Amélia; SANTOS, Rúbia e GUIMARÃES, Gilda. Refletindo sobre a
utilização de jogos matemáticos nas séries iniciais. Trabalho de Conclusão de Curso
do Curso de pedagogia da UFPE, 2005.
DANTE, Tudo é Matemática – 5º série. São Paulo: Ática. 2002.
GROVES, S. The effect of calculator use on third and fourth graders computation and
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p. 33-40.
MEDEIROS,K. A influência da calculadora na resolução de problemas matemáticos
abertos. Educação Matemática em Revista, n.º 14,ano 10. 2000, p. 19-28.
PCN: Matemática/Secretaria de Educação Fundamental – Brasília: MEC/ SEF. 1997.
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vol. 4, Lisboa, Portugal, 1994, p. 164.
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decimais. In: Anais do XVII Encontro de Pesquisa Educacional do Nordeste, vol. 2B,
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Renascer, 1997.
______. O Jogo e a Matemática no Ensino Fundamental: séries iniciais. Curitiba:
Renascer, 1999.
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ANEXO1 - JOGOS DE REGRAS
TRILHA DA DIVISÃO
Objetivo: Desenvolver as estratégias de cálculo mental para a resolução de
operações de divisão, além de reconhecer em quais situações usa-se ou não resto.
Participantes: Grupos de 4 alunos.
Recursos: Um tabuleiro para a trilha e cartas com divisões:
Regras:
1. Embaralhe as cartas com as faces voltadas para baixo.
2. Cada jogador sorteia uma carta na sua vez, resolve a divisão e recoloca a
carta no monte.
3. O jogador avança na trilha casa a casa, a partir do resto das divisões que
fizer.
4. Se um jogador cair na mesma casa que seu oponente, ele deve voltar duas
casas. Se o resto for zero, fica onde está até sortear uma carta que lhe
permita avançar.
5. Vence quem chegar à saída primeiro, seguindo a trilha do tabuleiro.
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TRÊS EM LINHA
Objetivo: Auxiliar o aluno a realizar algoritmos de divisão utilizando o material
dourado.
Participantes: grupos de 4 alunos.
Recursos: Cartelas numeradas com os resultados de divisões, cartões com as
operações e o material dourado.
REGRAS:
1. No grupo, cada aluno receberá uma cartela.
2. Cada aluno, na sua vez, retoma um cartão, resolve a operação com o material
dourado e confere se em sua cartela tem o resultado encontrado.
3. Vence quem primeiro marcar na sua cartela uma linha: vertical, horizontal ou
diagonal.
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ANEXO 3 - ATIVIDADES COM CALCULADORA
ATIVIDADE 1
Objetivo: Auxiliar o aluno a realizar a operação de divisão, utilizando a calculadora.
Essa atividade será realizada em duplas. Cada dupla receberá uma folha com as
atividades descritas abaixo e uma calculadora. O aluno deverá achar o dividendo
com o auxílio da calculadora e colocar a letra correspondente ao lado do resultado
da operação na tabela. A meta é marcar a cartela completa e corretamente.
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ANEXO 4 - ATIVIDADE 2 COM CALCULADORA
Objetivo: Auxiliar os alunos a estimar a ordem de grandeza de um quociente e a
refletir sobre o que garante que o quociente de uma divisão seja maior ou menor.
Procedimento: Cada dupla receberá uma folha mimeografada com 12 espaços em
branco para registrar operações de divisão (como apresentada abaixo) e uma
calculadora. Serão ditados quatro números, um de cada vez, e os alunos escreverão
em um dos quadradinhos para formar a operação. Após colocar os números, a dupla
utilizará a calculadora para resolver a divisão.
Seqüência de números ditados:
a) 1 - 9 - 5 - 4
b) 4 - 9 -1 - 5
c) 6 - 4 - 5 - 7
d) 4 - 9 - 1 - 5
e) 9 - 8 - 3 - 6
f) 5 - 4 - 6 - 7
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