X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
O RACIOCÍNIO COMBINATÓRIO DE ALUNOS DA EDUCAÇÃO DE JOVENS E
ADULTOS: DO INÍCIO DA ESCOLARIZAÇÃO ATÉ O ENSINO MÉDIO1
Rute Elizabete de Souza Rosa Borba
Universidade Federal de Pernambuco - UFPE
[email protected]
Rita de Cássia Gomes de Lima
Universidade Federal de Pernambuco - UFPE
[email protected]
Resumo: Neste estudo analisamos a compreensão de alunos da Educação de Jovens e
Adultos sobre problemas de estrutura multiplicativa, mais especificamente os que
envolvem o raciocínio combinatório. Participaram da pesquisa 150 alunos de cinco
instituições públicas que resolveram 16 questões envolvendo problemas multiplicativos,
incluindo os de raciocínio combinatório de naturezas distintas (arranjo, combinação,
permutação e produto cartesiano). Observamos que o gênero influenciou o desempenho
dos alunos, porém, isto pode ter ocorrido devido ao exercício profissional, que também se
mostrou um fator que afeta a compreensão da Combinatória. Outros fatores que
influenciaram fortemente o desempenho foram os anos de escolarização, a série
freqüentada e o tipo de problema. Verificamos que alunos desta modalidade de ensino
resistem a usar representações não-formais para a resolução dos problemas combinatórios
e os que o fazem utilizam-se mais da listagem de possibilidades. Concluímos que a escola
é peça fundamental no desenvolvimento dos conhecimentos de Combinatória, sendo
essencial reconhecer como válidos os conceitos já adquiridos pelos alunos, antes mesmo da
formalização dos mesmos, para ampliar e aprofundar o raciocínio combinatório dos
estudantes.
Palavras-chave: Educação de Jovens e Adultos; Estruturas Multiplicativas; Raciocínio
Combinatório.
INTRODUÇÃO
A Educação de Jovens e Adultos (EJA) é parte importante da história de nosso país,
pois ela é uma realidade brasileira que vivenciou várias fases diferentes até chegar ao
estágio atual, passando de objetivos essencialmente reparadores para uma educação que
1
Projeto parcialmente financiado pela FACEPE (APQ – 1095 -7.08/08), CNPq (476665/2009 – 4) e CAPES
(Bolsa de Mestrado). As autoras deste trabalho fazem parte do Grupo de Estudos em Raciocínio
Combinatório que é constituído por professora e aluna do Programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática e Tecnológica (EDUMATEC) do Centro de Educação da Universidade Federal de Pernambuco.
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visa a confiança na capacidade dos jovens e adultos, reconhecendo seus ricos
conhecimentos desenvolvidos em práticas sociais diversas.
Para Oliveira (1999), quando nos referíamos à Educação de Jovens e Adultos no
Brasil, falávamos de um adulto que era um indivíduo proveniente, em sua maior parte, de
áreas rurais que chegava às grandes metrópoles e que procurava tardiamente a escola para
alfabetizar-se ou cursar algumas séries do ensino supletivo. Hoje a identidade da EJA
apresenta-se de forma diferente. Temos mais alunos em centros urbanos provenientes do
próprio centro e não vindos de meios rurais. Outro fator importante que caracteriza essa
clientela atualmente é a presença significativa de jovens em salas de EJA.
É importante investigar o conhecimento de Combinatória de alunos da Educação de
Jovens e Adultos, pois ainda são relativamente poucos os estudos de conhecimentos
matemáticos de alunos de EJA, comparando com pesquisas realizadas com crianças e
adolescentes e porque o raciocínio combinatório é um modo de pensar muito necessário e
que deve ser desenvolvido, pois abrange conhecimentos importantes para o
desenvolvimento de outros conceitos matemáticos e de outras áreas de estudo.
REVISÃO DA LITERATURA
A aprendizagem da Matemática na Educação de Jovens e Adultos deve se justificar
“com oportunidades de fazer emergir uma emoção que co-move os sujeitos enquanto
resgata (e atualiza) vivências, sentimentos, cultura e, num processo de confronto e
reorganização, acrescenta mais um elo à história do conhecimento matemático”
(FONSECA, 2002).
Na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1986), o conhecimento não é
compreendido isoladamente, ele deve ser inserido dentro de um campo conceitual que se
relaciona com os outros conhecimentos. Assim, um conceito se desenvolve na relação com
outros conceitos, por meio de diferentes tipos de problemas, utilizando várias situações e
simbolismos. Nessa teoria, defende-se que no estudo do desenvolvimento conceitual devese considerar um triplet (como o autor acima designa) de três conjuntos: (S) o conjunto de
situações que dão sentido ao conceito; (I) o conjunto de invariantes que constituem as
diferentes propriedades do conceito, e (R) o conjunto de representações simbólicas usadas
para representar invariantes e situações. Campo Conceitual é, portanto, “um conjunto de
situações cujo domínio requer uma variedade de conceitos, de procedimentos e de
representações simbólicas em estreita conexão” (VERGNAUD, 1986). Deste modo, a
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compreensão de conceitos pode começar antes mesmo do início do ensino formal e ser
influenciada tanto por experiências no âmbito escolar como fora dela.
É necessário que o educador não só respeite os saberes com que os educandos
chegam até ele, mas também, é necessário “discutir com os alunos a razão de ser de alguns
desses saberes em relação com o ensino de conteúdos”. (FREIRE, 1996).
Resultados de estudos anteriores realizados com a EJA podem contribuir numa
mais ampla visão de ensino, reconhecendo conhecimentos advindos de práticas sociais. No
trabalho de Gomes e Borba (2008), realizado com pedreiros e marceneiros, observou-se
que a experiência profissional destes foi significativa na formação do conceito de número
decimal, devido às estratégias de cálculo usadas e pelas habilidades demonstradas por estes
profissionais. Silva e Borba (2007), em seu estudo com crianças e adultos, observaram que
o desempenho dos adultos foi estatisticamente superior ao das crianças e que mesmo
adultos não escolarizados em decimais desempenharam-se bem melhor que crianças que já
haviam estudado decimais na escola. Schliemann (1988), num estudo sobre o raciocínio
combinatório, em particular em problemas de permutação, entrevistou cambistas do jogo
do bicho, estudantes universitários e trabalhadores de condições sócio-econômicas
semelhantes ao dos cambistas e verificou que por terem experiência com o jogo do bicho,
os cambistas descobriram estratégias para solucionar as permutações possíveis entre os
elementos de um conjunto, conhecimento nem sempre evidenciado pelos universitários e
outros profissionais.
De acordo com Inhelder e Piaget (1955), operações combinatórias representam
mais do que um mero ramo da Matemática, pois a capacidade combinatória é fundamental
para o raciocínio dedutivo hipotético. Para estes autores, os adolescentes, por meio da
maturação, descobrem formas sistemáticas de enumeração combinatória. Outros autores,
como Fischbein (1975), ressaltam a necessidade de ensino formal no desenvolvimento do
raciocínio combinatório.
Estudos anteriores abordaram problemas que envolvem distintos tipos de problemas
combinatórios, contudo, encontramos na pesquisa de Pessoa e Borba (2009), uma
organização única que envolve quatro tipos de problema, pois as autoras consideraram que
os mesmos são característicos do pensamento combinatório, o que contribui para a reflexão
teórica da importância de se trabalhar em sala de aula com a diversidade de problemas de
Combinatória.
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Para cada tipo de problema de combinatória há distintos invariantes, contudo, o
invariante geral da combinatória é o fato de que todos combinam elementos. Os problemas
de produto cartesiano (Nunes e Bryant, 1997), produto de medidas (Vergnaud, 1983, 1991)
ou combinatória (PCN, Brasil, 1997) envolvem dois conjuntos básicos mais um terceiro
que, com a combinação de seus elementos, resultará em um novo conjunto. Por exemplo:
Na fábrica “Bola Tudo” há 4 tamanhos de bolas e estas são feitas em 7 desenhos
diferentes. Quantos tipos de bolas são fabricadas? Problemas de arranjo simples sem
repetição são aqueles nos quais é dado um grupo maior e dele selecionados elementos a
serem organizados, sendo a ordem importante na composição das possibilidades. Por
exemplo: Para representante de uma sala de aula se candidataram 3 pessoas (João,
Mariana,Vítor). Quantas maneiras diferentes poderão ser escolhidos o representante e o
vice-representante? Problemas de combinação simples são aqueles nos quais é dado um
grupo maior e dele selecionados elementos a serem organizados, sendo que a ordem dos
elementos não gera novas possibilidades. Por exemplo: Três alunos (Mário, Raul e Júnior)
participam de um concurso em que serão sorteadas duas bicicletas iguais. Quantos
resultados diferentes podem ser obtidos no concurso? Finalmente, os problemas de
permutação simples são aqueles nos quais todos os elementos são usados em ordens
diferentes. Por exemplo: Calcule o número de palavras que podem ser criadas (existentes
ou inventadas) usando a palavra AMOR.
MÉTODO
A presente pesquisa teve como objetivo analisar a compreensão de alunos da
Educação de Jovens e Adultos, em todos os níveis desta modalidade de ensino, sobre
problemas de estruturas multiplicativas, especificamente os que envolvem o raciocínio
combinatório. Para tanto, buscamos verificar se entre os problemas multiplicativos os que
envolvem o raciocínio combinatório são os que apresentam maiores dificuldades por parte
dos alunos; levantar os tipos de problemas de Combinatória que os alunos de EJA têm
maior e menor dificuldade; analisar as estratégias utilizadas por esses alunos na resolução
de problemas de Combinatória de diferentes naturezas; comparar os resultados obtidos por
estudos anteriores com alunos do Ensino Fundamental e Médio sobre este conteúdo
matemático; comparar os desempenhos em função das atividades profissionais exercidas
pelos alunos de EJA; e comparar o desempenho em função da escolaridade.
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Deste estudo participaram 150 alunos de cinco escolas públicas em cinco módulos
da Educação de Jovens e Adultos (Módulos I, II, III e IV para as séries iniciais e finais do
Ensino Fundamental e uma turma de Mecânica do PROEJA - Programa Nacional de
Integração da Educação Profissional com a Educação Básica na Modalidade de Educação
de Jovens e Adultos), sendo 30 alunos para cada módulo. Estes alunos resolveram 16
questões multiplicativas e de Combinatória (duas questões para cada tipo de problema).
Numa folha à parte do teste, os alunos responderam a um pequeno questionário para que
fosse possível traçar o perfil dos mesmos.
RESULTADOS
Na Tabela 1 são apresentados os percentuais de acertos dos alunos por gênero. Observa-se
que os participantes do gênero feminino apresentaram um menor percentual de acerto, com
um elevado percentual de participantes acertando seis questões ou menos. Já os
participantes do gênero masculino se dividiram quase que por igual entre os que tiveram
até seis acertos e os que tiveram mais de seis acertos.
Tabela 1. Percentuais de acerto total por gênero
Gênero
Quantidade de acertos
Feminino
Masculino
Menor ou igual a 6 acertos
77,5
51,42
Maior que 6 acertos
22,5
48,58
Observando a Tabela 2, vemos que o grupo com maior número de alunos acertando
até seis questões está no das atividades domésticas, ou seja, os participantes desse grupo –
prioritariamente mulheres – tiveram um mais fraco desempenho. Os homens, por outro
lado, se distribuíam em outras profissões e demonstraram um melhor desempenho.
Tabela 2. Percentuais de distribuição dos alunos por gênero e profissão
Profissões
Gênero
A
B
C
D
E
F
G
H
Feminino
31
1
-
14
2
1
-
3
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Masculino
3
-
7
22
3
1
5
7
A – Atividades domésticas; B – Atividades de produção de alimentos; C – Atividades com transporte; D –
Estudantes; E – Atividades comerciais; F – Atividades de atendimento e serviço em alimentação; G –
Atividades da construção civil; H – Outras.
A constatação da influência da profissão no desempenho matemático foi observada
em estudos anteriores, como os desenvolvidos por Nunes Carraher, Carraher e Schliemann
(1988). Nas pesquisas efetuadas com profissionais de áreas diversas, constataram que é
possível a construção de conhecimentos matemáticos no exercício de algumas profissões,
pois antes da escolarização alguns profissionais desenvolvem estratégias de cálculo para
resolverem certas situações-problema.
Como se pode observar na Tabela 3, de modo geral, conforme os anos de
escolarização aumentam, observa-se um maior número de acertos no teste. O acréscimo no
número de acertos é mais evidente nos alunos com mais de dez anos de estudo.
Tabela 3. Percentuais de acerto total por anos de estudo
Anos de estudo
Acerto total
0 – 6 acertos
Mais de 6 acertos
0 – 4 anos de estudo
7
3
5 – 7 anos de estudo
24
3
8 – 10 anos de estudo
17
7
Mais de 10 anos de estudo
16
23
Examinando em maior detalhamento quem são os participantes que possuem maior
tempo de escolarização, na Tabela 4 pode-se observar que nem sempre há uma relação
direta entre anos de escolarização e a série frequentada. Há, porém, uma tendência de que
os alunos das séries mais avançadas tenham maior tempo de estudo.
Pode-se observar na Tabela 5 que o que muda entre os alunos dos dois primeiros
módulos (correspondentes às séries iniciais do Ensino Fundamental) e os dos dois
seguintes (correspondentes às séries finais) é o acréscimo no número de participantes que
acertam mais de seis questões. Há um evidente avanço no desempenho dos alunos do
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PROEJA, com a maioria destes alunos acertando mais de seis questões. Assim, o efeito da
escolarização evidenciou-se entre grupos distantes, mas não entre grupos próximos.
Quanto aos tipos de problemas, observou-se que, de modo geral, os alunos têm
melhor desempenho em outros problemas multiplicativos (multiplicação, quotição e
partição) do que em problemas combinatórios. Esse melhor desempenho confirma o que
foi pontuado por Selva, Borba, Campos, Bivar, Ferreira e Luna (2008), Nesher (1988) e
Brown (1981) que, entre os problemas multiplicativos, os de produto cartesiano – um dos
tipos de problemas combinatórios – são os que apresentam maior dificuldade.
Tabela 4. Distribuição dos participantes por anos de estudo e módulo (série)
Anos de
Módulo
Total
estudo
Módulo I
Módulo II
Módulo III
Módulo IV
PROEJA
0–4
12
2
1
-
-
15
5–7
10
22
5
4
-
41
8 – 10
6
3
15
12
-
36
Mais de 10
2
3
9
14
30
58
Total
30
30
30
30
30
150
Tabela 5. Distribuição dos participantes por módulo e acerto total
Módulos (séries)
Total de acertos
0 – 6 acertos
Mais de 6 acertos
Módulo I
25
5
Módulo II
29
1
Módulo III
19
11
Módulo IV
22
8
PROEJA
3
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Analisando os desempenhos dentre os problemas combinatórios, os resultados
mostram que os problemas de produto cartesiano são os que os alunos apresentam menor
dificuldade, seguido dos problemas de permutação, combinação e arranjo. Estes resultados
assemelham-se aos obtidos por Pessoa e Borba (2009) nos quais os problemas de produto
cartesiano foram os que apresentaram menor dificuldade dentre os problemas
combinatórios, mas estas autoras observaram maiores dificuldades nos problemas de
combinação do que nos de arranjo. Entretanto, há convergência de resultados no sentido de
que os problemas menos trabalhados explicitamente – permutações, combinações e
arranjos – são os que os alunos apresentam maior dificuldade.
Percebemos que os alunos pesquisados utilizaram diferentes formas de
resolução. Embora se tenha observado resistência da maioria dos participantes em
utilizarem
representações
simbólicas
menos
formais,
identificamos
algumas
estratégias interessantes e bem semelhantes às encontradas por Pessoa e Borba
(2009). A representação informal mais comumente usada por alunos jovens e adultos
foi a listagem sistemática de elementos.
A seguir, temos exemplos de soluções apresentadas por alunos de séries distintas e
para tipos diferentes de problemas combinatórios (Figuras 1, 2 e 3).
Figura 1. Solução correta de um problema de arranjo
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Figura 2. Solução correta de um problema de permutação
Figura 3. Solução correta de um problema de produto cartesiano direto
CONCLUSÕES
De acordo com os resultados obtidos, observamos que o desenvolvimento do
raciocínio combinatório ocorre atrelado a algumas variáveis (exercício profissional, anos
de escolarização, série e tipos de problemas) que fazem grande diferença no desempenho
dos alunos.
Deste modo, percebemos que a escola é essencial para o desenvolvimento do
raciocínio combinatório, pois é nela que deve haver um reconhecimento de que alunos
possuem conhecimentos anteriores (desenvolvidos a partir de atividades escolares
anteriores ou extra-escolares – como os construídos no exercício profissional) e a
constatação de que alguns aspectos dos conhecimentos já são dominados (como os
problemas de produto cartesiano, nos quais muitos alunos tiveram bom desempenho) e
outros ainda precisam ser desenvolvidos (como a compreensão mais ampla de arranjos,
permutações e combinações).
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