caderno do
ensino médio
2ª- SÉRIE
volume 1 - 2009
matemática
PROFESSOR
Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos
dos Professores
Ghisleine Trigo Silveira
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
AUTORES
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches
Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo,
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
Governador
José Serra
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari
Vice-Governador
Alberto Goldman
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers
Secretária da Educação
Maria Helena Guimarães de Castro
Secretária-Adjunta
Iara Gloria Areias Prado
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenadora de Ensino do Interior
Aparecida Edna de Matos
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TéCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem,
Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã
Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de
Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de
Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira
e Yassuko Hosoume
Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de
Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença
de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi,
Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque,
Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e
Sayonara Pereira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues,
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João Henrique
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz
Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério
Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e
Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de
Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos
Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane
Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José
Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires
Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da
Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange
Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luís Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial,
Edições Jogos de Amarelinha, Jairo Souza Design
Gráfico e Occy Design (projeto gráfico)
APOIO
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da
Educação
CTP, Impressão e Acabamento
Imprensa Oficial do Estado de São Paulo
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*
deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
S239c
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
Caderno do professor: matemática, ensino médio - 2a série, volume 1 /
Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José
Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-187-1
1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês.
II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore.
IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter.
VII. Título.
CDU: 373.5:51
Prezado(a) professor(a),
Dando continuidade ao trabalho iniciado em 2008 para atender a uma das
prioridades da área de Educação neste governo – o ensino de qualidade –, encaminhamos a você o material preparado para o ano letivo de 2009.
As orientações aqui contidas incorporaram as sugestões e ajustes sugeridos
pelos professores, advindos da experiência e da implementação da nova proposta em sala de aula no ano passado.
Reafirmamos a importância de seu trabalho. O alcance desta meta é concretizado essencialmente na sala de aula, pelo professor e pelos alunos.
O Caderno do Professor foi elaborado por competentes especialistas na área
de Educação. Com o conteúdo organizado por disciplina, oferece orientação
para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas.
Esperamos que você aproveite e implemente as orientações didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer dúvidas ou
dificuldades, assim como para promover ajustes ou adaptações que aumentem
a eficácia deste trabalho.
Aqui está nosso novo desafio. Com determinação e competência, certamente iremos vencê-lo!
Contamos com você.
Maria Helena Guimarães de Castro
Secretária da Educação do Estado de São Paulo
Sumário
São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado
Ficha do Caderno
5
7
Orientação geral sobre os Cadernos
Situações de Aprendizagem
8
12
Situação de Aprendizagem 1 – O reconhecimento da periodicidade
12
Situação de Aprendizagem 2 – A periodicidade e o modelo da circunferência
trigonométrica 20
Situação de Aprendizagem 3 – Gráficos de funções periódicas envolvendo
senos e cossenos 35
Situação de Aprendizagem 4 – Equações trigonométricas
Orientações para Recuperação
49
56
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para
a compreensão do tema 58
Considerações finais
59
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio
60
São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA
CurriCulAr PArA o EStAdo
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do
Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão
também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas
durante a primeira fase de implantação da proposta.
Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida
das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto
na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam
ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los.
A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição.
Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e
consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o
que estava sendo proposto.
Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para
o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse
processo.
Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação
da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único,
gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes.
Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no
contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia
escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da
aprendizagem e de seus resultados.
5
Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva,
na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas
e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e
recursos didáticos.
Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de
São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das
ações propostas para a construção de uma escola melhor.
O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que
acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a
em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será
apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi
alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos
Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados.
Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para
que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo
este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que
pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade
a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever
esse sucesso, que também é de vocês.
Bom ano letivo de trabalho a todos!
Maria inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
6
FiCHA do CAdErno
trigonometria
nome da disciplina:
Matemática
área:
Matemática
Etapa da educação básica:
Série:
Período letivo:
temas e conteúdos:
Ensino Médio
2ª1º- bimestre de 2009
O modelo da circunferência trigonométrica e
os fenômenos periódicos
Arcos e ângulos: graus e radianos; as funções
seno e cosseno: gráficos e elementos
Equações e inequações trigonométricas:
resolução gráfica e resolução algébrica
7
oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS
Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam,
de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas
referem-se à forma de enfoque destes temas,
sugerida ao longo dos Cadernos de cada um
dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente
currículo, destacando-se a contextualização
dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas à leitura e
à escrita matemática, bem como os elementos
culturais internos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão
organizados em oito unidades de extensões
aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo.
De acordo com o número de aulas disponíveis
por semana, o professor vai poder explorar cada
assunto com mais ou menos profundidade, ou
seja, escolherá uma escala adequada para tratar do tema. A critério do professor, em cada
situação específica, o tema correspondente a
uma das unidades pode ser estendido para mais
de uma semana, enquanto o de outra unidade
pode ser tratado de modo mais simplificado.
É desejável que o professor contemple todas
as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem o panorama dos conteúdos do bimestre,
e, muitas vezes, uma das unidades contribui
para a compreensão das outras. Insistimos, entretanto, no fato de que somente o professor,
8
com base nas particularidades que conhece, e
levando em consideração seu interesse e o dos
alunos pelos temas apresentados, pode determinar com adequação o tempo ideal a ser dedicado a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do
conteúdo do bimestre, quatro Situações de
Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem
ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação na
sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas pelos professores
com mais ou menos intensidade, conforme
seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos
Cadernos, nem todas as unidades foram
contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de
abordagem dos temas seja explicitada nas
atividades oferecidas.
São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis
(textos, softwares, sites e vídeos, entre outros)
em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor
para o enriquecimento de suas aulas.
O Caderno é ainda composto de algumas
considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado
indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre.
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
Conteúdos básicos do bimestre
A Trigonometria, conteúdo proposto para ser desenvolvido no 1º- bimestre da 2ª- série, apresenta a importante
Geometria e Medidas
característica de estabelecer ligação entre o
eixo Geometria e Medidas e o eixo Número
e Funções.
Trigonometria
O estudo da Trigonometria, ao relacionar
esses eixos, permite que sejam associadas entre si relevantes ideias matemáticas. No caso
da Geometria e Medidas, o elemento norteador de todo o trabalho é a proporcionalidade,
enquanto os conceitos pertinentes ao segundo eixo, Números e Funções, têm por detrás
de si a ideia fundamental da periodicidade de
determinados fenômenos, e a possibilidade de
modelá-los, isto é, representá-los por intermédio de uma equação matemática.
A ideia da proporcionalidade está presente no estudo das relações métricas entre lados do triângulo retângulo e a noção
de semelhança, base para a aplicação das
razões trigonométricas seno, cosseno e tangente. Assim, o início dos trabalhos do bimestre inclui a avaliação do conhecimento
que os alunos desenvolveram anteriormente
sobre tais conceitos. Caso o professor identifique que as razões trigonométricas não
foram apresentadas aos alunos na 8ª- série
do Ensino Fundamental e na 1ª- série do
Ensino Médio, conforme previsto na presente Proposta Curricular, será determinante que esse trabalho inicial não se
restrinja à retomada de conceitos demandando, dessa forma, maior atenção do professor. É fundamental que, para o início do
Números e Funções
estudo das funções trigonométricas, a base
conceitual da proporcionalidade esteja razoavelmente consolidada.
Para estudar a periodicidade observada
em enorme gama de fenômenos naturais
foi preciso criar um modelo matemático. O
que melhor se aplica, nesse caso, é o modelo em que um ponto gira em torno de uma
circunferência. A percepção de que um modelo tão simples como esse permite traduzir
por equações matemáticas o comportamento
de diversos tipos de grandezas, amplia e dá
movimento à ideia da regularidade, da repetição de um determinado padrão. As funções
trigonométricas, nesse contexto, podem ser
apresentadas aos alunos a partir de experimentos reais ou de pensamento, para que
eles, além da motivação intrínseca e desejada,
percebam a necessidade do estudo que ora
se inicia. A Situação de Aprendizagem 1 – o
reconhecimento da periodicidade contém proposta de duas situações – O movimento aparente do Sol e o comprimento das sombras,
e As sombras longas –, nas quais os alunos
são convidados, inicialmente, a reconhecer a
regularidade dos fenômenos envolvidos e, em
uma etapa posterior, a representar a variação
periódica observada por intermédio de um
gráfico cartesiano.
9
Um ponto girando em torno de uma circunferência é o modelo ideal para analisar a
periodicidade de determinados fenômenos e
para expressá-la por intermédio de equações
matemáticas. Esse modelo, portanto, precisa
ser compreendido com clareza pelos alunos a
fim de que eles possam ser apresentados, sem
sobressaltos, às funções trigonométricas. Uma
das possibilidades para a introdução do modelo consiste em associar o movimento do ponto
que gira em torno da circunferência a algum fenômeno periódico de fácil identificação, como,
por exemplo, o movimento aparente do Sol durante a passagem dos dias. Essa foi a associação
escolhida para a proposição da Situação de
Aprendizagem 2 – A periodicidade e o modelo
da circunferência trigonométrica, cuja realização, espera-se, permitirá que o aluno, por um
lado, relacione as razões trigonométricas do
triângulo retângulo às medidas das projeções
do ponto sobre os eixos coordenados, e, por
outro, que perceba a possibilidade de esboçar
situações reais por meio de equações que envolvam senos ou cossenos. Ainda na Situação
de Aprendizagem 2, destacamos a importância de os alunos navegarem com desenvoltura
pela circunferência trigonométrica, ao identificarem extremidades finais de arcos com
medidas entre 0º e 360º, exprimindo-as inicialmente em graus e posteriormente em radianos
e que, além disso, associem arcos de medidas
maiores que 360º aos côngruos na primeira
determinação positiva.
Uma das formas de tratamento dos conteúdos da trigonometria, normalmente adotado,
envolve a apresentação dos gráficos das funções y = senx e y = cosx apenas após o estudo
10
das equações, inequações e das relações entre
as funções. Entendemos que essa maneira de
conduzir o estudo restringe a possibilidade de
se agregar significados conceituais, uma vez
que as equações e as inequações são apresentadas e resolvidas de forma descontextualizada, não associadas a grandezas de natureza
conhecida dos alunos. A proposta de se realizar o estudo das funções concomitantemente
ao dos demais conceitos permite associações
explícitas entre a periodicidade observada e
o modelo matemático escolhido, de maneira
que o estudo pode desenvolver-se sobre contextos significativos para os alunos. Por isso,
já na Situação de Aprendizagem 2 propomos
que, simultaneamente à apresentação do seno
e do cosseno de arcos medidos sobre a circunferência trigonométrica, os alunos sejam
convidados a construir os gráficos cartesianos
das funções y = senx e y = cosx. Não se trata,
porém, de se deter em demasia sobre a análise dos gráficos neste momento, visto que o
objetivo principal é que os alunos percebam
que o formato da “onda” desenhada reflete a
periodicidade de diversos fenômenos.
A Situação de Aprendizagem 3 – Gráficos das funções periódicas envolvendo senos
e cossenos vai permitir aos alunos que reconheçam as características dos gráficos das
funções y = senx e y = cosx e também que
avaliem as transformações sofridas pelos
gráficos com a inclusão de constantes nas
equações. Em outras palavras, após a aplicação da atividade, espera-se que os alunos
identifiquem as principais características dos
gráficos de funções do tipo y = C + A.senb.x
ou y = C + A.cosb.x.
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
A resolução de equações do tipo sen(ax) = m
ou cos(bx) = n é um procedimento esperado
dos alunos, uma vez que exige conhecimentos
que devem ser construídos nesta etapa de estudo. A importância dos conceitos trigonométricos justifica a sua abordagem em diferentes
contextos, com distintos significados. Alguns
desses contextos foram adotados na elaboração da Situação de Aprendizagem 4 – Equações
trigonométricas, na qual os alunos vão entrar
em contato com situações reais que implicam
a resolução de equações trigonométricas.
Para uma determinada função f(x), pode ou
não ser possível estabelecer a relação f(x + b) =
f(x) + f(b). As funções de 1º- grau, por exemplo, obedecem a essa relação, enquanto as de
2º- grau, não. Nas funções trigonométricas, especialmente, essa relação não pode ser aplicada, embora os alunos normalmente o façam.
Dessa forma, é necessário dedicar períodos de
aula para a apresentação do cálculo de senos
e/ou de cossenos de soma de arcos, o que fica
a cargo do professor definir a escala que julgar
adequada à condução dessa atividade.
A organização do trabalho com os conteúdos de trigonometria, sob o foco da periodicidade descrito anteriormente, pode ser
realizada com base nas seguintes oito unidades,
correspondendo, aproximadamente, a oito semanas de aula.
Quadro geral de conteúdos do
1o- bimestre da 2a- série do
Ensino Médio
unidade 1 – Reconhecimento e registro
da periodicidade.
unidade 2 – O modelo da circunferência
trigonométrica com as medições de senos
e de cossenos de arcos de 0º a 360º;
arcos côngruos; arcos notáveis e simetrias na circunferência.
unidade 3 – Funções trigonométricas: os
gráficos das funções y = senx e y = cosx;
graus e radianos; senos e cossenos de
arcos medidos em radianos.
unidade 4 – Equações e inequações do
tipo senx = m ou cosx = k.
unidade 5 – Funções trigonométricas: gráficos de funções do tipo y = C + AsenBx
ou y = C + AcosBx.
unidade 6 – Equações e inequações do tipo
C + AsenBx = m ou C + AcosBx = k.
unidade 7 – Funções trigonométricas:
tangente e cotangente na circunferência.
Gráficos de y = tgx e de y = cotgx.
Equações do tipo tgx = m ou cotgx = k.
unidade 8 – Adição de arcos e algumas
relações entre as funções trigonométricas.
11
SituAçõES dE APrEndizAGEM
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1
O RECONHECIMENTO DA PERIODICIDADE
tempo previsto: 1 semana.
Conteúdos e temas: fenômenos periódicos; gráficos cartesianos de funções periódicas.
Competências e habilidades: reconhecer a periodicidade presente em alguns fenômenos naturais;
representar a periodicidade identificada em situações-problema por intermédio de um gráfico
cartesiano.
Estratégias: resolução de situações-problema.
roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 1
Funções são, em qualquer instância, maneiras que encontramos para demonstrar a dependência entre grandezas. No Ensino Médio
o eixo de conteúdos que engloba Números
e Funções é um dos mais importantes e amplia, sobremaneira, os estudos realizados nas
etapas anteriores da escolaridade dos alunos.
A partir dessa premissa, vale refletir sobre
quais são os tipos de funções estudados no
Ensino Médio, além de identificar os significados que normalmente lhes são associados.
O primeiro grupo de funções com o qual os
alunos tomam contato no Ensino Médio é o das
funções polinomiais. Ao começar pelas funções
de 1º- grau, o estudo prossegue, ainda nas séries
iniciais, com a função do 2º- grau, para, ao fim da
3ª- série do Ensino Médio, complementar-se com
a apresentação das funções polinomiais de grau
qualquer. Há uma série infindável de situações
12
possíveis de serem modeladas com funções polinomiais de diferentes graus. São comuns, no
início do trabalho com funções, a proposição de
situações aos alunos que exijam, por exemplo, a
análise de como o preço da corrida de táxi depende da quilometragem, ou da verificação de que
a quantidade de calor que um corpo absorve é
em função do aumento de sua temperatura ou,
ainda, o fato de que um corpo em queda livre ao
acelerar aumenta cada vez mais a distância que
percorre a cada segundo sucessivo.
Outro grupo de funções analisado no Ensino
Médio é aquele que discute o crescimento exponencial de uma grandeza em função da variação de outra. Nesse grupo incluem-se, além
das funções exponenciais propriamente ditas,
as funções logarítmicas. Enquanto as funções
exponenciais tratam dos processos de crescimento ou decrescimentos rápidos, as funções
logarítmicas modelam fenômenos que crescem
ou decrescem de modo mais lento. Processos
de crescimento populacional e também de
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
acumulação financeira constituem contextos
fecundos para a significação de funções desse
grupo, e são, normalmente, apresentados em
inúmeros materiais didáticos. Além disso, os
logaritmos e as exponenciais estão presentes
ainda na determinação da intensidade dos
terremotos, no nível de intensidade sonora,
e também no cálculo da capacidade de armazenagem de informação.
As funções trigonométricas, que constituem
o terceiro grupo das funções estudadas no
Ensino Médio, caracterizam-se por permitir
a modelagem de fenômenos periódicos, isto é,
fenômenos que se repetem, de tempos em
tempos, que mantêm as características de
dependência entre as grandezas envolvidas. A
existência de uma enorme gama de fenômenos
dessa natureza contrasta com a baixa frequência com que as funções trigonométricas são
contextualizadas nos materiais didáticos. Na
maioria das vezes o tratamento dado aos senos,
cossenos e tangentes fica restrito ao cálculo de
valores para arcos notáveis e seus côngruos, e
para a relação algébrica entre estas funções, sem
que a periodicidade, foco principal do estudo,
seja analisada com a importância merecida.
Ao partir do princípio de que as funções constituem ferramenta fundamental na análise da
dependência entre grandezas e considerando a
importância que o grupo das funções trigonométricas desempenha nessa análise, propomos, neste
Caderno, algumas Situações de Aprendizagem que
priorizam, por um lado, o reconhecimento da periodicidade em uma série de fenômenos naturais
e, por outro, a possibilidade de que equações que
envolvam senos, cossenos e tangentes possam ser
utilizadas para expressar matematicamente a relação entre as grandezas envolvidas.
Para concluir, a maior motivação pelo estudo das funções trigonométricas deve ser o
reconhecimento de que são necessárias para
a modelagem de fenômenos periódicos. Nesse
sentido, antes da apresentação dos conceitos
propriamente dita, os alunos precisam ser sensibilizados para a observação – real, virtual ou
imaginativa – de uma série de manifestações
naturais de caráter periódico.
As etapas propostas a seguir para esta
Situação de Aprendizagem têm por objetivo
possibilitar aos alunos o reconhecimento da
periodicidade em diferentes contextos não
exigindo, desse modo, nenhum conhecimento
prévio acerca das funções trigonométricas.
o movimento aparente do Sol e o
comprimento das sombras
Talvez o mais elementar fenômeno periódico que podemos observar é o movimento aparente do Sol, do nascente ao poente, durante
a passagem dos dias do ano. O registro dessa
periodicidade pode ser realizado por intermédio da medição do comprimento da sombra
de uma estaca fixada verticalmente no solo.
Essa situação pode ter estimulado os seres humanos a elaborar os primeiros calendários e a
reconhecer as estações do ano. O professor poderá estimular os alunos a se imaginarem realizando uma experiência na qual mediriam o
comprimento da sombra da estaca durante a
passagem de um determinado período de tempo, como, por exemplo, dois anos. A figura a
seguir ilustra aproximadamente esta situação.
13
(22 de dezembro), denominados solstícios.
A proposta a ser feita aos alunos é a seguinte:
zênite
Atividade 1
VERÃO
caminho do
Sol no inverno
caminho do
Sol no verão
sombra
mínima
(solstício
de verão)
ima
sombra máx
inverno)
(solstício de
Sabemos que o percurso do Sol durante o
inverno é mais inclinado em relação à linha
zenital1 que o percurso similar realizado durante o verão. O comprimento da sombra da estaca
em um determinado horário do dia, ao meiodia, por exemplo, varia durante o ano desde
um valor mínimo até um máximo, correspondendo às datas que marcam, respectivamente,
o início do inverno (21 de junho) e o do verão
Imagine o acompanhar do comprimento
da sombra da estaca durante dois anos, e que
tais comprimentos tenham sido registrados
em uma tabela. A tarefa agora será imaginar
como seria o formato de um gráfico que representasse o comprimento da estaca em função
da passagem dos dias do ano, e desenhar o
que se pensou sobre essa situação.
A discussão sobre os resultados da atividade deverá servir para que os alunos reconheçam que a periodicidade pode ser traduzida
por um gráfico cujo formato é, por enquanto,
aproximadamente o de uma onda. Assim, estudar movimentos periódicos pode significar
estudar as ondas e as funções matemáticas a
elas associadas. A seguir, são apresentadas
algumas soluções propostas por alunos da
2ª- série do Ensino Médio para esta atividade:
Gráfico do tamanho da sombra da estação em função das estações do ano
tamanho da sombra (cm)
60
45
30
15
verão
(1º- ano)
1
14
outono
(1º- ano)
inverno
(1º- ano)
primavera
(1º- ano)
verão
(2º- ano)
outono
(2º- ano)
inverno
(2º- ano)
zênite: o ponto em que a vertical de um lugar encontra a esfera celeste acima do horizonte.
primavera
(2º- ano)
tamanho (cm)
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
processo completo de modelagem de um fenômeno natural, conforme discutiremos na
Situação de Aprendizagem 4.
2
1
F
A
J
A
O D
F A
J
A
mês
A observação dos gráficos desenhados pode
ser acompanhada pela seguinte questão, talvez
a principal de todo o estudo sobre fenômenos
periódicos, a ser proposta pelo professor:
Como podemos traduzir este tipo de gráfico
por uma equação matemática?
A busca da resposta a essa questão norteará todo o estudo da trigonométrica. Espera-se que as questões apresentadas nessa
primeira atividade sejam desafiadoras aos
alunos e motivadoras no estudo dos conceitos trigonométricos de forma que, no futuro, os alunos possam se envolver com um
O professor pode comentar com os alunos que as “ondas” desenhadas são formas
de gráficos que podem estar associadas tanto a função denominada seno como a função
chamada cosseno. Além disso, tais funções
estão respectivamente relacionadas com as
razões trigonométricas seno ou cosseno que
foram estudadas nas séries anteriores, e estas poderão ser reconhecidas por meio do
estudo que se inicia.
O professor vai poder aproveitar os gráficos desenhados pelos alunos para iniciar a
identificação de conceitos importantes, associados à periodicidade da onda. Trata-se
dos conceitos de período (ou comprimento
de onda) e de amplitude. O professor poderá
solicitar a cada aluno que os identifique no
gráfico que desenhou, como destacamos no
exemplo a seguir.
Gráfico do tamanho da sombra da estação em função das estações do ano
tamanho da sombra (cm)
60
Amplitude
Período
1 ano
45
30
15
verão
(1º- ano)
outono
(1º- ano)
inverno
(1º- ano)
primavera
(1º- ano)
verão
(2º- ano)
outono
(2º- ano)
inverno
(2º- ano)
primavera
(2º- ano)
15
Vale observar que todos os gráficos produzidos pelos alunos deverão ter o mesmo
período de um ano, uma vez que registram
a mudança das estações do ano. A amplitude, todavia, pode variar de um gráfico para
outro, uma vez que a escala escolhida para a
suposta tomada de medidas não precisou ser
uniformizada. Assim, mais do que determinar um valor para a amplitude e outro para
o período, a importância do trabalho está no
reconhecimento de que é possível associar
parâmetros matemáticos para a descrição da
periodicidade observada nos fenômenos.
As sombras longas
Outra situação utilizada para salientar a maneira pela qual podemos representar graficamente a periodicidade de um fenômeno consiste em
imaginar a observação da sombra da estaca vertical durante alguns dias, e o registro do comprimento da sombra em função das horas do dia.
Quando o Sol nasce e lentamente vai se
elevando no horizonte, o comprimento da
sombra da estaca, inicialmente maior, passa a
diminuir até um valor mínimo, atingido, provavelmente, por volta do meio-dia.
Comprimento da sombra diminuindo
No período da tarde a sombra da estaca muda
de lado, e, à medida que o Sol inicia sua “descida”,
Comprimento da sombra aumentado
no sentido oposto ao inicial
16
o comprimento da sombra aumenta cada vez
mais, até tornar-se novamente incomensurável.
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
Após comentar com os alunos a situação
descrita, o professor pode solicitar a seguinte atividade:
Atividade 2
Representem em um gráfico cartesiano
a evolução do comprimento da sombra da
estaca durante a passagem de, por exemplo,
3 dias.
Os gráficos produzidos pelos alunos poderão
variar (ver exemplos a seguir), e caberá ao professor valorizar e comentar cada um deles, tendo
em vista o objetivo principal da atividade que é o
reconhecimento da possibilidade de representação
cartesiana de fenômenos periódicos. Em todo
caso, vale comentar o fato de que alguns gráficos
apresentarão descontinuidade, aspecto esse que de
fato ocorre em alguns fenômenos periódicos.
17
Após a análise dos gráficos dos alunos, o
professor poderá destacar que o fenômeno imaginado, da evolução do comprimento da sombra
durante vários dias, é normalmente modelado
por uma função denominada tangente (que
pode ser também pela cotangente), que está relacionada à razão trigonométrica tangente (ou
cotangente), estudada anteriormente a partir da
proporcionalidade observada entre as medidas
de triângulos retângulos semelhantes.
algum tipo de gráfico mais representativo da
atividade, mas, sim, que se perceba a presença
da periodicidade em todos eles.
Assim, como dissemos inicialmente, as
atividades componentes desta Situação de
Aprendizagem têm por objetivo introduzir
a ideia de que é possível modelar matematicamente fenômenos periódicos com um tipo
especial de função, denominadas funções trigonométricas, que serão estudadas a seguir.
Caso o professor julgue apropriado deter-se
um pouco mais na identificação do período
e da imagem de uma função trigonométrica,
sugerimos que peça a seus alunos que o façam
nos seguintes gráficos:
Insistimos para que o professor valorize os
gráficos dos alunos e solicite, em cada caso,
que sejam justificados os motivos pelos quais
o gráfico foi desenhado de uma forma e não de
outra. Não haverá necessidade de se escolher
y
4
3
2
1
0
–7
–6
–5
–4
–3
–2
0
–1
1
–1
–2
–3
–4
–5
Período = 2; Imagem = {y ∈ R/ –1 ≤ y ≤ 1}; Amplitude = 1
18
2
3
4
5
6
7
x
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
y
4
3
2
1
0
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
4
6
8
10
12
14
x
–1
–2
–3
–4
–5
Período = 4; Imagem = {y ∈ R / –4 ≤ y ≤ 4}; Amplitude = 4
y
8
6
4
2
0
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
0
1
–2
–4
–6
–8
–10
Período = 2; Imagem = {y ∈ R / –3 ≤ y ≤ 3}; Amplitude = 3
19
Completadas as etapas de reconhecimento
da periodicidade, construção dos gráficos, e
identificação de alguns elementos importantes, encerra-se esta Situação de Aprendizagem. Ao dar sequência aos objetivos traçados
para todo o Caderno, a próxima Situação
de Aprendizagem vai apresentar aos alunos
o modelo matemático que permitirá estudar
matematicamente a periodicidade. Trata-se da
circunferência trigonométrica e das medidas
das projeções sobre os sistemas de eixos coordenados. Acreditamos que a compreensão das
características dos arcos e dos valores de suas
funções trigonométricas, que os alunos vão
encontrar a partir da circunferência trigonométrica, tornar-se-á eficaz quando tiver sido
cumprida com qualidade a etapa de reconhecimento da periodicidade, que ora se encerra.
Considerações sobre a avaliação
Esta Situação de Aprendizagem focou
sobre dois objetivos principais. O primeiro
deles diz respeito à sensibilização dos alunos
quanto à observação de fenômenos periódicos próximos de sua realidade; o segundo
refere-se à possibilidade de que fenômenos
periódicos sejam representados por gráficos
cartesianos que possuem, em muitos casos, o
formato de uma onda.
Com relação à avaliação, sugerimos que
o professor considere a realização das atividades de construção dos gráficos e de
reconhecimento de períodos e amplitudes,
evidenciando principalmente a organização da tarefa apresentada.
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2
A PERIODICIDADE E O MODElO DA
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
tempo previsto: 3 semanas.
Conteúdos e temas: fenômenos periódicos; gráficos cartesianos das funções y = senx e y = cosx;
medidas de arcos em radianos; correspondência entre radianos e graus; arcos côngruos e menor determinação positiva; equações trigonométricas; inequações trigonométricas.
Competências e habilidades: reconhecer a periodicidade presente em alguns fenômenos naturais;
representar graficamente fenômenos periódicos por intermédio de gráficos cartesianos; identificar as simetrias presentes na circunferência trigonométrica, utilizando-as para a resolução
de situações-problema; localizar na circunferência trigonométrica a extremidade final de arcos
dados em graus ou em radianos; resolver equações trigonométricas simples.
Estratégias: resolução de situações-problema contextualizadas.
20
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
Nesta Situação de Aprendizagem continuaremos a explorar a ideia do reconhecimento
da periodicidade de alguns fenômenos e a
possibilidade de representá-los graficamente.
A diferença, em relação à Situação de Aprendizagem anterior, é que agora serão introduzidos os elementos matemáticos que permitirão
o estudo completo da periodicidade. Para tanto, vamos propor uma espécie de transposição
dos experimentos de pensamento realizados
nas atividades anteriores, com o objetivo de
fazer com que os alunos visualizem mais claramente o modelo da “onda” como uma das
formas possíveis para a representação cartesiana desejada.
A periodicidade de determinado fenômeno pode ser associada ao movimento de um
ponto girando sobre uma circunferência. As
medidas das projeções desse ponto sobre determinados eixos são, como sabemos, valores
de funções trigonométricas associados a arcos
percorridos pelo ponto. É preciso, em nossa
avaliação, que os alunos compreendam claramente os motivos pelos quais apresentamos
a eles a circunferência trigonométrica. Isso
pode ser conseguido se valorizarmos o reconhecimento da periodicidade, em detrimento
da justificativa de podermos calcular senos
e cossenos de ângulos maiores do que 180º.
Afinal, a obtenção de valores de funções trigonométricas para ângulos maiores do que
2
180º, mais do que ter aplicações na resolução
de triângulos não retângulos, é uma das exigências do estudo da periodicidade.
Por essa razão, propomos nesta Situação
de Aprendizagem um processo de construção
do modelo da circunferência trigonométrica
que parte da necessidade de sua criação, por
conta do reconhecimento da periodicidade, e
que prossegue para a identificação das simetrias e das características mais importantes
das funções seno e cosseno de arcos de quaisquer medidas.
Construção do modelo
O modelo do ponto girando em torno de
uma circunferência centrada na origem do sistema cartesiano e a observação das projeções
desse ponto sobre os eixos, como sabemos,
constitui a base do estudo das funções trigonométricas seno e cosseno. A fim de que os alunos
formem uma imagem de proximidade entre a
Matemática e o cotidiano, no nível em que se
encontram, pode-se apresentar a eles uma alegoria que transporta a ideia de acompanhar o
comprimento da sombra de uma estaca vertical, discutido anteriormente, e o modelo da circunferência, conforme descrito a seguir.
Imaginemos a sobreposição de um sistema de eixos cartesianos sobre a linha em que
a sombra da estaca “caminha”, de maneira
que a origem do sistema coincida com a extremidade final do comprimento da sombra
nos equinócios.2
Equinócio é o nome que se dá ao dia que marca o início da primavera ou ao dia que marca o início do outono. Segundo
o dicionário Michaelis, equinócio refere-se a Cada uma das duas épocas em que o Sol passa pelo Equador, fazendo os dias
iguais às noites em todos os países do mundo.
21
Sentido do
movimento
aparente do Sol
zênite
VERÃO
caminho do
Sol no inverno
o ra
od b
çã som
a
i
a
r
va o d
de ent
a
ix im
Fa mpr
co
o
l d ra
na mb
e fi so
ad da ios
id
m nto nóc
tre e ui
Ex prim s eq
m no
co
sombra
mínima
(solstício
de verão)
bra máxima
som
(solstício de
caminho do
Sol no verão
inverno)
O comprimento da
sombra nos equinócios
é considerado nulo.
Faixa de variação do
comprimento da sombra
O comprimento da
sombra é máximo
no solstício de inverno.
Comprimento
da sombra em
um dia entre o
equinócio de
outono e o
solstício de
inverno
Sentido do
movimento
aparente do Sol
Comprimento
da sombra no
solstício de
inverno
Sentido do
movimento
aparente do Sol
Comprimento
nulo da sombra
no equinócio
de primavera
O comprimento da
sombra é mínimo
no solstício de verão.
Faixa de variação do comprimento da sombra, observado ao meiodia durante um ano.
Em seguida, a fim de acompanhar a evolução do comprimento da sombra de um solstício a outro, pode-se associar o movimento do
Sol ao movimento de um ponto sobre uma
circunferência centrada no sistema de eixos
cartesianos, de maneira que o comprimento
da sombra seja definido pela distância entre a origem e a projeção do ponto sobre o
eixo vertical.
22
Comprimento
da sombra em
um dia entre o
equinócio de
primavera e o
solstício de
verão
Sentido do
movimento
aparente do Sol
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
vertical, medida em frações do raio da circunferência (R), como nesta atividade:
Sentido do
movimento
aparente do Sol
R
Comprimento da
sombra no
solstício de
verão
0,75R
0,5R
0,25R
–0,25R
Sentido do
movimento
aparente do Sol
–0,5R
–0,75R
Comprimento
da sombra em
um dia entre
o solstício de
verão e o
equinócio de
outono
–R
Atividade 1
Imaginem uma volta completa do Sol sobre
a circunferência. Preencham a tabela a seguir
associando o ângulo de elevação do Sol (β) em
relação ao eixo horizontal com a medida aproximada da projeção no eixo vertical.
Assim, uma volta completa do Sol em torno
da circunferência corresponderá ao período
de um ano, e ao desenhar uma escala sobre o
eixo vertical será possível associar ângulos de
giro do Sol a medidas de segmentos. Realizada
a identificação entre a projeção sobre o eixo
vertical e o comprimento da sombra da estaca,
o professor poderá pedir que os alunos desenhem novamente o gráfico que desenharam na
Situação de Aprendizagem anterior, implementando agora uma escala simplificada no eixo
R
0,75R
0,5R
0,25R
β
–0,25R
–0,5R
–0,75R
–R
Ângulo (°)
0°
30°
45°
60°
90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
Projeção
(kr)
0
0,5
0,7
0,9
1,0
0,9
0,7
A segunda linha dessa tabela contém os valores da projeção do ponto sobre o eixo orientado e dividido em frações de raio, isto é, um
número real (k) entre –1 e +1, multiplicado
pela medida do raio (R).
0,5
0
–0,5 –0,7 –0,9 –1,0 –0,9 –0,7 –0,5
0
Chamamos a atenção do professor para o fato
de que os ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º, não precisam ainda ser assinalados com precisão na circunferência, mas será importante que os alunos
percebam especialmente os seguintes aspectos:
23
f as medidas das projeções verticais serão
escritas em frações de raio, como, por
exemplo, 0,5 R ou 0,85 R.
R
135º
0,25R
f os valores das medidas das projeções
serão aproximados a décimos. Assim,
para 45º os alunos vão poder registrar o
valor correspondente de 0,7, e para 60º,
o valor de 0,9.
f a medida do ângulo não é diretamente proporcional à medida da projeção,
como alguns alunos poderiam supor.
A fim de esclarecer, basta chamar a
atenção para o fato de que a projeção
para 60º não mede o dobro da projeção para 30º.
f há ângulos que permitem medidas
iguais para a projeção vertical, como,
por exemplo, 30º e 150º, ou 45º e 135º, e
o professor, ao destacar tal fato, estará
inserindo a caracterização das simetrias
na circunferência, como se pode perceber nos desenhos a seguir:
–0,75R
–R
f há pares de ângulos que permitem medidas simétricas para os valores da projeção vertical, como, por exemplo, 30º e
330º, ou 60º e 300º.
R
0,75R
0,5R
0,25R
330º
0,25R
–0,25R
–0,5R
–0,75R
–R
24
30º
–0,25R
–0,5R
–0,75R
–R
R
0,75R
0,5R
0,25R
0,75R
0,5R
45º
–0,25R
–0,5R
R
150º
0,75R
0,5R
300º
60º
–0,25R
–0,5R
–0,75R
30º
–R
Salientamos ainda a importância de que
os alunos reconheçam a simetria das projeções apresentada por determinados pares de
ângulos, pois esse ponto, mais adiante, será
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
fundamental na resolução de equações e de
inequações trigonométricas.
de ângulos no eixo horizontal e as medidas de
projeção no eixo vertical.
Preenchida a tabela, o professor pode solicitar que os alunos representem a dependência entre as variáveis da tabela por intermédio
de um gráfico cartesiano.
O gráfico seguinte é apenas uma possibilidade,
já que as escalas podem variar. No entanto, o
professor deve salientar o fato de o gráfico apresentar o formato de uma onda, agora mais
preciso do que aquele que os alunos idealizaram na Situação de Aprendizagem anterior
para a variação do comprimento da sombra
com o passar dos dias do ano.
Atividade 2
Desenhem um gráfico para representar os valores registrados na tabela lançando as medidas
y
R
0,75R
0,5R
0,25R
0
60º
120º
180º
240º
300º
360º
x
–0,25R
–0,5R
–0,75R
–R
A construção e a análise do gráfico permitirá que os alunos identifiquem o formato da
onda, confrontando-a com as formas por eles
obtidas nos gráficos desenhados na Situação
de Aprendizagem 1.
Reconhecida a periodicidade envolvida na obtenção da medida da projeção vertical, o professor pode solicitar que seus alunos reproduzam, de
forma semelhante, a representação da evolução
da medida da projeção no eixo horizontal, de
acordo com o ângulo de elevação do Sol.
25
Atividade 3
Completem a tabela a seguir associando
a medida do ângulo de elevação do Sol com
a medida da projeção sobre o eixo horizontal.
Depois, desenhem um gráfico cartesiano para
representar os dados tabelados.
Ângulo (°)
0°
30°
45°
60°
Projeção
(kr)
1
0,9
0,7
0,5
–R
R
0,5R
–0,5R
–0,75R –0,25R 0,25R 0,75R
90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
0
–0,5 –0,7 –0,9
A segunda linha dessa tabela contém os valores da projeção do ponto sobre o eixo orientado e dividido em frações de raio, isto é, um
número real (m) entre –1 e +1, multiplicado
pela medida do raio (R).
O gráfico a seguir é apenas uma possibilidade, já vez que as escalas podem variar.
–1
–0,9 –0,7 –0,5
0
0,5
0,7
0,9
1
O professor pode discutir com seus alunos
sobre as diferenças e as semelhanças entre
os gráficos das duas projeções, horizontal
e vertical, não deixando de salientar o fato
de que os gráficos são idênticos, se considerarmos a “defasagem de 90º” de um
para o outro.
y
R
0,75R
0,5R
0,25R
0
60º
–0,25R
–0,5R
–0,75R
–R
26
120º
180º
240º
300º
360º
x
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
é de mesma natureza da onda desenhada na atividade anterior.
f há pares de ângulos que alternam os
valores das medidas das projeções horizontal e vertical, como é o caso, por
exemplo, da projeção vertical do ângulo
de 60º que é igual à medida da projeção
horizontal do ângulo de 30º.
Identificada a correspondência que a periodicidade provoca entre a medida do segmento,
horizontal ou vertical, e o ângulo de giro do
ponto sobre a circunferência, o passo seguinte pode ser o de desenhar, em escala, o modelo
apresentado, com o objetivo de construir o gráfico cartesiano das funções trigonométricas seno
e cosseno. Vale notar que, até então, a medida
do segmento sobre o eixo vertical não foi ainda
denominada seno, pois, para que isso possa ser
feito com significado, será importante relacionar
o conhecimento anterior dos alunos sobre as razões trigonométricas no triângulo retângulo com
o modelo que ora lhes é apresentado, o que pode
ser feito neste momento, antecedendo à construção efetiva dos gráficos, da seguinte forma:
f há ângulos que apresentam valores
iguais para projeções horizontal e vertical, como é o caso, por exemplo, do
ângulo de 45º.
f não existe ângulo que apresente, simultaneamente, medidas nulas para as duas
projeções.
f o formato de onda apresentado no gráfico
Raio (R)
kr
123
Medida da projeção
vertical
123
1442443
Em seguida à atividade, o professor pode chamar a atenção de seus alunos para o fato de que:
Fração do
raio (kR)
144424443
m.r
Fração do raio (mR)
Medida da projeção
horizontal
Será necessário que os alunos conheçam os
valores dos senos e dos cossenos dos ângulos
notáveis, 30º, 45º e 60º. Caso não tenham tal conhecimento, o professor pode apresentar a eles a
k.R
sen  = R = k
m.R
cos  = R = m
dedução desses valores a partir de um triângulo
retângulo isósceles, no caso do ângulo de 45º, e
de um triângulo equilátero, no caso dos ângulos
de 30º e de 60º, conforme descrito a seguir.
27
Ângulo de 45º
sen 45º =
√
2
1
m
=
=
√
2
2
2
m.√
cos 45º =
√
2
1
m
=
=
√
2
2
2
m.√
2
m.√
m
45º
m
Ângulos de 30º e de 60º
3
m.√
√
3
2
=
sen 60º =
2
m
30º
m
m
3
m.√
2
60º
60º
m
m
2
2
Discutida a igualdade entre a medida do
segmento projetado no eixo vertical e o valor
do seno do ângulo de giro, e a medida do segmento projetado no eixo horizontal e o cosseno
do ângulo de giro convém, em seguida, denominar circunferência trigonométrica, sistema
formado pelo conjunto circunferência-sistema
de eixos cartesianos. Feito isso, com o objetivo
28
cos 60º =
m
2
1
=
m
2
m
2
1
sen 30º =
=
m
2
3
m.√
√
3
2
=
cos 30º =
2
m
de reunir todas as informações anteriores, o
professor pode pedir que os alunos desenhem
uma circunferência trigonométrica, para que
os valores de senos e cossenos dos ângulos notáveis e também dos ângulos que dividem os
quadrantes sejam associados aos valores aproximados, utilizados anteriormente. Toda essa
etapa pode ser proposta da seguinte maneira:
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
Atividade 4
60º, bem como os simétricos em relação aos eixos nos demais quadrantes.
Para essa tarefa, utilize compasso ou
transferidor.
Em uma folha de caderno ou em papel milimetrado, desenhem uma circunferência trigonométrica de raio 10 centímetros.
c) Desenhem uma tabela como a seguinte,
relacionando todos os arcos assinalados às medidas de seus senos e cossenos,
1
√
2
≅ 0,7 e que
= 0,5;
lembrando que
2
2
√
3
≅ 0,87.
2
a) Adotando a escala 1:10 centímetros, dividam os eixos cartesianos em subunidades,
como, por exemplo, de 0,1 em 0,1.
b) Assinalem sobre a circunferência a extremidade final dos arcos de 30º, 45º e
Ângulo (°)
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
Seno
Cosseno
d) Desenhem os gráficos das funções
y = senx e de y = cosx em um mesmo
sistema de eixos cartesianos.
Chamamos a atenção do professor para
que a tabela deste exercício seja completada com os valores exatos dos senos e
cossenos dos ângulos notáveis, em vez de
aproximações, já utilizadas no momento de
completar a tabela do exercício anterior.
No entanto, será importante que os alunos
associem os valores exatos a suas devidas
aproximações no momento de assinalarem
os senos e cossenos na circunferência trigonométrica que constroem.
y
1
y = cosx
√
3
2
√
2
2
1
2
0
y = senx
60º
120º
180º
240º
300º
360º
x
– 1
2
2
– √
2
3
– √
2
–1
29
Ressaltamos mais uma vez o fato de que
não se trata ainda de aprofundar o estudo
dos gráficos das funções trigonométricas,
aspecto esse que será explorado na Situação
de Aprendizagem seguinte, quando os alunos
já tiverem tomado contato com a identificação de arcos côngruos, quando já souberem
calcular a menor determinação positiva de
qualquer ângulo de medida maior do que
360º, quando conseguirem determinar a solução de algumas equações trigonométricas
simples e, por fim, trabalharem com facilidade com medidas de ângulos expressas não
apenas em graus, mas também em radianos.
Destacamos que nesta primeira etapa
os arcos foram medidos em graus e não em
radianos. Isso é aconselhável pelo fato de o
grau ser a unidade de medida de arco familiar aos alunos nesse momento, uma vez que
convivem com a ideia de ângulo de giro desde
a 7ª- série do Ensino Fundamental. No entanto, completada a primeira etapa, é aconselhável apresentar aos alunos a unidade radiano,
bem como a relação de conversão entre as
unidades de medida nesse caso. Para tanto,
será necessário retomar alguns conceitos e
apresentar outros, de maneira similar ao que
se segue.
C
C
= 3,14159... = π
D
D
A razão entre as medidas do comprimento e do diâmetro de qualquer circunferência resulta sempre no mesmo
valor: o número irracional π ≅ 3,14
Um radiano é a medida de um arco de comprimento igual ao do raio da circunferência.
Em uma circunferência de centro O e raio R,
podemos assinalar cerca de 3,14 radianos em
sua meia-volta, ou, em outras palavras, um arco
de semicircunferência mede sempre π radianos,
conforme representado na figura a seguir:
3,14 RAD
1RAD
1RAD
1RAD
R
o
R
Apresentando os radianos
Um arco de circunferência pode ser medido em graus e também em radiano (rad). Para
apresentar os radianos a seus alunos, propomos que o professor retome com eles o conteúdo, que, em princípio, deve fazer parte dos
prévios conhecimentos deles:
30
Com base nesses dados, o professor pode
pedir a seus alunos que resolvam as seguintes
situações-problema, com o objetivo de que venham a identificar com destreza arcos de medidas iguais a frações inteiras de π radianos.
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
Atividade 5
O arco AB representado na figura mede
1,5 rad, e as 3 circunferências têm centro no
ponto O. Quanto mede o arco:
a) CD?
b) EF?
F
D
B
A
E
C
b) O arco MQ é “enxergado” pelo ângulo
central de 60º, que corresponde à terça parte de 180º. Assim, o arco MQ mede a terça
π
radianos.
parte de π, ou
3
c) O arco MN é “enxergado” pelo ângulo
central de 120º, que é igual ao dobro de 60º.
2π
radianos.
Portanto, o arco MN mede
3
Atividade 7
o
Os arcos assinalados nas circunferências têm,
em radianos, medidas iguais, visto que são
“enxergados” por um único ângulo central.
Assim, os arcos CD e EF medem, cada um,
1,5 radiano.
Atividade 6
A circunferência do desenho apresenta-se
dividida em 8 partes iguais pelos pontos A, B,
C, D, E, F, G e H.
C
D
E
Na circunferência da figura estão assinalados dois ângulos centrais: um de medida 60º
e outro de medida 120º. Quanto mede, em
radianos e no sentido indicado, o arco:
a) MP?
B
A
β
H
F
G
a) Quanto mede, em graus, o ângulo central β?
b) MQ?
c) MN?
b) Quanto mede, no sentido indicado no
desenho, os arcos AB, AC, AD, AF e AH?
N
Q
120º
P
a) O arco MP mede aproximadamente 3,14
radianos, ou, precisamente, π radianos.
60º
M
Como a circunferência foi dividida em 8
partes iguais, cada arco correspondente a
1
de 2π rad, isto é, mede
uma parte mede
8
π
rad.
4
a) O ângulo central β mede a oitava parte de
360º, isto é, mede 45º.
31
b) Os arcos medem:
π
π
2π
=
rad
AC =
rad
AB =
4
2
4
AD =
3π
rad
4
AH =
7π
rad
4
AF =
5π
rad
4
Atividade 8
Observe a circunferência do desenho. A
medida do arco AB é igual à medida do raio
da circunferência.
Um arco de comprimento igual à circunferência mede 2π rad, ou, aproximadamente,
6,28 rad. Assim, são necessários cerca
de 6,28 arcos de medida igual à do arco AB
para completar uma volta da circunferência.
Depois da resolução dessas atividades, em
que os alunos tomaram contato com a definição de radianos, o professor pode ajudá-los a
estabelecer a relação entre 180º e π radianos
para que sejam capazes, na atividade a seguir,
de assinalar as extremidades finais dos arcos
correspondentes aos valores notáveis e seus
correspondentes nos demais quadrantes.
r
B
Atividade 9
C
A
r
levando-se em conta giros no sentido antihorário, assinale nas circunferências a medida
em radianos do arco que tem extremidade final em cada ponto, de A a R.
D
Responda:
a) quantas vezes o arco AC é maior que o
arco AB?
E
F
45º
A medida do arco AC é cerca de 3,14 vezes
maior do que a medida do arco AB.
b) quantas vezes o arco AD é maior que o
arco AB?
3π
radianos, medida essa
O arco AD mede
2
que é, aproximadamente, 4,7 radianos. Portanto, o arco AD é cerca de 4,7 vezes maior
que o arco AB.
c) quantos arcos de medida igual a AB
podem ser justapostos, um ao lado do
outro, sobre a circunferência a fim de
completar uma volta?
32
G
H
B
A
30º
C
D
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
J:
I
J
60º
P: π –
R: 2π
M
l
N
P
36º
Q
A:
π
6
D:
11π
4
G:
5π
4
R
5π
6
π
E:
4
B:
H:
7π
4
2π
3
C:
7π
6
3π
4
π
I:
3
F:
L:
4π
3
π
4π
=
5
5
M:
5π
3
Q: π +
N:
π
5
6π
π
=
5
5
π 11π
=
5
5
Ao completar a Situação de Aprendizagem, após a apresentação dos senos e
cossenos dos arcos notáveis e de seus correspondentes nos demais quadrantes, o
professor pode pedir que seus alunos resolvam algumas equações trigonométricas,
do tipo senx = k ou cosx = m, definidas
em R e também em intervalos definidos,
como, por exemplo, [0, 2π], [0,4π], [2π, 6π],
etc. Para não ressaltar apenas o aspecto algébrico envolvido na resolução de equações
dessa natureza, o professor pode pedir que,
algumas vezes, os alunos as resolvam graficamente, como, por exemplo, neste caso:
1
Qual é a solução da equação senx = –
2
no intervalo [0, 4π]?
y
1
1
2
7π
6
0
–
π
11π
6
19π
6
2π
3π
23π
6
4π
x
1
2
–1
33
Há 4 soluções para essa equação no in7π 11π 19π 23π
tervalo considerado:
,
,
e
,
6
6
6
6
conforme representado no gráfico da função
y = senx.
Apesar de não propormos nesta Situação
de Aprendizagem que os alunos sejam apresentados a arcos com extremidades finais
negativas, produzidos a partir de giros no
sentido horário na circunferência trigonométrica, julgamos importante que eles saibam
da existência desses tipos de arco e que, ao
menos, desenhem uma circunferência e nela
assinalem os arcos com extremidade final na
primeira volta negativa.
Considerações sobre a avaliação
O modelo da circunferência trigonométrica precisa ser bem compreendido para que
o estudo de conceitos relacionados a ela possa ser realizado com qualidade. Ao fim desta
Situação de Aprendizagem é importante que o
professor avalie se os alunos são capazes de:
f identificar a posição da extremidade
final de um arco medido em graus;
f identificar a posição da extremidade final de um arco medido em radianos;
f converter para radianos uma medida de
arco expressa em graus;
34
f obter a menor determinação positiva de
um arco qualquer;
f reconhecer as diferenças e as semelhanças entre os gráficos das funções y = senx
e y = cosx;
f resolver equações trigonométricas simples.
As diversas propostas de atividades
apresentadas neste Caderno podem servir
de exemplo para a elaboração de questões
a fim de avaliar os alunos. Nesse sentido,
destacamos a importância de o professor
priorizar questões de caráter conceitual, em
detrimento daquelas que exigem passagens
algébricas ou formalizações além do necessário. De qualquer maneira, será importante que todos os itens de conteúdo listados
anteriormente sejam contemplados de uma
maneira ou de outra nas avaliações do período, sejam elas individuais ou em grupos,
com consulta ou não, etc.
Finalizada essa etapa de apresentação
do modelo da circunferência trigonométrica e da construção dos gráficos das funções
seno e cosseno, o passo a seguir, que será
discutido na próxima Situação de Aprendizagem, envolve a mobilização de todos
esses conteúdos na representação da periodicidade de um fenômeno por meio de um
gráfico cartesiano.
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3
GRÁFICOS DE FUNçÕES PERIÓDICAS ENVOlVENDO
SENOS E COSSENOS
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: gráficos de funções do tipo y = C + AsenBx ou y = C + AcosBx; período
e amplitude de uma função trigonométrica; gráficos de funções seno ou cosseno em dependência com o tempo.
Competências e habilidades: construir o gráfico de uma função trigonométrica dada a equação que a representa; identificar alguns parâmetros importantes do modelo ondulatório para a
descrição matemática de fenômenos periódicos; determinar a equação da função representada
por um gráfico dado.
Estratégias: construção de gráficos e identificação das constantes, avaliando significados; utilização de software auxiliar para a construção de gráficos.
roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 3
Fenômenos periódicos ocorrem regularmente mantendo suas características básicas,
isto é, se repetem sempre da mesma maneira.
Há uma enorme gama de fenômenos dessa
natureza, e alguns deles serão analisados na
Situação de Aprendizagem 4, que, assim como
esta, tem como objetivo o estudo das funções
matemáticas que modelam a periodicidade.
Um processo completo de modelagem
de determinado fenômeno envolve a observação
da ocorrência deste, a tomada de dados, que normalmente exige a representação cartesiana dos
dados obtidos, e, finalmente, exige a obtenção de
uma equação matemática que se ajusta aos dados
experimentais. Por consequência, a equação obtida
poderá ser aplicada a novas situações, que venham
a ocorrer em condições semelhantes às observadas
durante o experimento realizado.
Vários fenômenos periódicos podem ser
modelados por intermédio de uma função
trigonométrica cuja equação é composta de
senos e/ou cossenos. Para que seja possível
aos alunos compreender em profundidade o
significado da modelação de um fenômeno
por meio de uma equação que envolva senos
ou cossenos, é necessário que saibam, de um
lado, desenhar gráficos de funções desse tipo
a partir de suas equações, e, de outro, que
consigam escrever a equação de um gráfico
dado. Com esse objetivo, propomos nesta
Situação de Aprendizagem que os alunos construam os gráficos e reconheçam as propriedades de funções do tipo y = C + A.senb.x e
y = C + A.cosb.x, comparando-as com as
funções elementares y = senx e y = cosx, com
que já tiveram contato anterior. Nesse percurso, poderão avaliar as transformações que
as constantes A, b e C impõem aos gráficos
das funções elementares.
35
Para compreender a importância do estudo
que ora propomos, podemos analisar o processo
que normalmente desenvolvemos ao apresentar
as funções de 2º- grau para nossos alunos.
O gráfico cartesiano que tem formato de
uma parábola com o eixo de simetria na vertical, como sabemos, é a representação de
uma função do tipo y = a.x2 + b.x + c, com
a ≠ 0. Ao observarmos uma equação desse
tipo, com coeficientes numéricos, identificamos se a concavidade da parábola é voltada
para cima ou para baixo, somos capazes de
avaliar se a parábola tem ou não raízes reais,
e prevemos a posição do vértice da parábola.
A partir daí, conseguimos não apenas desenhar o gráfico da função, como também
analisar todas suas propriedades (simetrias,
imagem, domínio, sinal, etc.).
Assim como fazemos com as parábolas,
identificando e significando os coeficientes da
equação da função e representando-a cartesianamente, também devemos ser capazes de
fazer com os demais grupos de funções que estudamos no Ensino Médio, ou seja, relacionar
a variação de seus coeficientes com as mudanças gráficas correspondentes. Com as funções
trigonométricas não poderia ser diferente,
dada a enorme quantidade de situações contextualizadas em que se detecta sua presença.
Discutiremos nesta Situação de Aprendizagem apenas os gráficos das funções seno
ou cosseno, deixando para segundo plano os
gráficos das demais funções (tangente, cotangente, secante e cossecante). Acreditamos que
o professor, decerto, vai avaliar a pertinência
de apresentar a seus alunos também os demais
36
gráficos, dependendo das condições de sua
turma e do tempo disponível.
A Situação de Aprendizagem será desenvolvida sobre três percursos, que o professor
poderá trilhar totalmente ou parcialmente, a
seu critério. No primeiro percurso, propomos
a construção dos gráficos a partir de uma tabela
de valores especialmente escolhidos. No segundo
percurso, sugerimos que o professor utilize um
software de construção de gráficos para auxiliar
a compreensão dos alunos e imprimir maior velocidade às conclusões. Por fim, no terceiro percurso, sugerimos que o professor discuta com os
alunos sobre gráficos trigonométricos em que o
seno e o cosseno variam em função do tempo,
isto é, gráficos expressos por equações do tipo
y = C + A.senb.t, com t escrito em segundos, ou
em minutos, ou em horas, etc.
Percurso 1 – Construção do gráfico a
partir de tabela de valores
Para motivar os alunos a se envolver com a
construção e análise de gráficos trigonométricos o professor pode comentar sobre o fato de
que o modelo ondulatório está presente na explicação de uma série de fenômenos próximos
ao dia-a-dia dos alunos, como, por exemplo, as
transmissões radiofônicas ou televisivas. Para
tanto, o professor pode comentar que a frequência de transmissão de rádios em FM é da
ordem de megahertz, isto é, ondas que passam
por um ponto “carregando” cerca de 1 milhão
de períodos (ou comprimentos de onda) por segundo. De outra forma, as estações AM transmitem na faixa dos quilohertz, isto é, uma onda
de rádio dessa faixa “carrega” cerca de mil períodos ou comprimentos de onda) por segundo.
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
Essas variações de período e de frequência são
visíveis no desenho da onda e também na escrita de sua equação, e isso será feito a partir da
construção dos gráficos, que ora iniciamos.
a divisão entre os quadrantes da circunferência
π
3π
, π,
trigonométrica, isto é, 0,
, 2π. Para
2
2
começar, podem ser desenhados, em um mesmo
sistema de eixos cartesianos os gráficos de y =
senx e de y = 2senx. Para tanto, pode ser elaborada a seguinte tabela de valores:
Comentaremos alguns exemplos de gráficos construídos a partir de tabela de valores,
introduzindo valores de uma constante a cada
vez. O professor pode utilizar-se desses mesmos exemplos ou recorrer a outros, que julgar
mais apropriados ao desenvolvimento de suas
turmas de trabalho. Todavia, sugerimos que,
em qualquer caso, os alunos possam, inicialmente, utilizar papel quadriculado para desenhar os gráficos das tabelas que elaboram.
Exemplo 1: y = Asenx ou y = Acosx
A elaboração da tabela para a construção do
gráfico vai levar em conta os valores que marcam
x
0
π
2
y = senx
0
y = 2senx
0
1
2
π
0
0
3π
2
–1
–2
2
0
0
Os dados tabelados permitem que sejam
desenhados os seguintes gráficos:
2
y = 2.senx
1
y = senx
x
0
π
2
π
3π
2
2π
–1
–2
Em seguida, o professor pode pedir que
seus alunos desenhem mais dois pares de
gráficos, um em cada sistema de eixos cartesianos, a fim de que seja possível intuir
a conclusão a respeito da interferência
da constante A na forma do gráfico. Para
tanto, propomos que sejam aplicadas as
seguintes atividades:
37
Atividade 1
gráficos utilizando um sistema de eixos cartesianos para cada tabela.
Completem as tabelas e construam os
tabela 2
tabela 1
x
y = senx
y = 1,5.senx
x
y = cosx
y = 3.cosx
0
0
0
0
1
3
π
2
1
+1,5
π
2
0
0
π
0
0
π
–1
–3
3π
2
–1
–1,5
3π
2
0
0
2π
0
0
2π
1
3
y
y
y = 1,5.senx
1,5
3
2
1
y = senx
0
π
2
π
3π
2
2π
x
1
y = cosx
0
–1
–1
–2
–1,5
–3
Atividade 2
Qual é a diferença entre os gráficos das
funções y = senx e y = Asenx? Isto vale também para os gráficos das funções y = cosx e
y = A.cosx?
38
y = 3.cosx
π
2
π
3π
2
2π
x
A constante A está relacionada à amplitude
da onda, isto é, à distância entre o eixo horizontal e o valor máximo da função. A imagem da função, nesse caso, será o intervalo
[–A, +A], se A > 0.
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
2x
x
y = sen2x
y = 2 sen2x
0
0
0
0
π
2
π
4
1
2
π
π
2
0
0
3π
2
3π
4
–1
–2
2π
π
0
0
Exemplo 2: y = Asenbx ou y = Acosbx
O professor pode apresentar aos alunos
o seguinte exemplo, formado pela tabela e
gráfico correspondente:
Vale a pena destacar aos alunos que a primeira coluna da tabela, à esquerda, contém
os valores divisórios dos quadrantes, que são
adotados para facilitar a construção. Para
melhor demonstrar a importância do fator 2,
introduzido na equação, o professor pode desenhar os gráficos de y = senx e de y = 2sen2x
em um único sistema de eixos cartesianos,
conforme representado a seguir:
y
2
y = 2.sen2x
1
y = senx
x
0
π
2
π
3π
2
2π
–1
–2
A partir da análise e discussão desse gráfico o professor pode pedir aos alunos que
construam mais alguns a fim de estabelecerem conclusões a respeito do significado das
alterações introduzidas no gráfico de y = senx
ou de y = cosx quando acrescentamos a suas
equações as constantes A e b, de maneira a
formar equações do tipo y = A.senBx ou
y = A.cosBx.
Atividade 3
Complete a tabela e desenhe em um mesmo sistema de eixos cartesianos os gráficos de
x
, no intervalo [0, 4π].
y = cosx e de y = cos
2
 
39
x
2
x
Exemplo 3: y = C + A.senbx ou
y = C + A.cosbx
x
2
 
y = cos
0
0
1
π
2
π
0
π
2π
–1
3π
2
3π
0
2π
4π
1
Para discutir a variação que a constante
C causa ao ser incluída na equação da função elementar, sugerimos que o professor
construa com os alunos o gráfico da função
y = 1 + 2sen4x a partir de uma tabela de valores. Salientamos novamente que pelo fato
de os alunos conhecerem a forma do gráfico
y = senx e os valores dos senos dos arcos 0, π ,
2
π, 3π , 2π é interessante que estes sejam os
2
valores atribuídos ao que se quer calcular o
seno, isto é, a 4x. Assim, pode-se construir a
seguinte tabela:
y
y = cosx
1
3π
2
0
π
2
π
x
2π
3π
–1
y=
sen4x
y=
2.sen4x
y=1+
2.sen4x
0
0
0
0
1
π
2
π
8
1
2
3
π
π
4
0
0
1
3π
2
3π
8
–1
–2
–1
2π
π
2
0
0
1
x
2
Atividade 4
Qual é a diferença entre os gráficos das
funções y = senx e y = senBx? Isto vale também para os gráficos das funções y = cosx e
y = cosBx?
Espera-se que os alunos percebam que o gráfico de y = cosx completa um período em 2π,
x
completa
enquanto o gráfico de y = cos
2
apenas meio período em 2π, o que significa
que o período desta última função é 4π.
40
x
4π
y = cos
 
4x
O desenho dos gráficos de y = senx e de
y = 1 + 2.sen4x em um único sistema de eixos
coordenados permite que sejam discutidas as
modificações que as constantes introduzidas
na equação causam ao gráfico elementar.
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
y
3
y = 1 + 2 sen4x
2
1
y = senx
π
2
0
π
3π
2
2π
x
–1
Atividade 5
Comparação entre os dois gráficos
y = senx
y = 1 + 2sen4x
2π
2π π
=
4
2
Período
Imagem
[–1, +1]
[–1, 3]
Amplitude
1
2
Complete a tabela e desenhe os gráficos das
x
funções y = –1 + 2sen
e de y = senx em um
2
mesmo sistema de eixos cartesianos.
 
Observa-se que em relação ao gráfico de
y = senx o gráfico de y = 1 + 2sen4x foi deslocado verticalmente 1 unidade para cima, teve
seu período diminuído 4 vezes e sua amplitude
dobrada, efeitos estes causados, respectivamente, pelas constantes 1, 4 e 2.
3
x
2
x
0
0
0
–1
π
2
π
2
1
π
2π
0
–1
3π
2
3π
–2
–3
2π
4π
0
–1
2sen
x
2
 
y = –1 + 2sen
x
2
y
2
y = senx
1
0
–1
–2
π
2
π
3π
2
2π
3π
4π
x
y = –1 + 2sen x
2
–3
41
Atividade 6
Qual é a diferença entre os gráficos das
funções y = senx e y = C + senx?
Espera-se que os alunos percebam que o gráfico de y = senx desloca-se verticalmente C unidades, sem alterar seu período ou amplitude.
Para encerrar esta etapa, o professor pode
pedir aos alunos que generalizem suas conclusões em um exercício como o seguinte:
Atividade 7
Quais são as variações introduzidas nos gráficos das funções y = senx ou y = cosx pelas
constantes A, b e C, formando funções de equações y = C + AsenBx ou y = C + AcosBx?
O professor pode auxiliar os alunos a generalizarem as seguintes conclusões:
Em relação às funções y = senx e y = cosx, as
funções y = C + AsenBx e y = C + AcosBx
apresentam:
f Deslocamento vertical de C unidades;
f Amplitude igual a A;
f Período igual a 2π .
B
Por fim, pode ser proposto um exercício
que, no sentido oposto ao realizado anteriormente, exija dos alunos a obtenção de equações
de gráficos já desenhados, como na atividade
a seguir.
Atividade 8
Quais são as equações das funções que
podem ser associadas aos gráficos representados abaixo?
y
y
y = 2 + senx
y = 1 + 2cos
3
3
2
2
1
1
x
4
4π
0
π
2π
x
0
2π
6π
8π
x
–1
Percurso 2 – Construção de gráficos com o
auxílio de um software
Caso haja possibilidade de se utilizar um
software como ferramenta para a construção
42
de gráficos, o professor vai poder elaborar fichas de acompanhamento da atividade. Nesse caso, o fato de que cada constante acrescentada à função elementar
produz alguma modificação importante
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
em seu gráfico deve nortear a sequência de comandos. Assim, podem ser construídos inicialmente gráficos do tipo
y = Asenx ou y = Acosx para, em seguida, serem solicitados os gráficos do tipo y = AsenBx
ou y = AcosBx. Depois de analisadas as transformações causadas nos gráficos das funções
elementares pelas inclusões das constantes A
e b, o próximo passo pode ser a inclusão da
constante C, sendo, então, gerados os gráficos de funções do tipo y = C + AsenBx ou
y = C + AcosBx.
Apresentamos a seguir algumas possibilidades para esse trabalho.
Atividade 9
1º- tipo – Gráficos y = A.senx
1. Desenhe em um mesmo sistema de eixos
os gráficos:
( I ) y = senx
( II ) y = 2senx
( III ) y = 3senx
y
5
4
3
y = 3senx
2
y = 2senx
1
y = senx
0
–2,5π
–2π
–1,5π
–1π
0
–0,5π
0,5π
1π
1,5π
x
2π
2,5π
–1
–2
–3
–4
–5
2. Apague da tela os gráficos ( II ) e ( III )
e desenhe mais dois gráficos:
( IV ) y = 5senx
( V ) y = – 3senx
43
y
10
8
6
y = 5senx
4
y = –3senx
2
y = senx
x
0
–5π
–4π
–3π
–2π
0
–1π
1π
2π
3π
4π
5π
–2
–4
–6
–8
–10
Qual é a alteração produzida no gráfico de y = senx quando multiplicamos toda a função por um valor
constante A?
Varia a amplitude do gráfico e, portanto,
também a imagem da função.
3. Observe todos os gráficos desenhados
até agora e responda:
a) Qual é o domínio de uma função do
tipo y = Asenx?
R.
b) Qual é a imagem de uma função do
tipo y = Asenx?
44
[–A, +A], A>0.
c) Qual é o período de uma função do
tipo y = Asenx?
2π.
2º- tipo – Gráficos y = Asen(bx)
ou y = Acos(bx)
4. Desenhe em um único sistema de eixos
os gráficos:
( I ) y = senx
( VI ) y = sen2x
( VII ) y = sen4x
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
y
5
4
3
y = sen2x
y = senx
2
y = 4 senx
1
x
0
–2,5π
–2π
–1,5π
–1π
0
–0,5π
0,5π
1π
1,5π
2π
2,5π
–1
–2
–3
–4
–5
5. Você deve ter percebido diferença entre as
formas “senoidais” dos 3 gráficos que acabou de desenhar. Explique a diferença.
6. Desenhe em um único sistema de eixos:
x
(I) y = senx
(VIII) y = sen
2
x
(IX) y = sen
4
A diferença está no período das funções.
y
10
8
6
4
2
x
4
y = sen
y = senx
x
0
–5π
–4π
–3π
–2π
0
–1π
1π
2π
3π
4π
5π
–2
–4
x
2
y = sen
–6
–8
–10
45
7. Desenhe os gráficos:
( X ) y = cosx
( XI ) y = cos2x
( XII) y = cos
y
x
2
10
8
6
4
2
y = cosx
x
2
y = cos
y = cos(2x)
x
0
–4π
–5π
–3π
–2π
0
–1π
1π
2π
3π
4π
5π
–2
–4
–6
–8
–10
8. Em funções do tipo y = Asenbx ou do
tipo y = Acosbx, qual é:
a) O domínio?
R.
b) A imagem?
[–A, +A] para A>0.
c) O período?
2π
.
B
9. Responda:
a) Qual é o domínio da função
y = – 4sen4x?
R.
46
b) Qual é a imagem da função y = 5sen
x
?
5
–5 ≤ x ≤ 5.
c) Quais são os períodos das funções dos
itens a e b?
π
e 10π.
2
Não estamos apresentando aqui uma
sequência de trabalho para a discussão
do 3º- tipo de gráfico, y = C + AsenBx ou
y = C +AcosBx, e muito menos para gráficos
gerados por deslocamentos horizontais, do tipo
y = sen(x + D). Propomos que o professor
avalie a pertinência de incluir ou não gráficos
desses tipos em algumas rotinas de trabalho
com a ajuda de software.
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
Percurso 3 – Gráficos trigonométricos em
função do tempo
Fenômenos periódicos são aqueles que se
repetem a cada intervalo determinado de tempo, mantendo suas características básicas.
Se quisermos analisar os fenômenos periódicos e, se possível modelá-los, não podemos deixar de considerar as funções nas
quais uma grandeza varia periodicamente
em função do tempo.
Depois da realização das etapas anteriores, o professor pode questionar os alunos
sobre o período de gráficos de funções do tipo
y = senBx quando b for da forma kπ, com
k ∈ Q. Consideremos, por exemplo, o gráfico
da função y = sen(πx), para o qual vamos ter
as seguintes condições:
f Imagem: [–1, +1].
2π
= 2.
f Período:
π
Nessas condições, teremos o seguinte gráfico:
1
y = senπx
x
0
1
Atividade 10
Escreva o domínio, a imagem e o período
das seguintes funções:
a) y = 2sen (2πx)
Domínio: R; Imagem: [–2, + 2];
2π
Período:
= 1.
2π
πx
b) y = cos
2
 
Domínio: R; Imagem: [–1, +1];
π
Período: 2π ÷
= 4.
2
πx
c) y = 1 + 3sen
4
Domínio: R; Imagem: [–2, +4]; Período:
π
2π ÷
= 8.
4
 
 
 
f Domínio: R.
0,5
gráficos e, se desejável, que eles os desenhem.
Para tanto sugerimos a seguinte atividade:
1,5
2
–1
De forma semelhante, o professor pode pedir que os alunos avaliem as condições de alguns
Compreendido o fato de que o período do
gráfico da função será igual a um número racional quando a constante B for igual ao produto entre π e um número racional, o próximo
passo pode ser pedir aos alunos que reflitam
sobre o seguinte exercício, em que um movimento periódico é claramente identificado e
representado em função do tempo.
Atividade 11
Um pequeno corpo gira em torno de uma
circunferência de raio 4 cm, no sentido indicado, completando uma volta a cada 2 segundos.
Considerando que o corpo parte do ponto o
assinalado na figura, determine a equação
matemática que permite calcular a medida da
projeção do ponto sobre o eixo vertical, e, em
47
seguida, desenhe o gráfico cartesiano representativo da equação obtida.
circunferência. O período, isto é, o tempo para
o corpo completar uma volta na circunferência, é igual a 2 segundos, o que permite concluir que o valor da constante b é, nesse caso,
igual a π. Associando a medida da projeção
(P) sobre o eixo vertical ao valor do seno do
arco, podemos escrever a seguinte equação:
0
P = 4sen(πt)
na qual t é dado em segundos e P em centímetros.
A amplitude da projeção vertical é igual a
4 cm, correspondente à medida do raio da
O gráfico da situação, para 3 períodos do
movimento, é este:
P
8
6
P = 4sen(πt)
4
2
t
0
–10
–8
–6
–4
0
–2
2
4
6
8
10
–2
–4
–6
–8
–10
Considerações sobre a avaliação
A construção e o reconhecimento de gráficos de funções trigonométricas é uma importante etapa do estudo deste conteúdo,
sobretudo se considerarmos a possibilidade
de contextualizar os conceitos em situações
do cotidiano, que envolva periodicidade.
48
Sabemos, entretanto, que, assim como o tratamento dos gráficos dos demais grupos de funções, também as trigonométricas costumam
acarretar dificuldades aos alunos, e por isso,
recomendamos que o processo de avaliação
considere a maior variedade possível de instrumentos, e não apenas avaliações individuais.
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
Os diversos exercícios que compõem esta
Situação de Aprendizagem podem ser utilizados
em avaliações realizadas em duplas de alunos. Tal
estratégia estimula o diálogo e aumenta a possibilidade de busca de significados conceituais. Caso
o professor opte por trabalhar com o auxílio do
computador para a construção dos gráficos, poderá utilizar as fichas de acompanhamento como
outro elemento de avaliação.
De qualquer modo, ao fim do período de
trabalho com esta Situação de Aprendizagem
espera-se que os alunos consigam:
f completar uma tabela com valores de
arcos e de funções.
f construir o gráfico de uma função trigonométrica dada a equação que a
representa.
f determinar a equação da função representada por um gráfico dado.
f escrever a equação de uma função trigonométrica que envolva um par de grandezas
do qual uma delas é o tempo.
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 4
EQUAçÕES TRIGONOMÉTRICAS
tempo previsto: 1 semana.
Conteúdos e temas: arcos côngruos; equações trigonométricas envolvendo senos e cossenos.
Competências e habilidades: relacionar situações-problema, apresentadas em língua materna,
com os significados associados aos fenômenos periódicos; resolver equações trigonométricas envolvendo senos e cossenos; interpretar resultados e fazer inferências.
Estratégias: resolução de situações-problema contextualizadas.
roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 4
Uma equação trigonométrica envolvendo seno ou cosseno exige a determinação
de uma medida de arco para o qual o seno
ou cosseno assume determinado valor,
como, por exemplo, determinar x para que
1
, ou cosx = –1. Casos como esses,
senx =
2
frequentemente apresentados e resolvidos
em cursos de Ensino Médio, se forem
compreendidos à luz da modelagem de funções trigonométricas, podem ampliar sobremaneira os significados associados a esse
tipo de função.
Entre os diversos fenômenos periódicos
possíveis de serem modelados por equações
trigonométricas envolvendo senos ou cossenos, foram selecionados quatro, apresentados a seguir, com a proposta de resolução de
algumas equações.
49
A Situação de Aprendizagem consiste em
fornecer aos alunos o texto descritivo de cada
fenômeno, solicitar a leitura, eliminar eventuais dúvidas e, finalmente, a resolução de
algumas questões.
Atividade 1
Cálculo do período de claridade de uma
cidade
A inclinação do eixo de rotação da Terra
é o fator responsável pela alteração da quantidade de insolação que uma cidade recebe
durante o ano. Essa alteração da quantidade
de horas de luz solar marca as estações, primavera, verão, outono e inverno.
Em cidades próximas à linha do Equador
quase não se percebe a passagem das estações, pois o índice de claridade é praticamente o mesmo durante todo o ano, cerca
de 12 horas por dia, o mesmo dado vale para
a temperatura média mensal. Já em regiões
mais afastadas do Equador a inclinação do
eixo terrestre faz com que o verão tenha dias
bem longos, com alto índice de insolação,
enquanto no inverno a situação se inverte,
observando-se dias bem curtos, com poucas
horas de claridade.
Em uma região um pouco afastada do
Equador como, por exemplo, no Sul de nosso país, se registrarmos durante um ano o
número de horas de claridade diária perceberemos que os dados obtidos podem ser
ajustados por uma função trigonométrica,
isto é, que a quantidade de horas de claridade diária varia periodicamente em função
50
do tempo. A equação a seguir traduz essa
situação para determinada localidade, que
chamaremos cidade b.
N=
2πx
35
7
+
∙ sen
365
3
3
 
A variável x dessa equação corresponde ao
número de dias contados a partir do dia 23 de
setembro, dia que marca o início da primavera
no Hemisfério Sul, dia esse chamado equinó2πx
é medido em
cio de primavera. O arco
365
radianos e N é a quantidade de horas de claridade diária. Assim, no dia 23 de setembro, x = 0
e o valor de n pode ser assim obtido:
N=

2πx . 0
35
7
+
∙ sen
365
3
3
=
35
7
35
+
∙ sen0 =
≅ 11,7 horas
3
3
3
Como era de se esperar, nos dias de equinócio o número de horas de claridade é próximo da metade da duração de um dia.
a) Qual é o número aproximado de horas diárias de insolação da cidade b
no dia 21 de dezembro, dia de solstício, que marca a entrada do verão no
Hemisfério Sul?
Adotando x = 90 correspondente ao número
de dias do período, têm-se:


2π . 90
35
7
N = 3 + 3 ∙ sen
365 . Aproximando
35
7
π
365 ≅ 4 . 90, têm-se:N = 3 + 3 ∙ sen .
2
Portanto, N ≅ 14 horas.
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
b) Qual é o número de horas diárias de
insolação da cidade b no dia 21 de
junho, solstício de inverno no Hemisfério Sul?
Adotando x = – 90, visto que junho antecede
setembro em três meses, e adotando a simplificação realizada no item anterior, têm-se:
N=
π
35
7
+ ∙ sen –
=
2
3
3
 
35
7
28
+ ∙ (–1) =
≅ 9,3 horas
3
3
3
c) De posse de uma tabela trigonométrica,
ou de uma calculadora científica, determine os dias do ano em que o número
de horas de claridade na cidade b seja
igual a 13 horas.
35
7
13 = 3 + 3 ∙ sen
sen

2πx
365

2π
 365
⇒
4
= 7 ≅ 0,6
Precisamos responder: qual é o arco, em
radianos, cujo seno é igual a 0,6? A resposta, de acordo com a calculadora cien2πx ≅ 0,64 ⇒
365
x ≅ 37,2 dias. Para encontrar o dia desejado
precisamos contar 37 dias a partir de 23 de
setembro. Feito isso, obteremos 30 de outubro.
tífica, é 0,64. Assim,
Atividade 2
A periodicidade da pressão sanguínea
O gráfico a seguir representa a variação
da pressão (P, em milímetros de mercúrio,
mmHg) nas paredes dos vasos sanguíneos em
função do instante (t, em segundos) em que a
medida da pressão foi realizada.
P
120
100
80
t
0,375 0,75 1,125 1,5 1,875 2,25
Ao observar que a imagem da função é
o intervalo [80, 120], que a amplitude é 20 e
3
que o período é 0,75 = , podemos escrever a
4
equação da função:
8πt
P(t) = 100 – 20 . cos
3


a) Calcule a medida da pressão no instante 2 segundos.
Aproximadamente 110 mmHg.
b) Quais são os instantes de tempo entre 0
e 1 segundo em que a pressão sanguínea
é igual a 100 mmHg?
P(t) = 100 – 20 . cos

8πt
3
 = 100 ⇒
8πt
8π
=0⇒
= π = kπ ⇒
3
3
2
3 + 6.k
t = 16 , k ∈ Z. Os possíveis valores
de k, neste caso, são 0, 1 e 2, de modo que
os valores de t serão:
3 9
15
,
e
segundos.
16 16 16
cos


Atividade 3
A temperatura pode ser periódica?
A temperatura de determinada localidade
varia periodicamente, como, em geral, ocorre em muitos lugares durante certas épocas
do ano. Ao observar e anotar os valores de
51
temperatura dia a dia nesse local, percebe-se
que é possível modelar a variação por meio da
seguinte função trigonométrica:
T = 50 . sen

2π (t – 101)
360

A temperatura do dia 11 de maio, por
exemplo, 131 dias após 1º- de janeiro, pode ser
assim prevista:
T = 50 . sen 2π (131 – 101) + 7
360

π
2π . 30
+ 7 = 50 . sen
+ 7.
6
360
1
π
Uma vez que sen
=
, temos que
2
6
1
T = 50 .
+ 7 = 32 ºF.
2
T = 50 . sen


lembrando que a conversão entre ºC e ºF
é feita de acordo com a expressão:
T(ºF) = 1,8.T(ºC) + 32
32 = 1,8.T(ºC) + 32 ⇒ T(ºC) = 0º
A cidade em que a temperatura diária obedece a essa equação deve estar bem
afastada da linha do Equador, uma vez que
11 de maio é dia de outono no Hemisfério
Sul e de primavera no hemisfério Norte, não
sendo comuns, nessa época, temperaturas tão
baixas em cidades próximas ao Equador.
a) Qual é a temperatura da referida cidade,
em ºC, em 26 de maio, 15 dias adiante
da data do exemplo comentado anteriormente?
52
T = 50. sen
+7
Nessa equação, o tempo t é dado em dias,
t = 0 corresponde ao 1º- dia de janeiro, e a temperatura t é medida na escala Fahrenheit.

(lembre-se que sen45º =

T = 50 . sen
T (ºC) =
2
≅ 0,7).
2

2π(146 – 101)
+7
360
π
4 + 7 ⇒ T ≅ 42 ºF e
 
10
≅ 5,5 ºC
1,8
b) Qual é a máxima temperatura dessa
cidade? Em qual dia do ano ela ocorre?
A temperatura máxima ocorrerá quando o valor do seno for máximo, isto é, for igual a 1.
Portanto, a temperatura máxima será 57 ºF,
25
ou
≅ 14 ºC. Para que o valor do seno seja
1,8
igual a 1 é preciso que o arco seja igual a
π
rad.
2
π
⇒ t = 191 dias.
Assim, 2π(t – 101) =
2
360
Portanto, a temperatura máxima da cidade
será de 14 ºC, 191 dias após 1º- de janeiro, isto
é, por volta de 10 de julho. Esses dados nos
mostram que a cidade está localizada em um
país do Hemisfério Norte, em latitude alta,
como, por exemplo, Finlândia ou Noruega.
Atividade 4
o fenômeno das marés
A conjugação da atração gravitacional
entre os corpos do sistema Terra-lua-Sol e a
rotação da Terra em torno de seu eixo são os
principais fatores responsáveis pela ocorrência
do fenômeno das marés, no qual as águas do
mar atingem limites máximos e mínimos com
determinada regularidade.
As atrações gravitacionais do Sol e da lua
sobre a Terra causam, em geral, duas marés
altas por dia em cada ponto da Terra, separadas por cerca de 12 horas. De fato, se for observada uma maré alta às 10 horas da manhã,
por exemplo, a próxima maré alta, no mesmo ponto, ocorrerá por volta de 22h12, ou
seja, cerca de 12 minutos além das 12 horas
de diferença.
A lua, por estar muito mais perto da
Terra que o Sol, tem a maior influência sobre as marés, como representado na figura
a seguir:
Lua
Lua
Sol
Atração lunar
Atração solar
No entanto, quando o Sol e a lua se
alinham com a Terra, nas condições de lua
cheia ou de lua nova, as atrações dos dois
astros se somam e são observadas as marés
mais altas entre todas.
O subir e o descer das marés é registrado
por uma medida de comprimento, relativa
às alturas, máxima e mínima, que a água
atinge em relação a um valor médio. Em
um intervalo aproximado de 12 horas, a
altura máxima corresponde à maré cheia e
a altura mínima à maré baixa. Vários sites
divulgam dados das alturas das marés baixa e alta a cada dia e em cada porto, como
neste exemplo:
data
dom 02/03/08
Seg 03/03/08
ter 04/03/08
Horário
00:21
08:15
12:56
18:02
00:56
07:45
13:23
18:47
01:30
07:45
13:54
19:26
Altura (m)
1,1
0,7
1,1
0,4
1,3
0,7
1,2
0,3
1,4
0,6
1,4
0,1
Trecho da tábua de marés do porto de Santos, em março de 2008.
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
"Esta publicação não substitui as "TÁBUAS
DAS MARÉS:, editadas pela DHN."
"As tábuas de previsão de marés constantes
desta publicação foram cedidas pela Diretoria
de Hidrografia e Navegação e reproduzidas
mediante autorização"; "Esta publicação não
substitui as "TÁBUAS DAS MARÉS", editadas
pela DHN, mencionada no item 0240 das Normas
para Embarcações Empregadas na Navegação
de Mar Aberto (NORMAN-01/DPC)".
Publicação para distribuição gratuita. Não pode
ser vendida.
Observa-se, por exemplo, que no dia 02 as
marés altas alcançaram 1,1 m enquanto as
marés baixas mediram 0,7 m e 0,4 m. Notase também que a maré alta do dia 03 (1,3 m)
foi de maior amplitude que a do dia anterior
(1,1 m), e de menor amplitude que a maré alta
do dia seguinte. (1,4 m). Assim, a amplitude
da maré alta aumenta com a passagem dos
dias representados na tábua.
Escolhido um porto e um período, e selecionadas as alturas, em metros, das marés
altas, e apenas delas, organizadamente e de
acordo com a ordem de observação, é possível
53
desenhar um gráfico que reflita a periodicidade e que possa ser modelado por uma função trigonométrica. Observe, por exemplo, o
gráfico do porto do Recife durante um período de dois meses. No eixo horizontal estão
assinalados os números de observações, cujo
valor máximo chega próximo de 120, o que é
razoável visto que ocorrem, em média, duas
marés altas por dia, e o período do gráfico
compreende 2 meses.
igual a 13 dias. Assim, a constante
2π
.
B=
13
Tábua de marés - Recife
agosto/setembro 2004
altura (m)
2,5
2
1,5
Tábua de marés - Recife
agosto/setembro 2004
altura (m)
2,5
Como, em média, são duas observações por dia, o período do gráfico, em dias, é aproximadamente
1
51 – 25
0,5
0
2
1 11
21
31
41
51
61
71 81
91 101 111
1,5
1
0,5
0
1 11
21
31
41
51
61
71 81
91 101 111
Podemos obter a equação desse gráfico,
do tipo y = C + AsenBx, se fizermos algumas
simplificações:
b) Qual será a altura da maré no 39º- dia
de observação?
f adotar que o gráfico é uma senoide.
1,8 m.
f traçar uma linha horizontal para identificar a constante C da equação. No
caso, C ≅ 1,8.
c) Quais serão os dias em que a maré alta
atingirá 2,05 m de altura?
f identificar o valor da amplitude A ≅ 0,5.
2,05 = 1,8 + 0,5sen
f deslocar a origem do sistema para o
ponto de observação nº- 25, de maneira
que todos os demais valores de observação passem a ser subtraídos de 25.
f identificar o período do gráfico, correspondente, nesse caso, a 26 observações.
54
a) De acordo com as simplificações realizadas, qual é a equação da função
que pode ser representada por esse
gráfico?
2π
t, com t em dias e y em
y = 1,8 + 0,5sen
13
metros.
2π
2π
t ⇒ sen
t = 0,5
13
13
⇒
2π
π
t=
+ 2kπ
13
6
ou
2π
5π
t=
+ 2kπ . (Isolando t, tem-se:
13
6
t=
13
65
+ 13k, ou t =
+ 13k. Atribuindo
12
12
Matemática – 2ª- série, 1o bimestre
valores naturais para k, obtém-se os valores
de t no intervalo que se desejar.)
Considerações sobre a avaliação
A escala apropriada para o desenvolvimento de cada conteúdo só pode ser devidamente
indicada pelo professor na articulação entre
o conhecimento que tem sobre sua turma de
alunos e o respeito a seu projeto de ensino.
De forma semelhante, entendemos que, nas
diferentes etapas de avaliação, deve ser levada
em conta a pertinência de instrumentos, o percurso estabelecido e os conteúdos abordados.
Vale destacar que, dada a relevância de determinados conceitos é importante que estes
tenham sua compreensão avaliada em vários
momentos. No entanto, apesar da variedade
de formas e conteúdos, algumas premissas
precisam ser adotadas. Como ponto de partida, convém buscar resposta a duas questões
de suma importância:
f Quais as principais habilidades que devem ser avaliadas?
f Quais instrumentos podem avaliar as
habilidades selecionadas?
Com relação à primeira questão, referente
às principais habilidades que os alunos precisam mobilizar para serem avaliados, é necessário que eles consigam:
f Identificar a posição da extremidade
final dos arcos notáveis na circunferência, associando-os aos correspondentes
valores de senos, cossenos, tangentes e
cotangentes.
f Obter a menor determinação positiva de arcos medidos em radianos ou
em graus.
f Representar os gráficos das funções
trigonométricas e reconhecer suas propriedades.
f Determinar o conjunto solução de
equações ou de inequações trigonométricas, mesmo daquelas envolvidas por
contextos não apenas matemáticos.
No processo de avaliação sugere-se que o
professor utilize diferentes instrumentos de forma que o quadro final da avaliação retrate tanto
as características do trabalho realizado como
as diversas competências que cada um de seus
alunos consegue ou não mobilizar no enfrentamento de situações-problema de trigonometria.
Dessa forma, é possível considerar que:
a) uma atividade avaliativa individual
deve ser realizada com o objetivo de
permitir que os alunos busquem e discorram sobre situações do cotidiano
em que se observa claramente a periodicidade.
b) as atividades desenvolvidas em sala
de aula, cumpridas em grupos ou individualmente, devem ser avaliadas
continuamente, a fim de compor um
quadro que considere todos os passos
do processo de construção conceitual.
Algumas vezes, portanto, avalia-se não
só o que foi “feito” pelo aluno mas,
com maior ênfase, seu processo de
trabalho.
c) todas as atividades aplicadas para os alunos poderão ser resolvidas em duplas ou
trios, cabendo ao professor acompanhar
55
as equipes durante a realização, sanando
dúvidas e eliminando dificuldades. Ao
final, todos os alunos podem entregar
sua produção para que o professor as
comente e avalie.
d) Resolver equações trigonométricas é
uma habilidade esperada dos alunos
ao fim do estudo. Cabe ao professor definir quais tipos de equações
vão exigir resolução, de acordo com
aquilo que apresentou e discutiu anteriormente. No entanto, vale salientar a importância de que algumas
dessas equações sejam apresentadas e
resolvidas com base em situações do
cotidiano, como é o caso das equações que compõem esta Situação de
Aprendizagem, e que, posteriormente, passem a compor instrumentos de
avaliação objetiva.
livros didáticos contêm, via de regra, uma
série de equações trigonométricas para os
alunos resolverem. Estas séries são indicadas
especialmente para os alunos que, por algum
motivo, não tenham conseguido se apropriar
do conhecimento desejado durante a realização da Situação de Aprendizagem.
ORIENTAçÕES PARA RECUPERAçãO
Acreditamos que a quase totalidade dos alunos conseguirá atingir os objetivos traçados na
Situação de Aprendizagem 1, dispensando, dessa
forma, a necessidade de elaboração de um longo
processo de recuperação. Todavia, se alguns alunos anunciarem qualquer dificuldade na compreensão esperada, o professor poderá estimulá-los
com a observação de outros experimentos periódicos como, por exemplo, a distensão de uma
mola em que foi pendurada determinada massa,
de acordo com a ilustração seguinte.
posição
"mínima"
posição
"neutra"
posição
"máxima"
56
Para os alunos que, por algum motivo,
não atinjam o nível de desempenho esperado nas avaliações propostas na Situação de
Aprendizagem 2, o professor, a fim de auxiliá-los em sua recuperação, poderá adotar a
seguinte rotina:
f orientar os alunos para a construção de
nova circunferência trigonométrica, na
qual as extremidades finais dos arcos sejam assinaladas em graus e também em
radianos.
f construir, mais uma vez, os gráficos das
funções y = senx e y = cosx, os dois em
um único sistema de eixos cartesianos.
f discutir novamente com os alunos sobre a conversão de medidas de arcos de
graus para radianos e vice-versa.
f preparar lista de exercícios para que os
alunos calculem a menor determinação
de alguns arcos.
f solicitar que os alunos resolvam algumas equações trigonométricas simples,
do tipo senx = k ou cosx = m, e que as
resoluções algumas vezes envolvam apenas o observar da posição dos arcos na
circunferência, e, em outras, que sejam
representadas nos gráficos cartesianos
das funções.
Com relação às duas últimas Situações de
Aprendizagem, sugerimos que o professor
oriente os alunos que não tenham desenvolvido o conhecimento desejado, e que necessitem
se recuperar, a resolver novamente alguns dos
exercícios propostos de forma a mostrarem
respostas diferentes das apresentadas anteriormente, sobretudo nos casos de respostas
redigidas em língua materna. Além disso, havendo possibilidade, os alunos poderão destinar algum tempo extra para desenhar gráficos
com o auxílio de um software.
57
RecuRsos paRa ampliaR a peRspectiva do
pRoFessoR e do aluno paRa a compReensão do tema
Caso o professor julgue necessário aprofundar o estudo de alguns dos temas apresentados neste Caderno, sugerimos a leitura dos
seguintes artigos da Revista do Professor de
Matemática (RPM), da Sociedade Brasileira
de Matemática:
Sobre a evolução de algumas ideias matemáticas, de Elon lages lima, RPM, nº- 6.
Nesse artigo, o professor Elon discorre sobre abordagens conceituais para alguns tópicos de conteúdo do Ensino Médio, entre eles,
a Trigonometria e a periodicidade.
Ensinando Trigonometria através da imagem, de Abdala Gannam, RPM, nº- 9.
58
Funções Trigonométricas e leis da Trigonometria, de Wu-yi-Hsiang, RPM, nº- 23.
Seno de 30 é um meio?, de Renate G.
Watanabe, RPM, nº- 30.
Além desses artigos, sugerimos ainda a leitura das publicações do professor Elon lages
lima, pelo Instituto de Matemática Pura e
Aplicada (IMPA), dentre os quais destacamos:
f Coordenadas no Plano.
f Meu professor de Matemática.
consideRações Finais
Apresentamos neste Caderno uma proposta de desenvolvimento para os conteúdos de
trigonometria que prioriza o reconhecimento da periodicidade. De fato, como comentado na apresentação inicial das Situações
de Aprendizagem, o grupo das funções trigonométricas é um dos mais importantes
entre aqueles que mostramos aos alunos no
Ensino Médio, embora muitas vezes não seja
contextualizado com a devida atenção.
Afinal, há uma série bastante grande de fenômenos naturais modelados por funções
trigonométricas, e apesar de apresentarmos
algumas delas durante os diversos exercícios,
de forma alguma esgotamos o rol possível
(batimento cardíaco, movimentos eletrônicos, etc.).
Enfatizamos a possibilidade real de abordar o estudo da trigonometria do ponto de
vista que aqui apresentamos, dada a variedade
surpreendente de significados que podemos, com
essa postura, agregar aos conceitos tratados.
Não abordamos neste Caderno, por exclusiva escolha de prioridades, alguns aspectos que merecem também destaque no
planejamento didático-pedagógico do professor, como, por exemplo, os gráficos e as
equações envolvendo tangente e cotangente,
e algumas transformações trigonométricas,
especialmente a adição de arcos.
Para que se tenha uma ideia mais nítida
das múltiplas inter-relações entre os diversos
conteúdos aqui tratados, apresentamos, a
seguir, a grade curricular com os conteúdos
de Matemática de todas as séries do Ensino
Médio, destacando-se com um sombreado
os conteúdos de outras séries e de outros
bimestres diretamente relacionados com os
conteúdos apresentados neste bimestre da
2ª- série.
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conteúdos de matemática poR séRie/bimestRe do
4o bimestre
3o bimestre
2o bimestre
1o bimestre
ensino médio
1a série
2a série
3a série
NÚMEROS E SEQUÊNCIAS
- Conjuntos numéricos.
- Regularidades numéricas:
sequências.
- Progressões aritméticas, progressões geométricas; ocorrências em
diferentes contextos; noções de
Matemática Financeira.
TRIGONOMETRIA
- Arcos e ângulos; graus e radianos.
- Circunferência trigonométrica:
seno, cosseno, tangente.
- Funções trigonométricas e fenômenos periódicos.
- Equações e inequações trigonométricas.
- Adição de arcos.
GEOMETRIA ANAlÍTICA
- Pontos: distância, ponto médio e
alinhamento de três pontos.
- Reta: equação e estudo dos coeficientes, retas paralelas e perpendiculares, distância de ponto a reta;
problemas lineares.
- Circunferências e cônicas: propriedades, equações, aplicações em
diferentes contextos.
FUNçÕES
- Relação entre duas grandezas.
- Proporcionalidades: direta,
inversa, direta com o quadrado.
- Função do 1o grau, função do
2o grau; significado e ocorrência
em diferentes contextos.
MATRIzES, DETERMINANTES
E SISTEMAS lINEARES
- Matrizes: significado como tabelas, características e operações.
- A noção de determinante de uma
matriz quadrada.
- Resolução e discussão de sistemas lineares: escalonamento.
EQUAçÕES AlGÉBRICAS,
POlINÔMIOS, COMPlEXOS
- Equações polinomiais: história,
das fórmulas à análise qualitativa.
- Relações entre coeficientes e
raízes de uma equação polinomial.
- Polinômios: identidade, divisão
por x - k e redução no grau de
uma equação.
- Números complexos: significado
geométrico das operações.
FUNçÕES EXPONENCIAl E
lOGARÍTMICA
- Crescimento exponencial.
- Função exponencial: equações e
inequações.
- logaritmos: definição, propriedades, significado em diferentes
contextos.
- Função logarítmica: equações e
inequações simples.
ANÁlISE COMBINATÓRIA E
PROBABIlIDADE
- Raciocínio combinatório: princípios multiplicativo e aditivo.
- Probabilidade simples.
- Arranjos, combinações e permutações.
- Probabilidades; probabilidade
condicional.
- Triângulo de Pascal e Binômio de
Newton.
ESTUDO DAS FUNçÕES
- Panorama das funções já estudadas: principais propriedades.
- Gráficos: funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e
polinomiais.
- Gráficos: análise de sinal, crescimento, decrescimento, taxas de
variação.
- Composição: translações, reflexões, inversões.
GEOMETRIATRIGONOMETRIA
- Razões trigonométricas nos
triângulos retângulos.
- Polígonos regulares: inscrição,
circunscrição; pavimentação de
superfícies.
- Resolução de triângulos não
retângulos: lei dos senos e lei dos
cossenos.
GEOMETRIA MÉTRICA
ESPACIAl
- Organização do conhecimento
geométrico: conceitos primitivos,
definições, postulados, teoremas.
- Prismas e cilindros: propriedades,
relações métricas.
- Pirâmides e cones: propriedades,
relações métricas.
- A esfera e suas partes; relações
métricas; a esfera terrestre.
ESTATÍSTICA
- Cálculo e interpretação de índices estatísticos.
- Medidas de tendência central:
média, mediana e moda.
- Medidas de dispersão: desvio
médio e desvio-padrão.
- Elementos de amostragem.
O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste bimestre.
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