Elementos de Matemática
Trigonometria Circular - 1a. parte
Roteiro no. 6 - Atividades didáticas de 2007
Versão compilada no dia 23 de Maio de 2007.
Departamento de Matemática - UEL
Prof. Ulysses Sodré
E-mail: [email protected]
Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/
Resumo: Notas de aulas construı́das com materiais utilizados em nossas
aulas na Universidade Estadual de Londrina. Desejo que elas sejam um
roteiro para as aulas e não espero que estas notas venham a substituir
qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros
citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Em
português, há pouco material de domı́nio público, mas em inglês existem
diversos materiais que podem ser obtidos na Rede Internet. Sugerimos que
o leitor faça pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos.
Mensagem: ‘No princı́pio era o Verbo, e o Verbo estava com Deus, e o
Verbo era Deus. Ele estava no princı́pio com Deus. Todas as coisas foram
feitas por intermédio dele, e sem ele nada do que foi feito se fez. Nele
estava a vida, e a vida era a luz dos homens; a luz resplandece nas trevas, e
as trevas não prevaleceram contra ela. ... Estava ele no mundo, e o mundo
foi feito por intermédio dele, e o mundo não o conheceu. Veio para o que
era seu, e os seus não o receberam. Mas, a todos quantos o receberam,
aos que crêem no seu nome, deu-lhes o poder de se tornarem filhos de
Deus; os quais não nasceram do sangue, nem da vontade da carne, nem da
vontade do varão, mas de Deus. E o Verbo se fez carne, e habitou entre
nós, cheio de graça e de verdade...’
A Bı́blia Sagrada, João 1:1-5,10-14
CONTEÚDO
1 Elementos gerais sobre Trigonometria
1
1.1
O papel da trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Ponto móvel sobre uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3
Arcos da circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Medida de um arco
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.5
O número pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.6
Unidades de medida de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.7
Arcos de uma volta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.8
Mudança de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2 O cı́rculo trigonométrico
6
2.1
Cı́rculo Trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Arcos com mais de uma volta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
Arcos côngruos e Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4
Arcos simétricos em relação ao eixo OX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.5
Arcos simétricos em relação ao eixo OY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.6
Arcos simétricas em relação à origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3 Seno, Cosseno e Tangente
3.1
Seno e cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
Elementos de Matemática - No. 6 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007
CONTEÚDO
iii
3.2
Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.3
Ângulos no segundo quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.4
Ângulos no terceiro quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.5
Ângulos no quarto quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.6
Simetria em relação ao eixo OX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.7
Simetria em relação ao eixo OY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.8
Simetria em relação à origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.9
Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.10 Primeira relação fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.11 Segunda relação fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.12 Forma polar dos números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.13 Seno, cosseno e tangente da soma e da diferença . . . . . . . . . . . . . . .
21
Elementos de Matemática - No. 6 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007
CAPÍTULO
1
Elementos gerais sobre Trigonometria
1.1
O papel da trigonometria
Trigonometria é uma palavra formada por três radicais gregos: tri (três), gonos
(ângulos) e metron (medir). Daı́ vem seu significado mais amplo: Medida dos
Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as
medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).
Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessı́veis,
como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas
ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.
A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso
na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos fı́sicos, Eletricidade,
Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.
1.2
Ponto móvel sobre uma curva
Seja uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre
esta curva, simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto
fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a
curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.
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1.3. ARCOS DA CIRCUNFERÊNCIA
2
Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A
pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção,
o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como
sentido positivo.
1.3
Arcos da circunferência
Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M , ele
descreve um arco AM . O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade
do arco.
Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco
orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso
for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.
Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A
e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B
as suas extremidades.
1.4
Medida de um arco
A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro
arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um
arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o número
de vezes que o arco u cabe no arco AB.
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1.5. O NÚMERO PI
3
Na figura seguinte, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u.
Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por
m(u), temos m(AB) = 5 m(u).
A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer sentido, sendo
que a medida algébrica de um arco AB desta circunferência é o comprimento
deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B é antihorário, e negativo se o sentido é horário.
1.5
O número pi
Em toda circunferência, a razão entre o perı́metro e o diâmetro é uma constante denotada pela letra grega π, que é um número irracional, isto é, que não
pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação
para o número π é dada por:
π = 3, 1415926535897932384626433832795...
Mais informações sobre pi, podem ser obtidas na página Áreas de regiões
circulares: http://www.mat.uel.br/matessencial/geometria/areas/circ.htm
1.6
Unidades de medida de arcos
A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas
existem outras medidas utilizadas por técnicos como o grau e o grado. Este
último não é muito comum.
Radiano: Medida de um arco cujo comprimento é o mesmo que o raio da
circunferência que estamos medindo o arco. O arco usado como unidade tem
comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, denotado por 1 rad.
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1.7. ARCOS DE UMA VOLTA
4
Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da
circunferência na qual estamos medindo o arco.
Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
Exemplo 1. Para determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em uma circunferência de raio medindo 8 cm, tomamos:
comprimento do arco(AB)
m(AB) =
= 12/8 = 1, 5 rad
comprimento do raio
1.7
Arcos de uma volta
Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a
medida do arco é igual a C = 2πr, então:
comprimento do arco(AB) 2πr
=
= 2π
m(AB) =
comprimento do raio
r
A medida em radianos de um arco de uma volta completa é 2π rad, isto é,
2π rad = 360 graus.
Temos as seguintes situações usuais:
90 graus
180 graus 270 graus 360 graus
100 grados 200 grados 300 grados 400 grados
π/2 rad
π rad
3π/2 rad
2π rad
Observação: 0 graus = 0 grado = 0 radianos.
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1.8. MUDANÇA DE UNIDADES
1.8
5
Mudança de unidades
Se um arco AB de medida R radianos, corresponde a G graus, a relação entre
estas medidas é obtida pela seguinte proporção,
2π rad — 360 graus
R rad — G graus
Assim, temos a igualdade
R
G
=
, ou seja,
2π
360
G
R
=
π
180
Exemplo 2. Para determinar a medida em radianos de um arco de medida
60 graus, tomamos
R
60
=
π
180
π
π
Assim, R = ou seja 60 graus = rad
3
3
Exemplo 3. Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 rad,
tomamos:
1
G
=
π
180
180
Assim, 1 rad =
graus.
π
Podemos obter mais informações sobre grau e radiano com algumas notas históricas, ilustrações e curiosidades na página sobre Geometria Plana:
Ângulos: http://www.mat.uel.br/matessencial/fundam/geometria/angulos.htm
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CAPÍTULO
2
O cı́rculo trigonométrico
2.1
Cı́rculo Trigonométrico
Seja uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema
cartesiano ortogonal e o ponto A = (1, 0). O ponto A será tomado como a
origem dos arcos orientados nesta circunferência e o sentido positivo considerado será o anti-horário. A região contendo esta circunferência e todos os
seus pontos interiores, é denominada cı́rculo trigonométrico.
Em livros de lı́ngua inglesa, a palavra cı́rculo se refere à curva envolvente da
região circular enquanto circunferência de cı́rculo é a medida desta curva. No
Brasil, a circunferência é a curva que envolve a região circular.
Os eixos OX e OY decompõem o cı́rculo trigonométrico em quatro quadrantes
que são enumerados como segue:
Elementos de Matemática - No. 6 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007
2.2. ARCOS COM MAIS DE UMA VOLTA
Quadrante
P rimeiro
Segundo
T erceiro
Quarto
abscissa
positiva
negativa
negativa
positiva
7
ordenada
α
o
positiva
0 < α < 90o
positiva
90o < α < 180o
negativa 180o < α < 270o
negativa 270o < α < 360o
Os quadrantes são usados para localizar pontos e caracterizar ângulos para uso
em trigonometria. Por convenção, os pontos sobre os eixos não pertencem a
qualquer um dos quadrantes.
2.2
Arcos com mais de uma volta
Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos com medidas
são maiores do que 360o . Por exemplo, se um ponto móvel parte de um ponto
A sobre uma circunferência no sentido anti-horário e para em um ponto M ,
ele descreve um arco AM . A medida deste arco (em graus) poderá ser menor
ou igual a 360o ou ser maior do que 360o . Se esta medida for menor ou igual
a 360o , dizemos que este arco está em sua primeira determinação.
Assim, o ponto móvel poderá percorrer a circunferência uma ou mais vezes
em um certo sentido, antes de parar no ponto M , determinando arcos maiores
do que 360o ou arcos com mais de uma volta. Existe uma infinidade de arcos
mas com medidas diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é o
ponto M .
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2.2. ARCOS COM MAIS DE UMA VOLTA
8
Se AM é um arco cuja primeira determinação mede m, então um ponto móvel
que parte de A e pare em M , pode ter várias medidas algébricas, dependendo
do percurso.
Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da circunferência trigonométrica
será a extremidade de uma infinidade de arcos positivos de medidas:
m,
m + 2π,
m + 4π,
m + 6π,
...
Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade de uma infinidade de
arcos negativos de medidas algébricas:
m − 2π,
m − 4π,
m − 6π,
...
e assim temos uma coleção infinita de arcos com extremidade no ponto M .
Generalizando este conceito, se m é a medida da primeira determinação positiva do arco AM , podemos representar as medidas destes arcos por:
m(AM ) = m + 2kπ
onde k é um número inteiro, isto é, k ∈ Z = {..., −2, −3, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Famı́lia de arcos: Uma famı́lia de arcos {AM } é o conjunto de todos os
arcos com ponto inicial em A e extremidade em M .
Exemplo 4. Se um arco de circunferência tem origem em A e extremidade
2π
em M , com a primeira determinação positiva medindo
, então os arcos
3
desta famı́lia {AM }, medem:
Determinações positivas (sentido anti-horário)
k=0
k=1
k=2
k=3
...
k=n
m(AM ) =
m(AM ) =
m(AM ) =
m(AM ) =
...
m(AM ) =
2π
3
2π
3
2π
3
2π
3
+ 2π =
+ 4π =
+ 6π =
2π
3
+ 2nπ = (2 + 6n) π3
8π
3
14π
3
20π
3
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2.3. ARCOS CÔNGRUOS E ÂNGULOS
9
Determinações negativas (sentido horário)
k = −1
k = −2
k = −3
k = −4
...
k = −n
2.3
m(AM ) =
m(AM ) =
m(AM ) =
m(AM ) =
...
m(AM ) =
2π
3
2π
3
2π
3
2π
3
− 2π
− 4π
− 6π
− 8π
2π
3
− 2nπ = (2 − 6n) π3
= − 4π
3
= − 6π
3
= − 16π
3
= − 22π
3
Arcos côngruos e Ângulos
Arcos côngruos: Dois arcos são côngruos se a diferença de suas medidas é
um múltiplo de 2π.
Exemplo 5. Arcos de uma mesma famı́lia são côngruos.
Ângulos: As noções de orientação e medida algébrica de arcos podem ser
estendidas para ângulos, uma vez que a cada arco AM da circunferência
trigonométrica corresponde a um ângulo central determinado pelas semi-retas
OA e OM .
Como no caso dos arcos, podemos considerar dois ângulos orientados um
positivo (sentido anti-horário) com medida algébrica a correspondente ao arco
AM e outro negativo (sentido horário) com medida b = a−2π correspondente
ao arco AM .
Também existem ângulos com mais de uma volta e as mesmas noções apresentadas para arcos se aplicam a ângulos.
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2.4. ARCOS SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO AO EIXO OX
2.4
10
Arcos simétricos em relação ao eixo OX
Sejam AM e AM 0 arcos na circunferência trigonométrica, com A = (1, 0)
e os pontos M e M 0 simétricos em relação ao eixo horizontal OX. Se a
medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM ’ é dada por:
µ(AM 0 ) = 2π − m.
Os arcos da famı́lia {AM }, aqueles que têm origem em A e extremidades em
M , têm medidas iguais a 2kπ + m, onde k é um número inteiro e os arcos da
famı́lia {AM 0 } têm medidas iguais a 2kπ − m, onde k é um número inteiro.
2.5
Arcos simétricos em relação ao eixo OY
Sejam AM e AM 0 arcos na circunferência trigonométrica com A = (1, 0) e
os pontos M e M 0 simétricos em relação ao eixo vertical OY . Se a medida do
arco AM for igual a m, então a medida do arco AM 0 será dada pela expressão
µ(AM 0 ) = π − m. Os arcos da famı́lia {AM 0 }, isto é, aqueles com origem
em A e extremidade em M 0 , medem (2k + 1)π − m onde k ∈ Z.
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2.6. ARCOS SIMÉTRICAS EM RELAÇÃO À ORIGEM
2.6
11
Arcos simétricas em relação à origem
Sejam arcos AM e AM 0 na circunferência trigonométrica com A = (1, 0) e
os pontos M e M 0 simétricos em relação à origem (0, 0).
Se o arco AM mede m, então µ(AM 0 ) = π + m. Arcos genéricos com origem
em A e extremidade em M 0 medem m(AM 0 ) = (2k + 1)π + m.
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CAPÍTULO
3
Seno, Cosseno e Tangente
3.1
Seno e cosseno
Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A = (1, 0) e um
número real x, sempre existe um arco orientado AM sobre esta circunferência,
cuja medida algébrica corresponde a x radianos.
Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica,
de centro em (0, 0) e raio unitário. Seja M = (x0 , y 0 ) um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco
AM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M
sobre o eixo OX determina um ponto C = (x0 , 0) e a projeção ortogonal do
ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B = (0, y 0 ).
A medida do segmento OB coincide com a ordenada y 0 do ponto M e é
definida como o seno do arco AM que corresponde ao ângulo a, denotado
por sen(AM ) ou sen(a).
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3.2. TANGENTE
13
Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos
sen(AM ) = sen(a) = sen(a + 2kπ) = y 0
Para simplificar os enunciados e definições seguintes, escreveremos sen(x) para
denotar o seno do arco de medida x radianos.
Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por
cos(AM ) ou cos(a), é a medida do segmento 0C, que coincide com a abscissa
x0 do ponto M .
Existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos
cos(AM ) = cos(a) = cos(a + 2kπ) = x0
3.2
Tangente
Seja t a reta tangente à circunferência trigonométrica no ponto A = (1, 0).
Esta reta é perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e
pelo centro da circunferência tem interseção com a reta tangente t no ponto
T = (1, t0 ). A ordenada deste ponto T , é definida como a tangente do arco
AM correspondente ao ângulo a.
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3.3. ÂNGULOS NO SEGUNDO QUADRANTE
14
Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações:
tan(AM ) = tan(a) = tan(a + kπ) = µ(AT ) = t0
Podemos escrever M = (cos(a), sen(a)) e T = (1, tan(a)), para cada ângulo
a do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de ângulos do
primeiro quadrante são todos positivos.
Um caso especial é quando o ponto M está no eixo horizontal OX, pois
cos(0) = 1,
sen(0) = 0,
tan(0) = 0
Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes
3.3
Ângulos no segundo quadrante
Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo quadrante, então o ângulo a entre o eixo OX e o segmento OM pertence ao
π
intervalo < a < π. Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno
2
está relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste
ponto. Como o ponto M = (x, y) possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a no segundo quadrante é positivo, o cosseno
do ângulo a é negativo e a tangente do ângulo a é negativa.
Outro caso especial é quando o ponto M está no eixo vertical OY e temos
que:
π
π
cos( ) = 0,
sen( ) = 1
2
2
e a tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois
elas são paralelas.
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3.4. ÂNGULOS NO TERCEIRO QUADRANTE
3.4
15
Ângulos no terceiro quadrante
O ponto M = (x, y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa
que o ângulo a ∈ [π, 3π/2]. Este ponto M = (x, y) é simétrico ao ponto
M 0 = (−x, −y) do primeiro quadrante, em relação à origem do sistema,
indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno
e o cosseno de um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é
positiva.
Em particular, se a = π rad, temos que
cos(π) = −1,
3.5
sen(π) = 0,
tan(π) = 0
Ângulos no quarto quadrante
O ponto M está no quarto quadrante, 3π/2 < a < 2π. O seno de ângulos no
quarto quadrante é negativo, o cosseno é positivo e a tangente é negativa.
Se o ângulo mede 3π/2, a tangente não está definida pois a reta OP não
intercepta a reta t, estas são paralelas. Quando a = 3π/2, temos:
cos(
3π
) = 0,
2
sin(
3π
) = −1
2
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3.6. SIMETRIA EM RELAÇÃO AO EIXO OX
3.6
16
Simetria em relação ao eixo OX
Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quadrante e M 0 o simétrico de M em relação ao eixo OX, estes pontos M e M 0
possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos.
Se A = (1, 0) é um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao
arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM ’, então
sen(a) = −sen(b),
3.7
cos(a) = cos(b),
tan(a) = −tan(b)
Simetria em relação ao eixo OY
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro
quadrante, e seja M 0 simétrico a M em relação ao eixo OY , estes pontos M
e M 0 possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas.
Se A = (1, 0) é um ponto da circunferência, a é o ângulo correspondente ao
arco AM e b é o ângulo correspondente ao arco AM 0 , então
sen(a) = sen(b),
cos(a) = − cos(b),
tan(a) = − tan(b)
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3.8. SIMETRIA EM RELAÇÃO À ORIGEM
3.8
17
Simetria em relação à origem
Se M é um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro
quadrante e se M 0 é o simétrico de M em relação à origem, estes pontos M
e M 0 possuem ordenadas e abscissas simétricas.
Se A = (1, 0) é um ponto da circunferência, a é o ângulo correspondente ao
arco AM e b é o ângulo correspondente ao arco AM 0 , então
sen(a) = −sen(b),
3.9
cos(a) = − cos(b),
tan(a) = tan(b)
Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis
Um modo de obter os valores do seno e cosseno de alguns ângulos que aparecem com freqüência em exercı́cios e aplicações, sem necessidade de memorização, é através de simples observação no cı́rculo trigonométrico.
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3.10. PRIMEIRA RELAÇÃO FUNDAMENTAL
3.10
18
Primeira relação fundamental
Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muito
importante em todas as áreas da Matemática e também das aplicações é:
sin2 (a) + cos2 (a) ≡ 1
que é verdadeira para todo ângulo a ∈ R.
Necessitamos do conceito de distância entre dois pontos no plano cartesiano,
que nada mais é do que a relação de Pitágoras. Consideremos dois pontos,
A = (x1 , y1 ) e B = (x2 , y2 ).
Definimos a distância entre A e B, denotando-a por d = d(A, B), como:
p
d(A, B) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Se M é um ponto da circunferência trigonométrica, cujas coordenadas são
indicadas por (cos(a), sen(a)) e a distância deste ponto até a origem (0, 0) é
igual a 1. Usando a fórmula da distância, aplicada a estes pontos, segue que
p
d(M, 0) = (cos(a) − 0)2 + (sen(a) − 0)2
de onde segue que cos2 (a) + sin2 (a) = 1.
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3.11. SEGUNDA RELAÇÃO FUNDAMENTAL
3.11
19
Segunda relação fundamental
Outra relação fundamental na trigonometria, às vezes tomada como a definição
da função tangente, é dada por:
tan(a) ≡
sen(a)
cos(a)
Este quociente somente fará sentido quando o denominador não se anular.
Se a = 0, a = π ou a = 2π, segue que sen(a) = 0, implicando que tan(a) = 0,
mas se a = π/2 ou a = 3π/2, segue que cos(a) = 0 e a divisão acima não
sen(a)
tem sentido, assim a relação tan(a) =
não é verdadeira para estes
cos(a)
últimos valores de a.
Para a 6= 0, a 6= π, a 6= 2π, a 6= π/2 e a 6= 3π/2, tome de novo a
circunferência trigonométrica na figura seguinte. Os triângulos OM N e OT A
são semelhantes, logo:
AT
OA
=
MN
ON
Como m(AT ) = | tan(a)|, m(M N ) = |sen(a)|, OA = 1 e m(ON ) =
| cos(a)|, para todo ângulo a ∈ (0, π) com a 6= π/2 e a 6= 3π/2 temos
que
sen(a)
tan(a) =
cos(a)
3.12
Forma polar dos números complexos
Um número complexo não nulo z = x + yi, pode ser representado pela sua
forma polar:
z = r[cos(c) + i sen(c)]
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3.12. FORMA POLAR DOS NÚMEROS COMPLEXOS
20
p
onde r = |z| = x2 + y 2 , i2 = −1 e c é o argumento (ângulo formado entre
o segmento Oz e o eixo OX) do número complexo z. A multiplicação de dois
números complexos na forma polar:
A = |A|[cos(a) + i sen(a)],
B = |B|[cos(b) + i sen(b)]
é dada pela Fórmula de De Moivre:
AB = |A||B|[cos(a + b) + i sen(a + b)]
Observamos que para multiplicar dois números complexos em suas formas
trigonométricas, basta multiplicar seus módulos e somar seus argumentos.
Se os números complexos A e B são unitários então |A| = 1 e |B| = 1, e:
A = cos(a) + i sen(a),
B = cos(b) + i sen(b)
Multiplicando A e B, obtemos
AB = cos(a + b) + i sen(a + b)
Existe uma importante relação matemática, atribuı́da a Euler (lê-se óiler ),
garantindo que para todo número complexo z e para todo número real z:
eiz = cos(z) + i sen(z)
Tal relação é demonstrada em Cálculo Diferencial. Esta relação permite uma
outra forma para representar números complexos unitários A e B, como:
A = eia = cos(a) + i sen(a)
B = eib = cos(b) + i sen(b)
onde a é o argumento de A e b é o argumento de B. Assim,
ei(a+b) = cos(a + b) + i sen(a + b)
Por outro lado
ei(a+b) = ei a · ei b = [cos(a) + i sen(a)][cos(b) + i sen(b)]
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3.13. SENO, COSSENO E TANGENTE DA SOMA E DA DIFERENÇA
21
e desse modo
ei(a+b) = [cos(a) cos(b) − sen(a)sen(b)] + i [cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)]
Dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias são iguais, logo
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a)sen(b)
sen(a + b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)
Para a diferença de arcos, substituı́mos b por −b nas fórmulas da soma
cos(a − b) = cos(a + (−b)) =
=
sen(a − b) = sen(a + (−b)) =
=
3.13
cos(a) cos(−b) − sen(a)sen(−b)
− cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)
cos(a)sen(−b) + cos(−b)sen(a)
− cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)
Seno, cosseno e tangente da soma e da diferença
Na circunferência trigonométrica, se os ângulos a e b satisfazem a 0 < a < 2π
e 0 < b < 2π sendo a > b, então;
sen(a + b) = sen(a) cos(b) + cos(a)sen(b)
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a)sen(b)
Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos:
sen(a) cos(b) + cos(a)sen(b)
tan(a + b) =
cos(a) cos(b) − sen(a)sen(b)
Dividindo todos os quatro termos da fração por cos(a) cos(b), segue a fórmula:
tan(a + b) =
tan(a) + tan(b)
1 − tan(a) tan(b)
Como
sen(a − b) = sen(a) cos(b) − cos(a)sen(b)
cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sen(a)sen(b)
podemos dividir a expressão de cima pela de baixo, para obter:
tan(a) − tan(b)
tan(a − b) =
1 + tan(a) tan(b)
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