UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
CENTRO DE ENGENHARIAS
ENGENHARIA
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
HIDRÁULICA
Prof. Dr. Hugo Alexandre Soares Guedes
Colaboração: Michael Lopes Honscha
PELOTAS - RS
AGOSTO - 2015
ÍNDICE
UNIDADE 1 – ENGENHARIA HIDRÁULICA.................................................................................... 6
1.1 Introdução ............................................................................................................................. 6
1.2 Evolução da Hidráulica ......................................................................................................... 7
1.3 Panorama e escopo atual na área de Engenharia Civil ...................................................... 8
1.4 O curso de Hidráulica na UFPel ......................................................................................... 10
UNIDADE 2 – ESCOAMENTO EM CONDUTOS FORÇADOS SOB REGIME PERMANENTE .... 12
2.1 Conceitos ............................................................................................................................ 12
2.1.1 Condutos forçados ......................................................................................................... 12
2.1.2 Número de Reynolds...................................................................................................... 12
2.1.3 Viscosidade .................................................................................................................... 13
2.1.4 Rugosidade interna das paredes dos condutos .............................................................. 14
2.2 Regimes de escoamento de acordo com o número de Reynolds (Rey) ......................... 14
2.3 Perda de Carga.................................................................................................................... 16
2.3.1 Conceito ......................................................................................................................... 16
2.3.2 Classificação .................................................................................................................. 16
2.3.3 Perda de carga contínua em condutos de seção constante em regime permanente e
uniforme e escoamento incompressível .................................................................................. 17
2.3.4 Perda de carga acidental ............................................................................................... 25
2.4 Conduto com uma tomada intermediária .......................................................................... 34
2.5 Conduto com distribuição em marcha ou condutos com distribuição em percurso ou
condutos com serviço em trânsito .......................................................................................... 36
2.6 Condutos equivalentes ....................................................................................................... 44
2.6.1 Condutos em série ......................................................................................................... 44
2.6.2 Condutos em paralelo .................................................................................................... 46
2.7 Sifões ................................................................................................................................... 52
2.7.1 Funcionamento .............................................................................................................. 52
2.7.2 Condições de Funcionamento ........................................................................................ 53
2.7.3 Exercício de Aplicação ................................................................................................... 56
2.8 Reservatórios de Compensação ou Reservatório de Sobras .......................................... 60
2.9 Exercícios de Fixação ......................................................................................................... 64
UNIDADE 3 – BOMBAS HIDRÁULICAS ....................................................................................... 69
3.1 Introdução ........................................................................................................................... 69
3.2 Bombas hidráulicas ............................................................................................................ 69
3.2.1 Classificação das bombas hidráulicas ............................................................................ 70
3.3 Bombas................................................................................................................................ 70
3.3.1 Órgãos principais de uma bomba ................................................................................... 70
3.3.2 Classificação das Bombas ............................................................................................. 71
3.4 Altura Manométrica da Instalação ..................................................................................... 75
3.4.1 Primeira Expressão da Altura Manométrica (Hm) ............................................................ 75
3.4.2 Segunda Expressão da Altura Manométrica (Hm) ........................................................... 76
3.5 Escolha da Bomba e Potência Necessária ao seu Funcionamento ................................ 77
3.5.1 Vazão a ser recalcada (Q).............................................................................................. 77
3.5.2 Altura Manométrica de Instalação (Hm) .......................................................................... 77
2
3.5.3 Cálculo dos Diâmetros de Sucção e de Recalque .......................................................... 77
3.5.4 Potência Necessária ao Funcionamento da Bomba (Pot) .............................................. 79
3.5.5 Potência Instalada ou Potência do Motor (N) ................................................................. 80
3.6 Peças Especiais numa Instalação Típica de Bomba ........................................................ 80
3.6.1 Na linha de sucção ......................................................................................................... 80
3.6.2 Na linha de recalque ...................................................................................................... 81
3.7 Semelhança entre Bombas ................................................................................................ 83
3.7.1 Conceitos ....................................................................................................................... 83
3.7.2 Funcionamento de Bombas Semelhantes ...................................................................... 84
3.7.3 Velocidade Específica ou Coeficiente de Rotação Unitária (ns) ...................................... 85
3.8 Curvas Características das Bombas ................................................................................. 87
3.8.1 Caso de Bombas Centrífugas para n = cte ..................................................................... 87
3.8.2 Caso de Bombas Axiais para n = cte.............................................................................. 88
3.8.3 Caso de Bombas Diagonais ou Mistas para n = cte ....................................................... 88
3.8.4 Algumas conclusões tiradas das curvas características das Bombas Centrífugas e Axiais
................................................................................................................................................ 89
3.9 Curvas Características do Sistema ou da Tubulação ...................................................... 90
3.9.1 Tubulação Única (Curva Típica) ..................................................................................... 90
3.10 Estudo conjunto das curvas características da Bomba e do Sistema .......................... 92
3.11 Variação das Curvas Características das Bombas......................................................... 93
3.12 Variação da Rotação do Rotor (D = cte) .......................................................................... 94
3.13 Variação do Diâmetro do Rotor (n = cte) ......................................................................... 96
3.14 Associação de Bombas .................................................................................................... 97
3.14.1 Introdução .................................................................................................................... 97
3.14.2 Associação em Paralelo ............................................................................................... 97
3.14.3 Associação em Série.................................................................................................... 99
3.15 Rendimento Total ou Rendimento da Associação (η
ηt) ................................................. 101
3.16 Cavitação – Altura de Instalação da Bomba ................................................................. 104
3.16.1 Introdução .................................................................................................................. 104
3.16.2 Pressão de Vapor....................................................................................................... 105
3.16.3 Ocorrência da Cavitação ............................................................................................ 105
3.16.4 Altura Máxima de Sucção das Bombas ...................................................................... 107
3.16.5 NPSH disponível na instalação e NPSH requerido pela bomba ................................. 110
3.16.6 Medidas destinadas a dificultar o aparecimento da cavitação pelo usuário ................ 112
UNIDADE 4 – ESCOAMENTO EM CANAIS SOB REGIME PERMANENTE E UNIFORME ........ 113
4.1 Conceito ............................................................................................................................ 113
4.2 Elementos geométricos da seção do canal .................................................................... 113
4.2.1 Seção transversal ........................................................................................................ 113
4.2.2 Seção longitudinal ........................................................................................................ 114
4.3 Classificação dos escoamentos ...................................................................................... 114
4.3.1 Em relação ao tempo (t) ............................................................................................... 114
4.3.2 Em relação ao espaço (L), para um mesmo tempo (t) .................................................. 115
4.3.3 Em relação ao número de Froude (Fr) .......................................................................... 115
4.3.4 Exemplos de regime de escoamento ........................................................................... 117
4.4 Escoamento em regime fluvial permanente e uniforme ................................................. 118
3
4.5 Equações utilizadas no dimensionamento de canais operando em regime permanente
e uniforme ............................................................................................................................... 120
4.5.1 Equações para o cálculo das seções transversais usuais ............................................ 121
4.5.2 Seções de máxima eficiência ....................................................................................... 122
4.6 Velocidades médias (V) aconselháveis e inclinações admissíveis para os taludes dos
canais ...................................................................................................................................... 124
4.7 Folga dos canais ............................................................................................................... 126
4.8 Velocidade máxima e vazão máxima em canais circulares ........................................... 127
4.9 Diagrama para canais circulares funcionando parcialmente cheios ............................ 130
4.9.1 Relação entre uma área molhada qualquer (A) e a área molhada a seção plena ou a
seção cheia (A0) .................................................................................................................... 130
4.9.2 Relação entre um raio hidráulico qualquer (R) e o raio hidráulico a seção plena (R0) .. 131
4.9.3 Relação entre uma velocidade qualquer (V) e a velocidade a seção plena (V0) ........... 131
4.9.4 Relação entre uma vazão qualquer (Q) e a vazão a seção plena (Q0) ......................... 131
4.9.5 Relação entre um perímetro molhado qualquer (P) e o perímetro molhado a seção plena
(P0)........................................................................................................................................ 131
4.10 Dimensionamento das seções dos canais .................................................................... 132
4.10.1 Seções circulares ....................................................................................................... 132
4.10.2 Seções trapezoidais e retangulares ........................................................................... 134
4.10.3 Seções triangulares.................................................................................................... 136
4.11 Exercícios de Aplicação ................................................................................................. 136
4.11.1 Quando se conhece as dimensões do canal .............................................................. 136
4.11.2 Quando se deseja conhecer as dimensões do canal.................................................. 140
4.12 Exercícios de Fixação ..................................................................................................... 146
UNIDADE 5 – VERTEDORES ...................................................................................................... 149
5.1 Conceito ............................................................................................................................ 149
5.2 Partes constituintes .......................................................................................................... 149
5.3 Classificação ..................................................................................................................... 149
5.3.1 Quanto à forma: ........................................................................................................... 149
5.3.2 Quanto à espessura (natureza) da parede (e) .............................................................. 149
5.3.3 Quanto ao comprimento da soleira (L) ......................................................................... 150
5.3.4 Quanto à inclinação da face de montante .................................................................... 151
5.3.5 Quanto à relação entre o nível da água a jusante (P’) e a altura do vertedor (P):......... 151
5.4 Equação geral da vazão para vertedores de parede delgada, descarga livre,
independentemente da forma geométrica ............................................................................ 152
5.4.1 Vertedor retangular de parede delgada em condições de descarga livre ..................... 155
5.4.2 Vertedor triangular de parede delgada em condições de descarga livre....................... 157
5.4.3 Vertedor trapezoidal de parede delgada em condições de descarga livre .................... 159
5.4.4 Vertedor retangular de parede espessa ....................................................................... 160
5.5 Instalação do vertedor e medida da carga hidráulica (H)............................................... 162
5.6 Exercícios de Fixação ....................................................................................................... 163
UNIDADE 6 – ORIFÍCIOS E BOCAIS EM PAREDES DE RESERVATÓRIOS............................. 166
6.1 Orifícios ............................................................................................................................. 166
6.1.1 Conceito ....................................................................................................................... 166
4
6.1.2 Finalidade .................................................................................................................... 166
6.1.3 Classificação ................................................................................................................ 166
6.1.4 Fórmula para cálculo da vazão .................................................................................... 170
6.2 Bocais ou Tubos Curtos ................................................................................................... 177
6.2.1 Conceito ....................................................................................................................... 177
6.2.2 Finalidade .................................................................................................................... 177
6.2.3 Classificação ................................................................................................................ 177
6.2.4 Fórmula para cálculo da vazão .................................................................................... 179
6.2.5 Escoamento com nível variável (esvaziamento de reservatórios de seção constante) . 181
6.2.6 Perda de carga em orifícios e bocais ........................................................................... 184
6.2.7 Determinação da velocidade real (V) usando o processo das coordenadas cartesianas
.............................................................................................................................................. 185
6.3 Exercícios de Fixação ....................................................................................................... 190
Apêndice 1. Condutos Forçados ............................................................................................... 194
Apêndice 2. Deduções das equações para o cálculo das grandezas geométricas das seções
dos canais ................................................................................................................................... 205
Apêndice 3. Condutos Livres: tabelas e figuras ....................................................................... 218
Apêndice 4. Vertedores, Orifícios e Bocais .............................................................................. 226
5
UNIDADE 1 – ENGENHARIA HIDRÁULICA
1.1 Introdução
Teoricamente, o termo “hidráulica” advém do grego hydor (água) e aulos (tubo, condução)
significando condução de água. Por definição, hidráulica é o estudo do equilíbrio e comportamento
da água e de outros líquidos, quer em repouso, quer em movimento.
Dessa forma, a Hidráulica se divide em Hidrostática, que estuda as condições de equilíbrio
dos líquidos em repouso, e Hidrodinâmica, que trata dos líquidos em movimento.
Quanto à aplicação dos conceitos, a hidráulica pode ser dividida em:
•
Hidráulica Geral ou Teórica: estuda as leis teóricas da Mecânica aplicadas ao repouso e ao
movimento dos fluidos ideais, ou seja, líquidos sem coesão, viscosidade e elasticidade.
•
Hidráulica Aplicada ou Hidrotécnica: aplica os princípios e leis estudadas na Hidráulica
Teórica nos diferentes ramos da técnica.
De acordo com Azevedo Netto et al. (1998), as áreas de atuação da Hidráulica Aplicada ou
Hidrotécnica são:
I)
Urbana:
a. Sistemas de abastecimento de água;
b. Sistema de esgotamento sanitário;
c. Sistemas de drenagem pluvial;
d. Canais;
II)
Agrícola:
a. Sistemas de drenagem;
b. Sistema de irrigação;
c. Sistemas de água potável e esgotos;
III)
Instalações prediais:
a. Industriais;
b. Comerciais;
c. Residenciais;
d. Públicas;
IV)
Lazer e paisagismo
V)
Estradas (drenagem)
6
VI)
Controle de Enchentes e Inundações;
VII)
Geração de energia
VIII)
Navegação e obras marítimas e fluviais
Durante a prática profissional, o engenheiro hidráulico deverá utilizar os seguintes
instrumentos:
•
Analogias: utilizar da experiência adquirida em outras ocasiões para solucionar problemas
atuais;
•
Cálculos teóricos e empíricos;
•
Modelos físicos reduzidos: utilizar modelos reduzidos para resolver problemas maiores;
•
Modelos matemáticos de simulação: dependendo do problema será necessário utilizar
ferramentas avançadas de cálculo, com o uso de computadores capazes de resolver
equações de grande complexidade;
•
Hidrologia: o dimensionamento de estruturas hidráulicas deve ser acompanhado de um
minucioso estudo hidrológico visando determinar a vazão de projeto para um determinado
período de retorno.
Os conhecimentos de hidráulica podem ser aplicados em diversos empreendimentos como,
por exemplo:
•
Aterros
•
Dragagens
•
Poços
•
Barragens
•
Drenos
•
Reservatórios
•
Bombas
•
Eclusas
•
Tubos e canos
•
Cais de porto
•
Enrocamentos
•
Turbinas
•
Canais
•
Flutuantes
•
Válvulas
•
Comportas
•
Medidores
•
Vertedores
•
Diques
•
Orifícios
•
Etc.
1.2 Evolução da Hidráulica
A Hidráulica esteve presente ao longo de praticamente toda a história da humanidade, em
função da necessidade essencial da água para a vida humana. De fato, tendo em vista que a água
distribui-se de forma irregular, no tempo e no espaço, torna-se necessário o seu transporte dos
locais onde está disponível até os locais onde o seu uso é necessário (BAPTISTA & LARA, 2003).
7
Assim, tendo em vista a necessidade absoluta da água, a história da Hidráulica remonta ao
início das primeiras sociedades urbanas organizadas, quando tornou-se necessário efetuar-se a
compatibilização da sua oferta e demanda. Na Mesopotâmia, por exemplo, existiam canais de
irrigação construídos na planície situada entre os rios Tigre e Eufrates e, em Nipur (Babilônia),
existiam coletores de esgoto desde 3750 a.C.
Importantes empreendimentos de irrigação também foram executados no Egito, 25 séculos
a.C., sob a orientação de Uni. Durante a XII dinastia, realizaram-se importantes obras hidráulicas,
inclusive o lago artificial Méris, destinado a regularizar as águas do baixo Nilo. O primeiro sistema
público de abastecimento de água de que se tem notícia, o arqueduto de Jerwan, foi construído na
Assíria, 691 a.C. Alguns princípios de Hidrostática foram enunciados por Arquimedes (287 – 212
a.C), no seu “Tratado Sobre Corpos Flutuantes”, 250 a.C.
No século XVI, a atenção dos filósofos voltou-se para os problemas encontrados nos
projetos de chafarizes e fontes monumentais, tão em moda na Itália. Assim foi que Leonardo da
Vinci (1452 – 1519) apercebeu-se da importância das observações nesse setor. Um novo tratado
publicado em 1586 por Simon Stevin (1548 – 1620), e as contribuições de Galileu Galilei (1564 –
1642), Evangelista Torricelli (1608 – 1647) e Daniel Bernoulli (1700 – 1783) constituíram a base
para o novo ramo científico.
Apenas do século XIX, com o desenvolvimento da produção de tubos de ferro fundido,
capazes de resistir a pressões internas relativamente elevadas, com o crescimento das cidades e a
importância cada vez maior dos serviços de abastecimento de água e, ainda, em consequência do
emprego de novas máquinas hidráulicas, é que a Hidráulica teve um progresso rápido e acentuado
(AZEVEDO et al., 1998).
O processamento de dados com o auxílio de computadores, além de abreviar cálculos, tem
contribuído na solução de problemas técnico-econômicos para o projeto e implantação de obras
hidráulicas, e propiciado a montagem de modelos de simulação que permitem prever e analisar
fenômenos dinâmicos até então impraticáveis de se proceder, ou feitos com tão significativas
simplificações, que comprometiam a confiabilidade (AZEVEDO et al., 1998).
1.3 Panorama e escopo atual na área de Engenharia Civil
Atualmente, pode-se definir a Hidráulica como sendo a área da engenharia correspondente
à aplicação dos conceitos de Mecânica dos Fluidos na solução de problemas ligados à captação,
armazenamento, controle, adução e uso da água. Desta forma, percebe-se que a Hidráulica
8
desempenha um papel fundamental em diversas modalidades de engenharia, integrando-se
integrando
também em diversos outros campos profissionais.
Dentro do campo de trabalho do Engenheiro Civil,, a Hidráulica encontra-se
encontra
presente em
praticamente
mente todos os tipos de empreendimentos que possuem a água como agente principal,
como, por exemplo, sistemas hidráulicos de geração de energia, obras de infraestrutura, entre
outros.
Como exemplo de grande empreendimento de geração de energia elétrica, a Usina
Hidrelétrica de Itaipu, localizada no Rio Paraná, no trecho de fronteira entre o Brasil e o Paraguai,
com vazão média diária de cerca de 12.000 m3s-1 e equipada com 18 turbinas com capacidade
nominal de 12.870 MW, gerou 98.287 GWh no ano de 2012 (Figura 1).
Figura 1. Usina hidrelétrica de Itaipu – Fonte: Itaipu Binacional.
Binacional
A análise dos problemas ligados ao projeto e gestão de reservatórios, a propagação de
cheias e a delimitação de áreas inundáveis, entre outros, utilizam a Hidráulica como importante
ferramenta de trabalho.
Em Saneamento Básico, a área de Hidráulica desempenha também um papel importante
em muitos empreendimentos. Com efeito, encontra-se
encontra se presente desde a captação, adução e
distribuição de águas de abastecimento urbano e industrial,
industrial, até os sistemas de controle e
esgotamento sanitário e de drenagem pluvial. Nas estações de tratamento de água e esgoto é
fundamental nos processos físicos inerentes ao processo.
Dentro da área de Engenharia Ambiental,
Ambiental a hidráulica ganha importância principalmente nos
estudos envolvendo cursos d’água, como à preservação dos ecossistemas aquáticos, dispersão de
poluentes, problemas relacionados com erosão e assoreamento, entre outros.
9
As obras de infraestruturas, tais como bueiros e pontes, além de portos, hidrovias e eclusas,
são empreendimentos importantes na área de Transportes, que necessitam dos conhecimentos de
Hidráulica.
1.4 O curso de Hidráulica na UFPel
Em termos gerais, o curso de Hidráulica, disponibilizado pelo Curso de Engenharia Civil da
Universidade Federal de Pelotas – UFPel, é dividido em escoamentos forçados e livres.
O escoamento forçado, ou escoamento em condutos fechados, é caracterizado por
apresentar pressão diferente da pressão atmosférica, seja maior (pressão positiva) ou menor
(pressão negativa). O escoamento livre, ou escoamento em canais abertos, é caracterizado pela
presença de uma superfície em contato com a atmosfera, submetido, portanto, à pressão
atmosférica.
Ao passo que nos escoamentos em condutos forçados as condições de contorno são
sempre bem definidas, nos escoamentos livres essas condições podem ser variáveis no tempo e
no espaço. Esta variação faz com que haja três diferentes regimes: crítico, subcrítico e supercrítico.
O regime crítico, de forma geral, acontece quando a declividade do fundo do canal se iguala com a
declividade da superfície da água, sendo caracterizada por uma velocidade crítica e uma
profundidade crítica.
Quando estas declividades são diferentes o regime de escoamento ora é subcrítico ora é
supercrítico. Em geral, o regime subcrítico, ou fluvial, acontece quando o escoamento é dito
tranquilo, ou seja, a velocidade de escoamento é menor que a velocidade crítica e a profundidade
de escoamento é maior que a profundidade crítica. O regime supercrítico ou torrencial é o oposto,
ou seja, a velocidade de escoamento é maior que a velocidade crítica e a profundidade de
escoamento é menor que a profundidade crítica.
A passagem do regime supercrítico a subcrítico é verificada em mudanças de declividades e
em saídas de comportas, por exemplo. Em geral, essa passagem não é feita de modo gradual.
Com efeito, observa-se uma situação de ocorrência do fenômeno bastante importante em
Hidráulica, o Ressalto Hidráulico, que corresponde a um escoamento bruscamente variado,
caracterizado por uma grande turbulência e uma acentuada dissipação de energia.
Entretanto, o dimensionamento dos canais apresentado no curso é feito considerando o
regime crítico permanente e uniforme. Este tipo de escoamento só ocorre em canais prismáticos de
grande comprimento, ou seja, para aqueles canais que apresentam a mesma seção transversal
(com as mesmas dimensões), a mesma declividade de fundo ao longo de seu comprimento, além
da mesma rugosidade das paredes.
10
O dimensionamento dos condutos forçados é feito por meio do estudo das equações de
energia adicionado com a dissipação de energia (perda de carga) dentro dos condutos. Esta perda
de carga é analisada por meio de equações teóricas (Fórmula Universal) e empíricas (Equação de
Hazen-Williams, por exemplo). Algumas abordagens dentro de condutos forçados, como
tubulações de múltiplas saídas, sifões, associação de condutos, também é feita no curso de
Hidráulica.
É abordado também o assunto Hidrometria em Condutos Livres e Forçados, onde é
estudado o escoamento em vertedores, orifícios e bocais, além de apresentar os medidores Venturi
e Diafragma.
Posteriormente é feita a análise dos sistemas de recalque. Define-se instalação de recalque
o conjunto de tubulações e peças especiais que transporta o fluido de uma cota inferior para uma
cota superior, sendo o escoamento submetido à presença de uma bomba hidráulica, a qual é um
dispositivo responsável por fornecer energia ao fluido.
De inúmeras aplicações na Engenharia Civil, as instalações de recalque estão presentes
em praticamente todos os empreendimentos que necessitam da utilização de bombas, como
projetos de estações de tratamento de água e esgoto, sistemas urbanos de abastecimento
doméstico, captação de águas subterrâneas, drenagem, entre outros.
11
UNIDADE 2 – ESCOAMENTO EM CONDUTOS FORÇADOS SOB REGIME
PERMANENTE
2.1 Conceitos
2.1.1 Condutos forçados
São aqueles nos quais o fluido escoa com uma pressão diferente da pressão atmosférica,
podendo ser maior, como em instalações de linhas de recalque, ou menor, como em instalações de
linhas de sucção, ambas pertencentes a projetos de instalações de bombeamento.
Os condutos forçados são geralmente circulares e de seção constante (L ≥ 4000D).
2.1.2 Número de Reynolds
É a relação existente entre a força de inércia (ou de aceleração) e a força de viscosidade
dinâmica.
Fi = m a
Fv = Aµ
(1)
∂
V
∂
y
(2)
Fv
=T
A
(3)
em que:
Fi = força de inércia;
Fv = força de viscosidade dinâmica, F;
T = tensão de cisalhamento ou deformação, F.L-2;
µ = viscosidade absoluta, que é função da coesão entre as moléculas de fluido, M.L-1.T-1;
[µ] = ML-1T -1 = Fv
(4)
[Fi ] = MLT-2 = ρL3LT-2 = ρL4T-2
(5)
∂Z
F L
=
= FL- 2 T
2
1
A ∂V L LT
[Fv ] = µL2 LT
-1
L
= µL2 T -1
(6)
Fi ρL4 T -2 ρL2 T -1 ρLT -1L ρVL
Re y =
=
=
=
=
Fv µL2 T -1
µ
µ
µ
12
(7)
Re y =
ν=
ρVD VD
=
= L2 T -1
µ
ν
(8)
µ
ρ
(9)
em que:
ν = viscosidade cinemática, L-2.T-1;
ρ = massa específica, M.L-3;
L = comprimento característico, que pode ser o diâmetro (D) da tubulação ou o raio
hidráulico (Rh) no caso de outras formas geométricas.
2.1.3 Viscosidade
É a propriedade que determina o grau de resistência do fluido à força cisalhante
(deformação).
Assim:
NEWTON ⇒ FV ∝ A
FV = µA
V
Y
V
Y
V dV
=
Y dY
FV = µA
∂
V
∂
Y
Como V é dado em função de outras grandezas além de Y, é mais exato do ponto de vista
conceitual usar derivadas parciais.
13
2.1.4 Rugosidade interna das paredes dos condutos
Figura 2. Detalhe da rugosidade interna da parede da tubulação.
Sendo:
Rugosidade absoluta (ε): valor médio das alturas das irregularidades.
ε
 : relação entre ε e D.
D
Rugosidade relativa 
2.2 Regimes de escoamento de acordo com o número de Reynolds (Rey)
a) Laminar: as partículas do fluido se movem em camadas ou lâminas segundo trajetórias retas e
paralelas (isto é: não se cruzam).
A força da viscosidade predomina sobre a força de inércia.
Para o caso de seções retas circulares, Rey
≤
2000.
b) Turbulento: as partículas do fluido se movem de forma desordenada, podendo ocupar diversas
posições na seção reta (ao longo do escoamento).
Para o caso de seções retas circulares, Rey
≥
4000. A força de inércia predomina sobre a
força de viscosidade.
c) Zona de transição ou zona crítica: região em que a perda de carga não pode ser determinada
com segurança. O regime de escoamento não é bem
definido (2000 < Rey < 4000).
14
Escoamento permanente: constância das características do escoamento no tempo, em uma
seção definida. Aquele em que as grandezas físicas de interesse não variam, com o decorrer do
tempo, em um ponto previamente escolhido, do fluido.
∂V
∂ρ
∂P
= 0;
= 0;
=0
∂t
∂t
∂t
(10)
Escoamento uniforme: quando não há mudança na magnitude e direção das grandezas físicas de
interesse ao longo do escoamento para um determinado tempo.
∂
V
=0
∂
t
(11)
Escoamento incompressível: escoamento para o qual a variação de densidade (d) é considerada
desprezível, caso contrário o escoamento é dito compressível. O critério para definir esse tipo de
escoamento é o número de Mach (M) que exprime a relação entre a raiz quadrada das forças de
inércia (Fi) e de compressibilidade (FE), ou seja:
[Fi ] = m a = ρL3 LT -2 = ρL4 T -2
(12)
[FE ] = E A = EL2
(13)
E F L-2 MLT -2 L-2
=
=
= L2 T -2
3
3
ρ ML
ML
(14)
= L2 T -2 = LT -1 = C
(15)
E
ρ
M=
Fi
=
FE
M=
V2
=
E
ρ
ρL4 T - 2
EL2
V
E
=
ρ
=
ρL2 T - 2
E
(16)
V
C
(17)
em que:
P = pressão (kgf.m-2);
V = a velocidade média de escoamento (m.s-1); e
C = velocidade do som no fluido (celeridade), sendo C = 1425 m.s-1, quando o fluido é a
água e C = 340 m.s-1, quando o fluido é o ar.
15
Para M
≤
0,3 (o que significa uma variação de 2% na densidade), o escoamento pode ser
considerado incompressível.
2.3 Perda de Carga
2.3.1 Conceito
É um termo genérico designativo do consumo de energia desprendido por um fluido para
vencer as resistências do escoamento. Essa energia se perde sob a forma de calor.
Para exemplificar, seriam necessários 100 m de tubulação para a água ter um aumento de
temperatura de 0,234 ºC.
2.3.2 Classificação
Na prática as tubulações não são constituídas apenas por tubos retilíneos e de mesmo
diâmetro. Há também as pecas especiais como: curvas, joelhos ou cotovelos, registros, válvulas,
reduções, ampliações etc, responsáveis por novas perdas.
As perdas se classificam em:
a) Perda de carga contínua ou distribuída ou perda por atrito (hf): ocasionada pela resistência
oferecida ao escoamento do fluido ao longo da tubulação. A experiência demonstra que ela é
diretamente proporcional ao comprimento da tubulação de diâmetro constante.
b) Perda de carga acidental ou localizada ou singular (ha): ocorre todas as vezes que houver
mudança no valor da velocidade e/ou direção da velocidade (módulo e direção da velocidade).
c) Perda de carga total (ht):
ht = hf + ha
(18)
A perda de cara acidental é importante em tubulações curtas; em tubulações longas seu
valor é frequentemente desprezado na prática.
16
2.3.3 Perda de carga contínua em condutos de seção constante em regime permanente e
uniforme e escoamento incompressível
Existem muitas fórmulas para o calculo da perda de carga contínua. Neste curso serão
abordadas apenas as mais difundidas, ou seja:
a) Fórmula racional ou universal;
b) Fórmula de Hazan – Willians;
c) Fórmula de Flamant;
d) Fórmula de Fair – Whipple – Hisiao;
e) Fórmula para tubos de PVC;
f) Fórmula de Darcy – Weisbach.
As fórmulas mencionadas acima, com exceção da formula racional ou universal, são as
chamadas fórmulas práticas ou empíricas.
2.3.3.1 Fórmula racional ou universal
A fórmula racional ou universal (Equação 19) pode ser utilizada para qualquer tipo de fluido
e é valida para qualquer regime de escoamento, sendo laminar ou turbulento.
hf = f
L V2
D 2g
(19)
em que:
hf = perda de carga contínua (L);
f = fator de atrito;
L = comprimento retilíneo de tubulação (L);
D = diâmetro da tubulação (L);
V = velocidade de escoamento (L.T-1); e
g = aceleração da gravidade (L.T-2)
A fórmula universal pode ser escrita sob a forma:
hf
1 V2
=J=f
L
D 2g
(20)
em que:
17
J = perda de carga unitária (L.L-1), ou seja, a perda de carga que ocorre em um metro de
tubulação.
Por exemplo: para o valor de perda de carga unitária (J) igual a 0,0052 m.m-1 significa que
em um metro de tubulação ocorreu uma perda de carga (hf) de 0,0052 m.
A perda de carga unitária pode ser definida como a tangente do ângulo de inclinação da
linha piezométrica, quando a tubulação for horizontal e de seção constante, como mostra a Figura
3.
Figura 3. Tubulação horizontal e de seção constante com piezômetros instalados.
Como se evidencia na Figura 3, tem-se:
tgθ =
hf
=J
L
(21)
A maior dificuldade no uso da fórmula universal para o cálculo da perda de carga consiste
no conhecimento do valor do coeficiente de atrito f.
2.3.3.1.1 Resistência das paredes internas do conduto ao escoamento
Para um melhor entendimento da determinação do valor de f é imprescindível o estudo da
resistência das paredes internas do conduto ao escoamento.
Sabe-se que para Rey ≤ 2000, o regime de escoamento é laminar (no caso de tubos de
seção reta circular) e quando Rey ≥ 4000, o escoamento é dito turbulento. Mesmo no escoamento
turbulento ainda persiste junto às paredes internas da tubulação uma película laminar que exerce
grande influencia sobre o escoamento. A espessura dessa película pode ser calculada pela
expressão devida a Prandtl:
18
β=
32,5D
Re y f
(22)
em que:
β = espessura da película laminar.
Nota-se que quanto maior o valor do número de Reynolds (Rey), menor é a espessura da
película laminar.
Relacionando-se o valor de β com a rugosidade absoluta (ε) pode-se dizer que: se β for
suficiente para cobrir as asperezas ε, o escoamento é dito turbulento de parede lisa (Figura 4); se
β for da ordem de grandeza de ε, o escoamento passa a ser chamado de turbulento de parede
intermediária ou turbulento de transição (Figura 5); e caso β seja menor que ε, o escoamento é
dito turbulento de parede rugosa ou francamente turbulento (Figura 6).
Figura 4. Detalhe da parede lisa ( β ≥4ε) de uma tubulação. Sendo f = f1 (Rey).
Figura 5. Detalhe da parede de rugosidade intermediária (ε/6 <β < 4ε) de uma tubulação. Sendo f = f2 (Rey,
ε/D).
19
Figura 6. Detalhe da parede rugosa ( β ≤ 4ε) de uma tubulação. Sendo f = f3 (ε/D).
É interessante ter em mente que β decresce com o aumento do valor de Rey. Por isso, um
tubo pode-se comportar como liso para um fluido e rugoso para outro.
Ainda para um mesmo fluido, um tubo pode se comportar como liso nas baixas velocidades
e rugoso nas altas velocidades.
2.3.3.1.2 Determinação do coeficiente de atrito (f) da fórmula universal para condutos comerciais
O coeficiente de atrito pode ser representado graficamente conforme a Figura 7 de acordo
com a proposta de Nikuradze.
Figura 7. Gráfico de valores do coeficiente de atrito (f) em função do número de Reynolds (Rey) e da
rugosidade relativa (Ɛ/D).
20
No gráfico apresentado na Figura 7 pode-se identificar três regiões distintas:
Região I: regiões de escoamento laminar (Rey ≤ 2000); o coeficiente de atrito é calculado de
acordo com Poiseuille (Equação 23). Por meio da equação, o valor de f pode ser calculado para
qualquer que seja a rugosidade relativa Ɛ/D.
f=
64
Re y
(23)
Região II, III, IV: regiões de escoamento turbulento (Rey ≥ 4000), sendo o valor de f calculado por:
 ε/D
2,51
= −2 log
+
f
 3,71 Re y f
1




(24)
A equação (24) foi obtida por Colebrook e White através da aplicação da teoria da
turbulência e comprovada por experimentação.
Região II: região de escoamento turbulento de parede lisa, em que f = f(Rey) e independente de
ε/D. Portanto pode-se usar na expressão de Colebrook e White, desprezando-se o primeiro termo
entre parênteses. Desta forma:
1
f
1
f
A
= -2 log
2,51
Re y f
= −2 log 2,51 + 2 log(Re y f )
= 2 log(Re y f ) − 0,8
equação (25a)
4
(25a)
é conhecida como
expressão de Prandtl e
é válida
para
6
10 ≤ Rey ≤ 3,4.10 .
ε
Região III: região de escoamento turbulento de parede intermediária, em que f = f(Re y, ) . Para
D
esta situação, a fórmula de Colebrook e White representada na equação (24) deve ser utilizada e é
válida para 14 <
ε
Re y f < 200.
D
21
Região IV: região de escoamento de parede rugosa ou de escoamento francamente turbulento em
que f = f(ε/D) e independente de Rey. Portanto pode-se usar a expressão de Colebrook e White
(equação 24), desprezando-se o segundo termo entre parênteses. Com efeito:
1
f
1
f
= -2 log(
= - 2log
ε/D
ε
) = - 2log + 2 log 3,71
3,71
D
ε
+ 1,1387
D
(25b)
A equação (25b) é conhecida como expressão de Nikuradze.
Para simplificar a solução das equações anteriores, o Prof. Podalyro elaborou fluxogramas
que levam o seu nome (Fluxogramas de Podalyro), cujo uso é bastante simplificado. Esses
fluxogramas foram implementados com base nas equações apresentadas anteriormente para o
cálculo do fator de atrito f (Figuras 1A, 1B e 1C do Apêndice 1).
2.3.3.2 Fórmula de Hazen-Willians
Para aplicação desta fórmula algumas restrições são feitas:
a)
A água sob escoamento deve estar à temperatura ambiente;
b)
As tubulações devem ter diâmetro maior ou igual a 2”ou 50 mm, o que indica que o
escoamento é turbulento de paredes rugosas o completamente turbulento;
c)
O escoamento deve ser turbulento. A maioria dos problemas de natureza prática são
turbulentos, quando o fluido é a água.
A fórmula Hazen-Willians é descrita pela equação (26).
1,825
Q
h f = 10,646. 4,87 . 
D
C
L
(26)
em que:
hf = perda de carga contínua, m;
L = comprimento retilíneo de tubulação, m;
D = diâmetro, m;
Q = vazão, m3 s-1; e
22
C = coeficiente de Hazen-Willians, que depende da natureza (material e estado de
conservação) das paredes dos tubos e está intimamente relacionado com ε/D e
independente de Rey para D ≥ 50 mm (Tabela 1D do Apêndice 1).
2.3.3.3 Fórmula de Flamant
Para a aplicação desta fórmula existem algumas limitações, que são:
a)
Uso para instalações domiciliares (prediais);
b)
Aplicável a tubulações com diâmetro entre 12,5 e 100 mm.
c)
Aplicável para escoamento de água à temperatura ambiente; e
d)
Mais utilizada para tubos de ferro e aço-galvanizado.
A fórmula de Flamant é apresentada na equação (27):
h f = 6,11.b.
L
D
4, 75
.Q1,75
(27)
em que:
hf = perda de carga contínua, m;
L = comprimento retilíneo de tubulação, m;
D = diâmetro, m;
Q = vazão, m3 s-1;
b = coeficiente de Flamant.
Na Tabela 1 estão apresentados alguns valores de coeficiente de Flamant em função do
material do conduto.
Tabela 1. Valores de alguns coeficientes de Flamant
Material do tubo
b
Ferro fundido ou aço em serviço (usado acima de 10 anos)
0,00023
Ferro fundido ou aço ou canalização de concreto (novo)
0,000185
Chumbo
0,000140
Cimento amianto
0,00062
Plástico
0,000135
23
2.3.3.4 Fórmulas de Fair-Whipple-Hisiao (recomendadas pela ABNT)
As limitações à sua aplicação são:
a)
Usada para encanamentos de diâmetro entre 12,5 e 100 mm, ou seja, para instalações
domiciliares (prediais); e
b)
Aplicável a escoamento de água.
As fórmulas indicadas pela ABNT são apresentadas a seguir de acordo com o tipo de
material do tubo.
2.3.3.4.1 Para tubos de aço ou ferro galvanizado conduzindo água em condições normais (20°C)
Q = 27,113D 2,6 J 0,53
(28)
em que:
Q = vazão, m3s-1;
D = diâmetro, m; e
J = perda de carga unitária, m.m-1;
2.3.3.4.2 Para tubos de cobre ou latão
Para a situação de condução de água quente, tem-se:
Q = 63,281D 2,71J 0,57
(29)
Para a situação de condução de água fria, tem-se:
Q = 55,934D 2,71J 0,57
(30)
2.3.3.5 Fórmulas para tubos de PVC
2.3.3.5.1 Para 3 x 10-3 < Rey < 1,5 x 105
J = 5,37.10 -4 D -1,24 V1,76
(31)
24
A equação (31) é usada para água à temperatura ambiente.
2.3.3.5.2 Para 1,5 x 105 < Rey < 106
J = 5,79.10 -4 D -1,20 V1,80
(32)
A equação (32) também é usada para água à temperatura ambiente.
2.3.3.6 Fórmulas de Darcy-Weisbach
hf = f
L V2
D 2g
(33)
em que:
f = coeficiente de atrito tabelado para tubos de concreto, ferro fundido e aço de diâmetros
acima de 13 mm (1/2”), conduzindo água fria.
2.3.3.7 Conclusões a respeito da perda de carga contínua
Pode-se concluir com relação a perda de carga contínua:
a)
É diretamente proporcional ao comprimento da canalização;
b)
É inversamente proporcional a uma potencia do diâmetro;
c)
É proporcional a uma potencia da velocidade;
d)
É variável com a natureza das paredes (material e estado de conservação), no caso de regime
turbulento. No caso de regime laminar depende apenas de Rey;
e)
Independe da posição do tubo; e
f)
Independe da pressão interna sob a qual o líquido escoa.
2.3.4 Perda de carga acidental
Estas perdas, também conhecidas como localizadas, singulares ou secundárias, ocorrem
sempre que haja mudança no módulo e, ou na direção da velocidade. Uma mudança no diâmetro
(ou na seção do escoamento) implica uma mudança na grandeza da velocidade.
Estas perdas ocorrem sempre na presença das chamadas peças especiais, ou seja, curvas,
válvulas, registros, bocais, ampliações, reduções etc.
25
Se a velocidade for menor que 1 m.s-1 e o número de peças for pequeno, as perdas
acidentais podem ser desprezadas. Também podem ser desprezadas quando o comprimento for
maior ou igual a 4000 vezes o seu diâmetro. No caso de trabalhos de pesquisa, elas devem ser
sempre consideradas.
2.3.4.1 Método dos comprimentos virtuais ou equivalentes
O método consiste em adicionar à canalização existente, apenas para efeito de cálculo da
perda de carga, comprimentos de tubo (de mesmo diâmetro que o da canalização existente) que
causaria a mesma perda de carga na peça especial (Figura 8).
Figura 8. Esquema de reservatório e tubulação dotada de peças especiais.
Na Figura 8 o valor de L4 representa o comprimento virtual da canalização responsável pela
mesma perda de carga que as peças especiais existentes ao longo da tubulação.
Desse modo, o cálculo passa a ser feito com uma das fórmulas já vistas para a perda de
carga contínua.
O comprimento virtual é dado em tabelas e é função apenas das peças e do diâmetro da
mesma (Tabela 1E do Apêndice 1).
26
2.3.4.2 Método dos diâmetros equivalentes
Nesse caso, o comprimento virtual (LV) de casa peça especial é calculado a partir da
equação (34).
LV = n.D
(34)
em que:
n = número de diâmetros tabelado em função do tipo de peca especial (Tabela 1F do
Apêndice 1), adimensional; e
D = diâmetro da peça especial, m.
A perda de carga acidental é novamente calculada por uma das fórmulas de perda de carga
contínua.
Exercícios de Aplicação
1.
A tubulação da figura abaixo é de PVC e tem diâmetro de 200 mm. Determinar a vazão,
adotando f = 0,024.
Solução:
Aplicando a equação da energia entre os pontos (0) e (4):
27
P0 V0 2
P
V 2
+
+ Z 0 = 4 + 4 + Z 4 + h f ( 0- 4 ) + h a ( 0- 4 )
γ
2g
γ
2g
L V V4 2
V4 2
0 + 0 + 30,5 = 0 +
+ 21,0 + f
2g
D 2g
9,5 =
L
V4 2
(1 + f V )
2g
D
O cálculo de LV é dado por: LV = L + ∑LF
O valor do comprimento fictício, utilizando o Método dos Comprimentos Equivalentes é
calculado consultando a Tabela 1F do Apêndice 1. Ou seja:
- Entrada normal: 1 un x 3,5 = 3,5 m
- Cotovelo 90°: 2 un x 5,5 = 11,0 m
- Saída livre: 1 un x 6,0 = 6,0 m
- ∑LF = 20,5 m
O comprimento virtual será: LV = L + ∑LF = 120 m + 20,5 = 140,5 m
Desta forma:
9,5 =
V4 2
140,5
(1 + 0,024
)
2g
0,200
V4 = 3,23 m.s-1
Como V4 > 1 m.s-1, então as perdas acidentais devem ser consideradas.
Q=
πD 2
π0,2 2
V=
.3,23 = 0,102 m3s-1= 102 L.s-1
4
4
OBS: Se considerássemos escoamento ideal teríamos:
28
30,5 =
2
Vth
+ 21
2g
Vth = 13,65 m.s-1
Q th =
πD 2
π0,2 2
Vth =
.13,65
4
4
Q th = 0,428 m3s-1= 428 L.s-1
Isto mostra que a perda de carga é importante e deve ser considerada.
2. O projeto de uma linha adutora ligando dois reservatórios previa uma vazão de 250 L.s-1. A
adutora medindo 1300 m de comprimento foi executada em tubos de concreto com
acabamento comum e diâmetro de 600 mm.
Colocando em funcionamento, verificou-se
verificou
que a vazão era de 180
80 L.s-1 devido a alguma
obstrução deixada em seu interior, por ocasião da construção. Calcular a perda de carga
provocada pela obstrução (usar fórmula de Hazen-Willians),
Hazen Willians), desprezando as demais perdas
acidentais.
Equação da energia entre (0) e (1):
29
P0 V0 2
P
V2
+
+ Z 0 = 4 + 1 + Z1 + h f (0-1)
γ
2g
γ
2g
0 + 0 + H = 0 + 0 + 0 + h f ( 0-1)
H = h f (0-1)
Pela fórmula de Hazen-Willians:
V = 0,355.C.D 0,63 J 0,54
V=
4Q
πD
2
Q
4Q
=
A πD 2
= 0,355C 0,63 J 0,54
J 0,54 =
4Q
0,355.π.C.D 2,63
Não considerando obstrução:


4.0,25

J =
 0,355.π.120.0,6 2,63 


1 / 0,54
= 1,39.10 -3 m.m-1
H1 = hf1 = J1L = 1,39. 10-3.1300 = 1,807 m
Considerando obstrução:
1 / 0,54


4.0,18

J =
 0,355.π.120.0,6 2,63 


= 7,56.10 -4 m.m-1
H2 = hf2 = J2L = 5,56. 10-4.1300 = 0,983 m
A perda acidental será, portanto:
ha = 1,807 – 0,983 = 0,824 m
30
OBS:
•
o estudante deverá fazer este problema usando as demais fórmulas para avaliar a diferença
nos resultados; e
•
a energia disponível (H) passou de 1,807 m para 0,983 m.
3. Uma canalização de tubos de ferro fundido novo (ε = 0,26 mm) com diâmetro de 250 mm é
alimentada por um reservatório cujo nível da água situa-se na cota de 1920 m. Calcular a vazão
e a pressão no ponto E de cota 1750 m, distante 1500 m do reservatório, sabendo-se que a
descarga se faz livremente na cota 1720 m. Use a fórmula Universal e de Hazen-Willians.
Dados:
L1 = 1500 m
L2 = 1000 m
D = 0,250 m
f = 0,03
Q=?
PE = ?
L = L1 + L2
Solução:
Uso da fórmula universal
3.1) Cálculo da Vazão
P0 V0 2
P1 V12
+
+ z0 =
+
+ z1 + h f (0−1)
γ
2g
γ
2g
0 + 0 + 1920 = 0 +
V2
L V2
+ 1720 + f
2g
D 2g
V 2  2500.0,03 
200 =
1 +

2g 
0,250 
31
200 =
V2 =
V2
(301)
2g
200.2.9,81
⇒ V = 3,61 m / s
301
Desta forma:
Q=
π D2
π x 0,25 2
V=
x 3,61
4
4
Q = 0,177 m3s-1 = 177 L.s-1
3.2) Cálculo de pE:
P0 V0 2
PE VE 2
+
+ z0 =
+
+ z E + h f ( 0− E )
γ
2g
γ
2g
0 + 0 + 1920 =
PE 3,612
1500 3,612
+
+ 1750 + 0,03
γ
2g
0,25 2g
PE
= 49,78 m.c.a
γ
Uso da fórmula de Hazen - Willians
Neste caso muda apenas a maneira de calcular hf
e.3) Cálculo da vazão
200 =
V2
+ h f (0 − 1)
2g
(35)
V = 0,355 C D0,63 J0,54
Do Apêndice 1: C = 130
32
V = 0,355 x 130 x 0,250,63 J0,54
1
 0,54

V

J=
 0,355 x 130 x 0,25 0,63 


hf = J L =
V1,852
≅
240
2500 V1,852
= 10,43 V1,852
240
(36)
Substituindo a equação (36) em (35), tem-se:
V2
200 =
+ 10,43 V1,852
2g
Fazendo a primeira aproximação
(37)
V2
= 0 encontra-se V = 4,93 m.s-1, que substituída na
2g
equação (37), fica:
200 = 1,24 + 200,18
(38)
ou seja, ainda não há igualdade entre os termos.
Adotando V = 4,92 m.s-1, e substituindo novamente na equação (37), tem-se 200 ≅ 200,80
então a igualdade foi atingida.
Q=
π x 0,25 2
x 4,92 = 0,241 m3.s-1 = 441 L.s-1
4
33
2.4 Conduto com uma tomada intermediária
Seja a situação apresentada na Figura 9:
Figura 9. Esquema de reservatório e tubulação com tomada de água intermediária.
Se q = 0, ou seja, para a situação em que não há sangria, a perda de carga total seria
(desprezando as perdas acidentais e V2/2g na saída):
hf = f
V=
L V2
D 2g
4Q
π D2
Logo:
hf =
L 16 Q 2
Q2
Q2
=K
L=K
(L1 + L 2 )
D2g π 2 D 4
D5
D5
em que:
K=
16 f
π 2 . 2g
34
(39)
No entanto, para q ≠ 0, tem-se:
h f1 = K
(Q a
h f2 = K
+ q )2
D5
Qa 2
D5
L1
(40)
L2
(41)
Substituindo (39), (40) e (41) em hf = hf1+hf2, vem:
K
Q2
D5
(L1 + L 2 ) = K
(Q a
+ q )2
D5
L1 + k
Qa 2
D5
L2
Q2 (L1 + L2) = (Qa + q)2 L1 + Qa2 L2
Q2 (L1 + L2) = Qa2 L1 + 2 qQa L1 + q2 L1 + Qa2 L2
Q2 (L1 + L2) = (L1 + L2) Qa2 + 2q L1 Qa + q2 L1
Qa 2 +
Qa =
2q L1
L1
Qa + q 2
− Q2 = 0
L1 + L 2
L1 + L 2
2 q L1
−
+
L1 + L 2
4 q 2 L1 2
L
− 4 q2 1 + 4 Q2
L2
L
2
2
2 q L1 2 2  L1 
L
Qa = −
+
q   + Q2 − q2 1
2L
2
L
 L 
2
L
L
L 
Q a = −q 1 + q 2  1  + Q 2 − q 2 1
L
L
 L 
(42)
A equação (42) é válida para condutos com uma tomada intermediária.
35
2.5 Conduto com distribuição em marcha ou condutos com distribuição em percurso
ou condutos com serviço em trânsito
Figura 10. Esquema de reservatório e tubulação com distribuição em marcha.
Seja o conduto indicado na Figura 10, no qual o escoamento se faz com vazão variável e
diâmetro da tubulação constante. Consideremos um trecho de comprimento elementar dx, distante
x da seção inicial. Nesse comprimento elementar dx, pode-se considerar a vazão constante, de
forma que a perda de carga elementar (em dx) pode ser calculada por:
2
dx V 2
dx 16 Q ( x )
d hf = f
=f
= K Q ( x ) 2 dx
D 2g
D π 2 D 2 2g
(43)
É bom salientar que a vazão (Q) é constante no trecho elementar dx, mas é uma função de
x, logo, Q = f(x), ao longo do comprimento da tubulação (L).
A integral de (43) ao longo de L é:
L
h f = K ∫ Q 2 ( x ) dx
(44)
0
A solução do problema consiste no conhecimento da função Q2(x).
36
Na prática o que se faz é admitir uma distribuição de vazão linear ao longo do conduto, ou
seja: a vazão qm se distribui uniformemente em cada metro linear do tubo.
Observando a Figura 10, temos no trecho elementar dx:
Q(x) = QM – qm x
(45)
ou
Q(x) = QJ + (L – x) qm
(46)
Comparando (45) com (46), encontra-se:
QM − qmx = Q j + qmL − qmx
QM − Q j = q mL
(47)
Substituindo (45) em (44), encontra-se:
L
L
hf = k
∫
(QM – qmX)2 dx = K
0
∫
(QM2 – 2 QM qmX + qm2x2) dx
0
L
3

x2
2
2 x 

h f = K QM x − 2 QM qm
+ qm

2
3 

0
2

2
2 L 
2

hf = K QM L − QM qm L + qm

3 


L2 
h f = K L Q M 2 − Q M q m L + q m 2

3 

Se substituirmos qm
2
(48)
2
L2
2 L
por qm
, o erro relativo (e) será:
3
4
e = qm
2
2L
3
− qm
2
2L
3
= qm
37
(
2
2
2 4L − 3L
12
) = q m 2 L2
12
em compensação transformamos a expressão dentro do colchete em um trinômio quadrado
perfeito. Então:
2
2

L

2
2 L 

hf = K L QM − QM qm L + qm
= K L Q M − q m 

4 
2


(49)
OBS.:
•
q m 2 L2 q m 2 L2
quando se faz
=
está se introduzindo uma diminuição em hf; e
3
4
•
quando se admite qm constante ao longo da tubulação está se introduzindo um acréscimo
em hf, ou seja, uma observação “compensa” a outra.
Substituindo (47) em (49), tem-se:
2
Q − QJ 

 2 QM − QM + QJ 
hf = K L QM − M
 =KL

2
2




 Q + QJ 
hf = K L  M

2


Fazendo:
2
2
(50)
QM + QJ
= Qf
2
em que:
Qf = vazão fictícia, m3s-1.
E ainda:
K=
16 f
2
π 2g D
5
=
E substituindo na equação (50), encontra-se:
38
8f
2
π g D5
hf =
16
2
π .2g
f
L
D
5
Qf 2 =
8f L
2
π .g D
5
Qf 2
Tudo se passa como se a tubulação transportasse uma vazão constante (Qf), que é a média
aritmética das vazões de montante e jusante. Basta, portanto nesse tipo de problema, trabalhar
com Qf e qualquer uma das fórmulas de perda de carga contínua já vistas para escoamento
permanente.
39
Exercícios de Aplicação:
a) No encanamento da figura a seguir os trechos AB e EF são virgens. O trecho intermediário
BE distribui em marcha 20 L.s-1 e o EF conduz ao reservatório 5 L.s-1.
Quais os diâmetros destes trechos se as pressões em B e E são 55 m.c.a e 5,7 kgfcm-2
respectivamente? (Usar a fórmula de Hazen-Willians para C = 100).
Solução:
P1 V12
PB VB 2
+
+ z1 =
+
+ z B + h f (1 − B)
γ
2g
γ
2g
VB 2
+ 260 + h f (1 − B)
0 + 0 + 320 = 55 +
2g
VB2
Sendo
desprezível, tem-se:
2g
h f (1 − B) = 5 m.c.a.
Diâmetro do trecho AB
Q1 = Q2 + Q3 = 20 + 5 = 25 L.s-1 = 0,025 m3 s-1
40
h f (1 − B) = 5 m.c.a
h
5
m.m-1
J1 = f =
L1 850
h f (1 B) = J1 L1
 5 

 850 
0,54
V1 = 0,355 C D10,63 J10,54 = 0,355 x 100 x D10,63 
Q1 =
0,54
π D12
π D12
 5 
V1 =
0,355 x 100 x D10,63 

4
4
 850 
0,025 =
π
 5 
x 0,355 x 100 x D12,63 

4
 850 
0,54
∴ D1 = (1,44 x 10 2 )2,64
1
D1
2,63
= 1,44 x 10
2
D1 ≅ 0,200m ≅ 200mm
V 2
V
Como V1 = 0,80 L.s , logo, B =0,032 m, isto significa que B pode ser desprezado.
2g
2g
2
-1
Diâmetro do trecho EF
PE VE 2
P
V 2
+
+ z E = 2 + 2 + z 2 + h f ( E 2)
γ
2g
γ
2g
VE 2
V 2
= 2 =0
2g
2g
57 + 0 + 250 = 0 + 0 + 300 + h f ( E − 2)
h f ( E − 2) = 7 m
Q3 = 0,005 m3 s-1
41
J3 =
Q3 =
D 3 2,63 =
h f ( E − 2)
L3
=
7
m.m-1
815
π
0,355 C D 3 2,63 J 3 0,54 = 0,005
4
4 x 0,005
 7 
π x 0,355 x 100 x 

 815 
0,54
= 2,342 x 10 −3
D3 ≅ 0,100 m ≅ 100 mm
Diâmetro do trecho BE
PB VB 2
PE VE 2
+
+ zB =
+
+ z E + h f (B − E)
γ
2g
γ
2g
VB 2
V 2
= E =0
2g
2g
55 + 260 = 57 + 250 + h f ( B − E )
h f ( B − E ) = 8 m.c.a.
Qf =
Q M + Q J Q1 + Q 3 25 + 5
=
=
= 15 l L.s-1 = 0,015 m3 s-1
2
2
2
J2 =
h f (B - E)
L2
=
8
m.m-1
870
π
 8 
Q f = 0,015 = x 0,355 x 100 x D 2 2,63 x 

4
 870 
D2 ≅ 0,150 m ≅ 150 mm
42
0,54
b) O trecho de uma tubulação com serviço em trânsito mede 100 m. A vazão fictícia é 4 L.s-1.
Sabendo-se que a vazão da extremidade de jusante é de 3 L.s-1, pede-se a vazão
distribuída em marcha (qm).
Solução:
L = 100 m
Qf = 4 L.s-1
QJ = 3 L.s-1
qm = ?
Qf =
QM + QJ
2
QM = QJ + qm L
4=
QM + 3
2
⇒
QM = 5 L.s-1
5 = 3 + 100 qm
qm =
2
100
qm = 0,02 L.s-1.m-1
43
2.6 Condutos equivalentes
Um conduto é equivalente a outro ou a outros quando transporta a mesma vazão, com a
mesma perda de carga total.
se considerar dois casos:
Devem-se
•
Condutos em série: as perdas de cargas se somam para uma mesma vazão.
•
Condutos em paralelo: as vazões se somam para
par uma mesma perda de carga.
2.6.1 Condutos em série
Figura 11. Esquema de condutos em série.
Desprezando-se
se as perdas de carga acidentais, a linha de carga piezométrica pode ser
representada
da como apresentado na Figura 11.
11 Desta forma, quanto menor o diâmetro, maior a
perda de carga (para uma mesma Q) e maior também a inclinação da linha piezométrica.
O problema consiste em substituir a tubulação na Figura 11 por uma equivalente, de um
único diâmetro, ou seja:
44
Figura 12. Esquema de conduto equivalente.
Utilizando-se da fórmula universal de perda de carga, pode-se escrever:
a) Para o conduto em série:
L1 V12
L1 16 Q 2
L
L
16 Q 2
h f1 = f1
= f1
=
f1 1 = K f1 1
4
2
5
2
D1 2g
D1 π D1 2g π . 2q D1
D15
h f2 = K f 2
h f3 K f 3
L2
(52)
D 25
L3
D3
(51)
(53)
5
b) Para o conduto equivalente (de diâmetro único):
hf = K f
L
(54)
D5
Sendo que:
h f = h f1 + h f 2 + h f 3
(55)
Substituindo as equações (51) a (54) na equação (55), encontra-se:
L
Kf
D
5
= K f1
L1
D15
+ K f2
L2
D2
5
+ K f3
L3
D 35
ou generalizando:
f
L
D5
= f1
L1
D15
+ f2
L2
D 25
+ f3
L3
D 35
+ ... + f n
Ln
Dn 5
Se no lugar da fórmula Universal, fosse usada a de Hazen-Willians, teríamos:
45
(56)
L
C1,85 D 4,87
=
L1
C11,85 D14,87
+
L2
C 21,85 D 2 4,87
+ ... +
Ln
C n 1,85 D n 4,87
(57)
2.6.2 Condutos em paralelo
Figura 13. Esquema de condutos em paralelo.
hf = f
L Q2
L V2
L 16 Q 2
=f
= K1f
D 2g
D π 2 D 4 2g
D5
h D5
Q2 = f
L K1f
⇒ Q=
hf
K1
D5
fL
(58)
Q1 =
hf
K1
D15
f1 D1
(59)
Q2 =
hf
K2
D 25
f2 D2
(60)
Como:
Q = Q1 + Q2
46
(61)
Substituindo as equações (58), (59), (60) em (61), tem-se:
D5
=
fL
D15
+
f1 L1
D 25
f2 L2
(62)
Para a fórmula de Hazen-Willians:
C
D 2,63
L0,54
= C1
D12,63
L10,54
+ C2
D 2 2,63
(63)
L 2 0,54
Exercício de Aplicação:
a) Na figura a seguir pA = 7,4 kgf.m-2 e para todos os tubos f = 0,03. Qual a pressão em B,
desprezando-se as perdas localizadas ou acidentais?
Solução:
As tubulações E e F estão em paralelo. Para se saber a pressão em B, tem-se que
conhecer a perda de carga que ocorre nessas duas tubulações (no caso, tanto faz percorrer A E B
ou A F B, que a perda será a mesma). O problema fica mais simples, se substituirmos as
tubulações A E B e A F B por uma única equivalente. O esquema ficaria assim:
Q = 500 L.s
-1
D, L,
f=0,03
Q = 500 L.s
B
A
47
-1
Tubulação substitutiva das duas anteriores
D5
=
f L
D15
+
f1 L1
D 25
f2 L2
f = f1 f2
D5
=
L
0,300 5
+
600
0,500 5
= 8,245 x 10–3
475
D5 = 6,8 x 10–5 L
Nesse caso devemos admitir um valor ou para L ou para D; admitindo para D = 400 mm
(poderia ser outro valor), vem:
L =150 m
h f = 0,03
150
4 2.0,5 2
= 9,08 m
0,400 π 2 0,400 4 2g
Portanto, pB = pA – hf(A – B) = 74 – 9,08
pB = 64,92 m
Se admitíssemos:
D = 500 mm
L ~ 460 m
h f = 0,03
460 4 2 0,500 2
0,500 π 2 0,5 4 x 2g
hf = 9,1 m
pB = pA – h f A − B = 64,90 m
48
b) Sendo de 1,20 m.s-1 a velocidade no trecho de comprimento L1 do sistema de tubulações da
figura a seguir, determinar a diferença de nível H (C = 120).
Os comprimentos L1 e L2 estão em paralelo, assim como os comprimentos L4 e L5.
Vamos transformá-los em um comprimento, a ser calculado, de um único diâmetro; o mais
simples é transformá-los no diâmetro de 450 mm = D3.
Com efeito:
Para os trechos L1 e L2:
C
0,45 2,63
L0,54
= C1
0,200 2,63
305 0,54
+ C2
0,300 2,63
305 0,54
Como: C = C1 = C2
0,45 2,63
L0,54
=
L0,54 = 47,41
5,67 x 10 −2
305 0,54
ou
L0,54
0,45 263
L = 1270 m para
49
=
305 0,54
5,67 x 10 −2
D = 0,450 m
Para os trechos L4 e L5:
0,452,63
L60,54
=
0,32,63
6100,54
L 6 0,54
0,45 2,63
 L 


 610 
L
=2
610
0,54
=
+
0,32,63
6100,54
610 0,54
2 x 0,3 2,63
1  0,45 
= 

2  0,30 
L = 1220 m
2,63
= 1,452
para D = 0,450 m
Então, o sistema de tubulações da figura anterior, é equivalente ao:
H = hf = J L
V = 0,355 C D0,63 J0,54
Precisamos conhecer a vazão que circula pela tubulação.
No esquema fornecido, observe que a perda de carga para L1 e L2 é a mesma (as
tubulações estão em paralelo). Então:
Para L1:
V1 = 0,355 C D10,63 J10,54
50
1,20 = 0,355 x 120 x 0,2000,63 J10,54
J1 = 8,8 x 10–3 m.m-1
h f1 = J1 L1 = 8,8 x 10–3 x 305 = 2,684 m
Para L2:
h f 2 = h f1 = J2 L2
2,684
= 8,8 x 10–3 m.m-1
305
J2 =
V2 = 0,355 x 120 x 0,3000,63 (8,8 x 10–3)0,54 = V2 = 1,549 m.s-1
Portanto a vazão que circula por todo o sistema é:
Q=
π x 0,2 2
π x 0,3 2
x 1,20 +
x 1,549
4
4
Q = 0,147 m3/s
Utilizando o conduto equivalente (D = 0,450 m e L = 2795 m),
V=
4Q
πD
2
=
4 x 0,147
π x 0,45
2
= 0,925 m.s-1
0,925 = 0,355 x 120 x 0,450,63 J0,54
J = 2,11 x 10–3 m.m-1
H = hf = J L = 2,11 x 10–3 (1270 + 305 + 1220)
H ≅ 5,90 m
51
2.7 Sifões
Sifões são condutos forçados em que parte da tubulação se acha situada acima do nível da
água do reservatório (acima do plano de carga efetivo) que os alimentam, de modo que o líquido é
elevado acima daquele nível e depois é descarregado em ponto mais baixo que o mesmo (do que
o nível).
2.7.1 Funcionamento
Para o sifão entrar em funcionamento, deve estar escorvado, ou seja: todo o ar existente
deve ser eliminado. Isto se faz enchendo o mesmo com o líquido a ser sifonado, por exemplo. Uma
vez escorvado o sifão, a pressão atmosférica faz o líquido subir no ramo ascendente (já que a
pressão aí é menor do que Patm); assim se estabelece um regime permanente de escoamento.
Figura 14. Funcionamento de um sifão
Em que:
52
•
A – Boca de entrada;
•
C – Boca de saída;
•
B – Vértice;
•
Coroamento – curva superior a B;
•
Crista – curva inferior a B;
•
AB – ramo ascendente (L1);
•
BC – ramo descendente (L2).
Observação: naquelas seções onde se faz referência à pressão de vaporização (PV) do líquido,
trabalha-se com as pressões na equação de Bernoulli (ou da energia) em valores absolutos, tendo
em vista que a PV é tabelada em valores absolutos.
2.7.2 Condições de Funcionamento
São estabelecidas pela equação da energia e despreza-se ha. Aqui aplica-se o conceito de
pressão absoluta.
1a condição:
Aplicando-se a equação da energia entre (0) e (C) com referência em C, tem-se (para fazer
referência a H):
2
2
P 0 + v 0 + = PC + v C + z + h
z0
γ 2g
γ 2g C f(0−C)
2
Patm + 0 + H = Patm + v + 0 + h
f (0−C)
γ
γ
2g
(
v = 2g H − hf (0−C)
)
Para haver escoamento, v > 0 ⇒ H − hf (0−C) > 0 ⇒ H > hf (0−C) .
Isto leva à conclusão de que, devendo a velocidade ser positiva, H deverá ser maior que
zero (e necessariamente maior que hf) devendo estar portanto a boca de saída abaixo do plano de
carga piezométrico.
O esquema seguinte exemplifica a primeira condição de funcionamento.
53
a
Figura 15. 1 condição de funcionamento.
2a condição:
Aplicando-se a equação da energia entre (0) e (B); com referência no plano de carga efetivo
(para fazer referência à H1).
Observação: aqui trabalha-se com o conceito de pressão absoluta.
2
2
P0 + v 0 + = PB + vB + +
z0
zB hf (0−B)
γ 2g
γ 2g
ab
2
Patm + 0 + 0 = PB + v + +
H1 hf(0−B)
γ
γ 2g
2
 ab

v = Patm −  PB + +
H1 hf(0−B) 
2g
γ  γ


 ab

v = 2g Patm −  PB + H1 + hf (0−B) 
 γ
 γ

Para haver escoamento, v > 0 . Tem-se, portanto que:
 ab

Patm −  PB + H + h
>0
1
f(0−B)
γ  γ

54
ab
Patm > PB + H + h
1
f (0−B)
γ
γ
 ab

H1 < Patm −  PB + hf(0−B) 
γ  γ

Esta equação traduz a 2a condição de funcionamento, ou seja, a localização do vértice do
sifão deve estar sempre abaixo do valor da pressão atmosférica do local.
Se PBab γ pudesse anular-se (vácuo perfeito) e se
Patm γ = 10,33mca ,
H1 < 10,33 mca − hf (0−B) .
Este seria o máximo valor de H1; entretanto, raramente atinge 6m (para a água) porque
acima desse valor a pressão no vértice favorece o desprendimento de bolhas de ar e vapor que se
acumulam no ápice (ponto de menor pressão) dificultando ou interrompendo o funcionamento do
ab
sifão. Aliado a isso, ainda deve-se ter em mente que Patm < 10,33mca . Na realidade PB deve ser
γ
λ
maior ou igual a pressão de vapor do líquido na temperatura de escoamento (Tabela 1H do
Apêndice 1).
ab
O máximo valor de H1 é atingido quando PB = Pv , à temperatura de escoamento do líquido.
γ
γ
3a condição:
Aplicando a equação da energia entre (B) e (C) com referência em C e trabalhando com o
conceito de pressão absoluta, tem-se:
2
2
PB + vB + = PC + v C + +
zB
z C hf (B−C)
γ 2g
γ 2g
Considerando vB = v C = v :
ab
2
2
PB + v + H = Patm + v + 0 + h
f (B−C)
γ 2g 2
γ
2g
55
ab
H2 = Patm + hf (B−C) − PB
γ
γ
Se:
ab
•
PB = 0 (vácuo perfeito); e
•
Patm = 10,33 mca (pressão atmosférica normal),
γ
γ
a equação pode ser escrita como:
H2 = 10,33 + hf (B−C)
ab
Na prática H2 não ultrapassa 8 a 9 m já que PB ≥ P V do líquido e Patm < 10,33mca .
γ
γ
γ
2.7.3 Exercício de Aplicação
a) O N.A. de um reservatório deve ser regulado por uma bateria de sifões que deverá
descarregar 111 m3/s. Cada sifão tem D = 1,10m e CQ = 0,64. Se o desnível entre a água no
reservatório e a boca de saída for de 7,5m, quantos sifões deverão ser usados?
Solução:
56
Obs.: não foi dada a perda de carga mas foi dado CQ para corrigi-la.
Bernoulli entre (0) e (1):
2
2
Patm + v 0 + 7,5 = Patm + v th + 0
γ
2g
γ
2g
2
v th = 7,5 ⇒
γ
v th = 2g.7,5 (velocidade teórica)
v th = 12,13m s
sendo:
πD
Qth =
v th (vazão teórica)
4
2
π
Q = CQ D v th (vazão real), temos:
4
2
2
3
Q = 0,64 * 1,1 * 12,13 = 7,37 m
s
4
número de sifões = n =
111
≈ 15 sifões
7,37
b) Por meio de um sifão deseja-se manter constante o nível da água em um reservatório
(temperatura da água = 50oC) e situado a 1800 m de altitude.
2
Se os tubos empregados tem f = 0,02 e as perdas locais na entrada valem 1,4 v , qual a
2g
altura máxima do vértice em relação ao N.A. do reservatório, se o ramo ascendente mede 5,0 m, o
diâmetro 350 mm e a água deve escoar com 5 m/s de velocidade média? Qual o desnível máximo
entre o N.A. e a saída do sifão para um comprimento de 20m?
57
Solução:
L1 = 5 m
D = 350 mm
f = 0,02
v = 5 m/s
L2 = 20 m
Obs.: a pressão mínima em (2) é a P V .
γ
Equação da energia aplicada entre (1) e (2), com referência em (1):
2
2
P1 + v1 = P2 + v 2 + h + h
t(1−2)
γ 2g γ 2g
2
2
2
2
P1 + v1 = P2 + v 2 + h +1,4 v + f. L . v
2g
γ 2g γ 2g
D 2g
2
2
2
2
P1 + v1 = P2 + v 2 + h +1,4 v + 0,02. 5 . v
2g
γ 2g γ 2g
0,35 2g
2
Patm = PV + h + 2,685 v
γ
γ
2g
58
Como:
Patm = 8,20mca e PV = 1,255mca
(Tabelas 1G e 1H do Apêndice 1)
γ
γ
Tem-se:
8,2 = 1,255 + h + 2,685.
25
2g
h = 3,52 m
Equação da energia entre (2) e (3), com referência em (3):
2
2
P 2 + v 2 + z = P3 + v 3 + z + h
γ 2g 2 γ 2g 3 f(2−3)
P2 + z = z + h
2
3
f(2−3)
γ
Somando Patm a ambos os membros, tem-se:
γ
 P2 Patm 
 +
 + z 2 = Patm + z 3 + hf (2−3)
γ 
γ
γ
ab
P2 + z = Patm + z + h
2
3
f (2−3)
γ
γ
ab
fazendo P2 = P V (para obtenção do máximo valor de H):
γ
γ
P V + z = Patm + z + h
2
3
f (2−3)
γ
γ
(
)
1,255 + h + H = 8,20 + 0 + f
L2 v 2
D 2g
1,255 + 3,52 + H = 8,20 + 0,02
20 52
0,35 2.9,81
H = 4,88 m
59
2.8 Reservatórios de Compensação ou Reservatório de Sobras
Em certas horas do dia o consumo de água no meio urbano pode crescer a tal ponto até
alcançar de duas ou mais vezes o consumo médio diário. Para atender as horas de máxima
demanda, o diâmetro R1A ser determinado em função dessas condições. Todavia essa solução
não é econômica, pois o trecho R1A, geralmente longo, teria diâmetro muito grande e na maior
parte do dia a solicitação é pequena. Utilizando o reservatório de sobras, pode ser calculado um
diâmetro menor no trecho R1A tendo em vista que nas horas de menor consumo, R1 contribui com
R2 e nas horas de maior consumo R2 contribui juntamente com R1 para atender a maior demanda.
Em geral, o reservatório R2 é pequeno e o trecho de tubulação R2A também é curto e de diâmetro
pequeno, o que torna mais econômico o investimento.
Este sistema também é muito utilizado para solucionar problemas de crescimento
populacional acima do previsto.
Outra vantagem que pode ser acrescentada é o seu funcionamento automático.
Sejam dois reservatórios, R1 (principal) e R2 (sobras) interligados entre si, cujos níveis,
mantidos constantes, tem uma diferença de cotas h.
As situações possíveis são as seguintes, desprezando-se as perdas de carga acidentais e
as variações de energia cinética:
60
•
Não existe solicitação em A:
Nesse caso Qn = 0, a linha piezométrica é representada pela reta MBN e a pressão
disponível em A é AB (dada pelo piezômetro).
Assim, o reservatório R1 somente abastecerá o reservatório R2 (o que ocorrerá
eventualmente à noite ou quando o registro no duto de solicitação estiver fechado).
Deste modo, a perda de carga unitária (J) o diâmetro (D) e a vazão (Q) que chega ao
reservatório de sobras, serão dadas por (quando se usa a fórmula universal de perda de carga):
J=
h
(aplicação da eq. da energia entre (1) e (2))
L1 + L 2
0,2
 16f Q2

D = 2
L1 + L 2 
 π 2g h

(
)
(usando a fórmula universal)
0,5
 π 2 2g 5 h 
Q = 
D

L1 + L 2 
 16f
•
(usando a fórmula universal)
Existe solicitação em A:
Então Qn > 0 e a linha piezométrica deixará de ser representada por MBN porque a pressão
agora será menor no ponto A.
A medida que a vazão solicitada for aumentando, a pressão irá caindo em A. Ainda assim o
reservatório de sobras continuará recebendo água de R1, embora com vazões menores, até que a
pressão em A seja igual a AC e a linha piezométrica, MCN. Nessa situação, o reservatório de
sobras não recebe água de R1, então a perda de carga (J1), e a vazão solicitada (Qn = Q1) serão
dadas por:
J1 =
h
(desprezando a carga cinética em A, considerando-se que seja pequena)
L1
0,5
 π 2 .2g 5 h 
Q1 = 
.D . 
L1 
 16f
(usando a fórmula universal)
Daí para a frente, se a vazão solicitada for maior que Q1, a pressão em A será menor que
AC e a linha piezométrica ficará abaixo da MCN (digamos MEN). Para situações como estas é que
funciona o reservatório de sobras, contribuindo com o reservatório principal na alimentação da rede
de distribuição de água.
61
A perda de carga (J) e a vazão solicitada (Qn), serão dados por (chamando AE = y), com a
aplicação da equação da energia entre R1 e A e, após, entre R2 e A, com referência em A. Assim,
as equações geradas são:
P1
γ
+
v12
P v2
+ z1 = A + A + z A + hf (1−A)
2g
γ 2g
(64)
v 22
PA v 2A
+
+z =
+
+z +h
γ 2g 2 γ 2g A f(2−A)
P2
(65)
como:
z1 = h + EC + y
PA
γ
=y
zA = 0
z 2 = EC + y
P1
γ
=
P2
γ
=0
v12 v 22
=
=0
2g 2g
v 2A
≅ 0 (para efeito de simplificação e, por ser pequeno), tem-se, substituindo estes valores
2g
em (64) e (65):
 h + EC + y = y + h
 h

 f(1−A) = h + EC
f (1−A)
⇒

 EC + y = y + hf (2−A)
 hf (2−A) = EC
j(1−A) =
h + EC
EC
e j(2−A) =
L1
L2
 2g.π 2
 h + EC 
Qn = 
.D5 .

 16f
 L1 
1
2
 2g.π 2 5 EC 
+ 
.D .

L 2 
 16f
1
2
1
1 
1 
 2g.π 2 5  2  h + EC  2  EC  2 
Qn = 
.D  . 
 + 

L 2  
 16f
  L1 



62
ou
Note que:
a) h + EC = Cota de R1 – cota de E
EC = Cota de R2 – cota de E
b) A vazão máxima na derivação se obtém quando a pressão em A for nula, sendo as linhas
piezométricas: MA e NA. Todavia, é recomendável que a pressão em A seja de pelo menos
5 mca para evitar eventuais entradas de ar e poluentes na junção em A.
63
2.9 Exercícios de Fixação
OBS: As respostas são aproximadas!
1) Determine o diâmetro de uma adutora, por gravidade, de 850 m de comprimento, ligando dois
reservatórios mantidos em níveis constantes, com diferença de cotas de 17,5 m, para transportar
uma vazão de água (Ʋ = 1,01 x 10-6 m2/s) de 30 L/s. Material da tubulação, aço galvanizado com
costura novo, Ɛ = 0,15 mm.
2) Em uma adutora de 150 mm de diâmetro, em aço soldado novo Ɛ = 0,10 mm, enterrada, está
ocorrendo um vazamento. Um ensaio de campo para levantamento de vazão e pressão foi feito em
dois pontos, A e B, distanciados em 500 m. No ponto A, a cota piezométrica é de 657,58 m e a
vazão, de 38,88 L/s, e no ponto B, 643,43 m e 31,81 L/s. A que distância do ponto A deverá estar
localizado o vazamento? Repita o cálculo usando a fórmula de Hazen-Willians.
3) A ligação entre dois reservatórios, mantidos em níveis constantes, é feita por duas tubulações
em paralelo. A primeira com 1500 m de comprimento, 300 mm de diâmetro, com fator de atrito f =
0,032, transporta uma vazão de 0,056 m3/s de água. Determine a vazão transportada pela segunda
tubulação, com 3000 m de comprimento, 600 mm de diâmetro, e fator de atrito f = 0,024.
4) Dois reservatórios, mantidos em níveis constantes, são interligados em linha reta através de uma
tubulação de 10 m de comprimento e diâmetro D = 50 mm, de PVC rígido, como mostra o esquema
da figura abaixo. Admitindo que a única perda de carga localizada seja devido à presença de um
registro de gaveta parcialmente fechado, cujo comprimento equivalente é Le = 20,0 m, e usando a
equação de Hazen-Willians, adotando C = 145, determine a vazão na canalização supondo que o
registro esteja colocado no ponto A.
64
5) Em um ensaio de perda de carga de uma luva de redução de 2” x 1 ½”, o comprimento
equivalente da peça, em relação ao tubo de menor diâmetro (1 ½”), foi determinado igual a 0,38 m.
Assumindo, por simplificação, que o coeficiente de atrito f para os dois tubos seja o mesmo,
determine o comprimento equivalente da luva em relação ao diâmetro de montante (2”).
6) Sabendo-se que as cargas de pressão disponíveis em A e B são iguais e que a diferença entre
as cargas de pressão em A e D é igual a 0,9 mca, determine o comprimento equivalente do registro
colocado na tubulação de diâmetro único, assentada com uma inclinação de 2° em relação a
horizontal, conforme a figura abaixo.
7) Um sistema de distribuição de água é feito por uma adutora com um trecho de 1500 m de
comprimento e 150 mm de diâmetro, seguido por outro trecho de 900 m de comprimento e 100 mm
de diâmetro, ambos com o mesmo fator de atrito f = 0,028. A vazão total que entra no sistema é
0,025 m3/s e toda água é distribuída com uma taxa uniforme por unidade de comprimento q (vazão
de distribuição unitária) nos dois trechos, de modo que a vazão na extremidade de jusante seja
nula. Determine a perda de carga total na adutora, desprezando as perdas localizadas ao longo da
adutora.
8) Por uma tubulação de 27” de diâmetro e 1500 m de comprimento, passa uma vazão de 0,28
m3/s de água. Em uma determinada seção, a tubulação divide-se em dois trechos iguais de 18” de
diâmetro, 3000 m de comprimento, descarregando livremente na atmosfera. Em um destes trechos,
toda a vazão que entra na extremidade de montante é distribuída ao longo da tubulação, com uma
vazão por unidade de comprimento uniforme e, no outro, metade da vazão que entra é distribuída
uniformemente ao longo do trecho. Adotando para todas as tubulações um fator de atrito f = 0,024
e supondo que todo o sistema está em um plano horizontal, determine a diferença de carga entre
as seções de entrada e a saída. Despreze as perdas singulares.
65
9) O sistema de distribuição de água mostrado na figura abaixo tem todas as tubulações do mesmo
material. A vazão total que sai do reservatório I é de 20 L/s. Entre os pontos B e C, existe uma
distribuição em marcha com vazão por metro linear uniforme e igual a q = 0,01 L/(s.m). Assumindo
um fator de atrito constante para todas as tubulações f = 0,020 e desprezando as perdas
localizadas e a carga cinética, determine:
a) a cota piezométrica no ponto B;
b) a carga de pressão disponível no ponto C, se a cota geométrica desse ponto é de 576,00 m;
c) a vazão na tubulação de 4” de diâmetro.
10) No sistema de abastecimento de água mostrado na figura abaixo, todas as tubulações têm fator
de atrito f = 0,021 e, no ponto B, há uma derivação de 5,0 L/s. Desprezando as perdas de carga
localizadas e as cargas cinéticas, determine a carga de pressão disponível no ponto A e as vazões
nos trechos em paralelo.
66
11) Um reservatório alimenta uma tubulação de 200 mm de diâmetro e 300 m de comprimento, a
qual se divide em duas tubulações de 150 mm de diâmetro e 150 m de comprimento, como
apresentado na figura abaixo. Ambos os trechos estão totalmente abertos para a atmosfera nas
suas extremidades. O trecho BD possui saídas uniformemente distribuídas ao longo de seu
comprimento, de maneira que metade da água que entra é descarregada ao longo de seu
comprimento. As extremidades dos dois trechos estão na mesma cota geométrica e 15 m abaixo
do nível d’água do reservatório. Calcule a vazão em cada trecho adotando f = 0,024, desprezando
as perdas localizadas e a carga cinética nas tubulações.
67
Gabarito:
1) D = 0,15 mm
2) a) x = 355 m
b) x = 275 m
3) Q = 0,258 m3/s
4) Q = 4,37 L/s
5) Le = 1,60 m
6) Le = 25,79 m
7) ht = 19,61 m
8) ∆H = 4,35 m
9) a) C.PB = 586,42 m; b) PC/γ = 5,52 mca; c) Q4” = 5,2 L/s
10) PA/γ = 21,20 mca; Q6” = 8,12 L/s; Q8” = 16,88 L/s
11) QAB = 0,076 m3/s; QBC = 0,033 m3/s; QBD = 0,043 m3/s
68
UNIDADE 3 – BOMBAS HIDRÁULICAS
3.1 Introdução
Máquina é a designação dada a tudo aquilo capaz de transformar energia. A máquina pode
absorver energia numa forma e restituí-la em outra (por exemplo: o motor elétrico é uma máquina,
porque absorve energia elétrica e restitui energia mecânica) ou absorver energia em uma forma e
restituí-la na mesma forma (por exemplo: um torno mecânico absorve energia mecânica e restitui
energia mecânica). As máquinas podem ser agrupadas em máquinas de fluido, elétricas e de
ferramentas. As primeiras são capazes de promover intercâmbio entre a energia do fluido e a
energia mecânica; elas se classificam em máquinas hidráulicas e térmicas. Nas primeiras, o fluido
utilizado para promover o intercâmbio de energia não varia sensivelmente de peso específico ao
atravessá-las, sendo, portanto, o escoamento através delas considerado como praticamente
incompressível. As bombas hidráulicas, as turbinas hidráulicas e os ventiladores são exemplos de
máquinas hidráulicas (no caso do ventilador, o escoamento do ar pode ser tratado como
incompressível, visto que a diferença de entrada e a saída do ar nessa máquina é menor ou igual a
um metro de coluna de água).
As máquinas térmicas caracterizam-se por uma variação sensível no peso específico do
fluido que as atravessa. As turbinas a vapor d’água e os compressores de ar são exemplos
clássicos desses tipos de máquinas.
As máquinas hidráulicas classificam-se em motoras (ou motrizes) e geradoras (ou
geratrizes). As motoras transformam energia hidráulica (recebida do fluido) em energia mecânica e
as geradoras, energia mecânica em energia hidráulica. São exemplos de máquinas hidráulicas
motoras as turbinas hidráulicas e as rodas d’água, e de máquinas hidráulicas geradoras as bombas
hidráulicas e os ventiladores.
3.2 Bombas hidráulicas
São máquinas que recebem trabalho mecânico e o transformam em energia hidráulica,
fornecendo energia ao líquido.
A equação de Bernoulli, aplicada entre a seção de entrada (seção 1) e a seção de saída
(seção 2) de uma bomba, fornece:
P1
γ
+
v12
P v2
+ z1 + Hm = 2 + 2 + z 2 e
2g
γ 2g
Hm =
P2 − P1
γ
+
(66)
v 22 − v12
+ z 2 − z1 ,
2g
(
)
(67)
69
em que:
Hm = energia fornecida ao fluido, na saída (altura manométrica da bomba);
P2 − P1
γ
= energia de pressão ou energia estática;
v 22 − v12
= energia cinética ou dinâmica; e
2g
(z2 – z1) = energia potencial.
3.2.1 Classificação das bombas hidráulicas
•
Bombas Volumétricas: são as bombas de êmbolo ou pistão e as de diafragma. Diz-se que o
intercâmbio de energia é estático. O movimento é alternativo. O órgão fornece energia ao
fluido em forma de pressão.
•
Turbobombas ou Bombas Hidrodinâmicas: o órgão (rotor) fornece energia ao fluido em
forma de energia cinética, sempre com movimento rotativo.
3.3 Bombas
São máquinas que fornecem energia ao fluido, através do rotor, na forma cinética.
3.3.1 Órgãos principais de uma bomba
•
Rotor: órgão móvel que fornece energia ao fluido. É responsável pela formação de
depressão no seu centro, para aspirar o fluido, e de sobrepressão na periferia, para recalcálo (Figura 16).
•
Difusor: canal de seção crescente, no sentido do escoamento, que recebe o fluido vindo do
rotor e o encaminha à tubulação de recalque, para transformar energia cinética em energia
de pressão (Figura 16).
Figura 16. Órgãos principais de uma bomba.
70
3.3.2 Classificação das Bombas
a) Quanto à Trajetória do Fluido Dentro do Rotor:
•
Bombas Radiais ou Centrífugas: caracterizam-se pelo recalque de pequenas vazões e
grandes alturas. A força predominante é a centrífuga. O fluido entra no rotor na direção axial
e sai na direção radial (Figura 17).
Figura 17. Rotor de bomba centrífuga.
•
Bombas Axiais: caracterizam-se pelo recalque de grandes vazões a pequenas alturas. A
força predominante é a de sustentação (são projetadas de acordo com a teoria da
sustentação das asas). O fluido entra e sai na direção axial (Figura 18).
Figura 18. Rotor de bomba axial.
•
Bombas Diagonais ou de Fluxo Misto: caracterizam-se pelo recalque de médias vazões a
médias alturas. Nesse caso, as forças centrífugas e de sustentação são importantes. O
fluido entra no rotor na direção axial e sai numa direção entre a axial e a radial (Figura 19).
71
Figura 19. Rotor de bomba diagonal.
b) Quanto ao Número de Entradas para Aspiração ou Sucção:
•
Bombas de Sucção Simples ou de Entrada Unilateral: a entrada do líquido dá-se por meio
de uma única boca de sucção (Figura 20).
Figura 20. Rotor de bomba de sucção simples.
•
Bombas de Dupla Sucção ou de Entrada Bilateral: a entrada do líquido dá-se por duas
bocas de sucção, paralelamente ao eixo de rotação. Esta montagem equivale a dois rotores
simples montados em paralelo (Figura 21).
Figura 21. Rotor de bomba de dupla sucção.
O rotor de dupla sucção apresenta a vantagem de proporcionar o equilíbrio dos empuxos
axiais, o que acarreta melhoria no rendimento da bomba. Elimina a necessidade de rolamento de
72
grandes dimensões para suportar a carga axial sobre o eixo. É muito usado nas bombas de
descargas médias.
c) Quanto ao Número de Rotores Dentro da Carcaça:
•
Bombas de Simples Estágio ou Unicelulares: contêm um único rotor dentro da carcaça.
Teoricamente, é possível projetar uma bomba com um único estágio para qualquer situação
de altura manométrica e de vazão. As dimensões excessivas e o baixo rendimento fazem
com que os fabricantes limitem a altura manométrica para 100m, embora existam alguns
que constroem bombas para alturas manométricas maiores que esse limite.
•
Bombas de Múltiplos Estágios ou Multicelulares: contêm dois ou mais rotores dentro da
carcaça. São o resultado da associação de rotores centrífugos ou radiais, em série, dentro
da carcaça (Figura 22).
Figura 22. Rotor de bomba de múltiplos estágios.
Essa associação permite a elevação do líquido a alturas maiores do que 100m.
d) Quanto ao Posicionamento do Eixo:
•
Bomba de Eixo Horizontal: é a concepção construtiva mais comum (Figura 23).
Figura 23. Bomba de eixo horizontal e sucção negativa.
73
•
Bomba de Eixo Vertical: é usada na extração de água de poços profundos (Figura 24).
Figura 24. Bomba de eixo vertical.
e) Quanto à Pressão Desenvolvida:
•
Bomba de baixa pressão: Hm ≤ 15 m.
•
Bomba de média pressão: 15 m < Hm < 50 m.
•
Bomba de alta pressão: Hm ≥ 50 m.
f) Quanto ao Tipo de Rotor:
Há três tipos de rotor: aberto, fechado e semifechado (Figura 25).
Figura 25. Tipos de rotor: (a) aberto, (b) fechado e (c) semifechado
•
Rotor aberto: usado para bombas de pequenas dimensões. É de pouca resistência
estrutural e baixo rendimento. Dificulta o entupimento, podendo ser usado para
bombeamento de líquidos sujos.
74
•
Rotor fechado: usado no bombeamento de líquidos limpos. Contém discos dianteiros com
as palhetas fixas em ambos. Evita a recirculação de água (retorno da água à boca de
sucção).
•
Rotor semifechado: contém apenas um disco, onde são afixadas as palhetas.
g) Quanto à Posição do Eixo da Bomba em Relação ao Nível da Água (N.A.):
(N.A.)
•
ão positiva: o eixo da bomba situa-se
se acima do N.A. do reservatório de
Bomba de sucção
sucção (Figura 26).
•
Bomba de sucção negativa ou afogada: o eixo da bomba situa-se
se abaixo do N.A. do
reservatório de sucção (Figura 23).
3.4
.4 Altura Manométrica da Instalação
3.4.1 Primeira
eira Expressão da Altura Manométrica (Hm)
É usada para o caso da bomba em funcionamento (bomba já instalada).
A equação de Bernoulli, aplicada nas seções de entrada (e) e de saída (s) da bomba
(Figura 26)) com referência em (e), fornece:
v e2
Ps v 2s
+
+ z +H = +
+z
γ 2g e m γ 2g s
Pe
Hm =
Ps − Pe
γ
+
(68)
v s2 − v e2
+ zs − ze
2g
(69)
Figura 26. Bomba de sucção positiva (instalação típica com manômetro à saída da bomba e vacuômetro à
entrada).
Pela Figura 26 tem-se:
75
Ps − Pe
γ
=
M− V
(70)
γ
Na equação 69, pode-se fazer
v s2 − v e2
≈ 0 (muito pequeno ou nulo) e
2g
(71)
z s − z e = y ≈ 0 (muito pequeno ou nulo).
(72)
Substituindo as equações 70, 71 e 72 na Equação 69, tem-se:
Hm =
M− V
γ
,
(73)
que permite calcular a altura manométrica da bomba já instalada.
Observação: Nas bombas de sucção positiva, como na Figura 26, a pressão no ponto (e) é
negativa; já no caso das bombas afogadas ou de sucção negativa, o valor da pressão pode ser
negativo ou positivo.
3.4.2 Segunda Expressão da Altura Manométrica (Hm)
A equação da energia aplicada entre os pontos (1) e (2) da Figura 26, fornece, com
referência em (1):
P1
γ
+
v12
P v2
+ z1 + Hm = 2 + 2 + z 2 + ht(1−2)
2g
γ 2g
Hm =
P2 − P1
γ
+
(74)
v 22 − v12
+ HG + ht(1−2)
2g
(75)
em que:
ht(1-2) = ht é a perda de carga total,
P2 − P1
γ
≅ 0 - reservatórios sujeitos à pressão atmosférica e
v 22 − v12 v 2
- perda da saída.
≈
2g
2g
(76)
(77)
Computando a equação 77 na perda de carga total (ht) e substituindo a equação 76 na
equação 75, tem-se:
76
Hm = HG + ht(1−2) ,
(78)
que permite calcular a altura manométrica da bomba a ser instalada.
3.5 Escolha da Bomba e Potência Necessária ao seu Funcionamento
Basicamente, a seleção de uma bomba para determinada situação é função da vazão a ser
recalcada (Q) e da altura manométrica da instalação (Hm).
3.5.1 Vazão a ser recalcada (Q)
A vazão a ser recalcada depende, essencialmente, de três elementos: consumo diário da
instalação, jornada de trabalho da bomba e número de bombas em funcionamento (bombas em
paralelo).
3.5.2 Altura Manométrica de Instalação (Hm)
O levantamento topográfico do perfil do terreno permite determinar o desnível geométrico
da instalação (HG), o comprimento das tubulações de sucção e de recalque e o número de peças
especiais dessas tubulações. Com os comprimentos das tubulações e o número de peças
especiais, a perda de carga é facilmente calculada pelo conhecimento dos diâmetros de sucção e
de recalque. A altura manométrica será calculada pela equação 78.
3.5.3 Cálculo dos Diâmetros de Sucção e de Recalque
a) Diâmetro de Recalque (DR):
•
Fórmula de Bresse: é recomendada para o funcionamento contínuo da bomba, ou seja, 24
horas/dia.
DR = K Q
(79)
em que:
DR em m e Q em m3/s; e
K = 0,8 a 1,3 (valor comum K = 1)
O valor de K está também relacionado com a velocidade, ou seja:
77
2
4Q
4 DR
v=
=
π DR2 π DR2 k 2
(80)
4 1
(m/s)
π k2
(81)
v=
•
Fórmula Recomendada pela ABNT: fórmula recomendada na NB – 92/66 pela Associação
Brasileira de Normas Técnicas; é indicada para o funcionamento intermitente ou nãocontínuo (menos de 24 horas/dia).
0,25
T
DR = 1,3  
 24 
Q
(82)
sendo:
DR em m e Q em m3/s; e
T = jornada de trabalho da instalação, h/dia.
b) Diâmetro de Sucção (Ds):
É o diâmetro comercial imediatamente superior ao diâmetro de recalque calculado conforme
as fórmulas 79 ou 82.
Observações importantes:
•
O correto é fazer um balanço econômico do custo da tubulação de recalque e do custo da
manutenção do sistema (Figura 27). A manutenção do sistema envolve gastos com energia
elétrica (ou combustível), lubrificantes, mão-de-obra etc.
Recomenda-se a análise de cinco diâmetros comerciais, sendo o intermediário calculado
pela equação 79, para K = 1.
•
Quando o diâmetro calculado pelas Equações 79 ou 82 não coincidir com um diâmetro
comercial, é procedimento usual admitir o diâmetro comercial imediatamente superior ao
calculado para a sucção e o imediatamente inferior ao calculado para o recalque.
78
Figura 27. Representação gráfica dos custos envolvidos em um sistema de bombeamento.
•
Além das fórmulas vistas para o cálculo dos diâmetros, pode-se
pode se adotar ainda o critério das
chamadas velocidades econômicas, cujos limites são:
i)
Na sucção: Vs < 1,5 m/s (no máx.
m
2,0 m/s)
ii) No recalque: VR < 2,5 m/s (no máx. 3,0 m/s)
Como valores médios, podem se adotar Vs = 1,0 m/s e VR = 2,0 m/s.
Os diâmetros são facilmente calculados pela equação da continuidade, já que se conhece a
vazão (Q = AV), ou seja:
DS =
4Q
e
π .v S
(83)
DR =
4Q
π .vR
(84)
3.5.4
.5.4 Potência Necessária ao Funcionamento da Bomba (Pot)
ncia absorvida pela bomba é calculada por:
A potência
Pot =
γ Q Hm
(cv) ou
75 η
(85)
79
Pot =
0,735 γ Q Hm
(kW)
75 η
(86)
sendo η o rendimento da bomba.
3.5.5 Potência Instalada ou Potência do Motor (N)
O motor que aciona a bomba deverá trabalhar sempre com uma folga, ou margem de
segurança, a qual evitará que ele venha, por razão qualquer, operar com sobrecarga. Portanto,
recomenda-se que a potência necessária ao funcionamento da bomba (Pot) seja acrescida de uma
folga, conforme especificação do Quadro 1 (para motores elétricos).
Quadro 1. Folga para motores elétricos
Potência exigida pela bomba
(Pot)
Margem de segurança recomendável
para motores elétricos
até 2 cv
de 2 a 5 cv
de 5 a 10 cv
de 10 a 20 cv
acima de 20 cv
50%
30%
20%
15%
10%
Para motores a óleo diesel, recomenda-se margem de segurança de 25% e à gasolina,
50%, independentemente da potência calculada.
Finalmente, para a determinação da potência instalada (N), deve-se observar que os
motores elétricos nacionais são fabricados com as seguintes potências comerciais em cv (Quadro
2):
Quadro 2. Potências comerciais para motores elétricos (cv)
1/4
3
20
60
1/3
5
25
100
1/2
6
30
125
3/4
7½
35
150
1
10
40
200
3.6 Peças Especiais numa Instalação Típica de Bomba
3.6.1 Na linha de sucção
a) Válvula de Pé e Crivo:
80
1½
12
45
250
2
15
50
300
Instalada na extremidade inferior da tubulação de sucção, a válvula de pé e crivo é
unidirecional, isto é, só permite a passagem do líquido no sentido ascendente. Com o desligamento
do motor de acionamento da bomba, esta válvula mantém a carcaça (corpo da bomba) e a
tubulação de sucção cheias de líquido recalcado, impedindo o seu retorno ao reservatório de
sucção ou captação. Nessas circunstâncias, diz-se que a válvula de pé e crivo mantém a bomba
escorvada (carcaça e tubulação de sucção cheias do líquido a ser bombeado). Outra finalidade
desta válvula é a de impedir a entrada de partículas sólidas ou de corpos estranhos como folhas,
galhos etc. A válvula deve estar mergulhada a uma altura mínima (h), (para evitar a formação de
vértices e a entrada de ar) dada pela equação:
h = 2,5 DS + 0,1 (h e DS em metros)
(87)
para evitar a formação de vértices e a entrada de ar.
b) Curva de 90o:
É imposta pelo traçado da linha de sucção.
c) Redução Excêntrica:
Liga o final da tubulação de sucção à entrada da bomba, de diâmetro geralmente menor.
Visa evitar a formação de bolsas de ar na entrada da bomba. O seu uso é aconselhável sempre
que a tubulação de sucção tiver diâmetro superior a 4” (100mm).
3.6.2 Na linha de recalque
a) Ampliação Concêntrica
Liga a saída da bomba de diâmetro geralmente menor à tubulação de recalque.
b) Válvula de Retenção
É unidirecional e instalada na saída da bomba, antes da válvula de gaveta.
Suas funções são:
i)
impedir que o peso da coluna de água de recalque seja sustentado pela bomba, o que
poderia desalinhá-la ou provocar vazamentos;
81
ii)
impedir que, com o defeito da válvula de pé e estando a saída da tubulação de recalque
afogada (no fundo do reservatório superior), haja
haja o refluxo do líquido, fazendo a bomba
funcionar como turbina, o que lhe provocaria danos; e
iii)
possibilitar, por meio de um dispositivo chamado by-pass,, a escorva da bomba.
d) Válvula de Gaveta
É instalada após a válvula de retenção.
Suas funções são:
i)
regular a vazão; e
ii)
permitir reparos na válvula de retenção.
Observação: A bomba centrífuga deve ser sempre ligada e desligada com a válvula de gaveta
fechada, devendo-se
se proceder de modo contrário nas bombas axiais.
Figura 28. Instalação típica de bomba.
82
3.7 Semelhança entre Bombas
3.7.1 Conceitos
a) Modelo:
Objeto de estudo. Pode ser reduzido, ampliado ou inalterado.
b) Protótipo:
Objeto nas suas dimensões reais. Pode constituir-se no próprio modelo. É o primeiro tipo.
c) Semelhança Geométrica:
Haverá semelhança geométrica entre duas bombas quando a relação entre suas dimensões
lineares homólogas for constante, ou seja (Figura 29):
d1 b2 d2
=
=
= cte
d'1 b'2 d'2
(88)
Figura 29. Semelhança geométrica entre modelo e protótipo.
A condição de semelhança geométrica implica igualdade entre os coeficientes
adimensionais de interesse, os quais independem do tamanho da máquina. Isso faz com que os
dados obtidos no modelo possam ser transportados para o protótipo, mediante a igualdade desses
coeficientes, tendo em visto que o rendimento deve ser o mesmo.
83
3.7.2 Funcionamento de Bombas Semelhantes
Sejam duas máquinas, 1 e 2, geometricamente semelhantes. Então, pela igualdade dos
seus coeficientes adimensionais, tem-se para um mesmo rendimento (η):
3
Q1 n1  D1 
a)
=
∴
=  
n1 D13 n2 D32 Q2 n2  D2 
Q1
Q2
(89)
Se o diâmetro for o mesmo (D1 = D2), tem-se:
Q1 n1
=
Q2 n2
b)
∆P1
ρ1 n D
2
1
2
1
(90)
=
∆P2
(91)
ρ2 n22 D22
Sendo ∆P = ρ g Hm , tem-se:
ρ1 g Hm
1
ρ1 n12 D12
=
ρ2 g Hm
2
ρ2 n22 D22
∴
Hm
1
Hm
2
n 
=  1 
 n2 
2
D 
 1 
 D2 
2
(92)
Se o diâmetro for o mesmo (D1 = D2), tem-se:
Hm
1
Hm
c)
2
n 
=  1 
 n2 
Pot1
ρ1 n13 D15
=
2
(93)
Pot 2
ρ2 n32 D52
3
Pot1 ρ1  n1 
∴
=  
Pot 2 ρ2  n2 
5
D 
 1 
 D2 
(94)
Para o mesmo fluido, ρ1 = ρ2.
Para a mesma máquina, D1 = D2, então:
3
Pot1  n1 
= 
Pot 2  n2 
(95)
84
3.7.3 Velocidade Específica ou Coeficiente de Rotação Unitária (ns)
É a rotação na qual a bomba-modelo deverá operar para elevar a vazão de 1 m3/s à altura
manométrica de 1 m, com o máximo rendimento.
A velocidade específica define a geometria ou o tipo de rotor da bomba (classifica as
bombas quanto à trajetória da partícula do fluido dentro do rotor).
Assim sendo:
Protótipo
Modelo
Qp = Q
Qm = 1 m3/s
Hp = Hm
Hm = 1 m
np = n
nm = ns
ηp = η
ηm = η
Utilizando as equações 89 e 92, têm-se:
3
Q1 n1  D1 
=   e
Q2 n2  D2 
Hm
1
Hm
2
n 
=  1 
 n2 
2
(96)
D 
 1  ,
 D2 
2
(97)
em que o índice 1 refere-se ao protótipo e o 2 ao modelo.
Substituindo os dados do protótipo e do modelo nas duas equações anteriores, obtêm-se:
3
Q n  D1 
=   e
1 ns  D2 
Hm  n 
= 
1  ns 
2
D 
 1 
 D2 
(98)
2
(99)
Elevando a equação 98 à potência 1/3 e a à ½, têm-se:
1
n3D
1
e
Q =  
 ns  D2
1
3
(100)
85
n D1
ns D2
H1m2 =
(101)
Dividindo membro a membro as equações 100 e 101, obtém-se:
Q
1
3
Hm
1
2
1/3 − 1
n
=  
 ns 
−2/3
n
 
 ns 
(102)
Elevando ambos os membros da equação anterior a -3/2, tem-se:
Q−1/2 n
=
Hm−3/4 ns
∴ ns = n
Hm−3/4
(103)
Q−1/2
ou
ns = n
Q1/2
n Q
∴ ns = 3/4
3/4
Hm
Hm
(104)
em que:
n = rpm;
Q = m3/s;
Hm = m.
Duas bombas geometricamente semelhantes contêm o mesmo ns, que é um coeficiente de
grande importância, por ser definido em função de grandezas físicas que constituem dados iniciais
de projeto (Q, Hm e n).
A classificação das bombas segundo o ns é feita de acorda com o Quadro 3.
Quadro 3. Classificação das bombas de acordo com ns.
Velocidade específica (ns )
10-70
70-120
120-200
Tipo de bomba
Radial ou centrífuga
Diagonal ou mista
Axial
Observação: a definição de ns é válida para uma bomba de simples sucção e unicelular (um
estágio). Para um número ni de sucções e um de estágios ne, a fórmula fica assim escrita:
86
ns =
n Q / ni
(105)
3/4
H 
 m 
 ne 
3.8
.8 Curvas Características das Bombas
Constituem-se numa relação entre a vazão recalcada, a altura manométrica, a potência
absorvida, o rendimento e, às vezes, a altura máxima de sucção.
Pode-se
se dizer que as curvas características constituem-se
constituem se no retrato de funcionamento das
bombas, nas mais diversas situações.
ações.
Essas curvas são obtidas nas bancadas de ensaio dos fabricantes. As mais comuns são:
i)
Hm = f(Q);
ii)
Pot = f(Q); e
iii)
η = f(Q).
O aspecto dessas curvas depende do tipo do rotor e, consequentemente, do ns, conforme
pode ser visto nas Figuras 30, 31 e 32.
32
3.8.1
.8.1 Caso de Bombas Centrífugas para n = cte
Figura 30. Aspecto das curvas características das bombas centrífugas.
87
Observação: o aspecto das curvas Hm = f(Q) e Pot = f(Q) refere-se apenas à região de rendimento
aceitável (η ≥ 40%).
3.8.2 Caso de Bombas Axiais para n = cte
Figura 31. Aspecto das curvas características das bombas axiais.
3.8.3 Caso de Bombas Diagonais ou Mistas para n = cte
Figura 32. Aspecto das curvas características das bombas diagonais.
88
3.8.4 Algumas conclusões tiradas das curvas características das Bombas Centrífugas e
Axiais
i)
O aspecto mais achatado das curvas de rendimento das bombas centrífugas mostra que
este tipo de bomba é mais adequado onde há necessidade de variar a vazão, que pode ser
variada sem afetar significativamente o rendimento da bomba.
ii)
A potência necessária ao funcionamento das bombas centrífugas cresce com o aumento da
vazão e decresce nas axiais; portanto, as bombas radiais devem ser ligadas com o registro
fechado, já que a potência necessária ao acionamento é mínima. O contrário ocorre com as
bombas axiais.
iii)
O crescimento da altura manométrica não causa sobrecarga no motor das bombas
centrífugas. Especial atenção deve ser dada quando a altura manométrica diminui (em se
tratando de bombas
mbas centrífugas), pois aumenta a vazão e, consequentemente, a potência
exigida para o funcionamento da bomba, o que poderá causar sobrecarga no motor:
É muito comum o erro de se multiplicar a altura manométrica calculada por um valor, por
exemplo 1,5, e com isso dimensionar um motor para trabalhar com “bastante folga”. No caso de
bombas centrífugas ou radiais (Figura 33), tem-se:
Figura 33. Consequência da diminuição de altura manométrica das bombas centrífugas.
Na Figura 33,, (0) representa a curva característica da bomba que deveria ter sido adotada e
(1), a curva característica da bomba adotada em razão do aumento da altura manométrica.
Os pontos de projeto que deveriam ter sido adotados são Q0, H0 e Pot.
Os pontos de projetos adotados foram Q0, H1 e Pot1, tendo sido o motor adquirido com a
potência Pot1.
Os pontos reais de funcionamento são Q1, H2 e Pot2.
Como Pot2 > Pot1, ocorre sobrecarga no motor.
89
A solução para corrigir o erro cometido é operar a válvula de gaveta até que Q1 seja igual a
Q0. Isto faz com que H2 tenda a H1 e Pot2 a Pot1, aliviando, desta forma, a sobrecarga no motor
iv)
O contrário do que foi discutido no item anterior ocorre no caso de bombas axiais.
3.9 Curvas Características do Sistema ou da Tubulação
3.9.1 Tubulação Única (Curva Típica)
A segunda expressão da altura manométrica fornece para reservatórios abertos:
Hm = HG + ht
(78)
Em que
ht = hf + ha
(106)
em que:
hf = perda de carga contínua; e
ha = perda de carga acidental.
As perdas de carga acidentais podem ser incluídas nas perdas de cargas distribuídas,
desde que se use o método dos comprimentos equivalentes. Então, com a equação de DarcyWeisbach:
ht = f
Le
D
16Q2
= KQ2
π 2 2g D4
(107)
em que:
Le = comprimento real da canalização mais o comprimento correspondente às peças
especiais ou tabeladas; e
K=
16 f Le
,
π 2 2g D5
(108)
sendo K uma característica do sistema ou da tubulação e o coeficiente de atrito.
90
Se o cálculo da perda de carga for realizado com a equação de Hazen-Willians, tem-se:
V = 0,355 C D0,63 J0,54 ou
4Q
= 0,355 C D0,63 J0,54
2
πD
(109)
de onde se obtêm:
1,852


4Q
J=

2,63
 0,355 π C D 
(110)
1,852


4Q
ht = J Le = Le 

2,63
 0,355 π C D 
(111)
1,852


4Q
ht = Le 

2,63
 0,355 π C D 
Q1,852 = K 'Q1,852
(112)
;e
(113)
em que:
1,852


4Q
K ' = Le 

2,63
 0,355 π C D 
C = coeficiente de Hazen-Willians.
Então:
Hm = hG + KQ2
(114)
utilizando a equação de Darcy-Weisbach, ou
Hm = Hg + K 'Q1,852
(115)
utilizando a equação de Hazen-Willians.
91
Quando representadas graficamente, as equações 114 e 115 têm o seguinte aspecto
(Figura 34).
Figura 34. Representação da curva característica da tubulação (curva típica).
3.10
.10 Estudo conjunto das curvas características da Bomba e do Sistema
Define-se
se o ponto de operação ou ponto de trabalho da bomba.
A Figura 35 mostra a curva característica da bomba associada à curva característica do
sistema.
A intersecção
ecção das duas curvas define o ponto de trabalho ou o ponto de operação da
bomba, ou seja: para a vazão de projeto da bomba, a altura manométrica desta é igual à exigida
pelo sistema.
Na Figura 35, P0 define o o ponto de trabalho da bomba, com a válvula de
d gaveta
totalmente aberta, e P1 o ponto de funcionamento, com a válvula de gaveta parcialmente aberta.
Figura 35. Associação da curva característica da bomba do sistema.
92
3.11 Variação das Curvas Características das Bombas
As curvas características das bombas podem variar:
i)
Com o tempo de uso;
ii)
Com a variação da rotação do rotor (para um mesmo diâmetro).
Observação: os recursos (i) e (ii) são muito utilizados na prática (diminuição no valor da rotação ou
do diâmetro), para evitar sobrecarga no motor.
iii)
Com a variação do diâmetro do rotor (para uma mesma rotação).
iv)
Com a variação do diâmetro do rotação do rotor ao mesmo tempo.
v)
Com a variação da forma do rotor: isto compete ao fabricante. Os rotores mais largos e com
pás mais retas fornecem curvas mais achatadas (Figura 36), podendo a vazão ser
modificada sem que seja alterada, significativamente, a altura manométrica. Os rotores mais
estreitos e com pás mais inclinadas fornecem curvas mais inclinadas (Figura 37), em que a
vazão é modificada às custas da grande variação na altura manométrica.
Figura 36. Rotores mais largos e com pás mais retas.
Figura 37. Rotores mais estreitos e com pás mais inclinadas.
93
3.12
.12 Variação da Rotação do Rotor (D = cte)
Neste caso, o diâmetro é mantido constante e o rendimento deve ser o mesmo para ambas
as rotações (a rotação conhecida e a rotação a ser calculada).
As equações utilizadas (mantendo-se
(mantendo se constantes o diâmetro e o rendimento) são:
Q1 n1
=
Q2 n2
Hm
1
Hm
2
n 
=  1 
 n2 
(90)
2
(93)
3
Pot1  n1 
= 
Pot 2  n2 
(95)
Essas fórmulas foram originadas da semelhança geométrica de bombas (veja item 3.7.2).
São recomendadas, na prática, para uma variação na rotação da ordem de 30 a 40% no máximo,
para que o rendimento seja considerado aproximadamente o mesmo.
A variação na rotação do rotor poderá ser conseguida:
i)
Quando variar a aceleração por meio de uma alavanca, no caso de motores à combustão
interna;
ii)
Com um variador mecânico de rotação entre o motor e a bomba, para o caso de motor
elétrico; e
iii)
Por meio de polias e correias.
No caso da variação na rotação por meio de polias e correias planas, o cálculo das polias
pode ser feito como na Figura 38.
38
Figura 38. Acoplamento motor-bomba,
motor bomba, por meio de polia e correia.
94
A velocidade periférica (V1) da polia da bomba pode ser calculada por:
V1 =
W1 d1
2
(116)
em que:
W 1 = velocidade angular da polia da bomba; e
d1 = diâmetro da polia da bomba.
A velocidade periférica (V2) da polia do motor é calculada por:
V2 =
W2 d2
2
(117)
em que:
W 2 = velocidade angular da polia do motor; e
d2 = diâmetro da polia do motor.
As velocidades angulares relacionam-se com as rotações de acordo com as equações:
W1 = 2 π n1 (rd/min),
(118)
sendo n1 a rotação da polia da bomba e
W2 = 2 π n2 (rd/min),
(119)
sendo n2 a rotação da polia do motor.
Já que V1 = V2, após substituir as equações 118 e 119 nas equações 116 e 117,
respectivamente, obtém-se:
n1 d1 = n2 d2
(120)
Como os pontos pertencentes às curvas de mesmo rendimento (curvas de isoeficiência)
obedecem às equações 90, 93 e 95, combinando as duas primeiras, tem-se:
Hm
1
Hm
2
Q 
=  1 
 Q2 
2
ou
Hm
1
Q12
=
Hm
2
Q22
= cte
(121)
95
A equação 121, chamada de parábola de isoeficiência, é usada para se obterem pontos
homólogos.
3.13 Variação do Diâmetro do Rotor (n = cte)
Operação que consiste na usinagem (raspagem) do rotor até um valor correspondente a
20%, no máximo, do diâmetro original, sem afetar sensivelmente o seu rendimento.
É mais indicada para bombas centrífugas, já que as faces do rotor são praticamente
paralelas. Não é recomendada para bombas diagonais ou axiais. A rotação é mantida constante.
As equações utilizadas, mantendo-se constantes a rotação e o rendimento, são:
2
Q1  D1 
= 
Q2  D 2 
(122)
segundo Louis Bergeron e outros (equação experimental).
Q1 D1
=
Q2 D2
(123)
segundo J. Karassik (equação experimental).
Hm
1
Hm
2
Q 
=  1 
 Q2 
2
∴
Hm
1
2
1
Q
=
Hm
Q
2
2
2
= cte
(121)
equação que permite traçar a parábola de isoeficiência e
3
Pot1  D1 
= 
Pot 2  D2 
(124)
equação experimental.
Observações:
a) O corte no rotor da bomba afasta a hipótese de semelhança geométrica entre o rotor
original e o usinado. Daí o fato de as expressões Q = f(D), Hm = f(D) e Pot = f(D) não terem
obedecido à lei de semelhança geométrica, como no item 3.7.2; elas foram obtidas
experimentalmente.
b) A fim de admitir que a vazão varia diretamente com o diâmetro, Stepanoff introduz a
seguinte correção (Quadro 4) para bombas centrífugas):
96
Quadro 4. Correção de Stepanoff para a equação de J. Karassik.
Relação Calculada
D1 = Q1
D2 Q 2
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
0,71
0,73
0,78
0,83
0,87
0,915
0,955
Relação Necessária
D1
D2
Se, por exemplo, D2 for igual a 200 mm e a relação calculada (D1/D2) igual 0,80, o Quadro 4
fornecerá, para a relação necessária:
D1
= 0,83 ∴ D1 = 166 mm (diâmetro do rotor usinado).
D2
3.14 Associação de Bombas
3.14.1 Introdução
Razões de naturezas diferentes diversas levam à necessidade de associar bombas. Dentre
elas, podem-se citar:
a) Inexistência, no mercado, de bombas que possam, isoladamente, atender à vazão de
demanda.
b) Inexistência, no mercado, de bombas que possam, isoladamente, atender à altura
manométrica de projeto.
c) Aumento da demanda com o decorrer do tempo.
As associações podem ser em paralelo, em série e mistas (série-paralelo).
As razões (a) e (c) requerem a associação em paralelo e a razão (b), sem série. As razões
(a), (b) e (c), em conjunto, requerem a associação mista.
3.14.2 Associação em Paralelo
Para a obtenção da curva característica das bombas associadas em paralelo, as vazões
somam-se para a mesma altura manométrica.
Essa associação é muito usada em abastecimento de água de cidades (sistema de
distribuição de água) e de indústrias.
97
Uma bomba de dupla sucção possui dois rotores em paralelo, em que vazões se somam
para a mesma altura manométrica (é um caso particular de associação em paralelo).
A interseção entre a curva característica da associação e a curva característica do sistema
indica o ponto de trabalho da associação em paralelo.
Seja o esquema de uma associação em paralelo (Figura 39).
Figura 39. Esquema de instalação de duas bombas associadas em paralelo.
As curvas características das bombas B1 e B2 estão apresentadas na Figura 40, bem como
a curva característica do sistema (Curva da tubulação) e da associação das bombas (1 + 2) em
paralelo.
Na Figura 40, P1 e P2 são os pontos de trabalho das bombas B1 e B2, funcionando
isoladamente, e P3, o ponto de trabalho da associação em paralelo.
A Figura 40 permite tirar as seguintes conclusões:
i)
Se as duas bombas funcionassem isoladamente, a vazão de cada uma seria Q1 e Q2 e a
vazão total Q1 + Q2, maior que a vazão Q da associação em paralelo Q1 + Q2 > Q (esta
diferença de vazão será tanto mais acentuada quanto mais inclinada for a curva do sistema
ou quanto mais achatadas forem as curvas características
características das bombas).
ii)
Na associação em paralelo, a vazão de cada bomba é obtida projetando-se,
projetando
horizontalmente, o ponto P3 até encontrar a curva característica de cada bomba, sendo a
vazão da bomba B1 igual a Q1’ e a vazão da bomba B2 igual a Q2’.
98
Figura 40.
40 Associação de duas bombas em paralelo.
iii)
Na situação de a curva característica coincidir com P4 ou ficar à sua esquerda, a bomba
(B1) não conseguirá atingir a altura manométrica da associação em paralelo. Sendo assim,
a bomba (B2) fornecerá toda a vazão. Nesse caso, não tem sentido a associação em
paralelo, pois ocorrerá um sobreaquecimento da bomba (B1), a qual não conseguirá atingir
a altura manométrica (situação perigosa).
3.14.3 Associação em Série
Para o traçado da curva característica das bombas associadas em série, as alturas
manométricas somam-se
se para uma mesma vazão.
Na Figura 41 é mostrado o esquema da instalação de duas bombas associadas em série e
na Figura 42 as curvas da associação em série.
99
Figura 41. Esquema da associação de duas bombas em série.
Figura 42. Curvas características da associação de duas bombas em série.
Nas bombas de múltiplos estágios, os rotores estão associados em série numa mesma
carcaça. Na associação em série, deve-se
deve se ter o cuidado de verificar se a flange
f
de sucção e a
carcaça a partir da segunda bomba suportam as pressão desenvolvidas.
100
As curvas características das bombas B1 e B2 estão apresentadas na Figura
F
42, assim
como a curva característica do sistema (Curva da tubulação) e da associação das bombas
bo
(1+2)
em série.
Na Figura 42,, P0 é o ponto de trabalho da bomba B1 funcionando isoladamente e P3, o
ponto de trabalho da associação em série.
Na associação em série, a altura manométrica de cada bomba é obtida projetando-se,
projetando
verticalmente, o ponto P3 até encontrar a curva característica de cada bomba. Assim, a altura
manométrica da bomba B2 (da associação) é Hm2’ e da bomba B1, Hm1’.
Observação: se a bomba B1 for desligada, a B2 não conseguirá vencer a altura manométrica (a
curva característica do sistema situa-se
situa
acima da curva da bomba B2) e haverá recirculação e
sobreaquecimento do líquido (situação perigosa).
3.15
.15 Rendimento Total ou Rendimento da Associação (ηt)
a) Para bombass em paralelo (Figura 43)
Figura 43. Associação de três bombas em paralelo.
101
O ponto P1 de funcionamento da bomba B1 na associação é Q1, H e η1 e a potência
solicitada pela bomba é:
Pot1 =
γ Q1 H
75 η1
(125)
O ponto P2 de funcionamento da bomba B2 na associação é Q2, H e η2 e a potência
solicitada pela bomba é:
Pot 2 =
γ Q2 H
75 η2
(126)
O ponto P3 de funcionamento da bomba B3 na associação é Q3, H e η3 e a potência
solicitada pela bomba é:
Pot 3 =
γ Q3 H
75 η3
(127)
O ponto P de funcionamento da associação das três bombas em paralelo é Q, H, ηt, sendo
a potência solicitada calculada por:
Pot =
γ QH
75 ηt
(128)
Como:
Q = Q1 + Q2 + Q3
(129)
Pot = Pot1 + Pot2 + Pot3
(130)
e
tem-se, substituindo as equações 125, 126, 127, 128 e 129 na equação 130,
γ Q1 H γ Q2 H γ Q3 H γ (Q1 + Q2 + Q3 ) H
+
+
=
75 η1 75 η2
75 η3
75 ηt
(131)
que se simplifica em:
Q1
η1
+
Q2
η2
+
Q3
η3
=
Q1 + Q2 + Q3
(132)
ηt
Para um número (n) qualquer de bombas associadas em paralelo, pode-se escrever:
102
n
n
∑
i=1
Qi
ηi
=
∑ Qi
i=1
(133)
ηt
b) Para bombas em série
Considere-se
se a associação de duas bombas
bombas em série, conforme a Figura 44.
44
Figura 44. Associação de duas bombas em série.
O ponto P1 de funcionamento da bomba B1 na associação é Q, H1, η1, sendo a potência da
bomba calculada por:
Pot1 =
γ Q H1
75 η1
(134)
103
O ponto P2 de funcionamento da bomba B2 na associação é Q, H2, η2, sendo a potência
solicitada por essa bomba dada por:
Pot 2 =
γ Q H2
75 η2
(135)
O ponto P de funcionamento da associação das duas bombas em série é Q, H, ηt, sendo a
potência solicitada calculada por:
Pot =
γ QH
75 ηt
(136)
Já que:
H = H1 + H2
(137)
Pot = Pot1 + Pot2
(138)
e
tem-se, substituindo as equações 134, 135, 136 e 137 na equação 138:
γ Q1 H1 γ Q2 H2 γ Q (H1 + H2 )
+
=
75 η1
75 η2
75 ηt
(139)
que se simplifica em
H1 H2 H1 + H2
+
=
η1
η2
(140)
ηt
Generalizando, para um número (n) qualquer das bombas associadas em série, tem-se:
n
n
∑
i=1
Hi
ηi
=
∑ Hi
i=1
(141)
ηt
3.16 Cavitação – Altura de Instalação da Bomba
3.16.1 Introdução
A cavitação é o fenômeno observável somente em líquidos, não correndo sob quaisquer
condições normais em sólidos ou gases.
Pode-se, comparativamente, associar a cavitação à ebulição em um líquido.
104
Na ebulição, um líquido “ferve” quando a sua temperatura aumenta,
aumenta, com a pressão sendo
mantida constante. Sob condições normais de pressão (760 mmHg), a água ferve a 100oC.
Na cavitação, um líquido “ferve” quando a sua pressão diminui, com a temperatura sendo
mantida constante. À temperatura de 20oC a água “ferve” à pressão absoluta de 0,24 m.c.a. ou
17,4 mmHg. A pressão com que o líquido começa a “ferver” chama-se
chama se pressão de vapor ou tensão
de vapor. A tensão de vapor é função da temperatura (diminui com a diminuição da temperatura).
Ao atingir a pressão de vapor,
vapor, o líquido libera bolhas de ar (bolhas de ar), dentro das quais
se vaporiza.
Observação: A palavra “ferver” está associada à liberação de bolhas de vapor d’água.
3.16.2 Pressão de Vapor
Pressão de vapor de um líquido (ou tensão de vapor), a dada temperatura, é aquela na qual
o líquido coexiste nas duas fases: líquida e vapor.
Na Figura 45 é mostrada a curva da pressão de vapor.
Para uma mesma temperatura (por exemplo To), se a pressão (p), à qual o líquido estiver
submetido, for maior que a pressão
são do vapor do líquido (pV), haverá somente fase líquida. Em caso
contrário (p < pV), haverá somente a fase de vapor. Quando p for igual a pV, ocorrerão as fases
líquida e de vapor.
Figura 45. Curva de pressão de vapor.
A pressão de vapor é tabelada em função da temperatura, em termos absolutos.
3.16.3
.16.3 Ocorrência da Cavitação
Uma pressão absoluta na entrada da bomba, menor ou igual à pressão de vapor no líquido,
na temperatura em que este se concentra, poderá ocasionar os seguintes efeitos:
105
a) se a pressão
ressão absoluta do líquido na entrada da bomba for menor ou igual à pressão de
vapor e se estender a toda a seção do escoamento, poderá formar uma bolha de vapor
capaz de interromper o escoamento;
b) se esta pressão for localizada a alguns pontos da entrada da
da bomba, as bolhas de vapor
liberadas serão levadas, pelo escoamento, para regiões de altas pressões (região de saída
do rotor). Por ser a pressão externa maior que a pressão interna, ocorre a implosão das
bolhas (colapso das bolhas), responsável pelos seguintes
seguintes efeitos distintos da cavitação
(ocorrem simultaneamente esses efeitos):
•
químico – com as implosões das bolhas são liberados íons livres de oxigênio que atacam as
superfícies metálicas (corrosão química dessas superfícies);
•
mecânico – quando a bolha atingir a região de alta pressão seu diâmetro será reduzido
(inicia-se
se o processo de condensação da bolha), sendo a água circundante acelerada no
sentido centrípeto. Com o desaparecimento da bolha (condensação da bolha), as partículas
de água aceleradas chocam
ocam-se,
se, cortando umas o fluxo das outras. Isso provoca o chamado
golpe de aríete e, com ele, uma sobrepressão que se propaga em sentido contrário,
golpeando com violência as paredes mais próximas do rotor e da carcaça, danificando-as
danificando
(Figura 46).
Figura 46.
46 Efeito mecânico da cavitação em bombas.
106
3.16.4
.16.4 Altura Máxima de Sucção das Bombas
Para que uma bomba trabalhe sem cavitar, torna-se
torna se necessário que a pressão absoluta do
líquido na entrada da bomba seja superior à pressão de vapor, à temperatura de escoamento do
líquido.
Considerando-se
se a Figura 47 e aplicando a equação da energia entre as seções (o) e (1),
com referência em (o),
Po
γ
+
v o2
P v2
+ z o = 1 + 1 + z1 + ht(o−1)
2g
γ 2g
(142)
Figura 47. Destaque para a altura de sucção.
Como a pressão efetiva Po/γ é igual a zero (reservatório de captação aberto), tem-se,
tem
somando Patm/γ a ambos os membros da equação 142:
Patm
γ
+
v o2
Pab v 2
+ o = 1 + 1 + Hs + ht(o−1)
2g
γ 2g
(142a)
em que:
Patm = pressão atmosférica; e
P1ab = pressão absoluta à entrada da bomba.
Explicitando Hs na equação 142a, chega-se a:
Hs =
Patm − P1ab
γ
+
v o2 − v12
− ht(o−1)
2g
(143)
107
Se possível desprezar as perdas de carga e a variação da energia cinética, a equação
poderia ser escrita como:
Hs =
Patm − P1ab
(144)
γ
Para as condições ideais de temperatura e pressão, tem-se:
Patm = 1 atm = 10,33 m.c.a. = 10330 kgf/m2 (nível do mar)
P1ab = 0 (vácuo perfeito)
γ = 1000 kgf/m3 (peso específica da água a 4 oC)
Levando esses valores à equação 144, tem-se:
Hs =
10330 − 0
= 10,33 m.c.a. (valor teórico)
1000
Essa seria a altura de sucção máxima (teórica) com que poderia ser instalada uma bomba
comum (bomba sem dispositivos especiais que permitem elevar o valor de Hs).
Na prática, não são desprezíveis as perdas de carga (e, às vezes, a variação de energia
cinética), P1ab ≥ PV, Patm < 1 atm e T > 4 oC. Tudo isso faz com que a Hs seja menor do que o valor
teórico, podendo-se adotar (na prática) Hs ≤ 5 m para instalações usuais. Para a situação em que a
temperatura do líquido é alta (caso de caldeiras, por exemplo) e a altitude é elevada (o que implica
em pressão atmosférica baixa), o valor de Hs pode chegar a valores negativos, significando que a
bomba deve trabalhar afogada.
Retomando a equação 143, pode-se escrever, fazendo P1ab = PV (pressão do vapor), em
que Hs = Hsmáx:
Hsmáx ≤
Patm − PV
γ
+
v o2 − v12
− ht(o−1)
2g
(145)
Nota-se, por esta equação, que PV, v1 e ht agem desfavoravelmente quanto à altura de
sucção, ou seja: quanto maiores, menor deverá ser a altura de sucção. Os valores de v1 e ht
poderão ser reduzidos, utilizando-se tubulações de sucção com diâmetros grandes (maior do que o
diâmetro de recalque). O valor de PV poderá ser reduzido, operando-se com líquidos a baixa
temperatura.
108
Na equação 145, Patm e PV são tabelados conforme Tabela 1H do Apêndice 1. Na falta de
tabela, a pressão atmosférica poderá ser calculada por:
Patm
γ
= 10,33 − 0,0012 A
(146)
sendo A a altitude em metros.
Na equação 145 levou-se em conta apenas a perda de carga (ht) existente até a entrada da
bomba. Considerando que as bolsas de vapor serão levadas para a saída do rotor, deve-se
adicionar à referida equação a perda de carga ∆H*, que leva em conta a perda entre a entrada da
bomba e a saída do rotor (porque é na saída que ocorre o colapso das bolhas). Essa perda, ∆H*,
não é calculada pelas equações usuais de perda de carga.
Sendo assim, a equação 145 pode ser reescrita da seguinte forma:
Hsmáx ≤
Patm − PV
γ
+
v o2 − v12
− h1 − ∆H *
2g
(147)
O termo ∆H* tem capital importância no cálculo de Hsmáx. Juntamente com
v12
, constitui as
2g
grandezas relacionadas com a bomba.
A experiência revela que
∆H* = σ Hm
(148)
em que:
σ = coeficiente de cavitação da bomba ou coeficiente de Thoma, adimensional.
O coeficiente de Thoma é uma medida da sensibilidade da bomba à cavitação (quanto
maior σ, maior a tendência de a bomba cavitar).
Segundo Stepanoff, nas proximidades do ponto de rendimento máximo da bomba tem-se:
σ = 1,2x10−3 3 ns4
(149)
Por terem maior ns, as bombas axiais são mais sujeitas à cavitação (ns está definido na
equação 104).
109
3.16.5 NPSH disponível na instalação e NPSH requerido pela bomba
O NPSH (net positive suction head) é uma sigla americana, para a qual não se conseguiu
tradução satisfatória para o português. Tentou-se traduzi-la para APLS (altura positiva líquida de
sucção), ficando sem o devido sentido físico. Continua, portanto, sendo conhecida tecnicamente
como NPSH, ou seja, a altura que limita a altura de sucção da bomba.
Retomando a equação:
Hsmáx ≤
Patm − PV
γ
+
v o2 − v12
− h1 − ∆H *
2g
(147)
e separando, para o primeiro membro, as grandezas que dependem das condições locais da
instalação (condições ambientais), e, para o segundo, as grandezas relacionadas com a bomba,
tem-se, desprezando
Hsmáx −
Patm
γ
+
v 2o
(por ser muito pequeno):
2g
PV
γ
+ ht ≤ −∆H * −
v12
∴
2g
(150)

Patm 
v2
P
− Hsmáx + V + ht  ≥ ∆H * + 1
γ 
γ
2g

(151)

Patm 
P
− Hsmáx + V + ht  = NPSHd
γ 
γ

(152)
v12
∆H * +
= NPSHr
2g
(153)
sendo
O NPSH disponível na instalação da bomba (NPSHd) é uma preocupação do técnico de
campo. O NPSH requerido pela bomba (NPSHr) poderá ser fornecido pelo fabricante ou calculado
com o auxílio das equações 148 e 149.
Para que a bomba trabalhe sem cavitar, deve ser atendida a condição:
NPSHd ≥ NPSHr
(154)
O NPSHr e o NPSHd podem ser representados graficamente, conforme a Figura 48.
110
Figura 48. Representação gráfica do NPSHr e NPSHd.
Como é mostrado na Figura 48,, a bomba poderá operar até a vazão Q1, sem que ocorra o
perigo da cavitação. Na prática, deve-se
deve se trabalhar com uma vazão de projeto Q2 < Q1, em que
NPSHd > NPSHr.
Observações:
•
Em lugar da curva (Q, NPSHr), alguns fabricantes apresentam a curva (Q, Hsmáx)
para bombas operando com água fria ao nível do mar, devendo-se
devendo
corrigi-la em
condições diferentes;
•
v12
é uma parcela de energia responsável pela entrada do líquido na bomba, daí
2g
fazer parte do NPSHr;
•
O sinal (-)) deverá ser usado para Hsmáx na equação, quando a bomba estiver
afogada.
•
Na prática, o NPSHd deverá ser maior que o NPSHr em pelo menos 15% (
NPSHd ≥ 1,15 NPS
SHr ).
•
Para duas ou mais bombas operando em paralelo, devem-se
devem
tomar cuidados
especiais no funcionamento de uma só bomba, pois neste caso a vazão cresce,
crescendo também a potência exigida pela bomba e o NPSHr. No ponto onde a
bomba opera isoladamente, precisa ser verificado se o NPSHd > NPSHr, evitando,
assim, a ocorrência da cavitação. Além disso, o motor selecionado deve ter
capacidade suficiente para atender a esse ponto de funcionamento.
funcionament
•
Quando maior o NPSHr, maior a tendência da bomba à cavitação; por esta razão,
devem-se
se selecionar bombas com valores de NPSHr pequenos.
111
3.16.6 Medidas destinadas a dificultar o aparecimento da cavitação pelo usuário
a) Trabalhar sempre com líquidos frios (menor temperatura, menor PV).
b) Tornar a linha de sucção o mais curta e reta possível (diminui a perda de carga).
c) Selecionar o diâmetro da tubulação de sucção, de modo que a velocidade não
ultrapasse 2 m/s.
d) Usar redução excêntrica à entrada da bomba (evita a formação de bolsas de ar).
Instalar a válvula de pé, tomando-se o cuidado de evitar a sucção de ar.
112
UNIDADE 4 – ESCOAMENTO EM CANAIS SOB REGIME PERMANENTE E
UNIFORME
4.1 Conceito
Canais são condutos no qual a água escoa apresentando superfície sujeita à pressão
atmosférica.
4.2 Elementos geométricos da seção do canal
4.2.1 Seção transversal
4.2.1.1 Profundidade de escoamento (y): é a distância vertical entre o ponto mais baixo da seção
e a superfície livre. No regime de escoamento uniforme, y = yn (profundidade normal) e no regime
de escoamento crítico, y = yc (profundidade crítica).
4.2.1.2 Seção molhada (A): é toda seção perpendicular molhada pela água.
4.2.1.3 Perímetro molhado (P): é o comprimento da linha de contorno molhada pela água.
4.2.1.4 Raio hidráulico (R): é a relação entre a área molhada e o perímetro molhado.
4.2.1.5 Profundidade média ou profundidade hidráulica (ym): é a relação entre a área molhada
(A) e a largura da superfície líquida (B).
4.2.1.6 Talude (z): é a tangente do ângulo (α) de inclinação das paredes do canal.
Na Figura 49 são apresentados os elementos geométricos da seção transversal dos canais.
Figura 49. Elementos geométricos da seção transversal dos canais.
113
4.2.2 Seção longitudinal
4.2.2.1 Declividade de fundo (I): é a tangente do ângulo de inclinação do fundo do canal (I = tgθ).
4.2.2.2 Declividade de superfície (J): é a tangente do ângulo de inclinação da superfície livre da
água (J = tgλ).
Na Figura 50 são apresentados os elementos geométricos da seção longitudinal dos canais.
Figura 50. Elementos geométricos da seção longitudinal dos canais.
4.3 Classificação dos escoamentos
4.3.1 Em relação ao tempo (t)
a. Permanente ou estacionário: quando grandezas físicas de interesse como velocidade
(V), pressão (p) e massa específica (ρ) permanecem constantes com decorrer do tempo (t) num
determinado ponto do escoamento, ou seja:
∂V
=0
∂t
;
∂p
=0
∂t
;
∂ρ
=0
∂t
b. Não Permanente ou transitório: quando grandezas físicas de interesse (V, p e ρ),
variarem com decorrer do tempo (t) num determinado ponto do escoamento, ou seja:
∂V
≠0
∂t
;
∂p
≠0
∂t
114
;
∂ρ
≠0
∂t
4.3.2 Em relação ao espaço (L), para um mesmo tempo (t)
a. Uniforme: quando a velocidade média for constante em qualquer ponto ao longo do
escoamento, para um determinado tempo, ou seja:
∂V
=0
∂L
b. Não Uniforme ou variado: quando a velocidade média variar em qualquer ponto ao
longo do escoamento, para um determinado tempo, ou seja:
dV
≠0
dL
A Figura 50 é um exemplo de escoamento não uniforme.
4.3.3 Em relação ao número de Froude (Fr)
O número de Froude (Fr) expressa à raiz quadrada da relação existente entre as forças de
inércia e de gravidade, podendo ser escrito como:
Fr =
V
(adimensional)
gy m
sendo:
V - a velocidade média de escoamento.
a. Regime de escoamento crítico: ocorre para Fr = 1. Nesse caso a profundidade de
escoamento (y) é igual à profundidade crítica (yc), ou seja y = yc, podendo-se dizer que o
escoamento ocorre em regime uniforme crítico. Pode-se afirmar também que V = Vc e I = Ic, sendo
Vc a velocidade crítica e yc a profundidade crítica.
b. Regime de escoamento supercrítico ou torrencial ou rápido (T): ocorre para Fr > 1 e
a profundidade do escoamento (y) é menor que a profundidade crítica (yc), ou seja: y < yc, sendo V
> Vc e I > Ic.
115
c. Regime de escoamento fluvial ou subcrítico ou lento ou tranquilo (F): ocorre para Fr
< 1 e y > yc, sendo V < Vc e I < Ic.
Na Figura 51 estão apresentados os regimes de escoamento em relação ao número de
Froude, sendo SC a Seção de Controle.
Figura 51. Seções de controle em um perfil de linha d’água.
Fonte: Baptista e Lara (2003)
A passagem do regime supercrítico a subcrítico é verificada em mudanças de declividades e
em saídas de comportas, por exemplo. Em geral essa passagem não é feita de modo gradual. Com
efeito, observa-se uma situação de ocorrência de fenômeno bastante importante em Engenharia
Hidráulica, o Ressalto Hidráulico, que corresponde a um escoamento bruscamente variado,
caracterizado por uma grande turbulência e uma acentuada dissipação de energia.
A condição de profundidade crítica implica em uma relação unívoca entre os níveis
energéticos, a profundidade, a velocidade e a vazão, criando assim uma Seção de Controle, na
qual são válidas as equações vistas no item anterior.
Em termos gerais, o nome Seção de Controle é aplicado a toda seção para a qual se
conhece a profundidade de escoamento, condicionada pela ocorrência do regime crítico ou por
uma estrutura hidráulica, ou uma determinada condição natural ou artificial qualquer, que de
alguma forma controla o escoamento. Assim, as seções de controle podem ser divididas em três
tipos distintos: “controle crítico”, “controle artificial” e “controle de canal”.
O controle crítico é aquele associado à ocorrência da profundidade crítica, separando,
portanto, um trecho de escoamento supercrítico de outro de escoamento subcrítico. Em geral
ocorre na passagem do escoamento subcrítico a supercrítico, como na crista de vertedor de
barragem, por exemplo. A passagem do escoamento supercrítico para o escoamento subcrítico
ocorre através do ressalto, não sendo possível definir-se a seção de ocorrência do regime crítico,
ou seja, a seção de controle.
116
O controle artificial ocorre sempre associado a uma situação na qual a profundidade do
fluxo é condicionada por uma situação distinta da ocorrência do regime crítico, seja através de um
dispositivo artificial de controle de vazão ou através do nível d’água de um corpo de água. Assim, a
ocorrência de um controle artificial pode ser associada ao nível de um reservatório, um curso
d’água, ou uma estrutura hidráulica, como uma comporta, por exemplo.
O controle de canal ocorre quando a profundidade de escoamento é determinada pelas
características de atrito ao longo do canal, ou seja, quando houver a ocorrência do escoamento
uniforme.
As seções de controle desempenham papel extremamente importante na análise e nos
cálculos hidráulicos para determinação do perfil do nível d’água. Esta importância é devida tanto ao
fato de conhecermos a profundidade de escoamento na seção como também pela sua implicação
com o regime de escoamento, condicionando as características do fluxo. De fato, as seções de
controle constituem-se nos pontos de início para o cálculo e o traçado dos perfis de linha d’água.
De um ponto de vista prático pode ser citado que os conceitos relativos às seções de
controle permitem a adequada definição da relação “nível d’água (cota)/vazão”. Assim, para efetuar
medidas de vazões em cursos d’água, busca-se identificar seções de controle e, a partir das
equações do regime crítico, pode-se avaliar a vazão diretamente a partir da geometria,
prescindindo da determinação da velocidade de escoamento.
4.3.4 Exemplos de regime de escoamento
a. Água escoando por um canal longo, de seção constante com carga constante: o
escoamento é classificado como permanente e uniforme;
b. Água escoando por um canal de seção molhada constante, com carga crescente ou
decrescente: o escoamento é classificado como não permanente e uniforme;
c. Água escoando por um canal de seção crescente com carga constante: o escoamento é
classificado como permanente e não uniforme; e
d. Água escoando através de um canal de mesma seção reta, com seção molhada
constante, mesma declividade de fundo e mesma rugosidade das paredes: o escoamento é
classificado como permanente e uniforme. Canais com estas características são chamados de
canais prismáticos.
117
4.4 Escoamento em regime fluvial permanente e uniforme
Do ponto de vista cinemático duas condições devem ser satisfeitas:
∂V
=0
∂t
∂V
=0
∂L
e
Este tipo de escoamento só ocorre em canais prismáticos de grande comprimento, ou
seja, para aqueles canais que apresentam a mesma seção transversal (com as mesmas
dimensões), a mesma declividade de fundo ao longo de seu comprimento, além da mesma
rugosidade das paredes. Nesse caso a superfície da água, a linha de energia e o fundo do canal
apresentam a mesma declividade (I = J).
Quando a declividade (I) é forte (I > Ic) o escoamento permanente uniforme supercrítico só
é atingido após passar por um trecho denominado zona de transição (onde o escoamento é não
uniforme ou variado), cujo comprimento dependerá principalmente das resistências oferecidas ao
escoamento (Figura 52).
Figura 52. Perfil longitudinal para um escoamento supercrítico (yn < yc).
Quando a declividade (I) é fraca, o escoamento permanente uniforme subcrítico é atingido
logo após a seção A do escoamento (Figura 53). Havendo queda na extremidade final do canal, o
escoamento deixa de ser uniforme passando a não uniforme ou variado.
Para os casos em que a declividade (I) é crítica, o escoamento se realiza em regime
permanente uniforme crítico em toda a sua extensão (Figura 54). Essa situação é instável e
dificilmente ocorre em canais prismáticos. Pode ocorrer em trechos ou seções dos canais
projetados especificamente para determinados fins como a medição de vazão, por exemplo. Na
Figura 53 pode-se observar a ocorrência do regime crítico nas seções (A) e (B) onde y = yc.
118
Figura 53. Perfil longitudinal para um escoamento subcrítico (yn > yc).
Figura 54. Perfil longitudinal para um escoamento crítico (yn = yc).
Pela ação da gravidade, nos canais de declividade fraca (Figura 53), a velocidade cresce a
partir da seção (A) para jusante e cresceria indefinidamente na ausência do atrito entre o fundo e
as paredes do canal com o líquido. O atrito, entretanto, dá origem à força de atrito ou tangencial
que se opõe ao escoamento; essa forca é proporcional ao quadrado da velocidade. É de se
esperar, portanto que a velocidade ao atingir certo valor, estabeleça um equilíbrio entre as forças
de atrito e a gravitacional; daí para frente, o escoamento é dito uniforme.
Havendo uma queda, uma mudança de seção, uma mudança de declividade (o que
provoca uma variação na velocidade) o escoamento deixa novamente de ser uniforme, passando a
não uniforme.
O estudo apresentado daqui pra frente refere-se a casos de canais operando em regime
fluvial permanente e uniforme.
119
4.5 Equações utilizadas no dimensionamento de canais operando em regime
permanente e uniforme
a) Equação de Chézy
V = C RI
(155)
em que:
C – coeficiente de Chézy, e pode ser calculado pelas equações apresentadas em (b) e (c), a
seguir:
b) Equação de Bazin
C=
87 R
(156)
γ+ R
em que: γ - coeficiente de Bazin, pode ser obtido da Tabela 3A (Apêndice 3).
c) Equação de Manning
C=
(157)
R1 / 6
n
em que: n - coeficiente de Manning, pode ser obtido da Tabela 3B (Apêndice 3).
Substituindo-se a equação 157 na equação 155, a velocidade se escreve como:
V=
(158)
1 2 / 3 1/ 2
R I
n
Para a vazão, a equação de Manning se escreve como:
Q = AV =
(159)
A 2 / 3 1/ 2
R I
n
120
Os coeficientes C, n e γ são grandezas dimensionais, dependendo os seus valores
numéricos do sistema de unidades adotado. As equações apresentadas anteriormente são válidas
para o sistema MKgfS, ou SI (MKS) sendo: Q em m3s-1, V em ms-1, R em m; A em m2 e I em mm-1.
4.5.1 Equações para o cálculo das seções transversais usuais
Na Tabela 2 estão apresentadas as equações para o cálculo das seções transversais
usuais de canais. Ressalta-se que todas as equações estão deduzidas no Apêndice 2.
Tabela 2. Equações para canais de seção transversal usual
Seção
Área
molhada (A)
Perímetro
molhado (P)
2
y n (b + zy n ) b + 2 y n z + 1
zy n
2
by n
D2
8
2 yn z 2 + 1
b + 2 yn
(θ - senθ )
θD
θ =rd
θ =rd
πD 2
πD
8
2
2
Raio
hidráulico
(R)
Largura da
superfície
(B)
Profundidade
média (ym)
A
P
b + 2 zy n
A
B
2 zy n
yn
2
b
yn
zy n
2 z +1
2
A
P
θ =rd
121


D sen
θ

2
θ =rd
D yn
=
4
2
D = 2 yn
D  θ − senθ 
8  sen θ 
2 

θ =rd
πD
8
Ainda para o canal circular:
yn =
D
θ
1 − cos 
2
2

θ = 2 arccos1 − 2

(160)
(161)
yn 

D
4.5.2 Seções de máxima eficiência
Analisando a equação:
Q=
A
n
R 2 / 3I1/ 2
Uma maior vazão (Q) poderá ser conseguida:
a. Aumentando-se a área (A), o que implica em maiores custos;
b. Aumentando-se a declividade de fundo (I), o que implica em perigo de erosão além de
perda de altura, para terrenos com baixa declividade; e
c. Diminuindo-se a rugosidade (n), o que implica em paredes e fundo do canal revestidos,
aumentando os custos.
A solução viável é o aumento do raio hidráulico (R) mantendo-se as outras grandezas
constantes, ou seja: para uma mesma área, uma mesma declividade de fundo e a mesma
rugosidade (n), uma maior vazão é conseguida com um aumento do raio hidráulico (R). Como R =
A/P, e já que A deverá ser mantida constante, o perímetro molhado deverá ser diminuído. Quando
o perímetro molhado for mínimo, R será máximo e Q também.
Na Tabela 3 estão apresentadas equações a serem utilizadas no dimensionamento de
canais de seções de máxima eficiência. Cabe ressaltar novamente que as equações aqui
apresentadas estão deduzidas no Apêndice 2.
122
Tabela 3. Equações para canais de máxima vazão também chamados de: canais de mínimo perímetro molhado, canais de seção econômica, canais de máxima
eficiência, canais de mínimo custo.
Seção
Área molhada
(A)
(
yn 2 1 + z − z
2
2
2 yn
yn
2
2
Raio
hidráulico
(R)
Perímetro
molhado (P)
)
(
2 yn 2 1 + z − z
2
4 yn
2 2 yn
α =45°
123
)
yn
2
yn
2
yn
2 2
Largura
superficial
(B)
2 yn 1 + z
2
Profundidade
média (ym)
(
yn 2 1 + z 2 − z
2 1+ z
2 yn
yn
2 yn
yn
2
2
Largura de
fundo (b)
)
(
2 yn 1 + z 2 − z
2 yn
b=0
)
4.6 Velocidades médias (V) aconselháveis e inclinações admissíveis para os taludes
dos canais
No dimensionamento dos canais, devemos levar em consideração certas limitações
impostas pela qualidade da água transportada e pela natureza das paredes e do fundo do canal.
Assim, a velocidade média V do escoamento deve enquadrar-se em certo intervalo:
Vmín < V < Vmáx.
Determina-se à velocidade mínima (Vmín) permissível tendo em vista o material sólido em
suspensão transportado pela água. É definida como sendo a velocidade abaixo da qual o material
sólido contido na água decanta, produzindo assoreamento no leito do canal.
A velocidade máxima (Vmáx) permissível é determinada tendo em vista a natureza das
paredes do canal. É definida como sendo a velocidade acima da qual ocorre erosão das paredes e
do fundo do canal.
O controle da velocidade, no dimensionamento das seções dos canais, pode ser feito
atuando:
a) na declividade de fundo (para evitar grandes velocidades); e
b) nas dimensões da seção transversal ou na sua forma (para evitar pequenas velocidades).
Assim, por exemplo, podem-se evitar velocidades excessivas, fazendo variar a declividade
de fundo com a formação de degraus (Figura 55a) ou construção de muros de fixação do fundo
(Figura 55b).
(a)
(b)
Figura 55. Variação da declividade com a formação de degraus (a) e muros de fixação do fundo (b).
A necessidade de evitar pequenas velocidades ocorre, geralmente, em canais com grande
descarga sólida (caso dos coletores de esgotos sanitários) ou em canais submetidos a grandes
variações de vazões (caso dos canais de retificação dos cursos de água naturais).
No caso de canais submetidos a grandes variações de vazão no decorrer do ano, a seção
do canal deve ser dimensionada para suportar a vazão de cheia ou vazão de enchente. Nos
períodos de seca a velocidade pode se tornar inferior à mínima permitida. Consegue-se contornar
124
este inconveniente adotando formas de seção especiais (seções compostas) como às indicadas na
Figura 56.
(a)
(b)
(c)
Figura 56. Seções transversais compostas para canais com grandes variações de vazão.
Na Tabela 4 a seguir são apresentados os limites aconselháveis para a velocidade média
nos canais, transportando água limpa.
Tabela 4. Velocidades média e máxima recomendada para canais em função a natureza das paredes.
Velocidade (ms-1)
Média Máxima
Areia muito fina
0,23
0,30
Areia solta-média
0,30
0,46
Areia grossa
0,46
0,61
Terreno arenoso comum
0,61
0,76
Terreno silt-argiloso
0,76
0,84
Terreno de aluvião
0,84
0,91
Terreno argiloso compacto
0,91
1,14
Terreno argiloso, duro, solo cascalhento 1,22
1,52
Cascalho grosso, pedregulho, piçarra
1,52
1,83
Rochas sedimentares moles-xistos
1,83
2,44
Alvenaria
2,44
3,05
Rochas compactas
3,05
4,00
Concreto
4,00
6,00
Natureza das paredes do canal
Havendo material sólido em suspensão, recomenda-se:
a. Velocidades médias mínimas para evitar depósitos:
Águas com suspensões finas
0,30 ms-1
Águas transportando areias finas
0,45 ms-1
Águas residuárias (esgotos)
0,60 ms-1
b. Velocidades práticas:
Canais de navegação, sem revestimento
até 0,50 ms-1
Aquedutos de água potável
0,60 a 1,30 ms-1
Coletores e emissários de esgoto
0,60 a 1,50 ms-1
125
Outra limitação prática que deve ser levada em consideração, na definição da forma da
seção do canal, principalmente no caso das seções trapezoidais, é a inclinação das paredes
laterais. Esta inclinação depende, principalmente, da natureza das paredes, estando indicados na
Tabela 5, valores máximos aconselháveis para o caso das seções trapezoidais e triangulares.
Tabela 5. Valores máximos aconselháveis para inclinação das paredes laterais dos canais trapezoidais e
triangulares
Natureza das paredes do canal
Canais em terra sem revestimento
Canais em saibro, terra porosa
Cascalho roliço
Terra compacta sem revestimento
Terra muito compacta, paredes rochosas
Rocha estratificada, alvenaria de pedra bruta
Rocha compacta, alvenaria acabada, concreto
θ
68,2° a 78,7°
63,4°
60,2°
56,3°
51,4°.
26,5°.
0°
z = tg θ
2,5 a 5
2
1,75
1,5
1,25
0,5
0
4.7 Folga dos canais
Na prática é sempre conveniente reforçar, por medida de segurança, as dimensões do
canal. Depois de dimensionado o canal para escoar a vazão de projeto, é usual estabelecer uma
folga de 20 a 30% na sua altura (yn). Esta folga além de contrabalancear a diminuição de sua
capacidade, causada pela deposição de material transportado pela água e crescimento de
vegetação (caso de canais de terra), evita também transbordamento causado por água de chuva,
obstrução do canal etc.
O procedimento adotado é o seguinte:
a. Traça-se o canal conforme o cálculo, isto é, conservam-se os valores de b, z, yn;
b. Aumenta-se a altura yn de 20 a 30% e traça uma paralela ao fundo do canal, passando pelo
novo valor de yn; e
c. Prolonga-se a reta correspondente ao talude do canal até tocar a paralela.
Deste modo, somente a largura da superfície do canal (B) é alterada.
126
4.8 Velocidade máxima e vazão máxima em canais circulares
De acordo com as equações 158, 159 e Tabela 2, observa-se que:
V=
1 2 / 3 1/ 2
R I
n
(158)
Q=
A 2 / 3 1/ 2
R I
n
(159)
D  senθ 
1 −

4
θ 
(162)
D2
A=
(θ − senθ )
8
(163)
R=
Substituindo a equação 164 em 160, vem:
1  D  senθ 
V =  1 −

θ 
n4
2/3
I
1/ 2
D 2 / 3 I 1 / 2  senθ 
=
1 −

θ 
42 / 3 n 
2/3
Derivando V em relação à θ para D, n, I constantes e igualando a zero, tem-se:
∂V D 2 / 3 I 1 / 2
=
∂θ
42/3 n
 2  senθ  −1 / 3  θ θ − senθ 
 −
 = 0
 1 −
θ  
θ2

 3 
senθ − θ cos θ = 0
(: cos θ )
tgθ = θ
θ = 4 ,49rd = 257°
(para V máximo)
Pela equação 162, sabe-se que:
yn =
yn =
D
θ
 1 − cos 
2
2
D
257 
 1 − cos

2
2 
y n = 0 ,81D
127
(para V máximo)
Substituindo, agora, a equação 164 e 165 em 161, vem:

1  D2
Q= 
(θ − senθ )  D 1 − senθ 
n 8
θ 
 4 
Q=
D8 / 3 I 1/ 2
(θ − senθ )1 − senθ 
13 / 3
θ 
2 n

2/ 3
I 1/ 2
2/3
D 8 / 3 I 1 / 2 (θ − senθ )
213 / 3 n
θ 2/3
5/3
=
Derivando Q em relação à θ , para D, n, I constantes, igualando a zero e fazendo as
devidas simplificações, chega-se à seguinte expressão:
2θ − 3θ cos θ + senθ = 0
cuja solução é:
θ = 5,379rd = 308 ° (para Q máximo)
Usando novamente a equação 162 vem:
yn =
yn =
D
θ
1 − cos 
2
2
D
308 
1 − cos

2
2 
y n = 0,95D
(para Q máximo)
Resumindo, tem-se:
a. Para V máximo:
θ = 257°
e
y n = 0 ,81D
b. Para Q máximo:
θ = 308°
e
y n = 0,95D
Observação: A partir de yn = 0,95D, pequenos acréscimos em yn ocasionam pequenos acréscimos
na área molhada e maiores acréscimos no perímetro molhado, o que diminui o raio hidráulico (R),
diminuindo consequentemente a vazão (Q), o que pode ser melhor entendido no exemplo
apresentado a seguir.
Mantendo-se, n, I constantes e D = 1 m, pela equação 161, tem-se:
128
A 2 / 3 1/ 2
R I
n
Q=
Fazendo:
I 1/ 2
= K , tem-se: Q = KAR 2 / 3 , sendo k uma constante e para yn = 0,95D chegan
se a:
yn = 0,95 m
 2y 
θ = 2 arccos1 − n 
D 

θ = 5,379rd = 308 o
D2
(θ − senθ )
8
A=
A = 0 ,771 m2
P=
θD
2
R=
Q = K 0 ,771(0 ,287 )
= 2,689 m
A
= 0,287 m
P
2/3
= 0 ,335 K (máxima vazão)
Aumentando o valor de yn para 0,98 m:
y 

θ = 2 arccos1 − 2 n  = 5,71rd = 327,5°
D

P=
A=
θD
2
= 2,855 m
D2
(θ − senθ ) = 0,781 m2
8
129
R=
D  senθ 
1 −
 = 0 ,273 m
4
θ 
Q = K 0 ,781(0 ,273)
2/3
= 0 ,329 K
Nota-se que quando yn aumenta de 0,95 m para 0,98 m, a vazão diminui, passando de
0,355k para 0,329k.
Observações:
a. Nas condições se máxima vazão, o escoamento é hidraulicamente instável, podendo o canal
circular trabalhar como conduto forçado para um acréscimo de y n , o que seria desastroso no caso
de uma rede de esgoto. Por medida de segurança, aceita-se como limite prático a relação:
y n / D = 0,75 (NBR-568).
b. A vazão escoada para a relação yn = 0,82 iguala-se a vazão escoada para o canal a seção plena
(ver Figura 3A, Apêndice 3).
c. A velocidade média a plena seção é igual à velocidade média a meia seção porque o raio
hidráulico é o mesmo; em razão disto a vazão a plena seção é o dobro da vazão a meia seção, já
que a área a plena seção é o dobro da área a meia seção (Ver Figura 3A, Apêndice 3).
4.9 Diagrama para canais circulares funcionando parcialmente cheios
Este estudo é de grande importância, pois como os canais circulares dificilmente
funcionam a plena seção (seção cheia), os cálculos da velocidade, do raio hidráulico, da vazão,
entre outros, à seção parcialmente cheia, são facilmente obtidos com o uso desse diagrama. O
diagrama é obtido relacionando-se os elementos do canal de seção qualquer com esses mesmo
elementos a seção plena, como apresentado a seguir (ver Tabela 2), lembrando que para todas as
relações, θ deve ser tomado em radianos ( θ = rd).
4.9.1 Relação entre uma área molhada qualquer (A) e a área molhada a seção plena ou a
seção cheia (A0)
A=
D2
(θ − senθ)
8
A
1
(θ − senθ )
=
A0 2π
e
sendo
130
A0 =
πD 2
4
y 

θ = 2 arccos1 − 2 n 
D

4.9.2 Relação entre um raio hidráulico qualquer (R) e o raio hidráulico a seção plena (R0)
R=
πD 2
D  senθ 
1 −

θ 
4
R0 =
e
R
senθ
= 1−
R0
θ
4 =D
πD
4
4.9.3 Relação entre uma velocidade qualquer (V) e a velocidade a seção plena (V0)
V =
1 2 / 3 1/ 2 1 1/ 2  D 
= I  
R I
n
n
4
2/3
 senθ 
1 −

θ 

2/3
e
V  senθ 
= 1 −

V0 
θ 
V0 =
1D
 
n 4 
2/3
I 1/ 2
2/3
4.9.4 Relação entre uma vazão qualquer (Q) e a vazão a seção plena (Q0)
A
I 1/ 2 D2
(θ − senθ ) D 1 − senθ 
Q = R2 / 3I 1/ 2 =
θ 
n
n 8
4
1
Q
(θ − senθ )1 − senθ 
=
Q0 2π
θ 

2/3
2/ 3
Q0 =
θ  senθ 
=
1 −

2π 
θ 
I 1 / 2 πD 2
n 4
D
 
4
2/ 3
5/ 3
4.9.5 Relação entre um perímetro molhado qualquer (P) e o perímetro molhado a seção plena
(P0)
P=
θD
P0 = πD
e
2
Q
R
P
θ
=
P0 2π

, , etc  , e variando-se a relação y n / D no intervalo de
De posse dessas relações 
Q
 0 R0

0 ≤ y n / D ≤ 1, traçam-se gráficos que facilitam grandemente os trabalhos de cálculo dos
elementos hidráulicos dos canais de seção circular (Figura 3A, Apêndice 3).
131
4.10 Dimensionamento das seções dos canais
A fórmula de Manning (equação 59) para o cálculo da vazão é dada por:
Q=
Sendo R =
A 2 / 3 1/ 2
R I
n
A
, a equação acima pode ser escrita como:
p
A A
Q=  
n P
2/3
I
1/ 2
1 A5 / 3 1 / 2
=
I
n P2/ 3
Separando-se as variáveis de projeto, supostamente conhecidas (n, Q, I), vem:
nQ
I
=
A5 / 3
.
P2 / 3
Nesta equação válida para qualquer seção, o segundo membro depende somente da
geometria da seção do canal. Apresenta-se a seguir, a adequação da referida equação para as
seções: circulares, trapezoidais, retangulares e triangulares.
4.10.1 Seções circulares
(164)
A5 / 3
= 2/3
I P
nQ
A=
D2
(θ − senθ )
8
(165)
θD
(166)
P=
2
132
Substituindo as equações 165 e 166 em 164, vem:
nQ
I
=
 D2

θ − senθ 

8

(
)
θ D 


 2 
2
5
3
(167)
3
Supondo conhecido D, além de n, Q, I, a equação (167) pode ser escrita como:
 D2

(θ − senθ )

nQ  8

=
2/ 3
I
 θD 


 2 
nQ
D8 / 3 I
5/3
D 8 / 3 (θ − senθ )
=
213 / 3 θ 2 / 3
5/ 3
(168)
θ − senθ )5 / 3
(
=
213 / 3 θ 2 / 3
O ângulo θ pode ser calculado por:
y 

θ = 2 arccos1 − 2 n 
D

(161)
Atribuindo-se valores a y n /D , no intervalo 0 ≤ y n /D ≤ 1 , calcula-se θ pela equação (161) e
nQ
consequentemente
D
8/ 3
, pela equação 168. Assim é possível construir parte da Figura 3B
I
(curva 1, Apêndice 3).
Por outro lado, quando se conhece yn , além de n, Q, I e dividindo-se ambos os membros
da equação 167 por y n
8/ 3
, tem-se:
nQ
yn
8/3
y 
= n 
I D
−8 / 3
(θ - senθ )5 / 3
213 / 3 θ 2 / 3
133
(169)
Novamente, atribuindo-se valores a y n / D calcula-se θ pela equação 161. Com y n / D e
θ calcula-se
nQ
yn
8/ 3
I
pela equação 169. Assim, é possível construir a outra parte da Figura 3B
(curva 2, Apêndice 3).
4.10.2 Seções trapezoidais e retangulares
4.10.2.1 Determinação da largura de fundo (b)
Neste caso supõem-se conhecidos n, Q, I, z e yn . Tomando-se a equação geral para o
cálculo da vazão, tem-se:
(164)
A5 / 3
= 2/ 3
I P
nQ
Para canais trapezoidais (Tabela 2), tem-se:
A = y n (b + zy n )
P = b + 2 yn z 2 + 1
e
Substituindo-se A e P na equação 164, escreve-se:
5/ 3
  b

 yn  + z 

  yn
5/ 3
yn
5/ 3
[
nQ
yn (b + zyn )]
=
=
2/3
2/3
2
I

2/3  b
b + 2 yn z + 1
2
yn  + 2 z + 1
 yn

[
]
b

 + z 
 yn

10 / 3
5/3
b

 + z 
 yn

5/3
nQ yn
8/3
= 2/3
= yn
2/3
2/3
I
yn  b

 b

2
2
 + 2 z + 1 
 + 2 z + 1 
 yn

 yn

nQ
yn
8/ 3
I
=
 b


+ z 
 yn

5/ 3
 b


+ 2 z 2 + 1 
 yn

134
2/3
(170)
Fixando-se z e atribuindo-se valores a y n / b , pode-se calcular
nQ
yn
8/3
I
pela equação 170
e deste modo construir a curva 2 da Figura 57.
Para canais retangulares, basta usar a curva construída para z = 0.
4.10.2.2 Determinação da profundidade normal ( yn )
Supõem-se conhecidos agora: n, Q, I, z e b.
Retornando-se a equação 164, e procedendo-se analogamente ao que foi feito para
obtenção da equação 170, tem-se:
(164)
A5 / 3
= 2/ 3
I P
nQ
5/3
nQ
I
=
[yn (b + zyn )]5 / 3
[b + 2 y
n
z2 + 1
]
2/3
 
yn  
byn 1 + z 
b 
 
=
2/3
 
yn 2

b1 + 2 b z + 1 

 
5/3
5/ 3
 2 yn 
y 
y 
y n 
b10 / 3  n 1 + z n 
b b 1 + z b 
b 
nQ


b 
= 
=
2/ 3
2/3
I  
yn

yn

2/3
2
2
b 1 + 2
z +1
b1 + 2 b z + 1 
b



 
5/ 3
 yn 
y n 
 1 + z  
b 
b 
nQ
= 
2/ 3
8/ 3
b
I 
yn

2
1 + 2 b z + 1


Fixando-se z e atribuindo-se valores a y n / b , pode-se calcular
(171)
nQ
b
8/3
pela equação 171,
I
obtêm-se assim a Figura 58.
Para casos de canais retangulares basta usar a curva construída para z = 0.
135
4.10.3 Seções triangulares
Supõem-se conhecidos n, Q, I e z, onde a incógnita do problema é a profundidade normal (
yn ).
Procedendo-se analogamente ao que foi feito para obtenção das equações 170 e 171, temse:
(164)
A5 / 3
= 2/3
I P
nQ
A = zy n
nQ
I
(zy )
2
2 5/ 3
=
(2 y
n
n
z2 +1
nQ
yn
8/3
I
)
2/ 3
=
(2
P = 2 yn z 2 + 1
e
=
z5/ 3
(2
z2 +1
z5/ 3
z2 +1
yn
)
2/3
10 / 3
yn
2/ 3
= yn
8/ 3
)
2/ 3
yn
z2 +1
)
2/ 3
(172)
nQ
Atribuindo-se valores a z, pode-se calcular
(2
z5/ 3
8/ 3
pela equação 18, construindo-se assim
I
a Figura 59.
4.11 Exercícios de Aplicação
4.11.1 Quando se conhece as dimensões do canal
É o caso do canal já construído, onde se utilizam as equações:
V=
1 2 / 3 1/ 2
R I
n
e
Q = AV
R e A são tirados das Tabelas 2 (canais de seção qualquer) ou Tabela 3 (canais de seção de
máxima eficiência).
Pode-se também utilizar as Figuras 55 a 59, para a obtenção de resultados aproximados, e
de modo mais rápido.
136
a. Tem-se um canal de seção trapezoidal com talude 1:1, executado em concreto não muito liso,
com declividade de 0,4%. Determinar qual a vazão capaz de escoar em regime uniforme, com uma
profundidade da água de 0,40 m e uma largura de fundo de 0,30 m.
n = 0,014
(Tabela 7)
z=1
b = 0, 30 m
yn = 0,40 m
I = 0,4% = 0,004 mm-1
Solução:
a.1. Uso das equações (Tabela 2):
P = b + 2 y n z 2 + 1 = 1,43 m
A = y n (b + zy n ) = 0,28 m2
R=
V=
A
= 0,196 m
P
1 2 / 3 1/ 2
R I = 1,51 ms-1
n
Q = AV = 0,28.1,51 = 0,423 m3s-1 = 423 Ls-1 (resultado mais preciso)
a.2. Uso da Figura 57:
y n 0,40
=
= 1,33
b
0,30
Para z = 1, tem-se pela Figura 10:
nQ
b
Q=
8/ 3
I
= 1,1
1,1× 0,40 8 / 3 0,004 0,5
= 0,431 m3s-1= 431 Ls-1
0,014
a.3. Uso da Figura 58:
137
Para y n / b = 1,33 e z = 1, tem-se:
nQ
b8 / 3 I
Q=
= 2 ,4
2,4.0,38 / 3.0,004 0,5
= 0,437 m3s-1= 437 Ls-1
0,014
b. Calcular a vazão de uma calha de seção triangular de estrada de rodagem para: z = 2, n =
0,017, yn = 0,07 m e I = 0,03 mm-1. Qual é a perda de carga no canal (hf) para um comprimento (L)
de 500 m?
Solução:
b.1. Uso das equações (Tabela 2):
A = zy n = 0,0098 m2
2
P = 2 y n z 2 + 1 = 0 ,313 m
R=
V=
A
= 0,03131 m
P
1 2 / 3 1/ 2
R I = 1,01 ms-1
n
Q = A.V = 0,0098 × 1,01 = 0,010 m3s-1 = 10 Ls-1
h f = IL = 0,03 × 500 = 15 m
b.2. Uso da Figura 59:
Para z = 2, tem-se pela Figura 59:
nQ
b
Q=
8/ 3
I
= 1,2
1,2.0,078 / 3.0,030,5
= 0,010 m3s-1 = 10 Ls-1
0,017
c. Um canal de seção trapezoidal, de taludes inclinados de α = 45° e de declividade de fundo de
40 cmkm-1, foi dimensionado para uma determinada vazão Q0, tendo-se chegado às dimensões da
figura apresentada a seguir. Nestas condições pede-se para n = 0,02, o valor da vazão de projeto
Q0.
138
Solução:
c.1. Uso das equações (Tabela 2)
n = 0,02
tg α = tg 45º = 1
I = 40 cmkm-1 = 0,0004 mm-1
yn = 1,50 m
b = 1,66 m
P = b + 2 y n z 2 + 1 = 1,66 + 2.1,5. 1 + 1 = 5,903 m
A = y n (b + zy n ) = 1,5.( 1,66 + 1.1,5 ) = 4,74 m2
R=
V =
A
= 0,803 m
P
1 2 / 3 1/ 2
1
R I
=
0 ,803 2 / 3 .0 ,00041 / 2 = 0 ,864 ms-1
n
0 ,02
Q = AV = 4,74 × 0,864 = 4,095 m3s-1= 4095 Ls-1 (resultado mais preciso)
c.2. Uso da Figura 57:
y n / b = 1,5 / 1,66 = 0,903
Para z = 1, tem-se, pela Figura 57:
139
nQ
b8 / 3 I
= 1,4
1,4.1,58 / 3.0,0004 0,5
Q=
= 4,1 m3s-1 = 4100 Ls-1
0,02
c.3. Uso da Figura 58:
Para y n / b = 0,90 e z = 1, tem-se:
nQ
b
Q=
8/3
I
= 1,06
1,06 × 1,668 / 3 × 0,0004 0,5
= 4,095 m3s-1= 4095 Ls-1
0,02
d. Verificar se o canal do exercício anterior será de mínimo perímetro molhado, caso o nível da
água atinja o nível de transbordamento.
Solução:
yn = 1,50 + 0,5 = 2,0 m
n = 0,02
z=1
I = 0,0004 mm-1
b = 1,66 m
Se o calculo do perímetro molhado (P1) feito com a equação da Tabela 2, coincidir com o
perímetro (P2) feito com a equação da Tabela 3, o canal será de mínimo custo.
P1 = b + 2 y n z 2 + 1 = 1,66 + 2.2 1 + 1 = 7,31 m
(
)
(
)
P2 = 2 y n 2 1 + z 2 − z = 2.2 2 1 + 1 − 1 = 7 ,31 m
O canal será, portanto de mínimo custo para yn = 2,0 m.
4.11.2 Quando se deseja conhecer as dimensões do canal
140
Neste caso se conhece a vazão de projeto (Q), a declividade de fundo (I), a rugosidade das
paredes (n) e o talude das paredes do canal (z).
A solução desse tipo de problema é bastante simplificada com o uso das Figuras 3A a 3E
do Apêndice 3. Pode-se também utilizar com um grau de dificuldade maior as equações 158 e 159,
associadas as equações das Tabelas 2 e 3.
a. Supondo que o projeto do exercício c do item 4.11.1 venha a ser refeito com a vazão Q1 = 8 m3/s
e que a seção deva ser retangular, qual a sua profundidade a fim de que o canal seja de mínimo
perímetro molhado?
Solução:
Trata-se do dimensionamento de um canal retangular de máxima vazão.
Para z = 0, y n / b = 0,5
(Tabela 2)
a.1. Uso da Figura 57:
Para z = 0 e y n / b = 0,5, tem-se:
nQ
yn
8/3
I
= 1,3
 0,02 × 8 
yn = 

0, 5
 1,3 × 0,0004 
3/ 8
= 1,98 m
a.2. Uso da Figura 58:
Levando o valor de y n / b = 0,5 à Figura 58, tem-se:
nQ
b
8/3
I
= 0,2

0,02 × 8 

b = 
1/ 2 
0
,
2
(
0
,
0004
)


y n = 0,5 b
3/ 8
=4 m
yn = 2 m
a.3. Uso da equação 158 e Tabela 3:
141
Q=
A 2 / 3 1/ 2
R I
n
2
8=
2 yn yn
0 ,0004 0 ,5
0 ,02 2
yn = 8
3
yn = 2 m
b. Um canal de seção triangular de mínimo perímetro molhado, revestido de tijolos rejuntados com
argamassa de cimento, tem uma descarga de 4 m3s-1. Supondo que a declividade seja de 0,0016,
calcular a altura do nível da água no canal.
Solução:
z=1
(mínimo perímetro molhado)
n = 0,013
(Tabela 7)
3 -1
Q=4m s
I = 0,0016 mm-1
yn = ?
b.1. Uso da Figura 59:
Para z = 1:
nQ
yn
 nQ 
yn = 

1/ 2
 0,5 I 
3/ 8
8/3
= 0,5
I
 0,013 × 4 
=

1/ 2
 0,5 × 0,0016 
3/ 8
= 1,43 m
b.2. Uso das equações da Tabela 2:
Q=
A 2 / 3 1/ 2
R I
n
2
y  y 
4= n  n 
0,013  2 2 
yn
8/ 3
A = yn e R =
2
onde:
= 2,6
∴
142
2/3
0,0016 0,5
y n = 1,43 m
yn
2 2
c. Uma manilha de concreto é assentada em um declive de 0,0002 e deve transportar uma vazão
de 2,365 Ls-1 quando estiver 75% cheia. Que diâmetro deverá ser usado?
Solução:
n = 0,016
I = 0,0002 mm
(Tabela 7)
-1
Q = 2,365 m3s-1
yn/D = 0,75
c.1. Usando a curva 1 da Figura 56:
Para y n / D = 0,75, obtém-se:
nQ
D8 / 3 I
 nQ
D = 
1/ 2
 0,28 I



0, 375
= 0,28
 0,016 × 2,365 
= 

0 ,5 
 0,28 × 0,0002 
0 , 375
= 2,33 m
c.2. Usando a curva 2 da Figura 56:
nQ
yn
8/ 3
I
= 0,6
 0,016 × 2,365 
yn = 

0,5
 0,6 × 0,0002 
0, 375
y n = 1,75 m
y n / D = 0,75 ∴ D = 2,33 m
c.3. Usando a curva de vazão da Figura 55:
Para y n / D = 0,75 , tem-se:
A
Q
2/3
= 0 ,93 , sendo Q0 = 0 R0 I 1/2
Q0
n
A
0,93 πD 2  D 
2/3
Q = 0,93 0 R0 I 1 / 2 =
 
n
n
4 4
143
2/3
I 1/ 2
2,365 =
0,93 3,14 8 / 3
D × 0,00020,5
5/ 3
0,016 4
D = 2,30 m
d. Para abastecer Belo Horizonte, a adutora do Rio das Velhas tem um trecho em canal com seção
circular, construído em concreto moldado no local, por meio de formas metálicas. Os dados deste
trecho são:
D = 2,40 m
I = 1 mkm-1
n = 0,012
O abastecimento foi previsto para três etapas:
1ª etapa: Q1 = 3 m3s-1;
2ª etapa: Q2 = 6 m3s-1;
3ª etapa: Q3 = 9 m3s-1.
Pede-se:
a. A velocidade máxima e a vazão máxima;
b. Os valores das alturas de lâmina de água em cada etapa.
Solução:
a. Velocidade máxima e a vazão máxima:
a.1. Uso da Figura 3A, Apêndice 3:
Para y n / D = 0,95 , onde ocorre a vazão máxima, tem-se:
Qmáx
= 1,075
Q0
Para y n / D = 0,81 , onde ocorre a velocidade máxima, tem-se:
Vmáx
= 1,139
V0
A0 =
πD 2
R0 =
4
= 4,52 m2
D
= 0,60 m
4
144
Q0 =
A0 2 / 3 1 / 2
4 ,52  0 ,60 
R0 I
=


n
0 ,012  4 
V0 =
2/ 3
(0 ,001)0 ,5 = 8,473 m3s-1
Q0 4 × 8,473
=
= 1,87 ms-1
2
A0 π × 2,4
Qmáx = 1,075 Q0
∴
Vmáx= 1,139 V0 ∴
Vmáx = 2,13 ms-1
Qmáx = 9,092 m3s-1
a.2. Uso da Figura 3B, Apêndice 3:
Para yn / D = 0,95. Usando a curva 1 da Figura 9 para y n /D = 0,95 tem-se:
nQmáx
D8 / 3 I
Qmáx =
= 0 ,33
0,33 × 2,4 8 / 3 × 0,0011 / 2
0,012
Qmáx = 8,98 m3s-1
θ = 5,379 rd (para Qmáx)
A=
D2
(θ − senθ ) = 4,43 m2
8
Vmáx =
Qmáx 8,98
=
= 2,03 ms-1
A
4,43
b. Valores das alturas de lâmina de água em cada etapa:
b.1. Usando a Figura 3A, Apêndice 3:
Q1
3
=
= 0 ,354
Q0 8,473
;
y n1
D
Q2
6
=
= 0 ,708 ;
Q0 8,473
y n2
Q3
9
=
= 1,06
Q0 8,473
y n3
;
D
D
145
= 0 ,409
= 0,61
= 0,86
y n1 = 0,98 m
;
;
;
y n2 = 1,46 m
y n3 = 2 ,06 m
b.2. Usando a Figura 56:
nQ
D I
1
8 / 3 1/ 2
=
0,012 × 3
= 0,11
2,4 8 / 30,0011 / 2
nQ2
0,012 × 6
=
= 0,22
8 / 3 1/ 2
D I
2,4 8 / 30,0011 / 2
nQ
D I
3
8 / 3 1/ 2
=
0,012 × 9
= 0,33
2,4 8 / 30,0011 / 2
Pela curva 1 da Figura 56, tem-se:
y n1
D
= 0,4
∴
yn1 = 0,4 × 2,40 = 0,96 m
= 0,6 m
∴
yn2 = 0,6 × 2,40 = 1,44 m
∴
yn3 = 0,86 × 2,40 = 2,06 m
y n2
D
y n3
D
= 0,86
4.12 Exercícios de Fixação
1) Um canal de drenagem, em terra com vegetação rasteira nos taludes e fundo, com taludes 2,5:1,
declividade de fundo Io = 30 cm/km, foi dimensionado para uma determinada vazão de projeto Qo,
tendo-se chegado a uma seção com largura de fundo b = 1,75 m e altura de água yo = 1,40 m.
a) Qual a vazão de projeto?
b) A seção encontrada é de mínimo perímetro molhado?
c) Se o projeto deve ser refeito para uma vazão Q1 = 6,0 m3/s e a seção é retangular, em concreto,
qual será a altura de água para uma largura de fundo igual ao dobro da anterior?
2) Uma galeria de águas pluviais de 1,0 m de diâmetro, coeficiente de rugosidade de Manning n =
0,013 e declividade de fundo Io = 2,5 x 10-3 m/m transporta, em condições de regime permanente e
uniforme, uma vazão de 1,20 m3/s.
a) Dimensione a altura d’água.
b) Qual seria a capacidade de vazão da galeria, se ela funcionasse na condição de máxima vazão?
146
3) Um canal trapezoidal, em reboco de cimento não completamente liso, com inclinação dos
taludes 2:1, está sendo projetado para transportar uma vazão de 17 m3/s a uma velocidade média
de 1,20 m/s. Determine a largura de fundo, a profundidade em regime uniforme e a declividade de
fundo para a seção hidráulica de máxima eficiência.
4) Um canal trapezoidal deve transportar, em regime uniforme, uma vazão de 3,25 m3/s, com uma
declividade de fundo Io = 0,0005 m/m trabalhando na seção de mínimo perímetro molhado. A
inclinação dos taludes é de 0,5:1 e o revestimento será em alvenaria de pedra argamassada em
condições regulares. Determine a altura d’água e a largura de fundo.
5) Qual o acréscimo percentual na vazão de uma galeria circular quando a área molhada passa da
meia seção para a seção de máxima velocidade?
6) Um trecho de um sistema de drenagem de esgotos sanitários é constituído por duas
canalizações em série, com as seguintes características:
Trecho 1 – Diâmetro: D1 = 150 mm; Declividade: I1 = 0,060 m/m.
Trecho 2 – Diâmetro: D2 = 200 mm; Declividade: I2 = 0,007 m/m.
Determine as vazões máxima e mínima no trecho para que se verifiquem as seguintes condições
de norma:
a) Máxima lâmina d’água: y = 0,75D.
b) Mínima lâmina d’água: y = 0,20D.
c) Máxima velocidade: V = 4,0 m/s.
d) Mínima velocidade: V = 0,50 m/s.
Coeficiente de rugosidade de Manning, n = 0,013.
7) Determine a mínima declividade necessária para que um canal trapezoidal, taludes 4:1,
transporte 6 m3/s, com uma velocidade média igual a 0,60 m/s. Coeficiente de rugosidade, n =
0,025.
8) Determine a relação de vazões entre um canal trapezoidal em taludes 1:1, largura de fundo igual
a três vezes a altura d’água e um canal trapezoidal de mesmo ângulo de talude, mesma área
molhada, mesma rugosidade e declividade de fundo, trabalhando na seção de mínimo perímetro
molhado.
147
9) Demonstre que o raio hidráulico de um canal trapezoidal na seção de mínimo perímetro
molhado, para qualquer ângulo de talude, é igual à metade da altura d’água.
10) Uma galeria de águas pluviais de diâmetro D transporta uma determinada vazão com uma área
molhada tal que Rh = D/6. Nestas condições, calcule as relações V/Vp e Q/Qp.
11) Compare as declividades de um canal semicircular escoando cheio e de um canal retangular de
mesma largura, mesma área molhada, mesmo revestimento e transportando a mesma vazão em
regime permanente e uniforme.
Gabarito:
1) a) Q = 4,35 m3/s; b) Não; c) yo = 1,57 m
2) yo = 0,82 m; b) Q = 1,29 m3/s
3) b = 1,13 m; yo = 2,39 m; Io = 0,00022 m/m
4) yo = 1,56 m; b = 1,95 m
5) ∆Q = 97,6%
6) Qmáx = 0,025 m3/s; Qmín = 0,0033 m3/s
7) Imín = 3,2 x 10-4 m/m
8) Q1/Q2 = 0,95
9) 10) V/Vp = 0,762; Q/Qp = 0,183
11) Ic/Ir = 0,84
148
UNIDADE 5 – VERTEDORES
5.1 Conceito
Vertedores são estruturas hidráulicas utilizadas para medir indiretamente a vazão em
condutos livres por meio de uma abertura (entalhe) feita no alto de uma parede por onde a água
escoa livremente, apresentando, portanto a superfície sujeita à pressão atmosférica.
São utilizados na medição de vazão de pequenos cursos d’água, canais ou nascentes,
geralmente inferiores a 300 L/s.
5.2 Partes constituintes
Na Figura 57 tem-se a representação esquemática das partes componentes de um vertedor.
H = carga hidráulica;
P = altura do vertedor;
B= largura da seção transversal do
curso d`água;
L = largura da crista da soleira do
vertedor.
Figura 57. Vista transversal de um vertedor.
5.3 Classificação
5.3.1 Quanto à forma:
Os vertedores mais usuais possuem as seguintes formas de seção transversal: retangular,
triangular, trapezoidal e circular. Ressalta-se que na Figura 57 está apresentado um vertedor
retangular.
5.3.2 Quanto à espessura (natureza) da parede (e)
•
Parede delgada (e < 2/3 H): a espessura (e) da parede do vertedor não é suficiente para
que sobre ela se estabeleça o paralelismo entre as linhas de corrente.
•
Parede espessa (e > 2/3 H): a espessura (e) da parede do vertedor é suficiente para que
sobre ela se estabeleça o paralelismo entre as linhas de corrente.
149
Figura 58. Vista longitudinal do escoamento da água sobre a soleira do vertedor.
5.3.3 Quanto ao comprimento da soleira (L)
•
Vertedor sem contração lateral (L = B): o escoamento não apresenta contração ao passar
pela soleira do vertedor, se mantendo constantes antes e depois de passar pela estrutura
hidráulica (Figuras 59a, 59b).
•
Vertedor com contração lateral (L < B): nesse caso a linha de corrente se deprime ao
passar pela soleira do vertedor, podendo-se ter uma (Figuras 59c, 59d) ou duas contrações
laterais (Figuras 59e, 59f)
(b)
(a)
150
(c)
(d)
(e)
(f)
Figura 59. Vertedor: (a) sem contração lateral; (b) vista de cima sem contração lateral; (c) com uma
contração lateral; d) vista de cima com uma contração lateral – linha de corrente deprimida (lado direito); (e)
duas contrações laterais; e (f) vista de cima com duas contrações laterais – linha de corrente deprimida (lado
direito e esquerdo).
5.3.4 Quanto à inclinação da face de montante
Denomina-se
se face de montante o lado da estrutura do vertedor que está em contato com a
água, conforme
onforme apresentada na Figura 60.
60
(a)
(b)
(c)
Figura 60. Face de montante: (a) na vertical; (b) inclinado a montante; e (c) inclinado a jusante.
5.3.5 Quanto à relação entre o nível da água a jusante (P’) e a altura do vertedor (P):
O vertedor pode funcionar de duas diferentes formas. Quando operado em condições de
descarga livre,, o escoamento acontece livremente a jusante da parede do vertedor, onde atua a
pressão atmosférica (Figura 61a).
a). Esta é a situação que mais tem sido estudada e a mais prática
para a medição da vazão, devendo por isso ser observada quando na instalação do vertedor.
A situação do vertedor afogado (Figura 61b)
b) deve ser evitada na prática, pois existem
poucos estudos sobre ela e é difícil medir a carga hidráulica H para o cálculo da vazão. Além disso,
o escoamento não cai livremente a jusante do vertedor.
151
(a)
(b)
Figura 61. (a) vertedor operado em condições de descarga livre (P > P’); e (b) vertedor afogado (P < P’).
5.4 Equação geral da vazão para vertedores de parede delgada, descarga livre,
independentemente da forma geométrica
Para obtenção da equação geral da vazão será considerado um vertedor de parede delgada
e de seção geométrica qualquer (retangular, triangular, circular etc), desde que seja regular, ou
seja, que possa ser dividida em duas partes iguais. Na Figura 62 está apresentada uma vista
longitudinal e frontal do escoamento, destacando a seção de vertedor.
As seguintes hipóteses são feitas na dedução da equação geral:
•
Escoamento permanente;
•
A pressão na cauda é nula (abaixo e acima da cauda tem-se Patm);
•
O valor de P é suficientemente grande para se desprezar a velocidade de aproximação (V0);
•
Distribuição hidrostática das pressões nas seções (0) e (1);
•
Escoamento ideal entre as seções (0) e (1), isto é, ausência de atrito entre as referidas
seções e incompressibilidade do fluido (densidade constante);
•
Par de eixos coordenados (x, y) passando pelo centro da soleira do vertedor, de modo a
dividi-la em duas partes iguais; e
•
Seção (1) ligeiramente a jusante da crista do vertedor.
152
Figura 62. Vista longitudinal e frontal do escoamento, destacando a seção do vertedor.
Sendo o escoamento permanente, considerando a seção (1) localizada ligeiramente à
jusante da crista do vertedor (onde a pressão é nula) e empregando a equação de Bernoulli entre
as seções (0) e (1), para a linha de corrente genérica AB, com referência em A, tem-se:
P0
V0
2
2
P1
V
+
+ Z 0 = + 1 + Z1
γ
2g
γ 2g
(173)
Considerando o plano de referência passando pelo ponto A, tem-se:
2
V
H 0 + 0 + 0 = 0 + th + (H 0 - H + y)
2g
(174)
Para todas as situações em que o escoamento for tratado como ideal, a velocidade será
sempre ideal ou teórica (Vth), como aparece na equação (174). Pela mesma razão quando se trata
da vazão, ela também será ideal ou teórica (Qth).
Da equação (174) chega-se a:
Vth = 2g(H - y)
(distribuição parabólica)
(175)
A vazão teórica que escoa através da área elementar dA mostrada na Figura 62, é dada
por:
153
dQ th
= Vth dA
2
(176)
dA = x dy
(177)
sendo:
Dessa forma, a vazão teórica elementar é dada por:
dQ th = 2Vth dA = 2Vth x dy
(178)
Subtituindo a equacao (175) na (178), chega-se a:
dQ th = 2 2g (H - y) x dy
(179)
que integrada nos limites de zero a H, permite calcular a vazão teórica para todo vertedor, ou seja:
H
1
Q th = 2 2g ∫ x ( H − y) 2 dy
(180)
0
em que x é função de y.
Na equação (180) deve ser introduzido um coeficiente (CQ), determinado experimentalmente,
o qual inclui o efeito dos fenômenos desprezados nas hipóteses feitas na dedução da equação
geral. Desta forma, para condições de escoamento real sobre um vertedor de parede delgada, a
expressão geral para a vazão (Q) é dada por:
H
1
Q = 2 2g C Q ∫ x (H − y) 2 dy
(181)
0
O coeficiente CQ, denominado de coeficiente de vazão ou de descarga, corrige todas as
hipóteses feitas na dedução da equação (181). Vale a pena salientar que esta equação só se
aplica aos casos em que o eixo y divide o vertedor em duas partes iguais, que são os casos mais
comuns na prática.
Será apresentada na sequência a obtenção da equação 181 para os casos particulares de
vertedor retangular e triangular em condições de descarga livre.
154
5.4.1 Vertedor retangular de parede delgada em condições de descarga livre
De acordo com a Figura 63 pode-se observar que x (metade da soleira L) é constante para
qualquer valor de y, podendo-se escrever:
x = f ( y) =
L
2
(182)
Figura 63. Vertedor retangular sem contrações laterais.
Substituindo a equação (182) na equação (181), tem-se:
H
1
H
1
Q = 2 2g C Q ∫ L / 2(H − y) dy = 2 2g C Q L ∫ (H − y) 2 dy
2
0
(183)
0
Fazendo: H – y = u, diferenciando-se e mudando os limites da integral para variável (u),
tem-se:
-dy = du
(184)
u = H (para y=0)
(185)
u = 0 (para y = H)
(186)
Substituindo as equações (184), (185), (186) na parte que se refere a integral da equação
(183), tem-se:
H
0
∫(H - y)
0
1/ 2
dy = ∫ u
H
H
1/ 2
(-du ) = ∫ u 1 / 2 du =
0
2 3/ 2
H
3
Substituindo a equação (187) na equação (183), chega-se a:
155
(187)
Q=
2
2g C Q L H 3 / 2
3
(188)
que é a equação válida para vertedor retangular de parede delgada, sem contrações laterais.
O valor de CQ (coeficiente de descarga) foi estudado por vários pesquisadores como: Bazin,
Rehbock, Francis, sendo encontrado em função de H e de P na Tabela 4A do Apêndice 4.
Francis obteve, por meio de estudos experimentais, o valor de CQ para vertedor retangular
sem contração lateral igual a 0,6224. Substituindo na equação (188) o valor do CQ obtido por
Francis e g igual a 9,81 m.s-2, tem-se:
Q = 1,838 L H3/2
(189)
em que:
Q = vazão (m3s-1);
L = comprimento da soleira (m); e
H = altura de lamina (m).
Deve-se salientar que na equação (188), o valor da aceleração da gravidade (g) já esta
implícito no coeficiente numérico apresentado, devendo-se respeitar as unidades apresentadas
para L, H e Q.
Com contração lateral (correção de Francis)
Quando o vertedor possui contrações laterais pode-se deduzir a equação como feita para o
caso anterior. Por razões de simplicidade, Francis propôs usar a equação (189) trocando-se L por
L’, conforme apresentado na Figura 64a e b:
(a)
(b)
Figura 64. Vertedor com uma (a) e duas contrações laterais (b).
156
Segundo Francis, para cada contração, o comprimento da soleira (L) deve ser reduzido em
10% da altura da lâmina vertente (H), para fins de obtenção do comprimento da soleira (L’) e
cálculo da vazão
O valor de L’ é usado na equação (189) no lugar de L, sendo o CQ o mesmo para os casos
de vertedores sem contração lateral. Logo, as equações (190) e (191), já incorporando a correção
proposta por Francis, devem ser usadas para obtenção da vazão em vertedores retangulares com
1 e 2 contrações laterais, respectivamente.
Q = 1,838 (L - 0,1H)H3/2
(190)
Q = 1,838 (L - 0,2H)H3/2
(191)
No caso de vertedor retangular de parede delgada com duas contrações laterais, pode-se
utilizar diretamente a equação proposta por Poncelet para a obtenção da vazão, não sendo
necessária a correção de Francis em função do número de contrações laterais.
Na falta de informações pode-se tomar CQ = 0,60, valor este dado por Poncelet, ficando a
fórmula para vertedores com duas contrações laterais escrita como:
Q = 1,77 L H3/2
(192)
5.4.2 Vertedor triangular de parede delgada em condições de descarga livre
Na prática, o vertedor triangular de parede delgada normalmente apresenta um entalhe em
forma de um triângulo isósceles, o que permite utilizar a equação (181) para a dedução da equação
utilizada na medição de vazão, uma vez que o eixo das ordenadas (y) divide a seção em duas
partes iguais (Figura 65).
Figura 65. Vertedor triangular.
157
Nesse caso, a função x = f(y) pode ser escrita como:
x = y.tg
θ
2
(192)
Substituindo a equação (192) na equação (181), tem-se:
θ
y (H − y)1 / 2 dy
∫
20
H
Q = 2 2g C Q tg
(193)
Fazendo:
(H - y)1/2 = u
(194)
H – y = u2 ∴ H – u2 = y
(195)
dy = -2udu
(196)
Trocando os limites de integração, tem-se:
u = H1/2 (para y = 0)
(197)
u = 0 (para y = H)
(198)
Substituindo-se as equações (196), (197) e (198) na integral da equação (193), tem-se:
H
∫
0
y (H − y)1 / 2 dy =
0
∫
H
(H − u 2 ) u (−2u du )
H1 / 2
2
∫
(199)
1/ 2
H1 / 2
(H − u ) u du = 2
2
2
0
 u3 u5 
= 2 H
− 
5
 3
∫
( Hu 2 − u 4 ) du
(200)
0
H1/ 2
H
H5/ 2 
= 2  H3/ 2 −

5 
3
5 H5/ 2 3 H5/ 2  4
=2
−
H5/ 2
=
15  15
 15
(201)
(202)
Substituindo a equação (202) na equação (193), tem-se:
Q=
8
 θ
2g C Q  tg  H 5 / 2
15
 2
(203)
que é válida para o cálculo da vazão em vertedores triangulares isósceles.
158
O valor de CQ poderá ser encontrado em tabelas, em função de θ, H e P. Na falta de
informações pode-se adotar como valor médio CQ = 0,60.
Se θ = 90o, tg
θ
= 1, e a fórmula anterior se simplifica para:
2
Q = 1,40 H5
(204)
em que:
Q = vazão (m3s-1); e
H = altura da lâmina vertente (m).
OBS.: Para pequenas vazões o vertedor triangular é mais preciso que o retangular (aumenta o
valor de H a ser lido quando comparado com o retangular), entretanto, para maiores vazões
ele passa a ser menos preciso, pois qualquer erro de leitura da altura de lâmina vertente (H)
é afetado pelo expoente 5/2.
5.4.3 Vertedor trapezoidal de parede delgada em condições de descarga livre
Menos utilizado do que os vertedores retangular e triangular. Pode ser usado para medição
de vazão em canais, sendo o vertedor CIPOLLETTI o mais empregado. Esse vertedor apresenta
taludes de 1:4 (1 na horizontal para 4 na vertical) para compensar o efeito da contração lateral da
lâmina ao escoar por sobre a crista (Figura 66).
Figura 66. Vertedor trapezoidal de CIPOLLETTI.
Neste caso, a equação geral (181) também pode ser usada para a dedução da equação
particular do vertedor trapezoidal. Por razões de simplicidade, a vazão pode ser calculada como a
soma das vazões que passam pelo vertedor retangular e pelos vertedores triangulares, ou seja:
159
Q=
2
8
θ
2g C Q1 L H 3 / 2 +
2g C Q 2 tg H 5 / 2
3
15
2
(205)
Q=
θ
2
4H

2g C Q1 +
C Q 2 tg  L H 3 / 2
3
5L
2

(206)
Fazendo:
θ
4H

C Q = C Q1 +
C Q 2 tg 
5L
2

(207)
a equação (206) pode ser escrita como:
Q=
2
2g C Q L H 3 / 2
3
(208)
A experiência mostra que CQ = 0,63. Usando a recomendação de Cipolletti, a fórmula
anterior é simplificada para:
Q = 1,86 L H3/2
(209)
5.4.4 Vertedor retangular de parede espessa
A espessura da parede (e) é suficiente para garantir o paralelismo entre os filetes, ou seja,
as linhas de corrente são paralelas, o que confere uma distribuição hidrostática de pressões sobre
a soleira do vertedor (Figura 67).
Figura 67. Vertedor de parede espessa (vista longitudinal).
160
Aplicando a Equação de Bernoulli entre (0) e (1), para a linha de corrente AB, com
referência em AB, tem-se:
2
2
P0 V0
P
V
+
+ z 0 = 1 + 1 + z1
γ
2g
γ
2g
(210)
2
V
H + 0 + 0 = h + th + 0
2g
(211)
Vth = (H − h ) 2g
(212)
Q th = A.Vth = L.h.Vth = L.h 2g (H − h )
(213)
(
Q th = L 2g Hh 2 − h 3
)
1/ 2
(214)
Bélanger observou que quando o escoamento se estabelecia sobre a soleira:
h=
2
H
3
(215)
Substituindo a equação (215) na equação (214), tem-se:
  2 2  2 3 
Q th = L 2g  H  H  −  H  
 3 
 3  

8 3
4
Q th = L 2g  H 3 −
H 
27
9

 12 H 3 8H 3 

Q th = L 2g 
−
27
27


 4 
Q th = L 2g  
 27 
1/ 2
(216)
1/ 2
(217)
1/ 2
(218)
1/ 2
H3/ 2
(219)
Levando-se em conta o coeficiente corretivo da vazão (CQ), tem-se:
Q = 0,385.C Q
2g L H 3 / 2
(220)
que é a equação válida para vertedor retangular de parede espessa.
161
Experiências realizadas levam à conclusão de que CQ = 0,91, podendo a expressão (220)
ser escrita como:
Q = 1,55 L H3/2
(221)
em que:
Q = vazão (m3s-1);
L = comprimento da soleira (m); e
H = altura da lâmina vertente (m).
OBS:
a) O ideal é calibrar o vertedor no local (quando sua instalação é definitiva) para obtenção do
coeficiente de vazão (CQ).
b) O vertedor de parede delgada é empregado exclusivamente como medidor de vazão e o de
parede espessa faz parte, geralmente, de uma estrutura hidráulica (vertedor de barragem, por
exemplo) podendo também ser usado como medidor de vazão.
5.5 Instalação do vertedor e medida da carga hidráulica (H)
Vale ressaltar que a determinação da altura da lâmina vertente (H) não é feita sobre a crista
do vertedor e sim a uma distância à montante suficiente para evitar a curvatura da superfície líquida.
Os seguintes cuidados devem ser tomados na instalação e na medida de H:
•
Escolher um trecho de canal retilíneo a montante e com pelo menos 20H de comprimento
(na prática, considerar no mínimo 3 metros);
•
A distância da soleira ao fundo (P) deverá ser superior a 3H (≅ 0,50 m) e da face à margem,
2
V
superior a 2H (≅ 0,30 m). Quando P ≅ 3H pode-se assumir 0 ≅ 0;
2g
•
O vertedor deve ser instalado na posição vertical, devendo estar a soleira na posição
horizontal;
•
Não permitir que haja qualquer escoamento lateral ou por baixo do vertedor;
•
A ventilação sob a cauda deve ser mantida para assegurar o escoamento livre; e
•
O valor de H deve ser medido a uma distância da soleira de 10H. Na prática, adotar a
distância de aproximadamente 1,5 m.
162
O procedimento a ser utilizado na medição de H é ilustrado nas figuras a seguir. Destacamse duas situações: vertedor móvel (Fig. 68a), utilizado para medições esporádicas da vazão, em
que o topo da estaca tangencia o nível da água; e vertedor fixo (Fig. 68b), utilizado para medições
frequentes da vazão, em que o topo da estaca fica em nível com a crista do vertedor.
(a)
(b)
Figura 68. Vertedores móvel (a) e fixo (b).
5.6 Exercícios de Fixação
1) Durante um teste de aferição de um vertedor retangular de parede delgada, sem contrações
laterais, a carga foi mantida constante e igual a 30 cm. Sabendo que o vertedor tem 2,40 m de
largura e que o volume de água coletado em 38 s foi de 28,3 m3, determinar o coeficiente de vazão
do vertedor.
2) Você foi encarregado de construir um vertedor triangular de 90º, de paredes delgadas, para
medição de vazão do laboratório de pesquisas na sua faculdade. Sabendo que a vazão máxima a
ser medida é de 14 L/s, determine a altura mínima do vertedor, contada a partir do seu vértice, para
medir a vazão máxima necessária.
3) Um vertedor retangular, sem contração lateral, tem 1,25 m de soleira, localizada a 70 cm do
fundo do curso d’água. Sendo 45 cm a carga do vertedor, calcular sua vazão.
163
4) Deseja-se construir um vertedor trapezoidal (Cipolletti) para medir uma vazão de 500 L/s.
Determine a largura da soleira desse vertedor, para que a altura d’água não ultrapasse a 60 cm.
5) Um vertedor retangular de parede fina com 1,0 m de largura, sem contrações laterais, é
colocado juntamente com um vertedor triangular de 90º em uma mesma seção, de modo que o
vértice do vertedor triangular esteja 0,15 m abaixo da soleira do vertedor retangular. Determinar:
a) a carga no vertedor triangular quando as vazões em ambos os vertedores forem iguais;
b) a carga no vertedor triangular quando a diferença de vazão entre o vertedor retangular e
triangular for máxima;
Utilizar as equações de Thompson e Francis.
6) Um vertedor retangular de parede fina, sem contrações laterais, é colocado em um canal
retangular de 0,50 m de largura. No tempo t = 0, a carga H sobre a soleira é zero e, com o passar
do tempo, varia conforme a equação H = 0,20 t, com H (m) e t (min). Determinar o volume de água
que passou pelo vertedor após 2 minutos.
7) Calcule a vazão teórica pelo vertedor de parede fina mostrado na figura abaixo. A carga sobre a
soleira é de 0,15 m.
164
8) As seguintes observações foram feitas em laboratório, durante um ensaio em um vertedor
retangular de largura L = 1,50 m.
h (m)
0,061
0,122
0,183
0,244
0,305
0,366
0,457
Q (m3/s)
0,0240
0,0664
0,1203
0,1838
0,2554
0,3342
0,4639
Se a relação de descarga é dada por Q = K L hn, determine os parâmetros K e n.
9) Se a equação básica para um vertedor retangular, de soleira fina, sem contrações laterais, for
usada para determinar a vazão por um vertedor de soleira espessa, de igual largura, qual deve ser
o coeficiente de vazão Cq naquela equação? Despreze a carga cinética de aproximação.
10) Na tentativa de evitar o efeito da contração e a depleção da veia líquida, comum nos vertedores
retangulares, pretende-se utilizar vertedores triangulares e trapezoidais. Para tornar mais
comparáveis os resultados obtidos nas várias opções disponíveis de vertedores, a carga de cálculo
será fixada em 0,5 m, a área molhada em 2 m2 e a velocidade de aproximação considerada nula.
Mantendo estes referenciais, determine as vazões dos seguintes vertedores:
OBS: Compare as vazões obtidas com a vazão do vertedor retangular.
a ) Vertedor triangular
b ) Vertedor trapezoidal com ângulo θ/2 = 45°
c ) Vertedor Cipoletti
Gabarito:
1) CQ = 0,427
2) H = 15,9 cm
3) Q = 0,698 m3/s
4) L = 0,58 m
5) a) H = 1,31 m; b) H = 0,70 m
6) Volume = 11,16 m3
7) Q = 40,23 L/s
8) K = 0,976; n = 1,47
9) Cq = 1/√3
10) a) Q = 2,00 m3/s; b) Q = 2,443 m3/s; c) Q = 2,489 m3/s; Vertedor Retangular: Q = 2,60 m3/s.
165
UNIDADE 6 – ORIFÍCIOS E BOCAIS EM PAREDES DE RESERVATÓRIOS
6.1 Orifícios
6.1.1 Conceito
Orifícios são aberturas de perímetro fechado (geralmente de forma geométrica conhecida)
localizadas nas paredes ou no fundo de reservatórios, tanques, canais ou canalizações, sendo
posicionadas abaixo da superfície livre do líquido.
6.1.2 Finalidade
Os orifícios possuem a finalidade de medição de vazão, sendo utilizados, também, para a
determinação do tempo de esvaziamento de reservatórios e o cálculo do alcance de jatos.
6.1.3 Classificação
I) Quanto à forma geométrica: podem ser retangulares, circulares, triangulares etc.
II) Quanto às dimensões relativas:
Analisando a Figura 69, os orifícios podem ser
considerados:
a) Pequeno: quando suas dimensões forem
muito menores que a profundidade (h) em
que se encontram. Na prática, d ≤ h/3.
b) Grande: d > h/3
em que;
d = altura do orifício; e
h = altura relativa ao centro de gravidade do
orifício.
Figura 69. Esquema de orifício instalado em
reservatório de parede vertical.
166
III) Quanto à natureza das paredes: Os orifícios podem ser considerados de:
a) Parede delgada (e < d): a veia líquida toca apenas a face interna da parede do reservatório, ou
seja, o líquido toca o perímetro da abertura segundo uma linha (Figura 70a).
b) Parede espessa (e ≥ d): a veia líquida toca quase toda a parede do reservatório (Figura 70b).
Esse caso será enquadrado no estudo dos bocais (os orifícios de parede espessa funcionam como
bocais).
(a)
(b)
Figura 70. Orifícios de parede delgada (a) e espessa (b).
IV) Quanto à posição da parede:
(a)
(b)
Figura 71. Orifícios de parede vertical (a) e parede inclinada para montante (b).
167
(c)
(d)
Figura 72. Orifícios de parede inclinada para jusante (a) e parede horizontal (b).
Quando a parede é horizontal e h < 3.d ocorre o chamado vórtice ou vórtes, o qual afeta o
coeficiente de descarga (CQ).
V) Quanto ao escoamento:
O escoamento em um orifício pode ser classificado como livre ou afogado conforme
apresentado na Figura 73.
(a)
(b)
Figura 73. Orifícios com escoamento livre (a) e afogado (b).
VI) Quanto à contração da veia:
O jato que sai do orifício sofre uma gradual contração, ficando a sua seção menor que a da
abertura, pois pela inércia das partículas, a direção do movimento não se altera bruscamente
(Figura 74).
168
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 74. Orifícios com contração do tipo completa [(a) e (e)] e incompleta [(b), (c) e (d)].
Seção contraída (Vena Contracta)
Seção contraída é aquela seção do orifício na qual observa-se uma mudança nas linhas de
corrente do jato d’ água ao passar pelo orifício. Diz-se que a contração é incompleta quando a
água não se aproxima livremente do orifício de todas as direções, o que ocorre quando o mesmo
não está suficientemente afastado das paredes e do fundo. A experiência mostra que, para haver
contração completa, o orifício deve estar afastado das paredes laterais e do fundo de, ao menos, 3
vezes a sua menor dimensão. Como a contração da veia líquida diminui a seção útil de
escoamento, a descarga aumenta quando a contração é incompleta.
As partículas fluidas escoam para o orifício vindas de todas as direções em trajetórias
curvilíneas. Ao atravessarem a seção do orifício continuam a se moverem em trajetórias curvilíneas
(as partículas não podem mudar bruscamente de direção, devido à inércia das partículas,
obrigando o jato a contrair-se um pouco além do orifício, onde as linhas de corrente são paralelas e
retilíneas) (Figura 75).
L = distância entre o lado interno da parede do
reservatório até o ponto onde as linhas de
corrente do jato contraído são paralelas.
L = 0,5 a 1 d
L = 0,5 d ⇒ para orifício circular
AC
= C C ⇒ coeficiente de contração
A
AC = área da seção contraída
A = área do orifício.
Figura 75. Seção contraída do jato de água que
escoa pelo orifício.
169
6.1.4 Fórmula para cálculo da vazão
6.1.4.1 Orifícios afogados de pequenas dimensões em paredes delgadas (contração completa)
Neste caso admite-se que todas as partículas que atravessam o orifício têm a mesma
velocidade e que os níveis da água são constantes nos dois reservatórios.
Considerando a Figura 76, aplica-se a equação de Bernoulli entre os pontos (0) e (1)
situados na linha de corrente 0-1, com plano de referência passando pelo ponto (1).
Figura 76. Esquema de dois reservatórios interligados por um orifício.
2
2
P0 V0
P V
+
+ Z 0 = 1 + 1 + Z1
γ
2g
γ
2g
sendo:
(222)
P0 Patm
=
; V0 ≈ desprezível e V1 = Vth , tem-se:
γ
γ
2
V
0 + 0 + h 0 = h 1 + th + 0
2g
(223)
2
Vth
= h 0 − h 1 ⇒ Vth = 2g (h 0 − h 1 )
2g
(224)
(velocidade teórica na seção contraída)
Na prática a velocidade real (V) na seção contraída é menor que Vth, devido às perdas
existentes (atrito externo e viscosidade - atrito interno). Chamando de Cv (coeficiente de
velocidade) a relação entre V e Vth, tem-se:
170
Cv =
V
⇒ V = C v Vth
Vth
(225)
Substituindo (224) em (225), tem-se:
V = C V 2g (h 0 − h 1 )
(226)
(velocidade real na seção contraída)
OBS: O valor de Cv é determinado experimentalmente e pode ser encontrado em tabelas, sendo
que o valor de Cv varia em funcão do diâmetro e forma do orifício e altura de lâmina d’ água h0 - h1.
Na prática pode-se adotar Cv = 0,985.
A vazão (Q) que atravessa a seção contraída (e também o orifício), é dada por:
Q = A C V = C V A C 2g (h 0 − h 1 )
(227)
Q th = AVth
(228)
em que;
Ac = área da seção contraída, L2.
Chamando de CC (coeficiente de contração) a relação entre AC e A (área do orifício), vem:
CC =
AC
⇒ AC = CCA
A
(229)
Substituindo (229) em (227), tem-se:
Q = C V C C A 2g (h 0 − h 1 )
(230)
Definindo como coeficiente de descarga (CQ) o produto CV.Cc, vem:
CQ = CV . CC
(231)
OBS: o valor de CQ é função da forma e diâmetro do orifício e da lâmina de água h0-h1. Na prática
pode-se adotar Cc = 0,62.
171
Substituindo (231) em (230), tem-se:
Q = CQ A 2g (h 0 − h1 )
(232)
que é a vazão volumétrica para orifícios afogados de pequenas dimensões localizados em
reservatórios de parede delgada. Na prática pode-se tomar o valor de CQ como: CQ = CV . CC =
0,985 x 0,62 = 0,61.
6.1.4.2 Orifícios com escoamento livre de pequenas dimensões em paredes delgadas (contração
completa)
Nesse caso h1 = 0 e h0 = h, então a equação (232) passa a ser escrita como:
Q = C Q A 2g h
(233)
Em iguais condições de altura de lâmina d’água acima do orifício (h ou h0 - h1), CQ é um
pouco maior para escoamento livre. Em casos práticos, podem-se adotar os mesmos valores para
CQ.
6.1.4.3 Orifícios livres de grandes dimensões em paredes delgadas (contração completa)
Nesse caso não se pode mais admitir que todas as partículas possuem a mesma
velocidade, devido ao grande valor d. O estudo é feito considerando-se o grande orifício dividido
em um grande número de pequenas faixas horizontais de alturas infinitamente pequenas, onde
pode ser aplicada a equação deduzida para orifícios pequenos (Figura 77).
Figura 77. Orifícios livres de grandes dimensões em paredes delgadas.
172
Considerando-se, portanto, um orifício de formato qualquer, a faixa elementar terá área de:
dA = x dh
(234)
A velocidade teórica na área elementar será:
2gh
Vth =
(235)
A descarga elementar será:
Q = CQ . A . Vth
(236)
Derivando em relação a área, tem-se:
dQ = CQ Vth dA
(237)
Substituindo (234) e (235) em (237), tem-se:
dQ = CQ x dh 2gh
(238)
Sendo, x = f(h), logo:
h1
Q = ∫ C Q x 2g h 1 / 2 dh
h0
h1
Q = C Q 2g ∫ x h 1 / 2 dh (para qualquer seção)
(239)
h0
Para o caso de orifícios com seção retangular (x = L):
h1
∫xh
h0
Q=
h1
1/ 2
dh = ∫ L h
h1
1/ 2
dh = L ∫ h 1 / 2 dh =
h0
h0
2
3/ 2
3/ 2
L (h 1 - h 0 )
3
3
3
2
LC Q 2g (h 1 2 - h 0 2 )
3
(240)
(orifício retangular de grandes dimensões)
173
OBS: Se h0 = 0, o orifício deixa de funcionar como tal e passa a ser um vertedor.
Para o caso de orifícios com seção triangular (Figura 78):
Figura 78. Seção transversal de um orifício triangular.
De acordo com a Figura 78, por semelhança de triângulos, tem-se que:
x h1 - h
b
=
⇒ x = (h 1 - h )
b
d
d
Como b = 2 d tg
θ
, tem-se:
2
θ
x = 2 d tg (h1 - h)
2
(241)
Substituindo (241) em (239), tem-se:
Q = CQ
θ
θ 1
1/ 2
2g ∫ 2 tg (h 1 − h )h dh = 2C Q 2g tg ∫ (h 1 − h )h 1 / 2 dh
2
2 h0
h0
h1
h
sendo:
h1
∫ (h
h0
1
− h )h
1/ 2
dh =
∫ (h h
h1
1
1/ 2
− h 3 / 2 )dh =
h0
tem-se:
174
2
3/ 2
3/ 2 2
5/ 2
5/2
h 1 (h 1 - h 0 ) (h 1 - h 0 )
3
5
(
) (
)
θ 2
2

Q = 2 CQ 2g tg  h1 h13 / 2 - h 03 / 2 − h15 / 2 - h 05 / 2 
2 3
5

(242)
(para orifícios triangulares de grandes dimensões)
6.1.4.4 Relação entre CV, CC e CQ
A vazão teórica que atravessa o orifício é dada por:
Q th = AVth
(243)
A vazão real que atravessa o orifício é dada por:
Q = AC V
(244)
Dividindo (244) por (243):
Q
A V
= CQ =
⇒ C Q = C CC V
Qth
A c Vth
(245)
6.1.4.5 Orifício de contração incompleta
Quando o orifício é de contração incompleta, a vazão é calculada pela mesma fórmula que
para orifício de contração completa, ou seja:
Q = CQ' A 2gh
(pequenas dimensões)
(246)
sendo o coeficiente CQ’ (coeficiente de vazão para contração incompleta) relacionado com o
coeficiente
de
vazão
para
contração
completa
(CQ)
pela
seguinte
expressão
obtida
experimentalmente por Bidone:
C Q ' = (1 + 0 ,15 K ) C Q
(247)
em que: K = relação entre o perímetro da parte não contraída do orifício, para o perímetro total do
orifício.
175
Exemplo:
Calcular o coeficiente de vazão para os orifícios de contração incompleta, conforme figuras
apresentadas a seguir (considere CQ = 0,62), sendo
endo dados b = 20 cm e d = 5 cm.
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 1:
K=
b+d
1
1
= ⇒ C Q ' = (1 + 0,15x ) 0,62 = 0,6665
2 (b + d) 2
2
Caso 2:
K=
b
20
=
= 0,4 ⇒ C Q ' = (1 + 0,15x 0,4) 0,62 = 0,6572
2 ( b + d ) 2 ( 20 + 5)
K=
2d + b
2.5 + 20
=
= 0,6 ⇒ C Q ' = (1 + 0,15x 0,6) 0,62 = 0,6758
2 ( b + d ) 2 ( 20 + 5)
Caso 3:
176
6.2 Bocais ou Tubos Curtos
6.2.1 Conceito
Bocais são pequenos tubos adaptados a orifícios de paredes delgadas por onde escoam os
líquidos dos reservatórios, canais etc.
6.2.2 Finalidade
Os bocais possuem a finalidade de dirigir o jato, regular e medir a vazão, sendo utilizados,
também, para a determinação do tempo de esvaziamento de reservatórios e o cálculo do alcance
de jatos.
6.2.3 Classificação
I) Quanto à forma geométrica:
Conforme apresentado na Figura 79, os bocais cilíndricos podem ser classificados como:
•
interiores ou reentrantes (interesse teórico); e
•
exteriores (interesse prático).
(a)
(b)
Figura 79. Bocais cilíndricos interior (a) e exterior (b).
As experiências mostram que os coeficientes de descarga para os bocais exteriores são
maiores que para os bocais interiores.
Os bocais cônicos (Figura 80) podem ser classificados como:
• divergente;
• convergente.
177
(a)
(b)
Figura 80. Bocais cônicos divergente (a) e convergente (b).
Outras formas de bocais podem ocorrer como, por exemplo, bocais com bordas
arredondadas.
II) Quanto às dimensões relativas:
A Figura 81 ilustra as dimensões do bocal.
De acordo com F. A. Bastos:
L < D ⇒ bocal curto
L ≥ D ⇒ bocal longo
L = 2,5 D ⇒ bocal padrão
De acordo com A. Netto:
L = 1,5 a 3D ⇒ bocais
L = 3 a 500D ⇒ tubos muito curtos
L = 500 a 4000D ⇒ tubulações curtas
L > 4000D tubulações longas
Figura 81. Esquema das dimensões de um bocal.
Os orifícios de parede espessa (e ≥ D e L ≥ D) serão tratados como bocais, isso porque a
seção contraída se forma dentro dos bocais longos.
178
O bocal curto funciona como um orifício de paredes delgadas (e<D e L<D), sendo adotado o
mesmo coeficiente usado para os dois casos, isto porque a seção contraída se forma fora do bocal
curto.
6.2.4 Fórmula para cálculo da vazão
A dedução da fórmula é feita do mesmo modo que para os orifícios, não sendo necessária a
sua repetição; obviamente o que muda é o valor do coeficiente de descarga, o qual deve ser
levantado experimentalmente ou por meio de tabelas. Dessa forma:
Q = C Q A 2g h
(248)
(para bocais com contração completa)
sendo que CQ é funcão do comprimento (L), diametro (D) e forma do bocal. Para L = 3D,
pode-se tomar, na prática, CQ = 0,82.
OBS: para parede delgada e parede espessa, os valores de CQ são aproximadamente iguais.
Exemplo:
Na parede vertical do reservatório A existe um orifício de pequenas dimensões afogado,
que deságua em um reservatório B (figura abaixo). Este por sua vez possui também um pequeno
orifício que deságua livremente na atmosfera.
Supondo regime permanente e sabendo que h’ = 5 m, calcular:
1) Os valores de H1 e H2
2) A vazão em regime permanente
179
Dados:
CV1 = CV2 = 0,98
CC1 = CC2 = 0,61
A1 = 2 cm2
A2 = 4 cm2
Solução:
CQ1 = CQ 2 = C v1 Cc1 = 0,98 x 0,61 = 0,5978 ≈ 0,60
Fórmulas:
Q1 = C Q1 A 1 2g (h 0 - h 1 )
(orifício afogado)
Q 2 = C Q 2 A 2 2g H 2
(orifício livre)
Para escoamento permanente tem-se:
Q1 = Q2
1
1
CQ1 A1 2g (h 0 - h1) 2 = CQ2 A 2 2g H 2 2
1
A1  H 2  2

=
A 2  (h 0 - h1) 
Como:
h0 = h`+x
h1 = H2+x
180
1
1
 2  H
 2
A1 
H2
2
 =

=
 (h ' - H ) 
A 2  ( h ' + x ) (H 2 + x ) 
2 



1
2
 H2   1 
2  H2  2
 ⇒

=
 (5 - H )  =  (2) 
4  (5 - H 2 ) 
2  


Da figura: H1+H2 = h`= 5 m
H1=4 m
Q1 = 0,60 x 2 x10 -4 x 2g ((h `+ x ) - (H 2 + x )) = 1,06.10-3 m3s-1= 1,06 L.s-1
ou
Q1 = 0,60 x 4 x10 -4 x 2g x1 = 1,06.10-3 m3s-1= 1,06 L.s-1
6.2.5 Escoamento com nível variável (esvaziamento de reservatórios de seção constante)
Até agora considerou-se a carga h invariável. Se o nível da água do reservatório não for
mantido constante, h diminuirá com o decorrer do tempo e o escoamento passará a ser encarado
como não permanente. Considerando a Figura 82, e ainda:
h0 = carga inicial da água no reservatório, L;.
h1 = carga final da água no reservatório, L;.
S = área da seção do reservatório, L2;
A = área da seção do orifício (ou do bocal), L2;
t = tempo necessário para a água atingir o nível (1), T.
Figura 82. Esquema do esvaziamento de um
reservatório de seção constante.
Para um dado instante t, o orifício (ou o bocal) possui uma vazão Q sob uma carga h.
Decorrido um pequeno intervalo de tempo dt, pode-se considerar que a vazão continuará sendo a
mesma, ou seja:
181
Q = CQ A 2g h
(orifícios de pequenas dimensões).
(249)
Para esse mesmo intervalo de tempo dt o volume elementar (dVol) do líquido escoado,
mantida a vazão Q, será:
Q=
dvol
→ dvol = Q dt
dt
(250)
Substituindo (249) em (250), tem-se:
dvol = C Q A 2gh dt
(251)
Ainda no mesmo intervalo de tempo dt pode-se dizer que o nível da água baixará no
reservatório de dh, o que corresponde a um volume elementar de:
dvol = −S dh
(252)
onde o sinal negativo significa que h decresce com o aumento de t.
Comparando (251) com (252):
C Q A 2g h dt = −S dh
dt =
−S
1
C Q 2g A h 2
−S
dh =
−1
h
2 dh
C Q 2g A
(253)
Integrando (253) no intervalo de h0 e h1,
t=
2S
C Q 2g A
 h 12 − h 12 
 0
1 


(254)
OBS: esta expressão é apenas aproximada por quê:
182
•
CQ é função dos valores de h e d, varia com a diminuição de h;
•
A partir de um certo valor h, o orifício deixará de ser considerado como “pequeno”,
passando a ser considerado como grande, e
•
Considera-se orificio pequeno quando d ≤
h
h
e grande quando d > .
3
3
Exemplo:
Em uma estação de tratamento de água (ETA), existem dois decantadores de 5,50 x 16,50
m de base e 3,50 m de profundidade. Para limpeza e reparos, qualquer uma dessas unidades pode
ser esvaziada por meio de uma comporta quadrada de 0,30 m de lado, instalada junto ao fundo.
Calcular a vazão inicial da comporta e determinar o tempo necessário para o esvaziamento do
decantador (CQ’ = 0,62 ⇒ coeficiente de vazão para contração incompleta).
C'Q = (1 + 0,15K )CQ
Solução:
a) Vazão inicial:
h = 3,50 − 0,15 = 3,35m
3,35
h
d≤
∴d ≤
3
3
Q = C Q 'A 2g h = 0,62x (0,30 )2 2 x 9,81x 3,35
Q = 0,452 m3 s = 452 L s
183
b) Tempo necessário para o seu esvaziamento:
t=
 h 12 - h 12 
 0
1 

C Q 2g A 
2S
h 0 = h = 3,35m
h1 = 0
2 x 5,50 x16,50
t=
0,62 2 x 9,81 x (0,30)
2
3,35
0,5
= 1344s
t = 22,40 min ou 22,0 min e 24 seg (este tempo é apenas aproximado)
6.2.6 Perda de carga em orifícios e bocais
Considerando a Figura 83 e as equações (255) e (256), tem-se:
Vth = 2gh
V = 2gh1
(velocidade teórica)
(255)
(velocidade real)
(256)
em que:
h1 = parcela utilizada para produzir a velocidade real.
Figura 83. Esquema do esvaziamento de um reservatório.
OBS: h1 < h porque uma parcela de h foi consumida para vencer as resistências ao escoamento.
Essa parcela consumida chama-se “perda de carga”, que será representada por hf.
184
Portanto:
h − h1 = h f ou
Vth 2 V 2
−
= hf
2g
2g
2


 − 1 = h f


V
V
1
= C v ⇒ th =
Vth
V
Cv
V2
2g
V2
2g
 1  
 − 1 = h

f
 C v 2  
 V
 th
 V
(perda de carga em orifícios e bocais.)
(257)
6.2.7 Determinação da velocidade real (V) usando o processo das coordenadas cartesianas
Esta técnica constitui-se num interessante método para a determinação da velocidade real
do escoamento, e consequentemente da vazão, desde que se despreze a resistência do ar. Sabese que a pressão exercida numa superfície por um líquido é normal a essa superfície.
Para o equacionamento do problema, considere-se um orifício praticado na parede inclinada
de um reservatório conforme a Figura 84 apresentada a seguir:
Figura 84. Orifício em parede inclinada de um reservatório.
185
As equações da cinemática são descritas abaixo:
1
e = e 0 + V0 t − gt 2
2
(258)
V = V0 − gt
(259)
em que:
e = espaço percorrido, L;
e0 = espaço inicial, L;
V = velocidade num determinado ponto, L.T-1;
V0 = velocidade inicial, L.T-1; e
t = tempo percorrido, T.
Lembrando que a posição ocupada por uma partícula assim como sua velocidade podem
ser obtidas pelas equações da cinemática, pode-se escrever para as coordenadas do ponto (1),
com o auxílio da equação (258) e considerando o movimento ascendente:
x = 0 + V0 x t − 0 ∴ x = V0 x t (direção x )
(260)
1
1
y = 0 + V0 y t − gt 2 ∴ y = V0 y t − gt 2 (direção y )
2
2
(261)
OBS: na direção y atua a força da gravidade.
As componentes das velocidades no ponto (1), com o auxílio da Figura 84 e da equação
(259) são:
V1x = V0 x − gt
V1x = V0 x = V cos θ
V = V0 − gt
V1y = V0 y − gt = Vsenθ − gt
(262)
Reescrevendo a equação (260), tem-se:
t=
x
V0 x
(263)
E substituindo (263) em (261) encontra-se:
186
y = V0 y
Como
V0 y
V0 x
x
1 x2
− g
V0 x 2 V0 x 2
(264)
= tgθ e V0 x = V cos θ , escreve-se a equação como:
g
x2
y = xtgθ 2 V 2 cos 2 θ
2V 2 cos 2 θy - 2V 2 cos 2 θx tgθ = gx 2
V 2 (2 cos 2 θy - 2 cos 2 θx tgθ) = gx 2 (-1)
V=
V=
gx 2
2 cos 2 θ( x tgθ - y)
g
x
cos θ 2( x tgθ − y)
(265)
A equação (265) descreve a velocidade real na saída do bocal ou orifício em função das
coordenadas x e y:
O coeficiente de velocidade (Cv) é calculado por:
Cv =
Cv =
Cv =
V
V
=
Vth
2gh
V
x
=
Vth cos θ
x
1
2 cos θ h ( x tgθ − y)
g
2( x tgθ − y)
2gh
(266)
Se a parede do reservatório for vertical, θ = 0 e y será sempre negativo, de tal forma que:
0
Cv =
x
2
1
hy
(267)
187
Observações:
•
o eixo das ordenadas y foi considerado positivo para cima e o das abscissas x para a
direita.
•
as equações anteriores podem ser aplicadas a escoamentos livres em orifícios, bocais,
tubulações etc.
•
se V1y for positivo, o movimento é ascendente e se V1y for negativo, o movimento é
descendente.
Exemplo
Determinar a equação da trajetória do líquido, a vazão escoada e a velocidade na posição
(1), para a figura e os dados abaixo:
- diâmetro da saída da tubulação (d=50 mm)
Solução:
a) Equação da trajetória (usar equação 261):
V=
V=
g
x
cos θ 2( x tgθ - y)
3,63
9,81
cos 60 0
2(3,63 tg60 0 + 0,90)
V = 6m s
188
y = xtgθ -
g
x2
2 V 2 cos 2 θ

9,81 
x
y = xtg 60 

2  6 cos 600 
2
0
y = 1,732x - 0,545x 2
b) Vazão escoada (Q):
π(0,050) 2
πd 2
V=
Q = AV =
6 = 0,0118 m3s-1
4
4
c) Velocidade na posição 1:
V1x = V0 x = V cos θ = 6 cos 60 0 = 3 m.s-1
x = V0 x t ∴ t =
x
3,63
=
= 1,21 s
V0 x
3
V1y = Vsenθ − gt = 6sen600 − 9,81.1,21 = −6,67 m.s-1
(indicando que o movimento é descendente)
Da figura tira-se que:
α
V1x
V12 = V1x 2 + V1y 2
V12 = 32 + (−6,67) 2
V1 = 7,31 m s
V1y
V1
189
6.3 Exercícios de Fixação
1) Na parede vertical de um reservatório de grandes dimensões (A) existe um orifício afogado (1)
que deságua em outro reservatório (B). Este, por sua vez, possui também um orifício que deságua
livremente (2).
Supondo que o regime é permanente e, sabendo que a altura h vale 5,0 m, calcule:
a) as alturas H1 e H2;
b) a vazão que escoa pelos orifícios
Dados: Cc1 = Cc2 = 0,61
Cv1 = Cv2 = 0,98
A1 = 2 cm2
A2 = 4 cm2
2) Num bocal cilíndrico externo de 2,0 cm2 de área e coeficiente de vazão de 0,85, verificou-se que
o jato sai com velocidade de 5,0m/s. Nestas condições, determinar a carga no bocal e a vazão que
escoa.
3) Um bocal cilíndrico interno, funcionando com veia descolada, tem área de 2,0 cm2, coeficiente
de velocidade de 0,98 e coeficiente de contração de 0,52, com carga de 2,0 m.
Qual seria a área de um bocal externo de Cv = 0,85 que, com a mesma carga, descarregaria a
mesma vazão?
4) Através de uma das extremidades de um tanque retangular de 0,90 m de largura, água é
admitida com vazão de 57 L/s. No fundo do tanque existe um pequeno orifício circular de 7,0 cm de
diâmetro, escoando para a atmosfera. Na outra extremidade existe um vertedor retangular livre, de
190
parede fina, com altura P = 1,20 m e largura da soleira igual a 0,90 m. Determine a altura d’água Y
no tanque e a vazão pelo vertedor, na condição de equilíbrio. Utilize a equação de Francis.
5) Um vertedor triangular com ângulo de abertura de 90º descarrega água com uma carga de 0,15
m em um tanque, que possui no fundo três orifícios circulares de parede delgada, com 40 mm de
diâmetro. Na condição de equilíbrio, determine a vazão e a profundidade da água no tanque.
6) Um reservatório de barragem, com nível d’água na cota 545,00 m está em conexão com uma
câmara de subida de peixes, através de um orifício circular com diâmetro D1 = 0,50 m. Essa
câmara descarrega na atmosfera, por outro orifício circular de diâmetro D2 = 0,70 m, com centro na
cota 530,00 m. Após certo tempo, cria-se um regime permanente (níveis constantes). Sabendo-se
que os coeficientes de contração dos dois orifícios são iguais a Cc = 0,61 e os coeficientes de
velocidade, iguais a Cv= 0,98, calcular qual é a vazão e o nível d’água na câmara de subida de
peixes.
7) Um reservatório de seção quadrada de 1,0 m de lado possui um orifício circular de parede fina
de 2 cm2 de área, com coeficiente de velocidade Cv = 0,97 e coeficiente de contração Cc = 0,63,
situado 2,0 m acima do piso, conforme a figura abaixo. Inicialmente, com uma vazão de
191
alimentação Qe constante, o nível d’água no reservatório mantém-se estável na cota 4,0 m. Nestas
condições, determine:
a) a vazão Qe;
b) a perda de carga no orifício;
c) a distância x da vertical passando na saída do orifício até o ponto onde o jato toca o solo
(alcance do jato);
d) interrompendo-se bruscamente a alimentação, Qe = 0, no instante t = 0, determinar o tempo
necessário para o nível d’água no reservatório baixar até a cota 3,0 m.
8) Um vertedor retangular de parede fina com 1,0 m de largura, sem contrações laterais, é
colocado juntamente com um vertedor triangular de 90º em uma mesma seção, de modo que o
vértice do vertedor triangular esteja 0,15 m abaixo da soleira do vertedor retangular. Determinar:
a) a carga no vertedor triangular quando as vazões em ambos os vertedores forem iguais;
b) a carga no vertedor triangular quando a diferença de vazão entre o vertedor retangular e
triangular for máxima;
Utilizar as equações de Thompson e Francis.
9) Em um recipiente de parede delgada, existe um pequeno orifício de seção retangular junto ao
fundo e afastado das paredes verticais. Sabendo-se que a perda de carga no orifício é 5% da carga
H, determinar a velocidade real e o coeficiente de velocidade Cv.
10) Um reservatório de forma cônica, cuja área superior é S e a área do orifício no fundo é So, tem
coeficiente de descarga, supostamente constante, igual a Cq. Qual é o tempo necessário para seu
esvaziamento total?
192
Gabarito:
1) H1 = 4,0m; H2 = 1,0 m; Q1 = Q2 = 1,06 L/s
2) H = 1,77m; Q = 1,0 L/s
3) A = 1,2 cm2
4) Y = 1,29; Q = 0,0447 m3/s
5) Q = 0,0122 m3/s; y = 1,44 m
6) Q = 1,80 m3/s; N.A. = 533,10 m
7) a) Qe = 0,77 L/s; b) ∆h = 0,118 m; c) x = 3,88 m; d) t = 16,50 min
8) a) H = 1,31 m; b) H = 0,70 m
9) Vr = 4,315 √‫ ;ܪ‬Cv = 0,975
10)
T=
2
Sh
5 C S 2gh
q o
193
Apêndice 1. Condutos Forçados
194
Tabela 1A. Valores de viscosidade cinemática da água
Temperatura, Viscosidade, cinemática
Temperatura,
o
-2 -1
o
C
v, m s
C
0
0,000 001 792
20
2
0,000 001 763
22
4
0,000 001 567
24
6
0,000 001 473
26
8
0,000 001 386
27
10
0,000 001 308
30
12
0,000 001 237
32
14
0,000 001 172
34
16
0,000 001 112
36
18
0,000 001 059
38
Viscosidade,
cinemática v, m-2s-1
0,000 001 007
0,000 001 960
0,000 001 917
0,000 001 876
0,000 001 839
0,000 001 804
0,000 001 772
0,000 001 741
0,000 001 713
0,000 001 687
Tabela 1B. Valores de viscosidade cinemática de alguns fluídos
Viscosidade cinemática
Temperatura,
Peso
o
Fluído
C
específico,
v, m-2s-1
-3
kg.m
5
737
0,000 000 757
10
733
0,000 000 710
15
728
0,000 000 681
Gasolina
20
725
0,000 000 648
25
720
0,000 000 621
30
716
0,000 000 596
5
865
0,000 005 98
10
861
0,000 005 16
15
588
0,000 004 48
Óleo combustível
20
855
0,000 003 94
25
852
0,000 003 52
30
849
0,000 003 13
5
1,266
0,000 013 7
10
1,244
0,000 014 1
15
1,222
0,000 014 6
Ar (pressão atmosférica)
20
1,201
0,000 015 1
25
1,181
0,000 015 5
30
1,162
0,000 016 0
195
Tabela 1C. Valores adotados na PNB 591 da rugosidade uniforme equivalente ε (em mm) para
tubos usuais
I.
TUBO DE AÇO: JUNTAS SOLDADAS E INTERERIOR CONTÍNUO
ε
1.1. Grandes incrustações ou tuberculizações
2,4 a 12,0
1.2. Tuberculização geral de 1 a 3 mm
0,9 a 2,4
1.3. Pintura à brocha, com asfalto, esmalte ou betume em camada espessa
0,6
1.4. Leve enferrujamento
0,25
1.5. Revestimento obtido por imersão em asfalto quente
0,1
1.6. Revestimento com argamassa de cimento obtido por centrifugação
0,1
1.7. Tubo novo previamente alisado internamente e posterior revestimento de esmalte,
vinyl ou epoxi obtido por centrifugação
0,06
II. TUBO DE CONCRETO
2.1. Acabamento bastante rugoso: executado com formas de madeira muito rugosas:
concreto pobre com desgastes por erosão; juntas mal alinhadas
2,0
2.2. Acabamento rugoso: marcas visíveis de formas
0,5
2.3. Superfície interna alisada a desempenadeira; juntas bem feitas
0,3
2.4. Superfície obtida por centrifugação
0,33
2.5. Tubo de superfície lisa, executado com formas metálicas, acabamento médio com
juntas bem cuidadas.
0,12
2.6. Tubo de superfície interna bastante lisa, executado com formas metálicas,
acabamento esmerado, e juntas cuidadas
0,06
III. TUBO DE CIMENTO AMIANTO
0,10
I.V. TUBO DE FERRO FUNDIDO
4.1. Revestimento interno com argamassa de cimento e areia obtida por centrifugação
com ou sem proteção de tinta a base de betume
0,1
4.2. Não revestido
0,15 a 0,6
4.3. Leve enferrujado
0,30
V. TUBO DE PLÁSTICO
0,06
VI. TUBOS USADOS
6.1. Com camada de lodo inferior a 5,0 mm
6.2. Com incrustações de lodo ou de gorduras inferiores a 25 mm
6,0 a 30,0
6.3. Com material sólido arenoso depositado de forma irregular
60,0 a 30,0
NOTA:
–
–
–
Valores mínimos a adotar com tubos novos (ef. item 5.8.1.9. da PNB 591):
Para adutoras medindo mais de 1.000 m de comprimento: 2,0 vezes o valor encontrado na
tabela acima para o tubo e acabamento escolhidos.
Para adutoras medindo menos de 1.000 m de comprimento: 1,4 vezes o valor encontrado na
tabela para o tubo e acabamento escolhidos.
196
Tabela 1D. Valores de C (fórmula de Hazen-Willians)
Material
Aço corrugado (Chapa ondulada)
Aço com juntas “Lock-Bar” novas
Aço galvanizado (novo e em uso)
Aço rebitado novo
Aço rebitado em uso
Aço soldado novo
Aço soldado em uso
Aço salgado com reve. esp. novo e em uso
Chumbo
Cimento amianto
Cobre
Concreto bem acabado
Concreto acabamento comum
Ferro fundido novo
Ferro fundido em uso
Ferro fundido revestido de cimento
Grés cerâmico vidrado (manilha)
Latão
Madeira em aduelas
Tijolos condutos bem executados
Vidro
Plástico
197
C
60
130
125
110
85
120
90
130
130
140
130
130
120
130
90
130
110
130
120
100
140
140
Tabela 1E. Equivalência das perdas de cargas localizadas em metros de canalização de PVC rígido ou cobre
Diâmetro
D
Joelho
90o
Joelho
45o
Curva
90o
Curva
45o
Tes 90o
Tes 90o
Passagem Saída
Direta
de Lado
Tes 90o
Saída
Bilateral
Entrada
Normal
Entrada
de
Borda
Saída
de
Canalização
Válvula
de pé e
crivo
Válvula de Retenção
Tipo
Leve
Tipo
Pessado
Registro
de Globo
Aberto
Registro
de Gaveta
Aberto
Registro
Ângulo
Aberto
mm
pol.
20
(1/2)
1,1
0,4
0,4
0,2
0,7
2,3
2,3
0,3
0,9
0,8
8,1
2,5
3,6
11,1
0,1
5,9
25
(3/4)
1,2
0,5
0,5
0,3
0,8
2,4
2,4
0,4
1,0
0,9
9,5
2,7
4,1
11,4
0,2
6,1
32
(1)
1,5
0,7
0,6
0,4
0,9
3,1
3,1
0,5
1,2
1,3
13,3
3,8
3,8
15,0
0,3
8,4
40
(1 ¼)
2,0
1,0
0,7
0,5
4,5
4,6
4,6
0,6
1,8
1,4
15,5
4,9
7,4
22,0
0,4
10,5
50
(1 ½)
3,2
1,3
1,2
0,6
2,2
7,3
7,3
1,0
2,3
3,2
18,3
6,8
9,1
35,8
0,7
17,0
60
(2)
3,4
1,5
1,3
0,7
2,3
7,6
7,6
1,5
2,8
3,3
23,7
7,1
10,8
37,9
0,8
18,5
75
(2 ½)
3,7
1,7
1,4
0,8
2,4
7,8
7,8
1,6
3,3
3,3
25,0
8,2
12,5
38,0
0,9
18,0
85
(3)
3,9
1,8
1,5
0,9
2,5
8,0
8,0
2,0
3,7
3,7
26,8
9,3
14,2
40,0
0,9
20,0
110
(4)
4,3
1,9
1,6
1,0
2,6
8,7
8,3
2,2
4,0
3,9
28,6
10,4
15,0
42,3
1,0
22,1
140
(5)
4,9
2,4
1,9
1,1
3,3
10,0
10,0
2,5
5,0
4,9
37,4
12,5
19,2
50,9
1,1
26,2
160
(6)
5,4
2,6
2,1
1,2
3,6
11,1
11,1
3,6
5,6
5,5
43,4
13,9
21,4
56,7
1,2
28,9
198
Tabela 1F. Perdas localizadas expressas em diâmetros de canalização retilínea
(comprimentos equivalentes)
Comprimentos expressos em
Peça
diâmetros (números de diâmetros)
Ampliação gradual
12
Cotovelo de 90o
45
Cotovelo de 45o
20
Curva de 90o
30
Curva de 45o
15
Entrada normal
17
Entrada de borda
35
Junção
30
Redução gradual e excêntrica
6
3/4 aberto = 35D
Registro de gaveta, aberto
8
1/2 aberto = 170D
Registro de globo, aberto
350
1/4 aberto = 900D
Registro de ângulo, aberto
170
Saída de canalização
35
Tê, passagem direta
20
Tê, saída de lado
50
Tê, saída bilateral
65
Válvula-de-pé e crivo
250
Válvula de retenção
100
Curvas de aço em segmentos
30o – 2 segmentos
7
45o – 2 segmentos
15
45o – 3 segmentos
10
60o – 2 segmentos
25
60o – 3 segmentos
15
90o – 2 segmentos
65
90o – 3 segmentos
25
90o – 4 segmentos
15
199
Figura 1A. Fluxograma de Podalyro para determinação da perda de carga (hf).
200
Figura 1B. Fluxograma de Podalyro para determinação da vazão (Q).
201
Figura 1C. Fluxograma de Podalyro para determinação do diâmetro (D).
202
Tabela 1G. Pressão de vapor da água em função da temperatura.
203
Tabela 1H. Pressão Atmosférica em Função da Altitude.
204
Apêndice 2. Deduções das equações para o cálculo das grandezas
geométricas das seções dos canais
205
2.1 Seções usuais
2.1.1 Seção Trapezoidal
a. Área molhada (A)
x
A = by n + 2 y n = by n + xy n
2
x
tgα = ∴ x = zy n
yn
A = by n + zy n
2
A = y n (b + zy n )
b. Perímetro molhado (P)
P = b + 2T
2
2
2
T 2 = x 2 + yn = z 2 yn + yn → T = yn z 2 + 1
P = b + 2 yn z 2 + 1
c. Raio hidráulico (R)
R=
y n (b + y n )
A
=
P b + 2 yn z 2 + 1
d. Largura da superfície (B)
B = b + 2x
B = b + 2 zy n
206
2.1.2 Seção retangular
Basta fazer z = 0 nas fórmulas deduzidas para canal trapezoidal, obtidas anteriormente.
a. Área molhada (A)
A = byn
b. Perímetro molhado (P)
P = b + 2 yn
c. Raio hidráulico (R)
R=
by n
A
=
P b + 2 yn
2.1.3 Seção triangular
Basta fazer b = 0 nas equações deduzidas para o canal trapezoidal.
207
a. Área molhada (A)
A = zy n
2
b. Perímetro molhado (P)
2
2
P = 2 z 2 yn + yn = 2 yn z 2 + 1
c. Raio hidráulico (R)
R=
zy n
A
=
P 2 z2 +1
2.1.4 Seção circular
a. Perímetro molhado (P)
πD 2πr
θD
=
∴P =
P
θ
2
( θ em radiano)
b. Profundidade normal (yn)
Pelo triângulo retângulo OSN:
208
β=
D D
D
θ π 
= senβ = sen - 
2
2
2
2 2
sen(a - b ) = sena cos b - senb cos a
yn -
yn -
D D
θ
π
π
θ
=  sen cos - sen cos 
2
2
2
2
2
2
yn -
θ
D D
=  0 - cos 
2
2
2
yn =
D
θ
1 - cos 
2
2
1- 2
∴
1- cos
θ
y
=2 n
2
D
yn
θ
= cοs
D
2
y 

θ = 2 arccos1 - 2 n 
D 

yn =
D
θ
1 − cos 
2
2
c. Largura da superfície (B)
Pelo triangulo retângulo OSN:
SN = B/2 (metade da largura da superfície)
209
2π  θ  π 2π θ θ - π
- π -  = + =
4  2 2 2 2
2
2
2
2
D
D
B

  =   +  yn − 
2
2
2

2
2
2 
D
θ  D
D
B
  =   +  1 − cos  − 
2 2
2
2
2
2
2
θ D 2
D
B
D D
=
+
−
− 
cos
 
 

2 2
2
2
2 2
2
2
2
D
B
D
2θ
  =   +   cos
2
2
2
2
2
2
B
D 
2θ
  =   1 − cos

2
2
2 
2
2
B
D
2 θ → B = D sen θ
  =   sen
2
2 2
2
2
2
B = Dsen
θ
2
d. Área molhada (A)
A1= Área hachureada do canal
A1= Área do setor (A2) – área do triângulo (A3)
A2 = Área do setor circular OMN
A3 = Área do triângulo isósceles OMN
A=
πD 2
4
- A1
Α3 =
ΜΝ 
D Β
D
 yn -  =  yn - 
2 
2 2
2
A3 =
1
θ  − D
θ
1 
θ 
θ
cos  = - D 2  sen  cos 
 Dsen 
2
2  2
2
4 
2 
2
πD 2 /4
2π
=
A2
2π − θ
A2 =
D 2  2π - θ  D 2 
θ

=
π − 
4  2 
4 
2
A1 =
D2  θ  1 2
θ
θ
 π -  + D sen cos
4  2 4
2
2
210
A=
A=
πD 2
4
D2
−
πD 2
4
+ D2
θ
8
−
1 2
θ
θ
D sen cos
4
2
2
θ
θ

θ − 2 sen cos 
8 
2
2
θ
θ
sen cos =
2
2
senθ
2
D2
A=
(θ - senθ )
8
(tabelas trigonométricas)
( θ em radiano)
e. Raio hidráulico (R)
A D2
=
(θ - senθ) 2
P
8
θD
D  senθ 
R = 1 
4
θ 
R=
2.1.5 Canal semicircular
Neste caso basta usar as equações deduzidas para canal de seção circular, fazendo θ=π.
a. Perímetro molhado(P)
P=
θD πD
=
2
2
b. Profundidade normal (yn)
D
θ  D
π
1 − cos  = 1 − cos 
2
2 2 
2
D
yn =
2
yn =
211
c. Largura da superfície (B)
B = Dsen
θ
2
= Dsen
π
2
B=D
d. Área molhada(A)
A=
A=
2
D2
(θ − senθ ) = D (π − senπ )
8
8
2
πD
8
e. Raio hidráulico (R)
D  senθ
1 4
2
D
R=
4
R=
 D  senπ 
 = 1 
2 
 4
Observa-se que o raio hidráulico do canal semicircular é igual ao raio hidráulico do canal circular
funcionando a plena seção.
212
2.2 Seções de máxima eficiência
2.2.1 Seção trapezoidal de máxima eficiência
Da Tabela 2 tira-se que:
(1)
P = b + 2 yn z 2 + 1
A = y n (b + zy n )
b + zy n =
(2)
(3)
A
A
⇒b=
− zyn
yn
yn
(3) em (1):
P=
A
− zy n + 2 y n 1 + z 2
yn
dP
A
=−
− z + 2 1+ z2 = 0
2
dy n
yn
A
2 1+ z2 − z =
yn 2
(4)
A = yn 2 ( 2 1 + z 2 − z )
(4) em (3):


b = y n  2 1 + z 2 − z  − zy n


213
(5)


b = 2 yn  1 + z 2 − z 


(5) em (1):


P = 2 yn  1 + z 2 − z  + 2 yn 1 + z 2


(6)


P = 2 yn  2 1 + z 2 − z 


R=
2
(
(
)
)
(7)
y
A yn 2 1 + z 2 − z
=
→R= n
P 2 yn 2 1 + z 2 − z
2
Observação: havendo a possibilidade de escolher o valor de z (z é função da natureza das paredes
do canal) para a seção de máxima eficiência, este será substituído, yn de (4) em (6):
1/ 2


A

yn = 

2
 2 1+ z − z 


A

P = 2

2
 2 1+ z − z 
(
1/ 2
)
− z]
P = 2 A1/ 2 2 1 + z 2 − z
[(
P2 = 4 A 2 1 + z2
2P
)
0, 5
(2 1 + z
2
−z
)
1/ 2
elevando ambos os membros ao quadrado
derivando, vem:
 2z

dP
= 4 A
− 1
2
dz
 1+ z

 2z
1
dP
= 2 A
− 1 = 0
2
dz
 1+ z
P
2z
−1 = 0
1+ z2
2z = 1 + z 2
4z2 = 1+ z 2
214
1
3
z = tgα
z=
α = 30°
O canal trapezoidal de máxima eficiência, quando z puder ser fixado, é um semi-hexágono,
como mostrado a seguir (n = número de lados; Si = soma dos ângulos internos; i = valor de um
ângulo interno):
S i = 180°(n − 2 )
S i 180°(n − 2 )
=
= 120°
n
n
3(n − 2 ) = 2n
i=
3n − 6 = 2n
n=6
Semi-hexágono
2.2.2 Seção retangular de máxima eficiência
z = 0, que substituindo nas equações (4), (5), (6) e (7), fornece:
A = 2 yn
2
b = 2 yn
P = 4 yn
R=
yn
2
215
2.2.3 Seção triangular de máxima eficiência
Da Tabela 2 tira-se que:
2
(1)
P = 2 yn 1 + z 2
(2)
A = zyn
A
z
yn =
que substituindo em (2), fornece:
A
1 + z2
z
4A
1

P2 =
1 + z 2 = 4 A + z 
z
z

P=2
(
)
Derivando P em relação à z, vem:
2P

dP
1 
= 4 A1 −
 = 0
dz
 z2 
z 2 = 1 → z = 1 → α = 45°
θ = 2α → θ = 90°
Levando z às expressões (1) e (2), tem-se:
A = yn
2
P = 2 2 yn
Pela definição de raio hidráulico, chega-se a:
R=
yn
2 2
216
2.2.4 Seção circular de máxima eficiência
Da Tabela 2 tira-se que:
θD
P=
2
e
D=
8A
θ − senθ
P=
8A
2
D2
A=
(θ − senθ)
8
θ
8Α
=
2
θ − senθ
1
senθ
1−
θ
dP
=0
dθ
Efetuando a derivada e simplificando, vem:
2(θ − senθ ) = θ (1 − cos θ )
A solução da equação acima é:
θ = π = 180° , que levada às expressões de A e P fornece:
P=
πD
2
e
A=
πD 2
8
Deste modo pode-se observar que o canal circular de máxima eficiência trabalha a meia
seção (o canal é chamado de semicircular).
217
Apêndice 3. Condutos Livres: tabelas e figuras
218
Tabela 3A. Valores de γ para a fórmula de Bazin
Estado da parede
Natureza da parede
Perfeito
Bom
Regular
Mau
Cimento liso
0,048
0,103
0,157
0,212
Argamassa de cimento
0,103
0,157
0,212
0,321
Aqueduto de madeira aparelhada
0,048
0,157
0,212
0,267
Aqueduto de madeira não aparelhada
0,103
0,212
0,267
0,321
Canais revestidos de concreto
0,157
0,267
0,377
0,485
Pedras brutas rejuntadas com cimento
0,430
0,594
0,870
1,142
Pedras não rejuntadas
0,870
0,142
1,303
1,419
Pedras talhadas
0,212
0,267
0,321
0,430
Paredes metálicas de seção semicircular lisa
0,103
0,157
0,212
0,321
Paredes de chapas corrugadas, em seção semicircular
0,733
0,870
1,007
1,142
Paredes de terra, canais retos e uniformes
0,430
0,594
0,733
0,870
Paredes de pedra, lisas em canais uniformes
0,870
1,142
1,308
1,419
Paredes rugosas de pedras irregulares
1,419
1,169
1,965
-
Canais de terra com grandes meandros
0,733
0,870
1,007
1,142
Canais de terra, dragados
0,870
1,007
1,142
1,308
0,870
1,142
1,419
1,690
1,025
1,142
1,308
1,419
0,870
1,007
1,142
1,308
1,142
1,308
1,419
1,690
1,419
1,690
1,965
2,240
1,60
1,965
2,240
2,515
1,308
1,419
1,690
1,965
1,965
2,24
2,515
2,780
2,240
2,78
3,340
3,880
3,610
4,98
6,360
7,720
Canais com leitos de pedras rugosas e com vegetação nas
margens de terra
Canais com fundo de terra e com pedras nas margens
Canais naturais
a) Limpos, margens retilíneas, nível máximo sem zonas mortas
profundas
b) Mesmo que a), porém com alguma vegetação e pedra
c) Com meandros, zonas mortas e região pouco profunda,
limpa
d) Mesmo que c), durante estiagem, sendo declividade e seção
menor
e) Mesmo que c), com algumas vegetações e pedras nas
margens
f) Mesmo que d) com pedras
g) Zonas de pequenas velocidades, com vegetação, ou zonas
mortas profundas
h) Zonas com muita vegetação
219
Tabela 3B. Valores de n para as equações de Manning
Estado da parede
Natureza da parede
Perfeito
Bom
Regular
Mau
Cimento liso
0,010
0,011
0,012
0,013
Argamassa de cimento
0,011
0,012
0,013
0,015
Aqueduto de madeira aparelhada
0,010
0,012
0,013
0,014
Aqueduto de madeira não aparelhada
0,011
0,013
0,014
0,015
Canais revestidos de concreto
0,012
0,014
0,016
0,018
Pedras brutas rejuntadas com cimento
0,017
0,020
0,025
0,030
Pedras não rejuntadas
0,025
0,030
0,033
0,035
Pedras talhadas
0,013
0,014
0,015
0,017
Paredes metálicas de seção semicircular lisa
0,011
0,012
0,0275
0,030
Paredes de terra, canais retos e uniformes
0,017
0,020
0,0225
0,030
Paredes de pedra, lisas em canais uniformes
0,025
0,030
0,033
0,035
Paredes rugosas de pedras irregulares
0,035
0,040
0,045
-
Canais de terra com grandes meandros
0,0225
0,025
0,0275
0,030
Canais de terra, dragados
0,025
0,0275
0,030
0,033
0,025
0,030
0,035
0,040
0,028
0,030
0,033
0,035
0,025
0,0275
0,030
0,033
0,030
0,033
0,035
0,040
0,035
0,040
0,045
0,050
0,040
0,045
0,050
0,055
0,033
0,035
0,040
0,045
0,045
0,050
0,055
0,060
0,050
0,060
0,070
0,080
0,075
0,100
0,125
0,150
Canais com leitos de pedras rugosas e com vegetação nas
margens de terra
Canais com fundo de terra e com pedras nas margens
Canais naturais
a) Limpos, margens retilíneas, nível máximo sem zonas
mortas profundas
b) Mesmo que a), porém com alguma vegetação e pedra
c) Com meandros, zonas mortas e região pouco profunda,
limpa
d) Mesmo que c), durante estiagem, sendo declividade e
seção menor
e) Mesmo que c), com algumas vegetações e pedras nas
margens
f) Mesmo que d) com pedras
g) Zonas de pequenas velocidades, com vegetação, ou zonas
mortas profundas
h) Zonas com muita vegetação
220
Figura 3A. Elementos Hidráulicos de uma tubulação de seção circular.
Observações:
a) O máximo de Q ocorre quando yn/D = 0,95;
b) O máximo de V ocorre quando yn/D = 0,81;
c) Q a plena seção é igual a Q quando yn/D = 0,82;
d) R a meia seção (yn/D = 0,5) é igual a R a plena seção (yn/D=1);
e) Q a plena seção (yn/D = 1,0) é o dobro de Q a meia seção (yn/D=0,5);
f) V a meia seção (yn/D = 0,5) é igual a V a plena seção (yn/D = 1,0);
g) Onde R é máximo, V é máximo;
h) Onde Q é máximo, R/R0 = 1,15;
i) Onde V é máximo, R/R0 = 1,22.
221
Figura 3B. Dimensionamento de canais circulares.
Observações:
a. Relação para vazão máxima: yn/D = 0,95
b. Curva (1): relaciona yn/D com nQ/D8/3I1/2
c. Curva (2): relaciona yn/D com nQ/yn8/3I1/2
222
Figura 3C. Determinação da largura de fundo (b) para canais trapezoidais e retangulares
(z = 0)
223
Figura 3D. Determinação da profundidade (yn) para canais trapezoidais e retangulares (z=0)
Relações para vazão máxima:
m=z
0
0,5
1
2
3
4
yn/b
0,5
0,809
1,207
2,118
3,081
4,061
224
z
Figura 3E. Determinação da profundidade (yn) para canais triangulares.
225
Apêndice 4. Vertedores, Orifícios e Bocais
226
Tabela 4A. Valores de C da fórmula Q = CLH3/s de vertedores retangulares em
2


2g C Q  paredes delgadas sem contrações laterais
C =
3


Altura
vertedor
p (m)
Bazin
0,20
Rehbock
0,20
Francis
0,20
Soc. Suiça
0,20
0,05
0,10
0,15
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
2,03
1,86
1,81
1,85
2,03
1,89
1,84
1,90
2,07
1,98
1,90
1,99
2,17
2,13
1,95
2,10
2,28
2,44
2,02
2,23
2,42
2,88
2,13
2,36
2,46
3,23
2,16
2,40
2,50
3,55
2,18
2,45
2,54
4,02
2,22
2,48
Bazin
Rehbock
Francis
Soc. Suiça
0,50
0,50
0,50
0,50
1,99
1,83
1,82
1,82
1,95
1,82
1,81
1,81
1,94
1,88
1,87
1,88
1,97
1,93
1,91
1,94
2,08
2,04
1,99
2,06
2,14
2,12
2,02
2,12
2,22
2,21
2,05
2,20
2,27
2,28
2,06
2,24
2,32
2,39
2,10
2,30
Bazin
Rehbock
Francis
Soc. Suiça
1,00
1,00
1,00
1,00
1,99
1,83
1,82
1,82
1,92
1,79
1,79
1,79
1,90
1,84
1,85
1,85
1,90
1,86
1,86
1,87
1,94
1,91
1,89
1,93
2,03
2,00
1,95
2,02
2,10
2,08
1,99
2,09
2,15
2,13
2,02
2,14
2,21
2,20
2,04
2,18
Bazin
Rehbock
Francis
Soc. Suiça
1,50
1,50
1,50
1,50
1,99
1,82
1,81
1,82
1,92
1,78
1,78
1,78
1,90
1,84
1,86
1,84
1,88
1,85
1,86
1,88
1,89
1,86
1,87
1,89
1,90
1,88
1,87
1,90
1,96
1,94
1,91
1,96
2,01
1,99
1,94
2,01
2,06
2,03
1,97
2,05
Bazin
Rehbock
Francis
Soc. Suiça
∞
∞
∞
∞
2,06
1,88
1,84
1,89
1,93
1,80
1,84
–1,82
1,88
1,80
1,84
1,82
1,86
1,80
1,84
1,82
1,82
1,79
1,84
1,82
1,81
1,79
1,84
1,81
1,81
1,79
1,84
1,81
1,80
1,78
1,84
1,81
1,79
1,78
1,84
1,81
Fórmula
Carga H (m)
Correção de Francis.
Se o vertedor retangular tem largura L, menor que a largura do canal B, em virtude da
contração da veia, há uma diminuição de vazão. Como resultado de suas experiências, Francis
concluiu que, relativamente à descarga, tudo se passa como se o vertedor tivesse uma largura
fictícia L` = L – 0,2 H (contração nas duas faces) ou L’ = L – 0,1 H (contração em uma das faces).
227
Tabela 4B. Valores de CQ no caso de orifício retangular em parede delgada vertical
Carga na borda
Altura dos orifícios
superior do
0,10 m
0,05 m
0,03 m
0,02 m
0,01 m
> 0,20 m
orifício
0,005 m
–
–
–
–
–
0,705
0,010
–
–
–
–
–
0,701
0,015
–
0,593
0,612
0,632
0,660
0,697
0,020
0,572
0,596
0,615
0,634
0,659
0,694
0,030
0,578
0,600
0,620
0,638
0,659
0,688
0,040
0,582
0,603
0,623
0,640
0,658
0,683
0,050
0,585
0,605
0,625
0,640
0,658
0,679
0,060
0,587
0,607
0,627
0,640
0,657
0,676
0,070
0,588
0,609
0,628
0,639
0,656
0,673
0,080
0,589
0,610
0,629
0,638
0,656
0,670
0,090
0,591
0,610
0,629
0,637
0,655
0,668
0,100
0,592
0,611
0,630
0,637
0,654
0,666
0,120
0,593
0,612
0,630
0,636
0,653
0,663
0,140
0,595
0,613
0,630
0,635
0,651
0,660
0,160
0,596
0,613
0,631
0,634
0,650
0,658
0,180
0,597
0,615
0,630
0,634
0,649
0,657
0,200
0,598
0,615
0,630
0,633
0,648
0,655
0,250
0,599
0,616
0,630
0,632
0,646
0,653
0,300
0,600
0,616
0,629
0,632
0,644
0,650
0,400
0,602
0,617
0,628
0,631
0,642
0,647
0,500
0,603
0,617
0,628
0,630
0,640
0,644
0,600
0,604
0,617
0,627
0,630
0,638
0,642
0,700
0,605
0,616
0,627
0,629
0,637
0,640
0,800
0,605
0,616
0,627
0,629
0,636
0,637
0,900
0,605
0,615
0,626
0,628
0,634
0,635
1,00
0,605
0,615
0,626
0,628
0,633
0,632
1,10
0,604
0,614
0,625
0,627
0,631
0,629
1,20
0,604
0,614
0,624
0,626
0,628
0,626
1,30
0,603
0,613
0,622
0,624
0,625
0,622
1,40
0,603
0,612
0,621
0,622
0,622
0,618
1,50
0,602
0,611
0,620
0,620
0,619
0,615
1,60
0,602
0,611
0,618
0,618
0,617
0,613
1,70
0,602
0,610
0,616
0,616
0,615
0,612
1,80
0,601
0,609
0,615
0,615
0,614
0,612
1,90
0,601
0,608
0,614
0,613
0,612
0,612
2,00
0,601
0,607
0,613
0,612
0,612
0,611
0,601
0,603
0,606
0,608
0,610
0,609
> 3,00
228
Tabela 4C. Valores de CQ no caso de orifício circular em parede delgada vertical
Altura dos orifícios
Carga no centro
dos orifícios
0,30 m
0,18 m
0,06 m
0,03 m
0,015 m 0,006 m
0,12 m
–
–
–
0,618
0,631
–
0,15
–
0,592
0,600
0,615
0,627
–
0,18
–
0,593
0,601
0,613
0,624
0,655
0,21
0,590
0,594
0,601
0,611
0,622
0,651
0,24
0,591
0,594
0,601
0,610
0,620
0,648
0,27
0,591
0,595
0,601
0,609
0,618
0,646
0,30
0,591
0,595
0,600
0,608
0,617
0,644
0,40
0,593
0,596
0,600
0,605
0,613
0,638
0,60
0,595
0,597
0,599
0,604
0,610
0,632
0,90
0,595
0,598
0,599
0,603
0,606
0,627
1,20
0,596
0,597
0,599
0,602
0,605
0,623
1,80
0,596
0,597
0,598
0,600
0,604
0,618
2,40
0,596
0,596
0,598
0,600
0,603
0,614
3,00
0,595
0,596
0,597
0,598
0,601
0,611
6,00
0,594
0,596
0,596
0,596
0,598
0,601
30,00
0,592
0,592
0,592
0,592
0,592
0,592
229
Tabela 4D. Valores dos coeficientes médios de bocais
Casos
Cc
Cv
Ca
Observações
0,62
0,985
0,61
Valores médios para
orifícios comuns em parede
delgada
0,52
0,98
0,51
Veia livre
1,00
0,75
0,75
Veia colada
0,62
0,985
0,61
Veia livre
(valores médios)
1,00
0,82
0,82
Veia colada
1,00
0,98
0,98
Bordos arredondados
acompanhando os filetes
líquidos
230