Teoria Eletromagnética 1 -
1- Considera um condutor oco e uma
carga q localizada em seu interior. A
pergunta que se faz é se haverá cargas
induzidas nas superfícies interna e
externa quando: (i) o potencial do
condutor for nulo (condutor aterrado) e
(ii) o potencial do condutor for não nulo
(condutor conectado à uma bateria).
Dado o potencial V do condutor,
procure uma maneira de calcular a
carga nas superfícies do condutor em
uma situação em que ele seja
completamente esférico, com a carga q
exatamente localizada em seu centro.
Suponha que o potencial no infinito (e
na terra) seja nulo.
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2- A partir da expressão ortodoxa para
o campo elétrico de uma distribuição de
cargas
E=K
z
Lista 1
!(r') r-r' d3r' ,
|r-r' |3
(K=1/4") calculem explícitamente o
campo gerado ao longo do eixo z, por
um quadrante de disco de raio R e
densidade superficial de carga # ,
pousado no plano x-y segundo o
desenho. As integrais são um pouco
complicadas e aqui usaremos a seguinte
aproximação para o cálculo; suponham
que o ponto de observação r = z k
satisfaça a seguinte condição em
relação aos pontos de fonte r': z»|r'|, e
calculem sómente os primeiros termos
dominantes não nulos. Lembrem-se que
o elemento de área sobre o disco é
escrito, em coordenadas cilíndricas,
como da' = r' dr' d $' .
R
r’
$’
x
#
Disco
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3- Resolvam o mesmo problema acima,
mas agora partindo do conceito de
dipolo elétrico. Já que |r| » |r'|, podemos
escrever
onde
p•r ) ,
% ~ K (qtotal
+
r
r3
!' r' d3r' ,
p=
fonte
com a integral calculada sobre o
"volume" da fonte. (i) Calculem p. (ii)
Usem então os resultados acima e a
definição de campo elétrico
E = - grad % = - &% i + &% j + &% k
&x
&y
&z
para calcular o campo em um ponto
arbitrário sobre o eixo z. (iii)
Identifiquem específicamente onde está
a contribuição do termo monopolar e do
termo dipolar ao campo elétrico E
calculado acima. (iii) E claro,
y
certifiquem-se de que os resultados
obtidos coincidem com os do primeiro
problema.
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4- Imaginem um capacitor planar, com
as duas placas 1 e 2 transversais ao eixo
x e mantidas a potenciais % 1 e %2
respectivamente. A região entre as duas
placas, de comprimento 2L, está
ocupada por uma placa condutora plana
eqüidistante das outras duas, localizada
em x=0, e mantida a um potencial % 3 .
(i) Pede-se que sejam calculadas as
densidades superficiais de carga
induzidas nas três placas, todas
expressas em termos de %1, %2, %3 e de
L. Notem que a placa central possui 2
faces; calculem as duas densidades
superficiais associadas. (ii) Qual a
condição a ser satisfeita para que a
placa central permaneça globalmente
descarregada mesmo após a ativação
dos potenciais? Lembrem-se que
#=
En = ' E ,
o n
4"K
onde En = E•n, com n designando a
normal à superfície contendo a
densidade # acima.
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5 - Calculem explícitamente, sem
quaisquer argumentos de simetria feitos a
priori , o momento de dipolo elétrico de
um disco que possui uma de suas metades
carregada com uma densidade superficial
de cargas +# e a outra com uma
densidade -#. O disco, de raio R, repousa
sobre o plano z=0, tem centro em x=0,
y=0, e a metade com carga positiva reside
no semi-plano y<0. A partir daí calculem
o campo elétrico associado. Com isto,
descubram o lugar geométrico dos pontos
onde Ey=0. Lembrem-se que:
E(r) = - grad %(r),
qtotal p•r
%~ 1
+
,
4"'o r
r3
p=
!(r') r' dv' ,
onde ! é a densidade volumétrica de
cargas.
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6- Imaginem um capacitor planar,
disposto ao longo do eixo x, com as duas
placas, 1 e 2, mantidas a potenciais %1 e
% 2 respectivamente. A região entre as
duas placas, de comprimento L, está
preenchida com uma densidade de cargas
!(x) = ax, onde a é uma constante. Pedese que sejam calculadas as densidades
superficiais de carga induzidas nas duas
placas. Haverá densidade induzida no
caso em que % 1 = %2 =0?
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7- Considerem um cilindro perfeitamente
condutor imerso em um meio dielétrico
de contante dielétrica '. O cilindro, de
raio R e de altura h (h >> R) está
carregado com carga total q. Calculem a
carga dipolar total induzida na fonteira
entre cilndro e material dielétrico.
Alinhem o eixo horizontal do cilindro
com o eixo z e suponham que a metade
do cilindro esteja situada no plano z=0.
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8- Um capacitor formado por dois
cilindros coaxiais de raios R1>R2 está
sendo preenchido por um material
dielétrico de constante dielétrica ' .
Usando o método da energia, calculem a
força com que o material dielétrico é
puxado ou empurrado pelo capacitor. Há
uma densidade de cargas superficiais +#
sobre cilindro R2 e uma densidade -# no
R1.
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9- Considera um campo vetorial
arbitrário v(r). Mostra que v pode ser
escrito na forma
v( r ) = v l ( r ) + v t ( r )
onde
'
v l (r) = -
'
1
( ) v( r ) 3 '
(*
d r
4"
| r- r ' |
e
1
v( r ' ) 3 '
(
×
(
×
v t (r) =
* | r- r ' | d r ,
4"
onde as linhas indicam coordenadas da
fonte. Usa como ponto de partida a
identidade operacional:
( × ( × w = ((( ) w ) - ( 2 w
onde w é também arbitrário, e integrem
ambos os lados para um w
convenientemente escolhido. Ademais
usem o resultado conhecido
(2
1
= +4 ",(r + r ' )
'
| r+ r |
e suponham v nulo no infinito.
Finalmente, a partir do resultado obtido,
argumentem que qualquer campo pode
ser decomposto em uma componente
com divergência nula e outra com
rotacional nulo.
O problema pode ser levado adiante
com alguma dose adicional de
disposição. O resultado mais
interessante, tentem mostrar, é que vale
a seguinte expressão final para v:
1
( ' ) v( r ' ) 3 '
v( r ) = - ( *
d r+
4"
| r- r ' |
;
1
( ' × v( r ' ) 3 '
d r
(×*
4"
| r- r ' |
ou seja, o campo v fica totalmente
definido uma vez que conheçamos sua
divergência e seu rotacional.
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10- Imagine uma partícula puntual de
carga q situada à frente de uma
superfície condutora infinita denotada
por S. A distância entre partícula e S
vale d e pede-se que seja calculada a
densidade superficial de cargas
induzida em S. Mostrem que a carga
total induzida em S vale simplesmente
q.
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10- Imagine um condutor oco e
aterrado, com uma partícula de carga q
em sua cavidade interna. Use conceitos
de linhas de campo para mostrar que o
campo é nulo no exterior. Ou seja, se
uma gaiola de Faraday estiver
devidamente aterrada, blinda envio de
sinais em ambos sentidos.
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11- Considera um capacitor plano de
placas paralelas, mantidas a uma
diferença de potencial V constante. Um
dielétrico de permissividade ' é
introduzido gradualmente e pede-se
que a força eletrostática sobre o
dielétrico seja calculada como uma
função da distância x de penetração.