Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Derivação e integração numéricas
Pontos mais importantes:
- derivação numérica:
-aproximação das derivadas: diferenças divididas finitas
-diferenças finitas de primeira ordem
-diferenças finitas de segunda ordem
-formulas com precisão elevada
-derivação com pontos não igualmente espaçados
- integração numérica:
-Integração Newton-Cotes:
-regra de trapézios
-regra de Simpson 1/3
-regra de Simpson 3/8
-integração com pontos não equidistantes
-Integração de funções:
-método de Romberg
-quadratura Gaussiana
1
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Engenharia: - estudo de variação de quantidades físicas com o espaço
e/ou tempo -------> derivação
- as leis de natureza são dadas por equações diferenciais
(mecânica dos fluidos, transferência do calor e massa, cinética, etc.),
solução ------------> integração
A função a ser diferenciada ou integrada pode ser tipicamente:
-uma função contínua simples e.g. polinómio, exponencial ou
trigonométrica
- uma função contínua complicada, difícil ou frequentemente
impossível de ser derivada ou integrada directamente
- conjunto dos pontos
Nos últimos dois casos a derivada ou integral é determinada
numericamente usando métodos aproximados!
2
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas)
Derivação numérica de primeira ordem:
(i) diferença dividida finita progressiva:
-a expansão de Taylor pode ser usada para aproximar as derivadas de uma
função contínua:
f (2) (xi )
f ( n) (xi )
(1)
2
f (xi1)  f (xi )  f (xi )(xi1  xi ) 
(xi1  xi ) ...
(xi1  xi )n  Rn
eq. *
2!
n!
truncatura
-truncatura após o segundo termo, e rearrangando o resultado para a derivada dá:
f ( xi  1 )  f ( xi )
f
 0( h )  i  0( h )
h
h
-h=xi+1-xi (passo)
-o erro é proporcional a h
-o operador  representa as diferença finitas progressivas
f  ( xi ) 
3
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
- Exemplo
df
dx
f i
h
i
x
f(x)
1
0
0,54
-0,2
2
0,25
0,49
-0,68
3
0,5
0,32
-1,24
4
0,75
0,01
-

x 0
f1 f (x 2 )  f (x1 ) 0,49  0,54


 0,2
h
h
0,25
f 2 f (x 3 )  f (x 2 ) 0,32  0,49


 0,68
h
h
0,25
df
dx
x 0, 25
df
dx
f 3 f (x 4 )  f (x 3 ) 0,01 0,32


 1,24
h
h
0
,
25
x 0 , 5

4
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas)
(ii) diferença dividida finita regressiva:
-duma maneira semelhante a expansão de Taylor pode ser escrita para um
truncatura
ponto anterior:
f (2) (xi ) 2
(1)
eq. **
f (xi1 )  f (xi )  f (xi )(h) 
h ...Rn
2!
- eq. ** pode ser rearrangada para a derivada:
f ( x i )  f ( x i 1 )
fi
 0( h ) 
 0( h )
h
h
-o erro é proporcional a h
-o operador  representa as diferença finitas regressivas
f ( x i ) 
5
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas)
(iii) diferença dividida finita central:
-subtracção de eq.** na eq. * resulta:
f (3) (x) 3
f (xi1)  f (xi1)  2f (xi )(h) 
h ....
3
(1)
- rearrangando para a derivada temos:
f ( xi 1 )  f ( xi1 )
f
f ( xi ) 
 0( h2 )  i
2h
2h
 2
f ( 3) () 2 
0( h )  3 h ....


6
Dif.e int. numéricas
- Exemplo
df
dx

x 0, 25
Elementos de Análise Numérica
f i
h
f i
2h
-0,2
-
-
0,49
-0,68
-0,2
-0,44
0,5
0,32
-1,24
-0,68
-0,96
0,75
0,01
-
-1,24
-
i
x
f(x)
1
0
0,54
2
0,25
3
4
f 2 f (x 2 )  f (x1 ) 0,49  0,54


 0,2
h
h
0,25
df
dx
df
dx

x 0, 5

x 0, 75

f 2 f (x 3 )  f (x1 ) 0,32  0,54


 0,44
2h
2h
0,5

f 3 f (x 4 )  f (x 2 ) 0,01 0,49


 0,96
2h
2h
0,5
x 0, 25
f 3 f (x 3 )  f (x 2 ) 0,32  0,49


 0,68
h
h
0,25
df
dx
df
dx
f i
h
x 0, 5
f 4 f (x 4 )  f (x 3 ) 0,01 0,32


 1,24
h
h
0,25
7
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas)
Derivação numérica de segunda ordem:
(i) diferença dividida finita progressiva:
-a expansão de Taylor pode para aproximar o valor de função no ponto x+2h:
f (2) (xi )
f (xi2 )  f (xi )  f (xi )(2h) 
(2h)2 ...
2!
(1)
eq. ***
-multiplicação de eq.* por 2, e subtracção na eq. ***, após rearranjo resulta na
formula seguinte para a segunda derivada:
f ( xi  2 )  2 f ( xi 1 )  f ( xi )
2 f i
f  ( xi ) 
 0( h )  2  0( h )
h2
h
8
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas)
(ii) diferença dividida finita regressiva:
f ( x i )  2 f ( x i 1 )  f ( x i  2 )
 2 fi
f  ( x i ) 
 0( h ) 
 0( h )
h2
h2
(iii) diferença dividida finita central:
f ( x i 1 )  2 f ( x i )  f ( x i 1 )
 2 fi
2
f  ( x i ) 
 0( h )  2  0( h 2 )
2
h
h
9
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
- Exemplo
d 2f
dx 2
x 0
x  0 , 25
d 2f
dx 2
d 2f
dx 2
-1,92
-
-
0,49
-2,24
-
-1,92
0,5
0,32
-
-1,92
-2,24
0,75
0,01
-
-2,24
-
f(x)
1
0
0,54
2
0,25
3
4
2 f i
h2
2 f 2 f ( x 4 )  2f ( x 3 )  f ( x 2 ) 0,01 2  0,32  0,49
 2 

 2,24
h
h2
0,0625
x 0,5
 2 f 3 f ( x 3 )  2f ( x 2 )  f ( x1 ) 0,32  2  0,49  0,54
 2 

 1,92
h
h2
0,0625
x  0 , 75
 2 f 4 f ( x 4 )  2f ( x 3 )  f ( x 2 ) 0,01 2  0,32  0,49
 2 

 2,24
h
h2
0,0625
x  0 , 25
 2 f 2 f ( x 3 )  2f ( x 2 )  f ( x1 ) 0,32  2  0,49  0,54
 2 

 1,92
h
h2
0,0625
d 2f
dx 2
d 2f
dx 2
 2f i
h2
x
2f1 f ( x 3 )  2f ( x 2 )  f ( x1 ) 0,32  2  0,49  0,54
 2 

 1,92
h
h2
0,0625
2
df
dx 2
 2f i
h2
i
x 0,5
 2 f 3 f ( x 4 )  2f ( x 3 )  f ( x 2 ) 0,01 2 * 0,32  0,49
 2 

 2,24
h
h2
0,0625
10
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas)
Formulas com precisão elevada:
-o nível de precisão da aproximação pode ser elevada considerando mais alguns
termos da expansão de Taylor:
f (2) (xi )
f (xi1 )  f (xi )  f (xi )(xi1  xi ) 
(xi1  xi )2 ...
2!
truncatura
(1)
-rearranjando a expressão anterior para a primeira derivada dá:
f ( xi ) 
f ( xi 1 )  f ( xi ) f ( xi )
f ( xi 1 )  f ( xi ) f ( xi 2 )  2f ( xi 1 )  f ( xi )

h  0( h2 ) 

h  0( h2 )
2
h
2
h
2h
 f ( xi 2 )  4f ( xi 1 )  3f ( xi )
=
 0( h2 )
2h
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Diferenciação numérica
Derivação com pontos não igualmente espaçados:
-às vezes dados (experimentais) disponíveis não são igualmente espaçados ---->
os métodos anteriores não podem ser usados
-solução: aplicação de um polinómio de Lagrange de grau 2 para cada conjunto
de 3 pontos, e derivação analítica do aproximador:
f (x) 
2x  xi  xi1
2x  xi1  xi1
2x  xi1  xi
f (xi1) 
f (xi ) 
f (xi1)
(xi1  xi )(xi1  xi )
(xi  xi1)(xi  xi1)
(xi1  xi1)(xi1  xi )
-vantagem: x pode ter qualquer valor
-desvantagem: a expressão é mais complicada do que dif. div. fin.
13
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Diferenciação numérica
- a diferenciação numérica geralmente tende a amplificar os erros que afectam os
dados ------> a primeira aproximação com regressão seguida de derivação
- também a diferenciação baseada num polinómio interpolador é um processo
essencialmente instável -------> pode conduzir a erros importantes
14
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
-substituir uma função muito complicada ou conhecida apenas sob forma
discreta por uma função de aproximação facilmente integrável:
b
b
a
a
I   f ( x)dx   fn ( x)dx
sendo fn(x) um polinómio de grau n (bom aproximador e facilmente
integrável)
-formulas fechadas: os valores de função são conhecidas nos limites
(interpolação)
-formulas abertas: os limites de integração são fora do intervalo dos
dados disponíveis (extrapolação)-usado mais para a solução de
equações diferenciais ordinárias
15
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
Regra dos trapézios:
-o polinómio aproximador de função é uma recta (grau 1)
Erro
In
-a área de baixo do aproximador é
a área de um trapézio calculado:
A=[(b+B)/2]h
b- base menor
B-base maior
h-altura
-aplicando a esta regra para o
aproximador:
b
I   f ( x)dx 
a
f ( a )  f ( b)
( b  a)
2
16
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
-um polinómio de grau um pode ser escrito:
f ( x)  f ( a ) 
f ( b)  f ( a )
( x  a)
ba
-integrando esta função entre a e b temos que:
b

f ( b )  f (a )
f ( b )  f (a ) x 2 f ( b )  f (a ) 


I   f ( a ) 
( x  a ) dx  f (a ) x 

ax 
ba
ba
2
ba


a
a 
b
b
 f (a ) b  f (a )a
af (b)  af (a )
f ( b )  f (a ) x 2 

x
x
 
ba
ba
ba
2 a

b
 f (a ) b  f ( b )a
f ( b )  f (a ) x 2 
f ( b )  f (a ) b 2  a 2

x

  bf (a )  af (b) 
b

a
b

a
2
b

a
2

a
17
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
f (b)  f (a) b2  a2
f (b)  f (a) (b  a)(b  a)
I  bf (a)  af (b) 
 bf (a)  af (b) 

ba
2
ba
2
bf (b)  bf (a)  af (b)  af (a) bf (a)  af (b)  bf (b)  af (a)
 bf (a)  af (b) 


2
2
bf (a)  f (b)  af (b)  f (a) f (a)  f (b)


(b  a)
2
2
-erro da regra dos trapézios:
Et  
1
f ( )( b  a ) 3
12
-a segunda derivada de uma função linear é zero ------> exacto
18
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
Aplicação múltipla da regra dos trapézios:
c- ponto médio do intervalo de
interesse
h=(b-a)/2
a h

 a  b  h
I1   f (x )dx  f (a )  f 

2

 2

a
Erro

 a  b  h
I 2   f (x)dx  f (b)  f 

2

 2

a h
b
In
b
I  I1  I 2   f ( x)dx 
a
h

 a  b
f
(
a
)

2
f

f
(
b
)



 2 
2 

19
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
-quando temos n+1 pontos igualmente espaçados (x0,x1,...,xn):
I

xn
x1
x2
xn
x0
x0
x1
x n 1
 f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx  ...  f ( x ) dx 
 f ( x 0 )  f ( x1 )





h
h
h
 f ( x 1 )  f ( x 2 )  ... f ( x n  1 )  f ( x n )
2
2
2
onde h=(b-a)/n
n 1

h ba
I   f ( x 0 )  2  f ( x i ) f ( x n )  
2n
2

2
n 1


 f ( x 0 )  2  f ( x i ) f ( x n ) 
2


-erro de integração: -o erro para cada intervalo pode ser somado
n
 f  (  i )
n
f  i1
1
1
3
3
n
Et  
 E  
3 ( b  a )  f  (  ) 
2 ( b  a ) f 
12 n
12 n
i 1
20
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
- Exemplo
i
x
f(x)
0
0
0.54
1
0.25
0.49
2
0.5
0.32
3
0.75
0.01
4
1
0.3
5
1.25
0.5
n 1
ba 
 1.25  0
0.54  2  (0.49  0.32  0.01 0.3)  0.5  0.13
I
f
(
x
)

2
f
(
x
)

f
(
x
)

0
i
n  

2n 
25
2

21
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
Regras de Simpson:
-uma maneira para melhorar a aproximação é aumentar o grau da função
aproximadora (mais pontos necessários)
-regra de Simpson 1/3: pol. de grau 2 ----> 3 pontos
-regra de Simpson 3/8: pol. de grau 3 ----> 4 pontos
Regra de Simpson 1/3:
b
b
a
a
I   f ( x)dx   f2 ( x)dx
-na expressão anterior f2(x) é um polinómio de Lagrange, por isso:
 x  x1 x  x 2

x  x0 x  x2
x  x 0 x  x1
I 
f (x0 ) 
f ( x1 ) 
f ( x 2 )  dx
x

x
x

x
x

x
x

x
x

x
x

x
1
0
2
1
0
1
2
2
0
2
1

x0  0
x2
22
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
-a solução do integral do polinómio é dado por a eq. seguinte (após
algumas manipulações):
h
I  f ( x 0 )  4 f ( x1 )  f ( x 2 )
3

onde: x0=a
-erro:
;
x2=b ;

x1=(b+a)/2
;
h=(b-a)/2
1
Et  
f ( 4 ) (  )( b  a ) 5
2880
-curioso que o resultado é correcto até ao terceiro grau (exacto para uma
função cúbica) usando uma parábola
23
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
Aplicação múltipla da regra de Simpson 1/3:
-para n (h=(b-a)/n) intervalos igualmente espaçados:
I
xn
x2
x4
xn
x0
x0
x2
x n2
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx ...  f ( x)dx 





h
h
h
 f ( x 0 )  4 f ( x1 )  f ( x 2 )  f ( x 2 )  4 f ( x 3 )  f ( x 4 ) ... f ( x n  2 )  4 f ( x n 1 )  f ( x n )
3
3
3
ou
n 1
n2

ba 
I 
f
(
x
)

4
f
(
x
)

2
f
(
x
)

f
(
x
)

 i i 
0
i
n 
3n 
i  1, 3 ,5 ,
2 ,4 ,6 ,

-o erro é dado pelo soma dos erros de cada intervalo:
1
(4)
Et  
( b  a)5
4 f
180 n
-obrigatório o número de intervalos ser par
24

Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
- Exemplo
i
x
f(x)
0
0
0.54
1
0.25
0.49
2
0.5
0.32
3
0.75
0.01
4
1
0.3
5
1.25
0.5
6
1.5
0.8
n 1
n 2

ba 
I
f ( x 0 )  4  f ( x i )  2  f ( x i ) f ( x n ) 
3n 
i 1, 3, 5,
i  2, 4, 6,


1.5  0
0.54  4  (0.49  0.01 0.5)  2  (0.32  0.3)  0.8  0.548
3 6
25
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
Regra de Simpson 3/8:
b
b
a
a
I   f ( x)dx   f3 ( x)dx
-na expressão anterior f3(x) é um polinómio de Lagrange, por isso
precisamos 4 pontos
-o resultado de integração é dado por:
3h
I
 f ( x 0 )  3f ( x 1 )  3f ( x 2 )  f ( x 3 ) 
8
onde: x0=a
;
x3=b ;
h=(b-a)/3
-mesmo que usemos um aproximador de grau superior do que na regra
de Simpson 1/3, o erro de integração têm a mesma grandeza:
1
Et  
f ( 4 ) (  )( b  a ) 5
6480
26
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
- Exemplo
i
x
f(x)
0
0
0.54
1
0.25
0.49
2
0.5
0.32
3
0.75
0.01
4
1
0.3
5
1.25
0.5
3h
f ( x 0 )  3f ( x1 )  3f ( x 2 )  f ( x 3 ) 
I
8
3  0.25
0.32  3  0.01 3  0.3  0.5  0.164

8
27
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Integração numérica, formulas de Newton-Cotes
Pontos desigualmente espaçados:
-temos que avaliar o integral para cada intervalo individualmente (par de
pontos), depois somar o resultado------->regra de trapézios:
I

xn
x1
x2
xn
x0
x0
x1
x n 1
 f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx  ...  f ( x ) dx 





h1
h2
hn
 f ( x 0 )  f ( x1 )
 f ( x1 )  f ( x 2 )
 ... f ( x n 1 )  f ( x n )
2
2
2
-se alguns segmentos têm amplitudes iguais, agrupamento é possível
-----> regra de Simpson
28
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Integração numérica, integração de equações
- os métodos discutidos até este ponto (formulas de Newton-Cotes) são
particularmente úteis quando os dados estão disponíveis como um
conjunto dos valores
- o erro cometido com a aproximação diminui com o aumento do número
de intervalos/pontos (n)
- mas para um número de intervalos muito elevado, os erros de
arredondamento tornam-se dominantes ------> pouca precisão
- quando a função é conhecida existem outros métodos mais eficientes
29
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Integração numérica, integração de equações
Quadratura Gaussiana:
-anteriormente, o integral de uma função foi determinado usando (várias)
I
funções de aproximação e intervalos fixos, e.g.:
f ( a )  f ( b)
( b  a)
2
-agora, suponha-se que escolhemos outros dois pontos na curva (xo e x1),
por forma a que os erros de aproximação negativos e positivos se
anulem:
f(x)
f(a)
f(b)
a
x0
x1 b x
30
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Integração numérica, integração de equações
-a expressão da regra de trapézios pode ser escrita:
I  c0 f (a)  c1f ( b)
-as constantes c0 e c1 podem ser determinadas baseadas no facto de que
o resultado deve ser exacto para uma constante e uma recta, e.g.:
( b  a )/ 2
c 0 f ( a )  c1 f ( b ) 
 1dx  b  a
( b  a )/ 2
e
c 0 f ( a )  c1 f ( b ) 
 ( b  a )/ 2
 xdx  0
 ( b  a )/ 2
onde
ba
c 0  c1 
2
-agora, suponha que os pontos da função também são desconhecidos:
I  c0 f ( x0 )  c1f ( x1 )
31
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Integração numérica, integração de equações
-4 incógnitas ------> precisamos 4 condições
-agora suponha-se que a fórmula anterior é exacta para uma constante
(y=1), uma recta (y=x), uma parábola (y=x2) e uma cúbica (y=x3):

c 0 f (a )  c1f ( b)   1dx  2 
1

1

c 0 f (a )  c1f ( b)   xdx  0 

1

1
2
c 0 f (a )  c1f ( b)   x 2 dx  
3
1

1

3
c 0 f (a )  c1f ( b)   x dx  0 
1

1
c0=c1=1
1
 0.577350629...
3
1
x1 
 0.577350629...
3
x0 
32
1
1
I  f(
)  f(
)
3
3
fórmula de GaussLegrende com dois pontos
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Integração numérica, integração de equações
-a expressão anterior só funciona, se os limites de integração são -1 a 1
(generalidade)
-qualquer limite pode ser transformado usando uma mudança de variável:
x=a0+a1xd
x=a ---> xd=-1
x=b ---> xd=1
a=a0-a1
b=a0+a1
( a  b)  ( b  a ) x d
x
2
a0=(a+b)/2
a1=(b-a)/2
ba
dx 
dx d
2
Formulas com mais pontos:
I  c0 f ( x0 )  c1f ( x1 ) ...c n1f ( x n1 )
-2n incógnitas ------> 2n equações
-os valores de ci em função de número de pontos encontram-se em livros!
33
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
n
Peso (ci)
2
c1 = 1.000000000
c2 = 1.000000000
Valor de xi
x1 = -0.577350269
x2 = 0.577350269
3
c1 = 0.555555556
c2 = 0.888888889
c3 = 0.555555556
x1 = -0.774596669
x2 = 0.000000000
x3 = 0.774596669
4
c1 = 0.347854845
c2 = 0.652145155
c3 = 0.652145155
c4 = 0.347854845
x1 = -0.861136312
x2 = -0.339981044
x3 = 0.339981044
x4 = 0.861136312
5
c1 = 0.236926885
c2 = 0.478628670
c3 = 0.568888889
c4 = 0.478628670
c5 = 0.236926885
x1 = -0.906179846
x2 = -0.538469310
x3 = 0.000000000
x4 = 0.538469310
x5 = 0.906179846
6
c1 = 0.171324492
c2 = 0.360761573
c3 = 0.467913935
c4 = 0.467913935
c5 = 0.360761573
c6 = 0.171324492
x1 = -0.932469514
x2 = -0.661209386
x3 = -0.2386191860
x4 = 0.2386191860
x5 = 0.661209386
x6 = 0.932469514
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Integração numérica, integração de equações
Erro da quadratura Gaussiana:
2 2 n  3  n  1 !
4
E
n
 11
,
f ( 2 n2) ()
n=2
(2 n  3) (2 n  2)!
3
f ( 2 n  2 ) ( )
-número de pontos menos um (nº de segmentos)
-derivada de ordem (2n+2) da função após
mudança de variáveis
27 3! (6)
E
f ()  4,94105 f (6) ()
3
(9)(6)!
4
1

3
 E t   f ()(b  a ) 
12


35
Dif.e int. numéricas
Elementos de Análise Numérica
Integração numérica, integração de equações
- Exemplo
Agua
3m
H=5 m
x0= 1 m
0
hf= 1 m
x0
F  p0 A  g  (H  h f  x )2 xx0  x 2 dx  p0 A  gI
0
f i  ( H  h f  xi )2 xi x0  xi
2
36
Dif.e int. numéricas
- Exemplo
Elementos de Análise Numérica
x0
F  p0 A  2g  (H  h f  x) xx0  x 2 dx  p0 A  2gI
0
x
(a  b)  (b  a ) x d (0  1)  (1  0) x d 1

 (1  x d )
2
2
2
dx 
ba
dx d  0.5dx d
2
2


1
1
1


2
I   (H  h f  x) xx0  x dx   (H  h f  (1 x d )) (1 x d )x 0   (1 x d ) 0.5dx d
2
2

2

0
1 


1
1
2
1
1
1

f ( x )  (H  h f  (1 x d )) (1 x d ) x 0   (1 x d ) 0.5
2
2
2

I  c0f (x 0 )  c1f (x1 )  c2f (x 2 )  c3f (x 3 )
i
xd
f(x)
c
0
-0,86113
0,49956
0,34785
1
-0,33998
0,86284
0,65214
2
0,33998
0,78291
0,65214
3
0,86113
0,39011
0,34785
I=1,3827
F  p 0 A  2gI  10 5

 2 10 3  9,81 1,3827  105669 ,1N
4
37