Tópicos de
cinemática
vetorial:
lançamento horizontal,
vertical e composição de
movimentos
Neste tópico são analisados os movimentos
parabólicos resultantes de lançamentos horizontais
e oblíquos de corpos nas proximidades da Terra,
desprezando-se a resistência do ar e considerando
o princípio da independência dos movimentos simultâneos, devido ao célebre físico italiano Galileu
(1564-1642).
EM_V_FIS_006
Princípio da independência
dos movimentos
simultâneos (Galileu)
“Quando um corpo apresenta um movimento
composto, cada um deles se realiza como se os demais
não existissem, e no mesmo intervalo de tempo”.
A figura representa um barco que, com velocidade Vb em relação às águas, é capaz de atravessar
o rio num tempo ∆t. Caso não existisse correnteza, o
barco, navegando em 90° com a margem, chegaria ao
ponto Q na margem oposta. Como existe a correnteza atuando com velocidade Vc, o barco, no mesmo
intervalo de tempo ∆t, chega à margem oposta num
ponto R distante Vc. ∆t do ponto Q. Isso porque, ao
longo da travessia, foi sendo arrastado para a direita
com a mesma velocidade da correnteza.
O barco apresenta um movimento composto
por dois MRUs: um perpendicular à margem, com
velocidade Vb (chamada velocidade relativa); outro,
no sentido da correnteza e com a velocidade desta
(chamada velocidade de arrastamento). Esses dois
movimentos simultâneos atuam independentemente
um do outro durante o intervalo ∆t de travessia e o
resultado é a chegada do barco ao ponto R, distando
Vc. ∆t do ponto Q (aliás, se soltarmos uma boia em Q
no instante em que o barco parte de P ela chegará a
R junto com o barco).
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1
Lançamento
oblíquo no vácuo
O movimento do
projétil é composto
por um MRU para a
direita com velocidade de módulo vx ( g
é normal a vx; daí, a
velocidade em x não
é alterada) e por um
MRUA na direção vertical para baixo (porque a aceleração da gravidade é
constante e dirigida para baixo).
Para a determinação das grandezas envolvidas,
basta aplicar as equações do MRU e as do MRUV.
Assim:
•• Tempo de voo (tv): É o tempo que o corpo
permanece em queda. Para calculá-lo, basta
aplicar a equação do espaço no MRUV:
s – s0= v0t + gt2/2. Sendo s – s0 = H, v0=0 e
t= tv, vem H = g. tv2 / 2 ou
2H
g
•• Alcance (A): O alcance é obtido multiplicando o módulo da velocidade horizontal pelo
tempo de voo:
A= vX . tv
•• Velocidade vertical (vY): Para calcular o módulo da velocidade vertical em certo instante
t, basta aplicar a equação da velocidade no
MRUA, com v0 = 0.
Daí: vY = g . t
•• Vetor velocidade: Conhecidos vX e vY, a soma
vetorial das duas velocidades nos dará o vetor
velocidade instantânea em t.
tv =
v = v x2 + v y2
v
arctg = vy
x
Observação: As grandezas verticais, tais como
velocidade, aceleração e deslocamento, estão sendo
consideradas positivas nas fórmulas anteriores porque o eixo y está orientado para baixo. Caso o eixo y
estivesse orientado para cima as grandezas citadas
seriam negativas.
v = vox
Na subida tem-se a composição de um MRU no
eixo x e de um MRUR no eixo y; na descida tem-se o
mesmo MRU em x e um MRUA no eixo y.
A velocidade inicial em x vale v0x = v0 cos . Esse
valor se mantém (velocidade do MRU), pois sendo
nula a projeção do vetor aceleração da gravidade
sobre o eixo x, alteração alguma resulta no módulo
de qualquer vetor com essa direção.
A velocidade inicial em y vale v0y= v0 sen . Essa
velocidade vai decaindo em módulo até atingir o valor
zero no ponto mais alto da trajetória (onde ocorre a
altura máxima H), em virtude do que, nesse ponto,
se tem v = v0x = vx = v0 cos .
O vetor velocidade instantânea em qualquer
instante t pode ser determinado de maneira análoga
àquela vista no lançamento horizontal.
É importante frisar que o lançamento oblíquo
é a composição de um lançamento vertical com um
MRU. Assim, tudo aquilo visto no lançamento vertical
vale igualmente agora na direção do eixo y. Para o
cálculo das grandezas envolvidas, basta aplicarmos
as equações dos movimentos componentes: MRU e
MRUR na subida, MRU e MRUA na descida:
•• Tempo de voo (tv): Basta aplicar a equação da
velocidade do MRUR na direção do eixo y:
Tem-se v0y = v0 sen e velocidade final nula,
onde: 0=v0 sen – gts, onde ts= tv/2 é o tempo de
subida. Vem: ts=v0 sen /g ou
tv = 2v0 sen /g.
Note que, para a mesma velocidade inicial, o
tempo de voo máximo vale 2 v0/g°, que corresponde
a sen = 1 ou = 90°.
•• Alcance (A): Para o cálculo do alcance, basta
aplicar o tv na equação do MRU na direção
do eixo x:
A=vxtv=v0 cos . 2v0sen /g=v02. sen(2 )/g.
Então:
A=
2
117
V02 sen2θ
g
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EM_V_FIS_006
Lançamento
horizontal no vácuo
Note que, para a mesma velocidade inicial,
o alcance máximo vale v02/g, o que corresponde a
sen (2 )=1 ou = 45°.
•• Altura máxima (H): Para o cálculo de H,
basta aplicar Torricelli ao eixo y na subida:
02 = (v0sen )2 – 2gH ou
H=(v0sen )2/2g.
Note que, se =45°, vem H= v02/4g = A/4; ou
seja, para =45°, existe uma relação simples entre o
alcance (A) e a altura máxima ou flecha (H): A=4H.
Referencial
O corpo em relação ao qual podemos identificar se um outro corpo qualquer está em movimento
ou repouso é chamado de referencial. Seu estudo
reveste-se de especial importância, considerando
que as formas das trajetórias, posições, velocidades
e acelerações dos corpos móveis dependem do referencial considerado.
A figura a seguir, em que se despreza a resistência do ar, considera o exemplo em que um avião
deixa cair uma bomba:
O movimento do corpo móvel (bomba) em relação ao referencial fixo (solo) é chamado movimento
absoluto. Na figura. acima, a velocidade absoluta é
a de módulo igual a V3.
Um observador no avião, que pudesse ver a
bomba por um visor situado na fuselagem e imediatamente acima do ponto de onde ela foi solta, a veria
cair sempre na vertical, em MRUA, enquanto o avião
não alterasse sua altitude, pois ela continuaria em
MRU para a direita, com a mesma velocidade com
que voava o avião no instante em que a liberou.
A composição
dos movimentos
Ainda quanto à figura do exemplo anterior, para
a determinação da posição, velocidade e aceleração
da bomba em dado instante, basta considerar a composição dos dois movimentos MRU (horizontal para
a direita) e MRUA (na vertical para baixo), tratados
independentemente um do outro, em obediência
ao Princípio da Independência dos Movimentos
Simultâneos, já analisado anteriormente, e aplicar a
identidade vetorial:
v absoluta
v
relativa
+ v
arrastamento
v1
v2
Trajetória da bomba,
vista do avião
(Referencial móvel)
v3
1. (PUC) Uma bola rolou para fora de uma mesa de 80cm
de altura e avançou horizontalmente, desde o instante
em que abandonou a mesa até o instante em que atingiu
o chão, 80cm. Considerando g = 10m/s2, a velocidade
da bola, ao abandonar a mesa, era de:
Trajetória da bomba,
vista do solo
(Referencial fixo)
a) 8,0m/s
EM_V_FIS_006
Movimentos relativo, de
arrastamento e absoluto
b) 5,0m/s
c) 4,0m/s
Consideremos o exemplo da figura acima: o
corpo móvel é a bomba; o referencial móvel é o avião;
o referencial fixo é o solo.
O movimento do corpo móvel (bomba) em relação ao referencial móvel (avião) é chamado movimento relativo. Na figura acima, a velocidade relativa é a
de módulo igual a V2.
O movimento do referencial móvel (avião) em relação ao referencial fixo (solo) é chamado movimento
de arrastamento. Na figura apresentada, a velocidade
de arrastamento é a de módulo igual a V1.
d) 2,0m/s
e) 1,0m/s
``
118
Solução: D
Trata-se de lançamento horizontal em que o alcance(A)
vale 80cm. Assim, A = v0 . tv , onde tv é o tempo de
voo. Admitindo desprezível a resistência do ar, o que o
exercício deixou implícito, pode-se calcular o tempo de
voo aplicando a equação do espaço na direção do eixo
vertical (oy):
0,80m
2H
gtv2
H=
→ tv2 =
=
5,0m/s2
g
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3
tv2 = 0,16s portanto tv = 0,40s
d) v1 = v2 e a1 > a2
Substituindo-se na fórmula do alcance tem-se que:
e) v1 < v2 e a1 > a2
0,80m = V0.0,40s
``
então:
A altura máxima atingida na tragetória I é maior do que
a altura máxima atingida na tragetória II e, portanto,
temos que Voy > Voy . Da equação de Torricelli, temos
I
II
que Vy2 = Voy2 – 2g h, portanto, Vy1>Vy . Como Vx1< Vx2
precisamos calcular o módulo das velocidades V1 e V2
para obtermos a resposta.
V0 = 2,0m/s
2. (UEL) O que acontece com o movimento de dois
corpos de massas diferentes, ao serem lançados horizontalmente com a mesma velocidade, de uma mesma
altura e ao mesmo tempo, quando a resistência do ar
é desprezada?
a) O objeto de maior massa atingirá o solo primeiro.
Logo, temos: V12 = Vx 2 + Vy 2 = Vx 2 + Voy 2 – 2g h1 =
1
1
1
1
Vo2 – 2g h1
b) O objeto de menor massa atingirá o solo primeiro.
V22 = Vx 2 + Vy 2 = Vx 2 + Voy 2 – 2g h2 = Vo2 – 2g h2.
c) Os dois atingirão o solo simultaneamente.
e) As acelerações de cada objeto serão diferentes.
Como h1 = h2 temos que V12 = V22, e, portanto, V1 =
V2 , embora V1y > V2y e V1x < V2x . A aceleração atuante
nos dois casos é apenas a aceleração da gravidade e,
portanto, a1 = a2 = g.
Solução: C
Note que os diferentes ângulos de lançamento determinaram trajetórias distintas e diferentes alturas máximas.
2
d) O objeto mais leve percorrerá distância maior.
``
Solução: B
O exercício é interessante, pois o que importa é a velocidade inicial de ambos os corpos (é verdade que, para
imprimir ao corpo de maior massa a mesma velocidade
que a do outro, é despendida maior energia, devido ao
fato de a inércia ser maior; isso, no entanto, não interfere
na cinemática da questão, e pode causar, vez por outra,
alguma confusão em análise mais afoita).
2
2
2
4. (UFRJ) Duas mesas de 0,80m de altura estão apoiadas
sobre um piso horizontal, como mostra a figura a seguir.
Duas pequenas esferas iniciam os seus movimentos
simultaneamente do topo da mesa:
Se as velocidades iniciais são iguais e os lançamentos
simultâneos, os corpos chegarão ao solo no mesmo
instante e suas trajetórias, por estarmos desprezando a
resistência do ar, serão paralelas. A alternativa correta,
portanto, é a letra C.
3. (UFPI) Dois projéteis, I e II, são lançados de uma mesma
posição, com velocidades iniciais de mesmo módulo v0
e diferentes ângulos de lançamento. As trajetórias dos
projéteis estão mostradas na figura a seguir. Sobre os
módulos das velocidades e das acelerações dos projéteis
nos pontos 1 e 2 podemos afirmar corretamente que:
1) a primeira, da mesa esquerda, é lançada com velocidade v0 na direção horizontal, apontando para a
outra esfera, com módulo igual a 4m/s.
2) a segunda, da mesa da direita, cai em queda livre.
Sabendo que elas se chocam no momento em que tocam
o chão, pede-se:
a) O tempo de queda das esferas.
b) A distância x horizontal entre os pontos iniciais do
movimento.
``
Solução:
Aplicando a equação do alcance à esfera da esquerda,
vem: x = v0 . t ou x = 4,0m/s . 0,4s = 1,6m.
a) v1 > v2 e a1 = a2
b) v1 = v2 e a1 = a2
4
Há controvérsias, nos dias de hoje, acerca de onde se
originou o futebol. Segundo alguns, esse esporte foi
c) v1 < v2 e a1 = a2
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EM_V_FIS_006
Aplicando a equação dos espaços à esfera da direita:
∆s = g t 2/2 ou 0,80 = 5t2 ou t = 0,40s.
EM_V_FIS_006
uma evolução de uma prática voltada para o treinamento
de soldados, na China Antiga e chamada kemari: 16
jogadores se dividiam em duas equipes para jogar uma
bola de couro, cheia de chinas e cabelos, de pé em
pé, sem derrubar, dentro de duas estacas que ficavam
fincadas no chão e ligadas por um fio de cera.
Outros defendem a causa de o jogo ter suas raízes na
Grécia Antiga, por volta do século I a.C., com o epyskiros,
jogo militar disputado em Esparta, que usava como bola
uma bexiga de boi cheia de areia e era disputada por
dois times de quinze jogadores cada um.
O jogo grego chegou a Roma e, já na Idade Média,
transformou-se no harpastum, jogo em que militares
se dividiam em defensores e atacantes para a disputa
da partida.
Foi na Itália, em 1529, que a nobreza adotou o então
gioco del calcio, com dez juízes e disputado por 27
jogadores de cada lado, com posições fixas e, pela
primeira vez, sem poderem dar socos e pontapés.
No século XVII o jogo foi para a Inglaterra; lá, em 1660,
surgiram regulamentações: o campo teria de medir
80m x 120m, o número de jogadores foi fixado, nas
extremidades do campo deveriam existir dois postes
de madeira com afastamento de um metro, a bola teria
de ser de couro, cheia de ar e passar entre os postes.
Em 1848, numa conferência realizada em Cambridge,
foi estabelecido um código único de regras. Em 1862,
apareceu o mais antigo time de futebol: o Notts County;
no ano seguinte, 1863, foi formada a Football Association
e realizado o primeiro jogo internacional, com o empate
de 0 a 0 entre Inglaterra e Escócia. Em 1868 surgiu a
figura do árbitro e, a partir daí, a evolução se acelerou:
apito, travessão, redes, pênalti e número de jogadores
por equipe (11). Em 1885 teve início o profissionalismo
no futebol e, em 1888, foi formada a Football League.
Em 1901 surgiu o limite das áreas; em 1907 foi instituída
a “lei do impedimento”.
A FIFA foi instituída em Paris, no ano de 1904. Em 1908
o futebol foi admitido nos jogos olímpicos e a primeira
seleção a ser campeã foi a da Inglaterra, ao vencer a
da Dinamarca por 2 a 0. Em 1930 ocorreu a primeira
Copa do Mundo e a equipe campeã foi a do Uruguai.
O Brasil já levantou cinco títulos mundiais nessas
competições (1958 – Suécia; 1962 – Chile; 1970 –
México; 1994 – Estados Unidos; 2002 – Coréia/Japão),
sendo atualmente a única equipe ostentando o título de
Pentacampeã Mundial de Futebol. A última Copa do
Mundo foi realizada na Alemanha, em 2006.
5. (Fuvest) Durante um jogo de futebol, um chute forte, a
partir do chão, lança a bola contra uma parede próxima.
Com auxílio de uma câmera digital, foi possível reconstituir a trajetória da bola, desde o ponto em que ela
atingiu sua altura máxima (ponto A) até o ponto em que
bateu na parede (ponto B). As posições de A e B estão
representadas na figura. Após o choque, que é elástico,
a bola retorna ao chão e o jogo prossegue.
a) Estime o intervalo de tempo t1, em segundos, que a
bola levou para ir do ponto A ao ponto B.
b) Estime o intervalo de tempo t2, em segundos, durante o qual a bola permaneceu no ar, do instante
do chute até atingir o chão após o choque.
c) Represente, em sistema de eixos, em função do
tempo, as velocidades horizontal Vx e vertical Vy da
bola em sua trajetória, do instante do chute inicial
até o instante em que atinge o chão, identificando
por Vx e Vy, respectivamente, cada uma das curvas.
Note e adote:
Vy é positivo quando a bola sobe.
Vx é positivo quando a bola se move para a direita.
``
120
Solução:
Voy2
Voy = 2ghmax
2g
Voy = 10m/s
Voy = 2 . 10 . 5
a) hmax =
VyA = Voy – gtA
0 = 10 – 10tA
gtB2
hB = ho + VoytB –
2
4,2 = 0 + 10tB – 5tB2
5tB2 – 10tB + 4,2 = 0
tA = 1,0 s
tB = 1,4s
tBA = tB – tA = 1,4 – 1,0 = 0,4s
b) VyB = Voy – gtB = 10 – 10 . 1,4
VyB = – 4m/s Vx = XAB/ tAB = 6
0,4
Vx = 15m/s
A colisão com a parede não altera a componente
vertical da velocidade da bola, pois a força atuante
(normal) é puramente horizontal e, portanto, tem
como único efeito a mudança no sentido da componente horizontal da velocidade da bola. Logo, após
o choque temos:
VyB’1 = –4m/s e VyB’ = –15m/s.
gt2
Então: hc = h’o + Vo’y tc –
B
B
2
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5
0 = 4,2 – 4tc – 5tc2 5tc2 + 4tc – 4,2 = 0
Substituindo na 2.ª equação a 1.ª, vem 2 vC = 3,6km/h
e, portanto, vC = 1,8km/h.
tc = 0,6s
Finalmente, o intervalo de tempo total, desde o instante em que a bola é chutada até o momento em
que atinge o solo é dado por: t = tB + tc
t = 1,4 + 0,6
7.
t = 2,0s
c)
(PUCPR) A figura representa um avião, que mergulha
fazendo um ângulo de 30° com a horizontal, seguindo
uma trajetória retilínea entre os pontos A e B. No solo,
considerado como plano horizontal, está representada
a sombra da aeronave, projetada verticalmente, e um
ponto de referência C.
Considere as afirmativas que se referem ao movimento
da aeronave no trecho AB, e assinale a alternativa
correta:
Vx
a) A velocidade do avião em relação ao ponto C é
maior que a velocidade de sua sombra, projetada
no solo, em relação ao mesmo ponto.
Vx
b) A velocidade do avião é nula em relação à sua sombra projetada no solo.
c) A velocidade do avião em relação ao ponto C é
igual à velocidade de sua sombra, projetada no solo
em relação ao mesmo ponto.
6. (Mackenzie) Uma lancha, subindo um rio, percorre, em
relação às margens, 2,34km em 1 hora e 18 minutos. Ao
descer o rio, percorre a mesma distância em 26 minutos.
Observa-se que, tanto na subida como na descida, o
módulo da velocidade da lancha em relação à água é
o mesmo. O módulo da velocidade da correnteza, em
km/h, em relação às margens é:
d) A velocidade do avião em relação à sua sombra
projetada no solo é maior que a velocidade de sua
sombra em relação ao ponto C.
e) A velocidade da sombra em relação ao ponto C independe da velocidade do avião.
``
Para o que se segue, seja V o módulo da velocidade do
avião no trecho AB.
a) 5,4
b) 4,5
a) Correto: a do avião em relação a C vale V, enquanto
a da sombra em relação ao mesmo ponto vale V cos
30° = 0,866V.
c) 3,6
d) 2,7
b) Errado: o avião se aproxima de sua sombra com velocidade vertical para baixo de módulo V sen 30° =
V/2.
Solução: E
Sendo vC a velocidade da correnteza, vb a velocidade relativa (do barco em relação à água) e vs, vd as velocidades
absolutas (do barco em relação às margens) na subida
e na descida do rio, respectivamente, tem-se:
6
vs = vb - vc = 2,34 / 78 = 0,03km/min = 1,8km/h
(1.ª opção)
vd = vb + vc = 2,34 / 26 = 0,09km/min = 5,4km/h
(2.ª opção)
c) Errado: considerando o exposto na justificativa da
alternativa a.
d) Errado: a velocidade do avião em relação à sombra
tem módulo V/2 e a desta em relação a C tem módulo igual a 0,866V; portanto, maior que aquela.
e) Errado: essa velocidade, como já dito, tem módulo igual
a 0,866V; assim, depende da velocidade do avião.
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EM_V_FIS_006
e) 1,8
``
Solução:
8. (UERJ) Um barco move-se em águas tranquilas, segundo um observador em repouso no cais, com velocidade
de módulo constante v. Num dado instante, uma pessoa
de dentro do barco dispara um sinalizador no sentido
contrário ao seu movimento.
Para o observador no cais, o módulo v’ da velocidade
com que o barco passa a se deslocar, após o disparo,
obedece à seguinte relação:
a) v’ = 0
c)
d)
``
c) v’ = v
A velocidade do trem (VT ) é a velocidade de arrastamento, desejamos achar a relativa (VR ) e o observador
no solo vê a direção da velocidade absoluta (VABS ), ou
seja, VR = VABS – VT
d) v’ > v
VABS = VRT + VT
b) 0 < v’ < v
``
Basta montarmos o triângulo das
velocidades de modo a satisfazer à
identidade vetorial de a velocidade
absoluta ser a soma vetorial das velocidades relativa e de arrastamento.
Solução: D
Já se falou rapidamente na 3.ª Lei de Newton, o Princípio
da Ação e da Reação: “quando um corpo exerce sobre
outro uma força, esse reage, exercendo sobre o primeiro
uma reação igual em módulo e direção, mas em sentido
contrário”.
Abordaremos em módulo futuro as Leis de Newton com
maior aprofundamento.
Pelo citado Princípio, quando o sinalizador é disparado em
sentido contrário ao do movimento do barco, o meio exterior (ar) recebe a ação de uma força; segue-se a reação em
sentido contrário, que pode ser decomposta numa força
vertical e numa horizontal no sentido do movimento. Esse
efeito faz aumentar a velocidade do barco em relação às
margens (velocidade absoluta), donde V’ >V .
10. Pela chaminé de um navio são eliminados gases e vapores decorrentes da queima de óleo combustível. Isso
ocasiona a aderência, em suas paredes internas, de uma
fuligem que, se não for retirada periodicamente, pode
gerar situações de incêndio. Essa necessidade é atendida, estando o navio no mar, por uma manobra intitulada
“limpeza de chaminé”, que consiste no seguinte:
9. (UERJ) Na figura a seguir, o retângulo representa a janela
de um trem que se move com velocidade constante e
não-nula, enquanto a seta indica o sentido de movimento
do trem em relação ao solo.
Dentro do trem, um passageiro sentado nota que começa
a chover.
Vistas por um observador em repouso em relação ao solo
terrestre, as gotas da chuva caem verticalmente.
Na visão do passageiro que está no trem, a alternativa
que melhor descreve a trajetória das gotas através da
janela é:
1) o pessoal de serviço na Máquina pede autorização
ao Oficial de Quarto, responsável pela manobra do
navio, para realizar a referida limpeza;
2) o Oficial de Quarto manda aguardar e, enquanto
isso, guina o navio para o rumo adequado, que depende de sua velocidade, de forma a que o vento
aparente ou relativo saia na perpendicular a um dos
bordos do navio (ou o da direita (boreste – BE) de
quem olha para a frente da embarcação (proa) ou
o da esquerda (bombordo – BB));
3) com o navio estabilizado no referido rumo, o Oficial de Quarto autoriza a realização da limpeza, que
consiste em liberar pela chaminé jatos de ar sob
pressão, o que dura cerca de 10 minutos;
4) o pessoal da Máquina comunica ao Oficial de Quarto o término da limpeza e este manobra o navio
para o rumo anterior ou para um rumo adequado a
retomar a posição anterior.
A operação libera grande quantidade de fuligem
negra e, se não obedecida a condição de sair perpendicularmente por sotavento (bordo por onde
sai o vento; oposto de barlavento, bordo por onde
entra o vento), parte dela cairá sobre o navio, sujando-o completamente.
a)
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Solução: A
b)
Agora, coloque-se no lugar de Oficial de Quarto de
um navio navegando no rumo 040, com vinte nós e,
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sendo 030 a direção do vento real e 15 nós a sua
intensidade, ambos fornecidos pelo anemômetro.
Você irá autorizar a “limpeza de chaminé” a 10 nós,
com sotavento a boreste (BE). Para que rumo você
deverá guinar, antes de autorizar a manobra?
``
2,0m da vertical que passa pelo ponto de lançamento.
Sua velocidade na horizontal, ao abandonar a mesa, era
de: (g = 10m/s2)
a) 4m/s
b) 5m/s
Solução:
Sendo o vetor tr aquele que representa a velocidade
de seu navio e tw o do rumo e intensidade do vento
(a direção do vento é a marcação de onde ele vem; o
rumo do vento é aquela marcação para onde ele vai),
o problema pode ser resolvido graficamente com o dispositivo da figura, chamado “rosa de manobra”, em que
as circunferências concêntricas têm raios 5, 10, 15 e 20
milhas náuticas (1mi = 1 852m), neste nosso exemplo.
Passo 1: trace o vetor tw, que representa o rumo
e intensidade do vento real (210–15 nós) (1 nó = 1
milha/h = 1’/h).
c) 8m/s
d) 10m/s
e) 15m/s
3. (Cesgranrio) Para bombardear um alvo, um avião em voo
horizontal, a uma altitude de 2,0km, solta uma bomba
quando a sua distância horizontal até o alvo é de 4,0km.
Admite-se que a resistência do ar seja desprezível. Para
atingir o mesmo alvo, se o avião voasse com a mesma
velocidade, mas agora a uma altitude de apenas 0,50km,
ele teria que soltar a bomba a uma distância horizontal
do alvo igual a:
Passo 2: do ponto w trace uma tangente à circunferência de raio = 10’ (velocidade com que seu navio
executará a manobra), para o lado compatível com o
bordo desejado para ser o de sotavento, considerando
que o sentido do vento aparente é de r para w.
a) 0,25km
Passo 3: ligue o ponto central t ao de tangência e determine o vetor tr, que dá o rumo (158) em que seu navio
deverá executar a manobra a 10 nós de velocidade.
e) 2,0km
b) 0,50km
c) 1,0km
d) 1,5km
4. (PUC-Minas) Um homem, em pé, sobre a carroceria de
um caminhão que se move em uma estrada reta com velocidade constante, lança uma pedra verticalmente para
cima. Com relação ao movimento da pedra, desprezando
o atrito com o ar, é correto afirmar que:
t
W
a) ela cairá ao chão, atrás do caminhão, se a velocidade deste for grande.
r
b) ela cairá nas mãos do homem, qualquer que seja a
velocidade do caminhão.
c) em relação à estrada, a pedra tem movimento retilíneo uniformemente acelerado.
d) em relação ao caminhão, o movimento da pedra é
retilíneo uniforme.
1. (PUC-Rio) Na ausência de resistência do ar, um objeto
largado sob um avião voando em linha reta horizontal
com velocidade constante:
a) subirá acima do avião e depois cairá.
b) rapidamente ficará para trás.
c) rapidamente ultrapassará o avião.
d) oscilará para frente e para trás do avião.
e) em relação ao homem, a trajetória da pedra é a de
um projétil.
5. (Feso) Na figura abaixo, duas partículas, 1 e 2, são lançadas obliquamente no vácuo com velocidades iniciais
v1 e v2, respectivamente, formando ângulos diferentes
com a horizontal. Os tempos de voo dessas partículas
(isto é, os tempos que elas levam para voltar ao atingir
o mesmo plano horizontal de lançamento) valem, respectivamente, t1 e t2.
8
EM_V_FIS_006
e) permanecerá sob o avião.
2. (Fuvest) Uma bola cai de uma mesa horizontal de 80cm
de altura, atingindo o chão a uma distância horizontal de
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Se, no entanto, ambas as partículas atingem a mesma
altura máxima h, é correto afirmar que:
a) v1 < v2 e t1 = t2
b) v1 < v2 e t1 < t2
c) v1 > v2 e t1 > t2
a) a altura da mesa;
d) v1 = v2 e t1 < t2
b) o tempo gasto para atingir o solo.
e) v1 = v2 e t1 = t2
6. (EsPCEx) Dois corpos A e B, situados a 10m do solo, são
simultaneamente testados em um experimento.
O corpo A é abandonado ao mesmo tempo em que B
é lançado horizontalmente com uma velocidade inicial
V0 = 20m/s. Desprezando-se a resistência do ar, a
diferença entre o tempo de queda dos corpos A e B,
em segundos, é:
a) 3,0
b) 4,0
7.
9. (Cefet-RJ) Uma bola de pingue-pongue rola sobre uma
mesa com velocidade constante de 2m/s. Após sair da
mesa, cai, atingindo o chão a uma distância de 0,80m dos
pés da mesa. Adote g = 10m/s2, despreze a resistência
do ar e determine:
10. (FEI-SP) Um canhão dispara projéteis de 20kg com um
ângulo de 30ºm relação à horizontal, com velocidade de
720km/h. Desprezando-se as resistências opostas pelo
ar ao movimento e adotando g = 10m/s2, pergunta-se:
qual o alcance do projétil?
11. (PUC-SP) Um saveiro, com o motor a toda potência, sobe
um rio a 16km/h e desce a 30km/h, velocidades essas
medidas em relação às margens do rio. Sabe-se que, tanto
subindo como descendo, o saveiro tinha velocidade relativa de mesmo módulo, e as águas do rio tinham velocidade
constante v. Nesse caso, v, em km/h, é igual a:
c) 0,0
a) 7
d) 2,2
b) 10
e) 1,8
c) 14
(Cesgranrio) Na superfície horizontal do patamar superior de uma escada, uma esfera de massa 10g rola de um
ponto A para um ponto B, projetando-se no ar a partir
deste ponto para os degraus inferiores. Cada degrau
tem altura de 20cm e largura de 30cm.
d) 20
e) 28
12. (UERJ) A figura abaixo representa uma escuna atracada
ao cais.
Considerando-se desprezível a resistência do ar e g =
10m/s2, a velocidade mínima que a esfera deve ter ao
passar pelo ponto B, para não tocar no primeiro degrau
logo abaixo, é, em m/s, igual a:
a) 0,6
d) 1,2
Deixa-se cair uma bola de chumbo do alto do mastro
(ponto O). Nesse caso, ela cairá ao pé do mastro (ponto
Q). Quando a escuna estiver se afastando do cais, com
velocidade constante, se a mesma bola for abandonada
do mesmo ponto O, ela cairá no seguinte ponto da
figura:
a) P
e) 1,5
b) Q
b) 0,8
c) 1,0
EM_V_FIS_006
8. (UFBA) De um ônibus que trafega numa estrada
reta e horizontal com velocidade constante de 20m/s
desprende-se um parafuso, situado a 0,80m do solo e
que se fixa à pista no local em que a atingiu.
c) R
d) S
13. (MED-SM-RJ) Descendo um rio, um barco com o motor a toda potência, percorre 60km em 2h. Em sentido
contrário, percorre 40km em igual intervalo de tempo. A
velocidade do barco em relação às águas e a velocidade
das águas em relação às margens do rio são, respectivamente, em km/h, iguais a:
Tomando-se como referência uma escala cujo zero
coincide com a vertical no instante em que se inicia
a queda do parafuso e considerando-se g = 10m/s2,
determine, em m, a que distância este será encontrado
sobre a pista.
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a) 12,5 e 7,5
a)
b) 25 e 5
c) 25 e 20
b)
d) 30 e 5
e) 30 e 20
14. (Fuvest) A janela de um trem tem dimensões de 80cm na
horizontal e 60cm na vertical. O trem está em movimento
retilíneo e uniforme horizontal com a velocidade de valor
V. Um passageiro, dentro do trem, vê as gotas de chuva
caírem inclinadas na direção da diagonal da janela. Supondo que as gotas, em relação ao solo, estejam caindo
com velocidade V, na vertical, essa velocidade seria:
a) 5V
b) 3 V
4
c)
53o
d)
e)
53o
17. (PUC-SP) Um degrau de escada rolante leva 60s para
ir até o andar superior. Com a escada desligada, uma
pessoa leva 90s para subi-la. Quanto tempo a mesma
pessoa levaria para subir até o andar superior, se caminhasse sobre a escada rolante ligada?
18. (UFPE) Um veículo viaja na direção norte-sul com uma
velocidade v1 = 40km/h. Um segundo veículo viajando na
mesma direção mas em sentido oposto, tem velocidade
v2 = 50km/h. Determine a velocidade relativa entre os
dois veículos.
c) 4 V
3
5
V
8
V
e)
5
d)
15. (PUC-SP) Dois móveis estão dotados de Movimentos
Uniformes sobre uma trajetória retilínea, de tal forma que
a distância entre eles aumenta de 10 metros por segundo
quando se deslocam no mesmo sentido e de 30 metros
por segundo quando se deslocam no sentidos opostos.
Os valores das velocidades desses móveis são:
19. (Fuvest) Um disco roda sobre uma superfície plana,
sem deslizar. A velocidade do centro O é v0 . Em relação
ao plano:
a) 20m/s e 10m/s
b) 30m/s e 5m/s
a) qual a velocidade
c) 30m/s e 20m/s

VA
do ponto A?
b) qual a velocidade do ponto B?
d) 20m/s e 5m/s
e) 25m/s e 10m/s
1. (Fuvest) Um motociclista de motocross move-se com
velocidade v = 10m/s, sobre uma superfície plana,
dirigindo-se a uma rampa (em A), inclinada de 45º com
a horizontal como indicado na figura.
Após certo tempo t, a velocidade de S em relação a T é
mais bem representada por:
(cos 53o = 0,60; sen 53o = 0,80)
10
125
A trajetória do motociclista deverá atingir novamente a
rampa a uma distância horizontal D (D = H), do ponto
A aproximadamente igual a:
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EM_V_FIS_006
16. (Unirio) Dois móveis, S e T cruzam-se no ponto O,
dirigindo-se segundo as direções s e t, com velocidades
constantes vs = 10m/s e vt = 6m/s.
resistência do ar, concluímos que o menor tempo gasto
por ele para atingir a altura de 480m acima do ponto de
lançamento será de:
a) 20m
b) 15m
c) 10m
a) 8s
d) 7,5m
b) 10s
e) 5m
2. (FEI-SP) Um avião, em voo horizontal 2 000m de altura,
deve soltar uma bomba sobre um alvo móvel. A velocidade do avião é 432km/h, a do alvo é 10m/s, ambas
constantes e de mesmo sentido, e g = 10m/s2. Para o
alvo ser atingido, o avião deverá soltar a bomba a uma
distância d, em metros, igual a:
a) 2 000
c) 9s
d) 14s
e) 12s
6. (ITA) Uma bola é lançada horizontalmente do alto de um
edifício, tocando o solo decorridos aproximadamente
2s. Sendo de 2,5m a altura de cada andar, o número de
andares do edifício é:
b) 2 200
a) 5
c) 2 400
b) 6
d) 2 600
c) 8
e) 2 800
d) 9
3. (UFF) Uma criança arremessa uma bola de tênis contra
um muro vertical. O ponto de lançamento situa-se 1,35m
abaixo do topo do muro e a velocidade de lançamento
tem módulo v e uma inclinação de 60° com relação à
horizontal.
e) indeterminado, pois a velocidade horizontal de arremesso da bola não foi fornecida.
7.
Desprezando-se a resistência do ar. O menor valor de v
para que a bola ultrapasse o muro é, aproximadamente,
igual a:
a) 2,7m/s
b) 3,6m/s
c) 4,8m/s
d) 5,2m/s
e) 6,0m/s
4. (Unicamp) De um ponto PM, a uma altura de 1,8m,
lançou-se horizontalmente uma bomba de gás lacrimogêneo que atingiu os pés de um professor universitário
à 20m de distância, como indica a figura.
Desprezando a resistência do ar e qualquer movimento
de giro da faca em torno de seu centro de gravidade,
determine a altura do ponto em que atinge o painel.
8. (Unicamp) Um habitante do planeta Bongo atirou uma
flecha e obteve os gráficos abaixo.
Sendo x a distância horizontal e y a vertical:
a) Qual a velocidade horizontal da flecha?
a) Quanto tempo levou a bomba para atingir o professor?
EM_V_FIS_006
(UERJ) Um atirador de facas faz seus arremessos a
partir de um ponto P, em direção a uma jovem que se
encontra em pé, encostada em um painel de madeira.
A altura do ponto P é de 2,0m e sua distância ao painel
é de 3,0m. A primeira faca é jogada para o alto com a
componente horizontal da velocidade igual a 3,0m/s e a
componente vertical igual a 4,0m/s. A faca se move em
um plano vertical perpendicular ao painel.
b) Qual a velocidade vertical inicial da flecha?
b) Com que velocidade v0(em km/h) foi lançada a
bomba?
c) Qual o valor da aceleração da gravidade no planeta
Bongo?
5. (UERJ) Um projétil é lançado segundo um ângulo de
30° com a horizontal e com uma velocidade de 200m/s.
Supondo a aceleração igual a 10m/s2 e desprezando a
9. (UFCE) Uma bola de 1cm de diâmetro rola do alto de
uma escada com 99 degraus, a uma velocidade de 2m/s,
conforme a figura. Os degraus da escada têm 18cm de
altura e 18cm de largura. Desprezando a resistência do
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11
ar e considerando g = 10m/s2, determine o primeiro
degrau atingido pela bola.
1) a primeira, da mesa esquerda, é lançada com velocidade V0 na direção horizontal, apontando para a
outra esfera, com módulo igual a 4m/s;
2) a segunda, da mesa da direita, cai em queda livre.
Sabendo que elas se chocam no momento em que tocam
o chão, determine:
a) o tempo de queda das esferas.
a) 5
b) a distância (x) horizontal entre os pontos iniciais do
movimento.
d) 30
11. (Unicamp) Até os experimentos de Galileu Galilei, pensava-se que quando um projétil era arremessado, o seu
movimento devia-se ao impetus, o qual mantinha o projétil
em linha reta e com velocidade constante. Quando o impetus acabasse, o projétil cairia verticalmente até atingir
o chão. Galileu demonstrou que a noção de impetus era
equivocada. Consideremos que um canhão dispara projéteis com uma velocidade inicial de 100m/s, fazendo um
ângulo de 30° com a horizontal. Dois artilheiros calcularam
a trajetória de um projétil: um deles, Simplício, utilizou a
noção de impetus, o outro, Salviati, as ideias de Galileu.
Os dois artilheiros concordavam apenas em uma coisa:
o alcance do projétil. Despreze o atrito com o ar.
a) Qual o alcance do projétil?
b) Qual a altura máxima alcançada pelo projétil, segundo os cálculos de Salviati?
12
Calcule quantos litros de água estarão no ar na situação
em que o jato d’água é contínuo, do cano ao solo.
13. (AFA) Uma esteira rolante com velocidade ve, transporta
uma pessoa de A para B em 15s. Essa mesma distância é percorrida em 30s se a esteira estiver parada e a
velocidade da pessoa for constante e igual a vp. Se a
pessoa caminhar de A para B, com a velocidade vp, sobre
a esteira em movimento, cuja velocidade é ve, o tempo
gasto no percurso, em segundos, será:
b) 10
c) 15
14. (UEL) Duas cidades A e B distam entre si 400km. Da
cidade A parte um móvel P dirigindo-se à cidade B e, no
mesmo instante, parte de B outro móvel Q dirigindo-se
a A. Os móveis P e Q executam movimentos uniformes
e suas velocidades escalares são, em módulo, 30km/h
e 50km/h, respectivamente. A distância da cidade A ao
ponto de encontro dos móveis P e Q, em km, vale:
a) 120
b) 150
c) 200
d) 240
e) 250
15. (UFF) Temos dois trens movendo-se com velocidades
constantes vA e vB paralelamente um ao outro sendo
vA > vB. Um deles mede 100m e o outro 140m. Quando
os dois se movem no mesmo sentido, são necessários
40s para que um ultrapasse o outro. Quando os dois se
movem em sentidos contrários são necessários 10s para
que um passe pelo outro. As velocidades de A e B, em
m/s, serão, respectivamente:
a) 2 e 5
c) Qual a altura máxima calculada por Simplício?
b) 10 e 18
12. (UFMG) Um cano de irrigação, enterrado no solo,
ejeta água a uma taxa de 15 litros por minuto com uma
velocidade de 10m/s. A saída do cano é apontada para
cima fazendo um ângulo de 30º com o solo, como mostra
c) 15 e 9
127
d) 16 e 8
e) 20 e 4
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EM_V_FIS_006
10. (UFRJ) Duas mesas de 0,80m de altura estão apoiadas
sobre um piso horizontal, como mostra a figura abaixo.
Duas pequenas esferas iniciam o seu movimento simultaneamente do topo da mesa:
a figura. Despreze a resistência do ar e considere g =
10m/s2, sen 30º = 0,50 e cos de 30º = 0,87
16. (UFSC) Um trem viaja a uma velocidade constante de
50km/h. Ao mesmo tempo, cai uma chuva, com ausência
de vento. O trajeto das gotas de água nos vidros laterais
do trem são segmentos de reta que formam ângulos de
60o com a vertical. Determinar a velocidade das gotas,
em relação ao solo.
17. (FEI-SP) A roda da figura rola, sem escorregar, paralelamente a um plano vertical fixo. O centro O da roda
tem velocidade constante v = 5m/s. Qual é o módulo da
velocidade do ponto B no instante em que o diâmetro
AB é paralelo ao plano de rolamento?
a) Qual o módulo da velocidade?
b) Qual a trajetória?
23. Suponha que você e um par de boias salva-vidas estejam descendo um rio. Ambos salva-vidas estão a uma
distância de 3 metros de você. Você está entre os dois
salva-vidas e pode nadar com velocidade de 0,50m/s,
em relação a água. Sendo a velocidade da correnteza em
relação a margem de 2,50m/s, o tempo para alcançar a
boia que desce o rio na sua frente é T1 e para alcançar
a boia que desce o rio atrás de você é T2. Determinar a
diferença entre T2 e T1.
24. (UFRJ) Considere que em uma corrida de automóvel o
líder da prova e um retardatário mantêm em cada volta,
uma velocidade escalar média constante de 300km/h e
de 280km/h, respectivamente.
18. (AFA) Em um dia de chuva os pingos d’água caem com
velocidade vertical constante e de intensidade 5,0m.s-1.
Um carro se movimenta em uma estrada horizontal com
velocidade constante e de intensidade 18km/h.
a) Calcule a velocidade relativa do líder em relação ao
retardatário.
b) Calcule quantas voltas o líder terá que completar,
após ultrapassar o retardatário, até alcançá-lo novamente.
a) Qual o ângulo entre a vertical do lugar e a trajetória
dos pingos d’água em relação ao carro?
b) Qual a intensidade da velocidade dos pingos d’água
em relação ao carro?
19. (Cefet-PR) Uma criança deixa cair, do 15.o andar de um
edifício, um vaso de cristal. No mesmo instante, uma pessoa
na calçada a 15m do edifício, vendo a situação, começa
a correr para pegar o vaso. Se cada andar tem altura de
3,0m, determine a velocidade mínima que a pessoa terá
que correr, para o vaso não cair no chão, em m/s. Dados:
despreze a resistência do ar e considere g = 10m/s2).
20. (FGV-SP) De duas cidadezinhas, ligadas por uma estrada
reta de 10km de comprimento, partem simultaneamente,
uma em direção à outra, duas carroças, puxadas cada
uma por um cavalo e andando à velocidade de 5km/h. No
instante da partida, uma mosca, que estava pousada na
testa do primeiro cavalo, parte voando em linha reta, com
velocidade de 15km/h e vai pousar na testa do segundo
cavalo. Após um intervalo de tempo desprezível, parte
novamente e volta, com a mesma velocidade de antes,
em direção ao primeiro cavalo, até pousar em sua testa.
E assim prossegue nesse vaivém, até que os dois cavalos
se encontram e a mosca morre esmagada entre as duas
testas. Quantos quilômetros percorreu a mosca?
EM_V_FIS_006
21. (ITA) Um barco com motor em regime constante, desce
um trecho de um rio em 2 horas e sobe o mesmo trecho
em 4 horas. Quanto tempo levará o barco para percorrer
o mesmo trecho, rio abaixo, com o motor desligado?
22. (Fuvest) O deslocamento de uma partícula no plano é
definido pelas equações horárias: X = 3t + 1 e Y = 4t+
2, onde X e Y são dados em metros e t em segundos.
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13
14. B
15. A
1. E
2. B
3. E
4. B
16. A
17. ∆t = 36s
18. v = 90km/h
19. vA = 0 e vB = 2 v0.
5. A
6. C
E
8. 8m.
9.
a) 0,8m
b) t = 0,4s
1. A
2. B
3. E
4.
a) 0,6s
10. 2 000 3 m
11. A
12. B
13. B
14
b) 120km/h
5. A
6. C
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EM_V_FIS_006
7.
7.
h = 1m
8.
a) vx = 1,5m/s
b) vy0 = 0
c) gB = 2m/s2
9. número de degraus = 8 0,18 ≅ 4,4; logo o quinto degrau
é atingido pela bola.
10.
a) 0,4s
b) 1,6m
11.
a) 500 3 m
b) 125m
c) 500m
12. 0,25l
13. B
14. B
15. C
16. v = 28,9km/h
17. v = 5 2 m/s
18.
a) α = 45º
b) vR = 5 2 m/s
19. 5m/s
20. 15km
21. 8h
22.
a) 5m/s
4x
2
b) y =
+
3
3
23. As boias e o nadador estão inicialmente com a mesma
velocidade (da correnteza), logo, em repouso um em relação aos outros. O tempo é o mesmo: t1= t2⇒ ∆t = 0
EM_V_FIS_006
24.
a) 20km/h
b) 15 voltas
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15
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16
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