Cálculo
Autor do original: Gilbert
Strang
Tradução e revisão: Martin
Versão:
Weilandt
27 de Agosto de 2011
Este documento pode ser distribuido e modicado segundo os termos da
Creative Commons License Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 United States:
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/us/deed.pt_BR
Ele é uma tradução parcial e inocial do seguinte livro:
Strang, Gilbert.
RES.18-001 Calculus Online Textbook, Spring 2005.
Institute of Technology:
MIT OpenCourseWare),
(Massachusetts
http://ocw.mit.edu
Aug, 2011). License: Creative Commons BY-NC-SA
(Accessed 18
Conteúdo
12 Movimento ao longo de uma curva
12.1 Posição de um Vetor
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
1
12 Movimento ao longo de uma curva
12.1 Posição de um Vetor
Neste capítulo estudaremos funções vetoriais.
vetor
R(t) = ti + t2 j + t3 k
O vetor
2i + 4j + 8k
é constante.
está se movendo. Esta é uma função de parâmetro
frequentemente representa tempo. No momento
t,
o vetor posição
R(t)
t,
O
que
localiza o corpo
em movimento:
vetor posição
= R(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
(12.1)
x = t, y = t2 , z = t3 . Como t varia, estes pontos traçam uma curva no
espaço . O parâmetro t nos diz quando o corpo passa em que ponto na curva. O vetor
constante 2i + 4j + 8k é o vetor posição R(2) no instante t = 2.
Por exemplo,
Quais são as perguntas a serem feitas? Todo estudante de cálculo conhece a primeira
questão: Encontre a derivada. Se algo se move, a Marinha o saúda e nós o diferenciamos.
Num determinado instante, o corpo em movimento ao longo da curva tem uma velocidade
e uma direção. Esta informação está em outra função vetorial o vetor velocidade
que é a derivada de
R(t):
v(t) =
Desde que
e
j
i, j, k
v(t),
dR
dx
dy
dz
=
i+ j+ k
dt
dt
dt
dt
(12.2)
são vetores xos, suas derivadas são nulas. Em coordenadas polares,
são substituídos por vetores em movimentos. Então a velocidade
v
i
tem mais termos
da regra do produto (Secção ??).
Dois importantes casos são movimento uniforme retilíneo e circular . Nós estudamos estes movimentos em detalhes (v
=
constante na reta,
v =
tangente ao círculo).
Nesta secção também trabalharemos a velocidade, distância e aceleração de qualquer
R(t).
movimento
A equação (12.2) é a regra para calcular a velocidade
dR
dt . Esta não é a denição de
dR
dt , o que nos leva ao básico e não depende de coordenadas:
dR
∆R
R(t + ∆t) − R(t)
= lim
= lim
.
∆t→0
∆t→0
dt
∆t
∆t
Repetimos:
R
é um vetor então
∆R
é um vetor e consequentemente
dR
dt também o é.
Estes três vetores estão na Figura 12.1 (t não é um vetor!). Esta gura revela o fator
chave sobre a geometria: A velocidade
O vetor
∆R
v = dR/dt
é tangente à curva .
vai de um ponto na curva para um ponto próximo.
Dividindo por
∆t
mudando seu comprimento, não sua direção. Esta direção alinha-se à reta tangente de
acordo com a proximidade dos pontos.
1
12 Movimento ao longo de uma curva
Figura 12.1: Posição
R,
variação
∆R,
Figura 12.2: Equação de uma linha, com e
dR
velocidade
dt .
EXEMPLO 1.
sem o parâmetro
R(t) = ti + t2 j + t3 k
Esta curva sobe quando
t
t.
v(t) = i + 2tj + 3t2 k
t = 0, a velocidade é v = i. A tangente
componentes j e k são zero. Quando t = 1, a
aumenta. Quando
x, desde que as
i + 2j + 3k, e a curva está subindo.
Para obter a sombra no plano xy , anule a componente k. A posição na sombra
ti + t2 j. A velocidade ao longo da sombra é i + 2tj. A sombra é uma curva plana.
está ao longo do eixo
velocidade é
EXEMPLO 2. Movimento uniforme em uma linha reta: o vetor velocidade
v
é
é
constante.
A velocidade e a direção não mudam. O vetor posição se move com
R(t) = R0 + tv
(R0 xo,
v
xo,
t
dR
dt
= v:
variando)
Esta é a equação de uma linha na forma vetorial. De fato,
dR
dt
(12.3)
= v.
O ponto inicial
R0 = x0 i+y0 j+z0 k é dado. A velocidade v = v1 i+v2 j+v3 k também é dada.
as componentes x, y e z , a equação (12.3) para uma reta é
Separando
: x = x0 + tv1 , y = y0 + tv2 , z = z0 + tv3
(12.4)
p
A velocidade ao longo da reta é |v| =
v12 + v22 + v32 . A direção de uma reta é o vetor
v
unitário
|v| . Nós temos três equações para x, y, z , e, eliminando t, obtemos duas. O
parâmetro t ígual a (x − x0 )/v1 segundo a equação (12.4). O que é igual a (y − y0 )/v2 e
(z − z0 )/v3 . Então estes quocientes são equivalentes, e t sumiu:
reta com parâmetro
Reta sem parâmetro
:
y − y0
z − z0
x − x0
=
=
.
v1
v2
v3
(12.5)
x = y/2 = z/3. Neste caso, (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, 0) a reta passa pela
origem. Outro ponto na reta é (x, y, z) = (2, 4, 6). Como t sumiu, nós não podemos dizer
quando atingimos este ponto e quão rápido estamos. As equações x/4 = y/8 = z/12 nos
dR
dão a mesma reta. Sem t não conhecemos a velocidade v =
dt .
Um exemplo é
EXEMPLO 3. Encontre uma equação para a reta que passa pelos pontos
e
Q = (1, 3, 3).
2
P = (0, 2, 1)
12 Movimento ao longo de uma curva
Solução:
Nós temos escolhas!
R0
ser qualquer múltiplo de um vetor com origem em
R0
controla onde começamos, e
v
v pode
pode ser qualquer ponto na reta. A velocidade
P
e extremidade em
Q.
A decisão sobre
controla nossa velocidade.
P e extremidade em Q é i + j + 2k. Estes números 1, 1, 2
vêm da subtração de 1, 3, 3 por 0, 2, 1, respectivamente. Escolhemos o vetor i + j + 2k
como um primeiro v, e o seu dobro como um segundo v. Escolhemos R0 = P como um
primeiro começo e R0 = Q como um segundo começo. Aqui nós temos duas expressões
diferentes para a mesma reta que são P + tv e Q + t(2v):
O vetor com origem em
R(t) = (2j + k) + t(i + j + 2k),
R∗ (t) = (i + 3j + 3k) + t(2i + 2j + 4k).
x = t, y = 2 + t, z = 1 + 2t. O vetor R∗ está num ponto diferente na
∗
∗
∗
mesma reta no mesmo tempo: x = 1 + 2t, y = 3 + 2t, z = 3 + 4t.
∗
Se considerarmos t = 1 em R e t = 0 em R , o ponto é (1, 3, 3). Chegamos lá em
O vetor
R(t)
dá
momentos diferentes. Percebemos então qual a importância do parâmentro, dizer onde
e também quando. Se
t vai de −∞ para +∞, todos os pontos numa linha estão também
noutra. O caminho é o mesmo, mas as gêmeas estão em velocidades diferentes.
QUESTÃO 1. Quando estas gêmeas se encontram? Quando
Resposta:
Elas se encontram em
t = −1,
quando
R = R∗ = −i + j − k.
QUESTÃO 2. Qual é uma equação para o segmento entre
Resposta:
Na equação para
R(t),
varie
t
de
0
a
1
t=0
começamos em
P = (0, 2, 1).
Em
P
e
Q
(não além)?
(não além):
x = t, y = 2 + t, z = 1 + 2t [0 6 t 6 1
No instante
R(t) = R∗ (t)?
para segmento].
t=1
atingimos
(12.6)
Q = (1, 3, 3).
QUESTÃO 3. Qual é uma equação para a reta sem o parâmetro t?
Resposta:
Resolva as equações (12.6) para
t ou use (12.5): x/1 = (y−2)/1 = (z −1)/2.
QUESTÃO 4. Qual ponto na reta é o mais próximo da origem?
x2 + y 2 + z 2 = t2 + (2 + t)2 + (1 + 2t)2 é 8 + 12t.
t = −2/3. Então o ponto mais próximo é (−2/3, 4/3, −1/3).
Resposta:
é zero em
A derivada de
QUESTÃO 5. Onde a reta encontra o plano
encontro é
A equação (12.6) dá
QUESTÃO 6. Qual reta passa por
Resposta:
é
x + y + z = 11?
3 + 4t = x + y + z = 11.
x = t = 2, y = t + 2 = 4, z = 1 + 2t = 5.
Resposta:
(3, 1, 1)
Então
3
Então
t = 2.
e é perpendicular ao plano
N = i − j − k.
R = R0 + tv.
O vetor normal ao plano é
R0 = 3i + j + k.
A derivada
Isso é
v.
O ponto de
x − y − z = 1?
O vetor posição a
(3, 1, 1)
12 Movimento ao longo de uma curva
Comparando Retas e Planos
Uma reta tem um parâmetro ou duas equações. Damos o ponto inicial e a velocidade:
(x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + t(v1 , v2 , v3 ), o que nos diz diretamente
t para encontrar duas equações em (12.5).
que pontos estão na reta.
Ou eliminamos
Um plano tem uma equação e dois parâmetros! A equação é
ax + by + cz = d. Que
x, y, z , conhecer
nos diz in diretamente que pontos estão no plano. (Ao invés de conhecer
v
a equação que eles satisfazem. Ao invés das direções
e
w
no plano, nos são ditas as
N = (a, b, c).) Com parâmetros, a reta contém R0 + tv e o
R0 + tv + sw. Um plano parece pior com parâmetro (t and s), uma reta
direções perpendiculares
plano contém
parece melhor.
As questões 5 e 6 conectam retas a planos. Aqui estão mais duas: vejam Problemas
41, 44.
QUESTÃO 7. Quando a reta
Resposta:
O teste é
R0 +tv é paralela ao plano?
v · N = 0.
O teste é
v × N = 0.
EXEMPLO 4. Encontre um plano contendo
t(2, 0, −1).
O vetor
v
Solução:
O vetor
v = 2i − k
para
(1, 2, 1).
Quando ela é perpendicular?
P0 = (1, 2, 1) e uma reta de ponto (1, 0, 0)+
estará no plano.
vai ao longo da reta. O vetor
w = 2j + k
vai de
(1, 0, 0)
O produto vetorial deles é
i j k N = v × w = 2 0 −1 = 2i − 2j + 4k.
0 2 1 O plano
2x − 2y + 4z = 2
tem seu normal
N
e contém o ponto
(1, 2, 1).
Velocidade, Direção, Distância, Aceleração
Voltamos para a curva obtida por
R(t).
dR
dt é o vetor velocidade ao
v(t) =
A derivada
longo desta curva. A velocidade escalar é a magnitude de
velocidade escalar
v:
= |v| =
p
(dx/dt)2 + (dy/dt)2 + (dz/dt)2 .
v/|v|.
Este é um vetor unitário, desde que
A direção do vetor velocidade é
pelo seu comprimento. O vetor tangente unitário
v/|v|
(12.7)
v
é denotado por
é dividido
T.
O vetor tangente é constante para retas. Ele muda direção para curvas.
EXEMPLO 5. (importante) Encontre
v
e
|v|
e
T
para movimento uniforme circular:
x = r cos ωt, y = r sin ωt, z = 0.
Solução:
O vetor posição é
R = r cos ωti + r sin ωtj.
v = dR/dt = −ωr sin ωti + ωr cos ωj
4
A velocidade é
(tangente, mas não unitário)
12 Movimento ao longo de uma curva
A velocidade é o raio
r
multiplicado pela velocidade angular
|v| =
O vetor tangente unitário é
p
v
ω:
(−ωr sin ωt)2 + (ωr cos ωt)2 = ωr.
dividido por
T = − sin ωti + cos ωtj
|v|:
1
(comprimento
desde que
sin2 ωt + cos2 ωt = 1).
Pense agora sobre a distância percorrida. Distância ao longo de uma curva é sempre
denotada por
s
(chamado comprimento de arco ).
Eu não sei porque usamos
s
com certeza não por causa da inicial de speed (velocidade escalar em inglês). De fato,
velocidade escalar é distância dividida pelo tempo.
escalar média;
ds/dt
O quociente
s/t
dá a velocidade
é a velocidade escalar instantânea. Estamos de volta ao Capítulo
?? e Secção ??, à relação de velocidade e distância:
Z
|v| = ds/dt,
velocidade
Note que
|v|
e
s
e
t
distância
s=
(ds/dt) dx =
são escalares. O vetor direção é
T=
v
dR/dt
dR
=
=
= vetor
|v|
ds/dt
dt
Z
|v(t)| dt.
T:
tangente unitário .
(12.8)
|∆R|. O comprimento de arco (curvado)
∆R e ∆s se aproximam de zero, o raio |∆R/∆s| se aproxima de |T| = 1.
pense sobre o vetor aceleração a(t). Este é a taxa de variação de
Na Figura 12.3, o comprimento de corda (reto) é
é
∆s.
Desde que
Finalmente,
velocidade (não a taxa de variação de velocidade escalar):
a=
d2 R
d2 x
d2 y
d2 z
dv
=
=
i
+
j
+
k.
dt
dt2
dt2
dt2
dt2
(12.9)
Figura 12.3: Movimento uniforme ao longo dum círculo. Meia volta numa hélice.
Para movimento uniforme ao longo duma reta, como em
x = t, y = 2 + t, z = 1 + 2t,
não existe aceleração. As segundas derivadas são todas nulas. Para movimento uniforme
5
12 Movimento ao longo de uma curva
ao longo dum circulo existe aceleração. Dirigindo um carro, você acelera com o acelerador
ou o freio. Você também acelera virando o volante. É o vetor velocidade que muda,
não a velocidade escalar.
EXEMPLO 6. Encontre a distância
Solução:
distância é
s(t) e a aceleração a(t) para o movimento circular.
A velocidade escalar no Exemplo 5 é
s = ωrt.
Até o instante
t
ds/dt = ωr.
Depois de integrar, a
nós temos percorrido um ângulo de
ωt.
O raio é
r, então a distância percorrida é igual a ωt multiplicado por r. Note que a dimensão de
ω é 1/tempo. (Ângulos são adimensionais.) Até o instante t = 2π/ω nós temos girado
uma vez pelo círculo a s = 2πr , não de volta a s = 0.
d2 R
A aceleração é a =
. Lembre-se que R = r cos ωti + r sin ωtj:
dt2
a(t) = −ω 2 r cos ωti − ω 2 r sin ωtj.
A direção é oposta a
freio.
R.
(12.10)
Este é um movimento especial, sem ação no acelerador ou o
Toda a aceleração vem do volante.
A magnitude é
|a| = ω 2 r,
com a dimensão
2
correta de distância/(tempo) .
EXEMPLO 7. Encontre
v
e
s
e
a
ao redor da hélice
R = cos ti + sin tj + tk.
v = − sin ti + cos tj + k. A velocidade escalar é
p
√
ds/dt = |v| = sin2 t + cos2 t + 1 = 2 (constante).
√
2t. No instante t = π , uma meia volta está completa.
Então a distância é s =
√ A
distância ao longo da sombra é π (meio círculo). A distância ao longo da hélice é
2π ,
◦
devido a sua inclinação de 45 .
Solução:
A velocidade é
O vetor tangente unitário é (vetor velocidade)/(velocidade escalar), e a aceleração é
dv/dt:
√
T = (− sin ti + cos tj + k)/ 2,
EXEMPLO 8. Encontre
v
x = cos t, y = 2 sin t, z = 0.
p
Solução: Tome as derivadas: v = − sin ti + 2 cos tj e |v| =
sin2 t + 4 cos2 t. Isso é
a velocidade escalar ds/dt. Para a distância s, algo ruim acontece (ou algo normal). A
2
2
velocidade escalar não é simplicada por sin t + cos t = 1. Não podemos integrar ds/dt
para encontrar uma fórmula para s. A raiz quadrada nos frustra.
A aceleração − cos ti − 2 sin tj ainda aponta para o centro. Isto não é a Terra girando
e
s
e
a
a = − cos ti − sin tj.
ao longo da elipse
ao redor do Sol. O caminho é uma elipse mas a velocidade escalar é errada. Veja Secção
?? (a nota Libra) para um erro horrível na posição do Sol.
12.1. As fórmulas básicas para movimento circular são
v=
dR
,
dt
a=
dv
,
dt
|v| =
ds
,
dt
6
T=
v
dR/dt
dR
=
=
|v|
ds/dt
dt
12 Movimento ao longo de uma curva
Suponha que nós conhecemos a aceleração
R0 .
Então
v(t)
e
R(t)
a(t)
e a velocidade inicial
v0
e a posição
são também conhecidos. Integramos cada componente:
a(t) = constante
⇒ v(t) = v0 + at
a(t) = cos tk
⇒ v(t) = v0 + sin tk
1
⇒ R(t) = R0 + v0 t + at2
2
⇒ R(t) = R0 + v0 t − cos tk
A Curva de um Beisebol
Existe uma bela discussão do fenômeno curve ball num livro de cálculo de Edwards
and Penney. Resumiremo-no aqui (por opcional). A bola sai da mão do arremessador
duma altura de cinco pés:
R0 = 0i + 0j + 5k.
A velocidade inicial é
v0 = 120i − 2j + 2k
−32k
da gravidade, mais
(120 pés/seg é mais que 80 milhas por hora). A aceleração é
um novo termo de spin .
eixo
x,
Se o spin está ao redor do eixo
então essa aceleração está na direção
y.
z,
e a bola vai ao longo do
(Isto vem do produto vetorial
k×i
existe uma diferença de pressão nos lados da bola.) Um bom arremessador pode alcançar
a = 16j − 32k.
O batedor integra tão rápido quanto ele pode:
v(t) = v0 + at = 120i + (−2 + 16t)j + (2 − 32t)k
1
R(t) = R0 + v0 t + at2 = 120ti + (−2t + 8t2 )j + (5 + 2t − 16t2 )k.
2
Note o termo
t2 .
O efeito do giro é pequeno no começo, depois de repente maior (como
todo batedor sabe). O efeito da gravidade também a bola começa a cair. Em
componente
k
é
2
i é 60 pés e a bola alcança o batedor.
A componente
t=
j é 1 pé e a componente
pés a curva passa baixo acima do canto exterior.
1
2 , quando o batedor viu a bola na metade do caminho, a componente
zero. Isto parece como se ela estivesse vindo direto sobre a home plate.
Em
1
2 a
t=
j
era
Figura 12.4: Uma curve ball está chegando à home plate. No meio-caminho ela está na
linha.
Exercícios
7
12 Movimento ao longo de uma curva
Read-through questions
O vetor posição
a
b
.
e
.
onde
s
c
t2 k, então
.
Se a po-
v =
d
e
mede a
g
. Então
s=
x = 6t, y = 6t − t2 .
R ds/dt,
h
T
, mas
é um vetor
j
a?
5. Encontre o vetor velocidade e a equa-
.
Movimento uniforme retilíneo tem
A curva é uma
. Qual é a aceleração
.
O vetor tangente está na mesma direção que
i
dy/dx =
4. Encontre o ponto mais alto na curva
. Isto é igual a
f
jus-
− cot t.
Neste exemplo, a velocidade
|v| =
escalar é
pois com a geometria porque
A velocidade
A aceleração é
i + tj +
sição é
a =
t.
x = cos t, y = sin t
tique com a regra da cadeia e e de-
ao longo da curva
muda com o parâmetro
é
3. No círculo
a =
ção
xy
e−t
em
da reta tangente a
t = 0.
Qual é a
x = et , y =
equação xy
da curva?
x = y = z , o vetor
tangente unitário é T =
6. Descreva as formas destas curvas: (a)
√ n . Se a velocidade escalar for |v| =
3, a velocidade é
x = 2t , y = 4t ; (b) x = 4t , y = 8t ;
t
v = o . Se a posição inicial for (1, 0, 0),
(c) x = 4 , y = 4t.
o vetor posição é R(t) =
p . A equação
geral da reta é x = x0 + tv1 , y =
q ,
Nota: Encontrar as equações paramétriEm notação vetorial, isto é
z =
r .
cas é encontrar x(t), y(t) e possivelmente
R(t) = s . Eliminando t, obtemos as z(t).
equações (x−x0 )/v1 = (y −y0 )/v2 =
t .
m
.
Se a reta for
Uma reta no espaço precia de
u
equa-
ções, mas um plano precisa de
v
. Uma
7. Encontre equações paramétricas para
(1, 2, 4)
reta tem um parâmetro onde um plano tem
R0 = (1, 0, 0)
|v| = 3 é R(t) = x .
para
Movimento uniforme circular (raio
r, ve, y =
w
.
A reta de
(2, 2, 2)
com
locidade angular
z
,
z = 0.
ω)
tem
A velocidade é
A velocidade escalar é
leração é
a=
e direção
para cima
E
x =
C
.
R = tk
|v| =
y
. Então
v=
A
10.
.
H
Provavelmente seu
Problema 7.
R0
é
P;
mude
Q.
Encontre também equ-
ções para qualquer reta que é perpen-
com esse movimento cir-
|v| =
mude as
plano que é perpendicular a reta no
D
Combinando movimento
e
Provavel-
5;
8. Encontre uma equação para qualquer
. A ace-
, com magnitude
G
Q = (5, 5, 4).
o começo para
dicular a esta mesma reta.
cular, obtemos movimento ao longo de uma
F
e
mente sua velocidade é
equações para a velocidade escalar ser
v =
B
P =
a reta que passa pelos pontos
9. Na reta com origem em
.
(2, 3, 4)
com
v = i − k, o vetor posiR(t) =
. Se o vetor velocidade for mudado para ti − tk, en. O caminho ainda é
tão R(t) =
velocidade
1. Esboce a curva com equações paramétricas
x = t, y = t3 .
ção é
Encontre o vetor
velocidade e a velocidade escalar em
t = 1.
.
2. Esboce o caminho com equações pa-
10. Encontre equações paramétricas para
ramétricas
o movimento uniforme com origem
contre a
x = 1 + t, y = 1 − t. Enequação xy do caminho e a
em
velocidade escalar ao longo dele.
P = (3, 1, −2) em t = 0
Q = (0, 0, 0) em t = 3.
para
8
na reta
Qual é
12 Movimento ao longo de uma curva
17. Encontre a forma paramétrica para a
a velocidade escalar? Mude os parâ-
reta
metros para que a velocidade escalar
seja
et .
y = mx + b.
18. A reta
1
2 (y − 2)
x−1 =
2) descrevem uma
11. As equações
=
1
3 (z −
passa pela origem sob a hipótese de
. O mesmo ca-
v1 +
v2 = 0. Esta reta cruza
45◦ dada por y = x a menos
v1 +
v2 = 0.
minho é dado parametricamente por
a reta
x = 1 + t, y =
, z =
também por x = 1 + 2t, y =
z=
.
que
.
E
,
19. Encontre a velocidade
1, y = 0.
e a veloci-
|v| e o vetor tangente
T para estes movimentos: (a) R =
ti + t−1 j (b) R = t cos ti + t sin tj (c)
R = (t + 1)i + (2t + 1)j + (2t + 2)k.
longo do círculo unitário com velo-
et
v
dade escalar
12. Encontre equações paramétricas ao
cidade escalar
x = 1 + v1 t, y = 2 + v2 t
com início em
x =
Onde o círculo está com-
20. Se a velocidade
pleto?
dx/dti+dy/dtj é sem-
pre perpendicular ao vetor posição
13. O caminho
x = 2y = 3z = 6t
xi + yj, mostre pelo produto escalar
2
2
que x + y é constante. O ponto ca
é um
percorrido com velocidade esca.
lar
Se
t
é restrito a
caminho começa em
restringido a
será
.
0 6 t 6 1
no círculo.
t > 1 o
Se t for
mesma velocidade
.
Encontre um terceiro caminho com
um
14. Encontre o ponto mais perto da origem na reta
R(t) com a
v = cos ti + sin tj.
21. Encontre dois caminhos
o caminho
v
diferente, mas com a mesma
aceleração.
x = 1 + t, y = 2 − t.
45◦
Onde e quando esta cruza a reta
22. Se a aceleração for um vetor cons-
pela origem? Determine a equação da
tante, o caminho deve ser
reta que ela nunca cruza.
o caminho for uma reta, o vetor aceleração deve ser
15. (a) Qual a distância entre as duas re-
x = y + 1? (b)
x = t, y = t
do ponto x = t, y = t + 1? (c) Qual é
tas paralelas
x=y
t − sin t.
mas não
x = t, y = t
Mostre
a.
O ponto se move ao longo
move em qual reta?
x(t), y(t) tal que o ponto se
movimento ao longo do círculo (x −
1)2 + (y − 3)2 = 4 com velocidade escalar 1.
24. Encontre
16. Quais vetores seguem o mesmo cami-
R = ti +
x = t + cos t, y =
que |a| é constante
de um círculo enquanto o centro se
x = 2t, y = 2t + 1?
nho que
.
xima e mínima se
a menor distância se duas velocidades
e
Se
23. Encontre a velocidade escalar má-
e
Quão longe está o ponto
escalares são diferentes:
.
t2 j? A velocidade
escalar ao longo do caminho pode ser
diferente.
(a)
2ti + 2t2 j
(b)
2ti + 4t2 j
(c)
− ti + t2 j
(d)
t3 i + t6 j
25. Uma bola que está circulando com
x = cos 2t, y = sin 2t
solta-se e co-
meça a voar numa reta tangente em
9
12 Movimento ao longo de uma curva
t = π/8.
Encontre seu ponto de par-
tida e sua posição num instante
t mais
tarde (movimento retilíneo; compute
sua velocidade constante
26. Por que
|a|
d2 s/dt2 ?
v).
e−t .
velocidade escalar
Você consegue
todo o caminho?
35. Ao longo de um círculo de raio
geralmente é diferente de
Dê um exemplo de dife-
rença, e um exemplo onde os dois números são iguais.
36. Acima e abaixo do eixo
t tal que a velocidade escalar ao
R=
√ cos ti + sin tj + tk
seja 1 ao invés de
2. Denote o novo
parâmetro s.
longo da hélice
ds/dt
x = 1+6t, y = 2+3t, z = 2t.
28. Encontre a velocidade escalar
Integre para encontrar o comprimento
−j,
ração constante
em
y
com acele-
t = 10.
37. Verdadeiro
(com
justicativa)
|R| = 1 para
|v| =constante.
(a) Se
todo
t,
|a| = 0,
(c) Se
v·v =constante, então v·a =
então
R =constante.
0.
(e) Não existe caminho com
v · R =
R =constante.
0,
então
ti + t2 j + t3 k
o caminho na hélice com velocidade
t.
y = z?
R(t).
O que
se pode dizer a respeito da velocidade
x = a cos t, y = b sin t, o ânθ do centro não é o mesmo que t
39. Na elipse
gulo
31. Suponha que o vetor tangente unitá-
xz . A
reta x =
no plano
curva sempre é paralela à
30. Construa equações paramétricas para
é a derivada de
v = a.
38. Encontre o vetor posição para a sombra de
nito, e ao longo de qual reta?
T(t)
R ·
Que curva é
esta? Em que instante ela vai ao in-
rio
então
(b) Se
v e |v| e a
x = tan t, y = sec t.
escalar
ou
falso (com exemplo):
(d) Se
para a curva
com
retornando para
s do ponto (1, 2, 0) ao ponto (13, 8, 4).
2
2
2
Conra usando 12 + 6 + 4 .
29. Encontre
4
|a| = 1.
aceleração escalar
(0, 0)
27. Mude
na reta
34. Ao longo de um círculo unitário com
devido a
40. Duas
.
partículas
estão
correndo
do
sem parâmetro, é impossível encon-
(1, 0) ao ponto (0, 1). Um sex = cos t, y = sin t, o outro
x = 1 + v1 t, y = v2 t. Escolha v1 e
v2 tais que a segunda partícula é mais
trar
mas ainda possível encon-
devagar, mas ganha.
trar
em cada ponto do caminho.
escalar? Dê um exemplo não-circular.
32. Para o caminho percorrido
Encontre
x(t)
e
y(t)
y = f (x),
para os caminhos
33-36.
ponto
gue
41. Duas retas no espaço são dadas por
R(t) = P + tv
e
R(t) = Q + tw.
Existem quatro possibilidades: as retas são paralelas, são a mesma, se in-
33. Ao longo do quadrado limitado por
tersectam ou são disjuntas.
Decida
x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, com
velocidade escalar 2. A fórmula tem
qual é qual baseado nos vetores
quatro partes.
retas):
10
w
e
u = Q−P
v
e
(que goes entre as
12 Movimento ao longo de uma curva
44. Resolva o Problema 43 pelo seguinte
(a) As retas são paralelas se
são
x, y, z em (x −
9)2 + (y − 4)2 + (z − 5)2 e minimize.
Que (x, y, z) na reta é o mais próximo
de (9, 4, 5)?
estão no
45. Practice com parâmetros, começando
cálculo: substitua por
são paralelos.
(b) As retas são a mesma se
paralelos.
(c) As retas se intersectam se
não é paralelo mas
de
mesmo plano.
(d) As retas são disjuntas se o produto triplo
u · (v × u)
é
(a) A reexão pela reta
,
.
42. Se as retas são disjuntas (e não estão
no mesmo plano), encontre uma fór-
u, v, w
para a dis-
tância entre elas. O vetor
u pode não
mula baseada em
x = F (t), y = G(t).
ser perpendicular ás duas retas, então
y=
Q para a reta P+tv é a
projeção de u = Q − P perpendicular
a v. Quão distante está Q = (9, 4, 5)
da reta x = 1 + t, y = 1 + 2t, z =
3 + 2t?
43. A distância de
11
é
x =
.
x = t3 , y = t2
y = f (x).
(b) Escreva a curva
na forma
x = t2 , y = t3 não pode
escrito na forma y = f (x)?
(c) Por que
ser
(d) Se
F
é invertível,
F −1 (x) e
projete-o em um vetor que o é.
45◦
y=
t =
então
(x).
46. De 12:00 a 1:00 um caracol se rasteja
uniformemente do ponteiro de minutos (um metro em uma hora).
contre sua posição no instante
início em
(0, 0).
t
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