3. HIDROSTÁTICA
3.1. Lei Hidrostática de Pressões
“There are no shear stresses in fluids at rest; hence only normal pressure forces are present. Therefore the pressure at any point in a fluid at rest is the same in every direction”. A hidrostática ocupa‐se do estudo de fluidos em repouso, razão pela qual a força de contacto exercida sobre uma área tem apenas a componente vertical (normal). Designa‐se por pressão a força aplicada por unidade de superfície (área). Admitindo um corpo de volume ∀, limitado pela superfície A, mergulhado numa massa líquida; e considerando que dA representa um elemento de área nessa superfície e dF a força perpendicular que actua sobre a área elementar (dA), ver Figura 3.1, a pressão (p) é expressa por: p=
dF
dA
(3.1)
Atenção: a força é sempre perpendicular a superfície, conforme ilustra a figura ao lado. Quando se considera toda a área, o efeito da pressão produzirá uma força resultante (impulsão ou pressão total) que é obtida pela equação: π = ∫ pdA , ou quando a pressão é a mesma em toda a A
área π
= pA . Figura 3.1 – Representação da pressão exercida sobre uma área elementar. De acordo com a lei de Pascal (estabelecida por Leonardo da Vinci) “em qualquer ponto no interior de um líquido em repouso, a pressão é a mesma em todas as direcções”. Vamos demonstrar a lei considerando um prisma imaginário de dimensões elementares: comprimento dx, altura dz e espessura dy (ver Figura 3.2). O p é a pressão média em qualquer direcção no plano de papel, px e pz são, respectivamente, as pressões médias nas direcções horizontal e vertical. Ficheiro: Hidrostatica.doc
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x = ρ cosθ z = ρ senθ ρ = x2 + z 2
↓→½γdxdzdy (a) Pressão nas faces perpendiculares ao plano do papel z
x
θ = arctg (b) Revisão básica da trigonometria Figura 3.2 – Prisma imaginário no interior de um líquido em repouso. Pelo facto do prisma estar em equilíbrio, o somatório das forças é nulo. ΣFx = 0
Portanto, para direcção de X: Deste modo, p x dydz = pdρdy senθ , com sen θ = dz dρ p x dydz = pdρdy
dz
dρ
px dydz = pdydz px = p Para direcção de Z: ΣFz = 0 Deste modo, 1
dx
p z dxdy = pdρdy cos θ + γdxdydz , com cos θ =
2
dρ
⎛1
⎞
O terceiro termo ⎜ γdxdydz ⎟ é de ordem superior em relação aos outros dois termos e ⎝2
⎠
pode ser desprezado1. 1 Nota: na demonstração acima desprezou‐se o peso pelo facto do prisma ser de dimensões elementares. A força correspondente ao peso do triângulo é dada por: γ*área do prisma triangular*largura (i.e. γ*½ dxdz*dy). Ficheiro: Hidrostatica.doc
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p z dxdy = pdρdy
dx
dρ
p z dxdy = pdxdy pz = p Finalmente, tem‐se que px = pz = p Nota: na demonstração acima desprezou‐se o peso pelo facto do prisma ser de dimensões elementares. De acordo com a lei de Stevin (pressão exercida por uma coluna líquida) “a diferença de pressões entre dois pontos de massa de um líquido em equilíbrio é igual à diferença de profundidade multiplicada pelo peso volúmico do líquido (e.g. γágua = 9800 N/m3)”. O somatório das forças que actuam, na vertical, sobre o prisma deve ser: ΣFy = 0 Logo, p1 A + γhA − p2 A = 0 p1 − p2 = γh p1 − p2
γ
=h
Figura 3.3 – Ilustração da pressão exercida, por uma coluna líquida em repouso, num prisma ideal. Finalmente, importa referir que a Hidrostática estuda fluidos em repouso, considerando a massa volúmica constante (ρ = constante). Portanto, de acordo com a Lei Hidrostática de Pressões, a pressão num líquido em repouso será: Ficheiro: Hidrostatica.doc
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p
γ
+ z = cons tan te ou 1
p + z = cons tan te ρg
(3.2)
onde: p – pressão num dado ponto (Pascal ou N/m2). Nota: 1 kgf/m2 = 9,8 N/m2 e 1 bar = 1,012*105 N/m2; z – cota geométrica do ponto, a que se refere a pressão, em relação a um plano horizontal de referência (m); γ – peso volúmico (N/m3); p
γ
+ z – cota piezométrica em relação a um plano horizontal de referência (assume uma valor constante em todos os pontos de um líquido) (m); e p
γ
é altura piezométrica (ou de pressão) (m). 3.1.1. Pressões Absolutas e Relativas
Entre a pressão absoluta e relativa existe a seguinte relação: pabsoluta = prelativa + patmosférica
(3.3)
A pressão exercida na superfície de um líquido é exercida pelos gases sobrejacentes (e.g. pressão atmosférica). Considerando a pressão atmosférica (ver Figura 3.4), tem‐se a seguinte situação: p1 = pa + γh1 p2 = p1 + γh2 p2 = pa + γ (h1 + h2 ) Figura 3.4 – Representação da pressão num ponto no interior de um líquido em repouso. Na hidráulica, geralmente, trabalha‐se com pressões relativas (também pode receber a designação de pressão manométrica ou pressão efectiva) visto que o que interessa calcular Ficheiro: Hidrostatica.doc
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ou medir é a diferença de pressão entre os pontos. Assim, como a pressão atmosférica actua de igual modo em todos os pontos é comum não ser considerada. Ver a Figura 3.5 que corresponde à uma situação em que se pretende determinar a pressão exercida pela massa líquida na parede do reservatório. Figura 3.5 – Pressão exercida pelo líquido, em repouso, na parede do reservatório. Como a pressão atmosférica actua de ambos os lados da parede, ela anula‐se no ponto π. Nota Importante: no caso de estudo dos gases a pressão atmosférica deverá ser sempre considerada. Saliente‐se que a pressão atmosférica normal (i.e. correspondendo ao nível médio do mar) assume o valor de 1,012x105 N/m2 (1,033x104 kgf/m2) que equivale à uma altura de coluna de água de 10,33 m (i.e., pa
γ
= 10,33 m). Exercício 3.1 (modificado de Quintela, 2005: 14) Considere um reservatório de água, com superfície livre à pressão atmosférica normal, no qual mergulham os extremos de um tubo em U invertido, cheio de água (ver Figura 3.6). Figura 3.6 – Reservatório com tubo em U invertido (cheio de água). a) Calcular a pressão (absoluta e relativa) no ponto A no interior do tubo, situado 6,0 m acima da superfície livre. Ficheiro: Hidrostatica.doc
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b) Calcular a altura máxima h para que não haja vaporização da água no ponto B (ev = 2450 N/m2). Resolução: na sala de aulas. 3.1.2. Medição das Pressões: Tubo Piezométrico e Manómetros
A técnica mais simples para medição da pressão consiste no uso de um tubo piezométrico (também conhecido como piezómetro). Para o caso de escoamento sob pressão no interior de um conduto (i.e. escoamento de líquido sem superfície livre), a altura piezométrica (
p
γ
) corresponde à altura a que subiria a superfície livre do líquido (acima do conduto), num tubo (geralmente vertical) de pequeno diâmetro (convém que o diâmetro seja > 1 cm para ser desprezável os efeitos da tensão superficial ou da capilaridade) designado por tubo piezométrico (ver Figura 3.7). Figura 3.7 – Ilustração do tubo piezométrico inserido num conduto horizontal. Manómetro é um instrumento utilizado para medir a pressão. Utiliza‐se uma coluna de líquido para medir a diferença de pressão entre um ponto e a atmosfera, ou entre dois pontos, dos quais nenhum está à pressão atmosférica. O tubo piezométrico supracitado só é aplicável em situações em que se pretende medir pequenas pressões (manométricas) em líquidos (ver Figura 3.7). Porém, quando se trata de pressões elevadas é preciso recorrer a manómetros de líquido. O manómetro de coluna líquida (técnica muito antiga) pode ser simplesmente um tubo transparente com a forma de U no qual se coloca uma certa quantidade de líquido (ver Figura 3.8). O líquido introduzido no tubo terá que respeitar às seguintes condições: i) ser imiscível com o líquido (cuja pressão se pretende medir) que se encontra no conduto ou recipiente; ii) possuir densidade superior a do líquido que se encontra no conduto ou recipiente. Ficheiro: Hidrostatica.doc
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Os manómetros de coluna líquida podem ser em U (só assim será possível medir pressões negativas) ou ter uma única coluna que pode ser vertical ou inclinada. Figura 3.8 – Ilustração do manómetro (de líquido) em U. Questão: Como determinaria as pressões em X, Y e a pressão p (a pressão na linha média do conduto) do líquido A no interior do conduto? A pressão em X: p X = γha + p = ρ A gha + p A pressão em Y: p y
= γh b = ρ B gh b (porque a extremidade do tubo está em contacto com a atmosfera) A pressão no interior do condutoℜ, p: px = p y ⇔ ρ A gha + p = ρ B ghb Para aprofundar este assunto deverá consultar, por exemplo Azevedo Netto et al. (1998: 27‐29) e Massey (2002: 83‐84). O último autor descreve (ver p. 90‐91) um outro dispositivo usado na medição de pressão, o barómetro. ℜ
Quando o fluído A é gasoso e o B líquido, pode‐se desprezar o ρA. Ficheiro: Hidrostatica.doc
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pA
γ
pA
γ
pA
γ
pA
γ
− z A − sy + z B =
−
−
−
pB
γ
pB
γ
pB
γ
pB
γ
= z A − z B + sy
= − y + sy
= (s − 1) y
Figura 3.9 – Manómetro. (a) Para medir diferença de pressão Δp em líquidos ou gases. (b) Para medir Δp nos líquidos apenas (adaptada de Daugherty et al., 1985: 36). 3.1.3. Prensa hidráulica e o Macaco hidráulico
O facto de um aumento de pressão, num fluído confinado, ser transmitido uniformemente através do fluído, é aproveitado em dispositivos hidráulicos (e.g. prensa hidráulica e o macaco hidráulico) (Massey, 2002: 84‐85). Figura 3.9 – Prensa hidráulica. Ao aplicar uma pequena força Fa sobre um pistão de área Aa (ver Figura 3.9) exerce‐se um força FB, sobre um pistão de área AB, sujeitando‐o a uma pressão p = FB / AB . A
FB Fa
=
⇔ FB = Fa B Aa
AB Aa
(3.4)
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3.2. Impulsão Hidrostática
Por impulsão hidrostática (ou simplesmente impulsão) entende‐se a força aplicada sobre superfícies mergulhadas. Aspectos a ter em consideração: a pressão do líquido provoca forças sobre a superfície com a qual contacta; as forças distribuídas sobre a superfície têm uma resultante (é esta força resultante que na prática interessa determinar a grandeza, a direcção e a linha de acção); quando a superfície é plana e horizontal, o contacto com o líquido em repouso dá origem à uma força resultante (ou força total) que corresponde ao produto da pressão (p) pela área da superfície (A) (ver Figura 3.10) π = pA = ρghA (3.5)
Nessa situação: i) a direcção de actuação da força é perpendicular ao plano (no sentido do fluído para o plano); ii) o ponto de actuação da força é o centróide♣ (≈ centro de gravidade) do plano. Figura 3.10 – Pressão e impulsão sobre superfície horizontal. quando a superfície não é horizontal, a pressão varia de ponto para ponto, sobre a superfície, e o cálculo da força total (impulsão) é menos simples. ♣
O centróide do volume, corresponde ao centro de impulsão, depende da forma do volume considerado. Importa referir que não é exactamente o mesmo que o centro da gravidade do corpo que depende do modo como o peso está distribuído pelo corpo (ver Massey, 2002: 116). Ficheiro: Hidrostatica.doc
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3.2.1. Impulsão sobre superfície plana
Considere uma superfície plana, mergulhada num líquido em repouso, que faz um ângulo θ com a superfície livre do líquido (ver Figura 3.11). Figura 3.11 – Impulsão hidrostática sobre superfície plana inclinada. Questão: como determinar a força resultante (impulsão) sobre uma superfície plana e inclinada? Regras básicas: 1. considerar que o eixo Oy coincide com o plano inclinado; 2. o eixo Ox é perpendicular ao eixo Oy (i.e. Ox é perpendicular ao plano inclinado); 3. ter em atenção que qualquer área elementar (ou porção) da superfície submersa está sob a acção de uma força devido à pressão do líquido; 4. saber que sobre qualquer porção de superfície (superfície elementar) dA mergulhada a uma profundidade h actua uma pressão p que é dada por p = ρgh . Logo, a força correspondente sobre a porção da superfície será: ∂π = p∂A = ρgh∂A , com h = ysenθ
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Pág. 3‐10 de 3‐22 (3.6a)
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∂π = ρgysen θ∂A onde: (3.6b)
∂π é a força elementar; h é a profundidade da porção da área ∂A que se relaciona com a coordenada y por h =
ysenθ . 5. ter presente que não são exercidas forças tangenciais sobre o plano da superfície porque o líquido está em repouso. Logo, a força é perpendicular ao elemento (ou porção) da superfície que por ser plana faz com que todas as forças elementares sejam paralelas entre si. Portanto, a força total (impulsão hidrostática) que actua num dos lados da superfície plana vem expressa da seguinte maneira: π = ∫ ρgysenθ ∂A = ρgsenθ ∫ y∂A A
(3.7a)
A
Nota: ∫ y∂A é o momento estático da área e respeita a condição A
∫ y∂A = Ay
0
(3.7b)
A
( )
onde: A é a área total e y0 x , y a coordenada (ou posição) do centro de gravidade. Finalmente, π = ρgsenθy0 A = ρg h A , com h = senθy0 (3.7c)
Além dos aspectos supracitados, é preciso conhecer a linha de acção da força total (perpendicular ao plano) e determinar o ponto no qual a linha de acção da força encontra o plano. Este ponto designa‐se por Centro de Impulsão (CI) ou Centro de Pressão. A distância que separa o CI da superfície é medida sobre o plano inclinado e é igual a: distância ao centro de gravidade + uma distância d (3.8a)
d=
I GG'
Ay0
(3.8b)
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onde: IGG’ é o momento de inércia2 da área da superfície plana em relação ao eixo 0x, A a área da superfície e y 0 a coordenada do centro de gravidade (medida, desde a superfície, sobre o plano – vertical ou inclinado – em que se encontra a placa). Quintela (2005: 22) apresenta uma tabela com a posição do centro de gravidade, área e o momento de inércia para várias figuras planas. QUADRO 3.1 – Momento de inércia (IGG’) e área de formas geométricas comuns. Designação Esquema Área (A) IGG’ Rectângulo I GG ' =
ba a 3b
12
1
ba 2
Triângulo Círculo πR
2
I GG '
I GG ' =
a 3b
=
36
πR 4
4
π (2 R )2
Semicírculo 8
2
bh 3
Parábola πR 4
8
b 3
h 2
2 Momento de inércia mede a distribuição da massa de um corpo em torno de um eixo de rotação. Ficheiro: Hidrostatica.doc
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3.2.1.1. Impulsão sobre superfície plana premida em duas faces
No caso de superfícies planas premidas nas duas faces (i.e. nos dois lados) pelo mesmo líquido e com superfície livre do líquido exibindo uma diferença de nível hs (ver Figura 3.12), a resultante das forças de pressão será: dF = ( p2 − p1 )dA = γhs dA (3.9)
onde: γ e hs são constantes. Figura 3.12 – Superfície plana(a) e vertical premidas nas duas faces. A impulsão resultante, com o ponto de aplicação (centro de impulsão) coincidente com o centro de gravidade da superfície, é expressa pela equação: π = γhs A (3.10)
A equação (3.10) só é valida quando se despreza a espessura da superfície onde é exercida a impulsão excepto quando se trata de parede vertical. 3.2.2. Impulsão sobre superfície curva
Ao contrário do que acontece com a superfície plana, no caso das superfícies curvas a resultante do sistema de forças de pressão não é uma força única. Nesse caso tem‐se: impulsão vertical (πv) e impulsão horizontal (πh). O cálculo da impulsão hidrostática numa superfície curva tem procedimento diferente relativamente ao caso das superfícies planas (não se trata de algo complexo como vem referido em muitos livros! É apenas diferente!). O procedimento é diferente devido aos seguintes factos: Ficheiro: Hidrostatica.doc
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1) as forças que actuam sobre áreas elementares (porções da superfície) não são todas paralelas; 2) como as forças não são paralelas a simples soma algébrica das respectivas grandezas não tem significado; 3) apenas podem ser somadas as componentes das forças actuantes, segundo direcções especificadas, separadamente de modo a calcular as componentes da força resultante; 4) é necessário determinar as componentes horizontal e vertical da força resultante (total). Analisemos os casos ilustrados nas figuras seguintes (Figura 3.13, 3.14) para melhor compreender a situação. α+β = 90 ºC
Apo
∀L
(a) Impulsão sobre superfície curva (b) Componente vertical e horizontal da impulsão (c) Volume vertical (∀L) e a projecção ortogonal da área (Apo) Figura 3.13 – Impulsão hidrostática sobre superfície curva. A impulsão vertical (πv)
A componente vertical da impulsão é igual ao peso do volume de líquido (∀L) delimitado pela superfície premida, pelas projectantes verticais tiradas pelo contorno da superfície e pela superfície livre (vide equação de πv na Figura 3.13b). πv =γ∀L
(3.11)
A impulsão horizontal (πh)
A componente horizontal da impulsão é igual à impulsão hidrostática exercida sobre a superfície plana correspondente à projecção ortogonal da superfície curva num plano perpendicular (vide equação de πh na Figura 3.13b). Ficheiro: Hidrostatica.doc
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π h = γhCG A po
(3.12)
onde: hCG é altura da coluna do líquido até a centro da gravidade da superfície plana correspondente à projecção ortogonal da superfície curva, Apo é a área da superfície plana correspondente à projecção ortogonal da superfície curva, conforme indica a Figura 3.13b. A impulsão resultante ( força total ou global, π)
A impulsão resultante, quando as componentes horizontal e vertical da força são coplanares3, obtém‐se através da equação: π = π v2 + π h2
(3.13)
A direcção da impulsão é determinada através do ângulo formado com o plano horizontal (ver Figura 3.13a): ⎛π ⎞
⎛π ⎞
tgβ = ⎜⎜ v ⎟⎟ , sendo β = arctg ⎜⎜ v ⎟⎟ ⎝πh ⎠
⎝πh ⎠
(3.14)
O caso anterior (representado na Figura 3.13) refere‐se à uma comporta côncava. Iremos agora analisar uma situação correspondente à impulsão exercida sobre uma superfície cilíndrica convexa. 3
Forças que actuam no mesmo plano. Ficheiro: Hidrostatica.doc
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(a) Impulsão sobre superfície cilíndrica (b) Forças actuantes (c) Volume (∀L1) correspondente a força vertical πv1 (d) Volume (∀L2) correspondente a força vertical πv2 Figura 3.14 – Impulsão hidrostática sobre superfície curva. A impulsão vertical (πv)
De acordo com a Figura 3.14c, d: π v
= π v1 − π v 2 , com π v1 = γ∀ L1 e π v 2 = γ∀ L 2 (3.15)
A impulsão horizontal (πh) De acordo com a Figura 3.14b: πh = πh −πh
1
2
, com π h1
= γhCG1 A po1 e π h 2 = γhCG 2 A po 2 (3.16)
onde: hCG é altura da coluna do líquido até a centro da gravidade da superfície plana correspondente à projecção ortogonal da superfície curva, Apo é a área da superfície plana correspondente à projecção ortogonal da superfície curva. Nota: resolva os exercícios da Fichas 2B. Após a resolução poderá considerar‐se um expert no assunto ☺. Ficheiro: Hidrostatica.doc
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3.2.3. Impulsão sobre corpos mergulhados
Conceitos a saber sobre impulsão sobre corpos mergulhados num líquido em repouso: um corpo total ou parcialmente mergulhado num líquido fica sob a acção de uma força global para cima (designada por impulsão); a impulsão, para cima, é exercida pelo líquido e deve‐se ao facto da pressão nas regiões inferiores do corpo (Finf) ser superior à pressão nas regiões superiores (Fsup) – ver Figura 3.15b; a impulsão não tem componente horizontal porque as forças exercidas pelo fluído em cada lado do corpo são iguais (equilibram‐se) – Figura 3.15b; (a) Corpo mergulhado com contorno ABCD (b) Forças actuantes Figura 3.15 – Impulsão sobre corpo mergulhado. a força para cima (representada na Figura 3.15b por Fin, DAB) corresponde ao peso do volume do líquido delimitado pela linha DABX’XD; a força para baixo (exercida na superfície DCB) corresponde ao peso do líquido na região DCBX’X; o líquido exerce sobre o corpo uma força resultante para cima que é: Peso líquido em ( ABCD ) = ( peso líquido (DABX ' X )) − ( peso líquido (DCBX ' X )) (3.17a) π ABCD = ρg∀ ABCD (3.17b) Ficheiro: Hidrostatica.doc
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a impulsão é a resultante da força ascendente (para cima) exercida pelo líquido sobre o corpo ( π =
ρg∀corpo ). De acordo com o “princípio de ARQUIMEDES”4, a impulsão
exercida sobre um corpo mergulhado é igual ao peso do volume do líquido deslocado. Quando a impulsão é maior que o peso do corpo, este flutua; se o corpo estiver parcialmente mergulhado a impulsão será igual ao peso do volume da parte mergulhada (Figura 3.16); (a) Corpo parcialmente mergulhado (b) Parte mergulhada Figura 3.16 – Impulsão sobre corpo parcialmente mergulhado. quando um corpo mergulhado não está apoiado, o equilíbrio apenas ocorre quando a impulsão sobre o corpo for rigorosamente equivalente ao seu peso. Se a impulsão for superior ao peso (e.g. o caso do balão no ar, bolha de ar na água) o corpo sobe até que a sua massa volúmica média seja equivalente a do fluído envolvente. 3.2.4. Equilíbrio de corpos flutuantes
Um corpo flutuante apresenta, necessariamente, o peso inferior ao peso do volume do líquido que pode deslocar. Portanto, para que o corpo flutue a sua massa volúmica tem que ser inferior a do líquido. Nesse caso, o peso total do corpo vai ser igual ao produto do volume submerso pelo peso volúmico (ou específico) do corpo. A porção submersa do corpo é designada, na literatura brasileira, por carena ou querena. É ainda comum designar‐se o centro de gravidade da parte submersa por centro de carena que corresponde ao ponto de aplicação da impulsão. Existem três estados possíveis de equilíbrio: i.
Equilíbrio estável – quando sujeito a um deslocamento o corpo retoma a posição original; 4 Site com ilustrações do princípio de Arquimendes: http://www.grow.arizona.edu/Grow‐‐GrowResources.php?ResourceId=197 Ficheiro: Hidrostatica.doc
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ii.
Equilíbrio instável – nesse caso o corpo não regressa a posição inicial, afastando‐se cada vez mais; iii.
Equilíbrio neutro ou indiferente – quando sujeito a um deslocamento e depois abandonado, permanece na nova posição (não regressa à posição original e nem se afasta). Para garantir o equilíbrio estável dum corpo flutuante é necessário que se cumpram as seguintes condições: o centro de gravidade (CG) do corpo deve situar‐se abaixo da posição do metacentro (MC), i.e. CG < MC; MC =
I GG'
∀m
(3.18)
onde: MC é a posição do metacentro, IGG’ o momento de inércia da área que a superfície do líquido intercepta no flutuante relativo ao eixo sobre o qual se supõe que o corpo possa virar, ∀m o volume da parte submersa do corpo (volume de carena). Quando o CG e MC coincidem o equilíbrio é neutro/indiferente. Nota: para ângulos pequenos (inferiores a 15º, fraca inclinação do corpo) a variação da posição do metacentro não é significativa podendo‐se considerar a altura metacéntrica constante (a variação da distância entre CG e MC) (Azevedo Neto et al., 1998: 41‐44, Massey, 2002: 118‐131). Ficheiro: Hidrostatica.doc
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Exercício 1
Considere um prisma rectangular de madeira com as dimensões indicadas na Figura e de densidade 0,82. Verifique se o prisma flutuará em condições estáveis na posição indicada. Figura 3.17 – Corpo flutuante. Resolução: Ficheiro: Hidrostatica.doc
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Exercício 2
Pretende‐se colocar uma bóia cilíndrica de 80 kg, com 1,50 m de altura e 1,0 m de diâmetro, a flutuar com o eixo na vertical, em água do mar com massa volúmica 1026 kg/m3. Agarrado ao centro da superfície de topo da bóia está um corpo com 10 kg de massa. Pretende‐se mostrar que haverá instabilidade inicial, com a bóia a flutuar livremente. Figura 3.18 – Corpo flutuante. Resolução: Ficheiro: Hidrostatica.doc
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REFERÊNCIAS
AZEVEDO NETTO, J.M., FERNANDEZ Y FERNANDEZ, M., ARAUJO, R., ITO, A.E. (1998). Manual de Hidráulica. 8ª Edição, Editora Edgar Blücher, São Paulo. DAUGHERTY, R.L., FRANZINI, J.B. & FINNEMORE, E.J. (1985). Fluid Mechanics with Engineering Applications. 8th Edition, McGraw‐Hill, New York. MASSEY, B.S. (2002). Mecânica dos Fluidos. Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa. QUINTELA, A.C. (2005). Hidráulica. 9ª Edição, Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa. Ficheiro: Hidrostatica.doc
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