1.13J/2.062J, PROPAGAÇÃO DE ONDAS
Outono, 2000 MIT
Observações de C. C. Mei
CAPÍTULO QUATRO. ONDAS EM ÁGUA
1
Equações governantes para ondas na superfície do mar
Neste capítulo, tomaremos a água como exemplo de um fluido não-viscoso e incompressível e
consideraremos as ondas de amplitude infinitesimal, de forma que a aproximação linear seja
suficiente.
Lembre-se de que, no primeiro capítulo, quando a compressibilidade é incluída o potencial
de velocidade definido por u = ∇Φ é governado pela equação de onda:
(1.1)
onde
é a velocidade do som. Considere a relação
Conforme mostrado anteriormente, a velocidade de fase da onda mais veloz é
onde g
é a aceleração gravitacional e h a profundidade do mar. Agora, h é no máximo 4.000m e a
velocidade do som na água é c = 1.400m/seg2, de forma que a relação cima é no máximo
No entanto, aproximamos (1.1) através de
(1.2)
Permita que a superfície livre seja z = ζ(x, y, t). Então, para uma superfície livre suavemente
inclinada a velocidade vertical do fluido na superfície livre deve ser igual à velocidade vertical da
própria superfície, ou seja,
(1.3)
Tendo apenas a ver com a velocidade, ela é chamada de condição cinemática.
1
Para pequenos movimentos de amplitude, a equação de momentum linear indica
(1.4)
Agora, permita que a pressão total seja dividida em partes estáticas e dinâmicas
(1.5)
onde p0 é a pressão estática
(1.6)
que satisfaz
(1.7)
Conclui-se que
(1.8)
de forma que
(1.9)
a qual relaciona a pressão dinâmica à velocidade potencial.
Vamos supor que o ar acima da superfície do mar é basicamente estagnado. Por causa de
sua pouca densidade, ignoramos o efeito dinâmico do ar e supomos que a pressão do ar seja
constante, o que pode ser aceito como zero sem perda de generalidades. Se a tensão da superfície
for ignorada, a continuidade da pressão exige que
para a principal ordem de aproximação, temos, portanto,
(1.10)
Sendo uma afirmação sobre forças, ela é chamada de condição-limite dinâmica. As duas condições
(1.3) e (1.10) podem ser unificadas para dar
(1.11)
2
Se a tensão da superfície também estiver incluída, então adotamos o modelo onde existe
uma película fina que cobre a superfície da água com tensão T por unidade de comprimento.
Considere um retângulo horizontal dxdy sobre a superfície livre. A força vertical líquida dos quatro
lados é
A continuidade da força vertical em uma unidade da área de superfície exige
Dessa forma,
(1.12)
que pode ser unificada à condição cinemática (1.3) para resultar em
(1.13)
Quando a viscosidade é desprezada, a velocidade do fluido normal desaparece no rígido
leito do mar,
(1.14)
Permita que o leito do mar seja z = −h(x, y), então a unidade normal é
(1.15)
Então,
(1.16)
3
2
Ondas progressivas em um mar de profundidade constante
2.1
O potencial de velocidade
Considere o caso mais simples de profundidade constante e ondas senoidais com cristas
infinitamente longas, paralelas ao eixo y. O movimento está no plano vertical (x, y). Vamos buscar
uma solução que represente um trem de ondas avançando ao longo da direção x com freqüência ω e
número de ondas k,
(2.1)
A fim de satisfazer (1.2), (1.13) e (1.16), precisamos
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Obviamente, a solução para (2.2) e (2.4) é
indicando que
(2.5)
A fim de satisfazer (2.3), necessitamos
(2.6)
que é a relação de dispersão entre ω e k. Com base em (1.3), obtemos
(2.7)
Por integração,
(2.8)
onde A significa a amplitude de onda de superfície, conclui-se que
4
e
(2.9)
2.2
A relação de dispersão
Vamos primeiro examinar a relação de dispersão (2.6), onde três comprimentos são apresentados: a
profundidade h, o comprimento de onda λ = 2π/k e o comprimento λm = 2π/km em
(2.10)
Como lembrete, na interface ar-água observamos que T/ρ = 74cm3/s2, g = 980cm/s2, de forma que
λm = 1,73 cm. A profundidade de interesse oceanográfico varia de O(10cm) a milhares de metros. O
comprimento de onda varia de poucos centímetros a centenas de metros.
Vamos apresentar
(2.11)
então (2.6) é normalizado para
(2.12)
Considere primeiro as ondas de comprimento da ordem de λm. Para profundidades de
interesse oceanográfico, h >> λ ou kh >> 1, tanh kh ≈ 1. Portanto,
(2.13)
ou em forma dimensional
(2.14)
5
A velocidade de fase é
(2.15)
Definindo
(2.16)
a equação anterior assume a forma normalizada
(2.17)
Obviamente,
(2.18)
Figura 1: Velocidade de fase de ondas de gravidade capilar em água muito mais profunda que λm.
Dessa forma, para os comprimentos de onda bem mais curtos que 1,7 cm, a capilaridade sozinha é
importante. Estas ondas são chamadas ondas capilares. Por outro lado,
(2.19)
6
Dessa forma, para os comprimentos de onda muito mais longos que 1,73 cm, a gravidade sozinha é
importante. Estas ondas são chamadas ondas de gravidade. Já que em ambos os limites, c se torna
maior, deve haver um mínimo para algum k intermediário. A partir de
o c mínimo ocorre quando
(2.20)
O menor valor de c é cm. Para a variação intermediária, onde tanto a capilaridade quanto a gravidade
são de igual importância, a relação de dispersão é traçada na figura (1).
Em seguida, consideramos as ondas de gravidade mais longa onde os efeitos da
profundidade são essenciais.
(2.21)
Para ondas de gravidade em águas profundas, kh >> 1, tanh hk → 1. Portanto,
(2.22)
Figura 2: Velocidade de fase de ondas de gravidade capilar em água de profundidade constante
Dessa forma, as ondas mais longas fazem o percurso mais rapidamente. Elas também são chamadas
de ondas de gravidade curta. Se, no entanto, as ondas forem muito longas ou a profundidade muito
pequena, de forma que kh << 1, então tanh kh ~ kh e
(2.23)
7
Para os valores intermediários de kh, a velocidade de fase diminui monotonamente com o aumento
de kh. Todas as ondas longas com kh << 1 fazem o percurso com a mesma velocidade máxima
determinada pela profundidade,
traçada na figura (??).
2.3
. Assim, não há não-dispersão. A relação de dispersão é
O campo de fluxo
Para k/km e kh arbitrários, as velocidades e a pressão dinâmica são facilmente encontradas a partir
do potencial (2.9), como segue:
(2.24)
(2.25)
(2.26)
Observe que todas estas quantidades decaem monotonamente em profundidade.
Em águas profundas, kh >> 1,
(2.27)
(2.28)
(2.29)
todas as quantidades dinâmicas são reduzidas exponencialmente a zero como kh → −∞. Assim, o
movimento de fluido é limitado à altura da camada de superfície O(λ). As ondas de gravidade
capilar são, portanto, ondas de superfície.
Para ondas de gravidade absoluta em águas rasas, T = 0 e kh << 1, obtemos
(2.30)
(2.31)
(2.32)
Observe que a velocidade horizontal é uniforme em profundidade, enquanto a velocidade vertical é
desprezível. Assim, o movimento de fluido é essencialmente horizontal. A pressão total
8
(2.33)
é hidrostática e aumenta linearmente em relação à profundidade da superfície livre.
2.4
A órbita de partículas
Em mecânica dos fluidos, existem duas maneiras de descrever o movimento de fluido. No esquema
Lagrangiano, compreende-se a trajetória x, z de todas as partículas de fluido como funções de
tempo. Cada partícula de fluido é identificada por sua posição estática ou inicial x0, z0. No entanto, a
posição instantânea no tempo t depende parametricamente de x0, z0. No esquema Euleriano, o
movimento de fluido em qualquer instante t é descrito pelo campo de velocidade em todas as
posições fixas x, z. À medida que o fluido se movimenta, o ponto x, z é ocupado por diferentes
partículas de fluido em tempos diferentes. Em um determinado momento t, uma partícula de fluido
originalmente em (x0, z0) chega em x, z, portanto sua velocidade de partícula deve coincidir com a
velocidade de fluido
(2.34)
Uma vez que u,w são conhecidos por todos x, z, t, podemos, em princípio, integrar as equações
acima para obter uma trajetória de partícula. Em geral, este problema Euler-Lagrange é muito
difícil.
Em ondas de pequena amplitude, a partícula de fluido oscila entre sua posição média ou
inicial através de uma pequena distância. A integração de (2.34) é relativamente fácil. Permita que
(2.35)
então x′ << x, z′ << z, em geral. A equação (2.34) pode ser aproximada por
(2.36)
Com base em (2.24) e (2.25), obtemos por integração,
(2.37)
(2.38)
(2.39)
(2.40)
9
Permitindo
(2.41)
obtemos
(2.42)
A trajetória da partícula em qualquer profundidade é uma elipse. Os eixos horizontal (maior) e
vertical (menor) da elipse diminuem monotonamente em profundidade. O eixo menor se reduz a
zero no leito do mar, portanto a elipse se desintegra em um segmento de linha horizontal. Em águas
profundas, os eixos maior e menor são iguais
(2.43)
No entanto, as órbitas são círculos com o raio diminuindo exponencialmente em relação à
profundidade.
Também podemos reescrever a trajetória como
(2.44)
(2.45)
Quando ωt − kxo = 0, x′ = 0 e z′ = b. Um quarto de período mais tarde, ωt − kxo = π/2, x′ = a e z′ =
0. À medida que o tempo passa, a partícula traça uma órbita elíptica em sentido horário.
2.5
Energia e Transporte de energia
Debaixo da unidade de comprimento de uma superfície livre, o tempo médio da densidade de
energia cinética é
(2.46)
ao passo que a densidade de energia potencial instantânea é
10
(2.47)
Portanto, a média de tempo é
(2.48)
Vamos reescrever (2.24) e (2.25) em (2.28):
(2.49)
(2.50)
Então
após a utilização da relação de dispersão. Por outro lado,
(2.52)
Portanto, a densidade total de energia é
(2.53)
Observe que a energia total é igualmente dividida em energias cinética e potencial; isto se chama
eqüipartição de energia.
Damos o exemplo abaixo como exercício para mostrar que o fluxo da potência (taxa do
fluxo de energia) através da estação x é
(2.54)
11
onde cg é a velocidade do transporte de energia ou da velocidade de grupo
(2.55)
Para ondas de gravidade absoluta, k/km << 1, de forma que
(2.56)
onde a velocidade de fase é
(2.57)
Em águas muito profundas kh >> 1, temos
(2.58)
Quanto mais curtas forem as ondas menores serão as velocidades de fase e de grupo. Em águas
rasas kh << 1,
(2.59)
As ondas longas são as mais rápidas e não se dispersam mais.
Para ondas de gravidade capilar com kh >> 1, temos
(2.60)
onde
(2.61)
Observe que cg = c quando k = km e
(2.62)
12
No limite das ondas capilares absolutas de k >> m, cg = 3c/2. Para ondas de gravidade absoluta cg =
c/2 como em (2.58).
3
Resistência de onda de um obstáculo bidimensional
Ref.: Anotações de aula sobre Surface Wave Hydrodynamics Theodore T.Y. WU, Calif. Inst. Tech.
Como aplicação das informações reunidas até agora, vamos examinar a resistência de onda
em um corpo bidimensional que avança de forma gradual paralela à superfície livre. Permita que a
velocidade do corpo seja U, da direita para a esquerda, e a profundidade do mar seja constante.
Devido à bidimensionalidade, as ondas geradas devem possuir cristas paralelas ao eixo do
corpo (eixo y). Após o estado estacionário ser alcançado, as ondas que correspondem ao navio
devem ter a velocidade de fase igual à velocidade do corpo. No sistema de coordenadas fixado no
corpo, as ondas são estacionárias. Considere primeiro as ondas de gravidade capilar em águas
profundas λ* = λ/λm = O(1) e kh >> 1. Equacionando U = c, obtemos, a partir da relação de
dispersão normalizada
(3.1)
onde U* ≡ U / cm. Portanto,
que pode ser resolvida para oferecer
(3.2)
e
(3.3)
Assim, sempre que c* = U* > 1 dois trens de onda estão presentes: a onda de gravidade mais longa
com comprimento λ*1 e a onda de capilaridade mais curta com comprimento λ*2. Já que cg1 < c = U
e cg2 < c = U e a energia deve ser enviada a partir do corpo, as ondas de gravidade mais longas
devem vir depois, enquanto as ondas de capilaridade mais curtas permanecem à frente do corpo.
Equilibrando a fonte de alimentação através do corpo e o fluxo de potência em ambos os
trens de onda, obtemos
13
(3.4)
Lembrando que
encontramos
Para a onda mais longa, substituímos na equação anterior cg/c por cg*1/c* e λ* por λ*1 e
utilizamos (3.2), produzindo
(3.5)
De forma semelhante, podemos mostrar que
(3.6)
Já que
(3.7)
finalmente obtemos
(3.8)
Observe que quando U* = 1 , as duas ondas se tornam a mesma; a saída de energia do corpo não é
necessária para manter os únicos trens de ondas infinitos; a resistência da onda desaparece. Quando
U* < 1 , nenhuma onda é gerada; a perturbação é puramente local e não há resistência de onda. Para
obter a magnitude de R deve-se resolver o problema do valor limite das amplitudes de onda A1, A2
que são afetadas pelo tamanho (em relação ao comprimento das ondas), formato e profundidade de
submersão.
14
Figura 3: Dependência da resistência de onda sobre a velocidade das ondas de gravidade absoluta
Quando a velocidade é suficientemente alta, as ondas de gravidade absoluta são geradas
atrás do corpo. O equilíbrio de força necessita então que
(3.9)
O comprimento de onda gerado pelo movimento do corpo é dado implicitamente por
(3.10)
Quando
as ondas geradas são muito longas,
da onda cai para zero. Quando
e a resistência
, as ondas são muito curtas, kh >> 1,
(3.11)
Para velocidades intermediárias, a dependência da resistência da onda sobre a velocidade é traçada
na figura (3).
4
Ondas dispersivas de faixa estreita
Nesta seção, vamos discutir a sobreposição das ondas senoidais progressivas com amplitudes
espalhadas sobre um espectro estreito de números de ondas.
15
(4.1)
onde Α(k) é complexo, indica o espectro de amplitude adimensional da dimensão (comprimento)2.
As ondas de comprimento são dispersivas com respeito à relação não-linear em geral ω(k). Permita
que Α(k) seja diferente de zero apenas dentro de uma faixa estreita de números de ondas
centralizada em k0. Dessa forma, apenas a integrante é importante em uma pequena região de k0.
Então, aproximamos a integral por expansão de ∆k = k – k0 pequena e estipulamos ω0 = ω(k0),
(4.2)
onde
(4.3)
Embora a integração seja formalmente ampliada a partir de 0 a ∞, a variação eficaz é somente a
partir de k0 − (∆k)m a k0 + (∆k)m, ou seja, a variação total é O((∆k)m ), onde (∆k)m é a largura de
banda. Dessa forma, a onda total é quase um trem de ondas senoidal com freqüência ω0 e o número
de ondas k0 , e amplitude A(x, t), cujo valor local encontra-se variando lentamente em espaço e
tempo. A(x, t) também é chamado de envoltória. Quão lenta é a sua variação?
Se ignorarmos as expressões de (∆k)2 na integrante, (4.3) se reduz a
(4.4)
Obviamente,
velocidade
. Desse modo, a própria envoltória é uma onda que percorre a uma
. Esta velocidade é chamada velocidade de grupo.
(4.5)
Observe que as escalas características de comprimento e tempo
são,
respectivamente, muito mais longas do que as das ondas de componente:
. Em outras
palavras, (4.3) é adequada para a variação lenta de Ae na variação espacial de ∆kmx = O(1) e na
variação de tempo de
Como um exemplo específico, permitimos que o espectro de amplitude seja real e constante
dentro da faixa estreita de ko – κ, k0 + κ,
16
(4.6)
Figura 4: Envoltória de ondas com uma banda retangular de números de ondas
então
(4.7)
onde ξ = k – k0/k0 e
(4.8)
conforme traçado na figura (4).
Por diferenciação, pode-se verificar que
(4.9)
Multiplicando (4.9) por A*,
e somando o resultado ao conjugado complexo
(4.10)
17
Temos visto que, para um trem de ondas monocromático, a densidade da energia é proporcional a
|A|2. Dessa forma, a variação de tempo de alteração da densidade de energia local é equilibrada pelo
fluido líquido de energia através da velocidade de grupo.
Agora, vamos examinar a aproximação mais precisa (4.3). Por diferenciação direta,
encontramos
onde
(4.11)
é a função de fase. Pode-se facilmente verificar que
(4.12)
Mantendo a expressão quadrática na expansão, (4.12) agora é válida para uma variação espacial
maior de (∆k)2x = O(1). No sistema de coordenadas que se move à velocidade de grupo ξ = x – cgt,
τ = t, encontramos facilmente
de forma que (4.12) simplifica a equação de Schrödinger:
(4.13)
Através de manipulações semelhantes às que resultam em (4.10), obtemos
(4.14)
Assim, a densidade de energia local não é conservada sobre uma distância longa de propagação. Os
efeitos de dispersão de ordem mais alta redistribuem energia para outras partes da envoltória. Tanto
para um pacote de ondas, cuja envoltória possui um comprimento finito (A(±∞) = 0), quanto para
uma envoltória modulada periodicamente (A(x) = A(x + L)), podemos integrar (4.14) para dar
18
(4.15)
onde a integração se prolonga sobre o pacote de ondas inteiro ou o período de grupo. Assim,
conserva-se a energia total do pacote de ondas inteiro ou de um período de grupo.
5
Radiação de ondas de superfície forçada através de uma
pressão oscilante
Demonstramos o raciocínio que é típico em muitos problemas semelhantes de radiação.
As equações governantes são
(5.1)
em relação à condição-limite cinemática
(5.2)
e a condição-limite dinâmica
(5.3)
onde pa é a pressão de ar prescrita. Eliminando o deslocamento da superfície livre, obtemos
(5.4)
Vamos considerar apenas uma dependência de tempo senoidal:
(5.5)
e supor
(5.6)
então as equações governantes se tornam
19
(5.7)
(5.8)
e
(5.9)
Defina a transformação de Fourier e seu inverso através de
(5.10)
Então, obtemos as transformações de (5.1) e (5.4)
(5.11)
sujeito a
(5.12)
A solução finita em z ~ –∞ para todo α é
Para satisfazer a condição de superfície livre
portanto
ou
20
(5.13)
Permita que
(5.14)
podemos reescrever (5.13) dessa forma
(5.15)
A solução formal final é
(5.16)
Se escolhermos
(5.17)
então
(5.18)
está claro que a resposta em relação à pressão concentrada e à distribuição de pressão de (5.16)
pode ser escrita como uma sobreposição de cargas concentradas sobre a superfície livre,
(5.19)
onde
(5.20)
21
Nestes resultados, (5.20) por exemplo, a integral de Fourier, por enquanto, também é
indefinida já que a integrante possui um pólo real em α = k que está no caminho da integração. Para
definí-la de forma matemática, podemos escolher o valor principal, deformar o contorno de baixo
Figura 5: Possíveis caminhos da integração
ou de cima do pólo, como mostra a figura (5). Essa falta de definição específica é devida à premissa
do aparente estado estacionário, onde a influência da condição inicial não é mais rastreável. Agora,
devemos impor a condição de radiação que as ondas devem estar escoando como x → ∞. Esta
condição só pode ser satisfatória se deformarmos o contorno de cima. Estipulando este contorno por
Γ, agora manipulamos a integral para exibir o comportamento no infinito e para verificar a escolha
do caminho. Para simplificar, focamos a atenção em
> 0. Reescrevendo,
. Devido à simetria, é suficiente considerar x
(5.21)
Considere a primeira integral em (5.21). A fim de que a primeira integral se encontre com
|α|, fechamos o contorno através de um grande arco circular no semiplano superior, como mostra a
figura (6), onde ℑα > 0 ao longo do arco. A expressão
Figura 6: Contorno fechado no semiplano superior
22
Figura 7: Contorno fechado no semiplano inferior
é exponencialmente pequena para x positivo. De forma semelhante, para a segunda integral
devemos escolher o contorno por meio de um grande arco circular no semiplano inferior, como
mostra a figura (7).
De volta a primeira integral em (5.21)
(5.22)
A integral de contorno é
A contribuição através do arco circular C desaparece por meio do teorema auxiliar de Jordan. O
lado esquerdo é
(5.23)
por meio do teorema do resíduo de Cauchy. Através da alteração da variável α = iβ, o lado direito se
torna
Então
(5.24)
Agora considere I2
23
(5.25)
e a integral de contorno ao longo do contorno fechado no semiplano inferior,
Mais uma vez, nenhuma contribuição vem do arco circular C. Agora, o pólo está para fora do
contorno, então LHS = 0. Deixe α = iβ na última integral, obtemos
(5.26)
Somando os resultados de (5.24) e (5.26),
(5.27)
Por fim, o potencial total é
(5.28)
A primeira expressão resulta em ondas de saída. Para uma carga concentrada com
amplitude P0, a amplitude de deslocamento é P0/ρg. A integral acima representa efeitos locais,
importantes apenas perto da pressão aplicada. Se a carga concentrada está em x = x′, simplesmente
substitui-se x por x − x′ em todos os lugares.
6
O padrão de Kelvin de onda de navio
A hélice do navio
possui um padrão de propulsão
no qual o navio reage indo para frente,
que, de forma secundária, também resulta
em ondas elevadas de proa
e sua onda transversa de popa comprimida,
que as perturbações de onda da água
24
são separadas das ondas de propulsão da hélice.
– R.Buckminster Fuller, Intuition - Metaphysical Mosaic. 1972.
–––––––––––––––
Qualquer pessoa que voe sobre um navio em movimento deve ficar intrigada com o belo
padrão da esteira do navio. A teoria por trás dele foi completada primeiro por Lord kelvin, que
inventou o método de fase estacionária para a tarefa. Ofereceremos uma derivação física/geométrica
dos principais resultados (anotações de aula de T.Y. Wu, Caltech).
Considere dois sistemas de coordenadas. O primeiro r = (x, y, z) se move em relação ao
navio na velocidade horizontal U. O segundo r′ = (x′, y′, z) está fixo na terra, de forma que a água
está estacionária enquanto o navio passa em velocidade U. Os dois sistemas estão relacionados pela
transformação Galileana,
(6.29)
Um trem de onda de progressão harmônica simples
(6.30)
nas coordenadas de movimento devem ser expressas como
(6.31)
nas coordenadas estacionárias. No entanto, a freqüência aparente nas coordenadas de movimento é
(6.32)
O último resultado é basicamente o famoso efeito Doppler. Para um observador estacionário, o
apito de um trem se aproximando possui um tom progressivamente alto, enquanto que o de um trem
partindo possui um tom mais baixo.
25
Figura 8: Ondas irradiadas da parcela de fluido perturbada
Se um navio se movimenta em águas muito profundas a uma velocidade constante –U em
água estacionária em relação ao navio, a água parece fluir correnteza abaixo à velocidade U.
Forma-se um padrão de onda estacionária na esteira. Uma vez perturbada por um navio que passa, a
parcela de fluido no caminho do navio irradia ondas em todas as direções e em todas as freqüências.
A onda de freqüência ω se espalha de forma radial à velocidade de fase de c = g/ω, de acordo com a
relação de dispersão. Apenas algumas partes das ondas que estão estacionárias em relação ao navio
formarão a esteira e elas devem satisfazer a condição
(6.33)
ou seja,
(6.34)
Com referência à figura 8, permita que O, (x = 0) represente o ponto do navio nas
coordenadas de limite do navio. A corrente está na direção positiva de x. Qualquer ponto x1 é
ocupado por uma parcela de fluido Q1 que anteriormente tinha sido perturbada diretamente pela
passagem do navio no tempo t1 = x1/U. Estas parcelas perturbadas irradiam ondas de todas as
freqüências de forma radial. A fase de onda em freqüência ω alcança o círculo de raio ct1, onde
c=g/ω, através da relação de dispersão de águas profundas. No entanto, ao longo de todo o círculo,
apenas o ponto que satisfaz (6.34) pode contribuir para o padrão de onda estacionária, como
assinalado por P. Já que OQ1 = x1 = Ut1, Q1P = ct1 e OP = Ut1 · k/k, onde k se encontra na direção
. Conclui-se que ∆OPQ1 é um triângulo retângulo e P reside em um semicírculo com
de
diâmetro OQ1. Considerando as ondas irradiadas de todas as freqüências, portanto todos os c, cada
ponto no semicírculo pode ser uma parte da fase de onda estacionária formada por sinais emitidos a
partir de Q1. Agora, este argumento deve ser retificado, porque a energia de onda só percorre em
velocidade de grupo, que é apenas a metade da velocidade de fase nas águas profundas. Portanto,
as cristas estacionárias, devido aos sinais de Q1, podem apenas residir no semicírculo com diâmetro
O1Q1 = OQ1/2. Assim, P1 em vez de P é um dos pontos que forma a crista estacionária na esteira do
navio, como mostra a figura 8.
26
Figura 9: Ângulo de cunha de esteira do navio
Qualquer outra parcela de fluido Q2 em x2 deve ter sido perturbada pela passagem do navio
no tempo t2 = x2/U . Seus sinais irradiados contribuem para o padrão de onda estacionária apenas ao
longo do semicírculo com diâmetro O2Q2 = OQ2/2. Combinando os efeitos de todas as parcelas de
fluido ao longo do eixo +x, o padrão de onda estacionária pode ser confinado dentro da cunha que
envolve todos estes semicírculos. O meio ângulo de abertura β0 da cunha, que define a esteira, é
dado por
(6.35)
então
, veja figura 9.
Agora, qualquer ponto P dentro da cunha encontra-se em dois semicírculos tangentes ao
limite da cunha, ou seja, existem dois segmentos de cristas de onda que se cruzam em P: um,
perpendicular a PQ1 e outro a PQ2, como mostra a figura 9.
Uma outra forma de descrever isto é examinar um raio interno proveniente do navio.
Desenhe um semicírculo com diâmetro O′Q = OQ/2. Depois, nas duas interseções P1 e P2 em
relação ao raio estão dois segmentos de cristas de ondas estacionárias. Em outras palavras, os sinais
originados de Q contribuem para o padrão de onda estacionária apenas em dois pontos P1 e P2,
como mostra a figura 20. O ponto Q pode ser chamado de ponto de dependência dos pontos P1 e P2
nas cristas.
Para qualquer ponto P interno, existe uma maneira gráfica de encontrar os dois pontos de
dependência Q1 e Q2. Com referência à figura 10, ∆O′QP1 e ∆O′QP2 são ambos triângulos
retângulos.
Figura 10: Relação geométrica para descobrir os Pontos de dependência
27
Figura 11: Pontos de dependência
Desenhe O1M1║QP1 e O2M2║QP2 onde M1 e M2 reside no raio inclinado pelo ângulo β. Está claro
que OM1 = OP1/2 e OM2 = OP2/2 e ∆M1O′P1 e ∆M1O′P2 são ambos triângulos retângulos.
Portanto, O′ reside em dois semicírculos com diâmetros M1P1 e M2P2.
Agora, vamos reverter o processo, como mostra a figura 11. Para qualquer ponto P em um
raio interno, vamos marcar o ponto médio M de OP e desenhar um semicírculo com diâmetro MP.
O semicírculo cruza o eixo x em dois pontos S1 e S2. Então, desenhamos a partir de P duas linhas
paralelas a MS1 e MS2. Os dois pontos de interseção Q1 e Q2 sobre o eixo x são apenas dois pontos
de dependência.
, então
Permita que
portanto
28
Figura 12: Ondas divergentes e transversas em uma esteira de navio
que é uma equação quadrática para θi, com duas soluções:
(6.36)
Elas são reais e distintas, se
(6.37)
Estes dois ângulos definem as cristas de onda estacionária local que cruza P e devem ser
perpendiculares a PQ1 e PQ2. Não há soluções se 1 – 8 tan2 β < 0, que corresponde a sen β > 1/3 ou
β > 19.5o, ou seja, fora da esteira. No limite da esteira,
ângulos são iguais
, os dois
(6.38)
Conectando estes segmentos em todos os pontos na cunha, encontram-se dois sistemas de cristas de
ondas, as ondas divergentes e as ondas transversas, como mostra a figura div-trans.
A Figura 13 é uma linda fotografia.
Sabendo quais ondas são confinadas em uma cunha, podemos avaliar o comportamento da
amplitude de onda equilibrando, em ordem de magnitude, o trabalho feito pela resistência da onda R
e a variação estacionária do fluxo de energia
29
(6.39)
portanto
(6.40)
Esta avaliação é válida por toda a esteira, exceto próximo aos limites exteriores, onde
(6.41)
através de uma análise mais refinada (Stoker, 1957 ou Wehausen & Laitone, 1960).
7
Teoria básica para ondas internas bidimensionais em um fluido
estratificado
[Referências]:
C.S. Yih, 1965, Dynamics of Inhomogeneous Fluids, MacMillan.
O.M. Phillips, 1977, Dynamics of the Upper Ocean, Cambridge U. Press.
P.G. Baines, 1995, Topographical Effects in Stratified Flows Cambridge U. Press.
M.J. Lighthill 1978, Waves in Fluids, Cambridge University Press.
Devido a alterações periódicas de temperatura, a densidade da água ou atmosfera pode ter
variações significativas na direção vertical. A variação da substância do sal também pode levar à
estratificação da densidade. As águas doces dos rios podem repousar em cima da água do mar.
Devido a pouca difusividade, o contraste da densidade permanece por um longo tempo.
Considere um fluido calmo e estratificado com uma distribuição de densidade estática
que diminui em relação à altura (z). Se uma parcela de fluido é movida do nível z para cima
em z + ζ, ela é cercada por um fluido mais leve de densidade
ascendente por unidade de volume é
. A força de flutuação
e é negativa. Aplicando a lei de Newton à parcela de fluido de unidade de volume
or
30
(7.1)
onde
(7.2)
é chamado de freqüência de Brunt-Väisälä. Essa consideração elementar mostra que, uma vez que o
fluido é deslocado de sua posição de equilíbrio, a gravidade e o gradiente de densidade fornecem a
força restauradora para permitir as oscilações. Em geral, deve haver não-uniformidades horizontais,
portanto as ondas são possíveis.
Começamos a partir das equações exatas para um fluido não-viscoso e incompressível com
densidade variável.
Para um fluido incompressível a densidade permanece constante, à medida que o fluido se
move
(7.3)
onde q = (u, w) é o vetor de velocidade no plano vertical de (x, z). A conservação da massa exige
que
(7.4)
A lei de conservação de momentum indica
(7.5)
e ez é o vetor de unidade na direção vertical ascendente.
7.1
Equações lineares
Considere pequenas perturbações
(7.6)
com
(7.7)
31
e u′, v′, w′ são pequenos. Linearizando através da exclusão quadrática de expressões pequenas
associadas ao movimento de fluido, obtemos
(7.8)
(7.9)
(7.10)
(7.11)
Na última equação, a parte estática deve estar em equilíbrio
(7.12)
portanto
(7.13)
A parte que resta deve satisfazer dinamicamente
(7.14)
Pela eliminação de p′ das duas equações de momentum, obtemos
(7.15)
Eliminando ρ′ de (7.8) e (7.15), obtemos
(7.16)
Vamos introduzir a função da perturbação de corrente ψ:
(7.17)
Conclui-se, com base em (7.16), que
(7.18)
32
através das equações (7.8) e (7.17). Observe que
(7.19)
é a freqüência de Brunt-Väisälä. No oceano, o gradiente de densidade normalmente é muito
pequeno (N ~ 5 × 10–3 rad/seg). Portanto, ρ pode ser aproximado por um valor de referência
constante, digamos, ρ0 =ρ (0) em (7.10) e (7.14), sem muito erro nas expressões de inércia. No
entanto, a variação de densidade deve ser mantida na expressão de flutuação associada à gravidade,
que é a única força restauradora possível para o movimento de ondas. Isto se chama aproximação
de Boussinesq e equivale a adotarρ como constante apenas na equação (17.1). Com ela, (7.18) se
reduz a
(7.20)
Observe que, por causa da linearidade, u′ e w′ também satisfazem a equação (7.20), ou seja,
(7.21)
etc.
7.2
Condições-limite lineares sobre a superfície do mar
Condição-limite dinâmica: A pressão total é igual à pressão atmosférica
(7.22)
Sobre a superfície livre z = ζ, temos
Portanto,
(7.23)
indicando
(7.24)
33
Condição cinemática:
(7.25)
O lado esquerdo de (7.24) pode ser escrito assim
Utilizando 7.10, o lado direito de 7.24 pode ser escrito
portanto,
(7.26)
Já que w′ = –ψx, ψ também satisfaz a mesma condição-limite
(7.27)
No leito do mar, z = –h(x) a velocidade normal desaparece. Para um fundo horizontal, temos
(7.28)
8
Modos de ondas internas para N finito
Considere uma onda se propagando horizontalmente por baixo da superfície do mar. Permita que
(8.1)
Com base na equação (7.21),
ou
34
(8.2)
No fundo (horizontal) do mar
(8.3)
Com base na equação (7.27)
(8.4)
As equações (8.2), (8.3) e (8.4) constituem uma condição de eigenvalor.
Se ω2 < N2, então F é oscilatório em z dentro da termoclina. Fora da termoclina, ω2 < N2, W
deve decair exponencialmente. Portanto, a termoclina é um guia de ondas dentro de ondas que são
aprisionadas. Ondas que possuem a maior amplitude por baixo da superfície livre chamam-se ondas
internas.
Já que para as ondas internas, ω < N, embora N seja muito pequeno em oceanos, ondas
internas oceânicas possuem freqüências naturais muito baixas. Para a maioria dos comprimentos de
onda de interesse prático ω2 << gk, de forma que
(8.5)
Isto se chama aproximação do ponto de inversão de temperatura, que será dotado a seguir.
Com a aproximação do ponto de inversão de temperatura, a solução F é
(8.6)
onde
(8.7)
Esta é uma condição de eigenvalor. Para um número de ondas fixo k, ela dá as eigenfreqüências
(8.8)
Para um dado número de ondas k, esta relação de dispersão dá a eigenfreqüência ωn. Para uma dada
freqüência ω, ela dá os eigennúmeros de ondas kn
35
(8.9)
Para um simples lago com margem vertical e comprimento L, 0 < x < L, devemos impor as
condições:
(8.10)
A solução é
(8.11)
com
(8.12)
As eigenfreqüências são:
(8.13)
9
Ondas internas em um fluido verticalmente infinito
Considere N = constante, e indique por (α, β) os componentes (x, z) do vetor do número de ondas
. Permita que a solução seja uma onda plana no plano vertical
Então
ou
36
(9.1)
(9.2)
Para uma determinada freqüência, existem dois sinais possíveis para α. Já que a relação acima
também é par em β, existem quatro inclinações possíveis para as cristas e nodos das ondas com
relação à vertical: o ângulo de inclinação é
(9.3)
Para ω < N, |θ| < π/2, não existe nenhuma onda interna se propagando verticalmente. Esta
propriedade única de anisotropia tem sido verificada em experimentos surpreendentes por Mowbray
e Stevenson. Oscilando verticalmente um cilindro longo em várias freqüências em um fluido
estratificado, as linhas de fase iguais são encontradas apenas ao longo de quatro feixes formando a
“Cruz de St. Andrew”, veja a figura (??) para ω / N = 0,7, 0,9. Pode-se verificar que os ângulos são
|θ| = 45o para ω / N = 0,7 e |θ| = 26o para ω / N = 0,9, de acordo com a condição (9.3). A
comparação entre os ângulos medidos e prognosticados é traçada na Figura (16) para uma ampla
faixa de ω / N.
Em física, é melhor observar primeiro que a velocidade de fase é
(9.4)
enquanto os componentes de velocidade de grupo são
(9.5)
Dessa forma,
(9.6)
Portanto, a velocidade de grupo é perpendicular à velocidade de fase,
(9.7)
Já que
37
(9.8)
a soma de
é um vetor horizontal, como mostra qualquer um dos esboços da Figura 16.
Observe que quando a velocidade de fase possui um componente ascendente, a velocidade de grupo
possui um componente descendente e vice-versa. Agora, vamos considerar o transporte de energia.
Com base em (7.10), obtemos
portanto a pressão dinâmica é
(9.9)
Figura 16: Comparação dos ângulos medidos e prognosticados das ondas internas
38
Figura 17: Velocidades de fase e de grupo
A velocidade do fluido é facilmente calculada
(9.10)
A velocidade média de transporte de energia é, portanto,
(9.11)
que está na mesma direção da velocidade de grupo.
Agora, retornando à cruz de St. Andrews na figura (15), a energia deve se irradiar
externamente a partir de uma fonte oscilante. Portanto, os vetores de velocidade de grupo devem ser
todos externos. As cristas no feixe do primeiro quadrante devem estar na direção sul-leste. De
forma semelhante, as cristas em todos os quatro feixes devem ser externas e voltadas para o eixo
horizontal. A gravação de filmes confirma de fato este prognóstico. Dentro de cada um dos quatro
feixes que possuem larguras comparáveis ao diâmetro de um cilindro, apenas um ou dois
comprimentos de onda podem ser vistos.
10
Reflexão de ondas internas no limite
Para um outro fenômeno interessante, considere a reflexão de uma onda interna a partir de um
declive.
39
, ou seja, para uma freqüência fixa existem apenas duas
Lembre-se de que
direções admissíveis em relação ao horizonte. Com relação ao declive do fundo inclinado a θo as
inclinações das ondas incidentes e refletidas devem ser diferentes e são, respectivamente θ + θo e θ
– θo, veja a Figura 18.
Permita que β esteja ao longo e η seja normal ao declive. Já que o declive deve ser um
desenho aerodinâmico, ψi + ψr deve desaparecer ao longo de η = 0 e ser proporcional a
função da corrente total deve ser como na fórmula
;a
Em particular, o componente de número de ondas ao longo do declive deve ser igual a
Portanto,
Figura 18: Onda interna refletida por uma superfície inclinada
que implica em
(10.1)
conforme esboçado na Figura 18. A onda incidente e a onda refletida possuem comprimentos de
onda diferentes! Se θ < θo, não existe reflexão; ao contrário, ocorre a refração.
40