Tópicos de
dinâmica:
quantidade de movimento
x CM =
y CM =
Este tópico é básico para os próximos a seguir.
Recomendamos que sejam aprendidas as noções
básicas de centro de massa, impulso e quantidade
de movimento.
Centro de massa
EM_V_FIS_009
Definimos o centro de massa de um corpo (CM)
como o ponto teórico no qual poderíamos considerar
concentrada toda a massa do corpo. O centro de
massa representa um ponto tal que, quando a direção
da resultante passa por ele, o corpo sofre translação
em sofrer rotação.
Nos sólidos homogêneos, de formas geométricas bem definidas, o centro de massa coincide com
o centro geométrico do corpo. Nos corpos heterogêneos, sem forma geométrica bem definida, determinamos as suas coordenadas associando um par
de eixos e fazendo a média ponderada das diversas
partes desse corpo, como no esquema abaixo.
m 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m n x n
m 1 + m 2 + ... + m n
m 1 y 1 + m 2 y 2 + ... + m n y n
m 1 + m 2 + ... + m n
Impulso ou impulsão
de uma força
Definimos o impulso ou impulsão de uma força
(I ) como o vetor obtido do produto da força pelo intervalo de tempo durante o qual ela atua. Consideremos
um corpo qualquer e façamos uma força, cuja direção
passa pelo centro de massa e atua nele durante um
intervalo de tempo Dt.
F
� �
I = F x ∆t
Lembrando da matemática, podemos dizer que:
a) o módulo de I será I = F x Dt;
b) a direção de I será sempre a de F;
c) o sentido de I será sempre o mesmo de F.
A unidade de |I |, no SI, será N.s, sem nome
próprio, e sua equação dimensional no sistema LMT
será [I] = L M T–2 x T ou [I] = L M T–1.
200
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1
Dado um gráfico F X t, a área sob a curva representará o impulso.
F
Considerando a massa uma constante e sabendo que Q = m.v , podemos escrever que:
I = Q
Ou seja, o impulso é sempre igual à variação da
quantidade de movimento.
Propriedades do
centro de massa
t
área
�
I
Vamos considerar um corpo isolado, isto é, não
�
�
� �
sujeito a uma resultante externa. Se I = 0 ⇒ ∆ Q = 0
e como
Quantidade de movimento
�
�
�
∆ Q = Q final − Q inicial
Definimos a quantidade de movimento (Q) como
o vetor obtido do produto da massa de um corpo pelo
vetor velocidade. Consideremos um corpo qualquer
de massa m, que tenha, em um determinado instante,
uma velocidade do centro de massa v,
podemos escrever
�
�
�
Q final − Q inicial =0
ou ainda
�
�
Q final = Q inicial
Lembrando da matemática, podemos dizer que:
a) o módulo de Q será Q = m X v;
b) a direção de Q será sempre a de v;
c) o sentido de Q será sempre o mesmo de v.
A unidade de |Q|, no SI, será kg.m/s, sem nome
próprio, e sua equação dimensional no sistema LMT
será [Q] = M L T–1 ou [Q] = L M T–1.
Teorema do impulso
Vamos pegar a equação do impulso e fazer algumas substituições.
como F = m . a
�
∆v
�
Considerando que a =
, teremos
∆t
Ficamos então com:
2
Isto é, num sistema isolado a quantidade de movimento do sistema permanece constante. Se definimos
o centro de massa como um ponto em que está concentrada toda a massa do sistema, então a velocidade do
centro de massa é a própria velocidade do sistema:
�
�
Q sistema
QCM
�
�
v C M = v sistema =
=
m sistema
Σm
Conservação da quantidade
de movimento
Consideramos sistema isolado aquele que não
interage com o mundo exterior, isto é, se só atuarem
forças internas do sistema existe a conservação da
quantidade de movimento, e isso corresponde à 1.ª
Lei de Newton.
Poderíamos também dizer que, se a resultante
das forças que atuam no centro de massa de um sistema for nula, a quantidade de movimento permanece
constante, ou ainda, admitindo um sistema isolado,
o seu centro de massa deve permanecer em repouso
ou em movimento retilíneo e uniforme.
201
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EM_V_FIS_009
��
�
Q= mx v
Vamos exemplificar:
Consideremos uma prancha de madeira, provida
de rodas, sobre a qual há um homem. As forças que
atuam sobre o sistema homem-prancha são os seus
pesos e as forças normais de contato entre o piso e
as rodas. Admitindo-se que a prancha não afunda no
chão nem é jogada para o alto, a resultante de todas
essas forças tem que ser nula.
N1
Podemos considerar três tipos de choques unidirecionais:
a) se e = 1: chamados choques elásticos ou perfeitamente elásticos; nesse tipo de choque, além da
conservação da quantidade de movimento, ocorre a
conservação da energia cinética do sistema.
(1)
(2)
V1
V2
N2
Ph
Após o choque:
(1)
V1
PP
Como esse sistema inicialmente está parado,
a sua quantidade de movimento é nula. Se em um
determinado instante o homem começar a andar
sobre a prancha, a força que ele fizer sobre ela terá
uma reação sobre ele, constituindo, portanto, forças
internas do sistema homem-prancha. Notamos, então, que o homem anda para frente e a prancha anda
para trás, de maneira que a soma vetorial da quantidade de movimento do homem com a quantidade de
movimento da prancha é nulo, ou seja, a quantidade
de movimento total é zero, como era antes do início
do movimento do homem.
Vamos colocar valores: se a massa da prancha é
de 10kg e a do homem 60kg, e se o homem se desloca
com velocidade de 2m/s, qual será a velocidade de
recuo da prancha?
�
�
Inicialmente o sistema está parado Q antes = 0 ;
as forças que atuam no homem e na prancha, após
o início de movimento deste, são forças internas.
�
�
�
�
�
Então Q depois = 0 ou Q homem + Q prancha = 0 e, portanto,
�
�
Q hom em = − Q prancha . O sinal negativo no vetor significa
que esses dois vetores têm a mesma direção, mesmo
módulo e sentidos opostos; calculando o módulo
mhomemvhomem= mpranchavprancha, teremos 60 . 2 = 10 vprancha
⇒ vprancha = 12m/s.
EM_V_FIS_009
Quando dois corpos vão colidir, inicialmente
eles se aproximam um do outro. Definimos, praticamente, o coeficiente de restituição como a razão
entre a velocidade de afastamento pela velocidade
de aproximação.
|v afastamento |
|v aproximação |
V2
’
’
A velocidade de afastamento é v 2 + v 1 e a velocidade de aproximação é v 1 + v 2 , e portanto:
|v afastamento |
ε =
|v aproximação |
=
v ’2 + v 1’
v1 + v 2
Se após o choque tivéssemos:
(1)
(2)
V1
V2
’
’
A velocidade de afastamento seria v 2 – v 1 e a
velocidade de aproximação continuaria v 1 + v 2 , e
portanto:
ε =
v ’2 − v 1’
= v +v
|v aproximação |
2
1
|v afastamento |
O gráfico da energia cinética em função do
tempo para essa colisão é:
Ec
Ec inicial
=E c final
Coeficiente de restituição
ε =
(2)
interação
t
b) se e = 0: chamados choques plásticos, anelásticos ou perfeitamente anelásticos. Nesse tipo
de choque ocorre a conservação da quantidade de
movimento, mas não ocorre a conservação da energia
cinética do sistema. A velocidade de afastamento é
nula, ou seja, após o choque os corpos permanecem
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202grudados.
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(1)
V1
(2)
V2
’
ε =
Após o choque:
V
(1)
|v afastamento |
|v aproximação |
v ’2 + v 1’
= v +v
2
1
(2)
Se após o choque tivéssemos:
(1)
a velocidade de afastamento é zero e a velocidade de aproximação é v 1 + v 2 , e portanto:
V2
’
Se após o choque tivéssemos:
(2)
(2)
V1
’
a velocidade de afastamento seria v 2 – v 1 e a velocidade de aproximação continuaria v 1 + v 2 e,
portanto:
0
ε =
=v +v = 0
|v aproximação |
1
2
|v afastamento |
(1)
’
a velocidade de afastamento é v 2 + v 1 e a velocidade de aproximação é v 1 + v 2 e, portanto:
ε =
|v afastamento |
v ’2 − v 1’
= v +v
2
1
|v aproximação |
V
O gráfico da energia cinética em função do
tempo para essa colisão é:
a velocidade de afastamento seria 0 e a velocidade de aproximação continuaria v 1 + v 2 , e
portanto:
|v aproximação |
Ec inicial
Ec final
=0
interação
O gráfico da energia cinética em função do
tempo para essa colisão é:
Equações
(revendo conceitos)
Ec
Ec inicial
Ec final
interação
�
�
I = F . ∆t
�
�
Q = m .v
�
�
I = ∆Q
�
�
�
∆ Q = Q final − Q inicial
�
�
Q sistem a
Q CM e
�
�
v C M = v sistem a =
=
m sistem a
Σm
t
c) se 0 < e < 1: chamados choques reais ou parcialmente elásticos ou parcialmente plásticos. Nesse
tipo de choque ocorre conservação da quantidade de
movimento, mas não ocorre a conservação da energia
cinética do sistema:
(1)
V1
V2
(2)
ε =
``
4
(1)
(2)
|v afastamento |
|v aproximação |
Exemplos:
1. (UnB) Um corpo de massa m e velocidade v se choca
com outro de mesma massa, em repouso, num plano
horizontal, sem atrito. Após o choque, o primeiro se
move numa trajetória, formando um ângulo de 30º com
a trajetória inicial, e o segundo, um de 60º. A velocidade
final do primeiro corpo é:
Após o choque:
V1
t
V2
a) vf = v.
203
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EM_V_FIS_009
ε =
|v afastamento |
Ec
``
b) vf = 3/2v.
a) nula.
c) vf = 3 /2v.
b) 1,0m/s.
d) vf = 1/2v.
c) 2,0m/s.
d) – 2,0m/s.
Solução:
Nesse caso trata-se de um choque não-frontal; procedemos como nos casos anteriormente mostrados, porém,
trabalhando nos eixos x e y.
e) Não pode ser calculada sem as massas.
``
Solução:
Observe que um aluno atento dá a resposta direto. Não é
preciso fazer conta alguma; como é uma colisão, temos
Qantes= Qdepois e o Qdepois é o próprio QCM. Então, se após
colisão o gráfico nos mostra que vCM = 1,0m/s é porque
antes da colisão a vCM era de 1,0m/s.
1. (Cescem) Um corpo de massa igual a 1,0 . 102g tem velocidade de 5,0m/s, quando lhe é aplicada uma força, em
que a variação com o tempo é dada pelo gráfico abaixo.
F(N)
Como se trata de colisão,Qantes= Qdepois , mas para cada
eixo. Fazemos então v1 = vf para o eixo x Qantes= Qdepois
20
, onde mv + m0 = mv 1 + mv 2 ou v = v1 + v 2
x
x
orientando
+ v = v1 cos 30° + v2 cos 60° ⇒
10
�
�
�
x
ou
�
�
10
y
y
1
orientando +: 0 = v1 sen 30° – v2 sen 60° ⇒ v1 =
2
3
v2
2
40
50
c) 55kg . m/s.
3v 1 +
v1
3
d) 10kg . m/s.
e) 40kg . m/s.
e, portanto, 2 3 v = 3v 1 + v 1 = 4v 1 e finalmente
v1 =
30
b) 65kg . m/s.
(II).
Substituindo (II) em (I) teremos 2 v =
20
O impulso da força entre 0,0 e 5,0s é:
a) 85kg . m/s.
�
m0 + m0 = mv 1 + mv 2 ou 0 = v 1 + v 2
y
ou
-1
t (10 s)
(I).
Para o eixo y Qantes= Qdepois , onde
y
x
3
v .
2
``
Solução: B
Como num dado gráfico F X t, em que a área sob a curva
representará o impulso (área | I | ), vamos calcular a área do
trapézio de 0 a 1s (A1) e a área do trapézio de 1 a 4s (A 2):
2. (EN) A figura abaixo representa um gráfico velocidade
X tempo, da interação unidimensional de duas partículas,
no referencial do laboratório.
( 3 + 2 ) . 20
= 50 ;
2
�
o impulso será a área total, ou seja, | I | A1 + A2 + 0 ⇒
�
| I | = 50 + 15 = 65kg m/s.
A1 =
( 20 + 10 ) . 1
= 15
2
e A1 =
EM_V_FIS_009
2. (Cesesp) Assinale a afirmativa correta.
a) ( )Necessariamente, existe massa, no centro de um
corpo.
b) ( )O centro de massa de um corpo sólido está sempre localizado sobre ele.
A velocidade do centro de massa antes da interação é:
204
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5
c) ( )Em qualquer situação, o centro de massa de um
corpo sólido coincide com o seu centro de gravidade.
�
logo após a explosão, é igual a 5v 0 . Calcular a velocidade
do outro fragmento, desprezando a ação da gravidade
e a resistência do ar durante a explosão.
d) ( )O centro de massa de um corpo sólido é o ponto
em que, abstratamente, podemos considerar concentrada toda a sua massa.
a) v =
- 5 v�
e) v� =
- 2 v�
�
2
�
�
5
b) v = v 0
2
�
�
c) v = -v 0
� �
d) v = v 0
e) ( )A localização do centro de massa de um corpo
rígido é independente da distribuição da massa
do mesmo.
Solução: D
Se pegarmos uma chapa de ferro quadrada, considerada
homogênea, o centro de massa coincidirá com o centro
geométrico. Se, com uma broca, fizermos um buraco
nesse centro geométrico, o centro de massa estaria no
centro desse buraco e não sobre o corpo, ou estaria
contendo massa; sendo assim, as opções A e B estão
erradas. O centro de massa está vinculado ao movimento
e o centro de gravidade não (opção C errada). Vimos
que na determinação do centro de massa temos a média
ponderada em relação às massas (opção E errada).
3. (Associado) Após chocar-se frontalmente com a trave,
uma bola de futebol de massa M retorna aos pés do
atacante com a mesma velocidade V, em módulo, com
a qual foi chutada. Assim, a intensidade do impulso que
a bola recebeu, no choque perfeitamente elástico com a
trave, desconsiderando a ação do campo gravitacional,
é igual a:
a) MV
2
b) MV
``
Solução: C
5. (UFRJ) Em um jogo de sinuca, restavam somente na
mesa, além da bola branca, as bolas 6 e 8. A jogada
seguinte consiste em lançar a bola branca de modo que
ela toque a bola 6 antes de bater na 8. Observe, como
mostra a figura, que as bolas estão alinhadas, com a
bola 8 entre as duas (o que caracteriza a posição de
sinuca). O jogador saiu da sinuca, fazendo a bola branca se refletir no ponto P da tabela e ir acertar a bola 6.
Nesse caso, antes e depois da reflexão, a direção do
movimento da bola branca forma um ângulo q com a
normal à tabela.
Branca
8
2
d) MV
2
e) MV2
Normal à
tabela
Solução: C
�
�
�
�
Como I = ∆ Q ou I = m . ∆ v
teremos:
Sabendo que o momento linear da bola branca, tanto
imediatamente antes, quanto imediatamente depois de
tocar o ponto P, vale (em módulo) 0,50kg m/s, que ela
permanece em contato com a tabela durante 2,0. 10-2s,
e que cos θ = 0,60, determine a direção e o sentido da
força média exercida pela tabela sobre a bola e calcule
seu módulo.
V
��
∆V = V + V = 2V
-V
| I | = m . 2V = 2mV.
�
4. (ITA) Uma bomba tem velocidade v 0 no instante em que
explode e se divide em dois fragmentos: um de massa m
e outro de massa 2m. A velocidade do fragmento menor,
6
0
�
Se a bomba tem, inicialmente, uma velocidade v 0 e não
�
�
atuam forças externas, podemos escrever Q final = Q inicial
�
�
�
ou m .5 v 0 + 2 m . v ' = ( m + 2 m) v 0 , e simplificando
r
r
r
�
�
2 v ' = 3v 0 -- 5 v o , temos v ' = –v o .
c) 2MV
``
5
``
205
Solução:
Vamos desenhar os vetores quantidade de movimento
em P:
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EM_V_FIS_009
``
0
ε =
|v afastamento |
|v aproximação |
=
v 2 + v1
v1
=1
e 5 = v 2 + v1 (I)
Como há conservação da quantidade de movimento:
�
m �
m�
�
�
�
Q antes ==Q depois ou m v 1 + 4 . 0 = mv 1 + 4 v 2 ; adotando
m
+ teremos: m . 5 = – m v 1 + v 2 e dividindo-se
4
v2
v
tudo por m teremos 5 = 4 – 1 ou 20 = v 2 – 4 v 1 (II).
Subtraindo-se a expressão (I) da (II), teremos:
20 = v 2 – 4 v 1 (II)
�
�
�
Como ∆ Q = Q final − Q inicial teremos
�
�
�
| ∆ Q | = | proj y Q final | + | proj y Q inicial |
�
ou | ∆ Q | = 0 , 50 . cos θ + 0 , 50 . cos θ
5 = v 2 + v 1 (I)
15 = – 5 v 1 ou v 1 = – 3.
Cuidado, estamos calculando módulos de velocidades e
portanto não poderia haver o sinal negativo; isso aconteceu porque, quando admitimos após a colisão que a
massa m fosse para a esquerda, na realidade ela está
indo para a direita; então v 1 = 3,0m/s para a direita; para
calcular v 2 temos que continuar na nossa suposição, ou
seja, aplicando-se o valor v 1 da expressão (I) teremos 5
= v 2 – 3 ⇒ v 2 = 8,0m/s.
�
| ∆ Q | = 2 . 0 , 50 . 0 ,60 = 0 ,60
�
�
Se 3I = ∆ Q então | I | = 0,60, e como I = F . Dt ⇒ 0,60
= F . 2 . 10–2 e, portanto, F = 3,0 . 10N.
6. (Cesgranrio) Observa-se uma colisão elástica e unidimensional, no referencial do laboratório, de uma partícula
de massa m e velocidade de 5,0m/s com outra partícula
de massa m/4, inicialmente em repouso. Quais os valores
das velocidades das partículas após a colisão?
Partícula de
massa m/4
(Unicamp) Um carrinho, de massa m1 = 80kg, desloca-se
horizontalmente com velocidade v1 = 5,0m/s. Um bloco
de massa m2 = 20kg cai verticalmente sobre o carrinho,
de uma altura muito pequena, aderindo-se a ele.
a) 3,0m/s
8,0m/s
a) Com que velocidade final se move o conjunto?
b) 4,0m/s
6,0m/s
c) 2,0m/s
12,0m/s
b) Que quantidade de energia mecânica foi transformada em energia térmica?
d) 6,0m/s
4,0m/s
e) 5,0m/s
5,0m/s
Partícula de
massa m
``
7.
``
a) Trata-se de um choque anelástico (e = 0) e, portanto,
vafastamento = 0
Solução: A
(m)
(m/4)
V1
V1
Após o choque, admitindo que o bloco que cai não tem
velocidade na horizontal
Vamos admitir que após o choque:
(m)
V1
Solução:
(m/4)
V2
V
EM_V_FIS_009
A velocidade de afastamento é v2 + v1 e a velocidade de
aproximação é v1, portanto:
Qantes= Qdepois ou m1 + v1 + m2 . O = (m1 + m2)v ,
adotando + teremos: 80 . 5 + 0 = (80 + 20) v1 ⇒ v1
= 4,0m/s
206
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7
b) Como o bloco cai de uma altura muito pequena podemos considerar que quase não houve perda de energia
potencial. A energia cinética inicial era:
Como a colisão é elástica:
E C inicial =
v 2 + v 1 = 1 + 2 = 3 (II)
E C final =
ε =
; a final vale:
( 80 + 20 ) . 4 2
= 800 J ; houve uma perda de
2
2v1 + v1 = 3 ⇒ v1 = 1,0m/s e como v2 = 2v1 = 2,0m/s.
8. (Cesgranrio) Os dois corpos da figura abaixo, de massas
respectivamente iguais a m1 = 1,0kg e m2 = 0,5kg e
velocidades respectivamente iguais a 1,0m/s e 2,0m/s,
chocam-se frontalmente. Desprezam-se os atritos entre
os corpos e a superfície horizontal.
9. (UFGO) Quatro esferas rígidas, idênticas, de massa m,
estão dispostas como mostra a figura a seguir. Suspendendo a primeira das esferas e largando-a em seguida,
ela atinge a segunda esfera com velocidade igual a v.
Sabendo-se que a energia cinética se conserva, verificase que, depois da colisão:
V2
V
Se os corpos são feitos de um material tal que a colisão
entre eles pode ser considerada elástica, podemos dizer
que as velocidades após o choque serão:
a) v1 = 1,0m/s e v2 = 2,0m/s, ambas com o mesmo
sentido.
a) a última esfera move-se com velocidade v/4.
b) a última esfera move-se com velocidade v.
c) as três últimas esferas movem-se com velocidade v/3.
b) v1 = 1,0m/s e v2 = 2,0m/s, com sentidos opostos.
d) todas as esferas movem-se com velocidade v/4.
c) v1 = 2,0m/s e v2 = 1,0m/s, ambas com o mesmo
sentido.
d) v1 = 2,0m/s e v2 = 1,0m/s, com sentidos opostos.
e) todas as esferas movem-se com velocidade.
``
e) v1 = 2,0m/s e v2 = 2,0m/s, ambas com o mesmo
sentido.
``
Como foi mostrado anteriormente, podemos fazer qualquer suposição para a situação após o choque porque
a própria resolução vai nos mostrar se a admissão está
correta:
V1
(2)
V2
Solução: B
Esse “brinquedo” encontra-se à venda em lojas: são
quatro esferas de aço suspensas por fios de nylon;
como admitem-se colisões perfeitamente elásticas, há
conservação de quantidade de movimento e de energia
cinética.
Solução: B
(1)
|v aproximação
v 2 + v1
= v1 + v 2 = 1
|
Substituindo-se a expressão (I) na (II), temos:
200J de energia.
V1
|v afastamento |
10. (Associado) Dois carros A e B seguem numa mesma
estrada, no mesmo sentido. O carro A tem massa ma
e velocidade de módulo Va; o carro B tem massa mb
e velocidade de módulo Vb. Em determinado instante,
eles se chocam frontalmente e prosseguem juntos no
mesmo sentido.
Após o choque, admitimos:
(1)
(2)
V2
Denominando de Q e Q1 os módulos do momento linear
dos carros, antes e depois do choque, e E e E1 suas
energias cinéticas, antes e depois do choque, podemos
afirmar que:
a) Q = Q1 e E = E1
�
�
Q antes = Q depois ou
�
�
�
1x v�1 + 0 , 5 . v 2 = 1 . v 1 + 0 , 5 . v 2 ;
8
adotando
+ ,teremos: 1 . 1 – 0,5 . 2 = – v 1 + 0 , 5 v 2
⇒ 0 = 0,5v2 – v1 ou v2 = 2v1 (I);
b) Q > Q1 e E = E1
207
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EM_V_FIS_009
V1
c) Q < Q1 e E < E1
e) Q = Q1 e E < E1
``
Solução: E
Como é uma colisão anelástica, existe conservação da
quantidade de movimento, mas não da energia cinética,
que diminui com o choque.
``
�
�
�
�'
� �'
�
�
�
m . v 0 + m . 0 = mv 1' + mv 2' ; simplificando v 0= v 1 + v 2 .
Vemos então que as opções B e D são impossíveis. Não
basta isso para a colisão já que 0 < ε < 1.
Fazendo então para a opção A:
ε =
a) Qual foi a quantidade de energia mecânica que não
se conservou na colisão?
| v afastamento |
| v aproximação |
v 2 + v1
= v +v
1
2
(
= e
5
1
+ )v 0
4
4
v0
>1
impossível.
Para a opção C:
b) Qual era a quantidade de movimento linear do sistema formado pelos dois corpos antes da colisão?
ε =
Solução:
| v afastamento |
| v aproximação |
v 2 + v1
= v +v
1
2
= e
(
1
3
− )v 0
4
4
v0
< 0
impossível.
1) Se cada corpo tinha, inicialmente, 5,0J de energia
cinética e ambos param, toda a energia cinética foi
consumida, isto é, 10J.
�
Solução: E
Para colisão Q antes = Q depois e, portanto,
11. (Fuvest) Dois corpos se movem com movimento retilíneo uniforme, num plano horizontal, onde as forças de
atrito são desprezíveis. Suponha que os dois corpos,
cada um com energia cinética de 5,0 joules, colidem
frontalmente, fiquem grudados e parem imediatamente
devido à colisão.
``
3
v0 .
4
3
v0 .
4
1
v 0 2
1
e) v 0 4
d)
d) Q > Q1 e E < E1
Para a opção E:
ε =
�
2) Se é colisão, então Q antes = Q depois . Se ambos param,
�
�
�
�
Q depois = 0 e, portanto, Q antes = 0 .
| v afastamento |
| v aproximação |
v 2 + v1
= v +v
1
2
(
= e
3
1
− )v 0
4
4
v0
= 0,5
possível.
12. (Cesgranrio) Dois carrinhos de mesma massa interagem
unidimensionalmente sobre um trilho horizontal, com
atrito desprezível. Os carros estão munidos de molas,
que atuam como “para-choques”.
1. (FEI-SP) Dois automóveis de massas 3t e 5t, tem a
mesma quantidade de movimento em intensidade. A
velocidade do primeiro é 36km/h. A velocidade do
segundo automóvel é:
a) 3m/s
Antes da interação, o carrinho (1) tem velocidade
v0, e o carrinho (2) está parado. Qual das opções
abaixo propõe velocidades finais (depois da interação)
compatíveis com as leis da conservação da mecânica
newtoniana? (Observe que as velocidades são positivas,
quando orientadas para a direita, no sentido da seta
da figura).
Velocidade final Velocidade final
do carrinho (1)
do carrinho (2)
EM_V_FIS_009
a) −
1
v 0 4
b) zero
c)
3
v 0 4
5
v0 .
4
3
v0 .
4
b) 6m/s
c) 8m/s
d) 9m/s
e) 12m/s
2. (AFA-SP) Uma bola de 0,15kg se aproxima de um bastão com uma velocidade de 20m/s e, após o choque,
retorna, na mesma direção, sem alterar o módulo de sua
velocidade. O impulso recebido pela bola, na interação
com o bastão, é, em N.s,
a) 0
b) 6
c) 10
1
v0 .
4
d) 20
208
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9
3. (PUC-SP) Uma bola de tênis de 100g de massa e velocidade v1 = 20m/s, é rebatida por um dos jogadores,
retornando com uma velocidade v2 de mesmo valor e
direção de v1, porém de sentido contrário. Supondo que
a força média exercida pela raquete sobre a bola foi de
100N, qual o tempo de contato entre ambas?
Nessa situação, quantas vezes, aproximadamente, a
força média que a parede faz sobre a bola de pingue-pongue é maior do que o seu peso?
a) 1,0 . 103
b) 2,0 . 103
a) zero
c) 5,0 . 103
b) 4,0
d) 1,0 . 104
c) 4,0 . 10-1 s
e) 2,0 . 104
7.
d) 2,0 . 10-2 s
e) 4,0 . 10-2 s
4. (Cesgranrio) De acordo com um locutor esportivo, em
uma cortada de um jogador da seleção brasileira de
voleibol, a bola atinge a velocidade de 108km/h. Supondo que a velocidade da bola, imediatamente antes
de ser golpeada, seja desprezível e que a sua massa
valha aproximadamente 270g, então o valor do impulso
aplicado pelo jogador na bola vale, em unidades do SI,
aproximadamente:
Um corpo de massa igual a 0,60kg, desloca-se em uma
trajetória retilínea, segundo a equação horária S = 5t2
+ 3 t – 10. Calcular o módulo do momento linear desse
corpo após 4s de movimento.
8. (PUC-SP) Sobre um corpo inicialmente em repouso
atua uma força que varia com o tempo de acordo com
o gráfico abaixo:
a) 8,1
b) 0,27
c) 2,7
A variação da quantidade de movimento entre 0 e 4s,
em hg . m/s, é:
a) 20
d) 27
e) 80
5. (FOA-RJ) Um jogador de futebol chuta uma bola de
massa igual a 0,5kg inicialmente em repouso. Considerando que a bola sai com uma velocidade de 30,0m/s
e que a duração do chute foi de 0,01s, a força média
aplicada pelo pé do jogador na bola foi de:
a) 15N
b) 25
c) 35
d) 40
e) 60
9. (Fuvest) Um veículo de 0,3kg parte do repouso com
aceleração constante; 10s após, encontra-se a 40m da
posição inicial.Qual o valor da quantidade de movimento
nesse instante?
b) 300N
c) 1 500N
d) 2 000N
r
6. (FESO-RJ) Uma bola de pingue-pongue, movendo-se
horizontalmente com uma velocidade v = 10m/s, colide
elástica e frontalmente com uma parede vertical fixa. A
duração do choque é de 1,0 . 10-3s
Desprezando todas as forças de resistência e sabendo
que em t = 0 o corpo estava em repouso, a energia
cinética do corpo em t = 4,0s é, em J, de:
a) 500
10
b) 700
209
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EM_V_FIS_009
e) 2 500N
10. (PUC) Uma força F, paralela ao movimento, age sobre
um corpo de 2,0kg, que se desloca horizontalmente,
conforme o gráfico abaixo:
c) 800
b) 3,0m/s
d) 900
c) 5,0m/s
e) 1 000
d) 7,0m/s
11. (UERJ) Após chocar-se frontalmente com a trave,
uma bola de futebol de massa M retorna aos pés do
atacante com a mesma velocidade V, em módulo, com
a qual foi chutada. Assim, a intensidade do impulso que
a bola recebeu, no choque perfeitamente elástico com
a trave, é igual a:
a) MV
2
b) MV
c) 2 MV
e) 9,0m/s
15. (Unesp) Um carrinho A, de massa m, e outro B, de
massa 3m, unidos por um elástico de massa desprezível
e inicialmente esticado, são mantidos em repouso sobre
uma superfície plana e horizontal. Quando os dois carrinhos são simultaneamente liberados, o elástico puxa
um contra o outro e o carrinho A adquire, depois que
o elástico estiver relaxado, uma velocidade de 1,5m/s.
Nessas condições, a velocidade adquirida pelo carrinho
B, será, em m/s, de:
a) 0,5
d) MV2
2
e) MV2
b) 1,0
c) 1,5
12. (AFA-SP) Um canhão dispara um projétil na horizontal,
com uma velocidade de 500m/s. Sendo a massa do
canhão 1 000 vezes maior que a do projétil, a velocidade
de recuo, em m/s, será igual a:
a) 0,5
b) 2,0
c) 5,0
d) 3,0
e) 4,0
16. (Unirio) Uma bomba, que se desloca horizontalmente
para a direita, explode dando origem a dois fragmentos
de massas iguais. Um dos fragmentos, após a explosão,
inicia um movimento de queda com uma trajetória vertical. A velocidade do segundo fragmento, imediatamente
após a explosão, é melhor representada por:
d) 20,0
13. (UERJ) Um homem de 70kg corre ao encontro de um
carrinho de 30kg, que se desloca livremente. Para um
observador fixo no solo, o homem se desloca a 3,0m/s
e o carrinho a 1,0m/s, no mesmo sentido. Após alcançar
o carrinho, o homem salta para cima dele, passando
ambos a se deslocar, segundo o mesmo observador,
com velocidade estimada de:
a)
b)
c)
a) 1,2m/s
b) 2,4m/s
d)
c) 3,6m/s
e)
d) 4,8m/s
EM_V_FIS_009
14. (MED–Vassouras) Uma partícula de massa m1 = 30g,
movendo-se em uma trajetória retilínea com uma velocidade constante de 8,0m/s, colide frontalmente com
uma outra partícula, de massa m2 = 10g, que se movia
sobre a mesma trajetória, porém em sentido contrário,
com uma velocidade constante de 4,0m/s (antes do
choque). Após o choque, as partículas movem-se juntas
com a mesma velocidade v.
17. (Fuvest) Um corpo A com massa m e um corpo B com
massa 3m estão em repouso sobre um plano horizontal,
sem atrito. Entre eles existe uma mola, de massa desprezível, que está comprimida por meio de um barbante
tencionado que mantém ligado os dois corpos. Num
dado instante, o barbante é cortado e a mola distendese, empurrando as duas massas, que dela se separam
e passam a se mover livremente.
Sendo nula a resultante das forças externas que atuam sobre
as partículas, a velocidade v vale, aproximadamente:
a) 1,0m/s
210
Designando-se por T a energia cinética, pode-se
afirmar que:
a) 9TA = TB
b) 3TA = TB
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11
c) TA = TB
c) nula
V0
d)
2
d) TA = 3TB
e) TA = 9TB
18. (AFA-SP) Um menino de 30kg, carregando duas pedras
de 1kg cada, está em um carrinho de 10kg, inicialmente
em repouso, numa superfície horizontal. O menino arremessa as pedras horizontalmente, ao mesmo tempo,
a direção possível do movimento do carrinho, com a
mesma velocidade de 6m/s, em relação ao mesmo.
O módulo de velocidade do carrinho, em m/s, após o
arremesso é, aproximadamente,
a) 0,05
e)
V0
3
22. (UFMG) Um bloco A, de massa m, desce um plano
inclinado a partir do repouso e colide com um bloco
B de massa 2m, inicialmente em repouso, conforme
ilustra a figura abaixo. Se os atritos são desprezíveis e a
colisão perfeitamente inelástica, a velocidade de A e B
imediatamente após a colisão será:
b) 0,07
c) 0,28
d) 0,40
19. (UFPB) Um bloco de madeira de 2kg de massa, inicialmente em repouso sobre um plano liso e horizontal,
é atingido por um projétil de 0,1kg de massa, que fica
alojado dentro do bloco e, em consequência, passam a
�
se mover juntos com velocidade v constante. Sabendo-se
que, ao atingir o bloco, o projétil tinha uma velocidade ho�
rizontal do módulo 105m/s, determine o módulo de v .
a)
b)
20. (Fuvest) Um recipiente de metal, com Xkg de massa,
desliza inicialmente vazio sobre uma superfície horizontal, com velocidade de 1,0m/s. Começa a chover
verticalmente e, após um certo tempo, para. Depois da
chuva, o recipiente contém 1,0kg de água e se move
com velocidade de 2/3m/s. Desprezando-se o atrito,
responda:
c)
d)
e)
a) quanto vale x;
b) qual foi a variação do momento linear da água, paralelamente ao plano horizontal.
21. (UERJ) Dois carrinhos deslocam-se sobre um mesmo
trilho retilíneo e horizontal, com movimentos uniformes
e em sentidos contrários, como mostra a figura, na qual
estão indicadas suas massas e velocidades.
23. (PUC–Minas) Um vagão de massa m, que se move
sobre trilhos retilíneos e horizontais, sem atrito, com
velocidade constante de 8,0m/s, colide com três vagões
ligados e parados sobre os trilhos. Depois do choque,
os vagões unidos colidem com um outro vagão, também
parado sobre os mesmos trilhos. Todos os vagões têm
a mesma massa do primeiro vagão. Os cinco vagões
grudados se movem com velocidade de:
a) 1,0m/s
b) 1,6m/s
b)
12
V0
2
c) 2,0m/s
d) 3,6m/s
e) 4,0m/s
24. (FOA–RJ) Um homem de massa 70kg, sentado em um
trenó de massa 80kg, dispara com uma espingarda,
horizontalmente, um projétil de massa 50g. Supondo
211
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EM_V_FIS_009
Após o choque, eles ficam presos um ao outro, e a
velocidade comum a ambos, passa a ser:
V0
a)
3
d) As duas esferas se movimentarão para a direita,
ambas com velocidade V.
que a velocidade de saída do projétil seja de 600m/s,
que o atrito entre o trenó e o gelo seja desprezível e que
g = 10m/s2, determine o módulo de velocidade que o
conjunto homem-trenó se deslocará.
e) A esfera E1 se movimentará para a esquerda com
velocidade de módulo V e a esfera E2 permanecerá
em repouso.
a) 0,10m/s
b) 0,25m/s
c) 0,20m/s
d) 0,40m/s
e) 0,50m/s
25. (Cefet–RJ) Da colisão frontal e inelástica de duas bolas
de massa plástica, uma de massa 150g e outra de 200g,
que se movem conforme o esquema, resulta:
27. (UFRRJ) Um barco de massa M, pilotado por um homem
de massa m, atravessa um lago de águas tranquilas, com
r
velocidade constante v 0 . Num dado instante, pressentindo perigo, o homem atira-se à água, com velocidade
r
em relação ao barco de –2 v 0 . Nessas condições, a
velocidade do barco, imediatamente após o homem se
atirar à água, é mais bem expressa por:
a)
b)
150g
200g
c)
r
v 0 = 2m/s
d)
r
v 0 =0
e)
a) um conjunto de massa 350g se movendo para a
direita com velocidade de módulo (6/7)m/s.
b) um conjunto de massa 350g se movendo para a
esquerda com velocidade de módulo (7/6)m/s.
c) um conjunto de massa 350g se movendo para a
direita com velocidade de módulo 7m/s.
d) um conjunto de massa 250g se movendo para a
esquerda com velocidade de módulo 7m/s.
a) Qual a quantidade de movimento inicial do conjunto?
e) um conjunto de massa 250g se movendo para a
direita com velocidade de módulo 1m/s.
b) Qual a velocidade do carrinho que continua em movimento?
26. (UFF) Considere duas esferas idênticas E1 e E2. A esfera
E1 desliza sobre uma calha horizontal, praticamente sem
atrito, com velocidade V. Em dado instante, se choca
elasticamente com a esfera E2 que se encontra em
repouso no ponto X, conforme ilustra a figura.
29. (UENF) Dois carrinhos se movem em sentidos opostos
sobre um mesmo trilho retilíneo e horizontal, com atrito
desprezível, como ilustra a figura abaixo, na qual estão
indicadas suas massas e velocidades
Com respeito ao movimento das esferas imediatamente
após o choque, pode-se afirmar:
a) As duas esferas se movimentarão para a direita,
V
ambas com velocidade .
2
b) A esfera E1 ficará em repouso e a esfera E2 se moverá com velocidade V para a direita.
EM_V_FIS_009
28. (Fuvest) Dois carrinhos iguais, com 1kg de massa cada
um, estão unidos por um barbante e caminham com
velocidade de 3m/s. Entre os carrinhos há uma mola
comprimida, cuja massa pode ser desprezada. Num
determinado instante o barbante se rompe, a mola se
desprende e um dos carrinhos para imediatamente.
c) As duas esferas se movimentarão em sentidos conV
trários, ambas com velocidade de módulo .
2
Após colidirem frontalmente, os carrinhos se unem,
passando a se deslocar juntos.
a) Determine o sentido da velocidade comum aos carrinhos após a colisão.
b) Calcule seu módulo.
30. (UFRJ) Uma massa m1 = 2,0kg, inicialmente em repouso,
desce de uma altura a = 5,0m, deslizando sobre um
trilho, com atrito desprezível, até colidir com outra massa
m2 = 3,0kg, à qual adere instantaneamente. A colisão
ocorre no trecho horizontal do trilho.
212
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13
O impulso recebido pela bola, na interação com a
parede, é, em N . s:
a) zero
b) 2,0
c) 10
a) Calcule o módulo da velocidade da massa m1, imediatamente antes da colisão.
b) Calcule o módulo da velocidade com que o conjunto se move, imediatamente após a colisão.
1. (UFJF) Uma bola de 1kg cai verticalmente, atingindo o
piso com velocidade de 25m/s e é rebatida com velocidade inicial de 10m/s. Se a bola fica em contato com o
piso durante 0,05s, a força média que ela exerce sobre
o piso é de:
d) 20
e) 25
4. (Fatec) Uma bola de 4,0kg de massa é lançada contra
uma parede. Ao atingi-la, a bola está se movendo horizontalmente para a direita com velocidade de 15m/s,
sendo rebatida horizontalmente para a esquerda a
10m/s. Se o tempo de colisão é de 5 × 10-3 s, a força
média sobre a bola tem intensidade, em newtons, de:
a) 20
b) 100
c) 200
a) 70N
d) 2 000
b) 700N
e) 20 000
5. (Vunesp) Uma nave espacial de 1 000kg se movimenta,
livre de quaisquer forças, com velocidade constante de
1m/s, em relação a um referencial inercial.
c) 35N
d) 350N
e) 7N
Necessitando pará-la, o centro de controle decidiu
acionar um dos motores auxiliares, que fornecerá uma
força constante de 200N, na mesma direção, mas em
sentido contrário ao do movimento. Esse motor deverá
ser programado para funcionar durante:
a) 1s
2. (Unificado) Uma bola de borracha é arremessada
de
v
encontro a uma parede com velocidade v1 . Após o
v
choque, a sua velocidade passa a ser v 2 , de mesmo
v
v
módulo que v1 . Os vetores e v 2 estão representados
a seguir. Assinale a opção que representa corretamente
a força média exercida pela bola sobre a parede.
b) 2s
c) 4s
d) 5s
e) 10s
6. (UEL) Um corpo de 20kg de massa está emrmovimento
retilíneo sob a ação de uma força resultante F, cujo valor
varia com o tempo conforme o gráfico a seguir. Sendo a
velocidade inicial igual a 10m/s, a velocidade no instante
t = 15s vale, em m/s:
a)
b)
c)
d)
e)
213
a) zero
b) 10
c) 15
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EM_V_FIS_009
14
3. (PUC–Minas) Sabe-se que o impulso sofrido por um sistema é igual à sua variação de quantidade de movimento
∆p. Uma bola de 0,50kg aproxima-se de uma parede
com uma velocidade de 10m/s e, após um choque com a
parede, retorna, na mesma direção, sem alterar o módulo
de sua velocidade.
d) 20
e) 40
7.
(Unicamp) Uma metralhadora dispara balas de massa
m = 80g, com velocidade de 500m/s. O tempo de duração de um disparo é igual a 0,01s.
a) Calcule a aceleração média que uma bala adquire
durante um disparo.
Sabendo que em ambos os casos a direção e o sentido
de cada força permanecem inalterados, determine:
a) o trabalho realizado pela força FA no deslocamento
de 0 a 3 metros, e a velocidade de A na posição
x = 3m;
b) Calcule o impulso médio exercido sobre uma bala.
8. (FEI-SP) Um corpo de massa igual a 3,0kg está inicialmente em repouso em um plano horizontal perfeitamente
liso. No instante t = 0 passa a atuar sobre o corpo uma
força F horizontal de intensidade variável com o tempo
conforme o gráfico.
b) o impulso exercido pela força FB no intervalo de
tempo de 0 a 3 segundos, e a velocidade de B no
instante t = 3s.
11. (Fuvest) Um corpo de massa m = 10kg, inicialmente
à velocidade escalar de 5m/s, é solicitado por uma força
F que atua na direção e sentido do movimento, e varia
com o tempo da forma vista no gráfico.
Determinar:
a) a velocidade do corpo no instante 2s;
b) o trabalho realizado pela força F no intervalo de
tempo de 0 a 2s.
a) Determine o módulo de uma força constante capaz
de produzir no móvel a mesma variação de velocidade que F proporcionou, desde que atue na direção e sentido do movimento, durante 4,0s.
9. (Unirio) A intensidade da força resultante que atua sobre
um corpo de massa m = 2,0kg varia com o tempo de
acordo com o gráfico abaixo.
b) Determine a velocidade escalar no fim dos 4s.
Considerando-se o corpo inicialmente em repouso,
determine:
a) a sua energia cinética, em joules, no instante
t = 5,0s;
EM_V_FIS_009
b) o módulo da sua quantidade de movimento, em
kg.m/s, no instante t = 10,0s.
12. (UFRJ) Em um jogo de sinuca, restavam somente na
mesa, além da bola branca, as bolas 6 e 7. A jogada
seguinte consiste em lançar a bola branca de modo que
ela toque a bola 6 antes de bater na 7. Observe, como
mostra a figura, que as bolas estão alinhadas, com a
bola 7 entre as duas (o que caracteriza a posição de
“sinuca”). O jogador saiu da “sinuca” fazendo a bola
branca se refletir no ponto P da tabela e ir acertar a bola
6. Neste caso, antes e depois da reflexão, a direção do
movimento da bola branca forma um ângulo θ com a
normal à tabela.
10. (Unesp) Dois blocos A e B, ambos de massa 10kg,
estão inicialmente em repouso. A partir de um certo
instante, o bloco A fica sujeito à ação de uma força
resultante, cujo módulo FA, em função da posição x,
é dado na figura A. Da mesma forma, o bloco B fica
sujeito à ação de uma outra resultante, cujo módulo FB,
em função do tempo t, é dado na figura B.
214
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15
Sabendo que o momento linear da bola branca, tanto
antes, quanto depois de tocar o ponto P vale (em módulo)
0,50kg.m/s, que ela permanece em contato com a tabela
durante 0,020s, e que cos θ = 0,60, determine a direção
e sentido da força média exercida pela tabela sobre a
bola e calcule o seu módulo.
13. (Fatec) Uma rocha em repouso é quebrada, com o uso
de dinamite, em três partes, de massas aproximadamente
r
r
iguais. Os vetores v1 e v 2 representam as velocidades
adquiridas por dois dos pedaços da rocha.
15. (Unesp) Um rifle, inicialmente em repouso, montado
sobre um carrinho com pequenas rodas que podem girar
sem atrito com os eixos, dispara automaticamente uma
bala de massa 15 gramas com velocidade horizontal v0,
como mostra a figura.
O conjunto arma + carrinho, cuja massa antes do disparo
era de 7,5kg, recua, deslocando-se 0,52m sobre a
superfície plana e horizontal em 0,40s.
A velocidade v0 da bala é, em m/s, aproximadamente:
a) 500
O vetor que representa a velocidade do pedaço restante
é:
b) 550
c) 600
d) 650
a)
e) 700
16. (AFA-SP) Uma série de n projéteis, de 10 gramas cada
um, é disparada com velocidade v = 503m/s sobre
um bloco amortecedor, de massa M = 15kg, que os
absorve integralmente. Imediatamente após, o bloco
desliza sobre um plano horizontal com velocidade
v = 3m/s. Qual o valor de n?
b)
a) 4
c)
b) 6
d)
c) 7
e) nulo
d) 9
14. (UERJ) Observe o carrinho de água abaixo representado:
17. (ITA) Um corpo de massa M move-se no espaço
com uma velocidade v. Em determinado instante o corpo
explode em duas partes iguais, de modo tal que ambas
as partes passam a mover-se na mesma direção e sentido do corpo M antes da explosão. Se a velocidade de
uma das partes é v/3, qual é o módulo da velocidade
da outra parte?
a) 5v
6
b) 2v
Os pontos cardeais indicam a direção e os sentidos para
os quais o carrinho pode se deslocar.
Desse modo, enquanto o pistão se desloca para baixo,
comprimindo a água, um observador fixo à Terra vê o
carrinho na seguinte situação:
a) move-se para Oeste.
c) permanece em repouso.
16
d) oscila entre Leste e Oeste.
e) 2v
18. (UFRJ) Em um jogo da seleção brasileira de futebol, o
jogador Dunga acertou um violento chute na trave do
gol adversário. De acordo com as medidas efetuadas
215
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EM_V_FIS_009
b) move-se para Leste.
3
c) 5v
3
d) 4v
3
Num dado instante, um projétil de massa m é disparado
a 54m/s, na direção e sentido indicados pela seta, e o
carrinho passa a mover-se com velocidade de módulo
igual a 6,0m/s.
Desprezando-se o atrito e as dimensões do carrinho,
determine:
a) o sentido do movimento do carrinho, para o observador em questão, e a massa m do projétil.
pelas emissoras de televisão, imediatamente antes do
choque, com a trave a velocidade v da bola era de módulo igual a 108km/h. Considere que durante o choque,
bem como antes e depois, a velocidade da bola era
horizontal e que o choque foi perfeitamente elástico,
com duração det 5,0 . 10-3 s. Suponha a massa da bola
igual a 4,0 . 10-1kg.
Calcule o módulo da força média que a bola exerceu
sobre a trave durante o choque.
19. (AFA) Uma esfera de aço de massa 0,5kg, amarrada a
uma corda de 70cm de comprimento, é solta quando a
corda está na horizontal, conforme figura a seguir. Na
parte mais baixa de sua trajetória, colide elasticamente
com um bloco de aço de massa 2,5kg, inicialmente em
repouso sobre uma superfície sem atrito. A velocidade do
bloco, após a colisão, em m/s, é, aproximadamente:
a) 0,86
b) 1,23
c) 2,50
d) 3,20
b) a distância entre o carrinho e o projétil, dois segundos após o disparo.
23. (Unicamp) Um motor de foguete iônico, digno de histórias de ficção científica, equipa uma sonda espacial
da Nasa e está em operação há mais tempo do que
qualquer outro propulsor espacial já construído. O motor
iônico funciona expelindo uma corrente de gás eletricamente carregado, para produzir um pequeníssimo
impulso. Cerca de 103 gramas de xenônio são ejetados
por dia com uma velocidade de 108 000km/h. Após um
período muito longo, esse impulso faz a sonda atingir
uma velocidade enorme no espaço. Em aproximadamente 200 dias de viagem a sonda chega a uma velocidade
de 4 320km/h, o que é muito mais rápido do que seria
possível com uma quantidade similar de combustível de
foguete. Aproxime um dia para 9×104s.
a) Que massa de combustível teria sido consumida
para atingir 430km/h?
20. (Unicamp) Um carrinho de massa 80kg, desloca-se
horizontalmente com velocidade de 5,0m/s. Um bloco
de massa 20kg cai verticalmente sobre o carrinho, de
uma altura muito pequena, aderindo à ele.
b) Qual é a aceleração média da sonda? Considere
que a sonda é parte do repouso.
c) Qual é a quantidade de movimento do combustível
ejetado em 1s?
a) Com que velocidade final move-se o conjunto?
b) Que quantidade de energia mecânica foi transformada em energia térmica?
21. (UFRJ) Um cosmonauta, que juntamente com seu
equipamento tem uma massa de 150kg, encontra-se
fora de sua nave e em repouso em relação a ela. Num
dado instante, o cosmonauta arremessa simultaneamente duas ferramentas na mesma direção, mas em
sentidos opostos: uma de 0,20kg, com uma velocidade
de módulo igual a 5,0m/s e outra de 0,40kg, com uma
velocidade de módulo igual a 10m/s. Considere a nave
um referencial inercial.
EM_V_FIS_009
Calcule a velocidade do centro de massa do cosmonauta
em relação à nave, imediatamente após o arremesso
das ferramentas.
22. (UERJ) Na figura, que representa a visão de um observador fixo no solo, o sistema (carrinho + canhão + projétil)
possui massa total M de valor 100kg e encontra-se
inicialmente em repouso.
24. (UFRJ) Dois blocos, (1) de massa m e (2) de massa
3m, estão em repouso sobre um trilho ABC, cujo trecho
AB é plano e horizontal, como mostra a figura. Observe
que os blocos estão presos por um fio, havendo entre
eles uma mola ideal comprimida.
a) Rompendo-se o fio verifica-se que o bloco (2) consegue atingir no máximo, um ponto P, a uma altura
h. Supondo desprezíveis os atritos e considerando
g a aceleração da gravidade, calcule a energia potencial armazenada pela mola comprimida entre os
blocos, em função de m, g e h.
25. (UERJ) Um certo núcleo atômico N, inicialmente em
repouso, sofre uma desintegração radioativa, fragmentando-se em três
partículas, cujos momentos lineares
r
r r
são: P1 , P2 e P3 . A figura abaixo mostra os vetores que
216
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17
representam
os momentos lineares das partículas 1 e 2,
r
r
P1 e P2 , imediatamente após a desintegração.
d) 2,60m/s; mesmo sentido.
e) 1,80m/s; sentido oposto.
28. (Unirio) A esfera A, com velocidade 6,0m/s, colide com
a esfera B, em repouso, como mostra a figura a seguir.
O vetor quer melhor representa o momento linear da
partícula 3, P3 , é:
a)
Após a colisão, as esferas se movimentam com a mesma
direção e sentido, passando a ser a velocidade da esfera
A igual a 4,0m/s e a da esfera B, 6,0m/s. Considerando
mA a massa da esfera A e mB a massa da esfera B,
assinale a razão mA/mB.
a) 1
b)
c)
b) 2
c) 3
d)
d) 4
26. O gráfico v X t, de duas partículas que sofrem uma colisão unidimensional, é dado na figura abaixo. A razão
entre mA e mB é igual a:
a)
2
3
b)
4
5
e) 5
29. (UFF) Duas partículas, de massas m1 e m2, colidem
frontalmente. A velocidade de cada uma delas, em função do tempo, está representada no gráfico:
A relação entre m1 e m2 é:
a) m2 = 5m1
b) m2 = 7m1
c) 3
7
d)
c) m2 = 3/7m1
4
9
d) m2 = 3/7m1
e) m2 = m1
2
e)
5
27. (FOA-RJ) Dois corpos se movimentando numa mesma
reta chocam-se frontalmente. O corpo A de massa
4,00kg e velocidade 3,00m/s e o corpo B cuja massa
é a metade da massa de A e velocidade de 5,00m/s,
com sentido oposto à velocidade de A. O coeficiente de
restituição desse choque vale 0,800. Determine o valor e
o sentido da velocidade do corpo A após o choque.
30. (Vunesp) Para medir a velocidade de uma bala, preparouse um bloco de madeira de 0,990kg, que foi colocado
a 0,80m do solo, sobre uma mesa plana, horizontal e
perfeitamente lisa, como mostra a figura.
EM_V_FIS_009
a) 1,80m/s; mesmo sentido.
b) 2,60m/s; sentido oposto.
18
c) 2,50m/s; mesmo sentido.
217
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A bala, disparada horizontalmente contra o bloco em
repouso, alojou-se nele e o conjunto (bala+bloco) foi
lançado com velocidade v, atingindo o solo a 1,20m da
borda da mesa.
a) Adotando g = 10m/s2, determine a velocidade v do
conjunto, ao abandonar a mesa. (Despreze a resistência e o empuxo do ar)
b) Determine a velocidade com que a bala atingiu o bloco, sabendo-se que sua massa é igual a
0,010kg.
31. (Unirio) Na figura abaixo as esferas A e B têm massa
de 1,0kg e 3,0kg, respectivamente. Todos os fios são
ideais. (g = 10,0m/s2)
a) Ache v1 em termos de v0.
b) Ache v2 em termos de v0.
c) A energia mecânica aumenta, diminui ou permanece a mesma? Justifique.
35. (UFRJ) Um carro A de massa m colide com um carro
B, de mesma massa m, que estava parado em um
cruzamento. Na colisão os carros se engastam, saem
juntos, arrastando os pneus no solo, e percorrem uma
distância d até atingirem o repouso, como ilustram as
figuras abaixo.
Admitindo-se que o fio I seja cortado e a esfera A
descreva a trajetória da figura e colida com a esfera B
num choque inelástico (ou anelástico) e desprezando
a resistência do ar, determine:
a) a tensão no fio I antes de arrebentar;
b) a velocidade da esfera A imediatamente antes do
choque;
a) Calcule a razão Ec’/Ec­ entre a energia cinética do
sistema constituído pelos dois carros após o choque (E’) e a energia cinética do carro A antes do
choque (Ec).
c) a velocidade do conjunto A + B após a colisão.
32. (UFF) Numa aula de laboratório de Física, observase a colisão perfeitamente elástica entre dois carrinhos (1 e 2) sobre o trilho de ar, de tal forma
que não existe atrito entre os carrinhos e o trilho.
O carrinho 1 tem massa M1 e o carrinho 2, massa
M2 = 200g. Antes do choque, o carrinho 1 se desloca
para a direita com velocidade igual a 2,00m/s, e o carrinho 2 está parado. Depois do choque, os carrinhos
deslizam para a direita; a velocidade do carrinho 1 é
igual a 1,00m/s. Determine a massa M1.
EM_V_FIS_009
33. (ITA) O bloco de massa M = 132g, inicialmente em
repouso, está preso a uma mola de constante elástica
K = 1,6.104N/m e apoiado numa superfície horizontal
sem atrito. Uma bala de massa m = 12g com velocidade 200m/s incrusta-se no bloco. Determine a máxima
deformação da mola.
b) Medindo a distância d e o coeficiente de atrito de
deslizamento µ entre os pneus e o solo, conhecendo o valor da aceleração da gravidade g e levando
em consideração que os carros tinham a mesma
massa m, a perícia técnica calculou o módulo vA da
velocidade do carro A antes da colisão.
Calcule vA em função de µ, d e g.
36. (Cesgranrio) Na figura, a bolinha do pêndulo simples, de
comprimento , tem massa m e é largada, sem velocidade
inicial, com o fio do pêndulo na horizontal. Ao passar
pelo ponto mais baixo de sua trajetória, a bolinha colide
frontal e elasticamente com um carrinho de massa 2m,
inicialmente em repouso e apoiado em um trilho que é
horizontal naquela região. Depois do choque, o carrinho se desloca sem atrito ao longo do trilho e sobe até
uma determinada altura máxima em relação ao trecho
horizontal do trilho. Qual o valor dessa altura máxima?
(Despreze a resistência do ar).
34. (Unicamp) Uma bomba explode em três fragmentos na
forma mostrada na figura seguinte.
218
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19
a)
1
2
1
c)
2
2
d)
3
2
e)
3
b)
2
EM_V_FIS_009
20
2
219
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13. B
14. C
15. A
1. B
16. D
2. B
17. D
3. E
18. C
4. A
19. Aplicando a conservação do momento linear: QA = QB ⇒
5. C
0,1 . 105 = (0,1 + 2) ⇒
6. B
7.
20.
A equação horária da velocidade é: v = 3 + 10 t ⇒
a) Q0 = Qf ⇒ x . 1 = (x + 1) . 2/3 ∴3 x = 2 x + 2
v = 3 + 10 . 4 = 43m/s,
e x = 2,0kg
b) Q = mv = 1 . 2/3 = 2/3kg.m/s.
Q = 0,60 . 43 = 25,8kg.m/s
8. B
v +v
0 +v
9. Temos vm = 0
∴4=
e v = 8m/s. Como
2
2
EM_V_FIS_009
Q = mv = 0,3 . 8 = 2,4kg.m/s.
21. C
22. E
23. B
10. D
24. C
11. C
25. A
12. A
26. B
220
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21
27. C
2
ECf = 45 ⇒ mv = 45 ∴ v2 = 9 e vA = 3m/s
28.
2
a) O momento linear do sistema antes do rompimento
do fio é: 2 . 3 = 6kgm/s, horizontal da direita para
a esquerda.
b) 6 = 0 + 1 . v’
r
v’ = 6m/s.
r
29. QA = QD 2 . 3 – 4 . 3 = (2 + 3) . v
b) O impulso pode ser dado pela área do gráfico (F × t):
I = 15 . 3 = 45 N.s e I = ∆Q ⇒ mv = 45 ∴ vB=
4,5m/s
11.
a) O impulso corresponde a área do gráfico:
= 2 . 100 + 2 . 50 = 200N.s
2
I = F∆t ⇒ 200 = F . 4 ∴ F = 50N
v = –1,2m/s.
O mesmo sentido do carrinho de m = 3,0kg
30.
b) ⇒ 200 = 10 ∆v ∴ ∆v = 20m/s e
2
a) EC = E Pg v1 = 2 gh∴ v12 = 2 . 5 . 10 e v1 = 10m/s.
b) m1v1 = (m1 + m2)v
2 . 10 = (2 + 3) v
v = 4m/s.
20 = v – 5 ∴ v = 25m/s
12. Como o momento linear é grandeza vetorial, fica:
⇒ F∆t = 2 cos θ e F . 0,02 = 2 . 0,5 . 0,6 ∴
r
F = 30N, sendo perpendicular à tabela e apontando
1. B
para cima.
13. A
2. C
14. A
3. C
15. D
4. E
16. D
5. D
17. C
6. E
r
a) a = ∆v = 500 = 5 . 104 m/s2
19. B
b) I = m∆v = 0,08 . 500 = 40N.s
20.
∆t
0 ,01
a) ⇒ 80 . 5 = (80 + 20) . v ∴ v = 4m/s
2
2
b) ECA = 80 . 5 = 1 000 J e ECD = 100 . 4 =
2
2
800J ∴ ∆E = 1 000 – 800 = 200J
8. Como a área do gráfico é igual ao impulso fica:
a) I =
r
2+1
. 20 = 30 N.s e I = mv
2
(v0 = 0) 30 = 3v v = 10m/s
2
b) τ = ∆EC ⇒ τ = 3 . 10 = 150J
2
a) Calculando a aceleração: a =
10
= 5m/s2
2
21. No caso, o momento linear antes é igual a zero. Fica:
150v + 0,20 . 5 – 0,40 . 10 = 0 e 150v = 3 ∴
v = 3 ÷ 150 = 0,02m/s
22.
a) o sentido do movimento do carrinho para o observador
fixo no solo é ← (conservação do momento linear)
5
e v = 5 . 5 = 25m/s Ec = 2 . 25 = 625J
2
b) Aplicando o teorema do impulso:
QA = QD ∴ 0 = (M –m)v1 – mv ∴ 600 – 6m – 54m
= 0 e m = 10kg
r
r
I = ∆ Q e I = área do gráfico
Q=
10.
10 + 5
. 10 = 75kg.m/s
2
b) vRel = v1 – v = 6 –(–54) = 60 m/s e ∆s = vRel . t =
60 . 2 = 120m
23.
a) 200 . 430 . 0,103 m = 2,05kg
4 320
∆v
4 320
b) a =
= 6,7 . 10-5m/s2
∆t 3,6 . 200 . 9 . 104
a) O trabalho pode ser dado pela área do gráfico:
(F × s) ⇒ τ = 15 . 3 = 45J
22
Aplicando o Teorema da Energia Cinética
221
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EM_V_FIS_009
7.
9.
r
18. Aplicando I = m∆v ∴ F . ∆t = m∆v fica: F . 5 . 10-3 =
0,40 . 60 ∴ F = 4 800N
0,103 . 108 000
= 0,0343kg.m/s
9 . 104
3,6
24. No caso ⇒ 0 = mv1 + 3 mv2 ∴ v1 = -3v2, aplicando a
conservação da energia:
c) Q = mv =
EPel = EC1 + EC2 ∴ EC1 =
mv12
2
m (3v 2 )
2
=
2
2
EC2 = 3 mv 2 ⇒ EC1 = 3EC2 ∴
9 mv 22
=
2
34.
a) Na horizontal: QA = QD ⇒ mv0 =
m
. v2 ⇒ v2 = 2 v0
2
3
2
c) c) E Mantes= mv 0 e
2
m
m
m
( 3v 0 ) 2
( 6v0 )2
( 2v 0 ) 2
3
6
E MECdepois =
+
+ 2
2
2
2
b) Na vertical:i m . 3 v0 =
e
2
EPel = 3EC2 + EC2 = 4EC2. Na figura observamos que a
energia cinética 2 se transforma em energia potencial
gravitacional. EC2 = 3mgh⇒EPel = 4 . 3mgh = 12mgh
25. C
m
v1 ⇒ v1 = 6 v0
6
2
e E Mdepois = 11mv 0 ⇒ E MD > E MA (aumenta).
2
35. Aplicando a conservação do momento linear:
26. A
a) ⇒ mvA = (m + m) V ⇒ V = VA/2 e
27. E
EC =
28. C
e EC =
e
E’C =
2m(v2)2
⇒
2
29. A
30.
b) Aplicando o teorema da energia cinética:
2
a) Inicialmente calculamos o tempo de queda h = gt
2
10t 2 → t = 0,4s e v = 1,20 ÷ 0,4 = 3m/s.
0 ,80 =
2
τFAT = ∆ EC ⇒ FATd =
b) Aplicando a conservação do momento linear:
VA
2
2
.
2m
2
e
µ . 2m – gd =
0,01 . v = 1 . 3 → v = 300m/s
⇒ VA =
31.
⇒
36. E
a) Fazendo o isolamento e aplicando a 1.ª Lei de
Newton, Σ
v
v
v
v
F = 0 → TI = TII sen 45 o e TII cos 45 o = PA
20
2
.
= 10N
2
2
b) Aplicando a conservação da energia mecânica: EPg = EC
TII = 10 . 2 / 2 e TI =
mgh = mv 2 ∴ V2 = 2gh e V =
2 m/s
2
c) Aplicando QA = QD ⇒ 1 . 2 = (1+3)V ∴
V = 2 m/s
4
EM_V_FIS_009
32. Aplicando a conservação do momento linear
m1v1= m1v’1+ m2v2→ m1. 2 = m1. 1 + 0,2 v2→ m1= 0,2 v2.
Como a colisão é perfeitamente elástica temos
coeficiente de restituição igual a 1. Logo v2 – v1’ = v1 ⇒
v2 – 1 = 2 v2 = 3m/s. Então: m1 = 600g.
33. Aplicando a conservação do momento linear:
50
mv = (m +M)V ⇒12 200 = (12 + 132)V ∴V = m/s
3
Aplicando a ­conservação da energia:
2
50
mv2 = k∆x2 ⇒ 144 . 10-3 .
= 1,6 . 104 . ∆x2 ∴
3
∆x = 0,05m
222
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EM_V_FIS_009
24
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