Relatório da
Actividade Formativa (AF2)
Matemática Aplicada à Gestão I (21080)
2012/13
Mário J. Edmundo
Universidade Aberta
16 de Novembro de 2012
Proposta de trabalho (AF2.1)
1. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda aos applets
Calculadora de gráficos de funções de uma variável.
Calculadora de soluções de equações.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra aos applets apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Considere o modelo de mercado


Qs = Qd
Qd = 21 − 3P


Qs = −4 + 8P
i. Represente o modelo graficamente.
Solução:
Q
Qd
Qs
20
P
−2
2
4
6
−20
ii. Calcule os valores de equilibrio P∗ e Q∗ .
Solução:
2
Por substituição temos:
Qd = Qs
⇔
21 − 3P = −4 + 8P
⇔
−3P − 8P = −4 − 21
⇔
−11P = −25
⇔
−25 25
P=
= .
−11 11
Logo P∗ =
25
11
e Q∗ = 21 − 3P∗ = 21 − 3( 25
11 ) =
156
11 .
(b)
Considere o modelo de mercado


Qs = Qd
Qd = 35 − 7P


Qs = −9 + 6P
i. Represente o modelo graficamente.
Solução:
40
Q
Qd
Qs
20
P
−4 −2
2
4
6
8
10
−20
−40
ii. Calcule os valores de equilibrio P∗ e Q∗ .
Solução:
3
Por substituição temos:
Qd = Qs
⇔
35 − 7P = −9 + 6P
⇔
−7P − 6P = −9 − 35
⇔
−13P = −44
⇔
−44 44
P=
= .
−13 13
Logo P∗ =
44
13
e Q∗ = 35 − 7P∗ = 35 − 7( 44
13 ) =
147
13 .
(c)
Considere o modelo de mercado


Qs = Qd
Qd = 51 − 3P


Qs = −10 + 6P
i. Represente o modelo graficamente.
Solução:
60
Q
Qd
Qs
40
20
P
10
20
30
−20
−40
−60
ii. Calcule os valores de equilibrio P∗ e Q∗ .
Solução:
4
Por substituição temos:
Qd = Qs
⇔
51 − 3P = −10 + 6P
⇔
−3P − 6P = −10 − 51
⇔
−9P = −61
⇔
−61 61
P=
= .
−9
9
Logo P∗ =
61
9
e Q∗ = 51 − 3P∗ = 51 − 3( 61
9 )=
276
9
(d)
Considere o modelo de mercado


Qs = Qd
Qd = 30 − 2P


Qs = −6 + 5P
i. Represente o modelo graficamente.
Solução:
40
Q
Qd
Qs
20
P
−6 −4 −2
2
4
6
8
10
−20
−40
ii. Calcule os valores de equilibrio P∗ e Q∗ .
Solução:
5
=
92
3.
Por substituição temos:
Qd = Qs
⇔
30 − 2P = −6 + 5P
⇔
−2P − 5P = −6 − 30
⇔
−7P = −36
⇔
−36 36
P=
= .
−7
7
Logo P∗ =
36
7
e Q∗ = 30 − 2P∗ = 30 − 2( 36
7 )=
6
138
7 .
2. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda aos applets
Calculadora de gráficos de funções de uma variável.
Calculadora de soluções de equações.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra aos applets apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Considere o modelo de mercado


Qs = Qd
Qd = 3 − P2


Qs = −4 + 6P
i. Represente o modelo graficamente.
Solução:
40
Q
Qd
Qs
20
P
−6
−4
−2
2
4
6
−20
−40
ii. Calcule os valores de equilibrio P∗ e Q∗ .
Solução:
Por substituição temos:
Qd = Qs
⇔
2
3 − P = −4 + 6P
⇔
−P2 − 6P + 3 + 4 = 0
⇔
2
P + 6P − 7 = 0
⇔
p
2
−6 ± 6 − 4(1)(−7)
P=
⇔
2(1)
P = −7 ou P = 1.
Logo P∗ = 1 e Q∗ = 3 − (P∗ )2 = 3 − (1)2 = 2.
7
(b)
Considere o modelo de mercado


Qs = Qd
Qd = 8 − P2


Qs = −2 + P2
i. Represente o modelo graficamente.
Solução:
40
Q
Qd
Qs
20
P
−6
−4
−2
2
4
6
−20
−40
ii. Calcule os valores de equilibrio P∗ e Q∗ .
Solução:
Por substituição temos:
Qd = Qs
⇔
2
8 − P = −2 + P2
⇔
2
2
−P − P + 8 + 2 = 0
⇔
2
2P − 10 = 0
⇔
2
P =5⇔
√
√
P = − 5 ou P = 5.
√
√
Logo P∗ = 5 e Q∗ = 8 − (P∗ )2 = 8 − ( 5)2 = 8 − 5 = 3.
(c)
Considere o modelo de mercado


Qs = Qd
Qd = 25 − 5P


Qs = −9 + 6P2
8
i. Represente o modelo graficamente.
Solução:
60
Q
Qd
Qs
40
20
P
−5
5
10
15
−20
−40
−60
ii. Calcule os valores de equilibrio P∗ e Q∗ .
Solução:
Por substituição temos:
Qd = Qs
⇔
25 − 5P = −9 + 6P2
⇔
2
−6P − 5P + 25 + 9 = 0
⇔
6P2 + 5P − 34 = 0
⇔
p
2
−5 ± 5 − 4(6)(−34)
⇔
P=
2(6)
17
P=−
ou P = 2.
6
Logo P∗ = 2 e Q∗ = 25 − 5(P∗ ) = 25 − 5(2) = 25 − 10 = 15.
(d)
Considere o modelo de mercado


Qs = Qd
Qd = 2P2 − P3


Qs = −2 + 3P
i. Represente o modelo graficamente.
Solução:
9
20
Q
Qd
Qs
10
P
−4
−2
2
4
6
−10
−20
ii. Calcule os valores de equilibrio P∗ e Q∗ .
Solução:
Por substituição temos:
Qd = Qs
⇔
2
3
2P − P = −2 + 3P
⇔
3
2
−P + 2P − 3P + 2 = 0
⇔
P = 1 ou outras duas raı́zes complexas (pelo gráfico).
Logo P∗ = 1 e Q∗ = 2(P∗ )2 − (P∗ )3 = 2(1)2 − (1)3 = 2 − 1 = 1.
10
3. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet
Calculadora de soluções de equações.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra ao applet apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Considere o modelo de mercado




Qs2 = Qd2
Qs1 = Qd1
Qd2 = 12 + P1 − 2P2
Qd1 = 18 − 3P1 + P2




Qs2 = −2 + 3P2
Qs1 = −2 + 4P1
Calcule os valores de equilibrio P1∗ , P2∗ e Q∗1 , Q∗2 .
Solução:
Por substituição temos:
(
18 − 3P1 + P2 = −2 + 4P1
12 + P1 − 2P2 = −2 + 3P2
⇔
(
−3P1 − 4P1 + P2 = −2 − 18
P1 − 2P2 − 3P2 = −2 − 12
⇔
(
−7P1 + P2 = −20
P1 − 5P2 = −14
⇔
(
−7P1 + P2 = −20
P1 = 5P2 − 14
⇔
(
−7(5P2 − 14) + P2 = −20
P1 = 5P2 − 14
⇔
(
−35P2 + P2 = −20 − 98
P1 = 5P2 − 14
⇔
(
−34P2 = −118
P1 = 5P2 − 14
⇔
(
118
59
−118
P2 = −34 = 34 = 17
57
P1 = 5( 59
17 ) − 14 = 17
Logo P1∗ =
57 ∗
17 , P2
=
59
17
e Q∗1 = −2 + 4(P1∗ ) =
194
∗
17 , Q2
11
= −2 + 3(P2∗ ) =
143
17 .
(b)
Considere o modelo de mercado


Qs1 = Qd1
Qd1 = 24 − 2P1 + 3P2


Qs1 = −3 + 6P1


Qs2 = Qd2
Qd2 = 18 + P1 − P2


Qs2 = −4 + 3P2
Calcule os valores de equilibrio P1∗ , P2∗ e Q∗1 , Q∗2 .
Solução:
Por substituição temos:
(
24 − 2P1 + 3P2 = −3 + 6P1
18 + P1 − P2 = −4 + 3P2
⇔
(
−2P1 − 6P1 + 3P2 = −3 − 24
P1 − P2 − 3P2 = −4 − 18
⇔
(
−8P1 + 3P2 = −27
P1 − 4P2 = −22
⇔
(
−8P1 + 3P2 = −27
P1 = 4P2 − 22
⇔
(
−8(4P2 − 22) + 3P2 = −27
P1 = 4P2 − 22
⇔
(
−32P2 + 3P2 = −27 − 176
P1 = 4P2 − 22
⇔
(
−29P2 = −203
P1 = 4P2 − 22
⇔
(
−203
203
P2 = −29 = 29 = 7
P1 = 4(7) − 22 = 6
Logo P1∗ = 6, P2∗ = 7 e Q∗1 = −3 + 6(P1∗ ) = −3 + 6(6) = 33, Q∗2 = −4 + 3(P2∗ ) = −4 + 3(7) = 17.
12
4. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet
Calculadora de soluções de equações.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra ao applet apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Considere o modelo económico


Y = C + I0 + G0

C = 5 + 2 Y
3

I
=
6
0



G0 = 4
Calcule os valores de equilibrio Y ∗ e C∗ da renda nacional e despesas de consumo.
Solução:
Por substituição temos:
(
Y =C+6+4
C = 5 + 23 Y
⇔
(
2
Y = (5 + 3 Y ) + 10
C = 5 + 32 Y
⇔
(
2
Y − 3 Y = 15
C = 5 + 23 Y
⇔
(
1
3 Y = 15
C = 5 + 23 Y
⇔
(
Y = 45
C = 5 + 23 (45) = 5 + 30 = 35.
Logo Y ∗ = 45 e C∗ = 35.
(b)
Considere o modelo económico

Y = C + I0 + G0



C = 25 + 6√Y

I0 = 16



G0 = 14
Calcule os valores de equilibrio Y ∗ e C∗ da renda nacional e despesas de consumo.
Solução:
13
Por substituição temos:
(
Y = C + 16 + 14
√
C = 25 + 6 Y
⇔
(
√
Y = (25 + 6 Y ) + 30
√
C = 25 + 6 Y
⇔
(
√
Y − 6 Y − 55 = 0
√
C = 25 + 6 Y
⇔

√

Z := Y
Z 2 − 6Z − 55 = 0


C = 25 + 6Z
⇔

√

Y

Z := √
6± 62 −4(1)(−55)
Z=
2(1)


C = 25 + 6Z
⇔

√

Y
Z := √
6± 256
Z= 2


C = 25 + 6Z
⇔

√

Z := Y
Z = 6±16
2


C = 25 + 6Z
⇔

√

Z := Y
Z = −5 ou Z = 11


C = 25 + 6Z
⇔
(
2
2
Y = Z = 25 ou Y = Z = 121
C = 25 + 6(−5) = −5 ou C = 25 + 6(11) = 91
Logo Y ∗ = 121 e C∗ = 91.
14
(c)
Considere o modelo económico


Y = C + I0 + G0



1


C = 4 + 6 (Y − T )
T = 6 + 14 Y



I0 = 4



G = 2
0
Calcule os valores de equilibrio Y ∗ , T ∗ e C∗ da renda nacional, imposto e despesas de consumo.
Solução:
Por substituição temos:


Y = C + 6
C = 4 + 16 (Y − T ) = 4 + 16 Y − 16 T


T = 6 + 14 Y
⇔

1
1

Y = (4 + 6 Y − 6 T ) + 6
C = 4 + 16 Y − 16 T


T = 6 + 41 Y
⇔

1
1

Y = 6 Y − 6 T + 10
C = 4 + 16 Y − 16 T


T = 6 + 14 Y
⇔

1
1
1

Y = 6 Y − 6 (6 + 4 Y ) + 10
C = 4 + 16 Y − 61 T


T = 6 + 14 Y
⇔

1
1

Y = 6 Y − (1 + 24 Y ) + 10
C = 4 + 16 Y − 61 T


T = 6 + 14 Y
⇔
15
⇔

1
1

Y = 6 Y − 24 Y + 9
C = 4 + 61 Y − 16 T


T = 6 + 14 Y
⇔

7

 8Y = 9
C = 4 + 61 Y − 61 T


T = 6 + 14 Y
⇔

72
8

Y = 9( 7 ) = 7
C = 4 + 16 Y − 61 T


60
T = 6 + 14 ( 72
7 )= 7
⇔

72

Y = 7
1 60
C = 4 + 16 ( 72
7 ) − 6( 7 ) =


T = 60
7
Logo Y ∗ =
72
∗
7 ,C
=
30
7
e T∗ =
60
7.
16
30
7
(d)
Considere o modelo económico


Y = C + I0 + G



1


C = 3 + 5 (Y − T0 )
G = 14 Y



I0 = 3



T = 3
0
Calcule os valores de equilibrio Y ∗ , G∗ e C∗ da renda nacional, despesas governamentais e
despesas de consumo.
Solução:
Por substituição temos:


Y = C + 3 + G
1
C = 3 + 15 (Y − 3) = 12
5 + 5Y


G = 41 Y
⇔

12
1
1

Y = ( 5 + 5 Y ) + 3 + 4 Y
1
C = 12
5 + 5Y


G = 41 Y
⇔

9
27

Y = 20 Y + 5
1
C = 12
5 + 5Y


G = 41 Y
⇔

11
27

 20 Y = 5
1
C = 12
5 + 5Y


G = 41 Y
⇔

108

Y = 11
1
12
1 108
48
C = 12
5 + 5 Y = 5 + 5 ( 11 ) = 11


27
G = 14 ( 108
11 ) = 11
Logo Y ∗ =
108
∗
11 ,C
=
48
11
e G∗ =
27
11 .
17
Proposta de trabalho (AF2.2)
5. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet
Calculadora para a álgebra matricial.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra ao applet apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Considere as matrizes
7 −1
0 4
8 3
A=
, B=
, C=
6 9
3 −2
6 1
Calcule
i. 4B + 2C
Solução:
0 4
8 3
0 16
16 6
16 22
4B + 2C = 4
+2
=
+
=
3 −2
6 1
12 −8
12 2
24 −6
ii. CA
Solução:
8 3 0 4
9 26
CA =
=
6 1 3 −2
3 22
iii. 3A − 5C
Solução:
7 −1
8 3
21 −3
−40 −15
−19 −12
3A − 5C = 3
−5
=
+
=
6 9
6 1
18 27
−30 −5
−12 22
(b)
Considere as matrizes


2 8
2
0
7
2
A = 3 0 , B =
, C=
3 8
6 3
5 1
Diga, justificando, se as seguintes operações estão ou definidas e no caso afirmativo calcule o
resultado
18
i.
1
1
4 A + 2C
Solução:
A matriz 14 A (resp. 12 C) é uma matriz 3 × 2 (resp. 2 × 2). A adição de uma matriz 3 × 2 com
uma matriz 2 × 2 não está definida.
ii. AB
Solução:




28 64
2 8 2 0
= 6 0
AB = 3 0
3 8
13 8
5 1
iii. BA
Solução:
A multiplicação de uma matriz 2 × 2 com uma matriz 3 × 2 não está definida.
(c)
Considere as matrizes
 
5

A = 1 , B = 3 1 −1 , C = 7 5 8
3
Diga, justificando, se as seguintes operações estão ou definidas e no caso afirmativo calcule o
resultado
i.
1
3B − A
Solução:
A matriz 13 B é uma matriz 1 × 3. A adição de uma matriz 1 × 3 com uma matriz 3 × 1 não
está definida.
ii. AC
Solução:
 
5 AC = 1 7 5 8 =
3


35 25 40
7 5 8
21 15 24
iii. CA
Solução:
 
5
CA = 7 5 8 1 = 64
3
19
(d)
Considere as matrizes


5 0 4
A = 1 −1 3 , B = 3 1 −1 , C = 7 5 8
0 3 1
Diga, justificando, se as seguintes operações estão ou definidas e no caso afirmativo calcule o
resultado
i.
1
0
3 AC
Solução:

 
 
5 0 4 7
67
1 0 
1
AC = 1 −1 3 5 = 26
3
3
0 3 1 8
23
ii. A0 B
Solução:
A transposta A0 de A é uma matriz 3 × 3. A multiplicação de uma matriz 3 × 3 com uma
matriz 1 × 3 não está definida.
iii. CA0
Solução:


5 1 0
CA0 = 7 5 8 0 −1 3 = 67 26 23
4 3 1
20
6. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet
Calculadora para a álgebra matricial.
Resolva manualmente os seguintes problemas e
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Considere a matriz

4
A = 7
2
recorra ao applet apenas se necessário e só para

−2 1
3 0
0 1
Calcule
i. |A|
Solução:
7 0
7 3
3 0
= 20
− (−2) +1
|A| = 4 0 1
2 1
2 0
ii. adj A
Solução:
0 

3 −7 −6
3
2 −3
2 −4 = −7 2
7
adj A =  2
−3 7 26
−6 −4 26

iii. A−1 (se existir).
Solução:
3
20
A−1 =  −7
20
−3
10

1
10
1
10
−1
5
−3 
20
7 
20
13
10
(b)
Considere a matriz
2 0
B=
3 8
Calcule
i. |B|
Solução:
|B| = 2(8) − 0(3) = 16
21
ii. adj B
Solução:
0 8 −3
8 0
adj B =
=
0 2
−3 2
iii. B−1 (se existir).
Solução:
B
−1
=
1
2
−3
16
0
1
8
(c)
Considere a matriz
C= 7
Calcule
i. |C|
Solução:
|C| = 7.
ii. adjC
Solução:
adjC = 1
iii. C−1 (se existir).
Solução:
C−1 =
1
7
(d)
Considere a matriz

1
0
D=
0
0
0
0
0
1
Calcule
22
0
0
1
0

0
1

0
0
i. |D|
Solução:
0 0 1
0 0 1
0 0 1
0 0 0
|D| = 1 0 1 0 − 0 0 1 0 + 0 0 0 0 − 0 0 0 1 = −1
1 0 0
0 0 0
0 1 0
0 1 0
ii. adj D
Solução:

0 

−1 0
0
0
−1 0
0
0
0

0
0 −1
0
0 −1
 = 0

adj D = 
0
0 −1 0   0
0 −1 0 
0 −1 0
0
0 −1 0
0
iii. D−1 (se existir).
Solução:

1

0
D−1 = 
0
0
23
0
0
0
1
0
0
1
0

0
1

0
0
7. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet
Calculadora para a álgebra matricial.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra ao applet apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Considere o sistema
(
−x + 3y = −3
4x − y = 12
Resolva o sistema por inversão da matriz de coeficientes.
Solução:
A matriz de coeficientes do sistema é:
−1 3
A=
4 −1
Temos
−1 3 = −11
|A| = 4 −1
0 −1 −4
−1 −3
adj A =
=
−3 −1
−4 −1
1 3
11
A−1 = 11
4
1
11
11
Logo,
1
x
= 11
4
y
11
(b)
Considere o sistema
3
11
1
11
−3
3
=
12
0
(
8x − 7y = 9
x+y = 3
Resolva o sistema pela regra de Cramer.
Solução:
A matriz de coeficientes do sistema é:
8 −7
B=
1 1
Temos
9 −7
3 1 =2
x = 8
−7
1 1 24
8
1
y = 8
1
(c)
Considere o sistema
9
3
=1
−7
1


−x + 3y + 2z = 24
x+z = 6


5y − z = 8
Resolva o sistema por inversão da matriz de coeficientes.
Solução:
A matriz de coeficientes do sistema é:


−1 3 2
C= 1 0 1 
0 5 −1
Temos
0 1 1 1 1 0
= 18
|C| = −1 −3
+2
5 −1
0 −1
0 5

0 

−5 1 5
−5 13 3
adjC =  13 1 5  =  1 1 5 
3 5 −3
5 5 −3
 −5 13 1 
18
1
C−1 =  18
5
18
18
1
18
5
18
6
1 
6
−1
6
Logo,
   −5
x
18
y  =  1
18
5
z
18
(d)
Considere o sistema
13
18
1
18
5
18
 
1  
24
−1
6
1  6 

= 3
6
−1
8
7
6


4x + 3y − 2z = 1
x + 2y = 6


3x + z = 4
Resolva o sistema pela regra de Cramer.
Solução:
A matriz de coeficientes do sistema é:
25


4 3 −2
D = 1 2 0 
3 0 1
Temos
1
6
4
x= 4
1
3
4
1
3
y= 4
1
3
4
1
3
z= 4
1
3
3 −2
2 0 0 1
0
=
=0
3 −2 17
2 0 0 1
1 −2
6 0 4 1 51
=
=3
3 −2 17
2 0 0 1
3 1
2 6
0 4
68
=
=4
3 −2 17
2 0 0 1
26
8. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet
Calculadora para a álgebra matricial.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra ao applet apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Considere o modelo de mercado


Qs = Qd
Qd = 51 − 3P


Qs = −10 + 6P
Resolva o modelo por inversão da respectiva matriz de coeficientes.
Solução:
O modelo é dado pelo sistema equivalente:


Qs − Qd = 0
Qd + 3P = 51


Qs − 6P = −10
cuja matriz de coeficientes é (ordenando as variáveis na ordem Qs , Qd , P):


1 −1 0
3
A = 0 1
1 0 −6
Temos
1 3 0 3 +1
+ 0 0
|A| = 1 1 −6
1
0 −6

0 
−6 3 −1
−6



adj A = −6 −6 −1 = 3
−3 −3 1
−1
2 2 1
3
A−1 =  −1
3
1
9
3
2
3
1
9
1
= −9
0

−6 −3
−6 −3
−1 1
3
1 
3
−1
9
Logo,
 2
Qs
3
Qd  =  −1
3
1
P
9

2
3
2
3
1
9
  92 
1 
0
3
3
1   51 
 92 
=
3
3
−1
61
−10
9
9
(b)
Considere o modelo de mercado


Qs1 = Qd1
Qd1 = 24 − 2P1 + 3P2


Qs1 = −3 + 6P1


Qs2 = Qd2
Qd2 = 18 + P1 − P2


Qs2 = −4 + 3P2
27
Resolva o sistema aplicando a regra de Cramer à matriz de coeficientes correspondente.
Solução:
O modelo é dado pelo sistema equivalente:

Qs1 − Qd1 = 0





Qd1 + 2P1 − 3P2 = 24



Q − 6P = −3
s1
1

Qs2 − Qd2 = 0





Qd2 − P1 + P2 = 18



Qs2 − 3P2 = −4
cuja matriz de coeficientes é (ordenando as variáveis na ordem Qs1 , Qd1 , Qs2 , Qd2 , P1 , P2 ):


1 −1 0 0
0
0
0 1 0 0
2 −3


1 0 0 0 −6 0 

B=
0 0 1 −1 0
0


0 0 0 1 −1 1 
0 0 1 0
0 −3
Temos
0 −1 0
24 1 0
−3 0 0
0
0 1
18 0 0
−4 0 1
Qs1 = 1 −1 0
0 1 0
1 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0 1
1 −1 0
0 1 24
1 0 −3
0 0
0
0 0 18
0 0 −4
Qs2 = 1 −1 0
0 1 0
1 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0 1
0
0
0
−1
1
0
0
0
0
−1
1
0
0
2
−6
0
−1
0
0
2
−6
0
−1
0
0
0
0
−1
1
0
0
0
0
−1
1
0
0
2
−6
0
−1
0
0
2
−6
0
−1
0
28
0 −3
0 0 1 −3 957
=
= 33
29
0 −3
0 0 1 −3
0 −3
0 0 1 −3 493
=
= 17
29
0 −3
0 0 1 −3
1
0
1
0
0
0
P1 = 1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
P2 = 1
0
1
0
0
0
0 0
0
0 0 0 24 −3
0 0 −3 0 1 −1 0
0 0 1 18 1 1 0 −4 −3 174
=
=6
29
0 0
0
0 0 0
2 −3
0 0 −6 0 1 −1 0
0 0 1 −1 1 1 0
0 −3
−1 0 0
0
0 1 0 0
2 24 0 0 0 −6 −3
0 1 −1 0
0 0 0 1 −1 18 0 1 0
0 −4 203
=
=7
29
−1 0 0
0
0 1 0 0
2 −3
0 0 0 −6 0 0 1 −1 0
0 0 0 1 −1 1 0 1 0
0 −3
−1
1
0
0
0
0
−1
1
0
0
0
0
(c)
Considere o modelo económico


Y = C + I0 + G0



1


C = 4 + 6 (Y − T )
T = 6 + 14 Y



I0 = 4



G = 2
0
Resolva o modelo por inversão da respectiva matriz de coeficientes.
Solução:
O modelo é dado pelo sistema equivalente:


Y −C = 6
− 61 Y +C + 16 T = 4

 1
− 4Y + T = 6
cuja matriz de coeficientes é (ordenando as variáveis na ordem Y,C, T ):
29

1 −1 0
H = − 16 1 16 
− 14 0 1

Temos
1
1 1 1
1 − 1 21 7
−
|H| = 1 6 + 1 16 6 + 0 61 =
=
0 1
−4 1
−4 0
24 8

1
adj A =  1
−1
6
0
1
8
2
8
2
8
5
6
1
−1
6
8
7
H −1 =  17
2
7
8
7
8
7
2
7

1 1
=  18 1
2
8
2
8
−1 
6
−1 
6
5
6
−4 
21
−4 
21
20
21
Logo,
  8
Y
7
C  =  1
7
2
T
7
8
7
8
7
2
7
 72 
−4   
6
7
21
−4  4
 30 
=
7
21
20
60
6
21
7
(d)
Considere o modelo económico

Y = C + I0 + G0



C = 5 + 2 Y
3

I0 = 6



G0 = 4
Resolva o sistema aplicando a regra de Cramer à matriz de coeficientes correspondente.
Solução:
O modelo é dado pelo sistema equivalente:
(
Y −C = 10
− 32 Y +C = 5
cuja matriz de coeficientes é (ordenando as variáveis na ordem Y,C):
1 −1
H=
− 23 1
Temos
10 −1
5 1 15
= 1 = 45
Y=
1 −1
2
3
−
1
3
30
1 10
2
−
5
=
C= 3
1 −1
2
−
1
3
31
35
3
1
3
= 35