Cálculo Diferencial em R n
Derivada dirigida em campos vectoriais e operadores diferenciais
DMAT
ESTSetúbal-DMAT
1 de Março de 2011
DMAT (ESTSetúbal-DMAT)
LIÇÃO 23
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Derivada dirigida em campos vectoriais
De…nição: Seja f : D Rn ! Rm , α 2 intD e v 2 Rn . Chama-se
derivada de f segundo o vector v em α que se representa por fv0 (α),
ao seguinte limite quando existe:
lim
t !0
f (α + tv)
t
f (α)
.
Chama-se derivada de f em α segundo a direcção do vector v a
derivada segundo o versor ev de v.
OBS: Observe-se que a de…nição anterior é formalmente idêntica à
correspondente de…nição de derivada direcccional em campos
escalares.
Exemplo: Considere f (x, y ) = x, y 2 . Calcule a derivada de f
segundo o vector v = (1, 1) e segundo a direcção deste mesmo vector
no ponto (0, 0).
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Derivada dirigida em campos vectoriais
Proposição: Se f for diferenciável em α então a derivada de f
segundo o vector v 2 Rn em α será,
fv0 (α) = Dfα
v.
Exemplo: Considere f (x, y ) = x, y 2 . Calcule a derivada de f
segundo o vector v = (1, 1) no ponto (0, 0).
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Operador Divergência
De…nição: Seja f um campo vectorial de Rn em Rn .Chama-se
divergência de f em a ao seguinte campo escalar:
divf (a) =
∂f1
∂f2
(a) +
(a) +
∂x1
∂x2
+
∂fn
(a) .
∂xn
OBS: A divergência de f pode ser denotado igualmente por 5 f
(“produto interno” do operador 5 com o campo vectorial f).
Exemplo: Calcule divf (x, y ) com f (x, y ) = x 2 + y 2 , xy .
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Operador Divergência
Exemplo: Calcule a divergência do campo de velocidade
v (x, y ) =
(x 2
y
x
e1 + 2
e2 .
2
+y )
(x + y 2 )
0 .6
0 .4
0 .2
0
-0 .2
-0 .4
-0 .6
-0 .8
-0 .8
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-0 .6
-0 .4
-0 .2
0
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0 .2
0 .4
0 .6
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Operador Rotacional
De…nição: f : D R3 ! R3 , é possível de…nir simbolicamente o
conceito de rotacional de f como
rotf =
e1
e2
e3
∂
∂x1
∂
∂x2
∂
∂x3
f1
f2
f3
,
isto é,
rotf =
∂f3
∂x2
∂f2
∂x3
e1 +
∂f1
∂x3
∂f3
∂x1
e2 +
∂f2
∂x1
∂f1
∂x2
e3 .
OBS: Note-se que ao contrário do operador divergência (que
transforma um campo vectorial num campo escalar) o operador
rotacional transforma um campo vectorial num outro campo vectorial.
Exemplo: Calcule rotf (x, y , z ) com f (x, y , z ) = x 2 + y 2 , xy , z .
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Operador Rotacional
Exemplo: Calcule o rotacional do campo de forças
f (x, y , z ) =
(x 2
x
y
e1 + 2
e2 + 0e3
2
+y )
(x + y 2 )
0 .6
0 .4
0 .2
0
-0 .2
-0 .4
-0 .6
-0 .8
-0 .8
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-0 .6
-0 .4
-0 .2
0
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0 .2
0 .4
0 .6
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Algumas propriedades
Proposição:Seja f um campo escalar e g um campo vectorial
munidos da regularidade necessária. Então:
1
2
rot(5f ) = 0;
div(rotg) = 0.
Exemplo: Demonstre a proposição anterior.
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Exercícios
Seja f (x, y , z ) = x 2
(a) Determine
fv0
gv0
0,
yz, x sin y , 2x e g (u, v ) = (u cos v , 5) .
π
4,2
com v = ( 1, 2, 0) .
( 2, 0) com v = (1, 1) .
(c) Determine divf, divg e rotf.
(b) Determine
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Exercícios
Seja f (x, y , z ) = xyz 2 , x 2 yz,
xyz . Determine
divf (1, 1, 1) .
rotf (1, 1, 1).
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Exercícios
Mostre que para qualquer campo escalar f : R3 ! R su…cientemente
regular
∂2 f
∂2 f
∂2 f
div (gradf ) = 2 + 2 + 2 .
∂x
∂y
∂z
(div (gradf ) é designado o Laplaciano de f e também se escreve com as
notações O.Of , O2 f ou 4f ).
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Exercícios
Dado um campo escalar f e um campo vectorial g, su…cientemente
regulares, mostre que:
div (f g) = f div g+ grad f jg.
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