PROVA FINAL DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3o ANO DO ENSINO MÉDIO
COLÉGIO ANCHIETA-BA - OUTUBRO DE 2012.
ELABORAÇÃO: PROFESSORES ADRIANO CARIBÉ
E WALTER PORTO.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
01 - (FGV-Adaptada) Preparando-se para a sua festa de aniversário de sessenta anos, uma
senhora quer usar três anéis de cores diferentes nos dedos das mãos, um anel em cada dedo. De
quantos modos diferentes pode colocá-los, se não vai pôr nenhum anel nos polegares?
01) 48
02) 96
03) 144
04) 240
05) 336
RESOLUÇÃO:
Os três anéis de cores diferentes poderão ser colocados em 3 de 8 dedos das mãos da senhora, logo
n = 3!× C8, n =
6×8× 7 × 6
= 336 .
6
RESPOSTA: Alternativa 05.
02 - Marta aplicou R$ 10.000,00 em um banco por 5 meses, a uma taxa de juros simples de 2% ao
mês. Após esses 5 meses, o montante foi resgatado e aplicado em outro banco por mais 2 meses, a
uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. O valor dos juros da segunda etapa da aplicação é igual
a:
01) R$ 221,10.
03) R$ 252,20.
05) R$ 211,10.
02) R$ 220,00.
04) R$ 212,20.
RESOLUÇÃO:
M = C (1+ it) ⇒ M = 10.000 ×(1 + 0,02× 5) = 10.000 × 1,1=11.000. (montante resgatado).
M1 = C1× (1 + i)n ⇒ M1 =11.000 × 1,012 = 11221,10.
J = 11221,10 – 11000,00 = 221,10
RESPOSTA: Alternativa 01.
03 - (ENEM) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do
torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A.
Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do
torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time
visitante.
A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times
do jogo de abertura podem ser calculadas através de
01)
02)
03)
04)
05)
uma combinação e um arranjo, respectivamente.
um arranjo e uma combinação, respectivamente.
um arranjo e uma permutação, respectivamente.
duas combinações.
dois arranjos.
1
RESOLUÇÃO:
Os 4 times que vão formar o grupo A, serão escolhidos por uma combinação dos 12 times tomados
4 a 4.
Constituído o grupo A, a escolha dos dois times para o jogo de abertura será feita por um arranjo
dos 4 times dois a dois, porque o jogo deve acontecer no campo do primeiro time sorteado.
RESPOSTA: Alternativa 01.
04 -No sistema de juros simples, um capital foi aplicado a uma determinada taxa anual durante dois
anos. O total de juros auferidos por esse capital no final do período foi igual a R$ 2.000,00. No
sistema de juros compostos, o mesmo capital foi aplicado durante o mesmo período, ou seja, 2 anos,
e a mesma taxa anual. O total de juros auferidos por esse capital no final de 2 anos foi igual a R$
2.200,00. Desse modo, o valor do capital aplicado, em reais, é igual a
01) 4.800,00
03) 3.200,000
5) 6.000,00
02) 5.200,00
04) 5.000,00
RESOLUÇÃO:
Considerando como C o capital aplicado:
• No sistema de juros simples: j = Cit ⇒ 2Ci = 2000 ⇒ Ci = 1000.
• No sistema de juros compostos: C(1 + i)2 – C = 2200.
Ci(1 + i )2 − Ci = 2200i
10(1 + i )2 − 10 = 22i 5i 2 + 10i − 11i = 0
Ci = 1000
⇒
⇒
⇒


5i − 1 = 0 ⇒ i = 0,2
C(1 + i )2 − C = 2200 1000(1 + i )2 − 1000 = 2200i 5(1 + i )2 − 5 = 11i
Logo: 
Como Ci = 1000 ⇒ 0,2C = 1000 ⇒ C = 5000
RESPOSTA: Alternativa 04.
0 3 2
05 - (UEPB) Seja a matriz M =  1 2 - 1  . Se M–1 é a matriz inversa de M, det(M–1) é:
0 5 2
01)
1
3
02)4
03)
1
5
04)
1
2
05)
1
4
RESOLUÇÃO:
0 3 2
( )
det(M ) = 1 2 - 1 = 10 − 6 = 4 ⇒ det M −1 =
0 5 2
1
4
RESPOSTA: Alternativa 05.
2
06 - Numa certa comunidade, 20% das pessoas estavam desempregadas. Foi feita uma campanha,
que durou 6 meses, para tentar inserir estas pessoas no mercado de trabalho e após esta campanha
40% das pessoas que estavam desempregadas conseguiram um emprego. Sabendo que depois da
campanha haviam 360 desempregados nesta comunidade, quantas pessoas estavam empregadas
antes da campanha.
01) 1.600
02) 1.920
03) 2.400
04) 3.600
05) 3.800
RESOLUÇÃO:
Número de pessoas da comunidade: x
Número de pessoas desempregadas na comunidade: 0,2x.
Dessas 0,2x pessoas 0,6 × 0,2x = 0,12x continuaram desempregadas após a campanha, logo,
0,12x = 360 ⇒ x = 3000.
Antes da campanha estavam empregadas 0,8 × 3000 = 2400
RESPOSTA: Alternativa 03.
07 - (FFFCMPA RS)
Dadas as matrizes
−1 0 3 


A = 0 9 1 e
 3 0 - 9


I.
II.
III.
IV.
 5
 
B =  - 2  , considere as seguintes afirmativas:
 0
 
detA ≠ 0;
A matriz A é invertível;
Existe o produto AB;
Não existe a soma A + 3B.
Assinale a alternativa correta.
01) Apenas I é verdadeira.
02) Apenas III é verdadeira.
03) Apenas II e III são verdadeiras.
04) Apenas III e IV são verdadeiras.
05) Apenas I e IV são verdadeiras.
RESOLUÇÃO:
−1 0 3
det( A) = 0 9 1 = 81 − 81 = 0 ⇒ As afirmações I. e II são FALSAS.
3 0 -9
−1 0 3   5

  
O produto AB =  0 9 1  ×  - 2  existe porque o número de colunas da matriz A é igual ao
 3 0 - 9  0

  
número de linhas de B, logo a afirmação III. É VERDADEIRA.
Como A e B são de ordens diferentes não existe a soma A + 3B; logo a afirmação IV.
É VERDADEIRA.
RESPOSTA: Alternativa 04.
3
08 - Uma pessoa compra determinado produto em vinte parcelas, sendo a 1a parcela no valor de R$
600,00 e cada parcela seguinte R$ 20,00 mais cara que a parcela anterior.
O valor total pago pelo produto foi de:
01) R$ 16.000,00
02) R$ 16.600,00
03) R$ 16.800,00
04) R$ 15.400,00
05) R$ 15.800,00
RESOLUÇÃO:
Sequência das parcelas: (600, 620, 640, 660, ...., p20) que é uma P.A. em que p1 é 600 reais, a razão
é 20 reais e o número de termos é 20.
p20 = p1 + (n – 1) × r ⇒ p20 = 600 + (20 – 1) × 20 = 600 + 380= 980 reais.
O valor total pago pelo produto será determinado pela relação
S 20 =
(p1 + p 20 ) × 20 ⇒ S
2
20
= 10(600 + 980) = 15800 .
RESPOSTA: Alternativa 05.
09 - (UNIMONTES MG)
A função real de variável real, definida por y = 3x − 2(ax − 2) , é crescente quando
01) a <
3
2
02) a >
3
2
03) a =
3
2
04) a > 0
05) a < 0
RESOLUÇÃO:
y = 3x − 2(ax − 2) ⇒ y = 3x - 2ax + 4 ⇒ y = (3 - 2a)x + 4 ⇒ que a função estudada será crescente para 3
3
– 2a > 0 ⇒ 2a < 3 ⇒ a < .
2
RESPOSTA: Alternativa 01.
10 - Uma empresa faturou R$100.000,00 em janeiro de 2010 e em cada mês seguinte 5% a mais que
no mês anterior. O faturamento total desta empresa no ano de 2010 foi de:
*Use, se necessário: (1,05)11 = 1,710 ; (1,05)12 = 1,796
01) R$171.000,00
02) R$179.600,00
03) R$1.488.000,00
04) R$1.592.000,00
05) R$1.674.000,00
RESOLUÇÃO:
Janeiro
Fevereiro
Março
.......................................................................
Dezembro
Faturas por mês (Reais)
100000
100000×1,05
100000×1,052
.....................................................................
100000×1,0511
4
A sequência das faturas formam uma P.G. finita onde o primeiro termo é 100.000 reais, a razão é
1,05 e o número de termos é 12.
A soma dos termos de uma P.G. finita é dada pela relação:
Sn =
(
)
a 1 (q n − 1)
100000 1,0512 − 1 100000(1,796 − 1) 100000 × 0,796
⇒ S12 =
=
=
= 1.592.000
q −1
1,05 − 1
0,05
0,05
RESPOSTA: Alternativa 04.
11 - (UFT TO) Uma empresa do ramo de confecções produz e comercializa calças jeans. Se x
representa a quantidade produzida e comercializada (em milhares de unidades) e
l(x) = – x2 + 48x – 10 representa o lucro (em milhares de reais) da empresa para x unidades, então o
lucro máximo que a empresa poderá obter é:
01) R$ 566.000,00
02) R$ 423.000,00
03) R$ 653.000,00
04) R$ 745.000,00
05) R$ 358.000,00
RESOLUÇÃO:
Se o lucro da empresa é calculado pela função l(x) = – x2 + 48x – 10, o lucro máximo é alcançado
para x =
−48
= 24 ⇒ lmax=l(24) = – 576 + 1152 – 10 = 566 mil reais.
−2
RESPOSTA: Alternativa 01.
12 - Na figura, sabendo que AB = AC, BD =
DE, CD = CE e BÂC = 52º, calcule a medida do
ângulo θ assinalado.
01)
02)
03)
04)
05)
27º
29º
31º
33º
36°
RESOLUÇÃO:
180° − 52°
= 64° .
2
180° − 64°
O triângulo CDE é isósceles, então α =
= 58° .
2
O triângulo ABC é isósceles, então β =
O ângulo EDC é externo ao triângulo BDE, então
2θ = α ⇒ 2θ = 58° ⇒ θ = 29°
RESPOSTA: Alternativa 02.
5
13 - (UEPB)
Associando verdadeiro (V) ou falso (F) às afirmativas:
I.
O logaritmo de 70 na base 5 está compreendido entre os números naturais consecutivos 1 e
2;
II. A base onde o logaritmo de 5 é 5, é igual a 5 ;
III. Para que um número inteiro positivo possua logaritmo negativo, sua base deve ser maior
que 0 e menor que 1; temos:
01) V F V
02) F V V
03) F F V
04) F F F
05) V V V
RESOLUÇÃO:
log 5 70 = x ⇒ 5 x = 70 ⇒ 2 < x < 3 ⇒ afirmativa I. é FALSA.
log x 5 = 5 ⇒ x 5 = 5 ⇒ x = 5 5 ⇒ afirmativa II. é FALSA.
A afirmativa III. é VERDADEIRA.
RESPOSTA: Alternativa 03.
14 - Sabendo que, na figura abaixo, ABCD é um quadrado, AO = 10 ,
a circunferência de centro O é tangente ao lado BC e passa pelos
pontos A e D, calcule a medida do lado do quadrado ABCD.
01) 14
02) 16
04) 20
05) 22
03) 8
RESOLUÇÃO:
Considerando como a a medida do lado do quadrado, tem-se a figura
ao lado.
O triângulo AEO é retângulo, logo:
2
a2
a
2
+ a 2 − 20a + 100 = 100 ⇒
  + (a − 10) = 100 ⇒
4
2
5a 2 − 80a = 0 ⇒ a = 16.
RESPOSTA: Alternativa 02.
6
15 - (UFABC SP)
Em São Paulo, a lentidão no trânsito é medida em quilômetros. Em uma determinada via de alto
fluxo estão sendo realizadas inúmeras obras visando à diminuição dos congestionamentos. Um
engenheiro do departamento de trânsito prevê que o número de quilômetros de lentidão no
trânsito dessa via irá diminuir segundo a lei n (t ) = n(0) . 4 -t/3 , em que n(0) é o número de
quilômetros de lentidão no início das obras e n(t) é o número de quilômetros de lentidão
existentes t anos depois. O tempo necessário para que o número de quilômetros de lentidão seja
reduzido à metade daquele existente no início das obras será igual a
01) 16 meses.
02) 17 meses.
03) 18 meses.
04) 20 meses.
05) 24 meses.
RESOLUÇÃO:
2t
n(t) = n(0) . 4 -t/3 =
−
n(0)
1
2t
⇒ 4 -t/3 = ⇒ 2 3 = 2 −1 ⇒ − = −1 ⇒ 2t = 3 ⇒ t = 1,5 ano = 18 meses.
2
2
3
RESPOSTA: Alternativa 03.
16 –Se na figura ao lado AB = 10, CD = 25, BD = 21, AC
= 28 e r//s, então calcule o perímetro do triângulo ABE.
01) 20
02) 24
04) 32
05) 36
03) 28
RESOLUÇÃO:
Sendo r // s, os triângulos AEB e CED são
semelhantes, logo:
AB BE AE
10
x
y
=
=
⇒
=
=
⇒
CD ED EC
25 21 − x 28 − y
2
x
2
y
=
e
=
⇒ 7x = 42 e 7y = 56 ⇒
5 21 − x
5 28 − y
x =6 e y=8
Assim o perímetro do triângulo ABE é 10 + 6 + 8 =
24.
RESPOSTA: Alternativa 02.
7
17 – Qual a distância entre as retas r: 2x – y + 7 = 0 e s: 2x – y – 13 = 0?
01) 2 10
02) 10 2
03) 4 5
04) 5 3
05) 20
RESOLUÇÃO:
Sendo as duas retas são paralelas (a razão entre os coeficientes das variáveis x e y são,
respectivamente igual a 1, a distância entre elas é igual à distância de um ponto de uma delas à outra
reta.
Seja P um ponto da reta r, P = (5, 17).
A distância de P à reta s é:
10 − 17 − 13
4 +1
=
20
5
=
20 5
=4 5
5
RESPOSTA: Alternativa 03.
18 – Os pontos A(1 ; 5), B(–2 ; 1) , C(6 ; 4) e D(m ; n) são vértices consecutivos de um
paralelogramo ABCD. Calcule o valor de 2m – n .
01) 10
02) 9
03) 8
04) 7
05) 6
RESOLUÇÃO:
M é o ponto médio das diagonais AC e BD, então
 6 +1 4 + 5   7 9 
M=
,
= , 
2  2 2
 2
 m − 2 n +1  7 9 
M=
,
= , ⇒
2  2 2
 2
m − 2 = 7 e n +1 = 9 ⇒ m = 9 e n = 8 ⇒
2m − n = 10
RESPOSTA: Alternativa 01.
19 - Determine a equação da mediatriz do segmento AB , sendo A(−3 ; 1) e B(5 ; 5).
01) 2x + y – 5 = 0
02) x – 2y + 5 = 0
03) x + 2y – 7 = 0
04) 2x – y + 1 = 0
05) 2x – 2y + 1 = 0
RESOLUÇÃO:
A mediatriz do segmento AB é uma reta perpendicular a esse segmento por M, ponto médio de AB .
 − 3 + 5 1+ 5
,
 = (1,3)
2 
 2
5+3
(x − 1) ⇒ y − 3 = 2(x − 1) ⇒ y − 2x − 1 = 0 ⇒ 2x − y + 1 = 0
Logo, y − 3 =
5 −1
M= 
RESPOSTA: Alternativa 04.
8
20 Sabendo que (x; y; 12) é uma P.A. e (4; x; y) é uma P.G. crescente, calcule x + y.
01) 15
02) 18
03) 21
04) 24
05) 25
RESOLUÇÃO:
Se (x; y; 12) é uma P.A, então 2y = x + 12.
Se (4; x; y) é uma P.G. crescente, x > 4 e x2 = 4y.
x 2 = 2x + 24
2y = x + 12
⇒
⇒ x = −4(não convém) ou x = 6 ⇒ y = 9
 2
x 2 = 4y
x − 2x − 24 = 0
Tem-se o sistema: 
Logo, x+ y = 15
RESPOSTA: Alternativa 01.
9