DESENVOLVIMENTO DO CONHECIMENTO DO ENSINO DA ÁLGEBRA:
CONTRIBUTO DE UMA EXPERIÊNCIA DE FORMAÇÃO1
Neusa Branco
Escola Superior de Educação, Instituto Politécnico de Santarém
Unidade de Investigação do Instituto de Educação, Universidade de Lisboa
[email protected]
João Pedro da Ponte
Instituto de Educação, Universidade de Lisboa
[email protected]
Resumo
Esta comunicação analisa de que forma a abordagem que orienta uma experiência de
formação em Álgebra e no seu ensino, num curso de formação inicial de educadores e
professores dos primeiros anos, contribui para a aprendizagem de uma formanda, Alice,
de conceitos algébricos e relativamente ao ensino-aprendizagem deste tema. O presente
trabalho segue uma metodologia qualitativa, recorrendo a estudos de caso. Os dados são
recolhidos por dois questionários com tarefas matemáticas, um no início e outro no final
da experiência e três entrevistas. A evolução de Alice é significativa em diversos
tópicos algébricos bem como no conhecimento sobre as situações que visam o
desenvolvimento do pensamento algébrico e o modo como a abordagem em sala de aula
pode potenciar o trabalho dos alunos em questões algébricas. A experiência de
formação, ao promover a partilha de estratégias entre os formandos, a ênfase nos seus
raciocínios e na justificação, teve um papel importante na sua aprendizagem.
Palavras-chave: Formação inicial de professores; Álgebra; Experiência de formação.
Introdução
A formação inicial de futuros professores dos primeiros anos do ensino básico e de
educadores de infância constitui um suporte importante para o modo como mais tarde
desempenham a sua atividade profissional, sendo fundamental que os formandos
assumam uma perspetiva ampla do ensino e a aprendizagem dos diversos temas
matemáticos. Esta comunicação analisa o contributo de uma experiência de formação
em Álgebra, na formação inicial de professores dos primeiros anos e educadores, que
visa o desenvolvimento do pensamento algébrico e o conhecimento dos aspectos
fundamentais respeitantes ao ensino deste tema, para que, futuramente, os possam
mobilizar na sua prática.
1
Este trabalho é financiado por fundos nacionais através da FCT – Fundação para a Ciência e Tecnologia
no âmbito do Projecto Práticas Profissionais dos Professores de Matemática (contrato PTDC/CPECED/098931/2008).
1- 1
XXII SIEM — 2011
Na experiência de formação são propostas tarefas de carácter exploratório relativas a
tópicos como relações, sequências, regularidades, sucessões, funções e modelação
matemática e a articulação entre si e com outros temas, tendo em vista promover o
desenvolvimento do conhecimento matemático dos formandos. A natureza exploratória
das tarefas pretende levá-los a desenvolver o seu conhecimento, aliando o conhecimento
algébrico ao conhecimento para ensinar Álgebra. Diversas propostas partem de
situações de ensino-aprendizagem, de modo que os formandos tenham oportunidade de:
(i) analisar estratégias usadas por alunos; (ii) observar, explorar e relacionar diferentes
representações; (iii) compreender que conhecimento os alunos revelam; (iv) identificar
as dificuldades dos alunos; e (v) refletir sobre hipóteses de trabalho com os alunos,
visando fomentar o desenvolvimento do seu pensamento algébrico. Esta comunicação
discute de que forma a abordagem que orienta a experiência de formação contribui para
a aprendizagem de uma formanda, Alice, de conceitos algébricos e relativamente ao
ensino-aprendizagem da Álgebra.
A formação inicial de professores em Álgebra
Nos últimos anos, tem ganho cada vez mais força a ideia que o desenvolvimento do
pensamento algébrico deve iniciar-se nos primeiros anos de escolaridade (Blanton &
Kaput, 2005; Carraher & Schliemann, 2007). Para Canavarro (2007), esta perspetiva
promove o “aprofundamento da compreensão da Matemática e do poder desta área do
saber” (p. 92). Kaput (2008) considera que o pensamento algébrico integra três
vertentes: (i) o estudo de estruturas e sistemas abstractos a partir de cálculos e relações,
decorrentes da Aritmética e de raciocínio quantitativo; (ii) o estudo de funções, relações
e variação; e (iii) a aplicação de um conjunto de linguagens de modelação, dentro e fora
da Matemática. A formação inicial, no que respeita à Álgebra, deve atender a esta
perspetiva de modo a proporcionar aos futuros professores experiências de
aprendizagem que lhes sustentem as suas decisões para promover a aprendizagem dos
seus alunos. Como referem Ponte e Chapman (2008), os futuros professores devem
desenvolver a capacidade de integrar o conhecimento dos conteúdos e processos
matemáticos e o conhecimento dos alunos a ensinar, de acordo com a sua escolaridade e
as orientações curriculares. Segundo estes autores, as estratégias a usar na formação
inicial devem procurar promover o desenvolvimento desse conhecimento, “integrando
1- 2
XXII SIEM — 2011
conteúdos e pedagogia e ensinando os futuros professores do mesmo modo que se
espera que eles ensinem os seus alunos” (p. 256).
A formação inicial em Álgebra deve ter em conta que os formandos, quando forem
leccionar, serão colocados perante desafios e exigências relativamente ao pensamento
algébrico que, na sua maioria, não experimentaram enquanto alunos. Deste modo, como
refere Doer (2004), é necessário, simultaneamente, construir a partir da sua experiência
e quebrar o modelo que acompanha essa mesma experiência. Segundo a autora, é na
formação inicial que os formandos devem ser chamados a compreender as suas próprias
experiências e observações de ensino e a “compreender caminhos alternativos de ação
que poderiam ser mais eficazes no desenvolvimento de uma compreensão conceptual da
Matemática, para um maior número de alunos” (p. 269).
Kaput e Blanton (2001) reconhecem que os professores dos primeiros anos estão
inseridos num processo de mudança no ensino-aprendizagem da Álgebra, por terem tido
poucas experiências com atividades de generalização e formalização, aspectos que, na
sua perspetiva, devem constituir a base do trabalho com os alunos na escola. Neste
contexto de mudança, são muitos os desafios que se colocam aos professores a
contemplar na sua formação inicial. Canavarro (2007), por exemplo, indica a
necessidade de o professor valorizar o raciocínio dos alunos e a importância de
selecionar tarefas e promover uma dinâmica de sala de aula conducentes ao
desenvolvimento do seu pensamento algébrico.
Metodologia de investigação
O presente trabalho segue uma metodologia qualitativa, de cunho interpretativo,
recorrendo a estudos de caso. O seu propósito é compreender a perspetiva dos
participantes, num contexto de formação, assumindo a complexidade deste processo. A
investigação é realizada pela primeira autora que é simultaneamente a docente da
experiência de formação. Esta opção metodológica vincula a investigação de um modo
estreito ao contexto real de sala de aula, permitindo que os resultados informem a sua
própria prática profissional.
Este artigo foca o estudo de caso de Alice, uma formando que antes da entrada no
ensino superior frequentou a disciplina de Matemática apenas até ao 9.º ano e,
presentemente, pretende ingressar no Curso de Mestrado em Educação Pré-escolar. A
1- 3
XXII SIEM — 2011
recolha de dados tem lugar entre Junho de 2009 e Março de 2010. Os dados são
recolhidos por dois questionários com tarefas matemáticas e questões didáticas, um
proposto no início e outro no final da experiência de formação e duas entrevistas com
base nesses questionários, bem como uma terceira entrevista realizada durante a
experiência de formação. As entrevistas incidem igualmente sobre questões
matemáticas e didáticas e permitem ainda conhecer a perspetiva da formanda em
relação ao trabalho efectuado na experiência de formação. É ainda realizada observação
participante pela docente na experiência de formação, registando notas de campo e
recolhendo documentos produzidos pela formanda durante a realização das tarefas da
experiência de formação e na elaboração de um portefólio, sobre essas tarefas. A análise
dos dados assume um cunho essencialmente interpretativo, procurando evidenciar o
contributo da experiência de formação para a realização de tarefas algébricas e para o
desenvolvimento da sua perspetiva sobre o ensino-aprendizagem da Álgebra.
Exploração de situações matemáticas
Antes da experiência. No questionário inicial, Alice não responde a algumas questões,
nomeadamente as que envolvem generalização e representação de propriedades das
operações e que envolvem linguagens de modelação. Interpreta adequadamente
situações que envolvem expressões numéricas mas não revela de modo claro o seu
pensamento relacional. Em sequências pictóricas, como a da figura 1, determina
corretamente termos próximos, adicionando sucessivamente 2 ao termo anterior:
Figura 1 – Sequência pictórica do questionário inicial
Na determinação de termos distantes e na generalização da sequência numérica Alice
mantém a abordagem recursiva o que conduz a respostas incorretas. No questionário
indica ter 62 pintas no termo de ordem 60, fazendo 60 + 2 = 62 . Revela não ter
estabelecido uma relação entre a ordem do termo e o número de pintas que o constitui.
Na entrevista verifica que o raciocínio que está a indicar para o termo de ordem 60 não
é válido para os primeiros termos, testando o caso do 2.º termo em que o seu número de
pintas não se obtém fazendo a adição de 2 à sua ordem. Contudo, desiste de determinar
1- 4
XXII SIEM — 2011
o termo de ordem 60. Como termo geral da sequência numérica indica a expressão
algébrica n + 2 . A generalização que estabelece tem por base um raciocínio recursivo e
a letra n refere-se a um número que desconhece mas que representa o número de pintas
da ordem anterior e não a ordem do termo que se pretende determinar.
Na interpretação de um gráfico de uma função não responde corretamente a algumas
questões que envolvem a leitura de valores do eixo das ordenadas dada a indicação em
relação a valores da variável independente. Em problemas que envolvem quantidades
desconhecidas indica os valores corretos mas não explica como os calcula. Na entrevista
diz ter chegado à solução por tentativas de modo a satisfazer as condições.
Durante a experiência. Alice envolve-se na resolução de situações matemáticas que
promovem o pensamento algébrico. No seu trabalho individual, em pequeno grupo e em
grande grupo, estabelece relações e representa generalizações em diversos tópicos.
Considera significativo o trabalho de análise de expressões numéricas por dar
significado à equivalência do sinal de igual e por promover o pensamento relacional,
dando ênfase às propriedades das operações e não à realização do cálculo. O seu
trabalho com regularidades e sequências (repetitivas e crescentes) é diversificado e
resolve situações que envolvem sequências repetitivas, como a que se segue:
Figura 2 – Sequência repetitiva da entrevista 2
Alice generaliza com base na análise da unidade que se repete. Identifica que o termo
das ordens múltiplas de quatro é o retângulo, que um triângulo surge nas ordens pares e
outro nas ordens ímpares e que ordens ímpares têm também uma estrela como termo.
Indica, ainda, que se dividir o número da ordem por quatro, por se tratar do número de
elementos da unidade que se repete, e considerar o resto, consegue dizer qual dos
elementos da unidade que se repete é termo dessa ordem.
O trabalho sequências numéricas associadas a sequências pictóricas contribui também
para a sua aprendizagem. Este tópico torna-se muito significativo para Alice por nunca
ter explorado as sequências a partir na estrutura dos termos pictóricos para identificar
relações com a ordem dos termos e assim determinar o termo geral da sequência
numérica, como na sequência seguinte:
1- 5
XXII SIEM — 2011
Figura 3 – Sequência pictórica da entrevista 2
[referindo-se ao 3.º termo] Aqui é a mesma coisa. Três [aponta para as
primeiras três linhas] é n, porque depois se tivesse mais n era mais três,
menos um vai dar esse [o número restante de linhas. Escreve
(…) Fica n vezes isto [refere-se à expressão n + n − 1 ]. (E2)
]
As situações com funções afins, lineares e não lineares, envolvem diversas
representações, que Alice realiza adequadamente relacionado tabelas e gráficos. Nas
situações que envolvem quantidades desconhecidas, revela algumas dificuldades que
ultrapassa ao estabelecer relações entre os dados. Realiza operações elementares que
revelam um raciocínio relativo a quantidades que expressa em linguagem algébrica.
Após a experiência. Alice revela o seu pensamento relacional na análise de expressões
numéricas, tendo por base as propriedades das operações. Contudo, manifesta ainda
dificuldades na compreensão de situações que envolvem a subtração ao não decompor
corretamente o subtrativo. No trabalho com sequências pictóricas identifica o termo
geral da sequência numérica e com base nele determina termos próximos e distantes. Na
análise de funções afins, interpreta corretamente os gráficos, identificando situações
lineares e não lineares. Relaciona corretamente o gráfico com a expressão algébrica no
que respeita à ordenada na origem mas não em relação ao seu declive. Nas questões
com quantidades desconhecidas estabelece relações mas não as expressa em linguagem
algébrica. Realiza diversas operações de acordo com as relações que estabelece entre os
dados do problema, indicando o significado dos valores que vai obtendo. Alice mostra
ainda algumas fragilidades na utilização da linguagem algébrica que se revelam na
interpretação de expressões algébricas relativas a funções.
Durante e após a experiência de formação, em diversas situações, manifesta o seu
pensamento algébrico, evidenciando um desenvolvimento significativo nas capacidades
de estabelecer relações e de analisar e resolver situações que envolvem sequências e
modelação matemática.
1- 6
XXII SIEM — 2011
Perspetiva sobre o ensino e a aprendizagem da Álgebra
Antes da experiência. Alice dá breves indicações quando analisa respostas de alunos,
conseguindo identificar que o aluno não analisa corretamente a expressão numérica. Na
análise da sequência pictórica atende apenas à construção do aluno sem verificar se
respeita a lei de formação. Na entrevista analisa estes dois aspectos de modo adequado.
Perante a conjetura formulada por um aluno (figura 4), que pode ser modelada de modo
a ser validada, Alice impõe restrições desnecessárias:
Um aluno formulou a conjetura seguinte:
“Multiplico dois números naturais. Se multiplicar metade do primeiro pelo dobro do segundo o
produto é igual ao obtido na primeira situação”
Figura 4 – Conjetura do questionário inicial
Figura 5 – Resposta de Alice no questionário inicial
A sua estratégia envolve a realização de tentativas para verificar a validade da conjetura
para um conjunto de números e não consegue estabelecer uma generalização.
Durante a experiência. A análise de respostas de alunos em expressões numéricas
abertas desperta Alice para as dificuldades na compreensão do sinal de igual que muitos
alunos revelam nos primeiros anos. Explora e generaliza sequências pictóricas, vê como
alunos de 2.º ano determinam diversos termos da sequência, evidenciando diferentes
análises da sua estrutura, e verifica que estes conseguem expressar generalizações em
linguagem natural. O trabalho com funções evidencia uma abordagem ao estudo deste
conceito nos primeiros anos e Alice propõe questões para discutir com os alunos que
evidenciam a relação entre as variáveis. Analisa situações de modelação onde os alunos
usam diferentes estratégias e representações, nomeadamente, letras para representar
quantidades desconhecidas. Com este trabalho percebe o contributo para o
desenvolvimento do raciocínio dos alunos da partilha de estratégias e da comunicação
desses raciocínios.
1- 7
XXII SIEM — 2011
Após a experiência. Alice identifica o pensamento relacional que o aluno evidencia e
valida a sua resposta. Valida respostas de um aluno no âmbito de sequências pictóricas
mas não analisa pormenorizadamente a sua resolução de modo a evidenciar o seu
raciocínio. Na validação da conjetura de um aluno identifica regularidades e tira
conclusões adequadas, embora usando um processo por tentativas.
Alice valoriza as aprendizagens que realiza na experiência de formação, identificando o
desenvolvimento do seu conhecimento matemático e do seu conhecimento dos alunos e
dos seus processos de aprendizagem. Destaca, ainda, a importância de ser capaz de usar
diferentes estratégias e da capacidade que o professor deve ter para analisar as
resoluções dos alunos e para conduzir as situações de ensino-aprendizagem de modo a
fomentar a discussão e partilha de ideias.
Balanço do percurso na experiência de formação
Desenvolvimento do conhecimento algébrico e didático. Durante a experiência de
formação, Alice faz um balanço sobre o trabalho que está a desenvolver, revelando
sentir algumas dificuldades por estar a tratar assuntos muito distantes dos que conhece:
Eu sinto que há partes da disciplina em que tenho muito mais
dificuldades, não quer dizer que não goste ou que não concorde com o
método ou outra coisa qualquer, é uma dificuldade que eu tenho, porque
é uma coisa que eu não dou há… Desde o 9.º ano. E há coisas que nem
nunca abordei, nem ouvi falar e depois é mais complicado. (E2)
A dificuldade que Alice identifica não está relacionada com o modo de trabalho nas
aulas mas com o facto de se tratar de tópicos que desconhece, o que reforça a
importância de tratar tópicos de Álgebra que suportam o desenvolvimento do
pensamento algébrico dado que estes formandos não têm uma experiência prévia neste
âmbito. Tal como refere em relação a outras unidades curriculares, Alice diz sentir
dificuldades em compreender as situações no início de qualquer tema, o que ultrapassa
com a continuação do trabalho.
A análise de respostas de alunos a questões envolvendo expressões numéricas abertas,
na experiência de formação, possibilita a Alice uma reflexão sobre o trabalho com
cunho algébrico que se pode desenvolver em diversos temas matemáticos. Refere que,
com essa tarefa, tomou “consciência das dificuldades que muitos alunos apresentam,
inicialmente, ao interpretarem o significado do sinal de igual” (Portefólio-T1). Esta
1- 8
XXII SIEM — 2011
situação alerta-a para as interpretações que um trabalho sistemático com ênfase no
cálculo pode promover nos alunos: “eu não tinha bem a noção que os alunos do 1.º ciclo
ignorassem tanto o significado de equivalência, porque eu pensei que fosse mais
trabalhado e que eles tivessem mais essa noção” (E2). Com esta experiência de
formação percebe a importância de promover nos alunos uma interpretação adequada do
sinal de igual, contribuindo para a compreensão da linguagem algébrica.
Antes desta experiência, Alice desconhecia o trabalho com sequências pictóricas. Na
segunda entrevista, que ocorre após ter trabalhado algumas sequências, identifica esse
trabalho como sendo o que lhe proporcionou uma maior aprendizagem e o que mais
gostou: “Eu gostei muito, eu gostei muito da generalização (…) é engraçado ver como a
partir de uma imagem conseguimos descobrir a imagem número não sei quantos” (E2).
Para obter um termo geral de uma sequência numérica associada a uma sequência
pictórica, indica: “tento encontrar alguma regularidade, normalmente começo sempre
pelo número de ordem. Tem de haver alguma relação com o número de ordem” (E2).
Na análise de um termo procura regularidades na sua estrutura que têm por base a sua
ordem.
Tendo como horizonte a educação pré-escolar, indica as sequências como tópico que
pode tratar neste nível. Na sua perspetiva, o professor deve:
Levar a que eles consigam pensar, ainda que numa coisa simples, porque
não pode ser uma coisa complicada... Eles já têm que pensar, já têm que
experimentar, então já os leva a raciocinar. E eu acho que as sequências,
essas eu já sei que podem ser trabalhadas no pré-escolar, mais que isso,
ainda não sei muito, mas pronto as sequências sim, estou a ver-me a
trabalhar as sequências com os miúdos. (E3)
O bom desempenho que revela neste tipo de situações e a segurança nos seus
conhecimentos neste âmbito permitem-lhe assegurar que pode adequá-las e ao ensino
pré-escolar.
Modo de trabalho na experiência. Alice indica o que considera mais significativo em
relação a este aspecto:
Eu gosto do método, principalmente quando nós trabalhamos muito em
grupo e conseguimos comunicar com as nossas colegas, saber opiniões e
às vezes até elas me explicam a mim, trocamos ideias e eu gosto muito
desse método. O método mais teórico também é necessário, também não
tenho nada contra. Só que eu às vezes sinto-me assim um bocadinho “à
nora”. (E2)
Refere gostar particularmente dos momentos de trabalho em grupo por estes
1- 9
XXII SIEM — 2011
envolverem a partilha de ideias e de conhecimentos matemáticos com os colegas.
Valoriza a possibilidade de poder colocar questões às colegas e serem estas a
esclarecê-las. Mostra-se muito insegura em relação aos seus conhecimentos e diz
desconhecer muitos dos conteúdos abordados. A discussão com as colegas possibilita o
esclarecimento de interpretações e de pequenas questões que não colocaria perante o
grande grupo. Na terceira entrevista diz ter gostado da abordagem seguida porque,
como diz “foi também muito à base de trabalho na sala de aula. Não quer dizer que nós
não aprendamos com a teoria, mas acho que aprendemos muito também em grupo, a
discutir ideias e a tirar conclusões” (E3). Refere não querer menosprezar a
aprendizagem que pode advir de aulas de carácter teórico mas reconhece que a sua
aprendizagem se desenvolve, essencialmente, nos momentos de trabalho em grupo, da
partilha e discussão de ideias e dos momentos de síntese em grande grupo preconizados
nesta experiência de formação.
Alice valoriza as tarefas realizadas na experiência de formação: “Gosto [das tarefas],
apesar de muitas delas serem para mim difíceis, mas gosto e depois com o contacto com
as colegas dá para ir percebendo aqui e ali” (E2). Considera a maioria das tarefas difícil
para realizar individualmente mas o trabalho em interação com as colegas faz com que
não tenha receio e aprecie a sua realização. Muitas das dificuldades que sente nas aulas
devem-se a dificuldades em alguns conhecimentos elementares: “às vezes é mesmo
muito difícil porque eu não tenho bases, mas depois com as minhas colegas lá fui
conseguindo” (E3). O modo de trabalho na experiência de formação possibilita-lhe
envolver-se nas situações propostas, como refere: “já estou à vontade, já troco ideias, já
dou opiniões, o contrário também, e tudo o que seja trabalhos de grupo eu gosto, na aula
ou mesmo sem ser na aula” (E3).
Conclusão
Alice reconhece ter tido muitas dificuldades ao longo do seu percurso escolar e
manifesta-as em relação a conhecimentos matemáticos elementares. Durante a
experiência de formação, contacta pela primeira vez com diversos tópicos. Manifesta
uma evolução bastante positiva no que respeita à análise de expressões numéricas,
revelando o seu pensamento relacional, na generalização de sequências pictóricas e
numéricas e na sua representação em linguagem algébrica. Mostra um melhor
desempenho na resolução de problemas envolvendo quantidades desconhecidas em que
1- 10
XXII SIEM — 2011
usa, essencialmente, estratégias aritméticas que se revelam eficientes para determinar
valores desconhecidos e validar conjeturas por dedução. Com a experiência de
formação, valoriza aspectos transversais para a sua prática letiva futura como a
importância dos momentos de partilha e de discussão, que se revelam também
fundamentais para a sua própria aprendizagem em Álgebra durante a experiência.
Alice assume de um modo claro o seu desejo em frequentar o Mestrado em Educação
Pré-escolar. Ao perspetivar o trabalho em Álgebra na sala de aula, centra-se no nível
pré-escolar, o que reduz a diversidade de aspectos do pensamento algébrico que sugere.
Ainda assim, aponta aspectos fundamentais relativos ao papel do professor na promoção
de situações que envolvem o pensamento algébrico e na dinâmica da sala de aula, com
ênfase para a discussão em grande grupo como situação promotora da partilha e análise
de raciocínios, que advêm da dinâmica e dos aspectos abordados na experiência de
formação.
A evolução de Alice é significativa em diversos tópicos de Álgebra e no seu
conhecimento sobre as situações que visam o pensamento algébrico e o modo como a
abordagem em sala de aula pode potenciar o trabalho dos alunos em questões
algébricas. Indica que a dinâmica da experiência de formação, promovendo a partilha de
estratégias entre os formandos com ênfase nos seus raciocínios e na justificação com
base em definições e propriedades matemáticas, teve um papel importante na sua
aprendizagem, evidenciando a importância deles contactarem com o modo como podem
ensinar os seus alunos (Ponte & Chapman, 2008). A análise de situações de ensinoaprendizagem nos primeiros anos contribui também para que compreenda o ensino da
Álgebra e perspetive situações conducentes ao desenvolvimento do pensamento
algébrico dos alunos, um aspecto importante do papel do professor (Canavarro, 2007).
A realização de tarefas de natureza exploratória, que envolvem a análise de situações de
ensino-aprendizagem e promovem a discussão e partilha de ideias e conclusões entre os
formandos, contribui para a aprendizagem de Alice no âmbito de tópicos que em muitos
casos desconhecia, bem como para a aprendizagem de aspectos transversais sobre a
dinâmica das aulas, perspetivando a natureza do trabalho a desenvolver com os alunos
para promover o seu pensamento algébrico.
Referências
Blanton, M., & Kaput, J. (2005). Characterizing a classroom practice that promotes algebraic
reasoning. Journal for Research in Mathematics Education, 36(5), 412- 446.
1- 11
XXII SIEM — 2011
Canavarro, A. P. (2007). O pensamento algébrico na aprendizagem da Matemática nos
primeiros anos. Quadrante, 16(2), 81-118.
Carraher, D., & Schliemann, A. (2007). Early algebra and algebraic reasoning. In F. Lester
(Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 669705). Charlotte, USA: NCTM e IAP.
Doerr, H. (2004). Teachers’ knowledge and the teaching of algebra. In K. Stacey, H. Chick &
M. Kendal (Eds.), The future of the teaching and learning of algebra: The 12th ICMI
Study (pp. 265-290). Norwell: Klumer.
Kaput, J. (2008). What is Algebra? What is algebraic reasoning?. In J. Kaput, D. Carraher & M.
Blanton (Eds.), Algebra in the early grades (pp. 5-17). Mahwah, NJ: Lawrence
Erlbaum.
Kaput, J. & Blanton, M. (2001). Kaput, J., & Blanton, M. (2001). Algebrafying the elementary
mathematics experience. Part 1: Transforming task structures. In H. Chick, K. Stacey,
J. Vincent, & J. Vincent (Eds.), Proceedings of the 12th ICMI: The Future of the
Teaching and Learning of Algebra (Vol. 1, pp. 344–351). Melbourne: The University
of Melbourne.
Ponte, J. P., & Chapman, O. (2008). Preservice mathematics teachers' knowledge and
development. In L. English (Ed.), Handbook of international research in mathematics
education (2nd ed., pp. 225-263). New York, NY: Routledge.
1- 12
XXII SIEM — 2011