CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 10 (01 E 02): 07-17, 2012
CONSIDERAÇÕES SOBRE O ALCANCE NO LANÇAMENTO
OBLÍQUO
CONSIDERATIONS ON THE RANGE IN THE OBLIQUE LAUNCHING OF PROJECTILES
Huemerson Maceti; Celso Luis Levada; Ivan José Lautenschleguer
Grupo de Estudos em Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias
Centro Universitário Hermínio Ometto – UNIARARAS – 13607-339 / Araras (SP) - Brasil
O assunto “Lançamento Oblíquo de Projéteis” é bastante rico, tanto do ponto de vista do ensino como da pesquisa,
pois aparece numa série de situações práticas. A intenção deste trabalho é abordar situações interessantes
relacionadas ao alcance dos objetos ainda pouco trabalhadas na física do ensino médio. Na literatura sobre o assunto
encontra-se, por exemplo, PEREIRA e BONFIM (2008) que fazem um tratamento matemático rigoroso sobre o
assunto e comentam sobre as mudanças qualitativas ocorridas no movimento e na região de segurança. Cabe ainda
ressaltar que, será feita uma consideração da resistência do ar devido, por exemplo, a presença de ventos. Neste caso,
de maneira geral, surgem algumas dificuldades que sugerem e promovem a utilização de recursos computacionais,
muito embora no presente estudo, a força de resistência do ar será considerada constante, para simplificações.
Palavras-Chave: Lançamento Oblíquo de Projéteis; Resistência do Ar; Parábola de Segurança
The subject “Oblique Launching of Projectiles” is very rich, both in terms of education and research, as it appears in
a number of practical situations. The intention of this paper is to analyze interesting situations related to the
achievement of objects seldom considered in high school physics. PEREIRA and BONFIM (2008) make a rigorous
mathematical treatment of the subject and comment on the qualitative changes occurring in the movement and in the
security region. It should also be noted that there will be a consideration about the air resistance due to the presence
of wind. In this case, in general, there are some difficulties that suggest and promote the use of computational
resources, although in the present study, the air resistance force is admitted constant for simplification.
Keywords: Oblique Launching of Projectiles; Air Resistance; Security Parable
LANÇAMENTO OBLÍQUO SEM RESISTÊNCIA DO AR
Embora o caso do lançamento oblíquo sem resistência do ar seja um tema bastante estudado,
faremos uma recapitulação deste tipo de movimento tanto para efeito de comparações com o caso no qual
se leva em conta esta resistência, quanto para fixar notação. Se um objeto possui um movimento
composto, cada um deles se realiza como se o outro não existisse (princípio da independência dos
movimentos simultâneos). Com base nesse princípio, podemos afirmar que, o movimento que se realiza
na vertical não tem nenhuma influência sobre o deslocamento horizontal. Podemos analisar o lançamento
horizontal a certa altura, decompondo-o ao longo de um eixo horizontal e de outro vertical. A
componente horizontal da velocidade permanece constante ao longo do movimento e a vertical é nula no
momento do lançamento e aumenta, aproximadamente, 10 m/s a cada segundo. Somando vetorialmente
essas duas componentes, obtemos o vetor velocidade em qualquer instante (SERWAY. e JEWEET,
2006).
O valor correspondente à A (alcance) traduz o deslocamento de um objeto que se movimenta ao
longo do eixo horizontal, cujo módulo de velocidade é constante. Trata-se, portanto, de um movimento
retilíneo uniforme (MRU), onde podemos escrever: d = v t. O deslocamento na horizontal representa o
alcance (d = A).
É possível também considerar um lançamento oblíquo como sendo equivalente a dois movimentos
simultâneos e independentes. O estudo desse tipo de movimento foi de fundamental importância para o
desenvolvimento da balística, uma vez que o alcance definia o acerto ou erro de um alvo. Suponha que
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Maceti, Levada e Lautenschleguer
CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 10, (01 E 02): 07-17, 2012
um projétil de massa m seja lançado a partir do solo com uma velocidade inicial v0, que faz um ângulo de
θ radianos com a horizontal.
Seguem as equações presentes nos livros didáticos como, por exemplo, Sears e Zemansky (2003),
que são deduzidas a partir da segunda lei de Newton e expressam o comportamento da posição do corpo
na horizontal (eixo x) e na vertical (eixo y) com o passar do tempo (considerando-se a origem do sistema
ortogonal xy coincidindo com o ponto de lançamento, o eixo vertical Oy orientado para cima e o eixo
horizontal Ox orientado para a direita).
O movimento na direção do eixo x, no lançamento oblíquo, é uniforme, pois a velocidade é
constante. Portanto, a função horária do movimento horizontal é (onde vx = v0x = v0 cosθ):
=
A distância horizontal percorrida pelo corpo desde o instante de lançamento até o instante em que
retorna ao nível de lançamento é denominado alcance. Podemos determinar o alcance pela equação:
=
2
Notemos que o alcance é uma função de v0, θ e g. Se, por exemplo, considerarmos v0 e g como
constantes, então o alcance só dependerá do ângulo de elevação θ:
Figura 1: Variação do alcance horizontal (A) com o ângulo de elevação (θ).
Segundo Alvarenga e Máximo (2000), o movimento vertical está sob a ação da gravidade
uniforme, isso implica que o movimento é uniformemente variado e a velocidade vy diminui à medida que
a altura em relação ao solo aumenta. A função horária do espaço é dada por (onde v0y = v0 senθ):
=
−
São válidas também as expressões:
=
2
−
=
−2
A altura máxima pode ser calculada usando a equação:
=
2
SALTO EM DISTÂNCIA
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CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 10, (01 E 02): 07-17, 2012
Considerações sobre o alcance...
O salto em distância tem sido objeto de diversos estudos na área da biomecânica do esporte na
literatura internacional. Os eventos de saltos no atletismo são: o salto em distância, o salto triplo, o salto
em altura e o salto com vara; sendo o objetivo dos atletas que participam destas provas representado pelo
deslocamento máximo do centro de gravidade (CG) em uma dada direção.
O tempo total correspondendo a duas vezes o valor do tempo de subida será expresso por:
=
2
Substituindo o tempo total na equação para a posição do corpo na direção horizontal que é dada
por x(t) = x0 + v0 cosθ t , temos:
=
(2 )
+
Linthome (2005) indica que o trecho que mais influencia o resultado final do salto é a distância de
vôo do CG. A distância de vôo é determinada pela velocidade, ângulo de projeção e altura relativa do CG
no instante da partida. O conhecimento destas variáveis torna-se imprescindível para a análise
quantitativa do salto em distância. Uma vez livre no ar, desprezando-se a resistência deste, não há nada
que se possa fazer para modificar a trajetória do CG. Considerando-se θ = 22 graus, v0 = 10 m/s, g = 9,8
m/s2 e levando-se em conta que o centro de gravidade estava à frente da tábua de salto com x0 = 0,2 m, o
alcance do salto do salto seria de 7,3 m.
Seja outro exemplo onde consideraremos o cálculo do alcance de um atleta que realiza um salto
em distância com velocidade inicial v0 formando com o plano horizontal um ângulo θ, tal que tgθ = 0,4.
Imaginemos que, durante o salto, o centro de gravidade do atleta teve sua altura variando de 1 m no
início, atingindo o máximo de 1,8 m e terminando com 0,3 m no fim do salto. Suponhamos que a
resistência do ar seja desprezível e adotamos g = 10 m/s2.
Observemos que, nesse caso, o nível de lançamento no instante inicial do salto não coincide com o
nível de lançamento no instante final do salto.
Considerando o movimento de subida, calculemos o módulo da componente vertical da velocidade
inicial:
=
−2 ( −
)
− 2.10. (1,8 − 1) →
0 =
= 4#/
Calculemos o tempo total de permanência do atleta no ar:
=
+
−
0,3 = 1 + 4 − 5
2
→ = 0,95
Levando-se em conta a informação sobre o ângulo de inclinação do salto:
=
4
→ 0,4 =
→
= 10#/
Uma vez que o movimento horizontal é uniforme:
=
→
= 10. 0,95 = 9,5#
Portanto, concluímos que o salto do atleta atingiu um alcance de 9,5 m.
Outro fator importante no cálculo do alcance do atleta foi exemplificado em um problema de física
da FUVEST, no ano de 2009:
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2012
O salto que conferiu a medalha
medalha de ouro a uma atleta brasileira, na Olimpíada de 2008, está
representado no esquema ao lado, reconstruído a partir de fotografias múltiplas. Nessa representação,
está indicada, também, em linha tracejada, a trajetória do centro de massa da atleta (CM).
Utilizando a escala estabelecida pelo comprimento do salto, de 7,04 m, é possível estimar que o
centro de massa da atleta atingiu uma altura máxima de 1,25 m (acima de sua altura inicial), e que isso
ocorreu a uma distância de 3,0 m, na horizontal, a partir
partir do início do salto, como indicado na figura.
Considerando essas informações, estime:
Figura 2: Esquema do Salto em Altura.
Desconsidere os efeitos da resistência do ar.
a) O intervalo de tempo t1, em s, entre o instante do início do salto e o instante em que o centro de
massa da atleta atingiu sua altura máxima.
máxima
b) A velocidade horizontal média, VH, em m/s, da atleta durante o salto.
c) O intervalo de tempo t2 em s, entre o instante em que a atleta atingiu sua altura máxima e o
instante final do salto. Desconsidere os efeitos da resistência do ar.
Neste problema, podemos notar que o ponto de altura máxima não se encontra na metade do
alcance máximo horizontal. Isso, porque houve uma variação do centro de massa da atleta ao longo
l
do
salto. A atleta pula em pé, mas cai sentada. Dessa forma, o centro de massa percorre uma altura maior em
relação ao solo, demorando mais tempo para tocar o solo. Como a velocidade horizontal da atleta é
constante, durante um tempo maior de vôo, ela percorre uma maior distância horizontal.
LANÇAMENT OBLÍQUO COM RESISTÊNCIA DO AR
LANÇAMENTO
Consideremos neste ponto um corpo de massa m sendo lançado com velocidade inicial v0
formando com o plano horizontal um ângulo θ , num local onde o módulo
ódulo da aceleração da gravidade
vale g. Suponhamos que o vento atue de forma sempre contrária sobre o corpo durante todo o tempo (ou
seja, atue em sentido contrário ao do eixo Ox), com uma força R horizontal e constante.
Uma vez que a força R é horizontal, apenas o movimento na direção horizontal Ox será afetado.
Sendo R constante, na direção Ox o corpo realizará um movimento uniformemente variado, cujo alcance
será dado por:
10
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=
−
Considerações sobre o alcance...
(
2
Lembrando-se de que v0x = v0 cosθ e a = R/m, pode-se reescrever a expressão do alcance como:
=
)*
−
+
2#
Na vertical, o movimento do corpo também será uniformemente variado, com aceleração de
magnitude g. Assim, o tempo total de permanência no ar será expresso como:
=
2
Substituindo essa expressão do tempo total na expressão do alcance, obtém-se:
=
2 ,1 −
+
#
-
Notemos, em relação ao caso da não existência da resistência do ar, que houve uma redução no
alcance e que ele depende também agora da massa do corpo e da influência do vento.
Figura 3: Trajetórias de Projéteis sujeitos à resistência do ar (fonte:
http://omnis.if.ufrj.br/~jtmn/fiscomp982/proj.jpeg, acessado em 08/02/2012).
CASO EM QUE O ALCANCE É AUMENTADO
Consideremos o exemplo de um atleta de massa 70 kg carregando um objeto de 10 kg, que efetua
um salto de inclinação 60° em relação ao plano horizontal com velocidade inicial de módulo igual a 10
m/s. Ao atingir a altura máxima, lança horizontalmente para trás o objeto com velocidade de módulo igual
a 3 m/s em relação ao centro de massa do sistema constituído por ele próprio mais o objeto. Adotaremos
g=10 m/s2 e desprezaremos a resistência do ar.
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Levando-se em conta que o vetor aceleração da gravidade g é o mesmo em todos os pontos do
sistema, então podemos considerar o centro de gravidade como coincidindo com o centro de massa,
portanto os conceitos de centro de gravidade e centro de massa são equivalentes.
Calculemos o tempo de subida que coincide com o tempo de descida:
=
0 = 10
60° − 10
− ./01
./01
→
./01
Portanto o tempo de descida será também expresso por:
=
√3
2
√3
2
O alcance do atleta durante o movimento de descida, caso ele não tivesse abandonado o objeto,
=
14 501
seria:
=
→
14 501
= 10)* 60°
√3
= 2,5√3#
2
Por outro lado, a velocidade do objeto em relação ao solo (vobjeto/solo), quando o mesmo é
arremessado para trás é expressa pela soma vetorial:
6789:;7/<7=7 = 6789:;7/>:?;@7A:BC<<C + 6>:?;@7A:BC<<C/<7=7
onde vobjeto/centrodemassa denota a velocidade do objeto em relação ao centro de massa e vcentrodemassa/solo
representa a velocidade do centro de massa em relação ao solo.
Uma vez que essas velocidades estão na direção horizontal e considerando-se que vcentrodemassa/solo
possui direção horizontal, sentido para a direita e módulo dado por v0x = vx = v0 cosθ = 10 cos60° = 5
m/s, temos que:
/D4
/
=-3+5=2 m/s
Impondo a conservação da componente horizontal da quantidade de movimento do sistema
formado pelo atleta e objeto em relação ao solo no instante imediatamente antes do arremesso e no
instante imediatamente depois do arremesso:
EC?;:< = EA:F7G<
(70 + 10)5 = 70 + 10.2 →
= 5,4#/
onde v representa o módulo da velocidade do atleta imediatamente após ele ter arremessado o objeto para
trás.
Nesse caso, o alcance do atleta durante o movimento de descida será:
′
= 14 501
→
′
= 5,4
√3
= 2,7√3#
2
Assim, concluímos que o acréscimo do alcance conseguido pelo atleta será:
′
−
= 2,7√3 − 2,5√3 = 0,2√3 = 34,6)#
PROBLEMAS ONDE O ÂNGULO DE LANÇAMENTO NÃO É OFERECIDO
Em alguns problemas, o ângulo de lançamento, bem como a altura máxima e o alcance não são
fornecidos, como é o caso do exemplo abaixo:
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Considerações sobre o alcance...
Após um terrível acidente envolvendo um avião de passageiros, um bombeiro deseja apagar um
incêndio de um prédio de 15 andares. Devido às proporções do incêndio, o carro não pode se aproximar
mais de 10 m da base do prédio. Sabendo que a mangueira lança o jato d água com velocidade não
superior a 20 m/s, qual a maior altura que o jato d’água atingirá ao longo do prédio? Dado: g = 10
m/s2
Para a resolução da questão, separamos, primeiramente, o problema em dois eixos distintos, como
é a abordagem mais clássica do problema, exemplificada na Figura 4.
Figura 4: Separação do problema de lançamento oblíquo em dois eixos distintos.
IJKLM(N. O. ) → P = Q* . → 10 = Q* . → ; =
IJKLV(N. O. W. ) → X = Q* . −
Q*
500
= 10. ,
-−,
-→
Q*
Q* Y
= 10. tan − ,
=10.tan − (
a, b
5
Yc
)
2
→
= Q* . ,
RS
T7U
10
10 100
-−
,
Q*
2 Q* Y
Q* sin
500
= 10. ,
-−,
Q* cos
Q* )*
500
20 )*
-→
= 10. tan − ,
500
400)*
-
Utilizando as identidades trigonométricas:
(
+1=
)
e
)
=
5
a
Yc
e as substituindo na equação acima, obtemos:
= 10 tan − 1,25 )
= 10 tan − 1,25(1 + (
)→
= 10 tan − 1,25−1,25. (
H = -1,25 tan²θ + 10 tanθ – 1,25
Resolvendo essa equação de 2o Grau:
∆= 8e − fC>
∆= (RS)e − f. (−R, eg). (−R, eg)
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∆= RSS − h, eg
lC@CmBáU
Am
An
∆= ij, kg
=S
ou moáUpq∆
(Vértice)
fC
mBáU =
−ij, kg
−ij, kg
→
f. (−R, eg)
−g
mBáU = Rr, kgB
sátuvtLwLâxyvtLz:
H = -1,25 tan²θ + 10 tanθ – 1,25
18,25 = −1,25. (
20 = −1,25. (
−1,25. (
+ 10 tan − 1,25
+ 10 tan + 10 tan − 20 = 0
∆= { − 4()
∆= 10 − 4(−1,25). (−20)
∆= 0
−{ ± √∆
2(
−10
=
2(−1,25)
(
=
(
(
(
=
−10
−2,5
= 4 → θ = arctan(4)
= 75,9 n ≅ kh7
Assim, para
Vo = 20 m/s e D = 10 m
temos:
z = khS → •€áK = Rr, kg€
Nota-se que essa abordagem requer enorme quantidade de manuseio algébrico, o que pode
dificultar a resolução do exercício por alunos do Ensino Médio. Seria possível uma abordagem distinta?
Para resolver esse problema de maneira distinta, podemos utilizar um recurso pouco utilizado nos
materiais didáticos, mas que pode ser precioso na análise de problemas como este – A Parábola de
Segurança.
A PARÁBOLA DE SEGURANÇA
Analisemos, agora, o lançamento de projéteis com velocidade fixa e ângulos de lançamento
variáveis, como é o caso da mangueira de incêndios dos bombeiros e dos canhões de artilharia. Para esses
casos, encontraremos a Figura 5.
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Considerações sobre o alcance...
Figura 5: Trajetórias de Projéteis com diferentes ângulos de lançamento.
Podemos observar que existe uma região limite, de forma que um alvo fora dessa região jamais
seria atingido, ou seja, uma região de segurança. Essa região é uma parábola, chamada de parábola de
segurança, e é extremamente útil em problemas de artilharia e implosões de edifícios e pontes.
Figura 6: Parábola de Segurança.
Se desejarmos lançar um projétil para atingir determinado ponto, podemos realizar infinitas
combinações de Vo e θ. Todavia, a equação da “Parábola de Segurança” determina a menor velocidade de
lançamento a fim de que se consiga esse feito.
DEDUZINDO A EQUAÇÃO DA PARÁBOLA DE SEGURANÇA
Uma parábola é descrita pela equação de segundo grau: y = ax²+bx+ c. Para encontramos os
parâmetros dessa equação, precisamos de alguns pontos importantes:
Para obtermos o máximo alcance horizontal (XMÁX), temos que lançar o projétil com 45°, obtendo:
P•á =
Q*
→ X = 0
Por simetria, temos:
P•á =
−Q*
15
→ X = 0
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Para obtermos a máxima altura (YMÁX), temos que lançar o projétil com 90°, obtendo:
X•á =
Q*
→ P = 0
2
Aplicando as condições iniciais (i, ii e iii) na equação geral da parábola, temos:
Q*
T7e
= (0 + {0 + ) → > =
2
e‚
Pela simetria da parábola em relação ao eixo 0y, temos que b= 0. Aplicando a condição (i), temos:
0 = ((
Q*
) + 0(
Q*
) +(
Q*
‚
) → C = −
2
eT7e
Assim, encontramos os parâmetros:
C=−
‚
T7e
;
8
=
S
>
=
eT7e
e‚
Substituindo esses parâmetros na equação da parábola (Y = ax²+bx+c), encontramos a equação da
“Parábola de Segurança”, dada por:
„=−
‚
T7e
…e +
e
e‚
eT7
Retornando ao problema anterior, no caso do trágico acidente aéreo, aplicando a “Parábola de
Segurança”, temos:
ℎ=−
20
10
. 10 +
2.10
2. 20
ℎ = −1,25 + 20
‡ = Rr, kgB
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O lançamento oblíquo, além de possuir inúmeras aplicações práticas, também fornece subsídios
para o entendimento de muitos outros tópicos da física do ensino médio tais como: movimento uniforme,
movimento uniformemente variado, composição de movimentos, princípio da independência de
movimentos simultâneos, princípio da conservação da energia mecânica, princípio da conservação da
quantidade de movimento, conceito de centro de gravidade etc.
Esse tópico também pode ser explorado em estudo que não se limita ao do ensino médio bastando,
por exemplo, considerarmos forças não constantes agindo sobre o corpo. Nesse sentido, também
poderíamos considerar movimento de rotação associado ao movimento de translação no caso de corpos
extensos.
A distância horizontal percorrida pelo corpo desde o instante de lançamento até o instante em que
retorna ao nível de lançamento é denominado alcance. Nesse trabalho foi considerado e generalizado o
conceito de alcance até mesmo quando os níveis de lançamento não coincidiam nos instantes inicial e
final, situação essa pouca explorada no ensino médio.
O tema proposto também poderia ser considerado no ensino médio como tendo caráter
interdisciplinar, pois poderia ser explorado na disciplina de História (conceito de balística utilizado na
Primeira e Segunda Guerra Mundiais, Guerra Fria entre Estados Unidos e a extinta União Soviética
baseada na ameaça da soltura de mísseis intercontinentais), Matemática (quando se consideram as
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Considerações sobre o alcance...
expressões do alcance e da altura máxima como exemplos de funções), Biologia (locomoção dos animais)
etc.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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LINTHOME, N.P. Optimum angles of projection in the throws and jumps, in International Society of
Biomechanics
in
Sports,
disponível
http://people.brunel.ac.uk/~spstnpl/BiomechanicsAthletics/LJOptimumAnglehtm,
em
acessado
em
10/01/2012
TAIT, P. G. - Some Points in the Physics of Golf – Nature nº 1087, vol.42 – 1890
HALLIDAY, RESNICK, WALKER; Fundamentos da Física, Vol. 1, 8ª Edição, LTC, 2009.
TIPLER, Física, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009.
SERWAY,R.A. e JEWEET, J.W Princípios de Física, 1ª Edição, Vol 1, Ed. Thomson Pioneira , 2006.
SEARS,F.W. e ZEMANSKY,M.W. Física, Vol 1,10ª Edição, Pearson, 2003.
PEREIRA, L.R. e BONFIM,V. - Regiões de segurança em lançamento de projéteis - Rev. Bras. Ensino
Fís. vol.30 no.3 São Paulo July/Sept. 2008
Simulações Computacionais (UFRJ) - http://omnis.if.ufrj.br/~jtmn/fiscomp982/proj.jpeg, acessado em
08/02/2012.
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