PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO, PESQUISA E EXTENSÃO
ÁREA DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS
Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática
GLAUCIA GARCIA BANDEIRA DE VARGAS
A METODOLOGIA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E O
ENSINO DE ESTATÍSTICA NO NONO ANO DO ENSINO
FUNDAMENTAL
Santa Maria, RS
2013
GLAUCIA GARCIA BANDEIRA DE VARGAS
A METODOLOGIA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E O
ENSINO DE ESTATÍSTICA NO NONO ANO DO ENSINO
FUNDAMENTAL
Dissertação apresentada ao Curso de
Mestrado Profissionalizante em Ensino
de Física e de Matemática do Centro
Universitário Franciscano de Santa
Maria como requisito parcial para
obtenção do título de mestre em Ensino
de Matemática.
Orientador (a): Profª. Dra. Eleni Bisognin
Santa Maria, RS
2013
2
3
Dedico este trabalho a todos que
fazem parte da minha vida,
mas em especial aos
meus filhos
Bruno e Mateus.
4
AGRADECIMENTOS
Agradeço a minha orientadora, professora doutora Eleni Bisognin, pela
orientação, compromisso e apoio durante a realização deste trabalho.
Aos meus pais e familiares, pelo incentivo.
Agradeço ao Nilson Vargas, a Zuleica Bandeira e a Erilúcia Souza pela ajuda
nos momentos em que precisei.
A professora Maria Cleuza por disponibilizar uma turma para a realização desta
pesquisa.
Aos alunos que colaboraram diretamente com esta pesquisa.
5
RESUMO
Este estudo, desenvolvido no Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de
Matemática do Centro Universitário Franciscano – UNIFRA, tem por objetivo
investigar a contribuição da Metodologia de Resolução de Problemas no ensino de
Estatística para alunos do nono ano do Ensino Fundamental. O ponto de partida é a
constatação de que a Estatística costuma ser colocada em segundo plano em sala de
aula, embora seja recomendada pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), além
de ser comprovadamente eficaz como ferramenta de compreensão da realidade,
desenvolvimento do espírito crítico e cidadão e, ainda, tenha um papel interdisciplinar.
A pesquisa, desenvolvida com alunos do nono ano de uma escola pública de Santa
Maria (RS), utilizou a metodologia de pesquisa de abordagem qualitativa e a
Metodologia de Ensino de Resolução de Problemas proposta por Onuchic e Allevato
(2009). Em seis encontros de duas horas cada foram trabalhados os conceitos de tabelas,
gráficos e medidas de tendência central (média, moda e mediana), a partir de problemas
aplicados com base em nove passos definidos pelas autoras. A matéria-prima dos
problemas foram dados socioeconômicos das famílias dos próprios alunos, obtidos a
partir de um questionário inspirado no Censo 2010 do Instituto Brasileiro de Geografia
e Estatística (IBGE). Dessa forma, objetivou-se aplicar conhecimentos estatísticos à
realidade dos alunos. O desenvolvimento do trabalho confirmou a premissa de que a
Estatística é pouco valorizada ao longo do Ensino Fundamental, já que no ano final
desta fase os alunos demonstraram dificuldades elementares em tarefas como ler dados
estatísticos, construir gráficos a partir de tabelas e elaborar conclusões e comparações
de dados expostos estatisticamente. Este desconhecimento, causado pela ausência do
tema dos programas de aula, em parte é compensada pelo fato de a estatística estar
muito presente no dia a dia dos alunos, pela imprensa e outros segmentos sociais.
Graças a isso, foi possível consolidar junto com os alunos conhecimentos sobre
conceitos básicos, capacidade de leitura de dados, de construção de gráficos e de
entendimento de conceitos estatísticos. Este ponto de partida se revelou, ao longo do
trabalho, uma base sobre a qual é possível construir um conhecimento mais elaborado.
Contribuíram neste sentido dois fatores: 1) a utilização da metodologia de resolução de
problemas aplicada à estatística, gerando um ambiente de curiosidade de parte dos
alunos que se sentiram desafiados a superar os obstáculos propostos nos problemas; 2) a
adoção de matéria-prima extraída da realidade dos alunos (respostas de questionário
com dados socioeconômicos de suas famílias e dados oficiais do Censo 2010) para
construir as situações-problema que deram base ao desenvolvimento do trabalho. Ao
final dos encontros, foi possível identificar que os alunos evoluíram no conhecimento
sobre Estatística, apropriaram-se de conceitos e perceberam o inestimável valor deles
como ferramenta de leitura e compreensão da realidade, o que é um ponto de partida
decisivo para a adoção de uma postura que busque transformações sociais e econômicas
positivas na vida dos alunos e de seus familiares.
Palavra-chave: Ensino de Estatística. Resolução de Problemas. Medidas de Tendência
Central.
6
ABSTRACT
This paper, developed in the Physics and Mathematics Master‟s degree at Centro
Universitário Franciscano – UNIFRA, has the objective of investigating the
Methodology of Problem-solving in the Statistics teaching for the students at the ninth
grade of the elementary school. The starting point is the certification that Statistics is
normally put in second place in a classroom, despite being recommended by the
National Curricular Parameters (PCNs). Besides that, it has been proved effective as a
tool of reality comprehension, critical spirit development and, also, having an
interdisciplinary role. The research, developed with the students at the ninth grade of a
public school in Santa Maria, RS, Brazil, used the methodology of qualitative approach
and the Problem-solving method proposed by Onuchic e Allevato (2009). In six
meetings of two hours each, some charts concepts, graphics and Measures of central
tendency (mean, median and mode) were used from the applied problems based in nine
steps defined by the authors. The raw-material of the problems were socioeconomic
data of the students‟ family obtained from a questionnaire inspired in 2010 Census of
the Brazilian Institute of Geography and Statistics (IBGE). This way, it was aimed to
apply statistical knowledge to the students‟ reality. The work development confirmed
the premise that the statistics is not appreciated during the elementary school, as at the
last year of this phase, the students show elementary difficulties in tasks like reading
statistical data, creating graphics from charts and elaborate conclusions and
comparisons of data statistically exposed. This unawareness, caused by the absence of
the subject in the class program, is partly compensated by the fact of statistics being
present in the students‟ routine, by the press and other social segment. Fortunately, it
was possible to consolidate with the students some knowledge about basic concepts,
capacity of data reading and charts construction and also statistical concept
understanding. This start point has shown, during this work, a base which it is possible
to construct a more elaborated knowledge. In this sense, two factors contributed: 1) the
application of problem-solving methodology for statistics, creating an environment of
curiosity for some students, who felt challenged to overcome the obstacles proposed in
the problems; 2) the adoption of raw material excerpted from the students‟ reality
(questionnaire responses with socioeconomics data from their families and Census 2010
official figures) to construct the problem-situations which were the base to the work
development. At the end of the meetings, it was possible to identify that the students
had a progress in their knowledge about statistics, borrow some concepts and realized
how valuable those concepts were as a tool of reading and reality comprehension, which
is a crucial start point for the adoption of an attitude that seeks social and economics
transformations which can be positive in the lives of the students and their families.
Key words: teaching statistical, Problem-solving, measures of central tendency.
7
SUMÁRIO
1
INTRODUÇÃO.........................................................................................................
2
REFERENCIAL TEÓRICO........... ........................................................................
2.1 Estatística....................................................................................................................
2.2 Resolução de Problemas.............................................................................................
2.3 Leitura e Interpretação de tabelas e gráficos..............................................................
2.4 Medidas de Tendência Central................................................................................
2.5 Revisão de Literatura..............................................................................................
3
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS...........................................................
3.1 Problemas de Pesquisa................................................................................................
3.2 Questão de Pesquisa....................................................................................................
3.3 Objetivo Geral.............................................................................................................
3.4 Objetivos Específicos..................................................................................................
3.5 Metodologia da Pesquisa............................................................................................
3.6 Metodologia de Ensino...............................................................................................
3.7 Instrumento de Pesquisa ............................................................................................
3.8 Participantes da Pesquisa ...........................................................................................
4
ANÁLISES DE DADOS ..........................................................................................
5
CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................................
REFERÊNCIAS..................................................................................................................
APÊNDICES .....................................................................................................................
APÊNDICE A - QUESTIONÁRIO ..................................................................................
APÊNDICE B - ATIVIDADES DESENVOLVIDAS ......................................................
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8
1 INTRODUÇÃO
Este trabalho tem como objetivo analisar a eficácia da Metodologia de
Resolução de Problemas no ensino de Estatística para alunos do nono ano do Ensino
Fundamental. Ao longo de 20 anos atuando como professora do Ensino Fundamental,
percebi que não é incomum professores tratarem conteúdos de Estatística apenas de
forma superficial ou nem mesmo incluí-los nas suas aulas, embora os Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCNs) estimulam o tratamento dos conteúdos de Estatística por
considerá-la uma ferramenta de inclusão dos alunos na realidade e de exercício de
cidadania.
Diante dessa situação contraditória, considero importante que se pesquise formas
de estimular e qualificar as aulas de Estatística no Ensino Fundamental.
O trabalho se concentrou no estudo da elaboração e interpretação de tabelas e
gráficos e também nos conceitos de média, mediana e moda.
Na intenção de unir Estatística com leitura da realidade, foram utilizados dados
do Censo 2010 para desenvolver atividades levadas a alunos do nono ano de uma
Escola Estadual de Ensino Fundamental do município de Santa Maria. O censo é a
fotografia mais ampla, aprofundada e fiel da realidade social e econômica do país.
Oferece dados que podem ser trabalhados diretamente ou inspirar os professores na
elaboração de atividades para os alunos.
O primeiro passo do trabalho foi aplicar aos alunos um questionário baseado no
Censo 2010, buscando dados estatísticos sobre as suas famílias. Os dados foram
tabulados pela pesquisadora, que os utilizou para elaborar as situações-problemas
propostas aos alunos nos encontros que trataram dos conceitos estatísticos.
A Metodologia da Resolução de Problemas, de Onuchic e Allevato (2009), foi
utilizada para o desenvolvimento das atividades em sala de aula. Esta metodologia foi
concebida considerando-se sólidos conhecimentos teóricos e projetos práticos em sala
de aula. As autoras defendem que o problema é ponto de partida para se alcançar o
conhecimento, e posiciona o professor como guia e o aluno como co-construtor nos
processos de ensino-aprendizagem.
A Metodologia conta com nove etapas, que foram obedecidas neste trabalho na
aplicação de situações-problemas em sala de aula.
9
No desenvolvimento do trabalho, à medida que os alunos se apropriavam dos
conhecimentos, eram feitas algumas pontes com a realidade na discussão de assuntos
tratados nos problemas, como escolaridade, faixa de renda e posse de bens. A intenção
foi demonstrar aos alunos que Estatística está ligada à realidade.
Após esta introdução, o Capítulo 2 traz o Referencial Teórico, dividido em
conteúdos sobre Estatística, Resolução de Problemas, tabelas e gráficos, além de
Medidas de Tendência Central (moda, média e mediana). Também neste capítulo, são
apresentados resumos de dissertações que tratam de temas relacionados a pesquisa. A
seguir, o Capítulo 3, dos Procedimentos Metodológicos, explica pontos importantes do
projeto, como o problema de pesquisa, os objetivos e a metodologia da pesquisa e do
ensino.
No Capítulo 4 são feitas as análises dos resultados obtidos a luz do referencial
teórico. Por último são apresentadas as considerações sobre o trabalho realizado.
10
2 REFERENCIAL TEÓRICO
2.1 ESTATÍSTICA
Zeni e Faria (2006) salientam que a Estatística surgiu da necessidade do ser
humano em quantificar o que tem e o que quer conquistar. Os autores afirmam que, no
século XVI, os povos pesquisavam número de habitantes, nascimentos, mortes e outras
grandezas demográficas e econômicas. Ao mesmo tempo, estimavam riquezas de
pessoas e grupos a partir de informações como áreas de terra. Os governos definiam as
quantidades de suprimentos que repartiriam e de impostos que cobrariam.
Na sua origem, a Estatística era uma espécie de ferramenta de gestão do Estado,
que usava registros de população, riquezas e outros para tomar decisões de natureza
política, econômica e social (CAZORLA, KATAOKA e SILVA, 2010, p. 19).
Bem antes disso, de acordo com Lopes (1998), em 3.000 a. C. já eram realizados
censos na Babilônia, China e Egito. Segundo a mesma autora, os registros dessa época
mostram que o rei chinês Yao mandou fazer uma verdadeira estatística agrícola e um
levantamento comercial do país. Na Idade Média, definições de diretrizes sobre
impostos e armamentos passaram a se valer deste ramo da Matemática. (CRESPO,
2009, p.1). O mesmo autor relata que, a partir do século XVI, surgem as primeiras
análises sistemáticas de fatos sociais, como batizados, casamento, funerais, originando
as primeiras tábuas, tabelas e números relativos. No século XVIII, o estudo destes fatos
se torna, aos poucos, científico, sendo a nova ciência ou método chamada de Estatística
por Godofredo Achenwall, que determinou seus objetivos e relações com as demais
ciências.
No século XIX, segundo Souza (2006,p. 14), novo impulso à Estatística como
ferramenta de leitura de fenômenos sociais foi dado pelo belga Quetelet, organizador da
primeira conferência mundial de Estatística e articulador de um observatório em
Bruxelas, que trabalhava com dados estatísticos, geográficos e meteorológicos,
avaliando fenômenos como criminalidade e divisão por classes, que moldariam o
conceito do chamado “homem médio”.
Entre os séculos XVI e XVIII, acontece a união entre Estatística e Probabilidade
em estudos de autores como Pierre Simon Marquis de Laplace, o alemão Friedrich
Gauss e o próprio Quetelet, fundamentais para o desenvolvimento do cálculo das
probabilidades. (MOREIRA, 1964, p. 11)
11
As bases do que se conhece hoje como Estatística se originaram na década de
1970, conforme Batanero (2001), a partir de um movimento mundial que reconheceu a
importância do desenvolvimento do raciocínio probabilístico, a ruptura com o
determinismo nas aulas de Matemática, a dimensão política e ética do uso da Estatística.
Muitas nações colocam este conteúdo na Educação Básica.
No Brasil, a partir do século XIX, a Estatística foi entrando nos meios
governamental e educacional. Pardal (1993, p. 90) relata que, em 1810, nos registros da
Academia Militar do Rio de Janeiro, pela primeira vez esta ciência apareceu como
disciplina. Em 1870, era realizado o primeiro censo demográfico brasileiro, que apurou
uma população de 8.419.672 pessoas, um número impreciso, dadas as condições
científicas metodológicas e de pesquisa de campo então disponíveis.
Em 1938, segundo Moreira (1964), novo salto na expansão e reconhecimento da
estatística no país veio com a criação do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
(IBGE), até hoje fundamental por suas ações como o censo demográfico, a Pesquisa
Nacional por Amostra de Domicílio (PNAD), estudos sobre mercado de trabalho,
arrecadação, Produto Interno Bruto (PIB) e várias outras.
Em 1988, o Ministério da Educação e do Desporto, junto com as Secretarias
Estaduais de Educação, elaboraram os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs). O
objetivo foi unificar o Ensino Básico no Brasil, orientando os professores na busca de
novas metodologias e propostas de mudanças para a melhoria na qualidade da educação
e na aprendizagem do aluno.
Uma das bases dos Parâmetros é que o professor estabeleça ligações entre os
conteúdos estudados e as situações do cotidiano dos alunos. E que esta prática permita a
eles desenvolver suas competências e habilidades, preparando-os para o exercício da
cidadania e um convício social melhor.
No final dos anos 1990, conceitos elementares de estatística foram introduzidos
na Educação Básica e incluídos na estrutura curricular da disciplina de Matemática do
Ensino Fundamental (BRASIL, 1997, 1998) e Médio (BRASIL, 2002, 2006) com a
publicação nos PCNs.
No Ensino Fundamental brasileiro, conteúdos de Estatística, Probabilidade e
Combinatória fazem parte do bloco Tratamento da Informação, um dos quatro blocos de
conteúdos da Matemática, junto com Números e Operações, Grandezas e Medidas e
Espaço e Forma. No Ensino Médio, fazem parte da Análise de Dados, um dos três
eixos, junto com Álgebra e Geometria e Medidas.
12
Com relação à estatística, a finalidade é fazer com que o aluno venha a
construir procedimentos para coletar, organizar, comunicar dados,
utilizando tabelas, gráficos e representação que aparecem
frequentemente em seu dia-a-dia. Além disso, calcular algumas
medidas estatísticas como média, mediana e moda com o objetivo de
fornecer novos elementos para interpretar dados estatísticos.
(BRASIL, 1998, p.52)
Sobre a Probabilidade, ainda segundo os PCNs, a principal finalidade é a
compreensão de que muitos dos acontecimentos do cotidiano são de natureza aleatória,
identificando possíveis resultados desses acontecimentos e até estimando o grau da
possibilidade acerca do resultado de cada um deles, cabendo à escola propor situações
em que os alunos possam realizar experimentos e fazer observações dos eventos.
Quanto à Combinatória, o objetivo expresso nos PCNs é levar o aluno a lidar
com situações que envolvam diferentes tipos de agrupamentos que possibilitem o
desenvolvimento do raciocínio combinatório e a compreensão do princípio
multiplicativo para sua aplicação no cálculo de probabilidades.
Com esses objetivos, os PCNs recomendam que professores incentivem os
alunos a observar os fenômenos, especular hipóteses, reunir dados, tratando-os e
analisando-os do ponto de vista da investigação científica. E incentivam a leitura e
interpretação de gráficos, tabelas e medidas publicados pelos meios de comunicação, a
fim de que o aluno saiba posicionar-se de forma crítica diante dessas informações.
Os PCNs sugerem que os conteúdos do bloco Tratamento da Informação possam
ser trabalhados em projetos interdisciplinares, integrando áreas como História e
Geografia. Surge aqui outra virtude da estatística: ela é capaz de unir disciplinas, dando
ao aluno uma visão interdisciplinar dos fenômenos e permitindo observar, analisar e
concluir utilizando o pensamento científico.
Crespo (2009, p. 3) define a Estatística como “parte da Matemática Aplicada que
fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados
e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões”.
Para que o indivíduo absorva a capacidade de leitura e interpretação de dados
(informações) apresentados na forma de tabelas ou gráficos, é necessário desenvolver
habilidades condizentes com um nível de letramento estatístico.
Gall (2002, apud PAGAN, 2010, p. 47) aponta que letramento estatístico é a
capacidade de interpretar e avaliar criticamente informações estatísticas, levando em
consideração os argumentos relacionados aos dados ou aos fenômenos apresentados em
13
algum contexto. Mendoza e Swift (1981 apud LOPES, 2008, p. 59) entendem que o
conhecimento de estatística e probabilidade é necessário para a atuação do cidadão na
sociedade. Cazorla (2004, p.2) afirma que, “para uma cidadania plena, o pensamento
estatístico é tão necessário quanto a capacidade de ler e escrever”.
Um problema a ser enfrentado pelo educador, para que a Estatística seja vista e
usada como ferramenta de cidadania, é o fato de que os estudantes, segundo Campos et
al (2011, p. 477), tendem a equiparar Estatística a Matemática acreditando que o foco
deva estar em números e fórmulas, sem criar uma relação com o contexto real. Em
parte, isso pode ocorrer quando a atenção e o tempo do aluno se prendem, como
definem Ponte e Canavarro (1997, p.178), ao “domínio de técnicas como a construção
de tabelas de frequência, a construção de gráficos de barras e de setores e o cálculo de
índices como médias e medianas”, ou seja, mais no “como fazer do que na interpretação
dos dados”.
Neste tripé educação-estatística-cidadania, Lopes (2008) afirma que,
Para que o ensino de estatística e probabilidade contribua na educação
para a efetivação desse fato, é importante que se possibilite aos alunos
o confronto com problemas variados do mundo real e que eles tenham
possibilidade de escolher suas próprias estratégias para solucioná-los.
(p.61)
D‟Ambrósio (2003, p.87) acrescenta que: “A educação para a cidadania, que é
um dos grandes objetivos da educação de hoje, exige uma „apreciação‟ do
conhecimento moderno, impregnado de ciência e tecnologia”.
Uma das necessidades, para transformar o conhecimento estatístico em
ferramenta de cidadania, é o chamado raciocínio estatístico, definido por autores como
Ben-Zvi (2008 apud CAMPOS, et al, 2011, p. 481) como “a capacidade de interpretar,
por completo, os resultados de um problema baseado em dados reais. Essas habilidades
são muito importantes, todos os cidadãos devem possuí-las e entendê-las, e elas devem
constituir um ingrediente padrão na educação de todo estudante”.
Neste contexto, cresce o papel do professor e cresce, também, a dúvida sobre a
capacidade de os docentes cumprirem sua missão quando se trata de Estatística, como
alerta Ben-Zvi, Garfield (2004 apud CAMPOS, et al, 2011, p. 477), para quem “muitos
dos quais nunca estudaram estatística aplicada nem se engajaram em atividades de
análises de dados”.
Antes dos PCNs, a Estatística era tratada no Ensino Médio como um tópico
teórico de Matemática, o que quase não propiciava pesquisas ou trabalho prático com os
14
alunos. Com o reconhecimento pelos PCNs, desde as Séries Iniciais do Ensino
Fundamental surgiram diferentes enfoques para o trabalho com a Estatística em sala de
aula, transformando-a em ferramenta para compreensão de informações e fenômenos
além dos limites da escola, como aqueles veiculados diariamente em jornais, TV e
internet. Ao mesmo tempo, a Estatística contribui para levar o aluno a perceber a
importância do uso dos meios tecnológicos disponíveis na sociedade contemporânea,
como os softwares de elaboração de gráficos e tabelas, coleta e troca de dados.
O apelo para o uso da representação gráfica deve-se a eficiência para
transmitir informações e por ser visualmente mais prazerosa, existindo
evidências de que os formatos gráficos apresentam a informação de
uma forma mais amena para as pessoas perceberem e raciocinarem
mais facilmente sobre ela. (CAZORLA, 2002, p. 54)
Os PCNs de Matemática (BRASIL, 1997) apontam que a demanda social leva a
destacar a Estatística e o tratamento da informação como um bloco de conteúdo
relevante para que o aluno possa “construir procedimentos para coletar, organizar,
comunicar e interpretar dados do seu dia a dia”. (p. 56)
“A demanda social é que leva a destacar este tema como um bloco de conteúdos,
embora pudesse ser incorporado aos anteriores. A finalidade do destaque é evidenciar
sua importância, em função de seu uso atual na sociedade.” (BRASIL, 2000, p.56)
A evolução da Estatística, a sua condição de ferramenta desde antigas
civilizações e o seu posterior reconhecimento no ambiente acadêmico e educacional a
credenciam como uma valiosa ferramenta de apoio ao professor no cumprimento do que
determinam os PCNs (BRASIL, 1997):
Capacitar o ser humano para a realização de atividades nos três
domínios da ação humana: a vida em sociedade, a atividade produtiva
e a experiência subjetiva, visando à integração de homens e mulheres
no tríplice universo das relações políticas, do trabalho e da
simbolização subjetiva. (p.56)
Uma das exigências para a concretização desta tarefa é uma prática pedagógica
baseada na investigação e exploração, gerando nos estudantes o domínio de conceitos
estatísticos e probabilísticos que os auxiliem em sua leitura do mundo.
2.2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
O capítulo anterior defende maior atenção ao estudo da Estatística no Ensino
Fundamental, entendendo-a como poderosa parceira da Matemática para preparar os
15
alunos a enfrentar os desafios da realidade. Nesta secção, o objetivo é apontar que a
Metodologia de Resolução de Problemas pode ajudar o educador a trabalhar a
Estatística com os alunos.
Esta relação entre Estatística e Resolução de Problemas se sustenta em reflexões
de vários autores, como Lopes (2008):
[...] não faz sentido trabalharmos atividades envolvendo conceitos
estatísticos e probabilísticos que não estejam vinculados a uma
problemática. Propor coleta de dados desvinculada de uma situaçãoproblema não levará à possibilidade de uma análise real. Construir
gráficos e tabelas desvinculados de um contexto ou relacionados a
situações muito distantes do aluno pode estimular a elaboração de um
pensamento, mas não garante o desenvolvimento de sua criticidade.
(p. 62)
Para Van de Walle (2009),
Um problema é qualquer tarefa ou atividade para a qual os estudantes
não têm métodos ou regras prescritas ou memorizadas, nem a
percepção de que haja um método específico para chegar à solução
correta. Acrescentando um caráter subjetivo a esta questão, no
contexto da metodologia aqui apresentada, consideramos que
problema refere-se a tudo aquilo que não sabemos fazer, mas que
estamos interessados em fazer. (p. 57)
A Resolução de Problemas tem cumprido diferentes papéis no ensino da
Matemática ao longo dos tempos. Na Antiguidade, povos como egípcios e gregos
trabalhavam problemas matemáticos de forma mais mecânica e repetitiva, a partir da
solução de um que indicava um caminho para resolver outros semelhantes.
Este também era o formato empregado no início do século XX em relação a todo
o ensino da Matemática: repetição mecânica e memorização. O êxito do aluno era
proporcional à sua capacidade de superar os desafios mesmo sem a plena compreensão
do caminho seguido. Bastava receber a informação, anotar, memorizar e repetir.
(ONUCHIC, 1999).
No final da década de 50, os norte-americanos consolidaram uma novidade que
influenciaria o ensino da disciplina em todo o planeta: a Matemática Moderna.
Influente, porém muito questionável, por ter sido construída sem a participação de
professores em sala de aula. As bases eram a teoria dos conjuntos e a álgebra, o que
gerou um método excessivamente formal, teórico, usando a abstração e nada aplicável
ao mundo real.
“Infelizmente, professores e pais tinham a tendência para não se sentirem à
vontade com a nova maneira de ensinar”, enquanto “as crianças não estavam a aprender
16
as abstrações e as suas habilidades básicas tinham-se perdido”, como escreveu
Schoenfeld (1996, p.3). O autor também criticava o que batizou de “aritmética do
relógio”, por entender que a Matemática Moderna gerava no aluno um aprendizado
muito precoce de conteúdos mais complexos.
De certa forma, a Matemática Moderna ia contra estudos que defendem um
modelo mais integrado, real e participativo no ensino da disciplina, como defendem
Brandão e Selva (1999). Segundo os autores é preciso que o professor “estimule a
interação entre as crianças, fazendo perguntas, explorando as diferentes estratégias de
solução que elas utilizam, seja mediante uso de cálculo mental, da contagem nos dedos,
nos materiais concretos, ou mediante registros no papel”. (p. 3)
Apesar das críticas e deficiências, a Matemática Moderna predominou nos anos
1960 e 1970, quando surgiram estudos sobre o método que estimulava o aluno a pensar
a partir da Resolução de Problemas. Estes estudos se consolidaram nos anos 1980,
conforme Onuchic e Allevatto (2005), inspirados por Polya (1978), o primeiro
matemático a apresentar uma heurística de resolução de problemas específica para a
Matemática.
É de Polya o seguinte enunciado: “Resolver problemas é a realização específica
da inteligência, e se a educação não contribui para o desenvolvimento da inteligência,
ela está obviamente incompleta”. (POLYA, 1978, p. 2).
Polya (1978) propõe quatro fases para resolver um problema:
1) Compreensão do problema: é fundamental para o aluno
compreender o problema. O enunciado verbal precisa ficar bem
entendido assim como o problema escolhido não poderá ser muito
fácil, nem muito difícil. É importante fazer perguntas. Por exemplo:
Qual é a incógnita? Quais são os dados? Quais as condições? É
possível satisfazer essas condições? Qual a condicionante? A
construção de figuras para ilustrar a situação proposta também poderá
ser útil.
2) Estabelecimento de um plano: para estabelecer um plano, é
importante descobrir conexões entre os dados e a incógnita; considerar
problemas auxiliares ou particulares caso uma conexão não seja
encontrada no tempo estabelecido. Neste caso, algumas perguntas
podem ajudar. Você conhece algum problema comparável a este? É
possível utilizá-lo? Olhe para a incógnita e procure encontrar um
problema parecido, que tenha uma incógnita semelhante. Caso
encontre um problema análogo, tente aproveitá-lo como elemento
auxiliar na resolução do problema proposto.
Se não conseguir resolver o problema com os dados dispostos procure
alterar esses dados e a incógnita, de modo que a nova incógnita e os
novos dados fiquem mais próximos do problema. Não esqueça de
levar em conta todas as incógnitas, dados e condições apresentadas, as
quais poderão encaminhá-lo à solução desejada.
17
3) Execução do plano: para executar o plano, é muito mais fácil. Para
conseguir fazer isso, é importante que o aluno tenha conhecimento
prévio e concentração para alcançar o objetivo proposto; paciência
para verificar cada passo do plano e estar convicto em algumas
respostas como, por exemplo: é possível perceber e demonstrar que o
passo está correto?
4) Retrospecto: ao fazer o retrospecto, poderá verificar os resultados
obtidos e os argumentos utilizados corrigindo-os e aperfeiçoando-os
se necessário.
Ainda, algumas questões podem ser levantadas: Pode-se chegar ao
resultado por outro caminho? É possível utilizar o resultado, ou o
método em algum outro problema? Qual será a utilidade desse
resultado? (p.4-10).
Em seu livro A Arte de Resolver Problemas, Polya afirma: “Uma grande
descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na
resolução de qualquer problema” (POLYA, 1978, p. 5).
Em 1980, o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), uma
organização de educadores profissionais, na publicação “Uma Agenda para a Ação”,
afirmou que “resolução de problemas deve ser o foco da Matemática escolar nos anos
oitenta” (ONUCHIC e ALLEVATO, 2009, p. 4). Mas, para Schoenfeld (1996), muito
do que passava por Resolução de Problemas nos anos 80 eram apenas ideias de tipo
truque, ou métodos rotineiros para problemas elementares. “Tais práticas podem ser
mais valiosas que o exercício da tabuada, mas não muito mais”. (p. 4)
No final daquela década, Schroeder e Lester (1989, apud ONUCHIC, 2008, p. 7)
apresentam três caminhos para abordar Resolução de Problemas: teorizar sobre
resolução de problemas, ensinar a resolver problemas e ensinar matemática através da
resolução de problemas, que passa a ser vista como metodologia de ensino e
instrumento de ensinar matemática.
Esta foi a base do debate nos anos 1990 e 2000. Estudos desenvolvidos pelo
NCTM, com destaque para os Princípios e Padrões para a Matemática Escolar,
reforçam esta nova visão de ensino-aprendizagem de Matemática. A Resolução de
Problemas é destacada como um dos padrões de processo para o ensino de Matemática,
e o ensino através da Resolução de Problemas é fortemente recomendado. (ONUCHIC;
ALLEVATO, 2005). Sobre resolução de problemas D‟Ambrósio coloca:
A partir dos anos 90 a resolução de problemas se tornou uma parte
integrante da sala de aula de matemática. Surgiram as propostas
curriculares que situavam o ensino da matemática via resolução de
problemas. A proposta era de colocar problemas aos alunos a partir
dos quais novo conteúdo pudesse ser desenvolvido. Surgiram várias
propostas interessantes como o uso de modelagem, e o uso de
18
problemas de investigação, a serem resolvidos individualmente ou em
pequenos grupos. Com uma postura diferente quanto aos tipos de
atividade a serem propostas aos alunos, modificava-se a dinâmica da
sala de aula. (D‟AMBROSIO e OHIO, 2008, p.2).
No Brasil, foram criados os PCNs – Parâmetros Curriculares Nacionais
(BRASIL, 1997, 1998, 1999), que apontam o desenvolvimento da capacidade de
resolver problemas, explorá-los, generalizá-los e até propor novos problemas a partir
deles, como um dos propósitos do ensino de Matemática; indicam a resolução de
problemas como ponto de partida das atividades matemáticas e discutem caminhos para
a Matemática na sala de aula.
Não somente em Matemática, mas até particularmente nessa
disciplina, a resolução de problemas é uma importante estratégia de
ensino. Os alunos, confrontados com situações-problema, novas mas
compatíveis com os instrumentos que já possuem ou que possam
adquirir no processo, aprendem a desenvolver estratégia de
enfrentamento, planejando etapas, estabelecendo relações, verificando
regularidades, fazendo uso dos próprios erros cometidos para buscar
novas alternativas; adquirem espírito de pesquisa, aprendendo a
consultar, a experimentar, a organizar dados, a sistematizar resultados,
a validar soluções; desenvolvem sua capacidade de raciocínio,
adquirem autoconfiança e sentido de responsabilidade; e, finalmente,
ampliam sua autonomia e capacidade de comunicação e de
argumentação. (BRASIL, 2000, p.52)
Fica claro nos PCNs um vínculo entre Estatística, Resolução de Problemas e a
realidade dos alunos, como defende Dewey (1933, apud D‟AMBROSIO e OHIO, 2008,
p. 1) ao propor que os projetos curriculares sejam baseados nas experiências dos alunos,
e que tudo que fosse colocado para o aluno sem uma ligação com sua experiência se
tornaria “inútil, como entulho, criando barreiras e obstruindo a possibilidade de pensar
sobre os problemas enfrentados”.
O tipo de problema a ser escolhido é um ponto crítico. Dante (2005) aponta
características de um bom problema:
- ser desafiador para os alunos;
- ser real para o aluno;
- ser interessante para o aluno;
- ser o elemento desconhecido de um problema realmente desconhecido;
- não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais operações
aritméticas;
- ter um nível adequado de dificuldade.
19
Onuchic (1998, apud SOUZA, NUNES, 2007, p. 6) propõe um conjunto de
questionamentos que o docente deve se fazer ao escolher um problema para aplicar em
sala de aula:
- Será que isso é um problema? Por quê?
- Qual conteúdo matemático poderá ser iniciado com este determinado
problema?
- Há necessidade de se considerar problemas secundários associados
ao problema principal?
- Para qual série é adequado esse tipo de problema?
- Que caminhos podem ser percorridos pelos alunos para obterem a
solução?
- Como observar o raciocínio e as respostas dos alunos?
- Qual grau de dificuldade os alunos poderão ter diante deste
problema?
- Como professor, quais as próprias dificuldades para resolver o
problema?
- Como relacionar o problema com aspectos sociais e culturais?
Percebe-se, em toda esta abordagem sobre Resolução de Problemas como
ferramenta de compreensão da Estatística associada à realidade, o papel decisivo que o
docente exerce – como de resto exerce em todos os momentos da missão de educar.
Entre as tarefas mais importantes do professor em sala de aula está a
de ser mediador entre o conhecimento e o aluno, o que não acontece
se o professor assume apenas o papel de transmissor de conhecimento.
Com o objetivo de auxiliar o aluno a desenvolver habilidades, muitos
professores estão buscando na resolução de problemas uma alternativa
metodológica para melhorar a aprendizagem, pois é uma das maneiras
de fazer o educando pensar, propor e planejar soluções. (POZO, 1998,
p. 13).
Para Soares e Pinto (2001), os docentes precisam compreender “seu papel
incentivador, facilitador, mediador das ideias apresentadas pelos alunos, de modo que
estas sejam produtivas, levando os alunos a pensarem e a gerarem seus próprios
conhecimentos”. (p.7)
Ao mesmo tempo em que cresce a percepção do papel do docente, vale destacar
a dúvida sobre o preparo para dar conta deste desafio. Guimarães e Vasconcelos (2007)
fazem um alerta baseado em estudo que teve como foco um grupo de acadêmicos e
professores de Educação Básica, mas que se aplica à categoria como um todo. Para as
duas pesquisadoras, falta “compreensão acerca da relação que existe entre o trabalho
com resolução de problemas e o ensino de conceitos matemáticos”. (p. 16)
A conclusão das autoras é de que esta distorção tem “relação com a formação
inicial dos mesmos, que ainda se fundamenta no modelo que dissocia a teoria da prática
20
e parece não privilegiar discussões a respeito da importância do trabalho com a
resolução de problema para o ensino de conceitos”. (p.16)
D‟Ambrósio e Ohio (2008) alertam sobre a dificuldade de o professor, ao aplicar
uma atividade de resolução de problemas, manter um ambiente desafiador, propositivo,
que leve à construção do conhecimento, optando por resolver e, com isso, “estragar” o
problema.
O problema resolvido pelo professor não tem o mesmo efeito daquele
resolvido pelos alunos, sem muita intervenção do professor. Vários
estudos revelaram que o professor que estraga o problema muitas vezes
não percebe o efeito negativo de sua intervenção. (....) A falta de
confiança no processo de construção do conhecimento, inevitavelmente
resulta na eliminação (ou diminuição) das oportunidades oferecidas aos
alunos para resolverem problemas de alta demanda cognitiva. (p. 6)
O GTERP - Grupo de Trabalho e Estudos em Resolução de Problemas, UNESP,
Rio Claro/SP é um dos destaques no meio acadêmico brasileiro em Metodologia de
Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas,
sob liderança da Professora Dra. Lourdes de la Rosa Onuchic.
O grupo se concentra na visão de que um problema é ponto de partida e
orientação para a aprendizagem, e a construção do conhecimento se dará pela sua
resolução. E defende que professor e alunos, juntos, desenvolvam esse trabalho e a
aprendizagem se realize de modo colaborativo em sala de aula (ALLEVATO,
ONUCHIC, 2007; ONUCHIC; ALLEVATO, 2005). Essa convicção inspirou o uso da
palavra composta ensino-aprendizagem-avaliação para denominar os estudos de
Onuchic.
Segundo a própria pesquisadora, o objetivo é “expressar uma concepção em que
ensino e aprendizagem devem ocorrer simultaneamente durante a construção dos
conhecimentos, tendo o professor como guia e os alunos como co-construtores deste
conhecimento”. (ONUCHIC, 2009, p. 97)
O ensino-aprendizagem-avaliação de matemática através da resolução
de problema é diferente daquele em que regras de “como fazer” são
privilegiadas. Ele reflete uma tendência de reação a caracterizações
passadas como um conjunto de fatos, domínio de procedimentos
algorítmicos ou um conhecimento a ser obtido por rotina ou por
exercício mental. (ONUCHIC, 1999, p.203)
Sobre ensinar a resolver problemas, Dante (2005) salienta:
21
Ensinar a resolver problemas é uma tarefa muito mais complexa do
que ensinar algoritmo e equações. A postura do professor ao ensinar
um algoritmo é, em geral, a de um orientador dando instruções, passo
a passo, de como fazer. Na resolução de problemas, ao contrário, o
professor deve funcionar como incentivador e moderador das ideias
geradas pelos próprios alunos. Nesse caso, as crianças participam
ativamente “fazendo Matemática”, e não ficam passivamente
“observando” a Matemática “ser feita” pelo professor (p. 52).
Onuchic e Allevato (2009, p.8) apresentam uma proposta que consiste em
organizar as atividades de resolução de problemas de acordo com nove etapas:
1) Preparação do problema - Selecionar um problema visando à construção de
um novo conceito, princípio ou procedimento. Esse problema será chamado problema
gerador. É bom ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do
problema não tenha ainda sido trabalhado em sala de aula.
2) Leitura individual - Entregar uma cópia do problema para cada aluno e
solicitar que seja feita sua leitura.
3) Leitura em conjunto - Formar grupos e solicitar nova leitura do problema,
agora nos grupos.
- Se houver dificuldade na leitura do texto, o próprio professor pode auxiliar os
alunos, lendo-lhes o problema.
- Se houver, no texto do problema, palavras desconhecidas para os alunos, surge
um problema secundário. Busca-se uma forma de poder esclarecer as dúvidas e, se
necessário, pode-se, com os alunos, consultar um dicionário.
4) Resolução do problema - De posse do problema, sem dúvidas quanto ao
enunciado, os alunos, em seus grupos, num trabalho cooperativo e colaborativo, buscam
resolvê-lo. Considerando os alunos como co-construtores da “matemática nova” que se
quer abordar, o problema gerador é aquele que, ao longo de sua resolução, conduzirá os
alunos para a construção do conteúdo planejado pelo professor para aquela aula.
5) Observar e incentivar – Nessa etapa o professor não tem mais o papel de
transmissor do conhecimento. Enquanto os alunos, em grupo, buscam resolver o
problema, o professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimula o
trabalho colaborativo. Ainda, o professor como mediador leva os alunos a pensar,
dando-lhes tempo e incentivando a troca de ideias entre eles.
- O professor incentiva os alunos a utilizarem seus conhecimentos prévios e
técnicas operatórias já conhecidas necessárias à resolução do problema proposto.
22
Estimula-os a escolher diferentes caminhos (métodos) a partir dos próprios recursos de
que dispõem.
Entretanto, é necessário que o professor atenda os alunos em suas dificuldades,
colocando-se como interventor e questionador. Acompanha suas explorações e ajuda-os,
quando necessário, a resolver problemas secundários que podem surgir no decurso da
resolução: notação; passagem da linguagem vernácula para a linguagem matemática;
conceitos relacionados e técnicas operatórias; a fim de possibilitar a continuação do
trabalho.
6) Registro das resoluções na lousa – Representantes dos grupos são convidados
a registrar, na lousa, suas resoluções. Resoluções certas, erradas ou feitas por diferentes
processos devem ser apresentadas para que todos os alunos as analisem e discutam.
7) Plenária – Para esta etapa são convidados todos os alunos para discutirem as
diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, para defenderem seus pontos de
vista e esclarecerem suas dúvidas. O professor se coloca como guia e mediador das
discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Este é um
momento bastante rico para a aprendizagem.
8) Busca do consenso – Após serem sanadas as dúvidas e analisadas as
resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe,
chegar a um consenso sobre o resultado correto.
9) Formalização do conteúdo – Neste momento, denominado “formalização”, o
professor registra na lousa uma apresentação “formal” – organizada e estruturada em
linguagem matemática – padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos
construídos através da resolução do problema, destacando as diferentes técnicas
operatórias e as demonstrações das propriedades qualificadas sobre o assunto.
Cabe, ainda, destacar que, na metodologia proposta por Onuchic e Allevato
(2009), os alunos primeiro têm contato com o problema, sem conhecer o conteúdo
matemático formal necessário para a sua resolução. Este é um dos motivos pelos quais
este método gera o debate, a interação e a descoberta por parte do aluno, sem ser refém
de fórmulas e soluções sugeridas pelo professor.
2.3 LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE TABELAS E GRÁFICOS
Nos telejornais, jornais, revistas e na internet, é possível observar o uso
crescente de informações expressas na forma de gráficos e tabelas. São recursos que
23
unem transmissão de informações relevantes e uma solução visual que organiza os
conteúdos e desperta a curiosidade dos leitores, telespectadores e internautas.
No entanto, há uma contradição entre a grande importância de gráficos e tabelas
na vida real e o pouco destaque que costumam ganhar em sala de aula, gerando baixo
entendimento sobre como são construídos, trabalhados e utilizados. Batanero (1992)
afirma que dominar estes conteúdos é um fator cada vez mais importante na construção
da cidadania, mas estudos apontam que tanto crianças quanto adultos enfrentam grandes
dificuldades em tarefas associadas a eles.(SANTOS e MAGINA, 2001).
Os PCNs recomendam que professores incentivem os alunos a observar os
fenômenos, especular hipóteses, reunir dados, tratando-os e analisando-os do ponto de
vista da investigação científica. E incentivam a leitura e a interpretação de gráficos,
tabelas e medidas publicados pelos diversos meios de comunicação, a fim de que o
aluno saiba posicionar-se de forma crítica diante dessas informações.
Segundo Pereira (2009, p. 34), “as tabelas são usadas para resumir um conjunto
de informações, e os gráficos, além de também resumirem informações, buscam, no
efeito visual, prender a atenção do leitor tornando-se mais eficazes no estudo do
fenômeno”.
Um dos objetivos da estatística é sintetizar os valores que uma ou
mais variáveis podem assumir, para que tenhamos uma visão global
da variação dessa ou dessas variáveis. E isso ela consegue,
inicialmente, apresentando esses valores em tabelas e gráficos que irão
nos fornecer rápidas e seguras informações a respeito das variáveis em
estudo, permitindo-nos determinações administrativas e pedagógicas
mais coerentes e científicas. (CRESPO, 2009, p.17)
Tabela, segundo Veras (2010, p. 26), é “um conjunto de dados dispostos em
linhas e colunas, distribuídos ordenadamente em função de alguns critérios adotados por
diversos sistemas estatísticos”. Conforme o autor, clareza e organização são
características fundamentais numa tabela.
Segundo o IBGE, uma tabela é constituída pelos seguintes elementos:
a) Título: inscrito no topo, para indicar a natureza e as abrangências geográfica
e temporal dos dados numéricos. Deve ser breve, porém claro e explicativo;
b) Cabeçalho: parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas;
c) Coluna indicadora: parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas;
d) Linhas: inscritas nas colunas indicadoras, para indicar, complementarmente
ao título, o conteúdo das linhas;
e) Casa ou célula: espaço destinado a um só número;
24
f) Corpo: conjunto de linhas ou colunas que contém informações sobre a
variável em estudo;
g) Fonte: identificador do responsável (pessoa física ou jurídica) ou
responsáveis pelos dados numéricos.
Nesta pesquisa trabalhamos apenas com tabelas chamadas simples e de dupla
entrada.
A tabela simples organiza os dados que possuem apenas uma característica.
Quando precisamos organizar, numa mesma tabela, os dados que possuem duas
ou mais característica usamos a tabela de dupla entrada, também conhecida como tabela
comparativa.
Conforme Spiegel (1993), os gráficos são uma apresentação geométrica dos
dados numéricos. Monteiro (1999) acrescenta que a representação na forma de gráficos
costuma estar associada à ordenação de informações quantitativas dispostas em dois
eixos perpendiculares, sendo um horizontal (das abscissas) e um vertical (das
ordenadas). O mesmo autor tem um conceito que vai além da Matemática e da
Estatística: “Os gráficos, portanto, se apresentam como ferramenta cultural que permite
ampliar a capacidade humana de tratamento de informações quantitativas e de
estabelecimento de relações entre as mesmas”. (MONTEIRO, 1999, p.1)
Muitas vezes, o gráfico fornece menos dados que uma tabela, mas favorece uma
visão geral dos dados, deixando evidentes as tendências, as ocorrências ocasionais, os
valores máximos e mínimos e as ordens de grandeza dos fenômenos. A visão espacial e
a possibilidade de comparar dados fornecidos pelos gráficos são vantagens em relação
às tabelas e tornaram os gráficos muito utilizados na imprensa, em relatórios de
empresas, por professores de diversas disciplinas além da Matemática e em várias
outras situações.
Monteiro (1999, p. 2) cita duas contribuições históricas de estudiosos para o
desenvolvimento e popularização dos gráficos. Em 1673, o sistema cartesiano, criado
por René Descartes, passou a representar fenômenos científicos por meio de funções
matemáticas. Mais tarde, em 1786, Playfair utilizou gráficos para descrever dados
econômicos, como a poupança acumulada por uma pessoa no decorrer de um período de
tempo. Já nestes primeiros registros era possível perceber o gráfico como ferramenta
matemática multidisciplinar e com várias funções. Mas Veras (2010, p. 29) observa que
25
o grande salto na popularização dos gráficos ocorreu nos anos 1960, com o surgimento
da computação gráfica, que permitiu a visualização de gráficos com melhores recursos.
É fundamental conhecer até que ponto os alunos compreendem os gráficos e
tabelas, conseguem lê-los e interpretá-los. Isso porque, segundo Curcio (1991, apud
VIEIRA, 2008), “a simples leitura literal não basta. É preciso desenvolver a capacidade
de abstrair, gerando comparações e relações e, dessa forma, extraindo o máximo da
compreensão dos dados estatísticos fornecidos por gráficos e tabelas”.
Curcio (1991, apud VIEIRA, 2008, p. 20) organizou a compreensão de um
gráfico em três níveis: leitura dos dados, leitura entre os dados e leitura além dos dados.
O primeiro e mais simples é o da leitura dos dados, que é apenas ler os dados de
um gráfico, tirando conclusões básicas, sem interpretação. É o que Pagan (2010, p. 82)
definiu como “leitura literal”. A autora dá como exemplo de leitura dos dados quando o
aluno identifica o ponto máximo e o ponto mínimo de um gráfico.
O nível de leitura entre os dados exige que o aluno compare quantidades, integre
e interprete os dados de um gráfico, além de ter conhecimentos matemáticos como as
quatro operações. Curcio (1991, apud VIEIRA, 2008, p. 21) afirma que, neste nível, a
pessoa começa a fazer inferência de natureza simples. Isso ocorre, por exemplo, quando
ela identifica num gráfico de linha que mostra pesquisas eleitorais sucessivas se um
candidato cresceu ou caiu na preferência do leitor.
No nível da leitura além dos dados, o aluno precisa tirar conclusões lendo o
gráfico, mas também considerando subsídios que estão fora do gráfico. Para Pagan
(2010, p. 82) “é uma leitura que requer que a inferência seja feita com base em um
banco de dados na cabeça do leitor e não do gráfico”.
A leitura além dos dados tem várias situações nos gráficos da área econômica.
Ao ler um índice de inflação de um mês, por exemplo, aquele dado terá mais significado
se a pessoa souber se é um mês em que algum preço normalmente está alto,
influenciado na alta do índice.
Curcio (1991, apud VIEIRA, 2008, p.22) observa que a passagem do aluno do
primeiro para o terceiro nível depende do envolvimento do professor, que deve motiválo a não se satisfazer com a leitura elementar e a buscar informações além do gráfico.
Acreditamos, também, que a evolução do aluno será mais fácil se ele trabalhar com
dados e situações que dizem respeito à sua realidade, por isso esta pesquisa se propõe a
levar para dentro da sala de aula dados, tabelas e gráficos ligados ao censo de 2010 e à
condição das famílias.
26
Para ser útil, o gráfico deve obedecer a certos requisitos fundamentais de acordo
com o Quadro 1.
Quadro 1 - Requisitos fundamentais para um gráfico.
Simplicidade
ser destituído de detalhes de importância secundária, assim como de traços
desnecessários que possam levar o observador a uma análise morosa ou
com erros.
Clareza
possibilitar uma correta interpretação dos valores representativos do
fenômeno em estudo.
Veracidade
expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo.
Fonte: Adaptado de Crespo, 2009, p. 30.
Há vários tipos de gráficos. Segundo Carzola (2002, p.7), “o Ensino
Fundamental limita-se ao ensino dos gráficos de barras, colunas e os setores”. Neste
trabalho foram utilizados estes três gráficos e, a título de exemplo, também os gráficos
de linha.
A escolha do tipo de gráfico depende da informação que se pretende transmitir.
Cada gráfico é adequado a uma situação diferente a ser analisada.
Crespo (2009) descreve que “gráfico em colunas ou em barras é a representação
de uma série por meio de retângulos, dispostos verticalmente (em colunas) ou
horizontalmente (em barras)”. (p.33)
Segundo o mesmo autor, quando em colunas, os retângulos têm a mesma base e
as alturas são proporcionais aos respectivos dados. E quando em barras, os retângulos
têm a mesma altura e os comprimentos proporcionais aos respectivos dados. Dessa
forma, fica garantida uma relação proporcional entre os dados e as medidas dos
retângulos.
Segundo Crespo (2009, p. 35), o gráfico de setores é empregado sempre que
desejamos ressaltar a participação do dado no total. “Obtemos cada setor por meio de
uma regra de três simples e direta, lembrando que o total da série corresponde a 360º.”
(CRESPO, 2009, p.36)
O gráfico de linhas deve ser usado para identificar a evolução de uma ou mais
variáveis numa série estatística. Segundo Crespo (2009, p.31), “o gráfico em linha
constitui uma aplicação do processo de representação das funções num sistema de
coordenadas cartesianas”.
27
2.4 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
As medidas de tendência central indicam um ponto, chamado centro da
distribuição dos dados, em torno do qual estão os dados.
As principais medidas de tendência central são a média aritmética, a mediana e a
moda.
Este trabalho procura demonstrar a importância destas medidas para a
compreensão da estatística, além de ajudar a identificá-las e compreendê-las em gráficos
e tabelas a partir da metodologia de ensino de resolução de problemas.
A média aritmética é a mais importante e a mais utilizada das medidas. Os
primeiros registros do uso do conceito de média são da escola elementar francesa, em
1935. (PAGAN, 2010, p.84)
Atualmente, a todo momento, vemos a média presente nas notícias da imprensa
(“a renda média de um país”), na vida escolar (“o aluno obteve média suficiente para ser
aprovado”), nas relações com o ambiente (“a temperatura média subiu”) e em várias
situações. Por isso, dominar este conceito é uma necessidade para a compreensão da
realidade e das informações do dia a dia.
Crespo (2009, p. 73) tem a seguinte definição para média aritmética simples:
“A média aritmética é o quociente da divisão da soma dos valores da variável
pelo número deles, isto é:
X=
Sendo, X a média aritmética,
os valores da variável e n o número de valores.”
Em Batanero (2001, p.71), encontramos algumas propriedades da média
aritmética:
a) É um valor médio entre as extremidades da distribuição;
b) A soma dos desvios de cada valor médio é igual a zero;
c) O valor médio é influenciado pelos valores de cada um dos dados;
d) A média não precisa ser igual a um dos valores dados;
e) O valor médio obtido pode ser um valor que não faz sentido no contexto dos
dados;
f) O valor médio é representativo dos valores dados.
Amaral (2010, p.46) destaca a importância de o aluno saber identificar nos
gráficos as medidas de tendência central, principalmente a média. Ao fazer esta leitura,
28
o aluno estará demonstrando domínio mais profundo da estatística, alcançando o nível
de compreensão que Curcio (1991, apud VIEIRA, 2008, p.21) definiu como “leitura
entre os dados”.
Esta necessidade também está destacada nos PCNs:
Com relação a estatística, a finalidade é fazer com que o aluno venha a
construir procedimentos para coletar, organizar e comunicar dados
utilizando tabelas, gráficos e representações que aparecem
frequentemente em seu dia a dia. Além disso, calcular algumas
medidas estatísticas como média, mediana e moda com o objetivo de
fornecer novos elementos para interpretar dados estatísticos.
(BRASIL, 1997, p. 52)
Em relação à mediana, Crespo (2009) coloca:
A mediana é outra medida de posição definida como o número que se
encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos
segundo uma ordem. Em outras palavras, a mediana de um conjunto
de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor
situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de
mesmos elementos. (p.87)
A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos na série
ordenada, ao contrário da média que se deixa influenciar pelos valores extremos. Além
disso, a mediana e a média não têm, necessariamente, o mesmo valor.
Outra medida de tendência central de grande importância na Estatística é a
moda. De acordo com Crespo (2009, p. 83), “denominamos moda o valor que ocorre
com maior frequência em uma série de valores”. Quando mais de um valor aparece com
maior frequência, a série será bimodal (dois valores) ou polimodal (mais de dois). Pode
ocorrer ainda, uma série amodal, que não tenha um valor com maior frequência.
29
2.5 REVISÃO DE LITERATURA
No desenvolvimento desse trabalho, várias pesquisas na área do ensino e
aprendizagem de Estatística foram analisadas.
A dissertação defendida por Daminelli (2011) descreve uma pesquisa
desenvolvida com alunos da rede pública municipal de Osório, no litoral norte gaúcho.
A autora teve dois objetivos: identificar a contribuição da Estatística para o
ensino da Matemática e apontar o papel da Estatística na formação crítica dos
estudantes.
Como metodologia, usou o Estudo de Caso. O Referencial Teórico baseou-se
nos Ambientes de Aprendizagem e Cenários para Investigação de Skovsmose (2000), e
a Modelagem Matemática, de Barbosa (2001). Skovsmose (2000) é um crítico do
formato tradicional de ensino de Matemática em que o professor expõe os conceitos e os
alunos respondem de forma dependente do que foi exposto.
Sustento que a educação matemática deve se mover entre os diferentes
ambientes tal como apresentado na matriz. Particularmente, não
considero a idéia de abandonar por completo os exercícios da
educação matemática. [...] É importante que os alunos e professores,
juntos achem seus percursos entre os diferentes ambientes de
aprendizagem. (SKOVSMOSE, 2000, apud DAMINELLI, p.14)
Completando o suporte teórico, a autora utilizou o conceito de modelagem, que
tem como um dos destaques o ambiente de aprendizagem.
Modelagem, como entendemos, estimula os alunos a investigarem
situações de outras áreas que não a matemática por meio da
matemática. Podemos, agora, falar no ambiente de aprendizagem de
Modelagem. [...] Formulado de maneira sintética, assumimos que
Modelagem é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são
convidados a indagar, por meio da matemática, situações oriundas de
outras áreas da realidade. (BARBOSA, 2001, apud DAMINELLI, p.
16)
Daminelli (2011) sugere que os alunos coletem e organizem dados para aprender
conceitos de Estatística. A autora entende que, assim, está levando o grupo a uma leitura
crítica da realidade e atendendo a uma premissa dos PCNs. Ao defender este sentido
crítico para a Educação Matemática a partir da Estatística, a autora ressalta a
necessidade de que o professor esteja preparado para conduzir o trabalho com os alunos.
A conclusão de Daminelli (2011) é que falta preparo ao docente, o que acaba gerando
até a exclusão da Estatística dos conteúdos levados para a sala de aula.
30
Apesar da inclusão da Estatística e da Probabilidade no currículo de
Matemática de vários países ser explícita e efetiva, o mesmo não
ocorre dentro das salas de aula. Esses temas, em geral têm sido
colocados ao final dos programas de ensino e, assim, nem sempre
estudados pelos alunos, por falta de tempo, por falta de convicção do
seu real interesse ou por falta de domínio teórico-metodológico do
professor sobre os conteúdos estatísticos e probabilísticos. (LOPES,
2010, apud DAMINELLI, p. 22)
Daminelli (2011) orientou os alunos a realizarem pesquisas estatísticas na sala
de aula valorizando temas reais, como gravidez na adolescência e futebol. Ao mesmo
tempo, estimulou o debate em torno destes temas, reforçando o papel da Matemática e
da Estatística na vida das pessoas. Conceitos estatísticos, como média e mediana, foram
sendo descobertos à medida que as atividades em aula evoluíam.
Outra dissertação analisada foi a de Lopes (1998) intitulada: A Probabilidade e a
Estatística no Ensino Fundamental: uma análise curricular, apresentada em 1998 na
Unicamp.
A autora analisou o ensino da Probabilidade e da Estatística nas propostas
curriculares de Matemática dos estados de Minas Gerais, São Paulo e Santa Catarina,
nos anos 1990, e nos Parâmetros Curriculares Nacionais, tendo como referenciais
alguns currículos internacionais. Lopes percebeu, nos países que investigou, a
preocupação em promover a aquisição de competências básicas necessárias ao exercício
da cidadania e a utilização da Resolução de Problemas no processo ensinoaprendizagem. Ela coloca que,
A Matemática que, anteriormente, era vista como uma via para
ascensão do intelecto, da década de 80 em diante, passou a ser vista,
nos currículos mundiais, como uma disciplina mental, com razões
formativas e utilitárias e tem seu trabalho pedagógico centrado na
resolução de problemas. Possui o objetivo maior de desenvolver
capacidades que contribuam para a compreensão e interpretação do
mundo da tecnologia, das ciências e do trabalho. (LOPES, 1998, p.
86)
Para a autora, os Parâmetros Curriculares Nacionais deveriam ter valorizado
mais a Probabilidade e a Estatística pouco tratadas em propostas curriculares brasileiras
e ausentes da formação inicial do professor. Lopes (1998), alerta ainda para que os
temas transversais em sala de aula não se transformem em modismo e em conteúdo
desgastado, levando os estudantes ao desinteresse pela análise de dados.
31
A autora defende uma ligação forte e permanente entre Estatística e
Probabilidade, ambas exercendo um papel essencial na formação da cidadania na
análise da realidade.
Lopes analisa o conceito de estocástica, que vincula Estatística e Probabilidade
para desenvolver um raciocínio estatístico e probabilístico pela experimentação
concreta. Da mesma forma, aprofunda a associação entre apropriar-se destes conteúdos
e exercer a cidadania, o que, na sua visão, obtém-se pelo uso de situações concretas
vivenciadas pelos alunos. “A aprendizagem da estocástica só complementará a formação dos
alunos se for significativa, se considerar situações familiares a eles, que sejam contextualizadas,
investigadas e analisadas.” (LOPES, 2008, p.59)
A autora alerta sobre o fato de que não é suficiente ter a realidade como matériaprima e justifica,
Não basta ao cidadão entender as porcentagens expostas em índices
estatísticos, como crescimento populacional, taxas de inflação,
desemprego... É preciso analisar/relacionar criticamente os dados
apresentados, questionando/ponderando até mesmo sua veracidade.
Assim como não é suficiente ao aluno desenvolver a capacidade de
organizar e representar uma coleção de dados, faz-se necessário
interpretar e comparar esses dados para tirar conclusões. (LOPES,
2008, p. 60)
Lopes (2008, p.64) realça que a Estatística, associada à Probabilidade e
transmitida via Resolução de Problemas, pode ser o fio condutor de um aprendizado que
correlacione dados de múltiplas disciplinas, como Biologia, Física, Química e
Geografia.
O papel do docente na aplicação deste tipo de conhecimento é destacado pela
autora que denomina este papel como um “desafio docente”, cujo ponto de partida seria
o professor tomar consciência de sua ação política através de sua prática pedagógica.
Outra dissertação analisada é de Estevam (2010). Em seu trabalho o autor
buscou avaliar as contribuições de uma investigação exploratória de dados e analisar o
papel das Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) no processo de ensino e
aprendizagem de conceitos estatísticos no Ensino Fundamental, especialmente na leitura
(que ele denomina “atribuição de significado”) de dados.
Baseada na investigação exploratória de dados, a sequência didática aplicada a
27 alunos de uma escola estadual do interior paulista teve três dimensões: conceitual
(envolveu conceitos estatísticos e matemáticos), procedimental (baseou-se na
32
investigação de dados) e atitudinal (provocou a capacidade crítica dos alunos diante de
dados e informações estatísticas presentes no dia a dia).
Para investigar a validade das chamadas TICs em sala de aula, o trabalho usou o
Microsoft Excel, na organização de dados, e o software SuperLogo 3.0, na construção
de gráficos.
Apesar da defesa do uso das TICs, Estevam (2010) ressalta que a tecnologia em
sala de aula não é um fim em si, mas um meio para alcançar objetivos:
Trata-se do processo de integração da tecnologia no contexto do
ensino e, principalmente, aprendizagem. Significa uma mudança
educacional que deve ser acompanhada da introdução de novas
ferramentas que possibilitem e facilitem o processo de expressão do
pensamento, para que o indivíduo construa suas próprias
representações dos objetos em estudo, aprendendo a pensar de forma
autônoma e crítica. (ESTEVAM, p. 60)
A metodologia adotada combinou Engenharia Didática, Teoria das Situações
Didáticas de Brousseau e Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval.
O autor apresenta suas conclusões: o trabalho dos professores limita-se a
reproduzir os livros didáticos, ficando apenas na interpretação tecnicista da análise de
dados; professores do Ensino Fundamental restringem a Estatística ao letramento no
nível cultural, ao invés do funcional; ler e interpretar dados parecem ser mais fácil que
construir tabelas e gráficos, levando os professores à posição cômoda de usar exercícios
prontos, exercendo uma espécie de reducionismo da estatística; a coleta e organização
dos dados em tabelas pelos próprios alunos contribuem no envolvimento deles no
momento da análise; os alunos precisam lidar com dados reais, num processo de
investigação que inclua todas as etapas (coleta, organização, apresentação, análise e
interpretação de dados), o que requer uma situação-problema significativa para o aluno,
que contextualize e atribua sentido ao tratamento dos dados.
O autor foi meticuloso e explorou ao máximo o envolvimento dos alunos na
execução da pesquisa. Escolha do tema a pesquisar (a relação dos alunos com mídias
como computador, celular e TV), formulação das questões, método de coleta e
organização de dados, todas as etapas foram decididas na sala. Nada foi levado pronto.
Nas conclusões, em relação aos objetivos principais da dissertação que eram
avaliar as contribuições de uma investigação exploratória de dados e analisar o papel
das TICs, Estevam (2010, p. 157), resumidamente, afirma que uma abordagem mais
investigativa, a partir de situações-problema, estimulando os alunos a descobrirem os
conhecimentos em torno delas, a “pensar sobre” elas, tende a levar à compreensão dos
33
conteúdos, à argumentação adequada e à abstração dos conhecimentos que o professor
deseja passar.
Quanto às TICs, usadas adequadamente, facilitam e dão foco ao desafio do
professor que se propuser a tratar estatística de maneira mais aprofundada. O autor
alerta que pode haver dificuldades iniciais na operação de softwares pelos alunos, mas
que são superáveis. E alerta que o desconhecimento de conceitos básicos como
proporcionalidade e porcentagem pode constituir obstáculo ao bom uso de novas
tecnologias.
Em relação às TICs, particularmente na sua pesquisa, o autor concluiu que a
utilização foi positiva. O Excel ajudou na organização e armazenamento dos dados, e o
SuperLogo deu uma nova dinâmica às aulas, estimulando o raciocínio proporcional,
tornando mais atraente o manejo dos dados, aquecendo o debate e favorecendo o que
definiu como a ressignificação, por parte dos alunos, do valor da leitura e interpretação
de informações estatísticas.
Três dissertações defendidas na PUCSP em 2010 chamam atenção por vários
pontos em comum: associam Estatística com cidadania; criticam o fato de que o ensino
tradicional de Estatística se concentra nos cálculos e não na leitura e tratamento da
informação como defendem os PCNs; têm origem no grupo de estudos REPARE –
Refletir, Agir, Refletir em Educação Matemática e se completam no foco com uma
delas trabalhando gráficos e tabelas, outra dedicada a média, moda e mediana e a
terceira, mais abrangente, trabalhando o caráter interdisciplinar da Estatística.
O trabalho “A Estatística nas Séries Iniciais: uma Experiência de Formação com
um Grupo Colaborativo com Professores Polivalentes”, de Claudio Monteiro Veras
(2010), reuniu 16 professores polivalentes (que ensinam Matemática nas Séries
Iniciais), investigando a capacidade de leitura de gráficos e tabelas considerando os
níveis de compreensão de Curcio (1987) e Wainer (1992). Os docentes eram de escolas
municipais, estaduais e particulares e tiveram quatro encontros com situações-problema
de construção de gráficos e tabelas mais um encontro para aplicação de um questionário
final.
Nas suas conclusões o pesquisador afirma ter visto evolução no desempenho dos
pesquisados na construção e leitura de tabelas, mas dificuldades na leitura de gráficos,
principalmente no que Curcio (1991, apud VIEIRA, 2008, p.20) define como “leitura
entre os dados”, mais comparativa e elaborada.
34
Amaral (2010) elaborou o trabalho “Validação de Sequência Didática para
(Re)Construção
de
Conhecimentos
Estatísticos
por
Professores
do
Ensino
Fundamental”, investigando como os pesquisados entendem os conceitos de moda,
mediana e média. Aplicou uma Sequência Didática seguida de discussão dos conceitos,
usando como metodologia a Engenharia Didática.
O autor valoriza a Estatística como ferramenta de cidadania, colocada “no
contexto” das pessoas. Sua experiência de 20 anos como professor mostra a Estatística
muito mais ligada aos cálculos do que às representações gráficas, contrariando os PCNs,
que incluíram Estatística no item Tratamento da Informação.
A compreensão e a tomada de decisões diante de questões políticas e
sociais também dependem da leitura e interpretação de informações
complexas, muitas vezes contraditórias, que incluem dados estatísticos
e índices divulgados pelos meios de comunicação. Ou seja, para
exercer a cidadania é necessário saber calcular, raciocinar,
argumentar, tratar informações estatisticamente, etc. (BRASIL, 1997,
p.25)
Inspirado em Batanero (2000), Amaral defende que já não faz mais sentido
valorizar a importância do cálculo e do algoritmo. Entende que já há softwares que
fazem isso e que o foco deve ser a análise e compreensão da leitura dos gráficos e
tabelas e problemas de Tratamento de Informação.
Com o auxílio dos estudos de Moraes (2006), o autor concluiu que os conteúdos
de Estatística e Matemática são trabalhados de forma desarticulada na escola, pois os
professores têm letramento no nível cultural e não funcional, que favorece uma visão
tecnicista priorizando uso de registros tabulares e gráficos, além da interpretação apenas
algorítmica do conceito de média aritmética.
A sequência aplicada é progressiva, permite o domínio das codificações
possíveis na construção de tabelas e gráficos. Por exemplo: numa distribuição com
dados absolutos, o aluno deverá construir um gráfico de setores para comparar as
variáveis em relação ao total. Nesta construção, será preciso converter os valores
absolutos em percentuais antes de construir o gráfico, o que exigirá mudança de registro
numérico para registro gráfico.
Embora o foco do trabalho sejam as medidas de tendência central (média, moda
e mediana), o autor ressalta que é fundamental o aprendizado de gráficos e tabelas, o
que reforça o objetivo desse projeto, que inclui desde a captação dos dados até a
compreensão de medidas de tendência central passando pela assimilação dos conceitos e
aprendizado da construção de gráficos e tabelas.
35
Ao final de seu trabalho, Amaral (2010) afirmou que atingiu o objetivo de
colocar os professores focados no significado das medidas de tendências central e não
só nos cálculos em torno delas. Houve, segundo o autor, a reconstrução dos significados
das medidas de tendência central, com apoio de exercícios práticos, de grau de
dificuldade crescente resolvidos de forma participativa.
O pesquisador também concluiu que a formação continuada de professores é
fundamental e compensa a falta de formação específica. Reforçou que só viveremos
numa sociedade do conhecimento se as pessoas tiverem ferramentas para entender os
conhecimentos disponíveis e separar os mais relevantes. O autor relatou, ainda que, os
professores têm mais facilidade de lidar com média, mas trabalham pouco com moda e
mediana.
A dissertação de Pagan (2010) foi a mais aprofundada, diversificada e com mais
base teórica entre todas as analisadas para a elaboração deste projeto. É a que mais
utiliza na prática conceitos como os níveis de compreensão de Curcio (1989) e Wainer
(1992), além de aprofundar leituras sobre livros didáticos, PCNs, Educação Estatística,
elementos estatísticos, sistemas de avaliação, entre vários outros.
Seu trabalho comparou o resultado de aprendizado em Estatística de três turmas
de Ensino Médio, uma de Matemática, uma de Geografia, e uma interdisciplinar com
conteúdos de Matemática aplicados a Geografia, Biologia, Física e Química.
As bases teóricas foram os Registros de Representações Semióticas de Durval e
os estudos de Curcio (1989) e Wainer (1992).
A autora faz forte defesa do ensino da Estatística associado à realidade dos
alunos.
Como os alunos se sairão ao ler um relatório da empresa onde eles,
possivelmente, irão trabalhar? Eles sairão do ensino médio,
compreendendo o significado de variável, frequência, média, moda
mediana, desvio padrão? Serão capazes de construir um gráfico ou
uma tabela para organizar e apresentar de forma fidedigna os dados
coletados? (PAGAN, 2010, p. 19)
Defende que a Estatística tem um caráter intrinsecamente interdisciplinar, mas
coloca que: a Estatística ministrada por professores de Matemática tem pouca chance de
ser interdisciplinar por desconhecimento/desinteresse sobre outras disciplinas, e a
Estatística ministrada por professores de outras disciplinas pode pecar pela falta de
conhecimentos específicos destes professores sobre a Estatística em si.
36
A pesquisa foi aplicada em três turmas de primeiras séries do Ensino Médio,
cada uma com 35 alunos, totalizando 105 alunos. Incluiu pré-teste de sete questões,
mais seis encontros de Intervenção de ensino, além de pós-teste.
A autora viu vantagem no aprendizado dos alunos do grupo interdisciplinar em
pontos como mudança de registro de tabela para gráfico, escolha acertada do tipo de
gráfico a usar para representar uma situação estatística, leitura “além dos dados”, no
conceito de Curcio (1991), e compreensão do conceito de média a partir da leitura dos
gráficos e tabelas.
A intervenção de ensino quanto às noções de estatística, pautada nos moldes
da interdisciplinaridade leva os alunos a um sucesso na aquisição do
conhecimento independente do elemento estatístico estudado e da ação
requerida. (PAGAN, 2010, p. 188)
Resultados de aprendizado melhoraram 16% no grupo de Matemática pura, 13%
no grupo de Geografia e 38% no grupo interdisciplinar, após a intervenção de ensino.
Neste grupo caíram pela metade erros de construção de tabela, cálculos de média e
outros. O grupo usou como matéria-prima nas aulas conteúdos de outras disciplinas e
conteúdos da mídia, que ajudaram a gerar resultado muito superior ao de conteúdos
apenas teóricos ou de uma disciplina específica.
Embora diferente deste projeto no público-alvo (universitários) e na
Metodologia de Ensino (Modelagem Matemática), a dissertação apresentada por Stieler
na Unifra, em 2006 foi uma leitura proveitosa, pois tem como semelhança o fato de
propor um ensino contextualizado e defender que a Matemática e a Estatística são
poderosas ferramentas de compreensão da realidade.
A pesquisadora optou pela Modelagem por entender que esta metodologia
“aguça a criatividade e a criticidade”. Numa extensa fundamentação teórica, defende
um novo papel para o professor, como articulador da curiosidade do aluno indo além de
transmitir conteúdos e mostrando para que eles servem e onde podem ser usados.
O trabalho foi dividido em duas etapas. Na primeira, a turma de 7º semestre do
curso de Licenciatura em Matemática, disciplina Projetos de Pesquisa e Extensão em
Educação Matemática II, se submeteu a entrevistas individuais com perguntas
semielaboradas que procuraram reunir as opiniões dos alunos sobre temas como
conteúdos preferidos em matemática, conteúdos mais rejeitados, motivo para a escolha
do curso e sugestões de técnicas para o ensino da Matemática. O objetivo foi montar um
perfil detalhado da turma e discuti-lo com os próprios alunos.
37
Na etapa mais prática, os alunos foram divididos em grupos e puderam escolher
temas (situações-problema) para desenvolver trabalhos estatísticos. Houve uma opção
natural por temas da realidade, como uso de drogas, alimentos transgênicos e reajuste da
tarifa de ônibus.
No seu relato, a autora descreve uma mudança de atitude dos alunos, que
passaram da cautela e do ceticismo para a motivação e o envolvimento com os
trabalhos. Os pesquisados justificaram a modificação na atitude pelo fato de os alunos
terem se sentido protagonistas no projeto. Nem todos responderam que teriam coragem
de propor uma atividade tão participativa às suas turmas, quando forem docentes
formados, mas todos concordaram que a tendência é de aumento da motivação.
Esta foi a principal conclusão da autora da pesquisa: o resultado é positivo
quando se combinam abordagem de temas associados à realidade e um ambiente
participativo e protagonizado pelos alunos.
38
3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Este capítulo descreve questões metodológicas e delimita objetivos e os
conteúdos do projeto.
3.1 PROBLEMA DE PESQUISA
O problema de pesquisa que orienta o trabalho de investigação é assim
delimitado:
Quais as contribuições da Metodologia da Resolução de Problemas na
aprendizagem dos conceitos de Estatística por alunos do nono ano do Ensino
Fundamental?
3.2 QUESTÕES DE PESQUISA
Quais os conhecimentos dos alunos pesquisados sobre conteúdos de Estatística?
Quais estratégias de ensino podem ser empregadas para auxiliar os alunos a
superar suas dificuldades na Resolução de Problemas de Estatística?
3.3 OBJETIVO GERAL
Investigar a contribuição da Metodologia de Resolução de Problemas para a
compreensão de conceitos estatísticos por alunos do nono ano do Ensino Fundamental.
3.4 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Analisar se o aprendizado de conceitos estatísticos como média, mediana e
moda, assim como a construção de tabelas e gráficos a partir de dados coletados num
questionário, podem ser facilitados pelo uso da Metodologia de Resolução de
Problemas.
39
3.5 METODOLOGIA DE PESQUISA
Inicialmente, cabe expor um conceito de pesquisa, para depois apresentar
aspectos específicos do desenvolvimento desta pesquisa.
Etimologicamente, pesquisa está ligada, a busca (= quest), a research
(search= procura), e a idéia, sempre a mesma, são a de mergulhar na
busca de explicações, dos porquês e dos comos, com foco em uma
prática. Claro, o professor está permanentemente num processo de
busca de aquisição de novos conhecimentos e de entender os alunos.
Portanto, as figuras do professor e do pesquisador são indissolúveis.
(D‟AMBRÓSIO, 2003, p.94)
Para dar corpo e método a uma pesquisa é necessária uma metodologia
adequada. No caso desta investigação, a Metodologia de Pesquisa adotada foi de
abordagem qualitativa desde os primeiros passos, quando a pesquisadora fez, junto com
os alunos, a análise dos dados tabulados obtidos em questionário respondidos pelos
próprios alunos. Este tipo de abordagem seguiu também nos encontros, onde foram
aplicados e debatidos os problemas elaborados a partir dos dados tabulados. Houve
sempre o contato direto com os participantes, por meio de atividades em grupos que
permitiram observar os processos e compreender os modos de pensar dos alunos. O
detalhamento da investigação será exposto logo à frente, no item 3.6, sobre Metodologia
do Ensino.
O ambiente de pesquisa foi a sala de aula, numa dinâmica que envolveu os
alunos e teve o professor como elemento fundamental na missão de investigar. Esta
situação se encaixa no que defendem Lüdke e André (1986, p. 11). Para os autores, uma
pesquisa qualitativa tem “o ambiente natural como sua fonte direta de dados e o
pesquisador como seu principal instrumento”, sempre atento ao “maior número possível
de elementos presentes na situação estudada, pois um aspecto supostamente trivial pode
ser essencial para a melhor compreensão do problema que está sendo estudado”.
Segundo os autores, “o „significado‟ que as pessoas dão às coisas e à sua vida são focos
de atenção especial pelo pesquisador”.
Bicudo (2004) afirma:
O qualitativo engloba a idéia do sujeito, possível de expor sensações e
opiniões. O significado atribuído a essa concepção de pesquisa
também engloba noções a respeito de percepções de diferenças e
semelhanças de aspectos comparáveis de experiências. (p. 104)
40
A pesquisa qualitativa, também chamada pesquisa naturalista, tem como foco
entender e interpretar dados e discursos, mesmo quando envolve grupos de
participantes. Ela depende da relação observador-observado.
3.6 METODOLOGIA DE ENSINO
Este trabalho procurou estimular a aplicação de conteúdos de Estatística no
Ensino Fundamental e, conforme recomendam os PCNs, fazer isso de forma crítica,
com foco na leitura e interpretação de dados, e não apenas nos cálculos e na álgebra. A
Metodologia de Ensino escolhida para alcançar estas metas foi a de Resolução de
Problemas conforme descrita por Onuchic e Allevato (2009). Nas situações-problema e
demais intervenções de ensino em sala de aula foram adotadas as nove etapas de
abordagem propostas pelas autoras e descritas neste trabalho no Capítulo 2.2, Resolução
de Problemas. Dessa forma, a pesquisa procurou estimular a leitura e interpretação de
gráficos, levar os alunos à fixação de conceitos estatísticos como média, mediana e
moda e, também como recomendam as autoras, relacionar os conceitos aprendidos com
aspectos econômicos, sociais e culturais da realidade dos alunos.
Por esta metodologia, o aluno teve contato com o problema sem,
necessariamente, ter o conhecimento matemático formal necessário para a sua
resolução. Ele foi ajudado pelo que as autoras chamam de problemas geradores a
aprender, por exemplo, como se extrai a média de um conjunto de dados tabulados de
uma pesquisa, para depois chegar ao conceito de média. O método costuma gerar
debates, interação e descoberta pelos alunos, mediante uma postura de estímulo de parte
do professor que as autoras definem como observação participante, resumida na quinta
das nove etapas do método de Onuchic e Allevato (2009, p.98):
O professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimula o
trabalho colaborativo. Ele ainda organiza, consulta, media, intervém,
controla e incentiva a aprendizagem dos alunos, deixando o papel
apenas de expositor durante o desenvolvimento das atividades.
As atividades em sala de aula foram desenvolvidas em seis encontros de duas
horas cada, com intervalos de sete dias entre cada encontro.
Durante as atividades, a pesquisadora utilizou o Diário de Campo para registrar
suas observações. O Diário de Campo teve papel fundamental no desenvolvimento do
41
trabalho, por concentrar registros das reações dos alunos, da evolução do aprendizado e
de outras situações em sala de aula. Cada grupo de alunos também recebeu um caderno
destinado a ser o seu Diário de Campo, onde foram feitas as anotações sobre as
atividades desenvolvidas.
Dos seis encontros previstos na pesquisa, apenas o primeiro teve um conteúdo
diferenciado. Nele, em parceria com o professor titular da turma, a pesquisadora
distribuiu um questionário baseado no Censo 2010 do IBGE, que buscou informações
socioeconômicas sobre os alunos e suas famílias em itens como escolaridade, renda,
posse de eletrodomésticos e eletrônicos, idade, sexo, entre outros. Das respostas dos
alunos ao questionário foram formulados problemas para construir conceitos
estatísticos.
Este primeiro contato também serviu para que a pesquisadora explicasse como
seria o trabalho a ser desenvolvido com os alunos, tirando dúvidas e garantindo a
execução de todas as etapas da pesquisa.
Cada encontro, a partir do segundo, seguiu um roteiro composto por uma
sequência de problemas que aplicados conforme propõem Onuchic e Allevato (2009). A
turma foi dividida em grupos de no máximo quatro alunos. Cada grupo recebeu uma
folha com situações-problema sempre preparadas com base nas respostas aos
questionários aplicados pelos alunos no primeiro encontro.
Primeiramente, foi feita uma leitura individual. Depois, uma leitura em grupo.
Nesta etapa, a pesquisadora auxiliou os alunos que apresentaram alguma dificuldade.
Após o entendimento dos problemas, os alunos partiam para a resolução. A etapa
seguinte era a apresentação dos resultados de cada grupo no quadro, seguida de um
debate sobre as soluções encontradas e do esclarecimento de dúvidas, até que a turma
chegasse a num consenso em relação ao resultado correto. Em seguida era feita pela
pesquisadora a formalização do conceito.
Como os dados do problema foram todos extraídos da realidade dos alunos, foi
possível demonstrar a relevância da Estatística para a compreensão desta realidade a
partir de comparações que a pesquisadora estimulou, entre os dados extraídos das
famílias e o que o Censo 2010 concluiu sobre a condição socioeconômica da população
do município de Santa Maria. O propósito era, por exemplo, estabelecer uma relação
entre escolaridade e renda ou indicar tendências crescentes ou decrescentes de posse de
produtos de consumo.
42
Ao final de todos os encontros, estava fechado o circuito que buscou elevar o
conhecimento dos alunos sobre Estatística, demonstrar que os conceitos estatísticos
podem ser assimilados num ambiente de estudo participativo e de construção do
conhecimento e, ainda, ressaltar a importância da Estatística como ferramenta de
compreensão crítica da realidade.
3.7 INSTRUMENTOS DE PESQUISA
A coleta de dados utilizou os seguintes instrumentos: questionário, observação
participante, diário de campo e análise de documentos.
Segundo Cervo e Bervian (2002, p.138), “o questionário é a forma mais usada
para coletar dados, pois possibilita medir com melhor exatidão o que se deseja”.
Nesta pesquisa, o questionário teve 9 questões (ver apêndice A), baseadas no
Censo 2010 do IBGE, com objetivo de reunir dados socioeconômicos tabulados pela
pesquisadora e utilizados na pesquisa.
O Diário de Campo é um instrumento de registro diário e, segundo Minayo
(1993, p.100), nele
[...] constam todas as informações que não sejam o registro das
atividades formais. Ou seja, observações sobre conversas informais,
comportamentos, cerimoniais, festas, instituições, gestos, expressões
que digam respeito ao tema da pesquisa. Fala, comportamento,
hábitos, usos, costumes, celebrações e instituições compõem o quadro
das representações sociais.
Um Diário de Campo foi usado pela pesquisadora para registrar dados e
impressões sobre o trabalho, as dificuldades e desafios, a evolução dos alunos na
compreensão dos conceitos, a análise dos documentos e registros produzidos pelos
grupos de alunos e outras observações necessárias ao desenvolvimento de uma pesquisa
qualitativa. Cada grupo de alunos também recebeu um Diário de Campo para anotações
que ajudaram nas análises e conclusões da pesquisadora.
Segundo Severino (2007, p. 125), observação “é todo procedimento que permite
acesso aos fenômenos estudados. É etapa imprescindível em qualquer tipo ou
modalidade de pesquisa”.
A observação participante, adotada na pesquisa, garantiu um variado e útil
conjunto de registros no diário de campo. Por meio dela, a pesquisadora interagiu com
43
os grupos de alunos identificando os avanços, ajudando a superar desafios e buscando
enriquecer seus registros sobre o andamento do trabalho.
Para Lüdke e André (1986), uma das vantagens da utilização dessa técnica é a
possibilidade de um contato pessoal do pesquisador com o objeto de investigação,
permitindo acompanhar as experiências diárias do sujeito e apreender o significado que
atribui à realidade e às suas ações. Os mesmos autores acrescentam: o “observador
precisa aprender a fazer registros descritivos, saber separar os detalhes relevantes dos
triviais, aprender a fazer anotações organizadas e utilizar métodos rigorosos para validar
suas observações”. (p. 26)
Segundo Severino (2007, p.124), documento “é toda forma de registro e
sistematização de dados, informações, colocando-os em condições de análise por parte
do pesquisador”.
Conforme Lüdke e André (1986, p. 38), “A análise documental pode se
constituir numa técnica valiosa de abordagem de dados qualitativos, seja
complementando as informações obtidas por outras técnicas, seja desvelando aspectos
novos de um tema ou problema”.
Durante os encontros onde se desenvolveu a pesquisa, os alunos faziam os
registros dos procedimentos realizados para desenvolver as atividades. Ao final de cada
aula, estes documentos eram recolhidos. Os registros ajudaram a pesquisadora a
verificar a evolução dos alunos.
3.8 PARTICIPANTES DA PESQUISA
O grupo de 25 participantes desta pesquisa foi formado por alunos de uma turma
de nono ano do Ensino Fundamental de uma Escola Estadual de Ensino Fundamental do
Município de Santa Maria. A pesquisa foi desenvolvida no segundo semestre de 2012.
Do total de 27 alunos da turma, 25 responderam ao questionário inicial e 23
participaram dos encontros para a resolução das situações-problema.
44
4 ANÁLISES DOS DADOS
Este capítulo apresenta a descrição da aplicação da sequência didática, as
avaliações dos registros nos diários de campo dos alunos e do professor e as análises das
respostas dos alunos às situações-problema propostas em sala de aula.
Os alunos não eram obrigados a participar das aulas do projeto, mas a professora
conversou e incentivou a participação de todos, argumentando tratar-se de um conteúdo
importante. A turma 83 tem 27 alunos. No dia da aplicação do questionário estavam
presentes 25 e participaram do projeto 23, sendo 12 meninos e 11 meninas. Eles foram
divididos em 7 grupos, 5 formados por 3 alunos e 2 por 4 alunos. A escolha dos grupos
ficou a critério dos alunos. Eles não foram identificados pelos nomes, apenas os grupos
foram denominados por letras de A até G. Os grupos foram denominados por letras de
A até G, e seus integrantes foram identificados como A1, A2, A3, e assim
sucessivamente.
Por sugestão da professora titular das turmas, a pesquisa foi aplicada em
encontros no contraturno das aulas regulares. Como a Estatística é um conteúdo do
nono ano, e a professora da turma não teria condições de passar este conteúdo porque
estava com a matéria atrasada, pediu que a pesquisadora aplicasse o trabalho com as três
turmas para que todas tivessem a chance de ter conhecimentos novos. Esta situação
confirma uma das premissas da pesquisa, a de que, embora a sua relevância e a
recomendação nos PCNs, a Estatística acaba em segundo plano e muitas vezes sequer é
tratada nas aulas.
Conforme a sugestão da professora titular, o projeto foi aplicado nas três turmas,
mas este trabalho vai contemplar a análise somente com a turma 83, o que é plenamente
suficiente para os objetivos desta pesquisa.
No primeiro contato para a aplicação das situações-problema, a pesquisadora fez
um breve comentário sobre do que se tratava a pesquisa e perguntou o que os alunos
sabiam sobre Estatística. Algumas respostas obtidas:
Grupo B: estatística é uma forma de representar conteúdos com gráficos, médias
e desenhos, tornando mais fácil o seu entendimento.
Grupo C: estatística é só gráfico.
Grupo D: é tipo para contar quem ganhou eleição e para isso tem que ver os
gráficos.
Os demais grupos não souberam responder.
45
As respostas revelaram um nível de informação sobre Estatística abaixo do que
os alunos deveriam ter no nono ano, reflexo, entre outras coisas, do fato de pouco terem
estudado o tema na vida escolar.
Depois que cada grupo leu a sua resposta, a pesquisadora apresentou, de maneira
simples e rápida, conceitos como população, amostra e variável. Neste momento, alguns
alunos comentaram já ter ouvido falar em população e amostra quando foi feito o Censo
de 2010 em suas casas.
No momento seguinte, as atividades foram entregues, uma a uma, aos grupos,
que deveriam tentar ler e resolver, sempre explicando o que estavam fazendo para que
fosse possível observar e analisar as resoluções e o raciocínio. Durante as explicações
das atividades, enquanto os alunos discutiam as questões com os colegas, a
pesquisadora orientava os grupos, caso surgissem dúvidas, e verificava como se
comportavam diante das questões.
Foram 11 atividades (ver apêndice B), divididas em 5 encontros. Ao final de
cada atividade, seguindo os passos propostos por Onuchic e Allevato, (2009, p. 8), um
aluno de cada grupo colocava no quadro a resposta encontrada e as estratégias do grupo
para chegar até esta resposta. Em seguida era feita uma plenária que levava à
formalização de conceitos pelo professor-pesquisador.
Antes da série de encontros em que foram trabalhadas as situações-problema, foi
realizada, em sala de aula, a aplicação do questionário que recolheu dados
socioeconômicos das famílias dos alunos participantes da pesquisa. Composto por 9
itens, o questionário investigou desde dados básicos, como idade, sexo e número de
moradores por residência, até aspectos como escolaridade, faixa de renda e posse de
bens. As perguntas foram formuladas com base no questionário oficial do Censo 2010,
do IBGE, o que garantiu a consistência da coleta das informações posteriormente usadas
na elaboração das situações-problema. Ao mesmo tempo, o uso dos dados reais das
famílias dos próprios alunos foi uma forma de demonstrar na prática como a estatística é
uma poderosa ferramenta de leitura da realidade social e econômica, capaz de permitir
comparações, identificar distorções, motivar para valores como a escolarização e o
trabalho e estimular transformações que permitam às pessoas alcançar progressos em
sua condição de vida.
Um exemplo de como os dados recolhidos no questionário deram base às
situações problema: os itens 5, 7 e 8 questionavam sobre renda, grau de escolaridade do
pai e da mãe. Os dados obtidos aparecem na situação-problema 8, que trata de
46
conhecimentos estatísticos como porcentagem e gráfico, e ao mesmo tempo mostra aos
alunos que quanto maior a escolaridade dos pais, maior a renda da família.
A seguir, a descrição e a análise de cada atividade:
Situação-problema 1
A tabela 1 representa o número de meninos e meninas da turma 83.
Tabela 1 – Quantidades de alunos do nono ano 83
Meninos
11
Meninas
14
Total
25
Fonte – Primária, 2012
Com base nos dados apresentados na tabela, responda:
a) Represente por meio de um gráfico de colunas o número de meninos e o número
de meninas.
b) Qual é a porcentagem de meninos e meninas?
Desenvolvimento da atividade
O item (a) buscou avaliar se os alunos estavam preparados para a leitura e
interpretação de tabelas. A partir dos dados de uma tabela simples, eles precisavam
construir um gráfico de colunas. Como o gráfico de colunas é frequentemente utilizado
nos meios de comunicação e aparece também com frequência em livros didáticos, a
expectativa era de que os alunos encontrassem facilidades para resolver o que foi
proposto.
No mesmo item, procurou-se também identificar se os alunos dominavam o uso
de escalas para construir gráficos de colunas e se tinham afinidade com o conceito de
plano cartesiano e como se sairiam na indicação dos eixos.
Antes do início das atividades, a pesquisadora explicou aos alunos como seria a
metodologia de trabalho, informando que trabalhariam em grupos e sempre a partir de
um problema. Os alunos foram divididos em grupos, e a atividade foi distribuída.
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Enquanto os grupos desenvolviam a atividade, a professora circulava entre os grupos
observando o comportamento dos alunos e tirando as dúvidas que surgiam.
A pesquisadora levou régua, papel milimetrado e lápis de cor para que os alunos
representassem o gráfico pedido na atividade.
Como os alunos falaram que já conheciam o gráfico de colunas em revistas e
jornais, e não solicitaram a presença da pesquisadora para esclarecer dúvidas, foram
liberados para resolver a atividade apenas com o conhecimento prévio de cada um.
Plenária
Após a resolução da atividade, cada grupo foi ao quadro e apresentou as suas
soluções. Os grupos representaram o gráfico de colunas usando retângulos na vertical,
mas não completaram o gráfico. Nenhum grupo colocou título e apenas dois fizeram a
escala certa e indicaram o que representa cada eixo. Todos os grupos pintaram o gráfico
e fizeram a legenda.
Durante a plenária, a pesquisadora questionou por que jornais e revistas utilizam
gráficos e tabelas em suas páginas. As respostas foram:
Grupo C: para organizar as informações.
Grupo G: para transmitir mais rapidamente as notícias.
Grupo D: quando olhamos o gráfico não precisamos ler a notícia. O gráfico já
tem todas as informações.
A pesquisadora, então, perguntou: “Se uma pessoa entrasse na sala agora,
olhando os gráficos no quadro, conseguiria saber que informação queremos transmitir?”
Alguns grupos responderam que não, e a pesquisadora perguntou por quê. As
respostas foram:
Grupo A: tá faltando dizer sobre o que é o gráfico.
Grupo G: falta colocar um título.
Pesquisadora. Isso mesmo. Qual seria o título?
Grupo G: é só colocar o que está no enunciado da atividade: número de meninas
e meninos da turma 83.
Pesquisadora: muito bem. Agora o gráfico está pronto ou falta mais alguma
informação?
O grupo B, que foi um dos grupos que utilizaram a escala correta, disse também
corretamente que ainda era preciso colocar as retas na vertical e na horizontal.
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Conforme os alunos iam falando, a pesquisadora completava o gráfico. Como
referência, foi escolhido o gráfico do Grupo E, que fez a escala correta.
Pesquisadora: temos que colocar o que cada eixo está indicando. O que estamos
indicando no eixo horizontal?
Grupo B: quantos meninos e quantas meninas há na sala.
Após várias sugestões, os alunos decidiram colocar sexo dos alunos.
Pesquisadora: e no outro eixo, o que vamos colocar?
Grupo B: neste é a quantidade de alunos.
Finalizando o gráfico, a pesquisadora reforçou a necessidade de colocar um
título no gráfico e indicar o que representa cada eixo. Usou os exemplos que estavam no
quadro para falar sobre as escalas utilizadas, pois o uso de escalas erradas pode
interferir numa correta interpretação dos gráficos. Para facilitar a leitura das
informações, foi colocado o nome de cada eixo abaixo de cada coluna e explicado que é
possível utilizar uma legenda quando estes nomes forem grandes. Finalmente, foi
enfatizada a diferença entre um gráfico de colunas e um histograma.
Abaixo, algumas das soluções apresentadas pelos alunos:
Figura 1: resolução apresentada pelo grupo B.
Na letra (a), o grupo B utilizou a escala certa, mas a largura das barras estão
diferentes. Não colocou título nem a indicação dos eixos.
49
Figura 2: resolução apresentada pelo grupo G.
No grupo G, os alunos não deixaram espaço entre os retângulos e não
representaram os eixos. Este grupo fez um histograma.
Em relação à construção de gráficos de colunas, ficou claro que, apesar de os
alunos conhecerem este tipo de gráfico, costumam errar na sua construção, omitindo
elementos como escalas nos eixos, título e a própria indicação dos eixos.
Os alunos não apresentaram dificuldades na resolução do item (b). Nenhum
grupo solicitou a participação da pesquisadora. Os alunos estavam envolvidos na
resolução da questão, discutiam e conversavam entre eles. Todos resolveram de forma
correta a letra (b). A seguir, algumas soluções encontradas:
O Grupo A resolveu por tentativa e erro:
Figura 3: resolução apresentada pelo grupo A.
Pesquisadora: como vocês chegaram a este resultado?
Grupo A: pensamos assim: o total de alunos é 25. O total é sempre 100%. A
metade seria 50%, que representam 12,5. Temos 11 meninos. Um pouco menos da
metade. Então a porcentagem tem que ser menor do que 50%. Daí, pegamos as
50
porcentagens menores do que 50 e fomos multiplicando por 25. Chegamos em 44%,
pois 44 x 25 = 1 100. Dividimos por 100 e chegamos em 11, que é o número de
meninos. O número de meninas é o que falta para 100%. Fizemos 100% - 44% e
chegamos em 56%.
O grupo D foi o único a utilizar a regra de três na resolução deste item.
Figura 4: resolução apresentada pelo grupo D
Abaixo a resolução do grupo F que os colegas consideraram “confusa”:
Figura 5: resolução apresentada pelo grupo F.
Pesquisadora: algum aluno do grupo F pode explicar a resolução?
A1: achamos 1/5 do total de alunos que é 5. E 1/5 de 100% é 20%. Então 5
alunos são 20% dos alunos.
Pesquisadora: exatamente.
A1: agora vamos achar quanto por cento representa 1 aluno. Temos 5 alunos,
então dividimos 20% por 5 que é 4%. Então, cada aluno representa 4%. Como temos 11
51
meninos, multiplicamos por 4% e chegamos em 44%. Para achar a porcentagem de
meninas é só fazer 100 – 44 = 56.
Os grupos B, C e E resolveram utilizando a proporção, verificando quantas
vezes o total de alunos cabe em 100% e chegaram a seguinte solução:
Figura 6: resolução apresentada pelo grupo B.
A letra (b) solicitava apenas o levantamento de dados explícitos na tabela. Todos
os grupos responderam com precisão. Retiraram os dados da tabela e converteram em
porcentagens. Segundo a professora da turma, isso se deve ao fato de os alunos terem
trabalhado este conteúdo na sexta série.
Situação-problema 2
O gráfico 1 representa a idade dos alunos da turma 83.
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Gráfico 1 – Idade dos alunos da turma 83.
Fonte – Primária, 2012
Lendo as informações no gráfico, responda as seguintes questões:
a)
Qual é a idade da maioria dos alunos?
b)
Quantos alunos têm esta idade?
c)
Qual a porcentagem de alunos com 15 anos ou mais?
d)
Qual é a idade média dos alunos da turma 83?
e)
Quantos alunos possuem idade abaixo da média?
f)
Ao formar uma fila com os alunos por idade, do mais novo ao mais
velho, alguma criança divide esta fila ao meio? Caso afirmativo, quantas crianças estão
na fila antes e depois dela?
g)
Se cinco alunos da turma 82, todos com 13 anos, forem transferidos para
a turma 83, o que acontecerá com os valores da média, moda e mediana? Justifique a
sua resposta.
Desenvolvimento da atividade
A atividade foi distribuída e cada grupo mostrou-se interessado em encontrar
uma solução para a atividade proposta, conversando e discutindo.
Durante o processo, a pesquisadora circulava entre as classes auxiliando os
grupos na compreensão e interpretação da atividade. A ajuda se dava com
questionamentos e estímulos adequados à construção do conhecimento, que resultaria
da generalização de conceitos a partir dos desafios propostos na atividade.
A inserção de dados mais complexos, que misturavam idades e sexos dos alunos
buscou exercitar nos grupos noções de gráficos de dupla entrada. Desta forma, foi
53
possível medir os níveis de leitura e interpretação de gráficos, conforme os níveis de
Curcio (1991, apud VIEIRA, 2008). Outro objetivo foi introduzir os conceitos de moda
e mediana, além de reforçar a noção de média.
Logo no início da atividade, o grupo E perguntou:
E1: professora, como fazer a letra c?
Pesquisadora: O que está perguntando?
E1: a porcentagem de alunos com 15 anos ou mais.
Pesquisadora: quem tem 15 anos ou mais pode ter qual idade?
E1: 17 anos.
Pesquisadora: só pode ter esta idade?
E3: também pode ter 15 ou 16.
E1: lembrei. Regra de três.
Pesquisadora. Isso mesmo. Agora é só resolver.
O grupo G também pediu ajuda:
G1: podemos passar corretivo na solução da letra d? Percebemos que está errada
e queremos arrumar.
Pesquisadora: deixem a solução errada e façam a certa embaixo para que eu
possa analisar o raciocínio de vocês.
Em pouco tempo, o grupo G apresentou a seguinte solução para o cálculo da
média:
13 x 8 + 14 x 11 + 4 x 15 + 1 + 1
Pesquisadora: algum aluno pode explicar como estão resolvendo a questão?
G3: estamos somando as idades dos alunos.
Pesquisadora: por que somaram 1? Tem algum aluno com 1 ano de idade?
G3: ah, aqui é 16 e 17.
Pesquisadora: isso mesmo.
G2: agora eu divido por 75?
Pesquisadora: por que 75?
G1: é a soma das idades.
Pesquisadora: se eu quisesse saber a média das idades dos três alunos do grupo
G, como seria?
G2: somaria as três idades e dividiria por três.
Pesquisadora: por que três?
G2 : porque são três alunos.
54
G1: então não divide por 75. Tem que dividir por 25, que é o número de alunos.
Pesquisadora: está correto.
No item (f) da situação-problema, os objetivos são trabalhar leitura entre os
dados e fixar o conceito de mediana, como o valor que está no centro da série. O item
(g) é mais complexo: trabalha leitura além dos dados, ao desafiar o aluno a identificar
dados subentendidos, que não estão explicitados no gráfico. Também neste item,
novamente foram trabalhadas medidas de tendência central, neste caso a obtenção da
mediana a partir da média entre os valores centrais quando se tem um número par de
valores.
Plenária
Após a realização das atividades, a pesquisadora solicitou que cada grupo fosse
ao quadro e colocasse, de início, a resolução dos itens (a) e (b), pois não teria espaço
suficiente para todos os grupos resolverem todos os itens. Um aluno do grupo A veio ao
quadro e explicou a sua resolução. Os outros grupos concordaram.
Todos os grupos somaram o número de meninas e o de meninos em cada idade,
chegando aos seguintes resultados: 8 alunos com 13 anos, 11 com 14 anos, 4 com 15
anos, 1 com 16 anos e 1 com 17 anos. Assim encontraram que a maioria dos alunos têm
14 anos (resposta da letra a) e que 11 alunos têm esta idade (resposta da letra b).
A pesquisadora aproveitou este item para definir o conceito de moda.
Pesquisadora: que produto vemos com maior frequência as pessoas usarem?
C1: todo mundo tem celular.
Usando a analogia com a “moda” do celular, a pesquisadora introduziu o
conceito estatístico de moda, definido como o valor que aparece mais vezes, o de maior
frequência.
A letra (c) envolvia uma leitura entre os dados. Os grupos A, B, C e F
analisaram de forma errada o que era pedido e consideraram apenas os alunos com 15
anos. Isso reforçou na pesquisadora uma percepção presente em outras etapas do
trabalho: a dificuldade de muitos alunos nem sempre é a resolução do problema, mas a
sua leitura.
Esta constatação é relevante porque vai além da simples capacidade de entender
um enunciado de uma atividade em sala de aula. Remete ao que D‟AMBROSIO aponta
como a necessidade de se investir na educação para a cidadania, “um dos grandes
55
objetivos da educação de hoje” (2003, p.87). Uma preocupação acentuada por PAGAN,
que, diante das dificuldades percebidas no nível de compreensão dos alunos em
questões elementares, questiona: “Como eles se sairão ao ler um relatório da empresa
onde, possivelmente, irão trabalhar? (2010, p.19)
Abaixo, para demonstrar a dificuldade de compreensão do enunciado, está
reproduzida a resolução proposta pelo grupo F:
Figura 7: resolução apresentada pelo grupo F.
A resolução correta foi a apresentada pelos grupos D, E , G e H que verificaram
quantas vezes o total de alunos da turma 83 cabe em 100.
Figura 8: resolução apresentada pelos grupo E.
Como esta foi uma questão que os alunos demoraram para resolver, devido ao
pouco tempo que restava, a professora pediu que só o grupo G fosse ao quadro expor as
suas soluções dos itens (d), (e) e (f).
Durante a plenária e na análise dos diários de campo dos alunos, ficou claro que
os alunos apresentaram dificuldades em fazer a leitura dos dados apresentados na forma
de gráfico de colunas duplas. Conhecem o conceito de média aritmética, mas esbarram
no cálculo quando se trata da média aritmética ponderada, pois não compreendem o seu
significado, como foi possível constatar nas resoluções da letra (d).
56
Analisando os resultados da letra (d), um aluno do grupo D, questionou a
resolução:
D3: por que tem duas respostas? Qual a certa?
G1: a resposta certa é 14,04. Primeiro somamos as idades que estão na horizontal
(13 + 14+ 15 + 16 + 17) e dividimos por 5, porque são 5 idades. Olhando a resposta da
letra (b) percebemos que resolvemos errado. Tem 11 alunos com 14 anos e não só um.
Percebemos que era preciso multiplicar cada idade pelo número de alunos que têm esta
idade e depois dividir por 25 alunos.
Os diários de campo mostraram que os grupos C e F consideraram a média como
a idade da maioria dos alunos, confundindo média com moda. Já o grupo D confundiu
média com mediana. Os alunos deste grupo consideraram como média a idade que está
representada no centro do gráfico, no caso, 15 anos.
Estas mesmas dificuldades foram identificadas nos estudos de Lemos (2011, p.
163), onde os alunos também não levaram em conta a ponderação dos dados e
ignoraram que as frequências deveriam ser consideradas como “pesos” no cálculo da
média representativa para a variável em questão.
Apenas os grupos E e G acertaram o item (d). Os grupos A, B e H resolveram
como a primeira solução apresentada pelo grupo G. após a explicação pelo grupo G, os
alunos concordaram com a segunda solução.
Figura 9: resolução apresentada pelo grupo G.
O item (e) aborda uma leitura entre os dados. Com exceção do grupo A que não
resolveu este item, todos os outros grupos perceberam que se trata da soma do número
de alunos com idades iguais a 13 e 14 anos. Desta forma, a solução encontrada foi 8 +
11 = 19.
Nenhum grupo apresentou os cálculos na resolução deste item.
Os grupos E e G utilizaram a mesma estratégia para resolver os itens (f) e (g).
57
Figura 10: resolução apresentada pelo grupo E.
Os diários de campo dos alunos mostram que os grupos E e G, não apresentaram
dificuldades para calcular a média e a moda na letra (g), mas não encontraram nenhuma
linha de raciocínio que levasse ao conceito de mediana na letra (f). Como a mediana é
um conceito novo para os alunos, assim como Amaral (2012, p.72), a pesquisadora
acreditava que eles teriam dificuldades nos itens (f) e (g), o que se confirmou.
G3: colocamos os valores em ordem, como fizemos na letra anterior, e não
encontramos um valor no meio. Então colocamos o 14 porque na letra anterior foi 14.
Figura 11: resolução apresentada pelo grupo G.
Na plenária, a pesquisadora aproveitou o que o grupo G havia exposto para
formalizar o conceito de mediana. Explicou que é preciso colocar todos os valores em
ordem crescente ou decrescente, sendo o valor que ocupar a posição central a mediana.
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Lembrou também que quando há um número par de valores, a mediana é a média
aritmética entre dois valores centrais.
Situação-problema 3
O gráfico 2 representa as condições das moradias das famílias dos alunos da
turma 83.
Gráfico 2 – Condições das moradias das famílias dos alunos da turma 83
Fonte – Primária, 2012
Com base nos dados representados no gráfico, responda:
a)
Na classe dos alunos da turma 83 há mais moradias alugadas ou
próprias?
b)
Qual a porcentagem de famílias que moram em domicílio próprio?
Desenvolvimento da questão
O objetivo do item (a) desta situação-problema era apresentar o conceito e um
exemplo de gráfico de setores, além de avaliar a capacidade dos alunos para ler e
interpretar este tipo de gráfico, bastante comum em livros didáticos e na mídia. No item
(b) procurava-se reforçar a importância do conhecimento de porcentagem.
Em relação ao item (a), pela simples observação do gráfico, os alunos
constataram que o maior “pedaço” representa o dado com maior frequência, neste caso
o número de famílias com moradias próprias. Já o cálculo da porcentagem, necessário
para encontrar a resposta ao item (b), havia sido aprendido pelos alunos nos anos
anteriores, o que facilitou a tarefa de encontrar a resposta: 68%. A rapidez e a facilidade
59
em responder aos dois itens já eram previstas, o que não torna esta situação-problema
menos importante, considerando que ela trata de dois temas importantes no ensino da
Estatística. Além disso, gerou um debate interessante na plenária, como será descrito a
seguir.
Plenária
Um aluno do grupo B foi ao quadro e expôs a sua solução. Todos os outros
grupos concordaram, pois obtiveram a mesma solução.
Para responder ao item (b), que trata de porcentagem, o grupo utilizou regra de
três, mesmo recurso adotado pelos outros grupos. A professora titular da turma já havia
trabalhado com os alunos a regra de três para resolver porcentagens.
Resolvidos os itens, obedecendo à premissa da Metodologia de Ensino de
Resolução de Problemas, segundo a qual as contribuições do debate ajudam a construir
e consolidar os conceitos, a pesquisadora indagou se os alunos conheciam o gráfico
apresentado na questão e se sabiam o seu nome.
F1: é um gráfico de pizza.
C2: já vi este gráfico na revista Quatro Rodas.
D2: tem no jornal Diário também.
Pesquisadora: como ele é dividido em pedaços, lembra uma pizza, mas o nome é
gráfico de setores.
Figura 12: resolução apresentada pelo grupo B.
60
Situação-problema 4
A questão 4 do questionário aplicado na turma 83 indagou: Incluindo você,
quantas pessoas moram na sua família?
Foram coletados os seguintes dados que ainda não foram organizados e tratados:
4, 3, 4, 5, 2, 4, 3, 4, 3, 5, 4, 5, 2, 2, 2, 5, 4, 4, 3, 4, 6, 4, 5, 3, 3
Na amostra acima:
a)
Qual é a média de moradores nas residências dos alunos do nono ano da
turma 83?
b)
Os resultados do Censo 2010 mostram que a média de moradores por
domicílios em Santa Maria é igual a 2,96. Comparando esta média com a média de
moradores dos domicílios dos alunos do nono ano da turma 83, o que você conclui?
c)
Determine a moda do número de pessoas que moram em cada residência
dos alunos da turma 83.
d)
Determine a mediana do número de pessoas que moram em cada
residência dos alunos da turma 83.
e)
Em quantas residências, dessa turma, moram até 4 moradores?
f)
Qual a porcentagem das residências dessa turma que possuem mais de 3
moradores?
g)
Represente, por meio de um gráfico de barras, o número de moradores
em cada residência dos alunos da turma 83.
Desenvolvimento da atividade
Dividida em sete itens, esta atividade teve dois grandes objetivos: reforçar os
conceitos de média, moda, mediana, porcentagem e construção de gráfico de colunas, já
vistos nas situações-problema anteriores, e comparar dados da amostra formada pelas
famílias dos alunos com dados reais do Censo 2010.
A atividade não ocorreu no mesmo encontro em que foram desenvolvidas as três
anteriores. Mesmo assim, a pesquisadora solicitou que os alunos formassem os mesmos
grupos, pois a metodologia seria igual em todo o trabalho. Enquanto os grupos eram
formados, a pesquisadora distribuía os diários de campo aos alunos.
Logo no início dos debates, um aluno do grupo E perguntou:
E3: a letra (e) é pegadinha?
61
Pesquisadora: por quê?
E3: porque onde moram quatro moram dois.
Pesquisadora: leia novamente a questão. Olhando para a série de números que
ela apresenta, diga quantas pessoas você acha que podem morar numa residência com
até quatro moradores?
E3: pode ter duas, três ou quatro.
Pesquisadora: exatamente. Pense mais um pouco e tente resolver a questão.
Passado um tempo, o aluno E3 chamou a pesquisadora.
E3: na letra (f) é três ou mais de três?
Pesquisadora: o que você acha?
E3: neste caso pode ter três, quatro, cinco ou seis.
E1: o três não pode ser. É mais de três moradores.
O aluno E3 é exemplo de um problema comum em sala de aula: dificuldade de
entender mesmo um enunciado básico de exercício, agravada pelo desinteresse em tirar
dúvidas. Neste caso, ele foi corrigido pelo colega E1, mas numa situação normal de sala
de aula, é possível que permanecesse com a conclusão incorreta, o que comprometeria a
resolução da atividade.
O grupo E apresentou outro problema que dificulta o aprendizado: pouca
habilidade para trabalhar em equipe. Os alunos acabam atuando de forma isolada, sem
troca de informação ou interações que enriqueçam o aprendizado. Sobre esta questão,
MÉDICI afirma: “A troca entre os alunos permite construir novos significados para o
mesmo objeto, além de proporcionar a negociação entre eles, o que provoca a
explicação não só dos novos conhecimentos em fase de construção, como também das
dúvidas e dificuldades”. (2007, p.80)
Em relação ao item (d), o grupo G entendeu que a mediana é o valor que divide
os dados em dois conjuntos com a mesma quantidade, mas esqueceu-se de ordenar estes
dados, encontrando o valor 2 como resultado. Um aluno do grupo percebeu o erro e
falou:
G4: temos que escrever dois, dois, dois... depois, três, três, três e assim por
diante, até acabar todos os números.
G1: por quê?
G4 : tem que colocar os valores em ordem.
G1: é isso, profe?
62
Professora: sim. É preciso colocar os valores em ordem crescente ou decrescente
e repetir um mesmo valor obedecendo à série proposta no exercício.
G4: viu, se eu não estivesse no grupo de vocês teriam errado.
Ao contrário do grupo E, o grupo G soube tirar proveito do trabalho em equipe.
Debateu com mais intensidade as questões, teve troca de conhecimentos entre seus
integrantes e conseguiu corrigir respostas incorretas.
Plenária
Como no encontro anterior, um aluno de cada grupo veio ao quadro e explicou
as suas soluções.
Analisando as respostas dos itens (a) e (c), observa-se que os alunos não
apresentaram dificuldades na sua resolução. O item (a) sugeria que o aluno encontrasse
a média. Neste caso, era preciso conhecer o algoritmo da média e aplicá-lo. A seguir, a
solução do grupo D, que coincide com as dos outros grupos.
Figura 13: resolução apresentada pelo grupo D.
Dois fatores facilitaram o trabalho de responder ao item (a): o tema é o mesmo
da situação-problema 2 e calcular média é algo que faz parte do dia a dia dos alunos, por
exemplo quando calculam suas notas médias na escola.
Um aspecto positivo das respostas é que os grupos não arredondaram para um
número inteiro, o que significa que compreendem e aceitam que a média pode ser
decimal, embora alguns tenham dito que acharam “estranho” a resposta ser “quebrada”.
Com exceção do grupo A, que não respondeu a letra (c), os demais grupos
responderam corretamente, identificando a moda como sendo o valor de maior
frequência, neste caso, o valor quatro.
63
Figura 14: resolução apresentada pelo grupo B.
No item (b), uma simples comparação com a resposta do item (a) levaria à
solução. De fato, os alunos demonstraram saber que bastava comparar, mas revelaram
grande dificuldade para expressar isso numa resposta discursiva, já que o item pedia que
eles explicassem o que concluíram ao fazer a comparação. Bastava uma frase simples,
como fez o grupo E. Já o grupo C tinha a resposta, mas usou uma informação (a
diferença entre as duas médias) inadequada para expressar esta resposta.
Abaixo, algumas soluções apresentadas pelos grupos:
Figura 15: resolução apresentada pelo grupo B.
Figura 16: resolução apresentada pelo grupo C.
Figura 17: resolução apresentada pelo grupo E.
O item (d) buscou aprofundar a ideia de mediana, introduzida na situaçãoproblema 2. Alguns grupos apresentaram dificuldades na resolução.
O grupo B, por exemplo, colocou os valores em ordem crescente e considerou o
valor central como a mediana, o que está incorreto, pois o grupo não considerou a
frequência de cada valor.
64
Figura 18: resolução apresentada pelo grupo B.
O grupo C não apresentou cálculo para a letra (d). Encontrou o 4 como valor da
mediana. Questionado sobre a resposta, apenas informou que considerou o valor de
maior frequência, repetindo o erro do grupo B.
Os grupos D, E e G não apresentaram dificuldades para encontrar o valor da
mediana. Utilizaram a estratégia de colocar os valores em ordem crescente e selecionar
o valor central, que divide o grupo em duas partes iguais, tomando o cuidado de
observar a frequência com que os números apareciam no enunciado.
Figura 19: resolução apresentada pelo grupo D.
No item (e), apenas os grupos A e G não encontraram as soluções corretas.
Houve dificuldade na interpretação da questão. O grupo A entendeu que as residências
com até 4 moradores só podem ter 3 pessoas. Já o grupo G considerou todas as
residências com quatro moradores.
Os demais grupos resolverem o item (e) sem problemas. Todos entenderam que,
com base na série apresentada, numa residência onde moram até 4 moradores, pode
haver 2, 3 ou 4 pessoas. Com isso, chegaram ao número correto de residências nesta
condição. Uma das respostas apresentadas está reproduzida a seguir:
Figura 20: resolução apresentada pelo grupo C.
O item (f) desta situação-problema gerou respostas corretas de todos os grupos.
Uma destas respostas está reproduzida abaixo:
65
Figura 21: resolução apresentada pelo grupo E.
O item final da situação-problema 4 exigiu dos alunos a capacidade de transpor
dados tabulados para uma representação gráfica. Os grupos tiveram muita dificuldade
neste item, justamente por deficiência para mudar a plataforma de exposição dos dados.
Apenas o grupo B e o grupo E responderam corretamente, colocando legenda, título,
escala e indicação dos eixos, construindo, desta forma, gráficos corretos sobre o número
de moradores em cada família. Abaixo temos a construção do grupo E:
Figura 22: resolução apresentada pelo grupo E.
Os demais grupos cometeram erros como não colocar as indicações dos eixos,
uso incorreto da escala (figura 23) e fazer a altura das barras do tamanho do número de
66
pessoas em cada moradia e a largura das barras igual à quantidade de famílias com este
número de pessoas (figura 24). A seguir apresentaremos alguns exemplos de erros
encontrados.
Figura 23: resolução apresentada pelo grupo C.
67
Figura 24: resolução apresentada pelo grupo D.
As constatações deste item não chegam a ser alarmantes porque, no dia a dia, os
alunos encontram gráficos prontos, o que facilita a leitura dos dados. Mas, ainda assim,
preocupa o fato de não conseguirem fazer a transposição de dados de uma base para
outra, uma tarefa simples.
A análise do comportamento, das anotações, do envolvimento e das respostas
dos grupos a esta situação-problema permitiu algumas conclusões relevantes, tais como:
a)
interpretar enunciados é um grande obstáculo aos alunos;
b)
expressar-se usando a linguagem escrita é outra barreira;
c)
trabalho em equipe, solidariedade e compartilhamento de informações
são atributos que os alunos precisam desenvolver;
d)
a introdução, no debate, de dados da vida real (nesta situação-problema
isso foi feito de maneira bastante discreta) gera um “aquecimento” no debate e no
envolvimento dos alunos com o que está se passando em aula
e)
parte das informações, nem sempre organizadas e elaboradas, que os
alunos têm sobre temas estatísticos vem da experiência deles com informações e
situações da vida real, e não são conhecimentos postos à disposição em sala de aula;
68
f)
diante de formulações mais extensas, desdobradas em itens e explorando
conhecimentos diversos, os alunos enfrentam dificuldade, o que sugere que podem ter
problemas no Ensino Médio e em desafios como o Exame Nacional do Ensino Médio
(Enem), fundamental para o acesso a universidades, a retomada dos estudos, a obtenção
de bolsas e outras situações.
Situação-problema 5
Na questão 5 do questionário sobre a renda das famílias dos alunos da turma 83,
as respostas obtidas foram as seguintes: 5 famílias têm renda de 1 até 2 salários
mínimos; 12 famílias de 2 até 5; 3 famílias de 5 até 10; 3 famílias de 10 até 20; 2
famílias de mais de 20 salários mínimos.
Com base nestas respostas:
a) Construa uma tabela listando o número de famílias de cada faixa salarial.
b) Represente os dados obtidos por meio de um gráfico de setores.
Desenvolvimento da atividade
O item (a) teve como objetivo investigar se os alunos conseguiam transpor para
uma tabela os dados referentes a renda salarial das famílias dos alunos participantes da
pesquisa. Já na letra (b), a meta foi verificar a capacidade de representar em gráfico de
setores os dados organizados na letra (a).
A pesquisadora levou para a aula o material necessário à construção do gráfico
de setores: régua, compasso, lápis colorido e transferidor. O uso da calculadora foi
permitido, para garantir a rapidez nos cálculos.
Enquanto os grupos desenvolviam a atividade proposta, a pesquisadora
caminhava pela sala observando o comportamento dos alunos e esclarecendo as dúvidas
que surgiam. A pesquisadora percebeu, nos diálogos entre os alunos, que todos
apresentavam dificuldades na construção do gráfico de setores.
Esta não é uma tarefa simples. Para realizá-la, os alunos precisam ter
conhecimentos de conteúdos como razão, proporção, cálculo de porcentagens, divisão
de ângulos, além de saber usar o transferidor.
A seguir, uma das discussões sobre como construir um gráfico de setores:
Pesquisadora: o que é preciso para construir um gráfico de setores?
69
Como já tínhamos analisado um gráfico de setores na questão (3), um aluno do
grupo F rapidamente respondeu que temos que construir um círculo e dividir em partes
iguais. Neste momento a pesquisadora questionou:
Pesquisadora: o que vai representar cada parte do gráfico?
D3: a quantidade de famílias em cada faixa salarial?
Pesquisadora: exatamente. Todas as faixas salariais possuem o mesmo número
de famílias?
D3 : não.
Pesquisadora: então eu devo dividir o círculo em partes iguais?
E2: não.
Pesquisadora: por quê?
E3: porque não fica proporcional.
Pesquisadora: e para definir cada setor, que medida utilizamos?
F1: o grau.
Pesquisadora: muito bem. E que instrumento utilizamos para medir o tamanho
de cada pedaço?
F1: o transferidor.
Pesquisadora: isso mesmo. Todos sabem usar o transferidor?
A1: professora, eu não sei usar o transferidor.
Como outros alunos também estavam em dúvida quanto ao uso do transferidor, a
pesquisadora foi ao quadro, construiu um ângulo qualquer e mediu o seu tamanho
usando o transferidor.
A1: é fácil. Eu nunca tinha usado.
Pesquisadora: como vamos descobrir o valor do ângulo que representa cada uma
dessas partes?
A pergunta gerou uma discussão entre os grupos, que não conseguiram chegar a
um consenso. Para organizar os raciocínios, a pesquisadora fez a seguinte pergunta:
Pesquisadora: quantos graus tem um círculo?
G4: 360º
Pesquisadora: agora vamos pensar um pouco, se o círculo inteiro tem 360º, como
encontramos a medida de um pedaço do círculo?
E3: podemos achar quantos graus representa uma família e depois multiplicar
pelo número de famílias em cada faixa etária.
Pesquisadora: como você faria isso?
70
E3: dividindo 360º por 25 achamos quantos graus representa cada família.
Pesquisadora: correto. Agora é hora de baixar a cabeça e construir o gráfico.
Os alunos retomaram o trabalho mostrando interesse e comprometimento com a
atividade proposta.
Plenária
Concluída a atividade, um aluno de cada grupo foi ao quadro para expor as
soluções encontradas.
Na apresentação da tabela, todos os grupos omitiram o título e a fonte dos dados,
conforme mostra a figura 25 a seguir.
Figura 25: Resolução apresentada pelo grupo C.
O grupo F, além desses itens, não colocou os títulos das colunas e construiu a
tabela com as laterais fechadas, conforme a figura a seguir:
71
Figura 26: resolução apresentada pelo grupo F.
Concluídas as atividades em torno da letra (a), a pesquisadora, seguindo a
metodologia de ensino proposta, chegou junto com os alunos a um consenso sobre a
forma correta de construir de tabelas. Esta etapa do trabalho foi facilitada porque os
alunos já apresentavam uma noção anterior sobre tabelas, que são estruturas bastante
usadas em livros didáticos e pela mídia. Os problemas surgem quando são desafiados a
construir tabelas a partir de dados que recebem. O complicador muito provavelmente
esteja associado a falta de prática neste tipo de atividade que requer raciocínio,
elaboração, organização e compreensão de vários conhecimentos que se cruzam.
Pagan (2010, p.70) identificou o mesmo tipo de dificuldade em seu trabalho e
fez o seguinte registro: "Observamos que a maioria das tabelas, encontradas nos livros
didáticos não seguem as normas descritas pelo IBGE. Em todas elas encontramos uma
falha do tipo: títulos, fontes e em grande maioria, suas laterais encontram-se fechadas,
significando que os autores não seguem normas estabelecidas para a construção de
tabelas. Acreditamos que os autores não considerem seus livros didáticos como sendo
trabalhos científicos, portanto, não se preocupam com forma de apresentação da tabela".
Apesar das dificuldades, após as discussões e explicações, a maioria dos grupos
conseguiu construir corretamente o gráfico de setores, o que pode ser constatado pela
resolução apresentada a seguir:
72
Figura 27: resolução apresentada pelo grupo B.
Ao chegarem à questão 5, os alunos já haviam vivenciado atividades com
gráficos nas questões anteriores. Dados e outros detalhes das situações-problema até
diferem, mas os cuidados que devem tomar são os mesmos, alertados nas atividades
anteriores. Mesmo assim, alguns alunos não colocaram título, fonte e o que representa
cada setor, conforme mostra a figura 28 a seguir.
73
Figura 28: resolução apresentada pelo grupo D.
Durante a plenária, a pesquisadora questionou os alunos sobre qual a forma mais
fácil de representar uma série de dados.
Pesquisadora: qual a forma mais interessante para representar uma série
estatística em gráfico de setores ou na forma de tabela?
B3: no gráfico fica mais fácil perceber que a maioria das famílias da turma 83
está na faixa salarial entre 2 e 5 salários mínimos, porque o tamanho do pedaço é muito
maior do que os outros.
Neste momento, o aluno G2 fez o seguinte comentário:
G2: tem cinco famílias com renda entre 1 e 2 salários mínimos. Não tem como
sobreviver com um salário mínimo.
Este foi um dos vários momentos da pesquisa em que se provou bem-sucedido o
uso de dados reais das famílias combinados com dados do Censo. Esta opção estimulou
a discussão em sala de aula sobre aspectos como salário, condição de vida, associação
entre renda e educação e uma série de outros pontos centrais à realidade dos alunos e à
formação de cidadãos conscientes de sua condição socioeconômica e da realidade que
os cerca. A matemática e a estatística se apresentam aos alunos não como abstrações ou
74
"atrapalhações", mas como ferramenta que os ajuda a captar e a transformar realidades
que lhes dizem respeito.
Finalizadas as apresentações, chegou-se a um consenso sobre a construção de
um gráfico de setores. Pesquisadora e alunos concluíram que a base de um gráfico de
setores é um círculo. E, para construir este gráfico, deve-se dividir o círculo em partes,
que são os setores, a partir de uma regra de três simples, lembrando que o total da série
corresponde a 360º. Importante, também, ter cuidado quando construir um gráfico de
setores para que seja mantida a proporcionalidade entre a medida dos ângulos centrais e
a porcentagem que eles representam.
O debate gerou a conclusão de que o gráfico de setores completo deve conter
título, fonte, nome e frequência correspondente a cada setor.
Os alunos não apresentaram dificuldades no cálculo das porcentagens e dos
ângulos correspondentes a cada setor. Conforme mencionado na primeira questão, isso
se deve ao fato de tais conteúdos já terem sidos estudados nos anos anteriores.
O maior desafio foi na construção do gráfico. Os alunos demonstraram pouca
habilidade para trabalhar com o transferidor e o compasso, o que se justifica com o
argumento de que a maioria nunca tinha usado estes instrumentos.
Situação-problema 6
Analise o gráfico 3 representativo da cidade de Santa Maria sobre a faixa salarial
da população:
Gráfico 3 – Faixa salarial da população da cidade de Santa Maria
Fonte – Primária, 2012
75
a) Qual a faixa salarial da maioria da população?
b) Qual a porcentagem de famílias que estão na faixa salarial mais elevada?
c) Compare a porcentagem de famílias da faixa salarial mais elevada e a de mais
baixa renda. Descreva suas conclusões.
Desenvolvimento da atividade
Logo que a atividade foi entregue, os alunos começaram a trabalhar empolgados
e de forma participativa. A atividade foi resolvida com tranquilidade e nenhum grupo
recorreu à pesquisadora para pedir auxílio. É possível identificar dois fatores para esta
atitude positiva: após as primeiras atividades, os alunos já dominavam melhor os
conceitos e o tema era bastante prático e associado à realidade. Apesar da tranquilidade
e do desenvolvimento, esta questão revelou problemas que merecem atenção e avaliação
de parte da comunidade escolar.
Nesta atividade buscou-se investigar a leitura e interpretação de um gráfico de
setores, reforçando os conhecimentos adquiridos na situação-problema 3, pois segue o
mesmo raciocínio.
No momento em que a pesquisadora acompanhava a resolução das atividades
pelos alunos, percebeu que esta atividade não gerou dúvidas como as atividades
anteriores.
Os alunos resolveram rapidamente e logo passamos à plenária.
Plenária
O primeiro grupo que foi ao quadro expor suas soluções da letra (a) foi o F. A
pesquisadora perguntou se algum outro grupo encontrou uma solução diferente. Com
exceção do grupo C, cuja solução está descrita na figura 29, todos os outros grupos
resolveram de forma semelhante.
76
Figura 29: resolução apresentada pelo grupo C
No item (a), o grupo C confundiu a maioria da população com a população
inteira, somando todos os valores representados em cada setor. O raciocínio era simples,
bastava identificar o maior setor no gráfico. A confusão do grupo expressa uma
dificuldade de compreensão do significado de uma palavra decisiva para o
entendimento de que o problema pedia. É um aspecto que vai além da compreensão
matemática e da capacidade de raciocínio e que merece atenção dos professores, pois
acaba comprometendo o desempenho dos alunos.
O grupo F, assim como os demais grupos, acertou ao perceber que a faixa
salarial da maioria da população está associada ao maior setor representado no gráfico,
no caso, o setor que representa de 1 até 2 salários mínimos.
Na letra (b), apenas o grupo A errou, pois confundiu a faixa salarial mais
elevada, que era o que o item pedia, com a parte do gráfico que representa o maior
pedaço. Colocou como resposta 32.459. A questão pedia a porcentagem da faixa salarial
mais elevada, o que não foi calculado pelo grupo. Os demais grupos resolveram certo.
Os alunos já se mostravam acostumados a resolver questões envolvendo o cálculo da
porcentagem.
Finalmente, no item (c), ficou claro mais uma vez que, quando precisam
argumentar e expressar de forma escrita suas conclusões, os grupos apresentam
dificuldades. O item pedia comentários e comparações sobre dados bem visíveis na
exposição do problema. Algumas respostas foram simples demais, como a do grupo A,
que apenas identificou as faixas salariais mais e menos numerosas. Simples, porém
correta. Foi o grupo que mais se aproximou do objetivo da questão, que era despertar a
capacidade de análise dos dados. No outro extremo, o grupo D se resumiu a afirmar que
"há mais famílias de salário mais baixo".
77
Os grupos G e F chegaram a fazer cálculos revelando algum domínio dos
números e compreensão do que foi pedido, mas a comparação e a análise foram pobres
e não passaram de registros de que a faixa de renda mais baixa é maior do que a faixa de
maior renda. O tom das respostas foi de pouca argumentação. Este item mostrou que,
muitas vezes, embora dispostos a abordar e a entender realidades socioeconômicas, os
jovens nem sempre conseguem fazer isso, algo que acontece pela dificuldade de se
expressar em palavras ou textos. Este é um ponto para o qual a escola deve estar atenta,
pois só conseguirá cumprir seus objetivos de formar cidadãos se lhes conceder
instrumentos de compreensão da realidade, expressão e participação ativa nas
discussões e decisões.
Situação-problema 7
A tabela 2 mostra quem contribui mais para a renda familiar.
Tabela 2 - Integrantes da família que mais contribuem para a renda familiar
Número de famílias
Somente o pai
5
Somente a mãe
2
Pai e mãe juntos
16
Pai, mãe e outros
2
Total
25
Fonte – Primária, 2012
a)
Represente os dados por meio de um gráfico de setores.
b)
Em quantas famílias o pai e a mãe juntos contribuem para a renda
familiar?
c)
Qual a porcentagem de famílias em que a mãe contribui mais para a
renda familiar?
d)
Em que porcentagem do total de famílias outras pessoas, além do pai e da
mãe, contribuem para a renda familiar?
Desenvolvimento da atividade
78
O objetivo da atividade foi verificar se os alunos entenderam como construir
gráfico de setores, além de retirar dados da tabela e responder as questões propostas.
Como os alunos já estavam acostumados com a metodologia utilizada, foram
logo formando os grupos enquanto a pesquisadora distribuía a atividade.
Neste dia, as meninas do grupo A estavam conversando bastante e não
conseguiam se concentrar na atividade. Várias vezes, enquanto andava pela sala
observando como os grupos desenvolviam a atividade, a pesquisadora precisou chamar
a atenção deste grupo.
Plenária
Como já era de costume, a pesquisadora solicitou que um aluno de cada grupo
fosse ao quadro expor a sua resolução. O primeiro a ir ao quadro foi do grupo E. Os
demais grupos concordaram com a explicação apresentada.
Analisando os diários de campo dos grupos, foi possível perceber que apenas os
grupos B e E responderam corretamente toda a atividade, conforme mostra a figura 30.
O grupo A começou a construir o gráfico, mas não acabou e não tentou resolver
as outras letras.
O grupo C encontrou a solução correta nas letras (b), (c) e (d), mas não tentou
fazer o gráfico.
Os grupos D, F e G construíram o gráfico, encontraram o tamanho dos setores,
colocaram título e legenda, mas esqueceram de indicar a frequência de cada setor. Estes
grupos acertaram as demais letras.
O grupo D demorou para construir o gráfico e não teve tempo para responder as
letras seguintes.
79
Figura 30: resoluções apresentadas pelos grupos B e E, respectivamente
80
A maioria dos alunos acertou as letras (b), (c) e (d), o que nos leva a concluir que a
leitura e interpretação de gráficos de setores não se apresentam como uma tarefa difícil.
Já a transposição dos dados da tabela para o gráfico novamente se mostrou um
desafio complexo. Não é usual, no dia a dia, a necessidade de fazer esta transposição.
Normalmente, dados estatísticos já são oferecidos na forma de gráficos. Mesmo assim, esta
dificuldade de transposição deve ser olhada como um sinal de alerta de que tarefas que
demandem maior raciocínio e autonomia por parte dos alunos se transformam em
obstáculos grandes para eles.
A considerar, ainda, que esta atividade poderia ter despertado nos alunos mais
reflexões sobre a realidade em que vivem em aspectos como, por exemplo, a crescente
contribuição das mulheres para a formação da renda das famílias.
Situação-problema 8
A tabela 3 mostra o grau de instrução dos pais dos alunos da turma 83 por nível
de renda.
Tabela 3 – Grau de instrução dos pais dos alunos da turma 83 por nível de renda
Quantidade de salários mínimos
Até 1
De 1 até 2
De 2 até 5
De 5 até 10
De 10 até
Mais de 20
20
Grau de instrução
Pai
Mãe
Pai
Sem instrução
1
Fundamental
1
Mãe
Pai
Mãe
Pai
2
2
2
1
1
1
Mãe
Pai
Mãe
Pai
Mãe
1
1
incompleto
Fundamental
completo
Médio incompleto
1
Médio completo
1
3
Superior
2
2
1
2
4
4
1
2
1
incompleto
Superior
1
1
1
2
1
1
completo
Pós-graduação
1
Mestrado
1
Doutorado
1
Fonte – Primária, 2012
a)
o menor?
Em que faixa de renda os pais apresentam um maior grau de instrução? E
81
b)
Qual a porcentagem de pais e mães com ensino médio incompleto?
c)
Qual é o nível de escolaridade da maioria das mães?
d)
Em que faixa de renda está o maior número de mães com ensino
superior?
e)
Construa um gráfico de barras para comparar o nível de escolaridade dos
pais e das mães.
f)
Analisando a tabela acima que relação é possível estabelecer entre a
escolaridade e a renda?
Desenvolvimento da atividade
Nesta atividade foram cruzadas as categorias grau de instrução e renda dos pais
dos alunos da turma 83.
Os objetivos da atividade foram verificar se os alunos sabem ler e interpretar
tabelas com várias informações, comparar os dados e responder os itens propostos.
A atividade também provocava os alunos a debater a relação entre escolaridade e
renda, buscando interpretar, por exemplo, se quem estuda mais tem renda maior ou se
não há relação entre um atributo e outro.
A atividade foi distribuída e os alunos começaram a leitura individual. Durante a
leitura, a pesquisadora percebeu que alguns alunos apresentaram dificuldade para
entender a tabela. Como este foi o penúltimo encontro, eles já estavam acostumados a
trabalhar em grupo e não solicitaram a presença da pesquisadora para eliminar as
dúvidas que surgiam. Trabalharam de forma cooperativa e colaborativa, e as dúvidas
que surgiam eram sanadas dentro do grupo.
A provocação em torno de um debate sobre a relação renda x escolaridade
funcionou durante a atividade, como mostram comentários dos alunos, tais como:
- Este aqui é o meu pai. Só ele não tem maior instrução.
- Professora, o que é especialização, mestrado e doutorado?
- Com ensino superior completo tem vários pais, mas só tem um pai com
mestrado e uma mãe com doutorado.
Os alunos foram evidenciando nos comentários a valorização do estudo, do
aperfeiçoamento profissional e intelectual, em contraponto a uma certa frustração
daqueles cujos pais têm menor instrução.
82
Plenária
Quando cada grupo acabou a resolução da atividade, passou-se à correção.
Na letra (a), sobre em que faixa de renda os pais apresentam o maior e o menor
grau de instrução, os grupos A, B, E, F e G responderam corretamente.
Figura 325: resolução apresentada pelo Grupo E
Os grupos C e D verificaram quais eram o maior e o menor grau de instrução
dos pais, mas esqueceram de apontar em que faixa de renda estes pais se encontravam.
Figura 326: resolução apresentada pelo Grupo C
Todos os grupos, com exceção do grupo A, acertaram a letra (b). Ao serem
questionados sobre como encontraram 1% como resposta, os integrantes deste grupo
justificaram que, analisando a tabela, perceberam que só havia 1 pai com ensino médio
incompleto. Por isso concluíram que este seria o valor da porcentagem.
A seguir, a solução apresentada pelos demais grupos.
Figura 33: resolução apresentada pelo Grupo D
Apenas o grupo E acertou e letra (c). A resposta certa era ensino médio completo
e superior completo, porque nas duas faixas a quantidade de mães é igual e são elas que
têm mais mães. A razão para muitos alunos terem colocado só superior completo como
resposta pode ser a tabela, que nos dá a impressão de que nesta faixa há mais pais.
Todos os grupos analisaram corretamente a letra (d) e verificaram que a maioria
das mães com ensino superior completo encontra-se na faixa de renda de 2 até 5 salários
mínimos.
83
Na letra (e) solicitou-se a construção de um gráfico de barras para comparar o
nível de escolaridade dos pais e das mães. Todos os grupos analisaram corretamente os
dados. Porém, a construção da maioria dos gráficos não ficou totalmente correta.
Apenas 3 grupos colocaram título no gráfico, como mostra a figura a seguir.
Figura 34: resolução apresentada pelo Grupo E
Outros dois erros percebidos: 1) faltou colocar a indicação dos eixos; 2) os
alunos encontraram as frequências corretas, mas erraram ao construir as barras
separadas. Quando queremos comparar e representar duas ou mais variáveis, usamos o
gráfico de colunas em barras múltiplas.
Embora os alunos não tenham feito a construção correta, souberam analisar a
tabela e comparar os dados. No gráfico do grupo E, que está representado acima, há
uma indicação de que as colunas estavam juntas, mas faltou desenhá-las, de fato, juntas.
Apesar dos erros, o desempenho pode ser considerado positivo, pois os alunos nunca
haviam construído um gráfico com esta complexidade. Gráfico semelhante foi
trabalhado na atividade 2, mas já estava pronto, apenas para análise dos dados.
Abaixo, a construção do grupo F que foi realizada corretamente:
84
Figura 35: resolução apresentada pelo Grupo F
A letra (f) foi a que continha a maior carga de subjetividade e complexidade na
análise, pela série de dados e pela necessidade de comparar duas variáveis (escolaridade
e renda).
Os grupos A, C, D, F e G formularam conclusões simples, que podem ser
consideradas corretas, ao afirmar que quanto maior a escolaridade, maior a renda. O
grupo E relativizou na sua conclusão, ao afirmar que a escolaridade e a renda são
maiores “na maioria dos casos”. Provavelmente, este grupo se deteve em algum detalhe
da tabela que sinalizava uma posição intermediária entre escolaridade e renda. O grupo
D fez a avaliação mais superficial, ao apenas informar onde está a faixa predominante
de pais em termos de renda e escolaridade, sem estabelecer relações entre as duas
variáveis.
Esta não era uma atividade para introduzir conhecimentos novos, já
consolidados em atividades anteriores. O objetivo era desafiar os alunos a fazer análises
mais profundas e mostrar como o domínio de conceitos estatísticos é uma rica
ferramenta de compreensão de realidades socioeconômicas da vida de todos. Neste
sentido, apesar de erros na construção de gráficos e mesmo em algumas análises, o
objetivo da atividade foi plenamente cumprido e despertou nos alunos a disposição ao
debate sobre a realidade deles e de suas famílias.
Situação-problema 9
O gráfico 4 representa a quantidade total de bens duráveis que as famílias dos
alunos da turma 83 possuem em seus domicílios:
Lendo as informações no gráfico, responda as seguintes questões:
85
Gráfico 4 – Quantidade total de bens duráveis que as famílias dos alunos da turma 83
possuem em seus domicílios
Fonte – Primária, 2012
a)
Qual é o aparelho que menos se encontra nas residências?
b)
Qual o aparelho que mais se encontra nas residências?
c)
Qual é a média do número de aparelhos de televisão das famílias?
d)
Se cada família ficasse com o mesmo número de computadores, com
quantos computadores ficaria cada uma?
e)
Comparando o número de telefones fixos com o número de famílias, o
que podemos concluir?
A atividade foi distribuída e os alunos iniciaram a leitura. A pesquisadora, na sua
condição de mediadora, passava pelos grupos para verificar as estratégias utilizadas na
construção do conhecimento.
Os dados foram apresentados em um gráfico de colunas, e a atividade foi
dividida em cinco itens. Os objetivos das letras (a) e (b) foram trabalhar leitura entre os
dados e verificar se os alunos identificam a variável com menor frequência e a variável
com maior frequência. A crença da pesquisadora era de que estes itens seriam fáceis
para os alunos, pois é só identificar no gráfico a menor e a maior coluna.
O objetivo das letras (c), (d) e (f) foi verificar se o aluno se apropriou do
conceito de média trabalhado nas situações anteriores, sendo que no item (f) era
possível explorar com mais profundidade até que ponto o conceito estava dominado.
Em todos os itens, havia um objetivo paralelo de refletir sobre temas da vida
real, como posse de bens duráveis, presença de novas tecnologias nas residências e
comodidades que estas inovações trazem na vida das pessoas.
86
Plenária
Um aluno do grupo G veio ao quadro e escreveu a sua solução. Os outros grupos
resolveram de forma semelhante e concordaram com as explicações.
Abaixo, segue a resolução apresentada pelo grupo G e aceita pelos demais como
correta:
Figura 36: Resolução apresentada pelo grupo G
Os alunos não tiveram dificuldades em resolver as letras (a) e (b), que trataram
de encontrar o ponto de mínimo e de máximo. As respostas coincidem com a percepção
de Veras (2010), segundo o qual no nível de leitura dos dados, os alunos costumam
demonstrar um bom desempenho.
Em relação ao cálculo da média, proposto nas letras (c) e (d), os alunos não
apresentaram dificuldades ao resolver, percebendo o valor da média como um ponto de
equilíbrio entre os dados.
A letra (e) pedia para comparar o número de telefones fixos com o número de
famílias e extrair conclusões desta comparação. O gráfico indicava que o número de
telefones fixos é igual ao número de famílias. Os grupos fizeram a leitura correta e
concluíram que cada família possui um telefone fixo em média.
Para verificar se os alunos apenas aplicaram o algoritmo da média ou
entenderam o seu significado, a pesquisadora fez o seguinte questionamento:
Pesquisadora: esta é a única possibilidade?
C2: acho que sim. O número de telefones fixos é igual ao número de famílias.
Então, cada família tem um telefone.
Um aluno do grupo E foi um pouco além ao responder:
87
E3: em média, cada família possui um telefone fixo.
A1: é a mesma resposta que o C2 deu.
A pesquisadora pediu ao aluno E3 que explicasse para os colegas a sua resposta.
E3: não posso afirmar se cada família tem um telefone fixo, pois pode ter alguma
que não tenha nenhum, e outra que tenha dois ou mais.
Pesquisadora: exatamente. Então, qual seria outra solução possível?
Percebendo que os alunos ainda estavam em dúvida em relação à pergunta, a
pesquisadora questionou:
Pesquisadora: vamos imaginar que uma dessas famílias tenha dois telefones
fixos em casa. Quantos telefones as outras famílias teriam?
Neste momento, os grupos voltaram a discutir qual seria uma solução possível.
Passado um tempo, um aluno do grupo E respondeu:
E2: se uma família possuir dois telefones fixos, vamos ter as outras 23 famílias
com telefone fixo cada uma e uma família sem telefone fixo.
Pesquisadora: e se duas famílias tivessem dois telefones fixos cada uma, o que
aconteceria com as outras famílias?
G3: 21 famílias teriam um telefone fixo e duas não teriam nada.
A1: agora eu estou entendendo. A soma tem que continuar sendo 25.
Pesquisadora: exatamente.
O diálogo contribuiu para que mais alunos percebessem as sutilezas do conceito
de média que a questão continha, mas ainda assim ficou a sensação de que restaram
dificuldades em compreender que a média não significa a única solução possível neste
tipo de questionamento e que o fato de o número de famílias ser igual ao número de
telefones fixos não significa que necessariamente cada família tenha um aparelho.
Ao final da atividade, foi possível perceber que todos os alunos dominam o
algoritmo da média aritmética, mas a maioria ainda não consegue entender o conceito
de média como um ponto de equilíbrio entre os dados da série estatística. Conclusão
semelhante foi percebida em outras atividades desta pesquisa, o que indica a
necessidade de trabalhar melhor este conceito, bastante importante na Estatística.
Situação-problema 10
Lendo as informações do gráfico da questão 9, responda:
a) Qual é a média do número de automóveis da turma?
88
b) Imagine que uma destas famílias possua 4 automóveis. O que poderíamos
fazer para que a média em relação às 25 famílias continue sendo a mesma?
Desenvolvimento da atividade
Esta atividade foi realizada no último encontro. Neste dia, os integrantes do
grupo G, formado só por meninos, não estavam presentes. Foram participar de um
campeonato de futebol realizado pela escola.
Como este foi o último encontro, os alunos já estavam acostumados com a
metodologia. Rapidamente organizaram os grupos. A pesquisadora distribui a situaçãoproblema 10 e junto com ela a situação-problema 9, pois para resolver a atividade 10 era
necessário ler as informações do gráfico da atividade 9.
O objetivo desta atividade foi retomar a média como um ponto de equilíbrio de
uma distribuição e introduzir a propriedade “o valor médio é influenciado pelos valores
de cada um dos dados". (BATANERO, 2001, p.71)
Durante a resolução da atividade, houve muita discussão entre os alunos, mas foi
o diálogo trocado entre os integrantes do grupo D que chamou mais a atenção da
pesquisadora:
D1: por que você pegou 23?
D2: porque são 27 automóveis e uma família tem 4 então 27 – 4 = 23. Sobram 23
carros para as outras famílias mas não dá para manter a média porque temos 24 famílias.
D1: uma família tem 4 carros e 23 famílias têm 1 carro cada.
D2: não pode, vai sobrar uma família sem carro.
D3: não entendi. Uma família possui 4 carros além dos 27?
D2: não, 4 carros dos 27.
Percebeu-se que as alunas deste grupo estavam bastante envolvidas na resolução
do problema. Para organizar melhor o raciocínio, desenharam 27 bolinhas que
correspondiam a 27 carros. Circularam 4 bolinhas que seria o número de carros que uma
família possuía. Sobraram 23 carros. Distribuíram 1 carro para cada família.
D2: se esta família que não tem carro ficar de fora dá porque teríamos 1 família
com 4 carros e 23 com 1 carro cada.
D1: divide 27 por 24.
D3: dá 1,125. Não pode ser porque a média não pode mudar.
89
Os alunos do grupo D perceberam que, retirando uma família, o valor da média
aumentará.
D1: então não tem como resolver. Sobram 23 carros e temos 24 famílias. Uma
família não pode ficar sem carro.
Neste momento, a pesquisadora percebeu a divergência de opiniões e tentou
ajudar.
Pesquisadora: lembram-se das conclusões a que chegamos no item (e) da
situação-problema 9? Olhem nos diários de classe de vocês as anotações que fizeram.
A pesquisadora aguarda a leitura e questiona:
Pesquisadora: na letra (e) da questão 9 comparamos o número de telefones fixos
com o número de família da turma 83. Tínhamos 25 famílias e 25 telefones fixos. O que
concluímos lá?
D1: que podemos ter várias soluções.
D2: que analisando o gráfico não podemos concluir que cada família possui um
telefone fixo.
Pesquisadora: exatamente. E falei para vocês que, analisando as respostas dos
alunos da turma 83, percebi que 1 família possuía duas linhas de telefones fixos e outra
família não tinha telefone fixo.
D1: então uma família pode ficar sem carro?
Pesquisadora: sim. Uma família pode não possuir carros, assim como outra
família pode ter um número de carros acima da média.
D2: para calcular a média eu tenho que contar aquela família que não possui
carro? Vou somar o número de carros por família mais o zero e dividir por 25?
Pesquisadora: exatamente.
Analisando o diálogo acima, percebemos que as alunas do grupo D apresentaram
dificuldade em considerar a possibilidade de o zero fazer parte da distribuição, ao
contrário de Amaral (2010, p. 70), que numa atividade de sua pesquisa com docentes
registrou: "Todas as professoras incluíram o zero, o que indica que elas assimilaram a
propriedade".
Plenária
Da mesma forma que nos encontros anteriores, um aluno de cada grupo foi ao
quadro expor as suas resoluções. Durante as explicações no quadro, foi possível
90
perceber que os alunos não apresentaram dificuldades para encontrar a média do
número de automóveis da turma. Para verificar se os alunos entenderam o significado de
média ou apenas aplicaram o algoritmo, a pesquisadora fez o seguinte questionamento:
Pesquisadora: o que vocês entendem por média? O que significa a média de
automóveis ser igual a 1,08?
Os alunos ficaram pensativos e não souberam responder. Ficou claro que houve
avanço na compreensão sobre o cálculo da média aritmética simples, mas apresentam
dificuldade para entender o seu significado. Esta também foi a conclusão de Amaral
(2010, p.60) que, ao descrever o desempenho de um grupo de alunos que analisou,
escreveu: “Pareceu que os sujeitos da pesquisa conheciam o algoritmo da média mas
não sabiam o seu significado”.
Abaixo segue a resolução do grupo E, a mesma apresentada pelos demais
grupos.
Figura 37: resolução apresentada pelo grupo E.
Os alunos encontraram dificuldade para responder a letra (b), no que se refere ao
que poderia acontecer com as outras famílias quando aumentássemos para quatro a
quantidade de carros de uma família.
Na resposta à letra (b), o grupo C disse que, se aumentar o número de
automóveis de uma família, a média iria aumentar. Então, para manter a média
encontrada na letra (a), era preciso diminuir o número de automóveis de outras famílias.
Os grupos A, B e F usaram um raciocínio parecido ao do grupo C, ao perceber que,
aumentando para quatro o número de automóveis de uma família, outra família ficaria
sem carro. Estes grupos pensaram na média como um ponto de equilíbrio e distribuição
equitativa dos dados, mas em nenhum momento pensaram na quantidade de automóveis
de cada família para que a média continuasse sendo 1,08.
Uma solução interessante foi a apresentada pelos grupos D e E, que utilizaram
um registro gráfico para representar a distribuição dos automóveis de cada família.
O grupo E respondeu que, para a média se manter a mesma, outras três famílias
teriam que não ter automóveis. O grupo utilizou o raciocínio certo, mas errou ao
considerar a quantidade de automóveis igual a 25.
91
Solução apresentada pelo grupo E:
Figura 38: resolução apresentada pelo grupo E.
Ao serem questionados por que utilizaram 25 automóveis, os alunos do grupo
justificaram dizendo que se confundiram quando leram o enunciado que falava em 25
famílias.
Abaixo a solução correta, apresentada pelo grupo D:
Figura 39: resolução apresentada pelo grupo D.
Uma aluna do grupo D foi ao quadro e explicou a sua resolução, entendida e
aceita por todos os alunos dos outros grupos.
A pesquisadora aproveitou este momento e questionou:
Pesquisadora: esta é a única solução possível?
Os alunos ficaram pensativos e pediram um tempo para tentar achar outra
solução.
Passados alguns minutos, um aluno do grupo B respondeu:
B2: achamos outra solução. Podemos distribuir quatro automóveis para uma
família, dois automóveis para outra família, mas duas famílias ficariam sem automóvel
e as outras 21 com um automóvel cada uma.
92
Pesquisadora: muito bem. Alguém achou outra solução?
E3: podemos ter uma família com quatro automóveis, duas com cinco, uma com
três, outra com dois, oito com um e o restante, que são 12 famílias, sem automóvel.
Pesquisadora: isso mesmo. Neste caso, podemos perceber que estas não são as
únicas soluções. Podemos distribuir a quantidade que quisermos de automóveis entre as
famílias, mas sempre cuidando para que a soma seja sempre 27.
Ao final dos debates, os alunos demonstraram ter conseguido situar a média
como ponto de equilíbrio da distribuição e que existe mais de uma solução possível para
a questão e que o zero deve ser considerado, pois interfere no resultado final da média,
como indica BATANERO: “O valor médio é influenciado pelos valores de cada um dos
dados”. (2001, p.71).
Situação-problema 11
A tabela 4 representa a expectativa de vida dos homens e mulheres do Brasil no
período entre 1980 e 2050.
Tabela 4 – Expectativa de vida dos homens e mulheres do Brasil no período de 1980 até 2050
Ano
1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 2050
Homens 59,62 61,29 62,8 64,8 66,71 68,1 69,68 71,1 72,5 73,7 74,8 75,79 76,68 77,5 78,16
Mulheres 65,69 68,24 70,4 72,3 74,29 75,8 77,26 78,6 79,8 80,9 81,8 82,63 83,35
84 84,54
Fonte: Primária, 2012
a)
Faça um gráfico de linhas para representar a expectativa de vida
dos homens e das mulheres.
b)
Comparando, ao longo dos anos, a expectativa de vida dos
homens e das mulheres, o que podemos concluir?
c)
De quanto foi o aumento da expectativa de vida do brasileiro, ao
ser comparado com os dados de 1960, quando a expectativa era de que o cidadão
vivesse 48 anos?
As atividades foram distribuídas, e a pesquisadora comentou com os alunos que
esta seria a última etapa do trabalho.
A atividade provocou os alunos a representarem em gráfico de linhas o
comportamento da expectava de vida dos homens e mulheres do Brasil entre 1980 e
93
2050. Outro objetivo foi se os alunos estavam aptos a comparar informações contidas
numa tabela ou num gráfico de linhas, como o crescimento ou decrescimento das
variáveis deste gráfico ao longo de um determinado tempo.
Imaginando que os alunos teriam dificuldades em construir o gráfico numa folha
de caderno, a pesquisadora levou papel milimetrado, régua e lápis colorido.
Enquanto a pesquisadora circulava entre os grupos para observar como
resolviam a atividade, passou pelo grupo B, percebeu que seus integrantes estavam
construindo um gráfico de barras e questionou um dos alunos:
Pesquisadora: o que você está fazendo?
Os alunos ficaram em silêncio lendo novamente a questão e depois responderam:
B2: marcando os espaços entre os retângulos.
Pesquisadora: qual o gráfico pedido na letra (a)?
B2: de linhas.
Pesquisadora: este gráfico que você está construindo não é um gráfico de linhas.
Já foi construído nas atividades anteriores. Qual é o nome dele?
B1: barras.
Pesquisadora: exatamente. E como é um gráfico de linhas?
B1: o gráfico é uma linha. Aparecia nas eleições indicando as porcentagens dos
candidatos. Para construir este gráfico é só marcar os pontos e depois unir?
Pesquisadora: isso mesmo. Agora voltem ao trabalho.
A pesquisadora aproveitou este episódio para reforçar o cuidado que se deve ter
na hora da leitura de uma atividade na Matemática ou em qualquer outra disciplina, pois
a interpretação errada do que a atividade pede pode colocar a perder todo o esforço de
resolução.
Plenária
Repetindo o procedimento das atividades anteriores, um integrante de cada
grupo foi até o quadro para apresentar a solução encontrada. Ao mesmo tempo, os
grupos entregaram uma folha com a atividade resolvida.
Como mostra a figura 35, o grupo C não anotou as unidades utilizadas nas
escalas, além de não apresentar legenda e título. Os demais grupos apresentaram
dificuldades na construção da escala quando os dados não são números inteiros. Após
94
intervenção da pesquisadora, os grupos realizaram a construção de forma correta.
(figura 40)
Figura 40: resolução apresentada pelo grupo C
Figura 41: resolução apresentada pelo grupo F
O item (b) solicitou a interpretação de dados contínuos em uma tabela ou no
gráfico de linhas. Os alunos apresentaram dificuldades em analisar os dados a partir da
tabela. Porém, esta dificuldade foi menor quando construíram o gráfico. Todos os
grupos chegaram a conclusões semelhantes. Afirmaram que, ao longo dos anos, a
expectativa de vida dos homens e das mulheres aumentou. Além disso, perceberam que
a expectativa de vida da mulher é maior do que a do homem.
Na letra (c), todos os grupos calcularam a média da expectativa de vida entre os
homens e mulheres no ano de 2010 e compararam com média no ano de 1960.
Chegaram ao seguinte resultado:
95
Figura 42: resolução apresentada pelo grupo F
Ao final deste encontro, ficou claro que os alunos apresentaram um grande
avanço na construção do gráfico, já que nas situações-problema anteriores esqueciam-se
de colocar título, legenda, escala e indicações dos eixos.
As dificuldades dos alunos foram em relação à construção do gráfico devido ao
fato de os dados apresentados não serem números inteiros. Diante desta constatação, a
pesquisadora, no seu papel de mediadora, estimulou as capacidades e habilidades dos
alunos para que construíssem seus conhecimentos, chegando às soluções desejadas e
atingindo os objetivos propostos. Estes objetivos acabaram sendo alcançados, conforme
evidenciado nas soluções apresentadas.
A adequada leitura deste tipo de dado propicia uma série de reflexões sobre
situações da vida real, como o avanço da ciência no combate a doenças que no passado
eram sentenças de morte, o maior acesso da população aos avanços da medicina e a
necessidade de o país criar condições de atendimento às camadas de faixa etária mais
avançada, que são cada vez mais numerosas na nossa sociedade.
96
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
A partir do problema de pesquisa e das questões de pesquisa, este trabalho se
propôs a unir Estatística com Resolução de Problemas e a levar para a sala de aula um
conteúdo que, embora tenham reconhecida relevância e forte recomendação dos PCNs,
costuma ser subestimado ou até ignorado em sala de aula.
A premissa é de que, adequadamente trabalhada, a Estatística se transforma em
plataforma poderosa para o desenvolvimento do raciocínio matemático, atua como
agente interdisciplinar e coloca nas mãos dos alunos uma ferramenta eficiente de leitura,
debate e compreensão da realidade, permitindo que eles evoluam como cidadãos de
espírito crítico.
A utilização da Metodologia de Resolução de Problemas proposta por Onuchic e
Allevato (2009) revelou-se eficiente ao longo dos encontros em sala de aula. Esta
metodologia tem atributos como instigar e desafiar os alunos diante de questões que
levam a novos conceitos, organizar a discussão e a construção do conhecimento,
provocar a participação dos alunos nos debates em grupo, à plenária sobre as respostas,
posicionar o professor como indutor da busca do conhecimento e levar os alunos de um
estranhamento inicial a uma atitude participativa, que gera satisfação à medida que os
conceitos são consolidados.
O trabalho utilizou conclusões oficiais do Censo 2010 da cidade de Santa Maria,
tanto para a elaboração do questionário que reuniu dados socioeconômicos das famílias
dos alunos quanto no uso dos dados do município, como base de comparação com a
realidade das famílias. Esta opção mostrou-se eficiente ao fazer uma ponte entre
conhecimentos estatísticos teóricos, como medidas de tendência central, e a realidade de
alunos, familiares e da cidade como um todo. Há uma diferença clara entre situações
abstratas e muitas vezes ingênuas propostas em alguns materiais didáticos e o uso de
dados reais, que estimulam a participação e provocam a reflexão.
Ao professor, a combinação de Estatística, Resolução de Problemas e dados da
realidade impõe demandas adicionais, como estar disposto a mediar debates, exercer o
controle em um ambiente mais dinâmico e participativo, dominar com consistência os
conceitos estatísticos e ter um bom nível de conhecimentos gerais, estando pronto para
todo tipo de debate que venha a ser travado. Neste sentido, vale o alerta sobre a
qualidade na formação docente, que é a base para uma transformação na qualidade da
educação como um todo.
97
Entre outros atributos, o professor precisa estar pronto a não desanimar diante de
uma atitude inicial de estranhamento, indiferença e até rejeição por parte dos alunos,
quando lhes é proposto um modelo de trabalho fora do que costumam ter em sala de
aula. É uma atitude normal, que precisa ser trabalhada e transformada. O aluno deve ser
convencido de que há benefícios em participar e se empenhar acima do que
convencionalmente faz, e o papel do professor é fundamental neste momento.
Cabe um registro, também, sobre as dificuldades demonstradas pelos alunos,
sempre que desafiados a superar um obstáculo, posicionar-se numa discussão, verbalizar
uma opinião ou uma síntese, compartilhar impressões e se apropriar de novos
conhecimentos. Isso ficou claro, no desenvolvimento do trabalho, em questões que
pediam análises e comparações de dados, ou em tarefas de maior complexidade como
construir gráficos a partir de uma tabela, ou ainda em ler entre os dados de um gráfico.
O primeiro aspecto é que estas dificuldades não devem gerar surpresa. Uma combinação
de fatores como o ambiente pouco desafiador de sala de aula, os livros didáticos
inadequados e a pouca cobrança por desempenho naturalmente produz dificuldades no
aprendizado. O professor deve lutar contra estes fatores, se quiser construir uma relação
relevante com a turma e obter resultados diferenciados, que lhe deem satisfação pessoal
e profissional na sua atividade.
Neste trabalho, foi possível superar os obstáculos relatados acima porque os
conceitos teóricos de Estatística foram trazidos para o mundo dos alunos em situaçõesproblema preparadas com base na realidade social e econômica deles e de suas famílias.
Ao mesmo tempo, pelo uso da metodologia de Resolução de Problemas, os alunos se
sentiram protagonistas na construção do conhecimento, pois tiveram espaço para
debater, posicionar-se, compartilhar informações e se expor nas discussões dentro dos
grupos e nas plenárias finais.
98
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104
APÊNDICES
105
APÊNDICE A - QUESTIONÁRIO
Prezados pais ou responsáveis
Sou aluna do Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática
do Centro Franciscano (UNIFRA) e estou realizando uma pesquisa voltada para o
ensino de Estatística no nono ano do ensino fundamental.
Pedimos seu auxílio para responder as questões. Todos os dados serão de
extrema validade para o nosso estudo.
Como se trata de uma amostra para a pesquisa não é necessária a sua
identificação.
Muito obrigada pela colaboração
Glaucia Bandeira Vargas
Complete os dados abaixo com as suas informações:
1) Qual a sua idade? ________________
2) Qual o seu sexo?
(
) masculino
( ) feminino
3) O imóvel onde você reside é:
(
) próprio de algum dos moradores da residência
(
) alugado
(
) emprestado/ não paga aluguel
4)
Incluindo você, quantas pessoas residem na sua residência?
( )2
5)
( )3
(
)
4(
)5 (
Qual a renda mensal de sua família?
(
) até 1 salário mínimo
(
) de 1 até 2 salários mínimos
)6
( )7 (
)8
106
(
) de 2 até 5 salários mínimos
(
) de 5 até 10 salários mínimos
(
) de 10 até 20 salários mínimos
(
) mais de 20 salários mínimos
6) Quem contribui para a renda familiar?
( ) apenas o pai
( ) apenas a mãe
( ) o pai e a mãe, juntos
( ) o pai, a mãe e outros
7) Qual o grau de instrução de seu pai? ( Até que série o seu pai estudou)
( ) sem instrução
(
) fundamental incompleto ( até 7ª série/8º ano)
(
) fundamental completo ( até 8ª série/9º ano)
(
) ensino médio incompleto
(
) ensino médio completo
(
) superior incompleto
(
) superior completo
(
) pós-graduação
( ) mestrado
(
) doutorado
8) Qual o grau de instrução da sua mãe? ( até que série sua mãe estudou?)
(
) sem instrução
(
) fundamental incompleto ( até 7ª série/8º ano)
(
) fundamental completo ( até 8ª série/9º ano)
(
) ensino médio incompleto
(
) ensino médio completo
(
) superior incompleto
(
) superior completo
(
) pós-graduação
(
) mestrado
107
(
) doutorado
9) Quantos destes aparelhos tem em sua residência que estejam funcionando?
Seu domicílio tem:
Rádio
( ) sim. Quantos:____
(
) não
Televisão
( ) sim. Quantas:____
(
) não
Geladeira
( ) sim. Quantas:____
(
) não
Telefone celular
( ) sim. Quantos:____
(
) não
Telefone fixo
( ) sim. Quantos:____
(
) não
Computador
( ) sim. Quantos:____
(
) não
Internet
( ) sim. Quantas:____
(
) não
Motocicleta
( ) sim. Quantas:____
(
) não
Automóvel
( ) sim. Quantos:____
(
) não
108
APÊNDICE B - ATIVIDADES DESENVOLVIDAS
A seguir apresentaremos situações-problema que serão trabalhadas durante os
encontros com os alunos. Essas atividades foram programadas a partir dos dados
obtidos analisando-se as respostas aos questionários aplicado aos alunos.
1) A tabela 1 representa o número de meninos e meninas da turma 83.
Tabela 1 – Quantidades de alunos do nono ano 83
Meninos
11
Meninas
14
Total
25
Fonte – Primária, 2012
Com base nos dados apresentados na tabela, responda:
a) Represente por meio de um gráfico de barras o número de meninos e o
número de meninas.
b) Qual é a porcentagem de meninos e meninas?
2) O gráfico 1 representa a idade dos alunos da turma 83.
Gráfico 1 – Idade dos alunos da turma 83
Fonte – Primária, 2012
Lendo as informações no gráfico, responda as seguintes questões:
109
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Qual é a idade da maioria dos alunos?
Quantos alunos têm esta idade?
Qual a porcentagem de alunos com 15 anos ou mais?
Qual é a idade média dos alunos da turma 83?
Quantos alunos possuem idade abaixo da média?
Ao formar uma fila com os alunos por idade, do mais novo ao mais
velho, alguma criança divide esta fila ao meio? Caso afirmativo, quantas
crianças estão na fila antes e depois dela?
g) Se cinco alunos da turma 82 forem transferidos para esta turma, todos
com 13 anos, o que acontecerá com os valores da média, moda e
mediana? Justifique a sua resposta.
3) O gráfico 2 representa as condições das moradias das famílias dos alunos da
turma 83.
Gráfico 2 – Condições das moradias das famílias dos alunos da turma 83
Fonte – Primária, 2012
Com base nos dados representados no gráfico, responda:
c) Na classe dos alunos da turma 83 há mais moradias alugadas ou
próprias?
d) Qual a porcentagem de famílias que moram em domicílio próprio?
4) A questão 4 do questionário aplicado na turma 83 indagou: Incluindo você,
quantas pessoas moram na sua família?
Foram coletados os seguintes dados que ainda não foram organizados e
tratados:
4, 3, 4, 5, 2, 4, 3, 4, 3, 5, 4, 5, 2, 2, 2, 5, 4, 4, 3, 4, 6, 4, 5, 3, 3
110
Na amostra acima:
a) Qual é a média de moradores nas famílias dos alunos do nono ano 83?
b) Os resultados do Censo 2010 mostram que a média de moradores por
domicílios em Santa Maria é igual a 2,96. Comparando esta média com a
média de moradores das famílias de Santa Maria, o que você conclui?
c) Determine a moda do número de pessoas que moram em cada residência
dos alunos da turma 83.
d) Determine a mediana do número de pessoas que moram em cada
residência dos alunos da turma 83.
e) Em quantas residências, dessa turma, moram até 4 moradores?
f) Qual a porcentagem das residências dessa turma que possuem mais de 3
moradores?
g) Represente, por meio de um gráfico de barras, o número de moradores
em cada residência dos alunos da turma 83.
5) Na questão 5 do questionário, sobre a renda das famílias dos alunos da turma
83, as respostas obtidas foram as seguintes: 5 famílias têm renda de 1 até 2
salários mínimos; 12 famílias de 2 até 5; 3 famílias de 5 até 10; 3 famílias de
10 até 20; 2 famílias de mais de 20 salários mínimos.
Com base nestas respostas:
a) Construa uma tabela listando o número de famílias de cada faixa salarial.
b) Represente os dados obtidos por meio de um gráfico de setores.
6) Analise o gráfico 3 representativo da cidade de Santa Maria sobre a faixa
salarial da população:
111
Gráfico 3 – Faixa salarial da população da cidade de Santa Maria
Fonte – Primária, 2012
a) Qual a faixa salarial da maioria da população?
b) Qual a porcentagem de famílias que estão na faixa salarial mais elevada?
c) Compare a porcentagem de famílias da faixa salarial mais elevada e a de
mais baixa renda. Descreva suas conclusões.
7) A tabela 2 mostra quem contribui mais para a renda familiar.
Tabela 2 - Integrantes da família que mais contribuem para a renda familiar
Número de famílias
Somente o pai
5
Somente a mãe
2
Pai e mãe juntos
16
Pai, mãe e outros
2
Total
25
Fonte – Primária, 2012
a) Represente os dados por meio de um gráfico de setores.
b) Quantas famílias o pai e a mãe juntos contribuem para a renda familiar?
c) Qual a porcentagem de famílias em que a mãe contribui mais para a renda
familiar?
d) Que porcentagem do total de famílias outras pessoas, além do pai e da mãe
contribuem para a renda familiar?
112
8) A tabela 3 mostra o grau de instrução dos pais dos alunos da turma 83 por
nível de renda.
Tabela 3 – Grau de instrução dos pais dos alunos da turma 83 por nível de renda
Quantidade de salários mínimos
Até 1
De 1 até 2
De 2 até 5
De 5 até 10
Pai
Mãe
Pai
Mãe
Pai
2
2
2
1
1
1
De 10 até
Mais de 20
20
Grau de instrução
Pai
Mãe
Sem instrução
1
Fundamental
1
Mãe
Pai
Mãe
Pai
Mãe
1
1
incompleto
Fundamental
completo
Médio incompleto
1
Médio completo
1
3
Superior
2
2
1
2
4
4
1
2
1
incompleto
Superior
1
1
1
2
1
1
completo
Pós-graduação
1
Mestrado
1
Doutorado
1
Fonte – Primária, 2012
a) Em que faixa de renda os pais apresentam um maior grau de instrução? E
o menor?
b) Qual a porcentagem de pais e mães com ensino médio incompleto?
c) Qual é o nível de escolaridade da maioria das mães?
d) Em que faixa de renda está o maior número de mães com ensino superior
completo?
e) Construa um gráfico de barras para comparar o nível de escolaridade dos
pais e das mães.
f) Analisando a tabela acima que relação é possível estabelecer entre a
escolaridade e a renda?
9) O gráfico 4 representa a quantidade total de bens duráveis que as famílias
dos alunos da turma 83 possuem em seus domicílios:
Lendo as informações no gráfico, responda as seguintes questões:
113
Gráfico 4 – Quantidade total de bens duráveis que as famílias dos alunos da turma 83 possuem
em seus domicílios
Fonte – Primária, 2012
a)
b)
c)
d)
Qual é o aparelho que menos se encontra nas residências?
Qual o aparelho que mais se encontra nas residências?
Qual é a média do número de aparelhos de televisão da turma?
Se cada família ficasse com o mesmo número de computadores, com
quantos computadores ficaria cada uma?
e) Comparando o número de telefones fixos com o número de famílias, o que
podemos concluir?
10) Lendo as informações do gráfico da questão 9 responda:
a) Qual é a média do número de automóveis da turma?
b) Imagine que uma destas famílias possua 4 automóveis. O que poderíamos
fazer para que a média em relação às 25 famílias continue sendo a mesma?
11) A tabela 4 representa a expectativa de vida dos homens e mulheres do Brasil
no período de 1980 até 2050.
Tabela 4 – Expectativa de vida dos homens e mulheres do Brasil no período de 1980 até 2050
Ano
1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 2050
Homens 59,62 61,29 62,8 64,8 66,71 68,1 69,68 71,1 72,5 73,7 74,8 75,79 76,68 77,5 78,16
Mulheres 65,69 68,24 70,4 72,3 74,29 75,8 77,26 78,6 79,8 80,9 81,8 82,63 83,35
84 84,54
Fonte: Primária, 2012
a) Faça um gráfico de linhas para representar a expectativa de vida dos homens
e das mulheres.
b) Comparando, ao longo dos anos, a expectativa de vida dos homens e das
mulheres, o que podemos concluir?
114
c) De quanto foi o aumento da expectativa de vida do brasileiro, ao ser
comparado com os dados de 1960, quando a expectativa era de que o
cidadão vivesse 48 anos?