MECÂNICA DOS FLUIDOS
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CAPÍTULO 6
MECÂNICA DOS FLUIDOS
6.1 Definição
Os fluidos compreendem os líquidos e os gases.
Os líquidos escoam sob a ação da gravidade até ocuparem as regiões mais baixas possíveis
dos vasos que os contêm.
Os gases se expandem até ocuparem todo o volume do vaso, qualquer que seja a forma.
Num gás, a separação média de duas moléculas é grande diante do tamanho da molécula.
Num líquido ou num sólido as moléculas estão muito próximas uma das outras e exercem
forças de interação comparáveis às forças de ligação dos átomos nas moléculas.
6.2 Densidade
É a razão entre a massa e o volume de uma amostra
ρ=
m
V
6.1
No cgs, a densidade da água é 1 g/cm3, e é uma referência para a medida de densidade.
Convertendo para o SI, temos
ρágua =
1g
cm
3
×
kg
3
10 g
(
100cm )3
×
m
3
= 103 kg / m 3
6.2
As densidades das substâncias, entre elas a da água, variam com a temperatura. A equação
(2) dá o valor máximo da densidade da água, que ocorre a 4°C.
A unidade de volume conveniente para fluidos é o litro (L):
1L = 103 cm3 = 10 −3 m 3
6.3
A densidade da água, a 4°C, é de 1,00 kg/L. Se,
•
•
ρcorpo > ρágua: o corpo afunda na água
ρcorpo < ρágua: o corpo flutua na água
A razão entre a densidade de uma substância e a densidade da água é a densidade relativa.
Exemplo 6-1: Um balão de vidro, de 200 ml, está cheio com água, a 4°C. Aquecido a 80°C
perde 6 g de água. Qual a densidade da água a 80°C? (Desprezar a expansão do balão.)
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Solução:
•
Cálculo da massa de água no balão, a 4°C, sabendo que ρ = 1 g/cm3:
m = ρ V = (1 g/cm3)(200 cm3) = 200 g
•
Cálculo da massa de água restante, m´, depois da perda de 6 g:
m´= m – 6 g = 200 g – 6 g = 194 g
•
Cálculo da densidade da água a 80°C:
ρ´=
m´
194 g
=
= 0,97 g / cm3
3
V 200 cm
6.3 Pressão num Fluido
Quando um corpo está imerso num fluido, como a água, o fluido exerce, em cada ponto da
superfície do corpo, uma força perpendicular à superfície. Esta força do fluido, por unidade de área
da superfície, é a pressão P do fluido.
P=
F
A
6.4
Unidade SI de pressão é o newton por metro quadrado (N/m2), denominada pascal (Pa):
1Pa = 1N / m 2
6.5
Outras unidades de pressão:
•
Libra por polegada quadrada: lb/in2
•
Atmosfera: 1 atm = 101,325 kPa = 1,01 x 105 Pa
1atm = 1,01 x 105 Pa = 14,70 lb/in2
6.6
A pressão exercida por um fluido sobre um corpo tende a comprimir o corpo. A razão entre
a variação de pressão (∆P) e a diminuição relativa de volume (-∆V/V) é o módulo de
compressibilidade
B=−
∆P
∆V
V
(
)
6.7
Os líquidos e os sólidos são relativamente incompressíveis e têm valores elevados de B, que
pouco dependem da temperatura e pressão. Os gases já são facilmente comprimidos, e os valores de
B dependem muito da pressão e da temperatura.
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6.4 Pressão num Líquido (Princípio de Stevin)
No caso da água, como sua densidade é aproximadamente constante, a pressão aumenta
linearmente com a profundidade. Vamos demonstrar este fato, analisando uma coluna de água de
altura h e área de seção reta A, como mostra a figura 6.1 abaixo.
Figura 6.1: Coluna de água com a altura h e área de seção reta A. A pressão P no
fundo tem que ser maior do que a pressão P0 no nível de cima, a fim de o peso da
água ser equilibrado.
Para suportar o peso da coluna, a pressão na base da coluna tem que ser maior do que no
topo. No equilíbrio
PA − P0 A = mg
mas o peso da coluna de líquido é w = mg = ρ V g = ρ A h g, logo
(P − P0 )A/ = ρ A/ h g
P = P0 + ρ g h
(ρ é constante)
6.8
Exemplo 6-2: Uma represa retangular , com 30 cm de largura, suporta uma massa de água com a
altura de 25 m (figura abaixo). Calcular a força horizontal total que age sobre a represa.
Solução:
•
Exprimir o elemento de força dF sobre o elemento de largura L a altura dh em termos
da pressão ρgh:
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dF = P dA = ρghL dh
•
Integrar entre h = 0 e h = H:
h=H
h2
F = ∫ dF = ∫ ρghL dh = ρgL
2
h =0
0
•
H
H
=
0
1
ρgLH 2
2
Substituindo os valores numéricos temos o resultado final
F = 9,20 x 107 N
6.5 Princípio de Pascal
De acordo com o princípio de Stevin a pressão no meio de um líquido, à profundidade h, é
maior do que na sua superfície, e a diferença entre as duas pressões é ρgh. Este resultado vale
qualquer que seja a forma do vaso que contém o líquido. A uma certa profundidade a pressão é
constante.
Se a pressão num líquido for modificada pela ação de um pistão que pressiona a sua
superfície livre, o aumento de pressão é o mesmo em todos os pontos da massa do líquido. Este
efeito é enunciado no princípio de Pascal:
“A pressão aplicada a um líquido confinado num vaso se transmite, sem qualquer
diminuição, a todos os pontos do líquido e às paredes do vaso.”
Uma aplicação bastante comum do princípio de Pascal é o da prensa hidráulica,
esquematizada na figura 6.2.
G
Figura 6.2: Prensa hidráulica. Uma pequena força F1 no pistão
menor provoca uma variação de pressão F1/A, que é transmitida,
pelo líquido, para o pistão maior. Como as pressões num e noutro
pistão são iguais, as forças estão relacionadas por F2/A2 =F1/A1.
Como a área do pistão grande é muito maior do que a do pequeno,
a força no pistão grande F2 = (A2/A1)F1 é muito maior do que F1.
Exemplo 6-3: O pistão de uma prensa hidráulica tem um raio de 20 cm. Que força deve ser
aplicada ao pistão pequeno, de 2 cm de raio, para que no maior se possa sustentar ou elevar um
carro de 1500 kg?
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Solução: A pressão P vezes a área A2 do pistão maior é igual ao peso mg do carro. A força F1 que
deve ser exercida sobre o pistão menor é igual a essa pressão vezes a área A1.
•
•
•
A força F1 é o produto da pressão P pela área A1: F1 = PA1
O produto da pressão P pela área A2 é igual ao peso do carro:
mg
PA2 = F2 = mg ⇒ P =
A2
Com o valor encontrado de P calcula-se F1:
F1 = PA1 =
mg
πr 2
A1 = mg 12 =147 N
A2
πr2
A figura 6.3 mostra a água contida num vaso com partes de diferentes formas. À primeira vista
poderia parecer que a pressão da água no vaso de maior seção seria maior e que a água seria forçada
a maiores alturas nos vasos de seções menores. A inexistência deste efeito é o paradoxo
hidrostático.
Figura 6.3: O paradoxo hidrostático. O nível da água não depende da forma do vaso. No vaso maior, o peso da água é
suportado em grande parte pelas paredes oblíquas laterais.
A pressão da água só depende da profundidade e não da forma do vaso.
Aproveita-se o resultado de a diferença de pressão ser proporcional à profundidade de um fluido
para medir pressões desconhecidas. A figura 6.4 mostra o medidor de pressão mais simples, o
manômetro de tubo aberto.
Figura 6.4: Manômetro de tubo aberto para a medição da pressão P. A diferença P – Pat é igual a ρgh.
O topo do tubo em U está aberto para a atmosfera à pressão Pat. A outra extremidade do tubo
está sujeita à pressão P, que se quer determinar. A diferença P − Pat é a pressão manométrica, Pman,
igual a ρgh, sendo ρ a densidade do líquido no tubo.
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A pressão P, chamada pressão absoluta, é o resultado da soma entre a pressão
manométrica e a pressão atmosférica
P = Pman + Pat
6.9
P – Pat = ρ g h
6.10
Dessa forma,
É comum se medir a pressão em milímetros de mercúrio (mmHg), também chamada de
Torr.
1 atm = 760 mmHg = 760 Torr = 29,9 inHg = 1,01 x 105 Pa
6.11
Nos mapas meteorológicos usam-se como unidades o bar e o milibar, definidos por
1 bar = 103 milibar = 100 kPa
6.12
Num gás a pressão não varia linearmente com a altura, já que a densidade não é constante e
também varia coma pressão. À medida que se sobe na atmosfera terrestre, a pressão numa coluna
vertical de ar diminui, da mesma maneira que a pressão diminui quando se sobe do fundo para a
superfície de uma coluna de água. A variação da pressão com altura é o caso típico de diminuição
exponencial, conforme ilustra a figura 6.5.
Figura 6.5: Variação da pressão com a altura em relação à superfície
terrestre. Para cada 5,5 km de acréscimo na altura, a pressão diminui à
metade.
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6.6 Empuxo e o Princípio de Arquimedes
Se um corpo pesado, imerso em água, for “pesado” por uma balança de mola, a leitura da
balança é menor do que quando o corpo é pesado no ar (figura 6.6).
Figura 6.6: (a) Pesagem de um corpo imerso num fluido. (b)
G
G
Diagrama de forças mostrando o peso w , a força da mola Fs e as
G
forças F1 e
G
F2 do fluido sobre o corpo. (c) O empuxo é a resultante
G G G
E = F2 − F1 das forças sobre o corpo.
É que a água exerce sobre o corpo uma força para cima que equilibra parcialmente a força
da gravidade (exemplo: rolha imersa na água), de modo que há uma aceleração para cima.
A força de um fluido sobre um corpo nele imerso é o empuxo. Este empuxo é igual ao peso
do fluido deslocado pelo corpo.
O princípio de Arquimedes nos diz que: “Um corpo total ou parcialmente imerso num fluido
sofre um empuxo que é igual ao peso do fluido deslocado.”
E=w
6.13
A densidade relativa de um corpo também foi determinada por Arquimedes como sendo:
ρ rel =
w0
peso do corpo no ar
=
peso de igual volume de água w água
6.14
Mas como, pelo princípio de Arquimedes, o peso do volume de água é o empuxo sobre o
corpo submerso, então ele equivale também à perda de peso que o corpo sofre ao ser pesado
mergulhado na água. Logo,
ρ rel =
w0
peso do corpo no ar
=
perda de peso do corpo imerso na água w perd
6.15
Exemplo 6-4: A densidade relativa do ouro é de 19,3. Se uma coroa fosse feita de ouro puro e
pesasse 8 N no ar, qual seria o seu peso quando mergulhada na água?
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Solução:
•
Cálculo do peso do corpo perdido quando imerso na água:
ρ rel =
•
w0
w perd
⇒
w per =
8N
= 0,415 N
19,3
Cálculo do peso da coroa submersa na água:
wsub = 8 N – 0,415 N = 7, 59 N
O peso que se mede de um corpo submerso num fluido, wsub, também pode ser escrito como
a diferença entre o peso do corpo e o empuxo E:
 ρ
wsub = w – E = ρ g V − ρf g V = ρ g V 1 − f
ρ




6.16
Exemplo 6-5: Uma balsa de área A, espessura h e massa 600 kg, flutua na água com 7 cm imersos.
Quando uma pessoa fica de pé sobre ela, a parte imersa é de 8,4 cm. Qual a massa da pessoa?
Solução: Sendo A a área da balsa, o peso de água deslocado pela balsa é ρáguaAd1g, e este peso
passa a ρáguaAd2g quando a pessoa está embarcada. Nestas expressões, ρágua é a densidade da água,
d1 = 7 cm e d2 = 8,4 cm. Se igualarmos, em cada situação, o peso do fluido deslocado ao peso do
corpo flutuante, podemos eliminar A e ρágua e calcular a massa m da pessoa em termos da massa da
balsa, M = 600 kg.
Igualando o empuxo na imersão com d1 = 7 cm ao peso da balsa, e na imersão com
•
d2 = 8,4 cm ao peso da balsa mais o da pessoa, temos
ρáguaAd1g = Mg
ρáguaAd2g = (M + m) g
•
Dividindo uma equação pela outra eliminamos A e ρágua:
d2 M + m
=
d1
M
•
Resolvendo em m:
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
d
m =  2 − 1 M = 120 kg

 d1
Exemplo 6-6: A densidade da cortiça é 200 kg/m3. Calcular a fração de uma rolha de cortiça imersa
quando a rolha flutua na água.
Solução: Sejam V o volume da rolha e V´o volume imerso quando a rolha está flutuando. O peso
da rolha é ρcVg e o empuxo da água é ρáguaV´g.
•
Como a rolha está flutuando em equilíbrio, o empuxo é igual ao peso:
ρcVg = ρáguaV´g
•
Resolvendo em V´/V:
ρ
V´
200 kg / m3 1
= c =
=
V ρágua 1000 kg / m3 5
Apenas um quinto da rolha fica mergulhado na água. O resultado não depende da forma da
rolha.
Se nas expressões anteriores a densidade da água ρágua for substituída pela densidade de um
fluido qualquer, ρf, podemos determinar a fração imersa de um corpo que flutua em qualquer fluido.
Pelo exemplo 6.6 a fração do corpo flutuante que fica imersa é igual à razão entre a densidade do
corpo e a densidade do fluido.
V´ ρc
=
V ρf
6.7
6.17
Fluidos em Movimento
É muito complexo e inviável descrever escoamentos turbulentos. Por isso vamos nos limitar
ao escoamento não-turbulento de um fluido “ideal”, em estado permanente. È um escoamento em
que não há dissipação de energia mecânica. Vamos admitir também que o fluido seja
incompressível (boa aproximação para a maior parte dos líquidos). Num escoamento de um fluido
incompressível a densidade é constante em qualquer parte do fluido.
Consideremos um fluido escoando num tubo de seção reta variável (figura 6.7).
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Figura 6.7: Fluido incompressível escoando num tubo de seção reta variável. Os volumes sombreados são iguais.
O volume de fluido entra no tubo pela esquerda, através da seção A1, durante o intervalo de
tempo ∆t. Se a velocidade do fluido neste ponto for v1, o volume do fluido que entra no tubo é
∆V = A1∆h = A1v1∆t
6.18
Como estamos admitindo que o fluido é incompressível, o volume de fluido que entra deve
ser igual ao volume que sai no ponto de área de seção reta A2. Dessa forma,
∆V = A 2 ∆h = A 2 v 2 ∆t
6.19
Igualando (6.18) e (6.19)
A1 v1 = A2 v2
6.20
Dessa forma o produto Av permanece constante e é chamada de vazão volumar Iv. As
dimensões de Iv são as de volume dividido pelo tempo.
No escoamento permanente de um fluido incompressível, a vazão volumar é sempre a
mesma em qualquer ponto do fluido.
Iv = A v = constante
6.21
A equação (6.21) é a equação da continuidade.
Exemplo 6.7: O sangue escoa numa artéria de raio 0,3 cm à velocidade de 10 cm/s e entra numa
região onde o raio foi reduzido em virtude do espessamento das paredes arteriais (arteriosclerose),
para 0,2 cm. Qual a velocidade do sangue nesta área mais estreita?
Solução: Sejam v1 e v2 as duas velocidades e A1 e A2 as áreas correspondentes. A equação (6.20)
nos dá
v2 =
 π(0,3 cm )2

A1
(10 cm / s ) = 22,5 cm
v1 = 
2
A2
 π(0,2 cm )

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100
6.8 Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli relaciona a pressão, a elevação e a velocidade de um fluido
incompressível num escoamento permanente. É conseqüência das leis de Newton e se deduz sem
dificuldade pela conservação da energia de um segmento do fluido.
Seja um fluido em movimento num tubo cuja elevação e a área da seção reta sejam
variáveis, como mostra a figura 6.8.
Figura 6.8: Fluido escoando num tubo de seção reta variável e de elevação variável. O trabalho total das forças F1 = P1
A1 e F2 = P2 A2 provoca a elevação da massa de fluido assinalada da altura y1 até a altura y2 e a variação da velocidade
de v1 até v2.
Vamos aplicar o teorema da conservação da energia ao fluido que está, inicialmente, entre os
pontos 1 e 2 da figura 6.8a. Depois de um intervalo de tempo ∆t, o fluido se desloca no tubo e passa
a ocupar a região entre os pontos 1´e 2´ (figura 6.8b).
Seja ∆m = ρ ∆V a massa desta parcela do fluido. O efeito do deslocamento do fluido durante
o intervalo de tempo ∆t é o de a massa ∆m ter sido elevada da altura y1 para a altura y2 e de a
velocidade ter passado de v1 para v2.
A variação da energia potencial do fluido é então
∆U = ∆m gy2 − ∆m g y1 = ρ g ∆V (y2 – y1)
A variação da energia cinética do fluido é dada por
∆K =
(
1
(∆m )v 22 − 1 (∆m )v12 = 1 ρ ∆V v 22 − v12
2
2
2
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)
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101
Há uma força sobre a parte esquerda do fluido dada por F1 = P1A1. O trabalho realizado por
esta força é
W1 = F1 ∆x1 = P1 A1 ∆x1 = P1 ∆V
Há uma força sobre a parte direita do fluido dada por F2 = P2A2. O trabalho realizado por
esta força é
W2 = − F2 ∆x2 = − P2 A2 ∆x2 = − P2 ∆V
O trabalho total será
W = W1 + W2 = (P1 – P2) ∆V
Pelo princípio da conservação da energia mecânica
W = ∆K + ∆U
Logo,
(P1 – P2) ∆V =
(
)
1
ρ ∆V v 22 − v12 + ρ g ∆V (y2 – y1)
2
Desenvolvendo a equação acima temos,
P1 + ρgy1 +
1 2
1
ρv1 = P2 + ρgy 2 + ρv 22
2
2
Este resultado pode ser reescrito como
1
P + ρgy + ρv 2 = constante
2
6.21
É a equação de Bernoulli do escoamento permanente de fluido invíscido e incompressível,
que nos mostra que a combinação dos valores das grandezas do primeiro membro é constante em
qualquer ponto do tubo.
Casos particulares:
a) Fluido em repouso: v1 = v2 = 0
P1 – P2 = ρ g ( y2 – y1) = ρ g h
b) Tubo com elevação constante: y1 = y2
P+
1
ρ v2 = constante
2
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102
Exemplo 6.8: Um grande tanque de água tem pequeno orifício à distância h da superfície livre do
líquido. Calcular a velocidade do escoamento da água através do orifício.
Solução: Apliquemos a equação de Bernoulli aos pontos a e b assinalados na figura acima. Como o
diâmetro do orifício é muito menor do que o diâmetro do tanque, podemos desprezar a velocidade
da água na superfície livre (ponto a).
•
A equação de Bernoulli, com va = 0, nos dá
Pa + ρgy a + 0 = Pb + ρgy b +
•
1
ρgv 2b
2
A pressões nos pontos a e b coincidem, e ambas são iguais à pressão atmosférica, Pat, pois os
dois pontos estão abertos para a atmosfera:
Pa = Pb = Pat
ou
Pat + ρgy a + 0 = Pat + ρgy b +
•
1
ρgv 2b
2
Resolvendo a equação na velocidade vb do escoamento da água no orifício temos
v 2b = 2g(y a − y b ) = 2gh
ou
v b = 2gh
Na figura 6.9, a água escoa através de um tubo horizontal com uma seção estrangulada. A
altura das duas seções é a mesma, e teremos y1 = y2.
Figura 6.9: Estreitamento num tubo percorrido por uma corrente de fluido. A pressão é mais baixa na seção
estrangulada do tubo, onde o fluido tem velocidade maior.
E a equação de Bernoulli assume a forma
P+
1
ρ v2 = constante
2
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
103
Quando o fluido se move e entra na região estrangulada, a área A se torna menor e a
velocidade v deve aumentar a fim de o produto Av permanecer constante. Porém, como P + ρv2/2
permanece constante, se a velocidade v aumenta a pressão P deve diminuir. Então, a pressão na
parte estrangulada fica reduzida.
Quando a velocidade de um fluido aumenta, a pressão diminui.
Este resultado é conhecido como o efeito Venturi.
Exemplo 6.9: Um medidor Venturi (ou simplesmente um Venturi) é um dispositivo prático de
medição da vazão de um fluido. O fluido de densidade ρf passa através de um tubo de área de seção
reta A1 com um estrangulamento com a área da seção reta A2 (figura abaixo). Um manômetro de
tubo em U faz a ligação entre as duas partes, e está cheio com um líquido manométrico de
densidade ρL. Como a velocidade no estrangulamento é maior do que na parte normal do tubo, a
pressão nesta seção é menor entre os níveis do líquido nos dois ramos do manômetro. Determine a
relação entre a velocidade v1, a altura medida h e as grandezas conhecidas ρf, ρL e r = A1/A2.
Solução: As pressões P1 e P2 nas regiões normal e estrangulada do tubo estão relacionadas com as
velocidades v1 e v2 pela equação de Bernoulli. A diferença entre estas pressões é dada pela altura h,
pois P1 – P2 = ρgh. A velocidade v2 se exprime, em termos de v1 e das áreas A1 e A2, pela equação
da continuidade.
• Equação de Bernoulli, com elevação constante, nas regiões normal e estrangulada do tubo.
1
1
P1 + ρ f v12 = P2 + ρf v 22
2
2
• Equação da continuidade nas duas regiões e expressão de v2 em termos de v1 e das áreas A1 e
A2.
A
v 2 = 1 v1 = rv1
A2
• Com a expressão de v2 na equação da etapa 1 tem-se a equação de P1 – P2.
1
P1 − P2 = ρf r 2 − 1 v12
2
(
•
)
A expressão de P1 – P2 em termos da diferença de altura h dos níveis do líquido manométrico
nos ramos do tubo em U.
P1 − P2 = ρ L gh
•
Igualando as duas expressões de P1 – P2, tem-se v1 em termos de h:
v1 =
2ρ L gh
(
)
ρf r 2 − 1
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104
MECÂNICA DOS FLUIDOS
6ª LISTA DE EXERCÍCIOS
1.
Um balão de vidro, de 60 mL, está cheio de mercúrio a 0°C. Quando a temperatura sobe para
80°C, transbordam do balão 1,47 g de mercúrio. Admitindo-se que o volume do balão seja
invariável, calcular a densidade do mercúrio a 80°C, sendo a sua densidade a 0°C igual a
13,645 kg/m3. R: 13.621 kg/m3
2. Calcular a massa de uma esfera maciça de ferro que tenha o diâmetro de 3,0 cm. R: 0,111 kg
3. Uma mulher, de 50 kg, equilibra-se sobre os saltos altos de um par de sapatos. Se a ponta do
salto for circular, com raio de 0,5 cm, que pressão a mulher exercerá sobre o solo? R: 6,24 x
106 Pa
4. A que profundidade, num lago, a pressão absoluta é igual a três vezes a pressão atmosférica?
R: 20,6 m
5. Calcular (a) a pressão absoluta e (b) a pressão monométrica no fundo de uma piscina com a
profundidade de 5,0 m. R: (a) 1,5 atm; (b) 0,5 atm
6. Qual a variação relativa da densidade da água do mar entre a superfície (onde a pressão é igual
a 1 atm) e uma profundidade de 4,96 km (onde a pressão é 500 atm)? R: 2,47%
7. Em alguns lugares da Groelândia, a camada de gelo chega a 1 km de espessura. Estimar a
pressão desta camada sobre a rocha que a sustenta (ρgelo = 920 kg/m3.) R: 9,12 MPa
8. Um elevador hidráulico é usado para elevar um automóvel de 1500 kg. O raio do eixo do
elevador é de 8 cm e o do pistão de 1 cm. Que força deve ser aplicada ao pistão para elevar o
automóvel? R: 230 N
9. Que pressão é necessária para reduzir o volume de 1 kg de água de 1,00 L para 0,99 L? R: 200
atm
10. No século XVII, Pascal realizou a experiência esquematizada na figura ao lado.
Um tonel de vinho, completamente cheio de água, foi acoplado a um tubo vertical
comprido. Por esse tubo foi derramada água até o tonel arrebentar. (a) Se a tampa
do tonel tiver 20 cm de raio e a altura da água no tubo for de 12 m, calcular a
força exercida sobre a tampa. (b) Se o raio interno do tubo vertical for de 3 mm,
que massa de água no tubo provoca a pressão que arrebenta o tonel? R: (a) 14800
N; (b) 340 g
11. Muitas pessoas pensam, ingenuamente, que se um tubo flexível estiver com a
boca flutuando acima do nível da água será possível respirar através dele
enquanto estiverem mergulhadas (figura ao lado). Esquecem-se, porém, da
pressão da água que se opõe à expansão do tórax e dos pulmões. Imagine que
você seja capaz de respirar deitado no chão com um peso de 400 N sobre a
caixa torácica. A que profundidade, na água, você conseguiria respirar,
admitindo que a área frontal da caixa torácica seja de 0,09 m2? R: 45 cm
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12. Um tubo em U está aberto nas duas extremidades e parcialmente cheio de água (figura
abaixo). Num dos braços se derrama querosene (densidade = 0,82 x 103 kg/m3), formando-se
uma coluna de 6 cm de altura, como mostra o diagrama. Qual a diferença h da altura dos dois
níveis de líquido em cada ramo do tubo? R: 1,08 cm
13. O volume de um cone circular reto, de altura h e raio da base r é V = πr2h/3. Um vaso cônico,
com a altura de 25 cm e raio da base de 15 cm, apoiado na sua base, está cheio de água. (a)
Calcular o volume e o peso da água no cone. (b) Determinar a força exercida pela água sobre a
base do cone. Explicar como esta força pode ser maior do que o peso da água. R: (a) V = 5,89 x
10-3 m3; w = 57,8 N; (b) F = 173 N
14. Uma amostra de cobre (densidade relativa de 9,0) está pendurada num
dinamômetro e mergulhada na água (figura ao lado). Sendo de 500 g a massa da
amostra, qual a leitura do dinamômetro? R: 4,36 N
15. Mostrar que somente 11% do volume total de um iceberg se encontram acima do nível da água.
(Observe que a água do mar tem a densidade 1,03 x 103 kg/m3, e o gelo tem a densidade de 0,92
x 103 kg/m3.) R: 10,67% acima
16. Um cubo de madeira, com 20 cm de aresta, e com densidade de 0,65 x 103 kg/m3, flutua na
água. (a) Qual a distância entre o cume do cubo e a linha-d´água? (b) Que peso de chumbo,
colocado na face superior do cubo, manteria essa face no nível da água? R: a) 7,00 cm; b) 2,80
kg
17. Uma esfera de plástico flutua na água, tendo 0,50 do seu volume imerso. Essa mesma esfera
flutua num óleo com 0,40 do seu volume imerso. Determinar as densidades do óleo e da esfera.
R: ρóleo = 1,250 kg/m3; ρesfera = 500 kg/m3
18. Uma prancha de espuma de estireno tem espessura de 10 cm e densidade de 300 kg/m3. Qual
será a área da prancha, sabendo-se que ela flutua faceada com a superfície da água, quando
sobre ela estiver um nadador de 75 kg? R: 1,07 m2
19. Uma amostra sólida, de material desconhecido, pesa 5 N no ar e 4,55 N quando mergulhada na
água. (a) Qual a densidade do material? (b) De que material é, possivelmente, a amostra? R: (a)
11,1 x 103 kg /m3; (b) chumbo
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20. Um corpo flutua na água com 80% do seu volume imerso. O mesmo corpo, colocado em outro
líquido, flutua com 75 % do seu volume imerso. Determinar a densidade do corpo e a densidade
relativa do líquido. R: ρ = 800 kg/m3; ρrel = 1,11
21. Caixas de livros, cada qual com 20 kg, são colocadas sobre uma balsa de 3 m de lado e 11 cm
de espessura, que flutua em águas calmas. A madeira da balsa tem a densidade relativa de 0,6.
Quantas caixas podem ser colocadas sobre a balsa sem haver perigo de os livros se molharem?
R: 19
22. O hidrômetro, cujo esquema aparece na figura ao lado, é um dispositivo
para a medição da densidade de líquidos. O bulbo tem uma tara de
granalha de chumbo e a densidade é lida diretamente pela posição do nível
do líquido sobre a haste, depois de o instrumento ter sido calibrado. O
volume do bulbo é de 20 mL, a haste tem 15 cm de comprimento e 5,00
mm de diâmetro, e a massa do vidro é de 6 g. (a) Qual a massa da
granalha de chumbo para que a menor densidade de líquido que puder ser
medida seja de 0,9 kg/L? (b) Qual será então a maior densidade que
poderá ser medida? R: (a) 14,65 g; (b) 1,03kg/L
23. Uma corrente de água flui a 0,65 m/s através de uma mangueira com 3 cm de diâmetro e um
bocal de 0,3 cm. (a) Qual a velocidade da água no bocal? (b) Uma bomba está impelindo a água
na entrada da mangueira e está na mesma altura que o bocal. A pressão na saída do bocal é
atmosférica.Qual a pressão da bomba na entrada da água na mangueira?
R: (a) 65 m/s; (b) 21,8 atm
24. Num tubo horizontal passa uma corrente de água a 3 m/s, sob a pressão de 200 kPa. O diâmetro
do tubo, a partir de um certo ponto, fica reduzido a metade do inicial. (a) Qual a velocidade da
corrente de água na seção reduzida do tubo? (b) Qual a pressão nesta seção reduzida? (c) Qual a
razão entre as vazões da água nas duas secções?
R: (a) 12 m/s; (b) 132,5 kPa; (c) As vazões são iguais.
25. Bombeia-se água permanentemente para fora de um porão inundado a uma velocidade de 5,0
m/s através de uma mangueira uniforme com raio de 1,0 cm. A mangueira passa para fora
através de uma janela 3,0 m acima do nível da água. Qual a potência da bomba? R: 66 W
26. Uma mangueira de jardim com um diâmetro interno de 1,9 cm está ligada a um irrigador de
gramado (parado) que consiste simplesmente em uma carcaça com 24 furos, cada um com 0,13
cm de diâmetro. Se a água na mangueira possuir uma velocidade de 0,91 m/s, a que velocidade
ela sairá dos furos do irrigador? R: 8,1 m/s
27. A água está escoando com uma velocidade de 5,0 m/s através de uma tubulação com uma área
de seção transversal de 4,0 cm2. A água desce gradativamente 10 m enquanto a tubulação
aumenta de área para 8,0 cm2. (a) Qual a velocidade do nível mais baixo? (b) Se a pressão no
nível mais elevado for de 1,5 x 105 Pa, qual será a pressão no nível mais baixo? R: (a) 2,5 m/s;
(b) 2,6 x 105 Pa
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28. Uma tubulação de água com o diâmetro interno de 2,5 cm transporta água para o porão de uma
casa a uma velocidade de 0,90 m/s e a uma pressão de 170 kPa. Se o diâmetro da tubulação for
reduzido gradualmente para 1,2 cm e a tubulação subir até o segundo andar, 7,6 m acima do
ponto de entrada, (a) qual a velocidade e (b) qual a pressão da água no segundo andar? R: (a)
3,9 m/s; (b) 88 kPa
29. Na figura abaixo, água escoa através de uma tubulação horizontal e depois sai para a atmosfera
com uma velocidade de 15 m/s. Os diâmetros das seções esquerda e direita da tubulação são de
5,0 cm e 3,0 cm, respectivamente. (a) Que volume de água escoa para a atmosfera durante um
período de 10 min? Na seção do lado esquerdo da tubulação, (b) qual a velocidade v2 e (c) qual
a pressão manométrica? R: (a) 6,4 m3 ; (b) 5,4 m/s ; (c) 9,8 x 104 Pa
30. A água doce atrás da barragem de um reservatório possui uma profundidade de 15 m. Uma
tubulação horizontal com 4,0 cm de diâmetro atravessa a parede da represa 6,0 m abaixo da
superfície da água, como indicado na figura. Um plugue impede a abertura da tubulação. (a)
Determine a intensidade da força de atrito entre o plugue e a parede da tubulação. (b) O plugue
é removido. Que volume de água escoa para fora da tubulação em 3,0 h? R: (a) 74 N; (b) 150
m3
31. Um grande tanque de água tem um sangradouro à distância h da superfície livre. O sangradouro
é provido de pequeno tubo horizontal. Estimar a distância x que o jato de água alcança. R:
2 h (H − h )
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32. Um medidor Venturi está montado num tubo que conduz água, conforme mostra a figura ao
lado. O diâmetro do tubo é de 9,5 cm e o do estrangulamento é de 5,6 cm. O líquido
manométrico é o mercúrio. Determinar a vazão da água se a diferença entre os níveis do
mercúrio nos dois ramos do manômetro for de 2,40 cm. R: 1,85 m/s
33. A tubulação esquematizada na figura conduz água que sai para a atmosfera em C. O diâmetro
da tubulação é de 2,0 cm em A, 1,0 cm em B e 0,8 cm em C. A pressão manométrica da água
em A é de 1,22 atm e a vazão 0,8 L/s. Os dois tubos estão abertos para a atmosfera. Estimar a
altura do nível da superfície livre da água em cada um dos tubos verticais. R: hA = 12,6 m; hB =
5,3 m
34. A figura abaixo é o esquema de um aspirador, dispositivo simples para se conseguir um vácuo
parcial num vaso ligado e um tubo vertical em B. Se o aspirador for acoplado a uma mangueira
de jardim, pode ser aproveitado para aspergir água de sabão ou solução de fertilizante sobre as
plantas. Seja de 2,0 cm o diâmetro na seção de entrada A, e de 1,0 cm o diâmetro na seção da
saída C, aberta para a atmosfera. A vazão da água é de 0,5 L/s e a pressão manométrica em A é
de 0,187 atm. Qual o diâmetro da seção estrangulada em B para que a pressão no vaso seja de
0,1 atm? R: 6,5 mm
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35. Um líquido de densidade ρ0 enche os vasos comunicantes representados na figura abaixo.
As áreas das seções retas são A e 3A. Determinar a variação na altura dos níveis se um corpo de
massa m e densidade ρ´= 0,8 ρ0 for colocado em um dos vasos. R: Como o corpo flutua, o
volume do líquido deslocado é m/ρ0 = 4 A ∆h. Portanto, ∆h = m/4ρ0A
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