Trabalho elaborado por:
Vanessa Carvalho
Filipa Farinha
Todos estamos habituados ao que acontece quando há aceleração, isto é, variações de
velocidade (em módulo e/ou em direcção) do sistema onde nos encontramos (ou seja,
num referencial não inercial).
Se considerarmos uma viagem de autocarro, em pé, com travagens, arranques bruscos e
curvas apertadas, é suficiente para nos convencer de que sempre que o sistema onde nos
encontramos sofre mudanças de velocidade certas forças( referencial não inercial), ditas
fictícias ou de inércia, actuam sobre nós.
Assim, durante uma curva do autocarro sentimos uma força que nos atira para fora, a
força centrífuga (veremos que Fcf = mw2r).
Isto acontece porque quando um objecto se mexe efectuando curvas, muda
constantemente de direcção, originando-se uma força que tende a afastá-lo do centro.
Esta força aparece sempre nos objectos que se encontram submetidos a rotação (e outro
tipo de movimento acelerado) e o seu sentido aponta sempre para fora.
As forças fictícias são sempre em sentido oposto ao da aceleração do referencial não
inercial.
Em suma, a força centrífuga ou de inércia não tem a mesma origem física das forças que
correntemente se encontram na Natureza. Surge, antes, como uma forma de modificar a
2ª Lei de Newton para que seja aplicável mesmo relativamente a observadores não
inerciais.
Agora analisemos o videograma, que decidimos dividir em três fases:
Fase I: quando só roda uma das bolas e a outra está presa na mão
Fase II: quando rodam as duas bolas livremente
Fase III: quando se corta o fio
Quando o sistema roda com uma velocidade angular w, as esferas sobem até atingirem a
posição de equílibrio em que, para cada uma delas, são iguais as intensidades da força
centrífuga e da força de ligação.
Fc
Enquanto as forças não são iguais (devido ao impulso
inicial) ocorre translação, diminuindo à medida que se
caminha para o equílibrio.
T
Escolhendo adequadamente a posição inicial, é possível encontrar uma posição de equilíbrio, em
que cada uma das esferas se posiciona de cada um dos lados do eixo de rotação, que é independente
da velocidade de rotação.
Nestas condições, o fio fica esticado e as forças centrífugas são iguais.
É importante notar para que as forças centrífugas sejam iguais e iguais a força de ligação (T), o
sistema tem de rodar em torno de um ponto fixo ou em torno do centro de massa, como aliás se pode
ver no vídeo na fase I e II:
CM
y
Ponto fixo
Fase I
Fase II
Vamos concentrar-nos com mais detalhe na fase II, para que seja possível calcular a
massa do café e, ao mesmo tempo perceber melhor a força centrífuga.
Para um observador inercial, as esferas descrevem um círculo com velocidade angular
de valor w constante, e cada esfera está sujeita a uma força centrípeta, igual à tensão do
fio, que lhe comunica uma aceleração centrípeta, ac, de valor ac = v2 como v = wr, então
Distância ao eixo
ac = w2r
r
de rotação
Ex: esfera com café (mc)
CM
yW
Fc = mcac
Rc
mc
er
}
ac
Fc = mcw2Rc er
Para um observador não inercial, solidário com o sistema, a esfera está em repouso,
sujeita à tensão, T, do fio e à força de inércia, Fi, que são simétricas e, como tal, têm
resultante nula.
Ex: esfera mc
mc
CM
T
Fi
A força de inércia actua
radialmente para fora e
chama-se força centrífuga
er
Então Fi = - Fc
Fi = mw2r
Só existe em referenciais
acelerados (não inerciais)
Em rotações para
manter o fio esticado
Na fase III do vídeo:
Após o corte temos Fi = 0 , T = 0 logo cada esfera tem um movimento rectilíneo e
uniforme ∑ F = 0
a = 0 e v = k (lei de Newton)
Agora tentaremos calcular a massa de café que foi inserida na esfera:
Uma vez que, como já vimos, as forças centrífugas das bolas são iguais, então temos
Fi1 = Fic
m1 = massa da
esfera vazia
mc = massa da
esfera+ massa do
café
m1w2r1 = mcw2rc
m1
l1
mc
lc
r1 = distância do centro
de massa da esfera 1
até ao centro de massa
do sistema
rc = distância do centro
de massa da
esfera+café até ao
centro de massa do
sistema
CM
r1
l1+lc = lfio
rc
as esferas têm a mesma velocidade angular
m1r1 = mcrc
mc = m1 r1 como mc = m1+mcafé
rc
mcafé = m1 (r1-1)
rc
Para sabermos os valores d r1 e de rc medimos os comprimentos dos fios depois de se ter
cortado o fio no CM (fase III), l1 e lc, e fizemos uma aproximação para simplificar o
problema:
Aproximação 1:
Para a esfera 1 sabemos que o seu centro de massa se localiza no centro da esfera, logo
r1 = l1+resfera .
Medido experimentalmente
Até aqui não há problema, mas quando se pensa na esfera com café já não é tão simples.
Durante a rotação, o líquido vai sentir igualmente o efeito da força centrífuga, pelo que
vai ser afastado contra a parede da esfera, no lado da semi-esfera exterior.
Fic
café
Então, a posição do centro de massa do sistema esfera+café não é o centro de massa da
esfera. Como primeira aproximação vamos considerar que é e então rc = lc+resfera. Mas
numa análise mais cuidada seria necessário calcular o raio da “semi-esfera” de café que
se formou.
Aproximação 2:
Se soubermos o volume de café que
foi introduzido na esfera e
considerarmos que nessa situação
ocupa uma semi-esfera de raio rcafé
então Vcafé = 1/2x4/3∏ x (rcafé)3
CM
lc
2resfera- rcafé
2
Assim, em vez de o CM ser no centro da esfera, seria
CMesfera+café = mesfera x rcafé + mcafé x rcafé
mesfera + mcafé
E era este valor que teríamos de somar ao l1
r1 = l1 + CMesfera+café NOTA: mesmo assim este cálculo seria aproximado, pois o
espalhamento do café contra a parede da esfera não tem uma forma realmente esférica,
pelo que na resolução do problema se faz a 1ª aproximação.
Então, para calcularmos mcafé temos de :
Saber o valor da massa da esfera
mcafé = m1 (r1-1)
rc
Medir l1 e lc depois de se cortar o fio
Somar quer a l1 quer a lc o raio da esfera.
Sugestão: medir diversas vezes o l1 e lc ( e até mesmo cortar vários sistemas
para que se possa fazer uma análise estatística e encontrar os erros associados
aos valores medidos).
Para a segunda aproximação seria igualmente necessário saber o volume de café,
por exemplo na seringa que se vê no vídeo
Problema proposto:
Calcula a massa do café que foi inserido na esfera, sabendo:
- as esferas vazias pesam 2g
- l1= 40cm e lc= 20cm
- raio da esfera = 3,8cm
Concluindo:
Sempre que há aceleração de um sistema – referencial não inercial- tudo se passa como
se certas forças adicionais (para além das já conhecidas: gravidade, atrito,
electromotriz,etc.) actuassem sobre os objectos materiais transportados nesse sistema.
Durante a rotação dos corpos a força fictícia é a centrífuga e depende quer da massa do
objecto, quer da distância a que este se encontra do eixo de rotação.