MBA DE LOGÍSTICA | FCAP- UPE
Métodos Quantitativos Aplicados a Logística
Prof. Carlos Alberto Martins
1
- MÉTODOS QUANTITATIVOS Programação linear aplicada à Logística
Dado um sistema real,o modelo emprega símbolos matemáticos para representar
as variáveis de decisão do sistema real.
Essas variáveis são relacionadas por funções matemáticas que expressão o
funcionamento do sistema.
A solução consiste em encontrar valores adequados das variáveis de decisão que
otimizem o desempenho do sistema, segundo o critério desejado.
Modelos de programação linear são identificado pelas seguintes características:
a)
Uma função objetiva de (maximização ou minimização) que deve ser
otimizada.
a)
Um conjunto de equações e/ou inequações lineares (restrições)
a)
As variáveis de decisão que são não negativas, ou seja,positivas ou nulas.
2
MÉTODOS QUANTITATIVOS Programação linear aplicada à Logística – cont.
Considere o modelo geral de programação linear
Max.Z = c1x1 + c2x2 + .....+ cnxn,
s.a
a11x1 + a12x2 + ....+ a1n <= b1
a21x1 + a22x2 + .... + a2n <= b2
..............................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn <= bn
x1.>= 0 ; x2>=0; .....;xn>=0
Onde:
Xj = nível de produção do produto j. ( j =1,2,...,n ) incógnitas do problema
Cj = lucro ou custo do produto j.
bi = quantidade disponível do recurso i (bi >= 0)
aij =quantidade de recurso i consumida na produção de uma unidade do produto j.
3
Programação linear aplicada à Logística – cont.
construção de modelos
Exercício1: A Cia forjas minas produz dois produtos A e B que utilizam os mesmos
recursos produtivos:matéria-prima, forja e polimento.
Cada unidade do produto A requer 4 horas de forjaria e 2 horas de polimento,
enquanto que cada unidade do produto B exige 2 horas de forjaria e 3 horas de
polimento.A capacidade produtiva equivalente diária é de 220 horas na seção de
forjaria e 250 horas no polimento.O preço unitário de venda do produto A é de
R$1.900,00 e do produto B é R$2.100,00 e toda a produção tem mercado garantido.
Pede-se:
a)Formule o modelo matemático que maximize a receita da empresa;
b)Determine a solução pelo método gráfico.
Solução – O ca e cb são respectivamente os preços de venda dos produtos A e B
a11 , a12 , a21 e a22 são as horas de forjaria e polimento respectivamente.
b1 e b2 são as capacidades diária produtiva de forjaria e polimento.
Assim, o modelo tem o seguinte aspecto
4
Programação linear aplicada à Logística – cont.
Máx Z = 1.900,00Xa + 2.100,00Xb , s.a
4 xa
2 xa
+ 2 xb <= 220
+ 3 xb <= 250
xa , xb > = 0
Exercício 2: Considere o seguinte problema: Uma empresa fabrica dois produtos, A e B.
O lucro unitário do produto A é de R$ 1.000,00 e de B é R$1.500,00. A empresa precisa
de 20 horas para fabricar uma unidade do produto A e de 30 horas para fabricar uma
unidade do produto B. O tempo anual de produção disponível é de 1.200 horas. As
demandas esperadas para os dois produtos levaram à decisão de que o montante do
produto A produzido não deve ultrapassar 40 unidades anuais e o montante de B não
deve ultrapassar 30 unidades anuais. A empresa deseja maximizar o lucro do ano.
Solução: Máx Z = 1.000 xa + 1.500 xb ,
20xa + 30xb <= 1.200
xa <= 40
xb <= 30
xa , xb >= 0
s.a
5
Programação linear aplicada à Logística – cont.
Solução Gráfica
Exemplo1:
Para conseguir fundo para a festa de formatura, Jose, Carlos e izabel vão produzir 2
tipos brinquedos (A e B), cujos lucros por unidade são R$ 300,00 e R$ 400,00
respectivamente. Na linha de produção cada brinquedo passa por 3 etapas: Modelagem,
Pintura e Acabamento. Jose , encarregado da modelagem , dispõe de 20 horas por
semana , Carlos encarregado a pintura dispõe de 30 horas por semana e Izabel
encarregado do acabamento dispõe de 16 horas semanais.Use os dados da tabela para
determinar o lucro Maximo.
x1 = n° de brinquedos do tipo A na semana
x2 = n° de brinquedos do tipo B na semana
6
Programação linear aplicada à Logística – cont.
Lucro (Max) = 300(4) +400(6) = R$ 3600,00
Lucro (Max) = 300(4) +400(6) = R$ 3600,00
7
Programação linear aplicada à Logística – cont.
Exemplo 2:
As Caravanas Marco Polo Llda. usam dromedários (1 bossa) e camelos (2
bossas) para transportar figos secos de Bagda para Meca. Um camelo pode
levar no máximo 1000 lbs e um dromedário 500 lbs. Durante a viagem um
camelo consome 3 fardos de feno e 100 galões de água. Um dromedário
consome 4 fardos de feno e 80 galões de água. As estações da Marco Polo,
situadas em vários oásis ao longo do caminho, apenas têm disponíveis 1600
galões de água e 60 fardos de feno.
Os camelos e os dromedários são alugados a um pastor perto de Bagda a 11
pazuzas por camelo e 5 pazuzas por dromedário. Se as Caravanas Marco
Polo Llda. tiverem uma carga de 10000 lbs de figos para transportar, quantos
camelos e dromedários devem ser usados para minimizar a renda a pagar ao
pastor ?
Variáveis de decisão :
quantidade de camelos a usar (x1)
quantidade de dromedários a usar (x2)
Restrições :
capacidade da caravana
disponibilidade de feno
disponibilidade de água
8
Programação linear aplicada à Logística – cont.
Camelos
Dromedários
Capacidade
disponível
Capacidade
1000
500
10000
Feno
3
4
60
àgua
100
80
1600
Renda a pagar
11
5
Minimizar Z = 11 x1 + 5 x2 (renda) sujeito a
1 000 x1 + 500 x2 ≥ 10 000 (capacidade)
3 x1 + 4 x2 ≤ 60
(feno)
100 x1 + 80 x2 ≤ 1 600
(água)
x1, x2 ≥ 0
(não negatividade)
9
Programação linear aplicada à Logística – cont.
10
Programação linear aplicada à Logística – cont.
Solução Algébrica - Método Simplex
O método simplex é um método interativo (algoritmo) utilizado para encontrar
Algebricamente, a solução ótima de um problema de PL.
PASSOS DO SIMPLEX
1. Achar uma solução básica inicial;
2. Verificar se a solução é ótima. Se for pare.caso contrario, siga para o passo 3
3. Determinar a variável não básica que deve entra na base.
4. Determinar a variável básica que deve sair da base;
5. Achar a nova solução compatível básica e voltar ao passo 2.
Seja o Problema
Máximizar z = 3x1 + 2x2 + 5x3 s.a.
x1 + 2x2 + x3 <= 430
3x1 + 2x3 <= 460
x1 + 4x2 <= 420
x1, x2, x3 >= 0
11
Programação linear aplicada à Logística – cont.
Primeiro passo: Transformar o sistema de M desigualdades lineares restritivas
Em um sistema de M equações lineares.
Assim;
x1 + 2x2 + x3 + x4 = 430
3x1+ 2x2 + x5 = 460
x1+ 4x2 + x6 = 420
Segundo passo: Colocar as equações em forma de tabela
Z – 3x1 - 2x2 – 5x3
= 0
x1 + 2x2 + x3 + x4 = 430
3x1 +
2x3
x5 = 460
x1 + 4x2
+ x6 = 420
12
Programação linear aplicada à Logística – cont.
Terceiro passo: Determinar uma solução inicial viável
VB
z
x1
x2
X3
X4
x5
x6
b
Z
1
-3
-2
-5
0
0
0
0
X4
0
1
2
1
1
0
0
430
X5
0
3
0
2
0
1
0
460
x6
0
1
4
0
0
0
1
420
X1=x2=x3=0
X4 =430; x5 = 460; x6 = 420
13
Programação linear aplicada à Logística – cont.
Quarto passo: Verificar se a solução é ótima
VB
z
x1
x2
X3
X4
x5
x6
b
Z
1
-3
-2
-5
0
0
0
0
X4
0
1
2
1
1
0
0
430
X5
0
3
0
2
0
1
0
460
x6
0
1
4
0
0
0
1
420
A solução não é ótima,porque as variáveis x1,x2 e x3 assume valor zero.
Quinto passo:Determinar a variável que entra xi , e
Sexto passo: Determinar a variável que saí xi
14
Programação linear aplicada à Logística – cont.
VB
z
x1
x2
X3
X4
x5
x6
b
Z
1
-3
-2
-5
0
0
0
0
X4
0
1
2
1
1
0
0
430
X5
0
3
0
2
0
1
0
230
x6
0
1
4
0
0
0
1
ind
No caso, entra x3 e sai x5. A intercessão x3 ^ x5 é o pivô
Sétimo passo: Calcular a nova matriz de coeficientes, executando as
operações convenientes nas linhas da matriz.
15
Programação linear aplicada à Logística – cont.
VB
Z
X1
X2
x3
X4
X5
X6
B
Z
1
4.5
-2
0
0
2.5
0
1150
X4
0
-0,5
2
0
1
-0,5
0
200
X3
0
1.5
0
1
0
0,5
0
230
x6
0
1
4
0
0
0
1
420
Oitavo passo: Repetir todos os passos, do 4 ao 7, tantas vezes quanto forem
Necessárias, até que a solução ótima seja encontrada.
VB
z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
B
Z
1
4
0
0
1
2
0
1350
X2
0
-0,25
1
0
0.5
-0,25
0
100
X3
0
1.5
0
1
0
0,5
0
230
X6
0
2
0
0
-2
1
1
20
O máximo de z é 1350, para x2 = 100, x3 =230 e x6 = 20
16
Programação linear aplicada à Logística – cont.
Método simplex – Casos especiais
Serão estudados em seguida alguns casos que podem ocorrer nos modelos de
programação linear e que não foram considerados anteriormente.
1) Problemas de Minimização
Foram resolvidos, até agora, modelos com função objetiva a ser maximizadas.
Quando a função objetivo for de minimização pode-se fazer duas coisas:
a)
b)
Inverter o teste de otimização e o critério de entrada na base.
Transformar o problema de minimização num problema de maximização.por
exemplo, Min W = 2x1 + 3x2 - 5x3 equivale a:
Máx Z = -2x1 - 3x2 + 5x3 e na solução final fazer W = - Z
2) Empate na entrada
Quando houver empate na escolha da variável que entra na base, deve-se
escolher a variável arbitrariamente. A única implicação envolvida na escolha é
um caminho mais longo ou mais curto para se obter a solução ótima.
17
Programação linear aplicada à Logística – cont.
3) Empate na saída – Degeneração
Como no caso anterior, a decisão deve ser arbitraria. Apresenta-se um exemplo para
analise das implicações desse empate.
Máx Z = 5x1 + 2x2 s.a
x1
<= 3
x2 <= 4
4x1 + 3x2 <= 12
x1 , x2 >= 0
VB
z
x1
x2
x3
x4
X5
b
X3
1
1
0
1
0
O
3
X4
0
0
1
0
1
0
4
x5
0
4
3
0
0
1
12
F.0
0
-5
-2
0
0
0
0
18
Programação linear aplicada à Logística – cont.
Escolhendo a variável que saí,vem:
linha 1 : x1 <= 3/1 = 3
linha 2 : x1 <= 4/0 = ind
linha 3 : x1 <= 12/4 = 3
VB
z
x1
x2
x3
x4
X5
b
X1
1
1
0
5
0
O
3
X4
0
0
1
1
1
0
4
X5
0
0
3
-4
0
1
0
F.0
0
0
-2
5
0
0
15
Obs:Note que a variável básica x5 é nula. Isso sempre ocorrerá quando houver um
empate na saída. Neste caso, as variáveis x3 e x5 se anularam ao mesmo tempo.
Quando isso ocorrer diz-se que a solução fatível básica é degenerada.
19
Programação linear aplicada à Logística – cont.
A próxima tabela será:
VB
z
X1
x2
x3
x4
x5
b
X1
0
1
0
1
0
0
3
X4
0
0
0
4/3
1
-1/3
4
X2
0
0
1
-4/3
0
1/3
0
F.0
1
0
0
7/3
0
2/3
15
Obs: Se na ocasião do empate fosse escolhido x5 em vez de x3, para sair da base, obter-se-ia:
VB
z
X1
x2
x3
x4
x5
b
X3
0
0
-3/4
1
0
-1/4
0
X4
0
0
1
0
1
0
4
X1
0
1
3/4
0
0
1/4
3
F.0
1
0
7/4
0
0
5/4
15
20
Programação linear aplicada à Logística – cont.
Obs: Neste caso conseguiu-se chegar à solução ótima com uma interação a
menos.
Problemas Propostos:
1) Máx Z = 2x1 + 3x2 , s.a
-x1 + 2x2 <= 4
x1 + x2 <= 6
x1 + 3x2 <= 9
x1, x2 >=0
Achar a solução gráfica.
2) Máx Z = 7x1 +
x1 3x1 +
5x1 +
x1, x2
achar a solução gráfica
9x2 , s.a
x2 >= - 2
5x2 <= 15
4x2 <= 20
>= 0
21
Programação linear aplicada à Logística – cont.
3) Máx z = 3x1 + x2 + 5x3 , s.a
x1 - 2x2 + 4x3 + x4 = 12
2x1 + x2 + 3x3 + x5 = 15
x1, x2, x3, x4, x5 >= 0
a) Qual a solução básica inicial óbvia e qual o valor de Z?
b) Supor que a variável x3 passe de 0 a 1, mantidos x1 = x2 = 0. Qual o valor resultante
de x4, x5 e de Z?
Casos de Dificuldades
Suponha que todos os bj sejam >=0. Haverá dificuldade quando o modelo apresentar
uma restrição do tipo >=. Nesses casos, usa-se o processo da função objetiva artificial
ou método de duas fases.
A fase I consiste em abandonar ou não a função objetiva e trabalhar com a função
objetivo artificial, formada pela variável artificial.
Se o modelo requerer mais de uma variável artificial para completar a base inicial, a
função objetiva Z será igual a soma dessas variáveis artificiais. Assim, o objetivo na fase
I é fazer com que a ou as variáveis artificiais sejam igual a zero, excluindo-se da base a
função artificial, antes de se passar para a II fase. Seja o problema de programação
linear.
22
Programação linear aplicada à Logística – cont.
Min Z = - x1 + 2x2 , s.a
6x1 + 5x2 >= 90
- x1 + x2 <= 8
2x1 - x2 <= 20
x1, x2 >= 0
Resolver pelo simplex.
VB
x1
x2
x3
x4
x5
A1
B
A1
6
5
-1
0
0
1
90
X4
-1
1
0
1
0
0
8
x5
2
-1
0
0
1
0
20
F.0
-1
2
0
0
0
0
0
F.A
-6
-5
1
0
0
-1
-90
23
Programação linear aplicada à Logística – cont.
VB
X1
X2
X3
X4
X5
A1
b
A1
0
8
-1
0
-3
1
30
X4
0
1/2
0
1
1/2
0
18
X1
1
-1/2
0
0
1/2
0
10
F.0
0
3/2
0
0
1/2
0
10
F.A
0
-8
1
0
3
-1
-30
VB
X1
X2
X3
X4
X5
A1
b
X2
0
1
-1/8
0
-3/8
1/8
30/8
X4
0
0
1/16
1
11/16
-1/16
258/16
X1
1
0
-1/16
0
5/16
1/16
190/16
F.0
0
0
3/16
0
17/16
-3/16
70/16
F.A
0
0
0
0
0
0
0
24
Programação linear aplicada à Logística – cont.
Solução Final:
X1 = 190/16
X2 = 30/8
X3 = 0
X4 = 258/16
X5 = 0
A1 = 0
Z = - x1 + 2x2
Z = -190/16 + 2.30/8 = - 70/16
Resolução de problemas de programação Linear utilizando
Excel através da ferramenta “Solver”
25
Resolução de PL usando a ferramenta solver
O software Excel resolve problemas de Programação linear através da
ferramenta “Solver”.
Seja o problema de programação Linear:
Maximizar o lucro Z = x1 + 1.5 x2, s.a
2 x1 + 2 x2 <= 160
x1 + 2 x2 <= 120
4 x1 + 2 x2 <= 280
x1, x2 >= 0
Para resolver qualquer problema de PL utilizando o Excel, deve-se montar a
seguinte planilha:
26
Resolução de PL usando a ferramenta solver
27
Resolução de PL usando a ferramenta solver
Na célula D2 é digitada a seguinte fórmula:
=SOMARPRODUTO(B2:C2;$B$6:$C$6), idem para as células D3, D4,D5.
uma vez adicionadas estas fórmulas à planilha pode-se alterar os valores das
células B6 e C6 que correspondem aos valores de x1 e x2 e verifica-se que os
valores das células D2, D3,D4 e D5 (coluna total) são alterados automaticamente.
Agora, a planilha esta pronta para utilizar a ferramenta “solver”, que irá resolver o
problema de programação linear.
Para ativar o comando Solver deve-se clicar sobre a célula D5, que corresponde ao
valor da função objetivo, e após em ferramentas solver. A janela “parâmetros do
solver “então irá aparecer sobre a planilha. A figura mostra a planilha neste estágio.
Nesta janela o campo “definir célula de destino“ aparece o valor $D$5,
correspondente ao valor da função objetivo.
O campo “células variáveis” corresponde aos valores de x1 e x2. Assim,seleciona-se
com o mouse as células (B6 e C6).
28
Resolução de PL usando a ferramenta solver
Após a seleção das células B6 e C6,deve-se clicar na caixa “adicionar” para
inserir as restrições. Em seguida clicar na caixa “adicionar” onde irá aparecer
outra janela denominada “adicionar restrição”.
Nesta janela o campo “referencia de célula”, deve-se selecionar as células D2,
D3 e D4 e no campo “restrição deve-se selecionar as células F2, F3 e F4
conforme mostra a figura.
29
Resolução de PL usando a ferramenta solver
Após estas seleções deve-se clicar na caixa “opções” na janela “parâmetros do
solver” e verificar se o campo “presumir modelo linear”bem como “presumir
não negativos”.
Retornando a janela “parâmetros do solver” clica-se na caixa “resolver”, que irá
então resolver o PL. A figura abaixo mostra a planilha com o resultado ótimo.
30
Resolução de PL usando a ferramenta solver
Como pode-se observar, os valores das células B6 e C6 são iguais a 40
(valores ótimos). A célula D5, com valor igual a 100 correspondendo ao valor
da função objetiva.
31
m

Problemas do transporte aplicado à logística
i 1
n

j 1
Introdução
O modelo de transporte tem como objetivo minimizar o custo total do transporte
necessário para abastecer n centros consumidores(destinos) a partir de m centros
fornecedores (origens).
O modelo tem o seguinte aspecto:
m

i 1
n

j 1
32
Problemas do transporte aplicado à logística
Exemplo1: considere situação onde há 3 fábricas produzindo o mesmo produto
e 4 depósitos onde estes produtos são estocados para posterior venda. As
produções nas fábricas são:a1 = 40, a2 = 80, a3 = 110. Nos depósitos devem
ser atendidas as seguintes demandas:b1 = 20, b2 = 30, b3 = 100, b4 = 80. Os
custos unitários de transporte do produto são dados por:
D1
D2
D3
D4
01
10
5
12
4
02
2
0
1
9
03
13
11
14
6
Achar um modelo de PL para determinar o programa de entregas do produto com mínimo
custo de transporte.
33
Problemas do transporte aplicado à logística
Regra do canto esquerdo ou canto Noroeste:
Consiste em, iniciando pelo arco (1, 1) ou trajeto O1D1 associado ao canto superior
esquerdo da tabela usada pelo algoritmo, e através de deslocamentos sucessivos para a
direita e para baixo, atingir o canto inferior direito da tabela, distribuindo a produção
disponível nas origens pelos arcos (chamados arcos básicos) de forma a atender as
demandas nos destinos.
Nota:Uma linha (ou coluna) é explorada até que a produção (ou demanda) desta linha
(ou coluna) seja esgotada (ou atendida). Em cada arco deve-se alocar a maior
quantidade de produto possível.
01
D1
D2
20
20
02
10
03
Demanda
20
30
D3
D4
Produção
40
70
80
30
80
110
100
80
230/230
Custo da solução: 20.10 + 20.5 + 10.0 + 70.1 + 30.14 + 80.6 = 1270.
34
Problemas do transporte aplicado à logística
Casos especiais
Ofertas e demandas desbalanceadas
Podem ocorrer duas situações:
Obs:Custos de transporte nos trajetos fictícios são nulos. Em seguida, aplicase o método do canto noroeste normalmente.
Exemplo2:Resolva o seguinte problema de transporte
A
B
C
Oferta
01
6
8
4
20
02
4
5
8
20
Demanda
30
20
10
Custo total: 20*6 + 10*4 + 10*50 + 10*0 + 10*0 = 660
35
Problemas do transporte aplicado à logística
Regra do Custo Mínimo
Este processo fornece uma solução inícial que depende não só dos valores
das ofertas e das demandas, como também,dos custos dos transportes,
objetivando obter uma solução mais próxima da ótima.
Os seguintes passos devem ser seguidos nos quadros de soluções:
1)
Localize no quadro de custos o menor cij que não tenha oferta ou
demanda nula;
2)
Aloque na célula correspondente do quadro de soluções a maior
quantidade permitida pela oferta e demanda correspondente;
3)
Atualize os valores da oferta e da demanda que foram modificados pelo
passo 2 e volte ao passo 1;
4)
Este processo se repete até esgotar-se todas as origens e suprimirem
todos os destinos.
Exercício: Resolver o problema dado no exemplo 1.
36
Problemas do transporte aplicado à logística
1
2
3
4
Oferta
1
10
5
12
4
40
2
2
0
1
9
80
3
13
11
14
6
110
Demanda
20
30
100
80
230/230
1
2
3
4
Oferta
1
9
2
6
3
1
6
1
Demanda
20
30
100
40
4
80
110
80
230/230
Custo total = 13*20 +11*30 + 14*20 + 6*40 + 80*1 + 40*4 = 1.350
37
Problemas de Designação aplicado à logística
Problema de designação
Partindo do principio de que o problema de transporte tem como
modelo:
Então, fazendo bj = 1, j=1,2,...,n e ai = 1 i=1,2,...,m podemos garantir
Que os somatórios acima só terão um xij = 1 para cada par (i,j). Esse fluxo
Unitário estabelece a ligação entre uma única origem a um único destino.
Esse caso particular de problema de transporte é conhecido como problema
de designação, pois designa cada origem a um único destino
38
Problemas de Designação aplicado à logística
Dessa forma o problema toma o seguinte aspecto:
O método consiste dos seguintes passos:
1) Subtrair o menor elemento de cada linha dos elementos restantes dessa linha;
2) Subtrair o menor elemento de cada coluna dos outros elementos dessa mesma
Coluna;
3) Testar se a solução é ótima.
i)Traça-se o número mínimo de retas que cubra todos os zeros do quadro de
soluções (horizontal ou vertical);
ii) Se o número de retas for igual a m, número de linhas ou colunas, pode-se
39
fazer uma atribuição ótima. Vá para o passo 6, caso contrario, vá para o passo
4.
Problemas de Designação aplicado à logística
4) Procura-se o menor elemento não coberto pelas linhas e subtraia esse elemento dos
demais não coberto. Some depois esse elemento (o menor não coberto) aos
elementos que estão na interseção das retas. Todos os demais elementos devem
permanecer inalterados. Vá para o passo 3.
5) Faça uma atribuição ótima. Esta atribuição é feita achando-se onde os zeros estão
situados no quadro final.
OBS:
a)
b)
c)
O problema de designação exige uma matriz m x n.
Se o número de linhas é menor que o número de colunas a matriz é completada
com linhas com elementos nulos, é equivalente a dizer que alguns dos
pretendentes não serão designado.
Se o número de colunas é menor que o número de linhas acrescenta-se colunas
fictícias e isso significa que alguns dos elementos não serão designados.
Considere o exemplo:
Uma fábrica possui quatro locais, designados por (1,2,3,4) para receber três
máquinas novas (A,B,C) o local 4 não é permitido à máquina A por restrições
físicas. O custo de manuseio de materiais, em $/hora, envolvendo cada
máquina com a respectiva posição, é dado no quadro abaixo.
40
Problemas de Designação aplicado à logística
1
2
3
4
A
5
1
3
X
B
3
1
4
3
C
3
3
4
2
1
2
3
4
A
5
1
3
X
B
3
1
4
3
C
3
3
4
2
D
0
0
0
0
(1)
(1)
(2)
41
Problemas de Designação aplicado à logística
1
2
3
4
A
4
0
2
X
B
2
0
3
2
C
1
1
2
0
D
0
0
0
0
1
2
3
4
A
2
0
0
X
B
0
0
1
0
C
1
3
2
0
D
0
2
0
0
Designação ótima:
Máquina
(2)
Local
A
2
B
1
C
4
42
Problemas de Designação aplicado à logística
Problemas Propostos:
1)Quatro construções A, B, C e D devem ser levantadas em um campus
universitário por quatro empreiteiras 1, 2, 3, e 4. Cada uma delas deve
construir um edifício. As propostas financeira das construtoras estão
indicadas no quadro abaixo.
Construções
1
2
3
4
A
48
48
50
44
B
56
60
60
68
C
86
54
90
85
D
42
44
54
46
Empreiteiras
2)Resolver o seguinte problema de designação: Caminhões devem se
deslocar para cidades cujas distancias são dadas na tabela abaixo.
Designe cada caminhão de forma que a quilometragem seja mínima.
43
Problemas de Designação aplicado à logística
Cidades
caminhões
1
2
3
4
5
6
A
20
15
26
40
32
12
B
15
32
46
26
28
20
C
18
15
2
12
6
14
D
8
24
12
22
22
20
E
12
20
18
10
22
15
Resposta:Temos duas atribuições, a 1 é.
Da Cidade A envia um caminhão para a cidade
6
Da Cidade B envia um caminhão para a cidade
1
Da Cidade C envia um caminhão para a cidade
5
Da Cidade D envia um caminhão para a cidade
3
Da Cidade E envia um caminhão para a cidade
4
A Cidade 2 não recebe caminhões
-
A quilometragem total para esta atribuição é de
12 + 15 +6 +12 +10 + 0 = 55 milhas
44