LISTA DE EXERCÍCIOS
Goiânia, 19 de Agosto de 2014
 Turma: _____
Série: 3ª Série
Aluno(a):______________________________________________________________
Disciplina: Matemática  Professor: JR  e-mail: [email protected]
Polígonos
Exemplos
Definição
Seja A1 , A2 , A3 ,..., An  uma sequência finita de pontos de um
1)
2)
mesmo plano, com n  3 , tais que Ak 2 , Ak 1 e Ak não sejam
colineares, para todo k  IN e 2  k  n e, ainda, An1 , An e A1 ,
também, não sejam colineares. Define-se polígono plano como sendo a
reunião dos segmentos A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 , ..., An1 An e An A1 .
Exemplos
1)
2)
3)
Hexágono
4)
Triângulo
Pentágono
5)
Heptágono
Heptágono
*
Polígono Regular: é qualquer polígono equilátero e equiângulo.
Exemplos

Número de diagonais de um polígono convexo de n lados
Diagonal de um polígono convexo é qualquer segmento que tem
extremidades em dois vértices não-consecutivos desse polígono. O
número total de diagonais de um polígono convexo de n lados é dado
nn  3
por d 
.
2
A1

Polígonos convexos
Polígono convexo é qualquer polígono cuja região interna é um
conjunto convexo. Nos exemplos anteriores, apenas (1) e (4) não são
convexos.

Elementos principais de um polígono
A1
1
3
n
n
5
A3
4
4
6
A6
A2
3
2
1
An

2
A4
5

A5
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo
Demonstra-se que a soma S i dos ângulos internos de um

Soma dos ângulos externos de um polígono convexo
Demonstra-se que a soma S e dos ângulos externos de um
polígono convexo de n lados não depende de n e vale sempre 360o, ou
seja, S e  360 .
Ângulo interno () e ângulo externo () de um polígono
regular

vértices
A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 ,..., An A1
lados
1 ,  2 ,  3 ,...,  n
ângulos internos
1 ,  2 ,  3 ,...,  n
ângulos externos
Classificação
A4
polígono convexo de n lados é tal que S i  n  2180 .

A1 , A2 , A3 ,..., An
A3
A6
A5
6
A2
n  2180
e
n
Observe que     180 .

360
.
n
Exercícios de Sala
1.
(UnB) Em um polígono convexo, o número de lados é o dobro do
número de diagonais. Calcule o número de lados do polígono.
2.
*
Polígono Equilátero: apresenta todos os lados congruentes.
Exemplos
1)
2)
3)
(UNICAMP) Calcule o número de diagonais do polígono
convexo cuja soma dos ângulos internos mede 1440o.
3.
(IME) A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é
1080°. Calcule o número de diagonais desse polígono.
4.
(ESPM) Se o número de lados de um polígono convexo fosse
acrescido de 3 unidades, seu número de diagonais triplicaria. Podemos
afirmar que a soma dos ângulos internos desse polígono é igual a:
a) 720°
b) 900°
c) 1080°
d) 1200°
e) 1800°
*
Polígono Equiângulo: apresenta todos os ângulos internos
congruentes.
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-1-
5.
Em relação ao octógono regular da figura, calcule.
a) A soma dos ângulos internos.
b) A soma dos ângulos externos vale.
c) A medida de cada ângulo interno vale.
d) A medida de cada ângulo externo vale.
e) O número de diagonais.
Na circunferência de centro O, a corda AB é lado de um
hexágono regular inscrito, e a corda AC , medindo 2cm, é lado de um
triângulo regular inscrito. O perímetro desse hexágono é igual a
Exercícios Propostos
a) 12cm.
b) 12 2cm .
d) 24cm.
e) 24 3cm .
c) 12 3cm .
1.
(UEPB) Aumentando-se de 5 unidades o número de lados de um
polígono, o número de diagonais aumenta de 40. Esse polígono é o:
a) heptágono
b) pentágono
c) hexágono
d) octógono
e) eneágono
9.
(UFG) Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de
segurança em um condomínio fechado, representado pelo polígono da
figura abaixo.
2.
(FGV) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm,
e Q é o centro da circunferência inscrita a ele. O perímetro do polígono
AQCEF, em dm, é igual a
a) 4  2
b) 4  3
d) 4  5
e) 2 2  2


c) 6
(UNIFESP) A soma de n – 1 ângulos internos de um polígono
convexo de n lados é 1900º. O ângulo remanescente mede
a) 120º.
b) 105º.
c) 95º.
d) 80º.
e) 60º.
3.
4.
(UEPB) O número de diagonais de um octógono é:
a) 20
b) 28
c) 56
d) 48
e) 24
5.
(UEPB) O número de diagonais de um octógono é:
a) 20
b) 28
c) 56
d) 48
e) 24
6.
(UEL) Seja o heptágono irregular, ilustrado na figura seguinte,
onde seis de seus ângulos internos medem 120º, 150º, 130º, 140º, 100º
e 140º. A medida do sétimo ângulo é
A empresa pretende colocar uma torre de comunicação,
localizada no ponto A, indicado na figura, que seja equidistante dos
vértices do polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão
instalados os equipamentos de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse
polígono mede 3.000 m e as medidas dos outros lados são todas iguais
à distância do ponto A aos vértices do polígono. Calcule a distância do
ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono.
10. (UEG) Seja a a medida do lado de um octógono regular
circunscrito a uma circunferência de raio R. Com base nessa
informação, determine a medida do perímetro desse octógono em
função do raio R .
11. (UECE) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um
terço do número de diagonais, então o valor de n é
a) 9.
b) 11.
c) 13.
d) 15.
12. (ITA) Seja n o número de lados de um polígono convexo. Se a
soma de n – 1 ângulos (internos) do polígono é 2004°, determine o
número n de lados do polígono.
Gabarito - Exercícios Propostos
a) 110º
b) 120
c) 130º
d) 140º
e) 150º
(UnB) Considere dois polígonos regulares convexos P e P’ com n
e n  1 lados, respectivamente. Sabendo que a medida do ângulo
interno do polígono P’ é 48o maior que a do ângulo externo
(suplemento do ângulo interno adjacente) do polígono P e que a soma
dos ângulos internos de um polígono regular de n lados é  n  2 .180
7.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
A
B
D
A
A
B
A
1.732 m

10. PS  16Rtg  
8
11. A
12. 14
, calcule a soma dos números de lados desses dois polígonos.
8.
(UNCISAL) Observe a figura.
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Exercícios Propostos
Teorema de Tales
1.
(UEG) A figura abaixo representa a planta de um terreno que está
dividido em 3 lotes, com as medidas de alguns lados fornecidas.
a x
a b

ou

b y
x y

*
Teorema da bissetriz
Interna
AB AC

BS CS
Determine:
a) a medida do lado inclinado do lote 3.
b) a área total do terreno.
2.
*
(UNIFICADO) Na figura abaixo, r, s e t são retas paralelas.
Externa
AB AC

BS CS
Exercícios de Sala
1.
(UFRRJ) Pedro está construindo uma fogueira representada pela
figura abaixo. Ele sabe que a soma de x com y é 42 e que as retas r, s e
t são paralelas.
Os valores de x e y são, respectivamente,
a) 1 e 2
b) 1,5 e 4
c) 2,5 e 5
d) 3 e 5
e) 3,75 e 5
3.
A diferença x – y é
a) 2.
b) 4.
c) 6.
d) 10.
(UFPE) Na ilustração a seguir, as retas a, b e c são paralelas.
e) 12.
2.
(UnB) Determine o valor de x com os dados da figura, onde r, s e
t são retas paralelas.
r
x10
x20
Assinale o inteiro mais próximo de x + y.
s
x16
x18
4.
t
Nesta figura, os segmentos de retas AO , BP , CQ e DR são
paralelos. Calcule a medida do segmento PQ , em metros.
3.
(UFSM) A crise energética tem levado as médias e grandes
empresas a buscarem alternativas na geração de energia elétrica para a
manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma
fábrica foi a de construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a
correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações.
Observando a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam
paralelas, pode-se afirmar que a barreira mede
5.
Considere um triângulo ABC, de lados AB  12 cm , AC  8 cm
e BC  15 cm . Sendo D e E os pés das bissetrizes interna e externa,
respectivamente, relativas ao vértice A, julgue os itens a seguir.
(01) O segmento BD mede 9 cm.
(02) O segmento CE mede 30 cm.
(03) (AD)2 + (AE)2 = 1296
a) 33 m
b) 38 m
c) 43 m
d) 48 m
e) 53 m
6.
(UNICAMP) A figura mostra um segmento AD dividido em três
partes: AB  2 cm, BC  3 cm e CD  5 cm. O segmento AD’ mede 13
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cm e as retas BB’ e CC’ são paralelas a DD’. Determine os
comprimentos dos segmentos AB’, B’C’ e C’D’.
7.
(UnB) Considere a figura a seguir. Sabendo-se que os segmentos
AB, BC e A’B’ têm comprimentos 4 cm, 2 cm e 8 cm, respectivamente,
determine o comprimento do segmento B’C’.
A
B
C
A'
11. Na figura, AS é bissetriz externa do ângulo  . Calcule o valor
de x.
r
B'
s//r
C
'
t//r
8.
(UFF) O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na
figura a seguir:
12. (CESGRANRIO) No triângulo ABC da figura, CD é a bissetriz
do ângulo interno C. Se AD  3 cm, DB  2 cm e AC  4 cm, então o
lado BC mede:
a) 3 cm
As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve
percorrer o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T,
retornando, finalmente, a S.
Assinale a opção que indica o perímetro do circuito.
a) 4,5 km
b) 19,5 km
c) 20,0 km
d) 22,5 km
e) 24,0 km
c)
7
cm
2
d)
8
cm
3
e) 4 cm
13. (PUC) Considere um triângulo ABC retângulo em A, onde AB =
21 e AC = 20, BD é a bissetriz do ângulo ABC. Quanto mede AD
42
21
20
a)
b)
c)
d) 9
e) 8
5
20
21
Gabarito - Exercícios Propostos
9.
(UFRN) A Figura abaixo é a representação de seis ruas de uma
cidade. As ruas R1, R2 e R3 são paralelas entre si.
5
cm
2
b)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.


a) 16,8
b) 10  41 .60m2
D
26
40 m
VVV
x  2,6 ; y  3,9 e z  6,5
04 cm
B
A
3
x
2
10
D
A
Paulo encontra-se na posição A da rua R1 e quer ir para a rua R2
até à posição B.
Se a escala de representação for de 1:50.000, a distância, em
metros, que Paulo vai percorrer será de, aproximadamente,
a) 1.333.
b) 750.
c) 945.
d) 3.000.
10. Na figura, AS é bissetriz interna do ângulo  . Calcule o valor
de x.
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