LISTA DE EXERCÍCIOS Goiânia, 19 de Agosto de 2014 Turma: _____ Série: 3ª Série Aluno(a):______________________________________________________________ Disciplina: Matemática Professor: JR e-mail: [email protected] Polígonos Exemplos Definição Seja A1 , A2 , A3 ,..., An uma sequência finita de pontos de um 1) 2) mesmo plano, com n 3 , tais que Ak 2 , Ak 1 e Ak não sejam colineares, para todo k IN e 2 k n e, ainda, An1 , An e A1 , também, não sejam colineares. Define-se polígono plano como sendo a reunião dos segmentos A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 , ..., An1 An e An A1 . Exemplos 1) 2) 3) Hexágono 4) Triângulo Pentágono 5) Heptágono Heptágono * Polígono Regular: é qualquer polígono equilátero e equiângulo. Exemplos Número de diagonais de um polígono convexo de n lados Diagonal de um polígono convexo é qualquer segmento que tem extremidades em dois vértices não-consecutivos desse polígono. O número total de diagonais de um polígono convexo de n lados é dado nn 3 por d . 2 A1 Polígonos convexos Polígono convexo é qualquer polígono cuja região interna é um conjunto convexo. Nos exemplos anteriores, apenas (1) e (4) não são convexos. Elementos principais de um polígono A1 1 3 n n 5 A3 4 4 6 A6 A2 3 2 1 An 2 A4 5 A5 Soma dos ângulos internos de um polígono convexo Demonstra-se que a soma S i dos ângulos internos de um Soma dos ângulos externos de um polígono convexo Demonstra-se que a soma S e dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados não depende de n e vale sempre 360o, ou seja, S e 360 . Ângulo interno () e ângulo externo () de um polígono regular vértices A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 ,..., An A1 lados 1 , 2 , 3 ,..., n ângulos internos 1 , 2 , 3 ,..., n ângulos externos Classificação A4 polígono convexo de n lados é tal que S i n 2180 . A1 , A2 , A3 ,..., An A3 A6 A5 6 A2 n 2180 e n Observe que 180 . 360 . n Exercícios de Sala 1. (UnB) Em um polígono convexo, o número de lados é o dobro do número de diagonais. Calcule o número de lados do polígono. 2. * Polígono Equilátero: apresenta todos os lados congruentes. Exemplos 1) 2) 3) (UNICAMP) Calcule o número de diagonais do polígono convexo cuja soma dos ângulos internos mede 1440o. 3. (IME) A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é 1080°. Calcule o número de diagonais desse polígono. 4. (ESPM) Se o número de lados de um polígono convexo fosse acrescido de 3 unidades, seu número de diagonais triplicaria. Podemos afirmar que a soma dos ângulos internos desse polígono é igual a: a) 720° b) 900° c) 1080° d) 1200° e) 1800° * Polígono Equiângulo: apresenta todos os ângulos internos congruentes. www.colegiopodium.com.br RESPONSABILIDADE AMBIENTAL – Nossos papéis são de florestas 100% plantadas e renováveis -1- 5. Em relação ao octógono regular da figura, calcule. a) A soma dos ângulos internos. b) A soma dos ângulos externos vale. c) A medida de cada ângulo interno vale. d) A medida de cada ângulo externo vale. e) O número de diagonais. Na circunferência de centro O, a corda AB é lado de um hexágono regular inscrito, e a corda AC , medindo 2cm, é lado de um triângulo regular inscrito. O perímetro desse hexágono é igual a Exercícios Propostos a) 12cm. b) 12 2cm . d) 24cm. e) 24 3cm . c) 12 3cm . 1. (UEPB) Aumentando-se de 5 unidades o número de lados de um polígono, o número de diagonais aumenta de 40. Esse polígono é o: a) heptágono b) pentágono c) hexágono d) octógono e) eneágono 9. (UFG) Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de segurança em um condomínio fechado, representado pelo polígono da figura abaixo. 2. (FGV) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele. O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a a) 4 2 b) 4 3 d) 4 5 e) 2 2 2 c) 6 (UNIFESP) A soma de n – 1 ângulos internos de um polígono convexo de n lados é 1900º. O ângulo remanescente mede a) 120º. b) 105º. c) 95º. d) 80º. e) 60º. 3. 4. (UEPB) O número de diagonais de um octógono é: a) 20 b) 28 c) 56 d) 48 e) 24 5. (UEPB) O número de diagonais de um octógono é: a) 20 b) 28 c) 56 d) 48 e) 24 6. (UEL) Seja o heptágono irregular, ilustrado na figura seguinte, onde seis de seus ângulos internos medem 120º, 150º, 130º, 140º, 100º e 140º. A medida do sétimo ângulo é A empresa pretende colocar uma torre de comunicação, localizada no ponto A, indicado na figura, que seja equidistante dos vértices do polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão instalados os equipamentos de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse polígono mede 3.000 m e as medidas dos outros lados são todas iguais à distância do ponto A aos vértices do polígono. Calcule a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono. 10. (UEG) Seja a a medida do lado de um octógono regular circunscrito a uma circunferência de raio R. Com base nessa informação, determine a medida do perímetro desse octógono em função do raio R . 11. (UECE) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de diagonais, então o valor de n é a) 9. b) 11. c) 13. d) 15. 12. (ITA) Seja n o número de lados de um polígono convexo. Se a soma de n – 1 ângulos (internos) do polígono é 2004°, determine o número n de lados do polígono. Gabarito - Exercícios Propostos a) 110º b) 120 c) 130º d) 140º e) 150º (UnB) Considere dois polígonos regulares convexos P e P’ com n e n 1 lados, respectivamente. Sabendo que a medida do ângulo interno do polígono P’ é 48o maior que a do ângulo externo (suplemento do ângulo interno adjacente) do polígono P e que a soma dos ângulos internos de um polígono regular de n lados é n 2 .180 7. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. A B D A A B A 1.732 m 10. PS 16Rtg 8 11. A 12. 14 , calcule a soma dos números de lados desses dois polígonos. 8. (UNCISAL) Observe a figura. Goiânia-GO - Fone: 3088-0088 – www.colegiopodium.com.br -2- Exercícios Propostos Teorema de Tales 1. (UEG) A figura abaixo representa a planta de um terreno que está dividido em 3 lotes, com as medidas de alguns lados fornecidas. a x a b ou b y x y * Teorema da bissetriz Interna AB AC BS CS Determine: a) a medida do lado inclinado do lote 3. b) a área total do terreno. 2. * (UNIFICADO) Na figura abaixo, r, s e t são retas paralelas. Externa AB AC BS CS Exercícios de Sala 1. (UFRRJ) Pedro está construindo uma fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe que a soma de x com y é 42 e que as retas r, s e t são paralelas. Os valores de x e y são, respectivamente, a) 1 e 2 b) 1,5 e 4 c) 2,5 e 5 d) 3 e 5 e) 3,75 e 5 3. A diferença x – y é a) 2. b) 4. c) 6. d) 10. (UFPE) Na ilustração a seguir, as retas a, b e c são paralelas. e) 12. 2. (UnB) Determine o valor de x com os dados da figura, onde r, s e t são retas paralelas. r x10 x20 Assinale o inteiro mais próximo de x + y. s x16 x18 4. t Nesta figura, os segmentos de retas AO , BP , CQ e DR são paralelos. Calcule a medida do segmento PQ , em metros. 3. (UFSM) A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na geração de energia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações. Observando a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que a barreira mede 5. Considere um triângulo ABC, de lados AB 12 cm , AC 8 cm e BC 15 cm . Sendo D e E os pés das bissetrizes interna e externa, respectivamente, relativas ao vértice A, julgue os itens a seguir. (01) O segmento BD mede 9 cm. (02) O segmento CE mede 30 cm. (03) (AD)2 + (AE)2 = 1296 a) 33 m b) 38 m c) 43 m d) 48 m e) 53 m 6. (UNICAMP) A figura mostra um segmento AD dividido em três partes: AB 2 cm, BC 3 cm e CD 5 cm. O segmento AD’ mede 13 Goiânia-GO - Fone: 3088-0088 – www.colegiopodium.com.br -3- cm e as retas BB’ e CC’ são paralelas a DD’. Determine os comprimentos dos segmentos AB’, B’C’ e C’D’. 7. (UnB) Considere a figura a seguir. Sabendo-se que os segmentos AB, BC e A’B’ têm comprimentos 4 cm, 2 cm e 8 cm, respectivamente, determine o comprimento do segmento B’C’. A B C A' 11. Na figura, AS é bissetriz externa do ângulo  . Calcule o valor de x. r B' s//r C ' t//r 8. (UFF) O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na figura a seguir: 12. (CESGRANRIO) No triângulo ABC da figura, CD é a bissetriz do ângulo interno C. Se AD 3 cm, DB 2 cm e AC 4 cm, então o lado BC mede: a) 3 cm As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve percorrer o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S. Assinale a opção que indica o perímetro do circuito. a) 4,5 km b) 19,5 km c) 20,0 km d) 22,5 km e) 24,0 km c) 7 cm 2 d) 8 cm 3 e) 4 cm 13. (PUC) Considere um triângulo ABC retângulo em A, onde AB = 21 e AC = 20, BD é a bissetriz do ângulo ABC. Quanto mede AD 42 21 20 a) b) c) d) 9 e) 8 5 20 21 Gabarito - Exercícios Propostos 9. (UFRN) A Figura abaixo é a representação de seis ruas de uma cidade. As ruas R1, R2 e R3 são paralelas entre si. 5 cm 2 b) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. a) 16,8 b) 10 41 .60m2 D 26 40 m VVV x 2,6 ; y 3,9 e z 6,5 04 cm B A 3 x 2 10 D A Paulo encontra-se na posição A da rua R1 e quer ir para a rua R2 até à posição B. Se a escala de representação for de 1:50.000, a distância, em metros, que Paulo vai percorrer será de, aproximadamente, a) 1.333. b) 750. c) 945. d) 3.000. 10. Na figura, AS é bissetriz interna do ângulo  . Calcule o valor de x. Goiânia-GO - Fone: 3088-0088 – www.colegiopodium.com.br -4-