Nível 2
Instruções para a realização da Prova
Leia com muita atenção
Prova da segunda fase
Caro Aluno,
Parabéns pela sua participação na décima primeira edição da Olimpíada de Matemática de São José do Rio Preto! Lembre-se de que uma Olimpíada é diferente de uma
prova escolar. Muitas vezes, as questões que você vai ‘enfrentar’ não serão compreendidas
na primeira leitura. Leia-as novamente para entender perfeitamente o que se pede. Depois,
pense..... Bem-vindo ao mundo dos desafios !!! Não importa a quantidade de questões que
vai acertar ou errar ao final da prova. Cada exercício que você conseguir resolver representa
uma vitória. Dos erros você poderá tirar várias lições e, com certeza, passará a entender
um pouco mais dessa apaixonante ciência que é a Matemática. Desejamos a todos uma boa
prova. Atenciosamente,
Comissão Organizadora
Instruções:
· O tempo de duração da prova é de três horas.
· Esta é uma prova de múltipla escolha. Cada questão é seguida por cinco alternativas
(a, b, c, d, e). Somente uma delas é correta.
· Marque as opções no quadro de respostas da folha em anexo, utilizando caneta azul ou
preta.
Por exemplo, para marcar a opção B na questão 10:
10)
A
B
C
D
E
Realização:
Departamento de Matemática do Ibilce - Unesp, São José do Rio Preto.
SOMA - Sociedade dos Matemáticos.
Apoio:
CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico.
AOBM - Associação Olimpíada Brasileira de Matemática.
Diretoria Regional de Ensino de São José do Rio Preto.
Secretaria Municipal de Educação de São José do Rio Preto.
O gabarito estará disponível no site www.mat.ibilce.unesp.br/olimpiada a partir das
20 horas de 04/06/2013 (terça-feira).
OMRP
RASCUNHO
Gabarito
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Alternativa B
Alternativa E
Alternativa D
Alternativa C
Alternativa C
Alternativa D
Alternativa A
Alternativa E
Alternativa E
Alternativa A
Alternativa C
Alternativa D
Alternativa C
Alternativa B
Alternativa C
Alternativa A
Alternativa D
Alternativa D
Alternativa B
Alternativa D
Alternativa A
Alternativa B
Alternativa C
Alternativa A
Alternativa B
C
25 de Maio de 2013
1.
2.
a
d
e
Numa caixa havia 3 meias vermelhas, 2 brancas
e 1 preta. Zé da Álgebra retirou 3 meias da caixa. Sabendo-se que nenhuma delas era preta, podemos afirmar sobre as 3 meias retiradas que:
a) são da mesma cor.
b) pelo menos uma é vermelha.
c) uma é vermelha e duas são brancas.
d) uma é branca e duas são vermelhas.
e) são vermelhas.
r
n
5.
o
d
e
Q
U
E
S
T
Õ
E
S
O triângulo ABC da figura abaixo é equilátero. Sabe-se
que sua área é 2 cm2, e que P, Q e R são pontos médios
de AB, BC e AC, respectivamente.
A
P
Na tabela abaixo, disponha, em cada quadrado vazio,
um número de 0 a 8 de modo que a soma dos três números em cada fileira horizontal e em cada fileira vertical seja sempre igual a 9.
R
B
Q
C
5
A área de APQR é:
a) 0,25 cm2.
b) 0,5 cm2.
c) 1,0 cm2.
d) 1,5 cm2.
e) 2,5 cm2.
3
1
4
Desse modo, a soma de todos os números que foram
utilizados para completar a tabela é:
a) 10.
b) 11.
c) 12.
d) 13.
e) 14.
3.
A soma de dois números naturais é 11. Qual é o maior
produto possível que se pode obter com esses números?
a) 22.
b) 24.
c) 28.
d) 30.
e) 66.
6.
Numa certa cidade, o metrô tem todas as suas 12 estações em linha reta. A distância entre duas estações vizinhas é sempre a mesma. Sabe-se que a distância entre a terceira e a sexta estações é igual a 3300 metros.
Sabendo-se que a linha inicia-se na 1ª e termina na
12ª estação, qual é o comprimento dessa linha?
a) 8,4 km.
b) 9,075 km.
c) 9,9 km.
d) 12,1 km.
e) 13,2 km.
7.
Quantos quadrados têm como seus quatro vértices os
pontos do reticulado abaixo?
•
4.
Quantos números primos de dois dígitos têm a soma de
seus algarismos igual a 11?
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
a)
b)
c)
d)
e)
10.
9.
8.
7.
6.
Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP
3
25 de Maio de 2013
8.
C
a
d
e
A figura abaixo representa uma folha de papel retangular, onde estão destacados 6 quadrados. Com a parte
destacada dessa folha, pode-se montar um cubo.
r
n
o
d
e
Q
U
E
S
T
Õ
E
S
12. Quantos números inteiros, maiores do que 1, cumprem
a seguinte condição: a terça parte do número mais 15
é maior que sua metade mais 1?
a) 14.
b) 28.
c) 42.
d) 82.
e) 83.
13. Para montar um cubo, Chico das Contas recortou um
pedaço de cartolina branca e pintou de cinza algumas
partes, como na figura abaixo.
Se a área da folha é 432 cm2, o volume desse cubo,
em cm3, é:
a) 8.
b) 27.
c) 64.
d) 125.
e) 216.
9.
As 10 cadeiras de uma mesa circular foram numeradas
com números consecutivos de dois algarismos, entre
os quais há dois que são quadrados perfeitos. Ana Lítica sentou-se na cadeira com o maior número e Chico
das Contas sentou-se na cadeira com o menor número.
Qual é a soma dos números dessas duas cadeiras?
a) 16.
b) 29.
c) 36.
d) 37.
e) 41.
10. Se
a)
b)
c)
d)
e)
Qual das figuras abaixo representada o cubo construído por Chico das Contas?
a)
1
1
n
é um número entre
e
, então n é igual a:
6
4
24
b)
5.
6.
7.
8.
9.
c)
11. Uma tira de papel retangular é dobrada ao longo da
linha tracejada, conforme indicado, formando a figura
plana da direita.
50°
x
d)
e)
Qual a medida do ângulo x?
a) 30°.
b) 50°.
c) 80°.
d) 100°.
e) 130°.
Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP
4
25 de Maio de 2013
C
a
d
e
14. A figura mostra um círculo de área 36 cm2 sobre o qual
estão desenhados quadro triângulos equiláteros com
um vértice comum no centro do círculo.
Qual é a área da região sombreada?
a) 9 cm2.
b) 12 cm2
c) 15 cm2.
d) 20 cm2.
e) 24 cm2.
15. Ana Lítica lançou um dado dez vezes e obteve
57 como soma de todos os pontos nesses lançamentos.
No mínimo, quantas vezes saíram 6 pontos?
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) 9.
r
n
o
d
e
Q
U
E
S
T
Õ
E
S
18. Qual é a soma dos algarismos do número
1 + 10 + 102 + 103 + ... + 102011 + 102012 + 102013?
a) 2 011.
b) 2 012.
c) 2 013.
d) 2 014.
e) 2 015.
19. Qual o menor número inteiro positivo maior do que 1
que divide 20112013 + 20132011?
a) 4023.
b) 2.
c) 2011.
d) 2013.
e) 4.
20. Se x2 = x + 3 então x3 é igual a:
a) x2 + 3.
b) x + 4.
c) 2x + 2.
d) 4x + 3.
e) x2 – 2.
21. Um bloco é formado por vários tijolos, conforme as
figuras abaixo:
3x
3y
16. Numa convenção encontram-se 2013 pessoas. Sabe-se
que:
(I) Cada pessoa é honesta ou desonesta (não há ou
tra possibilidade).
(II) Ao menos uma pessoa é desonesta.
(III) Para qualquer par de pessoas, ao menos uma
das duas é honesta.
Quantas pessoas são desonestas e honestas, respectivamente?
a) 1 e 2012.
b) 2 e 2011.
c) 1007 e 1006.
d) 1006 e 1007.
e) 2012 e 1.
4z
3z
4z
x
y
x
y
x
y
Bloco de tijolos
z
x
y
1 (um) tijolo
O número de tijolos que foram utilizados para formar
o bloco é:
a) 23.
b) 27.
c) 36.
d) 108.
e) 216.
17. Em um triângulo LOT, a medida do ângulo externo do
vértice O é 62o, as mediatrizes de LO e OT cortam o
lado LT em M e N, respectivamente. Qual a medida do
^
ângulo MON?
a) 31o.
b) 62o.
c) 124o.
d) 56o.
e) 26o.
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25 de Maio de 2013
C
a
d
e
r
n
o
d
e
Q
U
E
S
T
Õ
E
S
22. Sejam a, b e c três números inteiros positivos distintos
entre si. Qual é o menor valor de a + b – c, sabendo-se
que a > 4, b > 5 e C < 7?
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) 9.
23. No triângulo ABC temos AB = AC e os cinco segmentos marcados têm todos a mesma medida.
C
B
A
Qual é a medida do ângulo BÂC?
a) 10°.
b) 15°.
c) 20°.
d) 25°.
e) 30°.
24. Chico das Contas escreveu 13 números em uma lousa,
sendo que pelo menos três deles são positivos. Entre os
78 produtos dois a dois que existem exatamente 22 são
negativos. Quantos dos 13 números escritos na lousa
são negativos?
a) 2.
b) 10.
c) 7.
d) 8.
e) 9.
25. Em um certo momento o número de habitantes de
Matematilândia era um quadrado perfeito. Algum tempo depois, com o aumento de 100 habitantes, essa população era o sucessor de um quadrado perfeito. Atualmente, com um novo aumento de 100 habitantes, a
população voltou a ser um quadrado perfeito. A população original de Matematilândia era um múltiplo de:
a) 5.
b) 7.
c) 9.
d) 11.
e) 17.
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