Jorge Alexandre Moura Alves Vieira
O erro construtivo: Uma experiência com
alunos do 10º ano de escolaridade
UMinho|2014
Jorge Alexandre Moura Alves Vieira
O erro construtivo: Uma experiência com
alunos do 10º ano de escolaridade
Universidade do Minho
Instituto de Educação
setembro de 2014
Universidade do Minho
Instituto de Educação
Jorge Alexandre Moura Alves Vieira
O erro construtivo: Uma experiência com
alunos do 10º ano de escolaridade
Relatório de Estágio
Mestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo
do Ensino Básico e no Ensino Secundário
Trabalho realizado sob a orientação da
Doutora Maria Helena Silva de Sousa Martinho
outubro de 2014
AGRADECIMENTOS
Aos alunos da turma em estudo, à direção da escola e todos os seus professores, pelo
tratamento que me prestaram, fazendo com que me sentisse em casa.
Ao meu orientador e à minha supervisora, Mestre Paulo Correia e Doutora Helena
Martinho, não só pelo conhecimento que me transmitiram, mas pela atenção, paciência e
principalmente pela amizade que sempre me dedicaram.
À minha professora de Psicologia, Doutora Susana Caires, cujos conselhos e orientações
foram de inestimável valor para a elaboração deste relatório.
Ao Nuno Castro, pelas conversas construtivas e por partilhar comigo esta magnífica
experiência.
Aos meus amigos amarantinos, que apesar de se encontrarem longe, estão sempre
comigo.
Aos meus amigos bracarenses, pela amizade que me dedicam e pelos momentos de
descontração que partilhamos.
À Filipa Barroso, ao Fernando Gomes e ao Nuno Martins, por tudo aquilo que representam
para mim.
À minha Mãe e ao meu Irmão, pois são as pessoas mais importantes da minha vida.
Acima de tudo, PARA TI PAI!
iii
A realização deste mestrado foi apoiada financeiramente por fundos nacionais através da FCT – Fundação para a
Ciência e Tecnologia no âmbito do Projeto LiDEs – a literacia das disciplinas escolares: Características e desafios
para mais engagement e aprendizagem (FCOMP-01-0124-FEDER-041405 (Refª. FCT, EXPL/MHCCED/0645/2013)).
O ERRO CONSTRUTIVO: UMA EXPERIÊNCIA COM ALUNOS DO 10º ANO DE ESCOLARIDADE
Jorge Alexandre Moura Alves Vieira
Mestrado em Ensino de Matemática no 3º ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
Universidade do Minho, 2014
RESUMO
Esta investigação refere-se a uma intervenção de ensino centrada na análise de erros
como forma de promover a aprendizagem no estudo das funções, numa turma do 10º ano de
escolaridade, pertencente a uma escola secundária com 3º ciclo do concelho de Barcelos.
O estudo desenvolveu-se em torno de três objetivos: 1) Identificar os erros mais frequentes
entre os alunos de uma turma do 10º ano, no estudo das funções; 2) Averiguar as causas
subjacentes aos erros que cometem durante o estudo das funções; 3) Avaliar o impacto que a
predisposição para a aprendizagem de cada aluno tem no respetivo desempenho a Matemática,
no estudo das funções.
O sucesso dos alunos não depende somente das suas capacidades cognitivas, uma
condição necessária, mas não suficiente para explicar o seu sucesso ou insucesso. Os fatores
emocionais, espelhados numa predisposição para aprender, têm influência no sucesso de cada
aluno, sendo importante considerar-se uma interação entre fatores cognitivos e emocionais no
processo de aprendizagem dos alunos. Desta forma, nesta investigação procura-se estabelecer
uma relação entre a predisposição para a aprendizagem e o desempenho dos alunos na
disciplina de Matemática, traduzido nos erros que cometem, no estudo das funções. No que diz
respeito às estratégias de investigação e avaliação da ação, recorreu-se à análise de
questionários, observação e análise das gravações das aulas e à análise de produções escritas
realizadas pelos alunos antes e após a intervenção.
Os resultados obtidos sugerem que os alunos sentiram imensas dificuldades na designada
Álgebra processual e estrutural, bem como dificuldades relacionadas com a interpretação. Os
resultados obtidos sugerem ainda que a predisposição de um aluno para a aprendizagem
influencia positivamente no seu desempenho à disciplina de Matemática, verificando-se que está
relacionada com a ocorrência dos designados erros construtivos. No sentido inverso, a não
predisposição de um aluno para a aprendizagem influencia negativamente o seu desempenho à
disciplina, podendo precipitar a ocorrência dos designados erros sistemáticos.
v
THE CONSTRUCTIVE ERROR: AN EXPERIMENT WITH STUDENTS IN 10TH GRADE
Jorge Alexandre Moura Alves Vieira
Master in Mathematics Teaching to the 3rd Cycle of Basic School and Secondary School
University of Minho, 2014
ABSTRACT
This research refers to a teaching intervention focused on error analysis as a way to
promote learning in the study of functions in a 10th grade belonging to the County of Barcelos.
The study was developed around three objectives: 1) Identify the most common mistakes
among students in a 10th grade, in the study of functions; 2) Investigate the causes underlying
the mistakes they make during the study of the functions; 3) Assess the impact that the
predisposition for learning in each student has in their performance at Mathematics, in the study
of functions.
The success of students depends not only on their cognitive abilities, a necessary, but
insufficient condition to explain its success or failure. Emotional factors, mirrored on the
predisposition to learn, influence the success of each student, therefore it is important to
consider an interaction between cognitive and emotional factors in the learning process of
students. Thus, this research seeks to establish a relationship between the predisposition for
learning and student achievement at Mathematics, translated on the mistakes they make, on the
study of functions. Regarding the research strategies and evaluation of the action, it has recourse
on the analysis of questionnaires, observation and analysis of recordings of lessons and analysis
of written productions made by students before and after the intervention.
The results suggest that students felt many difficulties in the designated procedural and
structural Algebra, as well as difficulties related to interpretation. The results suggest that the
predisposition of a student for learning positively influences their performance in the discipline of
Mathematics, verifying that is related to the occurrence of designated constructive errors.
Inversely, the non predisposition of a student for learning adversely affects its performance at the
discipline and can precipitate the occurrence of the designated systematic errors.
vii
ÍNDICE
DECLARAÇÃO …………………………………………………………………………………………………….
ii
AGRADECIMENTOS …………………………………………………………………………………………….
iii
RESUMO …………………………………………………………………………………………………………..
v
ABSTRACT …………………………………………………………………………………………………………
vii
ÍNDICE ………………….….………………………………………………………………………………………
ix
ÍNDICE DE QUADROS ….………………………………………………………………………………………
xii
ÍNDICE DE FIGURAS ……………………………………………………………………………………………
xiii
CAPÍTULO I – INTRODUÇÃO …………………………………………………………………………………
1
1.1. Tema, pertinência e objetivos da investigação ……………………………………………………
1
1.2. Estrutura do relatório …………………………………………………………………………………….
2
CAPÍTULO II – ENQUADRAMENTO TEÓRICO ……………………………………………………………
5
2.1. O processo de aprendizagem ………………………………………………………………………….
5
2.1.1. A perspetiva comportamentalista ………………………………………………………….....
5
2.1.2. A perspetiva cognitivista ………………………………………………………………………….
6
Aprendizagem significativa ……………………………………………………………………….....
8
Aprendizagem pela descoberta ………………………………………………………………….....
9
2.1.3. A perspetiva sociocultural ……………………………………………………………………….
10
2.1.4. Predisposição dos alunos para a aprendizagem ………………………………………....
12
Autoeficácia ………………………………………………………………………………………………
13
Ansiedade …………………………………………………………………………………………………
15
2.1.5. O papel do erro no processo de ensino e aprendizagem ……………………………….
16
O uso do erro na sala de aula ………………………………………………..…………………….
18
Cargas emocionais provocadas pelo erro …………………………………………………….....
20
2.2. O ensino e a aprendizagem da Álgebra …………………………………………………………….
21
2.2.1. Recomendações para o ensino da Álgebra …………………………………………………
23
Trabalho de grupo ………………………………………………………………………………………
24
Novas tecnologias ………………………………………………………………………………………
24
2.2.2. Dificuldades e erros cometidos pelos alunos na aprendizagem da Álgebra ……….
25
As dificuldades dos alunos na aprendizagem das funções ………………………………….
27
As diferentes categorias de erros ……………………………………………………………….....
29
ix
CAPÍTULO III - INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA ……………………………………………………………
35
3.1. Contexto da intervenção …………………………………………………………………………………
35
3.1.1. Caracterização da escola ………………………………………………….…………………….
35
3.1.2. Caracterização da turma …………………………………………………………………….....
37
3.2. Organização e descrição da intervenção ……………………………………………………………
38
3.3. Avaliação da intervenção ………………………………………………………………………………..
39
3.3.1. Opções Metodológicas …………….………………………………………………………….....
39
3.3.2. Recolha de dados …………………………….……………………………………………………
40
Questionário …………………………………………………………………………………..…………
40
Teste diagnóstico …………………………………………………………………………………..…..
42
Ficha de avaliação (ficha por partes) ………………………………………………………..……
42
Observação (participante) das aulas ………………………………………………………………
43
3.3.3. Análise de dados ………….……………………………………………………………………….
44
CAPÍTULO IV - APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS ………………………………………………….
49
4.1. Predisposição dos alunos para a aprendizagem das funções …………………………….....
49
4.1.1. Perceção perante a utilidade da Matemática ……….………………………………..……
49
4.1.2. Ansiedade em momentos de avaliação de Matemática ……………………….…,,……
52
4.1.3. Autoeficácia em relação à Matemática ………..…………..………………………………..
53
4.1.4. Avaliação do nível de predisposição para a aprendizagem ………………….……......
55
4.2. Erros cometidos na aprendizagem das funções ………………………………………….……...
56
4.2.1. Resultados do teste diagnóstico …….……………………………………………….………..
57
4.2.2. Abordagem ao erro na sala de aula …………………………………………….…………….
65
Aula 3 ………………………………………………………………………………………………………
66
Aula 4 ………………………………………………………………………………………………………
68
4.2.3. Resultados da ficha por partes …………………………………………………………………
70
CAPÍTULO V - CONCLUSÕES, IMPLICAÇÕES, RECOMENDAÇÕES E LIMITAÇÕES ……….....
83
5.1. Conclusões ………………………………………………………………………………………………….
83
5.1.1. Objetivo 1 - Identificar os erros mais frequentes entre os alunos de uma turma
do 10º ano, no estudo das funções ……….…………….…………..……..…………………….
83
5.1.2. Objetivo 2 - Averiguar as causas subjacentes aos erros que cometem durante o
estudo das funções ………………………………………………………………………..……….....
x
84
5.1.3. Objetivo 3 - Avaliar o impacto que a predisposição para a aprendizagem de cada
aluno tem no respetivo desempenho a Matemática, no estudo das funções …….......
85
5.2. Implicações para o ensino e aprendizagem ……………………………………………………….
86
5.3. Limitações e recomendações ………………………………………………………………………….
87
BIBLIOGRAFIA ……………………………………………………………………………………………………
89
ANEXOS ……………………………………………………………………………………………………………
93
ANEXO I - Organização da intervenção pedagógica ……………………………………………………
95
ANEXO II - Pedido de autorização ao Diretor da Escola ………………………………………………
99
ANEXO III - Pedido de autorização aos Encarregados de Educação ………………………………
103
ANEXO IV - Questionário ……………………………………………………………………………….……..
107
ANEXO V - Teste diagnóstico ………………………………………………………………………………...
115
ANEXO VI - Ficha por partes …………………………………………………………………………………. 121
xi
ÍNDICE DE QUADROS
Quadro 1 – Estádios de desenvolvimento cognitivo segundo Piaget ………………………………
7
Quadro 2 – Taxionomia para o uso do erro em sala de aula ………………………………………..
19
Quadro 3 – Categorização de erros de Hall ………………………………………………………………
31
Quadro 4 – Categorização de erros de Socas ……………………………………………………………
32
Quadro 5 - Desempenho dos alunos da turma ao longo do ano letivo ……………………………
38
Quadro 6 – Categorização de erros a que se recorreu nesta investigação ………………………
46
Quadro 7 – Perceção de cada aluno da turma perante a utilidade da Matemática ………….
51
Quadro 8 – Níveis de autoeficácia de cada aluno em relação à Matemática ……………………
55
Quadro 9 – Predisposição de cada aluno para a aprendizagem das funções …………………..
56
Quadro 10 – Classificação das respostas dos alunos no teste diagnóstico ……………………..
57
Quadro 11 – Frequência absoluta de erros cometidos no teste diagnóstico (por nível de
predisposição para a aprendizagem dos alunos) ………………………………….…….
64
Quadro 12 – Classificação das respostas dos alunos na ficha por partes ……………………….
70
Quadro 13 – Frequência absoluta de erros cometidos na ficha por partes (por nível de
predisposição para a aprendizagem dos alunos) …………………………….………….
xii
82
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1 – Esquema representativo da reciprocidade triádica de Bandura ………..……………
13
Figura 2 – Esquema representativo do processo de seleção da amostra desta investigação.
45
Figura 3 – A opinião dos alunos acerca da importância da Matemática …………………………
50
Figura 4 – Preferência dos alunos relativamente aos cursos do ensino superior ………………
50
Figura 5 – Níveis de ansiedade dos alunos em momentos de avaliação em Matemática ..…
52
Figura 6 – Afetividade dos alunos com a Matemática …………………………………………………
53
Figura 7 – Preferência dos alunos relativamente aos conteúdos da Matemática ………..…….
54
Figura 8 – Menor preferência dos alunos relativamente aos conteúdos da Matemática ….…
54
Figura 9 – Respostas dos alunos A1, A7 e A15 na alínea 1.2 …………………….………………..
59
Figura 10 – Resposta do aluno A21 na alínea 2.1 ……………………………………………………..
59
Figura 11 – Resposta do aluno A18 na alínea 2.1 ……………………………………………….…….
60
Figura 12 – Cálculo auxiliar do aluno A5 na questão 3 …………………...………………………….
60
Figura 13 – Cálculo auxiliar do aluno A8 na questão 3 ………………………………..….………….
60
Figura 14 – Resposta do aluno A1 na questão 4 ………………………………………………….……
61
Figura 15 – Resposta do aluno A21 na questão 4 ……………………………………………………..
62
Figura 16 – Resposta do aluno A11 na questão 4 …………........……………………………………
62
Figura 17 – Resposta do aluno A17 na questão 4 ……..………………………………………………
62
Figura 18 – Resposta do aluno A19 na questão 4 ………………………………..……………………
63
Figura 19 – Resposta do aluno A1 na questão 5 …………………………………….…………………
63
Figura 20 – Resposta do aluno A8 na questão 5 ……………………………………………………….
64
Figura 21 – Resposta do aluno A10 na questão 5 ………………………………..……………………
64
Figura 22 – Resposta do aluno A1 na alínea 1.1 ………………………………………..……………..
71
Figura 23 – Resposta do aluno A18 na alínea 1.1 ……………………………………………………..
71
Figura 24 – Resposta do aluno A4 na alínea 1.2 ………………..……………………………….…….
72
Figura 25 – Resposta do aluno A9 na alínea 1.2 ……………………………………………………….
72
Figura 26 – Resposta do aluno A16 na alínea 1.2 …………………………….……………………….
72
Figura 27 – Resposta do aluno A20 na alínea 1.2 ………………………..……………………………
73
Figura 28 – Resposta do aluno A1 na alínea 1.3 ………………..……………………………………..
73
Figura 29 – Resposta do aluno A2 na alínea 1.3 …….…………………………………………………
73
Figura 30 – Resposta do aluno A4 na alínea 1.4 .………………………………………………………
74
xiii
Figura 31 – Resposta do aluno A13 na alínea 1.4 ………………………..……………………………
74
Figura 32 – Resposta do aluno A1 na alínea 2.2 …………………………………………………….…
75
Figura 33 – Resposta do aluno A16 na alínea 2.2 …………………………………………….……….
75
Figura 34 – Resposta do aluno A10 na alínea 2.2 ………………………………..……………………
75
Figura 35 – Resposta do aluno A5 na alínea 2.2 …………………………………..…………………..
75
Figura 36 – Resposta do aluno A4 na alínea 2.3 …………………………………………..…………..
76
Figura 37 – Resposta do aluno A5 na alínea 2.3 …………………………………………..…….…….
76
Figura 38 – Resposta do aluno A8 na alínea 2.3 ……………………………………………………….
77
Figura 39 – Resposta do aluno A1 na alínea 3.1 ………………..………………………….………….
77
Figura 40 – Resposta do aluno A2 na alínea 3.1 ……………………….………………………………
77
Figura 41 – Resposta do aluno A6 na alínea 3.1 ……………..………………………………………..
78
Figura 42 – Resposta do aluno A7 na alínea 3.1 ….……………………………………………………
78
Figura 43 – Resposta do aluno A4 na alínea 3.2 ….……………………………………………………
79
Figura 44 – Resposta do aluno A15 na alínea 3.2 ……………………………..………………………
79
Figura 45 – Resposta do aluno A7 na alínea 3.2 …………………………………………………….…
79
Figura 46 – Resposta do aluno A6 na alínea 4.1 ……………………………………………………….
80
Figura 47 – Resposta do aluno A13 na alínea 4.1 ………………………………..……………………
80
Figura 48 – Resposta do aluno A7 na alínea 4.1 …………………………………..…………………..
80
Figura 49 – Resposta do aluno A9 na alínea 4.1 …………………………………..…………………..
81
Figura 50 – Resposta do aluno A7 na alínea 4.2 ….……………………………………………..…….
81
Figura 51 – Resposta do aluno A13 na alínea 4.2 ………………………………….………………….
81
xiv
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO
Neste capítulo é apresentado o tema, pertinência e objetivos da investigação para o ensino
da Matemática. Por fim, é realizada uma breve descrição da estrutura do relatório.
1.1. Tema, pertinência e objetivos da investigação
O estudo da Álgebra está fortemente ligado à manipulação simbólica e à resolução de
equações. No entanto, esta temática da Matemática é muito mais do que isso. A Álgebra dá
ênfase às relações entre quantidades, às formas de representar relações matemáticas e à
análise de variação (NCTM, 2007). Atualmente, as ideias provenientes desta temática
fundamentam o trabalho matemático nas mais diversas áreas, revelando-se importantes na vida
adulta dos alunos, quer no trabalho, quer na preparação para o ensino superior (idem, 2007).
Desta forma, é essencial que todos os alunos aprendam Álgebra (idem, 2007).
No entanto, os alunos costumam ter imensas dificuldades na aprendizagem da Álgebra.
Os alunos são uma montra fortemente heterogénea, sendo provenientes de diferentes meios
culturais, classes sociais ou religiões. Existirão sempre diferenças nas formas de raciocinar dos
alunos, pelo que as dificuldades sentidas por cada um serão, com certeza, diferentes entre si e,
desta forma, torna-se fundamental que o professor de Matemática tenha conhecimento das
mesmas.
A análise das respostas dos alunos é uma das formas utilizadas para conhecer as
dificuldades sentidas pelos alunos. Além de ser uma metodologia de investigação, pode ser
encarada como uma metodologia de ensino quando aplicada na sala de aula (Cury, 2007). Um
dos princípios estruturantes desta metodologia de ensino é a conceção do erro como uma
hipótese integrante da construção do conhecimento pelo aluno, suscitando uma ampliação dos
aspetos formativos da aprendizagem (Pinto, 2000).
Tal como as metodologias de ensino, as teorias da aprendizagem foram-se desenvolvendo
ao longo do tempo, evoluindo de perspetiva para perspetiva. Desde a comportamentalista de
Pavlov, Thorndike ou Skinner, passando pela cognitivista de Piaget, Ausubel ou Bruner até à
sociocultural de Vygotsky, o modo de encarar o processo de aprendizagem foi-se alterando. Um
aspeto que vai ganhando preponderância nestas teorias é o da predisposição do aluno para a
aprendizagem. Assim, para que um aluno aprenda um determinado conteúdo de forma
significativa é necessário que este esteja predisposto para tal (Ausubel, 2003).
1
Em suma, o sucesso dos alunos não depende somente das suas capacidades cognitivas,
uma condição necessária, mas não suficiente para explicar o seu sucesso ou insucesso
(Bandura, 1993). Os fatores emocionais, espelhados numa predisposição para aprender, têm
influência no sucesso de cada aluno, sendo importante considerar-se uma interação entre
fatores cognitivos e emocionais no processo de aprendizagem dos alunos.
Por outras palavras, a relação entre a predisposição do aluno para a aprendizagem e o
conhecimento que este demonstra possuir é evidente, pelo que o seu estudo constitui a principal
motivação e pertinência desta investigação. Desta forma, estabeleceram-se os três seguintes
objetivos gerais:
1) Identificar os erros mais frequentes entre os alunos de uma turma do 10º ano, no
estudo das funções;
2) Averiguar as causas subjacentes aos erros que cometem durante o estudo das funções;
3) Avaliar o impacto que a predisposição para a aprendizagem de cada aluno tem no
respetivo desempenho a Matemática, no estudo das funções.
1.2. Estrutura do relatório
O relatório de estágio está organizado em cinco capítulos. No Capítulo I, Introdução, é
apresentado o tema, pertinência e objetivos da investigação.
No Capítulo II, Enquadramento teórico, é justificada a relevância do projeto, tendo em
conta a literatura. Neste capítulo serão analisadas as diferentes perspetivas de aprendizagem,
destacando-se o papel dos fatores emocionais no mesmo e o papel do erro como estratégia
didática. De igual forma, serão destacadas a importância da Álgebra, as recomendações do
Ministério da Educação para o seu ensino e as dificuldades por eles sentidas no seu estudo.
No Capítulo III, Intervenção pedagógica, são apresentados o contexto, descrição e
avaliação da intervenção pedagógica. Neste capítulo é descrito o contexto em que ocorreu a
intervenção, sua organização e estratégias de avaliação.
No Capítulo IV, Apresentação dos resultados, são apresentados os resultados da
intervenção de ensino. São apresentadas as produções escritas dos alunos, bem como algumas
abordagens realizadas ao erro em sala de aula.
Por fim, no Capítulo V, Conclusões, Implicações, Recomendações e Limitações,
apresentam-se e discutem-se as principais conclusões do estudo com vista a responder aos
2
objetivos que suportaram este estudo. Também são feitas referências às limitações deste estudo
e são apresentadas algumas recomendações para estudos futuros.
3
CAPÍTULO II
ENQUADRAMENTO TEÓRICO
Este capítulo foi estruturado em duas secções. Na primeira, serão analisadas as diferentes
perspetivas de aprendizagem e desenvolvimento do indivíduo. Serão destacados os fatores
emocionais, espelhados na predisposição para a aprendizagem, fundamentais para desencadear
o processo de aprendizagem. De igual forma, será destacado o papel do erro como estratégia
didática. Na segunda secção, é destacado o papel da Álgebra para o desenvolvimento do
indivíduo e as recomendações do Ministério da Educação para o seu ensino. Nesta secção,
destacam-se, também, as dificuldades dos alunos em Álgebra, sendo salientada a importância
do seu estudo e respetivas origens.
2.1. O processo de aprendizagem
Com o tempo, foram aparecendo várias definições de aprendizagem. Uma que é bem
aceite na Psicologia é a definição proposta por Kimble (1961): a aprendizagem ocorre no
comportamento de um indivíduo através da ação (ou prática), sendo que esta mudança é
relativamente permanente e estável. Assim, se um indivíduo aprende, implica a existência de
uma mudança, após uma experiência que o mesmo tenha vivido. Desta forma, a aprendizagem
pressupõe uma interação entre o sujeito, os seus comportamentos e o seu contexto de vida.
Vários autores estudaram o processo de aprendizagem das crianças (e adolescentes). Ao
longo do tempo, várias perspetivas foram aparecendo, tal como Watson numa perspetiva
comportamentalista, Piaget numa perspetiva experimental, Ausubel numa perspetiva de
aprendizagem significativa, Bruner enaltecendo a aprendizagem pela descoberta e Vygotsky
numa perspetiva sociocultural (Ponte & Serrazina, 2000).
Este capítulo começa por abordar diferentes perspetivas da aprendizagem, bem como o
contributo de cada uma delas para o processo de ensino e aprendizagem. São referidas as
perspetivas comportamentalista, cognitivista e sociocultural.
2.1.1. A perspetiva comportamentalista
O comportamentalismo constitui uma importante corrente de investigação em Psicologia
da Aprendizagem, particularmente ativa na primeira metade do século XX. Esta corrente teve a
sua origem com Watson e foi aprofundada por Thorndike e Skinner, defendendo que “eram os
5
comportamentos e não a experiência que deviam ser estudados e analisados” (Ponte &
Serrazina, 2000, p. 85). O comportamentalismo defende que a aprendizagem resulta da relação
que se estabelece entre um estímulo e uma resposta. Esta corrente não considerou quaisquer
estados mentais que não pudessem ser observados ou quantificados (idem, 2000).
Os comportamentalistas baseiam-se nas respostas (comportamentos) dos indivíduos,
defendendo que a aprendizagem é um processo mecânico, regido pela perda ou fortalecimento
de conexões entre estímulos e respostas (Sprinthall & Collins, 1999). Neste processo, os
indivíduos assumem um papel passivo, aprendendo através de mecanismos associativos
devidamente pensados e estruturados. Existem duas teorias comportamentalistas de relevo: o
condicionamento clássico e o condicionamento operante.
O condicionamento clássico, introduzido por Ivan Pavlov e John Watson, tem como
objetivo ajudar o indivíduo a aprender através de um condicionamento. Quer isto dizer, que é
uma aprendizagem involuntária e adquirida através da associação entre estímulos e uma dada
resposta (Sprinthall & Collins, 1999). O condicionamento operante foi introduzido por Skinner e
Thorndike e considera que as consequências de um comportamento podem influenciar a
probabilidade de este ocorrer novamente (Sprinthall & Collins, 1999).
O comportamentalismo é atualmente bastante criticado pois “não é um bom modelo para
considerar a aprendizagem de capacidades cognitivas mais complexas, atitudes e valores”
(Ponte & Serrazina, 2000, p. 86).
2.1.2. A perspetiva cognitivista
As perspetivas cognitivistas opõem-se às perspetivas comportamentalistas e criticam o
facto de estas considerarem o processo de aprendizagem do ser humano de forma bastante
elementar, ao ponto de ser comparável com o dos restantes animais. As perspetivas
comportamentalistas, não permitem explicar comportamentos e aprendizagens tão complexas
como o comportamento imitativo, a criatividade e muitos outros aspetos do comportamento
humano que ultrapassam as possibilidades de desenvolvimento dos animais.
Os cognitivistas veem a aprendizagem como uma reorganização de perceções. Muito do
trabalho em teorias cognitivistas tem por base os estudos de Piaget (idem, 2000, p. 86).
A teoria de Piaget considera que o processo de desenvolvimento do indivíduo se faz
através de estádios distintos e por esta razão é denominada de teoria dos estádios. A
identificação de diferentes estádios de desenvolvimento levou Piaget a defender que a
6
inteligência muda profundamente ao longo do tempo. Desta forma, a cognição é um “processo
ativo e interativo, isto é, um processo permanente de avanços e recuos em que a pessoa afeta o
meio e o meio afeta a pessoa” (idem, 2000, p. 86).
Piaget, após cuidadosas observações das crianças em seus ambientes naturais, começou
a encontrar sistemas consistentes dentro de certas faixas etárias, definindo assim quatro
estádios principais (Quadro 1).
Quadro 1 – Estádios de desenvolvimento cognitivo segundo Piaget (adaptado de Sprinthall & Sprinthall, 1993)
Idades
Estádios
0-2
Sensório-motor
2-7
Intuitivo ou pré-operatório
7-11
Operações concretas
11-16
Operações formais
Piaget considera que a mudança de estádio na criança ocorre pela ordem acima proposta.
No entanto, considera que o período de tempo que um dado estádio compreende pode variar e
que os períodos de transição entre estádios são mais longos e flexíveis do que o previsto e, desta
forma, menos abruptos. Embora as características modais de cada estádio específico
permaneçam como esquema dominante, elementos cognitivos de estádios anteriores e
posteriores manifestam-se mais do que o previsto (Sprinthall & Sprinthall, 1993).
Na perspetiva de Piaget, em qualquer dos estádios o desenvolvimento cognitivo depende
da ação, ou seja, para ocorrer aprendizagem, a criança precisa envolver-se em atividades que
sejam consideradas como adequadas (idem, 1993).
Nesta investigação, os alunos em estudo têm idades compreendidas entre os 15 e os 18
anos. Embora o período de tempo que cada estádio de Piaget compreende possa variar, estes
alunos encontram-se, supostamente, no estádio das operações formais. Piaget considera que
neste estádio, o adolescente é capaz de refletir sobre o seu próprio pensamento e sobre o
pensamento dos outros (idem, 1993). Esta característica, a metacognição ou pensamento
alargado, permite ao adolescente “tomar consciência da variedade de estratégias de
aprendizagem que poderão ser utilizadas”, o que significa que “as oportunidades de
autocorreção a nível da resolução de problemas são muito maiores” (idem, 1993, p. 112).
Relacionado com a metacognição, Piaget sugere que o pensamento perspetivista é outra
característica deste estádio. O adolescente consciencializa-se “sobre o facto de pessoas
7
diferentes terem pensamentos diferentes sobre a mesma ideia ou situação”, desenvolvendo-se
assim, “uma forma de relativismo” (idem, 1993, p. 113).
Piaget considera que o processo de aprendizagem depende da “capacidade de criar,
manter e modificar representações internas de situações experimentadas no ambiente” (Ponte &
Serrazina, 2000, p. 88). As representações internas são denominadas de esquemas e “são
construídas por padrões muito complexos envolvendo reconhecimento, compreensão, ação
associada e reação emocional” (idem, 2000, p. 88). Desta forma, a aprendizagem pode definirse como a “aquisição de novos esquemas e a sua modificação em resposta a novas
necessidades” (idem, 2000, p. 88).
Piaget afirma que o processo pelo qual os esquemas são mudados, a adaptação, é
composto por dois aspetos complementares, assimilação e acomodação. Assim, perante uma
nova experiência, a criança constrói uma representação interna (ou imagem mental),
reorganizando, desta forma, os conteúdos da mente, integrando-a nos conhecimentos que já
possui (idem, 2000, p. 88).
Como resposta a uma nova situação, a assimilação possibilita a utilização de um
esquema já existente e a acomodação modifica o próprio esquema, criando, a partir dele, um
outro. O mecanismo de mudança designa-se por equilibração.
Piaget considera que por alguma razão, podem ocorrer situações em que uma ação
realizada com base num esquema foi inadequada, conduzindo a um estado de desequilíbrio em
que os novos elementos desestabilizam o denominado padrão de compreensão. Perante uma
situação deste género a criança pode escolher entre modificar o esquema, ignorar a informação,
ou mesmo viver sem resolver o conflito (idem, 2000, p. 89).
Aprendizagem significativa
Na perspetiva de Ausubel (2003), a aprendizagem é um processo que envolve a interação
de nova informação com o conhecimento que o indivíduo já possui. A este processo, Ausubel
denomina por aprendizagem significativa.
Se a nova informação não tiver ligação com os conceitos relevantes que o aluno já possui,
ocorre aquilo que Ausubel denomina por aprendizagem mecânica. Desta forma, o aluno limita-se
a decorar conteúdos, os quais esquece após a avaliação (Ausubel, 2003).
Para Ausubel a essência da aprendizagem significativa reside no facto de que as
ideias expressas simbolicamente são relacionadas com as informações previamente
8
adquiridas pelos alunos através de uma relação não arbitrária e substantiva. Isto é,
as ideias são relacionadas com algum aspeto relevante existente na estrutura
cognitiva do aluno, como por exemplo, uma imagem, um símbolo, um conceito ou
uma proposição. (Ponte & Serrazina, 2000, p. 90)
Assim, a aprendizagem significativa ocorre quando novos conceitos, ideias ou proposições
interagem com outros conhecimentos relevantes e disponíveis na estrutura cognitiva do aluno,
sendo assimilados, contribuindo, desta forma, para a sua elaboração e estabilidade (Ausubel,
2003).
Ausubel considera que para ocorrer aprendizagem significativa é necessário que o aluno
manifeste disposição para relacionar os novos conceitos, de forma não arbitrária, com a sua
estrutura cognitiva e que esses novos conceitos sejam potencialmente significativos. A escolha
da tarefa é também relevante para que o aluno aprenda de forma significativa. O aluno pode até
estar disposto a aprender um determinado conceito, mas se a tarefa de aprendizagem não for
potencialmente significativa, então não ocorrerá aprendizagem significativa (Ponte & Serrazina,
2000).
Como estratégia para manipular a estrutura cognitiva dos alunos, Ausubel recomenda o
uso de “pontes cognitivas” que façam a ligação entre o que o aluno já sabe e o que vai
aprender. Estas “pontes cognitivas” seriam por exemplo, uma revisão dos conceitos
considerados como pré-requisitos para os conceitos que a seguir seriam lecionados (Ausubel,
2003).
Desta forma, Ausubel considera, na sua teoria, que no ensino é fundamental “especificar
como as principais ideias estão interligadas e relacionadas com o que os alunos já sabem”
(Ponte & Serrazina, 2000, p. 93).
Aprendizagem pela descoberta
Bruner considera que a aprendizagem “faz-se a partir de problemas que se levantam,
expectativas que se criam, hipóteses que se formulam e verificam, descobertas que se fazem”
(Ponte & Serrazina, 2000, p. 93). Desta forma, considera que através de uma aprendizagem
pela descoberta, os próprios alunos “constroem conexões de forma que o conhecimento
relevante se torna disponível para a resolução de problemas” (idem, 2000, p. 93). Bruner
(1999) considera, no entanto, que é necessário considerar os fatores culturais, motivacionais e
pessoais que afetam o desejo de aprender. Na sua teoria da educação, Bruner (1999) considera
quatro elementos fundamentais: motivação, estrutura, sequência e reforço.
9
Em relação ao primeiro elemento, a motivação, Bruner (1999) salienta a motivação
intrínseca. Por exemplo, a curiosidade do aluno num determinado conteúdo é um bom exemplo
de motivação intrínseca. Não coloca de parte a motivação extrínseca (reforço por parte do
professor, pais, etc.), mas defende que esta tem apenas um efeito transitório, “importante
sobretudo para iniciar a ação” (Ponte & Serrazina, 2000, p. 93). Para Bruner, os professores
devem facilitar e regular o processo de aprendizagem dos seus alunos, explorando as suas
motivações intrínsecas na sala de aula (idem, 2000). Esta exploração, a ser realizada pelo
professor envolve três fases: ativação, manutenção e orientação (Bruner, 1999). Por exemplo,
através da atribuição de uma tarefa (nem demasiado fácil, nem demasiado difícil), será possível
ao professor recorrer à motivação intrínseca (curiosidade) dos alunos, ativando a exploração. A
manutenção consiste em assegurar ao aluno que a tarefa não terá, para ele, efeitos negativos,
logo frustrantes. A orientação consiste no dever de o professor dar ao aluno a conhecer o
objetivo da tarefa e em que patamar da mesma se encontra (Bruner, 1999; Ponte & Serrazina,
2000).
O segundo elemento, a estrutura, diz respeito à melhor organização possível dos
conteúdos, para que possa ser transmitido e compreendido por todos os alunos. Em suma,
qualquer conteúdo “pode ser apresentado de modo suficientemente simples para que
determinado aluno possa compreendê-lo de forma reconhecível” (Bruner, 1999, p. 66).
O terceiro elemento, a sequência, diz respeito à ordem em que os conteúdos são
transmitidos aos alunos, facilitando a compreensão dos mesmos pelos alunos. A sequência
segundo a qual o aluno encontra os conteúdos “afeta a dificuldade que terá em atingir o seu
domínio” (Bruner, 1999, p. 71).
O quarto e último elemento da teoria de Bruner é o reforço. Segundo Ponte e Serrazina
(2000), para que o aluno “possa atingir a mestria num problema, é necessário receber feedback
sobre o que se está a fazer” (p. 95), devendo ser dado na altura certa e de forma clara.
2.1.3. A perspetiva sociocultural
Para Vygotsky, o processo de aprendizagem é um processo mediado. Desta forma, de
processo simples de estímulo-resposta, passa a ser reconhecido como um processo mais
complexo, neste caso, mediado, onde são distinguidos dois elementos: os instrumentos e os
signos (Ponte & Serrazina, 2000). Os instrumentos são elementos externos ao indivíduo e os
signos são elementos que representam objetos, acontecimentos ou situações. Por exemplo, a
10
palavra carro é associada a um objeto concreto que possui certas características: é usado para o
transporte de pessoas, tem rodas, faróis, etc. Neste caso, a palavra carro é o signo. Desta forma,
os signos “são ferramentas que intervêm nos processos psicológicos e não nas ações concretas
como os instrumentos” (idem, 2000). Vygotsky salienta que todos os processos mentais
superiores que caracterizam o pensamento humano são todos eles “mediados por sistemas
simbólicos” (idem, 2000, p. 96).
Segundo Ponte e Serrazina (2000), esta capacidade de lidar com representações que
substituem o próprio real possibilita a cada indivíduo a libertação do espaço e do tempo
presentes e o estabelecimento de relações mentais, ou seja, na ausência dos objetos
propriamente ditos, é capaz de “imaginar, fazer planos e ter intenções” (p. 97).
Vygotsky acrescenta que é o grupo cultural onde o indivíduo está inserido permite-lhe
compreender e organizar o real, fornecendo ao mesmo “instrumentos psicológicos que
estabelecem a mediação entre ele e o mundo” (idem, 2000, p. 97).
As perspetivas referidas até aqui centravam a sua atenção no indivíduo. Por exemplo,
Piaget considera que a cultura tem um papel secundário no processo de aprendizagem,
podendo apenas acelerar ou retardar o mesmo (idem, 2000). Segundo Ponte e Serrazina
(2000), a aprendizagem ocorre também em contextos que envolvem outras pessoas (família,
professores, amigos, etc.), ou seja, é um conjunto de processos influenciados pelos contextos
onde tem lugar.
Vygotsky defende que a cultura influencia sobremaneira cada situação de aprendizagem.
Em particular, quando um aluno ingressa no 1º ciclo do ensino básico, já possui alguns
conhecimentos e noções sobre as diversas áreas do saber, não sendo portanto uma “tábua
rasa”.
Um facto empiricamente estabelecido é que os conteúdos ou conceitos inerentes ao
processo de aprendizagem devem estar em conformidade com o nível de desenvolvimento da
criança. Por exemplo, é estabelecido que o ideal seria iniciar-se o ensino da leitura, escrita ou
aritmética numa determinada faixa etária. Vygotsky (1991) aponta para o fato de que não nos
devemos limitar meramente “à determinação de níveis de desenvolvimento, se o que queremos
é descobrir as relações reais entre o processo de desenvolvimento e a capacidade de
aprendizagem” (p. 57). Vygotsky defende que devem ser considerados dois níveis de
desenvolvimento, o real e o potencial (idem, 1991).
11
Quando há uma referência ao desenvolvimento de uma criança, normalmente são levadas
em conta apenas as tarefas que ela é capaz de realizar sozinha. Vygotsky considera que esta
capacidade de realizar tarefas de forma independente é designada por “nível de desenvolvimento
real” (idem, 2000, p. 97). Vygotsky salienta que para se compreender adequadamente o
desenvolvimento, deve ser considerado um outro nível, o de desenvolvimento potencial. Neste
nível é contemplada a capacidade da criança em “realizar tarefas com a ajuda de adultos ou de
colegas mais capazes” (idem, 2000, p. 97). Desta forma, é de se esperar um melhor
desempenho de uma criança na realização de uma tarefa após esta observar um outro aluno
mais experiente (na mesma tarefa), do que se a tentar realizar sozinha. Desta forma, Vygotsky
define a zona de desenvolvimento proximal como a distância entre estes dois níveis (real e
potencial).
Por outras palavras, a zona de desenvolvimento proximal engloba “funções que ainda não
amadureceram, mas que estão em processo de maturação”, ou seja, funções que irão
amadurecer, mas que presentemente se encontram em “estado embrionário” (Vygotsky, 1991,
p. 58).
Uma das principais vantagens da aprendizagem na escola é que “cria uma zona de
desenvolvimento proximal” (Ponte & Serrazina, 2000, p. 98). Com o apoio dos colegas mais
experimentados ou do professor, o aluno “consegue ter um desempenho de ordem superior,
progredindo no seu desenvolvimento”, pelo que a sua aprendizagem tem lugar através da
atividade mediada pelo grupo onde este está inserido (idem, 2000, p. 98). Desta forma, a
interação social é um aspeto central na teoria de Vygosky (idem, 2000).
2.1.4. Predisposição dos alunos para a aprendizagem
À medida que as diversas teorias da aprendizagem foram evoluindo, um aspeto que vai
ganhando relevância no processo de aprendizagem é a predisposição do aluno para aprender.
Bruner (1999) na sua teoria da educação e Ausubel (2003) na sua perspetiva de aprendizagem
significativa consideram que para o aluno aprender é necessário que esteja motivado e
predisposto para tal, considerando que estes assumem um papel fundamental no processo de
aprendizagem.
Segundo Chacón (2000), essa predisposição determina as intenções pessoais e afeta o
comportamento do indivíduo, constituindo o que a autora denominou por “atitude”,
reconhecendo-lhe três componentes distintas: a cognitiva, que se manifesta nas crenças
12
subjacentes à dita atitude; a afetiva, que se manifesta através de sentimentos de aceitação ou
rejeição perante uma determinada atividade; e a intencional ou de tendência para um certo tipo
de comportamento.
Chacón (2000) considera que a definição de atitude é válida para qualquer tipo de
atividade. No entanto, numa atividade relacionada com a Matemática, McLeod (1989, citado por
Chacón, 2000) considera ser possível avaliar as atitudes dos alunos relativamente à disciplina se
forem consideradas as seguintes componentes específicas: perceção do aluno perante a
utilidade da Matemática; autoeficácia do aluno perante a Matemática; perceção da Matemática
do ponto de vista dos colegas, pais e professores do aluno; e a ansiedade. De seguida, serão
desenvolvidas a autoeficácia e a ansiedade, pelo motivo de estas componentes poderem suscitar
maiores dúvidas ao leitor.
Autoeficácia
Albert Bandura dedicou nos seus estudos especial atenção às variáveis mediadoras da
aprendizagem. A teoria social cognitiva de Bandura considera que o indivíduo não é apenas
conduzido por impulsos internos nem apenas moldado ou controlado por estímulos externos. Ao
invés, Bandura considera “um modelo de reciprocidade triádica, no qual o comportamento,
fatores cognitivos, o meio onde o indivíduo está inserido e ainda fatores pessoais operam entre si
de forma bidirecional” (1989, p. 2).
Figura 1 – Esquema representativo da reciprocidade triádica de Bandura (1997).
Bandura denominou este modelo por “teoria social cognitiva”, no qual são contempladas
características de todas as perspetivas de aprendizagem acima referidas, comportamentalista,
13
cognitivista e sociocultural. Bandura considera que este modelo triádico permite ao indivíduo
exercer algum controle sobre as suas ações.
Na teoria social cognitiva, o indivíduo é o principal agente do seu desenvolvimento,
adaptação e mudança. O indivíduo, por conta das suas capacidades, “possui um sistema que o
possibilita agir intencionalmente em direção a fins específicos, elaborar planos de ação,
antecipar possíveis resultados, avaliar e replanear as suas ações” (Azzy & Polydoro, 2006, p.
17).
Esta teoria é na sua essência, um conjunto dos constructos teóricos que Bandura
formulou para explicar o comportamento humano, entre os quais, a autoeficácia. Bandura
considera que a autoeficácia tem um papel preponderante como mediador da aprendizagem. A
autoeficácia refere-se às “convicções de alguém relativamente à sua capacidade em organizar e
executar certas realizações” (Bandura, 1997, p. 3). Desta forma, a autoeficácia não está
relacionada com o que o indivíduo consegue fazer, mas com aquilo que ele julga que consegue
fazer com as capacidades que pensa ter, em determinadas circunstâncias (idem, 1997). O
mesmo autor (1997) defende que a autoeficácia de um aluno afeta a sua motivação, podendo
variar consoante a atividade.
Cada indivíduo constrói a sua autoeficácia (ou autoconfiança) nos mais variados domínios
a partir da interpretação da informação que resulta de quatro fontes: a experiência direta, a
experiência vicária, a persuasão social e estados físicos e emocionais (idem, 1997). A
experiência direta é a fonte de informação mais importante, pois deriva diretamente da
realização do indivíduo. As informações obtidas por meio da observação e comparação com
modelos sociais constituem a segunda fonte de autoeficácia. A perceção que o indivíduo tem da
sua autoeficácia é, também, influenciada socialmente através de fontes significativas
(professores, pais, comunicação social, etc.), ou seja, através do feedback sobre as suas
atividades. A outra fonte de informação diz respeito à perceção dos estados físicos e emocionais,
tais como a ansiedade, stress, alegria, bem-estar, etc., podendo ocorrer antes ou durante a
atividade (idem, 1997).
A autoeficácia opera, desta forma, como um dos elementos reguladores da motivação,
afeto e até da ação humana, influenciando as decisões que se tomam, o empenho e persistência
aplicados em cada atividade e o sentimento que se tem na sua realização (Azzy & Polydoro,
2006).
14
Em suma, Bandura (1993) defende a ideia de que o sucesso dos alunos não depende
somente das suas capacidades cognitivas ou do meio onde estão inseridos e que a capacidade
cognitiva de cada um é uma condição necessária, mas não suficiente para explicar o sucesso
(ou insucesso) dos alunos. Desta forma, é imperativo considerar-se a interação entre cognição,
motivação e afeto, que apesar de distintos, são inseparáveis, tendo influência uns sobre os
outros.
Ansiedade
Para a maioria dos alunos, a educação escolar provoca um certo nível de ansiedade, que
em determinada “dosagem”, pode aumentar a atividade do aluno, facilitando a sua
aprendizagem. No entanto, quando ocorre ansiedade em níveis excessivos, pode ocorrer um
bloqueio das capacidades naturais e predisposição para aprender por parte do aluno, produzindo
uma desorganização das suas respostas cognitivas, dificultando, por exemplo, a resolução de
uma tarefa (Dinis, 2003).
A autoeficácia está fortemente ligada ao desempenho dos alunos nos testes de avaliação.
Os níveis de ansiedade que muitas vezes afetam o desempenho dos alunos estão diretamente
ligados às tarefas que o aluno julga que é capaz de realizar. Se os alunos se considerarem
capazes de obterem resultados positivos, os níveis de ansiedade serão obrigatoriamente
menores. Assim, o desempenho dos alunos nos testes, por diversas vezes, “não é consentâneo
com a actividade desenvolvida pelo aluno na sala de aula” (idem, 2003, p. 26).
Os alunos que manifestam mais dificuldades na aprendizagem em Matemática
apresentam, normalmente, maiores níveis de ansiedade, o que representa, na generalidade, um
baixo nível de autoeficácia. Este facto é, muitas vezes, consequência de “pressão por parte dos
pais que colocam expectativas elevadas, às quais têm dificuldades em corresponder, também
pelo desinteresse na actividade escolar, ou pela própria fase de crescimento que atravessam, a
adolescência” (idem, 2003, p. 26). Estes fatores afetam negativamente o desempenho dos
alunos nos testes, criando “uma tensão interna com reflexos na disciplina” (idem, 2003, p. 26).
15
2.1.5. O papel do erro no processo de ensino e aprendizagem
A expectativa de qualquer escola, é a de que o aluno tenha sucesso. Segundo Rosso e
Berti (2010), apesar de frequentemente se associar uma resposta correta ao sucesso do aluno e
uma resposta errada ao seu fracasso, esta dicotomia não implica a existência da compreensão
dos conceitos envolvidos ou da aplicação dos mesmos ao quotidiano dos alunos. É comum que
a classificação de um aluno espelhe o seu sucesso, mas uma boa classificação, nem sempre
representa que o mesmo adquiriu o conhecimento que era pretendido.
Muitos professores ainda consideram o “erro” como um passo atrás no processo de
aprendizagem e, muitas vezes, inaceitável por parte dos alunos. No entanto, o “erro” deve ser
visto como um passo necessário para o desenvolvimento de cada aluno. Como diz a sabedoria
popular, “é com os erros que se aprende”.
A definição da palavra “erro” que consta no dicionário da língua portuguesa sugere que se
trata de uma opinião ou julgamento que é contrário à verdade. Por outras palavras, o “erro” é
uma ideia que tem origem no contexto da existência de um padrão que é considerado correto.
No entanto, Ponte e Serrazina (2000) consideram que os “erros” dos alunos podem revelar-se
tão importantes como as suas respostas corretas. A análise dos “erros” cometidos pelos alunos
permite ao professor aperceber-se das dificuldades por eles sentidas e do caminho a seguir para
as contrariar, podendo tirar conclusões sobre o que sabem e sobre o que não sabem (idem,
2000).
Relativamente à Matemática, vários professores desta disciplina costumam recorrer a
metodologias que enfatizam a sobrecarga de fórmulas, regras e uma quantidade de exercícios
sem contexto, encorajando a mecanização de processos, em detrimento do desenvolvimento da
criatividade e curiosidade do aluno, levando-o a acreditar que a Matemática é uma ciência
“acabada” e que não pode contestar os seus resultados, ou escolher diferentes caminhos para
os alcançar (Freire, 1987).
Tendo em vista um maior desenvolvimento intelectual dos alunos, surge a necessidade de
implementar uma metodologia alternativa. Piaget e Vygotsky, investigadores que deram um forte
contributo à educação matemática, consideram que essa mudança pode ser iniciada com uma
análise profunda aos erros cometidos pelos alunos na disciplina.
Na teoria construtivista, defendida por Piaget e Vygotsky, entre outros, o que se “erra” não
deve ser considerado como o oposto do que se “acerta”, devendo ser valorizadas a invenção, a
investigação, a tentativa, a criatividade e a curiosidade do aluno no seu processo de
16
aprendizagem. Estes autores consideram que o “erro” é parte integrante e natural neste
processo. Inhelder e Cellérier (1992) consideram que um erro corrigido pode ter mais valor que
uma resolução imediata, pelo que a partir da sua análise podem surgir novos conhecimentos.
Assim, o “erro” é um elemento valioso no processo de ensino e aprendizagem, permitindo
ao professor conhecer o nível de desenvolvimento cognitivo do aluno e provocando, ao mesmo
tempo, uma contradição cognitiva interna no aluno que o induz a uma reorganização estrutural
do pensamento, reorientando-o para a resposta que é aceite como correta (Botelho et al, 2006).
Assim, deve ser visto de um modo positivo no processo de aprendizagem dos alunos, auxiliandoos a progredir. Para tal, é fundamental que os alunos se apercebam do erro cometido, devendo
a resposta correta ser construída a partir da resposta errada (Ponte & Serrazina, 2000).
Desta forma, os “erros” não traduzem sempre uma falta de competência cognitiva, isto é,
uma falta de conhecimentos ou de trabalho por parte dos alunos, podendo ser um elemento de
informação sobre as conceções que um aluno tem, no imediato, relativamente a um
determinado conceito (idem, 2000). Aliás, muitos dos erros cometidos devem-se ao facto de que
a Matemática abordada na sala de aula não tem qualquer significado para os alunos e resultam
de conceções erradas que formaram sobre determinados conceitos (idem, 2000).
Silva (2008) considera que um docente de Matemática deve encarar os “erros” cometidos
pelos alunos de duas maneiras distintas: a primeira, na hora de classificar, pelo rigor e exatidão
inerentes à Matemática enquanto ciência; a segunda, na sala de aula, onde o “erro” deve ser
considerado como parte do processo de aprendizagem.
Consequentemente, a atitude do professor em relação ao “erro” passa a ser investigativa,
ou seja, procura compreender as decisões tomadas pelos alunos na resolução das tarefas. Por
exemplo, procura compreender o que levou um determinado aluno a optar por esta ou aquela
estratégia na resolução de uma tarefa e a que conceitos recorreu na sua realização.
Paralelamente, Davis e Espósito (1990) consideram que o “erro” assume um papel de
extrema importância no processo de construção do conhecimento. Face a uma situaçãoproblema, por exemplo numa tarefa da disciplina de Matemática, o aluno adota uma estratégia
para o resolver, pelo que a mesma envolve noções do objetivo a ser alcançado e dos meios ou
procedimentos a que recorrerá para o atingir (idem, 1990). O nível estrutural (ou cognitivo) de
cada aluno limita o seu raio de ação quer na assimilação do objetivo do problema, quer nos
procedimentos que lhe é possível recorrer. No entanto, dentro destes limites, cabe ao aluno
adotar uma estratégia, que no seu parecer é a melhor para resolver a tarefa (idem, 1990).
17
Perante este quadro, duas situações podem ocorrer: o aluno acerta ou erra na solução da tarefa.
Se acerta, cabe ao professor atribuir-lhe tarefas mais desafiantes para que possa atingir novos
patamares cognitivos. E se errar, que significado pode ter esse erro?
Davis e Espósito (1990) consideram três possíveis significados para a ocorrência do
“erro”: (1) o aluno possui a estrutura de pensamento necessária para a tarefa, mas selecionou
procedimentos inadequados para a tarefa. Este tipo de erro não está relacionado com a
construção de conhecimentos mas com o seu aprimoramento, dependendo, assim, unicamente
do próprio aluno; (2) o aluno ainda não possui um nível estrutural suficiente para resolver a
tarefa, denotando dificuldades na compreensão da tarefa e consequentemente na seleção de
procedimentos para a sua resolução. Neste tipo de erro, o aluno apercebe-se que existem
lacunas ou “desequilíbrios” na sua estrutura cognitiva, pelo que é obrigado a encontrar uma
nova forma de abordar a tarefa, que poderá acontecer por tentativa e erro, modificando, assim,
as suas estratégias em função dos resultados que obtiver com cada uma delas. Estes erros são
denominados por “construtivos”, pois sinalizam a formação de novas estruturas cognitivas.
Neste tipo de erro, é fundamental o papel do professor que deve aproveitar estes
“desequilíbrios” apresentados pelos alunos, proporcionando-lhes as condições necessárias para
a formação destes novos patamares cognitivos; (3) o aluno não possui a estrutura cognitiva
necessária requerida para a tarefa, pelo que lhe é impossível a compreensão da tarefa e muito
menos a seleção de procedimentos para a resolver. Neste caso, o “desequilíbrio” na estrutura
cognitiva é permanentemente ignorado pelo aluno, pelo que o mesmo não procura novas
estratégias. Por esta razão, estes erros são denominados por “sistemáticos”. Na impossibilidade
de construir novos patamares cognitivos na estrutura cognitiva do aluno, o professor tem a
obrigação de o conduzir ou orientar no sentido de o mesmo dar conta desse “desequilíbrio”,
proporcionando um ambiente de diálogo na sala de aula que o leve a justificar as suas
estratégias.
Segundo Pinto (2000), os erros sistemáticos podem revelar que os conteúdos abordados
na sala de aula não estão de acordo com a capacidade cognitiva do aluno, existindo, desta
forma, “uma cisão entre os seus fatores internos e externos” (p. 49).
O uso do erro na sala de aula
Relativamente à Matemática, Borasi (1996) considera que devem ser propiciados
ambientes de aprendizagem em sala de aula que privilegiem o potencial dos erros, o que pode
18
levar os alunos a “operarem num nível diferente de abstração” (p. 278). Desta forma, a autora
(1996) considera que o professor pode optar por diferentes abordagens ao erro, tendo em conta
os seus níveis de discurso matemático: realização de uma tarefa matemática específica,
compreensão de algum conteúdo matemático técnico e compreensão sobre a natureza da
Matemática. Dentro de cada um destes níveis de discurso matemático, o objetivo da
aprendizagem oferece informações sobre as possíveis abordagens aos erros cometidos pelos
alunos. Desta forma, Borasi (1996) propõe uma taxionomia de utilização dos erros em sala de
aula, onde considera nove tipos de abordagens tendo em conta o objetivo de aprendizagem:
correção (do erro), descoberta (a partir do erro) e investigação (a partir do erro).
Quadro 2 – Taxionomia para o uso do erro em sala de aula (adaptado de Borasi, 1996)
Objetivo de
aprendizagem
Correção
Descoberta
Investigação
Realização de uma tarefa
matemática específica
Análise de erros para
compreender o que de
errado ocorreu, por forma
a obter sucesso na
realização da tarefa.
Uso construtivo do erro no
processo de resolução de
uma tarefa;
Observação da resolução
de um aluno para que seja
possível identificar
possíveis erros.
Erros e resultados
surpreendentes
proporcionam novas
pesquisas, servindo para
desenvolver novas tarefas
matemáticas.
Níveis de discurso matemático
Compreensão de algum
Compreensão sobre a natureza
conteúdo matemático técnico
da Matemática
Análise de erros para esclarecer
interpretações deficientes de
um conteúdo técnico da
Matemática.
Análise de erros para esclarecer
interpretações deficientes sobre
a natureza matemática ou de
algum conteúdo em específico.
Uso construtivo do erro na
aprendizagem de novos
conceitos, regras, etc.
Uso construtivo do erro na
aprendizagem sobre a natureza
matemática ou de algum
conteúdo específico.
Erros e resultados
surpreendentes proporcionam
questões que podem levar a
novas perspetivas sobre um
conceito, regra ou tópico que
pode não estar no plano
original.
Erros e resultados
surpreendentes proporcionam
questões que podem levar a
introspeções ou a novas
perspetivas acerca da natureza
matemática ou algum conteúdo
em específico.
A partir de uma análise ao Quadro 2, é percetível que o aproveitamento do erro pode ser
realizado através da sua exploração com os alunos ou simplesmente através da sua correção,
oferecendo, desta forma, um vasto leque de estratégias de ensino nos conteúdos em que os
alunos mostram mais dificuldades. Borasi (1996) refere que estas abordagens ao erro podem
surgir separadamente ou em conjunto, dependendo do tipo de erro e, consequentemente, do
19
tipo de questões que levanta. Desta forma, consoante os objetivos de aprendizagem, é possível
transitar entre as diversas formas de trabalhar com o erro (Cury, 2007).
Cargas emocionais provocadas pelo erro
Pinto (2000, p. 54) defende que “quando um aluno comete um erro, ele expressa o
carácter incompleto do seu conhecimento”, oferecendo, desta forma, uma oportunidade de o
professor o ajudar a adquirir o conhecimento em falta. Através de uma reflexão epistemológica
do “erro”, a autora (2000) refere que este pode contribuir positivamente para o processo de
ensino e aprendizagem, “desde que se modifique a atitude de condenação do aluno como o
único culpado do erro” (p. 54).
Do ponto de vista sociológico, o “erro” deve ser visto de modo construtivo, perdendo,
assim, a sua conotação negativa e, desta forma, deve representar a essência de uma pedagogia
de sucesso e não de fracasso escolar (Pinto, 2000). Nesta perspetiva, “o erro colabora para a
boa autoestima do aluno” (idem, 2000, p. 63).
O “erro” está, muitas vezes, associado a fortes cargas emocionais por parte dos alunos.
Repetidos casos de sucesso ou de insucesso, podem ser determinantes na construção da
autoestima dos alunos. Por exemplo, na busca da solução de um problema de Matemática,
Neves e Carvalho (2006) referem que os alunos podem experienciar distintas reações
emocionais: uns começam a trabalhar no problema com entusiasmo e empenho mas se, ao fim
de algum tempo, não encontram a solução, as reações emocionais podem tornar-se negativas; e
outros, que acabam por descobrir a solução, manifestando sentimentos de satisfação e até de
euforia. As autoras consideram que quando acontecem de forma mais frequente, estas
experiências, positivas ou negativas, contribuem para a criação da autoeficácia dos alunos.
Assim, no caso de essas experiências serem positivas, os alunos têm tendência em persistir
perante possíveis dificuldades, avançando rumo ao objetivo pretendido. No caso de essas
experiências serem negativas, existe a possibilidade inversa, ou seja, a criação de desinteresse e
até aversão à Matemática por parte dos alunos (Neves & Carvalho, 2006).
A teoria do desânimo aprendido de Seligman (1975) refere que todos os indivíduos
experienciam situações de desânimo já que, em algum momento da sua vida, são confrontados
com situações que estão fora do seu controlo ou são independentes do seu comportamento
(situação de não-contingência).
20
Seligman (1975) baseia a sua teoria na aprendizagem resultante de um determinado
conjunto de experiências negativas. Desta forma, a partir da experiência, os indivíduos são
capazes de aprender a contingência e, de igual forma, são capazes de aprender que, na
ausência de contingência entre o comportamento e o resultado, a não-contingência irá
prevalecer. Por outras palavras, quando o indivíduo experiencia situações que lhe trazem
sentimentos negativos, aprende que em situações idênticas, o sentimento resultante das
mesmas será também negativo, caindo no designado desânimo (aprendido).
Assim, a aversão que alguns alunos têm à Matemática é, muitas vezes, resultado de
experiências infelizes anteriores e precoces. Neves e Carvalho (2006) consideram que as
“situações, pensamentos e ações de um indivíduo, que originam estados positivos, tendem a ser
procurados e repetidos, mas aqueles que geram estados negativos serão evitados” (p. 208).
As mesmas autoras (2006) defendem que a melhor forma de um professor detetar estes
casos parte da “observação informal dos alunos em situação de sala de aula: enquanto tentam
resolver problemas, enquanto trabalham nas várias propostas, individualmente ou em grupo e
na forma como participam em discussões com toda a turma” (p. 208).
2.2. O ensino e a aprendizagem da Álgebra
De um ponto de vista histórico, falar em Álgebra remete para “a formalização e
sistematização de certas técnicas de resolução de problemas” (Ponte, 2006, p. 9).
As origens da Álgebra remontam ao antigo Egipto, à Babilónia, à China e à Índia, onde
foram formalizadas e sistematizadas técnicas para a resolução de problemas (Ponte, Branco &
Matos, 2009). Como exemplo, Ponte, Branco e Matos (2009) referem o papiro de Ahmes/Rhind
que ficou célebre por ser um documento matemático recheado de técnicas de resolução de
problemas.
Com o decorrer do tempo foi-se construindo o conceito de equação, tendo a Álgebra
ficado conhecida pelo seu estudo. Muito deste reconhecimento deve-se ao contributo de Diofanto
que desenvolveu diversos métodos para a resolução de equações e sistemas de equações (idem,
2009).
A maior transformação deu-se já no século XVI com François Viète que “construiu” a
designada Álgebra simbólica (idem, 2009). Nessa mesma época, dão-se grandes progressos na
resolução de equações algébricas, nomeadamente nas fórmulas para as soluções das equações
de terceiro e quarto grau, através dos matemáticos da península itálica Scipione del Ferro,
21
Tartaglia, Cardano, Bombelli e Ferrari (Estrada et al, 2000, p. 522). Este enorme progresso
constituiu um estímulo para novas pesquisas, “incluindo o início da manipulação das raízes
quadradas de números negativos” (idem, 2000, p. 521). Paralelamente a este desenvolvimento
das teorias de equações algébricas, foi-se desenvolvendo o conceito de função como uma
correspondência entre os valores de duas variáveis, onde as primeiras funções consideradas
foram as funções polinomiais e racionais (Ponte, Branco & Matos, 2009).
Atualmente, a Álgebra constitui uma das áreas fundamentais do currículo de matemática
do ensino básico e secundário. Os primeiros currículos atribuíam-lhe pouca importância, sendo
encarada como um campo da matemática que tratava essencialmente de um conjunto de regras
de transformação de expressões e processos de resolução de equações (Ponte, 2006). Esta
perspectiva é coerente com a terminologia usada nos antigos programas que, em vez de
referirem “Álgebra”, referiam “cálculo” ou “cálculo algébrico” (idem, 2006, p. 10).
A imagem tradicional da Álgebra, baseada num século de ensino, consiste numa
simplificação de expressões algébricas, resolução de equações e aprendizagem de
regras para a manipulação de símbolos. (Kaput, 1999, p. 2)
Contudo, Ponte (2006) considera que esta é uma visão limitada da mesma, pois
desvaloriza aspetos muitos importantes, reduzindo-a a apenas uma das suas facetas. Outra
perspectiva é a de que o objeto de estudo da Álgebra são os símbolos. Neste sentido, esta área
da Matemática assume uma linguagem própria, a linguagem algébrica.
Mais recentemente, emergiu uma nova visão da Álgebra, na qual o propósito principal de
ensino consiste no desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos. Este pensamento
inclui a capacidade de manipulação de símbolos. Desta forma, a Álgebra permite que esta
articulação seja realizada através de símbolos a que já estejamos habituados, tais como as letras
de alfabetos (Ponte, Branco & Matos, 2008). Através da utilização de símbolos é possível
expressar ideias matemáticas de forma precisa, sendo particularmente importante na resolução
de problemas (idem, 2008). Dependentemente do contexto, os símbolos podem ter diversos
significados e a sua interpretação representa, geralmente, um forte obstáculo para os alunos
(idem, 2008).
Segundo o NCTM (2007), o pensamento algébrico diz respeito ao estudo das estruturas, à
simbolização, à modelação e ao estudo da variação, que visam desenvolver nos alunos desde o
ensino pré-escolar até ao ensino secundário, as seguintes competências:
22
compreender padrões, relações e funções; representar e analisar situações e
estruturas matemáticas usando símbolos algébricos; usar modelos matemáticos
para representar e compreender relações quantitativas; analisar a variação em
diversos contextos. (p. 39)
É importante salientar que o estudo da Álgebra esteve afastado dos currículos de
matemática dos níveis elementares, por esta ser considerada difícil e abstrata (Ponte, 2006). No
entanto, nos últimos anos surgiram investigações que reconhecem como problemática a
abordagem tardia da Álgebra nos currículos, defendendo a inclusão do pensamento algébrico
desde o 1º ciclo (idem, 2006). Tendo em conta o desenvolvimento das capacidades cognitivas
dos alunos, é aconselhada uma abordagem ao pensamento algébrico desde o início da
escolaridade, devendo ser integrado com outros temas matemáticos, enaltecendo, desta forma,
uma aprendizagem ativa que valorize a construção de significados. (Kaput, 1999).
Assim, a inclusão do pensamento algébrico no currículo de Matemática nos primeiros
anos de escolaridade “pode evocar-se, não só o seu carácter preparatório para a Álgebra dos
anos posteriores, mas também pelo seu contributo para o aprofundamento da compreensão da
matemática e do poder desta área do saber” (Canavarro, 2009, p. 92).
2.2.1. Recomendações para o ensino da Álgebra
O Ministério da Educação (2001) salienta que os conhecimentos sobre funções são
“indispensáveis para a compreensão do mundo em que vivemos” (p. 26). Desta forma, “o papel
da Matemática como instrumento de modelação da realidade é incontornável: um modelo
matemático é uma descrição matemática do mundo real” (idem, 2001, p. 11).
Neste ano letivo deve ser realizado um “estudo detalhado de algumas funções polinomiais
e da função módulo e resolvem-se analítica, gráfica e numericamente algumas equações e
inequações”, onde é enfatizada “a ligação entre as fórmulas e as representações geométricas”
(idem, 2001, p. 26).
Para o 10º ano de escolaridade, o Ministério da Educação (2001) pretende que sejam
abordados os seguintes conteúdos algébricos: função, gráfico cartesiano de uma função em
referencial ortogonal e representação gráfica; estudo intuitivo das propriedades das funções
quadrática e módulo e respetivos gráficos, quer a partir de um gráfico particular, quer usando a
calculadora gráfica; resolução de problemas envolvendo funções polinomiais de graus 2, 3 e 4; e
decomposição de um polinómio em fatores, por divisão dos polinómios e recorrendo à regra de
Ruffini.
23
O Ministério da Educação (2001) pretende que o estudante seja “o agente da sua própria
aprendizagem” (p. 10). Para que tal aconteça, é destacada a importância das atividades a
selecionar pelo professor, “as quais deverão contribuir para o desenvolvimento do pensamento
científico, levando o estudante a intuir, conjeturar, experimentar, provar, avaliar e ainda para o
reforço das atitudes de autonomia e de cooperação” (idem, 2001, p. 10). Assim, a seleção de
tarefas por parte do professor assume um papel fundamental, onde estas devem estabelecer
uma ligação ao real sempre que possível, devendo ser interessantes e desafiadoras, por forma a
incentivar a colaboração de todos os elementos do grupo (idem, 2001).
Trabalho de grupo
O trabalho de grupo é um dos métodos de trabalho em sala de aula. Segundo o Ministério
da Educação (2001), “o trabalho de grupo e em pares favorece a comunicação matemática pois
os estudantes ganham em partilhar com os colegas e com o professor os seus métodos de
resolução ou as justificações dos seus raciocínios” (p. 12).
Este método possibilita aos alunos desenvolver habilidades e competências interpessoais,
promovendo a reflexão e a discussão de diferentes pontos de vista, clarificando, desta forma,
“significados e a construção pessoal do conhecimento” (Martinho & Ponte, 2005, p. 276).
A interação com outros estimula a aparição de novos problemas, de novas ideias e
de descobertas adicionais. Os estudantes deparam-se com formas diferentes da sua
de resolver problemas e a compreensão conceptual é mais profunda e duradoura.
(Ministério da Educação, 2001, p. 13)
Desta forma, as recomendações metodológicas vigentes no programa sugerem ao
professor, a adoção de uma pedagogia centrada no aluno, sendo notórias influências das
perspetivas de aprendizagem de Piaget e Vygotsky.
Novas tecnologias
O Ministério da Educação (2001) recomenda para o ensino da Álgebra a utilização das
novas tecnologias referindo que a sua utilização “facilita uma participação ativa do estudante na
sua aprendizagem” (p. 15).
O professor deverá estar habilitado a utilizar a tecnologia de modo a melhorar as
oportunidades de aprendizagem do aluno. Integrar a utilização da tecnologia na sala de aula com
os outros meios de estudar matemática permite integrar mudanças no que se ensina e na forma
24
como se ensina. A tecnologia não substitui a compreensão e a intuição, mas pode ajudar a
estimular essas capacidades. Com a utilização da calculadora gráfica ou do computador os
alunos devem:
observar que podem ser apresentadas diferentes representações gráficas de um
mesmo gráfico, variando as escalas; traçar um número apreciável de funções tanto
manualmente em papel quadriculado ou papel milimétrico como usando
calculadora gráfica ou computador escolhendo o melhor retângulo de visualização;
elaborar conjeturas, evitando conclusões apressadas, sendo sistematicamente
treinados na análise crítica de todas as suas conclusões; estudar situações em que
uma descrição qualitativa satisfatória do comportamento da função só é possível
com um gráfico múltiplo (conjunto de gráficos em diferentes retângulos de
visualização). (Ministério da Educação, 2001, p. 27)
No entanto, o recurso às novas tecnologias não garante, só por si, uma melhoria na
aprendizagem na temática das funções, facto salientado na investigação de Rocha (2000). Como
exemplo, a autora (2000) refere que, apesar do recurso às tecnologias, se continuam a verificar
dificuldades por parte dos alunos no estabelecimento de conexões entre as representações
algébrica e gráfica de uma função.
Desta forma, as novas tecnologias não eliminam as dificuldades dos alunos nesta
temática, nem tal poderia acontecer quando as próprias têm limitações. Por exemplo, o recurso
às calculadoras gráficas tem algumas limitações ao nível da precisão numérica, na construção
de um gráfico de uma função, na resolução de problemas ou nos métodos de cálculo de
derivadas, zeros ou extremos (idem, 2000). O professor, por sua vez, deverá aproveitar estas
limitações de forma pedagógica, confrontando os alunos com essas limitações e explorando as
situações que daí possam advir (idem, 2000).
2.2.2. Dificuldades e erros cometidos pelos alunos na aprendizagem da Álgebra
Nesta subsecção serão exploradas as dificuldades e erros cometidos (e respetiva
categorização) pelos alunos na aprendizagem da Álgebra e mais concretamente no estudo das
funções.
Assim, no que diz respeito à aprendizagem da Álgebra, os alunos deparam-se com vários
tipos de dificuldades. Ponte, Branco e Matos (2009) afirmam que, normalmente, os alunos
sentem dificuldades em:
25
ver a letra como representando um número ou um conjunto de números; pensar
numa variável como significando um número qualquer; atribuir significado às letras
existentes numa expressão; dar sentido a uma expressão algébrica; passar
informação da linguagem natural para a algébrica; compreender as mudanças de
significado, na Aritmética e na Álgebra, dos símbolos “+” e “=” e, em particular,
distinguir adição aritmética (
) da adição algébrica (
). (pp. 74-75)
Destas dificuldades, as mais comuns são as de interpretação dos símbolos algébricos,
que dependentemente do contexto podem ter diversos significados, obrigando os alunos a
realizar diversos ajustes na transição da Aritmética para a Álgebra ou vice-versa (Kilpatrick,
Swafford & Findell, 2001). Por exemplo, o facto de se usarem letras na representação de
variáveis, incógnitas ou de um número generalizado, faz com que os alunos não percebam o
sentido das expressões algébricas (Ponte, Branco & Matos, 2009).
Ponte, Branco e Matos (2009) referem que o significado do sinal de igual depende da
situação em que este aparece, podendo ter um significado de operador (surgindo em situações
aritméticas como
), equivalência (surgindo em equações como
proporcionalidade (entre duas razões, como
) ou de
). Esta diversidade de significados leva, por
vezes, a uma confusão por parte dos alunos. Kilpatrick, Swafford e Findell (2001) referem que
numa equação como
, os alunos simplesmente somam os dois algarismos,
escrevendo 13 como resposta, em vez do valor correto 4. Quando um sinal de igualdade está
presente, os alunos tratam-no como se fosse um separador entre o problema e a solução,
interpretando-o como um “espaço” dedicado ao resultado das operações indicadas à esquerda
do sinal. Desta forma, o sinal de igual é tratado como se fosse um sinal direcional da esquerda
para a direita (idem, 2001).
A não compreensão do significado de uma regra faz com que os alunos recorram à
mesma de forma indiscriminada. Muitas vezes, memorizam os procedimentos numa
determinada situação, aplicando-os posteriormente em situações que lhes pareçam
semelhantes. A deficiente compreensão das regras proporciona um elevado número de erros por
parte dos alunos, por exemplo, em relação à propriedade distributiva, casos notáveis,
desembaraçar de parêntesis ou em operações com frações.
Ponte, Branco e Matos (2009) salientam que os alunos costumam recorrer a
generalizações não válidas, referindo, ainda, que é fundamental que os alunos “compreendam o
significado dos parênteses e a prioridade das operações numa expressão numérica” (p. 26).
26
Assim, não é verdade que
seja igual a
, sendo relevante a ordem pela
qual se realizam as diferentes operações.
Borasi (1996) refere que os alunos também costumam sentir dificuldades quando operam
com frações. A autora (1996) refere o seguinte exemplo
em que os alunos “somam
os numeradores e os denominadores de forma separada” (p. 7).
Kieran (1999) distingue duas perspetivas da Álgebra: a processual e a estrutural. A
Álgebra processual lida com a substituição de variáveis por números, realizando-se de seguida
as correspondentes operações aritméticas. Kieran (1999) aponta o exemplo da resolução da
equação
, em que se substitui
por vários números até encontrar o valor correto.
Relativamente à Álgebra estrutural, a autora (1999) menciona que é uma perspetiva que está
relacionada com um conjunto de operações realizadas com expressões algébricas e não com
números. A autora dá o exemplo da resolução da equação
inicial, é possível subtrair
equivalente
, em que numa fase
em ambos os membros, originando, desta forma, a equação
.
Segundo Kieran (1999), é na perspetiva estrutural da Álgebra que os alunos costumam
sentir mais dificuldades. Assim, a autora classifica os erros por eles cometidos nesta perspetiva
(mais concretamente na resolução de equações) em dois tipos: (1) erro por troca de membros
(por exemplo,
); e (2) erro de redistribuição (por exemplo,
). Kieran (1999) considera que estes erros surgem
porque os alunos “sentem dificuldades relativamente às relações estruturais entre a adição e a
subtração, ou pelo menos quando estas envolvem um termo literal” (p. 351).
Quando os alunos operam neste quadro de referência tendem a não ver os aspetos
relacionais das operações pelo que o seu foco incide unicamente no cálculo. Assim, é necessário
um ajustamento considerável para o desenvolvimento do pensamento algébrico. Segundo Kieran
(2004), esse ajustamento deve incidir nas relações algébricas e não apenas no cálculo numérico
da resposta, nas várias operações (e respetivas inversas), na representação e resolução de um
problema (em vez de apenas o resolver), nos números e letras (em vez de apenas números) e
numa reorientação do significado do sinal de igual.
As dificuldades dos alunos na aprendizagem das funções
As funções são um conteúdo da Álgebra em que os alunos costumam sentir diversas
dificuldades. Sajka (2003) refere que essas dificuldades estão relacionadas, por um lado, com a
27
filosofia e métodos da Matemática em si e os vários esquemas de pensamento dos alunos e, por
outro lado, com o conceito de função e com os termos relacionados (definição, número, variável,
coordenadas, gráfico da função, etc.). Assim, a ambiguidade e contexto do simbolismo
matemático, que aliados a uma certa limitação no tipo de tarefas e à interpretação que o aluno
faz delas no estudo das funções, ajudam, em parte, a justificar as dificuldades por eles sentidas
(Sajka, 2003).
Segundo Sajka (2003), a compreensão da própria definição de função é difícil para os
alunos devido à dualidade da sua natureza, podendo ser entendida numa perspetiva estrutural
(como um objeto) ou numa perspetiva operacional (como um processo). São, no entanto, duas
perspetivas que se completam e que se constituem como uma unidade coerente (idem, 2010).
Por exemplo,
tem dois significados: apresenta o conceito de função no seu todo
e indica o processo de cálculo do valor da função para determinados valores de
Desta forma,
(Sajka, 2003).
representa, ao mesmo tempo, o nome da função e o seu valor, pelo que a
sua interpretação depende do contexto onde esta se insere (idem, 2003).
Alguns alunos, apesar de conhecerem a definição de função, não a conseguem identificar
graficamente. Tal, pode ser explicado pelo facto de o aluno ter noção do conceito em si, mas, no
entanto, este não se encontra corretamente formado na sua mente (Vinner, 1983 citado por
Saraiva & Andrade, 2012).
Consequentemente, Saraiva e Andrade (2012) apontam que a aprendizagem das funções
deve contemplar “o estabelecimento e a compreensão de relações entre os vários tipos de
representação (a gráfica, a algébrica, a tabelar e a verbal)” (p. 141), tornando os alunos
“capazes de avaliar as vantagens e desvantagens de cada representação” (p. 141), consoante
os objetivos pretendidos em cada tarefa. Em suma, “a aprendizagem do conceito de função
requer o estabelecimento de conexões entre as suas representações e o confronto de ideias que
nem sempre são fáceis de agregar” (idem, 2012, p. 146).
Desta forma, os mesmos autores (2012) consideram os alunos precisam de um
acompanhamento mais constante por parte do professor durante a sua aprendizagem, “para
que a definição que se pretende que interiorizem e a imagem que têm de função se
complementem e permitam uma aprendizagem significativa” (p. 146).
28
As diferentes categorias de erros
Numa análise aos erros em Educação Matemática, é essencial ter um conhecimento
sobre o modo de como eles podem ser classificados (Vale, Ferreira & Santos, 2011). A título de
exemplo, são a seguir apresentadas algumas das análises realizadas aos erros cometidos pelos
alunos na aprendizagem da Álgebra (Radatz, 1979, Movshovitz-Hadar, Zaslavsky & Inbar, 1987,
Hall, 2002; Socas, 1997, citado por Ruano, Socas & Palarea, 2008).
Radatz (1980) considera que os erros cometidos pelos alunos não são simplesmente fruto
da sua ignorância, insegurança ou descuido. Considera que são o resultado das suas
experiências anteriores nas aulas de Matemática. Desta forma, considera que os erros
cometidos são maioritariamente sistemáticos e que sem a ajuda do professor, eles continuarão a
persistir por muito tempo. Como forma de os combater, Radatz (1980) considera a análise dos
erros fundamental para o ensino e aprendizagem da Matemática por dois motivos: primeiro,
porque considera ser uma oportunidade para diagnosticar as dificuldades de aprendizagem dos
alunos, diferenciando, desta forma, o ensino empregue a cada um deles; segundo, porque
considera que essa análise é um excecional ponto de partida para investigações realizadas no
sentido de melhorar o ensino e aprendizagem da Matemática, pelo que, desta forma, é uma
estratégia fundamental para a clarificação de problemáticas na aprendizagem da disciplina.
Radatz (1979) considera na sua investigação a seguinte categorização de erros: (1) Erros
que derivam de dificuldades na interpretação da linguagem matemática. Nesta categoria, os
alunos realizam interpretações deficientes dos conceitos, vocabulário ou símbolos matemáticos;
(2) Erros que derivam da dificuldade em obter e interpretar informação espacial. Nesta categoria,
os alunos mostram dificuldades de visualização (como por exemplo na Geometria); (3) Erros que
derivam de um domínio deficiente de conteúdos, factos ou técnicas consideradas como prérequisitos; (4) Associações incorretas entre os conteúdos ou rigidez de pensamento. Nesta
categoria, os alunos mostram dificuldades em transpor informações em questões que abordam
diferentes conteúdos; (5) Erros que derivam da deficiente ou irrelevante aplicação de regras ou
estratégias.
Na investigação de Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987) também foi adotado um
modelo de classificação de erros que compreende seis categorias: (1) uso errado dos dados.
Esta categoria está relacionada com erros em que existe uma discrepância entre os dados
fornecidos no enunciado da tarefa e a forma como foram utilizados pelo aluno, podendo
aparecer no início da tarefa ou no decorrer da mesma; (2) linguagem mal interpretada. Esta
29
categoria inclui erros que têm origem numa tradução deficiente dos dados fornecidos no
enunciado da tarefa em linguagem corrente para a linguagem matemática ou vice-versa; (3)
inferência logicamente inválida. Esta categoria inclui os erros relacionados com possíveis
conclusões falaciosas que possam ser tiradas durante a resolução da tarefa; (4) definição ou
teorema distorcido. Esta categoria inclui os erros relacionados com o emprego deficiente dos
teoremas ou definições; (5) solução não verificada. Esta categoria inclui os erros relacionados
com a solução (errada ou incompleta) apontada pelo aluno no final da tarefa, sendo, por
exemplo, contraditória com os processos utilizados; (6) erros técnicos ou de cálculo. Nesta
categoria estão contidos os erros computacionais, como os de manipulação algébrica.
De igual forma, Hall (2002) categorizou os erros cometidos pelos alunos. De seguida, são
apresentadas algumas das categorias a que o autor recorreu na sua investigação: (1) erro por
eliminação; (2) erro por troca de membros; 3) erro por redistribuição; (4) erro por transposição;
(5) erro na aplicação da operação inversa; (6) erro por exaustão; e (7) erro por omissão.
De acordo com a categorização de erros de Hall (2002), os erros de eliminação ocorrem
quando os alunos confundem constantes e variáveis, operando o coeficiente da variável com a
constante. O erro por exaustão é o caso em que o aluno erra perto do final da tarefa. No entanto,
no início da mesma e em situação semelhante, o aluno resolve corretamente. O erro da
operação inversa é o caso em que o aluno, na troca de um termo de membro, opta pela
operação inversa errada. O erro por transposição é o caso em que os alunos, na tentativa de se
libertarem do denominador de um dos termos, multiplicam os termos que estão no outro
membro da equação pelo valor que consta no denominador.
Quando um aluno tenta realizar a mesma operação em ambos os membros da equação,
três tipos de erro podem ocorrer: erro na troca de membros, erro de redistribuição e erro por
omissão. Segundo Hall (2002), estes erros derivam de uma falta de compreensão sobre o modo
de operar em equações, aparentando desconhecer que é necessário “realizar as mesmas
operações em ambos os membros” (p. 29). A categorização de Hall (2002) está representada
no Quadro 3.
30
Quadro 3 – Categorização de erros de Hall (2002)
Categoria do erro
Exemplo
(1) Erro por eliminação
(2) Erro na troca de membros
(3) Erro por redistribuição
(4) Erro por transposição
(5) Erro na aplicação da operação inversa
(6) Erro por exaustão
(7) Erro por omissão
Segundo Ruano, Socas e Palarea (2008), é importante que o professor possua um
conhecimento aprofundado dos erros cometidos pelos seus alunos, pois a partir deles obtém
informações sobre as suas distintas formas de raciocínio. Os autores acrescentam que para
ocorrer a assimilação de novos conteúdos na estrutura cognitiva do aluno, estes devem ter
significado para ele. Quando um aluno comete um erro, significa que o conhecimento em
questão ainda não foi assimilado, provocando um conflito na sua estrutura cognitiva que o obriga
a rever ou reestruturar aquilo que já sabe (idem, 2008). Desta forma, conhecer a origem de um
erro cometido é fundamental para compreender o funcionamento do aluno, permitindo aceder
com maior facilidade às suas reais dificuldades.
Ruano, Socas e Palarea (2008) consideram que um erro pode ter diferentes origens,
podendo resultar de um processo cognitivo inadequado, não sendo, desta forma, originado
apenas por falta de conhecimentos específicos ou distrações. Consequentemente, os autores
(2008) relacionam as dificuldades de aprendizagem em Matemática com as suas distintas
origens. Estas dificuldades manifestam-se sob a forma de obstáculos cognitivos e na prática sob
a forma de erros.
Socas (1997 citado por Ruano, Socas & Palarea, 2008), refere que os erros de
aprendizagem em Matemática se devem a certas dificuldades que podem ser agrupadas em três
categorias: (A) erros com origem num obstáculo cognitivo; (B) erros com origem na ausência de
significado; e (C) erros com origem em atitudes afetivas e emocionais face à Matemática. A
31
categoria (B) é, ainda, dividida em três subcategorias: (B1) erros de Álgebra com origem na
Aritmética; (B2) erros de procedimento; e (B3) erros de Álgebra devidos às características da
linguagem algébrica. A categorização do autor encontra-se ilustrada no Quadro 4.
Quadro 4 – Categorização de erros de Socas (1997, citado por Ruano, Socas & Palarea, 2008)
Categoria
Subcategoria
(A) Erros com origem num
obstáculo cognitivo
Erros de eliminação, por exaustão e
de concatenação
(B1) Erros de Álgebra com
origem na Aritmética
(B) Erros com origem na
ausência de significado
Exemplos
(B2) Erros de procedimento
(B3) Erros de Álgebra devidos às
características da linguagem
algébrica
(C) Erros com origem em
atitudes afetivas e emocionais
face à Matemática
Uso inadequado de parêntesis;
Erros por transposição e de divisão
Uso indevido de fórmulas ou
procedimentos;
Uso errado da propriedade
distributiva
Erros derivados da incompreensão
do significado do sinal de igual em
Álgebra;
Erros na substituição formal de
variáveis
Falta de concentração, excesso de
confiança, esquecimento, etc.
Ruano, Socas e Palarea (2008) consideram que os erros compreendidos na categoria (A)
não se devem a uma falta de conhecimento, mas ao uso inadequado do mesmo. Segundo os
autores (2008), estes erros devem-se a obstáculos epistemológicos, gerados, ao longo do tempo,
por uma resistência contínua do aluno em captar certos conceitos matemáticos. Para os autores
(2008), os erros compreendidos na categoria (B) têm origem numa falta de compreensão do
significado dos conceitos matemáticos nos diferentes estádios de desenvolvimento (semiótico,
estrutural e autónomo). A subcategoria (B1) compreende os erros algébricos que têm a sua
origem na Aritmética. Segundo os mesmos autores (2008), para que seja possível entender as
generalizações das relações e processos matemáticos, é necessário compreendê-los, numa
primeira instância, no contexto aritmético. A subcategoria (B2) compreende os erros
processuais, como no recurso inadequado a fórmulas ou a regras. A subcategoria (B3)
compreende os erros com origem nas características da linguagem algébrica. Os autores (2008)
referem os erros derivados da compreensão do sinal de igual e na substituição formal de
variáveis como exemplos desta categoria. Os erros compreendidos na categoria (C) têm a sua
32
origem em atitudes afetivas e emocionais do aluno perante a Matemática. Os autores (2008) dão
alguns exemplos dessas atitudes afetivas e emocionais, salientando o esquecimento, o excesso
de confiança ou o bloqueio.
Ruano, Socas e Palarea (2008) referem que esta categorização dos erros é útil para
compreender a sua origem na maioria das questões que foram alvo de investigação. No entanto,
em erros cometidos em questões de natureza mais aberta, a determinação da sua origem gerou
alguma incerteza. Os autores sugerem a realização de entrevistas aos alunos por forma a
conhecer os seus raciocínios e, consequentemente, a origem dos seus erros.
33
CAPÍTULO III
INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA
Neste capítulo, dividido em três secções, são apresentados o contexto, descrição e
avaliação da intervenção pedagógica. Na primeira secção é descrito o contexto em que ocorreu a
intervenção. Na segunda secção é realizada uma descrição da organização da intervenção
pedagógica. Na terceira secção, são apresentadas as estratégias de avaliação da intervenção
pedagógica.
3.1. Contexto da intervenção
Nesta secção, caracteriza-se a turma e a escola onde se desenvolveu a intervenção
pedagógica de ensino.
3.1.1. Caracterização da escola
O estudo apresentado foi desenvolvido numa escola secundária (e 3º ciclo do ensino
básico) situada no conselho de Barcelos, uma cidade caraterizada por locais históricos, culturais
e religiosos, bem como pelo “galo de Barcelos”, um símbolo da cidade e do nosso país.
Segundo a IGE (2009) esta escola é frequentada por alunos vindos da zona urbana ou de
outras freguesias do concelho. A escola foi recentemente remodelada, tendo começado a
usufruir da totalidade das instalações este ano letivo, sendo constituída por um bloco central,
com ligação interior a outros três blocos destinados a atividades letivas e por um pavilhão
gimnodesportivo. Está situada numa zona bastante agradável, rodeada por bastantes espaços
verdes e muito próxima do Rio Cávado.
Segundo o relatório de avaliação externa à escola, a população escolar ronda os mil e
duzentos alunos, distribuídos por vinte e duas turmas do ensino básico e trinta e três do ensino
secundário, sendo distribuídas pelas diversas áreas pedagógicas.
Em 2009 a escola dispunha de 138 professores, em que quase metade conta com mais
de vinte anos de experiência e 69% dos quais eram pertencentes aos quadros e 31% eram
contratados. Relativamente a pessoal não docente, estão empregados nesta escola nove
assistentes técnicos e vinte e três assistentes operacionais.
A IGE, em 2009, avaliou esta escola com nível “bom” em relação aos resultados,
prestação do serviço educativo, organização escolar, liderança, capacidade de autorregulação e
melhoria da escola.
35
Do projeto educativo desta escola (2005), é relevante a postura adotada para “educar
para os valores” da sociedade. Para colocar em prática estes ideais, a escola delineou
estratégias, entre as quais a de incentivar a participação dos alunos nas atividades escolares,
como forma de estimular a sua capacidade de autonomia, responsabilidade, sentido crítico e
espírito de abertura e criatividade. Para que os alunos possuam um espírito de abertura face à
diversidade cultural, a escola realiza visitas de estudo e intercâmbios estudantis. De modo a
incentivar o gosto pela arte e cultura portuguesas, a escola desenvolve projetos que permitem
uma maior sensibilização face a diferentes formas de expressão, recorrendo às autarquias,
empresas e demais entidades que possam promover a formação para a cidadania.
Desta forma, é uma escola ativa, que desenvolve imensos projetos (este ano estiveram
onze projetos ativos) tendo em vista as diferentes necessidades e interesses dos alunos, entre os
quais o “Clube de Xadrez”, o “Espaço +”, a “Rede Pequenos Cientistas” ou o “Arboreto de
Barcelos”, que é um projeto de reconhecimento nacional. Realço o “MAT xyz”, projeto no qual
participei, criado com o intuito de apoiar todos os alunos do 3º ciclo do ensino básico à
disciplina de Matemática.
Para a execução deste projeto, é integrado no horário das diferentes turmas do 3º ciclo do
ensino básico um segmento de quarenta e cinco minutos destinado a este projeto oferecendo,
assim, um apoio suplementar às aulas. Por forma a atender às diferentes necessidades dos
alunos, a escola propõe que os alunos sejam distribuídos por um dos seguintes grupos: “MAT
x”, “MAT y” e “MAT z” no caso dos alunos com fraco desempenho a Matemática (nível 2 ou
inferior); “MAT xyz +” de Nível 3 para os alunos com um desempenho de nível 3 a Matemática;
“MAT xyz +” de Nível 4/5 para os alunos com um desempenho de nível 4 ou 5 a Matemática.
Com o intuito de incentivar os alunos a um maior envolvimento neste projeto, no final de cada
período letivo é atribuída uma classificação ao desempenho do aluno no mesmo, que se reflete
na avaliação de final de período da disciplina de Matemática.
Para a viabilidade deste projeto, existe uma total empatia entre os professores de cada
turma e o coordenador do projeto. Se um aluno alterar o seu desempenho a Matemática, o
professor da turma indica ao coordenador do projeto o tipo de grupo que o aluno deve passar a
integrar.
36
3.1.2. Caracterização da turma
Para a concretização do meu projeto foi fundamental, em primeiro lugar, conhecer a
turma onde ele foi desenvolvido. A intervenção pedagógica foi realizada numa turma do 10º ano
de escolaridade do curso científico‐humanístico de ciências socioeconómicas, constituída por
vinte e nove alunos, entre os quais dezasseis raparigas e treze rapazes, com uma média de
idades de 15,3 anos. Dois alunos desta turma estavam a repetir o 10º ano de escolaridade. A
maioria dos alunos desta turma vieram de diversas escolas, pelo que esta escola representou
uma nova realidade para os mesmos.
Segundo um documento de caracterização da turma (fornecido pela diretora de turma),
todos os alunos tinham acesso à internet nas suas residências. Dos vinte e nove, apenas um
aluno referiu que pretende terminar os estudos quando der por concluído o 12º ano. Todos os
restantes elementos referiram pretender ingressar no ensino superior.
Relativamente à disciplina de Matemática, vinte e dois alunos referiram que esta é das
suas disciplinas favoritas e cinco alunos referem que é nela que sentem mais dificuldades.
Nenhum aluno frequentava as aulas de apoio a matemática. Nas atividades a realizar em sala de
aula, a grande maioria referiu preferir trabalhar em grupo, a pares ou recorrendo a material
audiovisual.
Realço o facto de a turma, genericamente, ter demonstrado pouca autonomia, tendo
solicitado de forma constante a ajuda dos professores. Tratou-se de uma turma barulhenta, o
que acaba por ser natural, devido ao elevado número de elementos que a constituía. Era, no
entanto, uma turma afetuosa, participativa e trabalhadora.
É importante conhecer este tipo de aspetos sobre a turma, nomeadamente a forma de
como gostam de trabalhar. É importante que os alunos se sintam confortáveis enquanto
aprendem, valorizando a vertente formativa da disciplina, que “só pode ser alcançada
fomentando uma atitude positiva do estudante face à Matemática” (Ministério da Educação,
2001, p. 12).
Quanto ao desempenho dos alunos ao longo do ano letivo, pode observar-se pelo Quadro
5 que, de um modo geral, foi sempre positivo, terminando com uma média muito próxima dos
treze valores.
37
Quadro 5 - Desempenho dos alunos da turma ao longo do ano letivo
1º Período
2º Período
(Legenda:
3º Período
representa a média e o desvio-padrão.)
Através do Quadro 5, é notória a descida da média classificativa da turma do primeiro
para o segundo período. Neste período foi abordada a temática das funções, pelo que se
salientaram as dificuldades dos alunos desta turma em Álgebra. As classificações dos alunos
foram bastante homogéneas ao longo do ano letivo, tendo o desvio-padrão sofrido pequenas
alterações.
3.2. Organização e descrição da intervenção
Nesta secção será descrita a metodologia de ensino a que se recorreu durante a
intervenção pedagógica, assim como a sua organização.
No ensino da temática das funções do 10º ano de escolaridade foi delineada uma
estratégia de intervenção pedagógica sustentada por uma metodologia dinâmica, baseada numa
pedagogia centrada no aluno, tendo sempre como objetivo que os alunos atingissem por eles
próprios, os objetivos de cada aula. Consequentemente, o papel do professor, que neste caso é
o investigador, foi o de guia da turma, controlando e pautando as ações da turma, orientando-a
para os objetivos pretendidos.
No início de cada aula, quando considerado necessário, foram realizadas pequenas
sínteses dos conceitos abordados na aula anterior, com o objetivo de dissipar algumas dúvidas
que pudessem persistir.
Durante as aulas, após a introdução de conceitos, os alunos realizaram as tarefas que
lhes eram atribuídas em pequenos grupos de quatro ou cinco elementos. Assim, os grupos
foram observados e interpelados, oferecendo ao investigador, no imediato, grandes quantidades
de informação, fundamentais para o presente estudo.
A realização dessas atividades em trabalho de grupo permite aos estudantes
adquirir uma certa prática para enfrentar novos problemas ou ideias matemáticas
escrevendo e explicando claramente os seus resultados e comunicando as suas
observações e soluções de forma clara, primeiro aos colegas em pequeno grupo,
depois à turma e ao professor. (Ministério da Educação, 2001, p. 13)
38
Tendo como principal objetivo promover a aprendizagem mais independente aos alunos,
foram elaboradas fichas de trabalho, disponibilizadas a cada um dos elementos do grupo. Com a
turma organizada em grupos, os alunos resolviam as tarefas que constavam nessas fichas de
trabalho ou no manual escolar de que dispunham. As fichas de trabalho continham questões de
diversos tipos, permitindo ao professor “avaliar diversos tipos de objetivos como a aquisição de
conhecimentos, ao nível dos conceitos, das competências de cálculo e da resolução de
problemas” (Ponte & Serrazina, 2000, p. 232). Assim, estas fichas assumiam um duplo
propósito, formativo e avaliativo, pelo que foram, um valioso material de ensino e de
aprendizagem.
No Anexo I é apresentada a organização da intervenção pedagógica, segundo as aulas e
respetivos conteúdos abordados e objetivos.
3.3. Avaliação da intervenção
Nesta secção serão apresentadas as estratégias de avaliação da intervenção, identificando
a pertinência de cada uma para que seja possível responder aos objetivos desta investigação.
Serão justificadas as opções metodológicas escolhidas, assim como serão descritas as técnicas
de recolha e análise de dados a que se recorreram nesta investigação.
3.3.1. Opções Metodológicas
Segundo Bogdan e Biklen (1994), todas as investigações de natureza qualitativa têm em
comum um determinado conjunto de características. Os investigadores de um estudo qualitativo
têm como fonte de dados o ambiente natural dos participantes, têm interesse mais pelos
processos do que simplesmente pelos resultados, analisam os dados de forma indutiva e
descritiva e procuram captar o seu significado enquanto os relacionam. Os autores (1994)
consideram que o investigador constitui o principal instrumento num estudo deste tipo. Como
tal, tendo em conta o contexto, limitações e objetivos da presente investigação, foi adotada uma
metodologia de natureza qualitativa.
Segundo Ponte (1994), “um estudo de caso pode ser caracterizado como um estudo de
uma entidade bem definida como um programa, uma instituição, um curso, uma disciplina, um
sistema educativo, uma pessoa, ou uma unidade social” (p. 4), procurando um conhecimento
aprofundado do mesmo. O mesmo autor (1994) refere que se trata de uma “investigação que se
assume como particularística”, na qual é analisada “uma situação específica que se supõe ser
39
única em muitos aspetos, procurando descobrir a que há nela de mais essencial e característico
e, desse modo, contribuir para a compreensão global do fenómeno de interesse” (p. 4).
Desta forma, a presente investigação é um estudo de caso, em que o “caso” ou objeto de
análise é a turma. Trata-se de um “estudo de caso interpretativo” e de “observação
participante”, no qual se procuram “conhecer os processos, dinâmicas e perspetivas dos
intervenientes numa dada situação” (idem, 1994, p. 7). Ponte (1994) considera que um estudo
desta natureza se baseia numa “descrição grossa, que vai além dos factos e das aparências,
apresentando com grande riqueza de pormenor o contexto, as emoções e as interações sociais
que ligam os diversos participantes entre si” (p. 11). O mesmo autor (1994) salienta que este
tipo de estudo depende do investigador, pelo que, na análise de dados, o mesmo não pode
deixar de recorrer ao seu próprio ponto de vista.
3.3.2. Recolha de dados
A estratégia adotada para avaliar a intervenção passava por uma recolha de dados que
permitisse uma análise ao desempenho da turma na temática em questão, tendo em conta a
sua predisposição para aprender.
A recolha de dados deste estudo foi obtida com recurso a diferentes técnicas, tais como
questionário, teste (antes e após a intervenção) e observação das aulas (gravadas em vídeo e
posteriormente transcritas). Segundo Tuckman (2000) e Bogdan e Biklen (1994) estas técnicas
são adequadas para uma investigação qualitativa.
A recolha de dados decorreu em três momentos distintos: antes da intervenção
pedagógica, durante a intervenção pedagógica e após a intervenção pedagógica, dados que
foram sendo organizados e analisados desde a fase inicial da investigação. Antes da intervenção
pedagógica, os alunos responderam a um questionário e realizaram um teste diagnóstico.
Durante a concretização da intervenção pedagógica, foram gravadas as aulas em vídeo (e
posteriormente transcritas). Após a intervenção pedagógica, os alunos realizaram um teste de
avaliação (ficha por partes).
Questionário
Face aos objetivos definidos, foi delineada uma metodologia de investigação, recorrendo a
um questionário. Os questionários são instrumentos a que os investigadores recorrem para
transformar em dados a informação comunicada diretamente por um indivíduo (Tuckman,
40
2000). Destinam-se, assim, a aceder às suas dimensões internas, ou seja, à informação ou
conhecimento que possui, aos seus valores, experiências (passadas ou atuais), preferências ou
convicções (idem, 2000). No entanto, por ser um instrumento de auto-registo, é importante que
se tenha em consideração a possibilidade de o indivíduo não saber dar certas respostas sobre si
mesmo, ou que responda aquilo que o investigador deseja ouvir (efeito da desejabilidade social)
(idem, 2000).
As capacidades cognitivas de um aluno, nem sempre garantem, por si, que o mesmo
aprenda. Deve ser considerada uma interação entre diversos fatores, cognitivos e emocionais
(Bandura, 1993). Desta forma, para que ocorra aprendizagem é fundamental que o aluno esteja
predisposto para tal. Esta ideia foi vincada por diversos autores de referência (Ausubel, 2003;
Azzy & Polydoro, 2006; Bandura, 1993, 1997; Bruner, 1999; Chacón, 2000; Ponte & Serrazina,
2000), tal como foi apresentado no Capítulo II.
Segundo a literatura apresentada, para se quantificar a predisposição de um aluno para a
aprendizagem da Matemática, é fundamental que se considere a sua perceção perante a
utilidade da disciplina, a sua autoeficácia e ansiedade sentida perante a disciplina e a opinião
dos seus colegas sobre a mesma (McLeod, 1989, citado por Chacón, 2000). Desta forma, o
principal propósito do questionário consistiu em averiguar e quantificar essa predisposição para
aprender Matemática por parte de cada aluno, tendo em conta as referidas componentes.
Antes da intervenção pedagógica, foi entregue um questionário (Anexo IV) aos alunos da
turma, com o objetivo de apurar e, de certa forma, quantificar, a predisposição de cada um para
a aprendizagem da Matemática. Para tal, foi entregue um pedido de autorização para os
questionários ao diretor da escola (Anexo II) e a todos os encarregados de educação (Anexo III),
que foi por todos concedida. Tuckman (2000) salienta que se podem obter melhores resultados
com o questionário quando este é respondido de forma anónima, garantindo, desta forma, maior
honestidade e liberdade de resposta por parte dos participantes. No entanto, o questionário não
foi elaborado por forma a ser respondido anonimamente pela turma. Esta opção deveu-se ao
facto de um dos propósitos desta investigação incidir no cruzamento de dados resultantes de
cada um dos instrumentos utilizados para que fosse possível traçar um perfil para cada aluno da
turma.
41
Teste diagnóstico
O teste diagnóstico elaborado destinou-se a “verificar se os alunos têm os pré-requisitos
necessários para iniciar o estudo de determinado assunto” (Ponte & Serrazina, 2000, p. 27),
neste caso, o estudo das funções.
Esta avaliação, preliminarmente realizada, forneceu informações para as tomadas de
decisões que se seguiram durante o decurso do processo de ensino (NCTM, 2007). Assim, os
dados recolhidos foram utilizados para orientar aprendizagens posteriores, oferecendo aos
alunos a oportunidade de ir “integrando as novas aprendizagens de forma positiva e consciente”,
ajudando-os, desta forma, a “adquirir conhecimentos profundos e ideias claras sobre os
conteúdos matemáticos” (Ministério da Educação, 2001, p. 13).
Como pré-requisitos para esta temática do 10º ano de escolaridade, os alunos devem:
conhecer a função afim; (…) reconhecer essa função através do gráfico, esboçar o
gráfico; (…) conhecer algumas propriedades (monotonia e zeros de forma apenas
intuitiva e usando os conhecimentos de equações); (…) saber resolver equações e
inequações do 1º e (…) do 2º grau; (…) conhecer os números reais e representar
intervalos de números reais. (Ministério da Educação, 2001, p. 27)
O teste diagnóstico (Anexo V) teve a duração de noventa minutos, tendo sido estruturado
em dois grupos. Um primeiro grupo de escolha múltipla (Grupo I) e um segundo de resposta
livre (Grupo II). Os dados recolhidos através do mesmo constituíram uma das bases da
intervenção pedagógica, permitindo conhecer as dificuldades que transitaram com os alunos dos
anos letivos anteriores. Foi realizado antes da intervenção pedagógica por vinte e oito alunos,
que para a sua resolução tiveram autorização para recorrer à calculadora gráfica.
Ficha de avaliação (ficha por partes)
As fichas de avaliação são o modo de avaliação mais frequente no ensino (Ponte &
Serrazina, 2004). São, habitualmente, provas escritas, realizadas individualmente pelos alunos,
não havendo qualquer tipo de consulta e com tempo limitado (idem, 2004).
Estas provas “têm aspetos muito positivos e são muito importantes” (Ministério da
Educação, 2001, p. 13). Devem aparecer em “momentos de síntese e cumprir uma função
diferenciada da dos outros instrumentos” (idem, 2001, p. 13).
A inserção da ficha de avaliação após a intervenção pedagógica teve por objetivo verificar
as aprendizagens dos alunos resultantes da experiência de ensino. Excetuando as fichas de
42
avaliação usuais, que exercem grande influência na classificação final de cada período, os alunos
desta turma eram, ainda, sujeitos a avaliações periódicas que decorriam através da realização
das denominadas “fichas por partes”. A média aritmética da classificação obtida nas mesmas
durante o ano letivo equivalia à classificação de um teste sumativo, cujo “peso” se refletiu na
classificação do terceiro período. Apesar de não ter um “peso” acentuado nas classificações dos
alunos, cada ficha por partes desempenhava uma importante função para a aprendizagem dos
alunos, servindo como “aviso” para o teste sumativo seguinte.
A ficha por partes (Anexo VI) foi estruturada em quatro questões e teve a duração de
noventa minutos. Tinha o duplo objetivo de verificar os conhecimentos adquiridos pelos alunos
até ao momento e recolher informação sobre os erros dos alunos para a presente investigação.
Esta ficha foi realizada por vinte e seis alunos, que para a sua resolução tiveram autorização
para recorrer à calculadora gráfica.
Observação (participante) das aulas
Segundo Bogdan e Biklen (1994, p. 113), o trabalho de campo é “a forma que a maioria
dos investigadores qualitativos utilizam para recolher os seus dados”, encontrando-se com os
sujeitos nos seus territórios. Desta forma, convivem com os sujeitos nos respetivos ambientes
naturais, o que leva a uma maior proximidade entre os intervenientes e, consequentemente, a
uma relação menos formal (idem, 1994).
Consequentemente, Bogdan e Biklen (1994, pp. 113-114) consideram que o trabalho de
campo “se refere ao estar dentro do mundo do sujeito” e que esta relação oferece melhores
condições ao investigador para que possa prosseguir com os objetivos da sua investigação, pelo
que “maximiza o acesso às fontes”. O investigador que no seu trabalho de campo procura este
tipo de relação com os sujeitos em análise realiza aquilo a que os mesmos autores denominam
de “observação participante” (idem, 1994, p. 114).
Por forma a recolher a melhor informação possível dos alunos, foi adotada a estratégia
referida anteriormente. A turma foi analisada durante todo o ano letivo, tendo sido criadas
relações de grande empatia entre os participantes. Desta forma, a recolha de dados foi um
processo natural, que permitiu conhecer e compreender a personalidade de cada aluno. De
salientar que a experiência resultante da observação e convivência com a turma durante todo o
ano letivo constituiu um valioso elemento para esta investigação.
43
Como complemento à observação, as aulas foram gravadas (e posteriormente transcritas)
durante o período da investigação. O registo em vídeo das respetivas aulas foi devidamente
autorizado pela direção da escola e pelos encarregados de educação de todos os alunos, sendo
garantido o anonimato em relação à identidade dos alunos da turma.
Utilizaram-se duas câmaras de vídeo para que fossem captadas as discussões entre os
elementos de grupo. Para o efeito, tal como anteriormente, foi entregue um pedido de
autorização para as gravações das aulas ao diretor da escola (Anexo II) e a todos os
encarregados de educação (Anexo III), que, de igual forma, foi por todos concedida. O
posicionamento das câmaras foi sendo modificado de aula para aula, sendo colocada em locais
estratégicos próximos do grupo em questão. De salientar que a presença das câmaras de vídeo
não provocou grandes alterações no comportamento dos alunos.
3.3.3. Análise de dados
Segundo Bogdan e Biklen (1994), a análise dos dados é um processo sistemático de
busca e de organização de materiais que foram sendo acumulados durante uma investigação,
com o objetivo de aumentar a compreensão dos mesmos, permitindo uma posterior
apresentação aos outros daquilo que tenha sido encontrado ou concluído. Esta investigação
seguiu uma abordagem qualitativa, de cunho interpretativo (Bogdan & Biklen, 1994).
O objetivo deste estudo consistiu em averiguar o impacto que a predisposição de cada
aluno para a aprendizagem da Matemática tem na ocorrência de erros e consequente
desempenho à disciplina. Desta forma, foram elaborados um questionário, com o objetivo de
quantificar a predisposição de cada aluno para a aprendizagem da disciplina, um teste
diagnóstico e uma ficha por partes, em que um dos objetivos era quantificar e categorizar os
erros cometidos por cada aluno, analisando as possíveis origens dos mesmos para uma melhor
compreensão das suas dificuldades.
Após a intervenção, foi realizada uma primeira análise, ainda que superficial, a toda a
documentação reunida para ter uma ideia dos dados que tinham sido recolhidos.
Posteriormente, os dados foram analisados uma segunda vez, categorizados e recombinados,
procurando obedecer às proposições iniciais do estudo, ou seja, relacionar esta diversidade de
fontes de dados com as questões de investigação, adequando-as aos objetivos a atingir
(Tuckman, 2000). Neste processo foram considerados o contexto, papéis, comportamentos,
44
motivações e a relação entre motivações e comportamentos dos participantes no estudo
(Tuckman, 2000).
Como já foi referido, a turma que constituiu o objeto de análise era composta por vinte e
nove alunos. No entanto, foram recolhidos apenas vinte e cinco questionários, vinte e oito testes
diagnósticos e vinte e seis fichas por partes. Por forma a atingir os objetivos desta investigação,
existia a necessidade de cruzar os dados recolhidos através dos diversos instrumentos, pelo que
o tamanho da amostra teve que ser restringido a vinte e dois alunos (
), tal como é
ilustrado na Figura 2.
Figura 2 – Esquema representativo do processo de seleção da amostra desta investigação.
Dos vinte e dois alunos que constituem a amostra desta investigação, doze são do sexo
feminino e dez do sexo masculino. Para proteção das suas identidades, os alunos foram
designados por A1, A2, A3, …, A22.
A análise dos dados recolhidos teve três momentos distintos: análise dos dados recolhidos
através do questionário; análise dos dados recolhidos através do teste diagnóstico e da ficha por
partes; e confronto entre os dados recolhidos pelos instrumentos referidos e a observação das
aulas.
No primeiro momento, com o objetivo de analisar, de modo geral, a predisposição dos
alunos da turma para aprender, os questionários foram analisados questão a questão, sendo as
45
respostas registadas numa tabela de frequências absolutas. Seguidamente, os questionários
foram analisados por aluno, com o objetivo de analisar a predisposição de cada um para a
aprendizagem da disciplina, tendo em conta os parâmetros referenciados por McLeod (1989,
citado por Chacón, 2000).
O segundo momento consistiu em três fases. Na primeira, foi realizada uma análise
superficial aos dados recolhidos através do teste diagnóstico e da ficha por partes com o objetivo
de se ter uma ideia das respostas dadas pelos alunos. Seguidamente foram separadas em
quatro classes, corretas, parcialmente corretas, incorretas e sem resposta, sendo realizada uma
contagem do número de respostas de cada tipo. Em algumas questões, as respostas tiveram
que ser classificadas em apenas três classes, corretas, incorretas ou sem resposta. Nesta
primeira fase, foi realizada uma pré-seleção das respostas que seriam mais representativas das
categorias em estudo nesta investigação.
Na segunda fase, a análise dos dados foi aprofundada, procedendo-se à categorização das
respostas. Nesta fase realizou-se uma interpretação dos dados, sendo estabelecidos os critérios
que definem cada categoria. Tendo em conta os tipos de erro encontrados nos dados recolhidos
e as categorizações analisadas no Capítulo II (Radatz, 1979; Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar
(1987); Hall, 2002; Socas, 1997), foram consideradas as categorias apresentadas no Quadro 6.
Quadro 6 – Categorização de erros a que se recorreu nesta investigação (segundo os autores analisados)
Tipo de erro
Cálculo ou procedimento
Regra
Código
A
Autores
Radatz (1979); MovshovitzHadar, Zaslavsky e Inbar
(1987); Socas (1997);
Kieran (1999); Hall (2002)
B
Radatz (1979);
Movshovitz-Hadar,
Zaslavsky e Inbar (1987);
Socas (1997); Kieran
(1999); Hall (2002)
Uso inadequado dos
dados
C
Radatz (1979);
Movshovitz-Hadar,
Zaslavsky e Inbar
(1987); Socas
(1997)
Conteúdos
matemáticos
D
Radatz (1979);
Movshovitz-Hadar,
Zaslavsky e Inbar
(1987); Socas (1997)
Os erros contemplados na categoria (A), ou seja, de cálculo ou procedimento, podem ter
origem numa ausência de significado ou em determinadas atitudes afetivas e emocionais,
denotando uma certa resistência por parte do aluno em captar um determinado processo. Nesta
categoria são registados os erros relacionados com a Álgebra processual, ou seja, estão ligados
à aritmética (Kieran, 1999). Por exemplo, considerem-se os seguintes casos:
46
Neste caso, o aluno tenta simplificar a expressão através da eliminação do termo , tanto
no numerador como no denominador, revelando uma ausência de significado no processo.
Neste caso, o aluno, de forma irrefletida, comete um erro numa operação simples que
pode ter origem num certo excesso de confiança ou numa distração.
Os erros contemplados na categoria (B), ou seja, os erros que derivam da utilização
inadequada de uma regra e têm origem numa ausência de significado, denotando uma certa
resistência por parte do aluno em captar uma determinada regra. De igual forma, nesta
categoria são registados os erros relacionados com a Álgebra estrutural, ou seja, com as
operações realizadas com expressões algébricas (Kieran, 1999). Por exemplo, considerem-se os
seguintes casos:
Neste caso, na tentativa de isolar a variável, o aluno divide ambos os membros da
equação por
, mas, no processo, não troca o sinal da desigualdade. Neste caso, o aluno
mostra desconhecer a regra.
Neste caso, o aluno soma os coeficientes de dois monómios de diferentes graus,
revelando uma ausência de significado no processo.
Os erros contemplados na categoria (C), ou seja, os erros que derivam do uso inadequado
dos dados, têm origem numa interpretação incorreta de linguagem, seja corrente ou algébrica.
Nesta categoria existe uma discrepância entre os dados fornecidos no enunciado da tarefa e a
forma como foram utilizados pelo aluno, denotando uma incompreensão do que é proposto no
enunciado da questão.
Os erros contemplados na categoria (D), ou seja, os erros que derivam de um domínio
deficiente dos conteúdos matemáticos (definições, teoremas, etc.). Nestes casos, o aluno denota
uma carga de trabalho insuficiente para a apreensão dos conceitos.
47
Na terceira fase do segundo momento, o tratamento dos resultados, as categorias são
apresentadas em quadros onde são indicadas as frequências absolutas, sendo incluídos
exemplos das respostas obtidas, acompanhadas de uma síntese do sucedido em cada caso.
No terceiro momento, procura-se relacionar a predisposição de cada aluno para a
aprendizagem com as categorias de erro detetadas e sua frequência, procurando-se, desta
forma, responder às questões propostas para esta investigação.
48
CAPÍTULO IV
APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS
Neste capítulo serão analisados e apresentados os dados recolhidos nos três momentos
da intervenção pedagógica (antes, durante e após). Este capítulo está dividido em duas secções.
Na primeira, será avaliada a predisposição dos alunos da turma para a aprendizagem das
funções. Na segunda, serão analisadas as produções escritas recolhidas dos alunos,
classificando os erros por eles cometidos. De igual forma, serão analisadas algumas das
abordagens realizadas ao erro na sala de aula.
4.1. Predisposição dos alunos para a aprendizagem das funções
Como já foi referido, um dos objetivos desta investigação passa por avaliar a
predisposição para a aprendizagem de cada aluno da turma em análise. Nesta secção serão
analisados os dados recolhidos através do questionário e da observação das aulas durante a
intervenção, tendo em conta a literatura apresentada no Capítulo II. Como parâmetros de
avaliação da predisposição de cada aluno para a aprendizagem das funções, foram considerados
os referidos por McLeod (1989, citado por Chacón, 2000): perceção do aluno (e dos colegas de
turma) perante a utilidade da Matemática, autoeficácia e ansiedade.
4.1.1. Perceção perante a utilidade da Matemática
Para o primeiro parâmetro, recorreu-se à análise dos questionários (Anexo IV) para
averiguar a opinião de cada aluno relativamente à importância da Matemática para o seu futuro
e em que curso gostariam de ingressar. A perceção de um aluno perante a utilidade de uma
determinada disciplina pode influenciar o seu futuro relativamente às suas escolhas profissionais
(Azzy & Polydoro, 2006).
Desta forma, dezoito alunos (82%) consideram que a Matemática será importante para o
seu futuro. Em contrapartida, quatro alunos (18%) consideram que a Matemática terá pouca ou
nenhuma importância no curso em que pretendem ingressar (Figura 3).
49
Em que medida te parece que a Matemática poderá ser
importante para o teu futuro profissional?
Nada;
4%
14%
Pouco;
41%
Bastante;
41%
Imensamente
importante.
Figura 3 – A opinião dos alunos acerca da importância da Matemática.
De modo geral, os alunos reconheceram a utilidade da aprendizagem da Matemática, a
qual, segundo os mesmos, assumirá um papel determinante nos seus futuros profissionais.
Os vinte e dois alunos em análise pretendem ingressar no ensino superior. Os que já têm
uma ideia do curso no qual pretendem ingressar, referiram os cursos de Economia, Gestão e
Contabilidade (Figura 4).
Que curso pretendes frequentar?
27%
41%
Gestão;
Contabilidade;
9%
Economia;
Sem Informação.
23%
Figura 4 – Preferência dos alunos relativamente aos cursos do ensino superior.
A intenção dos alunos ingressarem em cursos que requerem conhecimentos de
Matemática, denota que continuarão a trabalhar com Matemática.
A avaliação individual dos alunos relativamente ao primeiro parâmetro está apresentada
no Quadro 7.
50
Quadro 7 – Perceção de cada aluno da turma perante a utilidade da Matemática
Aluno
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Perceção perante a utilidade da Matemática
Importância da disciplina (Q)
Curso (Q)
(-)
Gestão
(+)
SI
(+)
Gestão
(+)
SI
(+)
Gestão
(+)
SI
(-)
Contabilidade
(+)
SI
(-)
SI
(+)
SI
(+)
Economia
(+)
Gestão
(+)
Economia
(+)
Gestão
(+)
Gestão
(-)
Contabilidade
(+)
Economia
(+)
Economia
(+)
SI
(+)
SI
(+)
Economia
(+)
SI
(Legenda: (+) Nível elevado; (-) Nível baixo; SI - Sem informação; Q – Questionário.)
Através do Quadro 7, é percetível que a maioria dos alunos (18) considera que a
Matemática lhes será útil no futuro e quatro alunos têm uma opinião contrária. Os alunos A1, A7
e A16 consideram que a Matemática não será útil para os seus futuros profissionais, mas, no
entanto, pretendem ingressar nos cursos de gestão e contabilidade. Ambos os cursos
contemplam algumas cadeiras que requerem conhecimentos da disciplina no seu plano de
estudos, o que demonstra que estes alunos não têm noção da importância que a disciplina terá
na sua formação académica e, consequentemente, para o seu futuro. Por sua vez, o aluno A9
referiu no seu questionário que ainda não ponderou em que curso pretende ingressar. No
entanto, considera que a Matemática não lhe servirá de muito para o seu futuro profissional.
Desta forma, conclui-se que estes quatro alunos têm uma perceção diminuta em relação à
utilidade da Matemática.
Segundo McLeod (1989, citado por Chacón, 2000), a perceção dos colegas de turma do
aluno sobre a utilidade da Matemática é também um parâmetro a ter em conta. Como a
51
perceção dos alunos da turma, de modo geral, é positiva, este parâmetro foi considerado como
irrelevante para esta investigação.
4.1.2. Ansiedade em momentos de avaliação de Matemática
Tal como o primeiro parâmetro, a ansiedade sentida pelos alunos é difícil de avaliar
através da observação, tendo-se recorrido à análise dos questionários para averiguar o seu nível
nos momentos de avaliação da disciplina.
Relativamente a este parâmetro, catorze alunos referiram sentir nervosismo em
momentos de avaliação da disciplina. Os restantes referiram sentir-se tranquilos na realização de
uma ficha de avaliação da disciplina (Figura 5).
Quando realizas um teste de Matemática, sentes-te:
36%
Nervoso/a;
64%
Tranquilo/a;
Figura 5 – Níveis de ansiedade dos alunos em momentos de avaliação em Matemática.
Desta forma, apenas 36% alunos referiram sentir-se tranquilos em momentos de avaliação
da disciplina, pelo que se considerou que apresentam baixos níveis de ansiedade. De modo
geral, os alunos que revelaram sentir-se tranquilos em momentos de avaliação da disciplina são
os alunos que costumam obter melhores classificações da turma. Curiosamente, os alunos A9 e
A22 são a exceção neste caso.
Como referido anteriormente, níveis excessivos de ansiedade podem prejudicar o
rendimento dos alunos em momentos de avaliação, inibindo os alunos de recorrer à totalidade
das suas capacidades. Neste aspeto, cerca de 64% dos alunos mostram ser mais vulneráveis
que os restantes, pelo que se considerou que apresentam níveis elevados de ansiedade.
52
4.1.3. Autoeficácia em relação à Matemática
Para o terceiro e último parâmetro, recorreu-se à análise dos questionários e à observação
das aulas para averiguar a afetividade que os alunos nutrem pela disciplina (e com o conteúdo
das funções), bem como o nível de empenho e persistência que dedicaram às aulas durante a
intervenção pedagógica.
A afetividade que um aluno nutre pela Matemática, ou por um seu conteúdo em
específico, tem influência direta no empenho que este lhe dedica. O empenho de um aluno
numa determinada atividade, neste caso relacionada com a Matemática, reflete-se nos níveis de
atenção e dedicação que lhe dispensa. Desta forma, estes fatores estão todos relacionados,
refletindo-se, por fim, na qualidade de trabalho que realiza em sala de aula. Desta forma, foi
considerado que a qualidade do trabalho realizado em sala de aula espelha, de certa forma, a
autoeficácia de cada aluno.
Dos vinte e dois alunos em análise, catorze (63%) referem que a Matemática está entre as
suas três disciplinas favoritas e três (14%) referem que é a sua disciplina favorita. Apenas cinco
alunos (23%) referem que a Matemática se encontra entre as três disciplinas que menos gostam
(Figura 6).
No caso da Matemática, em que posição se situa no teu
ranking de preferências?
23%
É a disciplina de que
mais gostas;
14%
Está entre as tuas três
disciplinas favoritas;
Está nas três
disciplinas de que
menos gostas;
63%
Figura 6 – Afetividade dos alunos com a Matemática.
Relativamente aos conteúdos da Matemática, doze alunos (55%) referem ter uma maior
preferência pela temática da estatística (Figura 7). Esta temática é a mais votada porque “pode
ser utilizada no dia-a-dia”, “porque é fácil”, ou porque “é mais importante para o nosso futuro”.
No sentido inverso, a menos votada é a das funções (18%).
53
Dentro dos conteúdos de Matemática que já estudaste,
indica aquele de que mais gostaste.
27%
Estatística;
55%
18%
Funções;
Geometria;
Figura 7 – Preferência dos alunos relativamente aos conteúdos da Matemática.
Como já seria de esperar, a temática menos apreciada é a das funções, recolhendo doze
votos (55%), seguida pela geometria e pela estatística, com nove votos (41%) e um voto (4%),
respetivamente (Figura 8). Desta forma, de modo geral, os alunos demonstram um baixo nível
de afetividade com esta temática porque “é muito difícil” ou porque “é preciso muitas contas”.
Dentro dos conteúdos de Matemática que já estudaste,
indica aquele de que menos gostaste.
4%
Estatística;
41%
Funções;
55%
Geometria;
Figura 8 – Menor preferência dos alunos relativamente aos conteúdos da Matemática.
O nível de empenho e persistência foi avaliado através da observação das aulas durante o
período de intervenção, tendo sido considerados os níveis de distração e de participação e
trabalho na sala de aula.
A avaliação individual dos alunos relativamente ao terceiro parâmetro está apresentada no
Quadro 8.
54
Quadro 8 – Níveis de autoeficácia de cada aluno em relação à Matemática
Aluno
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Afetividade
Disciplina (Q) Conteúdo (Q)
(+)
SI
(+)
SI
(+)
SI
(+)
(-)
(+)
(+)
(+)
(-)
(+)
(-)
(+)
(-)
(-)
SI
(+)
(-)
(-)
(-)
(+)
SI
(+)
(+)
(+)
SI
(+)
(+)
(-)
(-)
(+)
(+)
(-)
(-)
(+)
(-)
(+)
(-)
(-)
(-)
(+)
(-)
Autoeficácia
Empenho e persistência
Nível de atenção (O) Nível de trabalho (O)
(-)
(-)
(-)
(-)
(+)
(+)
(-)
(-)
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(-)
(-)
(-)
(+)
(-)
(-)
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(-)
(-)
(+)
(+)
(-)
(-)
(-)
(+)
(+)
(+)
(-)
(-)
(-)
(-)
(Legenda: (+) Nível elevado; (-) Nível baixo; SI - Sem informação; Q - Questionário; O – Observação.)
Através do Quadro 8, é possível verificar que nove alunos apresentaram um baixo nível de
trabalho em sala de aula, tendo-se considerado que os mesmos apresentam elevados níveis de
autoeficácia.
É importante salientar que os alunos A10 e A19 apresentaram um baixo nível de atenção,
que, no entanto, não se refletiu na respetiva qualidade de trabalho em sala de aula. Estes alunos
conversavam imenso, mas terminavam, sem exceção, as tarefas propostas para cada aula.
4.1.4. Avaliação do nível de predisposição para a aprendizagem
Tendo em conta os parâmetros referidos, foi elaborado o Quadro 9, no qual é apresentada
a avaliação de cada um dos alunos da turma no que diz respeito à predisposição para a
aprendizagem. É importante salientar que a observação constituiu um instrumento decisivo para
este processo de avaliação, tendo a autoeficácia de cada aluno desempenhado um papel de
maior importância que os restantes parâmetros no mesmo.
55
Quadro 9 – Predisposição de cada aluno para a aprendizagem das funções
Aluno
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Parâmetros de avaliação
Perceção perante a utilidade da
Ansiedade
Matemática
(-)
(+)
(+)
(+)
(+)
(-)
(+)
(+)
(+)
(-)
(+)
(+)
(-)
(+)
(+)
(+)
(-)
(-)
(+)
(-)
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(-)
(+)
(+)
(+)
(+)
(-)
(+)
(+)
(-)
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(-)
(+)
(+)
(+)
(-)
Autoeficácia
(-)
(-)
(+)
(-)
(+)
(+)
(+)
(+)
(-)
(+)
(-)
(+)
(+)
(+)
(+)
(-)
(+)
(-)
(+)
(+)
(-)
(-)
Predisposição para a aprendizagem das
funções
NP
NP
P
NP
P
P
P
P
NP
P
NP
P
P
P
P
NP
P
NP
P
P
NP
NP
(Legenda: (+) Nível elevado; (-) Nível baixo; P – Predisposto; NP – Não predisposto.)
Através do Quadro 9, é possível verificar que nove alunos não foram considerados como
predispostos para a aprendizagem das funções. No sentido inverso, treze alunos foram
considerados como predispostos para a aprendizagem deste conteúdo.
4.2. Erros cometidos na aprendizagem das funções
Nesta secção serão analisados os erros cometidos pelos alunos durante a intervenção
pedagógica. Serão analisadas as resoluções dos alunos da turma do teste diagnóstico e da ficha
por partes. De igual forma, serão analisados os momentos de aula considerados pertinentes
para esta investigação.
56
4.2.1. Resultados do teste diagnóstico
No Quadro 10 são apresentadas as respostas dos alunos ao teste diagnóstico (Anexo V),
tendo sido classificadas como corretas, parcialmente corretas (em algumas questões), incorretas
e sem resposta.
Quadro 10 – Classificação das respostas dos alunos no teste diagnóstico
Respostas
Grupo
I
Questão
Corretas
Parcialmente corretas
Incorretas
Sem resposta
1
18
-
4
0
2
19
-
3
0
3
18
-
4
0
4
20
-
2
0
5
19
-
3
0
1.1.1
22
-
0
0
1.1.2
22
-
0
0
1.2
4
0
3
15
1.3
19
-
0
3
1.4
19
-
0
3
1.5
16
0
0
6
2.1
16
-
4
2
2.2.1
16
-
4
2
2.2.2
16
-
4
2
16
-
4
2
3
8
13
0
1
4
9
10
0
3
5
8
4
2
10
1.1
1
II
2
2.2.
2.3
Através do Quadro 10, é possível verificar que a maior parte dos alunos respondeu
corretamente às questões de escolha múltipla do Grupo I.
Relativamente à questão 1 do Grupo I, dezoito alunos apontaram a alternativa B como
resposta correta e os restantes quatro apontaram as alternativas A e D. As respostas incorretas
obtidas nesta questão não foram contabilizadas como erros porque todas as alternativas
representavam uma forma simplificada do número real
. No entanto, a que se
apresentava mais simplificada era a alternativa B, apresentada sob a forma
modo geral, a turma mostrou saber lidar com a simplificação de expressões.
57
. Assim, de
Na questão 2, dezanove alunos apontaram a alternativa A como resposta correta e três
apontaram as alternativas B e D. As respostas incorretas obtidas nesta questão foram
contabilizadas como erros da categoria (D). Se
lado , ou seja,
representa o perímetro de um quadrado de
, pode-se afirmar que se trata de uma proporcionalidade direta cuja
constante de proporcionalidade é . Desta forma, a alternativa A seria a opção correta. De um
modo geral, a turma mostrou saber reconhecer este tipo de relações entre quantidades.
Na questão 3, dezoito alunos apontaram a alternativa C como resposta correta e quatro
apontaram as alternativas B e D, pelo que, de modo geral, a turma mostrou saber traduzir
expressões de linguagem corrente para linguagem matemática. As respostas incorretas obtidas
nesta questão foram contabilizadas como erros da categoria (C).
Na questão 4, dezanove alunos apontaram a alternativa C como resposta correta e três a
alternativa D. As respostas incorretas obtidas nesta questão foram contabilizadas como erros da
categoria (B). O quadrado da soma
é equivalente à expressão
, pelo que a
alternativa C seria a correta. No entanto, os alunos que escolheram a alternativa D como
resposta, a expressão
, denotaram não saber utilizar corretamente a propriedade
distributiva da multiplicação, interpretar corretamente o significado de potência ou identificar o
caso notável em questão.
Na questão 5, vinte alunos apontaram a alternativa A como resposta correta e dois
apontaram as alternativas B e D. Tal como na questão anterior, as respostas incorretas obtidas
nesta questão foram contabilizadas como erros da categoria (B). A expressão
desenvolvimento de
é o
, um caso notável, a diferença de quadrados, pelo que a
alternativa A seria a opção correta. Os alunos que não escolheram esta alternativa mostraram
que não sabem utilizar corretamente a propriedade distributiva da multiplicação nem identificar o
caso notável em questão.
Relativamente ao Grupo II, as questões 1, 2 e 3 tinham por objetivo avaliar as noções dos
alunos em relação à interpretação e construção de representações gráficas, conceitos de
domínio e contradomínio de uma função, objeto, imagem e a simbologia que lhes é associada.
Na questão 1 do segundo grupo foram notórias as dificuldades dos alunos com os
conceitos de domínio e contradomínio de uma função e com a simbologia associada ao conceito
de função, ou seja, nas alíneas 1.2 e 1.5 da questão 1 do Grupo II.
Na alínea 1.2 do Grupo II, a maioria dos alunos não conseguiu identificar os conjuntos
e
como domínio e contradomínio da
58
função . De salientar que apenas quatro alunos responderam corretamente a esta questão,
dando indícios das dificuldades sentidas pela maioria da turma relativamente a estes conceitos.
Na Figura 9 estão ilustradas as três respostas incorretas obtidas nesta alínea.
Figura 9 – Respostas dos alunos A1, A7 e A15 na alínea 1.2.
As respostas incorretas obtidas nesta questão foram contabilizadas como erros da
categoria (D).
Na alínea 1.5 do Grupo II, os alunos tiveram algumas dificuldades em trabalhar com a
simbologia associada ao conceito de função, mais concretamente em lidar com expressões do
tipo
ou
. Como não foram recolhidas respostas incorretas nesta alínea, não
foram contabilizados quaisquer tipos de erros. Assim, ficou patente a existência de dificuldades
na captação dos seus significados: na primeira expressão está implícita a questão “qual é a
imagem do objeto 2 pela função ?”; e na segunda expressão está implícita a questão “qual é o
objeto que pela função
tem imagem 9?”.
Através da análise do Quadro 10 é possível verificar que, de um modo geral, a maioria dos
alunos não sentiu dificuldades na questão 2 do Grupo II, quer na construção de uma
representação gráfica (alínea 2.1), quer na sua posterior interpretação. No entanto, os alunos
A3, A10 e A21 mostraram dificuldades de interpretação da situação descrita no enunciado,
construindo a tabela como se o volume total da vasilha fosse
. O raciocínio destes alunos
passou por considerar que por minuto, a torneira deixava cair cerca de
vasilha, durante cinco minutos (Figura 10).
Figura 10 – Resposta do aluno A21 na alínea 2.1.
59
dentro da
O aluno A18 mostrou ter as mesmas dificuldades de interpretação na situação
apresentada, tendo considerado que a torneira deixava cair
por cada período de cinco
minutos (Figura 11).
Figura 11 – Resposta do aluno A18 na alínea 2.1.
Desta forma, estes erros podem ser enquadrados na categoria (C), ou seja, são erros
cometidos devido ao uso inadequado dos dados. Nas alíneas seguintes (2.2 e 2.3), os erros
cometidos derivaram da construção errada da tabela de valores da função da alínea 2.1 e, como
tal, não foram contabilizados.
Apenas oito alunos responderam corretamente à questão 3 do Grupo II, tornando
evidentes as dificuldades sentidas pelos alunos ao completar a tabela. A maior parte dos alunos
não sentiu grandes dificuldades quando o valor de
era fornecido, resolvendo a equação em
ordem a . No entanto, na situação inversa, quando apenas fornecido o valor de
, alguns
alunos sentiram algumas dificuldades em calcular o valor de . Os alunos A5 e A13 cometeram
um erro por transposição da categorização de Hall (2002) que se enquadrado na categoria (A),
situação que é ilustrada na Figura 12.
Figura 12 – Cálculo auxiliar do aluno A5 na questão 3.
O aluno A8 comete um erro por omissão da categorização de Hall (2002) que se
enquadra na categoria (A), tendo omitido o termo
no segundo membro da equação na
passagem do primeiro para o segundo passo (Figura 13).
Figura 13 – Cálculo auxiliar do aluno A8 na questão 3.
60
Também foi possível apurar que a maioria dos alunos não reconheceu que
substituindo o valor de
pelo termo
, não
, deixando a respetiva linha da tabela por preencher e,
tal como nos casos anteriores, as suas respostas foram consideradas como parcialmente
corretas. Não contabilizados mais erros nesta questão porque a maioria dos alunos não
apresentou cálculos auxiliares na folha de resolução.
Na questão 4, os alunos mostraram grandes dificuldades na resolução da inequação
apresentada,
,
cometendo erros em alguns procedimentos básicos e no
manuseamento de algumas regras da Matemática, tais como a propriedade distributiva da
multiplicação, desembaraçar de parêntesis ou simplificação de denominadores. Os erros
cometidos nesta questão enquadram-se nas categorias (A) e (B), apresentando-se, de seguida,
um exemplo de cada.
Na Figura 14 está ilustrada a resolução da questão 4 do aluno A1, na qual comete três
erros.
Figura 14 – Resposta do aluno A1 na questão 4.
Neste caso, o aluno A1 soma os termos,
obtém o termo
como resultado da divisão de
e , obtendo . De seguida, por distração,
por , cometendo, desta forma, dois erros da
categoria (A). No passo seguinte, divide ambos os membros da equação por
, mas não
modifica o sentido da desigualdade, cometendo um erro da categoria (B).
De igual forma, os alunos A4, A11 e A16 cometeram o mesmo erro que o aluno A1 ao
não modificam o sentido da desigualdade quando dividiram ambos os membros por
.
O aluno A21 cometeu um erro contemplado na categoria (B), tendo aplicado a
propriedade distributiva de forma incorreta (Figura 15).
61
Figura 15 – Resposta do aluno A21 na questão 4.
Neste caso, na tentativa de se desembaraçar dos parêntesis mais exteriores, o aluno
tentou aplicar a propriedade distributiva nos termos
e
, multiplicando o termo
ambos. O seu erro consistiu em não considerar a expressão
multiplicado o termo
por
como um só termo, tendo
duas vezes à mesma.
De igual forma, os alunos A2, A8 e A14 cometeram o mesmo erro que o aluno A21 ao
aplicarem a propriedade distributiva da multiplicação incorretamente.
O aluno A11 cometeu um erro por eliminação (Hall, 2002) contemplado na categoria (B),
tendo somado os coeficientes de dois monómios de graus diferentes,
. Este aluno
não terminou a sua resolução (Figura 16).
Figura 16 – Resposta do aluno A11 na questão 4.
É de salientar que os alunos A1, A11 e A21 recorreram ao sinal “=” entre as expressões,
em vez do sinal “
”, denotando, desta forma, dificuldades em lidar com a linguagem algébrica.
O aluno A17 cometeu um erro por omissão (Hall, 2002) que se enquadra na categoria (A),
tendo omitido o termo , por distração, no quarto passo da sua resolução (Figura 17).
Figura 17 – Resposta do aluno A17 na questão 4.
62
Tal como o aluno A17, também os alunos A3 e A10 cometeram erros de cálculo devido a
distrações, pelo que também foram contabilizados como erros da categoria (A).
Paralelamente, o aluno A19 cometeu um erro da categoria (A). Na tentativa de reduzir os
termos do segundo membro da inequação ao mesmo denominador, o aluno multiplica por
o
denominador desses termos, eliminando-o de seguida (Figura 18).
Figura 18 – Resposta do aluno A19 na questão 4.
Apenas oito alunos responderam corretamente à questão 5, na qual era solicitada a
resolução da equação
, facto que retrata as dificuldades sentidas, tendo
sido cometidos erros em alguns procedimentos básicos e no manuseamento de algumas regras
da Matemática, tais como na aplicação da fórmula resolvente. Os erros cometidos nesta questão
enquadram-se nas categorias (A) e (B), apresentando-se, de seguida, um exemplo de cada tipo.
O aluno A1 cometeu, na sua resolução, um erro contemplado na categoria (A), onde tenta
simplificar a expressão
através da eliminação do termo , tanto no numerador como no
denominador (Figura 19).
Figura 19 – Resposta do aluno A1 na questão 5.
Tal como o aluno A1, o aluno A12, A14 e A17 também cometeram este erro nas suas
resoluções.
Na Figura 20 está ilustrada a resolução do aluno A8, na qual aplicou a fórmula resolvente
num polinómio de terceiro grau, cometendo um erro que se enquadra na categoria (B).
63
Figura 20 – Resposta do aluno A8 na questão 5.
O aluno A10 aplicou uma estratégia “pouco ortodoxa” na tentativa de se libertar do
monómio de terceiro grau (Figura 21).
Figura 21 – Resposta do aluno A10 na questão 5.
Neste caso, o aluno não reparou que poderia colocar o termo
em evidência e optou por
colocar a raiz quadrada em ambos os membros da equação. Seguidamente, o aluno separou os
termos dentro da raiz como se de uma multiplicação se tratasse, cometendo um erro que se
enquadra na categoria (B).
Em jeito de síntese, foi elaborado o Quadro 11, onde foram contabilizados todos os erros
cometidos pelos alunos no teste diagnóstico, tendo em conta a categoria do erro e o nível de
predisposição para a aprendizagem dos alunos.
Quadro 11 – Frequência absoluta de erros cometidos no teste diagnóstico (por nível de predisposição para a
aprendizagem dos alunos)
Alunos
Predispostos
Não predispostos
Total
A
10
3
13
Categoria do erro
B
C
5
6
11
6
16
12
D
4
2
6
Total
25
22
47
Pela análise do Quadro 11, é percetível, ao contrário daquilo que seria de se esperar, que
os alunos considerados como predispostos para a aprendizagem cometeram mais erros do que
64
os que foram considerados como não predispostos. Este facto deve-se a um índice elevado de
questões sem resposta por parte dos alunos não predispostos para aprendizagem.
No Grupo 1, os alunos responderam a todas as questões. Já no Grupo II, tal facto não se
verificou. Na questão 1, quinze alunos não responderam à alínea 1.2, entre os quais constavam
seis alunos que tinham sido considerados como predispostos para a aprendizagem. Nas alíneas
1.3 e 1.4, dos três alunos que não responderam, apenas um aluno tinha sido considerado como
predisposto para a aprendizagem. De igual forma, dos cinco alunos que não responderam à
alínea 1.5, apenas um tinha sido considerado como predisposto.
Na questão 2, dois alunos não responderam a qualquer alínea deste grupo. Ambos tinham
sido considerados como não predispostos para a aprendizagem. Relativamente à questão 3,
apenas um aluno não respondeu a esta questão. Esse aluno tinha sido considerado como não
predisposto para a aprendizagem. Na questão 4, dos três alunos que não responderam a esta
questão, apenas um tinha sido considerado como predisposto para a aprendizagem. Por fim, na
questão 5, dos dez alunos que não responderam, apenas três tinham sido considerados como
predispostos.
Com um nível de autoeficácia inferior ao dos alunos predispostos, os alunos não
predispostos são menos persistentes, desistindo à primeira dificuldade encontrada. A resposta
do aluno A10 à questão 5 é um bom exemplo de persistência perante uma dificuldade.
Os erros que foram registados em maior quantidade foram os da categoria (B), tendo sido
cometidos maioritariamente pelos alunos considerados como não predispostos. Este facto
mostra que a maioria das dificuldades destes alunos é proveniente de regras e procedimentos
que são considerados como pré-requisitos (propriedade distributiva, fórmula resolvente, etc.).
Desta forma, é possível afirmar que não apreenderam estes conceitos de forma significativa.
4.2.2. Abordagem ao erro na sala de aula
Durante a intervenção pedagógica ocorreram diversas situações propícias para o
aproveitamento do erro (Borasi, 1996). Nesta subsecção serão analisadas duas das abordagens
realizadas que foram captadas pelas câmaras de vídeo, relativas às aulas 3 e 4 da intervenção
pedagógica (Anexo I).
65
Aula 3
A aula 3 da intervenção pedagógica decorreu com grande afluência e participação da
turma em geral. De seguida, é apresentada a atividade motivacional a que se recorreu no início
da aula e a discussão gerada em torno da mesma.
Considere a função definida por
corresponder o valor da área do círculo.
que a cada valor do raio
faz
a) O que significa
no contexto do problema? E
?
b) No contexto do problema, qual é o domínio da função ?
c) Qual é a área do círculo quando
?
d) Qual o valor do raio do círculo, sabendo que a sua área é ?
Na alínea a), pretendia-se que os alunos concluíssem que o domínio da função
é
e,
consequentemente, obtivessem uma janela de visualização nas respetivas calculadoras gráficas
que se ajustasse ao contexto da situação. A discussão entre o professor e o grupo turma na
alínea a) ocorreu da seguinte forma:
Professor: No contexto do problema, qual é o significado de
A17: É a área de um círculo de raio .
Professor: E qual é o significado de
?
A6: É a área de um círculo de raio ?
Grupo Turma: Não! O raio não pode ser negativo!
?
A segunda questão colocada pelo professor teve a intenção de incitar à discussão entre os
elementos da turma. Seria de esperar que alguns alunos associassem a expressão
área de um círculo de raio
à
, pelo que a intenção desta questão era provocar um conflito na
estrutura cognitiva dos mesmos, por forma a assimilassem que estes tipos de medida
(comprimento, largura, raio, etc.) não podem ser negativas.
A discussão da alínea b) desta atividade prosseguiu como consta na seguinte discussão:
Professor: Então o que podem concluir quanto ao domínio da função ?
A10: Só podem ser valores positivos!
Professor: Então qual é o domínio desta função?
Grupo Turma: De zero a mais infinito.
Professor: O zero pertence ou não?
66
A turma mostrou-se dividida em relação a esta última questão. Neste caso, o professor
intrometeu-se, afirmando que ambos os casos são válidos, mas que no contexto do problema faz
mais sentido que o zero não pertença ao domínio, pelo facto de uma circunferência de raio igual
a zero não existir. De seguida, os alunos foram instruídos acerca do modo de alteração da janela
de visualização da calculadora gráfica segundo o contexto da situação.
Relativamente à alínea c), ocorreu a seguinte discussão:
Professor: Qual é a área do círculo quando
Grupo Turma: É só substituir o por .
Professor: Muito bem!
?
Após resolver a equação algebricamente, o professor questiona:
Professor: Recorrendo ao gráfico obtido com a calculadora, como se calcula
Grupo Turma: É só ver o valor que corresponde a
no gráfico.
?
Os alunos não mostraram dificuldades em compreender os conceitos envolvidos nesta
alínea, avançando-se para a instrução dos procedimentos a realizar com a calculadora para o
cálculo de
A discussão da alínea d) é apresentada de seguida:
Professor: Qual o valor do raio do círculo, sabendo que a sua área é 5?
Grupo Turma: (em silêncio).
Professor: Então se olharmos para a expressão da função o que é que representa a área
do círculo?
Grupo Turma: É o
!
Professor: E neste caso, qual é a área do círculo?
Grupo Turma: 5!
Professor: Então o
é quanto?
A15: É só fazer
e resolver!
Professor: Todos concordam? É isso mesmo!
O professor, com a sua segunda questão, procurou direcionar os alunos para o raciocínio
correto. A questão, como se observou, provocou o efeito que era pretendido. Após a discussão
anterior, a equação foi resolvida no quadro com a participação da turma. Seguidamente, o
professor questiona:
Professor: E graficamente como se resolve?
67
A17: É ao contrário da outra pergunta. É só ir ao eixo dos
e ver quando é 5.
Na essência, este aluno afirmou que os pontos de interseção da função com a reta
são os valores do domínio para os quais a área do círculo é , tal como era pretendido. De
seguida, os alunos foram instruídos acerca dos procedimentos a realizar na calculadora gráfica
para este tipo de cálculo.
Nesta aula, de carácter exploratório, recorreu-se ao uso construtivo do erro no processo de
resolução de uma tarefa (Borasi, 1996).
O objetivo desta aula passava pela exploração das calculadoras gráficas, ao nível do seu
manuseamento e respetivas potencialidades. A inexperiência dos alunos com o manuseamento
da calculadora gráfica, o elevado número de alunos da turma e a existência de diferentes
calculadoras gráficas (quatro tipos) foram as principais limitações desta aula.
Aula 4
Na aula 4 da intervenção pedagógica foram abordados os seguintes conceitos: zeros,
injetividade e continuidade de uma função. Após a introdução destes conceitos, foi proposta aos
alunos a resolução de algumas tarefas que constavam na ficha de trabalho que lhes fora
fornecida. Durante a resolução de tarefas, o aluno A19 pediu a ajuda do professor, referindo que
o resultado que tinha obtido não era igual ao das soluções. De seguida, é apresentada a tarefa
em questão:
O Rui é capaz de saltar da prancha mais alta da piscina do clube. A distância do Rui
ao nível da água é dada pela expressão
,
em que
é a distância em metros, do corpo do Rui ao nível da água num
determinado instante , em segundos.
Recorrendo à calculadora responda às seguintes questões:
a) Obtenha uma janela de visualização adequada ao contexto do problema. Qual o
domínio da função no contexto do problema?
b) A que distância da água se encontrava o Rui antes do salto?
c) Durante quantos segundos o Rui esteve a mais de
do nível da água?
d) Em que instante é que o Rui tocou na água da piscina?
68
Na alínea d), era solicitado aos alunos o cálculo dos zeros da função . O aluno A19 tinha
a seguinte resolução no seu caderno:
Na sua resolução, o aluno mostrou que ainda não tinha assimilado este tipo de processo,
cometendo um erro da categoria (A) devido a ausência de significado dos conceitos envolvidos.
Como este tipo de situação já tinha sido explicado ao grupo turma algumas vezes, optou-se por
uma abordagem individual. O diálogo entre o professor e o aluno é apresentado de seguida:
Professor: Explica lá o que fizeste.
A19: Igualei a zero, fiz a fórmula resolvente e acho que os valores estão errados.
Professor: Tu tens aqui uma divisão entre dois termos irredutíveis, o
no
numerador e o
no denominador. Eles são iguais?
A19: Não.
Professor: O
está a multiplicar por
(no numerador)?
A19: Não.
Professor: Qual é a operação inversa da divisão?
A19: A multiplicação.
Professor: Então não podes cortar o
. Mas podes tentar simplificar a expressão. Por
exemplo, quanto tens se somares com ?
A19: Deixe pensar… .
Professor: Sim. Então tu sabes que
(a escrever no caderno do aluno).
A19: Ah… espere lá! Já sei. Vou separar os números! Fica
no seu caderno). Já dá igual à solução!
Professor: É isso mesmo.
69
(a escrever
Este aluno não tinha resolvido a questão 5 do teste diagnóstico pelo que não tinha sido
possível detetar-lhe este erro. Apesar de trabalhador, era um aluno que se encontrava várias
vezes distraído. Este facto provocou a prolongação do erro até à altura. No entanto, o aluno
respondeu corretamente à alínea 3.1 da ficha por partes, o que comprova que o processo foi
assimilado com a explicação anteriormente apresentada. Neste caso, recorreu-se a uma análise
do erro tendo em vista o esclarecimento de uma interpretação deficiente de um conteúdo técnico
da Matemática (Borasi, 1996).
4.2.3. Resultados da ficha por partes
No Quadro 12 são apresentadas as respostas dos alunos à ficha por partes (Anexo VI),
tendo sido classificadas como corretas, parcialmente corretas, incorretas e sem resposta.
Quadro 12 – Classificação das respostas dos alunos na ficha por partes
Respostas
Questão
1
2
3
4
Corretas
Parcialmente Corretas
Incorretas
Sem resposta
1.1
18
0
2
2
1.2
0
9
13
0
1.3
17
3
1
1
1.4
3
8
0
11
2.1
19
0
0
3
2.2
0
20
2
0
2.3
5
5
7
5
3.1
14
5
3
0
3.2
11
2
2
7
4.1
6
2
11
3
4.2
14
2
2
4
A questão 1 da ficha por partes tinha como objetivo verificar os conhecimentos dos alunos
relativamente à análise de uma função no contexto de um problema. Nesta questão foram
abordados conceitos como domínio de uma função no contexto representativo da área de um
retângulo, sua interpretação e construção gráfica e ainda a determinação da imagem de um
objeto segundo a função dada.
De modo geral, na alínea 1.1, os alunos não tiveram grandes dificuldades em chegar à
expressão pretendida,
, aplicando de forma correta a propriedade
70
distributiva da multiplicação em
. No entanto, alguns alunos ainda mostraram
dificuldades em aplicar esta propriedade.
O aluno A1 considerou que para determinar a área do retângulo tinha de multiplicar a
expressão representativa do seu comprimento pela expressão representativa da sua largura, mas
no processo, não colocou os parêntesis a separar as mesmas, cometendo um erro que se
enquadra na categoria (B). O aluno considerou que com a multiplicação destas expressões
obtinha a área do retângulo, à qual denominou , a variável que tinha sido utilizada em ambas
as expressões representativas das medidas do retângulo. Desta forma, o aluno não atribui
significado à variável , cometendo um erro que se enquadra na categoria (C). Esta situação
está ilustrada na Figura 22.
Figura 22 – Resposta do aluno A1 na alínea 1.1.
O aluno A18 cometeu o mesmo erro que a aluna A1, ao não colocar os parêntesis entre
as expressões representativas das medidas do retângulo. O aluno sentiu a “necessidade” de
resolver uma equação, igualando a expressão a
e resolvendo-a em ordem a , cometendo um
erro que se enquadra na categoria (C). Desta forma, o aluno não compreendeu o que era pedido
(Figura 23).
Figura 23 – Resposta do aluno A18 na alínea 1.1.
Na alínea 1.2 era solicitada a determinação do domínio da função no contexto do
problema, mostrando ser um conceito de difícil apreensão por parte dos alunos, pelo que
71
nenhum respondeu corretamente a esta alínea. De seguida, são descritas algumas das
respostas dos alunos.
O aluno A4 recorreu à calculadora para determinar (corretamente) o domínio da função,
mas não apresentou quaisquer tipos de cálculos, pelo que a sua resposta foi considerada como
parcialmente correta (Figura 24). Na mesma situação, encontram-se mais oito respostas, não
tendo sido contabilizadas como erros.
Figura 24 – Resposta do aluno A4 na alínea 1.2.
O aluno A9 considerou o retângulo como estando integrado num referencial ortonormado,
e indicou como domínio da função os valores possíveis para o comprimento do retângulo, a
medida que “encaixava” no eixo das abcissas. No entanto, o aluno considerou que domínio da
função representava a área do retângulo, que não pode ser representada por valores negativos,
indicando
como o seu limite inferior e a expressão
como o seu limite superior (Figura
25). Este erro enquadra-se na categoria (C).
Figura 25 – Resposta do aluno A9 na alínea 1.2.
O aluno A16 considerou o domínio da função em si e não no contexto do problema, tendo
indicado o conjunto dos números reais como resposta (Figura 26). Este erro enquadra-se na
categoria (C). Foram encontradas nove respostas idênticas a esta.
Figura 26 – Resposta do aluno A16 na alínea 1.2.
O aluno A20 mostrou ter conhecimento que a área de um retângulo é sempre positiva,
mas não considerou que a área é representada no contradomínio e não no domínio da função
72
(Figura 27). Como nos casos anteriores, este erro enquadra-se na categoria (C). O aluno A10
cometeu o mesmo erro, respondendo de forma idêntica.
Figura 27 – Resposta do aluno A20 na alínea 1.2.
Na alínea 1.3, o cálculo de
, ou seja, a imagem de
pela função , mostrou-se
acessível para os alunos. No entanto alguns alunos cometeram alguns erros, por falta de
atenção ou por ausência de significado de algumas das regras matemáticas.
O aluno A1 cometeu o mesmo erro da alínea 1.1, não colocando parêntesis entre as
expressões representativas das medidas do retângulo, cometendo novamente um erro da
categoria (B). O valor que apresentou como resposta não aparenta ter qualquer relação com os
cálculos apresentados, tendo sido considerado um erro da categoria (A). A sua resposta está
ilustrada na Figura 28.
Figura 28 – Resposta do aluno A1 na alínea 1.3.
O aluno A2, por distração, cometeu um erro de cálculo, o qual se encontra ilustrado na
Figura 27. De igual forma, os alunos A6 e A13 cometeram erros de cálculo nesta questão devido
a uma distração. A sua resposta está ilustrada na Figura 29. Este erro enquadra-se na categoria
(A).
Figura 29 – Resposta do aluno A2 na alínea 1.3.
73
Os alunos mostraram dificuldades na resolução da alínea 1.4, que solicitava a construção
e interpretação gráfica da função num determinado contexto. Este facto é comprovado pelo facto
de terem sido obtidas apenas três respostas corretas. O aluno A4 respondeu corretamente a
esta alínea da questão 1. No entanto, o aluno limitou-se a recorrer à calculadora gráfica, não
apresentando a representação gráfica da situação na sua resposta tal como era solicitado no
enunciado (Figura 30). Desta forma, a sua resposta foi considerada como parcialmente correta.
Os alunos A8, A12 e A20 apresentaram uma resposta idêntica.
Figura 30 – Resposta do aluno A4 na alínea 1.4.
O aluno A13 apresentou a construção gráfica na sua resolução, mas não apresentou o
intervalo solução, pelo que a sua resposta foi considerada como parcialmente correta (Figura
31). Os alunos A3, A17 e A19 apresentaram respostas idênticas nas suas resoluções.
Figura 31 – Resposta do aluno A13 na alínea 1.4.
A questão 2 tinha como objetivo verificar os conhecimentos dos alunos relativamente à
interpretação gráfica de uma função. Foram abordados nesta questão conceitos como zeros da
função, seus extremos relativos e sua continuidade.
Na alínea 2.1, na análise do gráfico de uma função, de modo geral, os alunos não
mostraram grandes dificuldades em indicar quais os seus zeros.
É de salientar que nenhum aluno respondeu corretamente à alínea 2.2, que abordava os
extremos relativos da função. O aluno A1 mostrou não ter noção da definição de que são
extremo relativo de uma função, apresentando na sua resposta, uma reunião de intervalos
(Figura 32). O aluno comete um erro da categoria (D).
74
Figura 32 – Resposta do aluno A1 na alínea 2.2.
De igual forma, o aluno A16 mostra desconhecer o conceito de extremo relativo de uma
função, cometendo um erro da categoria (D). Na sua resposta o aluno indicou o maximizante e
minimizante relativos ao máximo e mínimo absolutos da função. A sua resposta está ilustrada na
Figura 33.
Figura 33 – Resposta do aluno A16 na alínea 2.2.
O aluno A10 indicou na sua resposta apenas os extremos absolutos da função. Como tal,
a sua resposta foi considerada como parcialmente correta (Figura 34). O modo como a questão
foi formulada, onde era solicitado aos alunos que indicassem os extremos relativos da função
poderá ter gerado alguma confusão, tendo-se registado mais seis respostas idênticas a esta. Este
tipo de resposta não foi contabilizada como erro.
Figura 34 – Resposta do aluno A10 na alínea 2.2.
O aluno A5 indicou a maior parte dos extremos relativos da função, mas, por distração,
não indicou o
como extremo relativo da função (Figura 35). Registaram-se doze casos idênticos
a este, onde não foram indicados todos os extremos relativos da função. Tal como no caso
anterior, este tipo de resposta não foi contabilizado como erro.
Figura 35 – Resposta do aluno A5 na alínea 2.2.
75
Tal como na alínea anterior, os alunos mostraram não ter compreendido o conceito de
continuidade de uma função abordado na alínea 2.3. O aluno A4 indicou na sua resposta que a
função não era contínua, mas justificou a sua resposta de forma incorreta. Pela sua justificação,
este aluno considera como contínua qualquer função cujo domínio seja um conjunto finito,
mostrando desconhecer a definição de continuidade de uma função (Figura 36). Tal como o
aluno A4, os alunos A2 e A18 cometeram o mesmo erro nas suas respostas, enquadrando-se na
categoria (D).
Figura 36 – Resposta do aluno A4 na alínea 2.3.
O aluno A5 indicou que a função é contínua, não reparando que a imagem de
é
(Figura 37). Desta forma, este erro deveu-se a uma distração do aluno, que já na alínea anterior
se esquecera de indicar o
como extremo relativo. Desta forma, o aluno comete um erro que se
enquadra na categoria (C). Paralelamente, os alunos A6, A10 e A17 cometem um erro idêntico.
Figura 37 – Resposta do aluno A5 na alínea 2.3.
O aluno A8 considerou que a afirmação é falsa mas, no entanto, na sua justificação não
indica o ponto de descontinuidade, pelo que a sua resposta é considerada como parcialmente
correta (Figura 38). Os alunos A3, A12, A13 e A16 responderam a esta alínea de forma idêntica.
Este tipo de resposta não foi contabilizado como erro. Registaram-se quatro respostas idênticas a
esta.
76
Figura 38 – Resposta do aluno A8 na alínea 2.3.
A questão 3 abordava os conceitos zeros de uma função e ponto de um gráfico da função
, cuja expressão analítica é
.
Na alínea 3.1, a maioria dos alunos não teve quaisquer dificuldades. No entanto, foram
registados alguns erros nesta alínea. O aluno A1 aplicou a fórmula resolvente de forma incorreta,
cometendo um erro que se enquadra na categoria (B). Curiosamente, no teste diagnóstico, este
aluno aplicou-a corretamente, podendo tratar-se de um erro por falta de atenção (Figura 39).
Figura 39 – Resposta do aluno A1 na alínea 3.1.
Tal como no caso anterior, o aluno A2 cometeu um erro que não cometera no teste
diagnóstico somando dois monómios de diferentes graus (Figura 40). Este erro enquadra-se na
categoria (B). De igual forma, este erro foi também cometido pelos alunos A18 e A21.
Figura 40 – Resposta do aluno A2 na alínea 3.1.
O aluno A6 cometeu um erro de cálculo que se enquadra na categoria (A). Como o aluno,
do terceiro para o quarto passo, tinha acabado de realizar corretamente um cálculo idêntico,
deduz-se que este erro teve origem numa falta de atenção (Figura 41).
77
Figura 41 – Resposta do aluno A6 na alínea 3.1.
O aluno A7 respondeu de forma incorreta a esta alínea porque calculou a imagem de
em vez dos zeros da função (Figura 42). Como o aluno já tinha respondido corretamente à alínea
2.1 da questão 2, na qual identificou os zeros da função dada, deduz-se que este erro se deve a
uma interpretação incorreta do enunciado, ou seja, cometeu um erro da categoria (C). De igual
forma, os alunos A9 e A11 cometeram o mesmo erro. Estas respostas foram consideradas como
incorretas.
Figura 42 – Resposta do aluno A7 na alínea 3.1.
Na alínea 3.2, era solicitado aos alunos que determinassem para que valores de , com
, o ponto
pertencia ao gráfico da função . Desta forma, os alunos tinham
que ter em conta a definição de gráfico de uma função, onde, deviam ter considerado que para
um determinado ponto de coordenadas
, com
pertencer ao gráfico de uma função
, então
. Pelas resoluções analisadas foi possível verificar que esta questão se
mostrou difícil para os alunos, principalmente ao nível da interpretação daquilo que era
pretendido.
O aluno A4, na sua resolução calculou os valores de
tal que o ponto de coordenadas
pertença ao gráfico de , revelando desconhecer a definição de gráfico de uma
função (Figura 43). Desta forma, o aluno cometeu um erro da categoria (D).
78
Figura 43 – Resposta do aluno A4 na alínea 3.2.
Paralelamente, o aluno A15 calculou os valores de
tal que o ponto de coordenadas
pertença ao gráfico de , cometendo, tal como o aluno A4, um erro da categoria (D).
A resposta deste aluno está ilustrada na Figura 44.
Figura 44 – Resposta do aluno A15 na alínea 3.2.
Por sua vez, o aluno A7, do segundo para o terceiro passo, cometeu um erro de
redistribuição (Hall, 2002), que se enquadra na categoria (A). A sua resposta está ilustrada na
Figura 45. De igual forma, o aluno A21 também interpretou bem o que era solicitado mas
cometeu um erro idêntico ao descrito anteriormente.
Figura 45 – Resposta do aluno A7 na alínea 3.2.
79
A questão 4 abordava o conceito de monotonia de uma função afim. A grande maioria dos
alunos não respondeu corretamente à alínea 4.1, não por falta de conhecimento da definição,
mas por não a conseguirem relacionar com a expressão
com
.O
aluno A6 escreveu, na sua resposta a esta alínea, a definição de função afim estritamente
crescente mas não reconheceu que o declive da função
é a expressão
(Figura 46).
Este aluno cometeu um interpretou de forma incorreta o que era pretendido, pelo que cometeu
um erro categoria (C). Foram registadas quatro respostas idênticas a esta, tendo sido
consideradas como incorretas.
Figura 46 – Resposta do aluno A6 na alínea 4.1.
De igual forma, o aluno A13 mostrou ter conhecimento de que o declive de uma função
afim estritamente crescente é positivo. No entanto, a aluna considerou
como sendo o declive
da função (Figura 47). Esta resposta foi considerada como um erro da categoria (C).
Figura 47 – Resposta do aluno A13 na alínea 4.1.
Por sua vez, o aluno A7 reconheceu que a expressão
, mas não indicou para que valores de
é o declive da função, e que
a função é estritamente crescente, tendo
esta resposta sido considerada como parcialmente correta (Figura 48). Este tipo de resposta não
foi contabilizada como erro. De igual forma, o aluno A22 apresentou uma resposta idêntica.
Figura 48 – Resposta do aluno A7 na alínea 4.1.
80
O aluno A9 recorreu a uma estratégia de tentativa e erro, substituindo
por , obtendo à
primeira tentativa uma função estritamente crescente (Figura 49). O aluno não reconheceu que
poderiam existir outros valores nas mesmas condições que o , revelando uma interpretação
incorreta do que era pedido. Desta forma cometeu um erro que se enquadra na categoria (C).
Foram registadas quatro respostas idênticas a esta, tendo sido consideradas como incorretas.
Figura 49 – Resposta do aluno A9 na alínea 4.1.
Relativamente à alínea 4.2, os alunos não mostraram grandes dificuldades em indicar
para que valores de
a função é constante. No entanto, algumas das respostas analisadas
revelaram, tal como na alínea anterior, uma interpretação incorreta daquilo que era pedido.
O aluno A7 respondeu a esta alínea da mesma forma que tinha respondido na alínea
anterior, ou seja, referiu a definição de função afim constante, reconheceu que
declive da função, mas não referiu para que valores de
era o
a função é constante (Figura 50). O
aluno A22 realizou o mesmo procedimento. Estas respostas não foram contabilizadas como
erro, tendo sido consideradas como parcialmente corretas.
Figura 50 – Resposta do aluno A7 na alínea 4.2.
Tal como na alínea anterior, o aluno A13 mostrou ter conhecimento de que o declive de
uma função afim constante é . No entanto, a aluna considerou
função (Figura 51).
Figura 51 – Resposta do aluno A13 na alínea 4.2.
81
como sendo o declive da
De igual forma, o aluno A9 apresentou uma resposta idêntica. Estas respostas foram
contabilizadas como erros da categoria (C).
Em jeito de síntese foi elaborado o Quadro 13, onde foram contabilizados todos os erros
cometidos pelos alunos na ficha por partes, tendo em conta a categoria do erro e o nível de
predisposição para a aprendizagem dos alunos.
Quadro 13 – Frequência absoluta de erros cometidos na ficha por partes (por nível de predisposição para a
aprendizagem dos alunos)
Alunos
Predispostos
Não predispostos
Total
A
4
3
7
Categoria do erro
B
C
0
10
7
15
7
25
D
1
4
5
Total
15
29
44
Através do Quadro 13, é percetível, tal como seria de esperar, que os alunos considerados
como predispostos para a aprendizagem apresentam um menor número (quase metade) de
erros cometidos do que os considerados como não predispostos. Desta forma, os alunos
considerados como predispostos para a aprendizagem apresentaram um índice de evolução
mais acentuado do que os alunos considerados como não predispostos, conseguindo absorver
os conteúdos de forma significativa.
Os alunos considerados como não predispostos para a aprendizagem, cometeram mais
erros que os considerados como predispostos em todas as categorias, exceto a (A). No entanto,
os erros registados em maior quantidade foram os da categoria (C). Tal como os erros registados
na categoria (D), os erros registados nesta categoria revelam uma clara falta de estudo e,
consequentemente, de prática.
É de salientar que nenhum aluno considerado como predisposto cometeu um erro da
categoria (B), pelo que os erros que se registaram no teste diagnóstico aparentam ter sido
corrigidos. No sentido inverso, alguns dos alunos considerados como não predispostos
continuaram a cometer erros em procedimentos que são considerados básicos para este nível
de escolaridade.
Destaque para a categoria (A), onde foram registados mais erros dos alunos considerados
como predispostos para a aprendizagem. No entanto, todos os erros registados destes alunos
nesta categoria ocorreram devido a distrações.
82
CAPÍTULO V
CONCLUSÕES, IMPLICAÇÕES, RECOMENDAÇÕES E LIMITAÇÕES
Este capítulo divide-se em três secções: na primeira apresentam-se as conclusões do
estudo, na segunda faz-se referência às implicações do projeto no âmbito da educação
matemática e na terceira discutem-se as limitações relativas ao projeto desenvolvido e fazem-se
recomendações para futuras investigações.
5.1. Conclusões
Nesta secção apresentam-se os principais resultados da investigação, tendo como
referência os objetivos estabelecidos. Os resultados obtidos são confrontados com a literatura
apresentada.
5.1.1. Objetivo 1 - Identificar os erros mais frequentes entre os alunos de uma turma do 10º
ano, no estudo das funções
Através dos resultados apresentados no Capítulo IV é possível concluir que os erros da
categoria (C) foram os mais frequentes, ou seja, os erros que derivam do uso inadequado dos
dados, referidos nas investigações de Radatz (1979) e Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar
(1987). As dificuldades de interpretação da linguagem algébrica reveladas através dos erros
desta categoria foram reveladas pelos alunos no decorrer da intervenção pedagógica.
Os erros da categoria (B), ou seja, os erros que derivam da utilização inadequada de uma
regra, foram, tal como na categoria anterior, registados com bastante frequência tal como nas
investigações de Radatz (1979) e Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987). Os alunos
revelaram dificuldades na aplicação da propriedade distributiva, no desembaraço de parêntesis,
ou na mudança do sentido da desigualdade de uma inequação. Tal como na investigação de
Kieran (1999), os erros registados nesta categoria revelam que os alunos sentem maiores
dificuldades na designada Álgebra estrutural, que está relacionada com as operações realizadas
com expressões algébricas.
De igual forma, os erros da categoria (A), ou seja, os erros de cálculo ou de procedimento,
foram registados frequentemente, quer nas produções escritas obtidas dos alunos, quer nas
aulas relativas à intervenção pedagógica, como já o haviam sido nas investigações de Radatz
(1979), Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987), Ruano, Socas e Palarea (2008), Hall
83
(2002) e Kieran (1999). Foram registados erros por transposição, eliminação, omissão (Hall,
2002), ou de redistribuição (Hall, 2002; Kieran, 1999), pelo que é possível afirmar, tal como foi
referido na investigação de Kieran (1999), que os alunos sentiram dificuldades na designada
Álgebra processual.
Também foram registados erros da categoria (D), ou seja, erros derivam de um domínio
deficiente dos conteúdos matemáticos, embora em menor quantidade que os das restantes
categorias.
5.1.2. Objetivo 2 - Averiguar as causas subjacentes aos erros que cometem durante o estudo
das funções
Os erros registados nas categorias (C) e (D) tiveram origem, essencialmente, na falta de
estudo e prática fora da sala de aula. Como já foi referido, o “peso” que uma ficha por partes
tinha na classificação destes alunos era diminuto, facto que pode ter influenciado no empenho
que dedicaram no estudo para a mesma.
Relativamente à categoria (A), grande parte dos erros ocorreu devido a fatores emocionais,
no caso, devido a distrações. Tal como Kilpatrick, Swafford e Findell (2001) e Kieran (1999)
referem nas respetivas investigações, ao longo da intervenção pedagógica foi possível verificar
que os alunos costumam errar por diversas vezes na designada Álgebra processual, revelando
dificuldades relacionadas com a aritmética.
Tal como na investigação de Ruano, Socas e Palarea (2008), os erros registados na
categoria (B) revelaram uma ausência de significado por parte dos alunos nos referidos
processos, ou seja, os alunos revelaram uma falta de compreensão do significado de alguns
conceitos matemáticos. Kieran (1999) considera, na sua obra, que a Álgebra estrutural é
tradicionalmente difícil para os alunos. No entanto, os erros registados nesta categoria revelaram
dificuldades em conceitos que já deveriam ter sido assimilados neste nível de escolaridade.
Desta forma, tal como Ausubel (2003), é possível concluir que esses conceitos não tinham sido
aprendidos pelos alunos de forma significativa.
84
5.1.3. Objetivo 3 - Avaliar o impacto que a predisposição para a aprendizagem de cada aluno
tem no respetivo desempenho a Matemática, no estudo das funções
Os resultados da ficha por partes apresentados no Capítulo IV permitem concluir que os
alunos considerados como predispostos para a aprendizagem apresentaram um nível superior
de progressão relativamente aos conteúdos abordados.
A frequência de erros cometidos pelos alunos considerados como predispostos para a
aprendizagem diminuiu bastante durante o período de tempo entre o teste diagnóstico e a ficha
por partes. Este facto está espelhado nos resultados da ficha por partes.
É de salientar que não foram registados erros da categoria (B) por partes deste grupo de
alunos. Tal como no teste diagnóstico, alguns dos exercícios propostos na ficha por partes eram
suscetíveis para a ocorrência de erros desta categoria e, não tendo sido registadas reincidências,
é possível concluir que os conteúdos foram apreendidos por este grupo de forma significativa.
Assim, tal como na investigação de Davis e Espósito (1991), os erros desta categoria cometidos
por estes alunos podem ser designados por construtivos, pois sinalizaram a formação de novas
estruturas cognitivas.
Relativamente ao grupo de alunos considerado como não predisposto para a
aprendizagem, a frequência de erros registados nesta categoria não ficou reduzida a zero, mas
ainda assim, diminuiu, facto que também é positivo. No entanto, alguns alunos revelaram-se
reincidentes no que diz respeito aos erros cometidos. Os alunos A1, A2 e A18 são exemplos
disso. Relativamente aos dois primeiros, aplicaram uma regra de forma adequada no teste
diagnóstico mas não o fizeram na ficha por partes. É difícil de explicar o que vai nas suas
mentes nestas situações. Tanto é possível considerar que esses erros se deveram a uma falta de
atenção, como também é possível considerar que estes alunos ainda não tinham assimilado o
processo de forma significativa. Similarmente ao referido na investigação de Davis e Espósito
(1991), o aluno A18 cometeu erros sistemáticos, revelando não possuir a estrutura cognitiva
necessária para este nível de escolaridade, pelo que lhe é impossível compreender as tarefas
propostas e muito menos executá-las com sucesso. Neste caso, os desequilíbrios criados na sua
estrutura cognitiva pelas tarefas propostas são, por ele, permanentemente ignorados,
provocando os tais erros sistemáticos. Tal como na obra de Seligman (1975), este aluno encara
a Matemática com um certo “desânimo”, pelo que aparenta, tal como referiu algumas vezes nas
aulas, não acreditar que algum dia será capaz de a compreender.
85
Desta forma, tal como Ausubel (2003), Bruner (1999) e Chacón (2000) referem nas
respetivas obras, a predisposição de um aluno para a aprendizagem tem uma influência positiva
no seu desempenho a uma determinada disciplina, neste caso a Matemática. Através dos
resultados obtidos, verificou-se que a predisposição para a aprendizagem está relacionada com a
ocorrência dos designados erros construtivos. No sentido inverso, a não predisposição de um
aluno para a aprendizagem tem uma influência negativa no seu desempenho à disciplina,
podendo precipitar a ocorrência de erros sistemáticos.
5.2. Implicações para o ensino e aprendizagem
Deste estudo resultam várias implicações para o ensino e aprendizagem da Álgebra. A
análise do erro como metodologia de ensino e aprendizagem revelou ser eficaz nesta
investigação. O uso construtivo do erro na sala de aula proporcionou, em diversos casos,
aprendizagens significativas. No entanto, é uma metodologia que requer imenso trabalho por
parte do professor. Segundo Pinto (2000), o recurso a esta metodologia “comporta uma
profunda mudança de valores e de atitudes” (p. 37). Consequentemente, para uma melhoria do
ensino da Matemática, não é suficiente diagnosticar e corrigir os erros dos alunos. É necessário
que o conhecimento matemático não seja encarado como uma incorporação de conceitos, mas
como um redescobrimento dos mesmos (Pinto, 2000). É necessário recorrer ao potencial
educativo do erro e “provocar” os alunos, obrigando-os a “reinventar” os conceitos matemáticos
(idem, 2000). Neste sentido, esta investigação é uma contribuição para uma melhoria do ensino
da Matemática, na medida em são analisadas algumas dificuldades e respetivos raciocínios dos
alunos no estudo das funções.
O professor deve valorizar o erro, tentando transformá-lo numa experiência enriquecedora
para si e principalmente para os alunos. Assim, os erros cometidos pelos alunos devem ser
discutidos e trabalhados, num ambiente que não provoque inibições nos alunos, para que
prevaleçam os seus pensamentos e reflexões acerca dos mesmos.
Para que ocorra aprendizagem não é suficiente considerar apenas os aspetos cognitivos
dos alunos. Como foi sublinhado por diversas vezes nesta investigação, os aspetos emocionais
são, de igual forma, determinantes no processo (Ausubel, 2003; Azzy & Polydoro, 2006;
Bandura, 1993, 1997; Bruner, 1999; Chacón, 2000; Ponte & Serrazina, 2000). Desta forma, na
abordagem a um erro, o professor não deve adotar uma atitude de condenação para com o
aluno, mas de motivação, para que a sua autoestima não saia “beliscada” pela ocorrência. Por
86
vezes, um pequeno gesto por parte do professor pode revelar-se de grande valor para um aluno,
motivando-o para a aprendizagem.
5.3. Limitações e recomendações
A análise de erros como metodologia de ensino revelou ser uma metodologia de difícil
execução. Numa primeira instância, o professor necessita conhecer os erros dos seus alunos
para que posteriormente possa atuar sobre eles. Esta análise (prévia) requer tempo. Numa
segunda instância, é fundamental que o professor esteja permanente atento às oportunidades
criadas pelos alunos para aproveitar o erro. Aqui, a experiência do professor faz toda a diferença,
refletindo-se num conhecimento mais aprofundado das dificuldades mais gerais dos alunos e,
consequentemente, num maior à vontade na sala de aula que lhe permite estar mais atento a
estas situações.
Desta forma, o facto de a recolha e alguma da análise de dados coincidir com a primeira
experiência de ensino, criou um certo conflito de interesses. Por um lado, a inexperiência do
professor (investigador) que procurou aprender a ensinar e, por outro lado, a obrigação que tinha
em recolher dados para a sua investigação. Esta foi a principal limitação desta investigação, a
qual carece de registos a abordagens realizadas ao erro.
Para futuras investigações, é sugerida uma exploração focada no papel do professor no
“manuseamento” da predisposição para a aprendizagem dos alunos. Se um aluno é
considerado como não predisposto para a aprendizagem, que fatores podem provocar uma
alteração dessa condição? O que pode o professor fazer para que tal aconteça?
87
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92
ANEXOS
93
ANEXO I
Organização da intervenção pedagógica
95
Organização da intervenção pedagógica
Conteúdos da aula
1
(90 minutos)
Teste diagnóstico.
2
(90 minutos)
Noção de função.
3
(90 minutos)
4
(90 minutos)
5
(90 minutos)
6
(90 minutos)
7
(90 minutos)
Utilização da calculadora gráfica no
estudo das funções.
Zeros de uma função;
Injetividade de uma função;
Continuidade de uma função.
Sinal e monotonia de uma função.
Extremos e extremantes de uma
função.
- Identificar os extremos relativos e absolutos (e respetivos
maximizantes e minimizantes) de uma função.
- Conceito de função, domínio, contradomínio, objeto e de
imagem;
- Manuseamento da calculadora gráfica;
- Zeros de uma função;
- Injetividade e continuidade de uma função.
- Conceito de função, domínio, contradomínio, objeto e de
imagem;
- Manuseamento da calculadora gráfica;
- Zeros de uma função;
- Injetividade e continuidade de uma função;
- Sinal e monotonia de uma função;
- Extremos de uma função.
- Conhecer (e relembrar) algumas das propriedades da
função afim;
- Consolidar os conhecimentos adquiridos através da
resolução de exercícios.
- Conhecer algumas propriedades da função quadrática;
- Rever os conteúdos lecionados nas aulas anteriores.
- Verificar e avaliar o estado dos alunos relativamente aos
conhecimentos adquiridos nas aulas anteriores.
Consolidar os conhecimentos
adquiridos nas aulas anteriores.
8
(90 minutos)
Consolidar os conhecimentos
adquiridos nas aulas anteriores.
9
(90 minutos)
Função afim.
10
(90 minutos)
11
(90 minutos)
Função quadrática;
Revisões.
Objetivos
- Verificar o estado dos alunos relativamente ao tema das
funções;
- Verificar o estado dos alunos relativamente à resolução
de equações e inequações;
- Verificar o estado dos alunos relativamente à
simplificação de expressões.
- Relembrar os conceitos de correspondência unívoca,
objeto, imagem, domínio, contradomínio e conjunto de
chegada de uma função;
- Definição de função;
- Conhecer as diferentes representações gráficas e
analíticas de uma função;
- Função real de variável real.
- Obter a representação gráfica de uma função através da
calculadora;
- Seleção de uma janela de visualização na calculadora
tendo em conta o domínio e contradomínio de uma
função;
- Identificar, dada uma função definida analiticamente,
imagens e objetos, com recurso à calculadora (tabela e
gráfico).
- Identificar os zeros de uma função;
- Averiguar se uma função é injetiva;
- Averiguar se uma função é contínua no seu domínio.
- Identificar os intervalos em que uma função é positiva
ou negativa;
- Construir uma tabela (ou quadro) de sinal de uma
função;
- Identificar os intervalos de monotonia (sentido estrito e
sentido lato) de uma função;
- Construir uma tabela (ou quadro) de variação de uma
função.
Ficha de avaliação.
97
ANEXO II
Pedido de autorização ao Diretor da Escola
99
Exmo. Senhor Presidente da
Comissão Administrativa Provisória do
Agrupamento de Escolas de Barcelos
No âmbito do curso de Mestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e do
Ensino Secundário, da Universidade do Minho, nós, Jorge Vieira e Nuno André Castro, professores
estagiários de Matemática desta Escola, encontrámo-nos a elaborar um relatório de estágio, intitulado O
erro construtivo: Uma experiência com alunos do 10º ano de escolaridade e O feedback na contribuição
para o desenvolvimento da escrita matemática: Uma experiência realizada com uma turma do 10º ano de
escolaridade, durante o estudo das funções, respetivamente.
O relatório de estágio pressupõe um projeto de intervenção pedagógica supervisionada em
Educação Matemática. Este projeto orienta-se no sentido de definir temas, objetivos e estratégias de
ação, que decorram da observação e análise das práticas de ensino e aprendizagem na área de docência
e contribuam para a compreensão e melhoria dessas práticas. Nesse sentido, há necessidade de efetuar
uma recolha de dados que, nestes estudos, impõe gravações áudio de algumas aulas de Matemática e a
aplicação de questionários aos alunos.
De forma a viabilizar este estudo, solicitamos a V. Exa. autorização para realizar as gravações
nas aulas de Matemática.
Quer no processo de recolha de dados, quer no relatório de estágio, comprometemo-nos a
garantir o anonimato em relação à identidade dos alunos da turma e ainda a solicitar a autorização aos
Encarregados de Educação.
Desde já agradecemos a sua atenção.
Com os melhores cumprimentos,
12 de Dezembro de 2013
Autorização
Os professores estagiários
___________________________
(Jorge Alexandre Moura Alves Vieira)
_____ de ______________ de 2013
__________________________
(Nuno André Barbosa e Castro)
_____________________________
(Jorge Manuel Vaz Saleiro)
O Presidente da CAP
101
ANEXO III
Pedido de autorização aos Encarregados de Educação
103
Exmo(a) Senhor(a)
Encarregado(a) de Educação do(a) aluno(a)
_________________________________
Nº _____, da turma E, 10º ano
Eu, Jorge Vieira, Estagiário de Matemática na Escola Secundária de Barcelos, no âmbito do
Mestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e do Ensino Secundário, da
Universidade do Minho, pretendo desenvolver uma investigação em Educação Matemática, intitulada O
erro construtivo: Uma experiência com alunos do 10º ano de escolaridade.
O relatório de estágio pressupõe um projeto de intervenção pedagógica supervisionada em
Educação Matemática. Este projeto orienta-se no sentido de definir temas, objetivos e estratégias de
ação, que decorram da observação e análise das práticas de ensino e aprendizagem na área de docência
e contribuam para a compreensão e melhoria dessas práticas. Nesse sentido, há necessidade de efetuar
uma recolha de dados que, no meu estudo, impõe a aplicação de questionários.
Quer no processo de recolha de dados, quer no tratamento dos dados no relatório de estágio,
comprometo-me a garantir o anonimato em relação à identidade de todos os alunos da turma.
Após autorização concedida pela Direção da Escola, solicito de igual modo a autorização de V.
Exa. para aplicar os questionários, de forma a viabilizar este projeto de intervenção pedagógica
supervisionada.
Desde já, muito obrigado pela sua colaboração.
Autorizo
Barcelos, ____ de dezembro de 2013
Barcelos, ____ de dezembro de 2013.
O professor estagiário,
Assinatura do(a) Encarregado(a) de Educação
(Jorge Alexandre Moura Alves Vieira)
105
ANEXO IV
Questionário
107
Caro/a Aluno/a
No âmbito da realização de um estudo de investigação sobre o erro construtivo, que constitui o objeto de estudo do
meu relatório de estágio profissional do Mestrado em Ensino da Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e no
Ensino Secundário, venho pedir a tua colaboração para responder às questões que a seguir são apresentadas.
Embora as tuas respostas não sejam usadas para te atribuir qualquer classificação à disciplina de Matemática, é
muito importante que leias cuidadosamente todas as questões e que respondas a todas as perguntas do
questionário com sinceridade.
As tuas respostas às questões serão mantidas confidenciais e eu, enquanto a única pessoa com acesso aos dados,
comprometo-me a não divulgar as respostas a não ser para fins do estudo e sempre sob a forma de anonimato.
Muito obrigado pela colaboração.
Jorge Alexandre Moura Alves Vieira
Nas questões de escolha múltipla, contorna com uma circunferência,
apresentadas.
, apenas uma das alternativas que são
1. Nome _____________________________________________________________________________;
Idade ___;
2. Durante todo o teu percurso escolar, já repetiste algum ano escolar? Se sim, que ano(s) repetiste?
3. No caso da Matemática, em que posição se situa no teu ranking de preferências?
a) É a disciplina de que mais gostas;
b) Está entre as tuas três disciplinas favoritas;
c) Está nas três disciplinas de que menos gostas;
d) É a disciplina de que menos gostas;
e) Outro. __________
4. No caso de teres escolhido a alínea a) ou d), na questão anterior, aponta as razões que te levaram a escolher
essas opções.
5. Ao longo do teu percurso escolar, tiveste algum(a) professor(a) de Matemática que te tivesse marcado pela
positiva? Se sim, por que é que te marcou?
109
6. Ao longo do teu percurso escolar, tiveste algum(a) professor(a) de Matemática que te tivesse marcado pela
negativa? Se sim, por que é que te marcou?
7. Se respondeste afirmativamente à questão 5, ou à questão 6, em que medida achas que esse(a) professor(a)
contribuiu para a forma como hoje te sentes em relação à Matemática?
8. Quando cometes um erro (de cálculo ou de raciocínio) numa tarefa de Matemática:
a) Costumas dar por ele/ identificá-lo no fim da tarefa;
b) Costumas dar por ele/ identificá-lo durante a resolução da tarefa;
c) Não costumas dar conta dele/ identificá-lo, a não ser que to indiquem;
d) Às vezes dás conta dele/ identifica-lo, outras não.
9. Quando te apontam um erro (de cálculo ou de raciocínio) a uma resolução tua de um exercício de Matemática:
a) Sentes-te envergonhado/a e esperas que mais ninguém repare que erraste;
b) Tentas perceber como aconteceu e estás mais atento/a em situações idênticas;
c) Ficas aborrecido/a e desistes do exercício;
d) Ficas aborrecido/a mas persistes no exercício;
e) É-te indiferente;
e) Outro. ____________
10. Como preferes que o teu professor(a) lide com os teus erros (de cálculo ou de raciocínio)?
a) Que te explique individualmente;
b) Que explique perante a turma, mas que não diga que foste tu a errar;
c) É-te indiferente, desde que fiques a perceber os conteúdos;
d) Outro. _____________
11. Que classificação obtiveste a Matemática no último período?
12. Fora da escola, tens ajuda na resolução das tarefas da disciplina de Matemática? Se sim, quem te ajuda?
(explicador, pais, etc.)
110
13. Fora da escola, quando é que estudas Matemática?
a) Todos os dias;
b) Uma vez por semana;
c) Antes dos testes;
d) Nunca;
e) Outro. _______________
14. Entendes a matéria que te é transmitida na sala de aula à disciplina de Matemática?
a) Sempre;
b) Quase sempre;
c) Quase nunca;
d) Nunca.
15. Distrais-te com facilidade nas aulas de Matemática?
a) Sempre;
b) Quase sempre;
c) Quase nunca;
d) Nunca.
16. Se respondeste afirmativamente (a ou b) à questão anterior, qual a causa mais frequente da tua distração?
a) Conversa com os colegas;
b) Falta de interesse pelos conteúdos da disciplina;
c) O professor não te cativa;
d) Assuntos extra-aula que te prendem a atenção;
e) Outro. ______________
111
17. As tuas classificações a Matemática costumam ser:
a) Acima da maioria da turma;
b) Igual à maioria da turma;
c) Inferior à maioria da turma.
18. No caso de teres escolhido a alínea c) na questão anterior, achas que esse facto afeta a tua motivação nas
aulas/para a disciplina de Matemática?
a) Nada;
b) Um pouco;
c) Bastante;
d) Totalmente.
19. Em que medida achas que as características do professor afetam o teu desempenho na disciplina de
Matemática? (a sua simpatia, a forma como explica, as estratégias que utiliza para motivar os alunos, etc.)
a) Nada;
b) Um pouco;
c) Bastante;
d) Imenso/totalmente.
20. Se respondeste afirmativamente (bastante ou imenso/totalmente) à questão anterior, refere quais as
características que mais valorizas num(a) professor(a) de Matemática:
a) Clareza na sua exposição de conteúdos;
b) Domínio científico da matemática;
c) Carácter inovador/motivante das estratégias utilizadas;
d) Humor;
e) Simpatia/Humanismo;
f) Não discriminação dos alunos;
g) Entusiasmo;
h) Outro(s). ______________
112
21. Quando realizas um teste de Matemática, sentes-te:
a) Nervoso/a;
b) Tranquilo/a;
c) Outro. __________
22. Dentro dos conteúdos de Matemática que já estudaste, indica aquele de que mais gostaste. Porquê?
a) Estatística;
b) Funções;
c) Geometria;
d) Outro. __________
23. Dentro dos conteúdos de Matemática que já estudaste, indica aquele de que menos gostaste. Porquê?
a) Estatística;
b) Funções;
c) Geometria;
d) Outro. __________
24. Pretendes ingressar no ensino superior? Se sim, que curso(s) pretendes frequentar?
25. Em que medida te parece que a Matemática poderá ser importante para o teu futuro profissional?
a) Nada;
b) Pouco;
c) Bastante;
d) Imensamente importante.
113
ANEXO V
Teste diagnóstico
115
Teste Diagnóstico
10º ano Turma E
Ano letivo 2013/2014
Grupo I
Na resposta a cada um dos itens deste grupo, seleciona a única opção correta, contornando-a com uma
circunferência, .
1. O número real
A.
, quando simplificado o mais possível, é apresentado sob a forma:
.
B.
.
C.
.
D.
.
2. Seja
o perímetro de um quadrado de lado , ou seja,
. Podemos afirmar que se trata de:
A. uma proporcionalidade direta cuja constante de proporcionalidade é 4.
B. uma proporcionalidade inversa cuja constante de proporcionalidade é 4.
C. uma função cujo gráfico é uma reta oblíqua que passa pelo ponto de coordenadas
D. uma proporcionalidade direta cuja constante de proporcionalidade é .
3. As condições
«A Andreia tem mais dois anos que a Joana»;
«Se juntarmos o meu dinheiro com um quarto do teu, ficamos com 410 euros»;
são traduzidas em linguagem matemática pelas expressões:
A.
–
B.
–
C.
–
D.
.
.
.
.
117
.
4. A expressão
é equivalente a:
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
5. A expressão
A.
–
é equivalente a:
–
.
B.
.
C.
–
D.
–
.
.
Grupo II
Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as
justificações necessárias.
Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.
1. Na figura está representada graficamente a função
que à idade faz corresponder o número de horas de sono.
1.1. De acordo com o gráfico indica:
1.1.1. O número de horas que a Rita, de 16 anos, deve dormir.
118
1.1.2. A idade do Serafim, sabendo que precisa de dormir 15 horas.
1.2. Indica o domínio e o contradomínio da função .
1.3. Qual é a imagem de 6 pela função ?
1.4. Qual é o objeto que pela função
tem por imagem 12?
1.5. Completa:
;
.
2. Uma torneira enche uma vasilha em 5 minutos, deixando cair
cada minuto faz corresponder o volume de água na vasilha.
de água por minuto. Seja
2.1. Constrói uma tabela de valores da função de zero a cinco minutos.
2.2. Indica:
2.2.1. A imagem de 2.
2.2.2. O objeto que tem por imagem 18.
2.3. Seja
o volume da água na vasilha e o tempo de enchimento, completa:
;
3. Observa a tabela que representa uma função .
Sabendo que a expressão analítica de
é
, completa a tabela:
4. Indica o conjunto solução da seguinte inequação:
5. Indica o conjunto solução da seguinte equação:
119
a função que a
ANEXO VI
Ficha por partes
121
Ficha por partes
10º ano Turma E
Ano letivo 2013/2014
1. Considere um retângulo cujas dimensões, em centímetros, são as indicadas na figura.
1.1. Mostre que a função , que a cada valor de
é dada por
faz corresponder a área do retângulo,
.
1.2. Atendendo ao contexto da situação apresentada, indique, justificando, o domínio da função .
1.3. Determine, analiticamente, a área do retângulo para
.
1.4. Recorrendo às potencialidades da calculadora gráfica, determine os valores de
retângulo não é inferior a
para os quais a área do
.
Reproduza o gráfico obtido na calculadora atendendo ao contexto da situação apresentada. Pela observação
do gráfico, deverá ser possível identificar o domínio, o contradomínio e as coordenadas dos pontos de
interseção do gráfico de
com os eixos coordenados. Considere valores arredondados às centésimas.
2. Na figura está representado, num referencial o.n.
2.1. Determine os valores de
, o gráfico de uma função
tais que
.
2.2. Indique os extremos relativos de .
2.3. Comente a seguinte afirmação:
”A função
é contínua.”
123
de domínio
.
3. Considere a função
definida em
por:
3.1. Determine os objetos com imagem nula.
3.2. Considere o ponto P de coordenadas
com
. Para que valores de , o ponto
ao gráfico de ? Apresente valores exatos o mais simplificados possível.
4. Considere a seguinte família de funções afins:
4.1. Determine para que valores de
4.2. Determine
a função
é estritamente crescente.
de modo que o gráfico da função
seja uma reta horizontal.
Questão
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
2.1.
2.2.
2.3.
3.1.
3.2.
4.1.
4.2
Cotação
2,5
1,5
1,5
2,5
1,5
2
1,5
1,5
2,5
1,5
1,5
124
pertence