0 UNISALESIANO Centro Universitário Católico Salesiano Auxilium PEDAGOGIA Fabiulla Blindaly Neves Raimundo Renata Cristina Pereira de Freitas A INFLUÊNCIA DO COTIDIANO NAS APLICAÇÕES DE SITUAÇÕES PROBLEMA DE MATEMÁTICA PARA OS ALUNOS DO 4º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL LINS – SP 2012 1 Fabiulla Blindaly Neves Raimundo Renata Cristina Pereira de Freitas A INFLUÊNCIA DO COTIDIANO NAS APLICAÇÕES DE SITUAÇÕES PROBLEMA DE MATEMÁTICA PARA OS ALUNOS DO 4º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Banca Examinadora do Centro Universitário Católico Salesiano Auxilium, como requisito parcial para obtenção do título de Graduação em Pedagogia, sob orientação do Prof. Me. Marcos José Ardenghi e da Profª. Ma Fátima Eliana Frigatto Bozzo. LINS - SP 2012 2 Fabiulla Blindaly Neves Raimundo Renata Cristina Pereira de Freitas A INFLUÊNCIA DO COTIDIANO NAS APLICAÇÕES DE SITUAÇÕES PROBLEMA DE MATEMÁTICA PARA OS ALUNOS DO 4º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL Trabalho de Conclusão de Curso (TCC) apresentado ao Centro Universitário Católico Salesiano Auxilium para obtenção do título de graduação do curso de Pedagogia. Aprovado em ________/________/________ Banca Examinadora: Prof. Orientador: Marcos José Ardenghi Titulação: Mestre em Educação Matemática pela PUC/SP Assinatura: _________________________________ 1º Prof(a): ______________________________________________________ Titulação: ______________________________________________________ _______________________________________________________________ Assinatura: _________________________________ 2º Prof(a): ______________________________________________________ Titulação: ______________________________________________________ _______________________________________________________________ Assinatura: _________________________________ 3 AGRADECIMENTO Agradecemos aos nossos familiares pelo carinho, compreensão, pela dedicação de todos estes anos de nossas vidas. Aos nossos namorados por todo carinho e cuidado para conosco. Aos nossos professores pela orientação, apoio e ajuda ao longo destes três anos de formação. Em especial aos professores Denise Pereira Rocha, Fabiana Sayuri Sameshima, Adriana Monteiro Piromali Guarizo, Thiago Flávio Souza e José Médice. Aos professores orientadores Marcos José Ardenghi e Fátima Eliana Frigatto Bozzo. Aos nossos amigos pelo companheirismo, pelos conselhos, conversas, ajudas e motivação para prosseguir. Às escolas estaduais “Miécio Cavalheiro Bonilha” e “José Ariano Rodrigues” e às professoras por terem cedido às salas e liberado os alunos para o desenvolvimento da pesquisa. E, em especial, a Deus e a Nossa Senhora por nos ter dado forças, determinação, paciência, perseverança para prosseguir nossos caminhos, com fé, sabedoria em todos os momentos de nossas vidas. Fabiulla e Renata 4 RESUMO O presente trabalho teve como objetivo verificar se a utilização de situações do cotidiano no ensino da matemática pode influenciar positivamente o aprendizado de alunos de um 4º ano do Ensino Fundamental através das situações-problema. Realizou-se estudos bibliográficos visando conhecer as argumentações de autores consagrados no ensino da matemática a respeito da utilização do cotidiano para o seu ensino. Utilizou-se a engenharia didática como metodologia para análise da aplicação de uma sequência didática com problemas do cotidiano para dezesseis alunos do 4º Ano do Ensino Fundamental de duas escolas públicas rede Estadual de São Paulo, sediadas no município de Lins. Inicialmente foi realizada uma análise preliminar para identificar na literatura as principais dificuldades dos alunos em relação a multiplicação. Em seguida, foi aplicado um teste piloto com cinco situaçõesproblema visando verificar quais os conhecimentos prévios dos alunos, bem como suas dificuldades. Com as informações foi elaborada e aplicada uma sequência didática com situações envolvendo multiplicação. Decorridos vinte dias da aplicação da sequência didática foi aplicado um novo teste (análise a posteriori), com questões do tipo das utilizadas no teste piloto. Foram realizadas análises comparativas entre os resultados obtidos no teste piloto e na análise a posteriori. As análises evidenciaram que os resultados apresentados pelos alunos na análise a posteriori, após terem realizado a sequência didática, melhoram em alguns pontos em relação ao teste piloto (análise a priori), mas mesmo assim constatou-se que os alunos ainda estão aquém do esperado em relação ao domínio do conteúdo multiplicação na resolução de situações-problema. Palavras-chave: Matemática. Cotidiano. Situações-problema. 5 ABSTRACT This study aimed to determine whether the use of everyday situations in mathematics education can positively influence student learning of a 4th year of elementary school. Held bibliographical studies aiming to know the arguments of renowned authors in the teaching of mathematics concerning the use of everyday life for your education. It was used as a didactic engineering analysis methodology for implementing a teaching sequence with everyday problems to sixteen students from the 4th year of elementary school two schools of São Paulo State network headquartered in the city of Lins. Initially a preliminary analysis of the literature to identify the main difficulties of students in relation to multiplication. Then, we applied a test pilot with five problem situations in order to ascertain which students' prior knowledge as well as their difficulties. With the information was designed and implemented with a sequence didactic situations involving multiplication. After twenty days of the application of didactic sequence was applied a new test (a posteriori analysis), with the type of questions used in the pilot test. Comparative analyzes were made between the results obtained in the pilot test and subsequent analysis. The analyzes showed that the results shown by the students in analyzing a posteriori, after realizing the didactic sequence, improve in some points from the pilot test (a priori analysis), but even then it was found that students are still below expectations in relation to the content domain multiplication in resolving problem situations. Keywords: Mathematics. Everyday. Situations problems. 6 LISTA DE QUADROS Quadro 1: Resultado da questão 1 - análise a priori....................................... 29 Quadro 2: Resultado da questão 2 - análise a priori....................................... 30 Quadro 3: Resultado da questão 3 - análise a priori....................................... 31 Quadro 4: Resultado da questão 4 - análise a priori....................................... 32 Quadro 5: Resultado da questão 5 - análise a priori....................................... 32 Quadro 6: Resultado da questão 1 - aplicação da sequência didática............ 34 Quadro 7: Resultado da questão 2 - aplicação da sequência didática............ 35 Quadro 8: Resultado da questão 3 - aplicação da sequência didática............ 35 Quadro 9: Resultado da questão 4 - aplicação da sequência didática............ 36 Quadro 10: Resultado da questão 5 - aplicação da sequência didática.......... 37 Quadro 11: Resultado da questão 6 - aplicação da sequência didática.......... 38 Quadro 12: Resultado da questão 7 - aplicação da sequência didática........... 39 Quadro 13: Resultado da questão 8 - aplicação da sequência didática.......... 40 Quadro 14: Resultado da questão 9 - aplicação da sequência didática.......... 40 Quadro 15: Resultado da questão 10 - aplicação da sequência didática........ 41 Quadro 16: Resultado da questão 1 - análise a posteriori................................ 43 Quadro 17: Resultado da questão 2 - análise a posteriori................................ 44 Quadro 18: Resultado da questão 3 - análise a posteriori................................ 45 Quadro 19: Resultado da questão 4 - análise a posteriori................................ 46 Quadro 20: Resultado da questão 5 - análise a posteriori................................ 47 LISTA DE FIGURA Figura 1: Triângulo didático.............................................................................. 16 LISTA DE TABELA Tabela 1: Resumo dos resultados.................................................................... 50 7 SUMÁRIO INTRODUÇÃO......................................................................................... 08 CAPÍTULO I – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ........................................... 10 1 ENFATIZANDO CONCEITOS......................................................... 10 CAPÍTULO II – SITUAÇÕES DIDÁTICAS .............................................. 16 2 SITUAÇÕES PROBLEMAS ............................................................ 16 CAPÍTULO III – METODOLOGIA............................................................ 21 3 ENGENHARIA DIDÁTICA .............................................................. 21 3.1 Técnicas .......................................................................................... 25 3.2 Amostra ........................................................................................... 26 CAPÍTULO IV – RESULTADOS .............................................................. 27 4 RESULTADOS DA APLICAÇÃO ................................................... 27 4.1 Da análise preliminar ....................................................................... 27 4.2 Da análise a priori............................................................................ 28 4.3 Da aplicação da sequência didática ................................................ 33 4.4 Da análise a posteriori ..................................................................... 42 CAPÍTULO V – ANÁLISE DOS RESULTADOS ..................................... 49 CONCLUSÃO .......................................................................................... 51 REFERÊNCIAS ....................................................................................... 52 APÊNDICE .............................................................................................. 55 8 INTRODUÇÃO O presente trabalho analisa se as influências do cotidiano nas situações problemas de matemática podem interferir diretamente na aprendizagem escolar dos alunos. O trabalho tem como objetivo geral verificar se a utilização de situações do cotidiano no ensino da matemática pode influenciar positivamente o aprendizado de alunos de um 4º ano do Ensino Fundamental e como objetivos específicos: identificar na literatura específica como é tratada a utilização de situações do cotidiano no ensino de matemática; elaborar uma sequência didática com situações do cotidiano e aplicá-la em alunos de um 4º ano do Ensino Fundamental e analisar os resultados obtidos com a sequência didática e compará-los com resultados obtidos no ensino tradicional. Estes objetivos surgiram do questionamento: como as situações do cotidiano do aluno do 4º ano do ensino fundamental podem influenciar o aprendizado da matemática? O ensino tradicional de matemática pouco contempla situações do cotidiano, assim acredita-se que a utilização dessas situações pode influenciar positivamente o ensino aprendizagem de matemática. Utilizou-se nesse trabalho a metodologia denominada Engenharia Didática que, segundo Machado (1999), é uma metodologia que tem por finalidade analisar situações didáticas. O processo experimental da engenharia didática se compõe de quatro fases: análises preliminares; análise a priori; experimentação e análise a posteriori. Para coletar os dados realizou-se um experimento em sala de aula com 16 (dezesseis) alunos do 4º ano do Ensino Fundamental de duas escolas estaduais da cidade de Lins, sendo 8 (oito) alunos por escola. Os testes foram aplicados num período de 55 dias. O trabalho foi dividido em cinco capítulos: o primeiro trata da Revisão Bibliográfica sobre o tema; o segundo das Situações Didáticas; o terceiro trata da Metodologia, no qual se descreve o processo de engenharia didática utilizado; o quarto trata dos Resultados obtidos e o quinto trata da Análise dos Resultados. 9 O trabalho evidenciou que os resultados apresentados pelos alunos na análise a posteriori, após terem realizado a sequência didática, melhoram em alguns pontos em relação ao teste piloto (análise a priori), mas mesmo assim constatou-se que os alunos ainda estão aquém do esperado em relação ao domínio do conteúdo multiplicação na resolução de situações-problema. 10 CAPITULO I REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 1 ENFATIZANDO CONCEITOS Neste primeiro capítulo realiza-se uma revisão bibliográfica dos textos que tratam do tema cotidiano no ensino da Matemática. O objetivo do trabalho é verificar se a utilização de situações problemas do cotidiano no ensino da matemática pode influenciar positivamente o aprendizado de alunos de um 4º ano do Ensino Fundamental. Inicialmente dá-se ênfase a um documento muito importante para o ensino de matemática o Parâmetro Curricular Nacional (PCN), primeiro ciclo (1ª a 4ª série), elaborado no final da década de 1990. O mesmo é dividido em duas partes: na primeira parte apresenta os princípios norteadores, uma breve trajetória das reformas, o quadro atual de ensino da disciplina e uma análise das características da área e do papel que ela desempenha no currículo escolar; na segunda parte apresenta orientações didáticas para o primeiro e para o segundo ciclo. A principal crítica apresentada no documento em relação aos Guias Curriculares utilizados nas décadas de 1960/70 refere-se às dificuldades de concretização dos mesmos: a ênfase em técnicas, tornando o ensino da Matemática sem significado; a linearidade do currículo de Matemática, a qual estabelecia uma forte ênfase nos pré-requisitos; e a concepção de um ensino baseada em estruturas, centrado, portanto, no conteúdo matemático com distanciamento entre escola e o cotidiano dos alunos. (MONTEIRO; NACARATO, 2005) É esse distanciamento que provoca desaprovação ao conteúdo de matemática, a falta de significado do saber escolar leva o aluno a sentir-se excluído e sem motivação para continuar seus estudos. Dos tempos passados até agora, discussões foram feitas e ainda são realizadas no sentido de tornar o ensino da matemática cada vez mais próximo da realidade dos alunos. Os Parâmetros Curriculares Nacionais para a área de Matemática 11 constituem um referencial para a construção de uma prática que favoreça o acesso ao conhecimento matemático que possibilite de fato a atuação dos alunos como cidadãos no mundo do trabalho, das relações sociais e da cultura. Os parâmetros destacam ainda que a Matemática está presente na vida de todas as pessoas, em situações em que é preciso, por exemplo, quantificar, calcular, localizar um objeto no espaço, ler gráficos e mapas, fazer previsões. Mostram que é fundamental superar a aprendizagem centrada em procedimentos mecânicos, indicando a resolução de problemas como ponto de partida da atividade matemática a ser desenvolvida em sala de aula. Segundo Brasil (1998), o ensino de matemática é importante por permitir resolver problemas do cotidiano, por ser um saber aplicável em outras disciplinas, por ter aplicabilidade no mundo do trabalho e por interferir fortemente na formação de capacidades intelectuais dos alunos. Apresentando a seguinte concepção: Matemática é uma ciência que se originou no cotidiano e converteu-se em sistema de variadas e extensas disciplinas. Como as demais ciências, refletem as leis sociais e serve de poderoso instrumento para o conhecimento do mundo e domínio da natureza. Estudar matemática é um privilégio de todos os cidadãos, vivemos de matemática, ela concretiza ações, e desenvolve atividades que facilitam o desenrolar das situações - problema. Ainda nas orientações dos PCNs, destacamos: As necessidades cotidianas fazem com que os alunos desenvolvam uma inteligência essencialmente prática, que permite reconhecer problemas, buscar e selecionar informações, tomar decisões e, portanto, desenvolver uma ampla capacidade para lidar com a atividade matemática. Quando essa capacidade é potencializada pela escola, a aprendizagem apresenta melhor resultado. (BRASIL, 1998, p. 29) Em geral, o saber cotidiano é valorizado por seu caráter de saber antecipado e, portanto, indicativo para o professor não apenas no sentido das escolhas do conteúdo, mas também nas relações que esses conteúdos vão objetivar para aprendizagem dos alunos. É inaceitável pensarmos que só existe um caminho para o ensino de matemática, porém é importante conhecer as outras possibilidades para este ensino, que abrange muito mais que os conteúdos apenas estabelecidos pelos livros didáticos. Embora o professor tenha os blocos de conteúdos 12 estabelecidos pelos PCNs (Números e Operações, Espaço e Forma, Grandezas e Medidas e Tratamento da Informação) como referência para seu trabalho, ele deve apresentá-lo aos alunos da forma mais integrada possível. A dimensão concreta da matemática passou a ocupar um lugar de destaque no discurso daqueles que se preocupam com o tema, e de acordo com os estudiosos, foi constatado que, na aula de matemática, o que ainda predomina é uma matemática sem relação com a vida cotidiana. (MAIA, 2007) Sem a referida relação os alunos ao cursarem o 4º ano do ensino fundamental terão dificuldades na compreensão dos novos conceitos que irão se misturar aos anteriores que foram obtidos através de velhas práticas e esses novos conceitos não serão bem compreendidas e causarão dúvidas ou confusões no momento de sua utilização em situações práticas. O professor e o aluno, como atores de uma sociedade em movimento, carregam consigo um saber que se constrói no dia a dia, tanto social, familiar, quanto profissional. E este conhecimento eles trazem para a escola. (MAIA, 2007) A escola deve formar alunos alfabetizados matematicamente e crítico para o exercício da cidadania, possibilitando aos mesmos a percepção sobre o movimento do pensamento matemático a fim de dominar as formas, os meios, as estratégias e os conteúdos matemáticos produzidos historicamente e possibilitem a produção dos novos conhecimentos. (GAY, 2011) Um dos pontos que merecem destaque nas discussões sobre o ensino da matemática, é o fato que o professor deve ser considerado mediador entre o conhecimento matemático e o aluno. Para desempenhar essa função mediadora, é necessário que ele conheça muito bem, de um lado os conhecimentos e procedimentos que deverá ser ensinado e do outro como esses conteúdos são aprendidos pelo aluno. Outro ponto fundamental é pensar a matemática tanto de forma contextualizada, como fora de qualquer contexto. De acordo com Moreno (2006, p.49), na interação desenvolvida por um aluno em situação de ensino, ele utiliza seus conhecimentos anteriores, submete-os à revisão, modifica-os, rejeita-os ou os completa, redefine-os, descobre novos contextos de utilização e, dessa maneira constrói novas concepções. 13 Pensar no aluno como agente da própria aprendizagem não significa em hipótese alguma abandoná-lo à própria sorte. Assim cabe ao professor mediador, planejar o trabalho em classe com situações que forneçam condições e abram espaço para que a criança perceba a possibilidade e a necessidade de relacionar saberes conquistados em momentos diferentes e, assim, encontre caminhos próprios de resolução de problemas. (GAY, 2011) Acredita-se que no caso da matemática, a concepção de aprendizagem se torna evidente quando se analisam as situações didáticas relativas ao trabalho com a resolução de problemas. Um dos recursos importantes para auxiliar e facilitar a aprendizagem de resolução de problemas são os jogos. Os alunos devem ser estimulados a tentar superar as dificuldades, apoiando-se em estratégias obtidas pelo seu próprio esforço ou as utilizadas em problemas análogos. O aluno deve ser permanentemente provocado e instigado para que consiga evoluir pelo seu próprio mérito ao longo de todo o processo de ensino-aprendizagem. Incorporar a cultura na vida dos alunos, nas práticas pedagógicas está sendo analisado por diversos pesquisadores como uma das possibilidades para construir um currículo diversificado. Santomé (1995) argumenta que a sala de aula precisa se tornar um espaço para a aquisição e análise crítica desses saberes: A educação obrigatória tem que recuperar uma de suas razões de ser: um espaço onde as novas gerações se capacitem para adquirir e analisar criticamente o legado cultural da sociedade. As salas de aula não podem continuar sendo um lugar para a memorização de informações descontextualizadas. É preciso que o alunado possa compreender bem quais são as diferentes concepções de mundo que se ocultam sob cada uma delas e os principais problemas da sociedade a que pertencem. (p.176). Talvez o maior problema esteja nos documentos oficiais. No Brasil e também em outros países, os currículos oficiais raramente contam, para sua elaboração, com a participação de docentes do Ensino Fundamental. Em geral, esses documentos, muitas vezes são bem articulados, mas bastante distantes dos professores, pois são elaborados por especialistas com pouca ou nenhuma vivência de sala de aula. Assim, ao serem impostos, esses textos acabam gerando a resistência dos professores que, por terem sua voz suprimida, acabam contestando os modelos técnicos dominantes (SILVA, 2001). Em razão disso e com o fim de garantir a sua implementação, medidas 14 foram adotadas pelo governo federal com a intenção de capacitar os professores para sua utilização. No Estado de São Paulo está ocorrendo um conjunto intensivo de cursos, palestras, videoconferências, entre outros recursos, com a intenção de tornar essas orientações curriculares acessíveis e compreensíveis para os professores. Esses cursos primeiramente são oferecidos aos professores coordenadores das escolas estaduais e estes repassam para os demais professores nas reuniões semanais. Candau (1997, p. 55) considera que a “formação continuada de professores deve ter por base três aspectos: a escola como lócus privilegiado de formação; a valorização do saber do docente; e o ciclo de vida dos professores”. O processo de educação contínua abrange o conteúdo dos programas, os procedimentos usados para ministrar o conteúdo e a avaliação da eficiência e eficácia das atividades. Esse é um campo complexo porque é difícil falar de necessidades gerais em termos de conteúdos e procedimentos, uma vez que esses emergem dos papéis específicos que os educadores desempenham na vida das escolas e das comunidades. (DUARTE; LEITE, 2010) Observaremos agora as opiniões de alguns autores sobre a importância de inserir as atividades do cotidiano nos conteúdos de sala de aula. Essa visão do cotidiano se identifica com a noção de saber cotidiano, enquanto algo simples e rotineiro, oposto ao pensamento científico, que se configura como saber complexo e elaborado, traduzindo uma visão reducionista do saber cotidiano, que se manifesta pela formulação de certas concepções. Sobre a idéia comum referente ao saber cotidiano. (GARCIA, 1998, p.76) Quando nos referimos aos conhecimentos matemáticos trabalhados com nossos alunos, ressaltamos que estes conhecimentos foram formatados a partir de suas vivências, inseridos e refletidos no contexto sócio-político-cultural dos alunos, conduzindo-os a compreender as relações que a matemática tem com a vida das pessoas. (SILVA; FILHO, 2004, p.1) [...] por fim, acreditamos que a educação de forma geral e especificamente o ensino de matemática nas séries iniciais são necessários e devem cumprir um papel fundamental na atual sociedade: o de contribuírem como mais um elemento no processo de transformação vigente. Isto significa que o aluno para inserir-se no mundo numérico da nossa sociedade e entender o funcionamento desta, necessita apropriar-se do conhecimento numérico produzido e sistematizado pela humanidade ao longo da história, fazendo reflexões, análises, questionamentos e relações deste conhecimento com a realidade social. (BRAGAGNOLO, 2001, p.8) [...] Os alunos estarão mais interessados em matemática se puderem ver como esta é usada na vida diária. Por esses motivos, os autores recomendam que na escola, sejam tratados problemas envolvendo 15 situações realistas. (VIANA, 2007, p. 14) Entende-se, pelas ideias apresentadas pelos autores, que a contextualização cultural da matemática é ponto imprescindível para sua apropriação pelos alunos. E que essa contextualização deva se dar pela busca de mecanismos que deixem claro a relação entre a matemática produzida em diferentes contextos sociais e a matemática escolar que se coloca acessível no trabalho em sala de aula. Sintetizando a discussão até aqui, conclui-se que todas as ideias apresentadas apontam para a importância de se trabalhar com a ‘realidade’ do aluno nas aulas de matemática utilizando a resolução de problemas como metodologia de ensino. 16 CAPITULO II SITUAÇÕES DIDÁTICAS 2 SITUAÇÕES PROBLEMAS Neste segundo capítulo tratar-se-á das situações didáticas para o 4º ano do ensino fundamental, pensando nas sequências didáticas como situações do cotidiano. Guy Brousseau contribuiu com o desenvolvimento da teoria das Situações Didáticas. a Didática da Matemática estuda as atividades didáticas que tem como objetivo o ensino naquilo que tem de específico dos saberes matemáticos, propiciando explicações, conceitos e teorias, assim como meios de previsão e análise, incorporando resultados relativos aos comportamentos cognitivos dos alunos (referência a Piaget), além dos tipos de situações utilizadas e os fenômenos de comunicação do saber. (BROUSSEAU, 1996, p.44) A visão dominante no campo da educação era essencialmente cognitiva, devido a Piaget e colaboradores, que evidenciou o papel central no desenvolvimento, a originalidade do pensamento matemático e as etapas de seu desenvolvimento nas crianças. Para modelar a teoria das Situações Didáticas, Brousseau (1996) propõe o sistema didático stricto sensu ou triângulo didático, que comporta três elementos - o aluno, o professor e o saber - que são partes importantes de uma relação complexa - a relação didática - que leva a interação entre professor e aluno, mediadas pelo saber que determina a forma pelas quais as relações irão se estabelecer. Esse triângulo didático pode ser observado na figura 1. Figura 1: Triângulo didático O SABER Epistemologia do professor Relação aluno/saber PROFESSOR ALUNO Relações pedagógicas Fonte: Machado, 1999, p. 2 17 A Teoria das Situações Didáticas desenvolvida por Brousseau se baseia no princípio de que cada conhecimento ou saber pode ser determinado por uma situação, entendida como uma ação entre duas ou mais pessoas. Para que ela seja solucionada, é preciso que os alunos mobilizem o conhecimento correspondente. Um jogo, por exemplo, pode levar o estudante a usar o que já sabe para criar uma estratégia adequada. (MONTEIRO, 2010) expõe como idéia básica aproximar o trabalho do aluno do modo como é produzida a atividade científica verdadeira, ou seja, o aluno se torna um pesquisador, testando conjecturas, formulando hipóteses, provando, construindo modelos, conceitos, teorias e socializando os resultados (BROUSSEAU, 1996, p. 4). O papel do conhecimento numa situação didática é o de permitir a antecipação. Para isto, o papel do professor é possibilitar que o aluno atue sobre a situação, sem interferência explícita, nem condução. Se uma situação leva o aluno à solução como um trem em seus trilhos, qual é a sua liberdade de construir seu conhecimento? Nenhuma. (BROUSSEAU, 1996b). O Parâmetro Curricular Nacional (PCN) de Matemática apresenta várias sugestões de como as situações didáticas possibilitam através de conteúdos específicos à aprendizagem qualitativa dos alunos em sala de aula. Esse documento vem propor estratégia de estudos. Os PCN’s trabalham com os seguintes blocos de conteúdos: a) NÚMEROS E OPERAÇÕES: categorias numéricas criadas em função de diferentes problemas que a humanidade teve que enfrentar — números naturais, números inteiros positivos e negativos, números racionais (com representações fracionárias e decimais) e números irracionais. (BRASIL, 1998) O trabalho com números é focado na compreensão dos números naturais e na identificação de suas diferentes funções (indicar quantidades, ordem, medida ou servir como código). A compreensão do conceito de número está diretamente ligada à idéia de operações e as noções das quatro operações matemáticas. (BRASIL, 1998) Para que o professor compreenda esse bloco de conteúdo, é importante ter conhecimento de que embora à criança tenha vivido no seu ambiente físico desde o nascimento, ela tem capacidade de adquirir novos conhecimentos e contribuir com a aula utilizando os seus conhecimentos prévios. 18 b) ESPAÇO E FORMA: O trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula a criança a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades e vice-versa. Exploração dos objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato. (BRASIL, 1998) Para que o professor compreenda esse bloco de conteúdo, é importante ter conhecimento de que, embora a criança esteja inserida em um espaço físico desde o nascimento, sua exploração matemática não é natural, depende de intervenção. Assim, o desenvolvimento do pensamento matemático na criança deve ocorrer a partir do ensino mediante problematizações. c) GRANDEZAS E MEDIDAS: Este bloco caracteriza-se por sua forte relevância social. Na vida em sociedade, as grandezas e as medidas estão presentes em quase todas as atividades realizadas, as noções de grandezas e medidas são exploradas proporcionando melhor compreensão de conceitos relativos ao espaço e às formas. (BRASIL, 1998) A habilidade de observar situações do cotidiano a partir de ações que incorporem o ato de medir e estimar medidas auxilia os alunos a opinar e tomar decisões e contribui para sua formação como cidadãos d) TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO: A finalidade do mesmo é evidenciar sua importância, em função de seu uso atual na sociedade. (BRASIL, 1998) Essa organização objetiva garantir que todos esses blocos sejam trabalhados no decorrer das aulas de forma articulada. Através dos blocos de conteúdos os professores podem preparar atividades de acordo com o desenvolvimento de raciocínio e aprendizagem dos alunos. Para que eles possam ter capacidade de buscar elementos necessários para a resolução de um problema, que é mais importante do que a simples resolução de um exercício que exija uma resposta pronta. Resolver problema é uma qualidade que merece destaque nos dias atuais, pois a todo o momento as pessoas se deparam com a necessidade de solucionar e elaborar problemas, avaliando novas informações. “Ao pensar na dificuldade oferecida por um problema matemático, percebemos que os alunos têm maior dificuldade em problemas que envolvem, por exemplo, a idéia de 19 comparar de que outros de juntar”. (GAY, 2011). Isso acontece por que são dois tipos diferentes de conhecimentos, mas necessários para a resolução dos problemas matemáticos. Uma das características metodológicas é considerar problema como toda situação que traga alguma problematização. A problematização pode ser chamada de processo metacognitivo. É o que se pensa sobre o que pensou ou realizou. Exige mais raciocínio, esclarecendo dúvidas. Outro aspecto fundamental para a resolução de problemas diz respeito à contextualização. Entende-se que o contexto pode se referir tanto à inserção nas práticas sociais que os alunos trazem para a sala de aula como as análises matemáticas propostas para o ensino. Além de tudo isso, o ambiente criado pelo professor precisa oferecer tempo para a resolução, necessitando mesclar momentos individuais e coletivos. No entanto, as soluções e diferentes estratégias devem ser discutidas e socializadas em um movimento de significados e sentidos. Sendo assim, compete ao professor formalizar os novos conhecimentos e sistematizar os novos procedimentos e estratégias com os alunos. Assim ao propor situações-problemas aos alunos, é preciso ter em mente o objetivo e as estratégias de ensino, explorando cada vez mais as capacidades dos alunos de achar soluções diferentes para resolver tais problemas, além de diversificar os materiais de ensino, formas e organizações, tornando um ambiente de produção e saber. É fundamental que antes do professor preparar seu material de trabalho, faça uma investigação com seus alunos. Vale lembrar que as crianças já possuem alguns conhecimentos que podem ajudar e facilitar no momento das novas aprendizagens. Outro aspecto importante das situações didáticas é o papel do professor, pois: [...] ao mesmo tempo em que ensina um saber o professor recomenda como usá-lo. Manifesta-se assim uma posição epistemológica que o aluno adota muito mais rapidamente porque a mensagem permanece implícita ou ainda inconsciente. Infelizmente, essa posição epistemológica é difícil de ser identificada, assumida e controlada e, por outro lado, parece desempenhar um papel importante na qualidade dos conhecimentos adquiridos. (BROUSSEAU, 1996b, p. 59). 20 Na Didática da Matemática, a concepção epistemológica “é um conjunto de convicções, conhecimentos e saberes científicos, os quais tendem a dizer o que são os conhecimentos dos indivíduos ou de grupos de pessoas, como funcionam, os modos de estabelecer sua validade e então de ensiná-los e aprendê-los”. (D’AMORE, 2007) O professor é responsável por arrolar os procedimentos empregados e as diferenças encontradas, promover o debate sobre resultados e métodos, orientar as reformulações e valorizar as soluções mais adequadas. Ele também decide se é necessário prosseguir o trabalho de pesquisa de um dado tema ou se é o momento de elaborar uma síntese, em função das expectativas de aprendizagem previamente estabelecidas em seu planejamento. (BRASIL, 1998, p. 31) Como um incentivador da aprendizagem, o professor estimula a cooperação entre os alunos, tão importante quanto à própria interação adulto/criança. No processo educacional o papel de quem ensina e de como aprende é fator importantíssimo para que professores e alunos criem vínculos indispensáveis para a aprendizagem, pois ensinar e aprender envolve o professor, o aluno e o meio onde se dá a aprendizagem. O professor precisa criar vínculo com seus alunos e atentar para diferenciar a forma de ensinar, principalmente interessar por trabalhar as dificuldades, que devem ser entendidas como desafios a serem vencidos, começando a partir do cotidiano dos alunos. Se o aluno percebe que tem dificuldades para aprender, começa a apresentar desinteresse, irresponsabilidade e às vezes torna-se agressivo, pois sente que algo está lhe causando sofrimento para aprender. Nesse sentido, Martins (2011) argumenta que: O professor como mediador do processo de ensino-aprendizagem, precisa ser interventor na resolução de problemas e desenvolver um trabalho consciente, que promova aprendizagens. Sendo assim a escola é um dos lugares mais privilegiados para diminuir problemas de aprendizagem. Precisa promover momentos de reflexão de ação psicopedagógica, e priorizar o papel de reconstruir a figura do aluno e do professor, onde o professor facilita a aprendizagem e o aluno seja o criador do seu processo pessoal, educacional e social/cultural. (p. 3) No próximo capítulo tratar-se-á da Metodologia, que tem como foco a utilização da Engenharia Didática para analisar situações didáticas. A mesma se propõe a compreender como os alunos se desenvolvem durante o processo de resolução de situações-problema. 21 CAPÍTULO III METODOLOGIA 3 ENGENHARIA DIDÁTICA Neste terceiro capítulo tratar-se-á sobre a metodologia da engenharia didática e do delineamento da pesquisa. A noção de Engenharia Didática surgiu na Didática da Matemática no início dos anos 1980. Segundo Artigue (1988) é uma forma de trabalho didático comparável ao trabalho do engenheiro que, para realizar um projeto, se apóia em conhecimentos científicos de seu domínio, aceita se submeter a um controle de tipo científico. Artigue (1988) caracteriza a engenharia didática como sendo: um esquema experimental baseado em ‘realizações didáticas’ na sala de aula. Em uma pesquisa cuja metodologia é fundamentada na análise de Engenharia Didática podemos identificar algumas fases de seu desenvolvimento. A primeira fase é a das análises preliminares. Ela se dá apoiada em um referencial teórico já adquirido e analisa como se encaminha aquele conhecimento no aprendiz, como se dá o ensino atual em relação àquele domínio, as concepções dos alunos, as dificuldades e obstáculos que marcam a evolução. (ARTIGUE, 1988). A segunda fase é a da concepção e análise a priori das situações didáticas nas quais o pesquisador definirá as variáveis que estarão sob controle, comporta uma parte descritiva e outra preditiva (ARTIGUE, 1988), em que o comportamento esperado do aluno é o foco principal da análise. A terceira fase é a da experimentação que corresponde à ida a campo para aplicação da sequência didática com certa população de alunos e os registros de observações realizadas durante a mesma. (ARTIGUE, 1988). A quarta e última fase é a análise a posteriori e validação que se apóia no conjunto de dados recolhidos quando da experimentação, [...] mas também nas produções dos alunos em sala de aula ou fora dela. Esses dados são geralmente completados por dados obtidos pela utilização de metodologias 22 externas: questionários, entrevistas individuais ou em pequenos grupos, realizados em diversos momentos do ensino ou a partir dele. (ARTIGUE, 1988) A respeito da análise preliminar, Pais afirma que: Para melhor organizar a análise preliminar, é recomendável proceder a uma descrição das principais dimensões que definem o fenômeno a ser estudado e que se relacionam com o sistema de ensino, tais como a epistemologia cognitiva, pedagógica, entre outras. Cada uma dessas dimensões participa na constituição do objeto de estudo (2002, p. 101). Esta análise se refere apenas a um primeiro nível de organização. Na realidade, deve ser um trabalho concomitante com as demais fases da pesquisa. Estas análises preliminares devem permitir ao pesquisador a identificação das variáveis didáticas que serão utilizadas e manipuladas nas fases que se seguem: a análise a priori e construção da sequência de ensino. Por exemplo: a) A análise epistemológica dos conteúdos contemplados pelo ensino; b) A análise da concepção dos alunos, das dificuldades e obstáculos que determinam sua evolução; c) A análise do campo dos entraves, no qual vai se situar a efetiva realização didática. (PANTOJA, 2010) Tudo isso levando em consideração os objetivos específicos da pesquisa. As análises preliminares são feitas principalmente para embasar a concepção da engenharia, porém elas são retomadas durante todo o desenvolver do trabalho. É evidente que cada uma delas acontecerá ou não dependendo dos objetivos da pesquisa, e são esses objetivos que determinarão o grau de profundidade dessas análises. É diante da realização de uma análise preliminar seguida de uma análise a priori, que o professor pode pensar na elaboração de uma sequência didática, a qual será objeto de investigação. A segunda fase da Engenharia Didática consiste numa análise a priori que se faz sobre o saber em estudo, onde são apontadas problemáticas referentes ao objeto de estudo e são construídas hipóteses que serão verificadas na prática investigativa da proposta didática a ser elaborada. A elaboração das hipóteses se constitui num elemento importante no trabalho com a engenharia didática, pois são elas que serão comparadas com os 23 resultados finais da sequência didática para verificar a validação ou os resultados finais. Brousseau (1981, p. 204) afirma que: As escolhas de ordem geral, globais, precedem a descrição de cada fase da engenharia, quando influem nas escolhas locais. Embora as escolhas locais possam aparecer separadamente das escolhas locais elas são interdependentes, a concepção geral é capaz de permitir a invenção, a organização e o desenvolvimento de situações legais. Na análise a priori deve-se: a) descrever cada escolha local feita, e as características da situação a–didática decorrentes de cada escolha. (MACHADO, 1999) b) analisar qual o desafio da situação para o aluno decorrente das possibilidades de ação, de escolhas, de decisão, de controle e de validação de que ele disporá durante a experimentação. (MACHADO, 1999) c) prever os comportamentos possíveis e mostrar no que a análise efetuada permite controlar o sentido desses comportamentos; além disso, deve-se assegurar que, tais comportamentos ocorrerem, resultarão do desenvolvimento do conhecimento visado pela aprendizagem. (MACHADO, 1999) A terceira fase trata da aplicação da sequência didática, experimentação, onde entra em prática o saber didático do professor e todo a sua prática teórica. Nessa fase, a sequência didática proposta deverá ser desenvolvida através de uma abordagem metodológica que privilegie a criticidade e a reflexão numa perspectiva de construção de um saber consciente. A elaboração de uma sequência didática exige toda uma preparação, conforme mostra Pais: Uma seqüência didática é formada por certo número de aulas planejadas e analisadas previamente com a finalidade de observar situações de aprendizagem, envolvendo os conceitos previstos na pesquisa didática. Essas aulas são também denominadas sessões, tendo em vista o seu caráter específico para a pesquisa. Em outros termos, não são aulas no sentido da rotina da sala de aula. Tal como acontece na execução de todo projeto, é preciso estar atento ao maior número possível de informações que podem contribuir no desvelamento do fenômeno investigatório (2002, p. 102). Artigue (1988) argumenta que na fase experimental da sequência didática faz-se necessário deixar claro os seguintes pontos: 24 a) explicitação dos objetivos e condições de realização da pesquisa; b) estabelecimento do contrato didático; c) aplicação dos instrumentos de pesquisa; d) registros das observações feitas durante a experimentação. A noção de contrato didático supõe a compreensão da escola como uma instituição responsável pela transmissão do saber. contrato didático como sendo “um conjunto de comportamentos do professor que são esperados pelos alunos e o conjunto de comportamentos dos alunos que são esperados pelo professor. Esse contrato é o conjunto de regras que determinam uma pequena parte explicitamente, mas, sobretudo implicitamente, o que cada parceiro da relação didática deverá gerir e aquilo que, de uma maneira ou de outra, ele terá de prestar conta perante o outro. (BROUSSEAU, 1981, p.43). A última fase é a da análise a posteriori e da validação. Esta fase se apoia nos dados colhidos durante a experimentação, nas observações realizadas durante cada proposta de ensino, bem como das produções dos alunos feitas em classe ou fora dela. Nela é verificado se o aprendizado foi consolidado e se a aprendizagem foi alcançada, determinando assim a validação, ou não, da sequência didática empregada. Na Engenharia Didática, a fase de validação da sequência didática é feita durante todo o processo de desenvolvimento da proposta, em meio a uma constante confrontação entre os dados obtidos na análise a priori e na análise a posteriori, onde é verificado se as hipóteses feitas no início da pesquisa foram confirmadas e aprendidas. Segundo Coutinho (2008, p. 5): A análise a posteriori de uma sessão é o conjunto de resultado que se pode tirar da exploração dos dados recolhidos e que contribuem para melhoria dos conhecimentos didáticos que se têm sobre as condições da transmissão do saber em jogo. Ela não é a crônica da classe, mas uma análise feita à luz da análise a priori, dos fundamentos teóricos, das hipóteses e da problemática da pesquisa. Assim, a análise a posteriori depende das ferramentas técnicas (material didático, vídeo) ou teóricas (teoria das situações, contrato didático...) utilizadas com as quais se coletam os dados que permitirão a construção dos protocolos de pesquisa. Esses protocolos serão analisados profundamente pelo pesquisador e as informações daí resultantes serão confrontadas com a análise a priori realizada. O objetivo é relacionar as observações com os objetivos definidos a priori e estimar a reprodutibilidade e a regularidade dos fenômenos didáticos identificados. Através da Engenharia Didática o professor tem a oportunidade de 25 refletir e avaliar a sua ação educativa e é diante desse processo de reflexão que redireciona e ressignifica o trabalho que desenvolve. Não existe ninguém melhor que o próprio professor para entender a complexidade dos fatos ocorridos em sala de aula, ninguém melhor para entender as dúvidas e dificuldades que os alunos apresentam, por isso, é ele quem deve buscar entender os motivos que impedem o aprendizado dos alunos investigando e refletindo as próprias ações educativas efetuadas em sala de aula. É importante que o professor perceba os conhecimentos prévios dos alunos, pois conforme proposto nos Parâmetros curriculares Nacionais, É o professor que tem condições de orientar o caminhar dos alunos, criando situações interessantes e significativas, fornecendo informações que permitam à re-elaboração e a ampliação dos conhecimentos prévios, propondo articulações entre os conceitos construídos, para organizá-los em um corpo de conhecimentos sistematizados (BRASIL, 1998). 3.1 Técnicas Para coletar os dados necessários, realizou-se um experimento em escolas da Rede Estadual de Educação envolvendo situações matemáticas do cotidiano. As análises preliminares se apóia em um referencial teórico já adquirido e aponta como se encaminha aquele conhecimento no aprendiz, como se dá o ensino atual em relação àquele domínio, as concepções dos alunos, as dificuldades e obstáculos que marcam a evolução. A partir dessas análises foi elaborado um teste piloto (análise a priori) com questões que contemplam situações do cotidiano relativas aos conceitos de matemática do 4º ano do Ensino Fundamental. Após a aplicação, os resultados do teste foram analisados visando detectar as principais dificuldades apresentadas pelos alunos a fim de elaborar uma sequência didática. A sequência didática foi aplicada durante um período de duas semanas do mês de outubro. As produções dos alunos obtidas durante essa experimentação foram confrontadas com os resultados da análise a priori. Após um período de 20 dias foi aplicado um novo teste com questões similares às apresentadas no teste piloto, visando avaliar o impacto da sequência didática para os conhecimentos dos alunos. A aplicação do teste aconteceu na fase denominada de análise a posteriori. A partir dos resultados 26 desses testes foi realizada uma confrontação com os resultados da análise a priori. 3.2 Amostra A pesquisa foi realizada com 08 alunos da Escola Estadual “Profº Miécio Cavalheiro Bonilha” e 08 alunos da Escola Estadual “José Ariano Rodrigues”, da cidade de Lins, todos do 4º ano do Ensino Fundamental. Os alunos foram escolhidos pelas professoras responsáveis pelas salas de forma aleatória. Os alunos foram organizados por ordem alfabética e foram representados através das letras do alfabeto de A a P. Os alunos da escola Miécio Cavalheiro Bonilha estão classificados com as letras (A, B, C, D, E, F, G, H), e os alunos da escola José Ariano Rodrigues foram classificados com as letras (I, J, K, L, M, N, O, P). A utilização das letras do alfabeto para identificação dos alunos ocorreu a fim de preservar o anonimato dos mesmos. 27 CAPÍTULO IV RESULTADOS 4 RESULTADOS DAS APLICAÇÕES Nesta seção serão apresentados os resultados obtidos da análise preliminar, da análise à priori, da experimentação e da análise a posteriori. 4.1 Da análise preliminar As análises preliminares são feitas principalmente para embasar a concepção da engenharia, porém elas são retomadas durante todo o desenvolver do trabalho. Ela se dá apoiada em um referencial teórico já adquirido e analisa como se encaminha aquele conhecimento no aprendiz, como se dá o ensino atual em relação àquele domínio, as concepções dos alunos, as dificuldades e obstáculos que marcam a evolução. (ARTIGUE, 1988) Segundo Martins (2011 p. 7) “as dificuldades dos alunos consiste na preocupação em relação à ação da prática pedagógica, de alguns professores, frente à interferência de fatores intra e extras escolares, que causam problemas de aprendizagem nos alunos e os lava ao fracasso escolar”. O problema de aprendizagem não tem origem apenas cognitiva e atribuir ao próprio aluno o seu fracasso, sem considerar as condições de aprendizagem, que a escola oferece para o aluno e outros fatores extras- escolares, é reforçar fracasso tanto do aluno como da escola. O professor precisa criar vínculo com seus alunos e atentar para diferenciar a forma de ensinar, principalmente interessar por trabalhar as dificuldades, que devem ser entendidas como desafios a serem vencidos, começando a partir do cotidiano dos alunos. (MARTINS; FIGUEIREDO, 2011, p. 4) Além dos problemas pedagógicos, fatores como as questões econômicas/ sociais e culturais, entre outros, ocasionam a falta de estímulo dos alunos perante as atividades escolares. Os problemas dos alunos em relação às sequências didáticas, esta relacionado com o processo de multiplicação. A sistematização de alguns conceitos matemáticos do campo multiplicativo acontece no 4º ano do ensino fundamental, com tabuadas, e com a formulação de alguns conceitos do campo multiplicativo, por exemplo, as 28 situações problemas. ( MARTINS, 2011). Alguns pesquisadores como Anghileri e Jhonson (1988), relatam em sua pesquisa que as crianças apresentam um fraco desempenho nos problemas relativos à multiplicação. Para eles os problemas de multiplicação se limitam aos domínios dos inteiros positivos e a tabuada. Esta situação não reflete a realidade dos alunos podendo levar as crianças a concluir falsamente que a multiplicação sempre “aumenta”. Nas escolas estaduais são trabalhados com os alunos a tabuada, e a ideia que fica é que o aluno, em qualquer altura, consegue construir a tabuada não havendo, portanto a necessidade de decorá-la. Cabe à escola desenvolver no aluno, de acordo com a sua forma de pensar, a capacidade em descobrir as melhores técnicas que facilitem a sua forma de aprendizagem, no contexto da multiplicação. Constata-se que a grande dificuldade na memorização da tabuada, na maior parte dos alunos, é a partir da tabuada do número seis, não saber a tabuada não é o único problema para que as operações de multiplicação sejam resolvidas de maneira eficaz, mas é um dos pontos essenciais para que isso aconteça. 4.2 Da análise à priori Nesta seção serão apresentados os resultados da aplicação de 5 (cinco) questões para duas turmas de oito alunos das escolas estaduais já citadas anteriormente. A finalidade das questões é identificar os conceitos que os alunos dominam e quais apresentam dificuldades. A questão 1 teve por objetivo verificar os conhecimentos dos alunos relativos ao domínio da multiplicação e das práticas cotidianas envolvendo o sistema monetário. Questão 1: Fernando foi a uma loja comprar uma bicicleta. O vendedor da loja mostrou a ele essas duas formas de pagamento: 5 vezes de 84 reais ou 3 vezes de 160 reais. a) Quantos reais ele pagará ao todo na opção de pagamento em 3 vezes e em 6 vezes? b) Quantos reais Fernando economizará na forma de pagamento mais 29 vantajosa? Os resultados da resolução da referida questão encontram-se no quadro 1. Quadro 1: Resultados da questão 1 - análise a priori Aluno EE PROF. MIÉCIO CAVALHEIRO BONILHA A B C D E F G H E. E. JOSÉ ARIANO RODRIGUES I Resultados Acertou a operação em 3 vezes, e errou a operação em 6 vezes. A questão b não conseguiu responder, mas possui a idéia de como realizá-lo. Não respondeu a letra a completa, portanto não conseguiu responder a questão b. Possui muita dificuldade na multiplicação. Não conseguiu fazer a multiplicação da questão a, porém tem noção de como fazer a subtração da questão b. Não compreendeu o modo de resolver a questão. Na letra B errou, mas apresentou a idéia correta da resolução. Não conseguiu realizar a questão 1 inteira por dificuldade na multiplicação Errou a questão inteira, por não conseguir resolver as multiplicações. Só resolveu uma parte do problema, e de forma errada por não dominar a multiplicação. Resolveu o problema pela metade, pois estava “sem vontade de ler”. Tem dificuldade na multiplicação. A Aluna errou a primeira multiplicação (6x) e acertou a multiplicação (3x). Errou as duas questões a e b; por ter errado as multiplicações. J A aluna errou a primeira multiplicação (6x) e acertou a multiplicação (3x). E não respondeu as questões a e b. K A Aluna errou a primeira multiplicação (6x) e acertou a multiplicação (3x). Errou as duas questões a e b; por ter errado as multiplicações. L No dia da aplicação faltou. M No dia da aplicação faltou. N O Aluno registrou apenas a primeira multiplicação e errou a segunda multiplicação não foi registrada. Não respondeu as questões a e b, mas marcou a questão b como a melhor forma de pagamento, registrando apenas o numero três. O A aluna errou as duas multiplicações e não respondeu as questões a e b. P O aluno acertou as duas multiplicações e criou a resposta. Mas não respondeu as questões a e b. Fonte: Elaborado pelas autoras, 2012. No quadro 2 apresenta-se os resultados da avaliação à priori da questão 2. Esta questão teve por finalidade verificar os conhecimentos dos alunos relativos ao domínio da multiplicação, da adição e da divisão em situações do cotidiano. Questão 2: Num bazar havia 4 caixas com 12 canetas cada uma e 6 caixas com 8 canetas cada uma. Reinaldo, o gerente do bazar, juntou todas as canetas e separou-as de 6 em 6 para vendê-las somente em caixas com 6 unidades. Quantas caixas com 6 unidades serão colocadas à venda? 30 EE PROF. MIÉCIO CAVALHEIRO BONILHA Quadro 2: Resultado da questão 2 – análise a priori Aluno A B C D E F G H E.E. JOSE ARIANO RODRIGUES I Resultados Realizou corretamente esta questão respondeu representando através de desenhos. Tentou resolver pelo processo de multiplicação, mas não conseguiu. Teve dificuldade de organizar os números, na ordem da unidade e dezena. Apesar da representação através de desenho, não conseguiu resolver o problema. Errou na contagem Apresentou a idéia correta de representação, mas na contagem fez a somatória de todas as canetas de maneira errada, não realizou a divisão no final. Não conseguiu resolver nem pela representação. Não fez a leitura correta do problema. Representou a questão através de desenho, mas ainda assim resolveu d e maneira errada. Respondeu apenas uma parte do problema. Errou na contagem. Conseguiu resolver o problema, representando através de desenhos. No momento da divisão não conseguiu resolver, portanto o resultado saiu errado. Não compreendeu o contexto do problema. Representou através de desenhos, fez a contagem errada. A Aluna registrou apenas uma multiplicação (4x), mas soube que as duas multiplicações deram o mesmo resultado. Mas não concluiu o que o problema pedia. J A Aluna registrou uma multiplicação (4x), mas soube que deram o mesmo resultado. Errou o restante do problema por fazer uma conta de multiplicação ao invés de fazer de divisão. K A aluna registrou e acertou as duas multiplicações, fez conta de adição para saber o total, mas não fez a divisão para ter o resultado do total de caixa. L No dia da aplicação faltou. M No dia da aplicação faltou. N O aluno não registrou nenhuma multiplicação (4 e 6x), mas soube que ambas deram o mesmo resultado. Mas não concluiu dividindo o total para ter o resultado de caixa. O A aluna fez corretamente as multiplicações (4 e 6x) acertou a adição para obter o total. Mas errou a última conta para encontrar o numero de caixas, ao invés de fazer conta de divisão fez de multiplicação. P O aluno fez tudo corretamente. Realizou as duas multiplicações, fez a conta de adição, realizou a divisão através de desenho, mas apagou obteve o resultado correto. Fonte: Elaborado pelas autoras, 2012. No quadro 3 apresenta-se os resultados da avaliação a priori da questão 3. Esta questão teve por finalidade verificar os conhecimentos dos alunos relativos à compreensão da utilização da adição em situações do cotidiano que apresentam medidas em um determinado padrão. Questão 3: Mariana cortou 10 pedaços de barbante de diferentes tamanhos com o auxilio de régua e tesoura. O primeiro pedaço tinha 10 centímetros de comprimento; o segundo tinha 5 centímetros a mais que o primeiro; o terceiro tinha 5 centímetros a mais que o segundo e assim por 31 diante. Qual a medida de cada pedaço de barbante? Quadro 3: Resultado da questão 3 – análise a priori EE PROF. MIÉCIO CAVALHEIRO BONILHA Aluno A B C D E F G H E. E. PROF. MIÉCIO CAVALHEIRO BONILHA I Resultados Enumerou de 1 a 10 e formou de 5 em 5, chegou ao resultado correto sem dificuldade. Resolveu pela multiplicação, mas não compreendeu o contexto do problema. Seu conceito de multiplicação também está errado. Compreendeu o problema, representando através de desenho, a soma esta correta. Resolveu pela metade o problema, mas entendeu o modo de resolver. Respondeu corretamente, não teve dificuldade para compreender o problema. Entendeu o modo correto da resolução, mas não conseguiu contar em 5 em 5, errando o resultado. Apresentou muita dificuldade para resolver o problema, tentou pela multiplicação e pela representação, não conseguiu chegar ao resultado correto. Resolveu pelo processo de multiplicação. Errou na operação e no conceito de resolução. A aluna começou registrando através de desenho, mas não terminou. Mas respondeu corretamente a resposta do problema. J A aluna começou registrando, mas não compreendeu o que o problema pedia. Portanto errou a resposta. L A aluna registrou por meio de desenho, por sinal muito bem. E obteve o resultado correto. K No dia da aplicação faltou. M No dia da aplicação faltou. N O aluno começou registrando em desenho, mas não compreendeu o problema. Portanto não teve o resultado correto. O A aluna começou registrando através de desenho, mas não o concluiu. Mas escreveu corretamente o resultado. P O aluno realizou o desenho, mas não graduou corretamente a reta. No resultado errou por cinco centímetros a mais Fonte: Elaborado pelas autoras, 2012. No quadro 4 apresenta-se os resultados da avaliação a priori da questão 4. Esta questão teve por finalidade verificar os conhecimentos dos alunos relativos ao domínio da multiplicação, de fração e de porcentagem em situações do cotidiano. Questão 4: Adriana ganhou um prêmio de 300 reais por ter sido a melhor vendedora do mês na loja em que trabalha. Ela decidiu dar 10% do prêmio para seu filho Gabriel. Adriana deu 10% de 300 reais ou 10 reais de cada 100 reais que ganhou. No total, Adriana deu 30 reais para Gabriel. Se Adriana desse 20% do prêmio para Gabriel, quantos reais ele ganharia? 32 Quadro 4: Resultado da questão 4 – análise a priori Aluno I Resultados Não teve problema para resolver o problema. Compreendeu o conceito do problema. Não entendeu o problema, utilizou a subtração para resolver. Errou a resposta. Utilizou conceitos totalmente errados para resolver o problema. Usou números que não faziam parte do problema. Na soma possui a idéia de resolver. Não compreendeu o sistema de resolução. Utilizou a subtração para resolver, errando também no modo da operação. Resolveu corretamente, não apresentou dúvidas. Na resolução, somou todos os números apresentados, no problema respondendo errado. Não conseguiu entendeu o problema, por falta de leitura e consequentemente na compreensão do texto. Está correta sua idéia de adição. Para resolver, utilizou a subtração, não conseguiu realizar a operação. Errou o conceito do problema. Não realizou, pois a professora não trabalhou porcentagem. J Não realizou, pois a professora não trabalhou porcentagem. K Não realizou, pois a professora não trabalhou porcentagem. L No dia da aplicação faltou. M No dia da aplicação faltou. N Não realizou, pois a professora não trabalhou porcentagem. O Não realizou, pois a professora não trabalhou porcentagem. P Não realizou, pois a professora não trabalhou porcentagem. E.E. PROF. MIÉCIO C. BONILHA A B C D E F G E. E. JOSÉ ARIANO RODRIGUES H Fonte: Elaborado pelas autoras, 2012. No quadro 5 apresenta-se os resultados da avaliação à priori da questão 5. Esta questão teve por finalidade verificar os conhecimentos dos alunos relativos ao domínio da multiplicação em situações do cotidiano. Questão 5: O relógio de Rogério tocou pela primeira vez às 6 horas da manhã, mas ele só levantou após as 7 horas. Como Rogério apertou a tecla “soneca” várias vezes, o relógio o despertava novamente a cada 9 minutos. Qual foi o último horário em que o relógio despertou antes das 7 horas da manhã? E.E. PROF. MIÉCIO C. Quadro 5: Resultado da questão 5 – análise a priori Aluno A B C D E (continua) Resultados Chegou ao resultado somando os números. Não apresentou dificuldades. Não entendeu o problema, não tem noção de horas e minutos. Não leu o problema num todo, respondeu com o primeiro número apresentado. Somou o minuto da soneca com a hora iniciada. Resultado incorreto. Não compreendeu o problema. Resolveu o problema contando nos dedos. Resultado correto. 33 H I (conclusão) Resultados Não utilizou nenhuma estratégia para resolver o problema, repetiu o número que o mesmo apresentava. Resposta errada. Resolveu a conta de memória, somando em 9 em 9, mas no final errou o resultado por um minuto. A aluna apresentou pouca vontade para ler e responder o problema. A aluna fez conta de multiplicação. E na resposta escreveu e apagou, errou. J A aluna realizou a conta de multiplicação. E não obteve o resultado correto. K A aluna realizou um registro muito diferente, usou conta de adição 06h00min + 0:09 = 6:09 e assim por diante obteve o resultado corretamente. L No dia da aplicação faltou. M No dia da aplicação faltou. N O aluno realizou a conta nos dedos, fez 7:00 e tirou 0:09 min. Obteve 6h:51min. Obteve o resultado errado. O A aluna realizou contas de adição, mas não concluiu. E não obteve o resultado. P O Aluno realizou conta de subtração – 7h:00min – 0h:09min. Mas apagou essa conta. Obteve o resultado 6h:51min. mas errou. E. E. JOSÉ ARIANO RODRIGUES E.E. PROF. MIÉCIO C. Aluno F G Fonte: Elaborado pelas autoras, 2012. Diante desses resultados, detectou-se que os alunos apresentaram maior dificuldade na resolução de problemas que envolvem a multiplicação e também na interpretação dos problemas. No momento da realização eles se preocuparam em fazer conforme solicitado, nas orientações. Sendo assim foi elaborado uma sequência didática contendo atividades que pudessem retomar os conceitos que os alunos apresentaram maior dificuldade. 4.3 Da Aplicação da sequência didática Nessa fase, a sequência didática proposta foi desenvolvida a partir de uma abordagem metodológica que privilegiou a criticidade e a reflexão numa perspectiva de construção de um saber concreto. Foi apresentada aos alunos a construção da tabuada usando o papel quadriculado e a tabela pitagórica utilizando a propriedade distributiva da multiplicação. A aprendizagem da multiplicação e das suas propriedades deve ser feita através de tarefas com contextos diversificados que permitam aos alunos transitarem até ao nível do cálculo formal. A propriedade distributiva da multiplicação acontece pelo cálculo inteligente e flexível e pela memorização completa das tabuadas mais importantes. A aplicação aconteceu durante duas 34 aulas, num período após a construção das tabuadas a partir da tabela pitagórica foi aplicada 10 situações problemas que envolvem ideias do cotidiano dos alunos. Essa aplicação aconteceu em duas aulas. No quadro 6 apresenta-se os resultados da avaliação da questão 1 da sequência didática. Esta questão teve por finalidade aprimorar os conhecimentos dos alunos relativos à multiplicação e subtração em situações do cotidiano. Questão 1: Paulo comprou 5 caixas de bolinhas para usa loja. Em cada caixa havia 234 bolinhas. Ele vendeu 586 bolinhas. Quantas bolinhas ele comprou? Quantas bolinhas ainda não foram vendidas? Quadro 6: Resultado da questão 1 - aplicação da sequência didática E.E. PROF. MIÉCIO C. BONILHA Aluno A B C D E F G H E. E. JOSÉ ARIANO RODRIGUES I Resultados Utilizou dois modos para resolver a multiplicação e a contagem por parcelas separadas. Chegou ao resultado sem dificuldades. Conseguiu resolver o problema, mas não tem organização dos números através do sistema de numeração. Apesar da ansiedade e insegurança, conseguiu chegar ao resultado lendo e reelendo o problema. Resolveu sem dificuldade. Falta de organização na disposição dos números, consequentemente não conseguiu realizar a multiplicação. Resolveu corretamente, mas não quis tirar dúvidas. Concentrado leu várias vezes, e não teve dificuldade para resolver. Resolveu sem dificuldade. Foi realizado está questão com ajuda dos alunos, a mesma realizou a resposta sozinha. J Foi realizado esta questão com ajuda dos alunos onde todos fizeram a multiplicação oralmente. K Foi realizado está questão com ajuda dos alunos, a mesma realizou as respostas sozinha. L Foi realizado está questão com ajuda dos alunos, a mesmo realizou a resposta da questão das duas formas: Multiplicação e Adição. M Não esteve presente neste dia. N Foi realizado com ajuda dos alunos. O Foi realizado com ajuda dos alunos, a mesma realizou respostas sozinha. P Foi realizado com ajuda dos alunos, o mesmo realizou as duas operações: Multiplicação e Adição. Fonte: Elaborado pelas autoras, 2012. No quadro 7 apresenta-se os resultados da avaliação da questão 2 da sequência didática. Esta questão teve por finalidade aprimorar os conhecimentos dos alunos relativos à multiplicação e subtração em situações do cotidiano. Questão 2: Mamãe comprou 4 caixas de bombons de abacaxi com 120 35 bombons cada uma e 3 caixas de bombons de coco com 323 bombons cada. Quantos bombons ela comprou, ao todo? Quadro 7: Resultado da questão 2 - aplicação da sequência didática E.E. PROF. MIÉCIO C. BONILHA Aluno A B C D E E. E. JOSÉ ARIANO RODRIGUES F G H I J K L M N O P Resultados Resolveu sem dúvidas, nem dificuldades. A multiplicação dos números ainda é sua maior dificuldade (me perguntou se 2x4 é igual a 6). Com ajuda dos colegas, relemos o problema. No final o resultado saiu correto. A primeira operação resolveu de memória, e a restante não houve problemas. Resolveu sem dificuldades. Em uma das operações esqueceu-se de somar o número da troca, da dezena para a centena, sendo assim errou o resultado. Melhorou sua leitura e a compreensão dos problemas. Acertou uma parte do poema, o restante não deixou que ninguém a ajudasse. Resolveu sozinha. Representou com desenhos, assim conseguiu resolver sem dificuldade. Respondeu a questão lendo e compreendendo o sentido do problema. Foi realizada pela aluna, na lousa com ajuda dos demais alunos. A Aluna é muito prestativa, gosta de ajudar os demais a resolver as situações e problemas. A Aluna realizou o seu, e ajudou os demais a resolver as situações problema. A Aluna é muito tímida. Não esteve presente neste dia. Ajuda o aluno que está resolvendo na lousa. A ajuda é um pouco tímida. O aluno é bem quieto, resolve os exercícios com dedicação. Fonte: Elaborado pelas autoras, 2012. No quadro 8 apresenta-se os resultados da avaliação da questão 3 da sequência didática. Esta questão teve por finalidade aprimorar os conhecimentos dos alunos relativos à multiplicação em situações do cotidiano. Questão 3: José foi ao supermercado e comprou 10 pacotes de arroz para levar para seu restaurante, cada pacote pesava 5 kilos. Quantos kilos de arroz José levou para o restaurante? Quadro 8: Resultado da questão 3 - aplicação da sequência didática (continua) E.E. PROF. MIÉCIO C. BONILHA Aluno A B C D E F G H Resultados Primeiro somou de 5 em 5 e depois fez a multiplicação, acertou a multiplicação dos dois modos. Não houve dificuldade para a realização desse problema. Teve dificuldade para a realização do problema me perguntou se (5xo) é igual a 15. Precisa estudar mais um pouco da multiplicação. Mostrou-se inseguro. Não houve dificuldade para a realização do problema. Não houve dificuldade para a realização do problema. Conseguiu resolver sozinha, entendeu a multiplicação. Resolveu através da representação. Multiplicação simples resolveu com facilidade. 36 (conclusão) E. E. JOSÉ ARIANO RODRIGUES Aluno I Resultados A aluna é muito esperta. J A aluna realizou está questão na lousa, e teve dificuldade em compreender. K A aluna esperta, e ajuda os demais alunos. L A Aluna é tímida, mas muito dedicada. M Não esteve presente neste dia. N O aluno não entendeu no inicio está situação problema, mas com explicação e realização do exercício compreendeu. O A aluna ajudou a realizar está situação problema. P O aluno é muito dedicado. Fonte: Elaborado pelas autoras, 2012. No quadro 9 apresenta-se os resultados da avaliação da questão 4 da sequência didática. Esta questão teve por finalidade aprimorar os conhecimentos dos alunos relativos à multiplicação em situações do cotidiano. Questão 4: Heloisa quer colocar mesas novas nas salas de aula de sua escola. Nesta escola, tem 15 salas de aula, e em cada uma é preciso ter 42 mesas. Quantas mesas Heloisa têm que comprar? E.E. PROF. MIÉCIO C. BONILHA Quadro 9: Resultado da questão 4 - aplicação da sequência didática Aluno A B C D E F G H E. E. JOSÉ ARIANO RODRIGUES I Resultados Compreendeu e resolveu o problema com facilidade. Compreendeu e resolveu o problema com facilidade. Não terminou a operação, pois disse que não sabe resolver multiplicação com dois algarismos. Compreendeu e resolveu o problema com facilidade. Achou difícil resolver a multiplicação com dois números. Mesmo com diferentes explicações, não concluiu a operação. Dúvida na multiplicação. Estava em dúvida quanto era (5x5), mas no final chegou ao resultado correto. Compreendeu e resolveu o problema com facilidade. Compreendeu e resolveu o problema com facilidade. A Aluna ainda não sabe realizar multiplicação com dois algarismos. Foi realizada na lousa com ajuda de todos os alunos. J A Aluna ainda não sabe realizar multiplicação com dois algarismos. K A aluna realizou corretamente. L A Aluna ainda não sabe realizar multiplicação com dois algarismos. M A Aluna ainda não sabe realizar multiplicação com dois algarismos. N Não esteve presente neste dia. O O Aluno ainda não sabe realizar multiplicação com dois algarismos. P A Aluna ainda não sabe realizar multiplicação com dois algarismos. O Aluno ainda não sabe realizar multiplicação com dois algarismos. Fonte: Elaborado pelas autoras, 2012. No quadro 10 apresenta-se os resultados da avaliação da questão 5 da 37 sequência didática. Esta questão teve por finalidade aprimorar os conhecimentos dos alunos relativos à multiplicação e a adição em situações do cotidiano. Questão 5: Agnaldo comprou um carro. Ele deu R$ 5.750.00 de entrada e vai pagar o restante em 24 prestações iguais de R$ 489,00. Qual o valor total do carro? Quadro 10: Resultado da questão 5 - aplicação da sequência didática. E.E. PROF. MIÉCIO C. BONILHA Aluno A B C D E F G H E. E. JOSÉ ARIANO RODRIGUES I Resultados Pela falta de organização dos números, teve um pouco de dificuldade para resolver. No final acertou as contas. Apesar das explicações, não conseguiu chegar aos resultados corretos, à operação é de dois números. O resultado está errado, mas entendeu seu modo de resolução. Precisa tomar cuidado para organizar os números. Resolveu sozinha, utilizou o processo correto, mas errou o resultado.Pedi que ela conferisse seu modo de resolução com a aluna C, descobriu o erro e as duas chegaram o resultado correto. Não compreendeu o problema, falta leitura e atenção. A aluna tem muita dificuldade para realizar as operações com 2 dígitos. No momento de compreender o problema, não soube qual sinal usar para resolvê-lo. Errou, porque não conseguiu organizar os números de maneira correta. Resolveu sem dificuldade. A Aluna ainda não sabe realizar multiplicação com dois algarismos. Foi realizada na lousa com ajuda de todos os alunos, realizamos indicações presentes na situação problema. J A Aluna ainda não sabe realizar multiplicação com dois algarismos. Foi realizada na lousa com ajuda de todos os alunos, realizamos indicações presentes na situação problema. K Não esteve presente neste dia. L O Aluno ainda não sabe realizar multiplicação com dois algarismos. Foi realizada na lousa com ajuda de todos os alunos, realizamos indicações presentes na situação problema. M A Aluna ainda não sabe realizar multiplicação com dois algarismos. Foi realizada na lousa com ajuda de todos os alunos, realizamos indicações presentes na situação problema. N O Aluno ainda não sabe realizar multiplicação com dois algarismos. Foi realizada na lousa com ajuda de todos os alunos, realizamos indicações presentes na situação problema. O A Aluna ainda não sabe realizar multiplicação com dois algarismos. Foi realizada na lousa com ajuda de todos os alunos, realizamos indicações presentes na situação problema. A Aluna ainda não sabe realizar multiplicação com dois algarismos. Foi realizada na lousa com ajuda de todos os alunos, realizamos indicações presentes na situação problema. Fonte: Elaborado pelas autoras, 2012 P No quadro 11 apresenta-se os resultados da avaliação da questão 6 da sequência didática. Esta questão teve por finalidade aprimorar os 38 conhecimentos dos alunos relativos à multiplicação e subtração em situações do cotidiano. Questão 6: Um cinema cujo ingresso custa R$ 8,00 por pessoa, possui 16 fileiras com 22 poltronas cada uma. Em uma das sessões 68 poltronas ficaram vazias. Quantas pessoas assistiram ao filme? E.E. PROF. MIÉCIO C. BONILHA Quadro 11: Resultado da questão 6 - aplicação da sequência didática Aluno A B C D E F G H E. E. JOSÉ ARIANO RODRIGUES I Resultados Resolveu sem dúvidas, nem dificuldades. Não compreendeu o contexto do problema, achou complicado e difícil. Respondeu a questão lendo e compreendendo o sentido do problema. Não compreendeu o contexto do problema, achou complicado e difícil. Não prestou atenção na leitura, resolveu a operação com sinal errado. Não coloca o sinal de igual nas resoluções, por isso se confunde para resolvê-las. No momento de multiplicar esqueceu-se de somar o número da troca. Respondeu a questão lendo e compreendendo o sentido do problema. A Aluna ainda não sabe realizar multiplicação com dois algarismos. Foi realizada na lousa com ajuda de todos os alunos, realizamos indicações presentes na situação problema, As já estão conseguindo compreender a multiplica com dois algarismos. J A Aluna ainda não sabe realizar multiplicação com dois algarismos. Foi realizada na lousa com ajuda de todos os alunos, realizamos indicações presentes na situação problema, As já estão conseguindo compreender a multiplica com dois algarismos. K A Aluna ainda não sabe realizar multiplicação com dois algarismos. Foi realizada na lousa com ajuda de todos os alunos, realizamos indicações presentes na situação problema, As já estão conseguindo compreender a multiplica com dois algarismos. L A Aluna ainda não sabe realizar multiplicação com dois algarismos. Foi realizada na lousa com ajuda de todos os alunos, realizamos indicações presentes na situação problema, As já estão conseguindo compreender a multiplica com dois algarismos. M Não esteve presente neste dia. N O Aluno ainda não sabe realizar multiplicação com dois algarismos. Foi realizada na lousa com ajuda de todos os alunos, realizamos indicações presentes na situação problema, Os já estão conseguindo compreender a multiplica com dois algarismos. O A Aluna ainda não sabe realizar multiplicação com dois algarismos. Foi realizada na lousa com ajuda de todos os alunos, realizamos indicações presentes na situação problema, As já estão conseguindo compreender a multiplica com dois algarismos. O Aluno ainda não sabe realizar multiplicação com dois algarismos. Foi realizada na lousa com ajuda de todos os alunos, realizamos indicações P presentes na situação problema, Os já estão conseguindo compreender a multiplica com dois algarismos. Fonte: Elaborado pelas autoras, 2012 No quadro 12 apresenta-se os resultados da avaliação da questão 7 da sequência didática. Esta questão teve por finalidade aprimorar os 39 conhecimentos dos alunos relativos à multiplicação e a adição em situações do cotidiano. Questão 7: Cibele tem 25 anos de idade, a mãe de Cibele tem o dobro de sua idade. Seu pai tem a idade de sua mãe mais 15 anos. Quantos anos têm o pai e a mãe de Cibele? Quadro 12: Resultado da questão 7 - aplicação da sequência didática. E.E. PROF. MIÉCIO C. BONILHA Aluno A I Resultados Resolveu sem dificuldades Apresentou muita dificuldade com a nomenclatura “dobro” , depois da explicação chegou ao resultado sem muitas dificuldades. Errou na multiplicação. Conhece a noção de dobro, resolveu com muita facilidade. Resolveu sem dificuldade. Somou os números, quando era para multiplicar, mesmo com ajuda, não conseguiu chegar ao resultado. Entendeu o problema, como resolvê-lo, mas errou nas contas.Fez a mesma na lousa e acertou . Respondeu a questão lendo e compreendendo o problema respondendo corretamente. A aluna teve muita facilidade em compreender a questão. J A Aluna compreendeu a questão. K A Aluna resolveu está situação problema na lousa e apresentou dificuldade. L A Aluna aos poucos começou a se soltar mais. M Não esteve presente neste dia. N O Aluno teve facilidade em compreender a questão. O A Aluna compreendeu a questão. B C D E F G E. E. JOSÉ ARIANO RODRIGUES H P O Aluno teve muita facilidade em compreender a questão. Fonte: Elaborado pelas autoras, 2012 No quadro 13 apresenta-se os resultados da avaliação da questão 8 da sequencia. Esta questão teve por finalidade aprimorar os conhecimentos dos alunos relativos à multiplicação e a subtração em situações do cotidiano. Questão 8: Clóvis foi à loja Casa Móveis e comprou um beliche. Como não tinha o dinheiro para realizar o pagamento à vista, ele pagou em 8 prestações de R$45,00 reais. a) No final da última prestação quanto Clóvis pagou pelo beliche? b) Se pagasse a vista ele teria gastado R$ 60,00 reais a menos. Qual o valor a vista do beliche? 40 Quadro 13: Resultado da questão 8 - aplicação da sequência didática E. E. JOSÉ ARIANO RODRIGUES E.E. PROF. MIÉCIO C. BONILHA Aluno A B C D E F G H I Resultados Resolveu de duas maneiras, na multiplicação e na soma de parcelas. Acertou o resultado. Errou o problema por falta de leitura estava com preguiça. Entendeu o sentido do problema, armou corretamente o cálculo, mas na hora da multiplicação esqueceu-se de somar o número da troca. Resolveu sem dificuldade. Acertou o cálculo, mas ainda tem dificuldade para organizar os números na ordem correta. Apesar da representação, na hora da multiplicação errou o cálculo. Resolveu sem dificuldades Respondeu a questão lendo e compreendendo o sentido do problema. A aluna escreve de maneira em que se compreende. J A Aluna não conseguiu escreve de maneira facilitadora, não realizou as alternativas A e B. K A Aluna realizou tudo que estava sendo pedido na situação problema. L A Aluna realizou a está situação problema na lousa, com ajuda dos demais alunos. M Não esteve presente neste dia. N O Aluno não conseguiu escrever de maneira facilitadora. O A Aluna se complicou em realizar a multiplicação. O Aluno realizou a multiplicação corretamente, mas não especificou as alternativas A e B. Fonte: Elaborado pelas autoras, 2012 P No quadro 14 apresenta-se os resultados da avaliação da questão 9 da sequência didática. Esta questão teve por finalidade aprimorar os conhecimentos dos alunos relativos à multiplicação em situações do cotidiano. Questão 9: Em uma viagem, um ônibus pode transportar 42 pessoas. Em 20 viagens, quantas pessoas ele poderá transportar? E em 25 viagens? Quadro 14: Resultado da questão 9 - aplicação da sequência didática (continua) E.E. PROF. MIÉCIO C. BONILHA Aluno A B C D E F G H Resultados Resolveu sem dificuldades. A aluna não conseguiu resolver a operação co dois dígitos. Perguntou se a conta é para somar ou multiplicar. Pedi que lesse novamente. No final resolveu a conta sozinha. Não sabe fazer multiplicação com dois dígitos, pedi que uma amiga a ajudasse, mas mesmo assim não chegou ao resultado correto. Compreendeu o problema, acertou a primeira operação, mas na segunda somou o número da troca duas vezes, errou o resultado. Não compreendeu o problema, dificuldade com operações co dois dígitos. Compreendeu uma parte do problema, por falta de leitura não resolveu a segunda parte. Acertou a primeira operação, mas na segunda, onde apareceu o número 0, teve muita dificuldade. Fizemos na lousa o problema, assim conseguiu realizar a operação. 41 (conclusão) E. E. JOSÉ ARIANO RODRIGUES Aluno I Resultados A aluna realizou corretamente. J A Aluna realizou corretamente a questão. K A Aluna não terminou toda a questão. L A Aluna aos poucos começou a se soltar mais. M A Aluna realizou a questão na lousa com ajuda dos demais alunos e reescreveu-a corretamente. N O Aluno ajudou a aluna a realizar a questão. O A Aluna representou através de desenho (o ônibus) e realizou conta. O Aluno realizou de maneira facilitadora, realizou desenho (o ônibus) e realizou conta. Fonte: Elaborado pelas autoras, 2012. P No quadro 15 apresenta-se os resultados da avaliação da questão 10 da sequência didática. Esta questão teve por finalidade aprimorar os conhecimentos dos alunos relativos à multiplicação e a subtração em situações do cotidiano. Questão 10: Minha turma vai ao cinema. Somos 16 pessoas. Um ingresso custa R$ 25,00. Se cada um der R$ 30,00 reais, quantos vai sobrar no total para tomarmos um lanche? E. E. JOSÉ ARIANO RODRIGUES E.E. PROF. MIÉCIO C. BONILHA Quadro 15: Resultado da questão 10 - aplicação da sequência didática Aluno A B C D G H I Resultados Resolveu sem dificuldades. Errou o processo de multiplicação. Resolveu meio problema, não entendeu todo o contexto do problema. Resolveu corretamente. Não concluiu o problema por não compreender o que o problema estava pedindo. Errou a multiplicação e na organização dos números e esqueceu novamente de colocar o sinal de igual. Não compreendeu o contexto do problema, errou a conta. Respondeu sem dificuldade. A aluna realizou a questão de maneira fácil de compreender. J A Aluna realizou a questão corretamente e ajudou os demais alunos. K A Aluna resolveu a questão de maneira fácil de compreender. L A Aluna realizou corretamente e começou a se soltar e ajudar os demais alunos. M A Aluna realizou corretamente a questão. N O Aluno realizou está questão na lousa com ajuda dos demais alunos. O A Aluna realizou corretamente descrevendo todas as operações presentes na questão. E F O Aluno realizou corretamente e descreveu todas as operações presentes na questão. Fonte: Elaborado pelas autoras, 2012 P 42 Considerando esses resultados, foi verificado que os alunos se mostraram mais seguros para resolução destes problemas e consequentemente houve a diminuição dos erros. Durante a aplicação, 5 questões foram resolvidas coletivamente, e a cada questão lida coletivamente os alunos iam até a lousa para realizar a correção das mesmas, e quando os valores não batiam com as dos outros alunos, os mesmos alunos mostravam seu modo de resolução para todos na lousa, até que houvesse o resultado correto. As outras cinco resolveram individualmente, e sem ajuda. 4.4 Da análise a posteriori Esta fase aconteceu após a experimentação. Nela é verificado se o aprendizado foi consolidado e se a aprendizagem foi alcançada, determinando assim a validação, ou não, da sequência didática empregada. Após 15 dias da análise da sequência didática – experimentação, propomos aos alunos 5 (cinco) situações problemas parecidas com as aplicados na análise à priori. Os resultados serão representados nos quadros a seguir. No quadro 16 apresenta-se os resultados da avaliação da questão 1 da análise a posteriori. Esta questão teve por finalidade avaliar os conhecimentos dos alunos relativos à multiplicação e a subtração em situações do cotidiano. Questão 1: Ana Júlia foi a uma loja para comprar uma televisão de 29 polegadas, o vendedor apresentou a ela duas opções de pagamento: 6 vezes de R$95.00 e 3 vezes de R$ 180,00. a) Quantos reais ela pagará ao todo na opção de pagamento em 3 vezes e em 6 vezes? b) Quantos reais ela economizou na forma de pagamento mais vantajosa? 43 E.E. PROF. MIÉCIO C. BONILHA Quadro 16: Resultado da questão 1- análise a posteriori Aluno A B C D E F G H E. E. JOSÉ ARIANO RODRIGUES I Resultados Resolveu sem dificuldade, leu e compreendeu o problema. Não compreendeu o problema, não conseguiu organizar os números de acordo com o sistema de numeração. Resolveu apenas a questão A, a resposta esta correta. Por falta de leitura não terminou o problema. Não compreendeu o problema, respondendo de maneira incorreta. Ainda tem dificuldade para multiplicar, as respostas das operações estão erradas, mas compreendeu o conceito do problema. Errou a multiplicação de todo o problema, tem muita dificuldade para resolver as atividades. Resolveu apenas a questão A, a resposta esta correta. Por falta de leitura não terminou o problema. Errou toda a questão, não organizou corretamente os números nas “casas” do sistema de numeração. Errou todo o cálculo. Acertou as duas multiplicações, teve facilidade. Acertou também a letra B. No diagnóstico a aluna tinha errado a conta de multiplicação 3. Teve uma boa evolução, está aluna é muito esforçada. J Errou a multiplicação 6 e acertou a multiplicação 3, como errou uma das multiplicações não obteve o resultado certo da letra B. No diagnóstico a aluna teve o mesmo erro, mas é uma aluna que se destaca por querer sempre dar sua opinião. K Acertou as duas multiplicações, teve facilidade. E acertou a letra B. No diagnóstico a aluna errou a multiplicação 6. Teve uma boa evolução, pois é muito esforçada e esperta. L Não conseguiu fazer, mesmo com ajuda, não quis fazer, pois estava nervosa e com dor no estômago. No diagnóstico faltou. É muito tímida. M Acertou a multiplicação 6, mas errou a multiplicação 3, não obteve acerto na letra B. No diagnóstico faltou. A aluna precisa de ajuda. N Faltou neste dia. O Errou a multiplicação 6 e acertou a multiplicação 3, escreveu o resultado de ambas igual, por isso não acertou a letra B. No diagnóstico a aluna errou as duas multiplicações. Teve uma pequena evolução. P Faltou neste dia. Fonte: Elaborado pelas autoras, 2012 No quadro 17 apresenta-se os resultados da avaliação da questão 2 da análise a posteriori. Esta questão teve por finalidade avaliar os conhecimentos dos alunos relativos à multiplicação e a divisão em situações do cotidiano. Questão 2: Numa doceria havia 3 caixas com 24 bombons cada uma e 6 caixas com 12 bombons cada uma. João, o gerente, juntou todos os bombons e separou-as em 8 caixas. Quantos bombons serão colocados em cada caixa? 44 E.E.PROF. MIÉCIO C. BONILHA Quadro 17: Resultado da questão 2 - análise a posteriori Aluno A B C D E F G H E. E. JOSÉ ARIANO RODRIGUES I Resultados Não teve dificuldade nenhuma para resolver o problema. Não houve dificuldade para resolver o problema, se desempenhou muito bem. Acertou a multiplicação, teve dúvida na divisão, mas releu o problema e chegou ao resultado esperado. Não teve dificuldade nenhuma para resolver o problema. È atenciosa, resolve tudo com facilidade. Não teve dificuldade nenhuma para resolver o problema. Errou todo o problema, mas principalmente a multiplicação. Precisa estudar mais as formas de multiplicar e se chegar ao resultado sem ajuda da tabuada. Pela dificuldade, e por não compreender o que o problema pede, acabou errando. Esta questão que tem um nível maior de dificuldade, pela divisão, houve a compreensão muito rápida e a resolução correta. Realizou as multiplicações e acertou, mas não realizou a soma dos resultados e nem a conta de divisão. Não compreendeu o que problema estava pedindo. No diagnóstico também não compreendeu o que estava sendo pedido. J Acertou as duas multiplicações e a soma dos resultados, mas errou a divisão. No diagnóstico também errou a conta de divisão por ter realizado uma conta de multiplicação. K Acertou as duas multiplicações e a soma dos resultados, teve um pouco de dificuldade na divisão, com ajuda conseguiu realizar, e realizou conta para verificar os resultados. No diagnóstico a aluna não realizou a conta de divisão. Teve uma ótima evolução. L Não realizou o teste. M Utilizou a representação em desenhos, pois não estava entendendo e também realizou as contas de multiplicação e a soma, realizou a divisão mas não acertou. No diagnóstico não esteve presente. N Não esteve presente neste dia. O Acertou as multiplicações e soma dos resultados, na realização da divisão montou a estrutura correta, mas não colocou o resultado embaixo da chave, e utilizou o número da sobra como resultado, sendo assim errou. No diagnóstico a aluna realizou conta de multiplicação ao invés de divisão. P Não esteve presente neste dia. Fonte: Elaborado pelas autoras, 2012 No quadro 18 apresenta-se os resultados da avaliação da questão 3 da análise a posteriori. Esta questão teve por finalidade avaliar os conhecimentos dos alunos relativos à adição em situações do cotidiano. Questão 3: Camila cortou 7 pedaços de fita de cetim com o auxílio de régua tesoura. O primeiro pedaço tinha 15 centímetros de cumprimento, o segundo tinha 4 centímetros a mais que o primeiro, o terceiro 4 centímetros a 45 mais o segundo e assim por diante. Qual a medida de cada pedaço de cetim? E o último qual era seu cumprimento? E.E. PROF. MIÉCIO C. BONILHA Quadro 18: Resultado da questão 3 - análise a posteriori Aluno Resultados A B C D E Resolveu sem dificuldade, leu e compreendeu o problema. Leu e resolveu sem dificuldade. Não teve dificuldade nenhuma para resolver o problema. Não teve dificuldade nenhuma para resolver o problema. Não teve dificuldade nenhuma para resolver o problema. Não conseguiu resolver, a aluna tem muita dificuldade e insegurança para resolver as atividades. Não teve dificuldade nenhuma para resolver o problema. Fez a somatória corretamente. Realizou apenas três pedaços da fita, e não terminou o restante, porém o que a aluna realizou estava correto. No diagnóstico a aluna realizou corretamente. A aluna não teve uma boa compreensão deste problema. F G H E. E. JOSÉ ARIANO RODRIGUES I J Realizou a estrutura correta, porém somou um pedaço de fita de cetim a mais. No diagnóstico a aluna não compreendeu o que estava sendo pedido. Teve uma melhora. K Realizou uma reta numérica contendo os números e os quatro pontinhos para a soma, mas errou, pois não somou o ultimo pedaço da fita de cetim. No diagnóstico a aluna realizou corretamente. A aluna esqueceuse do ultimo pedaço de fita. L Realizou corretamente, realizando a soma contando nos dedos. No diagnóstico a aluna faltou. M Realizou corretamente, realizando a soma nos contando dedos. No diagnóstico a aluna faltou. N Não esteve presente neste dia O Não compreendi a conta que a aluna realizou, pois para ela o resultado foi 26 comprimentos. No diagnóstico realizou corretamente. Aluna se confundiu em realizar. P Não esteve presente neste dia. Fonte: Elaborado pelas autoras, 2012 No quadro 19 apresenta-se os resultados da avaliação da questão 4 da análise a posteriori. Esta questão teve por finalidade avaliar os conhecimentos dos alunos relativos à multiplicação e a divisão em situações do cotidiano. Questão 4: O relógio de Thiago tocou pela primeira vez às 7 horas da manhã, mas ele só levantava às 8 horas. Como Thiago apertou tecla “soneca”, o relógio despertava novamente a cada 15 minutos. Qual foi o último horário antes das 8 horas que o relógio despertou? 46 Quadro 19: Resultado da questão 4 – análise a posteriori Aluno A B C D E F G H E. E. JOSÉ ARIANO RODRIGUES I Resultados Esta aluna tem muita facilidade para compreender o contexto dos problemas, acertou o problema com muita facilidade. Demorou um pouco para resolver o problema, mas chegou ao resultado esperado. Também o mesmo o problema que o aluno P, com leitura e a explicação sobre o processo do relógio, assim conseguiu chegar ao resultado. Houve o mesmo problema do aluno P, com novas leitura chegou ao resultado correto. Resolveu com dificuldade, mas chegou ao resultado. Não compreendeu o problema, precisa ler mais os textos pedidos Não compreendeu o problema. Teve um pouco de dificuldade, somou os 15 minutos que o problema pediu, mas passou das 7 horas e 45 minutos, somou até 7 horas e 60 minutos, a questionei de quantos minutos o relógio precisa para virar hora inteira, com a sua resposta conseguiu compreender, e apagou a última resposta Realizou uma reta correta com os valores de 15 em 15 minutos, porém escreveu que o ultimo horário que o relógio despertou foi 7:50h, por isso errou. No diagnóstico a aluna fez conta de multiplicação errado. A aluna teve uma melhora, mas obteve resultado errado, mas com a estrutura correta. J Realizou uma reta, contendo os horários que o relógio despertou, porém não identificou qual foi o ultimo horário que o relógio despertou. No diagnóstico a aluna realizou conta de multiplicação. Teve uma boa melhora. K Compreendeu o que estava dando pedido, e realizou corretamente. No diagnóstico realizou corretamente. Esta é muito esforçada e espeta. L Não realizou o teste. M Esteve presente. A aluna precisa de ajuda em horário. N Não esteve presente neste dia. O Realizou a estrutura correta, mas não identificou o ultimo horário que o horário que o relógio despertou. P Não esteve presente neste dia. Fonte: Elaborado pelas autoras, 2012 No quadro 20 apresenta-se os resultados da avaliação da questão 5 da análise a posteriori. Esta questão teve por finalidade avaliar os conhecimentos dos alunos relativos à multiplicação em situações do cotidiano. Questão 5: Uma loja de roupas colocou em promoção blusas regata feminina. Vitória vai aproveitar para dar presentes para sua mãe, tia, prima e irmã. Ao todo Vitória comprará 6 blusas. Cada blusa custará R$18,00 reais. Sendo assim calcule quanto Vitória gastará comprando as blusas e se ela levar mais duas, qual o total de gastos? 47 E. E. JOSÉ ARIANO RODRIGUES EE. PROF. MIÉCIO C. BONILHA Quadro 20: Resultado da questão 5 - análise a posteriori Aluno A B C D E F G H Resultados A resposta esta correta, não houve dificuldade para resolver. Leu, compreendeu e multiplicou corretamente. Errou na multiplicação, como os números estavam em reais, multiplicou o 0 de maneira incorreta, o erro ocorreu por falta de organização. Resolveu sem dificuldade. Ocorreu o mesmo problema que o aluno N, por falta de organização, não conseguiu resolver os números em reais. Resolveu sem dificuldades Não compreendeu o problema, inverteu os sinais, somou em vez de multiplicar. Compreendeu o problema, respondeu corretamente, mas colocou a vírgula em lugar errado, lembrando que estamos falando em reais. I Teve o pensamento correto e estruturou a conta certa, mas errou o resultado e não realizou a segunda questão que o problema trazia. No diagnóstico a aluna realizou conta de adição, mas teve resultado errado, vinte reais a mais. Está aluna é muito inteligente, mas precisa ler mais o que está sendo pedido. J Realizou corretamente, mas não compreendeu a segunda questão que o problema trazia. No diagnóstico a aluna realizou conta de adição mas não teve resultado correto. A aluna teve uma melhora, mais precisa de ajuda e de ler mais o que está sendo pedido. K Realizou corretamente utilizando conta de multiplicação, mas não realizou a segunda questão que o problema trazia. No diagnóstico a aluna realizou conta de multiplicação mas com o resultado errado. A aluna é muito esforçada, mas precisa ler mais o que está sendo pedido. L Não realizou este teste. M Com ajuda para compreender a questão, realizou a conta correta de multiplicação, mas na segunda parte não obteve o resultado correto, pois realizou conta de multiplicação de 2 ao invés de soma os valores. A aluna precisa ler mais para compreender. N Não esteve presente neste dia. O Realizou a estrutura da conta correta de multiplicação mas com o resultado muito errado. No diagnóstico a aluna realizou conta de subtração, totalmente errado. A aluna teve uma boa melhora, mas precisa de ler mais para compreender e de ajuda para obter mais melhora. P Não esteve presente neste dia. Fonte: Elaborado pelas autoras, 2012 Estes foram os resultados obtidos na análise a posteriori. Houve questão em que os alunos responderam sem dificuldade alguma. Os alunos não conseguiram resolver as questões três e cinco. Como nesta etapa os alunos resolveram sem ajuda apresentaram alguns erros. Acredita-se que o maior problema deles foi a falta de leitura, pois se constatou que os alunos olham o problema e já querem saber como vão resolver, sem fazerem uma reflexão e 48 organizarem os dados para elaborar uma estratégia de resolução. Os problemas que necessitavam da realização de mais de uma operação para resolução, muitas vezes ficaram incompletos. Mas em geral os resultados foram melhores do que os apresentados na análise a priori, os melhores resultados ocorreram nas questões um, dois e quatro. Doze dos dezesseis alunos acertaram as questões um e doze. Quatorze alunos acertaram a questão dois. Nove dos dezesseis alunos acertaram a questão quatro. No momento da resolução das questões, os alunos foram separados, individualmente, para que não houvesse contato com os outros colegas que também estavam realizando a análise a posteriori. Esta separação foi necessária para que cada aluno expressasse suas idéias durante a resolução dos problemas. Durante a aplicação do teste piloto e da análise a posteriori o comentário que mais se ouviu dos alunos foi “que é difícil resolver questões com mais de uma pergunta numa mesma questão”, e que eles “não estavam acostumados a resolver questões com essas dificuldades”. Não houve mais comentários, pois nesta fase da análise a posteriori, os alunos deveriam resolver sem intervenções. 49 CAPÍTULO V ANÁLISE DOS RESULTADOS 5 ANÁLISE DOS RESULTADOS DA APLICAÇÃO Neste quinto capítulo far-se-á uma comparação entre duas fases realizadas na pesquisa: a análise a priori e a análise a posteriori. As duas fases continham 5 questões cada uma e foram aplicadas com um total de 16 alunos, 8 da escola estadual Professor Miécio Cavalheiro Bonilha e 8 da escola estadual José Ariano Rodrigues, durante um período de 55 e cinco dias, com duração de uma hora, cada etapa. Na questão 1, da primeira fase, dez dos alunos acertaram algumas partes da questão, os outros alunos apresentaram erros na questão toda. Já na questão 1 da análise a posteriori cinco alunos erraram a resolução do problema, seis acertaram o problema totalmente e os restantes dos alunos acertaram parcialmente. Nessa questão os alunos apresentaram dificuldades para resolvê-la, tanto na análise a priori quando na análise posteriori. Na questão 2 da análise á priori apenas dois alunos conseguiram acertar o problema, seis acertaram parcialmente e os restantes dos alunos não conseguiram chegar ao resultado correto. Alguns deles disseram que “a questão era muito comprida, muita coisa para ler, dava preguiça”, e esse é um dos motivos pelo total de erros. Na análise a posteriori aconteceram menos erros, os alunos se dividiram entre acertar a questão totalmente e acertar a questão parcialmente, num total de quatorze alunos. Esses resultados foram mais proveitosos que os obtidos durante a análise a priori. Na questão 3 da análise à priori houve um equilíbrio entre as respostas, pois cinco alunos acertaram a questão sem maiores problemas, cinco acertaram parcialmente e os restantes dos alunos apresentaram resultado incorreto. A maior reclamação dos alunos é pela leitura, pois a maioria tem dificuldade para ler, talvez por falta de leitura em outros tipos de textos ou por não gostarem de ler. Na questão 3 da análise a posteriori, a maioria dos alunos acertaram a questão e disseram que as explicação realizadas no processo de experimentação facilitou para que respondessem corretamente a questão. 50 Na questão 4 da análise à priori onze dos dezesseis alunos erraram a questão, a mesma tratava do cálculo de porcentagem, mas os alunos poderiam utilizar outro método de resolução, os alunos disseram que ainda haviam conhecimento sobre a porcentagem, sendo assim na análise a posteriori, utilizamos outro conceito para que os alunos pudessem responder o problema. Os alunos compreenderam o enunciado do problema, mas uma parte deles não conseguiu registrar de maneira adequada o que estava sendo proposto pela questão. Na quinta e última questão da análise a priori, sete dos alunos erraram totalmente a questão, disseram que trabalharam pouco com os conceitos de tempo. Por isso não conseguiram resolver de maneira correta, sendo que apenas três alunos acertaram totalmente e os outros alunos acertaram parcialmente. Na análise a posteriori, houve um maior número de acertos, oito dos alunos resolveram corretamente, quatro acertaram parcialmente e os outros erraram a questão. A respeito das análises num contexto geral, percebeu-se na análise a priori que os alunos apresentavam muita dificuldade na leitura, na interpretação dos problemas e na realização da operação de multiplicação. A maioria dos alunos disseram que “não conheciam” ou que “pouco tinham trabalhado” com situações problemas de multiplicação. Na análise a posteriori os alunos se empenharam em resolver as situações-problema propostas e por isso os resultados foram melhores. Os resultados num contexto geral estão na tabela 1. Tabela 1: Resumo dos resultados ERROS ACERTOS PARCIAS análise a análise a priori posteriori 10 4 ACERTOS TOTAIS análise a análise a priori posteriori 6 QUESTÃO 1 análise a priori 4 análise a posteriori 4 QUESTÃO 2 6 - 6 7 2 7 QUESTÃO 3 4 3 5 - 5 11 QUESTÃO 4 11 2 3 12 - - QUESTÃO 5 7 2 4 4 3 8 Fonte: As autoras, 2012. 51 CONCLUSÃO Segundo os autores analisados, as situações problemas fazem parte do cotidiano dos alunos no contexto escolar e social e despertam o interesse dos mesmos pela disciplina e consequentemente ocasionam uma melhora no rendimento escolar. A resolução de problemas como metodologia de ensino faz com que os alunos utilizem seus conhecimentos matemáticos já adquiridos e desenvolvam a capacidade de administrar as informações ao seu redor. Dessa forma, os alunos ampliam seu conhecimento, desenvolvem seu raciocínio lógico e conhecem as aplicações da matemática. Para tentar obter melhorias no aprendizado do ensino de matemática utilizamos a metodologia de engenharia didática, cujo principal objetivo foi à análise dos resultados da aplicação de uma sequência didática que buscou trabalhar com as dificuldades dos alunos em relação a problemas que envolvem o conceito de multiplicação. Em relação aos estudos teóricos e a aplicação, percebeu-se relações comuns entre elas a relação entre os estudos teóricos e aplicação se dá pela análise preliminar, principalmente no que diz respeito às dificuldades apresentadas pelos alunos, tanto em relação aos aspectos conceituais quanto na capacidade de interpretação dos problemas. Saber interpretar um texto, uma situação problema como é o caso, é o primeiro passo para que os alunos consigam chegar ao resultado correto, todo texto lido e interpretado corretamente demonstra a compreensão do mesmo. A falta de interpretação resulta em erros. Os objetivos propostos foram atingidos parcialmente, pois embora o trabalho tenha evidenciado que os resultados apresentados pelos alunos na análise a posteriori, após terem realizado a sequência didática, melhoram em alguns pontos, mas mesmo assim constatou-se que os alunos ainda estão aquém do esperado em relação ao domínio do conteúdo multiplicação na resolução de situações-problema. . 52 REFERÊNCIAS ANGHILERI, J., JOHNSON, D. C. ”Arithmetic operations on whole numbers: multiplication and division”. Em Teaching Mathematics in grades K-8, editado por Thomas Post, Boston: Allyn & Bacon, 1988. ARTIGUE, M. Engenharia Didática. In: BRUN, J. Didática das Matemáticas, 1988. Disponível em:< [email protected]>. Acesso em: 14 Out. 2012 . BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental Ensino de primeira à quarta série. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. I. Título. – Brasília: MEC/SEF, 1998.142p. BRAGANOLO, I. T. Formação inicial de professores e alfabetização matemática. In: Anais. 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O vendedor da loja mostrou a ele essas duas formas de pagamento: 6 vezes de 84,00 reais ou 3 vezes de 160,00 reais c) Quantos reais ele pagará ao todo na opção de pagamento em 3 vezes e em 6 vezes? d) Quantos reais Fernando economizará na forma de pagamento mais vantajosa? 2) Num bazar havia 4 caixas com 12 canetas cada uma e 6 caixas com 8 canetas cada uma. Reinaldo, o gerente do bazar, juntou todas as canetas e separou-as de 6 em 6 para vendê-las somente em caixas com 6 unidades. Quantas caixas com 6 unidades serão colocadas à venda? 3) Mariana cortou 10 pedaços de barbante de diferentes tamanhos com o auxilio de régua e tesoura. O primeiro pedaço tinha 10 centímetros de comprimento; o segundo tinha 5 centímetros a mais que o primeiro; o terceiro tinha 5 centímetros a mais que o segundo e assim por diante. Qual a medida de cada pedaço de barbante? 4) Adriana ganhou um prêmio de 300 reais por ter sido a melhor vendedora do mês na loja em que trabalha. Ela decidiu dar 10% do prêmio para seu filho Gabriel. Adriana deu 10% de 300 reais ou 10 reais de cada 100 reais que ganhou. No total, Adriana deu 30 reais para Gabriel. Se Adriana desse 20% do prêmio para Gabriel, quantos reais ele ganharia? 5) O relógio de Rogério tocou pela primeira vez às 6 horas da manhã, mas ele só levantou após as 7 horas. Como Rogério apertou a tecla “soneca” várias vezes, o relógio o despertava novamente a cada 9 minutos. Qual foi o último horário em que o relógio despertou antes das 7 horas da manhã? 57 ANÁLISE DE EXPERIMENTAÇÃO SITUAÇÕES PROBLEMAS – DE MULTIPLICAÇÃO 1. Paulo comprou 5 caixas de bolinhas para usa loja. Em cada caixa havia 234 bolinhas. Ele vendeu 586 bolinhas. Quantas bolinhas ele comprou? Quantas bolinhas ainda não foram vendidas? 2. Mamãe comprou 4 caixas de bombons de abacaxi com 120 bombons cada uma e 3 caixas de bombons de coco com 323 bombons cada. Quantos bombons ela comprou, ao todo? 3. José foi ao supermercado e comprou 10 pacotes de arroz para levar para seu restaurante, cada pacote pesava 5 kilos. Quantos kilos de arroz José levou para o restaurante? 4. Heloisa quer colocar mesas novas nas salas de aula de sua escola. Nesta escola, tem 15 salas de aula, e em cada uma é preciso ter 42 mesas. Quantas mesas Heloisa têm que comprar? 5. Agnaldo comprou um carro. Ele deu R$ 5.750.00 de entrada e vai pagar o restante em 24 prestações iguais de R$ 489,00. Qual o valor total do carro? 6. Um cinema cujo ingresso custa R$ 8,00 por pessoa, possui 16 fileiras com 22 poltronas cada uma. Em uma das sessões 68 poltronas ficaram vazias. Quantas pessoas assistiram o filme? 7. Cibele tem 25 anos de idade, A mãe de Cibele tem o dobro de sua idade. Seu pai tem a idade de sua mãe mais 15 anos. Quantos anos tem o pai e a mãe de Cibele? 58 8. Clóvis foi à loja Casa Móveis e comprou um beliche. Como não tinha o dinheiro para realizar o pagamento à vista, ele pagou em 8 prestações de R$45,00 reais. a) No final da última prestação quantos Clóvis pagou pela beliche? b) Se pagasse a vista ele teria gastado R$ 60,00 reais a menos. Qual o valor a vista da beliche? 9. Em uma viagem, um ônibus pode transportar 42 pessoas. Em 20 viagens, quantas pessoas ele poderá transportar? E em 25 viagens? 10. Minha turma vai ao cinema. Somos 16 pessoas. Um ingresso custa R$ 25,00. Se cada um der R$ 30,00 reais, quantos vai sobrar no total para tomarmos um lanche? 59 ANÁLISE A POSTERIORI Análise A Posteriori de Situações Problemas 1. Ana Júlia foi a uma loja para comprar uma televisão de 29 polegadas, o vendedor apresentou a ela duas opções de pagamento. 6 vezes de R$95.00 e 3 vezes de R$ 180,00 c) Quantos reais ela pagará ao todo na opção de pagamento em 3 vezes e em 6 vezes? d) Quantos reais ela economizou na forma de pagamento mais vantajosa? 2. Numa doceria havia 3 caixas com 24 bombons cada uma e 6 caixas com 12 bombons cada uma. João o gerente, juntou todos os bombons e separouas em 18 caixas. Quantos bombons serão colocadas em cada caixa? 3. Camila cortou 7 pedaços de fita de cetim com o auxílio de régua tesoura. O primeiro pedaço tinha 15 centímetro de cumprimento, o segundo tinha 4 centímetros a mais que o primeiro, o terceiro 4 centímetro a mais o segundo e assim por diante. Qual a medida de cada pedaço de cetim? E o ultimo qual era seu cumprimento? 4. O relógio de Thiago tocou pela primeira vez às 7 horas da manhã, mas ele só levantava às 8 horas. Como Thiago apertou tecla “soneca”, o relógio despertava novamente a cada 15 minutos. Qual foi o último horário antes das 8 horas que o relógio despertou? 5. Uma loja de roupas colocou em promoção blusas regatas femininas. Vitória vai aproveitar para dar presentes para sua mãe, tia, prima e irmã. Ao todo Vitória comprará 6 blusas. Cada blusa custará R$18,00 reais. Sendo assim calcule quanto Vitória gastará comprando as blusas e se ela levar mais duas, qual o total de gastos?