A IMPORTÂNCIA DE ALIAR TEORIA E PRÁTICA NO
ENSINO DA MATEMÁTICA
Everson Cezario da Cruz1
RESUMO:
Sabemos que é extremamente relevante analisar a importância de aulas práticas, pois
entendemos que elas são umas referências para o ensino da matemática na medida em
que desperta no professor um olhar mais criterioso no desenvolvimento das aulas, nas
metodologias utilizadas, ao conteúdo que está sendo aplicado e a necessidade de cada
um de seus alunos. Assim sendo, o presente trabalho, teve por objetivo analisar a teoria
e a prática aplicada ao ensino, buscando um possível facilitador na aprendizagem da
Matemática. Buscamos neste trabalho não só uma alternativa para aprendizagem da
matemática, como também mostrar que a aula teórica tem que estar sempre ligada à aula
prática, uma necessita da outra. Realizamos um estudo de caso nas modalidades
qualitativa e quantitativa. A coleta de dados foi realizada exclusivamente através da
aplicação de avaliações diagnósticas no início do trabalho, e uma avaliação somativa, no
final do mesmo, a dois grupos Y e Z. Os resultados foram comparados e analisados,
sendo fundamentado no referencial teórico. E chegamos a algumas considerações
pertinente sendo elas, à medida que as aulas práticas são desenvolvidas, amplia-se nos
alunos maior interesse pelo conteúdo. Em cada construção prática das aulas os alunos se
mostravam mais instigados em desenvolver os estudos. Contudo nossa maior
consideração foi, ensinar Matemática subsidiada por aulas práticas produz resultados
satisfatórios para além do que se espera de uma aula puramente teórica em matemática.
Palavras chaves: Ensino de Matemática, Aula teórica, Aula prática
INTRODUÇÃO
Neste trabalho, pretende-se mostrar a importância das inter-relações de aulas
teóricas e práticas, pois estas são referências para o ensino, na medida em que desperta
no professor um olhar mais atento, em que seu aluno aprende com mais facilidade.
Percebemos que alguns docentes restringem o seu trabalho a aulas
exclusivamente teóricas, sem preocupação com uma contextualização maior do
conteúdo para que os objetivos da aula possam ser atingidos. Visto que o papel do
professor é desenvolver no aluno a capacidade de compreender, dar sentido ao que tem
em mãos, tudo isso é influenciado pela forma como o docente apresenta a matéria em
sala de aula. É necessário ter um planejamento suficientemente flexível para adaptar as
1
Graduado em matemática e professor do Ensino Fundamental e Médio.
[email protected]
diferentes situações do cotidiano, como ambiente para desenvolvê-la, dificuldades
apresentadas, métodos utilizados para a aprendizagem de cada aluno, pois dentro da
sala de aula existem alunos que têm a facilidade de aprender, outros encontram
dificuldade. Devido a isso, deve-se levar em conta as contribuições dos mesmos,
durante o processo ensino aprendizagem.
Ensinar matemática requer do professor um esforço para organizar os conteúdos
de acordo com a realidade dos alunos. Para isso acontecer, deve haver o compromisso
ao preparar uma aula, de acordo com a grade curricular da instituição, e que possa levar
o aluno à aprendizagem. Ensinar envolve estabelecer uma série de relações que devem
conduzir à elaboração, por parte do aprendiz, de representações pessoais sobre o
conteúdo objeto de aprendizagem. Afinal, a matemática faz parte do cotidiano de todas
as pessoas. Cabe ao professor demonstrar isso na prática. Desse modo é pertinente
trazer elementos do mundo extra-escolar, inclusive do mercado de trabalho, para as
atividades em sala de aula, no intuito de preparar os alunos para a vida e para uma
futura profissão no mundo do trabalho.
Para o desenvolvimento deste trabalho, inicialmente fizemos um levantamento
bibliográfico, em que buscamos estudar teóricos que defendem a necessidade de aulas
práticas como forma de melhorar o desempenho dos alunos e dar o aporte teórico
necessário a nossa fundamentação. Sendo assim, o objetivo geral deste trabalho é aliar
a teoria à prática, onde procuraremos mostrar que ensino através da prática, produz
melhores resultados do que só o ensino teórico.
Desenvolvemos o estudo na escola X, com uma amostra de quarenta alunos, que
estudam em duas turmas de oitava séries A e B, com as quais trabalhamos durante o
estágio em que adquirimos conhecimento, confiança e entrosamento. Aplicamos uma
avaliação diagnóstica, no início e ao término do trabalho, uma avaliação somativa, pois
propomos responder às questões relevantes do trabalho e a hipótese: realmente o ensino
de cálculos de áreas e perímetros produz melhores resultados, agregando aulas teóricas
e práticas.
Esperamos que este trabalho contribua para uma maior utilização das aulas
práticas no ensino de conteúdos, como na matemática.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Em função do problema da pesquisa e conseqüentemente seus objetivos, fizemos
o levantamento preliminar de fontes bibliográficas sobre o assunto, buscamos em
Duarte (2002) ao afirma que a finalidade da pesquisa científica não é apenas um
relatório ou descrição de fatos, mas o desenvolvimento de um caráter interpretativo no
que se refere aos dados e informações levantadas.
Com isso o procedimento utilizado nesta pesquisa foi o estudo de caso. Segundo
Martins (2000) esse se justifica ao estudar intensivas do passado, presente e de
interações ambientais de uma (ou algumas) unidade social: individuo grupo, instituição,
comunidade são validadas pelo rigor do problema do protocolo estabelecido.
Geralmente os alunos ao se depararem com cálculos de área e cálculos de
perímetros, como um conhecimento novo, procuram associar essas novas informações
com suas idéias prévias, por exemplo, sobre medição de terreno, medição de sala de
aula e medição de quadras esportivas. Assim procuramos, com esse trabalho,
desenvolver aulas práticas para que o aluno melhor associe o conteúdo ao conhecimento
trabalhado em sala de aula. Conforme Sant' Anna (2000), para que o ensino seja
desencadeado em sala de aula, é preciso que o professor o desenvolva através do uso de
certos procedimentos didáticos, os quais se constituem pelas várias formas de atuação
do professor e dos alunos, tendo em vista conseguir os objetivos de ensino pretendidos.
Ainda segundo a mesma autora, os procedimentos de ensino ou situações de
experiências constituem-se pela:
“Indicação clara, objetiva, precisa das ações a serem vivenciadas pelos alunos
e estabelecidas pelo professor e/ou alunos conforme organização integrada
horizontal e vertical dos conteúdos e objetivos, seguidos de atividades de
desenvolvimento e finalizando por atividades sintetizadoras”. (SANT'
ANNA, 2000: pag. 43)
Castro e Carvalho (2001), seguindo o mesmo raciocínio de Sant’Anna (2000),
nos diz que:
A natureza do conhecimento que o professor deverá ensinar vai indicar uma
forma de se relacionar com os alunos, de como organizar o espaço de
aprendizagem, de como eleger os instrumentos que poderão propiciar melhor
aprendizagem dos conteúdos a serem ensinados (CASTRO E CARVALHO,
2001, p.56.).
Diante desta discussão, podemos perceber a necessidade de se apresentar aos
alunos uma forma diferente em cada aula para que assim se possa modificar a forma de
ensino relacionando-o com cada aluno. Vemos que ambos os autores reforçam a idéia
de se ensinar de maneira diferenciada e esclarecemos que estamos de acordo com as
definições acima. Em nosso trabalho buscamos oferecer aos alunos práticas que
pudessem despertar maior interesse pelas aulas.
Ainda para Sant' Anna (2000), “Estas situações poderão estar centradas no
professor, caso o ensino seja diretivo, isto é, o professor será organizador do ensino,
cabendo a ele a seleção de objetivos, conteúdos, avaliações etc. O aluno participará
apenas como elemento desencadeador. Caberá ao professor tomar decisões, apresentar
idéias, definir limites”.
Portanto o ensino dos conteúdos deve ser visto como uma troca entre a matéria,
o ensino e o estudo dos alunos. Através do ensino criam-se as condições para um
processo consciente e sólido de conhecimentos, habilidades e atitudes. Passamos então,
a discussão sobre métodos onde estruturamos nossa concepção de ensino.
MÉTODOS DE ENSINO
Sobre o método de ensino, Sant’Anna (2000) nos diz que é o caminho para algo,
uma ação encaminhada a um fim, um meio para conseguir um objetivo determinado. O
valor do método sempre estará condicionado à meta a que nos propomos. Ao
discutirmos o método de ensino, estamos relacionando a metodologia traçada pelo
educador ao se trabalhar com aulas, em especial aulas práticas.
De acordo com Zabala (1998), “para estabelecer os vínculos entre os novos
conteúdos e os conhecimentos prévios, em primeiro lugar é preciso determinar que
interesse, motivações, comportamento, habilidades, devem constituir o ponto de
partida”. Para o autor, é essencial que se estabeleçam pontos a serem seguidos no
decorrer do ensino. Os autores comungam entre si quando discutem os objetivos do
método adotado.
Diante disso é necessário levar em conta a importância na escolha do método
mais adequado para transmitir os conteúdos propostos aos alunos, para que haja
melhora no ensino.
Nas discussões de Marques (1996),
Para que o ensino das disciplinas não seja tratado como pacotes prontos e
bem- amarrados, é preciso que a cada período letivo, cada estágio da
interlocução de saberes, entendido e encarado como unidade operacional
básica em que uma turma de alunos e uma equipe de professores programem
sua unidade de comunicação discursiva, de experiências próprias e de
recorrências conceituais e temáticas, a que concorram às diversas disciplinas,
não a partir de si mesmas, mas a partir das exigências daquele estágio e
daquela determinada situação de aprendizagem. (MARQUES, 1996: p. 114)
Concordamos com as definições do autor nas quais ele coloca em evidência a
relação professor aluno em que, a partir dos estágios de aprendizagem e do contato com
os alunos, é que vai se desenvolver o ensino das disciplinas.
Para Castro e Carvalho (2001), “a sala de aula pode ser esse espaço formador
para o aluno para o desenvolvimento do ensino. Espaço em que ele aprende a pensar
elaborar e expressar melhor suas idéias e a ressignificar suas concepções, ao ser
introduzido no universo dos saberes teoricamente elaborados e nos procedimentos
científicos de análise, interpretação e transformação da realidade”.
Assim, percebemos que a sala de aula é uma condição necessária para o
desenvolvimento do ensino e quanto é importante para a formação acadêmica dos
alunos ter dentro desse ambiente situações que melhor lhe propiciem desenvolvimento
na sociedade.
Ainda, não basta à seleção e organização lógica dos conteúdos para transmitilos. Antes, os próprios conteúdos devem incluir elementos da vivência prática dos
alunos para torná-los mais significativos, mais vivos, mais vitais, de modo que eles
possam assimilá-los ativa e conscientemente. Ao mesmo tempo, o domínio de
conhecimentos e habilidades visa, especificamente, ao desenvolvimento das
capacidades intelectuais entre as quais se destaca o pensamento independente e criativo.
Para Piletti (1997) o plano de aula deve prever estímulos adequados aos alunos, a fim de
motivá-los, e criar uma atmosfera de comunicação entre professor e alunos que favoreça
a aprendizagem. Assim ercebemos que os alunos se sentem mais motivados quando o
plano de aula se adéqua a eles e tem-se mais capacidade em criar quando estão em um
ambiente propício para aprendizagem. Conforme Torres (1994) na sala de aula se
evidencia, de forma mais explícita, os dilaceramentos da profissão de professor e os
embates da relação pedagógica. Ainda para Libâneo (1994), o trabalho docente não fica
restrito às paredes da sala de aula, sem preocupação com a prática da vida cotidiana dos
alunos e sem voltar os olhos para o fato de que o ensino busca resultados para a vida
prática, para o trabalho, para a vida na sociedade.
Acreditamos que um trabalho sólido com professores no que diz respeito às
funções da geometria pode vir a contribuir com a problemática apresentada. É
importante que os professores percebam que, por meio da geometria, eles podem
explicar o porquê que determinada afirmação é verdadeira e, percebam também, que
através dela, podem descobrir novas propriedades e/ou conceitos ou novas
características relacionadas à afirmação em questão.
Em relação ao ensino da Matemática, os PCN’s (1997) atribuem dois papéis
distintos. Um deles é “o Formativo que ajuda a estruturar o pensamento e o raciocínio
dedutivo e o outro é o instrumental, pois a matemática é uma ferramenta que serve para
a vida cotidiana e para muitas tarefas específicas em quase todas as atividades
humanas”. Num valor formativo ou instrumental é necessário que o aluno perceba a
Matemática como um sistema de códigos e regras que a tornou uma linguagem de
comunicação de idéias e permite modelar a realidade e interpretá-la.
Ainda segundo os PCN’s (1997: p. 29) é importante que “a Matemática
desempenhe, equilibrada e indissociavelmente, seu papel na formação de capacidades
intelectuais, na estruturação do pensamento”.
Quando o professor busca fazer algo criativo, o produto de sua criatividade gera
oportunidades para que os indivíduos e grupos experimentem e aprendam. Veiga (1996)
afirma que:
O trabalho docente alienado só pode gerar um produto discente alienado; se
isso não acontece é porque o aluno conseguiu, por outros caminhos, criticar a
prática de seu professor. É por esse motivo que afirmamos que o professor
precisa saber como se constitui o conhecimento. Caso contrário, poderá não
só tornar inócuo o processo de aprendizagem, como até obstruir o processo
de desenvolvimento que o fundamenta. (VEIGA, 1996: p. 68-69)
Esclarecemos que estamos de acordo com as definições e acrescentamos que o
mundo fora da sala de aula está em constante mudança, o próprio professor deve mudar.
São várias as oportunidades que o professor tem de “ser criativo” na maneira como lida
com todas essas condições mutáveis. Dentro dessa perspectiva, o ensino como um todo
e, especialmente, da Matemática deve ser trabalhado de maneira compartilhada.
ENSINO-APRENDIZAGEM
O Projeto de Ensino-Aprendizagem é uma síntese que o educador faz dos apelos
da realidade, das expectativas sociais, de seus compromissos e objetivos, das condições
concretas do trabalho. Com esta temática estamos no cerne da atuação do professor: a
própria organização de sua proposta para o trabalho em sala de aula. Este é um campo
da maior importância na práxis docente: como vai estruturar sua atividade, que
necessidades localiza no grupo, que objetivos pretende alcançar, que conteúdos vai
propor, como vai avaliar, etc. É também um excelente instrumento de auto-formação, na
medida em que favorece a reflexão crítica sobre a prática, o sair do piloto automático,
da mera rotina, afirma Vasconcellos (2002).
O mesmo autor ainda afirma que:
Um dos grandes problemas apontados pelos coordenadores e orientadores é
exatamente a resistência dos professores ao planejamento. De onde viria esta
resistência? Imposição? Controle? Falta de condições? Formalismo?
Idealismo? Comodismo? É preciso investigar. No caso do professor que vai
simplesmente repetir o que já fez ou executar algo predeterminado pela
escola, diríamos que, de fato, não precisa planejar! A educação é um campo
muito bonito, mas minado... A tarefa do professor é uma das mais complexas
do ser humano; no entanto, também pode ser banalizada a tal ponto que
qualquer um pode fazê-la (“Abram o livro na página 32, leiam e façam um
resumo”). É até difícil dizer, mas algumas práticas ainda persistem no
contexto escolar: em pleno terceiro milênio, existem professores que
transformam seus alunos em copistas, uma vez que em suas aulas se limitam
a passar “o ponto” na lousa (várias lousas, diga-se de passagem), mal
sobrando tempo para explicar e muito menos para interagir com os alunos”.
(VASCONCELLOS, 2002: pag. 147)
Fonseca (1995), afirma que “a aprendizagem não pode ser vista como mera
acumulação de conhecimentos ou aquisições, mas como uma construção ativa e uma
transformação das idéias, uma modificabilidade cognitiva estrutural, um processamento
de informação mais diversificado, transcendente e plástico, consubstanciando a função
de facilitação e de midiatização intencional do professor”.
Os autores concordam em suas discussões que deve haver uma estrutura prévia
do que se vai ensinar para que o professor não torne seus alunos em meros copistas e
dão ênfase ao papel transformador do professor em que cabe a ele organizar e orientar
cada prática para que se atinjam os objetivos de ensino.
PRÁTICA X TEORIA
Conforme Pimenta (2002), “a atividade teórica é prática onde a teoria é que
possibilita de modo indissociável o conhecimento da realidade e o estabelecimento de
finalidades para sua transformação. Para produzir tal transformação não é suficiente a
atividade teórica, é preciso atuar praticamente onde uma completa a outra”.
Em relação às teorias Mizukami (2001) afirma que:
O papel da teoria é, muitas vezes, limitado. Para alguns aspectos do
fenômeno educativo, a explicação das relações envolvidas pode não ser
suficientemente desenvolvida ou abrangente, e sua incompletude pode,
inclusive, servir de guia ou fornecer elementos para reflexão. Não há teoria
que, por sua própria natureza, fins e prioridades, seja elaborada e resista às
mudanças sociais, filosóficas e psicológicas, pelo menos do ponto de vista do
ser humano que a examina, a utiliza e participa do mundo que o cerca.
(MIZUKAMI, 2001: p.106)
Ainda segundo a autora, é necessário que “as teorias não sejam as únicas fontes
de resposta possíveis, completas e incorrigíveis, para as situações de ensinoaprendizagem. Elas são elaboradas para explicar, de forma a reduzir, determinados
fenômenos, e por dados do real é que irão fornecer o critério para a sua aceitação ou
não, instalando-se, assim, um processo de discussão permanente entre teoria e prática”.
A educação possui um conceito relativo em função de valores individuais e
sociais. Contudo, é preciso, pelo menos, que se expresse essa correlação e que o
educador e o educando dela sejam conscientes. Como o professor processa esta
classificação e como ele objetiva essas questões na sua prática pedagógica, são fatores
essenciais para definir sua formação.
A prática em sala de aula coloca desafios e questões para os quais precisamos
criar alternativas adequadas, fazendo com que nosso ensino seja ele também
uma construção, que se dá paralela e concomitantemente com a construção
do conhecimento pelos alunos. Talvez mais difícil porque, enquanto
profissionais, estamos expostos e freqüentemente não temos um parceiro que
exerça o papel estimulador para que possamos empreender a mudança de
nossas concepções alternativas sobre ensino. (CASTRO E CARVALHO,
2001: p. 132)
Não há dúvidas quanto à importância do professor no processo educativo. Falase e propõe-se tanto em educação a distância quanto outras utilizações de tecnologias na
educação, mas nada substituirá o professor agente do conhecimento que faz com que
haja relações de interação e construção do conhecimento, por parte do aluno.
A prática pedagógica, segundo Rios (2001), ocorre “no interior da sala de aula,
entre o professor e o aluno, para a transmissão de um saber científico, através de
determinados meios e procedimentos, não é neutra”.
Contudo, percebemos e comungamos com os autores que a forma de ensinar, é
eficaz no processo ensino aprendizagem expressando uma forma de educação específica
do aluno em seu desenvolvimento e sua adaptação para a vida em sociedade.
METODOLOGIA
População e lócus da pesquisa.
O universo da pesquisa foi composto por alunos de oitavas séries de uma escola
pública estadual, localizada na cidade de Janaúba, no Norte de Minas, com uma
população de 1.700 (mil setecentos alunos)
Esta escola que denominamos X, funciona em três turnos: matutino, vespertino e
noturno. Oferece Ensino Fundamental e Médio e o EJA, e é Escola Referência. Em seu
Plano de Desenvolvimento Político Institucional, que substitui o PPP (Plano Político
Pedagógico), estão todos os planos que desenvolve durante o ano e também os
problemas enfrentados pela escola. O prédio da instituição é constituído de 13 salas de
aula, laboratório de informática, sala de vídeo, biblioteca, depósito de materiais
esportivos, sala de xérox, sala de jogos, diretoria, secretaria, sala de supervisão, cantina,
banheiros femininos e masculinos, duas quadras não cobertas, destinadas à prática de
esportes. Trabalham dentro da escola 84 funcionários, sendo que 56 são professores. O
suporte pedagógico é dado por três orientadoras e uma supervisora. O material
pedagógico que a instituição oferece é composto por livros didáticos, vídeos e
computadores ligados à internet. Funcionam, no laboratório de informática, onze
computadores, em que os alunos tem as aulas de informática e o acesso à internet para
pesquisa de trabalhos escolares, e contém um computador na biblioteca para pesquisas
com mais urgência, pois o laboratório só é aberto nos dias de aula, em horários
diferentes das aulas da escola. A escola tem como fonte os recursos a ela destinados
pelo Estado, sendo que uma parte destes é destinada à merenda escolar que é oferecida
aos alunos de 5ª a 8ª série do ensino fundamental. A instituição tem dez professores de
matemática, todos efetivos. Dentre estes, dois são responsáveis por quatro oitavas
séries existentes na instituição, cada um, atuando em duas turmas. As duas oitavas
séries funcionam no turno matutino e vespertino, sendo duas em cada turno.
O estudo de caso.
O estudo abordado neste trabalho foi o estudo de caso. Após a observação feita
nas turmas de oitava séries em que desenvolvemos o estágio supervisionado,
percebemos a dificuldade que os alunos demonstravam para entender o que estava
sendo regido.
No início das aulas, aplicamos um questionário, para fazer um
levantamento do perfil dos alunos, com o intuito de interpretar melhor os resultados da
pesquisa e conhecer melhor a amostra estudada.
Logo após, aplicamos a avaliação diagnóstica com o conteúdo de cálculos de
áreas e perímetros, fizemos uma correção, para verificarmos o conhecimento que os
alunos tinham do conteúdo. Embasados no diagnóstico que desenvolvemos, em torno
dos resultados das avaliações, transmitimos o conteúdo de cálculos de áreas e
perímetros, através de aulas práticas e teóricas.
As aulas teóricas foram desenvolvidas na biblioteca da instituição, através do
quadro, onde fizemos uma aula expositiva, com o auxilio do livro didático oferecido
pela escola.
A aula prática foi desenvolvida na quadra esportiva da escola, sala vazia e na
biblioteca. As aulas tinham a duração de quarenta minutos, no período de três semanas,
contabilizando quatorze aulas, sendo sete para aulas teóricas e sete para aulas práticas.
Objeto de Estudo
A pesquisa teve uma amostra de quarenta alunos de duas oitavas séries da escola
X, que aqui denominamos turmas A e B. A turma A tem trinta e nove alunos e a turma
B, quarenta alunos, ambas do turno vespertino e um único professor de matemática.
O nível de aprendizagem dos alunos da turma A, em relação a disciplina de
matemática, segundo o professor, é mais elevado que a turma B, tendo uma boa
quantidade de alunos com interesse e a facilidade de aprender. Na turma B em relação à
disciplina de matemática, poucos têm o interesse de aprender, a maioria tem
dificuldade no aprendizado. Devido a isso, eles criam uma certa barreira que impede o
seu desenvolvimento em torno da matemática.
Para adquirirmos conhecimento das características da nossa amostra, aplicamos
um questionário, contendo cinco perguntas, em que não houve a necessidade de os
alunos se identificarem. Através desse questionário obtivemos um conhecimento da
amostra de estudo com as respostas dadas pelos alunos, dando mais suporte ao nosso
trabalho.
A amostra foi escolhida da seguinte forma: através do diário do professor de
matemática, fizemos uma seleção de alunos de forma aleatória. Colocamos em uma
caixa pequena de papel os números do diário correspondentes a cada aluno da turma A.
O professor retirou vinte números, os quais participaram do trabalho.
Dos vinte alunos sorteados da turma A, separamos em dois grupos de dez
alunos. O primeiro grupo escolhido participou da aula prática e os outros dez da aula
teórica. Os participantes das aulas práticas denominamos grupo Y, e os das aulas
teóricas de grupo Z. Isso foi válido para as duas turmas, sobre a denominação dos
grupos.
Na turma B, foram selecionados da mesma forma que os alunos da turma A,
aleatoriamente.
Essa seleção e separação de grupos foi feita para obtermos uma melhor condição
para observação do desenvolvimento dos alunos, no intuito de atingir o objetivo que é,
aliar a teoria à prática, em que procuraremos mostrar que o ensino, através da prática,
produz melhores resultados do que só o ensino teórico.
Realização da Pesquisa
As aulas práticas e teóricas foram desenvolvidas de acordo com o plano de aula,
abaixo apresentado:
TEMA:
- Cálculos de áreas e perímetros
OBJETIVO GERAL:
- Aliar a teoria à prática, em que procuraremos mostrar que o ensino, através da prática,
produz melhores resultados do que só o ensino teórico.
OBJETIVO ESPECÍFICO:
- Despertar o interesse pela matemática nos alunos da turma pesquisada.
- Apresentar aos alunos a aplicabilidade dos conhecimentos teóricos da matemática na
prática do cotidiano.
- Mostrar aos alunos situações como a medição de terrenos, em nosso caso específico, a
quadra de futebol de vôlei, sala de aula da instituição e a biblioteca.
- Procurar desenvolver nos alunos raciocínio lógico dedutivo, noções de espaço, bem
como as unidades de medidas utilizadas para medir áreas e noções preliminares de
geometria plana.
MATERIAIS E MÉTODOS:
-Aula expositiva
. Livro didático
- Aula prática
. Giz
(teórica)
. Caderno
. Caderno
. Trena
. Quadro
. Lápis
. Lápis
. Giz
. Xérox
. Quadro
. Espaço (quadra, sala de aula, biblioteca)
TEMPO DE DURAÇÃO:
- Quatorze aulas de quarenta minutos
As aulas foram realizadas durante a semana, nos horários de matemática da duas
turmas, sendo duas aulas simultaneamente, prática e teórica.
Devido à necessidade de assistir ambos os grupos na realização das aulas,
solicitamos o auxílio de um profissional da área, o qual já tinha conhecimento do
trabalho, que vínhamos desenvolvendo desde o início. Convidamos o professor e
explicamos para ele a necessidade de um profissional para auxiliar os alunos na aula
teórica. Diante da situação, o convite foi aceito.
O mesmo atuou como mediador na realização das aulas teóricas que oferecem os
conceitos e definições das práticas, desenvolvidas posteriormente nas aulas de aplicação
do grupo Z. Com o grupo Y, fazíamos essa mediação, pois a prática tinha muitas
aplicações e necessitava de nosso auxilio direto. Tudo isso pelo fato de as aulas teóricas
e práticas acontecerem simultaneamente. Então necessitávamos acompanhar os alunos
nas aulas práticas, para auxiliá-los, observá-los e atingir os objetivos do trabalho, que é
a aula prática.
Passamos então o plano de aula e as devidas orientações com o intuito de que ele
desenvolvesse as aulas da forma como planejamos, para no final do trabalho termos a
capacidade de compararmos os resultados obtidos nos dois grupos, Z e Y.
O desenvolvimento foi da seguinte forma: na primeira aula, explicamos aos
alunos todo o processo, os objetivos da realização do trabalho e aplicamos o
questionário.
Na segunda aula, aplicamos uma avaliação para todos os participantes do
trabalho, mas antes da aplicação, fornecemos números aleatoriamente para
identificarmos os alunos. Este número foi colocado na avaliação e uma letra que
representa cada grupo, como por exemplo, quem iria participar das aulas teóricas
colocava a letra Z, e das aulas práticas a letra Y, não havendo a necessidade de colocar
o seu nome. A avaliação abordava o conteúdo cálculo de áreas e perímetros, e continha
dez questões abertas, que são as seguintes:
1- Qual é a área de uma região retangular cujas medidas são 24m por 12,5 m?
2- Quanto mede a altura de um retângulo que tem 65 cm de base e 1430 cm2 de área?
3- Quantos metros quadrados de azulejo são necessários para revestir até o teto uma
parede retangular de 4 m por 2,75 m?
4- Qual o perímetro de um quadrado que mede 4 m cada lado?
5- Um terreno tem a forma quadrada, de lado 30,2 m. Calcule a área desse terreno.
6- Qual é a área de um quadrado cujo perímetro é 14 cm?
7- A região de uma cartolina é limitada por um paralelogramo que tem 15,4 cm de
comprimento por 8,5 cm de largura. Qual é a área dessa região?
8- Um pedaço de madeira, cuja forma de um triângulo, tem a altura de 8,5 cm e a base
mede 26 cm. Qual a área desse triângulo?
9- Um terreno tem a forma de um trapézio de bases 30 m e 21 m e de altura 16 m.
Calcule a área desse pedaço de madeira.
10- Um terreno tem a forma de um trapézio de bases 22,5 m e 16 m e de altura 10 m.
Nesse terreno, foi construída uma piscina retangular de 9 m de comprimento por 4 m de
largura. No restante do terreno, foram colocadas pedras. Quantos m2 do terreno foram
cobertos por pedras?
A partir da terceira aula começamos desenvolver as aulas teóricas e práticas.
Na aula prática de cada turma dividimos os dez alunos em dois subgrupos de
cinco alunos, em que estes trouxeram lápis, borracha, caderno e receberam uma trena
para medir a área da quadra de futebol de vôlei da biblioteca e uma sala que estava
vazia. Passamos as instruções aos alunos para que começassem a medir os ambientes e,
durante a execução, ficamos auxiliando-os. Os alunos mediram esses ambientes e
anotaram em seus cadernos.
Na aula teórica, os alunos trouxeram lápis, borracha, caderno e usamos o livro
oferecido pela instituição, em que o professor explicou a maneira que calcula a área e o
perímetro de um quadrado, retângulo, através das fórmulas relacionadas a cada figura e
passou algumas questões que envolviam estas figuras. Logo após fez as correções junto
com os alunos.
Na quarta aula, em continuação à aula prática, pegamos as medidas dos
ambientes e calculamos as áreas e perímetros, em que todos relacionaram com as
figuras de um retângulo e usamos a fórmula para os cálculos.
Na aula teórica, os alunos calcularam através das fórmulas a área do losango e
do triângulo e fizeram alguns exercícios com relação às figuras citadas. Logo após o
professor fez a correção dos exercícios.
Na quinta aula, levamos os alunos até uma sala de aula vazia e medimos uma
janela a qual todos os seus lados tinham a mesma medida, e, através desta, usamos a
fórmula de um quadrado para calcular a área que esta janela ocupa na sala. Fomos até a
biblioteca e procuramos formas, desenhos que relacionassem com figuras de um
losango, triângulo e trapézio. Medimos e anotamos no caderno para na aula seguinte
fazermos os cálculos das áreas destas formas.
N a aula teórica, o professor explicou aos alunos como é feito, através da
fórmula, o cálculo da área de um triângulo. Logo após, passou os exercícios
relacionando com a figura. Depois da resolução, fez a correção.
Na sexta aula, fizemos os cálculos das áreas das figuras medidas. Logo após,
pegamos as medidas dos ambientes que medimos como: quadra de futebol, quadra de
vôlei, sala de aula e a biblioteca e calculamos a quantidade de materiais como: tijolos e
arames que levaria para cercá-los. Em seguida, fizemos um relatório, mensurando a
quantidade de materiais de que necessitaríamos para cercar estes ambientes, o qual,
apresentamos a seguir:
Quadra de Futebol: 16 metros x 29 metros
Quadra de Vôlei: 10 metros x 21 metros
Sala de Aula: 6 metros x 7 metros
Biblioteca: 7 metros x 6 metros
A partir destas medições fizemos os cálculos para verificarmos a quantidade de
materiais de construções como, tijolo e arame, que seria necessária para cercar estes
ambientes.
Quantidade de Tijolos: Sendo que os tijolos têm a medida de 20 centímetros por 10
centímetros e a altura do muro é de 2 metros, então como as medidas dos ambientes
estão em metros, calculamos a área do tijolo em metros, em que pegamos os 20
centímetros e dividimos por 100 e dividimos também os 10 centímetros por 100, para
obter as medidas do tijolo em metros. Logo após calcularmos a área do tijolo, em que
pegamos os resultados das transformações em metros, que foi 0,2 metros vezes 0,1
metros e achamos a área do tijolo que é 0,2 metros quadrados. Calculamos a área da
quadra de futebol da seguinte maneira: pegamos o comprimento do muro que mede 16
metros e multiplicamos com a altura do muro que é 2 metros e achamos 32 metros
quadrados. Logo após calculamos o outro lado do muro o qual mede 29 metros de
comprimento e multiplicamos pela altura de dois metros do muro e encontramos 58
metros quadrados. Após estes cálculos, verificou-se que para cercar este ambiente
necessita-se de quatro partes de muro e como já calculamos duas, então somamos a área
do primeiro muro que é trinta e dois metros quadrados, com a área do segundo muro
que é 58 metros quadrados e multiplicamos por dois, que são os outros dois muros que
faltam, e achamos 180 metros quadrados. Pegamos estes 180 metros quadrados e
dividimos pela área do tijolo que é 0,2 metros quadrados e encontramos 9.000 unidades
de tijolos , o necessário para cercar a quadra de futebol da instituição. Os outros
ambientes foram medidos da mesma forma, o tijolo com a mesma medida e a altura do
muro também. Através destes cálculos achamos as seguintes quantidades de tijolos
citados abaixo:
Quadra de Futebol: 9.000 tijolos
Quadra de Vôlei: 6.200 tijolos
Sala de Aula: 2.600 tijolos
Biblioteca: 2.500 tijolos
Quantidade de Arames: Para calcularmos a quantidade de arame, colocamos cinco
voltas de arames para cercar cada ambiente. Então vamos demonstrar aqui os passos que
seguimos para calcular a quantidade de arame necessário para cercar a quadra de
futebol. Calculamos o perímetro da quadra de futebol da seguinte forma; somamos
todos os seus lados, 29 metros + 16 metros + 29 metros + 16 metros e achamos 90
metros. Agora multiplicamos os 90 metros por 5 voltas e encontramos 450 metros de
arame, o necessário para cercar a quadra de futebol. Foram desenvolvidos da mesma
forma os cálculos dos ambientes. Através destes cálculos achamos as seguintes
quantidades de arame necessárias para cercar cada ambiente citado abaixo:
Quadra de Futebol: 450 metros
Quadra de Vôlei: 310 metros
Sala de Aula: 130 metros
Biblioteca: 130 metros
Estas foram às medidas e as quantidades de materiais que seriam necessários
para cercar estes ambientes os quais foram estudados.
Na aula teórica, o professor explicou para os alunos o cálculo da área de um
trapézio. Em seguida passou exercícios sobre a figura. Depois de resolvidos, fez a
correção.
A sétima aula foi à última, em que aplicamos tanto para o grupo da aula teórica,
quanto para o grupo da aula prática, a mesma avaliação que aplicamos no início do
trabalho.
Na última avaliação, os alunos se identificaram com o mesmo número e a
mesma letra utilizada na primeira avaliação. Através dessas identificações e dos
resultados das duas avaliações, comparamos o conhecimento que os alunos obtiveram
durante o desenvolvimento do trabalho.
Tendo em mãos as avaliações diagnósticas e avaliações somativa, procuramos
atribuir notas de zero a dez, em que cada questão valia um ponto, no intuito de
compararmos o desempenho dos alunos durante a pesquisa.
Para analisarmos as notas, ou seja, a quantidade de questões que os alunos das
aulas práticas acertaram, aplicamos a regra de três simples (porcentagem). Logo,
fizemos o mesmo com os alunos das aulas teóricas, com as notas obtidas por eles. Ao
final, comparamos o resultado dos alunos da aula prática e da aula teórica para
verificarmos se nossos objetivos e hipótese foram alcançados.
ANÁLÍSE DOS RESULTADOS
O trabalho foi desenvolvido por meio de questionários, aplicações de avaliações
diagnósticas e somativa, aula teórica e prática, observação durante o desenvolvimento
das aulas, como, por exemplo, em qual das duas aulas os alunos tiveram mais facilidade
em aprender os conteúdos de cálculo de áreas e perímetros e em qual aula eles se
sentiram mais motivados e com mais curiosidades.
Logo depois de aplicado o questionário procuramos analisar os dados, os quais
demonstraremos.
Com a apuração das respostas do questionário, pretendíamos descobrir o perfil
de cada aluno. Descobrimos que a amostra, em relação a idade, varia de treze a
dezesseis anos e que os alunos residem em bairros próximo ao centro. Seis alunos
(quinze por cento) trabalham para ajudarem nas despesas de casa, e os outros trinta e
quatro alunos (oitenta e cinco por cento) só estudam. Concluímos, então, que a maioria
dos alunos tem um maior tempo para dedicar aos estudos.
Descobrimos também que trinta e quatro alunos (oitenta e cinco por cento)
gostam da disciplina de Matemática. A justificativa apresentada por eles é que a
disciplina “é gostosa para aprender”; “usa muito no dia-a-dia”. Outros seis alunos
(quinze por cento), não gostam da disciplina, justificaram assim, “raciocina demais”,
“tenho um pouco de dificuldade em raciocinar”, “não gosto”.
Dentre os alunos pesquisados, apenas dois alunos (cinco por cento) repetiram de
ano. Os outros trinta e oito alunos (noventa e cinco por cento) nunca foram reprovados,
pois como vimos, a maioria dos alunos tem um maior tempo para dedicar aos estudos.
Portanto, isso pode ter sido um fator que contribui para que eles não tivessem
repetências em seus currículos.
Um outro fator muito importante é o fato de os alunos que trabalham serem
exatamente os alunos que tinham repetências, pois o trabalho de uma forma ou de outra
pode atrapalhar no seu desempenho escolar, prejudicando o rendimento de sua
aprendizagem.O que nos leva a concluir que apesar dos esforços, o tempo de dedicação
aos estudos é de fundamental importância para o rendimento e aprimoramento dos
alunos.
As duas avaliações continham dez questões cada uma, em que distribuímos estas
para os dois grupos Z e Y e ao todo contabilizamos quarenta avaliações, pois
participavam vinte alunos em cada grupo. Representamos estas questões, para melhor
visualização da quantidade de questões que cada grupo acertou no gráfico a seguir:
Avaliação Diagnóstica
Número de Acertos
14
12
10
Número de Acertos
Grupo y
8
Número de Acertos
Grupo z
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Que stõe s
Ao aplicarmos a avaliação diagnóstica, tínhamos como objetivo observar o
conhecimento que os alunos tinham do conteúdo, para conhecermos as maiores
dificuldades dos mesmos, uma vez que a avaliação diagnóstica visa a descobrir se há
apresença ou não de conhecimento em relação ao que já foi aplicado, para buscar novas
experiências de aprendizagem, conforme fala Sant’anna (1995).
Podemos concluir então, através do gráfico, em relação a avaliação diagnóstica
aplicada para o grupo Y e Z, que o conhecimento em torno do conteúdo de cálculo de
área e perímetro era insuficiente.
Em relação a todo o grupo Y, o mesmo acertou quarenta e cinco questões, dentre
as duzentas, o qual corresponde á 22,5% das questões. O grupo Z, no todo, acertou
trinta e nove questões que correspondem a 19,5% das questões. Percebemos que em
relação ao conteúdo aplicado na avaliação, o grupo Y, acertou 35% a mais do que o
grupo Z.
Apesar de ser uma avaliação diagnóstica e ser um conteúdo que já foi visto por
eles, o número de questões que eles acertaram foi muito pouco.
Analisaremos cada questão individualmente, para verificar quais as questões que
os alunos acertaram mais e as que acertaram menos, para termos um conhecimento de
onde os alunos tem mais dificuldades.
Com analise do material coletado em mãos, consideramos que os alunos têm
pouco conhecimento sobre o conteúdo. Como por exemplo, as últimas questões que
analisamos e que eles não conseguiram responder, eram mais aprofundadas no conteúdo
e se relacionavam com aplicações que eles poderiam precisar no seu cotidiano.
Ao aplicarmos a avaliação diagnóstica para os grupos, esperávamos um acerto
maior de questões, o qual não foi possível. Apesar de ser uma avaliação diagnóstica e de
ser um conteúdo já visto por eles, o conhecimento obtido foi mínimo.
Logo após a aplicação da avaliação diagnóstica, desenvolvemos as aulas práticas
e teóricas. Após as aulas, aplicamos novamente a mesma avaliação (diagnóstica) aos
dois grupos, o qual denominaremos avaliação somativa. Adotamos esta avaliação
somativa, para verificarmos o aprendizado dos alunos logo após as aulas que foram
desenvolvidas no decorrer do trabalho, o qual Sant’Anna (1995) vem nos afirmar ser
essa a função da avaliação somativa, com a sua fala. Já Vianna (2000) segue o mesmo
pensamento de Sant’Anna (1995), afirmando que a avaliação somativa tem a
possibilidade de constatar o processo ou desenvolvimento do trabalho através dos
resultados adquiridos pela avaliação.
Nosso trabalho relaciona-se com essa discussão, pois a finalidade da avaliação
somativa que aplicamos foi identificar o rendimento dos sujeitos da pesquisa ao final do
trabalho.
Apresentamos no gráfico abaixo, para uma melhor visualização dos resultados
obtidos pelos grupos Y e Z, como avaliação somativa:
Avaliação Somativa
Números de Acert
25
20
15
Número de Acertos
Grupo y
10
Número de Acertos
Grupo z
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Que stõe s
Podemos perceber que houve diferença em relação ao conhecimento dos alunos,
pois visualizamos um aumento, em todas as questões, da quantidade de acertos.
Analisaremos agora todas as questões em relação aos dois grupos:
Percebemos, então em relação aos resultados adquiridos pelos grupos analisando
as questões que o grupo Y obteve um melhor resultado do que o grupo Z e a causa
provável se deve ao fato de, ao participarem das aulas práticas, os alunos adquiriram
um bom conhecimento e obtiveram a capacidade de resolver estas questões. Em relação
ao grupo Z, que não obteve um bom rendimento de acertos das questões, pode ser
devido à participação nas aulas teóricas.
Ao final, vamos analisar a questão de número 10, a qual menos de cinco alunos
conseguiram responder, tanto no grupo Y, como no grupo Z. Podemos perceber que, no
grupo Y, somente 20% dos alunos acertaram a questão, o qual corresponde a quatro
alunos e, no grupo Z, somente 5% dos alunos, que corresponde a um aluno, dentre todo
o grupo.
Somente um aluno conseguiu responder esta questão, em relação ao grupo Z. Foi
também a única questão que, no grupo Y, somente quatro alunos conseguiram
responder. Daí então percebemos o grau de dificuldade que os alunos tiveram para
responder esta questão. Apesar de serem poucos alunos que responderam, na avaliação
diagnóstica nenhum aluno havia respondido.
Podemos concluir que depois das aulas, em relação a questão de número 10, eles
demonstraram que obtiveram conhecimento do conteúdo aplicado aos dois grupos.
O grupo Y, no todo, acertou cento e vinte e nove questões, que correspondem a
64,5% das questões aplicadas ao grupo. Já o grupo Z acertou setenta e oito questões que
correspondem à 39% das questões a eles aplicadas.
Abaixo vamos apresentar os gráficos por meio dos quais verificamos o
rendimento de acertos em relação à avaliação diagnóstica para a avaliação somativa
dentre os dois grupos Y e Z, para melhor visualizarmos a quantidade de acertos
adquiridos por eles:
Desempenho Do Grupo Y
25
Número De Acertos
20
15
Diagnóstica
10
Somativa
5
0
1
2
3
4
5
6
Questões
7
8
9 10
Desenpenho Do Grupo Z
Número De Acert
20
15
Diagnóstica
10
Somativa
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Questões
De acordo com a análise, concluímos nossos objetivos: Aliar a teoria à prática
produz melhores resultados do que só o ensino teórico.
Percebemos isso nos gráficos acima apresentados, visto que em todas as
questões o grupo Z, que participou das aulas teóricas obteve um menor desempenho do
que o grupo Y, que participou das aulas práticas. De certa maneira, as aulas teóricas
deixam a desejar no ensino do conteúdo, falta algo que pode ser suprido com as aulas
práticas, facilitando ao aluno absorver, com maior eficácia, o conhecimento que está
sendo explicado. Em relação a isso, Pimenta (2002) fala que para produzir tal
transformação não é suficiente a atividade teórica, é preciso atuar praticamente onde
uma completa a outra. Segundo a autora, a prática com a teoria tem que estar sempre
aliadas.
Concluímos também a nossa hipótese de que realmente o ensino de cálculo de
áreas e perímetros produz melhores resultados através da aula prática, a qual
comprovamos com os resultados adquiridos pelo grupo Y, que participou das aulas
práticas, tendo um melhor desempenho do que o grupo Z, que participou das aulas
teóricas.
CONSIDERAÇÕES
Neste trabalho buscamos a todo instante, desde a construção teórica até a aplicação das aulas, mostrar a importância das inter- relações de aulas teóricas e práticas, ressaltando que estas são referencias para o ensino, no que se refere ao cálculo de áreas e
perímetros, tendo como objetivo ambientar o aluno nas aulas práticas, com o que foi
visto em aulas teóricas.
Chegamos às seguintes conclusões: durante o desenvolvimento das aulas em que
onde observamos os alunos com relação ao conteúdo aplicado, eles demonstraram-se
motivados pelas aulas. Percebemos o interesse, o esforço que faziam e a curiosidade que
tinham, para aprender as aplicações na prática.
Segundo as informações do professor que ministrou as aulas teóricas, podemos
concluir que os alunos não se demonstraram motivados, pois era o mesmo estilo de aula
a que assistem todos os dias.
Devido a isso não fizeram muito esforço para aprender o que estava sendo
transmitido, porém melhoraram o desempenho, pois não era seu professor que ensinava,
estavam vendo a matéria pela segunda vez, ou seja, uma aula de reforço. Podemos
constatar claramente com o número de questões que acertaram, aumentando de trinta e
nove para setenta e oito questões, mesmo com a falta de motivação pelas aulas, é que
adquiriram conhecimento do que foi transmitido. Isso porque, mesmo que as aulas
teóricas sejam puramente de acordo com a metodologia do professor, o aluno consegue
absorver o conhecimento passado.
Com os resultados obtidos na avaliação diagnóstica e na avaliação somativa,
verificamos nosso objetivo de que no ensino de Matemática, aliando a teoria à prática,
produzem-se melhores resultados do que a aula teórica puramente. O aluno se sente
motivado ao se deparar com aplicações da Matemática em seu ambiente escolar,
relacionando com o cotidiano.
Através da aula teórica dá para imaginar uma aplicação na prática, independente
de qual for o conteúdo.
A prática oferece a oportunidade para colocar a teoria em aplicação, dando uma
melhor compreensão do que foi estudado na teoria, visto que as aulas práticas despertam
no aluno a vontade de manipular as definições passadas nas aulas teóricas e fazem com
que eles relacionem o conhecimento adquirido com sua vida, facilitando o raciocínio na
hora de demonstrar seus conhecimentos em uma avaliação, pois ele tem mais facilidade
em lembrar o que foi aplicado sobre aquela matéria na aula prática.
Assim, confirmamos nossa hipótese de que realmente o ensino de cálculos de
áreas e perímetros produz melhores resultados agregando as aulas teóricas à prática,
despertando no aluno maior interesse e no professor um olhar mais atencioso quanto a
suas metodologias e ao aprendizado de cada aluno.
População e lócus da pesquisa.
O universo da pesquisa foi composto por alunos de oitavas séries de uma escola
pública estadual, localizada na cidade de Janaúba, no Norte de Minas, com uma
população de 1.700 (mil setecentos alunos)
Esta escola que denominamos X, funciona em três turnos: matutino, vespertino e
noturno. Oferece Ensino Fundamental e Médio e o EJA, e é Escola Referência. Em seu
Plano de Desenvolvimento Político Institucional, que substitui o PPP (Plano Político
Pedagógico), estão todos os planos que desenvolve durante o ano e também os
problemas enfrentados pela escola. O prédio da instituição é constituído de 13 salas de
aula, laboratório de informática, sala de vídeo, biblioteca, depósito de materiais
esportivos, sala de xérox, sala de jogos, diretoria, secretaria, sala de supervisão, cantina,
banheiros femininos e masculinos, duas quadras não cobertas, destinadas à prática de
esportes. Trabalham dentro da escola 84 funcionários, sendo que 56 são professores. O
suporte pedagógico é dado por três orientadoras e uma supervisora. O material
pedagógico que a instituição oferece é composto por livros didáticos, vídeos e
computadores ligados à internet. Funcionam, no laboratório de informática, onze
computadores, em que os alunos tem as aulas de informática e o acesso à internet para
pesquisa de trabalhos escolares, e contém um computador na biblioteca para pesquisas
com mais urgência, pois o laboratório só é aberto nos dias de aula, em horários
diferentes das aulas da escola. A escola tem como fonte os recursos a ela destinados
pelo Estado, sendo que uma parte destes é destinada à merenda escolar que é oferecida
aos alunos de 5ª a 8ª série do ensino fundamental. A instituição tem dez professores de
matemática, todos efetivos. Dentre estes, dois são responsáveis por quatro oitavas
séries existentes na instituição, cada um, atuando em duas turmas. As duas oitavas
séries funcionam no turno matutino e vespertino, sendo duas em cada turno.
REFERÊNCIAS
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Ensinar: Didática para a Escola Fundamental e Média. São Paulo: Lummi Produção
visual e Assessória Ltda., 2001.
COLL, Cesar. MARTIN, Elena. O construtivismo na sala de aula. 6ª Ed. São Paulo:
Ática, 1996.
CUNHA, Maria Isabel. O Bom Professor e sua Prática. 5ª Ed. Campinas, São Paulo.
Papirus, 1995.
FAINGUELERNT Estela Kaufman. Educação Matemática: representação e
construção em geometria. Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 1999.
FONSECA, Vítor da. Introdução às dificuldades de aprendizagem. 2ª Ed. Porto Alegre:
Artes Médicas, 1995.
LIBÂNEO, José Carlos. Didática. São Paulo: Cortez, 1994.
MARQUES, Mario Osório; Educação / interlocução, aprendizagem / reconstrução
de saberes. Ijuí: Unijuí 1996.
MARTINS, Lúcia Martins. Didática Teórica Didática Prática Para Além do
Confronto. 6ª Ed. São Paulo: Loyola, 2000.
MIZUKAMI, Maria da Graça Nicoletti. Ensino: as abordagens do processo. São
Paulo: EPU, 2001.
PARRA, Cecília. Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre:
Artes Medicas, 1996.
PIMENTA, Selma Garrido. O Estágio na formação de professores: unidade teoria e
prática? 5ª ed. São Paulo: 2002.
SÁNCHEZ, Juan Carlos. BRAVO, José A. Fernandez. O Ensino da Matemática:
fundamentos teóricos e bases psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 2006.