CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA
DE MINAS GERAIS – CEFET/MG
DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO - DPPG
PR O G R A M A D E PÓ S- G R AD U AÇ ÃO EM MO DE L AG E M M AT E M ÁT IC A E
CO M P UTAC IO NA L - P PG M MC
MODELAGEM
ELETROMAGNÉTICA DE
ATERRAMENTOS ELÉTRICOS
NOS DOMÍNIOS DO TEMPO E
DA FREQÜÊNCIA
Aluno: Rafael Silva Alípio
Orientador: Prof. Dr. Marco Aurélio de Oliveira Schroeder
Co-orientador: Prof. Dr. Márcio Matias Afonso
Belo Horizonte, 12 de dezembro de 2008
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA
DE MINAS GERAIS – CEFET/MG
DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO - DPPG
PR O G R A M A D E PÓ S- G R AD U AÇ ÃO EM MO DE L AG E M M AT E M ÁT IC A E
CO M P UTAC IO NA L - P PG M MC
Modelagem Eletromagnética
de Aterramentos Elétricos nos
Domínios do Tempo e da
Freqüência
por
Rafael Silva Alípio
Texto da Dissertação de Mestrado submetido à Banca
Examinadora designada pelo Colegiado do Programa
de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e
Computacional do Centro Federal de Educação
Tecnológica de Minas Gerais, como requisito parcial
para obtenção de título de Mestre em Modelagem
Matemática e Computacional.
Linha de pesquisa: Métodos Matemáticos Aplicados
Orientador: Prof. Dr. Marco Aurélio de Oliveira Schroeder
Co-orientador: Prof. Dr. Márcio Matias Afonso
Belo Horizonte, 12 de dezembro de 2008
A412m
Alípio, Rafael Silva
Modelagem eletromagnética de aterramentos elétricos nos domínios
do tempo e da freqüência. – 2008.
140 f.
Orientador: Marco Aurélio de Oliveira Schroeder
Co-orientador: Márcio Matias Afonso
Dissertação (mestrado) – Centro Federal de Educação Tecnológica
de Minas Gerais.
1. Aterramento elétrico – Teses. 2. Eletromagnetismo. 3. Transitórios
(eletricidade). 4. Descargas atmosféricas. I. Schroeder, Marco Aurélio de
Oliveira. II. Afonso, Márcio Matias. III. Centro Federal de Educação
Tecnológica de Minas Gerais. IV. Título.
CDD 621.31921
i
Dedico este trabalho ao arquiteto maior de minha
formação técnico-científica, Prof. Marco Aurélio de
Oliveira Schroeder.
ii
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar agradeço principalmente à minha família: meu pai Cleides Alípio,
minha mãe Maria Ilza Silva Alípio e minha irmã Ludmara Silva Alípio. Agradeço
fortemente a todos eles pela confiança em mim depositada. Em especial devo lembrar
que meus pais nunca deixaram faltar nada no que diz respeito aos meus estudos e
que realizaram todos os tipos de esforços para que eu pudesse prosseguir em minha
incessante busca pelo saber. Sem eles com certeza eu não chegaria até aqui.
Aproveito a oportunidade para agradecer aos meus tios Evander Alípio e Paulo Huet
Alípio, que sempre me motivaram e fizeram-me acreditar que poderia ir além. O
entusiasmo por eles transmitido foi essencial em minha caminhada.
Um agradecimento especial deve ser dedicado ao Prof. Marco Aurélio de Oliveira
Schroeder. Devo ressaltar que fui privilegiado em termos de orientação. É de praxe no
meio acadêmico utilizar a metáfora de pai para os orientadores e filho para os
orientandos. No meu caso, pode-se dizer que tal metáfora se traduziu em realidade.
Agradeço a confiança depositada em minha pessoa ao permitir-me a honra de usufruir
de sua orientação séria e segura. Agradeço ainda pela orientação calcada na amizade
e por todo o incentivo e tranqüilidade passadas ao longo do mestrado. Agradeço
também por proporcionar-me tantas oportunidades profissionais, desde os tempos de
minha graduação. Saliento e novamente agradeço por ter sido além de orientador um
amigo e um pai.
Agradeço ao Prof. Márcio Matias Afonso pelas valiosas discussões e orientações com
relação ao trabalho desenvolvido. Vale destacar sua capacidade e conhecimento
ímpares tanto da teoria eletromagnética como de método numéricos, essenciais para o
presente trabalho.
Um agradecimento sincero é direcionado ao Prof. Tarcísio Antônio Santos de Oliveira
por toda a ajuda técnica, pedagógica e pessoal dada desde os tempos de graduação e
ao longo do mestrado. Não posso deixar de mencionar que o Prof. Tarcísio foi quem
me mostrou pela primeira vez, em suas excelentes aulas, a beleza rara do
Eletromagnetismo.
Agradeço à Prof.ª Úrsula do Carmo Resende por todas as excelentes sugestões e
ensinamentos durante meu mestrado e, principalmente, pela incansável paciência de
auxiliar e ensinar sempre. Gostaria de lembrar que, como minha orientadora de
trabalho de fim de curso, durante a graduação em Engenharia Elétrica, nunca aprendi
tanto em tão pouco tempo como aprendi com a Prof.ª Úrsula.
Agradeço ainda a brilhante matemática Maria Suzana Balparda de Carvalho por todos
os ensinamentos, essenciais, durante minha graduação e aproveito para frisar sua
inesgotável dedicação ao ensino, proporcional a sua sabedoria.
Agradeço ainda a todos os professores do Programa de Pós-Graduação em
Modelagem Matemática e Computacional, em especial Sérgio Ricardo de Souza por
todos os excelentes conselhos e apoio digno de um ótimo coordenador, Flávio Luis
iii
Cardeal Pádua pelas brilhantes aulas de algoritmos, Fausto de Camargo Júnior pelos
ensinamentos fundamentais de álgebra linear, Magno Meirelles Ribeiro em suas
excelentes aulas de modelagem matemática, João Francisco de Almeida Vitor pelos
ensinamentos de elementos finitos e Henrique Elias Borges pelos ensinamentos de
modelagem computacional e orientação a objetos.
Agradeço aos colegas da CEMIG (Companhia Energética de Minas Gerais) pelo
trabalho em conjunto e por compartilharem seus conhecimentos ao longo de meu
mestrado, em especial aos engenheiros Sandro de Castro Assis e Rafael Rennó
Nunes.
Agradeço a todos os brilhantes alunos de iniciação científica, envolvidos direta ou
indiretamente neste trabalho, Felipe Alves Dias, Roberta Kellem de Oliveira, Marina
Moreira Silveira Andrade e em especial a aluna Maisa Laila de Fátima Oliveira com
quem trabalhei diretamente. Agradeço também às alunas de mestrado Adriana
Generoso Pedrosa e Clarissa Gomes Cosentino Alvarez.
Aproveito a oportunidade de agradecer meus colegas/amigos de graduação do
CEFET-MG, que sempre me motivaram, em especial Gilberto Silveira, Petrus Bonato,
Gustavo Gonçalves, Fábio Arruda, Naiara Duarte, Ciby Rosa, Francisco Bernardes,
Guilherme Miranda e Cláudio Henrique. Um agradecimento póstumo é direcionado ao
meu amigo Jomar Sales, que se aqui estivesse com certeza estaria vibrando comigo
neste momento.
Agradecimento especial deve ser direcionado ao amigo Weberton Luiz Gonçalves Eller
por toda sua ajuda durante o mestrado e pelas belas discussões técnicas propiciadas
por seu brilhantismo.
Não posso deixar de mencionar uma das pessoas mais especiais e que tem me
acompanhado já durante longo tempo, minha querida companheira Mirelle Karoline
Alves de Macedo. Ressalto sua postura incansavelmente amorosa, solidária e
compreensiva durante o período que dediquei à elaboração desta dissertação.
Agradeço por cada palavra de apoio e de força, principalmente naqueles momentos
mais difíceis e de cansaço elevado. Com certeza essa caminhada teria sido muito
mais difícil sem sua agradável presença. Por fim, não menos importante, agradeço por
sua ajuda no texto, primordial para sua contínua melhoria.
Ao concluir este trabalho completo nove anos de estudo no CEFET-MG, desde o curso
técnico em Eletrônica, passando pela Engenharia Elétrica e agora concluindo o
Mestrado em Modelagem Matemática Computacional. Atualmente, obtive o enorme
prazer e a importante missão de compor, como professor contratado, o corpo docente
do Curso de Engenharia Elétrica. Espero honrar o posto obtido como uma forma
mínima de agradecimento a essa bela instituição a que devo toda minha formação
técnico-científica.
Por fim, agradeço a todos os leitores por dispensarem seu precioso tempo na leitura
do presente texto. Ao adentrar as páginas desta dissertação sintam-se à vontade,
estaremos todos falando a mesma linguagem: as Equações de Maxwell.
iv
“If the doors of perception were cleansed everything would appear to man as it is:
Infinite.”
William Blake
“O leitor atento, verdadeiramente ruminante, tem quatro estômagos no cérebro, e por
eles faz passar e repassar os atos e os fatos, até que deduz a verdade, que estava, ou
parecia estar escondida.”
Machado de Assis
v
Sumário
SUMÁRIO
RESUMO.......................................................................................................... vii
ABSTRACT..................................................................................................... viii
LISTA DE FIGURAS ......................................................................................... ix
LISTA DE TABELAS ........................................................................................ xi
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO........................................................................... 1
1.1 – Relevância .................................................................................................................. 1
1.2 – Contextualização........................................................................................................ 3
1.3 – Objetivo do trabalho .................................................................................................. 4
1.4 – Organização do texto................................................................................................. 5
CAPÍTULO 2 – RESPOSTA DE ATERRAMENTOS ELÉTRICOS A
CORRENTES IMPULSIVAS .............................................................................. 7
2.1 – Introdução ................................................................................................................... 7
2.2 – Comportamento do aterramento frente a descargas atmosféricas ...................... 8
2.2.1 – Definição da impedância de aterramento ...................................................... 10
2.2.2 – Composição da corrente no solo ................................................................... 13
2.2.3 – Efeito de propagação no solo e comprimento efetivo de aterramento .......... 14
2.2.4 – Efeito da intensidade da corrente .................................................................. 19
2.2.5 – Dependência dos parâmetros eletromagnéticos do solo com a freqüência . 22
2.3 – Conclusões ............................................................................................................... 25
CAPÍTULO 3 – FRONTEIRAS DA MODELAGEM DE ATERRAMENTOS
ELÉTRICOS ..................................................................................................... 27
3.1 – Introdução ................................................................................................................. 27
3.2 – Modelagem no contexto científico ......................................................................... 28
3.3 – A natureza dos modelos ......................................................................................... 30
3.4 – Construção de modelos .......................................................................................... 32
3.5 – Modelagem de aterramentos elétricos .................................................................. 35
3.5.1 – Introdução ...................................................................................................... 35
3.5.2 – Estudo do Estado da Arte .............................................................................. 36
3.5.3 – Qual tipo de modelagem adotar? .................................................................. 51
3.6 – Conclusões ............................................................................................................... 54
Sumário
vi
CAPÍTULO 4 – MODELAGEM DE ATERRAMENTOS ELÉTRICOS PARA
FENÔMENOS TRANSITÓRIOS ...................................................................... 56
4.1 – Introdução ................................................................................................................. 56
4.2 – Equações de Maxwell e a essência do Eletromagnetismo .................................. 57
4.3 – Modelo matemático.................................................................................................. 60
4.3.1 – Condutores imersos em um meio infinito ...................................................... 61
4.3.2 – Solução do modelo matemático .................................................................... 68
4.3.3 – Aspectos adicionais ....................................................................................... 76
4.4 – Conclusões ............................................................................................................... 79
CAPÍTULO 5 – MODELAGEM COMPUTACIONAL E ANÁLISE DA
RESPOSTA TRANSITÓRIA DE ATERRAMENTOS ELÉTRICOS.................. 82
5.1 – Introdução ................................................................................................................. 82
5.2 – Aspectos computacionais básicos ........................................................................ 83
5.3 – Validação do modelo ............................................................................................... 87
5.3.1 – Comparação com resultados experimentais ................................................. 87
5.3.2 – Comparação com resultados de outras modelagens .................................... 93
5.3.3 – Conclusões .................................................................................................... 95
5.4 – Resultados e análises de sensibilidade: eletrodos horizontais ......................... 95
5.4.1 – Introdução ...................................................................................................... 95
5.4.2 – Faixa de valores para os parâmetros de interesse ....................................... 96
5.4.3 – Ondas de corrente injetadas.......................................................................... 96
5.4.4 – Determinação de impedância na freqüência ................................................. 97
5.4.5 – Determinação de impedância impulsiva ...................................................... 102
5.4.6 – Determinação de comprimento efetivo de eletrodos horizontais ................ 103
5.4.7 – Cálculo de tensão no domínio do tempo ..................................................... 107
5.4.8 – Cálculo de campo elétrico no nível do solo ................................................. 113
5.5 – Estudo de circuitos equivalentes para representação de hastes verticais de
aterramento ..................................................................................................................... 118
5.5.1 – Impedância de hastes verticais ................................................................... 120
5.5.2 – Hastes verticais inseridas em solos de resistividade elevada ..................... 121
5.6 – Conclusões ............................................................................................................. 127
CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES ..................................................................... 131
6.1 – Introdução ............................................................................................................... 131
6.2 – Potencialidades do modelo eletromagnético desenvolvido ............................. 132
6.3 – Propostas de continuidade ................................................................................... 133
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................. 136
vii
RESUMO
As descargas atmosféricas são responsáveis pelas principais solicitações dos
aterramentos elétricos e pela maior parcela dos desligamentos não programados dos
sistemas elétricos. O apurado conhecimento do comportamento eletromagnético
transitório do aterramento sob essas condições é de fundamental importância na
determinação de práticas eficazes de proteção de sistemas elétricos contra as
descargas atmosféricas. Tal comportamento pode ser estimado por meio do
estabelecimento de um modelo matemático e computacional que represente de forma
fisicamente consistente o aterramento.
Neste trabalho é apresentada uma modelagem de sistemas de aterramento
elétrico para investigação de fenômenos transitórios decorrentes da injeção de
correntes impulsivas. O modelo é baseado na solução direta das equações básicas do
eletromagnetismo no domínio da freqüência. A resposta no domínio do tempo é obtida
por meio da aplicação de uma transformada inversa de Fourier. O modelo
desenvolvido contempla os acoplamentos eletromagnéticos entre os componentes do
aterramento, os efeitos de propagação e a dependência da freqüência dos parâmetros
do solo.
Foi desenvolvida uma ferramenta computacional que implementa o modelo
eletromagnético em questão. Comparações com resultados experimentais mostraram
a consistência de tal ferramenta.
A atual versão da ferramenta é capaz de gerar os seguintes resultados no
domínio da freqüência: impedância de aterramento, perfil de potencial e distribuição de
corrente ao longo do aterramento, distribuição de potenciais no nível do solo,
distribuição de campo elétrico no nível do solo e ao longo da superfície do eletrodo.
São resultados gerados no domínio do tempo: impedância impulsiva de aterramento,
tensão transitória resultante no ponto de injeção, potenciais e campo elétrico no nível
do solo.
A sua aplicação a configurações básicas de aterramento permitiu análises
diversas. Nessas, avalia-se o comportamento do aterramento segundo algumas
condições, que incluem diferentes configurações, valores de resistividade do solo e
onda de corrente injetada.
A ferramenta desenvolvida pode ser um instrumento de valor no auxilio ao
estudo, análise e projeto de aterramentos, sobretudo quando é avaliado o
desempenho e comportamento dos mesmos frente a ocorrências rápidas.
viii
ABSTRACT
Lightning is the main cause of grounding solicitations and non-scheduled
electrical systems outages. The accurate knowledge of grounding electromagnetic
transient behavior under these conditions is of great importance in determination of
lightning protection practices for electric systems. Such behavior may be estimated by
the establishment of a mathematical and computational model physically consistent
which represents the grounding.
In this work a grounding system model for high frequencies transient analysis is
presented. This model is based on the direct solution of basic electromagnetic
equations in frequency domain. The time domain response is obtained by application of
a Fourier inversion technique. The developed model include electromagnetic coupling
between grounding components, propagations effects and frequency dependence of
soil parameters.
A computational tool based on the cited model was developed. Comparison
between simulated and experimental results has shown tool consistence.
The current version of developed tool generates the following results in
frequency domain: grounding impedance, potential and current distribution along
grounding, potential distribution in soil surface, electric field distribution on grounding
and soil surface. Results in time domain are: impulsive grounding impedance, transient
voltages along grounding and potentials and electric field on soil surface.
Its application to basic grounding configurations provided several sensitivity
analyses. In those, the grounding behavior was evaluated by considering different
configurations, soil resistivity and injected current waves.
The developed tool may be useful in study, analysis and design of grounding
systems, mainly in evaluation of grounding response to high frequency occurrences.
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Componentes de corrente no solo e circuito equivalente do aterramento –
adaptada de [1]. ..................................................................................................................... 9
Figura 2.2 – Impedância de aterramento ao longo do espectro de freqüência característico de
uma descarga atmosférica [9]. ............................................................................................. 11
Figura 2.3 – Influência do tempo de frente da onda de corrente injetada na impedância
impulsiva. ............................................................................................................................. 13
Figura 2.4 – Atenuação e distorção da corrente ao longo do eletrodo – adaptada de [5]. ......... 15
Figura 2.5 – Impedância de um eletrodo horizontal (raio 1 cm e profundidade 0,5 m) para
diferentes comprimentos inseridos em um solo de (a) baixa resistividade (ρ = 100 Ω.m) e
(b) alta resistividade (ρ = 1.000 Ω.m) [9]. ............................................................................ 17
Figura 2.6 – Curva de impedância impulsiva em função do comprimento de um eletrodo
horizontal para injeção de uma onda de corrente impulsiva de 1,2/20 µs. ......................... 18
Figura 2.7 – Curva de impedância impulsiva em função do comprimento de um eletrodo
horizontal para injeção de uma onda de corrente impulsiva de 3/20 µs. ............................ 19
Figura 2.8 – Representação da região de ionização em um sistema de aterramento submetido
à injeção de uma corrente I – adaptada de [17]. ................................................................. 21
Figura 2.9 – Representação da ionização do solo em um sistema de aterramento de pequeno
porte submetido à injeção de corrente sendo I3 > I2 > I1 – adaptada de [17]. ..................... 21
Figura 3.1 – Natureza iterativa do processo de modelagem. ..................................................... 34
Figura 3.2 – Modelagem do eletrodo de aterramento por meio de uma série de circuitos π. .... 37
Figura 4.1 – Sistema físico sob estudo. ...................................................................................... 61
Figura 4.2 – Fontes de corrente em cada eletrodo. .................................................................... 62
Figura 4.3 – Eletrodo emissor (j) e distâncias ao ponto P. ......................................................... 64
Figura 4.4 – Eletrodo emissor (j) e distâncias ao eletrodo receptor (i). ...................................... 65
Figura 4.5 – Distribuição de corrente ao longo do eletrodo. ....................................................... 73
Figura 4.6 – Relação entre queda de tensão ( ∆V ) e elevação de potencial médio ( V ) em
cada elemento com os potenciais nodais do elemento em questão (Vk e Vl). .................... 74
Figura 4.7 – Concentração da corrente transversal nos nós do elemento. ................................ 76
Figura 4.8 – Modelagem proposta e dipolo de Hertz. ................................................................. 81
Figura 5.1 – Eletrodo horizontal com 15 m de comprimento [99]. .............................................. 88
Figura 5.2 – Corrente injetada no eletrodo horizontal. ................................................................ 89
Figura 5.3 – Potenciais em relação ao terra remoto medidos e calculados em três pontos
distintos (comprimento de 15 m, raio 12 mm, profundidade de 0,6 m, resistividade do solo
igual a 70 Ω.m e permissividade relativa do solo igual a 15) – Fonte [65]. ......................... 89
Figura 5.4 – Potenciais em relação ao terra remoto calculados em três pontos distintos a partir
da modelagem apresentada nesta dissertação. .................................................................. 90
Figura 5.5 – Haste vertical com 6 m de comprimento [99]. ........................................................ 91
Figura 5.6 – Corrente injetada na haste vertical. ........................................................................ 91
Figura 5.7 – Potenciais em relação ao terra remoto medidos e calculados no ponto de injeção
de corrente para uma haste vertical (comprimento de 6 m, raio 16 mm, resistividade do
solo igual a 50 Ω.m e permissividade relativa do solo igual a 15) – Fonte [65]. ................. 92
Figura 5.8 – Potenciais em relação ao terra remoto calculado no ponto de injeção a partir da
modelagem apresentada nesta dissertação (haste vertical). .............................................. 92
Figura 5.9 – Configuração simulada para cálculo de campo elétrico na superfície do solo [62].93
Figura 5.10 – Distribuição de campo elétrico na superfície do solo – Fonte [62]. ...................... 94
Figura 5.11 – Distribuição de campo elétrico na superfície do solo determinado a partir da
modelagem apresentada nesta dissertação. ....................................................................... 94
Figura 5.12 – Formas de onda de correntes injetadas. .............................................................. 97
Figura 5.13 – (a) Módulo e (b) ângulo da impedância de eletrodos horizontais de aterramento
em função da freqüência inseridos em um solo de ρ = 1.000 Ω.m. .................................. 100
Figura 5.14 – (a) Módulo e (b) ângulo da impedância de eletrodo horizontal de aterramento de
50 m em função da freqüência para solos de diferentes valores de resistividade. ........... 101
Figura 5.15 – Curvas de impedância impulsiva em função do comprimento do eletrodo para
diferentes valores de resistividade e injeção de uma onda de corrente de 1,2/20 µs. ...... 103
Figura 5.16 – Curvas de impedância impulsiva em função do comprimento do eletrodo para
diferentes valores de resistividade e injeção de uma onda de corrente de 3/20 µs. ......... 105
x
Figura 5.17 – Curvas de impedância impulsiva em função do comprimento do eletrodo para
resistividade do solo 2.400 Ω.m e injeção de uma onda rápida (1,2/20 µs) e uma onda lenta
(3/20 µs). ............................................................................................................................ 106
Figura 5.18 – Tensões resultantes da injeção de uma onda de corrente de 1,2/20 µs na
extremidade de eletrodos horizontais para solos com valores de resistividade de (a) 500
Ω.m (b) 1.000 Ω.m (c) 2.400 Ω.m e (d) 5.000 Ω.m. ........................................................... 111
Figura 5.19 – Tensões resultantes da injeção de uma onda de corrente de 1,2/20 µs na
extremidade de um eletrodo horizontal de 70 m para solos com valores de resistividade de
(a) 500 Ω.m (b) 1.000 Ω.m (c) 2.400 Ω.m e (d) 5.000 Ω.m considerando a variação dos
parâmetros eletromagnético do solo (σ e ε) com a freqüência.......................................... 113
Figura 5.20 – Campo elétrico ao longo da superfície do solo devido a um eletrodo horizontal
considerando (a) apenas fontes de corrente transversal e (b) as fontes de corrente,
transversal e longitudinal. .................................................................................................. 115
Figura 5.21 – Campo elétrico ao longo da superfície do solo devido a um eletrodo horizontal
incluindo a variação dos parâmetros eletromagnéticos com a freqüência. ....................... 116
Figura 5.22 – Campo elétrico transitório na superfície do solo devido a um eletrodo horizontal
nos pontos (a) x = 2,5 m (b) x = 17,5 m e (c) 25 m. .......................................................... 118
Figura 5.23 – (a) Situação física (b) Circuito equivalente em baixas freqüências (c) Circuito
equivalente em altas freqüências. ..................................................................................... 119
Figura 5.24 – Módulo da impedância de (a) haste curta l = 3 m e (b) haste longa l = 30 m em
um solo mais condutivo ρ = 30 Ω.m e menos condutivo ρ = 300 Ω.m . ....................... 122
Figura 5.25 – Impedância de haste vertical inserida em solo de resistividade ρ = 1.000 Ω.m (a)
módulo da impedância (b) ângulo da impedância. ............................................................ 125
Figura 5.26 – Impedância de haste vertical inserida em solo de resistividade ρ = 2.000 Ω.m (a)
módulo da impedância (b) ângulo da impedância. ............................................................ 126
Figura 5.27 – Resposta transitória de haste vertical de aterramento em um solo resistivo
( ρ = 2.000 Ω.m ) calculada por meio das modelagens de circuito e eletromagnética. ... 126
xi
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 – Relação entre a corrente condutiva e a corrente capacitiva para diferentes valores
de resistividade do solo em função da freqüência. .............................................................. 14
Tabela 4.1 – Conjunto de vinte variáveis utilizadas por Maxwell em seu trabalho Uma teoria
dinâmica do campo eletromagnético [87], [89], [92]. ........................................................... 58
Tabela 5.1 – Razão entre a resistividade do solo em baixas e altas freqüências. ................... 109
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.1 – Relevância
O tema aterramentos elétricos tem despertado ao longo do tempo o interesse
de diversos pesquisadores. Muito provavelmente, tal interesse está relacionado à
importância do aterramento para um bom desempenho do sistema aterrado e,
principalmente, devido à questão de segurança de seres vivos. Historicamente, os
primeiros esquemas de aterramento foram fruto de uma longa evolução, orientada
pelo objetivo de proteger melhor as pessoas contra choques elétricos e dos efeitos
gerais da passagem de corrente pelo corpo humano.
No caso do Brasil, devido às características peculiares do solo, que possui
valor médio de resistividade elevado (superior a 1.000 Ω.m na maior parte do
território), o projeto e construção de malhas de aterramento adequadas à segurança
de seres vivos e que garantam um bom desempenho do sistema, constituem laboriosa
tarefa. Nesse sentido, os sistemas de aterramento apresentam uma singular
importância no que concerne a sua influência no desempenho do sistema aterrado e
proteção humana.
Somada às características peculiares do solo brasileiro, deve-se salientar a
elevada densidade de incidência de descargas atmosféricas nos sistemas elétricos ou
em suas proximidades. Elas são as responsáveis pelas principais solicitações dos
aterramentos elétricos e pela maior parcela dos desligamentos não programados das
linhas de transmissão. Às descargas atmosféricas está associada uma grande
quantidade de energia sendo que, quando da incidência de um raio em uma linha de
transmissão, por exemplo, a corrente advinda dele deve ser eficientemente escoada
para terra através do sistema de aterramento. A eficiência implica não unicamente em
rapidez, mas também no mínimo de interferência nos arredores do sistema de
aterramento. Tal eficiência pode ser obtida por meio de práticas adequadas de
aterramento, que exige um apurado conhecimento do comportamento eletromagnético
transitório do aterramento. O desconhecimento desse comportamento conduz a
soluções inadequadas, a maioria delas ligadas aos “achismos”, freqüentes na área de
aterramentos elétricos.
Especificamente, na investigação de técnicas de aterramento para proteção de
sistemas contra descargas atmosféricas os problemas se avolumam. Quando o
Capítulo 1 - Introdução
2
sistema de aterramento não é adequadamente dimensionado, a incidência de uma
descarga atmosférica no sistema elétrico pode gerar elevadas sobretensões
ocasionando o rompimento do isolamento e estabelecimento de arcos elétricos,
destruição de equipamentos, situações de riscos para os seres humanos localizados
nas proximidades do local de incidência e, evidentemente, desligamento do sistema
elétrico. Outro problema está relacionado ao recente desenvolvimento e utilização da
eletrônica em diversas aplicações, dentre elas, nas subestações elétricas. No início, a
preocupação com possíveis interferências eletromagnéticas era pouca ou inexistente,
tendo em vista a utilização de equipamentos eletromecânicos. Sérios problemas
podem ocorrer quando da substituição dos equipamentos antigos por sistemas
eletrônicos modernos e sensíveis. Deve-se lembrar ainda que um outro problema está
relacionado à proteção de seres vivos em instalações sujeitas a incidência de
descargas atmosféricas. Na opinião do autor deste trabalho ênfase aquém da
esperada é dada a esse último tema, sendo o foco, em geral, na proteção de
equipamentos.
Das exposições do parágrafo anterior podem surgir inúmeras questões
relacionadas à avaliação do comportamento e estimativa da resposta transitória do
aterramento frente à incidência de descargas atmosféricas. A resposta a elas pode ser
obtida por meio do estabelecimento de um modelo matemático que represente de
forma fisicamente consistente um sistema de aterramento real. A partir do
equacionamento consistente da interação da descarga atmosférica com o sistema de
aterramento, várias realizações técnicas importantes podem ser derivadas: cálculo e
previsão das sobretensões associadas às descargas em diversos pontos do
aterramento, cálculo dos campos eletromagnéticos nas proximidades do sistema
aterrado, avaliação das tensões induzidas em estruturas e equipamentos nos
arredores do aterramento, quantificação das tensões de passo e toque etc.
Julga-se, portanto, que no estudo do comportamento e desempenho de
sistemas de aterramentos frente a solicitações oriundas da incidência de descargas
atmosféricas é de fundamental importância o estabelecimento de um modelo
fisicamente consistente para sua representação.
Uma dificuldade associada à grande parte das modelagens presentes na
literatura refere-se às excessivas simplificações assumidas pelas mesmas, o que leva
a inconsistências físicas em relação ao fenômeno investigado e falta de generalidade
de aplicação.
Com esses comentários iniciais, denota-se a relevância do tema em
investigação: modelagem de aterramentos elétricos e avaliação de sua resposta frente
a descargas atmosféricas. Pretende-se gerar uma contribuição que subsidie a
Capítulo 1 - Introdução
3
investigação do comportamento transitório do aterramento em altas freqüências e na
definição de técnicas e soluções de proteção contra descargas atmosféricas.
1.2 – Contextualização
O tema em questão tem despertado amplo interesse das companhias
energéticas brasileiras. Esse interesse parece estar relacionado à carência das
concessionárias de metodologias consistentes de avaliação do comportamento
transitório do sistema elétrico quando da incidência de descargas atmosféricas. Tal
carência conduz a prejuízos como, por exemplo, desligamentos do sistema e
destruição de equipamentos.
Julga-se que existem ainda muitas questões em aberto na investigação da
interação de descargas atmosféricas com os sistemas elétricos. Levando-se em
consideração seus efeitos devastadores, urge obter respostas a tão relevantes
questões. Recentemente, por meio de um projeto cooperativo (P&D CEMIG1/ANEEL2)
entre a CEMIG e o GEAP3/CEFET-MG, investigações aprofundadas da interação de
descargas atmosféricas com o sistema elétrico têm sido conduzidas com o objetivo de
avaliar o desempenho de linhas de transmissão frente a esses fenômenos.
Percebe-se que um elemento essencial no desempenho de um sistema elétrico
frente às descargas atmosféricas é o aterramento elétrico, uma vez que está presente
em praticamente todas as partes do sistema em questão. Adicionalmente, a sua
interação com os sistemas de energia é de fundamental importância na avaliação do
desempenho em causa. Apesar dos inúmeros trabalhos desenvolvidos sobre o tema,
alguns pontos ainda merecem investigações adicionais (e, portanto, susceptíveis a
intensa pesquisa), tais como:
i)
A quantificação experimental da variação da permissividade elétrica e
resistividade de solos típicos com a freqüência (para um espectro
característico das descargas atmosféricas);
ii) O desenvolvimento de uma rotina computacional, acoplada com o EMTP
(Electromagnetic Transients Program) / ATP (Alternative Transients
1
CEMIG – Companhia Energética de Minas Gerais
ANEEL – Agência Nacional de Energia Elétrica
3
GEAP – Grupo de Eletromagnetismo Aplicado (Cadastrado na base de dados do CNPq –
Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico)
2
4
Capítulo 1 - Introdução
Program), que caracterize o comportamento de aterramentos elétricos
frente aos transitórios eletromagnéticos estabelecidos pelos surtos
atmosféricos.
Nesse sentindo foram eleitos os seguintes tópicos principais e norteadores do
projeto em questão:
i)
O levantamento experimental da variação com a freqüência dos parâmetros
eletromagnéticos de solos típicos;
ii) O desenvolvimento de um modelo eletromagnético computacional (que
utilize os resultados experimentais) para quantificar a resposta de
aterramentos
elétricos
às
solicitações
associadas
às
descargas
atmosféricas;
iii) O acoplamento deste modelo com o ATP com o objetivo de proceder a
avaliações do desempenho de sistemas de transmissão frente a descargas
atmosféricas.
A presente dissertação, resultado de parte das pesquisas que vem sendo
desenvolvidas neste projeto, se insere e contempla parcialmente o segundo tópico.
1.3 – Objetivo do trabalho
O objetivo principal deste trabalho é o estudo do comportamento transitório de
sistemas de aterramento elétrico, especialmente quando solicitados por descargas
atmosféricas. A despeito dos avanços nas investigações relativas ao tema,
permanecem, todavia, muitas questões a serem resolvidas. A elucidação e solução de
tais questões podem ser realizadas mediante o estabelecimento de um modelo
matemático e computacional, consistente fisicamente, que permita a simulação da
injeção de correntes de descarga em diferentes configurações de aterramento. A
obtenção de uma modelagem completa para o aterramento elétrico encerra elevada
complexidade, que se tornará clara ao longo dessa dissertação.
Levando-se em consideração o contexto e o objetivo principal deste trabalho,
as seguintes atividades podem ser definidas como norteadoras:
5
Capítulo 1 - Introdução
•
Estabelecimento de uma modelagem matemática e computacional, que seja
fisicamente consistente para representação de sistemas de aterramento de
configurações genéricas;
•
Desenvolvimento de uma ferramenta computacional, que implemente a
modelagem
desenvolvida.
Validação
da
ferramenta
com
resultados
experimentais;
•
Aplicação da modelagem desenvolvida em configurações básicas de
aterramento avaliando-se a sensibilidade destas em relação a variáveis típicas
do projeto de aterramentos. Aplicação na estimativa da resposta transitória de
sistemas de aterramentos às descargas atmosféricas.
1.4 – Organização do texto
O presente texto está organizado em seis capítulos, incluindo este capítulo
introdutório.
No capítulo 2 são destacados os aspectos básicos concernentes ao
comportamento de sistemas de aterramento a solicitações oriundas da incidência de
descargas atmosféricas. Este capítulo apresenta uma abordagem predominantemente
qualitativa, enfatizando o entendimento e compreensão dos conceitos físicos,
dispensando desenvolvimentos matemáticos.
No capítulo 3 apresenta-se uma evolução histórica da pesquisa da resposta de
sistemas de aterramento elétrico à incidência de descargas atmosféricas, com ênfase
nos aspectos de modelagem. Os principais trabalhos e metodologias de modelagem,
desde 1930 até 2008, são descritos e analisados. Ao final é apresentada uma
discussão acerca das vantagens e desvantagens das diversas filosofias de
modelagem.
Os capítulos 4 e 5 referem-se às realizações próprias deste trabalho e as suas
correspondentes contribuições.
No capítulo 4 são descritos os aspectos básicos do modelo eletromagnético
para avaliação da resposta transitória do aterramento elétrico. É apresentada, em
detalhes, a solução para o modelo a partir da aplicação do Método dos Momentos.
Capítulo 1 - Introdução
6
Além disso, são discutidos alguns aspectos físicos essenciais contemplados pela
modelagem.
No capítulo 5 são apresentados os resultados, com respectivas análises,
oriundos da implementação computacional do modelo apresentado no capítulo 4, na
avaliação da resposta transitória de aterramentos elétricos a incidência de descargas
atmosféricas. São consideradas configurações básicas de aterramento constituídas
por eletrodos horizontais e hastes verticais. É também incluída uma seção de
validação da modelagem apresentada, em que são apresentas comparações de
resultados gerados pela aplicação da modelagem com aqueles obtidos por outros
modelos considerados precisos e, inclusive, com aqueles derivados de medições
diretas.
No capítulo 6 são apresentadas as implicações deste trabalho preliminar,
ressaltadas as principais contribuições e destacadas as propostas de continuidade.
CAPÍTULO 2 – RESPOSTA DE
ATERRAMENTOS ELÉTRICOS A
CORRENTES IMPULSIVAS
2.1 – Introdução
Quando submetidos a uma corrente de descarga atmosférica, os eletrodos de
um sistema de aterramento apresentam um comportamento bastante particular.
Aparentemente, há certa confusão de conceitos básicos em relação a esse
comportamento no meio técnico-científico. Esses conceitos são fundamentais para
compreensão dos problemas envolvendo o projeto de aterramentos elétricos para
proteção contra descargas atmosféricas. Este capítulo insere-se neste cenário e tem
como objetivo apresentar de forma sucinta aqueles conceitos considerados mais
relevantes para compreensão da resposta de aterramento a correntes impulsivas de
altas freqüências.
O tema aterramento elétrico, em função da generalidade de suas aplicações e
do número significativo de variáveis que influenciam o seu desempenho, encerra
considerável complexidade [1]-[3]. Particularmente, na avaliação da resposta do
aterramento para correntes impulsivas de altas freqüências, tal complexidade se
avoluma [4]-[6].
Em relação à generalidade de aplicações do aterramento elétrico é
interessante comentar as diferentes visões que os profissionais da área de Engenharia
Elétrica possuem em relação ao tema [4]. No caso dos profissionais que atuam na
área de Sistemas Elétricos de Potência (SEP), o aterramento elétrico corresponde à
necessidade de um caminho de baixa impedância, utilizado como referência do
sistema elétrico, e que possa garantir uma rápida atuação da proteção, quando da
ocorrência de faltas para a terra, além de manter as tensões de passo e toque dentro
de níveis toleráveis aos seres humanos. Para aqueles profissionais que atuam na área
de Eletrônica e Telecomunicações, em geral, o aterramento elétrico significa garantir
um baixo valor de impedância entre os equipamentos, bem como entre os
equipamentos e a terra. Já para os profissionais que trabalham com sinais na faixa de
8
Capítulo 2 – Resposta de Aterramentos Elétricos a Correntes Impulsivas
radio freqüência, genericamente, o aterramento elétrico constitui-se em um caminho
de baixa impedância para as altas freqüências, além de ser um dos componentes no
processo de propagação de sinais [4]. As distintas visões conduzem a diferentes
práticas de execução dos aterramentos elétricos em instalações.
Assim, o
aterramento pode assumir configuração muito diversificada, conforme a natureza da
função
desempenhada.
Todavia,
apesar
de
aparentemente
conflitantes,
as
correspondentes aplicações estão sempre associadas a dois fatores fundamentais [1]:
i) Desempenho do sistema aterrado; ii) Questões de segurança (seres vivos). No
primeiro caso, pode-se citar, por exemplo, o uso do solo como condutor efetivo de
retorno, quando há injeção de corrente no aterramento ou, ainda, funções associadas
à proteção do sistema. No segundo caso, o aterramento pode ser um fator de
segurança por permitir o escoamento para a terra de cargas ou de correntes de
descargas e, ainda, promover a distribuição segura de potenciais na superfície do
solo, quando é injetada corrente nos eletrodos de aterramento [1]-[3].
Este trabalho insere-se no cenário de investigação dos transitórios oriundos da
incidência de descargas atmosféricas em linhas de distribuição, transmissão ou
subestações. Assim, em relação à avaliação da resposta do aterramento, é importante
demarcar as fronteiras deste capítulo. Interessa destacar aspectos básicos
concernentes ao comportamento de sistemas de aterramento típicos de SEP’s frente à
incidência de descargas atmosféricas. A análise de configurações características de
outras áreas de atuação, citadas anteriormente, foge do escopo deste trabalho.
2.2 – Comportamento do aterramento frente a descargas
atmosféricas
Um sistema de aterramento é constituído basicamente de três componentes
[5]: i) Os condutores metálicos que ligam o sistema aos eletrodos de aterramento; ii)
Os eletrodos de aterramento; iii) A terra que envolve os eletrodos. No desenvolvimento
dos conceitos nas subseções seguintes, interessa principalmente a compreensão dos
aspectos físicos envolvidos. Nesse sentido, é adotado um modelo conceitual
simplificado para o sistema de aterramento, baseado na teoria de circuitos. Tal
simplificação está relacionada com o foco do capítulo nos conceitos, evitando
desenvolvimentos matemáticos.
Para avaliação da natureza dos aterramentos considera-se que, em geral, uma
conexão à terra apresenta efeitos resistivo, capacitivo e indutivo. A Fig. 2.1 ilustra um
Capítulo 2 – Resposta de Aterramentos Elétricos a Correntes Impulsivas
9
circuito equivalente que representa estes efeitos para uma pequena porção ou
elemento de um eletrodo de um sistema de aterramento. A corrente neste elemento é
composta de duas parcelas: uma corrente transversal IT que dispersa para o solo e
uma corrente longitudinal IL que é transferida para o restante do eletrodo.
Figura 2.1 – Componentes de corrente no solo e circuito equivalente do aterramento –
adaptada de [1].
A corrente longitudinal está associada às perdas internas no condutor e gera
um campo magnético interno e em volta dele. Na Fig. 2.1, uma resistência R e uma
indutância L em série são responsáveis pela modelagem desses efeitos. Ambos os
parâmetros geram uma queda de tensão (∆VR e ∆VL) ao longo do eletrodo quando
este é percorrido por uma corrente.
A corrente transversal está associada à dispersão para o solo de correntes
condutiva e capacitiva. A razão entre essas duas correntes não depende da geometria
do eletrodo, mas apenas da freqüência característica do fenômeno solicitante e da
condutividade e permissividade elétrica do solo. Esta razão é discutida mais
detalhadamente em outra seção. Os efeitos transversais associados a essa corrente
de dispersão são modelados na Fig. 2.1 por meio de uma condutância G e uma
capacitância C em paralelo.
Um aspecto que merece atenção refere-se ao cálculo dos parâmetros R, L, G e
C do circuito ilustrado na Fig. 2.1. Tal aspecto é destacado no Capítulo 3.
A representação ilustrada na Fig. 2.1 se aplica apenas a uma pequena porção
do
eletrodo.
Adicionalmente,
devem
ser
considerados
os
acoplamentos
eletromagnéticos próprios e mútuos (capacitivo, condutivo e indutivo) entre os diversos
elementos dos eletrodos de aterramento [6]. O conhecimento do comportamento
completo do aterramento requer a solução de uma série de circuitos similares ao
apresentado na Fig. 2.1 conectados de acordo com a geometria do aterramento,
incluindo os efeitos mútuos [5]. A solução desse complexo circuito fornece a
impedância vista do ponto de injeção de corrente, que corresponde à razão entre a
Capítulo 2 – Resposta de Aterramentos Elétricos a Correntes Impulsivas
10
elevação de potencial desenvolvida neste ponto em relação ao terra remoto e a
corrente de injeção. A impedância como foi definida é calculada para cada freqüência
característica da onda de corrente injetada e constitui-se um conceito importante. Sua
discussão detalhada é realizada na seção que se segue.
2.2.1 – Definição da impedância de aterramento
O sistema de aterramento pode ser caracterizado eletromagneticamente por
meio de uma impedância de aterramento. O conceito de impedância é amplamente
utilizado; entretanto, sua definição original e limitações merecem destaque. Ela é
originalmente definida no domínio da freqüência para excitações com variação
senoidal no tempo e se aplica, geralmente, entre pontos próximos no espaço [6]. Na
análise de fenômenos de baixa freqüência (50/60 Hz), os efeitos reativos podem ser
desprezados. Neste caso, a aproximação do potencial constante é válida para os
eletrodos de aterramento e o circuito equivalente para o aterramento fica reduzido a
uma série de condutâncias acopladas. Assim, em baixas freqüências, o sistema de
aterramento pode ser caracterizado eletromagneticamente por meio de uma
resistência de aterramento [7], [8]. Em tais situações, a resistência de aterramento
pode ser definida como uma condição limite da impedância de aterramento, sendo o
valor desta para freqüência igual a zero. Neste caso a razão entre a elevação de
potencial em relação ao infinito VT desenvolvida no ponto de injeção de corrente e a
corrente injetada IJ resulta em um número real, que é a resistência de aterramento RT:
RT =
VT
.
IJ
(2.1)
Todavia, em geral, e principalmente na investigação de fenômenos de alta
freqüência, o aterramento deve ser representado por uma impedância. No domínio da
freqüência, para cada freqüência específica, uma impedância complexa deve ser
precisamente determinada, como a solução do circuito equivalente do aterramento, ou
seja:
Z (ω ) =
V (ω )
.
I (ω )
(2.2)
11
Capítulo 2 – Resposta de Aterramentos Elétricos a Correntes Impulsivas
O valor de Z (ω ) depende da geometria do aterramento e das características
eletromagnéticas do solo, mas não da onda de corrente injetada se o sistema é linear.
A Fig. 2.24 apresenta um gráfico de impedância em função da freqüência para um
eletrodo horizontal de 30 m de comprimento (raio 0,7 cm e profundidade 0,5 m)
inserido em um solo de resistividade 2.400 Ω.m e permissividade relativa 15 [9]. Nela
fica nítido que em baixas freqüências a impedância pode ser aproximada por um
número real puro e o aterramento representado por uma resistência de aterramento.
Contudo, na faixa superior do espectro, os valores de módulo e fase da impedância
diferem sensivelmente daqueles característicos de baixas freqüências. Nesta faixa, a
modelagem do eletrodo por uma resistência não é consistente e o sistema de
aterramento deve ser representado por meio de uma impedância. Detalhes adicionais
desta figura são comentados posteriormente, na seção 2.2.2.
250
20
im pedância na
condição de
ba ixa freqüência
150
0
100
-20
va lor
m ínim o de
im pedância
50
módulo
0
2
10
3
10
Ângulo de Z(ω) (graus)
Módulo de Z(ω) (Ω )
200
40
-40
ângulo
4
10
Freqüência (Hz)
5
10
-60
6
10
Figura 2.2 – Impedância de aterramento ao longo do espectro de freqüência característico de
uma descarga atmosférica [9].
4
O gráfico ilustrado na Fig. 2.2 foi gerado a partir da modelagem matemática desenvolvida no
Capítulo 4 e validada por medições no Capítulo 5 desta dissertação. Resultados desta natureza
encontram-se em publicações dos pesquisadores envolvidos nesta dissertação em eventos
nacionais e internacionais [9], [10].
Capítulo 2 – Resposta de Aterramentos Elétricos a Correntes Impulsivas
12
No domínio do tempo, o comportamento do aterramento frente a ondas de
corrente impulsivas de alta freqüência costuma ser determinado em termos da
impedância impulsiva ZP [11]. Este parâmetro é definido como a razão entre os picos
de tensão e corrente no ponto de injeção. A impedância impulsiva nem sempre é
facilmente determinada, tendo em vista que os picos de tensão e corrente em geral
não ocorrem simultaneamente. Todavia, é um conceito bastante atrativo do ponto de
vista prático, tendo em vista que a máxima sobretensão resultante no ponto de injeção
pode ser determinada simplesmente pela multiplicação do valor do pico de corrente
por ZP. A impedância impulsiva, diferentemente do conceito original de impedância no
domínio da freqüência, depende da forma de onda injetada, com destaque para o
tempo de frente da mesma. Este aspecto pode ser observado na Fig. 2.35 que ilustra a
resposta de um eletrodo horizontal de aterramento de 50 m de comprimento (raio 1 cm
e profundidade 0,5 m) a duas ondas de corrente distintas, uma onda rápida (1,2/20 µs)
e uma onda lenta (3/20 µs). O solo possui resistividade de 1.000 Ω.m e permissividade
relativa 15. A razão entre o pico de sobretensão no ponto de injeção e o pico da
corrente injetada é maior para a onda mais rápida (53,1 Ω) comparada à onda mais
lenta (37,8 Ω). É importante salientar que, apesar dos distintos valores de impedância
impulsiva, a razão entre os valores instantâneos de tensão e corrente ao longo da
cauda é praticamente constante (~34 Ω) para ambas as ondas. Nesta faixa, o
comportamento do aterramento se assemelha àquele característico de fenômenos de
baixa freqüência e a referida razão aproxima-se do valor da resistência de
aterramento.
Da análise dos gráficos das Figs. 2.2 e 2.3 fica claro que o comportamento de
um sistema de aterramento possui a natureza de uma impedância. Apenas para
fenômenos bastante particulares (aqueles de baixa freqüência) o aterramento pode ser
adequadamente modelado por uma resistência de aterramento [5], [6], [13]. Um estudo
espectral das formas de ondas típicas de descargas atmosféricas revela componentes
tanto de alta quanto de baixa freqüência [13]. A alta freqüência está associada à
elevação extremamente rápida da frente de onda da corrente (da ordem de 0,7 µs
para correntes associadas às descargas de retorno subseqüentes e 5 µs para as
correntes associadas às primeiras descargas de retorno [14]), enquanto que os
componentes de baixa freqüência localizam-se na cauda alongada da onda ou
acompanham a corrente de impulso decrescente. Componentes de baixa freqüência
5
O gráfico ilustrado na Fig. 2.3 foi gerado a partir da modelagem matemática desenvolvida no
Capítulo 4 e validada por medições no Capítulo 5 desta dissertação. Resultados desta natureza
encontram-se em uma publicação específica dos pesquisadores envolvidos nesta dissertação
[12].
13
Capítulo 2 – Resposta de Aterramentos Elétricos a Correntes Impulsivas
são significativos para efeitos de dispersão de corrente condutiva, adequadamente
modelados por meio de uma resistência. Componentes de alta freqüência são
significativos para efeitos reativos associados à indução de tensão e fuga de corrente
capacitiva para o solo, adequadamente modelados por meio de indutância e de
capacitância. Claro está a importância fundamental da distinção dos conceitos de
impedância e resistência de aterramento na avaliação de correntes impulsivas de altas
freqüências. Um sistema de aterramento efetivo deve apresentar não só uma baixa
resistência, mas também uma baixa impedância de forma a garantir a maximização da
dissipação de ambos os componentes, de alta e baixa freqüência, característicos dos
surtos atmosféricos.
60
sobretensão
corrente
Sobretensão (kV)
Corrente (kA/20)
50
40
Zp = Vp / Ip
Para onda rápida:
Zp = 53,1 Ω
(53,1 kV / 1 kA)
Para onda lenta:
Zp = 37,8 Ω
(37,8 kV / 1 kA)
30
Na cauda:
v(t) / i(t) ≅ 34 Ω
20
10
0
0
5
10
15
20
25
Tempo (µs)
30
35
40
Figura 2.3 – Influência do tempo de frente da onda de corrente injetada na impedância
impulsiva.
2.2.2 – Composição da corrente no solo
A corrente que dispersa para o solo, conforme já destacado anteriormente, é
composta de duas parcelas, uma condutiva e outra capacitiva. A corrente de condução
é proporcional à condutividade elétrica do solo σ e está em fase com a tensão
transversal VT (vide Fig. 2.1). A corrente capacitiva é proporcional à freqüência angular
ω associada ao fenômeno solicitante e à permissividade elétrica do solo ε e está
defasada de 90º da tensão transversal VT. Para ocorrências lentas a corrente
Capítulo 2 – Resposta de Aterramentos Elétricos a Correntes Impulsivas
14
capacitiva em geral pode ser desprezada, tendo em vista seu reduzido valor
comparado à corrente condutiva. Contudo, em ocorrências rápidas, a corrente
capacitiva pode atingir a mesma ordem de grandeza das correntes condutivas,
principalmente em solos com elevados valores de resistividade. A relação entre ambas
correntes não depende da geometria do eletrodo, mas apenas da relação σ / ωε. A
Tabela 2.1 apresenta os valores dessa relação para diferentes valores de resistividade
do solo ρ (ρ = 1 / σ) e freqüência, considerando um solo com permissividade relativa
ε r = 10 [15].
Tabela 2.1 – Relação entre a corrente condutiva e a corrente capacitiva para diferentes valores
de resistividade do solo em função da freqüência.
ρ (Ω.m)
f (MHz)
0,01
0,05
0,1
0,3
0,5
1
100
500
1797,51
359,50
179,75
59,92
35,95
17,98
359,50
71,90
35,95
11,98
7,19
3,60
σ / ωε
1000
179,75
35,95
17,98
5,99
3,60
1,80
2400
5000
74,90
14,98
7,49
2,50
1,50
0,75
35,95
7,19
3,60
1,20
0,72
0,36
A importância do efeito capacitivo também está expressa no gráfico de Z (ω )
ilustrado na Fig. 2.2. Na faixa inferior do espectro de freqüência a impedância de
aterramento é próxima do valor da resistência de aterramento. Nesta faixa, os efeitos
da corrente capacitiva são desprezíveis em relação àqueles da corrente condutiva. À
medida que a freqüência aumenta, o módulo da impedância difere do valor da
resistência de aterramento, tornando-se menor devido ao efeito capacitivo. Efeito
similar pode ser observado no ângulo da impedância de aterramento. O valor da
impedância decai até que os efeitos indutivos passam a influenciar significativamente
a impedância de aterramento. A impedância atinge um valor mínimo em uma
determinada freqüência em que os efeitos capacitivo e indutivo se compensam (neste
ponto o ângulo da impedância é zero, conforme ilustra a Fig. 2.2). A partir desta
freqüência o efeito indutivo começa a predominar.
2.2.3 – Efeito de propagação no solo e comprimento efetivo de
aterramento
Quando uma corrente impulsiva de alta freqüência é injetada no sistema de
aterramento, a onda eletromagnética associada ao surto se propaga ao longo do
Capítulo 2 – Resposta de Aterramentos Elétricos a Correntes Impulsivas
15
eletrodo. A propagação da onda eletromagnética em um meio com perdas, como o
solo, apresenta dois fenômenos associados: atenuação e distorção da onda. O
primeiro constitui-se no decréscimo da amplitude da onda de corrente ao longo do
eletrodo. O segundo representa a deformação da onda à medida que se propaga e
corresponde fisicamente às diferentes velocidades que cada componente de
freqüência apresenta, não apresentando assim uma propagação uniforme como um
todo. A atenuação aumenta com a freqüência e com a condutividade do solo, assim
como as perdas. Em resumo, a onda de corrente que se propaga ao longo do eletrodo
de aterramento tem sua amplitude atenuada e sofre deformação com o aumento do
tempo de frente ao longo da direção de propagação. Esses aspectos estão ilustrados
na Fig. 2.4.
Figura 2.4 – Atenuação e distorção da corrente ao longo do eletrodo – adaptada de [5].
Como conseqüência direta do fenômeno de atenuação, a corrente que dispersa
do eletrodo de aterramento apresenta uma distribuição não uniforme ao longo do
mesmo. A densidade de corrente de dispersão (A / m) diminui ao longo do eletrodo.
Dessas considerações deriva-se o importante conceito de comprimento efetivo, que
corresponde a um comprimento limite do eletrodo de aterramento. Eletrodos com
comprimento superior a esse valor limite não implicam na redução da impedância de
aterramento. Tal comportamento fica explícito quando, por exemplo, verifica-se que o
aumento além de determinado comprimento do cabo contrapeso ligado à torre de uma
linha de transmissão não afeta o desempenho da mesma frente a descargas
atmosféricas. Isto ocorre justamente porque a atenuação do campo para tal
comprimento já é tão acentuada, que a corrente que dispersa para o solo a partir dali é
desprezível. A existência de eletrodo a partir desse ponto é inócua e não afeta o valor
da impedância de aterramento. O comprimento efetivo diminui com o aumento da
condutividade do solo e da freqüência máxima representativa do fenômeno solicitante
[5]. Tal comportamento é prontamente compreendido levando-se em consideração os
aspectos de propagação, tendo em vista que a atenuação se acentua com o
16
Capítulo 2 – Resposta de Aterramentos Elétricos a Correntes Impulsivas
crescimento da freqüência e da condutividade do meio. Esses dois efeitos podem ser
visualizados na Fig. 2.56, que ilustra o comportamento da impedância de um eletrodo
horizontal (raio 1 cm e profundidade 0,5 m) para diferentes comprimentos, inserido em
um solo de baixa resistividade (Fig. 2.5(a)) e em um solo de alta resistividade (Fig.
2.5(b)).
Note-se que em baixas freqüências, onde os efeitos de propagação são
reduzidos, o aumento do comprimento do eletrodo implica na diminuição do módulo da
impedância de aterramento praticamente em proporção inversa, enquanto em altas
freqüências, onde tais efeitos são predominantes, a influência do comprimento é
pequena, e os valores de impedância são muito próximos. Isso ocorre porque no
espectro superior a atenuação do campo eletromagnético é bastante acentuada.
Comparando-se as Fig. 2.5(a) e Fig. 2.5(b) pode-se notar ainda que os efeitos de
propagação são mais pronunciados no solo de baixa resistividade. De acordo com a
Fig. 2.5(a) os valores de impedância dos eletrodos de diferentes comprimentos são
praticamente coincidentes já para freqüências a partir de 100 kHz. No caso do solo
menos condutivo, comportamento similar somente é observado na faixa superior do
espectro, para freqüências próximas de 1 MHz (ver Fig. 2.5(b)).
40
ρ = 100 Ω .m
εr = 5
35
Impedância (Ω )
30
25
20
15
10
L = 15 m
L = 20 m
L = 25 m
5
2
10
L = 30 m
3
10
4
10
Freqüência (Hz)
(a)
6
Idem nota 4, pág. 11.
5
10
6
10
17
Capítulo 2 – Resposta de Aterramentos Elétricos a Correntes Impulsivas
160
ρ = 1.000 Ω .m
εr = 5
140
Impedância (Ω )
120
L = 15 m
100
L = 20 m
80
L = 25 m
60
40
2
10
L = 30 m
3
10
4
10
Freqüência (Hz)
5
10
6
10
(b)
Figura 2.5 – Impedância de um eletrodo horizontal (raio 1 cm e profundidade 0,5 m) para
diferentes comprimentos inseridos em um solo de (a) baixa resistividade (ρ = 100 Ω.m) e (b)
alta resistividade (ρ = 1.000 Ω.m) [9].
O comprimento efetivo Lef de um eletrodo é, em geral, definido como aquele
comprimento a partir do qual não há redução significativa de sua impedância de
aterramento. No domínio da freqüência, o valor de Lef é, portanto, definido para cada
freqüência. No caso de correntes impulsivas, que envolvem um amplo espectro de
freqüência, a definição de Lef para cada uma delas pode não ser a metodologia mais
adequada. Nesses casos, a quantificação do valor de Lef é realizada mediante o
cálculo da impedância impulsiva. Assim, o comprimento a partir do qual a impedância
impulsiva não apresenta diminuições significativas é definido como comprimento
efetivo. O valor de Lef pode ser determinado a partir do ponto em que a derivada da
curva que expressa a impedância impulsiva em função do comprimento é desprezível.
Na Fig. 2.67, esse tipo de curva é ilustrada para um eletrodo horizontal (raio 1 cm e
profundidade 0,5 m) inserido em diferentes solos. As curvas foram obtidas do cálculo
de Zp a partir das ondas de sobretensão resultantes da injeção de uma corrente
7
Os gráficos ilustrados nas Figs. 2.6 e 2.7 foram gerados a partir da modelagem matemática
desenvolvida no Capítulo 4 e validada por medições no Capítulo 5 desta dissertação. Outros
resultados dessa natureza podem ser encontrados no Capítulo 5.
18
Capítulo 2 – Resposta de Aterramentos Elétricos a Correntes Impulsivas
impulsiva de 1,2/20 µs, para diferentes comprimentos do eletrodo. Levando-se em
conta essa última definição na determinação do comprimento efetivo, o seu valor não
é constante para uma configuração de aterramento inserida em um determinado solo.
Para injeção de ondas de corrente rápidas, cujos componentes de freqüência na faixa
superior do espectro são significativos, o comprimento efetivo apresenta valores
reduzidos se comparados àqueles característicos da injeção de ondas de corrente
lentas. Tal comportamento está intimamente relacionado com o fenômeno de
atenuação acentuado no caso dos componentes de freqüência mais elevada,
característicos de ondas de corrente rápidas. A Fig. 2.77 apresenta curvas similares
àquelas da Fig. 2.6, para mesma configuração de aterramento, e injeção de uma
corrente impulsiva de 3/20 µs. Comparando-se ambas as figuras, fica claro que o valor
do comprimento efetivo é mais elevado no caso em que o aterramento é solicitado por
uma onda de corrente mais lenta. Os valores adotados para tempo de crista e cauda e
caracterização das ondas como rápidas ou lentas são oriundos de medições
realizadas na estação do Morro do Cachimbo, em Minas Gerais [14].
300
250
Solo
εr = 15
Zp (Ω )
200
150
100
2.000 Ω .m
1.000 Ω .m
50
0
10
500 Ω .m
20
30
40
50
60
Comprimento do eletrodo (m)
70
80
Figura 2.6 – Curva de impedância impulsiva em função do comprimento de um eletrodo
horizontal para injeção de uma onda de corrente impulsiva de 1,2/20 µs.
19
Capítulo 2 – Resposta de Aterramentos Elétricos a Correntes Impulsivas
300
250
Solo
εr = 15
Zp (Ω )
200
150
100
2.000 Ω .m
50
500 Ω .m
0
10
20
30
1.000 Ω .m
40
50
60
Comprimento do eletrodo (m)
70
80
Figura 2.7 – Curva de impedância impulsiva em função do comprimento de um eletrodo
horizontal para injeção de uma onda de corrente impulsiva de 3/20 µs.
Neste ponto é oportuno destacar um aspecto de ordem prática relacionado ao
conceito de comprimento efetivo do eletrodo de aterramento que nem sempre é bem
compreendido. O aumento do comprimento do eletrodo implica na redução da
resistência de aterramento associada a fenômenos de baixa freqüência. Todavia, no
caso de transitórios eletromagnéticos de alta freqüência esse aumento do
comprimento pode não refletir diretamente na redução da impedância de aterramento.
Atingido o comprimento efetivo do eletrodo de aterramento, posterior aumento de seu
comprimento se traduz na redução da resistência, mas não da impedância de
aterramento. A utilização de longos eletrodos, que possuem uma baixa resistência de
aterramento, pode gerar a falsa expectativa de uma correspondente baixa impedância.
Uma vez mais fica clara a importância fundamental da distinção entre os conceitos de
resistência e impedância de aterramento. A incompreensão desses conceitos pode
conduzir a análises e conclusões errôneas.
2.2.4 – Efeito da intensidade da corrente
Em condições práticas, para uma ampla faixa de intensidades de corrente, o
solo apresenta comportamento linear [5]. Isso significa que a razão entre a amplitude
da sobretensão resultante no ponto de injeção e da corrente injetada é constante, ou,
Capítulo 2 – Resposta de Aterramentos Elétricos a Correntes Impulsivas
20
em outras palavras, a função de transferência que descreve o sistema independe da
onda injetada. Todavia, dependendo da intensidade da corrente imposta ao
aterramento, da dimensão dos eletrodos e da resistividade do solo, o campo elétrico
no solo circunvizinho aos eletrodos pode ultrapassar um valor crítico e romper a
rigidez dielétrica do meio. Neste caso, o solo possui um comportamento não-linear. O
valor de 300 kV/m é tipicamente adotado como campo elétrico crítico (ECR) na
literatura [16]. Para valores de campo elétrico superiores ao valor crítico a ionização do
solo se processa e há a ocorrência de descargas elétricas do eletrodo para o solo.
Esse processo basicamente transforma a porção do solo (um dielétrico) ionizada em
um condutor. A disrupção se inicia na superfície do eletrodo, onde a densidade de
corrente de dispersão é mais intensa, e continua até o ponto em que o campo elétrico
decai a um valor inferior ao crítico. O aumento aparente da condutividade na porção
do solo em que o fenômeno de ionização se processa resulta no crescimento da
corrente de dispersão na região. Tal efeito é classicamente modelado mediante uma
ampliação do raio equivalente do eletrodo [16]. Em termos práticos, a ocorrência do
fenômeno de ionização se traduz na redução da impedância de aterramento.
Naturalmente, como o fenômeno em questão é não-linear, o conceito de impedância,
levando-se em consideração sua definição original, não se aplica em um sentido
exato. Uma análise física imediata revela que o efeito da disrupção no solo
praticamente só influencia os parâmetros transversais do aterramento. Assim, sob o
ponto de vista da teoria de circuitos, a inclusão do fenômeno de ionização implicaria
na reavaliação dos parâmetros G e C do circuito da Fig. 2.1, mas não dos parâmetros
R e L.
A avaliação do fenômeno de ionização não é uma tarefa trivial e encerra duas
complexidades principais [5]. A primeira delas refere-se à determinação do valor de
ECR, que é o valor limite do campo elétrico no solo, acima do qual sua ionização se
processa. De uma forma geral, os trabalhos não conseguem apontar metodologias
consistentes para definição de ECR, o que acaba o tornando um fator de calibração, de
forma a fazer com resultados oriundos de investigações teóricas e realizações
experimentais se aproximem [15], [16]. Uma segunda complexidade está associada à
distribuição não uniforme da corrente de dispersão ao longo do eletrodo (e do campo
elétrico associado) devido ao efeito de atenuação. Assim, o fenômeno de ionização
não se processa de maneira linear ao longo do aterramento, sendo mais intenso junto
aos eletrodos próximos do ponto de injeção do sistema, conforme ilustra a Fig. 2.8
[17].
É também importante ressaltar que o processo de ionização é mais intenso
para eletrodos de aterramentos de pequenas dimensões submetidos a correntes de
Capítulo 2 – Resposta de Aterramentos Elétricos a Correntes Impulsivas
21
alta intensidade. Em alguns sistemas de pequeno porte, com solo fortemente ionizado,
a geometria do aterramento, em alguns casos, pode até descaracterizar-se, dada a
grande abrangência da região ionizada. Esse último efeito é ilustrado na Fig. 2.9.
Assim, para os sistemas de aterramento típicos de linhas de distribuição, por exemplo,
que são formados geralmente por pequenas hastes verticais interligadas, o fenômeno
merece ser investigado com cautela. Já na análise de sistemas de aterramento
tipicamente empregados nas torres de linhas de transmissão, que possuem grandes
dimensões, mesmo para estudos de propagação de correntes de descargas
atmosféricas, a ionização do solo costuma não se caracterizar como um aspecto de
maior importância [17].
Figura 2.8 – Representação da região de ionização em um sistema de aterramento submetido
à injeção de uma corrente I – adaptada de [17].
Figura 2.9 – Representação da ionização do solo em um sistema de aterramento de pequeno
porte submetido à injeção de corrente sendo I3 > I2 > I1 – adaptada de [17].
22
Capítulo 2 – Resposta de Aterramentos Elétricos a Correntes Impulsivas
2.2.5 – Dependência dos parâmetros eletromagnéticos do solo com
a freqüência
Um aspecto essencial no estudo e simulação de aterramentos elétricos é a
modelagem adequada do solo. Exceto para valores elevados de campo elétrico, que
causam significativa ionização do meio, o comportamento eletromagnético do solo é
essencialmente linear, mas com significativa dependência da condutividade elétrica (σ)
e permissividade elétrica (ε) em relação à freqüência. A permeabilidade magnética µ é,
em geral, praticamente igual a permeabilidade magnética do vácuo (µ0) [18], [19]. Para
uma configuração do aterramento elétrico, os parâmetros determinantes da forma de
propagação do campo eletromagnético associado a uma onda de corrente injetada,
em condições em que não há a ocorrência significativa de fenômenos não-lineares,
são σ, ε e µ. Neste sentido, a determinação do comportamento de tais parâmetros de
forma mais próxima possível da realidade é fundamental para o estudo completo do
sistema de aterramento.
O comportamento dos parâmetros σ e ε ao longo do espectro típico de
descargas atmosféricas é determinado, em geral, por meio de medições. A partir das
medições, expressões aproximadas em função da freqüência podem ser estabelecidas
para σ e ε.
Em 1987 S. Visacro e C. M. Portela apresentaram um trabalho decorrente de
uma série de resultados experimentais, considerando-se determinadas categorias de
solo e freqüências desde 100 Hz até 1 MHz, que possibilitaram o levantamento das
seguintes relações matemáticas empíricas, aproximadas, para estimar a variação da
resistividade (ρ = 1 / σ) e da permissividade relativa do solo com a freqüência [18]:
0,072

 100 
ρ
≈
ρ

100Hz 

,
 f 

−
0,535

6
⋅ f −0,597
ε r ≈ 2,34 × 10 ( ρ100Hz )
sendo:
•
f a freqüência elétrica (Hz);
•
ρ100Hz é a resistividade do solo em baixa freqüência (Ω.m);
•
ρ é a resistividade do solo em função da freqüência (Ω.m);
•
ε r é a permissividade relativa do solo em função da freqüência (-).
(2.3)
Capítulo 2 – Resposta de Aterramentos Elétricos a Correntes Impulsivas
23
Pesquisas posteriores apoiadas em técnicas de medição mais precisas e
metodologias de análise estatística dos resultados experimentais foram conduzidas
por Portela [19], [20]. Baseando-se em várias medições para um número relativamente
grande de amostras de solo, considerando-se desde freqüências mais baixas até
2 MHz , apresentou-se a seguinte equação para estimar a dependência dos
parâmetros do solo com a freqüência [21]:
α

 π   ω 
;
σsolo m iωεsolo = σ0 + ∆i cotang  α  m i  
6 
 2    2π ×10 

(2.4)
sendo:
•
ω é a freqüência angular (rad/s); ω = 2πf , sendo f a freqüência elétrica (Hz);
•
σ0 é a condutividade elétrica do solo em baixa freqüência (S/m);
•
α é um parâmetro do modelo do solo (-);
•
∆i é um parâmetro do modelo do solo (S/m);
•
σsolo é a condutividade do solo em função da freqüência sendo a parte real do
resultado à direita na equação (2.4) (S/m);
•
εsolo é a permissividade do solo em função da freqüência sendo a parte
imaginária do resultado à direita na equação (2.4) dividida por ω (F/m).
Os parâmetros α e ∆i , que definem a variação com a freqüência, são obtidos
por meio de uma técnica de medição especial, que se encontra detalhada em [19]. Por
outro lado, esses dois parâmetros apresentam distribuição estatística conhecida, de
forma que, não havendo maiores informações ou ocorrendo dificuldades de medição,
tal distribuição pode subsidiar na definição de valores razoáveis dos parâmetros α e
∆i para vários estudos [20]. Considerando-se os resultados das avaliações do
desempenho de sistemas de aterramento submetidos à injeção de correntes de
descargas atmosféricas, para solos com valores intermediários de condutividade
elétrica ( 100µS/m<σ0 <10.000µS/m ), sugere-se [21]:
•
Para obtenção de valores medianos:
Capítulo 2 – Resposta de Aterramentos Elétricos a Correntes Impulsivas
α ≅ 0,706
.

∆i ≅ 11,71 mS/m
•
24
(2.5)
Para obtenção de valores razoavelmente seguros:
α ≅ 0,806

∆i ≅ 9,23 mS/m
(2.6)
ou
α ≅ 0,856
.

∆i ≅ 7,91 mS/m
(2.7)
A despeito da diferença entre as expressões oriundas de diferentes trabalhos
de pesquisa, o comportamento qualitativo observado se assemelha [18], [19]. No que
concerne à permissividade elétrica do meio é observada sua diminuição nas faixas
superiores do espectro. Essa diminuição, no entanto, não implica necessariamente na
diminuição da corrente capacitiva, uma vez que a mesma é proporcional ao produto da
permissividade pela freqüência. Quanto à condutividade do solo, verifica-se um
aumento sensível com a freqüência e, particularmente, nota-se a diferença entre os
valores da condutividade nas faixas de freqüências dominantes nos fenômenos
transitórios e aqueles na faixa de freqüências em que usualmente a resistividade é
medida (baixa freqüência). Com base nos comentários anteriores, o efeito global da
variação de σ e ε com a freqüência se traduz fisicamente em uma redução da
impedância de aterramento. Em alguns casos essa redução é cerca de 10%, podendo
atingir o valor de 30% [5].
Deve-se salientar que, na avaliação da variação da condutividade e
permissividade com a freqüência, o efeito do tipo de solo é bastante acentuado, o que
implica na necessidade de se considerar as características específicas de cada solo,
nas aplicações de aterramento, ainda que de forma aproximada. Esse aspecto dificulta
a obtenção de uma formulação geral para dependência dos parâmetros do solo com a
freqüência. Talvez essa dificuldade seja uma das justificativas para o fato de poucos
trabalhos da área incluírem a variação de σ e ε com a freqüência.
Capítulo 2 – Resposta de Aterramentos Elétricos a Correntes Impulsivas
25
2.3 – Conclusões
Neste capítulo foram abordados conceitos fundamentais relacionados à
resposta do sistema de aterramento frente às correntes de descargas atmosféricas.
Devido ao razoável volume de conceitos abordados, julga-se adequado um breve
resumo das análises preliminares. Mostrou-se que o aterramento deve ser modelado
por uma impedância. A sua representação por uma resistência constitui-se um caso
bastante particular e limitado à investigação de fenômenos lentos. A corrente no solo é
composta por uma parcela condutiva e outra capacitiva. Em baixas freqüências a
corrente capacitiva é desprezível em relação à condutiva. Entretanto, para freqüências
mais elevadas, a relação entre ambas se aproxima da unidade, principalmente em
solos com elevado valor de resistividade. A onda de corrente de descarga atmosférica
injetada no sistema de aterramento se propaga ao longo do eletrodo e apresenta
atenuação de amplitude e distorção da forma de onda. Da análise da propagação
deriva-se o importante conceito de comprimento efetivo do eletrodo, que está
associado ao valor mínimo de impedância impulsiva para determinada geometria do
eletrodo e resistividade do solo. A ionização do solo, devido a correntes de alta
intensidade, caracteriza-se por um aparente aumento da condutividade elétrica da
porção ionizada. Tal efeito é mais pronunciado em aterramentos concentrados e de
pequeno porte. A ionização do solo conduz a uma redução da impedância de
aterramento. A variação dos parâmetros eletromagnéticos do solo (σ e ε) com a
freqüência é significativa ao longo do espectro característico de surtos atmosféricos.
Devido à dificuldade de se obter uma formulação geral para tal variação, ela é,
geralmente, negligenciada.
A análise predominantemente qualitativa apresentada ao longo do capítulo
constitui um passo fundamental para compreensão do comportamento de sistemas de
aterramento frente à incidência de descargas atmosféricas. A abordagem qualitativa
apresentada propicia a ampliação do domínio de compreensão, principalmente, dos
aspectos físicos envolvidos na resposta do aterramento. Esse domínio físico e
conceitual é essencial para aqueles engenheiros eletricistas que desejam investigar
transitórios oriundos da incidência de descargas atmosféricas. No entanto, em termos
práticos de engenharia, tão importante quanto o conhecimento qualitativo do
fenômeno investigado, é a quantificação de variáveis relacionadas a ele. No caso de
sistemas de aterramento, tal quantificação é de fundamental importância para
determinação de, por exemplo, configuração da malha de aterramento, níveis
máximos de sobretensão e isolação necessária, níveis de corrente para ajuste da
Capítulo 2 – Resposta de Aterramentos Elétricos a Correntes Impulsivas
26
proteção e campos gerados para estudos de interferência eletromagnética. A
quantificação das variáveis relacionadas ao fenômeno investigado é feita mediante o
estabelecimento de modelos matemáticos para o sistema de aterramento. Um modelo
simplificado para o eletrodo de aterramento pode ser, por exemplo, aquele
apresentado na Fig. 2.1 e adotado na abordagem conceitual deste capítulo. O
estabelecimento de um modelo completo para representação de sistemas de
aterramento encerra considerável complexidade. Esta se relaciona principalmente ao
número elevado de variáveis que influenciam o comportamento do aterramento.
Ademais, os diversos fenômenos descritos ao longo do capítulo ocorrem, em geral,
simultaneamente, o que agrega outra complexidade ao processo de modelagem. Em
alguns casos, o efeito de determinado fenômeno prevalece sobre os demais;
entretanto, nem sempre a análise e determinação destes fenômenos predominantes
são triviais. O estabelecimento de um modelo matemático fisicamente consistente para
avaliação da resposta do aterramento frente a correntes impulsivas de alta freqüência
constitui o objetivo principal deste trabalho. Essa tarefa é postergada para o Capítulo
4. Antes, julga-se importante avaliar a seguinte questão: como os sistemas de
aterramento têm sido modelados por outros autores? A resposta, ao menos em parte a
essa pergunta, é objeto do capítulo seguinte.
CAPÍTULO 3 – FRONTEIRAS DA
MODELAGEM DE ATERRAMENTOS
ELÉTRICOS
3.1 – Introdução
Desde os primeiros sistemas elétricos até os dias atuais houve um
considerável avanço no entendimento dos conceitos e técnicas concernentes a um
sistema de aterramento elétrico. Esse avanço está bem documentado em uma série
de artigos e trabalhos que culminaram com o estabelecimento de algumas normas
para projeto e instalação do aterramento. O objetivo inicial dessas normas era orientar
de forma geral os engenheiros e técnicos, por meio de algumas recomendações, no
dimensionamento e construção de sistemas de aterramento.
Apesar desse nítido desenvolvimento, os aterramentos ainda são motivo de
muita discussão e erros conceituais, principalmente devido ao costume de se utilizar
soluções prontas e ao tratamento dogmático destinado às normas. Contudo, deve-se
lembrar que não se pode legislar sobre a física. Para o estudo e pesquisa dos
sistemas de aterramentos o requisito mais importante e essencial é o entendimento
das leis da física envolvidas e dos conceitos fundamentais relacionados. Esse
entendimento está intimamente ligado à compreensão das equações que regem todos
os fenômenos da engenharia elétrica: as Equações de Maxwell.
Dentre as investigações ligadas aos sistemas de aterramento, sua modelagem
para avaliação da resposta frente a fenômenos transitórios de alta freqüência tem
atraído a atenção de muitos grupos de pesquisa, levando-se em conta o volume de
recentes publicações. Os modelos de aterramento desempenham como função
essencial a predição de algumas variáveis importantes para dimensionamento da
proteção contra surtos, como, por exemplo, impedância de aterramento e níveis
máximos de sobretensão. Os modelos de sistema de aterramentos são ainda
fundamentais no auxílio da solução de alguns problemas atuais importantes, como:
avaliação do desempenho de linhas de transmissão frente às descargas atmosféricas,
estudos de compatibilidade eletromagnética envolvendo subestações, proteção de
linhas de transmissão, construções residenciais e instalações críticas contra incidência
de raios e qualidade da energia fornecida etc.
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
28
Quando submetidos a uma corrente de descarga atmosférica, os eletrodos de
um sistema de aterramento apresentam um comportamento bastante particular. A
completa investigação desse comportamento deve contemplar dois pontos principais:
i) o entendimento dos conceitos físicos relacionados ao fenômeno e ii) o
estabelecimento de um modelo para o sistema de aterramento incluindo o
acoplamento eletromagnético entre seus componentes. Esses dois pontos estão
relacionados, de forma que para obtenção de um modelo que seja consistente com a
realidade é importante o entendimento dos conceitos referentes ao comportamento do
aterramento. Os conceitos, juntamente com o modelo, são fundamentais para análise
e obtenção de soluções para problemas envolvendo a proteção contra descargas
atmosféricas.
Este capítulo tem por objetivo apresentar uma descrição sucinta de algumas
metodologias adotadas para modelagem de aterramentos. Devido ao grande volume
de trabalhos que foram apresentados na literatura durante os últimos anos, a tarefa de
descrever todos eles seria bastante extensa, além de fugir do escopo principal desta
dissertação. Dessa forma, procurou-se incluir aqueles mais essenciais e que
desempenharam um papel destacado para o desenvolvimento da área de modelagem
de aterramentos elétricos. Esta laboriosa e importante pesquisa do estado da arte da
modelagem de aterramentos é descrita na seção 3.5 deste capítulo. As seções que a
precedem são dedicadas a uma breve descrição dos aspectos gerais relativos aos
modelos e processo de modelagem no contexto científico. Nelas são abordadas
questões conceituais e filosóficas essenciais para ampla e profunda compreensão
dessa poderosa ferramenta, que são os modelos matemáticos.
3.2 – Modelagem no contexto científico
Na incessante busca por novos conhecimentos e esclarecimentos acerca dos
fenômenos e eventos ao redor, os cientistas recorrem não apenas às sensações ou
manifestações imediatas, mas principalmente à reflexão e ao conhecimento
acumulado por meio da formulação de hipóteses e da estruturação de modelos. Nesse
sentido, a abstração constitui uma ferramenta essencial no processo de aquisição de
novos conhecimentos, uma vez que, para se compreender a imensa variedade de
formas, estruturas, comportamentos e fenômenos residentes no universo, é
necessário interpretá-los e, a partir da abstração, selecionar aqueles de maior
relevância para o problema em investigação e elaborar para eles descrições
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
29
adequadas. Na nobre tarefa de modelar o mundo os cientistas constroem, portanto,
esquemas abstratos da realidade em que os objetos de investigação são reduzidos a
representações convenientes. A abstração deve ser não apenas ferramenta, mas uma
qualidade do bom pesquisador. Segundo Sayão, “a evolução da humanidade no seu
aspecto mais abrangente – a evolução das ciências, artes e filosofia – pode ser
encarada como uma trajetória rumo à aquisição progressiva da capacidade individual
de abstração” [22].
Nesse percurso de evolução da humanidade os modelos têm sido a luz para os
caminhos pouco iluminados quase sempre atravessados pelos pesquisadores na
busca por novos conhecimentos. Eles têm sido utilizados nas mais diversas áreas do
conhecimento com o objetivo de auxiliar na compreensão e estudo de temas
específicos [23]-[30]. Os modelos são empregados, por exemplo, para descrever a
proliferação de um mosquito transmissor de doenças, no planejamento estratégico
empresarial, na descrição do fluxo de aviões em um aeroporto e até mesmo para
compreensão da origem do universo por meio da formulação de modelos como o Big
Bang. Claro está a generalidade da aplicação dos modelos e sua relevância no
contexto científico.
Apesar da importância dos modelos deve-se destacar que eles são
representações aproximadas da realidade, o que constitui uma característica
intrínseca do processo de modelagem. Isso não caracteriza um problema, no entanto,
como lembra Capra: “o que torna a ciência tão bem sucedida é a descoberta de que
podemos utilizar aproximações. Se nos satisfizermos com uma compreensão
aproximada da natureza podemos descrever grupos selecionados de fenômenos,
negligenciando outros que se mostrem menos relevantes. Assim podemos explicar
muitos fenômenos em termos de poucos e, conseqüentemente, compreender
aspectos da natureza de forma aproximada, sem precisar entender tudo ao mesmo
tempo. Esse é o método científico: todas as teorias e modelos científicos são
aproximações da verdadeira natureza das coisas; o erro envolvido na aproximação é,
não raro, suficientemente pequeno para tornar significativa essa aproximação” [31].
Pode-se dizer, portanto, que os modelos são criações com o objetivo de
representar alguns aspectos da realidade e torná-los descritíveis qualitativa e
quantitativamente. A existência de modelos jaz na impossibilidade de descrever os
objetos com perfeição seja por uma limitação filosófica, seja por uma limitação técnica,
esgotando as possibilidades de observação, o que permite e exige o aparecimento de
modelos [22], [25]. Eles possibilitam ir além das observações humanas e dos recursos
técnicos existentes. As conclusões e resultados gerados serão tão relevantes quanto
mais significativas forem as aproximações adotadas.
30
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
Os modelos apresentam também uma dimensão heurística, pois uma vez
elaborados para explicar ou compreender determinado aspecto da realidade, estão
sujeitos a pontos de evolução e existe a possibilidade de gerar novos conhecimentos e
percepção de outros aspectos não imaginados antes de sua elaboração [22].
Deve-se salientar, ainda, que uma mesma realidade física pode ser
representada
por
meio
de
diferentes
modelos,
que,
ocasionalmente,
são
completamente distintos entre si [25]-[28]. Cada modelo se destina a explorar
determinadas faixas características do fenômeno investigado. Aqueles mais completos
e que abrangem uma maior faixa de operação podem chegar a explicações
complementares, já os mais simples podem gerar resultados contraditórios e
inconsistentes.
3.3 – A natureza dos modelos
Conforme destacado na seção 3.2 os modelos, de uma forma geral, buscam a
formalização do universo por meio de esquemas abstratos. Deve-se lembrar,
entretanto, que essa formalização do universo não é trivial; a realidade do universo
envolvente é extremamente complexa se forem levadas em consideração todas as
variáveis. Um modelo é, portanto, uma representação simplificada da realidade. A
idealização é intrínseca à natureza dos modelos e, ainda, uma reação tradicional do
homem à aparente complexidade da realidade em que está submerso [22]. Assim, um
modelo busca uma visão das características mais essenciais do domínio. Esta
simplificação
exige
criatividade,
tanto
sensorial
quanto
intelectual,
o
que,
evidentemente, implica admitir-se que, na construção de modelos, algumas
características da realidade, que não se referem diretamente aos objetivos buscados,
são desprezados ou abandonados, em função da maior inteligibilidade ou facilidade de
compreensão [23]. As aproximações adotadas durante o processo de modelagem
definem a precisão do modelo.
Enquanto representação de algum aspecto da realidade, um modelo pode ou
não assumir uma analogia com a realidade que ele modela. Ele pode possuir uma
forma própria independente do original que representa. Esse hiato representacional
depende do objeto específico de investigação [24]. Por exemplo, a modelagem
computacional orientada a objetos possui um baixo hiato representacional, enquanto o
modelo atômico quântico matricial de Heisenberg apresenta um hiato representacional
elevado. A despeito da existência ou não de diferenças entre a realidade e a estrutura
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
31
do modelo, nele deve ser incluído um modo de expressão das conclusões e resultados
gerados que seja claro e condizente com a realidade. O modo de expressão pode ser,
por exemplo, numérico, gráfico ou discursivo. A estrutura interna do modelo,
matemática e conceitual, juntamente com o modo de expressão empregado definem a
simplicidade do modelo.
As idéias de simplificação da realidade e estrutura interna do modelo estão
intimamente relacionadas com o conceito de características desejáveis de um modelo.
Elas são basicamente três: precisão, simplicidade e adequação. A precisão define o
grau de concordância dos resultados gerados com a realidade e está ligada às
idealizações adotadas durante o processo de modelagem. A simplicidade define a
dificuldade de exploração do modelo com o objetivo de gerar e visualizar resultados e
está relacionada com a complexidade da estrutura interna do modelo. A adequação é
encarada como uma característica chave e é função das duas outras. Um modelo
adequado é aquele que possui uma estrutura que seja simples e apresente
conclusões precisas. A adequação resume o objetivo e o dilema de um bom modelo,
que é aliar simplicidade à precisão.
Outro aspecto importante no delineamento da natureza de um modelo está
relacionado com sua classificação. Os modelos são tipologizados de várias formas,
em função de sua finalidade, método de exploração ou ainda de acordo com a área do
conhecimento. Devido à interdisciplinaridade da modelagem, essa tarefa taxonômica
é, em geral, complexa sendo difícil definir, sem ambigüidade, até mesmo os tipos mais
gerais. Nesta dissertação é proposta uma classificação orientada à finalidade, que
ressalta as diferentes formas de utilização dos modelos. A exploração do modelo
pode ser guiada segundo diferentes objetivos, nomeadamente para predição,
prescrição, explicação ou descrição ou um conjunto destes. Essa proposta sintética de
taxonomia procura abranger as finalidades mais gerais dos modelos e evitar
redundâncias.
Os modelos preditivos são aqueles construídos com o propósito de prever um
conjunto de variáveis, comportamentos ou fatos. Como exemplo pode-se citar um
modelo matemático empregado nas ciências econômicas para previsão do PIB de um
país [29].
Os modelos prescritivos permitem determinar “o que fazer” para atingir
determinado objetivo. Um modelo de aterramento pode, por exemplo, determinar as
condições necessárias para que a tensão de passo seja mantida abaixo dos valores
determinados por norma.
Os modelos explicativos procuram descrever determinado fenômeno e
responder basicamente a pergunta “por quê?”. Em geral fazem parte de uma teoria
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
32
mais ampla que é simplificada com objetivo de reduzir a complexidade e melhor
entendê-la. A teoria de circuitos a parâmetros concentrados é um modelo que
simplifica a teoria eletromagnética e permite explicar de forma relativamente simples
os efeitos resistivo, indutivo e capacitivo em um sistema elétrico.
Os modelos descritivos objetivam explicar algum fenômeno tal qual ele se
apresenta ou funciona. A utilidade destes modelos repousa basicamente na
possibilidade de resolver um problema específico de decisão. A utilização de modelos
matemáticos que descrevem a interação de um determinado vírus com o sistema
imunológico humano pode auxiliar na decisão de quais estratégias de tratamento
adotar [30].
3.4 – Construção de modelos
As seções anteriores foram dedicadas à discussão dos aspectos filosóficos e
conceituais principais dos modelos. Entendidos esses aspectos torna-se interessante
compreender o processo de construção de modelos, particularmente modelos
matemáticos. Devido à generalidade de aplicação dos conceitos de modelagem não
existe um procedimento exato a ser seguido, apenas algumas orientações gerais. O
processo de modelagem não deve ser encarado como algo rígido, mas com
especificidades que acompanham cada problema e área do conhecimento. Os passos
gerais que podem auxiliar a construção de um modelo matemático são descritos a
seguir [25], [28].
Passo 1 – Identificar o problema: Qual é o problema a ser explorado? A resposta
precisa a essa questão é de fundamental importância para os passos seguintes. O
problema deve ser bem especificado para permitir uma eficaz transposição da
descrição conceitual para linguagem matemática. Problemas mal enunciados ou
ambíguos podem gerar representações matemáticas e modelos inadequados para
solução do problema proposto.
Passo 2 – Fazer suposições: Em geral a inclusão de todos os fatores que
influenciam o problema identificado é inviável, o que tornaria a complexidade do
modelo extremamente elevada. A tarefa de modelagem é então simplificada por meio
da redução do número de fatores sob consideração. Aquelas variáveis que possuírem
uma influência reduzida comparada a outros fatores podem ser descartadas, o que
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
33
minimiza a complexidade do modelo. Após essa primeira simplificação, as relações
entre as variáveis selecionadas para estudo devem ser determinadas. Em problemas
mais complexos as relações entre todas as variáveis envolvidas podem ser de difícil
identificação inicialmente. Nestes casos algumas variáveis podem ser estudadas
separadamente a partir da criação de sub-modelos, que, posteriormente, podem ser
conectados. Novamente, se forem assumidas relações relativamente simples, a
complexidade do modelo pode ser reduzida. É importante salientar que as suposições
feitas neste passo estão diretamente relacionadas com a precisão dos resultados
gerados.
Passo 3 – Solucionar ou interpretar o modelo: Após a definição das relações entre
as variáveis, o modelo deve ser solucionado. Em geral os modelos são constituídos
por uma série de equações matemáticas, que devem ser resolvidas para se obter
informações acerca do problema investigado. Neste passo são gerados os primeiros
resultados. Ocasionalmente, podem ocorrer situações em que a solução ou
interpretação do modelo seja demasiadamente complexa ou até mesmo não existam
instrumentos, analíticos ou numéricos, capazes de prover uma solução satisfatória.
Nestes casos, pode ser necessário retornar ao passo 2 para que outras simplificações
sejam feitas.
Passo 4 – Verificar o modelo: A utilização efetiva do modelo deve ser precedida de
um processo de verificação. Antes, porém, de submeter o modelo a testes de
validação, que podem ser caros e demorados, é importante que se avalie a coerência
conceitual dos resultados gerados. Após essa avaliação é comum submeter o modelo
a verificações experimentais. Nesse procedimento é importante atentar que a
aquisição de dados e medições deve ser realizada dentro da faixa de trabalho do
modelo, que é definida de acordo com as suposições adotadas no passo 2. A
realização de testes fora desta faixa pode conduzir a suposições errôneas ou
incompletas. Um cuidado especial deve ser levado em consideração ao traçar
conclusões a partir dos resultados empíricos. Não se devem extrapolar generalizações
a partir de situações particulares. Assim, um modelo não se torna uma lei apenas
porque foi verificado repetidamente em algumas situações específicas. O que se pode
afirmar é que sua razoabilidade foi corroborada por meio dos dados coletados.
Passo 5 – Implementar o modelo: Concluídas as devidas verificações e
procedimentos de validação, o modelo deve ser implementado em sua forma final.
Neste passo é importante a criação de uma interface adequada aos usuários, que
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
34
facilite a operação e exploração do modelo. Outra tarefa essencial a ser desenvolvida
nesta etapa é a divulgação do ferramental desenvolvido. Modelos com interfaces de
difícil utilização ou pouco divulgados possuem grande probabilidade de insucesso.
Passo 6 – Manter o modelo: A manutenção do modelo é de fundamental importância,
sendo provável a existência de diversos pontos de evolução na primeira versão. Para
exemplificar, algumas considerações feitas no passo 2 podem ser revistas; novas
situações podem ser incluídas; métodos de solução do modelo mais robustos e
eficazes podem ser adotados. A manutenção do modelo é essencial para que ele
continue atualizado e suas respostas ao problema investigado continuem consistentes
e confiáveis.
Uma vez mais deve ser enfatizado que o processo de modelagem descrito
acima, uma espécie de meta-modelo, não corresponde exatamente ao processo real.
Ao contrário, é uma aproximação como são todos os modelos da realidade e possui
limitações. O procedimento como foi descrito parece, por exemplo, consistir em etapas
discretas que levam ao objetivo final que é a obtenção do modelo, porém isso
raramente ocorre na prática. A construção de modelos se aproxima mais de um
processo iterativo, conforme ilustra a Fig. 3.1. De acordo com o esquema a construção
de um modelo não é um processo em cascata. Na verdade, pode-se dizer que o que
existem são iterações e que ao fim de cada uma delas se têm uma versão do modelo
que pode necessitar de refinamento ou simplificação.
Figura 3.1 – Natureza iterativa do processo de modelagem.
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
35
3.5 – Modelagem de aterramentos elétricos
3.5.1 – Introdução
Conforme descrito nas três seções precedentes os modelos possuem uma
ampla aplicação no cenário científico. Além disso, mostrou-se que um modelo, uma
idéia aparentemente simples, encerra uma série de importantes questões filosóficas e
conceituais. Ademais, constatou-se que a obtenção de modelos adequados é uma
tarefa árdua. Este trabalho encontra-se inserido em um contexto de engenharia
elétrica aplicada, particularmente no estudo de modelagem de aterramentos elétricos
para avaliação de sua resposta a transitórios eletromagnéticos. Antes, porém, de
propor um modelo para tal tipo de avaliação é importante realizar-se uma revisão e
discussão da literatura pertinente do tema. Estes dois últimos pontos são o objetivo
principal desta seção.
Como já foi salientado na introdução deste capítulo, é realmente grande a
quantidade de trabalhos propondo modelos para análise do comportamento transitório
de sistemas de aterramento. No entanto, a despeito do elevado número de trabalhos,
uma análise geral permite uma divisão em três grupos principais de metodologias
adotadas:
•
métodos baseados na aplicação da teoria de campos;
•
métodos baseados na teoria de linhas de transmissão;
•
métodos baseados na teoria de circuitos.
Obviamente, cada uma deles tem as suas vantagens, desvantagens e
domínios de aplicação, dependendo do tipo de estudo que se pretende realizar. As
metodologias citadas podem ainda ser desenvolvidas no domínio do tempo ou no
domínio da freqüência. De forma análoga, cada uma delas possui limitações, que são
devidamente expostos e discutidos ao longo desta seção.
A exposição a seguir é feita sob um ponto de vista histórico da evolução do
tema de modelagem de aterramentos. À medida que os modelos são descritos, eles
são incluídos em um dos três grupos destacados. Por fim são apresentados alguns
comentários críticos e uma discussão acerca de qual tipo de modelagem adotar neste
trabalho.
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
36
3.5.2 – Estudo do Estado da Arte
Os primeiros trabalhos de investigação do comportamento de eletrodos frente a
correntes impulsivas foram essencialmente experimentais. Esses trabalhos iniciais
tinham por objetivo principal estimar a impedância impulsiva do eletrodo de
aterramento. Por meio da impedância impulsiva e do conhecimento da magnitude das
ondas de corrente de descargas atmosféricas, era possível estimar os níveis máximos
de sobretensão a que o sistema de aterramento era submetido. Os resultados de
testes experimentais realizados por pesquisadores durante as décadas de 30 e 40
[32]-[36] indicavam que a impedância impulsiva dos eletrodos é em geral diferente do
valor da resistência CC ou CA a 60 Hz. Evidenciava-se, assim, o comportamento
diferenciado dos eletrodos de aterramento quando solicitados por correntes
impulsivas, quando comparados com o comportamento da mesma configuração
solicitada por fenômenos de baixa freqüência.
Trabalhos teóricos pioneiros investigando o comportamento de eletrodos de
aterramento frente a fenômenos de alta freqüência foram conduzidos por E. D. Sunde.
Esses trabalhos culminaram com a publicação, no fim da década de 40, de um dos
livros mais citados em estudos envolvendo aterramentos elétricos [37]. Sunde abre o
livro com uma revisão dos conceitos básicos do eletromagnetismo e das Equações de
Maxwell. Nos capítulos seguintes trata de conceitos fundamentais como resistividade
do solo e técnicas para medi-la, resistência de aterramento de configurações típicas e
acoplamento entre os eletrodos. Os dois últimos capítulos são destinados à
investigação do comportamento de eletrodos de aterramento para fenômenos rápidos.
Para esse fim, Sunde adota uma abordagem baseada na teoria de linhas de
transmissão em um meio condutivo. Nesse trabalho o autor estabelece fórmulas para
cálculo dos parâmetros elétricos de uma linha enterrada dependentes do comprimento
do eletrodo. Essas expressões são utilizadas em vários trabalhos atuais. São também
estabelecidas relações entre as características de surto dos eletrodos e algumas
variáveis como a resistividade e permissividade elétrica do solo, profundidade,
diâmetro e comprimento do condutor, separação entre eletrodos e o efeito da
ionização do solo.
Apesar das grandes contribuições oriundas de testes experimentais e do
trabalho de Sunde, até a década de 70 pouco se evoluiu no que diz respeito ao
estabelecimento de modelos que fossem capazes de predizer o comportamento do
aterramento frente a uma corrente impulsiva. Dessa forma, as configurações de
aterramento empregadas eram geralmente aquelas adotadas para fenômenos lentos
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
37
com algumas modificações. Essas modificações eram norteadas principalmente pelos
resultados experimentais e pelas análises teóricas desenvolvidas por Sunde.
No fim da década de 70 e início da década de 80 alguns trabalhos foram
publicados propondo modelos no domínio do tempo baseados na teoria de linhas de
transmissão [38]-[41]. Nesses trabalhos, o procedimento usual adotado é a divisão dos
eletrodos de aterramento em diversos segmentos. Cada um desses segmentos é
modelado como um circuito π , composto pelos parâmetros longitudinais R + jω L e
pelos parâmetros transversais
G + jω C , conforme ilustra a Fig. 3.2. Esses
parâmetros são assumidos distribuídos ao longo de uma linha de transmissão
enterrada no solo. A partir da definição dos parâmetros as equações de propagação
de onda em uma linha de transmissão são solucionadas para cada segmento. O que
diferencia basicamente os trabalhos que adotam tal abordagem é a forma como são
calculados os parâmetros e o método empregado para solução das equações oriundas
da teoria de linhas de transmissão. Deve-se destacar a importância desses trabalhos,
que, apesar dos limites de validade, representam um primeiro esforço no sentido de
estabelecer um modelo analítico, que fosse capaz de prever o comportamento
transitório de configurações típicas de aterramento. Os principais trabalhos da época
citada são descritos de forma sucinta a seguir.
Figura 3.2 – Modelagem do eletrodo de aterramento por meio de uma série de circuitos π.
No início de 1983 A. P. Meliopoulos e M. G. Moharam propuseram um modelo
baseado na segmentação dos eletrodos de aterramento e modelagem de cada
segmento como uma linha de transmissão [39]. Cada segmento é caracterizado pelos
parâmetros R, L, G e C. O parâmetro G é calculado por meio da solução da equação
de Laplace [42]-[45]. Os parâmetros L e C são determinados a partir de relações com
G válidas para o modo de propagação TEM (Transverso EletroMagnético). No cálculo
38
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
dos parâmetros não é incluído o efeito da interface solo-ar nem os acoplamentos entre
os diversos segmentos. Obtidos os parâmetros elétricos, o método utilizado por H. W.
Dommel [46] é adotado para solução das equações de propagação na linha. O modelo
é utilizado para simulações de eletrodos horizontais e malhas lineares. A partir das
simulações, os autores concluem que as sobretensões originadas de uma solicitação
ao aterramento são dependentes da separação entre os eletrodos, do tempo de
subida e da resistividade e permissividade elétrica do solo. Nesse trabalho é descrita
ainda uma forma de se acoplar o modelo desenvolvido ao EMTP [48], [47].
C. Mazzeti e G. M. Veca, em 1983, apresentaram um modelo matemático para
eletrodos horizontais [40]. O eletrodo é considerado infinito sendo modelado com uma
linha de transmissão. Nesse trabalho os autores assumem o solo como um meio
predominantemente condutivo. A partir dessa consideração desprezam a resistência R
e a capacitância C. A indutância L e a condutância G são obtidas a partir das
expressões clássicas para linhas aéreas, o que é uma suposição fisicamente
inconsistente, já que nesse caso a linha de transmissão está enterrada. O efeito da
interface solo-ar não é levado em consideração no cálculo dos parâmetros. As
equações diferenciais de propagação na linha são solucionadas por integração
numérica. Nas simulações implementadas são avaliados o comprimento efetivo, a
impedância impulsiva e distribuição de potencial ao longo de condutores horizontais.
Os autores concluem que o comprimento efetivo aumenta com a resistividade do solo
e que a impedância impulsiva é dependente do comprimento do eletrodo,
condutividade do solo, intensidade e forma da corrente injetada. Os resultados obtidos
estão
qualitativamente
corretos,
entretanto
as
avaliações
quantitativas
são
comprometidas devido às aproximações adotadas. Os autores propõem ainda a
consideração do efeito de ionização do solo por meio de um aumento aparente da
seção transversal do eletrodo. Esse aumento é estimado a partir da determinação do
r
r
campo elétrico na superfície do condutor por meio da conhecida expressão E = ρ J .
No caso desse campo elétrico atingir um valor superior a determinado valor crítico,
considera-se que se inicia o processo de disrupção elétrica no solo e há a formação de
canais de plasma de alta condutividade. Esse aumento da condutividade do solo é
representado por uma modificação da seção transversal do eletrodo. O novo raio do
condutor é definido como a distância, medida a partir do centro do eixo do condutor,
na qual o campo elétrico se torna inferior ao valor determinado como crítico. A
verificação do campo elétrico na superfície do eletrodo é processada para cada passo
de tempo e, quando ultrapassa o valor crítico, os parâmetros elétricos são
recalculados para o novo raio. A partir da inclusão do fenômeno de ionização nas
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
39
simulações é destacado que sua desconsideração pode gerar erros no cálculo da
impedância impulsiva.
R. Velazquez e D. Mukhedkar, em 1984, publicaram um trabalho propondo um
modelo para eletrodos horizontais baseado na teoria de linhas de transmissão
incluindo todos os parâmetros elétricos [41]. O eletrodo é dividido em segmentos e
cada um é modelado como uma linha de transmissão com parâmetros R, L, G e C.
Esses parâmetros são calculados por meio de equações propostas por Sunde [37],
que dependem do comprimento de cada segmento. Os parâmetros são considerados
distribuídos uniformemente. As equações empregadas no cálculo aparentemente
incluem o acoplamento entre os segmentos, mas não o efeito da interface solo-ar. As
equações diferenciais de propagação na linha são solucionadas com o auxílio da
transformada de Laplace. O efeito de ionização é modelado de forma bastante similar
ao trabalho de Mazzeti e Veca [40]. Entretanto, uma maior precisão é obtida no
modelo de Velazquez e Mukhedkar já que o eletrodo é dividido em uma série de
segmentos, sendo o campo elétrico calculado na superfície de cada um deles. O
modelo é aplicado para avaliação da impedância impulsiva e distribuição de potencial
para eletrodos horizontais.
De uma forma geral a modelagem baseada na teoria de linhas de transmissão
empregada nesses trabalhos do fim da década de 70 e início da década de 80 adotam
algumas simplificações que merecem ser destacadas. Na dedução das equações de
propagação de ondas de corrente e tensão ao longo de uma linha de transmissão, os
campos eletromagnéticos que circundam o condutor são assumidos perpendiculares
entre si (modo de propagação TEM). Isso não corresponde à situação real dos
campos gerados pelas correntes em um eletrodo de aterramento, já que no caso de
altas freqüências o componente longitudinal do campo elétrico não pode ser
desprezado. Ademais, na dedução dessas equações considera-se que as variações
da tensão transversal e da corrente longitudinal são lentas, ou seja, essas grandezas
podem ser consideradas uniformes ao longo de uma seção da linha. Essa
consideração pode não ser válida no caso de fenômenos rápidos, sendo que o
eletrodo deveria ser segmentado em um número muito grande de elementos, o que
inviabilizaria a aplicação da teoria de linhas. O cálculo dos parâmetros R, L, G e C
também merece investigações adicionais. As relações típicas entre esses parâmetros,
normalmente adotadas para linhas aéreas, não podem ser utilizadas, já que são
válidas apenas para o modo de propagação TEM. Além disso, no cálculo dos
parâmetros transversais G e C uma atenção especial deve ser dedicada ao se definir o
caminho de integração do campo elétrico, já que, para fenômenos rápidos, o cálculo
do potencial escalar depende desse caminho. É também importante destacar que as
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
40
configurações simuladas possuem geometria limitada a condutores horizontais e
malhas simples. Essas limitações estão ligadas ao limite de aplicabilidade da teoria de
linhas de transmissão. Adicionalmente, a maioria desses modelos não inclui o
acoplamento eletromagnético entre os diversos segmentos, o que é de fundamental
importância para investigação de fenômenos de alta freqüência.
Na tentativa de tratar ou minimizar alguns dos problemas citados, A. D.
Papalexopoulos e A. P. Meliopoulos apresentaram, em 1987, um novo trabalho [49]. A
abordagem adotada é bastante similar à empregada no trabalho anterior de um dos
autores [39]. Assim, cada eletrodo é divido em diversos segmentos, cada um deles
com parâmetros R, G, L e C. O cálculo desses parâmetros, ao contrário do trabalho
anterior, é realizado a partir de uma solução mais elaborada das equações de
Maxwell. Neste cálculo, porém, a parcela não conservativa do campo elétrico, que
traduz o acoplamento indutivo mútuo, é descartada. Além disso, não fica claro se o
efeito da interface solo-ar foi incluído no cômputo dos parâmetros. O modelo proposto
foi utilizado para simular malhas de aterramento de diversos tamanhos inseridas em
solos com diferentes valores de resistividade e permissividade. Apesar do grande
número de simulações realizadas, elas se limitam à freqüência máxima de 420 Hz, o
que restringe bastante a aplicabilidade dos resultados gerados na investigação de
solicitações associadas a descargas atmosféricas.
No fim no ano de 1989, D. Mukhedkar e outros autores apresentaram um novo
trabalho, que propunha um modelo para análise do desempenho de malhas de
aterramento frente a transitórios [50]. A partir da divisão dos eletrodos em diversos
segmentos, cada um deles é modelado por meio de um circuito equivalente a
parâmetros concentrados L e G. A conexão de todos os circuitos equivalentes permite
formar uma rede, que representa a malha de aterramento. A solução dessa rede é
processada mediante a aplicação da teoria de circuitos. Além de desprezar os efeitos
resistivo e capacitivo, neste trabalho são adotadas outras simplificações como, por
exemplo, a desconsideração do acoplamento eletromagnético entre os elementos e do
efeito da interface solo-ar. Os resultados gerados foram comparados com dados
experimentais e, a despeito das idealizações citadas, uma boa concordância foi
observada de acordo com os autores. No entanto, os dados empíricos apresentados
se referem a algumas situações particulares e solicitações relativamente lentas, o que
pode comprometer análises direcionadas para fenômenos transitórios oriundos da
incidência de uma descarga atmosférica.
Por volta da segunda metade da década de 80, seguindo uma direção diferente
dos trabalhos apresentados até então, F. Dawalibi e L. Grcev publicaram alguns
trabalhos que foram a base para o primeiro modelo de aterramentos baseado na
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
41
solução mais elaborada das equações de campo. Dawalibi já era nessa época um
pesquisador renomado, autor de cerca de sessenta artigos nas áreas de aterramentos,
resistividade do solo e interferência eletromagnética. Em 1986 publicou um artigo
(dividido em duas partes) particularmente importante para o desenvolvimento do
modelo para transitórios em aterramentos [51]. Nesse trabalho, o pesquisador analisa
a resposta de condutores cilíndricos utilizando a teoria eletromagnética no domínio da
freqüência. Entretanto, apesar da solução ter sido formulada para correntes de baixa e
alta freqüência, as expressões analíticas utilizadas no modelo computacional foram
desenvolvidas a partir de aproximações quase-estáticas para possibilitar a integração
numérica da solução geral. Nesse mesmo ano, Grcev defendia sua tese de doutorado
[52]. Nela, o pesquisador desenvolveu as bases da metodologia para análise de
configurações de aterramento genéricas para todo o espectro de freqüência de
interesse baseado em técnicas computacionais envolvendo Método de Momentos,
integração numérica das integrais de Sommerfeld e Transformada Rápida de Fourier
(FFT) [53], [54]. Essa metodologia foi aplicada inicialmente para configurações de
hastes horizontais e os primeiros resultados computacionais estão na tese de Grcev
[52]. Em 1990 os dois pesquisadores se encontraram para escrever um artigo que foi
aclamado por muitos pesquisadores da época, sendo, por exemplo, denominado de
masterpiece por A. M. Mousa na discussão original gerada no periódico [55]. Nesse
artigo um modelo eletromagnético para transitórios em sistemas de aterramento é
descrito de forma detalhada. Os aspectos principais desse modelo são expostos a
seguir.
O problema transitório é solucionado no domínio da freqüência, o que implica a
consideração de um sistema linear. Para cada freqüência têm-se uma função de
transferência e a solução no domínio do tempo é obtida a partir de uma transformada
de Fourier inversa. O modelo é baseado na solução dos campos eletromagnéticos
para segmentos cilíndricos condutores com a aproximação destes por correntes
r
filamentares. Para cada segmento é calculado o campo elétrico E ( r ) , devido às
distribuições de corrente I ( r ') e carga q ( r ') ao longo da superfície do condutor, por
r
meio do potencial elétrico escalar φ ( r ) e do potencial vetor magnético A ( r ) :
r
r
r
E ( r ) = −∇φ ( r ) − jω A ( r ) .
(3.1)
O potencial escalar é obtido a partir da integração, ao longo do segmento, da
distribuição de carga e da função de Green relacionada. O potencial vetor é obtido a
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
42
partir da integração, ao longo do segmento, da distribuição de corrente e da função de
Green relacionada. Com a introdução dessas integrais em (3.1) e após algumas
manipulações, a seguinte equação integral para o campo elétrico é obtida:
r
jωµ
E(r) = −
I ( r ') G1 ( r, r ') dl ,
4π ∫l
(3.2)
onde ω é a freqüência angular (rad/s), µ é a permeabilidade magnética do meio
(H/m) e G1 ( r, r ') é a função de Green resultante das manipulações. Essa equação
ainda considera o campo elétrico devido a um segmento em um meio semi-infinito. O
efeito da interface solo-ar é considerado baseado no trabalho de A. Sommerfeld [53].
Esse efeito é introduzido por meio de alguns termos de correção nas funções de
Green. Esses termos envolvem integrais conhecidas como integrais de Sommerfeld. A
equação integral para o campo elétrico e a solução das integrais de Sommerfeld
definem o modelo matemático.
A solução do modelo é obtida a partir da aplicação do Método de Momentos,
que permite a redução da equação integral (3.2) a um sistema de equações lineares
para determinar a distribuição de corrente ao longo dos eletrodos [56]. O sistema de
aterramento é divido em N segmentos e, nesse primeiro trabalho, é considerada uma
distribuição de corrente longitudinal uniforme ao longo de cada segmento, podendo
variar de um para outro. Ao fim do condutor a corrente é assumida igual a zero. A
partir dessas considerações e da aplicação do Método de Momentos, a matriz de
impedâncias é obtida avaliando-se o acoplamento entre os segmentos por meio da
seguinte expressão:
zmn = −
Em ⋅ l m
,
In
(3.3)
onde os subscritos m e n detonam dois segmentos genéricos, l m é o comprimento do
segmento m e Em é o campo elétrico tangencial no centro do segmento m devido a
corrente I n do segmento n. A distribuição de corrente [ I ] é determinada pela solução
da seguinte equação matricial:
[ Z ] ⋅[ I ] = [ Zs I s ] ,
(3.4)
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
43
onde [ Z ] é a matriz de impedâncias e [ Zs I s ] é a matriz de excitação; I s é a corrente
de injeção e Z s é a impedância entre o segmento de injeção e os demais segmentos.
Uma vez determinada a distribuição de corrente, o campo elétrico pode ser
obtido em qualquer ponto a partir da soma das contribuições de cada segmento. A
corrente transversal é calculada a partir do produto do campo elétrico normal à
superfície do condutor e da condutividade do solo. O potencial elétrico em um ponto e
a diferença de potencial entre dois pontos são obtidos pela integral de linha do campo
elétrico. A impedância de aterramento é determinada pela razão entre o potencial
elétrico do ponto de injeção e a corrente de injeção.
Apesar desse primeiro trabalho não apresentar resultados computacionais
para validar o modelo descrito, ele foi bem aceito, pois, além de bastante completo, é
baseado na solução direta das equações de campo. Não obstante, alguns comentários
merecem ser feitos. Na escolha da distribuição de corrente e divisão do sistema em
segmentos, o primeiro segmento é adotado como ponto de injeção e sua corrente
longitudinal é definida como igual à corrente injetada. Isso significa que no primeiro
segmento existe apenas corrente longitudinal, sendo desprezada a corrente
transversal (caso contrário, o princípio de conservação da carga é violado). Essa
consideração pode ocasionar, por exemplo, algum erro no cálculo dos potenciais
próximos ao ponto de injeção. No cálculo da corrente transversal o campo elétrico é
avaliado em pontos bastante próximos ao condutor, o que gera instabilidade numérica.
Para contornar o problema é utilizada uma expressão aproximada para o campo
elétrico próximo aos condutores, de forma que a corrente transversal também possui
um valor aproximado. Por fim é importante destacar que os autores não consideram a
variação dos parâmetros eletromagnéticos do solo com a freqüência.
Após esse trabalho inicial, outros foram publicados pelos autores de forma
independente [57]-[66]. Dawalibi e outros autores realizaram a transposição do modelo
desenvolvido juntamente com Grcev para diversas situações práticas de engenharia:
cálculo de campos eletromagnéticos irradiados por condutores energizados [57], [58];
avaliação dos campos gerados por sistemas de aterramentos de subestações de
distribuição [59]; avaliação da resposta transitória de malhas de aterramento de
subestações de alta-tensão [60]; análise do desempenho de sistemas de aterramento
de subestações de alta-tensão incluindo algumas estruturas metálicas acima do solo
[61]. Grcev aplicou o modelo desenvolvido na avaliação do desempenho de eletrodos
horizontais e malhas de aterramento [62], [63] e, juntamente com F. E. Menter, no
cálculo dos campos eletromagnéticos oriundos de eletrodos de aterramentos
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
44
energizados [64]. Grcev obteve ainda aprimoramentos importantes com relação ao
tempo computacional e utilizou outras distribuições de corrente na aplicação do
Método de Momentos [65]. Estudos importantes sobre o comportamento da
impedância de malhas de aterramento ao longo do espectro de freqüência
característico das descargas atmosféricas foram apresentados por Grcev [66].
Paralelamente aos desenvolvimentos de Grcev e Dawalibi, no início da década
de 90, uma série de trabalhos foram publicados por S. Visacro e C. M. Portela,
propondo uma modelagem no domínio da freqüência baseada nas equações de
campo [67]-[69]. A versão final do modelo está detalhada na tese de doutorado de
Visacro [70]. Na solução final do modelo são empregados alguns conceitos típicos da
teoria de circuitos, o que justifica o nome HEM (Hybrid Electromagnetic Model) que
recebeu mais tarde [71]. Na abordagem adotada, os eletrodos são divididos em
diversos segmentos. Cada segmento é considerado fonte de uma corrente transversal
IT que dispersa do condutor em direção ao solo e de uma corrente longitudinal IL que
circula ao longo do segmento. A corrente IT gera um campo elétrico de natureza
divergente que estabelece uma elevação de potencial em relação ao infinito no próprio
segmento e nos demais. A corrente IL gera um campo elétrico não conservativo que
estabelece uma queda de tensão no próprio segmento e nos demais. Considerando
um par de segmentos, a corrente IT promove os acoplamentos capacitivo e condutivo
(próprio e mútuo) entre eles e a corrente IL promove os acoplamentos indutivo e
resistivo (próprio e mútuo). Esses acoplamentos são computados a partir da definição
das impedâncias transversal ZTij e longitudinal ZLij entre os segmentos, onde o índice i
se refere ao segmento receptor e o índice j se refere ao segmento emissor de campo.
A partir dessas considerações são estabelecias as seguintes equações matriciais:
Vij = ZTijITj ,
(3.5)
∆Vij = ZLijILj ,
(3.6)
onde Vij se refere ao potencial médio do elemento i devido à corrente transversal do
elemento j e ∆Vij é a queda de tensão ao longo do elemento i devido à corrente
longitudinal fluindo no elemento j. As grandezas mencionadas são calculadas com o
auxílio do potencial escalar elétrico e potencial vetor magnético. Nesse cálculo os
efeitos de propagação são incluídos. O efeito da interface solo-ar é considerado por
meio da aplicação do método das imagens tradicional, o que constitui uma
aproximação [42]-[45]. Na solução do modelo estabelecido pelas equações (3.5) e
(3.6) são utilizadas algumas relações típicas da análise de circuitos. O potencial médio
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
45
em cada segmento é definido como a média entre os potenciais nodais e a queda de
tensão ao longo do segmento como a diferença entre os potenciais nodais. As
correntes transversal e longitudinal, em cada nó, são relacionadas por meio da lei de
Kirchhoff das correntes. A partir da aplicação dessas relações, as equações (3.5) e
(3.6) são acopladas em um único sistema do tipo A.VN = b. Nesse sistema o vetor VN
se refere às tensões nodais, o vetor b se refere à injeção de corrente em cada nó e a
matriz A se refere ao cálculo das impedâncias ZTij e ZLij, que dependem apenas da
geometria do sistema de aterramento e das características eletromagnéticas do meio
(solo). O cálculo da matriz A, e posterior determinação do vetor VN, permite o cálculo
das demais grandezas de interesse, como a distribuição de corrente e de potencial ao
longo do eletrodo. Esses trabalhos incluem ainda a variação dos parâmetros
eletromagnéticos do solo com a freqüência, o que constitui uma contribuição
significativa em relação aos demais trabalhos [18]. No entanto, a formulação adotada
para quantificar essa variação merece investigações adicionais [19]. Esse modelo,
dada sua generalidade, foi posteriormente aplicado na investigação de linhas, torres
de transmissão e medição de ondas de corrente de descargas atmosféricas [72]-[74].
Outro importante estudo de sistemas de aterramento baseado na teoria de
campo foi apresentado em meados de 1996 por R. G. Olsen e M. C. Willis [75]. Nesse
trabalho, o objetivo principal dos autores é verificar as condições nas quais a
aproximação de campos quase-estáticos é válida. Para tal fim, os autores propõem a
modelagem de um eletrodo vertical a partir da teoria de antenas, nomeada modelagem
exata. É suposta uma distribuição de corrente longitudinal e os campos
eletromagnéticos são calculados com o auxílio do potencial de Hertz, sendo o efeito da
interface solo-ar levado em consideração a partir da solução das integrais de
Sommerfeld [45], [53]. A distribuição de corrente é obtida da solução da equação de
Pocklington por meio do Método dos Momentos [42], [56]. Outra abordagem, baseada
na modelagem do eletrodo vertical a partir da teoria de circuitos, nomeada modelagem
quase-estática, é utilizada para fins de comparação e estabelecimento dos limites de
validade da aproximação de campos quase-estáticos.
Dois tipos de resultados
gerados por ambas as concepções são comparados: distribuição de corrente e
tensões de passo e toque. Da análise dos resultados os autores chegaram às
seguintes conclusões principais: i) O método de cálculo exato das tensões de passo e
toque se reduz ao método quase-estático quando a freqüência tende a zero; ii) Uma
condição suficiente para validade da aplicação da aproximação quase-estática é que o
comprimento dos eletrodos enterrados seja menor que um décimo do comprimento de
onda no solo; iii) Para freqüências elevadas, os métodos quase-estáticos
superestimam os valores de tensão de passo e toque. Deve-se ressaltar que a
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
46
metodologia dos autores é bastante interessante, pois buscam estabelecer limites de
validade para modelos mais simplificados e não apenas comparar resultados e definir
aqueles que concordam e aqueles que não concordam com a teoria de campo. Esse é
um aspecto importante, já que, se bem definidos os limites de validade de cada teoria,
pode-se aplicar, por exemplo, a teoria de circuitos na resolução de determinados
problemas com a segurança de que o erro cometido é aceitável. Aplicações desse tipo
permitem a redução do esforço computacional em diversas situações, além de
possibilitar uma análise rápida e confiável de determinados problemas. Por fim, vale
salientar que, apesar de apresentar uma contribuição importante, os critérios
estabelecidos nesse trabalho se limitam à configuração de um eletrodo vertical. Não
se pode afirmar, portanto, que os mesmos critérios são válidos para configurações de
aterramento mais complexas.
Após a predominância da pesquisa e estudo dos sistemas de aterramento a
partir da teoria de campo durante os anos 90, ao final dessa década novos modelos
baseados na teoria de circuitos e linhas de transmissão foram propostos. Mais
precisos e robustos em relação àqueles modelos apresentados ao longo da década de
80, essa nova tendência de abordagem tem sido a predominantemente empregada
por pesquisadores do tema durante os últimos anos. Aqueles trabalhos considerados
mais relevantes dentro dessa nova tendência são descritos a seguir.
Em 1999 A. F. Otero, J. Cidrás e J. L. del Álamo apresentaram um modelo no
domínio da freqüência baseado na teoria de circuitos [76]. O sistema de aterramento é
considerado como uma rede de condutores cilíndricos interconectados. Cada condutor
é inicialmente dividido em diversos segmentos. A metodologia proposta é baseada no
estudo dos acoplamentos indutivo, capacitivo e condutivo entre esses segmentos.
Cada segmento é considerado como fonte de uma corrente longitudinal em seu interior
e de uma corrente transversal que deixa o condutor em direção ao solo. Os segmentos
são feitos suficientemente pequenos de maneira que o potencial em relação ao infinito
(potencial médio) em cada um é considerado constante e igual à média entre suas
tensões nodais. A partir desses conceitos é proposto um circuito equivalente do
sistema de aterramento composto por nós e ramos. Cada ramo possui uma resistência
própria e indutâncias próprias e mútuas associadas. Cada nó, devido à condutividade
do meio circundante e dos efeitos capacitivos, possui uma fonte de corrente para o
solo. O sistema de aterramento é solicitado pela injeção de uma onda de corrente em
um ou mais nós. Baseado nas considerações acima, o circuito elétrico equivalente
obtido é estudado a partir da tradicional técnica de análise nodal. A aplicação dessa
técnica resulta em um sistema do tipo A.VN = b, onde o vetor VN se refere às tensões
nodais, o vetor b se refere à injeção de corrente em cada nó e a matriz A se refere ao
47
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
cálculo das resistências e indutâncias e dos acoplamentos indutivo, capacitivo e
condutivo entre os segmentos. A resistência de cada condutor é calculada a partir de
expressões típicas da literatura, que levam em consideração o efeito pelicular. A
indutância mútua é calculada por meio da fórmula de Neumann [77]. Os acoplamentos
condutivo e capacitivo são calculados com o auxílio do potencial escalar elétrico
gerado pela corrente transversal. Nesse último cálculo, o efeito da interface solo-ar é
levado em consideração aplicando o método das imagens modificado proposto por T.
Takashima et al. [78]. No cálculo de todos os acoplamentos a aproximação quaseestática é adotada e os efeitos de propagação são desconsiderados. O cálculo da
matriz A e posterior determinação do vetor VN permite o cálculo das demais grandezas
de interesse. Todos os cálculos são realizados no domínio da freqüência; a resposta
no tempo é obtida por meio da transformada inversa de Fourier. Os resultados obtidos
aplicando o método proposto são comparados com estudos realizados por Grcev [65].
Os perfis de tensão obtidos para as configurações simuladas apresentarem
comportamento similar àqueles obtidos por Grcev. São observadas, no entanto,
diferenças entre os tempos de subida das ondas de tensão transitória e entre os
valores máximos de sobretensão. Essas diferenças podem ter papel significativo no
estudo de transitórios associados a ondas de corrente de altas freqüências. No início
do ano 2000, os autores Otero e Cridrás, juntamente com Garrido, publicaram uma
continuação desse trabalho incluindo o efeito da ionização do solo [79]. A inclusão da
ionização é processada mediante um aumento do raio daqueles segmentos a partir
dos quais ocorre a formação de canais de descarga para o solo. Supõe-se que a
formação desses canais se dá nos casos em que o campo elétrico normal a cada
segmento ultrapassa um valor limite Ec. O campo elétrico na superfície de cada
r
r
r
r
segmento é obtido a partir da conhecida expressão J = σE +jω εE , onde J é
r
densidade de corrente que dispersa do condutor, E é o campo elétrico na superfície
do condutor, σ é a condutividade elétrica do solo, ε é a permissividade elétrica do solo
e ω é uma das freqüências representativas do espectro de freqüência associado à
onda injetada. Note que nessa formulação a corrente de deslocamento é incluída, o
que não ocorre nos modelos de Mazzetti e Velazquez no domínio do tempo. Na
r
expressão anterior, J é umas das grandezas obtidas a partir da determinação do vetor
r
VN. Calculado o campo elétrico E para todas as freqüências representativas do
r
fenômeno, aplica-se uma transformada inversa de Fourier e obtém-se E ( t ) . Assim,
para cada instante de tempo, aqueles segmentos cuja intensidade de campo elétrico
r
associado E ( t ) for superior ao valor crítico Ec, têm seu raio r aumentado para um
48
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
valor rc dado por rc ( t ) = r ⋅
E(t)
Ec
.
O efeito de rc ( t )
é incluído no cálculo dos
acoplamentos condutivo e capacitivo e, por meio de uma nova transformada de
Fourier, obtêm-se uma nova solução no domínio da freqüência. A partir de uma
transformada inversa, tem-se a solução final no domínio do tempo. Os resultados
obtidos a partir da metodologia descrita foram comparados com aqueles obtidos por A.
C. Liew e M. Darveniza [80]. Uma boa concordância entre os resultados foi obtida.
Em 2001, Y. Liu e outros pesquisadores do departamento de eletricidade e
descargas atmosféricas da Universidade de Uppsala, Suécia, publicaram um trabalho
propondo um modelo “melhorado” para sistemas de aterramento, baseado na teoria de
linhas de transmissão [81]. Na definição do modelo os autores assumem algumas
simplificações. É adotada a aproximação de que o campo eletromagnético que
circunda o condutor é quase-TEM. Elementos verticais, como, por exemplo, as hastes
que interligam o sistema aéreo ao sistema de aterramento, são desconsiderados. O
acoplamento entre elementos perpendiculares é desprezado, o que é plausível
levando-se em consideração o acoplamento magnético, mas não o elétrico. Nesse
trabalho não é interesse dos autores investigarem o fenômeno de ionização, portanto
esse efeito não é incluído na modelagem. A partir das considerações descritas, cada
eletrodo é assumido como parte de uma linha de transmissão. O acoplamento entre os
condutores é considerado a partir do cálculo das capacitâncias, condutâncias e
indutâncias mútuas. Esses e os demais parâmetros da linha (R, L, G e C) são obtidos
por meio do software Ace da ABB [82]. Segundo os autores, esse software inclui nos
cálculos o efeito da interface solo-ar, entretanto não deixam claro qual procedimento é
adotado para essa finalidade. Obtidos os parâmetros, cada eletrodo, modelado como
uma linha de transmissão, é dividido em diversas seções. Essas seções são
assumidas suficientemente pequenas de forma que cada uma possa ser representada
por
um
circuito
concentrado.
Os
circuitos
concentrados
resultantes
desse
procedimento são implementados e simulados no EMTP/ATP [48]. Para fins de
validação, os autores realizaram simulações de configurações similares às realizadas
por Grcev em dois de seus trabalhos [65], [66]. Os perfis de tensão nas configurações
simuladas apresentam comportamento similar àqueles obtidos por Grcev. Entretanto,
existem diferenças entre os tempos de subida das ondas de tensão transitória e os
valores máximos de sobretensão apresentam disparidades de até 8%, o que pode ser
significativo no caso de distúrbios oriundos da incidência de uma descarga
atmosférica.
Por
fim,
os
autores
investigam
a
influência
dos
parâmetros
permissividade relativa do solo, resistividade do solo e condutividade e diâmetro do
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
49
eletrodo na distribuição de tensão transitória no sistema de aterramento. De acordo
com os resultados obtidos, alguns pontos são destacados. A resistividade do solo é o
parâmetro que mais influencia a resposta transitória dos eletrodos. A permissividade
relativa possui influência moderada em solos de baixa resistividade, o que leva os
autores a desprezarem o acoplamento capacitivo na maioria das simulações.
Contudo, destacam que a influência da permissividade do solo deve ser considerada
em solos de maior resistividade para obtenção de resultados mais precisos. A
condutividade do eletrodo e o efeito pelicular praticamente não influenciam o pico de
tensão transitória do sistema de aterramento, enquanto que um aumento do diâmetro
do eletrodo tende a diminuí-lo.
M. I. Lorentzou e outros apresentaram um modelo também baseado na teoria
de linhas de transmissão em 2003 [83]. O procedimento adotado é aquele
característico deste tipo de abordagem em que os eletrodos são divididos em
elementos, cada um representado por um circuito π a parâmetros concentrados R, L,
G e C. No texto não há informações sobre o procedimento de cálculo desses
parâmetros; portanto não se pode afirmar se o efeito da interface solo-ar foi levada em
consideração. As distribuições de tensão e corrente ao longo do eletrodo são obtidas a
partir da solução das “equações do telégrafo” [77]. No procedimento de solução de tais
equações, os autores estabelecem uma relação entre a corrente de injeção,
representada por uma dupla exponencial, e as tensões nodais. Esse procedimento
permite a obtenção de expressões matemáticas fechadas para corrente e tensão ao
longo do eletrodo. O fenômeno de ionização é considerado a partir de uma variação
dinâmica do raio do eletrodo. A formulação é aplicada na investigação de eletrodos
horizontais, típicos de aterramentos de linhas de transmissão. Os resultados são
comparados com outras formulações baseadas na teoria de circuitos, linhas de
transmissão e simulações no EMTP, sendo uma boa concordância observada. Os
resultados também são validados com dados experimentais obtidos por outros
autores. No entanto, a carência de comparações com modelos mais precisos e dados
experimentais realmente representativos de fenômenos de alta freqüência limita a
confiabilidade do modelo.
Em 2005, Y. Liu e outros pesquisadores da universidade de Uppsala
publicaram um novo trabalho propondo uma abordagem não uniforme da teoria de
linhas de transmissão para análise do transitório em sistema de aterramentos [84]. O
procedimento geral é aquele tradicionalmente adotado na modelagem baseada na
teoria de linhas; o eletrodo é dividido em segmentos e, depois de calculados os
parâmetros elétricos para cada um, obtém-se a resposta transitória do sistema a partir
da solução das conhecidas equações de uma linha de transmissão. A principal
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
50
contribuição dos pesquisadores nesse trabalho está na metodologia adotada para o
cálculo dos parâmetros elétricos. Segundo os autores, durante o transitório a
distribuição de corrente nos segmentos não é uniforme e varia no tempo. Portanto, os
diversos acoplamentos entre esses segmentos também devem variar no tempo.
Adicionalmente, é considerado que os campos eletromagnéticos que circundam o
eletrodo não são exatamente TEM, o que implica que o cálculo dos parâmetros
elétricos depende do comprimento do condutor. As equações a serem solucionadas
para cada segmento possuem então a seguinte forma:
−
−
∂V ( x, t )
∂x
∂I ( x, t )
∂x
= re I ( x, t ) + l ( x, t )
∂I ( x , t )
∂t
= g ( x, t ) V ( x, t ) + c ( x, t )
,
∂V ( x, t )
∂t
(3.7)
.
(3.8)
Em (3.7) e (3.8) V ( x, t ) e I ( x, t ) são as distribuições de tensão e corrente ao longo
do segmento, re é a resistência série por unidade de comprimento e l ( x, t ) , g ( x, t ) e
c ( x, t ) são a indutância, condutância e capacitância por unidade de comprimento,
respectivamente, na posição x e tempo t . As equações (3.7) e (3.8) são solucionadas
pelo método de diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD). No processo de
solução, a cada passo de tempo, os parâmetros l ( x, t ) , g ( x, t ) e c ( x, t ) são
recalculados. Isso garante a inclusão da variação no tempo dos diversos
acoplamentos, apontada pelos autores. O outro ponto destacado, a dependência dos
parâmetros com o comprimento do segmento, é levado em consideração baseado no
trabalho de Sunde [37]. No cálculo dos parâmetros, o efeito da interface solo-ar é
incluído a partir de coeficientes de reflexão, que são função das diferenças de
condutividade e permissividade elétrica entre o solo e o ar. As expressões finais
obtidas para os parâmetros elétricos são dependentes do comprimento do condutor,
mas esses parâmetros são considerados distribuídos uniformemente ao longo do
mesmo. O caráter não uniforme desse modelo está associado à variação dos
parâmetros no tempo. Note ainda que, apesar dos autores destacarem que os campos
não são TEM, as equações (3.7) e (3.8) são deduzidas para esse modo de
propagação. O comprimento efetivo de eletrodos horizontais é avaliado a partir do
modelo proposto, porém os resultados obtidos não são comparados com medições ou
resultados de outros autores.
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
51
Ainda em 2005, Jinliang He e outros publicaram um trabalho com o objetivo de
avaliar o comprimento efetivo de cabos contrapeso para transitórios associados a
descargas atmosféricas [85]. Nas análises teóricas os autores adotaram uma
abordagem baseada na teoria de linhas de transmissão. Os eletrodos são divididos em
diversos segmentos e cada um deles é modelado como circuito π a parâmetros
concentrados R, L, G e C. Esses parâmetros são calculados a partir de expressões
obtidas por Sunde [37], o que justifica a definição de modelo a parâmetros
concentrados não-uniforme, segundo os autores. O efeito de ionização do solo é
modelado por meio da mesma metodologia adotada por Velazquez e Mukhedkar [41].
Os autores não deixam claro como são solucionadas as equações das linhas de
transmissão. A partir do modelo descrito, são investigados os fatores que influenciam
o comprimento efetivo dos cabos contrapeso. As principais conclusões são: o
comprimento efetivo aumenta com a resistividade do solo e tempo de frente da onda
de corrente e diminui com a magnitude da corrente. Alguns resultados teóricos são
comparados com medições. Apesar do modelo apresentado ser relativamente simples
é observada uma ótima concordância entre simulações e medições, de acordo com os
autores. Com base nos dados medidos e simulados, a partir da técnica de mínimos
quadrados, é obtida uma fórmula para estimar o comprimento efetivo de cabos
contrapeso. Em 2008, os autores apresentaram um novo trabalho em que o mesmo
modelo é estendido para representação de malhas de aterramento [86]. A influência
de diferentes parâmetros no desempenho de uma malha de aterramento frente a uma
corrente de descargas é analisada. De acordo com os autores o desempenho é
influenciado pela forma de onda injetada, amplitude e ponto de injeção. O conceito de
área efetiva da malha de aterramento é investigado e, a partir de simulações, os
autores apresentam uma fórmula para o raio efetivo dos eletrodos utilizados na
construção de malhas para proteção contra descargas atmosféricas.
3.5.3 – Qual tipo de modelagem adotar?
Tendo em vista a sucinta revisão dos principais trabalhos que propõem
metodologias para investigação do comportamento transitório de um sistema de
aterramento frente a fenômenos de alta freqüência, algumas análises preliminares
podem ser esboçadas.
Recentemente, um grande número de modelos para investigação do transitório
associado a sistemas de aterramentos têm sido propostos. Entretanto, aparentemente
não existe um consenso com relação aos limites de aplicabilidade de cada um deles,
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
52
interpretação dos resultados e validade dos mesmos. Um ponto a ser destacado é a
carência de resultados experimentais para validação dos modelos.
Os modelos baseados na solução das equações de campo desenvolvidos no
domínio da freqüência para cálculo de transitórios eletromagnéticos possuem algumas
vantagens em relação àqueles desenvolvidos no domínio do tempo. Tais modelos são
extremamente adequados para o estudo de campos eletromagnéticos e propagação
de ondas. Por exemplo, no estudo da propagação de uma onda eletromagnética em
um eletrodo de aterramento, os efeitos de defasamento e atenuação podem ser
diretamente incorporados nas equações de campo relativas a cada freqüência. Além
disso, a variação com a freqüência dos parâmetros eletromagnéticos do meio em que
o aterramento está inserido pode ser incluída. Este último ponto é particularmente
importante na investigação de sistemas de aterramento inseridos em solos típicos,
cujos parâmetros eletromagnéticos (σ e ε) têm nítida variação com a freqüência,
principalmente para espectros elevados. Deve-se ressaltar ainda que, devido ao fato
de se basearem na solução direta das equações de Maxwell, esses modelos são
aplicáveis a configurações genéricas.
Por outro lado, os modelos desenvolvidos no domínio da freqüência costumam
demandar grande tempo computacional para os cálculos, sendo este problema crítico
para malhas de aterramento extensas, que exigem uma quantidade excessiva de
segmentos. Por exemplo, para modelagem de uma malha de aterramento de
subestação de 60 x 60 m² com elementos quadrados de 10 x 10 m² necessitar-se-ia
facilmente da ordem de dez mil segmentos para obtenção de uma resposta
satisfatória, o que significa a manipulação, para cada freqüência do espectro, de
matrizes da mesma ordem. Deve-se observar, no entanto, que este tipo de problema
já foi mais crítico no passado, em que os computadores possuíam freqüência de
processamento e capacidade de armazenamento de dados sensivelmente inferiores
aos dos computadores atuais. Ainda assim, é importante lembrar que, mesmo para um
computador atual, uma simulação do exemplo citado pode consumir algumas horas.
Outra desvantagem do cálculo no domínio da freqüência é que o mesmo não
permite incorporar diretamente fenômenos não lineares que podem estar presentes no
estudo de sistemas de aterramento, como por exemplo, a ionização do solo. Contudo,
a inclusão de tais fenômenos pode ser feita de forma indireta, conforme discutido na
seção 3.5.2 ou ainda por meio de rotinas que implementem um domínio híbrido
freqüência-tempo.
Os modelos baseados na teoria de linhas de transmissão assumem que a
propagação do campo eletromagnético guiado pelo eletrodo é ditada pelo modo TEM.
Mesmo em abordagens mais modernas em que os parâmetros são calculados por
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
53
equações que dependem do comprimento do eletrodo, o modo de propagação TEM é
implicitamente adotado, pois as equações de propagação, que são solucionadas, são
deduzidas para esse modo. Essa representação não é fisicamente consistente, tendo
em vista que o campo elétrico longitudinal não é desprezível em fenômenos de alta
freqüência. Deve-se destacar, ainda, que as configurações permitidas por essa
abordagem são limitadas a condutores horizontais não sendo adequada para
representação de hastes verticais e configurações genéricas. Pode-se dizer, portanto,
que o tratamento da propagação da descarga atmosférica por ondas trafegantes em
uma linha de transmissão distancia-se razoavelmente do fenômeno de propagação
real. Esse distanciamento é ainda maior quando o mesmo procedimento é adotado
para hastes verticais. Ademais, como a modelagem baseada na teoria de linhas é
geralmente realizada no domínio do tempo para o fenômeno específico investigado,
ela não permite a inclusão da variação dos parâmetros do solo com a freqüência. Isso
implica também que apenas uma freqüência representativa do espectro é considerada
para o cálculo dos parâmetros do modelo de linha de transmissão.
Em geral, a principal vantagem do emprego de metodologias baseadas na
teoria de linhas de transmissão no domínio do tempo em relação ao emprego de
metodologias baseadas na teoria de campo no domínio da freqüência é que aquelas,
normalmente, demandam menor tempo computacional para os cálculos. Outra
vantagem importante é que o desenvolvimento no domínio do tempo permite a
inclusão direta de modelos que contemplam os efeitos não lineares. Em alguns casos,
a opção por esses modelos pode ainda estar relacionada com a maior facilidade de
integração com softwares da série EMTP ou similares.
As metodologias baseadas na teoria de circuitos a parâmetros concentrados
modelam os componentes de sistemas de aterramentos por associações simples de
elementos RLC. Este tipo de modelagem pode ser desenvolvida no domínio da
freqüência ou ainda utilizando programas computacionais que operem no domínio do
tempo como softwares da série EMTP ou similares. Os modelos oriundos desta
abordagem em geral não incluem de forma adequada o acoplamento entre os
componentes do aterramento além de desconsiderar os efeitos de propagação. Esta
última aproximação particularmente limita a aplicabilidade desta metodologia a
freqüências da ordem de poucos kHz.
Resta agora responder a importante pergunta que dá título a esta seção: qual
tipo de modelagem adotar? A resposta a essa questão deve levar em conta dois
aspectos principais: o conhecimento adquirido por meio da revisão da literatura
apresentada e, ainda, a contemplação das características desejáveis de um modelo.
54
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
Em relação ao primeiro aspecto deve-se salientar que o modelo a ser proposto
é fruto da evolução do tema desde o início da década de 30. Uma análise dos erros e
acertos, que resultaram em grandes contribuições dos pesquisadores ao longo dos
anos, é de fundamental importância para formulação de um modelo fiel à realidade e
desprovido de simplificações inconsistentes. Como disse certa vez o gênio Isaac
Newton, “para enxergar mais longe é preciso se apoiar no ombro de gigantes”.
O segundo aspecto está relacionado com a precisão, simplicidade e
adequação do modelo. Na medida do possível deve-se buscar uma harmonia entre as
duas primeiras características citadas com vistas à obtenção de um modelo adequado.
Devido a carência de resultados experimentais para verificação das diferentes
abordagens entende-se que o melhor caminho é adotar aquela que se baseia na
descrição física mais apurada do fenômeno investigado. Portanto, a teoria de campo
será adotada para formulação do modelo. Além disso, é objetivo deste trabalho
modelar
sistemas
de aterramentos
inseridos
em
solos
típicos.
Assim,
os
desenvolvimentos e cálculos são realizados diretamente no domínio da freqüência,
que permite a inclusão da variação dos parâmetros eletromagnéticos do meio com a
freqüência. As eventuais simplificações adotadas são definidas no Capítulo 4. Elas
têm o objetivo principal de reduzir o tempo computacional e evitar uma elevada
complexidade do modelo, que pode ser desnecessária. Os erros associados devem
ser explicitados e, conforme destacado na seção 3.4, o modelo atualizado de forma a
reduzi-los, por meio de melhorias e refinamentos.
3.6 – Conclusões
A visão crítica e análises apresentadas nesse capítulo não têm por objetivo
desqualificar os trabalhos citados. Na verdade, é anseio dos pesquisadores envolvidos
no desenvolvimento dessa dissertação de mestrado incitar uma discussão acerca do
domínio de aplicabilidade dos diversos modelos disponíveis na literatura para
investigação da resposta de aterramento frente às descargas atmosféricas. É
consenso entre os diversos pesquisadores que os efeitos das descargas atmosféricas
são devastadores para os componentes do sistema elétrico. Nesse sentido, entendese que, ao propor um modelo para analisar o comportamento transitório do sistema, o
mínimo de simplificações deve ser adotado. Não se deve insistir em adotar
metodologias simplórias para investigação de um fenômeno tão sério e devastador.
Porém, a necessidade de respostas rápidas para solução de alguns problemas deve
55
Capítulo 3 – Fronteiras da Modelagem de Aterramentos Elétricos
ser levada em conta. Isso ocorre principalmente no atual mercado de empresas de
consultoria em engenharia elétrica. Nesses casos, modelos mais simplificados podem
ser adotados para análises qualitativas. O que não se pode confundir é a definição de
modelos de engenharia com aqueles que oferecem respostas rápidas. Um modelo de
engenharia deve oferecer, além de rapidez, respostas precisas e consistentes com a
realidade física. Cabe aqui lembrar mais uma vez a importância do conhecimento dos
conceitos básicos e leis da física relacionadas ao fenômeno investigado. Vale
ressaltar,
ainda,
a
importância
desempenhada
pelo
trabalho
de
pesquisa,
principalmente aquele realizado em parceria com empresas de engenharia aplicada.
Espera-se apresentar, com base nas reflexões deste capítulo, um modelo que
represente de forma consistente o comportamento transitório do aterramento.
Obviamente simplificações serão assumidas; elas são inerentes ao conceito de
modelo. No entanto, essas simplificações serão adotadas de forma que o fenômeno
representado não seja distorcido. Espera-se, ainda, que esse trabalho gere muitas
publicações e que elas sejam apreciadas e criticadas por diversos outros
pesquisadores, assim como alguns trabalhos foram aqui criticados. Essas críticas com
certeza serão fundamentais para o desenvolvimento de modelos cada vez mais
precisos e, quem sabe, para a mudança na visão do que deve ser um verdadeiro
modelo de engenharia.
CAPÍTULO 4 – MODELAGEM DE
ATERRAMENTOS ELÉTRICOS PARA
FENÔMENOS TRANSITÓRIOS
4.1 – Introdução
No presente capítulo é apresentado um modelo matemático para avaliação da
resposta transitória de sistemas de aterramento. Levando-se em consideração o
escopo desta dissertação, o conteúdo que será aqui abordado possui particular
importância. Neste sentido, o autor convida os leitores a fazerem um balanço do que
foi desenvolvido até o momento.
No Capítulo 1 foi apresentada uma contextualização do tema investigado e
destacados os objetivos principais desta dissertação, dentre eles, a avaliação do
comportamento transitório de sistemas de aterramento. No Capítulo 2 foram
apresentados os conceitos considerados mais relevantes para compreensão da
resposta de aterramentos elétricos a correntes impulsivas de altas freqüências e
destacadas as variáveis e fenômenos que influenciam seu comportamento. No
Capítulo 3 foram analisadas algumas metodologias presentes na literatura técnica
(nacional e internacional) de modelagem de aterramento e dos fenômenos associados
ao seu comportamento com o objetivo de estimar sua resposta transitória. Restam
ainda alguns pontos importantes a serem desenvolvidos nesta dissertação, dentre
eles, um dos principais objetivos do trabalho: a avaliação do comportamento de
sistemas de aterramentos frente à injeção de correntes advindas da incidência de
descargas atmosféricas. Como avaliar tal comportamento? A resposta a essa
pergunta, levando-se em consideração as importantes reflexões técnicas e filosóficas
oriundas dos capítulos anteriores, é o objetivo principal deste capítulo.
O modelo a ser descrito contempla os aspectos destacados como
fundamentais ao longo e, principalmente, ao final do Capítulo 3. Assim, o modelo é
baseado na solução das equações de campo no domínio da freqüência e procura
estabelecer uma harmonia entre precisão e simplicidade, atendendo ao conceito de
características desejáveis. Alguns aspectos do modelo em questão correspondem à
tese de doutorado desenvolvida por S. Visacro [70]. Todavia, determinados pontos não
abordados no trabalho deste autor são inseridos nesta dissertação como, por exemplo,
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
57
a inclusão do método das imagens modificado e solução do modelo por meio da
aplicação do Método dos Momentos. Devido à generalidade da metodologia
apresentada por Visacro, ela foi posteriormente ampliada para consideração dos
acoplamentos entre elementos no ar e no solo e, em seguida, aplicada para avaliação
do desempenho de linhas de transmissão frente a descargas atmosféricas e dos
efeitos de contaminação das ondas de corrente de descargas atmosféricas medidas
em torres instrumentadas [14], [72]. Os aspectos básicos da modelagem proposta são
apresentados na seção 4.3 deste capítulo. Antes, na seção 4.2, são apresentadas as
equações fundamentais que regem o modelo desenvolvido, as equações de Maxwell.
Adicionalmente, ao fim do capítulo são destacados alguns detalhes adicionais
importantes concernentes ao modelo.
4.2 – Equações de Maxwell e a essência do Eletromagnetismo
Entre os anos de 1856 e 1864, James Clerk Maxwell apresentou três artigos
essenciais para fundamentação e formulação da teoria eletromagnética como é hoje
conhecida [87]-[92]. Neles, Maxwell analisou e sintetizou as contribuições relativas ao
eletromagnetismo dadas por H. C. Oersted, J. C. F. Gauss, A. M. Ampère, M. Faraday,
J. Henry, J. Biot, F. Savart e outros incluindo ele próprio, quem introduziu o conceito
essencial de corrente de deslocamento. Nos dois primeiros artigos (Sobre as linhas de
força de Faraday de 1856 e Sobre linhas de forças físicas de 1862), Maxwell analisa e
escreve sob a forma diferencial as leis de Ampère e Faraday, deduz a equação da
continuidade para circuitos fechados e chega ao conceito de corrente de
deslocamento que é incluída na lei de Ampère [90], [91]. No terceiro artigo, Uma teoria
dinâmica do campo eletromagnético (1864), todas as equações deduzidas nos artigos
anteriores são colocadas juntas e o termo campo eletromagnético é introduzido [92].
Maxwell define o campo eletromagnético como aquela parte do espaço que contém e
envolve corpos em condições elétricas e magnéticas. Neste artigo, Maxwell apresenta
também seus resultados em vinte equações para as variáveis que ele denomina de
momento eletromagnético, intensidade magnética, força eletromotriz, corrente
verdadeira, corrente de deslocamento, corrente total e finalmente duas quantidades
escalares, eletricidade livre (carga elétrica) e potencial elétrico. Em seu trabalho
original escreveu todas as suas equações como somas de derivadas e usou letras
diferentes para cada um dos três componentes de um vetor. Escreveu uma equação
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
58
para cada componente. A Tabela 4.1 ilustra os termos utilizados originalmente por
Maxwell e os termos correspondentes em notação moderna.
Tabela 4.1 – Conjunto de vinte variáveis utilizadas por Maxwell em seu trabalho Uma teoria
dinâmica do campo eletromagnético [87], [89], [92].
Variáveis utilizadas por Maxwell
Símbolos utilizados por Maxwell
(equivalente moderno)
(equivalente moderno)
Momento eletromagnético
(Potencial vetor magnético)
F , G, H
r
(A)
Intensidade magnética
α , β ,γ
(Intensidade de campo magnético)
r
(H )
Força eletromotriz
P, Q, R
r
(E )
p, q, r
r
(J )
(Intensidade de campo elétrico)
Corrente verdadeira
(Densidade de corrente de condução)
Deslocamento Elétrico
f , g, h
r
(D)
(Densidade de fluxo elétrico)
Corrente total
(Densidade de corrente de condução e
( p, q , r )
1
= ( p , q, r ) +
d ( f , g, h)
dt
r
de deslocamento)
( JT )
Eletricidade livre
e
(Densidade volumétrica de carga)
( ρv )
Potencial elétrico
ϕ
(Potencial escalar elétrico)
( ϕ ou V )
Depois de apresentar todas as equações e as relações entre elas, Maxwell
parte para investigar se as propriedades que constituem o campo eletromagnético são
suficientes para explicar a propagação da luz através da substância etérea ainda em
uso na época. Chega às equações de onda para os três componentes do campo
magnético, com a velocidade das vibrações transversas comparável à velocidade da
luz no vácuo. Conclui: “O acordo dos resultados parece mostrar que a luz e o
magnetismo são efeitos da mesma substância, e que a luz é um distúrbio
eletromagnético propagando através do campo de acordo com leis eletromagnéticas”
[89].
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
59
Uma síntese coerente da eletricidade, magnetismo e óptica foi finalmente
apresentado por Maxwell em 1873 em seu livro (em dois volumes), Um tratado sobre
eletricidade e magnetismo em que desenvolveu a interpretação dinâmica do
eletromagnetismo [93].
Maxwell faleceu em 1879. Nos anos seguintes, sua teoria foi desenvolvida por
vários pesquisadores. R. H. Hertz conduziu uma série de experiências fundamentais
onde se propôs detectar ondas eletromagnéticas, além da luz, e medir suas
velocidades. Ele produziu essas ondas usando dois fios ligados a uma bobina de arco
metálico, cujas extremidades ficavam próximas uma da outra, e por onde faíscas
podiam ser observadas (devido à corrente induzida no arco). Por meio desses
experimentos, Hertz não só produziu ondas eletromagnéticas, mas demonstrou que
elas tinham as propriedades de reflexão, refração e interferência. Em 1889 apresentou
uma análise teórica das ondas emitidas por um radiador relacionando-as com suas
fontes.
Em 1894 o físico britânico O. J. Lodge foi o primeiro a fazer uso das ondas
hertzianas (como eram chamadas) para telegrafia sem fio, porém não pensou que o
fenômeno pudesse ter utilidades práticas. Esse feito coube ao célebre engenheiro N.
Tesla que, em 1896, fez a primeira comunicação sem fio entre dois pontos distantes
na cidade de Nova York e, posteriormente, ao engenheiro italiano G. Marconi que, em
1901, fez a primeira comunicação transatlântica [89].
Oliver Heaviside também possui um papel importante na divulgação das idéias
de Maxwell [94]. Ele analisou em detalhes as conseqüências da teoria de Maxwell e
estudou vários tipos de ondas eletromagnéticas. Em um artigo publicado em 1884
usou relações de simetria entre forças elétricas e magnéticas na formulação das
equações do eletromagnetismo. Em seu livro Teoria Eletromagnética publicado em
1893 usou pela primeira vez a notação vetorial escrevendo rot e div em negrito [94].
Essa notação seria amplamente adotada desde então e as vinte equações originais
escritas por Maxwell foram reduzidas às seguintes quatro equações para meios
homogêneos, lineares e isotrópicos, no domínio do tempo [42]-[45]:
r r ρ
∇•E = v ,
ε
r
r r
∂B
,
∇×E = −
∂t
r r
∇•B = 0,
(4.1)
(4.2)
(4.3)
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
r
r r
r
∂E
.
∇ × B = µ J + εµ
∂t
60
(4.4)
Em algumas representações, as equações (4.1)-(4.4) são escritas utilizando as
relações constitutivas da matéria, ou seja [42]-[45]:
r
r
D =εE ,
(4.5)
r
r
B = µH ,
r
r
J =σE .
(4.6)
(4.7)
Os campos podem ainda ser escritos em termos de dois potenciais, potencial
r
escalar elétrico ( V ) e potencial vetor magnético ( A ). As relações entre os campos
eletromagnéticos e tais potenciais são dadas por [42]-[45]:
r r r
B = ∇× A ,
r
r
r
∂A
.
E = −∇ V −
∂t
(4.8)
(4.9)
As equações de Maxwell (4.1)-(4.4) sintetizam todo o conhecimento relativo à
teoria de campos eletromagnéticos e constitui-se a base da engenharia elétrica. Tais
equações despertam tanta admiração, que certa vez ao se ver envolvido pela rara
beleza das equações de Maxwell o físico Boltzmann, citando as palavras do Fausto de
Goethe, perguntou: “Terá sido um Deus quem escreveu tais símbolos?”.
Como obter um modelo para avaliação do comportamento eletromagnético de
sistemas de aterramento a partir das equações de Maxwell? A resposta a essa
importante questão é apresentada de forma detalhada na seção que se segue.
4.3 – Modelo matemático
Deseja-se obter, a partir das equações de Maxwell, um modelo matemático
para avaliação da resposta transitória de sistemas de aterramentos elétricos. O
sistema a ser modelado, ilustrado na Fig. 4.1, é constituído por uma malha de
aterramento genérica imersa em um solo real de características eletromagnéticas
condutividade elétrica σs, permissividade elétrica εs e permeabilidade magnética µs.
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
61
Acima do solo e separado por uma interface horizontal está o meio ar com
características eletromagnéticas condutividade elétrica σa, permissividade elétrica εa e
permeabilidade magnética µa. Considera-se que a condutividade elétrica da malha de
aterramento é muito superior à do solo. Ao ser solicitado por uma onda de corrente i(t),
uma descarga atmosférica, por exemplo, é de fundamental importância o
conhecimento do comportamento transitório do sistema de aterramento. Esse
comportamento transitório pode ser previsto de forma confiável por meio da obtenção
de um modelo que seja fisicamente consistente. Uma descrição de tal modelo é
apresentada a seguir.
Figura 4.1 – Sistema físico sob estudo.
4.3.1 – Condutores imersos em um meio infinito
Para fins de aplicação na avaliação do desempenho de sistemas de
aterramento, interessa desenvolver uma formulação aplicável a configurações
genéricas de eletrodos, que seja eficiente do ponto de vista computacional e
consistente com a física do problema. O modelo a ser apresentado é utilizado,
principalmente, para o estudo do comportamento eletromagnético de sistemas de
aterramento constituídos de condutores cilíndricos, que corresponde às aplicações
práticas de interesse. Tendo em vista tais considerações, é apresentada uma forma
compacta de representação do aterramento, baseada em simplificações consistentes,
que mantenham as informações físicas essenciais do fenômeno investigado. Nesta
abordagem, o comportamento global do aterramento é obtido a partir da superposição
dos efeitos transversais e longitudinais para uma geometria cilíndrica correspondente
aos eletrodos [70].
Cada eletrodo é considerado fonte de uma densidade de corrente transversal
IT / L (sendo L o comprimento do eletrodo) que dispersa do condutor em direção ao
solo e de uma corrente longitudinal IL que circula ao longo do eletrodo, conforme ilustra
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
a Fig. 4.2 [14], [70], [72].
62
Assume-se que ambas as fontes possuem variações
harmônicas no tempo. Essas duas fontes de corrente são necessárias e suficientes
para que o sistema sob estudo atenda as condições físicas impostas por todas as
equações de Maxwell. A fonte de corrente transversal, devido ao fato de possuir
natureza divergente, apresenta efeito elétrico, mas não magnético, conforme as
equações (4.1) e (4.3). A cada fonte de corrente transversal está associado um campo
elétrico de natureza conservativa. Este campo gera elevação de potencial em relação
ao infinito em pontos genéricos no meio em que o eletrodo se encontra inserido,
inclusive nos demais eletrodos. Por outro lado, a fonte de corrente longitudinal, devido
ao fato de possuir natureza solenoidal, apresenta efeito eletromagnético, conforme as
equações (4.2) e (4.4). A cada fonte de corrente longitudinal está associado um campo
magnético, que por sua vez, gera um campo elétrico de natureza não-conservativa. O
efeito deste campo elétrico de natureza solenoidal se traduz na força eletromotriz
induzida em outros eletrodos e nele próprio. Pode-se afirmar, portanto, que as duas
fontes de corrente descritas são particularmente adequadas para a formulação e
solução dos campos eletromagnéticos oriundos de sistemas de eletrodos energizados.
A dedução desses campos, associados a cada fonte de corrente, é apresentada a
seguir.
Figura 4.2 – Fontes de corrente em cada eletrodo.
Seja um meio linear, homogêneo e isotrópico, caracterizado por uma constante
de propagação γ , para grandezas com variação harmônica no tempo de freqüência
angular ω , sendo
γ = jωµ (σ + jωε ) = α + jβ ,
(4.10)
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
63
onde µ , σ e ε são a permeabilidade magnética, a condutividade elétrica e a
permissividade elétrica do meio, respectivamente, e α
e β
correspondem à
constante de atenuação e à constante de defasamento, respectivamente.
Considere-se uma densidade de carga volumétrica p v distribuída dentro de
uma esfera inserida neste meio e variando harmonicamente no tempo. Se o raio dessa
esfera tender a zero, a distribuição de carga p v tende a uma carga pontual Q com
pulsação harmônica no tempo, ou seja [95], [96]:
Q = Qe jωt .
(4.11)
r
Sendo r a distância entre um ponto genérico no meio e o centro da esfera e ar o
r
vetor unitário na direção radial, o potencial escalar V e o vetor campo elétrico EV
associados à carga Q , são dados por:
1 Q −γ r

V = 4πε r e
.
r
r
E = −∇V = 1 Q (1 + γ r ) e−γ r ar
r
 V
4πε r 2
(4.12)
Considere-se agora uma corrente elétrica IT fluindo para fora da esfera
considerada. A relação entre a corrente IT , incluídas a corrente de condução e a
corrente de deslocamento, e a carga Q é dada por:
Q=
ε
σ + jωε
IT ,
(4.13)
sendo
IT = IT e jωt .
A partir das equações (4.13) e (4.14), (4.12) pode ser reescrita como
(4.14)
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
1
IT −γ r

 V = 4π (σ + jωε ) r e

.
r
r
r
1
I
−
r
γ
T
 E = −∇V =
(1 + γ r ) e ar
 V
4π (σ + jωε ) r 2
64
(4.15)
As equações (4.12) e (4.15) foram deduzidas considerando-se uma distribuição
de carga e uma fonte de corrente transversal pontuais. Seja agora um eletrodo
cilíndrico genérico de comprimento L j , designado por eletrodo emissor (índice j),
conforme ilustra a Fig. 4.3, do qual dispersa uma corrente total I Tj . Assumindo-se que
o comprimento L j é suficientemente pequeno, por razões que se tornarão claras
adiante no texto, pode-se considerar a corrente total I Tj distribuída uniformemente ao
longo do eletrodo e o efeito transversal deste pode ser representado como uma soma
finita de fontes de corrente transversal pontuais. Dessa maneira, a partir das Equações
(4.15), o potencial escalar médio no ponto P , gerado pela corrente transversal total
I Tj injetada no meio por todo o comprimento do eletrodo é dado por [14], [72]:
V=
ITj e−γ r
1
dl j .
4π (σ + jωε ) L∫j L j r
Figura 4.3 – Eletrodo emissor (j) e distâncias ao ponto P.
(4.16)
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
65
Suponha-se agora que o ponto P está sobre a superfície de outro eletrodo,
designado por eletrodo receptor (índice i), de comprimento L i , conforme ilustra a Fig.
4.4. Nesta condição, o potencial escalar médio ao longo do eletrodo receptor, devido à
densidade de corrente linear que deixa o eletrodo emissor é dado por [14], [72]:
1

 Vij = L ∫ V dli
i Li


1
V =
 ij 4π (σ + jωε ) L j L i

e −γ r
I
Tj
∫ ∫ r dl j dli
Li L j
.
(4.17)
Figura 4.4 – Eletrodo emissor (j) e distâncias ao eletrodo receptor (i).
Um procedimento similar pode ser adotado para obtenção dos campos e
potenciais associados à fonte de corrente longitudinal. Considere uma corrente
longitudinal filamentar I Lj fluindo ao longo do eletrodo emissor ilustrado na Fig. 4.3. O
r
r
potencial vetor A e o vetor campo elétrico EA no ponto P devido a essa corrente são
dados por [45]:
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
r µ
e−γ r r
A = 4π ∫ ILj r dl j
Lj

r
r
µ
E = − jωA
= − jω
A

4π

e −γ r r
∫ ILj r dl j
Lj
,
66
(4.18)
sendo
I Lj = I Lje jωt .
(4.19)
Suponha-se agora que o ponto P está sobre a superfície de outro eletrodo,
designado por eletrodo receptor, de comprimento L i , conforme ilustra a Fig. 4.4.
Nesta condição, a força eletromotriz induzida no eletrodo receptor, devida à corrente
longitudinal I Lj ao longo do eletrodo emissor, é dada por [14], [72]:
r
r
∆Vij = EA ⋅ dli
∫

Li

.

e −γ r r r
µ
∆Vij = − jω
ILj
dl j ⋅ dli
4π L∫i L∫j
r

(4.20)
As equações integrais (4.17) e (4.20) definem o modelo matemático. A partir da
determinação das distribuições de corrente I Tj e I Lj as demais grandezas de
interesse podem ser calculadas. Definido o modelo matemático deve-se proceder à
solução do mesmo por meio da aplicação de uma técnica adequada. A escolha desta
técnica é crítica para o desenvolvimento do modelo, posto que ela deve manter um
compromisso entre precisão, complexidade do código computacional resultante e
tempo de processamento. Os detalhes concernentes à solução do modelo são
apresentados na seção seguinte. Antes, porém, julga-se oportuno alguns comentários
com relação ao modelo apresentado.
As equações (4.17) e (4.20) são essenciais para interpretação do modelo e
quantificam uma informação física fundamental para o fenômeno investigado: a
interação eletromagnética entre os diversos eletrodos. As equações (4.17) podem ser
interpretadas fisicamente como a interação eletromagnética entre dois eletrodos
quaisquer devido às fontes transversais, onde Vij é a elevação de potencial médio em
relação ao infinito no eletrodo receptor devido ao campo elétrico divergente associado
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
67
à corrente transversal I Tj no eletrodo emissor. As equações (4.20) podem ser
interpretadas fisicamente como a interação eletromagnética entre dois eletrodos
quaisquer devido às fontes longitudinais, onde ∆Vij é a força eletromotriz induzida no
eletrodo receptor devido ao campo elétrico solenoidal associado à corrente longitudinal
I Lj no eletrodo emissor. A completa avaliação do comportamento de cada eletrodo
deve contemplar os efeitos físicos característicos de ambas as fontes, transversal e
longitudinal.
r
De acordo com as Equações (4.15) e (4.18) o vetor campo elétrico total E no
ponto P é dado por:
r r
r
E = EV + EA ,
(4.21)
r
onde a parcela EV está associada à natureza divergente do campo elétrico e a
r
parcela EA está associada à natureza solenoidal do campo elétrico.
Da mesma forma, a tensão entre dois pontos genéricos a e b , Vab , é dada
por:
b r
b r
r
r
Vab = ∫ E ⋅ dl = ( Va − Vb ) + ∫ E A ⋅ dl ,
a
(4.22)
a
r
sendo d l o vetor diferencial de comprimento na direção do caminho de integração
entre os pontos a e b ; Va e Vb os potenciais nos pontos a e b , respectivamente,
r
devidos somente ao campo elétrico EV , ou seja, independentes do caminho de
b
integração;
r
∫E
A
r
r
⋅ dl a parcela da tensão devida ao campo elétrico EA , que depende
a
do caminho de integração.
É importante ainda salientar a relação entre a corrente longitudinal IL e a
corrente transversal total IT em cada eletrodo. Em princípio, considerando-se que
ambas as fontes de corrente são função da posição ao longo do eletrodo, a relação
mais geral entre elas seria:
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
IL = IL ( l )

 I T ( l ) dI L ( l ) .
=

dl
 L
68
(4.23)
As equações (4.23) expressam fisicamente o princípio da conservação da
carga, ou seja, a variação da corrente longitudinal ao longo do eletrodo corresponde
exatamente à corrente que foi dispersa para o meio em que o eletrodo se encontra
inserido.
4.3.2 – Solução do modelo matemático
Conforme destacado na seção anterior, a partir da determinação das
distribuições de corrente I Tj e I Lj outras grandezas de interesse podem ser
calculadas. Portanto, o problema consiste em solucionar as equações integrais (4.17)
e (4.20). Um método adequado para obtenção da solução de tais equações é o
Método dos Momentos (MoM) [42], [56]. A aplicação do MoM permite a redução de
uma equação integral a um sistema de equações lineares cuja solução pode ser obtida
por meio de algoritmos numéricos de inversão de matrizes [56].
O procedimento inicial consiste em discretizar o sistema sob estudo,
constituído de eletrodos cilíndricos, em N elementos uniformes cada um de
comprimento l =
Le
, sendo Le o comprimento do eletrodo. A razão entre o
N
comprimento e o raio de cada elemento é muito maior que a unidade, o que permite a
aproximação por correntes filamentares. Além disso, o comprimento de cada elemento
é suficientemente pequeno de forma que a corrente total que dispersa do mesmo pode
ser considerada distribuída uniformemente ao longo de l . Essas considerações são
fundamentais e importantes no auxílio da escolha de funções base adequadas para
representação das distribuições de corrente desconhecidas I Tj ( l ) e I Lj ( l ) . Tal
escolha deve ser condizente com a variável física investigada, além de minimizar,
sempre que possível, o esforço computacional de implementação.
A corrente transversal total pode ser representada por uma combinação linear
de N funções base PTn ( l ) . Em geral, a corrente I Tj ( l ) em qualquer ponto ao longo do
eletrodo é dada por [42], [56]:
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
69
N
ITj ( l ) = ∑ cTn PTn ( l ) ,
(4.24)
n =1
onde cTn são coeficientes desconhecidos e a função base PTn ( l ) é definida como [42],
[56]:
0

PTn ( l ) = 1
0

L < ( n − 1) l
( n − 1) l ≤ L ≤ nl .
(4.25)
L > nl
Mas, de acordo com as equações (4.24) e (4.25), o coeficiente cTn corresponde
à corrente transversal ITn do elemento n , ou seja,
0

cTn ( l ) =  I Tn
0

L < ( n − 1) l
( n − 1) l ≤ L ≤ nl
.
(4.26)
L > nl
A partir das equações (4.24)-(4.26), a segunda das equações (4.17) pode ser
reescrita, para um elemento qualquer, como
Vij =
1
4π (σ + jωε ) l jl i
N
 e −γ r
I
P
l
dl j dli .
Tn Tn ( ) 
∫l l∫ ∑
r
n
=
1

i j
(4.27)
Partindo da premissa de que a integral (4.27) não apresenta pontos de
singularidade, a integração e a somatória podem ser permutados, então
1
Vij =
4π (σ + jωε ) l jl i
e −γ r
ITn ∫ ∫ PTn ( l )
dl j dli .
∑
r
n =1
li l j
N
(4.28)
Para determinação dos N coeficientes desconhecidos cTn em (4.24), ou, em
outras palavras, para determinação da corrente transversal ITn em cada elemento são
necessárias N equações linearmente independentes. Para um determinado n e
fazendo-se j = n , a equação (4.28) fornece a elevação de potencial médio em relação
ao infinito no elemento i devida à corrente transversal que deixa o elemento n . Agora,
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
70
fixando-se o índice i na equação (4.28) e variando o índice n de 1 até N e fazendo
j = n , têm-se a elevação de potencial médio no elemento i devida às contribuições de
todos os elementos, ou seja:
Vi = IT 1
1
4π (σ + jωε ) l1l i
+... + ITN
∫ ∫ PT1 ( l )
l i l1
1
4π (σ + jωε ) l N l i
e−γ r
1
dl1dli + IT 2
r
4π (σ + jωε ) l 2l i
∫ ∫ PT 2 ( l )
li l 2
e−γ r
dl2 dli +
r
−γ r
e
∫ ∫ P (l) r
TN
dlN dli .
(4.29)
li l N
Mas, variando-se o índice i de 1 até N obtêm-se N equações linearmente
independentes cada uma interpretada como o potencial médio em cada elemento,
assim
1
4π (σ + jωε ) l 1l 1
V1 = I T 1
∫ ∫ PT 1 ( l )
l1 l 1
e −γ r
1
dl1dl1 + ... + I TN
r
4π (σ + jωε ) l N l 1
PTN ( l )
∫∫
l1 l N
e −γ r
dl N dl1
r
. (4.30)
.
.
.
VN = I T 1
1
4π (σ + jωε ) l 1l N
−γ r
e
∫ ∫ P (l ) r
T1
dl1dl N + ... + I TN
l N l1
1
4π (σ + jωε ) l N l N
−γ r
e
∫ ∫ P (l) r
TN
dl N dl N
lN lN
As N equações (4.30) podem ser reescritas na forma matricial
V = ZT I T ,
(4.31)
onde V corresponde ao vetor elevação de potencial médio em relação ao infinito em
cada elemento, IT ao vetor de corrente transversal em cada elemento e ZT é definida
como matriz de impedância transversal. A dimensão dos vetores V e IT é N x 1 e da
matriz ZT é N x N, em que N é o número total de elementos.
Os termos na matriz de impedância transversal ZT são dados por:
1
zTij =
4π (σ + jωε ) l jl i
e −γ r
∫ ∫ PTn ( l ) r dl j dli .
li l j
(4.32)
Os termos z Tij correspondem à impedância transversal entre dois elementos,
sendo um deles denominado elemento emissor de corrente (j) e outro receptor (i). Este
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
71
conceito está associado a uma impedância de circuito aberto, também conhecida
como impedância generalizada [56]. A impedância zTij é igual ao potencial médio no
elemento receptor, devido à fonte de corrente transversal no elemento emissor,
dividido pela corrente transversal deste último. Ela representa a interação
eletromagnética entre os diversos elementos e traduz fisicamente os acoplamentos
elétricos (capacitivo e condutivo) próprio e mútuo entre eles. O valor de zTij depende
apenas da geometria do aterramento e das características eletromagnéticas do meio.
A corrente longitudinal pode ser representada por uma combinação linear de N
funções base PLn ( l ) . Em geral, a corrente I Lj ( l ) em qualquer ponto ao longo do
eletrodo é dada por
N
ILj ( l ) = ∑ cLn PTn ( l ) ,
(4.33)
n =1
onde cLn são coeficientes desconhecidos e a função base PLn ( l ) é definida como
L < ( n − 1) l
0

PLn ( l ) = 1
0

( n − 1) l ≤ L ≤ nl .
(4.34)
L > nl
Mas, de acordo com as equações (4.33) e (4.34), o coeficiente cLn corresponde
à corrente longitudinal I Ln do elemento n , ou seja,
0

cLn ( l ) =  I Ln
0

L < ( n − 1) l
( n − 1) l ≤ L ≤ nl .
(4.35)
L > nl
A partir das equações (4.33)-(4.35), a segunda das equações (4.20) pode ser
reescrita, para um elemento qualquer, como
∆Vij = − jω
µ
4π
N
 e −γ r r r
I
P
l
(
)
∫ ∫ ∑ Ln Ln  r dl j ⋅ dli .
l i l j  n =1
(4.36)
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
72
Partindo da premissa de que a integral (4.36) não apresenta pontos de
singularidade, a integração e a somatória podem ser permutados, então
∆Vij = − jω
µ
4π
−γ r
N
e
∑ I ∫ ∫ P (l) r
n =1
Ln
Ln
r r
dl j ⋅ dli .
(4.37)
li l j
Para determinação dos N coeficientes desconhecidos cLn em (4.33), ou, em
outras palavras, para determinação da corrente longitudinal I Ln em cada elemento são
necessárias N equações linearmente independentes. Para um determinado n e
fazendo-se j = n , a equação (4.37) fornece a queda de tensão induzida no elemento i
devida à corrente longitudinal ao longo elemento n . Agora, fixando-se o índice i na
equação (4.37) e variando o índice n de 1 até N e fazendo j = n , têm-se a queda de
tensão induzida no elemento i devida às contribuições de todos os elementos. Por
meio deste raciocínio, de maneira bastante similar ao procedimento adotado para a
fonte de corrente transversal, as quedas de tensão induzidas e correntes longitudinais
em cada elemento podem ser relacionadas de acordo com a seguinte equação
matricial:
∆V = ZL I L ,
(4.38)
onde ∆ V corresponde ao vetor de quedas de tensão em cada elemento, IL ao vetor
de corrente longitudinal em cada elemento e ZL é definida como matriz de impedância
longitudinal. A dimensão dos vetores ∆ V e IL é N x 1 e da matriz ZL é N x N, em
que N é o número total de elementos.
Os termos na matriz de impedância longitudinal ZL são dados por
zLij = − jω
µ
e −γ r r r
P
l
dl j ⋅ dli .
(
)
Ln
4π l∫ l∫
r
i
(4.39)
j
Os termos z Lij correspondem à impedância longitudinal entre dois elementos,
sendo um deles denominado elemento emissor de corrente (j) e outro receptor (i). A
impedância zLij é igual à queda de tensão induzida no elemento receptor, devido à
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
73
fonte de corrente longitudinal no elemento emissor, dividida pela corrente longitudinal
deste último. Ela representa a interação eletromagnética entre os diversos elementos
e traduz fisicamente os acoplamentos magnéticos (resistivo e indutivo) próprio e mútuo
entre eles. O valor de z Lij depende apenas da geometria do aterramento e das
características eletromagnéticas do meio.
A Fig. 4.5 ilustra a distribuição de corrente ao longo do eletrodo de
aterramento, levando-se em consideração as distribuições de corrente propostas para
as fontes transversal e longitudinal. Pode afirmar que, para valores adequados de l ,
as distribuições de corrente propostas constituem uma boa aproximação da
distribuição de corrente real.
I Lj ( l )
l
I Lj ( l )
Figura 4.5 – Distribuição de corrente ao longo do eletrodo.
As equações (4.31) e (4.38) representam, respectivamente, os efeitos das
fontes de corrente transversal e longitudinal, de forma independente. Contudo, o
sistema físico a ser estudado é único e, portanto, não é independente. Logo, tais
equações devem ser acopladas para que possam expressar relações dependentes e,
assim, representar de forma consistente a resposta do sistema a solicitações diversas.
O acoplamento entre os dois sistemas matriciais é realizado por meio de alguns
passos, que são descritos sucintamente a seguir [14].
O primeiro passo corresponde à inversão das matrizes ZT e ZL e obtenção
-1
-1
das matrizes admitância transversal YT = ZT e admitância longitudinal YL = ZL . A
partir dessas relações as equações (4.31) e (4.38) podem ser reescritas como:
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
74
IT = YT V ,
(4.40)
IL = YL ∆V .
(4.41)
O segundo passo corresponde a dois tipos de relacionamentos [10]:
i.
O primeiro corresponde à relação entre o potencial médio de cada elemento,
dado pelos termos do vetor V, e os potenciais nodais do elemento
correspondente. Esta relação determina que o potencial médio do elemento é
expresso pela média aritmética dos potenciais nodais.
ii.
O segundo corresponde à relação entre a queda de tensão em cada elemento,
dada pelos termos do vetor ∆V, e os potenciais nodais do elemento
correspondente. Esta relação determina que a queda de tensão no elemento é
expressa pela diferença entre os potenciais nodais.
A Fig. 4.6 ilustra essas duas relações.
Figura 4.6 – Relação entre queda de tensão ( ∆V ) e elevação de potencial médio ( V ) em
cada elemento com os potenciais nodais do elemento em questão (Vk e Vl).
A aplicação das duas relações descritas para cada elemento permite
reescrever as equações (4.40) e (4.41) da seguinte forma:
IT = YTM VN ,
(4.42)
IL = YLM VN ,
(4.43)
onde VN corresponde ao vetor de tensões nodais, ou seja, cada elemento do mesmo
expressa a tensão em cada nó de conexão entre dois ou mais elementos. Esse vetor
tem dimensão p x 1, onde p corresponde ao número total de nós. Observa-se que com
a transformação das equações (4.40) e (4.41) para as equações (4.42) e (4.43), as
matrizes YT e YL foram substituídas, respectivamente, pelas matrizes YTM e YLM
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
75
(denominadas matrizes modificadas), ambas de dimensão N x p. Tal substituição é
fruto da transformação dos vetores V e ∆V em um único vetor de tensões nodais VN
[14].
O terceiro passo corresponde ao estabelecimento de relações entre as
correntes transversal e longitudinal. A lei de Kirchhoff das correntes é forçada para
cada nó do sistema sob estudo, ou seja, a somatória das correntes que entram (ou
que deixam) um determinado nó é nula. Na aplicação de tais relações a corrente
transversal de cada elemento é dividida igualmente entre os nós extremos do
elemento em questão, conforme ilustra a Fig. 4.7. Por meio desse procedimento, são
estabelecidas relações entre as fontes de corrente transversal e longitudinal ao longo
de todo o eletrodo. Devido às aproximações com relação às funções base utilizadas e
à distribuição da corrente transversal em cada nó, a equação diferencial definida pelas
equações (4.23) é aproximada por uma equação de diferenças. O estabelecimento de
equações de diferença para as correntes em cada nó do sistema sob estudo permite
reduzir as equações (4.42) e (4.43) a uma única equação matricial que assume a
forma [14]:
Ax=b
 a11 a12 K a1 p  VN 1   1 


  
 a21 a22 L a2 p  VN 2  =  0  ,
 M
M
M
M  M   M 


  

 a p1 a p 2 K a pp  VNp   0 
(4.44)
onde:
•
A é a matriz resultante do relacionamento das correntes transversal e
longitudinal para cada nó do sistema sob estudo, de dimensão p X p. Em
termos mais gerais, essa matriz representa uma composição das matrizes
originais ZT e ZL , o que significa que seus termos dependem apenas da
geometria do aterramento e das características eletromagnéticas do meio.
•
x é o vetor dos potenciais nodais VN , de dimensão p X 1.
•
b é o vetor correspondente à injeção de correntes externas, de dimensão p X
1. Este vetor é resultado da aplicação da lei de Kirchhoff das correntes para
cada nó do sistema. Ele possui o valor “1” nos nós em que há injeção de
corrente externa e “0” nos demais nós. No caso da equação (4.44) considerase injeção de corrente apenas em um nó.
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
76
Figura 4.7 – Concentração da corrente transversal nos nós do elemento.
A partir da solução da equação matricial (4.44) e obtenção do vetor VN é
possível computar as correntes transversal e longitudinal em cada elemento, a partir
das equações (4.42) e (4.43), respectivamente, o que permite a determinação das
distribuições de corrente transversal e longitudinal, a partir das equações (4.24) e
(4.33), respectivamente. Obtidas as distribuições de corrente, pode-se calcular outras
variáveis importantes e de interesse na análise de sistemas de aterramentos como
impedância de aterramento, potenciais ao longo da malha de aterramento, tensões
induzidas e campos eletromagnéticos no meio em que a malha se encontra inserida.
4.3.3 – Aspectos adicionais
A. Transformada tempo X freqüência
No modelo descrito o problema transitório é solucionado no domínio da
freqüência. Assim, define-se o sinal de corrente, no domínio do tempo, a ser injetado
no sistema. Este sinal pode ser, por exemplo, uma onda de corrente representativa de
uma descarga atmosférica. A partir da aplicação de uma transformada direta de
Fourier pode-se levantar o espectro de freqüência do sinal em questão e determinar o
conjunto de freqüências de interesse. Para cada uma dessas freqüências o
procedimento exposto na sub-seção 4.3.2 é aplicado. A partir da resposta em
freqüência, a função de transferência H ( jω ) do sistema é obtida. Deve-se salientar
que tal função de transferência é dependente apenas da geometria e características
eletromagnéticas do aterramento e do meio em que está inserido. A partir da
multiplicação, no domínio da freqüência, da função de transferência pela onda
injetada, obtêm-se a resposta do sistema à onda injetada no domínio da freqüência.
Finalmente, aplicando-se uma transformada de Fourier inversa é possível determinar a
resposta do sistema frente à onda de corrente injetada no domínio do tempo.
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
77
Dessa forma, se i ( t ) representa a onda de corrente injetada no sistema de
aterramento e x ( t ) representa a resposta do sistema a essa onda injetada, então
{
}
x ( t ) = F-1 H ( jω ) ⋅ F i ( t )  ,
(4.45)
onde F e F-1 são a transformada direta e inversa de Fourier, respectivamente, ω é a
freqüência angular do sinal injetado.
B. Dependência dos parâmetros do solo em relação à freqüência
Os valores da condutividade e permissividade elétrica do solo variam com a
freqüência. Assim, para fenômenos transitórios rápidos, nomeadamente aqueles
relacionados com a incidência de descargas atmosféricas, é importante a inclusão da
variação dos parâmetros eletromagnéticos do solo ao longo do espectro de interesse
(0 a 1 MHz). Estudos de ordem experimental tentam quantificar, por meio de
expressões aproximadas, a dependência desses parâmetros com a freqüência,
conforme destacado no Capítulo 2. Neste trabalho, a variação da condutividade e da
permissividade do solo em função da freqüência é considerada, salvo indicado o
contrário, segundo o trabalho de Portela [19]. A escolha dessa formulação relaciona-se
ao fato dela se basear em técnicas de medição mais precisas e em um tratamento
mais rigoroso dos dados medidos. Os valores de condutividade e permissividade
elétrica para as freqüências de interesse são determinados a partir da equação (2.4),
apresentada na seção 2.2.5. Neste cálculo, os parâmetros α e ∆i são adotados de
forma a se obter valores medianos e são dados pela equação (2.5).
C. Composição da corrente no meio
A corrente elétrica que eventualmente flui no solo é constituída por duas
parcelas: a corrente de condução e a de deslocamento. A consideração de ambas é
de fundamental importância, uma vez que, dependendo da faixa de freqüência
considerada e da resistividade do solo, a relação entre tais correntes pode alcançar o
valor unitário. No modelo apresentado ambas as parcelas são computadas.
D. Efeitos não-lineares
A dispersão de altas intensidades de corrente do eletrodo corresponde ao
estabelecimento de campos elétricos intensos na região próxima ao mesmo. Tais
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
78
campos podem causar a ionização do solo, que corresponde a um fenômeno nãolinear. A inclusão desse efeito pode ser realizada de forma indireta, dentro de certa
ordem de aproximação, mediante um aumento equivalente no raio do eletrodo de
aterramento. Uma metodologia adequada para tal fim foi apresentada por Cidrás e
outros e descrita na sub-seção 3.5.2 do Capítulo 3 [79].
E. Consideração do meio semi-infinito
Como comentário final desta sub-seção, deve-se salientar que o cálculo dos
termos das matrizes de impedância transversal e longitudinal, conforme apresentados
na sub-seção 4.3.2, são válidos para um meio infinito. Contudo, no caso de sistema de
aterramentos, os eletrodos estão inseridos em um meio que pode ser considerado
como semi-infinito e não infinito. A inclusão do efeito da interface solo-ar é realizada
de forma distinta para as fontes de corrente transversal e longitudinal.
No cálculo dos termos da matriz de impedância transversal são somadas as
parcelas associadas à imagem de cada elemento emissor, multiplicada por um fator
que depende das características eletromagnéticas do meio. Este método é conhecido
na literatura como método das imagens modificado e pode ser aplicado para avaliação
do efeito da interface solo-ar na propagação dos campos eletromagnéticos associados
à fonte de corrente transversal [14], [78]. A partir dessas considerações, a impedância
transversal entre os elementos i e j, é dada por [14]:
zTij =


1
e−γ r
e−γ r '
 ∫ ∫ PTn ( l )
dl j dli + ∫ ∫ Γr PTn ( l )
dl j 'dli  ,
4π (σ + jωε ) l jl i li l j
r
r'

l i l j'

onde Γr =
(σ s + jωε s ) − (σ a + jωε a )
(σ s + jωε s ) + (σ a + jωε a )
(4.46)
é o coeficiente de reflexão e os índices s e a
correspondem ao solo e ar, respectivamente.
No cálculo dos termos da matriz de impedância longitudinal são somadas as
parcelas associadas à imagem simples de cada elemento emissor. Neste caso, o
método das imagens tradicional é empregado para avaliação do efeito da interface
solo-ar na propagação dos campos eletromagnéticos associados à fonte de corrente
longitudinal. A partir dessas considerações, a impedância longitudinal entre os
elementos i e j, é dada por [14]:
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
µ 
e −γ r r r
e− γ r ' r r 
 PTn ( l )
z Lij = − jω
dl j ⋅ dli + ∫ ∫ PTn ( l )
dl j ' ⋅ dli 
4π  l∫ l∫
r
r'

l l

i
j
i
j'
79
(4.47)

Nas equações (4.46) e (4.47) l j , l i e l j ' correspondem aos comprimentos
dos elementos emissor (j), receptor (i) e imagem (j’), respectivamente; dl j , dli e dl j '
correspondem aos elementos diferenciais de comprimento dos elementos emissor (j),
receptor (i) e imagem (j’), respectivamente; r ' corresponde a distância entre a imagem
(j’) e o elemento receptor (i).
Deve-se salientar que a aplicação do método das imagens restringe a
aplicação do modelo a freqüências entre 1 MHz e 2 MHz [62]. A inclusão do efeito da
interface solo-ar é realizada de forma mais precisa mediante a solução das integrais
de Sommerfeld para os campos oriundos dos eletrodos de aterramento. A inclusão de
tais integrais na modelagem de aterramentos foi feita por Grcev e Dawalibi em um
artigo de 1990, porém não são apresentados resultados neste trabalho [55]. Em
trabalhos posteriores, os referidos autores adotam o método das imagens modificado
[57]-[66]. Olsen também inclui as integrais de Sommerfeld na investigação de sistemas
de aterramento; no entanto apenas configurações de aterramento bastante simples
foram analisadas [75]. O trabalho original de Visacro inclui o efeito da interface solo-ar
por meio do método das imagens tradicional tanto para fonte de corrente transversal
quanto para a longitudinal [70].
4.4 – Conclusões
Neste capítulo foram apresentadas as características de um modelo,
desenvolvido com base nas equações de Maxwell, que permite a avaliação da
resposta de sistemas de aterramentos frente a fenômenos transitórios de alta
freqüência. O fato de se basear diretamente nas equações de campo garante uma
generalidade de aplicação do modelo. Assim, o método descrito pode ser aplicado
para configurações genéricas de eletrodos de aterramento. Ademais, a utilização da
metodologia desenvolvida não se restringe somente às análises de propagação de
descargas atmosféricas, mas pode também ser estendida para outras análises em
condições transitórias como, por exemplo, solicitações de baixa freqüência (tipo curto
circuito), considerando-se a injeção de sinais com variação no tempo, que possuam
transformada de Fourier.
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
80
Alguns aspectos do modelo apresentado correspondem à tese de doutorado
apresentada por Visacro [70]. Todavia, algumas contribuições específicas desta
dissertação merecem ser destacadas:
i)
O ponto de partida para a dedução das equações que expressam o modelo
apresentado se baseia na consideração de uma fonte de corrente transversal e
uma fonte de corrente longitudinal inserida no solo, similar à proposta de Visacro
[70]. Entretanto, a obtenção das expressões que quantificam os acoplamentos
eletromagnéticos entre os elementos do aterramento se processa de maneira
relativamente distinta nos dois trabalhos, principalmente aquelas relacionadas ao
acoplamento transversal. No trabalho de Visacro as expressões que definem o
acoplamento transversal são obtidas diretamente da consideração de uma fonte
de corrente transversal. Assim, aparentemente, o potencial escalar elétrico é
determinado a partir de uma expressão incompleta do campo elétrico referente à
fonte transversal de corrente, que não inclui a parcela associada ao efeito de
propagação e que cai com o inverso da primeira potência da distância à fonte.
Nesta dissertação, na determinação do potencial escalar elétrico, parte-se,
primeiramente, de uma carga pontual e, posteriormente, estabelece-se uma
relação entre esta carga e a fonte transversal de corrente. Tal relação permite a
determinação direta do potencial escalar e, a partir dele, o cálculo do campo
elétrico transversal completo, que inclui uma parcela que cai com o quadrado da
distância à fonte e outra que cai com a primeira potência dessa distância,
associada à propagação. A determinação das expressões que definem o
acoplamento longitudinal se processa de maneira bastante similar em ambos os
trabalhos. Vale lembrar apenas que, nesta dissertação, destaca-se de maneira
clara que os acoplamentos longitudinais estão associados ao efeito integral da
parcela não-conservativa do campo elétrico. Deve-se ressaltar que as expressões
obtidas para os elementos das matrizes ZT e ZL, que expressam os acoplamentos
eletromagnéticos entre os diversos elementos, são as mesmas. Todavia, a forma
como foram conduzidas as deduções neste trabalho deixa clara a relação entre a
modelagem proposta e aquela baseada na composição de dipolos de Hertz, uma
vez que a fonte de corrente transversal está associada aos efeitos de carga em
um dipolo e a fonte de corrente longitudinal aos efeitos da corrente que flui ao
longo do dipolo. A Fig. 4.8 apresenta as duas modelagens.
Capítulo 4 – Modelagem de Aterramentos Elétricos para Fenômenos Transitórios
81
l
l
Figura 4.8 – Modelagem proposta e dipolo de Hertz.
ii) Nessa dissertação o efeito da interface solo-ar foi incluído de forma mais
rigorosa por meio da aplicação do método das imagens modificado [14], [78]. A
inclusão deste método a despeito do método das imagens tradicional pode ser
relevante dependendo da freqüência e das características eletromagnéticas do
solo.
iii) A solução do modelo matemático desenvolvido é obtida mediante a aplicação
do MoM. A utilização desse método garante uma maior generalidade, precisão e
robustez à modelagem apresentada. Neste trabalho são utilizadas funções base
do tipo pulso, uma vez que modelam bem a distribuição de corrente no
aterramento. Todavia, funções base mais sofisticadas como, por exemplo, a
triangular podem ser adotadas. A utilização de uma função deste tipo permitiria a
discretização da malha de aterramento em um número menor de elementos, o
que resultaria em ganho computacional. Ademais, a possibilidade de utilização
das mais diversas funções base permite ampliar o campo de aplicação da
modelagem apresentada. Assim, a modelagem de elementos aéreos (torre e
cabos, por exemplo) poderia ser realizada mediante a aplicação da modelagem
desenvolvida e escolha de uma função base adequada a esse tipo de estudo.
A principal aplicação do modelo que se pretende discutir neste trabalho referese à avaliação do desempenho de sistemas de aterramento quando submetidos a
transitórios oriundos da incidência de descargas atmosféricas. Essa avaliação é
complexa e deve contemplar as diversas variáveis associadas aos sistemas de
aterramentos. A análise da resposta transitória de sistemas de aterramentos, com
base na metodologia descrita e a validação do modelo por meio de comparações com
medições
e
outras
modelagens,
é
apresentada
no
capítulo
a
seguir.
CAPÍTULO 5 – MODELAGEM
COMPUTACIONAL E ANÁLISE DA
RESPOSTA TRANSITÓRIA DE
ATERRAMENTOS ELÉTRICOS
5.1 – Introdução
Conforme já comentado, o projeto e dimensionamento de sistema de
aterramento são particularmente importantes no Brasil, devido às características
peculiares do solo, que possui valores (típicos) de resistividade muito elevados se
comparados àqueles de outros países. Tais características conferem uma importância
ímpar ao aterramento elétrico, no que concerne à sua influência no desempenho do
sistema aterrado frente a diversas solicitações. Dentre estas, aquelas advindas da
incidência de descargas atmosféricas possuem particular relevância. Nesse sentido, é
de fundamental importância um estudo aprofundado do aterramento, que inclua
basicamente dois aspectos: i) análise de sensibilidade para o comportamento do
aterramento, quando são consideradas faixas típicas das variáveis envolvidas (por
exemplo, configuração do aterramento e parâmetros do solo); ii)
estimativa do
desempenho do sistema de aterramento quando submetido a solicitações impostas,
principalmente aquelas associadas a surtos atmosféricos. A existência de um modelo
matemático fisicamente consistente para o sistema de aterramento é um requisito
essencial para esse tipo de estudo. A modelagem apresentada no capítulo anterior
apresenta características bastante adequadas no que se refere à sua implementação
computacional para as aplicações de interesse.
Constitui-se, portanto, objetivo principal deste capítulo a apresentação e
aplicação de uma ferramenta computacional, que implementa a modelagem descrita
no Capítulo 4. Uma breve descrição dos aspectos computacionais mais relevantes do
código gerado é feita na seção 5.2. Com o intuito de destacar a efetividade e
potencialidade da ferramenta desenvolvida, apresenta-se uma seqüência de
resultados de simulações envolvendo algumas análises clássicas e outras originais
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
83
deste trabalho. Os resultados gerados podem ser agrupados em dois conjuntos
principais:
i.
Resultados para fins de validação: Comparação dos resultados gerados
pela modelagem apresentada com medições e com os obtidos por
outras filosofias de modelagem de aterramento. Esse conjunto de
resultados tem o objetivo principal de destacar a efetividade da
modelagem apresentada bem como validá-la. A comparação é
apresentada na seção 5.3.
ii.
Resultados para fins de estudo: Análise de sensibilidade para o
comportamento do aterramento dentro de faixas típicas das variáveis
envolvidas e avaliação de seu desempenho quando submetido a surtos
atmosféricos. Esse conjunto de resultados tem o objetivo principal de
destacar a potencialidade da modelagem apresentada para análise e
projeto de sistemas de aterramento. Essa análise é apresentada nas
seções 5.4 e 5.5.
5.2 – Aspectos computacionais básicos
No modelo proposto o problema transitório é solucionado no domínio da
freqüência. Após a determinação do conjunto de freqüências de interesse o
procedimento descrito na sub-seção 4.3.2 é aplicado, para cada uma delas. Esse
procedimento foi implementado, inicialmente, em MATLAB® [97]. A escolha dessa
plataforma foi feita por vários motivos, dentre eles a facilidade de entrada e saída de
dados, facilidade de implementação e similaridade com as linguagens C/C++, além de
ser uma excelente plataforma para realização de testes e implementação de versões
beta. Atualmente, o código desenvolvido está sendo transferido para linguagem C, o
que permite uma redução significativa do tempo computacional, uma vez que é uma
linguagem compilada.
O algoritmo a seguir apresenta os passos seguidos pela ferramenta
computacional desenvolvida para cálculo do aterramento.
1. Entrada de dados
2. Discretização dos eletrodos e numeração dos nós
3. Para cada freqüência simulada
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
84
4. Cálculo dos parâmetros do solo e coeficiente de reflexão
5. Para cada elemento i
6. Para cada elemento j
7. Cálculo das impedâncias transversal e longitudinal entre
os elementos i e j
fim 6
fim 5
8. Obtenção das matrizes de impedância transversal e longitudinal
9. Cálculo das matrizes de admitância transversal e longitudinal
10. Cálculo das matrizes modificadas de admitância transversal e
longitudinal
11. Obtenção do sistema matricial Ax=b
12. Solução do sistema matricial e cálculo das correntes transversal e
longitudinal, da queda de tensão e potencial médio em cada elemento
do eletrodo
fim 3
13. Obtenção de resultados no domínio da freqüência
14. Algoritmo de transformação freqüência x tempo
15. Obtenção de resultados no domínio do tempo
É oportuno destacar alguns aspectos referentes aos principais itens do
algoritmo apresentado:
•
Item 1 – Os dados de entrada constituem-se apenas da geometria do
aterramento (coordenadas do ponto inicial e extensão) e dos parâmetros do
solo (resistividade e permissividade elétrica).
•
Item 2 – A discretização do eletrodo é automática e segue um algoritmo que
garante que a aproximação por correntes filamentares seja válida. Neste
trabalho foi adotado o comprimento de cada elemento igual a 10 vezes o raio
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
85
do eletrodo. A numeração dos nós também é automatizada, de forma a
minimizar o esforço computacional, essencialmente naqueles casos em que há
cruzamento de nós. Deve-se ressaltar que, uma vez que o número de
elementos depende do comprimento e raio dos eletrodos, o tempo
computacional aumenta com a extensão dos eletrodos. Assim, a simulação de
grandes malhas de aterramento pode demandar algumas horas.
•
Item 3 – As freqüências a serem simuladas são determinadas de duas formas
distintas, dependendo do tipo de resultado que se deseja obter. Para
resultados no domínio da freqüência, deve-se, a partir da aplicação de uma
transformada direta de Fourier, fazer o levantamento do espectro de freqüência
da onda representativa da solicitação investigada. A faixa de freqüência
simulada, neste caso, deve ser aquela em que os componentes de freqüência
da solicitação possuem amplitude considerável (no caso de uma onda
representativa da corrente de uma descarga atmosférica, essa faixa é, em
geral, de 100 Hz a 1 MHz). Para resultados no domínio do tempo, além da
análise anterior, deve-se atentar para o conceito de freqüência de amostragem
introduzido por H. Nyquist. A freqüência de amostragem encontra-se
intimamente ligada à precisão da resposta obtida no tempo [54].
•
Item 4 – Os parâmetros do solo, condutividade e permissividade, são
calculados em função da freqüência simulada. O valor da permeabilidade
magnética do solo é adotado igual ao do vácuo. A constante de propagação no
solo é função da freqüência e dos parâmetros eletromagnéticos citados. O
coeficiente de reflexão está relacionado à consideração do meio semi-infinito e
está bem definido na equação (4.46).
•
Item 7 – O cálculo das impedâncias transversal e longitudinal implica na
solução das integrais duplas (4.32) e (4.39). Tais integrais não possuem
solução analítica e foram avaliadas numericamente. Uma extensa pesquisa
para determinação da técnica numérica mais adequada foi realizada, sendo o
método de Gauss-Legendre escolhido [98]. Esse método além de possuir uma
boa precisão para um número reduzido de iterações, em relação a outras
técnicas tradicionais, é de fácil implementação computacional [98]. Neste
trabalho resultados satisfatórios foram obtidos empregando-se 4 pontos de
Gauss.
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
•
86
Itens 8 a 12 - Um aspecto importante com relação à avaliação dos
acoplamentos eletromagnéticos refere-se ao fato de que a formulação
apresentada satisfaz o teorema da reciprocidade [45]. Assim, os campos
eletromagnéticos são os mesmos quando pontos de fonte de corrente e
observação de campo são permutados. Portanto, as matrizes de impedância
transversal e longitudinal, oriundas da aplicação, respectivamente, das
equações (4.46) e (4.47), são simétricas. Essa especificidade permite a
otimização do código e o ganho de tempo computacional na obtenção das
matrizes de impedância (passo 8), admitância (passo 9), admitância modificada
(passo 10) e na obtenção e solução do sistema matricial resultante (passos 11
e 12, respectivamente).
•
Item 13 – A atual versão da ferramenta computacional gera os seguintes
resultados no domínio da freqüência: impedância de configurações básicas de
aterramento, perfis de potencial ao longo da malha de aterramento, potencias
no nível do solo, distribuição de corrente no aterramento, campo elétrico ao
longo do eletrodo e no nível do solo.
•
Item 14 – A transformada freqüência x tempo foi realizada utilizando o
algoritmo de Transformada Rápida de Fourier (FFT) [54]. A escolha desse
algoritmo está relacionada à sua praticidade, por não necessitar de
desenvolvimentos analíticos para ser implementado. Além disso, permite, com
certa facilidade, a consideração de diferentes formas de onda injetada nos
sistemas estudados.
•
Item 15 - A atual versão da ferramenta computacional gera os seguintes
resultados no domínio do tempo: impedância impulsiva de configurações
básicas de aterramento, tensão transitória resultante no ponto de injeção,
potenciais e campo elétrico no nível do solo.
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
87
5.3 – Validação do modelo
5.3.1 – Comparação com resultados experimentais
Analisam-se nesta seção duas configurações de aterramento, que fazem parte
de um conjunto de sistemas de aterramento cuja resposta transitória a correntes
impulsivas foi medida pela Electricité de France (EDF) [99].
Foram medidos os potenciais em relação ao terra remoto em pontos do
sistema de aterramento, resultantes da injeção de correntes com frente de onda
bastante rápida. Os resultados oriundos de tais medições são bastante utilizados na
literatura para aferição de modelos de cálculo de sistemas de aterramento. Um desses
modelos foi apresentado por Grcev e outro por Otero et al., ambos fundamentados em
modelos no domínio da freqüência [65], [76]. No primeiro adota-se uma metodologia
de cálculo mais robusta em que as equações de campo são diretamente solucionadas
a partir da aplicação do Método dos Momentos. No segundo faz-se um cálculo
aproximado, baseado na teoria de circuitos em que são incluídos os acoplamentos
eletromagnéticos, porém desprezados os efeitos de propagação. Y. Liu e outros
também utilizaram os dados experimentais comentados para fins de validação de um
modelo de cálculo no domínio do tempo, baseado na teoria de linhas de transmissão
[84]. Detalhes adicionais dos trabalhos citados podem ser encontrados no Capítulo 3.
Portanto, a intenção desta seção é proporcionar uma primeira comparação
entre os resultados obtidos com a modelagem desenvolvida nesta dissertação com
aqueles obtidos da medição real em sistemas de aterramento.
O primeiro sistema de aterramento está ilustrado na Fig. 5.1 e corresponde a
um eletrodo horizontal de cobre de 15 m, com raio igual a 12 mm e enterrado a 0,6 m
da superfície do solo. De acordo com as poucas informações encontradas nos artigos
referenciados, cita-se apenas que o solo possui resistividade elétrica de 70 Ω.m e
permissividade elétrica relativa estimada em 15, não sendo mencionadas quaisquer
variações desses parâmetros com a freqüência. Também, não há maiores detalhes
sobre a injeção da corrente e sobre a forma em que as medições foram efetuadas,
mas apenas que a injeção de corrente foi feita numa das extremidades do cabo e que
foram medidas os potenciais no ponto de injeção e a 3,5 m e 7 m do mesmo, em
relação ao terra remoto.
Em função das poucas informações apresentadas, para realização da
simulação computacional, as seguintes considerações foram assumidas:
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
i.
88
A escassez de informações sobre a corrente injetada dificulta a reprodução da
forma de onda para fins de simulação. Na simulação a forma de onda foi
aproximada por uma dupla exponencial, ilustrada na Fig. 5.2, na tentativa de
reproduzir a corrente real injetada apresentada por Grcev [65].
ii.
Adotou-se um modelo de solo com condutividade do solo σ s e permissividade
elétrica ε s invariantes com a freqüência e iguais a:
σs =
1
S/m
70
ε s = 15ε 0 F / m
Os resultados experimentais e aqueles obtidos por Grcev estão ilustrados na
Fig. 5.3. Sob as considerações citadas, por meio da ferramenta computacional
desenvolvida nesta dissertação, foram obtidos os resultados ilustrados na Fig. 5.4.
De um modo geral os resultados da simulação são bastante próximos das
medições e daqueles calculados por Grcev [65]. O ajuste entre as formas de onda
medidas e calculadas foi bastante razoável, o que corrobora a efetividade da
modelagem apresentada. Além disso, acredita-se que com uma melhor modelagem da
onda de corrente injetada no eletrodo, com a representação mais apurada,
principalmente, da frente de onda, seriam obtidos valores calculados bem mais
próximos dos valores medidos disponibilizados.
Figura 5.1 – Eletrodo horizontal com 15 m de comprimento [99].
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
89
40
35
30
Corrente (A)
25
20
15
10
5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Tempo (µs)
0.5
0.6
0.7
Figura 5.2 – Corrente injetada no eletrodo horizontal.
Figura 5.3 – Potenciais em relação ao terra remoto medidos e calculados em três pontos
distintos (comprimento de 15 m, raio 12 mm, profundidade de 0,6 m, resistividade do solo igual
a 70 Ω.m e permissividade relativa do solo igual a 15) – Fonte [65].
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
90
800
700
600
V (x=0; t)
Potencial (V)
500
400
V (x=3,5; t)
300
V (x=7; t)
200
100
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Tempo (µs)
0.5
0.6
0.7
Figura 5.4 – Potenciais em relação ao terra remoto calculados em três pontos distintos a partir
da modelagem apresentada nesta dissertação.
O segundo sistema de aterramento está ilustrado na Fig. 5.5 e corresponde à
haste vertical de 6 m, com raio igual a 16 mm. Informa-se na referência que o solo
possui resistividade elétrica de 50 Ω.m e permissividade elétrica relativa estimada em
15, não sendo mencionadas quaisquer variações desses parâmetros com a
freqüência. As informações com relação à corrente injetada são praticamente
inexistentes neste caso, sendo apenas informado que a injeção foi feita na
extremidade superior da haste e que se mediu o potencial neste ponto em relação ao
terra remoto. Também não há menção sobre a profundidade de cravação da
extremidade superior da haste, apesar de uma pequena variação deste parâmetro não
causar grandes variações nos resultados.
Em função das poucas informações apresentadas, para realização da
simulação computacional, as seguintes considerações foram assumidas:
i.
Neste caso não foi possível reproduzir em maiores detalhes a onda de corrente
injetada. Na simulação a forma de onda foi aproximada por uma dupla
exponencial, ilustrada na Fig. 5.6, na tentativa de reproduzir uma onda similar à
corrente real injetada apresentada por Grcev [65].
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
ii.
91
Adotou-se um modelo de solo com condutividade do solo σ s e permissividade
elétrica ε s invariantes com a freqüência e iguais a:
σs =
1
S /m,
50
ε s = 15ε 0 F / m .
Considerou-se a extremidade superior da haste a 0,5 m da superfície do solo.
Figura 5.5 – Haste vertical com 6 m de comprimento [99].
35
30
25
Corrente (A)
iii.
20
15
10
5
0
0
0.5
1
1.5
Tempo (µs)
2
2.5
Figura 5.6 – Corrente injetada na haste vertical.
3
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
92
Os resultados experimentais e aqueles obtidos por Grcev estão ilustrados na
Fig. 5.7. Sob as considerações citadas, por meio da ferramenta computacional
desenvolvida nesta dissertação, foram obtidos os resultados ilustrados na Fig. 5.8. Da
análise das figuras, podem ser estabelecidas as mesmas conclusões apresentadas
para o caso do eletrodo horizontal. Deve-se salientar, no entanto, que no caso da
haste vertical, houve uma dificuldade mais elevada na fiel reprodução da onda de
corrente real injetada. Uma vez mais vale destacar que, a partir de uma melhor
modelagem da corrente de injeção, melhores resultados poderiam ser obtidos.
Figura 5.7 – Potenciais em relação ao terra remoto medidos e calculados no ponto de injeção
de corrente para uma haste vertical (comprimento de 6 m, raio 16 mm, resistividade do solo
igual a 50 Ω.m e permissividade relativa do solo igual a 15) – Fonte [65].
450
400
350
Potencial (V)
300
250
200
150
100
50
0
0
0.5
1
1.5
Tempo (µs)
2
2.5
3
Figura 5.8 – Potenciais em relação ao terra remoto calculado no ponto de injeção a partir da
modelagem apresentada nesta dissertação (haste vertical).
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
93
5.3.2 – Comparação com resultados de outras modelagens
Apresenta-se nesta seção a comparação de resultados de cálculo de campo
elétrico de eletrodos energizados obtidos por meio da modelagem apresentada e
aqueles obtidos por Grcev [62] a partir da aplicação do modelo desenvolvido
juntamente com Dawalibi [55]. Este modelo foi selecionado para fins de comparação
uma vez que também é baseado na solução direta das equações de campo e, em
princípio, apresenta resultados confiáveis.
O sistema de aterramento está ilustrado na Fig. 5.9 e corresponde a um
eletrodo horizontal de 15 m (estendido entre os pontos x = 2,5 m e x = 17,5 m), com
raio igual a 7 mm e enterrado a 1 m da superfície do solo. O solo é caracterizado por
uma resistividade ρ = 2.000 Ω.m e permissividade relativa 4. O eletrodo é energizado
por meio da injeção de uma corrente harmônica (1 + j0) para três freqüências distintas:
50 Hz, 2,247 MHz e 6,741 MHz. Essa configuração foi simulada por Grcev e por
Dawalibi e Selby de forma independente [57], [62]. Resultados bastante similares
foram obtidos em ambos os trabalhos. Nesta seção para fins de comparação com a
modelagem desenvolvida adotam-se os resultados obtidos por Grcev, pois estão sob
uma forma mais didática para apresentação.
A partir da injeção das correntes citadas foi determinada a distribuição de
campo elétrico na superfície acima do eletrodo ao longo do eixo x. Os resultados
obtidos por Grcev estão ilustrados na Fig. 5.10 e aqueles obtidos a partir da
modelagem desenvolvida nesta dissertação são apresentados na Fig. 5.11. De um
modo geral os resultados da Fig. 5.11 estão em ótima concordância com aqueles
obtidos por Grcev [62]. Pequenas diferenças são observadas apenas na curva
referente à freqüência de 6,741 MHz.
Figura 5.9 – Configuração simulada para cálculo de campo elétrico na superfície do solo [62].
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
94
É importante salientar que os resultados apresentados foram gerados somente
para fins de comparação, uma vez que o método das imagens modificado é válido
apenas para freqüências próximas de 2 MHz. No trabalho citado de Grcev o efeito da
interface solo-ar também é incluído por meio da aplicação do método das imagens
modificado [62].
Figura 5.10 – Distribuição de campo elétrico na superfície do solo – Fonte [62].
Intensidade de campo elétrico (V/m)
25
50 Hz
2,247 MHz
6,741 MHz
20
15
10
5
0
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
Distância ao longo do perfil (m)
17.5
20
Figura 5.11 – Distribuição de campo elétrico na superfície do solo determinado a partir da
modelagem apresentada nesta dissertação.
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
95
5.3.3 – Conclusões
Os resultados desta seção indicam a consistência do modelo desenvolvido.
Uma vez validado, é interessante explorar suas potencialidades na análise de
sistemas de aterramento. A ferramenta desenvolvida pode apresentar papel
importante no estudo de aterramentos elétricos, não somente por fornecer resultados
objetivos nos domínios do tempo e da freqüência para seu comportamento em
condições estabelecidas (configuração, tipo de solo e tipo de ocorrência), mas
principalmente devido à possibilidade da realização de uma análise de sensibilidade
relacionando as variáveis de interesse e o comportamento do aterramento. Dessa
análise podem ser derivadas práticas concretas de, por exemplo, melhoria do
desempenho do aterramento frente a correntes impulsivas de descargas.
Nos itens a seguir ilustra-se a aplicação da modelagem apresentada no
desenvolvimento de uma análise de sensibilidade das variáveis envolvidas no
comportamento de aterramentos com relação ao seu desempenho, considerando
configurações básicas do mesmo. Como o interesse principal deste trabalho é a
avaliação do comportamento transitório do aterramento frente a fenômenos de alta
freqüência, os resultados apresentados contemplam, basicamente, nos domínio do
tempo e da freqüência, o comportamento do aterramento quando solicitado pela
injeção de uma onda de corrente representativa de descarga atmosférica em termos
de tempo de frente e de cauda.
5.4 – Resultados e análises de sensibilidade: eletrodos
horizontais
5.4.1 – Introdução
O objetivo desta seção é investigar o comportamento de eletrodos horizontais,
nos domínios do tempo e da freqüência, avaliando-se aspectos importantes como:
impedância na freqüência, impedância impulsiva, comprimento efetivo, tensões
transitórias e campos eletromagnéticos gerados no meio.
As configurações simuladas são compostas por eletrodos horizontais de
comprimentos diversos, todos eles com raio igual a 1 cm e inseridos a uma
profundidade de 0,5 m no solo.
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
96
5.4.2 – Faixa de valores para os parâmetros de interesse
Com o objetivo de promover análises de sensibilidade para alguns parâmetros,
simulou-se as configurações descritas anteriormente para diversas resistividades do
solo e para diversos comprimentos do eletrodo, conforme apresentado a seguir.
Resistividade do solo: 500, 1.000, 2.400, 5.000 e 10.000 Ω.m.
Comprimento do eletrodo: 10, 15, 20, 30, 50, 70 e 90 m.
Os valores adotados para resistividade do solo têm o objetivo de contemplar
desde solos de baixa resistividade até solos de resistividade elevada, passando por
valores típicos como 1.000 Ω.m (valor médio brasileiro) e 2.400 Ω.m (valor médio de
Minas Gerais) [14], [15]. Nas simulações em que é incluída a variação dos parâmetros
eletromagnéticos do solo com a freqüência, os valores de resistividade adotados são
função da freqüência e da resistividade a 100 Hz e expressos de acordo com a
formulação indicada no item B da seção 4.3.3.
Os valores adotados para comprimento do eletrodo também tem por objetivo
avaliar valores típicos de eletrodos horizontais encontrados em configurações práticas
[15].
O valor utilizado para permissividade relativa do solo nas simulações foi 15,
uma vez que esse é um valor usualmente adotado na literatura [65]. Nas simulações
em que é incluída a variação dos parâmetros eletromagnéticos do solo com a
freqüência, os valores de permissividade adotados são função da freqüência e
expressos de acordo com a formulação indicada no item B da seção 4.3.3.
5.4.3 – Ondas de corrente injetadas
Aparentemente, nas referências consultadas não há uma padronização no que
diz respeito às características da onda de corrente de descarga utilizada em
simulações, principalmente em sua região mais crítica, que é a frente de onda. Nas
simulações apresentadas nessa seção são consideradas ondas com tempo de frente
de 1,2 µs e 3 µs. O valor de 3 µs aproxima-se dos tempos de frente associados às
primeiras descargas de retorno medidas na Estação do Morro do Cachimbo, no Brasil
[14]. O valor de 1,2 µs aproxima-se dos valores de tempo de frente das descargas de
retorno subseqüentes, também medidas na Estação do Morro do Cachimbo [14]. O
tempo de cauda apresenta pouca influência no comportamento transitório do sistema
de aterramento [70]. Nas simulações foi adotado o valor de 20 µs, ou seja, neste
97
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
tempo a onda, depois de atingido o valor de pico, passa pela metade da amplitude
máxima. As ondas injetadas apresentam um valor de pico de 1 kA.
A onda de corrente de descarga foi modelada por meio da função dupla
exponencial:
i ( t ) = A ( eαt − eβt ) ,
(5.1)
onde A , α e β são parâmetros ajustados para que a onda dupla exponencial
apresente amplitude, tempo de frente e tempo de cauda desejados. Para a onda com
tempo de frente de 1,2 µs os valores dos parâmetros são:
A = 1.093,86 ,
α = 39.143,21 e β = 2.236.641,15 . Para a onda com tempo de frente de 3 µs os
valores dos parâmetros são: A = 1.303,67 , α = 47.916,56 e β = 709.288,10 . A Fig.
5.12 ilustra as duas ondas de corrente.
1
Corrente (kA)
0.8
dupla exponencial
(1,2/20 µs)
0.6
dupla exponencial
(3/20 µs)
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
Tempo (µs)
Figura 5.12 – Formas de onda de correntes injetadas.
5.4.4 – Determinação de impedância na freqüência
Esta seção apresenta a análise da impedância de aterramento de eletrodos
horizontais no domínio da freqüência. A análise da impedância no domínio da
freqüência é de fundamental importância uma vez que, além de ser o domínio original
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
98
de sua definição, possibilita a fácil visualização das características condutivas,
capacitivas e indutivas do aterramento bem como dos efeitos de propagação.
A Fig. 5.13 ilustra o módulo (Fig. 5.13(a)) e o ângulo (Fig. 5.13(b)) da
impedância de eletrodos horizontais de diferentes comprimentos, inseridos em um solo
de ρ = 1.000 Ω.m, ao longo do espectro de freqüência característico de uma descarga
atmosférica. Conforme se pode observar, em baixas freqüências, a impedância dos
eletrodos apresenta módulo constante e ângulo de fase próximo de zero,
aproximando-se do conceito de resistência de aterramento. Observa-se ainda que o
aumento do comprimento do eletrodo implica na redução quase em proporção inversa
do módulo da impedância de aterramento na faixa inferior do espectro. Nesta faixa, os
r
r
efeitos condutivos, associados à corrente de condução ( J c = σE V ), são dominantes.
Na faixa superior do espectro de freqüência torna-se clara a influência dos efeitos
r
r
capacitivos, relacionados à corrente de deslocamento ( J d = jωεE V ), e dos efeitos
r
r
indutivos, ligados à parcela não conservativa do campo elétrico ( E A = − jωA ).
No caso dos eletrodos de menor comprimento (10, 15 e 20 m), a densidade de
corrente transversal é elevada se comparada à dos eletrodos de maior comprimento.
Neste caso, os efeitos transversais, associados à composição das correntes de
condução e deslocamento, são dominantes dentro de certa faixa de freqüência.
Particularmente para freqüências mais elevadas, torna-se evidente o efeito capacitivo,
principalmente para os eletrodos de 10 e 15 m. Esse efeito pode ser observado na
redução do módulo da impedância de aterramento e diminuição do ângulo da
impedância até atingir valores negativos, conforme ilustra a Fig. 5.13. Os efeitos
capacitivos são significativos até determinado valor de freqüência, a partir do qual os
efeitos indutivos são preponderantes. A partir desse ponto é observado um aumento
gradual do módulo e ângulo da impedância de aterramento. Tal fato pode ser
observado para o eletrodo de 10 m e, principalmente, para os eletrodos de 15 e 20 m
(ver Fig. 5.13).
Por outro lado, no caso de eletrodos de maior comprimento, em que a
densidade de corrente transversal é reduzida se comparada àqueles de menor
comprimento, uma vez que a corrente que dispersa é melhor distribuída ao longo do
condutor, os efeitos longitudinais tornam-se dominantes. Tal fato é sugerido pelo
aumento do módulo e ângulo da impedância de aterramento na faixa superior do
espectro de freqüência, para eletrodos de comprimento a partir de 30 m, como ilustra a
Fig. 5.13. Deve-se salientar que na faixa de altas freqüências os efeitos capacitivos
também estão presentes, todavia estes são “anulados” devido à significativa influência
dos efeitos indutivos.
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
99
Pode-se ainda observar na Fig. 5.13, principalmente no caso dos aterramentos
mais distribuídos (maiores comprimentos), que em altas freqüências a influência do
comprimento do eletrodo é pequena, e os valores de impedância são muito próximos.
Isso ocorre porque os efeitos de atenuação da onda de corrente são mais
significativos em freqüências elevadas. O efeito de propagação pode ser observado
mesmo em aterramentos mais concentrados nos casos em que a resistividade do solo
é reduzida, uma vez que os efeitos de atenuação são mais acentuados em meios mais
condutivos.
A impedância do aterramento, definida no domínio da freqüência, depende da
geometria do aterramento (no caso, principalmente o comprimento do eletrodo) e das
características eletromagnéticas do meio (no caso, principalmente a resistividade do
solo). Assim, na Fig. 5.13 foi avaliado o comportamento do aterramento para
diferentes comprimentos, mantendo-se fixo o valor de resistividade. Todavia, é
também de interesse avaliar o efeito da variação da resistividade do solo mantendo-se
fixo o comprimento do eletrodo. Um gráfico dessa natureza é apresentado na Fig.
5.14, que ilustra o módulo (Fig. 5.14(a)) e ângulo (Fig. 5.14(b)) da impedância de
aterramento de um eletrodo horizontal de 50 m, inserido em solos de diferentes
valores de resistividade. A despeito do comprimento elevado do eletrodo, pode-se
observar nitidamente a influência dos efeitos capacitivos no comportamento da
impedância do aterramento inserido em solos de alta resistividade (2.400 Ω.m e
principalmente 5.000 Ω.m e 10.000 Ω.m), dentro de certa faixa de freqüência. Esse
comportamento é observado em solos resistivos, pois, em freqüências elevadas, os
efeitos relacionados às fontes de corrente transversal são dominados pela corrente de
r
r
deslocamento ( J d = jωεE V ), uma vez que o solo possui baixa condutividade,
r
r
acarretando valores reduzidos de corrente condutiva ( J c = σE V ) em relação à de
deslocamento. Os efeitos capacitivos na situação analisada são significativos até
determinada freqüência a partir da qual, como já comentado em outra situação
analisada, os efeitos indutivos são preponderantes. Para os solos de menores valores
de resistividade dentre os analisados (500 Ω.m e 1.000 Ω.m), os efeitos indutivos são
predominantes e praticamente não se observa comportamento tipicamente capacitivo
da impedância de aterramento ao longo da faixa de freqüência avaliada. Pode-se
notar, ainda, que os efeitos indutivos são mais pronunciados nos solos de menores
valores de resistividade, uma vez que nestes casos os efeitos transversais associados
às correntes capacitivas apresentam reduzida influência no comportamento do
aterramento. Observa-se, também, uma menor variação no módulo da impedância
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
100
para solos de resistividade menores, comportamento relacionado ao fato dos efeitos
de propagação serem mais pronunciados nesses solos.
160
Módulo da impedância (Ω )
140
L = 10 m
120
L = 15 m
100
80
L = 20 m
60
L = 30 m
40
L = 50 m
L = 70 m
L = 90 m
20
2
10
3
4
10
10
Freqüência (Hz)
5
6
10
10
(a)
40
L = 90 m
Ângulo da impedância (graus)
30
L = 70 m
20
L = 50 m
L = 30 m
10
L = 20 m
0
-10
L = 15 m
-20
L = 10 m
-30
2
10
3
10
4
10
Freqüência (Hz)
5
10
6
10
(b)
Figura 5.13 – (a) Módulo e (b) ângulo da impedância de eletrodos horizontais de aterramento
em função da freqüência inseridos em um solo de ρ = 1.000 Ω.m.
101
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
400
ρ = 10.000 Ω .m
Módulo da impedância (Ω )
350
300
250
200
ρ = 5.000 Ω .m
150
100
ρ = 2.400 Ω .m
50
ρ = 1.000 Ω .m
ρ = 500 Ω .m
0
2
10
3
10
4
10
Freqüência (Hz)
5
10
6
10
(a)
60
ρ = 500 Ω .m
ρ = 1.000 Ω .m
Ângulo da impedância (graus)
40
ρ = 2.400 Ω .m
20
0
-20
ρ = 5.000 Ω .m
-40
ρ = 10.000 Ω .m
-60
-80
2
10
3
10
4
10
Freqüência (Hz)
5
10
6
10
(b)
Figura 5.14 – (a) Módulo e (b) ângulo da impedância de eletrodo horizontal de aterramento de
50 m em função da freqüência para solos de diferentes valores de resistividade.
É importante salientar que, com base nas análises e comentários
apresentados, não se pode generalizar ou procurar “regras de bolo” no estudo de
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
102
sistemas de aterramento. Por exemplo, na análise de um eletrodo de aterramento de
50 m, os efeitos capacitivos podem ser desprezíveis (Fig. 5.13) ou acentuados
dependendo do valor de resistividade do solo (Fig. 5.14). Conclusões similares podem
ser ampliadas para análise dos efeitos indutivos. Assim, para obtenção de respostas
confiáveis e consistentes com a realidade, é de fundamental importância um estudo
aprofundado da sensibilidade do aterramento às diversas variáveis envolvidas.
Estudos dessa natureza podem ser realizados mediante aplicação da ferramenta
desenvolvida nesta dissertação.
5.4.5 – Determinação de impedância impulsiva
No projeto de aterramentos a resposta dos eletrodos a correntes de descargas
atmosféricas pode ser avaliada em função de três parâmetros básicos [5]: i) a
elevação de potencial em relação ao infinito no ponto de injeção, usualmente
designada por GPR (grounding potential rise); ii) o perfil de potencial ao longo dos
eletrodos; iii) a distribuição de potencial na superfície do solo nas proximidades da
malha de aterramento. Em grande parte das situações é de interesse, principalmente
prático, o conhecimento das condições críticas, que podem ser determinadas e
quantificadas a partir dos valores de pico de sobretensão desenvolvidos. Nesses
casos, é comum aproximar a impedância de aterramento pela impedância de
aterramento impulsiva (Zp). A partir da quantificação da impedância impulsiva, a
máxima GPR pode ser prontamente estimada por meio da multiplicação de Zp pelo
valor de pico da corrente injetada. Tal possibilidade é bastante adequada e atrativa do
ponto de vista aplicado na avaliação e determinação de práticas imediatas de proteção
contra descargas atmosféricas.
A Fig. 5.15 apresenta curvas de impedância impulsiva em função do
comprimento do eletrodo para diferentes valores de resistividade do solo e injeção de
uma onda de corrente de 1,2/20 µs. Esse tipo de gráfico é bastante importante e útil na
prática, inclusive quando da determinação do comprimento e instalação de eletrodos
de aterramento. Suponha-se, por exemplo, que a resistividade medida no local seja da
ordem de 2.400 Ω.m. De acordo com o gráfico da Fig. 5.15, a instalação de um
eletrodo de 30 m determina um valor de Zp igual a aproximadamente 150 Ω. Dessa
forma, conhecendo-se o valor de pico da onda de corrente injetada, pode-se
prontamente determinar a máxima elevação de potencial no ponto de injeção. As
curvas ilustradas na Fig. 5.15 foram simuladas para valores típicos de solos
brasileiros; todavia, gráficos mais completos podem ser obtidos a partir da ferramenta
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
103
desenvolvida com o objetivo de auxiliar na determinação de comprimentos adequados
de eletrodos horizontais e cabos contrapeso.
De acordo com as curvas da Fig. 5.15, pode-se observar que eletrodos
inseridos em solos de resistividade elevada apresentam valores significativos de
impedância impulsiva. Ainda de acordo com a Fig. 5.15, constata-se que a impedância
impulsiva diminui com o aumento do comprimento do eletrodo até determinado ponto,
a partir do qual posteriores acréscimos não implicam na redução da impedância
impulsiva. Esse resultado é de fundamental importância e é melhor explorado no item
a seguir. Observa-se que em solos de menores resistividades, as variações de ZP
também são menores, uma vez que os efeitos de propagação mais significativos.
Resultado similar foi obtido na análise da impedância no domínio da freqüência.
700
600
Zp (Ω )
500
400
300
200
ρ = 5.000 Ω .m
ρ = 2.400 Ω .m
100
ρ = 1.000 Ω .m
ρ = 500 Ω .m
0
10
20
30
40
50
60
70
Comprimento do eletrodo (m)
80
90
Figura 5.15 – Curvas de impedância impulsiva em função do comprimento do eletrodo para
diferentes valores de resistividade e injeção de uma onda de corrente de 1,2/20 µs.
5.4.6 – Determinação de comprimento efetivo
horizontais
de eletrodos
O comprimento efetivo (Lef) de eletrodos de aterramento é um conceito
amplamente utilizado no estudo e projeto de sistemas de aterramento. Em geral, ele é
definido como aquele comprimento do eletrodo a partir do qual um aumento de
extensão não implica a redução da impedância impulsiva de aterramento. As curvas
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
104
da Fig. 5.15 permitem a quantificação do comprimento efetivo de eletrodos horizontais
para os valores de resistividade selecionados e onda de corrente injetada. Para solo
com ρ = 2.400 Ω.m, por exemplo, o valor de Lef é pouco mais que 50 m. Já um solo
com ρ = 5.000 Ω.m, o valor de Lef é elevado, próximo de 90 m. A dispersão de
corrente para faixas do condutor além do comprimento efetivo é desprezível; portanto,
eletrodos de comprimento superior a este praticamente não contribuem para melhoria
do desempenho ou redução da impedância impulsiva de aterramento.
O conceito de comprimento efetivo encontra-se intimamente relacionado ao
fenômeno de propagação das ondas de corrente e tensão ao longo do aterramento,
característico de transitórios de alta freqüência, como já comentado no Capítulo 2.
Assim sendo, o valor de Lef é menor para aterramentos solicitados por ondas de
corrente rápida, uma vez que nesses casos os efeitos de propagação são mais
acentuados. A Fig. 5.16 apresenta curvas similares àquelas da Fig. 5.15 para injeção
de uma onda de corrente de 3/20 µs. Conforme se pode observar pela Fig. 5.16, os
valores de comprimento efetivo para solos com mesma resistividade obtidos para
injeção da onda de corrente de 3/20 µs são superiores àqueles obtidos para injeção da
onde de corrente de 1,2/20 µs. Para solo com ρ = 2.400 Ω.m, por exemplo, o valor de
Lef é perto de 80 m. Já um solo com ρ = 5.000 Ω.m, o valor de Lef é superior a 90 m.
Pode-se observar, também, que o comprimento efetivo é tanto maior quanto maior for
a resistividade do solo. Isso ocorre devido aos reduzidos valores de condutividade, o
que diminui relativamente a atenuação das ondas de tensão e corrente que se
propagam através do eletrodo.
Das análises anteriores e curvas apresentadas, alguns comentários relevantes
podem ser destacados:
i.
De acordo com a definição de impedância impulsiva e de comprimento efetivo,
pode-se inferir imediatamente que acréscimos no comprimento do eletrodo
além do efetivo não implica na diminuição da elevação de potencial máxima no
ponto de injeção.
105
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
700
600
Zp (Ω )
500
400
300
200
ρ = 5.000 Ω .m
100
0
10
ρ = 500 Ω .m
20
ρ = 2.400 Ω .m
ρ = 1.000 Ω .m
30
40
50
60
Comprimento do eletrodo (m)
70
80
90
Figura 5.16 – Curvas de impedância impulsiva em função do comprimento do eletrodo para
diferentes valores de resistividade e injeção de uma onda de corrente de 3/20 µs.
ii. De acordo com as Figs. 5.15 e 5.16 pode observar que o comprimento efetivo
apresenta valores mais elevados para aterramentos solicitados por ondas de
corrente mais lentas. Entretanto, deve-se observar que, por meio desse
raciocínio, o valor de Lef pode se tornar excessivamente elevado para
solicitações oriundas da injeção de ondas de corrente muito lentas. Nestes
casos, o comportamento da impedância de aproxima daquele de uma
resistência e acréscimos no comprimento implicam na “contínua” redução da
resistência de aterramento. Assim, ao tratar do conceito de comprimento
efetivo deve-se ficar claro que sua aplicação se restringe a investigação de
transitórios de altas freqüências, associados principalmente à incidência de
descargas atmosféricas. Assim, quando se utiliza os termos “onda rápida” e
“onda lenta” nesta seção, entende-se que ambas representam ondas de
corrente características de descargas atmosféricas; todavia, a rápida apresenta
tempo de frente mais reduzido se comparado à lenta.
iii. A Fig. 5.17 apresenta as curvas de impedância impulsiva em função do
comprimento do eletrodo para um solo de resistividade 2.400 Ω.m e injeção de
uma onda de corrente rápida (1,2/20 µs) e uma onda de corrente lenta (3/20
µs). Observa-se que as duas curvas apresentam comportamento bastante
similar até que o comprimento efetivo para o eletrodo solicitado pela onda de
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
106
corrente rápida é atingido. A partir desse ponto, reduções no valor da
impedância impulsiva somente são observadas para o eletrodo solicitado pela
onda lenta até que seu comprimento efetivo também seja atingido. Das curvas
ilustradas na Fig. 5.17 deriva-se uma observação importante; nem sempre a
injeção de ondas de corrente mais lentas implica em níveis de sobretensão
inferiores àqueles oriundos da injeção de uma onda de corrente mais rápida.
Essa conclusão somente é verdadeira naqueles casos em que o eletrodo
apresenta comprimento superior ao comprimento efetivo referente à onda de
corrente rápida. Por exemplo, de acordo com a Fig. 5.17, para um eletrodo de
30 m, inserido em um solo de resistividade igual a 2.400 Ω.m, os valores de
pico de sobretensão desenvolvidos a partir da injeção de uma onda de corrente
rápida e lenta seriam praticamente os mesmos. Já para um eletrodo de 70 m,
os valores de pico de sobretensão observados a partir da injeção de uma onda
de corrente rápida seriam mais elevados se comparados àqueles observados a
partir da injeção de uma onda lenta.
350
300
Zp (Ω )
250
200
150
onda rápida
onda lenta
100
50
10
20
30
40
50
60
70
Comprimento do eletrodo (m)
80
90
Figura 5.17 – Curvas de impedância impulsiva em função do comprimento do eletrodo para
resistividade do solo 2.400 Ω.m e injeção de uma onda rápida (1,2/20 µs) e uma onda lenta
(3/20 µs).
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
107
5.4.7 – Cálculo de tensão no domínio do tempo
A avaliação das sobretensões transitórias desenvolvidas no aterramento é de
fundamental importância, uma vez que revela parâmetros de grande importância
prática, como, por exemplo, a tensão máxima a que fica submetido o aterramento
quando da incidência da descarga atmosférica e o instante de tempo em que esse
máximo ocorre. Ademais, pode-se avaliar o tempo a que o aterramento fica submetido
a determinados níveis transitórios de tensão. A Fig. 5.18 ilustra os gráficos de
sobretensão no ponto de injeção para eletrodos horizontais inseridos em solos com
diferentes valores de resistividades e solicitados por uma onda de corrente de 1,2/20
µs. Das curvas da Fig. 5.18 pode-se derivar diretamente os valores de pico de tensão
desenvolvidos no ponto de injeção do aterramento. Como esperado, nota-se que os
maiores níveis de sobretensão são observados nos solos com valores de resistividade
mais elevados. O comprimento efetivo do eletrodo pode também ser estimado a partir
das curvas ilustradas na Fig. 5.18, como aquele comprimento a partir do qual não há
redução significativa do valor de pico de tensão resultante no aterramento. Para um
solo de resistividade de 500 Ω.m, por exemplo, percebe-se que um aumento do
comprimento do eletrodo além de 30 m não resulta em redução do valor de pico de
tensão. A partir desse comprimento, o valor máximo de tensão resultante não se
modifica, mesmo quando se tem um eletrodo de 90 m. Deve-se salientar que nas
curvas geradas adota-se um passo de 10 m até o comprimento de 30 m (10, 20 e 30
m) e 20 m até o comprimento de 90 m (30, 50, 70 e 90 m). Maior exatidão com relação
ao comprimento efetivo nas situações investigadas, assim como em condições
adicionais, pode ser obtida com um refinamento do procedimento pela diminuição do
passo de variação do comprimento do condutor. Obviamente, a determinação do
comprimento efetivo pode ser realizada mediante análise das curvas apresentadas
anteriormente na Fig. 5.15.
Os gráficos da Fig. 5.18 foram obtidos para valores fixos de resistividade e
permissividade
elétrica
do
solo.
Anteriormente,
já
havia
sido
considerado
qualitativamente o efeito da dependência dos parâmetros do solo com a freqüência.
De forma geral, o aumento da condutividade com a freqüência implica na redução da
impedância de aterramento. Já a diminuição da permissividade considerada
isoladamente resulta no aumento dessa mesma grandeza. Entretanto, deve-se
ressaltar que a corrente capacitiva é proporcional ao produto da permissividade pela
freqüência, sendo observado um aumento dessa relação ao longo do espectro, o que
implica, portanto, também na redução da impedância de aterramento. A análise
apenas qualitativa dos efeitos da variação dos parâmetros do solo com a freqüência
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
108
não permite a quantificação das intensidades reais deste efeito sobre o
comportamento do aterramento. Para ilustrar essa influência foi calculada a tensão
resultante em um eletrodo de aterramento de 70 m ao ser injetada uma corrente
impulsiva de 1,2/20 µs em uma de suas extremidades. No cálculo das sobretensões
foram consideradas duas hipóteses: i) valores de resistividade e permissividade do
solo variáveis com a freqüência e ii) valores fixos de resistividade e permissividade do
solo. Os resultados para essas duas hipóteses estão ilustrados na Fig. 5.19. É notável
o efeito da variação dos parâmetros do solo com a freqüência, que influencia não
apenas na amplitude, mas na forma da onda de sobretensão resultante. O valor de
pico da onda de tensão é reduzido nas simulações em que a variação dos parâmetros
do solo é incluída. Tal efeito é prontamente compreendido uma vez que, conforme já
comentado, um dos efeitos previstos quando da inclusão da dependência dos
parâmetros do solo com a freqüência corresponde à redução da impedância de
aterramento. Observa-se que o efeito na redução da amplitude máxima de tensão é
mais pronunciado, principalmente, em solos de resistividade elevada. Tal efeito pode
ser melhor compreendido a partir de uma análise da razão entre o valor da
resistividade para baixas freqüências (100 Hz) e para freqüências mais elevadas,
obtida a partir da formulação de Portela [19], conforme Tabela 5.1. A referida razão
aumenta quase que em proporção direta com o aumento da resistividade. Observe-se,
por exemplo, que um solo de resistividade igual a 5.000 Ω.m, medida a partir de
técnicas típicas de baixas freqüências, é reduzida de quase 50 vezes para uma
freqüência de 2 MHz. Essa redução acentuada permite compreender as sensíveis
diminuições nos níveis máximos de tensão transitória, sobretudo em eletrodos
inseridos em solos de elevado valor de resistividade. Nota-se, também, que as formas
de onda de tensão transitória são alteradas não apenas na amplitude, mas também na
forma. Tal alteração está intimamente ligada ao fato de que em freqüências elevadas
os efeitos condutivos tornam-se significativos quando considerada a variação dos
parâmetros do solo, o que implica na alteração do defasamento da impedância,
sobretudo em freqüências mais elevadas. Esse efeito se traduz na distorção da onda
de tensão transitória resultante em relação àquela obtida sem a inclusão da variação
dos parâmetros eletromagnéticos, conforme ilustram os gráficos da Fig. 5.19. Tal
aspecto elucida bem a correspondência entre defasamento no domínio da freqüência
e distorção no domínio do tempo. Salienta-se que no estudo das sobretensões
originadas em um sistema de aterramento devido à incidência de descargas
atmosféricas, é de fundamental importância o conhecimento não apenas dos picos de
tensão desenvolvidos, porém também a forma da onda de tensão transitória. As
curvas ilustradas na Fig. 5.19 sugerem que a inclusão da variação dos parâmetros do
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
109
solo com a freqüência é fundamental para a correta quantificação das variáveis
citadas. Julga-se, portanto, que no estudo e modelagem de aterramentos atenção
especial deve ser dispensada na análise das características do solo, o que
praticamente não é observado atualmente nos trabalhos presentes na literatura
especializada. De qualquer maneira, a não inclusão da variação dos parâmetros
eletromagnéticos do solo com a freqüência conduz a um estudo conservativo das
sobretensões.
Tabela 5.1 – Razão entre a resistividade do solo em baixas e altas freqüências.
ρ100Hz (Ω.m) ρ100Hz / ρ500kHz ρ100Hz / ρ1MHz ρ100Hz / ρ2MHz
500
2,79
3,91
5,75
1000
4,57
6,83
10,51
2400
9,57
14,99
23,82
5000
18,86
30,14
48,54
70
60
L = 10 m
Tensão (kV)
50
40
L = 20 m
30
L = 30 m
20
L = 50 m
L = 70 m
10
L = 90 m
0
0
2
4
6
Tempo (µs)
(a)
8
10
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
140
L = 10 m
120
Tensão (kV)
100
80
L = 20 m
60
L = 30 m
40
L = 50 m
L = 70 m
20
L = 90 m
0
0
2
4
6
8
10
Tempo (µs)
(b)
350
L = 10 m
300
Tensão (kV)
250
200
L = 20 m
150
L = 30 m
100
L = 50 m
L = 70 m
50
L = 90 m
0
0
2
4
6
Tempo (µs)
(c)
8
10
110
111
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
800
700
L = 10 m
Tensão (kV)
600
500
400
L = 20 m
300
L = 30 m
200
L = 50 m
L = 70 m
100
0
L = 90 m
0
2
4
6
8
10
Tempo (µs)
(d)
Figura 5.18 – Tensões resultantes da injeção de uma onda de corrente de 1,2/20 µs na
extremidade de eletrodos horizontais para solos com valores de resistividade de (a) 500 Ω.m
(b) 1.000 Ω.m (c) 2.400 Ω.m e (d) 5.000 Ω.m.
40
σ (ω) e ε(ω)
σ e ε fixos
35
Tensão (kV)
30
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
Tempo (µs)
(a)
8
10
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
60
σ (ω) e ε(ω)
σ e ε fixos
50
Tensão (kV)
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
Tempo (µs)
(b)
90
80
σ (ω) e ε(ω)
σ e ε fixos
70
Tensao (kV)
60
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
Tempo (µs)
(c)
20
25
112
113
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
150
σ (ω) e ε (ω)
σ e ε fixos
125
Tensão (kV)
100
75
50
25
0
0
5
10
15
20
25
Tempo (µs)
(d)
Figura 5.19 – Tensões resultantes da injeção de uma onda de corrente de 1,2/20 µs na
extremidade de um eletrodo horizontal de 70 m para solos com valores de resistividade de (a)
500 Ω.m (b) 1.000 Ω.m (c) 2.400 Ω.m e (d) 5.000 Ω.m considerando a variação dos parâmetros
eletromagnético do solo (σ e ε) com a freqüência.
5.4.8 – Cálculo de campo elétrico no nível do solo
As correntes que circulam pelos eletrodos de aterramento, quando solicitado
por fenômenos transitórios de alta freqüência, podem induzir tensões nos cabos e
equipamentos
nas
proximidades.
Tais
tensões
induzidas
acarretam
o
mal
funcionamento ou mesmo a destruição de equipamentos eletrônicos sensíveis em, por
exemplo, uma subestação automatizada [99]. Em freqüências elevadas, o cálculo da
tensão entre dois pontos é dependente do caminho e deve ser avaliada por meio da
integração do campo elétrico entre eles. Dessa forma, para quantificação dos valores
de tensão induzida é de fundamental importância o conhecimento apurado das
distribuições espaciais e temporais de campo elétrico nas proximidades do
aterramento, quando solicitado por uma corrente advinda da incidência de descarga
atmosférica [101].
Conforme já comentado no Capítulo 4, o campo elétrico total associado a um
eletrodo de aterramento energizado é composto por uma parcela conservativa
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
1
IT −γ r

 V = 4π (σ + jωε ) r e

,
r
r
1
IT
−γ r r
 E = −∇V =
(1 + γ r ) e ar
 V
4π (σ + jωε ) r 2
114
(5.2)
e uma parcela solenoidal
r µ
e −γ r r
=
A
I

∫ Lj r dl j
4
π
L
j

r
r
µ
E = − jω A
= − jω
A

4π

e −γ r r
I
∫L Lj r dl j
j
.
(5.3)
A inclusão de ambas as parcelas do campo elétrico nos procedimentos de
cálculo é essencial para correta quantificação das tensões induzidas nas proximidades
do aterramento.
A Fig. 5.20 ilustra o perfil de campo elétrico ao longo da superfície do solo,
acima de um eletrodo de 15 m, inserido em um solo de resistividade igual a 1.000 Ω.m,
considerando duas metodologias de cálculo. Para melhor visualização da distribuição
do campo, o eletrodo foi posicionado entre os pontos 2,5 e 17,5 m com relação à
origem do eixo de referência. Na Fig. 5.20(a) considera-se apenas as fontes
transversais de corrente (incluindo a corrente de deslocamento), desprezando-se os
efeitos das fontes de corrente longitudinais, o que se constitui uma aproximação típica
de metodologias desenvolvidas para baixas freqüências. Na Fig. 5.20(b) considera-se
o modelo completo, incluindo ambas as fontes de corrente, transversal e longitudinal.
Observa-se que o campo elétrico diminui com o aumento da freqüência quando é
considerada a metodologia simplificada de cálculo, conforme Fig. 5.20(a). Todavia,
quando ambas as fontes de campo são consideradas nota-se um comportamento
completamente diferente, conforme ilustra a Fig. 5.20(b). É nítida a contribuição do
componente de campo elétrico associado à variação da corrente longitudinal,
principalmente em freqüências mais elevadas. A Fig. 5.21 apresenta os valores de
campo elétrico calculados a partir do modelo completo com a inclusão da variação dos
parâmetros eletromagnéticos do solo com a freqüência. Nota-se que o comportamento
do campo elétrico é bastante distinto daquele ilustrado na Fig. 5.20(b) e que este
apresenta valores reduzidos em freqüências elevadas uma vez que, dada a variação
dos parâmetros do solo ao longo do espectro, nesta faixa o solo apresenta valores
elevados de condutividade elétrica e o efeito de atenuação é acentuado.
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
115
Intensidade de campo elétrico (V/m)
25
60 Hz
1 MHz
2 MHz
20
15
10
5
0
0
5
10
15
Distância ao longo do perfil (m)
20
(a)
40
60 Hz
1 MHz
2 MHz
Intensidade de campo elétrico (V/m)
35
30
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
Distância do longo do perfil (m)
20
(b)
Figura 5.20 – Campo elétrico ao longo da superfície do solo devido a um eletrodo horizontal
considerando (a) apenas fontes de corrente transversal e (b) as fontes de corrente, transversal
e longitudinal.
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
116
Intensdae de campo elétrico (V/m)
25
60 Hz
1 MHz
2 MHz
20
15
10
5
0
0
5
10
15
Distância ao longo do perfil (m)
20
Figura 5.21 – Campo elétrico ao longo da superfície do solo devido a um eletrodo horizontal
incluindo a variação dos parâmetros eletromagnéticos com a freqüência.
A Fig. 5.22 apresenta o valor absoluto do campo elétrico transitório em três
pontos distintos ao longo da superfície do solo com a adoção de parâmetros do solo
fixo e variáveis com a freqüência, considerada a injeção de uma corrente impulsiva de
1,2/20µs. Observam-se claras diferenças tanto na amplitude como na forma da onda
resultante. As conclusões e comentários apresentados na análise das ondas de
sobretensão, resultantes no ponto de injeção com a inclusão da variação dos
parâmetros do solo, são válidos para os resultados obtidos para o campo elétrico
transitório.
É nítida a diferença entre os valores e comportamento do campo elétrico, nos
domínios do tempo e da freqüência, dependendo da metodologia de cálculo
empregada. O emprego de metodologias simplificadas, baseadas em aproximações
típicas de fenômenos de baixa freqüência, mostrou-se inconsistente no cálculo de
campos na faixa superior do espectro, apresentando comportamento bastante distinto
daquele obtido mediante aplicação da modelagem completa. Metodologias que
incluem a variação dos parâmetros do solo com a freqüência apresentam valores
reduzidos de campo elétrico, sobretudo na faixa superior do espectro. A avaliação do
campo elétrico transitório também ilustra a acentuada influência da inclusão da
dependência dos parâmetros do solo com a freqüência, com alterações na amplitude e
forma da onda resultante. Deve-se salientar que nos estudos de compatibilidade
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
117
eletromagnética e cálculos de tensões induzidas, a correta determinação da frente de
onda do campo elétrico é essencial.
25
Intensidade de campo elétrico (kV/m)
x = 2,5 m
σ e ε fixos
20
x = 2,5 m
σ (ω) e ε(ω)
15
10
5
0
0
10
20
30
40
50
30
40
50
Tempo (µs)
(a)
25
Intensidade de campo elétrico (kV/m)
x = 17,5 m
σ e ε fixos
20
x = 17,5 m
σ (ω) e ε(ω)
15
10
5
0
0
10
20
Tempo (µs)
(b)
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
118
Intensidade de campo elétrico (kV/m)
1.2
x = 25 m
1
σ e ε fixos
x = 25 m
0.8
σ (ω) e ε(ω)
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
Tempo (µs)
(c)
Figura 5.22 – Campo elétrico transitório na superfície do solo devido a um eletrodo horizontal
nos pontos (a) x = 2,5 m (b) x = 17,5 m e (c) 25 m.
É importante destacar, ainda, que o campo elétrico calculado nesta seção é
devido apenas à corrente que circula no aterramento. Todavia, na determinação do
campo elétrico total na superfície do solo, deve ser acrescida a parcela de campo
referente à corrente do canal da descarga atmosférica. Essa última parcela é
significativa e representa a maior parte do campo elétrico induzido na superfície do
solo, quando da incidência de uma descarga atmosférica no sistema elétrico [102].
5.5 – Estudo de circuitos equivalentes para representação de
hastes verticais de aterramento
O conjunto de simulações apresentadas nesta seção tem como objetivo
investigar circuitos equivalentes simplificados para representação de hastes verticais
de aterramento.
Essa configuração é uma das mais simples e utilizadas como meio de conexão
do sistema elétrico à terra [10], [103].
Representa, ainda, a configuração
predominantemente utilizada nos sistemas de aterramento de redes de distribuição e
edificações. O comportamento de hastes verticais de aterramento é bem conhecido
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
119
em baixas freqüências e é, em geral, analisado a partir de metodologias baseadas na
teoria de circuitos. Todavia, seu desempenho em altas freqüências também é
importante, principalmente quando são submetidas a surtos atmosféricos [10]. Neste
último caso, o valor da impedância do aterramento é um parâmetro de fundamental
importância, uma vez que, a partir dela, pode-se determinar os níveis máximos de
tensão a que o aterramento fica submetido. Em baixas freqüências, essa impedância é
usualmente aproximada por uma resistência de aterramento e a haste modelada por
um simples resistor [103]. Já em altas freqüências, esta é normalmente modelada por
um circuito RLC concentrado [10], [103]. Esses dois modelos são ilustrados na Fig.
5.23.
l
(a)
(b)
(c)
Figura 5.23 – (a) Situação física (b) Circuito equivalente em baixas freqüências
(c) Circuito equivalente em altas freqüências.
Modelagens baseadas na teoria de circuito adotam a aproximação de campos
eletromagnéticos quase-estáticos. Conseqüentemente, sua validade é limitada a
alguns kHz e a análise de transitórios associados à incidência de descargas
atmosféricas fica comprometida. Nesses casos, metodologias mais precisas,
baseadas diretamente na solução das equações de campo, como a apresentada nesta
dissertação, devem ser aplicadas.
Em princípio, é possível a utilização de metodologias mais robustas e precisas
para todos os casos. Todavia, nem sempre a aplicação de tais abordagens é prática,
principalmente por duas razões. Primeiro, existe um grande número de softwares
baseados em aproximações quase-estáticas, por exemplo, o EMTP/ATP. Segundo, os
códigos computacionais baseados diretamente nas equações de campo apresentam,
em geral, tempo computacional elevado e devem ser evitados sempre que possível.
Na impossibilidade de utilização de uma metodologia mais rigorosa para análise de
hastes verticais, o estudo é usualmente desenvolvido a partir de circuitos equivalentes.
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
120
Nessas situações, é importante adotar um circuito equivalente que represente o
aterramento de forma apurada, dentro das faixas de freqüência de interesse. Segundo
Olsen e Willis, a utilização de circuitos equivalentes para representação de hastes
verticais é limitada a uma freqüência que depende do comprimento do aterramento e
das características eletromagnéticas do meio [75]. De acordo com esses autores, a
utilização de um circuito RLC equivalente é limitada a hastes de comprimento inferior a
um décimo do comprimento de onda no solo, o que praticamente limita seu uso em
baixas freqüências [75].
Nesta seção são avaliadas as condições gerais, analisando não apenas o
comprimento de onda, mas também a resistividade do solo, em que um circuito
equivalente simples pode ser utilizado, a despeito de um modelo mais complicado. As
conclusões são determinadas a partir da comparação dos valores de impedância
calculados por meio da metodologia apresentada nesta dissertação e aqueles obtidos
do cálculo de um circuito equivalente.
5.5.1 – Impedância de hastes verticais
Duas metodologias de cálculo da impedância de hastes verticais são
apresentadas nesta seção. A primeira é baseada no circuito equivalente ilustrado na
Fig. 5.23(c). Os parâmetros R, L e C podem ser calculados a partir das seguintes
expressões propostas por Sunde [37]:
R=
ρ  4l 
ln − 1 ( Ω ) ,
2π l  r

 4l 
C = 2πε l ln − 1
 r

L=
−1
( F) ,
µ 0 l  2l 
ln − 1 ( H ) .
2π  r

(5.4)
(5.5)
(5.6)
A segunda metodologia de cálculo emprega a modelagem eletromagnética
proposta nesta dissertação. Uma vez que ela é baseada na solução rigorosa das
equações de Maxwell, adota um número reduzido de simplificações e foi validada por
meio de comparação com resultados de medição, serve como um padrão de
comparação.
Duas configurações são simuladas, uma haste curta ( l = 3 m ) e uma longa (
l = 30 m ), inseridas em um solo mais condutivo ( ρ = 30 Ω.m ) e menos condutivo (
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
121
ρ = 300 Ω.m ). Um raio de 1,25 cm para haste e permissividade relativa do solo igual a
10 são adotados em todas as simulações. Os parâmetros utilizados nas simulações
são semelhantes aos de dois outros trabalhos da literatura, um de Grcev e Popov
[103] e outro de Olsen e Willis [75], o que permite uma comparação direta dos
resultados obtidos nesta seção e por outros autores.
A Fig. 5.24 ilustra a comparação dos resultados obtidos do cálculo da
impedância de haste vertical, ao longo da freqüência, por meio do modelo de circuitos
e do modelo eletromagnético proposto nesta dissertação. Conforme se pode observar,
na faixa superior do espectro o modelo de circuito superestima o valor da impedância,
sendo tal efeito mais nítido no caso de hastes longas. Nesta faixa de freqüência, o
cálculo do circuito equivalente leva a valores elevados da reatância indutiva, reduzindo
a influência do ramo RC, o que ocasiona em valores de impedância irreais. O valor de
impedância computado por meio do circuito RLC equivalente está em acordo com o
modelo eletromagnético para freqüências em que o comprimento de onda é cerca de
dez vezes o tamanho da haste, conforme as conclusões de Olsen e Willis [75]. Os
resultados também estão em ótima concordância com aqueles obtidos por Grcev
[103]. Nota-se que um melhor ajuste entre os valores de impedância calculados por
ambas as metodologias é obtido para haste curta inserida em um solo mais resistivo (
l = 3 m e ρ = 300 Ω.m ). Essa observação possui particular importância para locais
em o solo apresenta resistividade elevada, como é o caso brasileiro, e é melhor
explorada no item seguinte.
5.5.2 – Hastes verticais inseridas em solos de resistividade elevada
Nesta seção é considerada uma haste vertical curta, que corresponde a grande
parte das aplicações práticas, inserida em solos de resistividade elevada.
As Figs. 5.25 e 5.26 ilustram a impedância em função da freqüência,
computada por meio dos modelos de circuito e eletromagnético. Dois valores típicos
de resistividade de solos brasileiros são adotados (1.000 Ω.m e 2.000 Ω), sendo a
permissividade relativa igual a 10. A haste possui 3 m de comprimento e raio 1,25 cm,
em todas as simulações desta seção. Conforme se pode observar em ambas as Figs.
5.25 e 5.26, uma ótima concordância é obtida entre as duas metodologias em
praticamente toda a faixa de freqüência analisada, principalmente os resultados
concernentes ao módulo da impedância. Esse comportamento é consistente com a
interpretação de circuitos elétricos, uma vez que valores mais elevados de
resistividade implicam em um aumento da influência do ramo RC, o que reduz os
efeitos da reatância indutiva, principal responsável por valores extremamente elevados
122
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
3
10
circuito RLC equivalente
Módulo da impedância (Ω )
modelagem eletromagética
2
ρ = 300 Ω .m
1
ρ = 30 Ω .m
10
10
0
10
2
10
3
4
10
5
10
10
Freqüência (Hz)
6
10
7
10
(a)
3
10
Módulo da impedância (Ω )
circuito RLC equivalente
modelagem eletromagnética
2
10
ρ = 300 Ω .m
1
10
ρ = 30 Ω .m
2
10
3
10
4
5
10
10
Freqüência (Hz)
6
10
7
10
(b)
Figura 5.24 – Módulo da impedância de (a) haste curta
l = 3 m e (b) haste longa l = 30 m em
um solo mais condutivo ρ = 30 Ω.m e menos condutivo ρ = 300 Ω.m .
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
123
e irreais de impedância. O efeito do ramo RC pode ser observado a partir da
diminuição do módulo da impedância e do seu ângulo até valores negativos em
freqüências elevadas, conforme ilustram as Figs. 5.25 e 5.26.
Pequenas diferenças entre as duas metodologias são observadas apenas para
freqüências acima de 5 MHz, principalmente nas curvas de ângulo da impedância, o
que, todavia, não representa um problema na análise de problemas típicos associados
a transitórios oriundos de surtos atmosféricos. No caso de descargas, a faixa de
freqüência de análise do problema é, na maior parte das aplicações, determinada
pelos componentes de freqüência mais elevados existente no espectro de freqüência
da onda de corrente injetada. Uma vez que em aplicações práticas essa faixa de
freqüência é da ordem de 100 Hz a 1 MHz, a resposta transitória do aterramento é
pouco influenciada por componentes de freqüência acima de 5 MHz. Essa afirmação
pode ser facilmente confirmada por meio da avaliação da sobretensão transitória
resultante da injeção de uma onda de corrente impulsiva em uma haste de
aterramento vertical, obtida por meio dos modelos de circuito e eletromagnético. Um
gráfico dessa natureza é ilustrado na Fig. 5.27, que corresponde à resposta no tempo
de uma haste vertical imersa em um solo de resistividade 2.000 Ω.m para injeção de
uma corrente impulsiva de 0,7/20 µs. Observa-se que os resultados obtidos pelas
modelagens distintas estão em excelente concordância.
Os resultados obtidos nesta seção sugerem que um circuito equivalente
simples pode ser utilizado com boa aproximação na análise de hastes verticais,
inseridas em solos de resistividades elevadas, submetidas a surtos de altas
freqüências. Nesta seção foram analisadas hastes curtas; todavia, resultados bastante
similares podem ser obtidos para hastes mais longas utilizando mais de uma seção de
circuito RLC [10].
Considerando os gráficos analisados e os comentários anteriores, alguns
pontos podem ser destacados:
i)
Um circuito RLC equivalente pode ser utilizado para estudo preliminar e
conservativo de hastes verticais, uma vez que o mesmo superestima os valores
de sua impedância de aterramento, principalmente em solos mais condutivos;
ii) Na análise de surtos de alta freqüência, hastes verticais curtas, imersas em
solos mais resistivos, podem ser modeladas, com boa aproximação dentro do
espectro de freqüência característico deste tipo de fenômeno, por um circuito
RLC
equivalente.
Nesse
sentido,
simulações
confiáveis
podem
ser
124
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
desenvolvidas em programas de transitórios eletromagnéticas como, por
exemplo, o EMTP/ATP;
iii) A análise de hastes mais longas pode ser realizada de maneira similar à
descrita nesta seção mediante a adição de novas seções de circuito RLC [10].
Cabe, ainda, destacar que apesar dos resultados oriundos da aplicação de
metodologias simples baseadas na teoria de circuitos coincidirem razoavelmente bem
com os resultados da aplicação da modelagem eletromagnética proposta, deve-se ter
em mente que a análise por meio do circuito equivalente é limitada. Dela pode-se
obter variáveis de importância imediata para determinação de proteção contra
descargas atmosférica, como a impedância de aterramento e máxima elevação de
potencial. Todavia, análises mais complexas de cálculo de campo elétrico e tensões
induzidas em um estudo de compatibilidade eletromagnética, por exemplo, necessitam
de modelagens mais robustas e precisas.
350
Módulo da impedância (Ω )
300
250
200
150
100
circuito RLC equivalente
50
modelagem eletromagnética
0
2
10
3
10
4
5
10
10
Freqüência (Hz)
(a)
6
10
7
10
125
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
100
Ângulo da impedância (graus)
80
60
40
20
0
-20
-40
circuito RLC equivalente
-60
-80
2
10
modelagem eletromagnética
3
10
4
5
10
10
Frequency (Hz)
6
10
7
10
(b)
Figura 5.25 – Impedância de haste vertical inserida em solo de resistividade ρ = 1.000 Ω.m (a)
módulo da impedância (b) ângulo da impedância.
700
Módulo da impedância (Ω )
600
500
400
300
200
100
0
2
10
circuito RLC equivalente
modelagem eletromagnética
3
10
4
5
10
10
Freqüência (Hz)
(a)
6
10
7
10
126
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
100
80
Ângulo da impedância (graus)
60
40
20
0
-20
-40
circuito RLC equivalente
-60
modelagem eletromagnética
-80
-100
2
10
3
10
4
5
10
10
Freqüência (Hz)
6
10
7
10
(b)
Figura 5.26 – Impedância de haste vertical inserida em solo de resistividade ρ = 2.000 Ω.m (a)
módulo da impedância (b) ângulo da impedância.
700
600
Tensão (kV)
500
400
300
200
circuito RLC equivalente
modelagem eletromagnética
100
0
0
2
4
6
8
10
Tempo (µs)
Figura 5.27 – Resposta transitória de haste vertical de aterramento em um solo resistivo
( ρ = 2.000 Ω.m ) calculada por meio das modelagens de circuito e eletromagnética.
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
127
5.6 – Conclusões
Neste capítulo foram apresentados os aspectos computacionais gerais de uma
ferramenta computacional cujo código implementa o modelo matemático apresentado
no Capítulo 4. Um conjunto de resultados objetivos, oriundos da aplicação da citada
ferramenta, foi obtido nos desenvolvimentos deste capítulo.
De forma abrangente, constitui-se importante contribuição a ferramenta
computacional desenvolvida para simulação de aterramentos elétricos e cálculo do
transitório eletromagnético que nele se estabelece devido à injeção de uma corrente
impulsiva. Naturalmente, uma vez que a formulação do modelo se baseia na solução
direta das equações básicas do eletromagnetismo, a ferramenta desenvolvida
apresenta como características essências a consistência física e generalidade de
aplicação. Apresenta, ainda, como destaque a capacidade de incluir o acoplamento
eletromagnético entre os elementos do aterramento e a variação dos parâmetros do
solo com freqüência, que é acentuada na faixa de freqüências analisadas.
Na seção 5.3 foram apresentados dois procedimentos distintos com fins de
validação do modelo. O primeiro constituiu-se na comparação dos resultados gerados
pela ferramenta desenvolvida com resultados experimentais, obtidos por medições
realizadas na França pela EDF, para tensão transitória resultante da injeção de uma
corrente impulsiva em um eletrodo horizontal e em uma haste vertical. Uma
concordância bastante razoável entre os resultados gerados e medidos foi observada.
O segundo constituiu-se na comparação dos resultados obtidos da modelagem
desenvolvida com aqueles gerados por outro modelo, também baseado na solução
direta das equações de campo e considerado referência na literatura, para cálculo de
campo elétrico gerado por um eletrodo energizado. Uma ótima concordância foi
observada entre os resultados obtidos por ambos os modelos.
Da aplicação da ferramenta a uma configuração básica de eletrodo horizontal,
decorreram algumas análises de sensibilidade do aterramento a algumas variáveis
relacionadas. De tais análises, algumas merecem destaque.
•
Impedância na freqüência
Uma análise do módulo e ângulo da impedância de eletrodos horizontais, ao
longo do espectro de freqüência característico de uma descarga atmosférica, para
diversos comprimentos de eletrodo e diferentes tipos de solo, foi realizada. Observouse que na faixa de baixas freqüências a impedância possui módulo praticamente
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
128
constante e ângulo de fase igual a zero, ou seja, se aproxima de uma resistência.
Além disso, para aumentos do comprimento do eletrodo nesta faixa notou-se uma
redução da impedância quase em proporção inversa. Todavia, na faixa superior do
espectro, em que os efeitos de propagação são pronunciados, observou-se de
maneira geral que a influência do tamanho do eletrodo é pequena e os valores de
impedância são muito próximos, mesmo para aterramentos de grande extensão.
Mostrou-se que para o valor de resistividade médio brasileiro (1.000 Ω.m),
eletrodos de menor comprimento apresentam predominância dos efeitos capacitivos e
eletrodos de maior comprimento dos efeitos indutivos na faixa de altas freqüências.
Todavia, por meio da simulação de diferentes solos, mostrou-se que tal análise não
pode ser generalizada e que o efeito capacitivo se torna significativo mesmo para
eletrodos longos quando imersos em solos de elevada resistividade.
•
Impedância impulsiva
Foram obtidos gráficos que relacionam a impedância impulsiva do aterramento
com o comprimento do eletrodo para diferentes valores de resistividade do solo. Como
esperado, verificou-se que a impedância impulsiva de uma mesma configuração de
aterramento é maior quando este se encontra enterrado em um solo de resistividade
mais elevada. Contatou-se, ainda, que a impedância impulsiva diminui com o aumento
do comprimento do eletrodo até atingir um patamar a partir do qual posteriores
acréscimos no comprimento não refletem na redução da impedância impulsiva.
•
Comprimento efetivo de eletrodo de aterramento
A partir dos gráficos de impedância impulsiva em função do comprimento do
eletrodo foi determinado o comprimento efetivo de eletrodos horizontais de
aterramento para diferentes valores de resistividade do solo. Os resultados ilustraram
que o comprimento efetivo depende do tempo de frente da onda de corrente injetada
no aterramento e é tanto maior quanto mais lenta a solicitação. Mostrou-se que
eletrodos inseridos em solos de resistividade mais elevada apresentam valores
maiores de comprimento efetivo.
Constatou-se que, dentre as ondas de corrente características de descargas
atmosféricas, a injeção de uma onda mais lenta nem sempre resulta em picos de
tensão transitória menores que aqueles oriundos da injeção de uma onda mais rápida.
Mostrou-se que essa conclusão somente é verdadeira naqueles casos em que o
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
129
eletrodo apresenta comprimento superior ao comprimento efetivo referente à onda de
corrente rápida.
•
Tensões transitórias
Da resposta em freqüência da impedância e aplicação de uma transformada
inversa de Fourier, obtiveram-se gráficos da tensão transitória no ponto de injeção do
aterramento. Verificou-se que o aumento do comprimento do eletrodo é eficaz na
redução dos valores de pico de tensão desenvolvidos até o comprimento efetivo, a
partir do qual acréscimos adicionais no comprimento não refletem em novas reduções.
Nos casos analisados em que a dependência dos parâmetros do solo com a
freqüência foi incluída, foram observadas alterações sensíveis tanto na amplitude
como na forma da onda de tensão transitória resultante. Reduções maiores nos
valores de pico de tensão foram observadas para solos com resistividade elevada.
Esse efeito relaciona-se com a acentuada redução da resistividade do solo observada
em solos pouco condutivos. Para um solo de, por exemplo, resistividade 5.000 Ω.m,
medida em baixa freqüência, observou-se a redução desse valor de cerca de 50 vezes
para uma freqüência de 2 MHz. As distorções mais significativas na forma de onda
também foram observadas para solos mais resistivos. De maneira geral, a não
inclusão da dependência dos parâmetros do solo com a freqüência conduz a um
estudo conservativo das sobretensões resultantes.
•
Campos elétricos
Uma análise da distribuição do campo elétrico no nível do solo gerada por um
eletrodo horizontal energizado foi realizada. Adotaram-se três formas de cálculo do
campo elétrico no domínio da freqüência: i) forma simplificada com a desconsideração
da parcela de campo não conservativa; ii) forma completa com a inclusão da parcela
não conservativa; iii) forma completa com a inclusão da variação dos parâmetros do
solo com a freqüência.
Mostrou-se que, no cálculo do campo elétrico no nível do solo, a forma
simplificada conduz a valores menores que os obtidos por meio da forma completa na
faixa de altas freqüências. O emprego da forma completa com inclusão da
dependência dos parâmetros do solo com a freqüência gera resultados distintos das
duas metodologias anteriores, sendo os campos fortemente atenuados nas
freqüências elevadas.
Capítulo 5 – Modelagem Computacional e Análise da Resposta Transitória de
Aterramentos Elétricos
130
A avaliação dos campos elétricos transitórios em pontos específicos na
superfície do solo levou a conclusões bastante similares àquelas obtidas no caso da
investigação das sobretensões, sendo observadas alterações na amplitude e forma da
onda de campo elétrico resultante da injeção de uma corrente impulsiva. Salienta-se
que a correta determinação da frente de onda do campo elétrico é de fundamental
importância para estudos ligados à interferência eletromagnética e cálculo de tensões
induzidas.
Um terceiro tipo de análise realizada neste trabalho teve como objetivo a
investigação de circuitos simplificados para representação de hastes verticais de
aterramento no estudo de fenômenos impulsivos. A análise foi realizada por meio da
comparação da impedância no domínio da freqüência obtida do cálculo de um circuito
RLC equivalente e emprego da modelagem desenvolvida. Para análises preliminares e
conservativas constatou-se que a utilização de um circuito RLC para modelagem da
haste vertical é válida, uma vez que o mesmo superestima os valores de impedância,
sobretudo para solos mais condutivos. No caso de solos de resistividade elevada,
como é o caso brasileiro, verificou-se que o emprego do circuito equivalente apresenta
valores de impedância e comportamento de tensão transitória bem próximos daqueles
obtidos a partir da modelagem desenvolvida quando são consideradas hastes curtas.
Nesse sentido, simulações de transitórios de alta freqüência podem ser realizadas, de
forma confiável, mediante a utilização de softwares do tipo EMTP/ATP. Contudo, devese atentar que a análise por circuitos equivalentes permite apenas a quantificação de
variáveis mais diretas como impedância de aterramento e máxima elevação de
potencial. Análises mais complexas como cálculo de campos eletromagnéticos e
quantificação de tensões induzidas, por exemplo, necessitam de modelagens mais
robustas e fisicamente consistentes, como a desenvolvida nesta dissertação.
CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES
6.1 – Introdução
Ao final dessa dissertação cumpre avaliar alguns aspectos relativos às
contribuições e conseqüências do trabalho desenvolvido bem como responder a
importante pergunta: qual é a utilidade e aplicação da modelagem e ferramenta
desenvolvidas? O autor desta dissertação tem observado, em sua ainda bastante
breve experiência como pesquisador, que muitos trabalhos de altíssima qualidade
desenvolvidos por diversos pesquisadores com relação à teoria, simulação e
modelagem matemática, com ampla aplicabilidade industrial, são confinados às
universidades ou possuem divulgação relativamente restrita em termos de aplicação
prática. Uma vez que os problemas de engenharia, independentemente dos níveis de
abstração teórica envolvidos, são de cunho prático, julga-se que o estabelecimento de
uma relação, de mútuo benefício, entre academia e indústria é de fundamental
importância. A intensidade e o sucesso de tal relação dependem do estreitamento de
laços entre os engenheiros da indústria e os pesquisadores da universidade.
O
presente
trabalho
representa
um
passo
nessa
direção
com
o
estabelecimento de uma parceria de pesquisa com a Companhia Energética de Minas
Gerais (CEMIG) no estudo da interação de descargas atmosféricas com os sistemas
elétricos. Nesta primeira etapa procurou-se desenvolver uma ferramenta de simulação
de sistemas de aterramento que contemple, de forma fisicamente consistente, a
análise de transitórios de alta freqüência. Espera-se que ela possa auxiliar os
engenheiros na solução de problemas relacionados ao desempenho de sistemas de
aterramento e proteção contra descargas. Vislumbra-se, ainda, o desenvolvimento de
um software completo cujo cerne é um código computacional que utiliza o estado da
arte do tema modelagem de aterramentos elétricos em altas freqüências. Esta
dissertação marca o início do desenvolvimento desse software.
Como uma etapa preliminar à implementação da referida ferramenta
computacional procedeu-se a um laborioso desenvolvimento analítico a partir da
aplicação das equações de Maxwell à configuração básica de interesse, constituída de
condutores cilíndricos imersos em um meio homogêneo e infinito. Os desdobramentos
desse desenvolvimento culminaram com o estabelecimento de um modelo consistente
Capítulo 6 – Conclusões
132
e geral para representação de sistemas de aterramento. As características essenciais
e potencialidades do modelo em questão merecem ser destacadas.
6.2 – Potencialidades do modelo eletromagnético desenvolvido
A modelagem desenvolvida e apresentada no Capítulo 4 desta dissertação,
baseada diretamente nas equações básicas do eletromagnetismo, é aplicável a
configurações genéricas de aterramento. O seu emprego em domínios específicos de
configurações práticas de engenharia permite a exploração de certas simetrias e a
realização de consideráveis simplificações, que refletem diretamente na redução do
esforço de cálculo.
O modelo permite a inclusão dos acoplamentos eletromagnéticos entre os
diversos elementos do aterramento, aspecto de fundamental importância na análise de
fenômenos transitórios de alta freqüência. Ademais, uma vez que o cálculo do
transitório é realizado no domínio da freqüência, o modelo permite a inclusão da
variação dos parâmetros eletromagnéticos do solo, condutividade e permissividade
elétrica, que é acentuada na faixa de freqüência característica dos fenômenos
impulsivos investigados.
Outro aspecto de relevo decorre da aplicação do Método dos Momentos para
solução do modelo matemático desenvolvido. A possibilidade de escolha de diferentes
funções base para representação das distribuições de corrente ao longo dos eletrodos
de aterramento conduz a um aumento da generalidade de aplicação da modelagem e
permite a redução do número de elementos resultantes da discretização da malha de
aterramento.
A versão atual da ferramenta computacional que está sendo desenvolvida
implementa configurações de aterramento compostas por eletrodos horizontais, hastes
verticais e, ainda em fase de testes, malhas quadriculadas. A entrada de dados é
bastante otimizada, sendo informadas apenas as coordenadas dos eletrodos e as
características eletromagnéticas do solo. A partir desses dados uma série de
importantes resultados, nos domínios do tempo e da freqüência, são gerados.
São resultados obtidos no domínio da freqüência: impedância de aterramento,
perfil de potencial e distribuição de corrente ao longo do aterramento, distribuição de
potenciais no nível do solo, distribuição de campo elétrico no nível do solo e ao longo
da superfície do eletrodo.
Capítulo 6 – Conclusões
133
São resultados obtidos no domínio do tempo: impedância impulsiva de
aterramento, tensão transitória resultante no ponto de injeção, potenciais e campo
elétrico no nível do solo.
Julga-se que a ferramenta desenvolvida pode ser um instrumento de valor no
auxilio ao estudo, análise e projeto de aterramentos, sobretudo quando é avaliado o
desempenho e comportamento dos mesmos frente a ocorrências rápidas. Pode, ainda,
servir de subsídio a estudos relacionados ao tema de compatibilidade eletromagnética
no cálculo de campos eletromagnéticos e tensões induzidas nas proximidades do
aterramento. Como ilustração das possibilidades associados a sua aplicação,
apresentou-se no Capítulo 5 uma série de análises de sensibilidade, relacionando
diversas variáveis presentes na análise de aterramentos e o seu desempenho, para
configurações básicas, nos domínio do tempo e da freqüência. A despeito do caráter
ilustrativo das aplicações, alguns aspectos interesse foram derivados. Um resumo dos
principais resultados obtidos encontra-se no fim do Capítulo 5 (seção 5.6 –
Conclusões).
Deve-se ainda salientar outro aspecto de interesse da possibilidade de
aplicação da modelagem apresentada em adição à questão, até então considerada, de
avaliação do desempenho do aterramento propriamente. A aplicação da ferramenta
desenvolvida a uma série de configurações e situações pode auxiliar na obtenção de
um banco de informações objetivas sobre o comportamento do aterramento em
diversas situações práticas. A divulgação de, por exemplo, tabelas que relacionam a
configuração de aterramento, comprimento efetivo e características da onda solicitante
pode ser extremamente útil aos engenheiros e técnicos que trabalham com proteção
de sistemas contra descargas atmosféricas. A ferramenta pode ainda servir como
padrão para calibração de outras modelagens mais simplificadas e que demandam
menor tempo computacional. A quantificação de impedâncias equivalentes do
aterramento para aplicação de um modelo de circuitos é um exemplo desta última
aplicação.
6.3 – Propostas de continuidade
Tendo em vista as realizações deste trabalho e a experiência adquirida durante
a produção desta dissertação, julga-se que alguns itens merecem explorações
adicionais, podendo-se citar, dentre estes:
Capítulo 6 – Conclusões
•
134
Avaliação da consideração do solo como meio homogêneo mediante a
ampliação da modelagem apresentada para um meio que apresente camadas
estratificadas;
•
Desenvolvimento de uma modelagem mais adequada para inclusão do efeito
da interface solo-ar na investigação da propagação de surtos em eletrodos de
aterramento como, por exemplo, a inclusão das integrais de Sommerfeld;
•
Inclusão de efeitos não lineares na ferramenta desenvolvida, sobretudo o
fenômeno de ionização do solo. Posterior avaliação desse efeito no
desempenho e comportamento transitório do aterramento;
•
Avaliação da influência da forma de onda de corrente injetada a partir da
análise de outras funções diferentes da dupla exponencial como, por exemplo,
onda de corrente tipo rampa, côncava e função de Heidler;
•
Investigação mais aprofundada do efeito da variação dos parâmetros
eletromagnéticos do solo com a freqüência na resposta transitória do
aterramento;
•
Análise detalhada da relação entre a resistividade e tempo de frente da onda
de corrente injetada e o comprimento efetivo de eletrodos de aterramento.
Estabelecimento de relações matemáticas para essa relação e posterior
obtenção de fórmulas práticas para cálculo do comprimento efetivo;
•
Avaliação das tensões induzidas em equipamentos situados nas proximidades
do aterramento e das tensões de toque e passo. Comparação dos resultados
obtidos para essas variáveis mediante aplicação da metodologia apresentada
nesta dissertação e aquelas recomendadas por normas;
•
Determinação de limites em que os efeitos de propagação são significativos
com vistas à obtenção de modelagens simplificadas para investigação de
fenômenos mais lentos;
•
Extensão da modelagem para outros elementos do sistema elétrico como, por
exemplo, torres, cabos fase e pará-raios;
•
Investigação de outras funções base para representação das distribuições de
corrente ao longo dos eletrodos. A função pulso adotada nesta dissertação
135
Capítulo 6 – Conclusões
corresponde a uma escolha razoável para o problema investigado; contudo,
requer a divisão da malha de aterramento em um número razoável de
elementos para obtenção de resultados precisos. A opção por uma função
base triangular, por exemplo, adiciona pouca complexidade ao código
computacional, porém pode reduzir drasticamente o número de elementos em
que a malha de aterramento é discretizada, uma vez que a corrente em cada
elemento é modelada por uma função que leva em conta a redução da corrente
no espaço;
•
Desenvolvimento de uma análise detalhada da escolha de valores adequados
para a freqüência máxima de simulação e passo de freqüência, como por
exemplo,
a
investigação
da
aplicação
da
transformada
wavelet.
Adicionalmente, investigação de outras técnicas para o processo de inversão
freqüência-tempo, bem como melhor avaliação das vantagens e desvantagens
das técnicas existentes.
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