PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física
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Amauri Marques dos Reis
Belo Horizonte
2010
Amauri Marques dos Reis
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Mééddiioo
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Ensino de Física da
Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais como requisito parcial para a
obtenção do título do curso de Mestre em
Ensino de Física.
Orientador: Prof. Dr. Lev Vertchenko
Belo Horizonte
2010
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
R375g
Reis, Amauri Marques dos
Gravitação no contexto da pesquisa mineral: transposição para o Ensino
Médio / Amauri Marques dos Reis, 2010.
132 f. il.
Orientador: Lev Vertchenko
Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física.
1. Construtivismo (Educação). 2. Gravitação. 3. Prospecção Mineral. I.
Vertchenko, Lev. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa
de Pós-Graduação em Ensino de Física. III. Título.
CDU: 531.5:373.5
Aos meus colegas professores, que tentam melhorar o
mundo apesar de todas as dificuldades impostas pelo
atual sistema educacional.
Agradecimentos
A Deus pela criação de um universo que faz com que eu consiga ter alegria
de viver, sempre rodeado de pessoas maravilhosas;
Aos meus pais, Antônio e Léa, que sempre tiveram um bom relacionamento,
refletindo na criação dos seus filhos;
Aos meus irmãos, por tantos momentos compartilhados, tantos prazeres que
nem podem ser expressos por meio de palavras;
Aos meus colegas de mestrado por conversarmos como amigos e dividirmos
experiências alcançadas ao longo da vida;
Aos professores de todo o curso básico, por conseguirem iluminar meu
caminho nesta jornada de vida;
Aos professores da PUC Minas que proporcionaram a formação final para que
eu pudesse concluir mais uma etapa da vida, principalmente ao Lev, pela paciência
de analisar o texto, sugerindo modificações que engrandeceram o trabalho;
Um agradecimento especial a minha esposa Viviane, que me deu força em
todos os momentos difíceis, sendo sua ajuda indispensável à formulação final deste
trabalho.
"Não se pode ensinar alguma coisa a alguém,
pode-se apenas auxiliar a descobrir por si
mesmo."
(Galileu Galilei)
RESUMO
Esta dissertação é uma proposta de adaptar alguns conhecimentos de Gravimetria,
parte da Geofísica que estuda a relação das rochas com o campo gravitacional
terrestre, para escolas de Ensino Médio de regiões mineradoras do Brasil. Exibe um
conjunto de textos baseados na pesquisa de minerais valiosos, os quais poderão ser
utilizados por professores para exemplificar suas aulas, mostrando que os conceitos
dos tópicos de gravitação são utilizados no âmbito profissional. Procura-se, desta
forma, suprir parte da carência existente nos livros didáticos, os quais por seu
caráter genérico não podem contextualizar
os saberes
para atender as
características locais. A elaboração dos textos é fundamentada nos conceitos de
Aprendizagem Significativa de David Ausubel e de Transposição Didática de Yves
Chevallard, que fornecem teorias para o entendimento da estrutura cognitiva dos
aprendizes e as considerações ao se preparar materiais didáticos. Uma parte do
produto construído foi aplicada a duas turmas de um curso regular de Física, nas
quais os alunos já haviam estudado os tópicos de gravitação, mostrando como foi a
abordagem dos conceitos pelo professor em sala de aula e os resultados finais
alcançados pelos aprendizes.
Palavras-chave:
Aprendizagem
Significativa.
Transposição
Contextualização. Gravimetria. Gravitação. Pesquisa Mineral.
Didática.
ABSTRACT
This dissertation is meant to adapt some concepts of Gravimetry to high school
teachers living in mining areas in Brazil. Gravimetry is the part of geophysics that
studies the relationship between rocks and the earth’s gravitational field. A set of
texts based on the research of valuable minerals is presented throughout this
paperwork and it can be helpful to teachers in classroom considering that the
concepts of topics on gravitation are used in the professional field. It is expected that
this dissertation can supply the school books’ lack of specific information by
contextualizing it with some local working activities. The texts based on the concepts
of Meaningful Learning by David Ausubel and Didactical Transposition by Yves
Chevallard present theories both to understand learners’ cognitive structure and the
manners to prepare didactical material. Part of the present study was used in two
different classes in a regular physics course of which the students had already
studied the topics on gravitation. It was shown the teacher’s approach of the
concepts and the results obtained by his learners.
Key-words: Meaningful Learning. Didactical Transposition. Contextualization.
Gravimetry. Gravitation. Mineral Research.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 01: Camadas Geológicas da Terra ................................................................ 33
FIGURA 02: Experiência de Cavendish ....................................................................... 35
FIGURA 03: Força de interação gravitacional .............................................................. 36
FIGURA 04: Posições do pêndulo simples ................................................................... 44
FIGURA 05: Movimento de oscilação de um pêndulo simples ..................................... 45
FIGURA 06: Desenho esquemático de um gravímetro de mola.................................... 46
FIGURA 07: Deformação da mola pela ação de um campo gravitacional ................... 47
FIGURA 08: Equivalência entre peso e força gravitacional .......................................... 48
FIGURA 09: Linhas de campo gravitacional geradas por uma camada rochosa plana,
longe das bordas ........................................................................................................... 50
FIGURA 10: Perfil gravimétrico associado a duas placas planas horizontais
sobrepostas ................................................................................................................... 51
FIGURA 11: Perfil gravimétrico devido a um domo salino ............................................ 53
FIGURA 12: Perfil esquemático da Terra ..................................................................... 55
FIGURA 13: Massas geradoras do campo gravitacional .............................................. 56
FIGURA 14: Deformação para o cálculo da gravidade relativa .................................... 58
FIGURA 15: Mapa de linhas de mesmo valor do campo gravitacional ........................ 59
FIGURA 16: Esquema para obter dos perfis gravimétricos para massas distintas ...... 60
FIGURA 17: Decomposição do campo gravitacional ................................................... 62
FIGURA 18: Interpretação geológica de um perfil gravimétrico ................................... 64
FIGURA 19: Construção de perfil gravimétrico – etapa 1e 2 ........................................ 65
FIGURA 20: Construção de perfil gravimétrico – etapa 3 e 4 ....................................... 66
FIGURA 21: Construção de perfil gravimétrico – etapa 5, 6 e 7 ................................... 67
FIGURA 22: Campo gravitacional externo em um ponto na superfície da Terra .......... 69
FIGURA 23: Posições de maior e menor valor do campo gravitacional gerado pelas
forças externas ............................................................................................................. 70
FIGURA 24: Representação do campo gravitacional para uma Terra homogênea e
sem rotação .................................................................................................................. 71
FIGURA 25: Representação da aceleração da gravidade resultante pela rotação da
Terra ............................................................................................................................. 71
FIGURA 26: Representação da altura de um ponto em relação ao nível de referência
...................................................................................................................................... 74
FIGURA 27: Correção devida à camada rochosa entre os pontos de observação ...... 76
FIGURA 28: Campo gravitacional adicional por causa da camada rochosa acima do
nível de referência ......................................................................................................... 76
FIGURA 29: Campo que deve ser subtraído pela falta de massa ................................ 76
FIGURA 30: Correção do campo gravitacional pela presença de uma elevação nas
proximidades do gravímetro .......................................................................................... 78
FIGURA 31: Correção pela presença de um vale nas proximidades do gravímetro .... 78
LISTA DE TABELAS
TABELA 01: Linguagens compartilhadas pelas ciências .......................................... 22
TABELA 02: Densidade das principais rochas da superfície terrestre ...................... 41
TABELA 03: Módulo da componente vertical do campo gravitacional para a massa
m1 ............................................................................................................................. 63
TABELA 04: Módulo da componente vertical do campo gravitacional para a massa
m2 ............................................................................................................................. 63
TABELA 05: Variação da aceleração da gravidade com a latitude .......................... 73
TABELA 06: Respostas do pré-teste ...................................................................... 100
TABELA 07: Respostas do pós-teste ..................................................................... 101
LISTA DE GRÁFICOS
GRÁFICO 01: Componente vertical do campo gravitacional em função da distância
para m1 ......................................................................................................................... 63
GRÁFICO 02: Componente vertical do campo gravitacional em função da distância
para m2 ......................................................................................................................... 63
GRÁFICO 03: Evolução dos alunos ............................................................................ 98
LISTA DE SIGLAS
CBC: Currículo Base Nacional Comum
LDB: Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional
PCNEMs: Parâmetros Curriculares Nacionais - Ensino Médio
PCNs: Parâmetros Curriculares Nacionais
PCN+: Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares
Nacionais
PNLEM: Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio
LISTA DE ABREVIATURAS
acf: aceleração centrífuga
Ca: correção de altitude
Cm:correção devido as montanhas ou vales
CG: centro de gravidade
E: escala
Fg : força de interação gravitacional
Fel: força elástica
g: módulo do campo gravitacional
gap: campo gravitacional aparente
gas: campo gerado pelas rochas abaixo da superfície
g0= aceleração da gravidade sem rotação
gi: módulo do campo gravitacional devido a uma massa i
gx: componente horizontal do campo gravitacional devido a uma massa m
gy: componente vertical do campo gravitacional devido a uma massa m
gl: campo gravitacional gerado na superfície pela Lua
gm: campo gravitacional gerado por uma montanha
gp: campo gravitacional no ponto medido
gp’: campo gravitacional calculado para superfície de referência
gr: campo gravitacional resultante
gs: campo gravitacional gerado na superfície pelo Sol
grex: campo devido as forças externas
g (r ) : módulo do campo em função da distância
g ( r  h) : módulo do campo em função da distância e da altura
G: constante universal da atração gravitacional (6,67x10−11Nm2/Kg2)
K: constante elástica de uma mola
h: altura ou espessura
l: comprimento do pêndulo
L: distância horizontal em um caminhamento gravitacional
m: Massa do corpo de menor dimensões
M: massa do corpo de maior dimensões
mi: massa de um corpo qualquer
P: Força peso
Px= componente do peso segundo o eixo x
Py= componente do peso segundo o eixo y
r: raio de um corpo esférico ou a distância entre doi pontos
ri: distância entre dois corpos
T: Período
x: deformação da mola
V: volume
ρ: densidade ou massa específica
∑: somatório
Φ: latitude
θ: ângulo qualquer
: média aritmética
= módulo
Δg= gravidade relativa ou a correção devido a latitude
SUMÁRIO
1- INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 17
2- FUNDAMENTAÇÕES TEÓRICO-PEDAGÓGICAS ................................................. 21
2.1- Inserção do trabalho nos Parâmetros Curriculares Nacionais ....................... 21
2.2- Critérios para a escolha dos referenciais teórico-pedagógicos ..................... 23
2.3- Aprendizagem significativa ................................................................................ 25
2.4- Transposição didática ........................................................................................ 26
2.5- A sobrevivência dos saberes ............................................................................. 27
3- O PRODUTO ........................................................................................................... 30
3.1- Conhecendo o centro da Terra .......................................................................... 32
3.1.1- Instruções gerais ao professor ....................................................................... 32
3.1.2- Texto 1: Conhecendo o centro da Terra ......................................................... 33
3.1.3- Questões que podem ser discutidas com os alunos .................................... 41
3.2- Determinando experimentalmente a aceleração da gravidade ........................ 41
3.2.1- Instruções gerais ao professor ....................................................................... 41
3.2.2- Texto 2: Determinando experimentalmente a aceleração da gravidade ...... 45
3.2.2.1- Pêndulo simples ............................................................................................ 44
3.2.2.1- Gravímetro ..................................................................................................... 46
3.3- Gravidade relativa .............................................................................................. 54
3.3.1- Instruções gerais ao professor ....................................................................... 54
3.3.2- Texto 3: Gravidade relativa ............................................................................. 55
3.3.2.1-Determinação da profundidade dos corpos através do campo
gravitacional ............................................................................................................... 60
3.3.2.2- Etapas para a construção de um perfil gravimétrico ................................. 65
3.4- Correções do campo gravitacional .................................................................... 68
3.4.1- Instruções gerais ao professor ....................................................................... 68
3.4.2- Texto 4: Correções do campo gravitacional .................................................. 68
3.4.2.1- Correção por causa da maré terrestre ........................................................ 69
3.4.2.2- Correção por causa da diferença de latitude .............................................. 70
3.4.2.3- Correção por causa da altitude .................................................................... 73
3.4.2.4- Correção devida à camada rochosa ............................................................. 75
3.4.2.5- Correção por causa da topografia ............................................................... 77
4- APLICAÇÃO DO PRODUTO E ANÁLISE DOS RESULTADOS ............................ 80
4.1- Caracterização dos alunos e da escola ............................................................. 80
4.2- Metodologia da pesquisa ................................................................................... 81
4.2.1- Primeiro levantamento de concepções .......................................................... 82
4.2.2- A aula ................................................................................................................ 84
4.2.3- Segundo levantamento de concepções ......................................................... 84
4.3- Classificação dos alunos ................................................................................... 86
4.4- Análise inicial dos resultados ............................................................................ 98
4.5- Análise final dos resultados ............................................................................. 102
5- COMENTÁRIOS FINAIS ........................................................................................ 104
REFERÊNCIAS .......................................................................................................... 106
ANEXOS .................................................................................................................... 111
17
1- INTRODUÇÃO
No ensino tradicional de gravitação encontra-se a análise histórica dos
modelos de descrição do sistema solar desde a Antiguidade, culminando com a Lei
da Gravitação Universal feita por Newton associada ao valor da constante
gravitacional calculada por Cavendish.
Para o detalhamento dessa lei, os textos encontrados nos livros didáticos, em
sua maioria, usam os conceitos de variação do campo gravitacional nas
proximidades da superfície da Terra e a análise de corpos em órbita, sempre
baseando em exemplos bem elaborados, mas que não são contextualizados com as
questões vividas no universo profissional das regiões mineradoras do Brasil.
Esses conceitos apresentados nos livros didáticos são pré-requisitos para o
entendimento dos textos produzidos neste trabalho, nos quais a Gravimetria, parte
da Geofísica que trata dos assuntos referentes ao campo gravitacional terrestre, é a
fonte das questões tratadas.
Os textos propostos buscam a análise de situações com a visão focada
principalmente no campo gravitacional da Terra, sugerindo questões vivenciadas por
geofísicos e outros profissionais que trabalham com a pesquisa de minerais valiosos
no subsolo.
Uma vantagem dos textos elaborados com base na Gravimetria é a
possibilidade de fornecer aos professores um material contextualizado perante o
mundo do trabalho das regiões brasileiras, nas quais a atividade mineradora tem
características economicamente significativas, podendo ser importante também para
as outras regiões.
Os textos foram criados para serem trabalhados por professores, para que
possam mostrar que o ensino de Gravitação está ligado ao trabalho das empresas
mineradoras próximas às regiões em que os alunos residem. Essa associação com
a Gravimetria deu-se considerando a necessidade de formação profissional,
evidenciada no artigo 26 da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, a Lei
9.394/96 (LDB):
Os currículos do ensino fundamental e médio devem ter uma base nacional
comum, a ser complementada, em cada sistema de ensino e
estabelecimento escolar, por uma parte diversificada, exigida pelas
18
características regionais e locais da sociedade, da cultura, da economia e
da clientela. (BRASIL, 1996)
Espera-se que após a leitura dos textos, os professores consigam visualizar
aplicações escolares dos conceitos de Gravitação no contexto profissional das
empresas mineradoras, potencializado o processo ensino-aprendizagem.
Uma grande contribuição ao processo educacional foi à implantação do
Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM), que
recomendou coleções didáticas sintonizadas com a política educacional vigente,
com conteúdo de qualidade. Ainda assim os livros recomendados pelo PNLEM não
trazem as características locais, que devem estar envolvidas nas rotinas de sala de
aula, conforme orientação de Núñez:
O professor deve desenvolver saberes e ter competências para superar as
limitações próprias dos livros, que por seu caráter genérico, por vezes, não
podem contextualizar os saberes como não podem ter exercícios
específicos para atender às problemáticas locais. É tarefa dos professores
complementar, adaptar, dar maior sentido aos bons livros recomendados
pelo MEC. (NÚÑEZ, 2003, pág.3)
Portanto, os tópicos desta dissertação buscam ampliar os conhecimentos dos
professores sobre algumas atividades mineradoras, além de propiciar aos seus
alunos algumas práticas próximas das desenvolvidas por profissionais qualificados
que estudam a superfície do planeta Terra.
Esses conhecimentos profissionais transpostos ao ambiente escolar têm
objetivos como:

Mostrar que a formulação da Lei de Atração dos Corpos da Gravitação
Universal é usada por profissionais da pesquisa mineral;

Ampliar o conceito de álgebra vetorial, ou seja, além do módulo os alunos
devem ter atenção na direção e no sentido do campo gravitacional;

Mostrar a importância de pequenas flutuações dos valores do módulo do
campo gravitacional para a vida profissional de trabalhadores que
pesquisam rochas e minerais valiosos.
Para execução de tais objetivos, no capítulo 2, são inicialmente verificadas as
razões que consolidam o presente trabalho dentro das bases estruturais dos
Parâmetros Curriculares Nacionais - Ensino Médio (PCNEMs).
19
Em seguida é mostrada a razão da escolha dos referenciais teóricopedagógicos, neste caso, David Ausubel e Yves Chevallard. O primeiro, pela sua
contribuição com o conceito de Aprendizagem Significativa, e o segundo por mostrar
a necessidade de adaptar didaticamente textos para o Ensino Médio.
No capítulo 3, são apresentados os textos produzidos nesta dissertação:
“Conhecendo o centro da Terra”, “Determinando experimentalmente a aceleração da
gravidade”, “Gravidade relativa” e “Correções do campo gravitacional”.
Os três primeiros textos podem ser tratados diretamente com os alunos do
Ensino Médio, uma vez que suas propostas são compatíveis com as formulações
conceituais encontradas neste ciclo de aprendizagem.
Já o quarto texto possui um maior nível de dificuldade, visando dar subsídios
teóricos ao professor perante a complexidade dos trabalhos de Gravimetria. Este
texto procura mostrar aos professores situações um pouco mais complexas sobre o
campo gravitacional do que as estudados no Ensino Médio.
Para introduzir os textos são colocadas algumas instruções metodológicas
para seu uso no processo ensino-aprendizagem, finalizando os três primeiros com
algumas questões que podem ser trabalhadas com os alunos.
Dentro dos textos são colocadas algumas caixas de diálogo provenientes da
prática pedagógica. Enquanto algumas caixas apontam situações a serem
destacadas no texto, outras procuram esclarecer alguns conceitos aos próprios
professores.
O primeiro texto, “Conhecendo o centro da Terra”, traz uma análise da
experiência de Cavendish, mostrando através de cálculos simples, como foi possível
calcular a densidade média da Terra sem ter em mãos todos os materiais
constituintes do planeta. Esse cálculo tem o objetivo principal de diferenciar o
conceito de investigação direta e indireta, ou seja, a possibilidade extrapolar valores
a partir de equações.
O segundo texto, “Determinando experimentalmente a aceleração da
gravidade”, visa mostrar o princípio de funcionamento de equipamentos de medida
do módulo do campo gravitacional na superfície da Terra. Discute, ainda, o porquê
do uso do gravímetro ao invés do pêndulo simples na pesquisa mineral.
A importância do terceiro texto, “Gravidade relativa” se relaciona com o
trabalho de mapas e gráficos, possibilitando aos alunos diferentes linguagens para a
20
representação das grandezas físicas e a analise de problemas de ordem
profissional.
No quarto texto, “Correções do campo gravitacional”, são estudadas algumas
correções necessárias em um trabalho profissional de Gravimetria, indispensáveis
para o refinamento das informações coletadas em campo. Esse texto visa
principalmente dar subsídios teóricos ao professor sobre as situações vividas pelos
geofísicos.
No capítulo 4, é apresentada uma análise dos resultados obtidos com a
aplicação-teste do texto, “Conhecendo o centro da Terra”, nas turmas B e E, dos
segundos anos do Ensino Médio, da Escola Estadual “Dom Silvério”, localizada em
Mariana/MG.
Finalmente, no capítulo 5 são apresentadas as considerações finais,
mostrando o fechamento do trabalho, levando em consideração observações
baseadas na teoria de David Ausubel.
21
2- FUNDAMENTAÇÕES TEÓRICO-PEDAGÓGICAS
2.1- Inserção do trabalho nos Parâmetros Curriculares Nacionais
A implantação da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB), de
dezembro de 1996, estabelece no Brasil o Currículo Base Nacional Comum (CBC),
correspondente a todas as áreas de ensino, sendo dada ao Ensino Médio a
identidade final da Educação Básica.
Em outras etapas, foram criados os Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCNs)
e
as
Orientações
Educacionais
Complementares
aos
Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN+) especificas para todas as áreas do conhecimento
estudadas no Ensino Médio. A Física ficou associada à área de Ciências da
Natureza, Matemática e suas Tecnologias, que pretende explicitar as habilidades
básicas e as competências específicas a serem desenvolvidas pelos professores
(RICARDO, 2003).
A inovação das orientações trazidas tanto pela LDB quanto pelos PCNEMs e
PCNs+ consiste em indicar a necessidade da educação escolar estar em harmonia
com os ambientes de trabalho no qual as escolas de Ensino Médio estão inseridas.
Seguem trechos dos PCN+ das Ciências da Natureza, Matemática e suas
Tecnologias compatíveis com a proposta de contextualização dos tópicos de
gravitação com a pesquisa mineral.
Especialmente em sua versão pré-universitária, o ensino médio tem se
caracterizado por uma ênfase na estrita divisão disciplinar do aprendizado.
Seus objetivos educacionais se expressavam e, usualmente, ainda se
expressam em termos de listas de tópicos que a escola média deveria
tratar, a partir da premissa de que o domínio de cada disciplina era requisito
necessário e suficiente para o prosseguimento dos estudos. Dessa forma,
parecia aceitável que só em etapa superior tais conhecimentos disciplinares
adquirissem, de fato, amplitude cultural ou sentido prático. Por isso, essa
natureza estritamente propedêutica não era contestada ou questionada,
mas hoje é inaceitável. (BRASIL, 2002, p.8)
A citação anterior evita que a proposta do Ensino Médio seja simplesmente
preparatória para o vestibular ou para um curso profissionalizante, gerando a
22
necessidade de um tratamento mais contextualizado dos assuntos abordados nas
escolas.
Há, no entanto, problemas para a transição do ensino tradicional ao
idealizado dentro do PCN+, sendo um a formação deficitária de professores. Ricardo
e Zylbersztajn (2007) apontam problemas como: a falta de políticas educacionais
que viabilizassem tais discussões, a não-formação continuada dos professores e a
carência de ações efetivas para modificar a estrutura escolar ainda centralizadora e
apoiada em cargas horárias pesadas para os docentes.
Na elaboração do programa de ensino de cada uma das quatro disciplinas,
está se levando em conta o fato de que elas incorporam e compartilham, de
forma explícita e integrada, conteúdos de disciplinas afins, como Astronomia
e Geologia. Da mesma forma, aspectos biológicos, físicos, químicos e
matemáticos, presentes nas questões tecnológicas, econômicas, ambientais
ou éticas das relações interpessoais e do sistema produtivo e dos serviços,
serão tratados como contexto em que se desenvolve o conhecimento
científico, e não em separado, como apêndices ou aplicações de uma
ciência básica. (BRASIL, 2002, p.24)
Para que se possa conduzir o ensino conforme citação anterior, a tabela 01
mostra a síntese de linguagens compartilhadas pelas ciências, que podem promover
competências necessárias aos alunos no processo educacional.
TABELA 01: Linguagens compartilhadas pelas ciências
Fonte: PCN+, 2002
23
Consequentemente, um trabalho que ensine tópicos de gravitação com base
na Gravimetria necessita de um tratamento didático para que os alunos reconheçam
em termos práticos os códigos científicos, transpostos da pesquisa mineral, a partir
de textos, equações, diagramas e gráficos.
Para tal pretensão, esta dissertação visa análises educacionais baseadas em
temas educacionais atuais, tais como o descobrimento de jazidas minerais e de
petróleo em sua camada pré-sal, tão divulgadas na atualidade.
Caberá sempre ao professor, dentro das condições específicas nas quais
desenvolve seu trabalho, em função do perfil de sua escola e do projeto
pedagógico em andamento, selecionar, priorizar, redefinir e organizar os
objetivos em torno dos quais faz mais sentido trabalhar. (BRASIL, 2002,
p.62)
Sabe-se atualmente que grande parte dos professores de Física do Ensino
Médio não é licenciada, ou fez apenas uma complementação de curso para poder
lecionar. A presente proposta oferece um material com maior amadurecimento
dentro das novas concepções de educação.
2.2- Critérios para a escolha dos referenciais teórico-pedagógicos
Para a elaboração dos textos foi necessário fazer algumas reflexões sobre as
transformações dos conteúdos científicos, no caso conhecimentos de Gravimetria,
em conteúdos escolares.
Essa dificuldade baseia-se na diferença significativa entre o campo
profissional
e
o
mundo
vivenciado
pelos
alunos
do
Ensino
Médio.
Consequentemente, a escolha dos referenciais teórico-pedagógicos adotados
seguiu os seguintes critérios:
1- O contexto no qual a escola está inserida;
2- Fazer com que o conteúdo científico possa ser compartilhado com os
alunos de forma que tenham uma participação ativa em sua construção.
Para atender ao primeiro critério proposto foi escolhida a Escola Estadual
“Dom Silvério” para a aplicação inicial do trabalho. Essa escolha foi feita porque ela
se localiza no município de Mariana, que está inserido no Quadrilátero Ferrífero do
24
Estado de Minas Gerais e, consequentemente, tem grande parte de suas divisas
econômicas originárias de impostos pagos por grandes empresas mineradoras que
estão instaladas ao seu redor. Por conseguinte, uma parcela significativa dos alunos
tem vontade de conhecer a realidade vivida por essas empresas.
Para atender o segundo critério foi-se buscar respostas em dois referenciais
teóricos da educação: David Ausubel, com sua Teoria da Aprendizagem
Significativa, e Yves Chevallard, que aborda a transposição didática.
A escolha de Ausubel é porque ele preconiza que para haver retenção de
conhecimentos na estrutura cognitiva do aluno são necessárias duas condições: o
aluno precisa ter uma pré-disposição para aprender e o conteúdo a ele fornecido
deve ser potencialmente significativo. (AUSUBEL, 2003)
Como os conhecimentos de Gravimetria se encontram próximos à vivência
dos alunos das regiões mineradoras e também fazem a análise do campo
gravitacional na superfície da Terra, pressupõe-se que os alunos possam se
interessar pelos trabalhos de profissionais como os geofísicos e os geólogos.
A escolha de Yves Chevallard está relacionada ao fato do conhecimento
científico aplicado nas empresas não ser o mesmo conhecimento vivido nas escolas
do Ensino Médio, uma vez que no ambiente escolar os alunos não possuem
instrumentos lógicos para entender de imediato o que está no mundo dos
pesquisadores.
Consequentemente, os textos criados são modificados de uma linguagem
encontrada em textos científicos de Gravimetria para uma linguagem acessível aos
alunos do Ensino Médio, realizando uma mudança que é denominada transposição
didática.
Pode-se então tratar o termo transposição didática como o conjunto de
transformações sofridas pelo saber científico, antes de ser ensinado na escola, ou
seja, da escolha do saber a ensinar à sua adaptação ao sistema didático.
Pretende-se, desta forma abordar alguns tópicos de gravitação para serem
usados por professores em turmas do Ensino Médio com o auxílio de conhecimentos
de Gravimetria objetivando enriquecer o currículo escolar.
25
2.3- Aprendizagem significativa
Ausubel (2003) cita que no processo de aprendizagem significativa, há uma
hierarquização dos conceitos presentes na estrutura cognitiva, que são abstrações
da experiência do indivíduo. Os conceitos, já existentes na estrutura cognitiva do
indivíduo, são denominados subsunçores (ou conceitos subsunçores).
Então, no processo de formação da estrutura cognitiva, para que os
aprendizes
consigam
mais
facilmente
adquirir
os
novos
conhecimentos
apresentados pelo professor é necessária a interação destes conceitos com os
subsunçores, para haver uma ancoragem do novo conteúdo potencialmente
significativo.
Uma suposição para elaboração desta dissertação é que os alunos das
proximidades de áreas mineradoras se interessam pelo trabalho das empresas do
seu entorno, por isso a Gravimetria pode tornar o aprendizado mais significativo.
Segundo Ausubel (2003) para tornar a aprendizagem significativa pode-se
usar de alguns facilitadores da aprendizagem, dentre eles os organizadores prévios.
Organizadores prévios são materiais introdutórios com um nível mais alto de
abstração, generalidade e inclusividade, para servir de ponte entre o que o aprendiz
já sabe e o que deveria saber.
Para Ausubel, a fundamentação lógica para a utilização dos organizadores
baseia-se essencialmente em:
1. A importância de se possuírem idéias relevantes, ou apropriadas,
estabelecidas, já disponíveis na estrutura cognitiva, para fazer com que as
novas idéias logicamente significativas se tornem potencialmente
significativas e as novas idéias potencialmente significativas se tornem
realmente significativas (i.e., possuírem novos significados), bem como
fornecer-lhes uma ancoragem estável.
2. As vantagens de se utilizarem as idéias mais gerais e inclusivas de uma
disciplina na estrutura cognitiva como idéias ancoradas ou subsunçores,
alteradas de forma adequada para uma maior particularidade de relevância
para o material de instrução. Devido à maior aptidão e especificidade da
relevância das mesmas, também usufruem de uma maior estabilidade,
poder de explicação e capacidade integradora inerentes.
3. O fato de os próprios organizadores tentarem identificar um conteúdo
relevante já existente na estrutura cognitiva (e estarem explicitamente
relacionados com esta) e indicar, de modo explícito, a relevância quer do
conteúdo existente, quer deles próprios para o novo material de
aprendizagem. (AUSUBEL, 2003, p. 12)
26
Espera-se que com a aplicação das idéias contidas nos textos pelos
professores, os alunos retenham em suas estruturas cognitivas novas informações
significativas e tenham seus conhecimentos subsunçores modificados.
A proposta do trabalho é buscar a aprendizagem significativa, processo que
visa diferenciar progressivamente a estrutura cognitiva, fazendo a reconciliação
integradora de modo a identificar semelhanças e diferenças e reorganizar seu
conhecimento.
2.4- Transposição didática
A ciência ensinada na escola não é a mesma elaborada pelos cientistas.
Pode até parecer que a mudança do conhecimento científico ao conhecimento
escolar é prejudicial à ciência. Porém, se por um lado, parte do conhecimento
científico é perdida e/ou transformada, por outro a mudança é necessária para que
os alunos possam entender pelo menos parte significante do pensamento da
ciência.
Para Chevallard citado por Rosa (2006), o saber ensinado é diferente do
saber sábio, não apenas porque acaba sendo diferente, por contingência, mas
porque ele assim o é em essência, porque serve para atender às demandas do
contexto escolar, que possui uma dinâmica própria.
Para um estudo da mudança dos saberes científicos aos alunos do Ensino
Médio é necessário fazer a distinção entre as esferas do saber, que segundo
Chevallard citado por Brockington e Pietrocolla (2005, p. 396), se classificam em: o
Saber Sábio, o Saber a Ensinar e o Saber Ensinado
O Saber Sábio está relacionado ao mundo dos cientistas. Uma percepção
necessária para elaboração deste trabalho é que o conhecimento de Gravimetria
aplicado à pesquisa de minerais de valor econômico encontra-se com os geólogos,
geofísicos, entre outros profissionais ao trabalharem no estudo real da superfície da
Terra. Esse conhecimento de ponta, ou não é publicado por sigilo ou é publicado em
revistas especializadas, congressos e periódicos científicos.
O Saber a Ensinar trata da primeira mudança do conhecimento científico.
Reflete-se na literatura oferecida aos professores e aos alunos para uma linguagem
27
mais próxima da realidade destes. O conhecimento passa a ter novas estruturas,
que devem conter a forma didática para apresentá-lo aos alunos. Esses textos
modificados vão aparecer em materiais como os livros didáticos, os roteiros de
estudo, os guias de laboratório, dentre outros materiais educacionais (PAIS, 2008).
Finalmente, o Saber Ensinado, que é a parte final da transposição didática,
não coincide com aquele apresentado pelos professores. Desta forma o Saber a
Ensinar não coincide com o Saber Ensinado.
Nessa esfera há, portanto, o predomínio de valores didáticos, pois agora a
finalidade desta transposição está voltada para o trabalho do professor em sua
prática diária. Assim, a didática entra nessa relação como uma forma de aperfeiçoar
as conexões feitas nos materiais frente às informações que se deseja repassar aos
alunos (BROCKINGTON; PIETROCOLLA, 2005).
Assim, o termo transposição didática pode ser entendido como um conjunto
de mudanças que o conhecimento científico deve sofrer, para que possa ser
entendido da melhor forma possível pelos alunos.
2.5- A sobrevivência dos saberes
Os saberes ensinados na escola devem ser formulados pela interação entre o
sistema escolar, o conhecimento científico e o entorno social. Portanto, para
elaboração dos textos foi levado em conta a noosfera, que pode ser entendida a
partir da análise da citação a seguir:
O estudo da trajetória percorrida pelo saber escolar permite visualizar as
influências recebidas do saber científico, bem como de outras fontes. São
influências que moldam não só o aspecto conceitual como também didático,
em consequência da defesa do pressuposto que as praxeologias
matemáticas e didáticas são indissociáveis. O conjunto das fontes de
influências que atuam na seleção dos conteúdos que deverão compor os
programas escolares e determinam todo o funcionamento do processo
didático recebeu de Chevallard, o nome de noosfera, da qual fazem parte
cientistas, professores, especialistas, políticos, autores de livros e outros
agentes da educação. O resultado do trabalho seletivo da noosfera resumese não só à determinação dos conteúdos, como também influencia a
estruturação dos valores, dos objetivos e dos métodos que conduzem a
prática de ensino. Essa é a idéia da transposição didática, entretanto,
devemos retornar a ela varias vezes na busca de sua essência (PAIS, 2008,
p. 16).
28
O que deve ser objetivo dos agentes da noosfera é a melhoria do ensino,
assim ela deve regular o processo de ensino e aprendizagem de maneira eficiente.
Chevallard
citado
por
Brockington
e
Pietrocolla
(2005),
define
algumas
características necessárias durante a transposição didática do Saber Sábio:
1- Ser consensual: o conteúdo a ser ensinado deve ter pelo menos durante sua
apresentação aos alunos um status de verdade, histórica ou de atualidade.
A
Gravimetria é hoje um conhecimento de ponta, logo os conhecimentos nela contidos
são atuais.
2- Ser pertinente: o conhecimento deve ter dois tipos de atualidade:
a) Moral: o saber deve estar adequado à sociedade. Baseada nesta
característica, a Gravimetria se encontra ligada à sociedade localizada no
entorno das escolas de regiões mineradoras;
b) Biológica: o saber deve possuir uma atualidade em relação à ciência
praticada. A Geofísica é hoje uma ciência que está bem estruturada e de
grande relevância para as novas descobertas científicas.
3- Ter operacionalidade: o Saber a Ensinar deve ser capaz de gerar exercícios,
produzir atividades e tarefas que possibilitem uma avaliação objetiva. Assim, ao final
de alguns textos são colocadas questões e/ou atividades que podem ser executadas
por alunos do Ensino Médio.
4- Ter Criatividade Didática: implica na criação de um saber com identidade própria
no contexto escolar.
Os textos criados tentam fazer que assuntos complexos vividos por
profissionais especializados possam ter sua base conceitual transformada em um
material mais simples, que possa ser analisada por alunos do Ensino Médio.
Trata-se da parte mais difícil do trabalho, pois a Gravimetria requer um
conhecimento matemático sofisticado, que não pode ser passado na íntegra para os
alunos. Nesse ponto há uma reconfiguração dos conceitos, tornando-os possíveis de
serem vislumbrados no Ensino Médio.
29
Um problema possível nessa mudança é a realidade vivida em algumas
escolas de Ensino Médio, na qual muitos alunos demonstram grande dificuldade de
realização de cálculos elementares. Esse fato é o reflexo da fragilidade dos
subsunçores.
5- Dar resultados positivos em testes in loco: os saberes devem gerar resultados
quando aplicados em sala de aula. Assim, haverá avaliações para ver se o
aprendizado é ou não plausível de ser ensinado a novas turmas do Ensino Médio.
Astolfi, citado por Brockington e Pietrocolla (2005), elaborou cinco regras que
deveriam ser observadas durante o processo de Transposição Didática, permitindo
melhor descrever a dinâmica de transformação do saber e que complementam a
idéia original da sobrevivência dos saberes. Essas regras são: modernizar o saber
escolar, atualizar o saber a ensinar, articular o saber “novo” com o “antigo”,
transformar um saber em exercícios e problemas e tornar um conceito mais
compreensível.
A proposta de atualização do saber desta dissertação foi feita para regiões
mineradoras, em que o conhecimento de Gravimetria fornece as idéias para a
contextualização para o sistema de ensino. Entretanto, como os textos mostram uma
análise da Gravimetria compatível com o Ensino Médio e as riquezas minerais são
estudadas em todas as regiões, uma suposição é que os textos também possam ser
usados nas demais localidades brasileiras.
30
3- O PRODUTO
O conjunto de textos de gravitação elaborados tem como objetivo melhorar o
processo ensino-aprendizagem. Sua elaboração tem a intenção de criar um material
de apoio didático a ser usado pelos professores do Ensino Médio como um
complemento ao ensino tradicional.
Os textos fazem a articulação do que já é tratado rotineiramente nas aulas do
Ensino Médio, com as propostas contidas nos PCNs, ou seja, associam os
conhecimentos já divulgados nos livros didáticos com a realidade do mundo do
trabalho.
Para que os textos de gravitação chegassem a sua forma final, utilizou-se dos
conceitos aprendizagem significativa de David Ausubel e de transposição didática de
Yves Chevallard.
O processo de aprendizagem significativa parte das seguintes premissas:
para haver maior retenção dos conceitos é necessário que os alunos queiram
aprender e que a eles sejam oferecidos pelos educadores materiais potencialmente
significativos que interajam com sua estrutura cognitiva.
A idéia aqui proposta é que os textos baseados nos conceitos de Gravimetria,
que fazem parte dos trabalhos da pesquisa mineral, tornem mais estimulante o
ensino dos tópicos de gravitação.
Já o conceito de transposição didática fundamenta-se no princípio que os
trabalhos de Gravimetria feitos pelos geólogos e geofísicos não são compatíveis
com as estruturas conceituais dos alunos do Ensino Médio.
Essa característica se reflete em equações que não são escritas em suas
formas diferenciais e em tabelas e gráficos simplificados e que necessitam de menor
grau de abstração mental dos que os encontrados nos textos originais.
Dentro dos textos de apoio didático ao professor são comuns as relações da
Gravitação com a análise histórica, com conceitos de astronomia ou com aplicativos
computacionais, porém mesmo tais materiais não fazem relações com o mundo
profissional de regiões mineradoras.
As construções de textos baseados nos trabalhos gravimétricos enfatizam os
olhares educacionais diretamente ao que acontece na Terra, mostrando:
31
 Alguns princípios físicos para medir o campo gravitacional na superfície
do planeta;
 Os equipamentos utilizados em trabalhos profissionais;
 As análises dos resultados efetuadas por profissionais visando às
possíveis associações com as rochas do interior do planeta;
 As correções necessárias para a sofisticação dos trabalhos.
Para concretizar tal pretensão a estrutura básica dos textos do produto foi
dividida em:
- Instruções gerais aos professores: são as idéias norteadoras dos textos, com o
objetivo de informar aos professores o motivo de sua formulação e a estrutura
metodológica para trabalhá-los com seus alunos;
- Texto a ser trabalhado: textos criados para serem usados como organizadores
prévios do estudo dos tópicos de Gravitação, ou seja, são os elementos que fazem a
ligação do Saber Ensinar e o Saber Ensinado.
Relembrando, a base teórico-pedagógica de tais textos é a teoria da
Aprendizagem Significativa, segundo a qual para que o conhecimento possa ser
mais facilmente retido na estrutura cognitiva é necessário que ele interaja com
conhecimentos já existentes dentro desta.
Considerando que antes da aplicação dos textos os alunos já estudaram os
tópicos de Gravitação, os textos criados possuem maior complexidade dos que os já
tratados no Ensino Médio e servirão de ligação entre o que o aluno sabe de
gravitação e o que deve saber.
- Conjunto de questões sobre o tema: conjunto de questões sugeridas nos dois
primeiros textos, para fazer com que o professor consiga interagir com os alunos e
perceber se a aprendizagem foi ou não significativa. No terceiro texto é proposta a
análise de um perfil gravimétrico para que os alunos se aproximem das análises
feitas pelos geofísicos.
32
3.1- Conhecendo o centro da Terra
3.1.1- Instruções gerais ao professor
A fim de analisar as atividades dos alunos, é bom o professor conhecer parte
de um estudo sobre a resolução de problemas de Física, mostrado em um estudo
feito por G. Polya citado por Peduzzi (1997), o qual propõe os seguintes passos para
a resolução de problemas:
1. Ler o enunciado do problema com atenção, buscando à sua
compreensão;
2. Representar a situação-problema por desenhos, gráficos ou diagramas
para melhor visualizá-la;
3. Listar os dados (expressando as grandezas envolvidas em notação
simbólica);
4. Listar a(s) grandeza(s) incógnita(s) (expressando-a(s) em notação
simbólica);
5. Verificar se as unidades das grandezas envolvidas fazem parte de um
mesmo sistema de unidades; em caso negativo, estar atento para as
transformações necessárias;
6. Analisar qualitativamente a situação problema, elaborando as hipóteses
necessárias;
7. Quantificar a situação-problema, escrevendo uma equação de definição,
lei ou princípio em que esteja envolvida a grandeza incógnita e que seja
adequada ao problema;
8. Situar e orientar o sistema de referência de forma a facilitar a resolução
do problema;
9. Desenvolver o problema literalmente, fazendo as substituições
numéricas apenas ao seu final ou ao final de cada etapa;
10. Analisar criticamente o resultado encontrado;
11. Registrar, por escrito, as partes ou pontos chave no processo de
resolução do problema. (POLYA apud PEDUZZI, 1997, p.239)
Para que os alunos consigam se orientar em seus trabalhos, é necessário que
o próprio professor utilize estas etapas ao resolver os problemas, evitando fazer com
que eles pareçam meros exercícios de substituição numérica.
Durante a apresentação do texto é necessário diferenciar medidas diretas e
indiretas. As medidas diretas são obtidas da leitura do próprio instrumento de
medida. Já as medidas indiretas são aquelas derivadas, geradas com o auxílio de
equações. Exemplo: a área de uma superfície, volume de um corpo ou a vazão de
um rio ou canal.
33
Exemplificando, quando calculamos a área (A) de um quadrado a medida de
um dos lados (l) pode ser aferida diretamente, por exemplo, por uma régua
graduada, entretanto a área é obtida indiretamente pela fórmula A = l².
Outra etapa necessária é a análise crítica dos resultados. Ou seja, não
adianta simplesmente dizer aos alunos que a densidade média da Terra é 5,5g/cm³
e sim, mostrar que este valor é incompatível com os valores dos materiais
encontrados na superfície da Terra.
3.1.2- Texto 1: Conhecendo o centro da Terra
Alguns assuntos educacionais da atualidade referem-se aos tópicos
científicos que estão difundidos nas revistas, jornais, internet e outras possíveis
fontes de informação. Essas informações científicas mostram como no exemplo da
figura 01, como varia a densidade do interior do planeta. Quem os lê, em sua
maioria, não questiona como é possível saber tais dados com tanto rigor.
Durante a aula, perguntar como foram obtidos os valores de densidade das camadas
interiores da Terra, para gerar uma discussão sobre grandezas diretas e indiretas.
Figura 01: Camadas Geológicas da Terra
Fonte: Adaptado da Wikipédia
34
Na prática, para entender os dados relacionados às densidades no interior do
planeta, contidos na figura, é necessário saber que a análise científica consiste de
investigações diretas e indiretas.
A investigação direta é aquela que você pode medir os dados de amostras
que se tem em mãos. Por exemplo, mede-se o comprimento de uma mesa usando
uma régua. Simetricamente, o valor do módulo campo gravitacional da Terra na
superfície pode ser medido diretamente usando um gravímetro (o princípio de
funcionamento de um gravímetro de mola será discutido em um próximo texto).
Na investigação indireta tem-se que fazer inferências. Por exemplo, para ter o
valor da área de um retângulo devem-se medir seus lados e usar a fórmula
matemática adequada. Analogamente, para calcular a densidade média dos
materiais do interior do planeta deve-se ter uma equação que relacione suas
densidades com grandezas que possam ser medidas na superfície, uma vez que
conforme a profundidade em que o material se encontra, não é possível coletar suas
amostras.
Para se ter uma idéia, a profundidade da perfuração que retirou as amostras
de rochas mais profundas do planeta (furo de sonda) tem 12,4km. Sabe-se que a
Terra tem em média 6.378km de raio, consequentemente as amostras mais
profundas retiradas não alcançam nem 0,2% (
de profundidade
em relação ao raio da Terra. Porém, quando abrimos textos científicos encontramos
valores como os tabelados na figura 01.
Então como os pesquisadores sabem dos valores de densidades com
tamanho rigor, se ninguém conseguiu chegar por meio direto ao interior da Terra? A
resposta a essa questão está na Geofísica e seus métodos de investigação indireta.
Mas, mesmo antes do grau de refinamento de dados geológicos e geofísicos
existentes atualmente, Henry Cavendish (1731-1810), físico e químico britânico, com
reconhecida habilidade pela acurácia de suas medições, usou a balança de torção
para obter o valor da constante gravitacional G, o que lhe possibilitou determinar a
densidade média da Terra.
A balança de torção (figura 02) é um aparelho baseado num grande braço de
alavanca que age como um multiplicador do efeito de forças. Esse braço estabelece
um torque assim que as massas m e M são aproximadas umas das outras,
35
possibilitando que mesmo uma força de baixa intensidade, como a interação
gravitacional entre dois pequenos corpos possa ser medida.
Assim, para a medida da força gravitacional, Cavendish colocou duas esferas
de iguais massas nas suas extremidades. Quando outras esferas são aproximadas
destas, a atração gravitacional entre elas provoca um torque, girando a barra de um
ângulo muito pequeno.
Esse ângulo pôde ser medido com o auxílio de um feixe de luz que incide
sobre o espelho acoplado à balança. A partir deste ângulo foi possível determinar a
força que provocou o torque na balança. Assim, conhecidas as massas e as forças
de origem gravitacional, Cavendish pôde calcular com grande precisão o valor da
constante gravitacional G e consequentemente tem ainda hoje seu nome associado
à constante gravitacional.
Figura 02: Experiência de Cavendish
Fonte: http://profs.ccems.pt/PauloPortugal/PHYSICA/Cavendish/Cavendish.htm
Cavendish então mediu indiretamente a massa da Terra utilizando a equação
da força gravitacional associada ao valor da constante gravitacional por ele
calculada.
Para que seja possível fazer uma análise numérica condizente com o Ensino
Médio, pode-se mostrar um raciocínio similar ao de Cavendish para calcular a
densidade média da Terra através da investigação indireta.
Esse raciocínio pode ser mostrado em um exercício que parte de duas
pequenas massas colocadas próximas uma da outra e interagindo com uma força de
atração gravitacional de 6,7x10-9N. Sabendo que uma das massas tem 10kg, a
36
outra 100g e a distância entre elas é 10cm, calcula-se inicialmente o valor da
constante gravitacional.
Não se esqueça das estratégias de resolução de problemas anteriormente
descritas.
Figura 03: Força de interação gravitacional
Fonte: dados pessoais
Partindo da equação,
, em que Fg é a força gravitacional; G é a
constante gravitacional; M e m são as massas aproximadas e r a distância entre as
massas, chega-se ao valor da constante gravitacional que poderá ser usada em
todos os cálculos derivados da força gravitacional.
Resolução para mostrar aos alunos.
Dados:
F=6,7x10-9N
M=10kg
m=100g = 10-1kg
r=10cm = 10-1m
Pede-se:
G
Cálculos
37
O volume de uma esfera é calculado matematicamente pela equação
, onde r é o raio da esfera. Considerando o valor médio aproximado do
raio da Terra 6,4x106m e que ela pode ser aproximada por uma esfera, obtém-se o
volume aproximado a seguir.
Resolução para mostrar aos alunos.
Dados:
r=6,4x106m
Pede-se:
V
Cálculos
38
Segundo Binney e Tremaine (1994), Newton, antes mesmo dos cálculos
de Gauss, provou dois teoremas que permitem-nos calcular a força gravitacional
de qualquer distribuição esférica de massa de forma muito simples.
1o Teorema: Um corpo que está no interior de uma casca esférica de
matéria não sente nenhuma força gravitacional líquida (resultante) da casca.
2o Teorema (que o ocupou por mais de 10 anos): A força gravitacional
sobre um corpo que se encontra externamente a uma casca esférica de matéria
é a mesma que seria encontrada se toda a massa da casca esférica estivesse
concentrada em seu centro.
Newton sabia que a força gravitacional calculada baseada na terceira Lei
de Kepler não é estritamente verdadeira, mas é valida apenas na situação em
que a Terra é reduzida a um ponto.
O resultado mostrado por Newton pode ser atualmente deduzido através
do teorema da divergência, elaborado por Gauss (1777-1855) escrito a seguir:
Esse teorema expressa que o fluxo do campo gravitacional através de
uma superfície fechada é proporcional à massa contida dentro da mesma
superfície.
Uma conseqüência é que uma massa pontual exterior a esfera é atraída
pelo campo gravitacional como se toda massa estivesse em seu centro.
A lei de Gauss é aplicada em problemas com simetria nos corpos
geradores de campo gravitacional, facilitando a resolução de muitos problemas
que seriam de difícil resolução por integração direta.
39
Medidas atuais mostram que o módulo do campo gravitacional médio da
Terra é aproximadamente 9,8N/m e sabe-se que a força de interação gravitacional
entre a Terra e um corpo em sua superfície é denominada peso do corpo.
Através do teorema de Gauss, calculado para uma distribuição esférica,
considera-se a massa total da Terra localizada em seu centro e iguala-se então a
força de atração gravitacional com o peso (o peso é a força gravitacional para corpos
na superfície de um planeta), calculando a massa da Terra (M):
em que g é o módulo do campo gravitacional, G é a constante gravitacional, M é a
massa da Terra e r é o raio da Terra. Logo a massa da Terra calculada é:
Como a densidade absoluta ou massa específica é dada pela razão entre a
massa m e o volume V
, pode-se então concluir numericamente o exercício,
calculando o valor médio para a densidade média da Terra.
Questione os alunos sobre o valor da densidade da Terra como um todo, ser maior
do que a das rochas encontradas na superfície.
40
Para fazer a análise qualitativa do exercício pode-se partir do princípio que o
conhecimento do valor médio da densidade da Terra foi muito interessante para
Cavendish e para todos os cientistas que trabalham no estudo do planeta, porque a
densidade aproximada da água (1g/cm3) e das rochas encontradas na superfície
terrestre (~2,7g/cm3) tem valores menores do que o calculado.
Esses valores sugerem que o interior da Terra deve ser necessariamente
composto por materiais com maior valor de densidade dos que os citados, para que
a densidade do conjunto aumente.
Claro que para análise mais sofisticada da parte central da Terra usou-se
outras tecnologias e métodos, mas o principal é que desde a determinação da
densidade média da Terra como um todo passou a existir um pensamento para
propor novas idéias em busca de uma melhor análise do interior do planeta.
Assim, com o avanço das técnicas geofísicas foi possível fazer a divisão das
camadas do planeta como na figura 01, inicialmente analisada e também redesenhar
estruturas geológicas próximas a superfície partindo da análise do campo
gravitacional e outras técnicas geofísicas.
Como na pesquisa mineral é interessante o conhecimento da distribuição
espacial das rochas, os conhecimentos de Gravimetria passam a ser indispensáveis
aos geofísicos para que possam tomar decisões mais rápidas e baratas para
analisar as rochas abaixo da superfície.
Uma consequência importante para as empresas mineradoras é a diminuição
dos custos dos trabalhos na pesquisa de minerais, pois conhecendo melhor as
rochas faz-se a diminuição da área a ser estudada.
Concluindo, pode-se dizer que a partir dos valores das variações do campo
gravitacional terrestre, é possível obter informações do material que se encontra no
interior da Terra por meio de investigação indireta.
Para finalizar a proposta deste texto, é bom que os alunos trabalhem em grupos
fazendo os exercícios indicados a seguir.
41
3.1.3- Questões que podem ser discutidas com os alunos
1- Se nosso planeta fosse composto exclusivamente por água e aproximando a
Terra por uma esfera, qual seria o valor do campo gravitacional na superfície
formada?
2- Observe a tabela a seguir retirada de livros geológicos:
Rocha
Densidade (g/cm³)
Granito
2,7
Basalto
3,0
Quartzito
2,65
Arenito
2,0
TABELA 02: Densidade das principais rochas da superfície terrestre
Fonte: dados pessoais
Se toda a Terra fosse constituída por basalto, que possui uma das maiores
densidades encontradas na natureza, o que você poderia concluir sobre o módulo
do campo gravitacional?
42
3.2- Determinando experimentalmente a aceleração da gravidade
3.2.1- Instruções gerais ao professor
A determinação do módulo do campo gravitacional por um pêndulo simples é
uma atividade experimental importante no processo ensino-aprendizagem, mas é
bom ressaltar que a imprecisão de tal experimento não é condizente com os
trabalhos de Gravimetria.
Mesmo sabendo da imprecisão do pêndulo simples, deve-se ter em mente o
pensamento a seguir:
(...) o uso de atividades experimentais como estratégia de ensino de Física
tem sido apontado por professores e alunos como uma das maneiras mais
frutíferas de se minimizar as dificuldades de se aprender e de se ensinar
Física de modo significativo e consistente. Nesse sentido, no campo das
investigações nessa área, pesquisadores têm apontado em literatura
nacional recente a importância das atividades experimentais. (ARAÚJO;
ABID, 2003, p.176)
Como conseqüência, o experimento do pêndulo simples pode oferecer aos
alunos as seguintes motivações: despertar a curiosidade, demonstrar de maneira
simples o conceito de campo gravitacional; possibilitar aos alunos a manipulação de
objetos que permitam calcular o campo gravitacional em um ponto da superfície
terrestre.
Também podem ser trabalhados em conjunto com o experimento os erros das
medidas que vão justificar a razão pela qual os trabalhos científicos necessitam de
equipamentos mais sofisticados. No caso da Gravimetria, para medir o módulo do
campo gravitacional são usados os gravímetros.
No anexo A, mostra-se um experimento com o pêndulo simples, cujo
resultado mostra uma imprecisão na segunda casa decimal, que é incompatível com
a pesquisa mineral, que trabalha com valores bem mais refinados.
43
3.2.2- Texto 2: Determinando experimentalmente a aceleração da gravidade
Hoje, sabe-se que o módulo do campo gravitacional não é o mesmo em todos
os pontos da superfície terrestre. Os livros didáticos do Ensino Médio mostram sua
variação com a latitude e a altitude, não levando em consideração a variação devida
às rochas abaixo da superfície.
Nos trabalhos de Gravimetria, o principal fator a ser analisado é a relação do
campo gravitacional com a densidade das rochas no interior da crosta,
principalmente as mais próximas à superfície. Assim, busca-se através do campo
gravitacional separar rochas pela diferença de densidade.
Por isso, em trabalhos práticos, para analisar pontos internos à superfície
deve-se levar em conta a necessidade de instrumentos que dêem respostas a
perguntas como:
1) Qual a grandeza que se pode medir na superfície que dê informações
sobre o que há abaixo da superfície?
2) Quais os aparelhos usados para medir essa grandeza?
3) Como interpretar os seus resultados?
Para responder a primeira pergunta pode-se afirmar que as rochas possuem
propriedades elétricas, magnéticas, dentre outras, que podem ser medidas através
de interações de campos elétricos e magnéticos gerados artificialmente ou mesmo
campos de origem natural.
Como a variação do campo gravitacional em um ponto da superfície terrestre
depende da densidade nas rochas abaixo do solo, uma grandeza que se pode medir
em superfície para estimar o valor da densidade das rochas é o módulo do campo
gravitacional.
Respondendo a segunda pergunta, os aparelhos a serem usados são, por
exemplo: multímetros, magnetômetros, etc. Para medir o módulo do campo
gravitacional usa-se o gravímetro.
A resposta à terceira pergunta se dá em cálculos feitos a partir da
interpretação de mapas e perfis que são comparados a outros que tem
44
configurações já conhecidas. Assim, para saber o valor da densidade das rochas
analisam-se mapas e perfis gravitacionais.
3.2.2.1- Pêndulo simples
Um pêndulo simples consiste em uma partícula com certa massa suspensa
por um fio ideal. Quando a partícula é deslocada ligeiramente de sua posição de
equilíbrio, ela passa a oscilar em um movimento periódico sob a ação do campo
gravitacional terrestre.
Entende-se por período de oscilação de um pêndulo simples, o tempo
necessário para que a partícula mova-se da sua posição inicial até sua posição final,
retornando ao ponto de partida (figura 04).
O professor deve ficar atento se fizer o experimento do pêndulo simples com
os alunos. Alguns costumam errar no valor do período, utilizando apenas o tempo
de saída da posição inicial até a posição de retorno. Outra atitude significante é
tomar a medida de várias oscilações completas, para que o erro calculado fique
menor.
Figura 04: Posições do pêndulo simples
Fonte: arquivo pessoal
O período de oscilação de um pêndulo simples pode ser medido diretamente,
sendo que a expressão aproximada para pequenas amplitudes de oscilação é dada
pela seguinte equação:
45
Em
que
T
é
período
oscilação
do
pêndulo,
de
o
comprimento do pêndulo e g o
módulo do campo gravitacional
FIGURA 14: decomposição de forças
Fonte: arquivo pessoal
FIGURA 05: Movimento de oscilação de um pêndulo simples
Fonte: arquivo pessoal
A equação para o cálculo do período de oscilação pode ser modificada para
calcular o módulo da aceleração da gravidade em um ponto, ficando com a
configuração a seguir:
Em trabalhos científicos o experimento do pêndulo simples requer a
consideração de muitos detalhes para poder obter valores precisos do módulo da
aceleração da gravidade. Por isso, em levantamentos gravimétricos, usam-se
equipamentos denominados gravímetros.
Para se ter a noção da imprecisão do pêndulo simples apesar dos erros das
medidas situarem-se na determinação do comprimento e no período de oscilação do
46
pêndulo, em trabalhos usados em sala de aula a imprecisão fica em valores bem
superiores aos usados em Gravimetria.
3.2.2.2- Gravímetro
O gravímetro é um aparelho formado essencialmente por uma massa
suspensa por uma mola de grande sensibilidade que, como qualquer mola,
submetida a pequenas deformações, obedece a Lei de Hooke (figura 06).
O nível de complexidade do conjunto de peças que compõe um gravímetro de
molas é muito grande, desta forma durante a apresentação dos conceitos aos
alunos deve-se apenas visualizar os princípios de funcionamento do mesmo,
analisando apenas a deformação de uma única mola.
Figura 06: Desenho esquemático de um gravímetro de mola.
Fonte: UFPR (Adaptado de Lacoste & Romberg, 1988)
47
Para então medir o valor do campo gravitacional em um ponto da superfície,
coloca-se neste o gravímetro e verifica-se a deformação da mola, que é calibrada
para fazer a leitura direta.
A figura 07 mostra a deformação de uma mola devido à interação
gravitacional.
1) Posição de equilíbrio sem atuação gravitacional
2) Mola deformada pelo campo gravitacional
Figura 07: Deformação da mola pela ação de um campo gravitacional
Fonte: arquivo pessoal
A situação 1 é apontado um sistema massa-mola na posição de equilíbrio e
desprezando a interação gravitacional, enquanto na 2 é mostrada uma nova posição
de equilíbrio devido a ação do peso da massa de prova. Consequentemente, em 2,
para que o sistema fique em equilíbrio a resultante das forças deve ser nula, logo o
módulo da força elástica deve ser igual ao peso. Logo,
em que g é o módulo do campo gravitacional, k é a constante elástica da mola, x é a
deformação da mola e m a massa de prova.
48
Essa equação oferece um meio de verificar que o campo gravitacional em um
ponto pode a ser medida diretamente através da deformação da mola do gravímetro
nele instalado.
Então, se os pesquisadores têm o valor da constante de deformação da mola
(k) e o valor da massa de prova (m), o valor do campo gravitacional é obtido apenas
multiplicamos a razão desses valores pelo valor da deformação da mola (x).
Voltando agora a terceira questão, a interpretação dos resultados, torna-se
necessária a percepção de outra equação, partindo do princípio que a força de
atração gravitacional na superfície do planeta é o peso (figura 08), logo:
Figura 08: Equivalência entre peso e força gravitacional
Fonte: arquivo pessoal
Relembrando, para uma distribuição esférica pode-se utilizar o teorema de
Gauss, considerando toda a massa da Terra está concentrada no seu centro. Assim,
a equação anterior pode ser reescrita da seguinte forma:
consequentemente,
49
em que g é o módulo do campo gravitacional, G é a constante gravitacional, M é a
massa e r é o raio da Terra.
Todavia, em um caso mais próximo da realidade, deveremos usar:
Essa equação mostra que para o cálculo do campo gravitacional em um ponto
deve-se levar em consideração a soma de todas as massas pontuais que
influenciam o resultado.
Essa equação indica que o módulo do campo gravitacional do planeta
independe da massa de prova, assim quanto maior for o valor das massas que
geram o campo gravitacional, maior é o valor do módulo desse campo.
Como também é mostrado, o módulo do campo gravitacional depende do
inverso do quadrado da distância, então massas mais distantes têm efeitos similares
aos de pequenas massas próximas ao gravímetro, desde que a razão da massa pelo
quadrado das distâncias seja mesma.
Agora, para analisar as rochas que estão próximas ao gravímetro é
necessário entrar com o conceito de densidade, mostrado a seguir:
em que m é a massa, ρ é a densidade e V é o volume das rochas.
Essa equação nos mostra que, quanto maior o valor da densidade das rochas
próximas ao corpo de prova do gravímetro, maior a sua contribuição no valor do
módulo do campo gravitacional, uma vez que a massa é diretamente proporcional a
densidade das rochas.
50
Porém, também se sabe que o campo gravitacional é inversamente
proporcional ao quadrado da distância das massas que o geram. Portanto, os
geofísicos interpretam os dois parâmetros ao mesmo tempo.
Para analisar um pouco as idéias contidas no trabalho de um geofísico,
vamos analisar os esquemas hipotéticos a seguir:
Esquema 1
Esse esquema mostra uma camada rochosa aproximada por uma placa
horizontal de grande tamanho e com densidade constante. Uma camada rochosa
pode ser considerada infinita quando seu comprimento e largura são muito maiores
que sua espessura e quando se está longe das bordas.
A equação usada para calcular o módulo do campo gravitacional na superfície
(cálculo da equação no anexo B) gerado por uma placa infinita longe das bordas em
sua superfície externa é:
em que g é o módulo do campo gravitacional, ρ é a densidade média estimada das
rochas e h é a espessura da camada rochosa.
Consequentemente, para um plano infinito paralelo à camada rochosa, tem-se
na superfície longe de suas bordas um campo gravitacional uniforme que depende
diretamente da densidade das rochas e da espessura da camada (figura 09).
Não é o que acontece exatamente na natureza, mas pode-se usar de uma
combinação de planos ou outras formas geométricas para aproximar o máximo
possível das situações reais.
Figura 09: Linhas de campo gravitacional geradas por uma camada rochosa plana longe das bordas.
Fonte: arquivo pessoal
51
Esquema 2
Uma questão a ser debatida com os alunos diz respeito aos valores que os
Geofísicos buscam identificar: não exatamente os campos uniformes, e sim a
variação do módulo do campo gravitacional, pois esta traz informações sobre a
densidade das rochas abaixo da superfície.
Na natureza não existem rochas tão homogêneas que um modelo matemático
simplificado possa descrevê-las com precisão absoluta, mas os pesquisadores
associam um conjunto de formas geométricas com modelos matemáticos
conhecidos e convergentes ao máximo com a conformação natural existente.
Um esquema hipotético próximo dos analisados pelos geofísicos é o de duas
placas horizontais associadas. Tal esquema simplificado na figura 10 tem um bom
nível de aproximação de algumas ocorrências rochosas encontradas na natureza.
A figura mostra a superposição de dois planos de massas diferentes (m1 e m2)
e densidades (ρ1 e ρ2) diferentes superpostos. Perfis como estes são conseguidos
principalmente ao se trabalhar com rochas sedimentares, com análise de falhas
geológicas, etc.
Figura 10: Perfil gravimétrico associado a duas placas planas horizontais sobrepostas.
Fonte: arquivo pessoal
Na parte mais à esquerda, vê-se o menor valor do módulo do campo
gravitacional, uma vez que é a região de menor influência da massa m2,
52
consequentemente a conformação da curva é bem próxima à descrita por uma placa
plana (camada rochosa), como no esquema anterior.
À medida que se aproxima da massa m2, o valor do campo aumenta, pois
passa a sofrer maior influência da segunda placa. Assim, o campo é a soma das
contribuições das massas m1 e m2.
À direita da figura, a soma dos campos gravitacionais das duas placas toma o
aspecto do campo formado por uma única camada, assim a curva volta a se
aproximar do modelo descrito por uma única placa horizontal, só que resulta da
soma dos campos das duas massas.
Consequentemente
há
uma
maior
aproximação
dos
casos
reais,
transformando os corpos rochosos em figuras em que a configuração do campo é
conhecida, no caso configuração de placas, mas poderiam ser usados modelos
esféricos, cilíndricos, etc.
Esquema 3
A figura 11 mostra uma associação rochosa comum na prospecção de
petróleo, que é bem conhecida pelos geólogos. Eles sabem que o petróleo é
encontrado com frequência próximo aos domos salinos (material composto
essencialmente por cloreto de sódio) que tem menor densidade do que as rochas
sedimentares em suas proximidades.
Uma consequência para pesquisa de petróleo é que existe uma maior
probabilidade do petróleo ser encontrado em regiões de menor gravidade relativa,
considerando o padrão normal das rochas sedimentares.
Considerando, por exemplo, uma superfície marinha horizontal e de
dimensões na qual podem ser desconsideradas as correções de altitude e latitudinal
tem-se nas proximidades do domo salino uma variação negativa do módulo do
campo gravitacional. Essa variação negativa devida à menor densidade do domo
salino provoca na mola do gravímetro uma diminuição de sua deformação.
A partir da associação do campo gravitacional com as rochas que estão
abaixo da superfície é que os pesquisadores tomarão a decisão de onde concentrar
os futuros trabalhos de pesquisa mineral.
53
Consequentemente, para pesquisa de petróleo os futuros trabalhos de
sísmica e de perfuração se posicionarão principalmente na região de menor campo
gravitacional, o que faz com que as empresas tenham grande economia devido a um
menor custo com as futuras operações na pesquisa mineral.
Caso os pesquisadores estivessem pesquisando minério de ferro, por
exemplo, eles concentrariam os trabalhos posteriores, inerentes a pesquisa de tal
minério, em regiões em que existem campos gravitacionais mais intensos.
Figura 11: Perfil gravimétrico devido a um domo salino
Fonte: arquivo pessoal
A figura representa uma região propícia à pesquisa de petróleo, porque há a
associação de um domo salino com rochas sedimentares. Como o domo salino
tem menor densidade, em sua proximidade há a diminuição do módulo do campo
gravitacional, consequentemente a mola mostrará uma menor deformação.
54
3.3- Gravidade relativa
3.3.1- Instruções gerais ao professor
Antes de texto, é colocado um perfil esquemático desde a superfície até a
parte central da Terra, para que os alunos entendam que a Terra tem uma
constituição complexa, que é em seguida simplificado para tornar possível seu
estudo.
Em seguida, é mostrado como é calculado o valor da gravidade relativa,
indicando que as comparações dos valores do campo gravitacional com um valor de
referência possibilitam uma forma mais simples de se analisar as densidades das
rochas, facilitando a pesquisa mineral.
Introduz-se então um mapa e um perfil gravimétrico, que oferecerá aos
alunos uma diversidade de linguagens físicas para interpretar as medidas
gravimétricas, fazendo possível a correlação entre o valor do campo gravitacional e
a densidade das rochas, chegando a perceber a possibilidade de comparar
profundidade de corpos rochosos com curvas gravitacionais.
A associação da projeção horizontal e vertical tem como objetivo mostrar que
os profissionais usam de vários modelos de representação para facilitar a
visualização de informações.
Durante a apresentação do texto aos alunos é nececessário ressaltar a
característica vetorial do campo gravitacional, mostrando como seu módulo varia
com o produto das massas e o quadrado da distância entre elas. Tal análise
materializa-se em dois perfis gravitacionais para duas massas em posições
diferentes em relação à superfície da Terra.
Consequentemente, o debate aqui sugerido parte da idéias que massas
diferentes podem até gerar o mesmo valor do campo gravitacional em um ponto da
superfície, mas quando se analisa a distribuição espacial do campo gravitacional, vêse que há respostas diferentes. Essa questão fica evidenciada nos gráficos da
componente vertical do campo gravitacional em função da distância, no qual as
rochas mais profundas mostram curvas mais suaves.
55
3.3.2- Texto 3: Gravidade relativa
Esse perfil esquemático mostra que o arcabouço estrutural da Terra é mais complexo que o modelo
apresentado durante os cálculos do texto 3.
Divisões da Terra
Figura 12: Perfil esquemático da Terra
Fonte: Trindade; Molina, s/d
A astenosfera é representada na seção esquemática, entre os 400 e 650 Km de
profundidade, com a cor verde claro. Ela segue a litosfera, fazendo parte do manto
superior, sendo uma zona plástica constituída por rochas fundidas.
O campo gravitacional em um ponto é devido à soma vetorial das parcelas
geradas por todas as massas ao seu redor. Consequentemente, o campo
gravitacional nas proximidades da superfície terrestre tem seu valor dependente de
todas as massas que estão presentes desde a superfície até o interior da Terra.
Considerando o modelo hipotético da figura 13, em que os centros de
gravidade das massas m1 a m4 são concêntricos e há ainda a massa m5, o campo
gravitacional no ponto P pode ser calculado pela seguinte equação:
56
A partir do modelo da Terra da figura 13, que considera as massas m1 a m4
concêntricas com o centro do planeta, o módulo do campo gravitacional g no ponto P é
dado por:
A massa m5 representa uma descontinuidade superficial do planeta interessante
na pesquisa mineral, pois ela representa a associação rochosa rica em materiais
valiosos.
Figura 13: Massas geradoras do campo gravitacional
Fonte: arquivo pessoal
O campo gravitacional depende principalmente dos valores das massas e das
densidades dos materiais do núcleo interno (m1), núcleo externo (m2), do manto
(m3), da crosta terrestre (m4).
No modelo descrito pode-se usar para os cálculos o teorema de Gauss,
fazendo com que as camadas internas m1, m2, m3 e m4 possam ser substituídas por
massas pontuais no centro da Terra, o que é aceitável para a grande maioria das
situações cotidianas.
57
Mas, quando se faz pesquisa mineral, o que é mais interessante não é o valor
do módulo do campo gravitacional, e sim sua variação. Por isto ficou associado o
modelo a massa m5, que representa uma descontinuidade portadora do recurso
mineral valioso.
A massa m5 apesar de ter uma menor influência no valor absoluto do campo,
pois em cálculos simples pode ser até desprezada, é a de maior influencia na
variação da gravidade em um ponto da superfície. Consequentemente, a pesquisa
mineral é baseada em tal massa, a rocha portadora do recurso mineral valioso.
Para medir os valores absolutos do módulo do campo gravitacional, como
visto anteriormente, podemos usar equipamentos com o seu princípio de
funcionamento fundamentam-se em algum efeito causado pela ação do campo
gravitacional, como a distensão de uma mola.
Para simplificar as análises dos trabalhos de Gravimetria, ao invés de calcular
o valor do campo gravitacional em um ponto, usa-se a diferença entre dois valores
de gravidade. O valor do campo gravitacional no ponto em que foi instalado o
gravímetro subtraído do valor do campo em um ponto de referência. O resultado
desta operação é denominado de gravidade relativa (figura 14).
Essas medidas relativas consistem em analisar os efeitos da gravidade sobre
o medidor (gravímetro), em um ponto com o valor de g conhecido (determinado pela
gravidade absoluta) e compará-lo com o outro onde o campo é medido.
Como, na maioria dos casos da Gravimetria, não é interessante saber a valor
da gravidade absoluta, pode-se fazer com que o valor do módulo do campo
gravitacional no ponto de referência seja igual a zero.
Após essa consideração, efetua-se a medida da variação da gravidade
(gravidade relativa) nos demais pontos desejados. É um processo mais simples e
rápido, pois é mais fácil de comparar tais medidas quando elas se materializam nos
mapas.
A seguir, é mostrado um esquema hipotético para calcular o valor da
gravidade relativa em um ponto da superfície terrestre.
58
Figura 14: Deformação da mola para o cálculo da gravidade relativa
Fonte: arquivo pessoal
Na figura 14, o módulo da força elástica (kx) pode ser calculado pela força
gravitacional no ponto 2 Fg2 subtraido da força gravitacional no ponto 1 Fg1 (ponto de
referência), consequetemente a variação do campo gravitacional pode ser dada pela
seguinte expressão:
em que Δg é denominado gravidade relativa, k é a constante elástica da mola, x sua
deformação e m a massa de prova.
Então, para se obter o valor da gravidade relativa, basta analisar a distenção
(variação positiva da gravidade) ou contração (variação negativa da gravidade) da
mola do gravímetro.
A relação matemática anterior mostra que a gravidade relativa é diretamente
proporcional a deformação da mola do gravímetro. Partindo desses valores de
gravidade relativa, os geófísicos geram um mapa de linhas de mesmo valor da
gravidade relativa para prospectar os bens minerais, como na figura 15, lembrando
que são necessárias correções, como será visto no próximo texto.
Esse mapa então mostra um plano hipotético que considera os valores de
gravidade relativa corrigidos para uma mesma altitude e latitude, possibilitando a
comparação entre eles.
59
No mapa a seguir pode-se notar que as linhas em azul possuem um valor da
gravidade relativa negativo. Isso implica necessariamente que nesta região deve
haver rochas próximas a superfície de menor densidade. Logo, se a busca é por
rochas menos densas, é nesta região que se deve ter a maior concentração de
trabalhos de pesquisa mineral.
Analogamente, se os pesquisadores desejassem rochas com maiores valores
de densidade, os trabalhos deveriam ser concentrados na região avermelhada.
As linhas em vermelho mostram valores de gravidade relativa positivos, as em azul negativos e as em
preto tem valores nulos.
Figura 15: Mapa de linhas de mesmo valor do campo gravitacional.
Fonte: (PINTO; USSAMI; CÔGO DE SÁ, 2007)
A partir de perfis gravimétricos1 elaborados a partir das curvas de mesmo
valor do campo gravitacional é possível ter a noção da profundidade dos corpos e de
suas massas, comparando as curvas com as de corpos rochosos com formatos já
conhecidos, como veremos agora na análise de dois perfis simples.
Após a visão deste mapa, pode-se fazer um perfil gravimétrico em um papel
quadriculado. Para a simplificação do perfil, é bom que se amplie o mapa para
tornar o traçado mais simples para alunos do Ensino Médio.
1
Um perfil gravimétrico representa a relação em um plano vertical da variação do campo gravitacional
em função da distância horizontal.
60
3.3.2.1- Determinação da profundidade dos corpos através do campo
gravitacional
Em homenagem a Galileu Galilei, a unidade de medida do campo gravitacional
no sistema c.g.s é o Gal (1Gal=1cm/s²). Uma unidade normalmente utilizada nas
medidas em estudos gravimétricos é o miligal (1mGal=10-³Gal=10-³cm/s²)
Para analisar as respostas de corpos diferentes em um perfil gravimétrico,
pode-se analisar, como na figura 16, um esquema hipotético do qual se faz um perfil
em uma superfície horizontal, através de distâncias entre pontos de 10 em 10m.
Nos pontos desta há uma simulação das medidas do campo gravitacional
para dois corpos de massas m1 e m2=4m1, sendo que o corpo de massa m2 está a
uma profundidade duas vezes maior do que o de massa m1. Para fazer os dois
perfis representativos os dados foram tratados em uma planilha eletrônica com os
seguintes valores atribuídos: m1=106kg e h=10m.
A análise é feita em relação a componente vertical do campo gravitacional,
uma vez que o gravímetro é colocado em tal posição para fazer as medidas, não
interessando para fins de pesquisa mineral a variação do campo gravitacional com a
horizontal.
Observe o esquema abaixo:
Figura 16: Esquema para obter dois perfis gravimétricos para massas distintas.
Fonte: arquivo pessoal
61
Antes de chegar nos traçados dos perfis gravimétricos propriamente ditos,
vamos calcular a distância r dos centros de massa de um corpo abaixo da superfície
até um ponto P qualquer da superfície horizontal que faz um ângulo α com a
profundidade do corpos.
O campo gerado pela massa nesse ponto P pode ser calculado do seguinte
modo:
substituindo,
logo,
em que gp é o campo gravitacional no ponto P devido a massa em excesso, G a
constante gravitacional, m a massa do corpo e
o ângulo entre a profundidade e o
ponto da superfície em que o campo foi medido.
Mas como a análise é feita apenas em relação a vertical, pois o gravímetro é
colocado nesta posição e as componentes horizontais não sensibilizam suas
medidas. Pode-se analisar então, pela figura 17, o cálculo da componente vertical do
campo gravitacional.
62
Figura 17: Decomposição do campo gravitacional
Fonte: arquivo pessoal
Concluindo,
onde gpy é a componente vertical do campo gravitacional em um ponto da superfície,
m é a massa geradora do campo, h é a profundidade do centro de gravidade da
massa e α é o ângulo entre h e r.
A coluna da esquerda, mostra os cálculos com os valores da componente
vertical do campo gravitacional calculado para a massa m1 e seu devido perfil,
enquanto a coluna da direita mostra os mesmos procedimentos para o corpo m2.
Verifica-se que no ponto P5 o módulo da componente vertical do campo
gravitacional é o mesmo para as massas m1 e m2, porém os valores mudam para os
outros pontos.
63
TABELA 03
TABELA 04
Módulo da componente vertical do campo
Módulo da componente vertical do campo
gravitacional para a massa m1
gravitacional para a massa m2
Ponto
L(m)
r(m)
g(N/m)
Ponto L(m)
r(m)
g(N/m)
9
1
40
44,72136 5,96583.10
-8
-7
1
40
41,23106 9,51596.10-
2
30
31,62278 2,10924.10
-8
2
30
36,05551 1,13842.10
3
20
22,36068 5,96583.10-8
3
20
28,28427 2,3582.10--7
4
10
14,14214 2,3582.10-7
4
10
22,36068 4,77266.10-7
5
0
10
5
0
20
6
10
14,14214 2,3582.10-7
6
10
22,36068 4,77266.10
7
20
22,36068 5,96583.10
-8
7
20
28,28427 2,3582.10
8
30
31,62278 2,10924.10
-8
8
30
36,05551 1,13842.10
--7
9
40
41,23106 9,51596.10
-9
9
40
44,72136 5,96583.10
--8
6,67.10-7
Fonte: dados de pesquisa
Gráfico 01: Componente vertical do campo
gravitacional em função da distância para a
massa m1
Fonte: dados pessoais
6,67.10-7
-7
--7
Fonte: dados de pesquisa
Gráfico 02: Componente vertical do campo
gravitacional em função da distância para a massa m2
Fonte: dados pessoais
No ponto P5, o valor da camponente vertical do campo gravitacional é o
mesmo porque a razão entre a massa e o quadrado das distâncias para as duas
massas têm o mesmo valor.
64
Porém com a variação profundidade do corpo, a razão da massa e o
quadrado da distância não permanece constante para os pontos da superfície, pois
essa relação muda mais lentamente em corpos mais profundos.
Assim, mesmo que corpos diferentes tragam valores iguais do campo
gravitacional em um ponto, quando se analisa os perfis gravimétricos, nota-se que
quanto mais suave é a curva maior é a profundidade do corpo rochoso.
Portanto, pode-se concluir que a variação do campo gravitacional fornece
informações sobre a densidade dos materiais que se encontram abaixo da superfície
assim como a profundidade em que se encontram.
Como exemplo da explanação anterior, os geofísicos a partir de tais dados de
campo associados aos perfis gravitacionais fazem a interpretação das rochas e suas
profundidades aproximadas como na figura 18:
Figura 18: Interpretação geológica de um perfil gravimétrico
Fonte: dados pessoais
A região de menor valor do campo gravitacional fica associada a materiais
inconsolidados, de menor densidade. Consequentemente, na pesquisa mineral, se
os geólogos procurassem rochas menos densas, como o calcário, concentrariam os
65
trabalhos na parte esquerda da área, caso contrário, procurassem por granito, à
direita.
3.3.2.2- Etapas para a construção de um perfil gravimétrico
1- Escolhe-se a direção segundo a qual pretendemos analisar a gravidade
relativa;
2- Traça-se, no mapa, um segmento de reta segundo a referida direção
(figura 19);
E = 1/100 000
Curvas de mesmo valor de gravidade relativa em mGal
Figura 19: Construção de perfil gravimétrico – etapa 1e 2
Fonte: arquivo pessoal
3- Coloca-se o papel quadriculado sobre esse segmento;
4- Marcam-se, sobre o papel quadriculado, os pontos de intersecção das curvas de
nível com o segmento anteriormente traçado (figura 20);
66
Figura 20: Construção de perfil gravimétrico – etapa 3 e 4
Fonte: arquivo pessoal
5- Assinalam-se, num dos lados do papel quadriculado, os valores da escala vertical
pretendida para o levantamento do perfil (figura 21);
6- Levantam-se os pontos de intersecção das curvas de mesmo valor de gravidade
com a direção do corte;
67
Figura 21: Construção de perfil gravimétrico – etapa 5, 6 e 7
Fonte: arquivo pessoal
7- Unem-se esses pontos levantados (figura 21);
Observações:
a) Quando houver dois pontos seguidos à mesma gravidade relativa, como os vistos
nas curvas de 400mGal, não se deve ligá-los por um segmento reto, mas sim
através de uma curva com a concavidade virada para cima ou para baixo, conforme
os valores dos pontos que os precedem e sucedem ou dos que figuram entre eles;
b) As curvas de união não podem atingir o valor do campo gravitacional da curva
seguinte.
68
3.4- Correções do campo gravitacional
3.4.1- Instruções gerais ao professor
Esse texto visa expor uma série de dificuldades práticas do trabalho de
Gravimetria, oferecidas pela configuração superficial da Terra. O tratamento formal
das correções não está ao alcance dos alunos do Ensino Médio, mas oferece aos
professores um maior potencial de análise para o entendimento de trabalhos
profissionais.
Essas dificuldades práticas são devidas às posições latitudinais e de relevo.
Elas geram a necessidade das correções para uma uniformização dos dados
coletados pelos gravímetros. São correções que fazem parte da vida prática dos
profissionais que trabalham com a pesquisa de minerais.
Desta forma, este texto visa situar os professores na vivência dos trabalhos
de campo da pesquisa de minerais, mostrando algumas questões a serem
resolvidas pelos geofísicos.
As correções são baseadas em somas ou subtrações de parcelas que vão
influenciar o campo gravitacional, de modo que os valores fiquem sempre
relacionados para a mesma altitude e latitude, possibilitando uma comparação de
dados mais uniformes.
3.4.2- Texto 4: Correções do campo gravitacional
Os geofísicos podem comparar os dados gravimétricos durante a pesquisa
mineral desde que os valores do campo gravitacional estejam relacionados a um
mesmo sistema de referência tanto para latitudes quanto para altitudes.
Para que seja possível tal comparação, os geofísicos fazem as correções das
medidas dos gravímetros, de modo que o conjunto de valores coletados da
aceleração da gravidade seja convertido em valores de gravidade relativa para um
sistema de referência adequado.
69
As correções baseiam-se em somas e/ou subtrações de valores para obter os
mapas corrigidos que oferecerão elementos razoáveis para serem analisados, os
quais apresentarão informações dos corpos que geram os valores de gravidade
relativa anômalos.
A seguir se encontram algumas correções utilizadas no estudo gravimétrico
de uma região com o objetivo da pesquisa mineral.
3.4.2.1- Correção por causa da maré terrestre
A variação da posição entre Terra, Sol e Lua causa perturbações nos valores
do campo gravitacional (figura 21) que podem ser observadas durante um dia. Essa
perturbação é baseada numa composição dos campos gerados pelas forças da
Terra sobre o corpo e forças gravitacionais externas (atração do Sol e da Lua).
No desenho é apresentado por gs o campo gravitacional na superfície da
Terra devido ao Sol, gl o devido a Lua e grex o campo externo resultante devido aos
dois astros.
Figura 22: Campo gravitacional externo na superfície da Terra.
Fonte: arquivo pessoal
Essa composição de campos é a fonte das marés terrestres, que são
similares as marés marinhas, só que enquanto a superfície das águas dos mares
aumenta ou diminui seu nível até dezenas de metros, a superfície da Terra
apresenta variações de alguns centímetros.
70
Essa composição causa variações no campo gravitacional, apresentando
amplitude máxima inferior a 0,3mGal. O valor máximo fica relacionado ao
alinhamento máximo entre a Terra, Lua e Sol e a mínima no alinhamento Lua, Terra
e Sol.
Figura 23: Posições de maior e menor valor do campo gravitacional gerado pelas forças externas.
Fonte: arquivo pessoal
Essa variação, embora muito pequena em atividades rotineiras, alcança a
ordem de grandeza de anomalias comumente encontradas nos levantamentos para
prospecção mineral.
Uma consequência da variação das posições relativas dos astros é que as marés
são devidas, principalmente, à atração da Lua e, no entanto o valor da força
gravitacional do Sol é maior. Uma boa descrição deste fenômeno encontra-se na
dissertação Explorando a Gravitação no Ensino Médio, de Kerley (2008), contendo
o formalismo matemático adequado ao Ensino Médio.
3.4.2.2- Correção por causa da diferença de latitude
Para essa correção, os fatores analisados são: a não esfericidade da Terra (a
distância dos pólos ao centro do planeta é menor que a distância dos pontos do
Equador) e a rotação do planeta (a velocidade escalar de rotação dos pontos do
Equador é maior que nos pontos dos pólos, logo a força centrífuga diminui do
Equador em direção aos pólos).
71
Se a Terra fosse uma esfera homogênea e não efetuasse movimento de
rotação, a aceleração da gravidade que é medida com o gravímetro teria o mesmo
valor do módulo do campo gravitacional go em qualquer ponto (figura 23).
Figura 24: Representação do campo gravitacional para uma Terra homogênea e sem rotação.
Fonte: arquivo pessoal
Como a Terra tem rotação, assim ela não é um referencial inercial. A
aceleração da gravidade dada para referenciais não inerciais é a soma vetorial das
acelerações devido ao campo gravitacional e a força centrífuga, assim qualquer
experimento feito na superfície da Terra ficará sujeito a aceleração resultante dessa
soma.
A figura 25 mostra a análise simplificada da aceleração da gravidade em
algumas posições devido à diferença de velocidade de rotação entre os pontos do
Equador e dos polos.
Figura 25: Representação da aceleração da gravidade resultante pela rotação da Terra.
Fonte: arquivo pessoal
72
Com base na figura anterior e lembrando que o gravímetro mede o peso
aparente (Pap), pois a Terra tem movimento de rotação, pode-se escrever a seguinte
equação para calcular a aceleração da gravidade em um ponto.
Logo a aceleração aparente medida pelo gravímetro (
) vai ser a soma vetorial da
aceleração devido ao campo gravitacional terrestre ( ) e a aceleração centrífuga
(
) devido ao seu movimento de rotação.
Somado ao movimento de rotação, a Terra possui diferença entre os raios
equatoriais e polares de cerca de 21km. A soma de tais fatores faz com que nos
pólos o valor do módulo da gravidade exceda ao do Equador em cerca de 5,2Gal.
Os Geofísicos, em trabalhos gravimétricos, usam a seguinte equação para a
correção da variação do campo gravitacional com a latitude:
Δg=0,0081senΦ mGal
onde Φ é o valor da latitude do ponto considerado.
Se o ponto de interesse estiver em uma maior latitude que o ponto de
referência, o valor da correção por latitude deve ser subtraída, pois em direção aos
polos a aceleração da gravidade aumenta. Caso contrário, deve ser adicionado.
Alguns valores que mostram a variação do campo gravitacional levando em
consideração a latitude são mostrados na tabela 05:
73
TABELA 05
Variação da aceleração da gravidade com a latitude.
Latitude
g (m/s²)
0
9,78039
10
9,78159
20
9,78641
30
9,79329
40
9,80171
45
9,80665
50
9,81071
60
9,81918
70
9,82608
80
9,83059
90
9,83217
Fonte: Sampaio e Calçada, 2005, p.22.
3.4.2.3- Correção por causa da altitude
Para essa correção deve-se saber o valor da diferença de altura (h) entre os
pontos que se deseja saber o valor da gravidade relativa (P’) e o ponto medido (P),
pois se deve trabalhar com dados referentes à mesma altitude.
Por exemplo, no modelo simplificado da figura 26 nota-se que o P (onde é
posicionado o gravímetro) tem maior altitude do que o nível de referência (onde fica
localizado o ponto P’), consequentemente, o módulo do campo gravitacional é
menor em P do que em P’ (gp< gp’).
74
Figura 26: Representação da altura de um ponto em relação ao nível de referência.
Fonte: arquivo pessoal
Sabe-se, que para uma Terra esférica e sem rotação, o valor do campo é
dado por:
em que h é a diferença de altura entre o nível de referência e o ponto de
observação.
Essa equação, comum no Ensino Médio, mostra que o campo gravitacional
diminui com o valor da altitude, assim os geofísicos em trabalhos práticos usam a
seguinte equação para a correção de altitude:
Ca= 0,3086h mGal (h em metros)
em que Ca é a correção de altitude, r é o raio da Terra e h é a altura em relação ao
nível de referência.
Se o ponto P estiver acima do ponto de referência, como no caso da figura
26, o valor do campo gravitacional vai ser inferior ao do nível de referência.
Consequentemente deve-se somar o valor da correção devido à altitude.
Analogamente, se o ponto P estiver a uma menor altitude, deve-se subtrair.
75
Para se deduzir a equação da correção de altitude podem ser feitos os cálculos
seguintes:
g (r ) 
GM
GM
 g ( r  h) 
2
r
( r  h) 2
Expandindo em Série de Taylor:
g ( r  h)  g ( r ) 
g (r ) h  2 g ( r ) h2


r 1!
r 2 2!
então,
g ( r  h) 
GM 2GM
3GM
 3 h  4 h2  
2
r
r
r
para h  r ,
g (r  h ) 
GM 2GM
2 g (r )
 3 h  g (r ) 
h
r2
r
r
g (r  h)  g (r )  
2 g (r )
h
r
Substituindo-se pelos valores de r = R (raio médio da Terra) e g(R), temos:
CAL =  0,3086h
mGal
m
3.4.2.4- Correção devida à camada rochosa
Essa correção é complementar a anterior, uma vez que na correção de
altitude não se leva em consideração as rochas que estão entre o ponto em que se
mede a aceleração da gravidade e o nível de referência (figura 27).
76
Figura 27: Correção devida à camada rochosa entre os pontos de observação
Fonte: dados pessoais
Para resolver tal problema, os geofísicos usam uma primeira aproximação sem
considerar o relevo, aproximando as rochas por placas planas e infinitas, conforme
cálculos no anexo B.
Como não é levado em consideração o relevo das montanhas (será visto na
próxima correção), a análise se dá em relação à espessura da placa e sua
densidade.
Caso exista uma montanha entre a estação P e o ponto de referência P’, a
massa da montanha criará um campo adicional em relação ao nível de referência,
logo a correção será subtraída do valor do módulo do campo gravitacional (figura
27).
Figura 28: Campo gravitacional adicional por causa da camada rochosa acima do nível de referência.
Fonte: arquivo pessoal
Em caso contrário, se existir uma depressão, a falta de rochas causará uma
diminuição do valor do campo gravitacional em relação ao nível de referência (figura
29).
Figura 29: Campo que deve ser subtraído pela falta de massa.
Fonte: dados pessoais
77
Para tal procedimento os geofísicos fazem a correção devido a uma placa
horizontal de rochas com densidades conhecidas, usando assim a correção que
obedece a seguinte equação:
Cm = 0,1119h mGal
onde Cm é a correção devido as montanhas ou vales e h a espessura das rochas.
Observar a dedução do campo gerado por uma placa plana no anexo B.
3.4.2.5- Correção por causa da topografia
Esse tipo de correção é necessário porque a superfície terrestre possui
irregularidades topográficas, as quais não podem ser desprezadas.
Observando a figura 30, pode-se perceber que a composição do campo
gravitacional devido às rochas abaixo da superfície com o gerado pela montanha
mostrará um desvio em relação à vertical que ocasionará uma diminuição do campo
gravitacional em relação ao nível de referência, pois a componente vertical será
menor.
78
w
Figura 30: Correção do campo gravitacional pela presença de uma elevação nas proximidades do
gravímetro.
Fonte: dados pessoais
Analogamente, se existirem depressões, a ausência de rochas também vão
mudar a configuração do campo, criando um desvio similar ao da montanha,
diminuindo da similarmente a componente vertical do campo gravitacional (figura
31).
Figura 31: Correção pela presença de um vale nas proximidades do gravímetro
Fonte: dados pessoais
79
Em trabalhos profissionais, em que a precisão dos dados calculados é muito
grande os valores do relevo do campo gravitacional alterados pela região deve ser
analisado, sendo que para tal correção é necessário conhecer a topografia da região
com grande precisão.
Essa correção, as anteriormente descritas e outras a devida à deriva
instrumental, movimento do gravímetro, etc são as bases dos trabalhos de
Gravimetria. Somente após tais procedimentos os geofísicos vão realmente poder
comparar os valores do campo gravitacional de uma região e encontrar áreas que
poderão ter continuidade dos trabalhos de pesquisa mineral.
80
4- APLICAÇÃO DO PRODUTO E ANÁLISE DOS RESULTADOS
4.1- Caracterização dos alunos e da escola
O produto foi aplicado na Escola Estadual “Dom Silvério, na qual há uma
grande diversidade de alunos matriculados, uma vez que é uma escola urbana e fica
localizada na parte central da cidade de Mariana.
Dentro das turmas do diurno os alunos são, em maior parte, de classe média
e baixa, provenientes da parte central, bairros e distritos da cidade, que procuram a
escola por ser considerada de bom nível e também por ser uma escola pública e,
como tal, sem ônus para o estudante.
As duas turmas nas quais foi aplicado o trabalho são do turno diurno, e os
alunos têm, de modo geral, a faixa etária adequada às séries que cursam – 16 a 18
anos.
A Escola Estadual “Dom Silvério” tem, oficialmente, seu trabalho norteado
pelo projeto Escola Referência, da Secretaria de Educação do Estado de Minas
Gerais (SEEMG), cujo objetivo é desenvolver planos, programas e ações com vistas
a garantir educação com qualidade para todos os mineiros.
Essa proposta de trabalho define o aluno como centro das atenções
educacionais e busca fortalecer o compromisso da política estadual de educação
com a obtenção do sucesso do aluno no processo de aprendizagem e de sua
formação como cidadão.
Houve nos últimos anos a capacitação dos docentes dentro de uma prática
pedagógica com a formação de grupos de desenvolvimento profissional (GDP) e
também em cursos de usos de tecnologias de educação.
Durante o desenvolvimento das propostas oriundas do projeto Escola
Referência, o maior problema verificado é a carga horária de trabalho dos
profissionais da escola, dificultando as reuniões de professores, pois coincidem com
seus horários de trabalho.
Os materiais de suporte ao professor são: o quadro negro; uma biblioteca
com bons livros, principalmente após a chegada dos livros escolhidos a partir do
Programa Nacional do Livro Didático do Ensino Médio (PNLEM); dois retroprojetores
81
funcionando; um auditório que conta com um DVD, um vídeocassete e um datashow.
Apesar de ser uma boa variedade de recursos, o seu compartilhamento por
todos os professores os tornam insuficientes para atendê-los, dificultando o trabalho
desses profissionais.
A grade horária é de 25 aulas semanais de 50 minutos, em que a primeira
série possui duas aulas de Física, a segunda série, três e a terceira depende da
escolha dos alunos quanto à aptidão futura, entre as áreas de humanas, biológicas
ou exatas.
4.2- Metodologia da pesquisa
O trabalho foi aplicado em duas segundas séries de Ensino Médio da Escola
Estadual “Dom Silvério”, consistindo de três etapas: um pré-teste de 50 minutos;
uma aula de 100 minutos e um pós-teste de 50 minutos.
Durante os testes os alunos podiam usar somente uma calculadora eletrônica
e consultar o livro Universo da Física, v.2, de Sampaio e Calçada (2009), que é o
livro-texto dos alunos da segunda série da Escola Estadual “Dom Silvério”.
Etapa 1- Realização de um primeiro levantamento de concepções do aluno sobre o
tema em foco antes da aplicação do texto “Conhecendo o centro da Terra”.
Etapa 2- Uma aula de 100 minutos, sobre o texto “Conhecendo o centro da Terra”,
frisando principalmente os conceitos de investigação indireta, densidade e campo
gravitacional.
O texto escolhido foi o de menor complexidade, uma vez que havia uma
previsão das dificuldades matemáticas dos alunos que iriam participar da pesquisa.
Para retirada das dúvidas foi usado o quadro negro e para a fixação dos
conceitos nos trinta minutos finais foram feitos pequenos grupos de alunos para
resolver as questões propostas após o texto.
82
Fase 3- Aplicação de um segundo levantamento de concepções para comparar os
resultados com o levantamento anterior.
4.2.1- Primeiro levantamento de concepções
O primeiro levantamento de concepções foi baseado em um pré-teste
mostrado no próximo quadro. Este foi baseado em uma questão dividida em duas
letras, a e b.
Na letra a, optou-se por uma parte mais objetiva para verificar se os alunos
poderiam calcular o campo gravitacional da Terra, supondo-a composta por um
único tipo de rocha, com a maior densidade das rochas tabeladas.
Se os alunos resolvessem a letra a corretamente, verificariam o que o valor
do campo gravitacional calculado seria menor do que o campo gravitacional médio
da Terra, dado este fornecido no teste.
Consequentemente, na letra b, a partir da idéia da investigação indireta,
poderiam afirmar que a densidade do material do interior do planeta é maior do que
a densidade das rochas encontradas em sua superfície.
83
PRÉ-TESTE
A tabela a seguir representa a síntese das densidades das principais
rochas encontradas na superfície da Terra.
Rocha
Densidade (kg/m³)
Granito
2700
Basalto
3000
Quartzito
2650
Arenito
1600
Dados:
G = 6,67x10-11N.m²/kg²
Campo gravitacional médio na superfície da Terra => 9,8N/kg
Raio médio da Terra => de 6,4x106m
Volume de uma esfera => V 
4
r ³
3
Densidade média da Terra: 5,5x10³kg/m³
Densidade => d 
M
V
a) Calcule o valor do campo gravitacional do planeta Terra, considerando-o
composto por basalto, que é a rocha da tabela com maior densidade.
b) A partir do valor calculado é possível inferir alguma relação do valor da
densidade do material encontrado no interior do planeta e a do material
encontrado na superfície? Justifique.
84
4.2.2- A aula
A aula foi baseada em uma leitura compartilhada do texto “Conhecendo o
centro da Terra”, com o objetivo central de mostrar aos alunos a possibilidade de
fazer inferências ao estudar determinados objetos através da investigação indireta.
Para que tal suposição fosse entendida a aula foi apoiada na experiência de
Cavendish, demonstrando como ele conseguiu medir a massa da Terra e calcular
sua densidade, mesmo sem uma balança para pesá-la e, principalmente, mostrar
que a possibilidade de especulação sobre a densidade do material que não se podia
tocar com as mãos.
Durante essa aula os alunos tinham acesso ao texto “Conhecendo o centro da
Terra”, podendo fazer quaisquer perguntas que achassem necessárias ao professor,
sendo que este contaria com as figuras do texto e o quadro negro para esclarecer as
dúvidas.
Nos últimos 30 minutos de aula foram formados pequenos grupos de alunos
para resolver as questões propostas no fim do texto, tanto para familiarizar com as
operações matemáticas envolvidas, como para terem apoio dos colegas mais
experientes e do professor.
O professor tentou direcionar a discussão para a compreensão da idéia de
investigação indireta, mostrando que como a densidade do planeta como um todo é
maior que a densidade dos constituintes da superfície terrestre, é possível atribuir
maiores densidades aos constituintes internos da Terra.
4.2.3- Segundo levantamento de concepções
No segundo levantamento de concepções foi elaborado um pós- teste, como
no quadro a seguir. Foi solicitada a resolução de uma questão diferente a do préteste, para evitar uma resolução mecânica. A questão era análoga àquela do
primeiro levantamento, só que enquanto a primeira pedia para calcular o campo
gravitacional e inferir valores para a densidade, a segunda pedia o cálculo de
densidade e a inferência do valor do campo.
85
Como os valores da densidade da Lua como um todo é um pouco maior do
que a densidade das rochas trazidas pelos astronautas esperava-se que os alunos
respondessem que as rochas do interior da Lua deveriam ser um pouco mais densas
do que as rochas da superfície, ou que as densidades das rochas eram bem
próximas.
PÓS-TESTE
Sabe-se que missão Apolo 12 trouxe amostras de rochas da superfície da
Lua com densidade de 3,0x10³kg/m³.
Dados:
G = 6,67x10-11N.m²/kg²
Campo gravitacional médio na superfície da Lua => 1,6N/kg
Raio médio da Lua => de 1,738x106m
Volume de uma esfera => V 
Densidade => d 
4
r ³
3
M
V
a) Calcule a densidade média da Lua usando os valores apresentados no quadro
anterior.
b) É possível inferir algo sobre o valor do módulo do campo gravitacional da Lua
se esta fosse composta apenas de rochas de densidades encontradas pela Apolo
12? Justifique.
86
4.3- Classificação dos alunos
Antes de comentar a classificação a seguir, é necessário frisar que os testes
transpostos foram fotocopiados na íntegra de modo a retratar fielmente as evoluções
ou involuções sofridas pelos alunos durante a realização do trabalho. As anotações
em vermelho são marcações do professor.
Para análise dos resultados a melhor maneira encontrada foi agrupar os
alunos em um padrão definido pela qualidade matemática de resolução no primeiro
levantamento de concepções. Após a separação verificou-se o desenvolvimento dos
alunos após a aula, o que ficou parcialmente materializado no pós-teste.
Assim, os alunos foram separados segundo as classes que serão descritas a
seguir, com os exemplos materializados pela resolução dos seus testes:
1- Não usados na comparação (NC):
Esses alunos fizeram apenas o pré-teste ou o pós-teste, por isso não foi
possível comparar os resultados alcançados com a aplicação da aula.
2- Entregaram o pré-teste em branco (TB): foram subdivididos em três grupos,
conforme sua evolução.
a) Pouco ou nada desenvolveram: apesar da maioria não entregar o pós-teste em
branco, não foi perceptível nas suas resoluções verificar padrões que efetivamente
apresentassem uma evolução lógica.
Como pode ser visto a seguir, o aluno 20 entregou um conjunto de rabiscos; o
47 entregou a cópia da fórmula de força acompanhado do valor da constante
gravitacional; o 48 continuou entregando o teste em branco, o 59 tentou substituir
alguns valores em uma fórmula de força que não soube copiar; e o 61 escreve uma
fórmula de densidade.
87
20
47
Entregou o teste
em branco.
48
59
61
b) Desenvolveram de forma incipiente: esses alunos percebem que se deve calcular
a densidade da Lua, mas é perceptível pelas anotações feitas em vermelho, no teste
transposto a seguir, que não possuem conhecimentos matemáticos suficientes para
resolver a questão.
Aluno 12
88
c) Desenvolveu de forma significativa: Apesar de faltar na resolução a maioria das
unidades das grandezas físicas e não resolver as equações de forma correta,
percebe-se a estrutura lógica, calculando o volume e a massa para calcular a
densidade.
Uma dificuldade comum nesta resposta, assim como quase todas as outras
respostas dos alunos que conseguiram chegar a um valor na resolução, é a falta de
percepção da ordem de grandeza do resultado obtido.
Esse padrão sugere que os conceitos de ordem de grandeza, densidade e as
operações matemáticas apesar de serem estudadas em Física, Matemática e
Química, não se encontram fixos na estrutura cognitiva dos alunos.
89
Aluno 50
3- Sem lógica de resolução aparente (SLRA)
Esses alunos efetivamente têm vontade de resolver as questões sugeridas,
mas a sua estrutura cognitiva está aquém do esperado em alunos da segunda série
do Ensino Médio.
90
Para a resolução da questão do pré-teste os alunos colocam números em
fórmulas para chegar a um resultado, continuando sem organizar coerentemente a
resolução da questão no pós-teste.
No pós-teste verifica-se um maior conjunto de operações matemáticas, mas
não há uma boa base estrutura formal de resolução de problemas (resoluções a
60 (pré-teste)
10 (pós-teste)
10 (pré-teste)
seguir).
60 (pós- teste)
91
4- Usaram regra de três
Para resolver a primeira parte da questão era possível usar uma regra de três
simples, porque o aluno poderia considerar homogênea a densidade do planeta,
consequentemente o módulo do campo gravitacional seria diretamente proporcional
a densidade da Terra.
Lembrando que o campo gravitacional dado por uma esfera homogênea pode
ser aproximado, segundo o teorema de Gauss, por uma massa pontual colocada no
centro da esfera, pode-se escrever as seguintes equações:
em que G é a constante gravitacional, M a massa do planeta e r o raio da Terra.
Por outro lado,
na qual ρ é a densidade e V o volume do corpo.
Associando as equações obtém-se:
92
Essa equação mostra que o campo gravitacional na superfície da Lua é
diretamente proporcional a densidade ρ das rochas que a constitui, se r for
considerado constante.
Sem saber tal princípio, alguns alunos, de uma forma intuitiva, usaram regra
de três para resolver o problema, porém houve grande dificuldade em efetuar
cálculos matemáticos simples como o aluno 63, que tem seus testes transpostos a
seguir;
Pós-teste
Pré-teste
Aluno 63
Resolução
93
A seguir é mostrada a melhor resolução do pré-teste, feita pelo aluno 9, como
mostrado a seguir, porém no pós teste não conseguiu a lógica necessária para a
resolução (vide resolução seguinte).
Resolução
Pós-teste
Pré-teste
Aluno
Nota-se que até a resposta da questão b no pré-teste, foi dada com muita
coerência, como em sua resposta a seguir.
“Se meus cálculos estiverem corretos, o material no interior da Terra é mais denso que o
material encontrado na superfície.” (Aluno 9)
94
5- Usaram um recurso matemático (R1).
a) Pouco ou nada desenvolveram: Verifica-se a mesma estrutura lógica na resolução
dos dois testes, errando os cálculos matemáticos e tentando resolver aplicando
Pós-teste
Pré-teste
apenas uma única fórmula matemática.
b) Desenvolveram de forma incipiente: no pós-teste há um melhor encadeamento
matemático, mas para a construção da resposta o aluno anda em círculos, ou seja,
usa a densidade para calcular a massa, retornando para voltar ao mesmo valor de
densidade.
Pós-teste
Pré-teste
95
c) Desenvolveu de forma significativa: de todos os alunos analisados no pós-teste o
49 mostra a melhor resolução matemática, excetuando-se pala falta de colocação
das unidades das grandezas físicas.
No pré-teste simplesmente usou colocar valores em uma fórmula de força,
dando uma resposta sem apoio matemático. Já no pós-teste conseguiu encontrar a
lógica de resolução e principalmente percebeu que os valores da densidade das
rochas em superfície eram próximos dos valores das amostras trazidas pelos
astronautas.
Pós-teste
Pré-teste
96
97
6- Usaram dois ou mais recursos matemáticos (R2): Esses alunos já tinham
uma maior argumentação matemática, mas com algumas deficiências em trabalhar
com notação científica. Alguns conseguiram perceber a lógica matemática, mas
infelizmente, erraram os cálculos.
98
4.4- Análise inicial dos resultados
O gráfico a seguir sintetiza como se deu a evolução dos alunos:
Gráfico 03: Evolução dos alunos
Fonte: dados da pesquisa
Dos alunos que entregaram o pré-teste em branco, a maioria passou a
resolver a questão do pós-teste, mas continuaram sem ter a lógica necessária para
calcular o que foi pedido. Destes, o que mais se aproximou da resolução desejada,
teve a sequencia de cálculos correta, errando em operações matemáticas.
Aqueles que não mostraram nenhuma lógica na resolução do pré-teste
continuaram sem mostrar essas qualidades após as aulas, apenas aumentam o
número de operações matemáticas.
Os alunos que usaram regra de três, mesmo o que tinha coerência na
resolução do pré-teste, não conseguiram resolver o problema elaborado no pósteste.
99
A maior evolução foi observada nos alunos que usavam apenas um recurso
matemático, pois eles passaram a usar mais recursos matemáticos para resolver a
questão, chegando inclusive, um deles, a lógica matemática necessária para
resolver a questão.
Já os alunos que usaram dois ou mais recursos matemáticos perceberam a
lógica da resolução do problema, mas continuaram errando em operações
matemáticas.
Resoluções da parte b das questões dos levantamentos de concepções
A letra b da questão acabou não mostrando nenhuma evolução na resposta
da maioria dos alunos. As tabelas 06 e 07 a seguir mostram as respostas dadas de
todos os testes que podem ser comparadas do pré e pós-teste, inclusive parece
perceptível que alguns alunos não conseguiram entender as duas perguntas
formuladas.
Essas repostas foram transcritas com o máximo de fidelidade, do que foi
reproduzido no papel em que foram resolvidos os testes, incluindo os erros de
transcrição da língua portuguesa.
Um problema na elaboração desta parte da questão é o vínculo com a
resposta da letra a, pois caso os alunos não conseguissem fazer os cálculos
anteriores, não poderiam relacionar valores através da investigação indireta.
100
Tabela 06
Resposta do pré-teste
Aluno
Resposta
2
Não, pois o material da superfície e maior que o da terra
4
Sim, porque o material encontrado no interior do planeta e do material encontrado
na superfície da terra pode sim inferir alguma relação.
6
Na verdade a força é muito pequena.
7
Não, pois não sabemos como é a interior do planeta e do material encontrado na
superfície.
9
Se meus cálculos estiverem corretos, o material encontrado no interior da Terra é
Pré-teste
mais denso que o material encontrado na superfície.
11
É possível
13
Não
17
Não, a velocidade do raio aumenta.
19
Não. Porque é uma força de intensidade muito pequena, de modo que seu efeito é
desprezível no dia -dia
42
O valor do material encontrado no interior é mais densa que o encontrado na
superfície
49
Não
56
Não
60
=Não=por que
63
Sim. O material encontrado no interior do planeta é mais denso de o valor
encontrado na superfície
Fonte: dados da pesquisa
101
Tabela 07
Resposta do pós-teste
Aluno
Resposta
Observação
2
-
Não respondeu.
4
Não. Porque a densidade é maior a do que a
Chegou ao resultado d=75000
Apolo 12 que trouxe para terra.
6
7
Sim, pois tirou apenas a camada da crosta, se
Não chegou a um resultado
fosse do nível seria maior
numérico de densidade.
Mesmo com esse resultado não podemos afirmar
Calculou de forma errada um
o
valor de campo, que teve
campo
gravitacional
da
Lua,
pois
não
conhecemos a superfície da Lua.
como valor 1,97m/s².
9
-
Não respondeu.
11
É possível porque a densidade da rocha e igual a
Trabalhou em círculo, logo
densidade da Lua.
achou o mesmo valor de
densidade.
13
Sim, podemos inferir
Através de cálculos errados
Pós-teste
achou d=1,499735
17
19
Sim, as rochas são bem mais pesadas pois como
Tentou responder sem base
podemos
matemática
Não poderia ser por mais coisas
Calculou
um
volume
6
V=72.75 n
42
Sim, pois a densidade ficará quase a mesma.
Melhor resolução numérica.
49
Sim, pois é possível inferir algo sobre o valor do
Sem cálculo numérico.
módulo do campo gravitacional da lua se ela
fosse composta apenas por rochas de densidade
como coletadas pela Apolo 12.
56
Não. Porque é muito menor
Calculou
um
valor
densidade d=0,033x10
60
de
17
Sim, pois com o resultados obtido na conta
Não sei quais são os números
anterior dividindo pelo numero de baixo dara o
citados.
resultado que queremos.
63
Sim porque o campo gravitacional na lua é muito
Olha que encontrou um valor
menor com isso as coisas ficam mais leves
de densidade 5,12x10
Fonte: dados da pesquisa
63
102
4.5- Análise final dos resultados
Considerando que os resultados obtidos com os alunos não foram
satisfatórios, procuraram-se dentro da teoria da aprendizagem significativa motivos
que possam justificar as falhas no processo ensino-aprendizagem.
Segundo Ausubel (2003) alguns aspectos para trabalhos educacionais de que
a abordagem de ensino expositivo e de aprendizagem por recepção acaba
fomentando verbalismos vazios são:
1. Uso prematuro de técnicas verbais puras com alunos imaturos em termos
cognitivos.
2. Apresentação arbitrária de fatos não relacionados sem quaisquer
princípios de organização ou de explicação.
3. Não integração de novas tarefas de aprendizagem com materiais
anteriormente apresentados.
4. Utilização de procedimentos de avaliação que avaliam somente a
capacidade de se reconhecerem fatos discretos, ou de se reproduzirem
idéias pelas mesmas palavras ou no contexto idêntico ao encontrado
originalmente (AUSUBEL, 2003, p.7).
Desses aspectos, o primeiro e o terceiro parecem que foram cruciais no baixo
rendimento dos alunos.
O primeiro pode-se perceber durante as aulas, em que praticamente não
houve questionamentos ao professor e os poucos questionamentos revelam uma
falta de maturidade para adquirir os conhecimentos trabalhados no texto.
O terceiro aspecto, que é o mais relevante para o trabalho proposto, se
mostra durante a resolução dos testes, a falta de conhecimentos anteriores que não
permitiram a integração de novos conhecimentos.
Os conhecimentos necessários que devem ser mais trabalhados antes da
aplicação do texto “Conhecendo o centro da Terra” são:
a) o vocabulário básico para entender o texto;
b) a incapacidade de operacionalizar sentenças matemáticas elementares e analisar
os resultados;
103
c) a incapacidade de organizar o raciocínio.
Assim para melhorar os resultados com os alunos é necessário verificar vários
procedimentos, principalmente na transformação do Saber a Ensinar ao Saber
Ensinado e rever alguns processos de aprendizagem, tais como:
1. A descoberta da natureza dos aspectos do processo de aprendizagem que
afetam a vasta disponibilidade, estabilidade e significação de conjuntos de
conhecimentos organizados, capacidades, etc., no aprendiz.
2. Como modificar as capacidades de aprendizagem nos alunos.
3. Identificar os aspectos de personalidade e cognitivos do aprendiz, bem
como dos aspectos interpessoais e sociais do ambiente de aprendizagem, que
afetam a motivação para a aprendizagem e as formas características de assimilação
de materiais de instrução.
4. Descoberta de práticas de revisão e de retorno apropriadas e com a
máxima eficiência e de formas de organizar, atribuir uma sequência e apresentar os
materiais de aprendizagem e de motivar e direcionar, de modo deliberado, a
aprendizagem para objetivos específicos (AUSUBEL, 2003).
Essa falta de resultados positivos pode deixar dúvidas se a aprendizagem por
recepção é passiva, mas segundo Ausubel “O surgimento de significados, à medida
que se incorporam novos conceitos e idéias na estrutura cognitiva, está longe de ser
um fenômeno passivo.” (AUSUBEL, 2003, p. 54)
A falta de resultados positivos origina-se no conjunto de idéias ancorantes da
estrutura cognitiva não se mostraram claras, nem estáveis, e esse é o principal fator
de facilitação da aprendizagem significativa, como também a “ausência de tais idéias
constitui a principal influência limitadora ou negativa sobre a nova aprendizagem
significativa.” (AUSUBEL 2003, p.155).
Para potencializar o resultado do texto em novas oportunidades é preciso de
uma maior carga horária para que se possa obedecer mais fielmente aos princípios
programáticos facilitadores como:
Diferenciação progressiva: princípio que sugere que as idéias mais gerais e
inclusivas da matéria de ensino devem ser apresentadas desde o início da instrução
e, progressivamente, diferenciadas em termos de detalhes e especificidade.
104
Como o princípio norteador da aplicação era que os alunos já tivessem bons
conhecimentos de Gravitação, pois já haviam estudado a matéria na primeira série.
Infelizmente, não houve tempo de trabalhar melhor os cálculos matemáticos e as
técnicas de resolver exercícios desejados.
Organização sequencial: por motivo de tempo, foi aplicado com os alunos apenas
um dos textos elaborados. Para o estudo deste texto, o conhecimento previsto de
gravitação dos alunos não era suficiente para perceber as relações de dependência
natural existentes no material de ensino.
Reconciliação integradora: os alunos, talvez por timidez não mostraram suas
dificuldades com perguntas, mesmo quando questionados pelo professor. Assim,
não foi possível proporcionar a diferenciação progressiva, nem chamar a atenção
para diferenças e semelhanças para reconciliar inconsistências reais e aparentes.
Consolidação: esse princípio sugere que antes de se introduzir novo material de
aprendizagem, assegura-se uma prontidão contínua de matérias e um êxito na
aprendizagem sequencialmente organizada. Este tipo de aprendizagem pressupõe
que os passos precedentes estejam claros, estáveis e bem organizados.
Ou seja, com as práticas avaliativas e o tempo limitado foi possível perceber
várias lacunas da estrutura cognitiva dos alunos, mas essas lacunas deveriam ser
retrabalhadas no decorrer da aplicação, algo que não foi feito. Assim, faltou aos
alunos mais clarificação através de revisões.
Como os alunos parecem mudar de séries de ensino sem que os
conhecimentos anteriores fiquem retidos podem-se gerar problemas futuros da
educação como os percebidos por Naegele citado por Ausubel (2003).
Naegele alega que a falta de conhecimentos iniciais que ancorem os novos
conhecimentos pode gerar problemas futuros na educação superior, uma vez que o
tempo de aprendizagem das unidades seqüenciais em um curso de Física é mais
dependente da adequação da aprendizagem nas unidades iniciais.
105
5- COMENTÁRIOS FINAIS
Espera-se que este trabalho possa contribuir com a prática educativa,
mostrando a possibilidade de criação de novos materiais didáticos adequados à
realidade regional brasileira e colocados à disposição dos professores.
Durante a execução dos trabalhos conseguiu-se elaborar textos de
Gravimetria para suporte ao ensino de tópicos de gravitação com o formalismo
matemático usado no Ensino Médio, mas permaneceu o problema na transposição
do Saber a Ensinar ao Saber Ensinado.
Problema ocorrido durante a aplicação do texto “Conhecendo o centro da
Terra”, pois mesmos os cálculos que pareciam simples na visão do professor, pois já
haviam sido estudados na série anterior, não se mostraram presentes na estrutura
cognitivas dos alunos.
A aplicação do texto mostrou-se útil principalmente para os alunos que no
primeiro levantamento de concepções já usavam na resolução do pré-teste um
recurso matemático.
Não houve um desenvolvimento muito significativo dos alunos que
entregaram o pré-teste em branco ou dos que usavam regra de três para a
resolução, de modo que a aula não me mostrou eficiente para a melhoria do
aprendizado dos alunos inseridos em tais classes.
Os alunos que já usavam mais de um recurso matemático melhoraram a
lógica de resolução, mas acabaram errando em cálculos de modo que não
conseguiram uma resolução satisfatória no segundo levantamento de concepções.
A falta de um resultado significativo não elimina a possibilidade dos textos
poderem ser utilizados no Ensino Médio, mas revela a necessidade de outras
aplicações, pois uma característica necessária para a transposição didática é que a
aplicação in loco mostre resultados positivos.
106
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111
ANEXO A
Atividade experimental: pêndulo simples
Uma vantagem do experimento do pêndulo simples, é que para sua
realização são necessários apenas materiais de baixo valor financeiro, tais como
uma trena calibrada em milímetros, um pedaço de barbante, um chumbo utilizado
para pesca e um cronômetro.
Um primeiro procedimento é montar um pêndulo simples para que se possa
medir o valor do seu período de oscilação. A seguir está representado um
experimento real com os procedimentos relativos à propagação de erros.
Para medir o comprimento do pêndulo foi usada uma trena calibrada em
milímetros, logo a medida do comprimento é dada por:
l= (2,077 +/- 0,005)mm.
Onde o erro de 0,005mm é o valor da metade da menor divisão da escala da
trena.
Calculando o erro relativo do comprimento do pêndulo, tem-se:
l 0,005m

 0,002
l
2,077m
Para medir o período de oscilação foram feitas três medidas e 10 oscilações
completas, com o intuito de minimizar erros como o tempo de reflexo do ser humano,
assim, tem-se ao final um valor do período com menor interferência de tal erro.
Essas medidas foram colocadas na primeira coluna da tabela.
Lembrando da impossibilidade de se conhecer o valor exato de uma grandeza
física, estamos diante da seguinte questão: que valor se deve adotar para tal
grandeza?
Para resolver tal questão, encontramos o valor mais provável para uma
medida qualquer que é dado, pela Estatística, segundo a seguinte equação:
112
Logo,
Esse dado foi colocado na segunda coluna da tabela.
A dispersão do conjunto de medidas em relação ao valor mais provável pode
ser quantificada procedendo-se da seguinte forma: calculam-se os erros absolutos
(também chamados desvios absolutos ou incertezas absolutas) de cada uma das
medidas, definidas pelas diferenças entre essas medidas e o valor mais provável da
grandeza:
Esses valores foram colocados na terceira coluna da Tabela.
TABELA
Período de oscilação do pêndulo e seus desvios
Período de dez
Período médio de dez
Desvios
oscilações do pêndulo
oscilações do pêndulo
(s)
T(s)
(s)
28,92
28,85
0,07
28,61
28,85
-0,24
29,01
28,85
0,16
Fonte: dados de pesquisa
O erro médio absoluto definido pela média aritmética dos valores absolutos
dos últimos:
113
Assim, o erro médio absoluto é
Então a maneira correta de se expressar o período das dez oscilações é:
Logo, cada oscilação vale:
T=(2,89+/-0,02)s
Finalmente vamos calcular o valor de g.
Observação: se uma grandeza é igual ao produto de várias outras, ou igual ao
quociente de duas outras, o erro relativo do resultado é igual à soma dos erros
relativos das grandezas independentes.
Δg=0,01m/s²
Considerando os algarismos significativos percebemos que o erro se encontra
na segunda casa decimal, então o valor apropriado para expressar o valor calculado
de g é:
g=(9,82+/-0,01)m/s²
Percebe-se nesta análise que a precisão da medida encontra-se na segunda
casa decimal, logo, tal experimento dentro da pesquisa de minerais não oferece
valores compatíveis a ordem de grandeza desejada.
114
ANEXO B
Dedução da equação do campo gerado por uma placa plana
Para obter a equação da placa plana pode-se fazer os seguintes cálculos:
d
Campo gravitacional gerado por uma placa horizontal
Fonte: Gemael apud Cargnelute (2007)
Elemento de volume
dv=rdrdφdz
Figura 10: Elemento de volume em coordenadas cilíndricas
Fonte: arquivo pessoal
115
Como se está analisando placas de grande extensão horizontal pode-se considerar que o
campo é perpendicular as mesmas, uma vez que se desprezam os efeitos das bordas.
Por simetria pode-se escrever:
O campo gravitacional gerado por uma massa pontual é dado pela seguinte equação:
Mas como se sabe, a densidade é dada por:
Logo
Restando analisar apenas a componente vertical,
Pela figura podemos tirar que,
O valor do vetor unitário em coordenadas cilíndricas é dado por:
dv=rdrdφdz
Substituindo temos,
116
Continuando
117
ANEXO C
Análise dos Resultados do pré-teste do 2º B e 2º E
Questão a
Entregaram o
teste em
branco (EB).
Sem lógica de
resolução
aparente
(SLRA).
Usaram regra de
três simples (RT)
Aluno
Usaram um
recurso
matemático (ou
volume, ou
densidade ou
força, ou
campo)
Usaram dois
recursos
matemáticos,
R2
Usaram três
recursos
matemáticos
R3.
Observações
R1 .
1
2
X
X
As contas consistem em um conjunto de números e
operações aleatórios, que não puderam ser encaixados
em nenhum padrão de resolução aparente.
3
X
4
Não conseguiram desenvolver a questão.
X
Tentou resolver usando uma regra de três simples, mas
não sabe como armá-la.
5
X
6
7
Não conseguiu desenvolver a questão.
X
X
Baseou-se na equação de força, tentou fazer algumas
deduções, mas sem chegar a nenhum resultado para
finalizar a resolução.
Usou a equação de força sem chegar a nenhum
resultado para finalizar a resolução.
As contas consistem em um conjunto de números e
operações aleatórios, que não puderam ser encaixados
em nenhum padrão de resolução aparente.
118
Entregaram o
teste em
branco (EB).
Sem lógica de
resolução
aparente
(SLRA).
Usaram regra de
três simples (RT)
Aluno
Usaram um
recurso
matemático (ou
volume, ou
densidade ou
força, ou
campo)
Usaram dois
recursos
matemáticos,
R2
Usaram três
recursos
matemáticos
R3.
Observações
R1 .
8
X
9
Usou a equação de força sem chegar a nenhum
resultado para finalizar a resolução.
X
10
Resolveu usando uma regra de três simples e deu uma
resposta coerente.
X
Partiu da equação de força sem chegar a nenhum
resultado para finalizar a resolução.
11
12
13
X
Usou a equação de força sem chegar a
nenhum resultado para calculara a
densidade.
X
X
Não apresenta uma resolução com uma
lógica parente.
14
X
Resolveu usando regra de três simples.
15
X
Tentou resolver usando uma regra de três
simples, mas sem coerência.
16
17
Não usado na comparação
X
Não conseguiu desenvolver a questão.
119
Entregaram o
teste em
branco (EB).
Sem lógica de
resolução
aparente
(SLRA).
Aluno
Usaram regra de
três simples (RT)
Usaram um
recurso
matemático (ou
volume, ou
densidade ou
força, ou
campo)
Usaram dois
recursos
matemáticos,
R2
Usaram três
recursos
matemáticos
R3.
Observações
R1 .
18
X
Usou a equação de força sem chegar a
nenhum resultado para finalizar a resolução.
19
X
Usou a equação de força achando um valor
5
da ordem de 10 e dizendo que é pequena..
21
X
Usou a equação de força sem chegar a
nenhum resultado para finalizar a resolução.
22
X
Não conseguiu desenvolver a questão.
20
X
23
X
As contas consistem em um conjunto de números e
operações aleatórios, que não puderam ser encaixados
em nenhum padrão de resolução aparente.
24
X
Usou a equação de força sem chegar a nenhum
resultado para finalizar a resolução.
25
26
X
X
Não conseguiram desenvolver a questão.
As contas consistem em um conjunto de números e
operações aleatórios, que não puderam ser encaixados
em nenhum padrão de resolução aparente.
120
Entregaram o
teste em
branco (EB).
Sem lógica de
resolução
aparente
(SLRA).
Usaram regra de
três simples (RT)
Aluno
Usaram um
recurso
matemático (ou
volume, ou
densidade ou
força, ou
campo)
Usaram dois
recursos
matemáticos,
R2
Usaram três
recursos
matemáticos
R3.
Observações
R1 .
27
X
28
Tentou resolver usando uma regra de três
simples, mas sem coerência.
X
29
30
Não conseguiu desenvolver a questão.
Não usado na comparação
X
Apresenta um conjunto de números
aleatórios.
31
X
Não conseguiu desenvolver a questão.
32
X
Não conseguiu desenvolver a questão.
33
Não usado na comparação
34
Não usado na comparação
35
Não usado na comparação
36
Não usado na comparação
37
Não usado na comparação
121
Entregaram o
teste em
branco (EB).
Sem lógica de
resolução
aparente
(SLRA).
Aluno
Usaram regra de
três simples (RT)
Usaram um
recurso
matemático (ou
volume, ou
densidade ou
força, ou
campo)
Usaram dois
recursos
matemáticos,
R2
Usaram três
recursos
matemáticos
R3.
Observações
R1 .
38
X
Iniciou pelo conceito de velocidade orbital,
mas não sabia como caminhar.
39
40
Não usado na comparação
As contas consistem em um conjunto de
números e operações aleatórios, que não
puderam ser encaixados em nenhum padrão de
resolução aparente.
X
41
X
42
X
Iniciou pelo conceito de velocidade orbital.
Usou a equação de força sem chegar a
nenhum resultado para finalizar a resolução.
43
X
As contas consistem em um conjunto de
números e operações aleatórios, que não
puderam ser encaixados em nenhum padrão de
resolução aparente.
44
X
Não conseguiu desenvolver a questão.
45
Não usado na comparação
122
Entregaram o
teste em
branco (EB).
Aluno
Sem lógica de
resolução
aparente
(SLRA).
Usaram regra de
três simples (RT)
Usaram um
recurso
matemático (ou
volume, ou
densidade ou
força, ou
campo)
Usaram dois
recursos
matemáticos,
R2
Usaram três
recursos
matemáticos
R3.
Observações
R1 .
46
47
X
48
X
49
50
51
X
Escreveu a fórmula de campo, colocou
alguns números.
X
Não conseguiu desenvolver a questão.
X
Não conseguiu desenvolver a questão.
X
52
Não usado na comparação
53
X
Não conseguiu desenvolver a questão.
54
X
Iniciou pelo conceito de velocidade orbital.
55
56
Não usado na comparação
X
Usou o fórmula de campo, mas não
conseguiu desenvolver a questão.
123
Entregaram o
teste em
branco (EB).
Sem lógica de
resolução
aparente
(SLRA).
Usaram regra de
três simples (RT)
Aluno
Usaram um
recurso
matemático (ou
volume, ou
densidade ou
força, ou
campo)
Usaram dois
recursos
matemáticos,
R2
Usaram três
recursos
matemáticos
R3.
Observações
R1 .
57
X
Mostrou um conjunto de números sem
conexão.
58
59
X
X
60
61
X
Usou a equação de força sem chegar a
nenhum resultado para finalizar a resolução.
X
62
63
Não conseguiu desenvolver a questão.
X
X
Não conseguiu desenvolver a questão.
Tentou resolver usando uma regra de três
simples.
64
Não usado na comparação
65
Não usado na comparação
66
Não usado na comparação
67
Não usado na comparação
124
Entregaram o
teste em
branco (EB).
Sem lógica de
resolução
aparente
(SLRA).
Usaram regra de
três simples (RT)
Aluno
Usaram um
recurso
matemático (ou
volume, ou
densidade ou
força, ou
campo)
Usaram dois
recursos
matemáticos,
R2
Usaram três
recursos
matemáticos
R3.
Observações
R1 .
68
Não usado na comparação
69
Não usado na comparação
70
Não usado na comparação
71
Não usado na comparação
total
7
11
6
22
4
2
NUC=19
125
ANEXO D
Análise dos Resultados do pós-teste do 2º B e 2º E
1
6
X
X
X
X
Fez as contas erradas, mas m elhorou a lógica de
resolução, percebendo que era para calcular a
densidade.
Permaneceu estável
Houve regressão.
Observações
Houve evolução
x
Usou dois recursos, mas efetivamente não reorganizou
seu pensamento.
X
3
5
R3
X
2
4
Usaram três recursos
matemáticos
R2
R
Usaram dois recursos
matemáticos,
Usaram um recurso
matemático (ou volume, ou
densidade ou força, ou
campo)
Usaram regra de três simples
(RT)
Sem lógica de resolução
aparente (SLRA).
Aluno
Entregaram o teste em
branco (EB).
Questão a
x
Fez contas sem nenhuma estrutura.
x
Continuou usando regra de três, sem uma melhora
notável
x
Fez as contas erradas, mas m elhorou a lógica de
resolução.
x
Fez as contas erradas, mas melhorou a
resolução.
x
lógica de
7
X
Usou o valor da densidade no lugar da massa, mas sem
calculando o campo gravitacional.
8
X
Colocou os números em uma fórmula de força, sem a
menor conexão, parecendo não ter noções matemáticas
elementares.
x
x
9
X
Abandonou a regra de três para um a resolução que
ainda não dominava o caminho.
10
X
Perdeu-se completam ente nos cálculos matemáticos.
x
x
11
X
Trabalhou em círculo.
x
12
X
Calculou a densidade através de operações
matemáticas incorretas.
x
13
X
14
15
Continua da mesma forma.
X
X
Permaneceu estável
Houve regressão.
Houve evolução
Observações
R3
Usaram três recursos
matemáticos
R2
R
Usaram dois recursos
matemáticos,
Usaram um recurso
matemático (ou volume, ou
densidade ou força, ou
campo)
Usaram regra de três simples
(RT)
Sem lógica de resolução
aparente (SLRA).
Aluno
Entregaram o teste em
branco (EB).
126
Não mais utilizou de regra de três para
resolução.
Passou de uma regra de três para uma
invenção de números.
x
x
x
16
Permaneceu estável
Houve regressão.
Houve evolução
Observações
R3
Usaram três recursos
matemáticos
R2
R
Usaram dois recursos
matemáticos,
Usaram um recurso
matemático (ou volume, ou
densidade ou força, ou
campo)
Usaram regra de três simples
(RT)
Entregaram o teste em
branco (EB).
Aluno
Sem lógica de resolução
aparente (SLRA).
127
Não usado na comparação
17
X
Basicamente, continuou se perdendo nas
contas durante a resolução.
x
18
X
Continuou inventando a resolução.
x
19
X
x
Deixou de usar o conceito de força, passou
a usar o de volume, mas piorou a utilização
de notação científica.
20
X
Trocou um teste em branco por um rabisco.
21
X
A letra e a organização pioraram no pósteste.
x
No pré teste pelo menos escreveu uma
equação.
x
22
X
23
X
24
X
x
A lógica de resolução se tornou coerente, x
mas não soube fazer as operações com
potências.
Melhorou a lógica matemática.
x
25
X
X
29
31
32
Permaneceu estável
Houve regressão.
Houve evolução
Observações
Praticamente repetiu os cálculos.
X
28
30
R3
X
26
27
Usaram três recursos
matemáticos
R2
R
Usaram dois recursos
matemáticos,
Usaram um recurso
matemático (ou volume, ou
densidade ou força, ou
campo)
Usaram regra de três simples
(RT)
Sem lógica de resolução
aparente (SLRA).
Aluno
Entregaram o teste em
branco (EB).
128
x
As contas consistem em um conjunto de números
e operações aleatórios, mas que visavam o
cálculo de densidade.
x
Não usou regra de três, mas se perdeu nos
cálculos.
x
x
A resolução continuou sem uma lógica
aparente.
Não usado na comparação
X
Continuou sem nenhuma lógica aparente.
X
Usou um pouco mais de recursos que no
pré-teste,
X
Permaneceu bem similar.
33
Não usado na comparação
34
Não usado na comparação
x
x
x
35
Não usado na comparação
36
Não usado na comparação
37
Não usado na comparação
38
X
Não usado na comparação
40
X
Trocou uma série de números aleatórios por
outra.
41
X
Não mais usou a velocidade orbital.
x
x
42
X
Retirando a falta das unidades seu cálculo
ficou preciso.
43
X
Perdeu-se aos o cálculo de volume, não sabendo ainda
a necessidade de calcular a densidade.
44
Permaneceu estável
x
Não mais usou equação da velocidade
orbital e sim a de campo gravitacional.
39
Houve regressão.
Houve evolução
Observações
R3
Usaram três recursos
matemáticos
R2
R
Usaram dois recursos
matemáticos,
Usaram um recurso
matemático (ou volume, ou
densidade ou força, ou
campo)
Usaram regra de três simples
(RT)
Sem lógica de resolução
aparente (SLRA).
Aluno
Entregaram o teste em
branco (EB).
129
X
Apesar de mais partes escritas, continuou sem
nenhuma conexão.
x
x
x
45
X
47
X
X
Saiu do branco para uma fórmula de força
sem que houvesse continuação do cálculo.
x
Continuou em branco.
x
Continuou com cálculos desconexos.
x
50
X
Saiu da resolução em branco para um
cálculo que o erro se deu pelas operações
com notação científica.
x
51
X
Melhorou muito a lógica, se perdeu nos
cálculos matemáticos.
x
52
53
54
Permaneceu estável
x
Se perdeu completamente nos cálculos
matemáticos.
X
49
Houve regressão.
Houve evolução
Não usado na comparação
46
48
Observações
R3
Usaram três recursos
matemáticos
R2
R
Usaram dois recursos
matemáticos,
Usaram um recurso
matemático (ou volume, ou
densidade ou força, ou
campo)
Usaram regra de três simples
(RT)
Entregaram o teste em
branco (EB).
Aluno
Sem lógica de resolução
aparente (SLRA).
130
Não usado na comparação
X
Passou a nem tentar resolver.
X
Não usou o conceito de velocidade orbital e melhorou
os cálculos.
x
x
55
Não usado na comparação
56
X
57
X
58
X
Permaneceu estável
Houve regressão.
Houve evolução
Observações
R3
Usaram três recursos
matemáticos
R2
R
Usaram dois recursos
matemáticos,
Usaram um recurso
matemático (ou volume, ou
densidade ou força, ou
campo)
Usaram regra de três simples
(RT)
Sem lógica de resolução
aparente (SLRA).
Aluno
Entregaram o teste em
branco (EB).
131
x
Errou na lógica matemática, entre outras
coisas.
x
Chegou a um resultado, sem grande análise
de seu valor.
x
Caminhou em círculo, usando a densidade
para calcular a massa e usando a mesma
massa para encontrar a densidade.
x
59
X
Saiu do branco para uma resolução sem
coerência a partir da equação para o cálculo
de força.
x
60
X
Repetiu algo similar ao pré-teste.
x
61
X
Escreveu apenas uma fórmula de
densidade.
x
Repetiu algo muito similar.
x
62
63
X
X
Não mais usou regra de três.
x
Aluno
Total
3
13
1
8
15
12
64
Não usado na comparação
65
Não usado na comparação
66
Não usado na comparação
67
Não usado na comparação
68
Não usado na comparação
69
Não usado na comparação
70
Não usado na comparação
71
Não usado na comparação
Permaneceu estável
Houve regressão.
Houve evolução
Observações
R3
Usaram três recursos
matemáticos
R2
R
Usaram dois recursos
matemáticos,
Usaram um recurso
matemático (ou volume, ou
densidade ou força, ou
campo)
Usaram regra de três simples
(RT)
Sem lógica de resolução
aparente (SLRA).
Entregaram o teste em
branco (EB).
132