XXXIX OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase (8 de agosto de 2015) Nível ο‘ (6o e 7o anos do Ensino Fundamental) www.opm.mat.br Critérios de correção PROBLEMA 1 Critérios Item a: 1 ponto Encontrar o total de 5 partes (4 partes de batata + 1 parte de farinha) ....................................................................................... 0,4 ponto Perceber que há 1 parte de farinha .......................................................................................................................................... +0,2 ponto Montar a razão 1/5 .................................................................................................................................................................. +0,2 ponto Concluir que a porcentagem de farinha em relação ao todo é de 20%.................................................................................... +0,2 ponto Não acumulativa: Montar a razão 1/4 e chegar a 25% ............................................................................................................. 0,5 ponto Item b: 1 ponto Calcular que deverão ser feitos 12 x 250 = 3000g de nhoque .................................................................................................... 0,2 ponto Calcular que serão necessários 20% de 3000 = 600g de farinha ............................................................................................. +0,4 ponto Calcular que serão necessários 80% de 3000 = 2400g de batata ............................................................................................ +0,4 ponto PROBLEMA 2 Critérios Item a: 0,4 ponto Obter a soma mágica 40 ............................................................................................................................................................. 0,4 ponto Item a: 0,6 ponto Preencher corretamente 10 e 13 na primeira e última coluna da terceira linha, respectivamente .............................................. 0,2 ponto Preencher corretamente 10 e 7 na segunda e terceira coluna da terceira linha, respectivamente ............................................ +0,2 ponto Preencher corretamente 11 e 13 na segunda e terceira coluna da quarta linha, respectivamente ............................................ +0,2 ponto Item b: 1,0 ponto Preencher segunda linha corretamente ....................................................................................................................................... 0,4 ponto Preencher terceira linha corretamente ..................................................................................................................................... +0,3 ponto Preencher quarta linha corretamente ....................................................................................................................................... +0,3 ponto PROBLEMA 3 Critérios Item a: 0,6 ponto Escrever 2227, 187 e 17 .................................................................................................................................................. 0,2 ponto cada Item b: 0,6 ponto Escrever 3179, 380 e 38 .................................................................................................................................................. 0,2 ponto cada Item c: 0,8 ponto Verificar usando cada passo corretamente que 41 não divide 155059 ...................................................................................... 0,4 ponto Verificar usando cada passo corretamente que 19 divide 155059 ............................................................................................. 0,4 ponto PROBLEMA 4 Critérios Item a: 0,5 ponto Argumentar que cada S-tetraminó horizontal usa dois quadradinhos consecutivos da linha central ......................................... 0,4 ponto Afirmar que cada S-tetraminó vertical usa dois quadradinhos consecutivos de uma das colunas alternadas ......................... +0,1 ponto Não acumulativa: colocou todas as posições possíveis ............................................................................................................ 0,5 ponto Não acumulativa: colocou pelo menos 4 posições, mas não todas as possíveis ...................................................................... 0,3 ponto Item b: 0,5 ponto Afirmou que há no máximo duas, pois cada uma cobre uma casa preta .................................................................................... 0,3 ponto Mostrou o exemplo de alguma forma, possivelmente no item a ................................................................................................ 0,2 ponto Item c: 1,0 ponto Exibir coloração com 9 quadradinhos pretos como no gabarito ................................................................................................ 0,5 ponto Afirmar que o máximo é 9 ......................................................................................................................................................... 0,3 ponto Mostrar exemplo com 9 peças ................................................................................................................................................... 0,2 ponto PROBLEMA 5 Critérios Item a: 0,6 ponto Indicar corretamente o que acontece com cada cubinho ............................................................... 0,1 ponto para cada indicação correta Item b: 0,3 ponto Observar corretamente o que acontece com os cubinhos 3 e 7 ..................................................... 0,1 ponto para cada indicação correta Concluir que a rotação foi de 120β no sentido horário .......................................................................................................... +0,1 ponto Item c: 0,3 ponto Observar corretamente o que acontece com os cubinhos 5 e 8 ..................................................... 0,1 ponto para cada indicação correta Concluir que a rotação foi de 180β no sentido horário (ou anti-horário) ............................................................................... +0,1 ponto Item d: 0,8 ponto Perceber que é preciso de 6 movimentos para os cubinhos 3 e 7 voltarem ao estado inicial ..................................................... 0,2 ponto Perceber que é preciso de 6 movimentos para os cubinhos 5 e 8 voltarem ao estado inicial ................................................. +0,2 ponto Perceber que os cubinhos 1, 2, 4 e 6 nunca se alteram ........................................................................................................... +0,2 ponto Concluir que voltamos a situação inicial após seis aplicações do Sexy Move ....................................................................... +0,2 ponto XXXIX OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase (8 de agosto de 2015) Nível ο’ (8o e 9o anos do Ensino Fundamental) www.opm.mat.br Critérios de correção PROBLEMA 1 Critérios Item a: 0,8 ponto Preencher corretamente 10 e 13 na primeira e última coluna da terceira linha, respectivamente .............................................. 0,2 ponto Preencher corretamente 10 e 7 na segunda e terceira coluna da terceira linha, respectivamente ............................................ +0,2 ponto Preencher corretamente 11 e 13 na segunda e terceira coluna da quarta linha, respectivamente ............................................ +0,4 ponto Item b: 1,2 ponto Preencher segunda linha corretamente ....................................................................................................................................... 0,4 ponto Preencher terceira linha corretamente ..................................................................................................................................... +0,4 ponto Preencher quarta linha corretamente ....................................................................................................................................... +0,4 ponto PROBLEMA 2 Critérios Item a: 0,3 ponto Escrever 2227, 187 e 17 .................................................................................................................................................. 0,1 ponto cada Item b: 0,3 ponto Escrever 3179, 380 e 38 .................................................................................................................................................. 0,1 ponto cada Item c: 0,6 ponto Verificar usando cada passo corretamente que 41 não divide 155059 ...................................................................................... 0,3 ponto Verificar usando cada passo corretamente que 19 divide 155059 ............................................................................................. 0,3 ponto Item d: 0,8 ponto Caso 10π + 1, escrever que o menor é π = π ............................................................................................................................ 0,2 ponto Caso 10π + 3, escrever que o menor é π β π = 3π + 1 ............................................................................................................ 0,3 ponto Caso 10π + 9, escrever que o menor é π β π = π + 1 .............................................................................................................. 0,3 ponto PROBLEMA 3 Critérios Item a: 0,5 ponto Argumentar que cada S-tetraminó horizontal usa dois quadradinhos consecutivos da linha central ......................................... 0,4 ponto Afirmar que cada S-tetraminó vertical usa dois quadradinhos consecutivos de uma das colunas alternadas ......................... +0,1 ponto Não acumulativa: colocou todas as posições possíveis ............................................................................................................ 0,5 ponto Não acumulativa: colocou pelo menos 4 posições, mas não todas as possíveis ...................................................................... 0,3 ponto Item b: 0,5 ponto Afirmou que há no máximo duas, pois cada uma cobre uma casa preta .................................................................................... 0,3 ponto Mostrou o exemplo de alguma forma, possivelmente no item a ................................................................................................ 0,2 ponto Item c: 1,0 ponto Exibir coloração com 9 quadradinhos pretos como no gabarito ................................................................................................ 0,5 ponto Afirmar que o máximo é 9 ......................................................................................................................................................... 0,3 ponto Mostrar exemplo com 9 peças ................................................................................................................................................... 0,2 ponto PROBLEMA 4 Critérios Item a: 0,6 ponto Escrever πΈπΉ = ππ e πΉπΊ = ππ ................................................................................................................................................... 0,2 ponto Escrever πΉπ» = ππ ..................................................................................................................................................................... 0,2 ponto Escrever πΉπΌ = ππ ....................................................................................................................................................................... 0,2 ponto Item b: 0,8 ponto Afirmar que a soma β πΌπΈπΊ + β π»πΊπΈ é igual a soma dos ângulos do Ξπ΄π΅πΆ .............................................................................. 0,3 ponto Como a soma β πΌπΈπΊ + β π»πΊπΈ = 180β então πΈπΌ e πΊπ» são paralelas ......................................................................................... 0,2 ponto Afirmar que πΌπ» = πΈπΊ = π β π.................................................................................................................................................... 0,3 ponto Item c: 0,6 pontos Afirmar que π β π = π β π + π β π implica β πΌπΉπ» = 180β ........................................................................................................... 0,3 ponto Valores dos ângulos β πΌπΉπΈ = πΏ2 , β πΈπΉπΊ = π½1 + π½2 e β πΊπΉπ» = πΏ1 , possivelmente marcados em uma figura ................. 0,1 ponto cada PROBLEMA 5 Critérios Item a: 0,4 ponto 1 Construir o caminho do β com os segmentos 6, 2, 15, 5, 6 e 2 marcados ............................................................................. 0,2 ponto 3 Construir o caminho do β2 com os segmentos 6, 12, 5, 10, 1 e 2 marcados ........................................................................... 0,2 ponto Item b: 0,6 ponto Se o caminho é fechado π + π = π e π = π ...................................................................................................................... 0,2 ponto cada Verificar pelo caminho de Lill triângulos isósceles e concluir que π = π ................................................................................. 0,2 ponto Não acumulativa: substituir π₯ por β1 e concluir que π = π .................................................................................................... 0,2 ponto Item c: 0,4 ponto π+π Escrever que distância do π até a reta π΄π΅ é ........................................................................................................................ 0,2 ponto 2 Escrever que ππΆ é β(π β π)2 + π 2 ........................................................................................................................................... 0,2 ponto Item d: 0,6 ponto ππΆ Afirmar que basta que a circunferência de centro π e raio corte o lado π΄π΅ ......................................................................... 0,2 ponto ππΆ 2 Escrever que π(π, π΄π΅) β€ ou equivalente conforme resultados o item c ........................................................................... +0,2 ponto 2 Desenvolver e concluir que basta π 2 β 4ππ β₯ 0 .................................................................................................................... +0,2 ponto XXXIX OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase (8 de agosto de 2015) Nível ο§ (1o e 2o séries do Ensino Médio) www.opm.mat.br Critérios de correção PROBLEMA 1 Critérios Item a: 1,0 ponto As pontuações dos dois critérios a seguir devem ser somadas. Substituiu g e h .......................................................................................................................................................................... 0,5 ponto Concluiu .................................................................................................................................................................................. +0,5 ponto Só a resposta .............................................................................................................................................................................. 0,0 ponto Item b: 1,0 ponto As pontuações dos três critérios a seguir devem ser somadas. Substituiu as fórmulas de V e A ou calculou V e A .................................................................................................................... 0,2 ponto Substituiu os demais valores ................................................................................................................................................... +0,3 ponto Concluiu .................................................................................................................................................................................. +0,5 ponto Só a resposta .............................................................................................................................................................................. 0,0 ponto PROBLEMA 2 Critérios Item a: 0,8 ponto Percebeu que devem ser cobertas 121 casinhas ......................................................................................................................... 0,4 ponto Concluiu .................................................................................................................................................................................. +0,4 ponto Atenção! A pontuação a seguir não é acumulativa: Raciocínios corretos com erros de conta devem receber no máximo 0,6 ponto, de acordo com a gravidade do erro. Item b: 0,8 ponto Notou que cada pecinha ocupa no máximo uma casa pintada ................................................................................................... 0,5 ponto Concluiu .................................................................................................................................................................................. +0,3 ponto Item c: 0,4 ponto Obteve uma inequação somente em y que permite resolver o problema.................................................................................... 0,2 ponto Concluiu .................................................................................................................................................................................. +0,2 ponto PROBLEMA 3 Critérios Item a: 0,6 ponto Escrever πΈπΉ = ππ e πΉπΊ = ππ ................................................................................................................................................... 0,2 ponto Escrever πΉπ» = ππ ..................................................................................................................................................................... 0,2 ponto Escrever πΉπΌ = ππ ....................................................................................................................................................................... 0,2 ponto Item b: 0,8 ponto Afirmar que a soma β πΌπΈπΊ + β π»πΊπΈ é igual a soma dos ângulos do Ξπ΄π΅πΆ .............................................................................. 0,3 ponto Como a soma β πΌπΈπΊ + β π»πΊπΈ = 180β então πΈπΌ e πΊπ» são paralelas ......................................................................................... 0,2 ponto Afirmar que πΌπ» = πΈπΊ = π β π.................................................................................................................................................... 0,3 ponto Item c: 0,6 ponto Afirmar que π β π = π β π + π β π implica β πΌπΉπ» = 180β ........................................................................................................... 0,3 ponto Valores dos ângulos β πΌπΉπΈ = πΏ2 , β πΈπΉπΊ = π½1 + π½2 e β πΊπΉπ» = πΏ1 , possivelmente marcados em uma figura ................. 0,1 ponto cada PROBLEMA 4 Critérios Item a: 1,0 ponto Primeiro passo da simplificação (como no gabarito) ................................................................................................................. 0,5 ponto Segundo passo da simplificação (como no gabarito) .............................................................................................................. +0,5 ponto Item b: 0,6 ponto Qualquer demonstração completa .............................................................................................................................................. 0,6 ponto Esqueceu a base de indução ..................................................................................................................................................... β0,2 ponto Erros de conta .......................................................................................................................................................................... β0,2 ponto Só afirmar que βsai por induçãoβ ............................................................................................................................................... 0,0 ponto Item c: 0,4 ponto Encontrou an .............................................................................................................................................................................. 0,2 ponto Concluiu .................................................................................................................................................................................. +0,2 ponto Só a resposta .............................................................................................................................................................................. 0,4 ponto PROBLEMA 5 Critérios Item a: 0,4 ponto Escreveu a relação fundamental ................................................................................................................................................. 0,2 ponto Calculou corretamente (não é necessário justificar o sinal do seno) ....................................................................................... +0,2 ponto Item b: 0,4 ponto Calculou sen Ξ² em função de a, b e c ......................................................................................................................................... 0,2 ponto Calculou sen Ξ³ em função de a, b e c ...................................................................................................................................... +0,2 ponto Item c: 0,4 ponto (somente apresentar uma das soluções (7,11) ou (17,19) basta.) Item d: 0,4 ponto Obteve sen Ξ³ = sen Ξ± cos Ξ² + sen Ξ² cos Ξ± ................................................................................................................................... 0,2 ponto Concluiu (novamente, só um dos valores é suficiente) ........................................................................................................... +0,2 ponto Item e: 0,4 ponto (qualquer uma das soluções (11k, 9k, 10k) ou (19k, 9k, 20k), k inteiro positivo, serve.) Observação: se houve um erro em algum dos itens a, b, c, d e ele se propagou, considerar se os cálculos foram feitos coerentemente.
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