XXXIX OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA
Prova da Primeira Fase (8 de agosto de 2015)
Nível  (6o e 7o anos do Ensino Fundamental)
www.opm.mat.br
Critérios de correção
PROBLEMA 1
Critérios
Item a: 1 ponto
Encontrar o total de 5 partes (4 partes de batata + 1 parte de farinha) ....................................................................................... 0,4 ponto
Perceber que há 1 parte de farinha .......................................................................................................................................... +0,2 ponto
Montar a razão 1/5 .................................................................................................................................................................. +0,2 ponto
Concluir que a porcentagem de farinha em relação ao todo é de 20%.................................................................................... +0,2 ponto
Não acumulativa: Montar a razão 1/4 e chegar a 25% ............................................................................................................. 0,5 ponto
Item b: 1 ponto
Calcular que deverão ser feitos 12 x 250 = 3000g de nhoque .................................................................................................... 0,2 ponto
Calcular que serão necessários 20% de 3000 = 600g de farinha ............................................................................................. +0,4 ponto
Calcular que serão necessários 80% de 3000 = 2400g de batata ............................................................................................ +0,4 ponto
PROBLEMA 2
Critérios
Item a: 0,4 ponto
Obter a soma mágica 40 ............................................................................................................................................................. 0,4 ponto
Item a: 0,6 ponto
Preencher corretamente 10 e 13 na primeira e última coluna da terceira linha, respectivamente .............................................. 0,2 ponto
Preencher corretamente 10 e 7 na segunda e terceira coluna da terceira linha, respectivamente ............................................ +0,2 ponto
Preencher corretamente 11 e 13 na segunda e terceira coluna da quarta linha, respectivamente ............................................ +0,2 ponto
Item b: 1,0 ponto
Preencher segunda linha corretamente ....................................................................................................................................... 0,4 ponto
Preencher terceira linha corretamente ..................................................................................................................................... +0,3 ponto
Preencher quarta linha corretamente ....................................................................................................................................... +0,3 ponto
PROBLEMA 3
Critérios
Item a: 0,6 ponto
Escrever 2227, 187 e 17 .................................................................................................................................................. 0,2 ponto cada
Item b: 0,6 ponto
Escrever 3179, 380 e 38 .................................................................................................................................................. 0,2 ponto cada
Item c: 0,8 ponto
Verificar usando cada passo corretamente que 41 não divide 155059 ...................................................................................... 0,4 ponto
Verificar usando cada passo corretamente que 19 divide 155059 ............................................................................................. 0,4 ponto
PROBLEMA 4
Critérios
Item a: 0,5 ponto
Argumentar que cada S-tetraminó horizontal usa dois quadradinhos consecutivos da linha central ......................................... 0,4 ponto
Afirmar que cada S-tetraminó vertical usa dois quadradinhos consecutivos de uma das colunas alternadas ......................... +0,1 ponto
Não acumulativa: colocou todas as posições possíveis ............................................................................................................ 0,5 ponto
Não acumulativa: colocou pelo menos 4 posições, mas não todas as possíveis ...................................................................... 0,3 ponto
Item b: 0,5 ponto
Afirmou que há no máximo duas, pois cada uma cobre uma casa preta .................................................................................... 0,3 ponto
Mostrou o exemplo de alguma forma, possivelmente no item a ................................................................................................ 0,2 ponto
Item c: 1,0 ponto
Exibir coloração com 9 quadradinhos pretos como no gabarito ................................................................................................ 0,5 ponto
Afirmar que o máximo é 9 ......................................................................................................................................................... 0,3 ponto
Mostrar exemplo com 9 peças ................................................................................................................................................... 0,2 ponto
PROBLEMA 5
Critérios
Item a: 0,6 ponto
Indicar corretamente o que acontece com cada cubinho ............................................................... 0,1 ponto para cada indicação correta
Item b: 0,3 ponto
Observar corretamente o que acontece com os cubinhos 3 e 7 ..................................................... 0,1 ponto para cada indicação correta
Concluir que a rotação foi de 120∘ no sentido horário .......................................................................................................... +0,1 ponto
Item c: 0,3 ponto
Observar corretamente o que acontece com os cubinhos 5 e 8 ..................................................... 0,1 ponto para cada indicação correta
Concluir que a rotação foi de 180∘ no sentido horário (ou anti-horário) ............................................................................... +0,1 ponto
Item d: 0,8 ponto
Perceber que é preciso de 6 movimentos para os cubinhos 3 e 7 voltarem ao estado inicial ..................................................... 0,2 ponto
Perceber que é preciso de 6 movimentos para os cubinhos 5 e 8 voltarem ao estado inicial ................................................. +0,2 ponto
Perceber que os cubinhos 1, 2, 4 e 6 nunca se alteram ........................................................................................................... +0,2 ponto
Concluir que voltamos a situação inicial após seis aplicações do Sexy Move ....................................................................... +0,2 ponto
XXXIX OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA
Prova da Primeira Fase (8 de agosto de 2015)
Nível  (8o e 9o anos do Ensino Fundamental)
www.opm.mat.br
Critérios de correção
PROBLEMA 1
Critérios
Item a: 0,8 ponto
Preencher corretamente 10 e 13 na primeira e última coluna da terceira linha, respectivamente .............................................. 0,2 ponto
Preencher corretamente 10 e 7 na segunda e terceira coluna da terceira linha, respectivamente ............................................ +0,2 ponto
Preencher corretamente 11 e 13 na segunda e terceira coluna da quarta linha, respectivamente ............................................ +0,4 ponto
Item b: 1,2 ponto
Preencher segunda linha corretamente ....................................................................................................................................... 0,4 ponto
Preencher terceira linha corretamente ..................................................................................................................................... +0,4 ponto
Preencher quarta linha corretamente ....................................................................................................................................... +0,4 ponto
PROBLEMA 2
Critérios
Item a: 0,3 ponto
Escrever 2227, 187 e 17 .................................................................................................................................................. 0,1 ponto cada
Item b: 0,3 ponto
Escrever 3179, 380 e 38 .................................................................................................................................................. 0,1 ponto cada
Item c: 0,6 ponto
Verificar usando cada passo corretamente que 41 não divide 155059 ...................................................................................... 0,3 ponto
Verificar usando cada passo corretamente que 19 divide 155059 ............................................................................................. 0,3 ponto
Item d: 0,8 ponto
Caso 10𝑐 + 1, escrever que o menor é 𝑘 = 𝑐 ............................................................................................................................ 0,2 ponto
Caso 10𝑐 + 3, escrever que o menor é 𝑝 − 𝑘 = 3𝑐 + 1 ............................................................................................................ 0,3 ponto
Caso 10𝑐 + 9, escrever que o menor é 𝑝 − 𝑘 = 𝑐 + 1 .............................................................................................................. 0,3 ponto
PROBLEMA 3
Critérios
Item a: 0,5 ponto
Argumentar que cada S-tetraminó horizontal usa dois quadradinhos consecutivos da linha central ......................................... 0,4 ponto
Afirmar que cada S-tetraminó vertical usa dois quadradinhos consecutivos de uma das colunas alternadas ......................... +0,1 ponto
Não acumulativa: colocou todas as posições possíveis ............................................................................................................ 0,5 ponto
Não acumulativa: colocou pelo menos 4 posições, mas não todas as possíveis ...................................................................... 0,3 ponto
Item b: 0,5 ponto
Afirmou que há no máximo duas, pois cada uma cobre uma casa preta .................................................................................... 0,3 ponto
Mostrou o exemplo de alguma forma, possivelmente no item a ................................................................................................ 0,2 ponto
Item c: 1,0 ponto
Exibir coloração com 9 quadradinhos pretos como no gabarito ................................................................................................ 0,5 ponto
Afirmar que o máximo é 9 ......................................................................................................................................................... 0,3 ponto
Mostrar exemplo com 9 peças ................................................................................................................................................... 0,2 ponto
PROBLEMA 4
Critérios
Item a: 0,6 ponto
Escrever 𝐸𝐹 = 𝑎𝑞 e 𝐹𝐺 = 𝑏𝑞 ................................................................................................................................................... 0,2 ponto
Escrever 𝐹𝐻 = 𝑏𝑑 ..................................................................................................................................................................... 0,2 ponto
Escrever 𝐹𝐼 = 𝑎𝑐 ....................................................................................................................................................................... 0,2 ponto
Item b: 0,8 ponto
Afirmar que a soma ∠𝐼𝐸𝐺 + ∠𝐻𝐺𝐸 é igual a soma dos ângulos do Δ𝐴𝐵𝐶 .............................................................................. 0,3 ponto
Como a soma ∠𝐼𝐸𝐺 + ∠𝐻𝐺𝐸 = 180∘ então 𝐸𝐼 e 𝐺𝐻 são paralelas ......................................................................................... 0,2 ponto
Afirmar que 𝐼𝐻 = 𝐸𝐺 = 𝑎 ∙ 𝑏.................................................................................................................................................... 0,3 ponto
Item c: 0,6 pontos
Afirmar que 𝑝 ∙ 𝑞 = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑑 implica ∠𝐼𝐹𝐻 = 180∘ ........................................................................................................... 0,3 ponto
Valores dos ângulos ∠𝐼𝐹𝐸 = 𝛿2 , ∠𝐸𝐹𝐺 = 𝛽1 + 𝛽2 e ∠𝐺𝐹𝐻 = 𝛿1 , possivelmente marcados em uma figura ................. 0,1 ponto cada
PROBLEMA 5
Critérios
Item a: 0,4 ponto
1
Construir o caminho do − com os segmentos 6, 2, 15, 5, 6 e 2 marcados ............................................................................. 0,2 ponto
3
Construir o caminho do −2 com os segmentos 6, 12, 5, 10, 1 e 2 marcados ........................................................................... 0,2 ponto
Item b: 0,6 ponto
Se o caminho é fechado 𝑎 + 𝑒 = 𝑐 e 𝑏 = 𝑑 ...................................................................................................................... 0,2 ponto cada
Verificar pelo caminho de Lill triângulos isósceles e concluir que 𝑏 = 𝑐 ................................................................................. 0,2 ponto
Não acumulativa: substituir 𝑥 por −1 e concluir que 𝑏 = 𝑐 .................................................................................................... 0,2 ponto
Item c: 0,4 ponto
𝑎+𝑐
Escrever que distância do 𝑀 até a reta 𝐴𝐵 é
........................................................................................................................ 0,2 ponto
2
Escrever que 𝑂𝐶 é √(𝑎 − 𝑐)2 + 𝑏 2 ........................................................................................................................................... 0,2 ponto
Item d: 0,6 ponto
𝑂𝐶
Afirmar que basta que a circunferência de centro 𝑀 e raio corte o lado 𝐴𝐵 ......................................................................... 0,2 ponto
𝑂𝐶
2
Escrever que 𝑑(𝑀, 𝐴𝐵) ≤ ou equivalente conforme resultados o item c ........................................................................... +0,2 ponto
2
Desenvolver e concluir que basta 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0 .................................................................................................................... +0,2 ponto
XXXIX OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA
Prova da Primeira Fase (8 de agosto de 2015)
Nível  (1o e 2o séries do Ensino Médio)
www.opm.mat.br
Critérios de correção
PROBLEMA 1
Critérios
Item a: 1,0 ponto
As pontuações dos dois critérios a seguir devem ser somadas.
Substituiu g e h .......................................................................................................................................................................... 0,5 ponto
Concluiu .................................................................................................................................................................................. +0,5 ponto
Só a resposta .............................................................................................................................................................................. 0,0 ponto
Item b: 1,0 ponto
As pontuações dos três critérios a seguir devem ser somadas.
Substituiu as fórmulas de V e A ou calculou V e A .................................................................................................................... 0,2 ponto
Substituiu os demais valores ................................................................................................................................................... +0,3 ponto
Concluiu .................................................................................................................................................................................. +0,5 ponto
Só a resposta .............................................................................................................................................................................. 0,0 ponto
PROBLEMA 2
Critérios
Item a: 0,8 ponto
Percebeu que devem ser cobertas 121 casinhas ......................................................................................................................... 0,4 ponto
Concluiu .................................................................................................................................................................................. +0,4 ponto
Atenção! A pontuação a seguir não é acumulativa:
Raciocínios corretos com erros de conta devem receber no máximo 0,6 ponto, de acordo com a gravidade do erro.
Item b: 0,8 ponto
Notou que cada pecinha ocupa no máximo uma casa pintada ................................................................................................... 0,5 ponto
Concluiu .................................................................................................................................................................................. +0,3 ponto
Item c: 0,4 ponto
Obteve uma inequação somente em y que permite resolver o problema.................................................................................... 0,2 ponto
Concluiu .................................................................................................................................................................................. +0,2 ponto
PROBLEMA 3
Critérios
Item a: 0,6 ponto
Escrever 𝐸𝐹 = 𝑎𝑞 e 𝐹𝐺 = 𝑏𝑞 ................................................................................................................................................... 0,2 ponto
Escrever 𝐹𝐻 = 𝑏𝑑 ..................................................................................................................................................................... 0,2 ponto
Escrever 𝐹𝐼 = 𝑎𝑐 ....................................................................................................................................................................... 0,2 ponto
Item b: 0,8 ponto
Afirmar que a soma ∠𝐼𝐸𝐺 + ∠𝐻𝐺𝐸 é igual a soma dos ângulos do Δ𝐴𝐵𝐶 .............................................................................. 0,3 ponto
Como a soma ∠𝐼𝐸𝐺 + ∠𝐻𝐺𝐸 = 180∘ então 𝐸𝐼 e 𝐺𝐻 são paralelas ......................................................................................... 0,2 ponto
Afirmar que 𝐼𝐻 = 𝐸𝐺 = 𝑎 ∙ 𝑏.................................................................................................................................................... 0,3 ponto
Item c: 0,6 ponto
Afirmar que 𝑝 ∙ 𝑞 = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑑 implica ∠𝐼𝐹𝐻 = 180∘ ........................................................................................................... 0,3 ponto
Valores dos ângulos ∠𝐼𝐹𝐸 = 𝛿2 , ∠𝐸𝐹𝐺 = 𝛽1 + 𝛽2 e ∠𝐺𝐹𝐻 = 𝛿1 , possivelmente marcados em uma figura ................. 0,1 ponto cada
PROBLEMA 4
Critérios
Item a: 1,0 ponto
Primeiro passo da simplificação (como no gabarito) ................................................................................................................. 0,5 ponto
Segundo passo da simplificação (como no gabarito) .............................................................................................................. +0,5 ponto
Item b: 0,6 ponto
Qualquer demonstração completa .............................................................................................................................................. 0,6 ponto
Esqueceu a base de indução ..................................................................................................................................................... –0,2 ponto
Erros de conta .......................................................................................................................................................................... –0,2 ponto
Só afirmar que “sai por indução” ............................................................................................................................................... 0,0 ponto
Item c: 0,4 ponto
Encontrou an .............................................................................................................................................................................. 0,2 ponto
Concluiu .................................................................................................................................................................................. +0,2 ponto
Só a resposta .............................................................................................................................................................................. 0,4 ponto
PROBLEMA 5
Critérios
Item a: 0,4 ponto
Escreveu a relação fundamental ................................................................................................................................................. 0,2 ponto
Calculou corretamente (não é necessário justificar o sinal do seno) ....................................................................................... +0,2 ponto
Item b: 0,4 ponto
Calculou sen β em função de a, b e c ......................................................................................................................................... 0,2 ponto
Calculou sen γ em função de a, b e c ...................................................................................................................................... +0,2 ponto
Item c: 0,4 ponto (somente apresentar uma das soluções (7,11) ou (17,19) basta.)
Item d: 0,4 ponto
Obteve sen γ = sen α cos β + sen β cos α ................................................................................................................................... 0,2 ponto
Concluiu (novamente, só um dos valores é suficiente) ........................................................................................................... +0,2 ponto
Item e: 0,4 ponto (qualquer uma das soluções (11k, 9k, 10k) ou (19k, 9k, 20k), k inteiro positivo, serve.)
Observação: se houve um erro em algum dos itens a, b, c, d e ele se propagou, considerar se os cálculos foram feitos
coerentemente.