Sistemas Lineares
1. (Unesp 2013) Uma coleção de artrópodes é formada por 36 exemplares, todos eles íntegros
e que somam, no total da coleção, 113 pares de patas articuladas. Na coleção não há
exemplares das classes às quais pertencem o caranguejo, a centopeia e o piolho-de-cobra.
Sobre essa coleção, é correto dizer que é composta por exemplares das classes Insecta e
a) Arachnida, com maior número de exemplares da classe Arachnida.
b) Diplopoda, com maior número de exemplares da classe Diplopoda.
c) Chilopoda, com igual número de exemplares de cada uma dessas classes.
d) Arachnida, com maior número de exemplares da classe Insecta.
e) Chilopoda, com maior número de exemplares da classe Chilopoda.
2. (Ufsj 2013) Considere o seguinte sistema de equações lineares, nas incógnitas x, y e z:
a1x  b1y  c1z  0

a 2 x  b 2 y  c 2 z  0
a x  b y  c z  0
3
3
 3
Sobre seu conjunto solução, é CORRETO afirmar que ele
 a1 b1 c1 


a) possui infinitas soluções quando det  a2 b2 c 2   0
a b c 
3
3
 3
 a1 b1 c1 


b) possui uma única solução quando det  a2 b2 c 2   0
a b c 
3
3
 3
 a1 b1 c1 


c) possui infinitas soluções quando det  a2 b2 c 2   0
a b c 
3
3
 3
 a1 b1 c1 


d) não possui solução quando det  a2 b2 c 2   0
a b c 
3
3
 3
3. (G1 - epcar (Cpcar) 2013) Pitágoras e Tales possuem hoje, cada um, certa quantia em
reais. Se Pitágoras desse para Tales 50 reais, eles ficariam com a mesma quantia em reais,
1
cada um. Porém se Tales desse para Pitágoras 100 reais, Tales passaria a ter
da quantia
4
de Pitágoras. Dessa forma, é correto afirmar que
a) a quantia que os dois possuem hoje, juntos, é menor que 600 reais.
2
b) Pitágoras possui hoje,
do que Tales possui.
3
c) Tales possui hoje, mais que 220 reais.
d) a diferença entre os valores que eles possuem hoje é menor que 100 reais.
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4. (Ufsj 2013) Observe o sistema linear de variáveis x, y e z:
 x  y  2z  4

2x  ky  4z  8
3x  3y  kz  3

Com base no sistema, é CORRETO afirmar que se
a) k  3, o sistema admite solução única.
b) k  6, o sistema é impossível.
c) k  2, o sistema admite infinitas soluções.
d) k  6, o sistema é homogêneo e admite solução  0,0,0  .
5. (Ufsj 2013) Observe o sistema de variáveis x, y, z e t.
x  y  z  t  4

x  y  z  0

x  y  t  2
 x  z  t  4
Com base no sistema, é CORRETO afirmar que sua solução, considerando x, y, z e t, nessa
ordem, forma uma progressão
a) geométrica decrescente.
b) aritmética decrescente.
c) geométrica crescente.
d) aritmética crescente.
6. (Upe 2013) Em uma floricultura, é possível montar arranjos diferentes com rosas, lírios e
margaridas. Um arranjo com 4 margaridas, 2 lírios e 3 rosas custa 42 reais. No entanto, se o
arranjo tiver uma margarida, 2 lírios e uma rosa, ele custa 20 reais. Entretanto, se o arranjo
tiver 2 margaridas, 4 lírios e uma rosa, custará 32 reais. Nessa floricultura, quanto custará um
arranjo simples, com uma margarida, um lírio e uma rosa?
a) 5 reais
b) 8 reais
c) 10 reais
d) 15 reais
e) 24 reais
7. (Ufrgs 2013) O sistema de equações
5x  4y  2  0

3x  4y  18  0
possui
a) nenhuma solução.
b) uma solução.
c) duas soluções.
d) três soluções.
e) infinitas soluções.
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8. (Uerj 2013) A ilustração abaixo mostra seis cartões numerados organizados em três linhas.
Em cada linha, os números estão dispostos em ordem crescente, da esquerda para a direita.
Em cada cartão, está registrado um número exatamente igual à diferença positiva dos números
registrados nos dois cartões que estão imediatamente abaixo dele. Por exemplo, os cartões 1 e
Z estão imediatamente abaixo do cartão X.
Determine os valores de X, Y e Z.
ax  4y  a2
9. (Espm 2013) O sistema 
, em x e y, é possível e indeterminado se, e somente
 x  ay  2
se:
a) a  2
b) a  2
c) a  2
d) a  2
e) a  2
10. (Ufsm 2013) Num determinado mês, em uma unidade de saúde, foram realizadas 58
hospitalizações para tratar pacientes com as doenças A, B e C. O custo total em medicamentos
para esses pacientes foi de R$39.200,00.
Sabe-se que, em média, o custo por paciente em medicamentos para a doença A é R$450,00,
para a doença B é R$800,00 e para a doença C é R$1.250,00. Observa-se também que o
número de pacientes com a doença A é o triplo do número de pacientes com a doença C. Se a,
b e c representam, respectivamente, o número de pacientes com as doenças A, B e C, então o
valor de a  b  c é igual a
a) 14.
b) 24.
c) 26.
d) 36.
e) 58.
11. (Fgv 2013) Para trabalhar na Feira Internacional do Livro, a editora contratou três
funcionários: Ana, Beto e Carlos, com salários x, y e z reais, respectivamente.
O salário de Ana é igual à soma dos salários de Beto e Carlos. No final da feira, a editora
pagou uma gratificação, de valor igual ao salário de Beto, a cada um dos três. Assim, Ana
recebeu no total, R$2.300,00, e a soma dos valores que os três receberam foi de R$5.400,00.
Qual foi o valor da gratificação que receberam?
12. (Ufpe 2013) Sobre o sistema de equações lineares apresentado abaixo, analise as
proposições a seguir, sendo a um parâmetro real.
x  y  z  2

 x  ay  2z  1
2x  y  z  3

(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
Se a  2, então o sistema admite infinitas soluções.
O sistema sempre admite solução.
Quando o sistema admite solução, temos que x  1.
Se a  2, então o sistema admite uma única solução.
Se a  1, então o sistema admite a solução (1, 2, –1).
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13. (Unioeste 2012) Um fabricante de ração deseja fabricar três tipos de ração. Para isto ele
dispõe de três tipos de mistura, Mistura 1, Mistura 2 e Mistura 3. Cada quilograma da Ração 1
custa R$13,00 e contém 200 gramas da Mistura 1, 200 gramas da Mistura 2 e 600 gramas da
Mistura 3. Cada quilograma da Ração 2 custa R$11,00 e contém 200 gramas da Mistura 1 e
800 gramas da Mistura 3. Cada quilograma da Ração 3 custa R$16,00 e contém 600 gramas
da Mistura 2 e 400 gramas da Mistura 3. Em virtude do disposto acima, é correto afirmar que
a) um quilograma da Mistura 1 custa R$30,00.
b) o custo de um quilograma da Mistura 1 somado com o custo de um quilograma da Mistura 3
é R$25,00.
c) um quilograma da Mistura 2 custa R$11,00.
d) somando-se os custos de um quilograma da Mistura 1, um quilograma da Mistura 2 e um
quilograma da Mistura 3, obtém-se R$50,00.
e) um quilograma da Mistura 3 custa R$22,00.
14. (G1 - ifal 2012) Analise as afirmativas abaixo.
x  y  5
I. O sistema 
é possível e indeterminado.
2x  y  1
x  y  z  4

II. O sistema 2x  3y  z  5 é possível e determinado.
 x  2y  2z  7

2x  y  5
III. O sistema 
é impossível.
4x  2y  10
Marque a alternativa correta.
a) Apenas I é verdadeira.
b) Apenas II é verdadeira.
c) Apenas III é verdadeira.
d) Apenas I é falsa.
e) Apenas III é falsa.
15. (G1 - ifsc 2012) A alternativa CORRETA que indica o valor de a para que a seguinte
equação matricial admita somente a solução trivial é:
 4 8 a  x   0 

   
 1 2 1  y    0 
 6 0 2  z   0 

   
10
3
20
a
3
20
a
3
20
a
3
10
a
3
a) a 
b)
c)
d)
e)
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16. (Ufrgs 2012) Inovando na forma de atender aos clientes, um restaurante serve alimentos
utilizando pratos de três cores diferentes: verde, amarelo e branco. Os pratos da mesma cor
custam o mesmo valor. Na mesa A, foram consumidos os alimentos de 3 pratos verdes, de 2
amarelos e de 4 brancos, totalizando um gasto de R$ 88,00. Na mesa B, foram consumidos os
alimentos de 2 pratos verdes e de 5 brancos, totalizando um gasto de R$ 64,00. Na mesa C,
foram consumidos os alimentos de 4 pratos verdes e de 1 amarelo, totalizando um gasto de R$
58,00.
Comparando o valor do prato branco com o valor dos outros pratos, verifica-se que esse valor
é
a) 80% do valor do prato amarelo.
b) 75% do valor do prato amarelo.
c) 50% do valor do prato verde.
d) maior que o valor do prato verde.
e) a terça parte do valor da soma dos valores dos outros pratos.
17. (Espcex (Aman) 2012) A figura abaixo é formada por um dispositivo de forma triangular em
que, nos vértices e nos pontos médios dos lados, estão representados alguns valores, nem
todos conhecidos. Sabe-se que a soma dos valores correspondentes a cada lado do triângulo é
sempre 24.
Assim, o valor numérico da expressão x  y  z é
a) 2
b) 1
c) 2
d) 5
e) 10
18. (Ufsj 2012) A respeito do sistema
 x  y  az  1

3x  y  2z  6
2x  2y  2z  b

é CORRETO afirmar que
a) se a  1, o sistema tem solução única.
b) se b = 2, o sistema tem infinitas soluções.
c) se a = 1 e b = 2, o sistema não tem solução.
d) se a = 1, o sistema tem infinitas soluções.
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19. (G1 - epcar (Cpcar) 2012) Sr. Luiz pretende dividir a quantia x reais entre seus netos.
Observou que se der 50 reais para cada um lhe faltarão 50 reais e se der 40 reais para cada
um, lhe sobrarão 40 reais. Com base nisso, é correto afirmar que
a) Sr. Luiz possui menos de 500 reais para dividir entre seus netos.
b) Sr. Luiz tem mais de 10 netos.
c) se um dos netos do Sr. Luiz não quiser o dinheiro, os demais receberão menos de 45 reais
cada um.
d) é possível que o Sr. Luiz divida a quantia x em partes iguais entre todos os seus netos, de
forma que não lhe sobre nenhum centavo.
20. (G1 - ifal 2012) As equações 2x + y = 5 (I) e x – 2y = –5 (II) são conhecidas como
equações do 1º grau com duas incógnitas. Separadamente, cada uma dessas equações tem
infinitas soluções. Neste caso, existe apenas uma solução que satisfaz às duas equações ao
mesmo tempo. Com base no exposto acima, assinale a alternativa correta.
a) O par (2, 1) não é uma das soluções da equação I.
b) O par (1, -3) é uma das soluções da equação II.
c) O par (1, 2) é a solução do sistema formado pelas equações I e II.
d) O par (1, 3) é a solução do sistema formado pelas equações I e II.
1 
e) O par  , 4  não é uma das soluções da equação I.
2 
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[D]
[Resposta do ponto de vista da disciplina de Biologia]
A questão pode ser resolvida por meio de um sistema linear composto por duas equações:
sejam x e y, respectivamente, o número de insetos e de aracnídeos na coleção, e 6x e 8y o
número respectivo de patas. Então:
 x  y  36


6x  8y  226
 x  36  y
 6  36  y   8y  226 

6x  8y  226
216  6y  8y  226  2y  10  y  5
Substituindo: x  36  5  x  31.
Logo, na coleção há 5 aracnídeos e 31 insetos.
[Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática]
Considerando as classes do Filo Arthropoda, nesta coleção estariam presentes somente
representantes das classes Insecta e Arachnida.
Considerando que x é o número de aracnídeos (8 patas) e y o número de insetos (6 patas),
podemos escrever:
 x  y  36( 6)
6x  6y  216 (I)



 8x  6y  226 (II)

8x  6y  226
Fazendo (II) – (I), temos:
2x = 10
x = 5 (aracnídeos) e y = 31 (insetos)
Resposta [D].
Resposta da questão 2:
[C]
Um sistema Linear homogêneo terá infinitas soluções quando o determinante dos seus
coeficientes for igual a zero, logo:
 a1 b1

det  a2 b2
a b
3
 3
c1 

c2   0
c 3 
Resposta da questão 3:
[A]
Pitágoras possui p reais e Tales possui t reais. Temos, então, o sistema abaixo:
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 p  50  t  50


p  100
 t  100 
4

Resolvendo o sistema, temos t = 200 e p = 300.
Portanto, a quantia que os dois possuem hoje, juntos, é menor que 600 reais.
Resposta da questão 4:
[A]
Calculando o determinante dos coeficientes, temos:
1 1
2
2 k 4  (k  2),(k  6)
3 3
k
O sistema admite solução única se k  2 ou k  6 o sistema admite solução única. Portanto,
a alternativa [A] é a correta.
Resposta da questão 5:
[D]
Resolvendo o sistema, temos:
x = - 2, y = 0, z = 2 e t = 4. S = {(-2,0,2,4)}. Uma P.A. crescente de razão r = 2.
Resposta da questão 6:
[D]
Sejam x, y e z, respectivamente, os preços unitários das margaridas, lírios e rosas.
De acordo com as informações, obtemos o sistema
 4x  2y  3z  42

 x  2y  z  20
 2x  4y  z  32

 x  2y  z  20

4x  2y  3z  42
 2x  4y  z  32

 x  2y  z  20

 6y  z  38

 z  8

x  2

 y  5.
z  8

Portanto, o resultado pedido é
x  y  z  2  5  8  R$ 15,00.
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Resposta da questão 7:
[B]
Como
5
4

, segue que o sistema é possível e determinado, ou seja, possui uma solução.
3 4
Resposta
da
De acordo com as informações, obtemos
Y  X  4

Z  1  X
15  Z  Y

questão
8:
X  Z  1

Y  Z  3
 Y  15  Z

X  5

 Y  9.
Z  6

Resposta da questão 9:
[D]
O sistema é possível e indeterminado se, e somente se,
a 4 a2
 
 a  2.
1 a 2
Resposta da questão 10:
[A]
De acordo com as informações, obtemos
a  3c

a  b  c  58
 450a  800b  1250c  39200

a  3c

b  4c  58
4b  13c  196

a  36

b  10 .
c  12

Portanto, a  b  c  36  10  12  14.
Resposta da questão 11:
Temos
x  y  z

 x  y  2300
 x  4y  z  5400

z  x  y

 x  y  2300 .
2x  3y  5400

Portanto, somando a terceira linha com a segunda multiplicada por  2, encontramos
y  R$ 800,00, que é o resultado procurado.
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Resposta da questão 12:
F – F – V – V – V.
Calculando o determinante da matriz dos coeficientes, encontramos:
1 1 1
1 a 2  a  4  1  (2a  1  2)  a  2.
2 1 1
Para a  2
1 1 1
1 2 2

2 1 1
esse determinante se anula. Tomemos a matriz ampliada do sistema, com a  2 :
2
1.

3
Aplicando as operações elementares sobre as linhas dessa matriz, encontramos:
1 1 1 2 
 0 1 1 1  .


 0 0 0 2 
Desse modo, podemos concluir que para a  2 o sistema é impossível, e que para a  2 o
sistema é possível e determinado.
Para a  2, a matriz ampliada fica
 1 1 1 2
 1 a 2 1.


2 1 1 3
Aplicando as operações elementares sobre as linhas dessa matriz, obtemos:
1 1
1
2 
0 1
1
1 .


 0 0 a  2 a 
a , y   2 e x  1, para todo a  2.
a2
a2
1
Se a  1, então z 
 1, y   2  2 e x  1. Logo, a terna ordenada (1, 2,  1) é
1 2
1 2
solução do sistema.
Daí, segue que z 
Resposta da questão 13:
[B]
Admitindo x, y e z como os preços em reais por quilograma das misturas 1, 2 e 3,
respectivamente, temos o seguinte sistema:
0,2x  0,2y  0,6x  13

 0,8z  11
0,2x

0,6y  0,4z  16

Resolvendo o sistema temos: x = 15, y = 20 e z = 10
Logo, o custo de um quilograma da Mistura 1 somado com o custo de um quilograma da
Mistura 3 é R$25,00.
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Resposta da questão 14:
[B]
x  y  5
[I] Falsa, pois o sistema 
admite um a única solução com x = 2 e y = 3.
2x  y  1
x  y  z  4

[II] Verdadeira, pois o sistema 2x  3y  z  5 admite uma única solução com x=1, y=2 e z=–1
 x  2y  2z  7

2x  y  5
2x  y  5
[III] Falsa, pois 
(sistema possível e indeterminado).

4x

2y

10

 00  0
Resposta da questão 15:
[D]
Para que a equação matricial acima admita somente a solução trivial, o determinante
4 8 a
1 2 1 deverá ser diferente de zero.
6
0 2
Calculando o determinante, teremos a seguinte desigualdade:
16  0  48  12  a  16  0  0
12  a

 80
a

a

80
12
20
3
Resposta da questão 16:
[A]
3v  2a  4b  88
v  12


 5b  64  Resolvendo o sistema, temos : a  10.
2v
4v  1a
b  8
 58


Portanto, o valor do prato branco é 80% do valor do prato amarelo.
Resposta da questão 17:
[A]
De acordo com o enunciado, segue que
 x  y  5  24
 x  y  19


 y  z  15  24  y  z  9 .
 x  z  10  24  x  z  14


Tomando a matriz ampliada do sistema, vem
 1 1 0 19 


 0 1 1 9 .
 1 0 1 14 


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Somando a 3ª linha com a 1ª multiplicada por 1, obtemos
1 1

0 1
 0 1

0 19 

1 9 .
1  5 
Somando a 3ª linha com a 2ª multiplicada por 1, encontramos
 1 1 0 19 


 0 1 1 9 .
0 0 2 4 


Assim, z  2, y  7 e x  12.
Portanto, segue que x  y  z  12  7  2  2.
Resposta da questão 18:
[A]
Calculando o determinante dos coeficientes, temos:
1 1 a
D  3 1 2  6a  6
2
2
2
Se 6a  6  0 o sistema será possível e determinado, logo se a  1 o sistema terá solução
única.
Resposta da questão 19:
[A]
x reais para dividir para n netos. De acordo com as informações do problema, podemos
concluir que:
 x  50n  50 (I)

 x  40n  40 (II)
Substituindo (I) em (II).
50n – 50 = 40n + 40
10n = 90
n = 9 e x = 400
Logo, o Sr. Luiz possui menos de 500 reais para dividir entre seus netos.
Resposta da questão 20:
[D]
Resolvendo o sistema com as equações dadas, temos:
 2x  y  5

 x  2y  5
x = 1 e y = 3, portanto, o par ordenado (1,3) é solução do sistema formado pelas equações I e
II.
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