ALFABETIZAÇÃO MATEMÁTICA / ENSINO FUNDAMENTAL
4º Encontro: 01/04
OPERAÇÕES
ATIVIDADE
DESENVOLVIMENTO
1. Leitura em voz alta
2.
Pontos
observação
DURAÇÃO
5’
de Perdi o foco.
Possibilitou o zoom.
5’
3. Leitura compartilhada Mestres-de-obras que mal assinam o nome sabem 20’
ler plantas e utilizam bem o raciocínio
proporcional. Terezinha Nunes Carraher.
4. Refletindo juntos
5.Oficina
reflexivo
e
6. Desafios
O que sabem os alunos que resolveram o 30’
algoritmo 74 + 59= ?
registro Material dourado
Representação retangular da multiplicação
Cartão da centena com elástico
Segredos da multiplicação
Problemoteca
60’
30’
7. Tarefa complementar Leitura dos textos Na vida dez, na escola zero e 1h30
Cálculo mental na escola primária.
Escrever questões sobre o ensino e aprendizagem
das operações matemáticas.
8. Intervalo
8. Avaliação
15´
Pontos de observação
15’
1
5º Encontro: 08/04
OPERAÇÕES
ATIVIDADE
DESENVOLVIMENTO
1. Leitura em voz alta
2.
Pontos
observação
DURAÇÃO
5’
de Escrever um bilhete deixando claro de quais das 5’
aprendizagens esperadas pelo curso você se
aproximou e quais ainda sente que precisa
aprofundar.
3. Retomada da leitura
Levantamento coletivo de contribuições e dúvidas 20’
sobre o texto lido.
4. Refletindo juntos
Leitura do texto O contexto cultural: o ensino de 30’
números e operações no Brasil. Terezinha Nunes
Carraher.
5.Oficina
reflexivo
e
6. Desafios
registro A compreensão das técnicas operatórias.
60’
Técnica italiana da subtração, técnica austríaca da
subtração, técnica hindu da multiplicação, técnica
inglesa da multiplicação, técnica breve da
multiplicação, técnica chinesa da multiplicação,
técnica egípcia da multiplicação, divisão, régua de
Naipier.
Jogos: Qual é a multiplicação? Eu tenho, quem 30’
tem?
7. Tarefa complementar Leitura do texto A organização retangular
1h30
8. Intervalo
15´
9. Avaliação
Objetivos:
•
•
•
•
•
Pontos de observação
15’
Desmitificar o processo do ensino e aprendizagem da
matemática.
Explorar o uso de recursos, nas aulas de matemática, como
intervenção, desafio e solução de problema.
Fomentar a curiosidade e a pesquisa, divulgando livros que
abordam a Psicologia e a Didática da Matemática.
Despertar atitude positiva em relação à Matemática.
Provocar reflexões sobre o papel do algoritmo na solução de
problemas.
2
1. JOGO DOS CARTÕES
Objetivos: compreender o mecanismo do "vai um" nas adições; estimular
o cálculo mental.
O professor coloca no centro do grupo alguns cartões virados
para baixo. Nestes cartões estão escritos números entre 50 e 70.
1º sorteio: Um aluno do grupo sorteia um cartão. Os demais devem
pegar as peças correspondentes ao número sorteado.
Em seguida, um representante do grupo vai à lousa e registra em
uma tabela os números correspondentes às quantidades de peças.
2º sorteio: Outro aluno sorteia um segundo cartão. Os demais devem
pegar as peças correspondentes a esse segundo número sorteado.
Em seguida, o representante do grupo vai à tabela registrar a
nova quantidade.
Nesse ponto, juntam-se as duas quantidades de peças, fazem-se
as trocas e novamente completa-se a tabela.
Ela pode ficar assim:
Isto encerra uma rodada e vence o grupo que tiver conseguido
maior total. Depois são feitas mais algumas rodadas e o vencedor do dia
é o grupo que mais rodadas venceu.
Os números dos cartões podem ser outros. Por exemplo,
números entre 10 e 30, na primeira série; entre 145 e 165, na segunda
série.
Depois que os alunos estiverem realizando as trocas e os
registros com desenvoltura, o professor pode apresentar a técnica do
"vai um" a partir de uma adição como, por exemplo, 15 + 16.
Observe que somar 15 com 16 corresponde a juntar estes
conjuntos de peças.
Fazendo as trocas necessárias,
3
Compare, agora, a operação:
• com o material
•
com os números
Ao aplicar o "vai um", o professor pode concretizar cada
passagem do cálculo usando o material ou desenhos do material, como
os que mostramos.
O "vai um" também pode indicar a troca de 10 dezenas por uma
centena, ou 10 centenas por 1 milhar, etc.
Veja um exemplo:
No exemplo que acabamos de ver, o "vai um" indicou a troca de
10 dezenas por uma centena.
É importante que a criança perceba a relação entre sua ação com
o material e os passos efetuados na operação.
2. O JOGO DE RETIRAR
Objetivos: compreender o mecanismo do "empresta um" nas subtrações
com recurso; estimular o cálculo mental.
Esta atividade pode ser realizada como um jogo de várias
rodadas. Em cada rodada, os grupos sorteiam um cartão e uma
4
papeleta. No cartão há um número e eles devem pegar as peças
correspondentes a essa quantia. Na papeleta há uma ordem que indica
quanto devem tirar da quantidade que têm.
Por exemplo: cartão com número 41 e papeleta com a ordem:
TIRE 28.
Vence a rodada o grupo que ficar com as peças que representam
o menor número. Vence o jogo o grupo que ganhar mais rodadas.
É importante que, primeiro, a criança faça várias atividades do
tipo: "retire um tanto", só com o material. Depois que ela dominar o
processo de "destroca", pode-se propor que registre o que acontece no
jogo em uma tabela na lousa.
Isto irá proporcionar melhor entendimento do "empresta um" na
subtração com recurso. Quando o professor apresentar essa técnica,
poderá concretizar os passos do cálculo com auxílio do material ou
desenhos do material.
O "empresta um" também pode indicar a "destroca" de uma
centena por 10 dezenas ou um milhar por 10 centenas, etc. Veja o jogo
seguinte:
3. "DESTROCA"
Objetivos: os mesmos da atividade 10.
placa.
Cada grupo de alunos recebe um dado marcado de 4 a 9 e uma
Quando o jogador começa, todos os participantes têm à sua
frente uma placa.
5
Cada criança, na sua vez de jogar, lança o dado e faz as
"destrocas" para retirar a quantidade de cubinhos correspondente ao
número que sair no dado. Veja bem: esse número dá direito a retirar
somente cubinhos.
Na quarta rodada, vence quem ficar com as peças que
representam o menor número.
Exemplo: Suponha que um aluno tenha tirado 7 no dado. Primeiro
ele troca uma placa por 10 barras e uma barra por 10 cubinhos:
Depois, retira 7 cubinhos:
Salientamos novamente a importância de se proporem várias
atividades como essa, utilizando, de início, só o material. Quando o
processo de "destroca" estiver dominado, pode-se propor que as
crianças façam as subtrações envolvidas também com números.
* grifo nosso. Preferimos as ideias de construção, relação,
conexão, transformação, evolução, desenvolvimento e compreensão do
que dominar, apropriar ou adquirir, pois essas últimas estão
relacionadas com o conhecimento elaborado fora do indivíduo e
absorvido por ele.
Disponível em: <htpp://educar.sc.usp.br/matematica/m2l2.htm>. Acesso em 20 de janeiro de 2009.
6
7
8
( Extraído de: CARDOSO, Virgínia Cardia. Materiais didáticos para as quatro
operações. São Paulo: IME – USP, 2002. )
Na vida dez, na escola zero.
O que fazer na escola se constatarmos que as crianças sabem mais
matemática fora da sala de aula? O que ensinar na escola se as crianças já
aprenderam muito fora da sala de aula? Que postura deve ter o professor, que
motivações deve buscar para sua aula, que contratos pedagógicos deve fazer
se ficar constatado que as relações interpessoais influenciam até mesmo a
utilização de estruturas lógico-matemáticas, que pareciam tão imunes às
influências sociais, por fazerem parte das ciências exatas?
Quando uma solução matemática é negociada na rua – numa venda na
feira, numa aposta no jogo do bicho – ela reflete os rituais da cultura para a
situação, não apenas as estruturas matemáticas subjacentes. Mas como é que
os indivíduos aprendem esses rituais, cheios de lógica e matemática,sem os
benefícios da instrução sistemática ministrada por um professor especialmente
preparado para tal fim? E que explicações teremos para o fracasso da criança
em sala de aula se ela for bem sucedida nas tarefas cotidianas que envolvem
estruturas lógico-matemáticas?
O processo de explicação do fracasso escolar tem sido uma busca de
culpados – o aluno, que não tem capacidade; o professor, que é mal
preparado, as secretarias de educação, que não remuneram seus professores;
as universidades, que não formam bem o professor; o estudante universitário,
que não aprendeu no secundário o que deveria ter aprendido e agora não
consegue aprender o que seus professores universitários lhe ensinam. Mas a
criança que aprende matemática na rua, o cambista analfabeto que recolhe
apostas, o mestre-de-obras treinado por seu pai, todos eles são exemplos
vivos de que nossas análises estão incompletas, precisam ser desmanchadas
e refeitas, se quisermos criar a verdadeira escola aberta a todos, pública e
gratuita, pela qual lutamos nas praças públicas. Os educadores, todos nós,
precisamos não encontrar os culpados mas encontrar as formas eficientes de
ensino e aprendizagem em nossa sociedade.
O ensino de matemática deveria ser, sem dúvida, a área mais
diretamente beneficiada pelo conhecimento da matemática da vida cotidiana.
O ensino da matemática se faz, tradicionalmente, sem referência ao que
os alunos já sabem. Apesar de todos reconhecermos que os alunos podem
aprender sem que o façam na sala de aula, tratamos nossos alunos como se
nada soubessem sobre tópicos ainda não ensinados. Os estudos narrados aqui
nos mostram tantas situações diárias em que a matemática intervém. Mas não
é só isso; alguns desses estudos “analisam” certas regras, mostrando seus
componentes, suas inconsistências quando elas são colocadas num quadro
mais amplo, e a perda de significado das atividades matemáticas realizadas na
sala de aula.
Esses estudos mostram que um problema não perde o significado para a
criança porque usa uva ao invés de pitomba ou pitomba ao invés de uva como
fruta do exemplo. O problema perde o significado porque a resolução de
problemas na escola tem objetivos que diferem daqueles que nos movem para
resolver problemas de matemática fora da sala de aula. Perde o significado
também porque na sala de aula não estamos preocupados com situações
9
particulares, mas com regras gerais, que tendem a esvaziar o significado das
situações. Perde o significado também porque o que interessa à professora
não é o esforço de resolução do problema por um aluno, mas a aplicação de
uma fórmula, de um algoritmo, de uma operação, predeterminados pelo
capítulo em que o problema se insere ou pela série escolar que a criança
frequenta. Os estudos descritos aqui devem provocar cada professor a buscar
maneiras de usar em sala de aula o conhecimento matemático cotidiano de
seus alunos; esse desafio, se aceito de fato, pode revolucionar e,
principalmente, tornar muito mais fascinante a aprendizagem da matemática.
• Matemática escrita versus matemática oral
Por que a diferença entre a matemática como habilidade de
sobrevivência e a matemática da escola? As diferenças entre uma situação de
venda em uma feira e uma situação escolar são tantas que é difícil de saber o
que leva as crianças a se saírem muito bem nos problemas na vida e a
demonstrarem tantas dificuldades ao resolverem problemas na escola. Por
exemplo, a relação entre o examinador e a criança nas duas situações é
diferente. No estudo de Carraher, Carraher & Schliemann (1982, 1985), o
examinador desempenhava o papel de um freguês que fazia compras na feira,
não havendo, por isso, qualquer razão para que o sujeito se sentisse ansioso
ou inibido durante o “teste”, como poderia acontecer na situação de tipo
escolar. Além disso, é possível que a motivação não seja a mesma na situação
de venda na rua e na escola. Na venda, um erro a favor do freguês implica
perda de dinheiro e um erro contra pode resultar na perda do freguês. Na
escola, as consequências do erro certamente não são as mesmas, o que torna
difícil avaliar se o tipo e o nível de motivação nas duas situações podem ser
comparados. No entanto, é possível que a explicação para essa grande
diferença entre a eficiência das crianças na escola e na venda não resulte de
diferenças nem na motivação nem no relacionamento com o examinador, mas
de diferenças nas estratégias cognitivas escolhidas para a resolução dos
problemas.
Extraído de: CARRAHER, Terezinha; CARRAHER, David; SCHLIEMANN,
Analúcia. Na vida dez, na escola zero. São Paulo. Cortez, 1993.
Cálculo mental na escola primária
Adaptado de Cecília Parra
“Cálculo mental” é uma expressão que pode ter muitos significados,
dividindo opiniões, provocando dúvidas e expectativas, assim como:
• está associada à repetição de memória das tabuadas de
multiplicação;
• representa uma capacidade admirável que possuem algumas
pessoas;
• está diretamente ligada a aspectos da vida cotidiana;
• está relacionado com: estimativa de gastos em uma compra,
cálculo dos ingredientes de uma receita para o dobro de pessoas,
elaboração de um orçamento global para uma festa ou viagem.
Estes exemplos associam cálculo mental com cálculo não exato; no
entanto, há situações em que se requer uma resposta exata que, ainda assim,
resolvemos mentalmente, seja porque dispomos do resultado memorizado (8 =
10
8), ou nos é fácil e direto obtê-lo (215 x 10) ou reconstruí-lo por um
procedimento confiável; assim, para a operação 34000 + 19000, é frequente
pensá-lo como 34000 + 20000 – 1000.
Podemos constatar que são conhecimentos permanentemente em “uso”,
e sua praticidade pode ser um argumento na hora de discutir sua incorporação
como conteúdos a serem tratados na escola, a respeito dos quais deveriam ser
definidos os objetivos a alcançar.
As mais diferentes perspectivas afirmam que o centro do ensino de
matemática deva ser a resolução de problemas. Ao mesmo tempo, parece
evidente que a capacidade progressiva de resolução de problemas demanda
um domínio crescente de recursos de cálculo.
Neste sentido, responder à necessidade social indica uma aproximação
com o cálculo que torne os alunos capazes de escolher os procedimentos
apropriados, encontrar resultados e julgar a validade das respostas.
Com frequência, fazemos a oposição cálculo escrito e cálculo mental.
Neste sentido, queremos esclarecer que a concepção de cálculo mental que
vamos desenvolver não exclui a utilização de papel e lápis, particularmente no
registro de cálculos intermediários em um processo que é, essencialmente,
mental.
Parece mais clara e fundamental a distinção entre o cálculo no qual se
emprega de maneira sistemática um algoritmo único, sejam quais forem os
números a serem tratados, e o cálculo no qual, em função dos números e a
operação formulada, seleciona-se um procedimento singular adequado a essa
situação, e que pode não sê-lo para outra.
O primeiro costuma ser chamado de cálculo automático ou mecânico, e
se refere à utilização de um algoritmo ou de um material (ábaco, régua de
cálculo, calculadora, tabela de logaritmos etc.)
O segundo é chamado cálculo pensado ou refletido. É em relação a este
significado que vamos considerar o cálculo mental.
Entenderemos por cálculo mental um conjunto de procedimentos em
que, uma vez analisados os dados a serem tratados, estes se articulam, sem
recorrer a um algoritmo pré-estabelecido para obter resultados exatos ou
aproximados.
Os procedimentos de cálculo mental se apóiam nas propriedades do
sistema de numeração decimal e nas propriedades das operações e colocam
em ação diferentes tipos de escrita numérica, assim como diferentes relações
entre os números.
Para muitas pessoas, cálculo mental está associado a cálculo rápido. Na
perspectiva que adotamos, a rapidez não é uma característica nem um valor,
ainda que possa ser uma ferramenta em situações didáticas nas quais, por
exemplo, permita aos alunos distinguir os cálculos que dispõem os resultados
na memória dos que não dispõem.
O fato de que os algoritmos cheguem a se tornar automáticos não
significa que para sua aprendizagem deva ser sacrificada a compreensão.
Algoritmo é “uma série finita de regras a serem aplicadas em uma ordem
determinada a um número finito de dados para chegar com certeza (quer dizer,
sem indeterminação ou ambiguidades) e em um número finito de etapas, a
determinado resultado, e isso independente dos dados” (Bouvier, citado em
Castro Martinez e outros, 1989).
11
De acordo com Elizabeth Belfort e Mônica Mandarino, da UFRJ, um
algoritmo é um dispositivo prático, elaborado para facilitar a execução de uma
certa tarefa. Convivemos com vários tipos de algoritmos – alguns são muitos
simples, como ligar uma televisão (basta achar o botão correto e pressioná-lo);
outros mais elaborados, como uma receita culinária (devemos organizar os
ingredientes e, em ordem, executar as etapas.); há outros, ainda, que exigem
um bom tempo de treinamento até que nos sintamos seguros para executá-los
independentemente, como dirigir um automóvel.
Por que ensinar cálculo mental na escola?
• As aprendizagens no terreno do cálculo mental influem na
capacidade de resolver problemas.
• O enriquecimento das relações numéricas por meio do cálculo
mental facilita para os alunos, frente a uma situação, serem
capazes de moldá-la, por antecipação, por reflexão.
• O cálculo mental aumenta o conhecimento no campo numérico
5+ 3 + 4 + 7 + 6 =
5 + 10 + 10 = 25
4 x 19 x 25 =
19 x 100 = 1900
125 + 95 =
(125 – 5 + 95 +5 )
120 + 100 = 220
9 + 7=
(9 + 1 + 7 – 1)
10 + 6 = 16
Preencher as lacunas, sem fazer as contas, com o sinal correspondente: <,
> ou =.
47 + 28 ............ 47 + 31
24 + 75 .............25 + 74
77 – 31 .............71 – 37
145 – 68 ...........145 – 74
Busca-se provocar raciocínios do seguinte tipo:
“77 – 31 é maior que 71 – 37 porque de um número maior estou subtraindo
um número menor.”
“145 – 68 é maior que 145 – 74 porque do mesmo número estou subtraindo
menos.”
3. O trabalho de cálculo habilita para uma maneira de construção do
conhecimento que, a nosso entender, favorece uma melhor relação do
aluno com a matemática.
4. O trabalho de cálculo pensado deve ser acompanhado de um aumento
progressivo do cálculo automático.
Em nossa perspectiva, o cálculo mental é uma via de acesso para
a compreensão e construção de algoritmos.
Assim, alunos, antes de aprenderem o algoritmo da soma, podem
resolver 28 + 23 de diferentes maneiras, por exemplo:
12
20 + 8 + 20 + 3 =
40 + 11 = 51
28 + 20 + 3 =
48 + 3 = 51
É importante favorecer a busca e a explicação de distintas
maneiras de tratar um cálculo. Analisar os diferentes recursos, discutir a
aplicabilidade e eficiência de cada um deles no cálculo formulado. Por
exemplo, para 7 + 8:
(7 + 7) = 1 reagrupamento em torno de um dobro;
(7 + 3) + 5 reagrupamento em torno de 10;
(8 + 2) + 5 reagrupamento em torno de 10;
(5 + 5) + 2 + 3 reagrupamento em torno de 5.
O cálculo mental pode ser desenvolvido por meio dos jogos e, no
encerramento da oficina, o professor tem um papel muito importante, que é
mediar a autoavaliação, permitindo que relatem sentimentos e descrevam o
que observaram, aprenderam, concluíram durante a atividade. É necessário
permitir aos alunos:
• tomar consciência do que sabem;
• reconhecer a utilidade
(economia, segurança) de utilizar
determinados recursos (resultados memorizados, certos
procedimentos etc.);
• ter uma representação do que se deve conseguir e do que precisa
saber;
• “medir” seu progresso;
• escolher, entre diferentes recursos, os mais pertinentes;
• serem capazes de fundamentar suas opções, suas decisões.
25
+27
4
12
52
25
+27
52
20 + 7
20 + 5
40 + 12
52
25 + 20 + 5 + 2 =
45 + 5 + 2=
50 + 2=
52
Subtração
As duas técnicas são corretas, mas uma é mais fácil.
Técnica italiana
Recurso à ordem superior
Atenção para o termo “empresta”. Número não é banqueiro.
Efetuamos trocas
c12
d
u
13
1
3
8
4
15 _
9
6
135 unidades, ao agruparmos de 10 em 10, ficamos com 5 unidades, 3 d, 1 c
Os termos decompor, desagrupar e desmembrar são mais adequados
do que emprestar.
Técnica austríaca é mais difícil para explicar.
Recurso à compensação.
c
11
d
31
8
4
9
u
5
9
6
135 – 89 =
_
Característica da subtração, acrescentar o mesmo número em cada uma
das parcelas não altera o resto.
_ 5 2 0
5 1 0
1 0
500+20
500+10
_ 20
10
10
Multiplicação
Técnica hindu
gelosia | veneziana | reticulado | grade.
Multiplicação utilizada pelos árabes que, provavelmente, aprenderam
com os hindus.
2
0
1
2
6
4 3
4
0
3
4
2
7
3
0
2
4
1
8
4
243 x 18 = 4374
Técnica inglesa
243 x 18
200 + 40 + 3
10 + 8
técnica breve
24
320
1600
+
30
400
2000
4374
1944
relacionar coma a
2430
14
Breve
x
243
18
1944
2430
4374
Surgiu dos cruzamentos da técnica inglesa
Técnica chinesa
Técnica egípcia
Parcelas Resultado
1
25
2
50
4
100
8
200
16
400
32
800
Utilize também
• Representação retangular da multiplicação.
• Tábua de Pitágoras (www.mathema.com.br )
• Cartão da centena com elástico.
• Segredos da multiplicação (www.mathema.com.br)
• Trabalho com cálculo mental.
• Jogos (Qual é a multiplicação?, Batalha dupla, Tabuleiro da
multiplicação, Stop matemático, Contig 60, Feijões, Aflições, Na casa do
vizinho, Cubra o dobro, Eu tenho, quem tem? e outros.)
Divisão
Discreto
Continuo
contagem 1 a 1
repartir o todo, cortar
Em partes iguais envolve o algoritmo Euclidiano (Euclides de Alexandria).
15
Para desenvolver estimativa podemos apresentar o processo americano que é
indicado para 2º série ou 3º ano.
1435
12
1200 100
235
10
120
5
115
4
60
119
55
48
7
c d u
1 3 4
1 2
_ 1 4
14
0
c d u
2 7 6
-1 5
1 26
- 1 20
6
2
0 6 7
c d u
15
018
d u
4 0
0 0
4
10
d u
Um pouco de história ajuda a entender a dúvida
Na escola de trinta anos atrás, saber a tabuada de cor, "na ponta da
língua", era ponto de honra para alunos e professores do antigo primário.
Poucas pessoas, talvez, ousassem por em dúvida a necessidade desta
mecanização.
Na década de 60, despontaram movimentos de todos os tipos,
rompendo com tradições seculares: o feminismo, a revolução sexual, os
hippies, os Beatles, a revolução cultural na China, as passeatas de estudantes
em Paris-68 etc. O ensino da matemática não ficou indiferente ao clima
revolucionário. A Matemática Moderna modificou o ensino da matemática. Não
vamos discutir aqui as características deste movimento, mas, dentre seus
aspectos positivos, destacava-se o desejo de aprendizagem com
compreensão.
No conjunto de críticas ao ensino tradicional, uma recaiu sobre a
mecanização da tabuada. Diversas escolas aboliram e proibiram a
memorização da mesma. A professora ou o professor que obrigasse seus
alunos a decorar a tabuada era, muitas vezes, considerado "antiquado",
"retrógrado".
O argumento dos renovadores, contrário a memorização, era
basicamente este: "não se deve obrigar o aluno a decorar a tabuada; deve-se,
isto sim, criar condições para que ele a compreenda". Os adeptos das novas
tendências alegavam que, se o aluno compreendesse a tabuada, se ele
entendesse o significado de códigos como 3 x 7, 8 x 6, 5 x 9 etc., então,
quando precisasse, sozinho, pensando, ele descobriria os resultados.
Alguns professores rebatiam essa afirmação alegando que, sem saber a
tabuada de cor, um aluno não poderia realizar multiplicações e divisões. A cada
momento, na realização de cálculos e na resolução de problemas, ele
"engasgaria" por não saber a tabuada de cor.
É curioso observar que, passados estes anos todos, essa discussão
permanece entre nós.
16
É necessário compreender
Nessa discussão, apesar das divergências, há uma opinião unânime:
deve-se condenar a mecanização pura e simples da tabuada. É absurdo exigir
que os alunos recitem: "duas vezes um, dois; duas vezes dois, quatro;...", sem
que eles entendam o significado do que estão dizendo. A multiplicação (bem
como todas as outras operações, a noção de número e o sistema de
numeração decimal) precisa ser construída e compreendida. Esta construção é
o resultado de um trabalho mental por parte do aluno.
O termo tabuada é bastante antigo e designa um conjunto de fatos,
como por exemplo:
3 x 1 = 3, 3 x 2 = 6, 3 x 3 = 9, etc.
Esses fatos têm sido chamados, por diversos autores, de fatos
fundamentais da multiplicação.
Trabalhando com materiais variados (papel quadriculado, grãos, palitos),
explorando jogos e situações diversas (quantos alunos serão necessários para
formar 4 times de vôlei?), os alunos poderão, aos poucos, construir e registrar
os fatos fundamentais que compõem a tabuada.
Construindo a tabuada
A atividade que vamos descrever é bastante rica. Nela, os alunos
constroem a tabuada, partindo de alguns fatos simples já trabalhados
anteriormente. Primeiramente, organizamos a tabela e registramos com os
alunos os fatos já conhecidos (até 5 x 5).
x 1
2
3
4
5 6 7 8 9
1 1
2
3
4
5 -- -- -- --
2 2
4
6
8 10 -- -- -- --
3 3
6
9 12 15 -- -- -- --
4 4
8 12 16 20 -- -- -- --
5 5 10 15 20 25 -- -- -- -6 --
--
--
--
-- -- -- -- --
7 --
--
--
--
-- -- -- -- --
8 --
--
--
--
-- -- -- -- --
9 --
--
--
--
-- -- -- -- --
É fácil completar a primeira linha, pois ela se refere à multiplicação por 1.
Também é fácil completar a primeira coluna.
x 1 2
3
4
5
6 7 8 9
1 1 2
3
4
5
6 7 8 9
2 2 4
6
8
10 -- -- -- --
3 3 6
9
12 15 -- -- -- --
4 4 8
12 16 20 -- -- -- --
5 5 10 15 20 25 -- -- -- -6 6 --
--
--
--
-- -- -- --
7 7 --
--
--
--
-- -- -- --
8 8 --
--
--
--
-- -- -- --
9 9 --
--
--
--
-- -- -- --
17
Proponha aos alunos que descubram quanto dá, por exemplo, 8 x 3.
Eles podem obter este resultado, por exemplo, por meio de adições
sucessivas:
Mas podem também obter 8 x 3 de outro modo. Como 8 = 5 + 3, podem
perceber que:
8x3=5x3+3x3
Na tabela, temos os valores de 5 x 3 e 3 x 3, logo:
8 x 3 = 15 + 9 = 24
Da mesma forma, podem fazer:
9 x 3 = 5 x 3 + 4 x 3 = 15 + 12 = 27
7 x 4 = 3 x 4 + 4 x 4 = 12 + 16 = 28
Os produtos obtidos vão sendo registrados na tabela.
x 1 2
3
4
5
6 7 8 9
1 1 2
3
4
5
6 7 8 9
2 2 4
6
8
10 -- -- -- --
3 3 6
9
12 15 -- -- -- --
4 4 8
12 16 20 -- -- -- --
5 5 10 15 20 25 -- -- -- -6 6 --
--
--
--
-- -- -- --
7 7 --
--
28 --
-- -- -- --
8 8 --
24 --
--
-- -- -- --
9 9 --
27 --
--
-- -- -- --
Nessa altura do trabalho com a multiplicação, os alunos já terão
percebido que 3 x 5 = 5 x 3, 2 x 4 = 4 x 2, etc. Assim, como já descobriram que
8 x 3 = 24, concluem que 3 x 8 = 24; como 9 x 3 = 27, então, 3 x 9 = 27. E a
tabela vai sendo completada.
x 1 2
3
4
5
6 7
8
9
1 1 2
3
4
5
6 7
8
9
2 2 4
6
8
10 -- --
--
--
3 3 6
9
12 15 -- --
4 4 8
12 16 20 -- 28 --
24 27
--
5 5 10 15 20 25 -- --
--
--
6 6 --
--
--
--
-- --
--
--
7 7 --
--
28 --
-- --
--
--
8 8 --
24 --
--
-- --
--
--
9 9 --
27 --
--
-- --
--
--
18
Note que nesta construção, vão sendo usadas intuitivamente, diversas
propriedades da multiplicação. Ao longo dessa atividade, a compreensão da
multiplicação está presente o tempo todo.
x 1 2
3
4
5
6
7
8
9
1 1 2
3
4
5
6
7
8
9
2 2 4
6
8
10 12 14 16 18
3 3 6
9
12 15 18 21 24 27
4 4 8
12 16 20 24 28 32 36
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81
mais:
Uma vez completada a tabela, podemos prosseguir explorando-a ainda
A linha do 1 é igual a coluna do 1. A linha do 2 é igual a coluna do 2 etc.
Isto ocorre porque 3 x 1 =1 x 3, 2 x 4 = 4 x 2 etc.
Na linha do 1 (e na coluna do 1) os números aumentam de 1 em 1.
Na linha 2 (e na coluna do 2) os números aumentam de 2 em 2.
E assim por diante. Na linha 9, (e na coluna do 9) os números aumentam
de 9 em 9. É fundamental explorar este ritmo, esta regularidade da tabuada.
Peça aos alunos que localizem todos os 12 da tabela. Ele aparece
quatro vezes. Estas quatro aparições correspondem aos produtos 3 x 4, 4 x 3,
2 x 6 e 6 x 2. Faça o mesmo com outros números, com 16, 15 etc. Uns
aparecem três vezes, outros duas e outros ainda só uma vez.
A memorização também é necessária
É importante que, uma vez compreendidos os fatos fundamentais, eles
sejam, aos poucos, memorizados pelas crianças. Para isso, é interessante
utilizar jogos variados. Vamos dar um exemplo:
O tabuleiro do desenho, com 36 casinhas, pode ser desenhado em
cartolina ou qualquer outro papel. Os números que nele aparecem são os
resultados
das
multiplicações
de
1, 2, 3, 4, 5 e 6 por 1, 2, 3, 4, 5 e 6:
5 x 6 = 30, 1 x 2 = 2, 3 x 3 = 9, 4 x 6 = 24 etc.
19
Para jogar são necessários dois dados.
15 12 5
-
4
6
2
1
30 6
8
12 10 2
3
24 --
20 18 --
25 4
18 12 30 4
15 3
16 36 8
6
24 6
9
20 5
--
10 -12 --
Um aluno joga contra outro. Na sua vez, cada jogador lança os dois
dados, observa os dois números obtidos e procura, no tabuleiro, o produto dos
mesmos, aí colocando um grão de feijão, por exemplo. O outro jogador deve
assinalar seus resultados com outra marca, como tampinhas por exemplo.
Vence o jogador que tiver 3 marcadores numa mesma linha, coluna ou
diagonal.
O professor pode ainda promover com os alunos a "gincana da
multiplicação", em que um grupo faz perguntas a outro: "quanto é 3 x 9?". Ou,
então, um grupo diz o produto (por exemplo: 63) e o outro encontra os fatores
(7 e 9).
Essas atividades contribuem para a memorização da tabuada. É claro
que este esforço de memorização não deve ser obsessivo. Se um aluno, em
algum momento, não se lembrar, por exemplo, de quanto é 7 x 8, é importante
que ele tenha a chance de pensar e descobrir por si próprio. Além disso,
devemos discutir com os alunos a necessidade dessa memorização. Eles
devem saber que ela é necessária para que possamos apresentar um bom
desempenho em situações mais complexas. A necessidade da memorização
justifica-se. Não é à toa que os fatos fundamentais têm esse nome. A fixação
dos mesmos é importante para que o aluno compreenda e domine algumas
técnicas de cálculo. Na exploração de novas idéias matemáticas (frações,
geometria, múltiplos, divisores etc), a multiplicação aparecerá com freqüência.
Se a criança não tiver fixado os fatos fundamentais, a cada momento, ela
engasgará na tabuada, desviando sua atenção das novas idéias que estão
sendo trabalhadas.
Respondendo então à pergunta que dá título a esta leitura, devemos
dizer que o aluno não deve decorar mecanicamente a tabuada, mas que
precisa fazer um certo esforço para memorizar. Insistimos, porém que essa
memorização deve ser precedida pela compreensão. A ênfase do trabalho
deve ser posta na construção dos conceitos. A preocupação com a
memorização não deve ser obsessiva e exagerada.
Um método egípcio para multiplicar
É assim que costumamos multiplicar:
20
Mas nem sempre as multiplicações foram realizadas dessa maneira. Ao
longo dos tempos, diferentes povos, em diferentes lugares, desenvolveram
variadas técnicas para multiplicar. Os egípcios da Antigüidade, por exemplo,
criaram um interessante processo usando duplicações sucessivas. Duplicar é
dobrar, isto é, multiplicar por dois. Para expor o processo começaremos com
alguns exemplos simples. Antes, porém, uma observação: você já sabe como é
que os egípcios escreviam os números (módulo 1), mas, nos exemplos a
seguir, vamos escrevê-los usando o nosso sistema de numeração. Isto
facilitará a compreensão. Vamos aos exemplos.
• Multiplicar um número por quatro é dobrar o seu dobro, pois 4 = 2 x 2.
Por exemplo, para obter 4 x 17 fazemos assim:
dobro de 17 = 34
dobro de 34 = 68
Deste modo: 4 x 17 = 68
• Multiplicar um número por 8 é dobrar o dobro de seu dobro, uma vez
que 8 = 2 x 2 x 2. Assim, para obter 8 x 21, fazemos:
dobro de 21 = 42
dobro de 42 = 84
dobro de 84 = 168
Portanto: 8 x 21 = 168
• Veja mais este exemplo: 32 x 13 = ?
dobro de 13 = 2 x13 = 26
dobro de 26 = 2 x 26 = 4 x 13 = 52
dobro de 52 = 2 x 52 = 8 x 13 = 104
dobro de 104 = 2 x 104 = 16 x 13 = 208
dobro de 208 = 2 x 208 = 32 x 13 = 416
Portanto: 32 x 13 = 416
Desse modo, por meio de duplicações sucessivas é fácil multiplicar um
número por 4, 8, 16, 32, 64, etc. (estes são os números que se obtêm
multiplicando o 2 por ele mesmo sucessivas vezes). Mas, pelo jeito, este
processo não permite obter, por exemplo, 14 x 23, uma vez que nenhum dos
dois fatores é 4, 8, 16, 32, 64, etc.
Entretanto, há um modo de superar esta aparente impossibilidade! Para
compreendê-lo você deve antes perceber o seguinte: os números que não
fazem parte da seqüência 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, etc., podem sempre ser
escritos como soma de alguns dos números que fazem parte dela. Por
exemplo: o 3, que não é da seqüência, é a soma de 1 com 2, que são da
seqüência. Outros exemplos:
11 = 8 + 2 + 1
36 = 32 + 4
88 = 64 + 16 + 8
Faça algumas experiências. Escreva um número qualquer, não
pertencente à seqüência 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc e depois procure escrevê-lo
como soma de alguns dos números que fazem parte dela. Voltemos aos
exemplos:
• No método egípcio, para multiplicar 14 por 23, primeiro escrevemos um
dos dois fatores (14, por exemplo) como soma de números da referida
seqüência:
14 = 8 + 4 + 2
21
A seguir, fazemos as duplicações sucessivas do 23:
2 x 23 = 46
4 x 23 = 2 x 46 = 92
8 x 23 = 2 x 92 = 184
Como 14 x 23 = (8 + 4 + 2) x 23 = 8 x 23 + 4 x 23 + 2 x 23,
resulta que 14 x 23 = 184 + 92 + 46.
Efetuando as adições, teremos o resultado: 14 x 23 = 322.
Neste exemplo vamos "enxugar" as explicações.
Logo: 37 x 45 = 1665
Parcelas
1
2
4
8
16
32
Resultado
25
50
100
200
400
800
Como exercício faça, por exemplo, 15 x 11 e 20 x 30 usando o método
das duplicações sucessivas.
Talvez você tenha achado este processo complicado e muito trabalhoso.
Essa reação é compreensível. Para nós, acostumados com a técnica usual da
multiplicação, é natural acharmos complicada a técnica egípcia. Entretanto,
para perceber que estas impressões são relativas, vale a pena fazer este
exercício de ficção: imagine-se no Egito Antigo tentando explicar o nosso
algoritmo da multiplicação a um jovem escriba, familiarizado com o modo
egípcio de multiplicar. Qual seria a reação dele?
Em qualquer sistema de numeração, as regras usadas para escrever os
números influenciam as técnicas de cálculo. Assim, por exemplo, conforme
visto neste curso, nas técnicas que usamos para calcular estão presentes as
características do sistema de numeração indo-arábico, usados por nós.
Finalizamos este item com uma curiosidade: o processo egípcio talvez
explique a origem da palavra multiplicar na língua latina, multi quer dizer
vários e plicare significa dobrar. Assim, multiplicar é dobrar várias vezes.
22
Um método para multiplicar usado pelos árabes
I – Método da gelosia
A multiplicação por gelosia era conhecida como multiplicação “em
grelha”, “em quadro”, “quadrilateral”, “por filas”, “em células” ou “em reticulado”.
Na Itália, é chamada de gelosia porque a sua estrutura lembra as persianas
medievais das casas venezianas.
A presença deste algoritmo em documentos chineses, hindus e
europeus ilustra bem a difusão mundial desta técnica. Supõe-se que tenha
surgido na Índia (provavelmente no séc. XII); da Índia ter-se-á propagado à
China, e durante muitas gerações foi o método favorito de árabes e persas que
o fizeram chegar à Itália.
Aqui está a multiplicação de 185 por 14:
Para compreender o processo, vamos apresentá-lo passo a passo.
• Desenhamos um retângulo dividido em retângulos menores. Em nosso
exemplo, temos 2 fileiras e 3 colunas de retangulozinhos porque 14 tem
2 algarismos e 185 tem 3 algarismos.
•
•
•
Traçamos diagonais dos retangulozinhos, como mostra a figura, obtendo
esta grade.
A seguir multiplicamos os algarismos de um fator pelos algarismos do
outro fator e registramos os resultados na grade. Observe a maneira de
fazer o registro.
Agora, neste último passo, somamos os algarismos que estão numa
mesma faixa diagonal. É preciso observar o "vai um".
23
Para compreender o funcionamento dessa técnica, procure compará-la
com o nosso modo de multiplicar.
A seguir mais dois exemplos:
Como exercício, faça mais algumas multiplicações usando este processo que,
como vimos, era empregado pelos árabes. Este método é também chamado
gelosia ou método da grade.
1.
Régua de Naipier
O matemático escocês John Napier (1550-1617) teve a idéia de associar
a cada número de 0 a 9 uma régua, na qual são escritos os sucessivos
produtos desse número por 1, 2, 3, ..., 9. Deste modo, Napier descobriu um
24
excelente instrumento para o cálculo ao qual chamou rabdologia que em grego
significa “conjunto de réguas”.
Para calcular o produto 736 × 4, as réguas são colocadas conforme é
indicado na figura 2.
O resultado é 2944 = 2_8+1_2+2_4
Utilizando um conjunto de réguas, calcule:
a) 1072 × 8
b) 39 × 4025
c) 236 × 597
d) 245 × 7589
e) 589 × 22
f) 9564 × 486
Multiplicando com as mãos
Tobias Dantzig,, relata um curioso processo para fazer multiplicações
com os dedos das mãos. Este método era usado, até pouco tempo, por
camponeses de uma região da França. Eles sabiam de cor a tabuada até a do
5 e, para multiplicar números compreendidos entre 5 e 10, como por exemplo,
6 x 9 ou 7 x 8, usavam seus dedos. Vejamos como faziam para obter, por
exemplo, 6 x 8.
25
Numas das mãos, abaixamos tantos dedos quantas unidades o 6 passa
de 5; portanto abaixamos 1 dedo.
Na outra mão, abaixamos tantos dedos quantas unidades o 8 passa de
5; portanto abaixamos 3 dedos.
Somamos o número de dedos abaixados, exprimindo a soma em
dezenas. No nosso caso, temos 1 + 3 = 4 dezenas, isto é, 40 unidades.
A seguir, multiplicamos os números de dedos levantados: 4 x 2 = 8
unidades.
48
Para obter o resultado final, somamos os valores encontrados: 40 + 8 =
De fato: 6 x 8 = 48!
Embora, para nós, este procedimento possa não ser prático, ele é, sem
dúvida, curioso.
Use-o para obter, por exemplo, 7 x 8, 6 x 7, 7 x 9 e 6 x 9. Verifique que o
método também vale para os fatores 5 e 10, que são os extremos do intervalo
em que o processo pode ser usado.
A tabuada dos nove e os dedos das mãos
Há um modo interessante para se obter a tabuada do nove usando os
dedos das mãos. Coloque as mãos abertas sobre a mesa.
Vamos obter, por exemplo, 3 x 9. Dobre o 3° dedo, a contar da esquerda
para a direita.
26
Veja que, á esquerda do dedo dobrado, ficaram dois dedos e, á sua
direita, 7 dedos.
Veja como se obtém 6 x 9:
Eis o resultado: 3 x 9 = 27!
Não é curioso? Experimente obter as outras multiplicações da tabuada
do nove.
A organização retangular
Considere estes problemas:
•
Márcio, o marceneiro, fez um armário cheio de gavetas. Veja:
Quantas são as gavetas?
•
Jurandir já assentou a primeira fileira e a primeira coluna de azulejos na
parede da cozinha. Veja:
Quantos azulejos serão gastos para revestir a parede
toda?
27
Você pode resolver o primeiro problema contando as gavetas uma
a uma, mas há de concordar que é um pouco trabalhoso. E, usando a
contagem, o segundo problema fica mais difícil, pois não vemos todos
os azulejos.
Os dois problemas podem, no entanto, ser resolvidos com o uso
da multiplicação.
No problema do gaveteiro, você pode ver que cada fileira de
gavetas contém 10 gavetas e que todas as fileiras têm a mesma
quantidade de gavetas:
Como há 7 fileiras de gavetas, o total é:
A resolução que acabamos de ver mostra que a multiplicação nos
pemite encontrar o total de objetos organizados numa disposição
retangular, como é o caso das gavetas.
Usando o mesmo raciocínio, resolve-se o
problema dos azulejos:
Cada fileira tem 22 azulejos; são 12 fileiras; total
de azulejos: 12 x 22 = 264
Observando esses dois exemplos, verificamos que a organização
retangular equivale à idéia de repetição de parcelas iguais.
Observe a formação de soldados. Como
saber o total de soldados, sem contar um
por um?
28
Já observamos que é comum as crianças conhecerem a
multiplicação a partir da adição de parcelas iguais. Mas, mais tarde, elas
devem também relacionar a multiplicação diretamente com os arranjos
retangulares.
Os arranjos retangulares são importantes, primeiro porque são
muito comuns no dia-a-dia. Aparecem:
Em segundo lugar, eles facilitam a percepção de certas
propriedades da multiplicação. Vamos ver um exemplo.
Nesta figura, pode-se encontrar o total de quadradinhos
fazendo 3 x 6 = 18, pois temos 3 fileiras de 6.
Mas também é correto encontrar o total fazendo 6 x 3 =
18, pois há 6 colunas de 3.
Conclusão: a ordem dos fatores não altera o produto, pois tanto 3
x 6 como 6 x 3 resultam em 18. Esse fato é conhecido como
propriedade comutativa da multiplicação. Comutar significa trocar; no
caso, troca-se a ordem dos fatores.
Há ainda outra razão importante que justifica a ênfase nos
problemas que envolvem a organização retangular: eles facilitarão,
posteriormente, o cálculo de áreas.
Quadradinho unitário
A área do quadrado de lado 4 é igual a 4 x 4, pois no seu
interior cabem 4 x 4 quadradinhos unitários.
2 + 2 + 2 + 2 + 2 ou 5 x 2
ou 5 + 5 ou 2 x 5 ou ...
quadriculado, escrevendo de várias maneiras diferentes o
número de quadradinhos de cada figura.
3 + 3 + 3 + 3 ou 4 x 3
ou 4 + 4 + 4 ou 3 x 4 ou ...
2 + 2 + 2 + 2 + 2 ou 5 x 2
ou 5 + 5 ou 2 x 5 ou ...
29
O raciocínio combinatório
•
"Os sanduíches da padaria Regência são famosos no bairro. O freguês
pode escolher entre 3 tipos de pão: pão de forma, pão francês ou pão
italiano. Para o recheio, há 4 opções: salame, queijo, presunto ou
mortadela. Quantos tipos de sanduíche a padaria oferece?"
Quem encontra pela primeira vez esse tipo
de problema pode não perceber que se trata de
uma situação que envolve a multiplicação. É
comum, nas primeiras tentativas, somar 3 com 4 ou
listar de forma desorganizada algumas
combinações de pão com recheio.
Vejamos como o problema pode ser resolvido. Para todas as
combinações possíveis, precisamos pensar de maneira organizada. Isto
pode ser conseguido, por exemplo, com a ajuda de uma tabela
retangular.
salame
pão de
forma
queijo
pão de
pão de forma
forma com
com salame
queijo
presunto
mortadela
pão de forma
com presunto
pão de forma
com mortadela
pão
pão francês
francês com salame
pão francês
com queijo
pão francês
com presunto
pão francês
com mortadela
pão italiano
com salame
pão italiano
com queijo
pão italiano
com presunto
pão italiano com
mortadela
pão
italiano
Também podemos organizar a solução do problema deste outro modo:
Este último esquema, que lembra os galhos de uma árvore
(deitada), é conhecido como árvore das possibilidades.
30
Tanto com a tabela retangular, como com a árvore das
possibilidades, podemos obter a solução do problema: contamos os
tipos de sanduíche e chegamos a 12 tipos. O que não se percebe ainda
é o que o problema tem a ver com a multiplicação.
Isso pode ser percebido com este raciocínio: para cada um dos
tipos de pão temos 4 tipos de recheio e, portanto, 4 sanduíches
diferentes; como são 3 tipos de pão, os sanduíches são 4 + 4 + 4, ou
seja, 3 x 4 = 12.
Nesse raciocínio, procuramos combinar os tipos de pão com os
tipos de recheio para obter todos os tipos de sanduíche. É um exemplo
de raciocínio combinatório, o qual leva a multiplicação.
Você pode notar que a árvore de possibilidades é uma espécie de
"desenho" do raciocínio que fizemos: de cada um dos seus 3 "galhos"
iniciais saem outros 4 "galhos", dando um total de 12.
Quando podemos desenhar a árvore de possibilidades ou fazer
uma tabela, como no caso do problema dos sanduíches, o problema
pode ser resolvido sem a multiplicação. Mas, quando as possibilidades
são muitas, a multiplicação facilita os cálculos. Já imaginou desenhar a
árvore se fossem 6 os tipos de pão e 12 os recheios?
No problema da padaria Regência, se fossem 6 os tipos de pães
e 12 os recheios, quantos sanduíches diferentes teríamos?
Teríamos ________sanduíches diferentes.
Vejamos outro problema envolvendo o raciocínio combinatório.
•
"Usando somente os algarismos 1, 2 e 3, queremos escrever
números de três algarismos. Vamos combinar que, num mesmo
número, não pode haver repetição de algarismo. Com outras
palavras, cada número deve ter três algarismos diferentes.
Quantos números podem ser escritos nestas condições?"
Observe que os números 213 e 312 satisfazem as condições do
problema, mas os números 311, 413 e 1123 não servem. Para resolver
o problema, vamos nos imaginar escrevendo um número de três
algarismos, obedecendo as restrições mencionadas no problema. Ao
escrever o algarismo das centenas, temos 3 possibilidades.
Ao escrever o algarismo das dezenas não podemos usar aquele
que já foi usado nas centenas. Portanto, para cada uma das maneiras
de escolher o dígito das centenas temos duas maneiras de escolher o
das dezenas.
31
Ao escrever o algarismo das unidades, não podemos repetir
nenhum dos dois que já foram usados nas centenas e dezenas. Logo,
para cada uma das maneiras de escrever os dois primeiros algarismos,
temos uma só escolha para o último dígito.
Portanto, nas condições do problema, é possível escrever 3 x 2 x
1 = 6 números: 123, 132, 213, 231, 312 e 321.
O problema seguinte é parecido com o anterior. Mas há uma
diferença entre eles!
•
"Usando somente os algarismos 1, 2 e 3, queremos escrever
números de três algarismos. Vamos combinar que, num mesmo
número, pode haver repetição de algarismos. Quantos e quais
números podem ser escritos nestas condições?"
Vamos construir a árvore das possibilidades para esse problema:
Temos 3 possibilidades para escolher o algarismo das centenas.
Para cada uma delas, há 3 maneiras de escolher o dígito das dezenas.
Portanto há 3 x 3 = 9 modos de escolher aqueles dois dígitos. Para cada
uma destas 9 maneiras há 3 possibilidades de escolha para o algarismo
das unidades. Portanto, nas condições do problema, é possível escrever
3 x 3 x 3 = 27 números. Na árvore das possibilidades, podemos ver
quais são estes números.
32
Madalena mora na cidade X e
vai a uma festa na cidade Y.
Quantos caminhos ela pode
escolher para ir de X até Y?
Madalena pode escolher
caminhos diferentes.
No aprendizado da multiplicação, os problemas combinatórios são
um item importante. No entanto, em muitos desses problemas é difícil
perceber a presença da multiplicação, até para nós, professores.
Sugerimos então que, primeiramente, os alunos usem tabelas ou
árvore de possibilidades, até descobrirem que podem resolvê-los
utilizando a multiplicação.
A variedade de situações relacionadas com a multiplicação
Vimos até aqui duas situações básicas em que a multiplicação é
empregada:
•
•
para substituir uma adição de parcelas iguais;
para obter o total de possibilidades no raciocínio combinatório.
No entanto, essas situações não esgotam as diversas maneiras
de se explorar o uso da multiplicação. Essa operação aparece em
outras situações que, embora relacionadas com as já vistas, podem
parecer novas para os alunos. Vamos ver alguns exemplos:
•
Às vezes, a multiplicação está "escondida". Ao ler o número 460,
dizemos quatrocentos e sessenta. Você percebeu a multiplicação
que está ai?
Quatrocentos significa quatro vezes o cem; sessenta corresponde
a seis grupos de dez, isto é, seis vezes o dez. A multiplicação está
presente na nossa maneira de escrever e de ler os números, embora
nem sempre nós lembremos disso. É o princípio multiplicativo da
numeração indo-arábica.
•
"Na auto-estrada BR-pi, há um posto de pedágio a cada 40
quilômetros. Um motorista sai de Triângulo Citi, localizada logo
após um pedágio, em direção a Hexagolândia, também localizada
logo após um outro pedágio. Neste percurso, o automóvel passou
por 5 postos de pedágio. Qual é a distância entre as duas
cidades?"
33
O problema é bastante simples. Uma adição de parcelas iguais
conduz a multiplicação:
40 + 40 + 40 + 40 + 40 = 5 x 40
Bem, até aqui nada de novo. Entretanto, neste problema podemos
explorar o aspecto aditivo da multiplicação, trabalhando sobre a reta
numérica. Sabemos bem como essa idéia é importante na matemática.
•
"Quantas caixas de refrigerante o caminhão carrega?"
Para encontrar a resposta a este problema, devemos perceber
que as caixas estão organizadas em 4 camadas, sendo que, em cada
camada, há 6 x 5 caixas.
Portanto, o número de caixas é igual a 4 x 6 x 5 = 120.
Problemas deste tipo facilitarão, posteriormente, o cálculo de
volumes. Para compreender que 1 m³ é igual a 1000 litros é necessário
o mesmo raciocínio usado para calcular o número de caixas
transportadas pelo caminhão.
Repare ainda que este problema usa a idéia da organização
retangular de maneira ampliada.
Quando multiplicar nas expressões numéricas
Veja este problema:
•
No supermercado, comprei uma escova de dentes por 2 reais (R$
2,00) e 3 sabonetes, cada um custando 80 centavos (R$ 0,80).
Quanto gastei?
Que problema fácil, não é? A resolução pode ser indicada por
esta expressão numérica:
2,0 + 3 x 0,80.
Com isso indicamos que se deve somar 2,0 com o resultado de 3
x 0,80, que é 4,40. Isto é, deve-se fazer 2,0 + 2,40 = 4,40.
Mas, atenção! Será que alguém, lendo a expressão:
2,0 + 3 x 0,80
não poderia, primeiro, somar 2,0 com 3 e multiplicar o resultado por
34
0,80? Nesse caso, teríamos 5,0 x 0,80 = 4,0. Isso não corresponde ao
que gastei no supermercado.
Pois é, colega, ao escrever expressões em que aparecem
multiplicações e adições ou subtrações, pode haver mais de uma
interpretação. Para evitar dúvidas sobre qual operação é feita primeiro,
os matemáticos combinaram que a multiplicação sempre deve ser feita
antes da adição e da subtração. Isto é o que se chama uma
"convenção": fica combinado que ...
Respeitando esta convenção, 2,0 + 3 x 0,80 tem como resultado o
número 4,4.
Se quisermos que uma adição ou subtração seja efetuada antes
da multiplicação, temos que usar parênteses. Assim, (2,0 + 3) x 0,80 tem
como resultado, 4,0.
Essas regras convencionadas são usadas em todo o mundo há
bastante tempo. Com elas, sabemos qual operação fazer primeiro em
expressões matemáticas.
Cálculos com a calculadora defeituosa
•
A tecla
6
•
da calculadora está quebrada. Como posso obter o produto 6 x 8?
Esse produto pode ser obtido de várias maneiras. Por exemplo:
podemos somar oito consigo mesmo seis vezes.
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 48
Neste caso, precisamos de 12 apertos de tecla. Outra solução
consiste em multiplicar cinco por oito e, ao resultado, acrescentar oito.
5 x 8 + 8 = 48
Neste caso, fizemos 6 apertos de tecla. Por isso, a solução é mais
econômica que a anterior.
O produto 6 x 8 pode ainda ser obtido, sem usar a tecla 6, desta
outra maneira: multiplicamos quatro por oito e memorizamos o resultado
trinta e dois; depois multiplicamos dois por oito e, ao resultado
dezesseis, acrescentamos trinta e dois.
35
4 x 8 = 32
2 x 8 = 16 + 32 = 48
Esses diferentes procedimentos estão todos baseados no
conceito de multiplicação. O código 6 x 8 representa uma adição de 6
parcelas iguais a 8:
Esta adição pode ser "quebrada" em duas adições:
Isso pode ser feito de vários modos:
Assim, transformamos um produto numa soma de outros dois
produtos. Essa importante propriedade da multiplicação é denominada
propriedade distributiva.
A propriedade distributiva
Nesta e nas próximas páginas, você poderá apreciar a
importância dessa propriedade. Para começar, vejamos como ele é
usada no cálculo mental.
•
"Cada maçã custa 35 centavos. Quanto pagarei por seis maçãs?"
36
Neste cálculo mental, o produto 0,35 x 6 foi substituído pela soma
dos produtos 0,30 x 6 e 0,05 x 6:
0,35 x 6 = 0,30 x 6 + 0,05 x 6
O resultado é 2,10 reais.
Às vezes, o produto é "quebrado" numa soma com mais de duas
parcelas. Observe a situação seguinte:
•
"Cada dúzia de bananas custa 1,7 reais. Quanto pagarei por cinco
dúzias?"
Neste cálculo mental, o produto 5 x 1,7 foi desmembrado numa
soma de três parcelas:
5 x 1,7 = 2 x 1,7 + 2 x 1,7 + 1 x 1,7
O resultado é 8,5 cruzeiros.
A organização retangular dos objetos permite explorar aspectos
importantes da multiplicação. Veremos, por meio de um exemplo, que a
organização retangular também permite visualizar a propriedade
distributiva.
•
"Na túnica do porteiro, há uma série de botões enfileirados,
organizados em linhas e colunas.
Temos ao todo 6 x 5 = 30 botões
O porteiro colocou o cinto. E agora, quantos são os botões?"
É claro que o número de botões é o mesmo; mas, observando a
separação dos botões determinada pela posição do cinto, podemos
contá-los assim:
37
2 x 5 + 4 x 5 = 10 + 20 = 30
Então:
6x5=2x5+4x5
A propriedade distributiva também pode ser visualizada
geometricamente por meio do cálculo de áreas. O retângulo ABCD foi
dividido nos retângulos I e II.
Temos:
área do retângulo I = 4 x 2
área do retângulo II = 4 x 5
área do retângulo ABCD = 4 x (2 + 5) = 4 x 7
Como a área do retângulo ABCD é a soma das áreas dos retângulos I e
II, resulta que:
4 x (2 + 5) = 4 x 2 + 4 x 5
Para indicar que esta propriedade, é geral e não depende dos
números considerados, podemos usar letras para representar números
quaisquer.
m x (a + b) = m x a + m x b
A propriedade associativa
No início dessa parte da lição, imaginamos uma calculadora com
tecla [6] quebrada. Vimos, então, que, apesar do defeito, o produto 6 x 8
podia ser obtido de várias maneiras diferentes. Só que não esgotamos
todas essas maneiras. Veja uma outra:
3 x 2 x 8 = 48
Neste procedimento, o produto 6 x 8, que tem dois fatores, foi
substituído pelo produto 3 x 2 x 8, que possui três fatores. Para efetuar
um produto de três fatores, multiplicamos inicialmente dois fatores para,
depois, multiplicar o resultado obtido pelo terceiro fator. Assim, no
exemplo anterior, multiplicamos 3 por 2 e o produto obtido, que é 6, foi
multiplicado por 8. Este modo de fazer a conta é indicado assim:
(3 x 2) x 8 = 6 x 8 = 48
A multiplicação de 3 por 2 por 8 poderia ser feita de outra
maneira, começando por 2 x 8. Veja:
3 x (2 x 8) = 3 x 16 = 48
Observe que o resultado é o mesmo. Temos então:
38
(3 x 2) x 8 = 3 x (2 x 8)
Essa igualdade pode ser interpretada assim: no produto de três
fatores, 3 x 2 x 8, é indiferente associar os dois primeiros ou associar os
dois últimos fatores. Para indicar que esta propriedade é geral, isto é,
que não depende dos números considerados, podemos usar letras para
representar números quaisquer:
(a x b) x c = a x (b x c)
Esta propriedade da multiplicação, denominada propriedade
associativa, muitas vezes é usada no cálculo mental. Vejamos um
exemplo:
•
"Numa caixa há 80 lápis. Quantos lápis há em sete caixas?"
O procedimento da pessoa que fez esta conta "de cabeça" pode
ser interpretado assim:
7 x 80 = 7 x (8 x 10) = (7 x 8) x 10 = 56 x 10 = 560
Nesta passagem, ela usou a propriedade associativa.
A propriedade associativa também pode ser visualizada
geometricamente. Temos 4 cubinhos em fila.
Com 5 destas filas, compomos uma placa com 5 x 4 = 20
cubinhos.
Com 3 destas placas, formamos um bloco contendo 3 x (5 x 4) = 3
x 20 = 60 cubinhos.
Agora, vamos contar os cubinhos decompondo o bloco desta
outra maneira:
39
(3 x 5) x 4 = 15 x 4 = 60
Logo:
3 x (5 x 4) = (3 x 5) x 4
3 x 20 = 15 x 4 = 60
Além da técnica habitual do "vai um", existem outras técnicas para
somar.
A técnica do "vai um"
.1
0432
+785
1217
Técnica não habitual
0348
+596
08
013
00 14
00944
Também existe mais de uma técnica para subtrair.
Essas diferenças técnicas de cálculo são chamadas algoritmos.
Para compreender o algoritmo da multiplicação, vamos analisar
alguns exemplos.
Começaremos por um exemplo simples: 7 x 15.
O produto de 7 por 15 é o número de quadradinhos unitários
contidos no retângulo de lados 7 e 15.
Vamos decompor o retângulo em outros dois. Já vimos que isto
significa usar a propriedade distributiva:
40
7 x 15 = 7 x (10 + 5) = 7 x 10 + 7 x 5 = 70 + 35
Estes cálculos podem ser organizados de outra maneira:
Para "enxugar" o processo, costumamos fazer a adição de 35
com 70, mentalmente. Temos assim a forma habitual do algoritmo:
Para efetuar 4 x 23, usando o algoritmo habitual, fazemos
(mesmo sem perceber) duas multiplicações separadas e
somamos seus resultados. Quais são as multiplicações que
efetuamos?
Vejamos agora um exemplo um pouco mais complicado: 13 x 25.
Vamos
representar esse
produto com o
retângulo de lado
13 e 25,
decompondo-o
em outros dois
retângulos.
Para encontrar o
total de
quadradinhos (ou
a área) do
retângulo, um caminho natural é encontrar o total de cada parte e,
depois, somar esses resultados parciais.
Assim sendo, devemos efetuar 3 x 25 para a parte menor, 10 x 25
para a parte maior, e somar os resultados:
41
Esse processo pode ser "enxugado" ou resumido. Veja:
Observe novamente que o algoritmo está ligado à propriedade
distributiva: ao multiplicar por 13, multiplicamos por 3 e por 10, somando
depois os resultados. O algoritmo também está ligado ao nosso sistema
de numeração: quando multiplicamos 2 dezenas e 5 unidades (25) por
10, obtemos 2 centenas e 5 dezenas (250) e por isto, no "processo
enxuto", o 5 de 250 é escrito embaixo do 7 do 75.
O produto 13 x 25 pode ser obtido por meio do número de
quadradinhos contidos no retângulo de lado 13 e 25. Podemos, para
facilitar os cálculos, decompor este retângulo em outros 4, e utilizar a
propriedade distributiva.
Faça, em papel, a representação desta divisão do retângulo 13 x
25 em 4 retângulos menores, indicando qual o total de quadradinhos em
cada um dos retângulos.
Vejamos agora um terceiro exemplo:
Agora pense nestas questões:
1. Como foi obtido o 615?
2. Por que ficou um espaço vazio sob o 5 do 615?
3. O 246 escrito abaixo do 615 é duzentos e quarenta e seis?
Para respondê-las, é preciso que saibamos compreender o
algoritmo. Analisando-o passo a passo, chegamos às respostas:
1. Como 25 x 123 = (20 + 5) x 123, o 615 foi obtido multiplicando-se
5 por 123.
2. Ao multiplicar 20, isto é, 2 dezenas, por 123, obtemos 246
dezenas, ou seja, 2460 unidades. Isto significa que o espaço
vazio sob o 5 do 615 tem o valor do zero.
42
3. A terceira questão já está respondida: o 246 escrito abaixo de 615
não é duzentos e quarenta e seis, mas sim dois mil quatrocentos
e sessenta.
A compreensão do algoritmo
Muitas das pessoas que aprenderam o algoritmo habitual da
multiplicação, embora saibam executá-lo, não o compreendem. Desse
modo, a execução da conta é um ato mecânico, sem raciocínio
matemático. O colega deve estar percebendo que compreender uma
técnica de cálculo não é apenas saber executá-la. É mais que isso, é
entender seus porquês.
Surge aqui uma pergunta: como a criança chegará à
compreensão do algoritmo que acabamos de ver? Será necessário
explicar-lhe, por exemplo, a propriedade distributiva?
De acordo com a experiência de vários educadores, o caminho
não é esse; não são explicações mais detalhadas que levarão a criança
à compreensão. O ideal é fornecer a criança problemas e situações
variadas que estimulem o raciocínio. Por exemplo, trabalhar vários
aspectos da multiplicação (adição de parcelas iguais, organização
retangular etc.) e usar materiais que ajudem a compreender o sistema
decimal (ábacos, material Dourado-Montessori), etc.
Assim, por exemplo, a professora pode pedir a uma criança que
efetue 4 x 13 sem nunca antes ter lhe ensinado esse cálculo. Com o
material Dourado-Montessori, a criança obterá a solução:
Mais tarde, essa solução poderá ser codificada da maneira
habitual:
Uma outra atividade interessante, e que pode ajudar as crianças a
compreenderem o algoritmo da multiplicação, é pedir que a classe
descubra como efetuar 12 x 15, estimulando as crianças a discutirem a
resolução, entre elas. Algumas farão:
43
Outras farão:
12 x 15 = 10 x 15 + 2 x 15
Esse segundo processo, se for "enxugado", acaba no algoritmo
habitual. A professora poderá, gradualmente, "enxugá-lo", e assim, após
um certo tempo, chegar ao algoritmo usando idéias que tenham sido
sugeridas pelos próprios alunos.
Acreditamos que a criança terá maiores chances de compreender
o algoritmo quando ela puder participar da elaboração do mesmo, por
meio das idéias e sugestões que lhe pedimos. É verdade que não é
simples conseguir esta compreensão. Muitas vezes, ela exige um longo
tempo para que as idéias amadureçam, pouco a pouco. Por isso não
devemos apressar demais os passos. Por exemplo: no trabalho com a
multiplicação, antes do algoritmo "enxuto" é importante que os alunos
trabalhem com o algoritmo longo. O processo gradual de "enxugamento"
deve ser gradual.
Dividir subtraindo
No item anterior, procuramos compreender o algoritmo tradicional
da divisão. Há outras técnicas para dividir. Consideramos, por exemplo,
a divisão de 17 objetos entre 5 pessoas. Primeiro damos 1 objeto para
cada pessoa. Como foram distribuídos 5 objetos, restam 17 - 5 = 12
objetos para serem distribuídos:
Damos mais um objeto para cada pessoa.
A seguir, mais outro.
Como só restam 2 objetos, admitindo que não se deseja o
fracionamento, a divisão está encerrada.
44
É claro que, comparado com algoritmo tradicional, este tem a
desvantagem de ser mais demorado (contudo é possível "enxugá-lo").
Entretanto, este processo de subtrações sucessivas tem uma grande
vantagem: ele é compreendido pela criança com muito mais facilidade.
Vejamos outro exemplo: a divisão de 798 por 6. Neste caso, se
fôssemos distribuindo de 1 em 1, o trabalho seria penoso! Fazendo uma
estimativa, decidimos distribuir 100 para cada um dos 6:
Nova estimativa e decidimos distribuir mais 20 para cada uma:
Agora, mais 10 para cada um:
Finalmente:
Esta técnica é conhecida por algoritmo das subtrações sucessivas
ou algoritmo americano. Como já afirmamos, o aluno entende este
algoritmo muito mais facilmente que o algoritmo tradicional. Quanto ao
fato de ser mais demorado, isto é relativo. Com a prática, fazendo
estimativas e cálculos mentais, os alunos logo aprendem a "enxugá-lo".
Estas considerações não têm a finalidade de sugerir que se use um e
45
não o outro algoritmo. É interessante que a criança conheça (e
compreenda!) várias técnicas para dividir. Conhecendo vários processos
e as dificuldades envolvidas na compreensão de cada um, deveremos
decidir, em cada etapa da vida escolar do aluno, o que é mais adequado
ao desenvolvimento do seu pensamento.
2. Curiosidade Matemática - A Tabuada de Pitágoras
No meu tempo, quando estava a aprender multiplicação, era adotado
como material didático a velha tabuada composta de pelo menos nove páginas.
Uma para a tabuada do 1, outra para a do 2, e assim em diante. Cada página
com 10 linhas, onde cada linha tinha a indicação do produto e seu resultado (2
x 1 = 2, …, 2 x 10 = 20).
Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo (veja
há quanto tempo!), inventou a tabela abaixo, na qual é possível efetuar todas
as operações de multiplicação existentes na velha tabuada. E tudo em um
único lugar.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4
6
8 10 12 14 16 18 20
3 6
9 12 15 18 21 24 27 30
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
Para se calcular, por meio desta tabela, o produto de dois números, 5 x
9 por exemplo, basta localizar o multiplicando (5) na primeira linha e o
multiplicador (9) na primeira coluna. O resultado do produto está no encontro
da linha com a coluna.
Observe que alguns conceitos adicionais podem ser explorados a partir
daqui:
• O de uma composição tabular (matriz) - não estou dizendo que uma
criança vá entendê-lo em toda a sua plenitude;
• Mostrar que em uma multiplicação a ordem dos fatores não altera o
resultado, fazendo a operação 9 x 5 diretamente na tabela;
• Obter resultados de divisões exatas, claro dentro deste universo. Por
exemplo: 36:9.
A tabuada de Pitágoras, é óbvio, deve ser utilizada dentro dos mesmos
princípios didáticos e curriculares da tabuada tradicional, ou seja, após as
devidas explicações do que seja uma multiplicação e uma divisão. No entanto,
acredito que o uso da tabuada de Pitágoras tornaria, pelo menos, o
aprendizado mais divertido.
A composição da tabela é bem simples: na coluna um encontram-se “os
resultados da tabuada do 1″, na dois “os resultados da tabuada do 2″, e assim
por diante.
46
http://www.nghorta.com/2006/02/19/curiosidade-matematica-2-atabuada-de-pitagoras/
OS ALGORITMOS DEVEM SER ENSINADOS?
Revista Pátio, ano XI n° 41
Constance Kamii
Marta Rabioglio
Em muitas escolas, a matemática continua sendo hoje um “bicho-desete-cabeças”. Regras e técnicas operatórias, assim como um vocabulário
bastante específico, são apresentados muito cedo às crianças, ocupando o
lugar que poderia e deveria ser dedicado ao desenvolvimento do raciocínio.
Para somar ou subtrair números com dois ou mais algarismos, são
ensinadas às crianças as regras do “vai um” e “empresta um”. Sem entendêlas, as crianças cometem vários tipos de erro, demonstrando que seu esforço
mental concentra-se muito mais em tentar lembrar cada passo da técnica do
que em buscar uma solução coerente para o problema.
Rabioglio (1995) observou crianças de 2ª série (7 a 9 anos) de diferentes
escolas públicas e particulares, que tentavam resolver operações aritméticas
usando o algoritmo (o termo algoritmo refere-se aqui às técnicas operatórias
convencionais do “vai 1”, “ empresta 1” etc., enquanto os diferentes caminhos
de resolução inventados pelos alunos são denominados apenas
procedimentos), destacando os quatro tipos de erros que mais apareceram,
conforme mostra a Figura 1:
A
B
C
D
74
+59
123
74
+59
1213
74
+59
115
74
+59
169
Figura 1. Diferentes respostas para a mesma operação.
A resposta A é conhecida por professores dessa faixa escolar, que
classificam o erro do aluno como um mero esquecimento do “vai 1”. A resposta
B também não costuma causar espanto, na medida em que a criança somou
corretamente na vertical e “só” faltou articular uma coluna com a outra. Quando
perguntamos ao professor qual pode ter sido a hipótese da criança ao produzir
uma resposta do tipo C, as coisas começam a se complicar. Porém, se
deixarmos que ela mesma explique a regra que tentou seguir, encontraremos
uma outra interpretação daquilo que lhe fora ensinado. Ela começou pelas
dezenas, somando 7 e 5, que dá 12. A seguir, deixou o 1 correspondente à
coluna da dezena e subiu o 2, para somar com o 4 e o 9, dando 15, totalizando
115. Poderíamos dizer, então, que “só” faltou ela lembrar que é preciso
começar pelas unidades, à direita. A resposta D traz ainda uma nova
interpretação. Nela, a criança começa pelas unidades e diz: “Não dá pra fazer 9
+ 4, porque só cabe nove em cada casinha!”. Assim, ela desce o 9 (da casinha
das unidades) e sobe o 4, junto ao 7 e ao 5, que dá 16, portanto 169!
47
Se voltarmos a cada um dos erros apresentados, veremos que todos
refletem um esforço em compreender algo cuja lógica é desconhecida. Ou seja,
refletem uma tentativa de acerto. A criança A, na maioria dos casos, não
esqueceu o “vai 1”. Ela já sabe que ele não pode ser colocado embaixo das
unidades, mas ainda não sabe o que fazer com ele. A criança B desconsidera a
operação inicial, ao colocar uma “parede” entre as colunas numéricas, tratando
cada cálculo isoladamente. O raciocínio C é menos óbvio, porém muito
coerente: a criança começa pela coluna da esquerda, no caso a dezena. Afinal,
é por aí que começamos a escrever e ler os números. O caso D expressa uma
compreensão literal daquilo que a professora explicou com tanto cuidado: só
cabem nove unidades em cada casinha! A resposta certa, finalmente,
tranquiliza qualquer professora, mas merece também uma argumentação. E
quando a criança diz: “ Quatro mais nove dá 13, desce o 3 e sobe o 1, +7 + 5,
dá 133”. Vale a pena perguntar-lhe: “Sobe 1 o quê?”. E não admiraria a sua
cara de espanto, como quem diz: “O 1, ué!”.
Haveria ainda muitas considerações a serem feitas, contudo, o que
queremos marcar aqui é que a grande maioria das crianças que erra ao tentar
reproduzir os passos do algoritmo o faz porque raciocina e busca compreender
a mecânica da técnica. Além disso, quando têm permissão de “fazer a conta na
cabeça”, ou seja, de criar procedimentos próprios de resolução, elas acertam!
Tendo como premissa o construtivismo de Piaget, Kamii (1995, 2002,
2005) vem “ensinando” operações de adição e subtração de números com dois
ou mais algarismos sem apresentar nenhum algoritmo, e sim encorajando as
crianças a inventar seus próprios procedimentos de cálculo.
Uma descoberta significativa desses estudos foi que, quando as crianças
são incentivadas a usar próprio raciocínio em situações de adição e subtração,
como a descrita anteriormente, elas sempre operam da esquerda para a direita.
Ou seja, começam pelos números maiores, como as centenas ou dezenas, e
depois lidam com as unidades.
Kamii (2005) observou também que, além de as crianças que não
aprendem algoritmos acertarem muito mais quando erram, seus erros são
muito mais razoáveis do que os daquelas que seguem cegamente os
algoritmos, demonstrando um conhecimento mais sólido sobre valor posicional
(valor relativo que o algarismo ocupa, conforme sua posição dentro do
numeral). Temos duas razões para afirmar que os algoritmos são prejudiciais:
eles levam a criança a desistir do seu próprio raciocínio e “desensinam” o valor
posicional, impedindo, com isso, que desenvolvam a noção de ordem de
grandeza numérica.
Em primeiro lugar, como já afirmamos, quando as crianças inventam
seus próprios procedimentos de cálculo, elas começam da esquerda para a
direita, que é onde fica a parte mais significativa do número. Como não é
possível conciliar esse procedimento com o que o algoritmo exige, isto é, iniciar
esse procedimento com o que o algoritmo exige, isto é, iniciar pelas unidades
menores à direita, a criança tem de abrir mão de suas convicções, tornando-se
dependente de algo que não compreende.
Em segundo lugar, quando vemos uma criança usar o algoritmo para
resolver, por exemplo:
89
+34
48
Podemos ouvi-la dizer: “Nove mais quatro é treze. Desce três e leva o
um. Um mais oito é nove, mais três é doze...”, mas não podemos afirmar que
ela saiba o que está falando. O algoritmo é conveniente para os adultos, que já
sabem que o “um”, o “oito” e o “três” são, na verdade, 10, 80 e 30. Contudo,
para crianças das séries iniciais, que tendem a pensar que o “8” representa oito
unidades, e assim por diante, o algoritmo reforça esse tipo de erro. As
respostas erradas apresentadas por Kamii (2005), dadas por crianças que
receberam um ensino baseado nos algoritmos, mostram exatamente isso. A
criança “desaprende” sobre valor posicional e não pensa no número como um
todo, mas em cada unidade isoladamente. Por essa razão, muitas vezes
somam unidades com dezenas e centenas, sem se darem conta do absurdo
que estão fazendo.
Em contrapartida, as crianças que não são obrigadas a seguir passos
predeterminados, podendo desenvolver procedimentos próprios, começam
geralmente dizendo: “Oitenta com trinta dá cento e dez...”. Por isso, mesmo
quando dão respostas erradas, seus erros são muito mais plausíveis.
As crianças chegam à escola com um enorme potencial de raciocínio,
sendo curiosas e sedentas por conhecer, investigar e aprender com seus
professores e colegas. Conforme a escola vai impondo-lhes técnicas e
fórmulas matemáticas inquestionáveis, essa curiosidade investigativa cede
lugar àquilo que muitos professores chamam de “preguiça mental”. A pergunta
é: onde aprenderam a ter preguiça se não na própria sala de aula?
Cabe aos educadores desenvolver esse potencial. Embora pareça mais
organizado oferecer as crianças o passo a passo das técnicas operatórias, este
não tem nada a ver com o caminho que elas mesmas são capazes de criar. O
aluno só desenvolverá um pensamento autônomo e se sentirá seguro e
confiante na própria habilidade de resolver problemas se tiver permissão e
incentivo para construir o próprio processo de raciocínio.
Referências
KAMII, C.; LIVINGSTON,S.J. Desvendando a aritmética:implicações da teoria
de Piaget. Campinas: Papirus, 1995.
KAMII, C.; HOUSMAN, L. B. Crianças pequenas reinventam a aritmética:
implicações da teoria de Piaget. Porto Alegre: Artmed, 2002.
KAMII, C.; JOSEPH, L.L. Crianças pequenas continuam reinventando a
aritmética: implicações da teoria de Piaget. Porto Alegre: Artmed, 2005.
RABIOGLIO, M. Jogar: um jeito de aprender. Análise do pega-varetas e da
relação jogo-escola. São Paulo, 1995. Dissertação de Mestrado, Faculdade de
Educação da Universidade de São Paulo.
OS ALGORITMOS DEVEM SER ENSINADOS?
Revista Pátio, ano XI n° 41
Nilson José Machado
A decomposição de uma tarefa complexa em uma série de tarefas
simples, ordenadas seqüencialmente de modo a possibilitar a sua realização
49
passo a passo, por meio de ações diretas, que não comportam ambigüidades,
constitui a essência da idéia de algoritmo.
Os algoritmos estão presentes em praticamente todas as ações diárias
que realizamos, do laço no sapato ao nó na gravata, da preparação de um
simples café à realização de uma sofisticada receita culinária. No dia-a-dia,
utilizamos rotinas preestabelecidas para fazer funcionar nossos
eletrodomésticos, sobretudo o mais famoso e influente deles – o computador.
Na escola, recorremos aos algoritmos para efetuar operações aritméticas, bem
como para a realização de outras tarefas mais complexas, decomponíveis em
uma seqüência de passos simples, ou seja, “algoritmizáveis”.
Naturalmente, nem tudo o que fazemos, na vida ou na escola, é passível
de uma algoritmização. Não recorremos a algoritmos para namorar, para
pautar nosso senso estético, para projetar o nosso futuro. E a maior parte dos
problemas escolares não se submete a processos rotineiros de solução,
conduzindo a algoritmos que parecem muito distantes das almejadas soluções
criativas.
Aí precisamente se inicia uma controvérsia famosa, um mal-entendido
fundamental: os algoritmos realmente limitam as possibilidades de criação, ou
podem até mesmo ampliá-las? Seguir algoritmos libera a mente de tarefas
padronizáveis, ou tende a embotar a originalidade e a criação? Se uma criança
aprende um algoritmo para realizar determinada operação, ela perde a
oportunidade de construir o próprio caminho para realizá-la, ou enriquece o seu
repertório?
Quem decide aprender a tocar um instrumento musical descobre o
quanto é necessário repetir, copiar, obedecer a regras, no caminho para a
construção de uma competência técnica, que abre as possibilidades para a
criação. Na aprendizagem da escrita, na formação do autor, a prática da cópia
e a existência de modelos a serem imitados constituem, quase sempre,
andaimes fundamentais para o desenvolvimento pessoal, para a constituição
de uma autêntica autoria.
Os algoritmos são da ordem dos meios, são técnicas que não podem ser
desvinculadas dos significados das ações envolvidas e, muito freqüentemente,
podem situar-se no vestíbulo da plena consciência dos modos de produção que
possibilitam as ações criativas. O caminho mais comum na trajetória de um
artesão é o que conduz da imitação pura e simples à imaginação criadora.
Adentrando mais decididamente o terreno das envolventes tecnologias
informáticas, encontramos nos computadores argumentos decisivos para a
percepção de uma real complementaridade entre elementos rotineiros e
criativos nas ações humanas em todos os contextos. De fato, nenhum
instrumento utilizado pelo homem é mais dependente de processos
algorítmicos, em todas as etapas de sua construção e de seu funcionamento,
do que um computador.
No entanto, tal aparato tecnológico tem propiciado uma amplificação das
possibilidades de criação em praticamente todas as esferas da atividade
humana. Os softwares de simulação, objetos tipicamente algorítmicos,
constituem um recurso quase indispensável a todos os que projetam em sua
ação criadora. E a utilização cada vez mais intensa da rede mundial de
computadores constitui um atestado eloqüente de como procedimentos
meramente algorítmicos podem conduzir a uma abertura de possibilidades e a
50
um enriquecimento dos meios disponíveis para alimentar os processos criativos
de um modo absolutamente inimaginável há apenas um par de décadas.
Na construção de seus modos pessoais de raciocínio, a criança também
precisa continuamente obedecer a regras, imitar pessoas, seguir
procedimentos padronizados, ou seja, lidar com algoritmos – e isso não pode
ser considerado um obstáculo ao desenvolvimento de sua criatividade. Tal
associação somente pode decorrer de uma idealização do ato da criação,
associando-o a inspirações ou iluminações mágicas que dispensariam uma
laboriosa e, muitas vezes, insípida repetição/transpiração. Porém, a criação
nem sempre emerge de uma tal ausência de constrangimentos, em uma
situação de liberdade absoluta. O verdadeiro criador é sujeito de múltiplas
limitações, advindas da contingência dos materiais, das exigências das
técnicas, das restrições do tempo e do espaço. Nas palavras do poeta Octavio
Paz, “toda liberdade consiste na escolha da necessidade”.
No mesmo sentido também aponta o poeta Manoel de Barros, com sua
tira vibrante, contundente, original, densamente criativa, ao traduzir sua poética
em dois versos magistrais: “Repetir repetir – até ficar diferente./ Repetir é um
dom do estilo”. E, em matéria de criação, se o poeta falou, está falado.
Explorando a
Tábua de Pitágoras
Objetivos:
Duração aproximada:
Kátia Stocco Smole - Coordenadora do Mathema
Explorar regularidades nas multiplicações com fatores
até 10 vezes 10.
4 aulas
Para começar:
Distribua a cada aluno uma Tábua de Pitágoras sem
preenchimento. Você também deve ter uma cópia que
pode ser um cartaz para colocar na lousa, uma cópia em
transparência, ou para PowerPoint ou mesmo lousa
eletrônica.
Primeira aula:
Dê um tempo aos alunos para que observem suas
tábuas. Converse com eles sobre o que observam e
discuta como preencher a tábua com as multiplicações.
Em duplas, os alunos devem preencher a tábua com
todas as multiplicações que conhecem até 5x5. Dê um
tempo para eles fazerem sozinhos e se precisarem
podem consultar outras tábuas de multiplicação que
vocês já tenham construído.
Segunda aula:
Leia com eles o pequeno texto abaixo explicando quem
foi Pitágoras:
Pitágoras
51
Pitágoras foi um filósofo e matemático grego que fundou
uma sociedade mística secreta, que era chamada Escola
Pitagórica.
Os pitagóricos, como eram chamados os membros dessa
seita, pensavam que podiam explicar tudo que havia no
mundo por meio dos números.
Eles, os pitagóricos, eram tão fascinados pelos números
que chegaram a lhes atribuir qualidades muito curiosas.
Para ele, os números pares eram considerados femininos
e os ímpares, com exceção do 1, eram masculinos.
O número 1 era gerador de todos os outros. O 5 era
símbolo do casamento, pois é a soma do primeiro
número feminino, o 2, com o primeiro masculino, o 3.
Pitágoras fez descobertas importantes na área da
Geometria e inventou, entre outras coisas, uma tábua de
multiplicação que ficou conhecida como "Tábua de
Pitágoras".
Peça aos alunos que observem na tábua as colunas do 2
e do 4 e listem todas as semelhanças e diferenças que
encontrarem. Se desejar repita para as colunas do 2 e do
3.
Destaque observações tais como:
a) 2x3 = 3x2 (mas não fale em propriedade comutativa).
Peça para acharem outros produtos nos quais isso
acontece.
b) Na tabuada do 2 e do 4 só tem números pares.
c) Na tabuada do 3 um resultado é par e o outro ímpar.
d) Na tabuada do 4 os resultados são o dobro da tabuada
do 2.
Terceira aula:
Quarta aula:
Peça aos alunos que em duplas descubram, observem
agora a parte vazia do quadro e vejam quais outros
produtos poderiam ser completados a partir da primeira
metade já preenchida. Se for preciso, volte às
observações da aula anterior.
Se vocês não conseguirem preencher a tábua toda,
conte a eles um outro segredo das multiplicações, dando
52
um exemplo:
Peça que somem o produto de 1x3 com o produto de
3x3. Eles devem obter 12. Peça agora que encontrem na
tabuada do 3 outra multiplicação com o mesmo produto
(4x3) para então concluírem que 4x 3 = 1x3 + 3x3. Peça
que escolham outras multiplicações e experimentem
essa idéia.
Usem isso para completar na tábua os produtos que
faltam.
Para saber mais:
Descobrindo
números ocultos
Objetivos:
Como acabar com o drama da tabuada.
Por Tatiana Achcar
www.novaescola.com.br
Na página principal fazer busca por Tabuada
Kátia Stocco Smole Coordenadora do Mathema
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•
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Duração aproximada:
Para começar:
Na primeira aula:
Desenvolver habilidades de cálculo mental.
Fazer busca de regularidades envolvendo
multiplicações.
Expressar regularidades observadas.
De 2 a 3 aulas
Ao buscar regularidades (padrões) nas tabuadas, os
alunos precisam estudar cada uma delas
cuidadosamente, o que favorece a memorização das
mesmas.
Apresente a tabuada do 3 para a turma e lance o desafio:
"Essa tabuada esconde um segredo. Vamos descobrir?".
Para encontrar o segredo na tabuada do 3, os alunos
precisarão estudar a tabuada e investigar seus
resultados. Alguns segredos estão nas multiplicações de
1x3, 2x3 e 3x3, em que os números 3, 6 e 9, produtos de
1x3, 2x3 e 3x3, se repetem na soma dos algarismos dos
respectivos produtos. Veja:
4x3 = 12 (1+2 = 3)
5x3 = 15 (1+5 = 6)
6x3 = 18 (1+8 = 9)
Registrem o segredo descoberto.
Na segunda aula:
Apresente, então, a tabuada do 9, um segredo também
está na soma dos algarismos do resultado, que sempre
dá 9.
2 x 9 = 18 (1+8 = 9)
53
3 x 9 = 27 (2+7= 9).
Outro segredo: observando os primeiros algarismos dos
resultados de cima para baixo, percebe-se que vão de 0
a 9. Observando os últimos algarismo dos resultados,
agora de baixo para cima, observa-se que correm de 0 a
9.
Organize com os alunos um registro no caderno dos
segredos encontrados.
Na terceira aula:
Peça a cada grupo de 4 alunos que escolha uma tabuada
diferente para descobrir seus segredos. Eles devem
registrar suas observações e desafiar a classe para
descobri-los, ficando encarregados de socializar as
descobertas.
Para saber mais:
Coleção Matemática Divertida - Multiplicação.
Peter Patilla, Melhoramentos.
http://www.mathema.com.br/
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Nova escola - Índice da edição 161 - abr/2003
Brasília
Ricardo Falzetta, de
"Mestres-de-obras que mal assinam o nome sabem ler plantas e
utilizam bem o raciocínio proporcional"
Há mais de dez anos, a psicóloga Terezinha Nunes, chefe do
Departamento de Psicologia da Oxford Brookes University, estuda como nasce
nas pessoas o pensamento matemático. Em suas pesquisas, ouve gente de
todo tipo. Na Universidade Federal de Pernambuco, trabalhou com operários
que mal sabiam escrever, mas entendiam muito de escala. Mais tarde, em
Londres, continuou a investigação com crianças. Nos dois grupos, detectou
semelhanças. "São esquemas que independem da escolarização e precisam
ser considerados pelo professor." Terezinha esteve no Brasil em 2002 e
concedeu esta entrevista, em que destaca a proporcionalidade como conceito
central da Matemática e essencial para o ensino das operações.
Qual é a principal falha do ensino da Matemática hoje?
É a proporcionalidade, questão central que envolve tanto frações
como multiplicação, está presente em todas as ciências e faz parte do
dia-a-dia de qualquer pessoa, seja no trabalho, seja em casa. O conceito,
bastante simples na sua origem, nada mais é do que a relação entre duas
variáveis. Para compreendê-lo, fazemos uma relação com a
multiplicação, mas a escola não. Lá no início da escolarização, as
primeiras noções de proporção deveriam aparecer junto com os conceitos de
multiplicação. Mas muitos professores ensinam essa operação básica apenas
como uma "adição repetida" de parcelas. E não fazem relação com a noção de
proporção. A adição repetida de parcelas não mostra o sentido de proporção
que existe por trás dessa conta. Depois, só na 5ª série a proporção aparece,
num capítulo isolado.
Como é, na prática, a relação entre a proporção e a multiplicação?
Quando dizemos que uma manga custa 1,10 real, temos uma relação
entre duas variáveis, a quantidade de mangas e o preço. Se variar a
quantidade de mangas, o preço total varia proporcionalmente. Essa é a
relação. Fácil, não? No nível mais simples, essa é a origem do raciocínio
multiplicativo. Na prática, uma criança resolve problemas desse tipo a partir dos
6 anos de idade. Cabe à escola trabalhar com uma representação que ela
consiga compreender e na qual possa enxergar esse conceito de proporção.
O desenho é uma forma de representar esse raciocínio?
Sim. O professor pode desenhar casas, por exemplo, e dizer que em
cada uma moram três coelhos que vão se encontrar num restaurante. Depois
pede para a turma abastecer o restaurante com uma bola de comida para cada
coelho. A base do raciocínio multiplicativo é a correspondência de um para
muitos. No caso, para cada casa são necessárias três porções de comida.
Essa relação, que se mantém proporcional não importa qual for o número de
casas, é facilmente compreendida, mas precisa ser explicitada.
"O conceito de multiplicação vai muito além da soma de parcelas
iguais"
De que forma, então, se constrói o raciocínio proporcional?
55
Ele nasce quando se ensina a multiplicação, usando o raciocínio de
correspondência e se estimula na mente do aluno uma representação para a
relação entre duas variáveis. Dou um exemplo. Vai haver uma festa para 15
convidados. Cada um vai ganhar três balões. Quantos balões devem ser
comprados? Um problema de multiplicação como esse, resolvido da maneira
tradicional, exige do aluno apenas uma conta. Numa concepção mais moderna,
é construída uma tabela com uma variável de cada lado. Os estudantes
colocam o número de convidados numa coluna e o de balões na outra. Essa
prática torna mais fácil perceber a relação fixa entre as variáveis e, ao mesmo
tempo, é uma maneira de resolver o problema. Eles podem se enganar, mas
ao comparar com os colegas vão perceber que o raciocínio estava correto e
que o erro só ocorreu na conta.
E depois, com problemas mais complexos?
Na 5ª série, a novidade deve ser a relação entre muitas variáveis ao
mesmo tempo, não mais entre duas. O raciocínio proporcional, se já dominado
pelo aluno, se mantém. Nessa fase, sugiro problemas como: um fazendeiro
compra ração para vacas a cada x dias. Se comprar mais vacas e quiser
manter o prazo de compra, quanta ração será necessária? Deve haver a
compreensão de que, para determinar uma variável, é preciso controlar uma
das outras duas. É uma regra de três!
Por que se ensina que a multiplicação é a adição repetida?
As pessoas (professores inclusive) pensam assim. Receberam a
informação e passam para a frente, perpetuando uma idéia insuficiente. Para
multiplicar você pode, sim, somar parcelas iguais, mas o conceito vai muito
além. Como a escola brasileira tem se concentrado no ensino das contas, e
não no dos conceitos, isso é aceito.
O raciocínio proporcional se desenvolve independentemente da
educação formal?
No Recife, fizemos um estudo com mestres-de-obras, muitos sem
escolaridade, que mal assinavam o nome. Mas o raciocínio proporcional é tão
essencial nos afazeres deles, como preparação da massa e cálculo de área,
que todos o utilizavam corretamente. Analisei em detalhes um dos problemas
comuns: como pegar uma planta baixa e saber o tamanho real da parede.
Aqueles homens não tinham a menor dificuldade porque sabiam que a escala é
uma proporção exata entre o tamanho do desenho e o da parede.
Como eles faziam essa conta?
É fascinante. Eu perguntava: o arquiteto marcou aqui 10 metros, mas se
esqueceu de indicar o tamanho da outra parede. Como vamos fazer para
descobrir? E eles respondiam: "Aqui a senhora faz desse jeito, ó. Vê quanto no
papel corresponde a essa metragem. Dá 2,5 centímetros no papel e são 10
metros na realidade. Quanto vale cada centímetro? 10 é quatro vezes 2,5.
Então, cada meio centímetro vale 2 metros". Determinada a escala, eles
passavam a medida para a parede em que não havia a indicação da
metragem.
Outros profissionais também fizeram parte da pesquisa?
Sim. Em Pernambuco, os pescadores pegam no mar um peixinho
chamado rabo-de-fogo e o vendem logo que chegam à praia. Os
atravessadores deixam o peixe secar ao sol, salgam e vendem na feira de
Caruaru. Eu perguntava como faziam para determinar o preço. Eles
respondiam: "A senhora tem de saber quanto é que quebra o peixe". O que
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eles queriam dizer é que do peixe fresco para o salgado o peso diminui porque
há perda de água. Então, é necessário saber de quanto é a "quebra" para
vender. Tantos quilos de peixe fresco resultam em tantos quilos do salgado.
Isso é proporção.
Qual era a meta da pesquisa?
Compreender a intuição por trás do raciocínio, antes da educação
formal, porque as aulas devem ser construídas com base no que a pessoa já
sabe. Se alguém tem uma maneira de abordar certos problemas e recebe uma
orientação que não acompanha esse esquema, fica com duas formas de
pensar. Ou seja, tem grandes chances de se perder. Mas, se aprender com
base no raciocínio que já possui, enriquece o conhecimento, ganha
instrumentos para a vida. O aluno toma consciência do próprio pensamento e
começa a utilizá-lo de maneira mais apurada, mais generalizada.
"Não adianta passar um problema e ficar esperando que
todos resolvam"
Quantos esquemas diferentes existem numa mesma turma?
Poucos. Existem, na verdade, alguns esquemas básicos. Numa
comparação entre adultos no Brasil, no Chile ou em outro país qualquer,
percebe-se que eles são extremamente semelhantes. Crianças de 6 ou 7 anos,
que ainda não foram à escola, vão mostrar linhas parecidas de pensamento.
Todo professor identifica esses esquemas de pensamento?
Não. Para determinar como o aluno raciocina, é preciso ter acesso a
pesquisas que mostrem os esquemas possíveis. Com base na teoria, é hora de
identificar o raciocínio dos alunos e escolher as estratégias para trabalhar. Por
isso, ensinar é difícil. Não adianta passar um problema e deixar correr solto,
esperando que todos resolvam.
O aprendizado das operações é contínuo?
Sim. Nada justifica a prática de ensinar hoje uma operação e amanhã,
outra. É preciso criar oportunidades para os estudantes utilizarem o
conhecimento que estão formando. Por esse motivo, acredito que o ideal é
trabalhar adição e subtração ao mesmo tempo. Multiplicação e divisão também.
Estudos recentes mostram que dessa maneira o raciocínio da criança se
desenvolve mais, porque ela não sabe de antemão o que o professor espera
que ela faça.
Quer saber mais?
Crianças Fazendo Matemática, Terezinha Nunes e Peter Bryant, 244
págs., Ed. Artmed.
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