Exercícios de Aprofundamento – Fis – Ondas Harmônicas
1. (Unesp 2015) Em ambientes sem claridade, os morcegos utilizam a ecolocalização para
caçar insetos ou localizar obstáculos. Eles emitem ondas de ultrassom que, ao atingirem um
objeto, são refletidas de volta e permitem estimar as dimensões desse objeto e a que distância
se encontra. Um morcego pode detectar corpos muito pequenos, cujo tamanho seja próximo ao
do comprimento de onda do ultrassom emitido.
Suponha que um morcego, parado na entrada de uma caverna, emita ondas de ultrassom na
frequência de 60 kHz, que se propagam para o interior desse ambiente com velocidade de
340 m s. Estime o comprimento, em mm, do menor inseto que esse morcego pode detectar e,
em seguida, calcule o comprimento dessa caverna, em metros, sabendo que as ondas
refletidas na parede do fundo do salão da caverna são detectadas pelo morcego 0,2s depois
de sua emissão.
2. (Epcar (Afa) 2015) Uma onda estacionária é estabelecida em uma corda homogênea de
comprimento 2π m, presa pelas extremidades, A e B, conforme figura abaixo.
Considere que a corda esteja submetida a uma tensão de 10 N e que sua densidade linear de
massa seja igual a 0,1kg / m.
Nessas condições, a opção que apresenta um sistema massa-mola ideal, de constante elástica
k, em N / m e massa m, em kg, que oscila em movimento harmônico simples na vertical com
a mesma frequência da onda estacionária considerada é
a)
b)
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c)
d)
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:
Se precisar, utilize os valores das constantes aqui relacionadas.
Constante dos gases: R  8J (mol  K).
Pressão atmosférica ao nível do mar: P0  100 kPa.
Massa molecular do CO2  44 u.
Calor latente do gelo: 80cal g.
Calor específico do gelo: 0,5cal (g  K).
1cal  4  107 erg.
Aceleração da gravidade: g  10,0m s2 .
3. (Ita 2015)
Uma partícula eletricamente carregada move-se num meio de índice de refração n com uma
velocidade v  βc, em que β  1 e c é a velocidade da luz. A cada instante, a posição da
partícula se constitui no vértice de uma frente de onda cônica de luz por ela produzida que se
propaga numa direção α em relação à da trajetória da partícula, incidindo em um espelho
esférico de raio R, como mostra a figura. Após se refletirem no espelho, as ondas convergem
para um mesmo anel no plano focal do espelho em F. Calcule o ângulo α e a velocidade v da
partícula em função de c, r, R e n.
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4. (Ita 2015) Um fio de comprimento L e massa específica linear μ é mantido esticado por
uma força F em suas extremidades. Assinale a opção com a expressão do tempo que um
pulso demora para percorrê-lo.
2LF
a)
μ
F
b)
2 πLμ
c) L
μ
F
d)
L μ
π F
e)
L μ
2π F
5. (Ita 2014) Um sistema binário é formado por duas estrelas esféricas de respectivas massas
m e M, cujos centros distam d entre si, cada qual descrevendo um movimento circular em torno
do centro de massa desse sistema.
Com a estrela de massa m na posição mostrada na figura, devido ao efeito Doppler, um
observador T da Terra detecta uma raia do espectro do hidrogênio, emitida por essa estrela,
com uma frequência f ligeiramente diferente da sua frequência natural f0 . Considere a Terra
em repouso em relação ao centro de massa do sistema e que o movimento das estrelas ocorre
no mesmo plano de observação. Sendo as velocidades das estrelas muito menores que c,
assinale a alternativa que explicita o valor absoluto de  f  f0  / f0 . Se necessário, utilize
1  x n  1  nx
para x  1.
a)
GM2 / d M  m c 2 


b)
Gm2sen2α / d(M  m)c 2 


c)
Gm2 cos2 α / d M  m c 2 


d)
GM2sen2α / d M  m c 2 


e)
GM2 cos2 α / d M  m c 2 


6. (Unesp 2014) Duas ondas mecânicas transversais e idênticas, I e II, propagam-se em
sentidos opostos por uma corda elástica tracionada. A figura 1 representa as deformações que
a onda I, que se propaga para direita, provocaria em um trecho da corda nos instantes t = 0 e
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T
, em que T é o período de oscilação das duas ondas. A figura 2 representa as
4
deformações que a onda II, que se propaga para esquerda, provocaria no mesmo trecho da
corda, nos mesmos instantes relacionados na figura 1. Ao se cruzarem, essas ondas produzem
uma figura de interferência e, devido a esse fenômeno, estabelece-se uma onda estacionária
na corda. A figura 3 representa a configuração da corda resultante da interferência dessas
T
duas ondas, nos mesmos instantes t = 0 e t  .
4
t
A figura que melhor representa a configuração da corda nesse mesmo trecho devido à
3T
formação da onda estacionária, no instante
, está representada na alternativa
4
a)
b)
c)
d)
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e)
7. (Ita 2014) Uma amostra I de átomos de 57Fe, cujos núcleos excitados emitem fótons devido
a uma transição nuclear, está situada a uma altura d verticalmente acima de uma amostra II de
57
Fe que recebe a radiação emitida pela amostra I. Ao chegar a II, os fótons da amostra I
sofrem um aumento de frequência devido à redução de sua energia potencial gravitacional,
sendo, portanto, incapazes de excitar os núcleos de 57Fe dessa amostra. No entanto, essa
incapacidade pode ser anulada se a amostra I se afastar verticalmente da amostra II com uma
velocidade v adequada. Considerando v  c e que a energia potencial gravitacional do fóton
de energia ε pode ser obtida mediante sua “massa efetiva” ε / c 2 , assinale a opção que
explicita v. Se necessário, utilize 1  x   1  nx para x  1.
n
a) gd
b) gd / c
c) 2 gd
d) 2gd / c
e) gd gd / c 2
8. (Enem 2014) Ao sintonizarmos uma estação de rádio ou um canal de TV em um aparelho,
estamos alterando algumas características elétricas de seu circuito receptor. Das inúmeras
ondas eletromagnéticas que chegam simultaneamente ao receptor, somente aquelas que
oscilam com determinada frequência resultarão em máxima absorção de energia.
O fenômeno descrito é a
a) difração.
b) refração.
c) polarização.
d) interferência.
e) ressonância.
9. (Enem PPL 2014) Ao assistir a uma apresentação musical, um músico que estava na plateia
percebeu que conseguia ouvir quase perfeitamente o som da banda, perdendo um pouco de
nitidez nas notas mais agudas. Ele verificou que havia muitas pessoas bem mais altas à sua
frente, bloqueando a visão direta do palco e o acesso aos alto-falantes. Sabe-se que a
velocidade do som no ar é 340m s e que a região de frequências das notas emitidas é de,
aproximadamente, 20Hz a 4000Hz.
Qual fenômeno ondulatório é o principal responsável para que o músico percebesse essa
diferenciação do som?
a) Difração.
b) Reflexão.
c) Refração.
d) Atenuação.
e) Interferência.
10. (Enem PPL 2013) Em um violão afinado, quando se toca a corda Lá com seu comprimento
efetivo (harmônico fundamental), o som produzido tem frequência de 440 Hz.
Se a mesma corda do violão é comprimida na metade do seu comprimento, a frequência do
novo harmônico
a) se reduz à metade, porque o comprimento de onda dobrou.
b) dobra, porque o comprimento de onda foi reduzido à metade.
c) quadruplica, porque o comprimento de onda foi reduzido à metade.
d) quadruplica, porque o comprimento de onda foi reduzido à quarta parte.
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e) não se modifica, porque é uma característica independente do comprimento da corda que
vibra.
11. (Fuvest 2013) Uma flauta andina, ou flauta de pã, é constituída por uma série de tubos de
madeira, de comprimentos diferentes, atados uns aos outros por fios vegetais. As extremidades
inferiores dos tubos são fechadas. A frequência fundamental de ressonância em tubos desse
tipo corresponde ao comprimento de onda igual a 4 vezes o comprimento do tubo. Em uma
dessas flautas, os comprimentos dos tubos correspondentes, respectivamente, às notas Mi
(660 Hz) e Lá (220 Hz) são, aproximadamente,
(Note e adote: A velocidade do som no ar é igual a 330 m/s.)
a) 6,6 cm e 2,2 cm.
b) 22 cm e 5,4 cm.
c) 12 cm e 37 cm.
d) 50 cm e 1,5 m.
e) 50 cm e 16 cm.
12. (Enem PPL 2013) As moléculas de água são dipolos elétricos que podem se alinhar com o
campo elétrico, da mesma forma que uma bússola se alinha com um campo magnético.
Quando o campo elétrico oscila, as moléculas de água fazem o mesmo. No forno de microondas, a frequência de oscilação do campo elétrico é igual à frequência natural de rotação das
moléculas de água. Assim, a comida é cozida quando o movimento giratório das moléculas de
água transfere a energia térmica às moléculas circundantes.
HEWITT, P. Física conceitual. Porto Alegre: Bookman, 2002 (adaptado).
A propriedade das ondas que permite, nesse caso, um aumento da energia de rotação das
moléculas de água é a
a) reflexão.
b) refração.
c) ressonância.
d) superposição.
e) difração.
13. (Epcar (Afa) 2013) Ondas sonoras são produzidas por duas cordas A e B próximas,
vibrando em seus modos fundamentais, de tal forma que se percebe x batimentos sonoros por
segundo como resultado da superposição dessas ondas. As cordas possuem iguais
comprimentos e densidades lineares sempre constantes, mas são submetidas a diferentes
tensões.
Aumentando-se lentamente a tensão na corda A, chega-se a uma condição onde a frequência
de batimento é nula e ouve-se apenas uma única onda sonora de frequência f.
Nessas condições, a razão entre a maior e a menor tensão na corda A é
f
a)
fx
f
b)
f x
 f 
c) 

f x
2
 f 
d) 

f x
1
2
14. (Enem PPL 2013) Visando reduzir a poluição sonora de uma cidade, a Câmara de
Vereadores aprovou uma lei que impõe o limite máximo de 40 dB (decibéis) para o nível sonoro
permitido após as 22 horas.
Ao aprovar a referida lei, os vereadores estão limitando qual característica da onda?
a) A altura da onda sonora.
b) A amplitude da onda sonora.
c) A frequência da onda sonora.
d) A velocidade da onda sonora.
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e) O timbre da onda sonora.
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Exercícios de Aprofundamento – Fis – Ondas Harmônicas
Gabarito:
Resposta da questão 1:
Dados: v  340 m/s; f  60 kHz  60  103 Hz; Δt  2 s.
O comprimento do inseto (L) é próximo ao comprimento de onda ( λ ).
Lλ
v
340

f 60  103
 L  5,7  103 m 
L  5,7 mm.
O comprimento (d) da caverna é igual à metade da distância percorrida pela onda em 0,2 s.
d
v Δt 340  0,2


2
2
d  34 m.
Resposta da questão 2:
[D]
Para a onda estacionária usaremos duas equações relacionadas com a velocidade da onda:
v  λf e v 
T
μ
Igualando as duas equações:
T
λf 
μ
Sendo a frequência na corda relacionada com a tensão, o comprimento de onda e a densidade
linear de massa.
f
1 T
λ μ
Já para o sistema massa-mola, temos a expressão para a frequência:
f' 
1 k
2π m
Como as duas frequências devem ser iguais:
1 T
1 k

λ μ 2π m
Substituindo os valores fornecidos procuramos por uma alternativa que verifica a mesma
relação;
1 10
1 k

2π 0,1 2π m
k
 10
m
Sendo a alternativa [D] a única que verifica essa relação.
Resposta da questão 3:
A figura 1 mostra a partícula deslocando-se com velocidade v sobre o eixo principal do
espelho esférico de centro de curvatura C, foco principal F e vértice V. O traçado do raio de
onda baseia-se na propriedade de que todo raio que incide paralelo a um eixo secundário
passa pelo foco secundário, F', pertencente ao plano focal.
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No triângulo hachurado:
2r
r
2r
tg α 

 α  arctg
.
R
R
R
2
Com esse resultado, podemos montar o triângulo auxiliar da Figura 2 e aplicar o teorema de
Pitágoras:
a 2  R 2  4 r 2  a  R 2  4 r 2 .


R
R

.
cos α  a  cos α 
2
R  4 r2


Novamente na figura 1, relacionando as velocidades da partícula e da onda:
c
c
c
cos α 
 v


R
v
cos α
R2  4 r 2
v
c
R2  4 r 2
R
.
Resposta da questão 4:
[C]
Combinando a equação de Taylor com a equação do movimento uniforme:

F
v 
F L
L
μ

μ


 Δt 

Δt  L
.

μ Δt
F
F
L

v

μ
Δt

Resposta da questão 5:
[E]
Calculando a posição do centro de massa (CM), em relação à estrela observada, a da direita,
na figura.
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Exercícios de Aprofundamento – Fis – Ondas Harmônicas
r
m 0  M d
Mm
r 
Md
Mm
I
A força gravitacional age como resultante centrípeta:
FCent  FG 
m v2
G Mm

r
d2
 v2  r
GM
d2
II
Substituindo (I) em (II):
v2 
M d GM

M  m d2
 v
G M2
.
d M  m 
O efeito Doppler ocorre devido a velocidade radial (vr), componente da velocidade tangencial
na direção do observador, no caso, da Terra.
Da figura:
vr  v cos α  vr 
G M2
cos α.
d M  m 
Aplicando a expressão do efeito Doppler para o observador em repouso:
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f  f0 1
G M2

cos α 
f
c d M  m 
f  f0 vr


f
c
f  f0

f
G M2 cos2α
d M  m  c 2
.
Resposta da questão 6:
[D]
T
T
até t  3 decorre meio período, ocorrendo inversão de fase em cada uma
4
4
das ondas, como ilustra a figura, acarretando a onda estacionária mostrada.
Do instante t 
Resposta da questão 7:
[B]
Sendo f0 a frequência emitida, os dados são: m  ε c2  h f0 c 2 ; 1  x   1  nx para x  1.
n
Pela conservação da energia:
h f  h f0  m g d  h f  h f0 
h f0
c2
g d.
Para haver excitação, o aumento de frequência deve ser compensado pela diminuição na
frequência aparente devido ao efeito Doppler. Assim:
f
v

fap  f0  f  1    f0  f  0 .
v
 c
1
c
Então:
h f0
hf
 v
 h f0  0 g d   1  
2
v
 c
c
1
c
1
 1
gd
c2
.
Mas:
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Exercícios de Aprofundamento – Fis – Ondas Harmônicas
 v
1  c 


1
v
v

  1  (-1)   1  .
c
c


Substituindo:
1
gd
v
 1

c
c2
v
gd
.
c
Resposta da questão 8:
[E]
Para ocorrer máxima absorção de energia, o circuito receptor deve oscilar com a mesma
frequência das ondas emitidas pela fonte, a estação de rádio ou o canal de TV. Isso caracteriza
o fenômeno da ressonância.
Resposta da questão 9:
[A]
Calculando o comprimento de onda do som mais agudo:
v
340
λ 
 0,085 m  8,5 cm.
f 4.000
Como os corpos e as cabeças das pessoas à frente do músico têm dimensões maiores que o
comprimento de onda dos sons mais agudos, a difração é dificultada por esses obstáculos,
causando diferenciação na percepção desses sons.
Resposta da questão 10:
[B]
O comprimento de onda ( λ1) e a frequência (f1) do 1º harmônico de uma corda fixa nas duas
extremidades são:

v
 f1 
λ1

λ  2 L
 1
 f1 
v
.
2L
Como a velocidade é constante, não dependendo da ordem do harmônico, se o comprimento
da corda é reduzido à metade, o comprimento de onda também se reduz à metade, dobrando a
frequência do harmônico fundamental.
Resposta da questão 11:
[C]
Conciliando a informação do enunciado e a equação fundamental da ondulatória:

λ
λ  4 L  L  4 (I)
v
(II) em (I): L 
.

v
4
f
λ 
(II)
f

Aplicando a expressão para as duas frequências pedidas:
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Exercícios de Aprofundamento – Fis – Ondas Harmônicas
v
330
1

 LMi 

LMi 
4 fMi
4  660 8

L  12,5 cm.
 Mi
v
330
3

 LLá 

LLá 
4
f
4

220
8

Lá
L  37,5 cm.
 Lá
 LMi  0,125 m 
 LLá  0,375 m 
Resposta da questão 12:
[C]
Quando um sistema que tem frequência de vibração natural f é atingido por uma onda de
mesma frequência, o sistema absorve energia dessa onda, aumentando sua amplitude de
vibração. A esse fenômeno dá-se o nome de ressonância.
Resposta da questão 13:
[C]
Sejam fA, fB; FA e FB as frequências e as intensidades das forças tensoras nas cordas A e B,
respectivamente.
A relação entre frequência e força tensora é dada pela equação de Taylor. Para o harmônico
fundamental:
1 F
, sendo L o comprimento da corda e μ a sua densidade linear. Desenvolvendo:
f
2 L μ
f2 
1 F
4 L2 μ
 F  4 μ L2 f 2 .
Analisando essa expressão, concluímos que a corda mais tracionada é a que emite som de
maior frequência, no caso, a corda B.
A frequência dos batimentos (x) é igual à diferença entre as frequências das duas cordas. De
acordo com o enunciado, a frequência da corda B é f. Assim:
x  fB  fA  fA  fB  x  fA  f  x.
A razão entre as tensões é:
FB 4 μ L2 fB2
f2


FA 4 μ L2 fA2  f  x 2

2
FB  f 

.
FA  f  x 
Resposta da questão 14:
[B]
O nível de intensidade sonora está relacionado à amplitude de uma onda.
Comentário: De acordo com as normas do Sistema Internacional de Unidades, o plural das
unidades e feito apenas com acréscimo de s no final, ficando sem flexão, caso a palavra já
termine em s. Assim o termo correto é decibels, embora os dicionários brasileiros já aceitem o
termo decibéis.
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