O coincide com O
para t  t   0
Transformação
de
Galileu
x  x  vt

t  t
Transformações
de Galileu
e de Lorentz
y  y

z  z
 x    x  vt 
Hipótese  
 x    x  vt  
Feixe de luz emitido
no sentido positivo
dos eixos x e x


v
c
 ct     c  v  t
 
 ct    c  v  t 
x  ct
x  ct 
t
1
  1    
t
 1   



1
1  2
A transformação de Galileu corresponde a ter-se   1,
i.e., a fazer c   a que corresponde   0 :
 x  x  vt

 x  x  vt
t  t
 x   2  x  vt     vt
 x    x  vt 
 

2


x


x

vt
x




 x  vt    vt 



  vt    2  1 x   2 vt 

 
2
2


vt

1


x


vt



 2 1 1  2 1 1





v
c 
c  1   2  c
1
1  2

  v 
t


t  2 x 

c



 
 t    t  v x 


2

 c 


c

v
c2

v 


t


t

x

2


 c 

 t    t   v x 



c2 

 x    x  vt 

 x    x  vt  

 
 ct  
 x   
 
 1
 

    ct 
1   x 

 ct 
 x 
 
1


   ct  
1   x 
 ct  
 x   
 
 1
 

    ct 
 ct 
  



1  x 
x
   cosh  


   tanh  
cosh 2    sinh 2    1

1


   ct  
1   x 
   sinh  
 2 1   2   1


1
1  2
 ct    cosh    sinh     ct 
 ct   cosh   sinh     ct  
    
 
 x     sinh 
cosh

sinh

cosh

x
x








  
  
 
  x 
 ct 
 x 
 
1


   ct  
1   x 
r   ct   f0  x f1
 f    e0   e1 
  ct  e0  x e1
  0
   ct    x  e0    x   ct   e1
 f1    e1   e0 
   e0   e1   ct      e1   e0  x
 f0 
f  
 1
1


   e0 
 e0 
  



1   e1 
 e1 
 1
 

    f0 
1   f1 
e0  f0  1,
e1  f1  1, e0  e1  f0  f1  0
 f0 
f  
 1
1


   e0 
1   e1 
f0    e0   e1   f02   2  e02   2 e12 

e02  1
f02  1
1   2 1   2 


1   2 1   2 e12 
e12  1

f12  1
e02  f02  1, e12  f12  1, e0  e1  f0  f1  0
e0  f0   , e1  f1    , e0  f1    , e1  f 0    
 ct  e0  x e1
Acontecimento  r 

 ct   f0  x f1
r 2  c 2 t 2 e02  x 2 e12  c 2  t   f02   x  f12  invariante
2
e02  f02  1
e  f  1
2
1
2
1

2
c 2 t 2  x 2  c 2  t     x 
2
2
 invariante
 rA   ct A  e0  x A e1   ct A  f0  xA f1
Dois acontecimentos

AeB
 rB   ct B  e0  xB e1   ct B  f0  xB f1
r  rA  rB  c  t A  t B  e0   x A  xB  e1  c  t A  t B  f 0   xA  xB  f1
Intervalo
entre

acontecimentos
S AB 

r

c 2  t A  t B    x A  xB 
2
c  t A  t B    xA  xB 
2
2
2
2
 invariante
ct     ct   x 
ct   cosh    ct   sinh   x
  cosh  


x    x   c t 
x  cosh   x  sinh    c t 
   sinh  
ct   x  cosh    ct  x   sinh    ct  x 
ct   x  cosh    ct  x   sinh    ct  x 


ct   x  cosh    sinh     ct  x 
ct   x  cosh    sinh     ct  x 
cosh    sinh    e  
cosh    sinh    e



ct

x

e
 ct  x 
1
  tanh     rapidez 
ct   x  e  ct  x 
ct   x  e
 1
1
ct   x  e
 ct  x 
 ct  x 


ct   x  e
  1   2
2
ct   x  e
ct   x  e


ct   x  e   ct  x 
ct   x  e  ct  x 

 ct  x   e   ct  x 
 ct  x   e  ct  x 
  1  2
 1  2
ct   x  e
 ct   x 
 ct   x 
 2
tanh    tanh  1   2  
tanh 1   tanh  2 
1  tanh 1  tan  2 
1  tanh 1  


1  1
1  1  2
v1
c
Composição
v
v v

de
  2  tanh  2   2  v  1 2
v1 v2
c
1

velocidades
c2
v
  tanh   
c
 x    x  vt  

Transformação
 y  y
  z  z
de

Lorentz
 t    t   v x 
c2 


 x   t   u x  v 

 y  u y t 

 z  u z t 


 t   t  1  u x2v 
c 


 x  u x t 

Hipótese   y  u y t 

 z   u z t 
v2
1 2
t
c t

t 
 u x v  1  u x v
 1  2 
c2
c 



u x  v
t  ux t
 x
u x v

1 2
c


2
v

u y 1  2

c t u t 
 y
y
u x v

1 2
c


2
v

u z 1  2
 z
c t u t
z

u x v
1 2

c

Caso
particular
u x  v
ux 
u v
1  x2
c
v2
u y 1  2
c
uy 
u x v
1 2
c

Conclusão
 caso geral 
v2
u z 1  2
c
uz 
u v
1  x2
c
 u x  u 
 ux  u


  u y  0   u y  0 
 u  0
u 0
 z
 z
u
u  v
u v
1 2
c
u  u x e1  u y e 2  u z e3 , u  u x e1  u y e 2  u z e3 , v  vx e1  v y e 2  vz e3
u u 
u x2  u y2  u z2 , u   u 
u  u  v 
 ux    uy    uz  , v  v 
2
2
2


1 
1 


1

u

v
u

v



2

1
 

1  2  u  v    c 1  
c
1
 
vx2  v y2  vz2
1
 u 
1  
c
2
Nota
 A operação u  u  v não é nem comutativa nem associativa!
importante
 u v
 u  v  u  v 
 u  v  u   v  0

u
u  v
u v
1 2
c
 u v u
 u 

u  u  v 1  
c
2