Mecânica Quântica:
uma abordagem (quase) conceitual
Carlos Eduardo Aguiar
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física
Instituto de Física - UFRJ
I Escola Brasileira de Ensino de Física
UFABC, outubro de 2014
Sumário
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
Fenômenos quânticos
Princípios da mecânica quântica
Sistemas quânticos simples: aplicações
Emaranhamento
Realismo, contextualidade e não-localidade
Operadores, autovalores, autovetores
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
2
Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
3
Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
• Dificuldades conceituais
• Dificuldades matemáticas
• Literatura
• Material didático: simulações, vídeos
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4
Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
• Dificuldades conceituais
–
–
–
–
–
–
Superposição quântica
Probabilidade subjetiva x objetiva
Complementaridade
O problema da medida
Realismo vs. localidade
...
• Dificuldades matemáticas
–
–
–
–
–
–
Vetores
Números complexos
Espaços vetoriais complexos
Operadores, autovalores, autovetores
Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais
...
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5
Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
• Entre os alunos as dificuldades matemáticas ganham
proeminência pela necessidade de adquirir um domínio
operacional da teoria, essencial a aplicações.
• Como veremos, é possível expor a teoria quântica – sem
descaracterizá-la – reduzindo as ferramentas matemáticas a
vetores e um pouco de números complexos. Com isso,
torna-se viável dar mais atenção aos aspectos conceituais.
• Tal abordagem pode ser de interesse a alunos para os quais
o aspecto operacional não é o mais importante (licenciandos
em física, por exemplo).
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Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
•
•
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•
•
•
•
•
•
D. F. Styer, Common misconceptions regarding quantum mechanics, American Journal of Physics
64 , 31, 1996.
I. D. Johnston, K. Crawford, P. R. Fletcher, Student difficulties in learning quantum mechanics,
International Journal of Science Education 20 , 427, 1998.
S. Vokos, P. S. Shaffer, B. S. Ambrose, L. C. McDermott, Student understanding of the wave nature
of matter: Diffraction and interference of particles, American Journal of Physics 68, S42, 2000.
G. Ireson, The quantum understanding of pre-university physics students, Physics Education 35, 15,
2000.
G. Pospiech, Uncertainty and complementarity: the heart of quantum physics, Physics Education
35, 393, 2000.
I. M. Greca, M. A. Moreira, Uma revisão da literatura sobre estudos relativos ao ensino da
mecânica quântica introdutória, Investigações em Ensino de Ciências 6, 29, 2001.
I. M. Greca, M. A. Moreira, V.E. Herscovitz, Uma proposta para o ensino de mecânica quântica,
Revista Brasileira de Ensino de Física 33, 444, 2001.
C. Singh, Student understanding of quantum mechanics, American Journal of Physics 69, 885, 2001.
E. Cataloglu, R. W. Robinett, Testing the development of student conceptual and visualization
understanding in quantum mechanics through the undergraduate career, American Journal of
Physics 70, 238, 2002.
K. Mannila, I. T. Koponen, J. A. Niskanen, Building a picture of students’ conceptions of wave- and
particle-like properties of quantum entities, European Journal of Physics 23, 45, 2002.
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7
Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
•
•
•
•
•
•
•
•
•
R. Müller, H. Wiesner, Teaching quantum mechanics on an introductory level, American Journal of
Physics 70, 200, 2002.
M. Alonso, Emphasize applications in introductory quantum mechanics courses, American Journal
of Physics 70, 887, 2002; ver também a resposta de Müller e Wiesner na mesma página.
I. M. Greca, O. Freire Jr, Does an emphasis on the concept of quantum states enhance students’
understanding of quantum mechanics?, Science & Education 12 , 541, 2003.
F. Ostermann, T. F. Ricci, Construindo uma unidade didática conceitual sobre mecânica quântica:
um estudo na formação de professores de física, Ciência & Educação 10, 235, 2004.
D. T. Brookes, E. Etkina, Using conceptual metaphor and functional grammar to explore how
language used in physics affects student learning, Physical Review Special Topics - Physics
Education Research 3, 010105, 2007.
M. Fanaro, M. Arlego, M. R. Otero, “El método de caminos múltiples de Feynman como referencia
para introducir los conceptos fundamentales de la mecánica cuántica en la escuela secundaria,”
Caderno Brasileiro de Ensino de Física 24, 233, 2007.
S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Why we should teach the Bohr model and how to
teach it effectively, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 4, 10103, 2008.
C. Singh, Student understanding of quantum mechanics at the beginning of graduate instruction,
American Journal of Physics 76, 277, 2008.
C. Singh, Interactive learning tutorials on quantum mechanics, American Journal of Physics 76,
400, 2008.
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8
Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
•
•
•
•
•
•
•
•
•
L. D. Carr, S. B. McKagan, Graduate quantum mechanics reform, American Journal of Physics 77,
308, 2009.
M. Dubson, S. Goldhaber, S. Pollock, K. Perkins, Faculty Disagreement about the Teaching of
Quantum Mechanics, 2009 Physics Education Research Conference, AIP Conference
Proceedings 1179, 137, 2009.
C. Baily, N. D. Finkelstein, Development of quantum perspectives in modern physics, Physical
Review Special Topics - Physics Education Research 5, 10106, 2009.
C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching and understanding of quantum interpretations in modern
physics courses, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 10101, 2010.
S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Design and validation of the Quantum Mechanics
Conceptual Survey, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 020121, 2010.
L. Deslauriers, C. E. Wieman, Learning and retention of quantum concepts with different teaching
methods, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, 010101, 2011.
M. Ayene, J. Kriek, B. Damtie, Wave-particle duality and uncertainty principle: Phenomenographic
categories of description of tertiary physics students’ depictions, Physical Review Special Topics Physics Education Research 7, 020113, 2011.
G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum mechanics via the Stern–Gerlach
experiment, American Journal of Physics 79, 499, 2011.
G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. I. Investigation of
difficulties, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, 101117, 2012.
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9
Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
•
•
•
•
•
•
•
•
•
G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. II. Development of
research-based learning tools, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8,
101118, 2012.
O. Levrini, P. Fantini, Encountering productive forms of complexity in learning modern physics,
Science & Education 22,1895, 2013.
C. C. Sahelices, J. A. M. Villagrá, Principios de mecánica cuántica en la resolución de problemas de
estructuras atómicas en estudiantes de química, Experiências em Ensino Ciências 9, 1, 2013.
W. Dür, S. Heusler, What we can learn about quantum physics from a single qubit, arXiv:1312.1463,
2013.
A. Kohnle et al., A new introductory quantum mechanics curriculum, European Journal of Physics
35, 015001, 2014.
J. Castrillon, O. Freire Jr, B. Rodriguez, Mecánica cuántica fundamental, una propuesta didáctica,
Revista Brasileira de Ensino de Física 36, 1505, 2014.
C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching quantum interpretations: Revisiting the goals and practices of
introductory quantum physics courses, arXiv:1409.8503, 2014.
C. Baily, N. D. Finkelstein, Ontological Flexibility and the Learning of Quantum Mechanics,
arXiv:1409.8499, 2014.
A. Kohnle, C. Baily, S. Ruby, Investigating the influence of visualization on student understanding of
quantum superposition, arXiv:1410.0867, 2014.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
10
Livros
•
•
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•
•
•
•
•
•
•
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•
•
•
•
•
R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Lições de Física de Feynman, vol. III, Bookman, 2008.
R. P. Feynman, QED - A estranha teoria da luz e da matéria, Gradiva, 1988.
H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica, Blucher, 2002.
I. M. Greca, V. E. Herscovitz, Introdução à Mecânica Quântica, UFRGS, 2002
(http://www.if.ufrgs.br/public/tapf/n13_2002_greca_herscovitz.pdf)
O. Pessoa Jr, Conceitos de Física Quântica, Livraria da Física, 2003.
D. F. Styer, The Strange World of Quantum Mechanics, Cambridge UP, 2000.
J. Polkinghorne, Quantum Theory: A Very Short Introduction, Oxford UP, 2002.
V. Scarani, Quantum physics: a first encounter, Oxford UP, 2006.
B. Rosenblum , F. Kuttner , Quantum Enigma: Physics Encounters Consciousness, Oxford UP, 2006.
A. Rae, Quantum Physics: Illusion or Reality?, Cambridge UP, 2012.
M. Le Bellac, The Quantum World, World Scientific, 2013.
L. Susskind, A. Friedman, Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum, Basic Books, 2014
G. Greenstein, A. G. Zajonc, The Quantum Challenge: Modern Research on the Foundations of
Quantum Mechanics, Jones & Bartlett, 2005.
M. Le Bellac, Quantum Physics, Cambridge UP, 2006.
D. McIntyre, C. A. Manogue, J. Tate, Quantum Mechanics: A Paradigms Approach, Addison-Wesley,
2012.
M. Beck, Quantum Mechanics: Theory and Experiment, Oxford UP, 2012.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
11
Simulações
•
•
•
•
•
•
Interferômetro de Mach-Zehnder (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)
http://www.if.ufrgs.br/~fernanda/
Experiência de Stern-Gerlach (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)
http://www.if.ufrgs.br/~betz/quantum/SGtexto.htm
QuantumLab (Universität Erlangen-Nürnberg)
http://www.didaktik.physik.uni-erlangen.de/quantumlab/english/index.html
PhET (University of Colorado)
http://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/category/physics/quantumphenomena
SPINS (Oregon State University)
http://www.physics.orst.edu/~mcintyre/ph425/spins/index_SPINS_OSP.html
Quantum physics (École Polytechnique)
http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/index.html
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
12
Internet
•
Quantum Physics (IoP)
http://quantumphysics.iop.org/
•
Quantum Mechanics (Leonard Susskind)
http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-mechanics/2012/winter
•
Quantum Entanglement (Leonard Susskind)
http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-entanglement/2006/fall
•
Advanced Quantum Mechanics (Leonard Susskind)
http://theoreticalminimum.com/courses/advanced-quantum-mechanics/2013/fall
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13
Fenômenos Quânticos
Charles Addams, New Yorker, 1940
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14
Um experimento com a luz
detectores
de luz
D1
espelho
D2
feixe luminoso
pouco intenso
espelho
semiespelho (50-50%)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
15
Resultado do experimento
• Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo:
apenas um, ou D1 ou D2, é ativado a cada vez.
D1
D1
D2
D2
ou
50%
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
probabilidade
50%
16
Se a luz fosse uma onda
D1
D2
... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
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Se a luz é composta por partículas
D1
D1
D2
D2
ou
... ou D1 dispara, ou D2 dispara.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
18
Conclusão
• A luz é composta por partículas: os fótons.
• O detector que dispara aponta “qual caminho”
o fóton tomou.
D1
D2
caminho 2
caminho 1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
19
O experimento de Grangier, Roger & Aspect
• Experimento realizado pela primeira vez em 1986 por Philippe
Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect.
• A fonte luminosa de “pouco intensa” usada no experimento não é
fácil de construir.
ν1
átomo de
cálcio
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
τ = 4,7 ns
ν2
20
O experimento de Grangier, Roger & Aspect
w = 9 ns
P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a
beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
21
Resultado do experimento de Grangier et al.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
22
Sobre o ensino do conceito de fóton
• Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência
simples e direta da natureza corpuscular da luz.
• Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio)
que o efeito fotoelétrico.
• Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton
não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e
Compton.
– G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927)
– E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
23
Outro experimento com a luz
D1
D2
segundo
semiespelho
feixe luminoso
“fóton a fóton”
interferômetro de Mach-Zehnder
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
24
Preliminares: um feixe bloqueado
25%
50%
25%
2
1
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25
O outro feixe bloqueado
25%
25%
2
50%
1
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26
Resultado fácil de entender com partículas
25%
50%
25%
2
1
= caminho do fóton
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
27
De volta ao interferômetro
D1
D2
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28
Resultado do experimento:
100%
D1
0%
D2
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29
Difícil de entender se os fótons seguem caminhos
definidos
caminho 2
caminho 1
25%
25%
25%
25%
2
1
Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferença
se o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto vale
o resultado do experimento preliminar.
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30
Proposição*
Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2
consequência:
PDn  PD(1n)  PD( 2n )
probabilidade do
detector Dn disparar
apenas o caminho
1 aberto
apenas o caminho
2 aberto
* The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
31
Teste da Proposição
Experimentalmente:
P  25%
(1)
D1
( 2)
D1
P
 25%
PD1  100%
P  25%
(1)
D2
( 2)
D2
P
 25%
PD2  0%
PDn  PD(1n)  PD( 2n )
a proposição é falsa!
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
32
Repetindo:
A afirmativa
“o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2”
é falsa.
“… um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível,
de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o
coração da mecânica quântica.”
R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
33
Por onde vai o fóton?
2
1
1e2
nem 1 nem 2
ou 1 ou 2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
34
Por onde vai o fóton?
• Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa.
• Se os dois caminhos forem fechados, nenhum
fóton chega aos detectores. Logo, “nem 1 nem 2”
também não é aceitável.
• Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fóton
segue os dois caminhos ao mesmo tempo.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
35
Uma resposta melhor
• Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro,
pois a montagem experimental não permite distinguir os
caminhos 1 e 2.
• A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a um
aparato capaz de produzir uma resposta.
Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com
as palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron
(em um sistema de referência), ele deve especificar
experimentos determinados com os quais pretende medir tal
posição; do contrário essas palavras não terão significado.
- W. Heisenberg,
The physical content of quantum kinematics and mechanics
(o artigo de1927 sobre o princípio da incerteza)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
36
Fácil de entender num modelo ondulatório
interferência
construtiva
D1
D2
interferência
destrutiva
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
37
Comprimentos variáveis
PD1
PD2
L2
L1
L1, L2 = comprimentos ajustáveis
dos “braços” do interferômetro
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
38
Resultado experimental:
PD1
PD2
1
1
0
0
L1 – L 2
L1 – L2
(linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ PD(1) + PD(2))
• Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda.
• Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere com
ele mesmo”.
• Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), o
comprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
39
O experimento de Grangier, Roger & Aspect
P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a
beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
40
O experimento de Grangier, Roger & Aspect
L1 – L2 (λ/50)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
L1 – L2 (λ/50)
41
Interferência de nêutrons
interferômetro de nêutrons
S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
42
Interferência de átomos
interferômetro de átomos
A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometry
with atoms and molecules, Reviews of Modern Physics 81, 1051 (2009)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
43
Interferência de elétrons
A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up
of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
44
E se os caminhos forem distinguíveis?
interferência
desaparece !
diferença de “caminhos” (ajustável)
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
45
E se os caminhos forem distinguíveis?
• Massa = 0
• caminho
identificado
• não há padrão de
interferência
• Massa  ∞
• caminho não
identificado
• padrão de
interferência
N  Massa
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
47
E se a informação sobre o caminho for apagada?
impossível determinar
o caminho
interferência
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
48
Quando há interferência?
Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas,
indistinguíveis experimentalmente
interferência
(“1 e 2”)
Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas,
distinguíveis experimentalmente
(“ou 1 ou 2”)
não há interferência
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
49
Princípios da Mecânica Quântica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
50
Princípios da Mecânica Quântica
• Vetores de estado e o princípio da superposição
• A regra de Born
• Complementaridade e o princípio da incerteza
• Colapso do vetor de estado
• Evolução unitária
• Sistemas de N estados
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
51
Vetores de Estado
eo
Princípio da Superposição
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
52
Sistemas de dois estados
• esquerda / direita
• horizontal / vertical
• para cima / para baixo
• sim / não
• 0/1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
53
Sistemas de dois estados
fóton refletido
cara
coroa
fóton transmitido
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
54
Sistemas de dois estados
 a1
grandeza física observável: A  
a 2
a1
a1
A=?
a2
medidor de “A”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
a2
ou
a1
a2
55
Sistemas clássicos
• Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2.
• Representação dos estados: pontos no “eixo A”
sistema tem
A = a2
sistema tem
A = a1
a1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
a2
A
56
Sistemas quânticos: vetores de estado
• Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2.
• Representação dos estados: vetores ortogonais
(e de comprimento unitário) em um espaço de
duas dimensões
a2
sistema tem
A = a2
a1
sistema tem A = a1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
57
A notação de Dirac
vetor ↔ 
identificação
a1
exemplos:
a2
0
1




esquerda
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
direita
58
O que muda?
Passar de dois pontos em uma reta para dois
vetores perpendiculares não parece ser mais do
mudar o sistema de “etiquetagem” dos estados.
?
a1
a2
a2
A
a1
O que muda é o seguinte:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
59
O Princípio da Superposição
Qualquer combinação linear dos vetores |a1e |a2
representa um estado físico do sistema.
  c1 a1  c 2 a 2
a2

a1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
60
Significado de |
a2

a1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
•
•
•
•
•
A = a 1 e A = a2 ?
esquerda e direita?
horizontal e vertical?
sim e não?
0 e 1?
61
O espaço de estados é grande
• Um sistema quântico de dois estados tem muito
mais que dois estados, tem infinitos estados.
• Os estados |a1 e |a2 formam uma “base” do
espaço de estados.
a2
a1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
62
Princípio da Superposição: formulação geral
Se |e | são vetores de estado, qualquer combinação
linear deles representa um estado físico do sistema.
    



C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
63
Um ‘detalhe técnico’
• As constantes c1 e c2 podem ser números
complexos (o espaço de estados é um
espaço vetorial complexo).
• Deve-se ter cuidado com figuras como
esta:

c2
a2
a1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
c1
64
Outro ‘detalhe técnico’
• Qual o significado de “ortogonalidade”
num espaço vetorial complexo?
• Como se define “comprimento” de um
vetor nesse espaço?
a2
?
a1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
65
A Regra de Born
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66
A Regra de Born

c2
  c1 a1  c 2 a 2
a2
a1
c1
A probabilidade de uma medida da
grandeza física A resultar em A = an é
P(an ) 
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cn
c1  c 2
2
(n = 1, 2)
2
2
67
A Regra de Born
  c1 a1  c 2 a 2
a1
?
a1
P(a1) 
2
c1  c 2
2
2
a2
medidor de “A”
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a2
c1
a1
a2
P(a 2 ) 
c2
2
c1  c 2
2
2
68
Probabilidade total
P(a1)  P(a 2 ) 
c1
2
c1  c 2
2
2

c2
2
c1  c 2
2
2
1
Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2.
A probabilidade da medida resultar
ou em a1 ou em a2 é 1 (100%)
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69
Normalização do vetor de estado

c2
a2
Norma de |:
 
c1  c 2
2
2
(tamanho do vetor |)
a1
c1
Com essa definição:
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a1  a 2
1
70
Normalização do vetor de estado
 

  c1 a1  c 2 a 2
  c1 a1  c 2 a 2
  
P (an ) 
c n
2
c 1  c 2
2
2

cn
2
c1  c 2
2
2
 P (an )
|e | têm normas diferentes mas
representam o mesmo estado físico!
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71
Normalização do vetor de estado
Todos os vetores ao longo de uma
dada direção representam o mesmo
estado físico.
Podemos trabalhar apenas
com vetores “normalizados”:
 1
ou seja,   c1 a1  c 2 a 2 ,
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2
c1  c 2
2
1
72
Vetores normalizados: a Regra de Born
  c1 a1  c 2 a 2 (normalizado)
a1
?
a1
a2
P(a1)  c1
a1
a2
P(a 2 )  c 2
2
2
a2
medidor de “A”
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P(an )  c n
2
73
Amplitude de probabilidade
cn  amplitude de probabilidade
probabilidade = |amplitude de probabilidade|2
  c1 x 1  c 2 x 2
“função de onda” (xn )  cn
P( x n )  ( x n )
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2
74
Frequência dos resultados de medidas


a1
a2
a1
a2




a1
N medidas de A
(N )
N1  a1
N2  a2
  c1 a1  c 2 a 2
N1
2
 P(a1)  c1
N
a2
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podemos prever
a frequência dos
N2
2
resultados:
 P(a 2 )  c 2
N
75
Valor médio dos resultados


a1
a2
a1
a2
  c1 a1  c 2 a 2




valor médio de A:
N a  N2 a 2
A  1 1
N
A  c1 a1  c 2 a 2
2
a1
a2
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2
76
Incerteza
a2
  c1 a1  c 2 a 2

c2
c1, c2  0
a1
impossível prever o
resultado de uma medida
c1
  a1  c1  1, c 2  0
Se
ou
  a 2  c1  0, c 2  1
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possível prever o resultado
(probabilidade = 100%):
valor de A “bem definido”
77
Incerteza
  c1 a1  c 2 a 2
 A = incerteza de A no estado |
( A)  A  A
2

2
 A  A
2
2
  a1
A = 0
ou
  a2
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78
Complementaridade
eo
Princípio da Incerteza
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79
Complementaridade
a2
a1
a2
a1
duas grandezas
físicas: A e B
A
b2
b1
b2
b1
B
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80
Grandezas compatíveis e incompatíveis
b2
a2
A e B compatíveis
b1
a1
b2
A e B incompatíveis
a2
b1
a1
A e B complementares: incompatibilidade “máxima”
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81
O Princípio da Incerteza
A bem definido, B incerto
( A = 0,  B  0)
a2
b2
A e B incertos
( A  0,  B  0)

B bem definido, A incerto
( B = 0,  A  0)
b1
a1
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82
O Princípio da Incerteza
A e B incompatíveis 
nenhum estado | com  A = 0 e  B = 0
a2
b2

b1
a1
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83
Exemplo: posição e momentum
x2
x1
X
duas posições: |x1, |x2 (“aqui”, “ali”)
dois estados de movimento: |p1, |p2 (“repouso”, “movimento”)
x2
p2
p1
impossível ter um estado com
posição e momentum bem definidos
x1
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84
Resumo da “cinemática” quântica
estado físico
grandeza física
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vetor no espaço
de estados
sistema de eixos
(uma “base”) no
espaço de estados
85
Resumo da “cinemática” quântica
a2
projeção do vetor de
estado no eixo |an
probabilidade de uma
medida da grandeza
A resultar em A = a1
ou A = a2

a1
grandezas físicas
incompatíveis
(complementares)
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probabilidade da
medida resultar
em A = an
diferentes sistemas
de eixos no espaço
de estados
86
Como o vetor de estado muda com o tempo?
• “Colapso” durante uma medida
• Evolução unitária (equação de
Schroedinger)
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87
Colapso do Vetor de Estado
Colapso do vetor de estado

a1
a1
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antes da
medida
a2
a2
a2
depois da
medida
89
Colapso do vetor de estado
a2
resultado
A = a2

resultado
A = a1
a1
medida de A resulta em an  logo após a
medida o vetor de estado do sistema é |an
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90
Colapso do vetor de estado
• O colapso garante que a medida é repetível: se obtemos A = an e
imediatamente refazemos a medida, encontramos A = an novamente com
100% de probabilidade.
• O estado | an  é o único em que a nova medida resultará em A = an com
100% de probabilidade.
• |  |an: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do
estado quântico; versão moderna do “salto quântico”.
• O colapso aplica-se a medidas “ideais” (medidas de von Neuman, ou
projetivas). Na prática, muitas vezes não faz sentido falar em colapso. Por
exemplo:
– Um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção; não há mais
fóton após a primeira medida.
– Medidas de grandezas contínuas como posição e momentum não têm
resultados absolutamente precisos; os detectores necessariamente
possuem uma resolução finita.
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91
Medidas simultâneas de duas grandezas
b1
( A  0,  B  0)

a1
b2
a2
 ( A = 0,  B = 0)
(A, B)
Se A e B são incompatíveis (complementares), não
existe estado | com  A = 0 e  B = 0.
É impossível realizar um experimento no qual A e B são
medidos simultaneamente (de forma reprodutível).
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92
Evolução Unitária
A equação de Schroedinger
• Evolução temporal do vetor de estado:
|(0)  |(t)
• Dinâmica quântica: determinada pela
energia do sistema (o conceito de força
é pouco relevante).
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94
A (solução da) equação de Schroedinger
E2
Sistema de dois estados
Dois níveis de energia: E1, E2
E1
(t  0)  c1 E1  c 2 E2
(t)  c1e iE1 t /  E1  c 2e iE2 t /  E2
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95
A (solução da) equação de Schroedinger
• ћ = constante de Planck ( 2)  110-34 Js
• Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as
componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0,
para t  0 elas serão complexas:
cn (t)  cne iEn t / 
• A evolução |(0)  |(t) ditada pela equação de
Schroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) e
determinista (sem elementos probabilísticos).
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96
Propriedades da equação de Schroedinger
• Linearidade:
a (0)  a ( t)
b (0)  b ( t)
(0)   a (0)   b (0)
(t)   a (t)   b (t)
t=0
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t0
97
Propriedades da equação de Schroedinger
• Conserva a norma do vetor de estado:
( t )
(t)  (0)
(0)
tamanho não muda
• Conserva o ortogonalidade entre vetores:
( t )
 (0 )
( t )
dois vetores perpendiculares
continuam perpendiculares
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(0)
98
Demonstração da linearidade
a (0)  c1 E1  c 2 E2
b (0)  d1 E1  d2 E2
(0)   a (0)   b (0)
 (c1  d1) E1  (c 2  d2 ) E2
( t)  (c1  d1)e i E1 t /  E1  (c 2  d2 )e i E 2 t /  E2
 c1e i E1 t /  E1  c 2e i E 2 t /  E2   c1e i E1 t /  E1  c 2e i E 2 t /  E2

  a ( t)   b ( t)
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99
Demonstração da conservação da norma
(0)  c1 E1  c 2 E2
(t)  c1 e i E1 t /  E1  c 2 e i E2 t /  E2
( t )
2
 c1 e
i E1 t /  2
2
 c1  c 2
 (0)
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 c2 e
 i E2 t /  2
2
2
100
Demonstração da conservação da ortogonalidade
 (0 )
( t )
(0)
( t)
( t )
(0)
|(0) e |(0) ortogonais
(0)  (0)  (0)  2
(t)  (t)  (t)  2
|(t) e |(t) ortogonais
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101
Propriedades da equação de Schroedinger
•
•
•
•
•
Determinismo
Continuidade
Linearidade
Conservação da norma
Conservação da ortogonalidade
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“evolução
unitária”
102
Estados estacionários
• Estado de energia bem definida En:
(0)  En
(t)  e iEn t /  En
mesma “direção” que |En
• |(t) e |(0) representam o mesmo estado físico.
• Estados de energia bem definida são “estacionários”.
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103
Conservação da energia
(t)  c1e iE1 t /  E1  c 2e iE2 t /  E2
P(En, t)  cne
i En t /  2
 cn
2
P(En, t)  P(En, t  0)
E
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( t )
 E
( 0)
104
Eq. de Schroedinger x Processos de medida
• Equação de Schroedinger:
– contínua
– determinista
– válida enquanto não se faz uma medida
• Colapso do vetor de estado:
– descontínuo
– probabilístico
– ocorre durante a medida
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105
Eq. de Schroedinger x Processos de medida
Dois tipos de evolução temporal?
• Equação de Schroedinger:
– interação do sistema quântico com outros
sistemas quânticos.
– A = a1 e A = a2
• Colapso do vetor de estado:
– interação do sistema quântico com um aparato
clássico, o aparelho de medida (o “observador”).
– A = a1 ou A = a2
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106
O “problema da medida”
Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger?
Descrição quântica do aparelho de medida:
a2
a1
|
aparelho de medida:
a1  a1
a 2  a 2
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a1
a2
| 
a1
a2
| 
equação de Schroedinger:
c1 a1  c 2 a 2  c1 a1
 c 2 a2
o ponteiro aponta em duas
direções ao mesmo tempo !
107
O “problema da medida”
• Porque as superposições quânticas não são encontradas
no mundo macroscópico?
– Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em
duas direções ao mesmo tempo.
– Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto.
• Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados
com a observação de apenas alguns poucos estados
macroscópicos?
Uma descrição do processo de medida
baseada na equação de Schroedinger
deve dar respostas a essas questões.
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108
Física quântica x física clássica
• Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer
processo de interação entre objetos clássicos e quânticos…
L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics
• … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal,
não podem ser propriamente incluídos no domínio de
aplicação da mecânica quântica.
N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935
• …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo em
uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não
fosse governado pela mecânica quântica.
J. Bell, Against measurement
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109
Física quântica x física clássica
física
clássica
física
quântica
…a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teorias
físicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas ao
mesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação...
- L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics
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110
Os gatos de Schroedinger
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111
Sistemas de N Estados
Você está em
todo lugar
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112
Sistemas de 3 estados
Três valores possíveis
para a grandeza A:
a2
a1
a 1 a2 a 3
a3
  c1 a1  c 2 a2  c 3 a3
P(an )  | cn |2 , n  1, 2, 3
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113
Sistemas de N estados
a2
N valores possíveis
para a grandeza A:
a1
a3
... a
a1
a2
...
aN
N
(impossível desenhar
N eixos perpendiculares)
N
   c n an
n 1
P(an )  | c n |2 , n  1, 2,  N
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114
Sistemas de infinitos estados
• N pode ser infinito:

   c n an
n1
• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:
   da c(a) a
densidade de probabilidade: p(a)  | c(a) |
2
a 
probabilidade:
P(a, a)   da | c(a) |2
a
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115
Sistemas de infinitos estados
Exemplo: a = x = posição de uma partícula
   dx (x ) x
função de onda: (x)
densidade de probabilidade: p( x )  | ( x ) |
2
x2
probabilidade: P( x1, x 2 ) 
2
dx
|

(
x
)
|

x1
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116
Sistemas de infinitos estados
• A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos:
   c n an   da c(a) a
n
Exemplo: a = E = energia de uma partícula
   cn En   dE c(E) E
n
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117
Aplicações a sistemas simples
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118
Interferômetro de Mach-Zehnder
• Interferência de uma partícula
• Descrição quântica do interferômetro
• Interferência e indistinguibilidade
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119
O interferômetro de Mach-Zehnder
100%
interferência
construtiva
“ondas”
D1
0%
interferência
destrutiva
D2
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120
O interferômetro de Mach-Zehnder
25%
50%
25%
2
1
D1 e D2 nunca disparam em coincidência
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“partículas”
121
Descrição quântica do interferômetro
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
1
(caminho 1)
2
(caminho 2)
122
Espaço de estados
2
  c1 1  c 2 2
1
 P1  c1 2
probabilidades: 
2
P2  c 2
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123
Semiespelho
2
1
1
1
1
1 
1 
2
2
2
evolução
unitária
2
1
1
1
2 
1 
2
2
2
2
probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
124
Semiespelho
2
1
1
1 
2
2
2
1
sinal negativo: evolução
unitária conserva a
ortogonalidade
1
1
1 
2
2
2
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125
Interferômetro
D1
D2
2
1
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1
126
Interferômetro
Estado inicial: 1
1
1
1 
2
Primeiro semiespelho: 1 
2
2
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127
Interferômetro
Segundo semiespelho:
1
1
1  1
1
1
 1  1

1 
2 
1

2

1

2




2
2
2 2
2 
2 2
2 
ou seja, o estado final é
 1 1
 1 1
  1    2  1
 2 2
 2 2
interferência
construtiva
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interferência
destrutiva
P1 = 100%
P2 = 0%
128
O que interfere?
 1 1
 1 1

1



  2
 2 2
 2 2
(1-1-1)
(1-1-2)
(1-2-1)
(1-2-2)
1
2
2
1
1
1
2
1
soma das amplitudes de probabilidade associadas
a caminhos alternativos indistinguíveis
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129
Caminho bloqueado
D1
D2
2
1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
130
Caminho bloqueado
Estado inicial: 1
1
1
1 
2
Primeiro semiespelho: 1 
2
2
Bloqueio:
1
1
1
1
1 
2 
1 

2
2
2
2
fóton bloqueado
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131
Caminho bloqueado
Segundo semiespelho:
1
1
1  1
1
 1
1 
 
1 
2 


2
2
2 2
2 
2
ou seja, o estado final é
1
1
1
1  2 

2
2
2
P1 = 25%
P2 = 25%
P = 50%
não há caminhos alternativos, logo não há interferência
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132
Por que não há interferência?
1
1
1
1  2 

2
2
2
(1-1-1)
(1-2-)
(1-1-2)
1
2
1
1
1
1
2

1
não há caminhos alternativos para cada um dos
estados finais  não há interferência
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133
Caminhos alternativos distinguíveis
D1
D2
mola
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134
Caminhos alternativos distinguíveis
1R , 2 R , 1M , 2 M
Estado inicial:
1R
Primeiro semiespelho:
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• 1, 2: caminho do fóton
• R: espelho em repouso
• M: espelho em movimento
1R 
1
1
1R 
2M
2
2
135
Caminhos alternativos distinguíveis
Segundo semiespelho:
1
1
1  1
1
1R 
2M 
1R 
2R

2
2
2 2
2
1
 1  1

1M 
2M 


2 2
2


ou seja, o estado final é
1
1
1
1
1R  1M  2 R  2 M
2
2
2
2
P1 = P(1, R) + P(1, M) = 50%
P2 = P(2, R) + P(2, M) = 50%
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soma de probabilidades,
não de amplitudes
136
Apagando a informação sobre o caminho
D1 100%
D2 0%
mola
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137
Apagando a informação sobre o caminho
Segundo semiespelho:
1
1
1  1
1
1R 
2M 
1R 
2M

2
2
2 2
2
1
 1  1

1R 
2M 


2 2
2


ou seja, o estado final é
1R
a informação sobre o caminho foi apagada
e a interferência restabelecida
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138
O palito de fósforo quântico
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139
O palito de fósforo quântico
• fósforo “bom”
fóton
• fósforo “ruim”
fóton
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140
O palito de fósforo quântico
palitos bons e ruins misturados
Problema: como encher uma caixa de
fósforos apenas com palitos bons?
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141
Teste clássico
palito bom
queimado
palito ruim
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142
Teste quântico
D1
D2
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143
Palito ruim
D1 100%
transparente
D2 0%
palito ruim  D2 nunca dispara
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144
Palito bom
D1 25%
50%
D2 25%
palito bom  D2 dispara em 25% das vezes,
e o fósforo permanece intacto
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145
Teste quântico
• D2  fósforo bom intacto
• D1  fósforo bom intacto ou fósforo ruim
• Fósforo acende  fósforo bom queimado
Dos fósforos bons:
• 25% estão identificados e intactos
• 50% foram queimados
• 25% em dúvida
Retestando os casos duvidosos é possível
identificar 1/3 dos fósforos bons.
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146
Mais aplicações a sistemas simples
•
•
•
•
•
•
•
O problema de Deutsch
Molécula de H2+
Benzeno
Oscilação de neutrinos
Polarização do fóton
Spin ½
Informação quântica
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147
Emaranhamento
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148
Emaranhamento
|
|
sistema I
sistema II
|
|
subsistema I
subsistema II
sistema composto
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149
Emaranhamento
• Estados do sistema composto:
,    I 
II
,    I 
II
 sistema I no estado |, sistema II no estado |
 sistema I no estado |, sistema II no estado |
• Superposição  estado emaranhado:
1
1
,  
, 
2
2
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150
Emaranhamento
• Não é possível associar vetores de estado aos subsistemas
individuais.
• O emaranhamento pode ocorrer mesmo quando os
subsistemas estão separados por distâncias macroscópicas.
• Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos da
mecânica quântica.
“O melhor conhecimento possível de um todo não inclui o
melhor conhecimento possível de suas partes, nem mesmo
quando essas estão completamente separadas umas das
outras e no momento não influenciam umas às outras.”
- E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics
(o artigo de 1935 onde apareceu o gato de Schroedinger)
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151
Realismo, Contextualidade e Localidade
“Eu só gostaria de saber que diabos está acontecendo, é só! Eu gostaria de saber
que diabos está acontecendo! Você sabe que diabos está acontecendo?”
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152
Variáveis ocultas
Medidas:
• revelam um valor preexistente?
• criam o resultado encontrado?
A()
grandeza medida
no experimento
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variável “oculta” que
determina o valor de A
153
Experimentos com um sistema composto
AI = 1
AII = 1
I
II
BI = 1
incompatíveis
BII = 1
compatíveis
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154
Quatro experimentos com um sistema composto
Quatro experimentos possíveis:
1) Medida de AI e AII
AI = +1 e AII = +1  encontrado algumas vezes
2) Medida de AI e BII
AI = +1 e BII = +1  nunca encontrado
3) Medida de BI e AII
BI = +1 e AII = +1  nunca encontrado
4) Medida de BI e BII
BI = -1 e BII = -1  nunca encontrado
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155
Quatro experimentos com um sistema composto
1) P(AI, AII)
(em %)
grau de emaranhamento
2) P(AI, BII) = 0
3) P(BI, AII) = 0
4) P(BI, BII) = 0
A. G. White, D. F. V. James, P. H. Eberhard, P. G. Kwiat,
Nonmaximally Entangled States: Production, Characterization,
and Utilization, Physical Review Letters 83, 3013 (1999)
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156
Experimentos com um sistema composto
Se os valores de AI, AII, BI e BII já
existiam antes das medidas:
AI = +1
AII = +1
sempre
BI = -1
BII = -1
!!
Mas BI = BII = -1 nunca é encontrado (exp. 4)!
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157
Estados de Hardy
1
 BI ,BII   BI ,BII   BI ,BII 
 
3

estado emaranhado
P(BI, BII) = 0  experimento 4
L. Hardy, Quantum Mechanics, Local Realistic Theories, and LorentzInvariant Realistic Theories, Physical Review Letters 68, 2981 (1992).
L. Hardy, Nonlocality for two particles without inequalities for almost all
entangled states, Physical Review Letters 71, 1665 (1993)
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158
Estados de Hardy
Experimentos 1, 2 e 3:
A
1
 A  A 
B 
2
1
 A   A  
B 
2
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B
B
A
159
Estados de Hardy
Experimentos 1, 2 e 3:
1
2 BI , AII   BI , AII   BI , AII 
3)  
6

2)  
1
2 AI ,BII   AI ,BII   AI ,BII 
6

1)  
1
 AI , AII   AI , AII   AI , AII   3 AI , AII 
12
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160

Contextualidade
BI (, CII )
AI (, CII )
o que está sendo
medido em II (AII ou BII)
BII (, CI )
AII (, CI )
o que está sendo
medido em I (AI ou BI)
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161
Não-localidade
AI
AII
I
BI
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II
BII
162
O teorema de Bell
Qualquer teoria de variáveis ocultas
compatível com a mecânica quântica
é necessariamente não-local.
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163
Operadores, autovalores, autovetores
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164
Conexão com os operadores
• Produto escalar: |
• Projetores: ||
• Operador associado à grandeza A:
A  a1 a1 a1  a2 a2 a2
• Autovalores e autovetores de A:
  a1 ,   a1
A 
ou
  a2 ,   a2
É mais fácil encontrar (postular) o operador A
do que os “eixos” |an e valores an.
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165
Em seguida:
• Simetrias e grandezas conservadas
• Posição e momentum
• Partícula em 1 dimensão: aplicações
– Partícula livre
– Potenciais constantes por partes: estados ligados,
tunelamento, etc.
– Oscilador harmônico
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166
E se houver tempo:
•
•
•
•
•
Partículas idênticas
Partícula em 3 dimensões; momento angular
Soma sobre caminhos
Descoerência
Muitos-mundos, de Broglie-Bohm
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167
Concluindo
• É possível apresentar alguns dos princípios básicos
da mecânica quântica utilizando apenas matemática
acessível a professores (e alunos?) do ensino médio.
• Essa abordagem permite descrever apropriadamente
a mecânica quântica de sistemas simples.
• Aspectos pouco (ou nada) intuitivos da mecânica
quântica podem ser discutidos sem interferência de
dificuldades adicionais associadas à matemática.
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168
Funciona?
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169
Curtiu?
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170