Prática de Ensino em Matemática II
Aula 4
Curso de Licenciatura em Matemática
Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira
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Introdução
Observando a natureza o homem reconheceu certas formas que possuem características em comum.
Como você agruparia as imagens a seguir? Qual característica você utilizou para fazer seu agrupamento?
Lua
Montanha
Pérola
Furacão
Tronco de árvore
Pinheiro
Concha
É muito provável que a primeira manifestação matemática do homem primitivo
tenha sido na área da geometria, analisando as formas que o cercava
e utilizando marcadores para se situar no tempo e no espaço.
Limão
As formas e o espaço ao nosso redor
Vivemos num mundo tridimensional com diversas formas e espaço.
Apesar dos objetos que nos rodeiem não possuírem uma forma geométrica exata
(uma laranja não é uma esfera perfeita), a forma dos objetos nos auxilia a construirmos
uma ideia de forma geométrica “perfeita”. A Matemática, e em especial a Geometria,
se interessam por tais formas geométricas, as definem e estudam suas propriedades.
Todos os pontos da casca da
laranja parecem que estão a mesma
distância de um ponto central...
Uma forma geométrica em que
todos os pontos situam-se a
mesma distância de um
determinado ponto é a esfera.
A ideia de Sólido Geométrico
Qual é a primeira ideia que você tem
quando pensa em Sólido Geométrico?
Você considera sólido geométrico
apenas a superfície ou o interior também?
Quais sólidos geométricos vocês
reconhece com mais facilidade?
O quê é necessário para
definirmos um sólido geométrico?
Principais ideias associadas aos Sólidos Geométricos
É muito comum as pessoas confundirem figuras planas com figuras espaciais;
Dentre as figuras espaciais deve-se classificar os poliedros dos corpos redondos;
Deve-se lembrar que o ensino de geometria deve caminhar da Geometria Espacial para a Geometria Plana;
De acordo com determinado autor pode-se ou não considerar a região interna do poliedro;
Em todas as definições de poliedros há a necessidade das faces serem regiões poligonais (polígonos);
Geralmente as pessoas citam os elementos de um poliedro para explicá-lo (faces, vértices e arestas);
Contudo as definições devem ser bem claras e precisas para não suscitarem problemas de aprendizagem
Identificação entre Figuras Planas e Figuras Espaciais
Polígonos
Corpos Redondos
Prismas
Pirâmides
Poliedros diversos
O professor solicita que os alunos agrupem
diversos objetos de acordo com características comuns.
Poliedros, Corpos Redondos e Outros Sólidos
• Os poliedros são sólidos geométricos compostos apenas por faces planas.
• A etimologia da palavra poliedro refere-se a POLI: muitas e HEDROS: faces.
• Os corpos redondos apresentam, pelo menos, uma face curva e possuem a capacidade de rolar.
• Existem sólidos geométricos que possuem faces planas e curvas e não rolam.
Exemplos de outros poliedros
São poliedros A, C, D, F, G, I, N e O.
São corpos redondos B, E, H, J, L e M.
Definindo Faces, Arestas e Vértices
Os polígonos (região poligonal)
que formam o poliedro são
chamados de faces do poliedro.
A interseção de duas faces
determina uma
aresta do poliedro.
O ponto de encontro de, pelo
menos, três arestas determina o
vértice do poliedro.
Para que o aluno compreenda corretamente os principais elementos de um poliedro
é necessário que ele tenha à sua disposição variados tipos de representações do mesmo poliedro.
A relação de Euler-Descartes
Identifique os elementos dos poliedros a seguir e tente relacioná-los através de uma expressão matemática.
𝑉=8
𝑉=5
𝑉 = 10
𝑉 =?
𝐴 = 12
𝐴=8
𝐴 = 15
𝐴 = 30
𝐹=6
𝐹=5
𝐹=7
𝐹 = 20
𝑽−𝑨+𝑭=𝟐
𝑽−𝑨+𝑭=𝟐
𝑽−𝑨+𝑭=𝟐
𝑽−𝑨+𝑭=𝟐
8 − 12 + 6 = 2
5−8+5=2
10 − 15 + 7 = 2
? − 30 + 20 = 2
2=2
2=2
2=2
𝑉 = 12
Um pouco mais de história
Uma das relações mais importantes envolvendo os
poliedros é a chamada Relação de Euler-Descartes que
relaciona os principais elementos dos poliedros, tais como:
vértices, arestas e faces. Descartes foi o primeiro a tentar
generalizar a fórmula para os poliedros convexos, mas foi
somente em 1752 que Euler publica a famosa expressão:
Renè Descartes
(1596 a 1650)
Número de
Vértices
𝑽−𝑨+𝑭=𝟐
Número de
Arestas
Número de
Faces
Leonard Euler
(1707 a 1783)
Prismas (1)
Identifique as características comuns dos poliedros a seguir.
• Todos os poliedros possuem duas faces congruentes paralelas.
• As demais faces dos poliedros são quadriláteros.
Prismas (2)
Os prismas são poliedros que possuem duas faces congruentes paralelas. Tais faces são chamadas de bases.
As demais faces são chamadas de faces laterais.
Base
Face Lateral
Base
Prisma triangular
Prisma pentagonal
Prisma octogonal
Qual a principal diferença entre os prismas apresentados anteriormente?
De acordo com o formato de sua base o prisma recebe denominação específica.
Prismas (3)
Caso as arestas que formam as faces laterais do prisma sejam perpendiculares à base, o prisma é reto.
No caso contrário ele é chamado prisma oblíquo.
No prisma reto a altura coincide com as arestas laterais (no prisma oblíquo isto não ocorre).
Você consegue identificar outra diferença entre os prismas a seguir?
Nos prismas retos as faces laterais são retangulares,
enquanto que nos prismas oblíquos as faces são paralelogramos.
Retângulo
Prisma Reto
Prisma Oblíquo
Paralelogramo
Prismas (4)
Identifique as principais características dos prismas a seguir.
• Neste caso temos um prisma reto retangular.
• Neste caso também temos um paralelepípedo.
• Todas suas faces são retângulos.
• Suas arestas possuem a mesma medida.
• As faces são congruentes duas a duas.
• Logo todas suas faces são quadrados.
• Este prisma é conhecido por paralelepípedo.
• Todas as faces são congruentes entre si.
• Este prisma é conhecido por cubo ou hexaedro.
Prismas (5)
Identifique os elementos dos prismas a seguir e tente relacioná-los com os elementos das bases.
F = 5, V = 6, A = 9
F = 6, V = 8, A = 12
F = 7, V = 10, A = 15
F = 8, V = 12, A = 18
• O número de faces do prisma é 2 unidades maior do que o número de lados da base;
• O número de vértices do prisma é o dobro do número de vértices da base;
• O número de arestas do prisma é o triplo do número de lados da base.
Pirâmides (1)
Quais principais diferenças entre os poliedros a seguir?
• Os poliedros da primeira fileira possuem apenas uma base.
• Enquanto os poliedros da segunda fileira possuem duas bases (são prismas).
Pirâmides (2)
As pirâmides são sólidos geométricos que possuem apenas uma base.
As demais faces da pirâmide (faces laterais) são sempre triangulares.
Face Lateral
Base
Pirâmide quadrangular
Pirâmide pentagonal
Pirâmide hexagonal
Qual a principal diferença entre as pirâmides acima?
Da mesma forma que os prismas, dependendo do formato de sua base
as pirâmides também recebem denominação específica.
Pirâmides (3)
Caso as arestas que formam as faces laterais da pirâmide sejam congruentes, esta será considerada reta.
No caso contrário, a pirâmide será oblíqua.
Caso a pirâmide seja reta, com base triangular e com todas suas arestas congruentes,
chamamos de tetraedro.
Pirâmide Reta
Pirâmide Oblíqua
Tetraedro
Pirâmides (4)
Identifique os elementos das pirâmides a seguir e tente relacioná-los com os elementos das bases.
F = 4, V = 4, A = 6
F = 5, V = 5, A = 8
F = 6, V = 6, A = 10
F = 7, V = 7, A = 12
• O número de faces e vértices de uma pirâmide sempre coincidem.
• Tanto o número de faces, quanto o número de vértices de uma pirâmide é uma unidade maior do que o
número de vértices da base.
• O número de arestas da pirâmide é o dobro do número das arestas da base da pirâmide.
Corpos Redondos (1)
O que ocorre se rotacionarmos os polígonos a seguir em torno de um eixo fixo?
Retângulo
Triângulo retângulo
Semicírculo
Corpos Redondos (2)
Podemos obter os corpos redondos a partir da rotação de um polígono ao redor de um eixo de rotação.
Retângulo
Cilindro
Semicírculo
Cone
Triângulo retângulo
Esfera
Corpos Redondos (3)
Qual a principal diferença entre os corpos redondos a seguir?
O cilindro é o corpo redondo que possui duas bases,
enquanto que o cone possui apenas uma única base.
É recomendável que o aluno faça uma analogia entre os poliedros vistos anteriormente,
identificando as semelhanças e diferenças entre os prismas e o cilindro,
e as pirâmides e o cone.
Corpos Redondos (4)
Qual a principal característica da esfera?
raio
A esfera é o corpo redondo onde cada ponto de sua superfície está equidistante do ponto central.
Novamente é importante realizar uma analogia com a principal característica da circunferência.
Em ambos casos a distância entre o ponto central e um ponto da esfera (ou da circunferência)
é chamado de raio.
Outros poliedros (1)
Quais são as principais características dos poliedros a seguir?
• As faces de cada poliedro possuem o mesmo formato.
• Cada um dos poliedros acima é formado por faces congruentes.
• Em cada vértice sempre concorrem o mesmo número de arestas.
• O ângulo de abertura (ângulo poliédrico) é sempre o mesmo.
Os poliedros que apresentam tais características são chamados Poliedros de Platão.
Outros poliedros (2)
Octaedro
(Ar)
Hexaedro
(Terra)
Tetraedro
(Fogo)
Dodecaedro
(Universo)
Icosaedro
(Água)
A primeira reminiscência que temos sobre os sólidos geométricos deve-se a Platão
(427 a.C. – 347 a.C.), em sua obra Timaeus, onde o mesmo relaciona os cinco poliedros
(que atualmente conhecemos por poliedros platônicos) aos elementos naturais de Empédocles.