ENSAIOS com
PARCELAS
DIVIDIDAS
Lima, PC
Lima, RR
Considere a seguinte pesquisa:
Um experimento foi montado para comparar a produtividade de 4 cultivares (A, B, C e D)
de uma cultura. Veja o croqui do experimento instalado em DBC:
Bloco I
D
A
B
C
Bloco II
Bloco III
Bloco IV
A
D
C
C
B
B
D
A
A
B
C
D
Aproximando-se a época da colheita, aproveitando que o tamanho da parcela era
suficiente, o pesquisador resolveu avaliar 3 diferentes épocas de colheita. Como o
ensaio já estava montado, a alternativa foi fazer o sorteio das épocas de colheita
dentro de cada parcela e em cada bloco, como abaixo:
Bloco I
D-2
D-3
D-1
A-1
A-3
A-2
B-3
B-1
B-2
C-2
C-1
C-3
Bloco II
A-3
A-2
A-1
C-2
C-3
C-1
D-1
D-2
D-3
B-2
B-1
B-3
Bloco III
D-1
D-3
D-2
B-1
B-2
B-3
A-2
A-1
A-3
C-2
C-3
C-1
Bloco IV
C-2
C-3
C-1
B-2
B-1
B-3
A-1
A-2
A-3
D-3
D-2
D-1
Como analisar os dados deste experimento? Como um ensaio fatorial?
Como analisar os dados deste experimento?
Bloco I
D-2
D-3
D-1
A-1
A-3
A-2
B-3
B-1
B-2
C-2
C-1
C3
Bloco II
A-3
A-2
A-1
C-2
C-3
C-1
D-1
D-2
D-3
B-2
B-1
B-3
Bloco III
D-1
D-3
D-2
B-1
B-2
B-3
A-2
A-1
A-3
C-2
C-3
C-1
Bloco IV
C-2
C-3
C-1
B-2
B-1
B-3
A-1
A-2
A-3
D-3
D-2
D-1
Observe que embora tenhamos os mesmos tratamentos de um fatorial com 4 cultivares
e 3 épocas de colheita, o sorteio dos tratamentos não seguiu o modelo de aleatorização
para um ensaio fatorial em DBC – as três épocas de colheita para uma mesma cultivar
estão sempre agrupadas. Então, os dados desse experimento não podem ser analisados
como em um ensaio fatorial.
Exemplo de um bloco no esquema fatorial:
Bloco I
A-3 B-2
D-1 C-2
D-3 D-2 B-3
C-3
A-2 B-1
A-1 C-1
A aleatorização segundo o modelo de parcelas divididas seria feita
seguindo os passos:
Outro Exemplo:
Irrigação com 3 diferentes
lâminas de água (20, 40 e
60%) e 4 cultivares de arroz
(A, B, C e D). O tamanho da
2 – sorteio das categorias do fator A nas parcelas, em cada bloco;
parcela é de 3x3 metros.
1 – escolha de um fator para ser o primeiro a ser sorteado (fator A) e
divisão de cada bloco em tantas parcelas quantas sejam as categorias do
fator A;
3 – divisão de cada parcela em tantas sub-parcelas quantas sejam
as categorias do outro fator ;
4 – sorteio das categorias do fator B nas sub-parcelas, em cada
parcela, em cada bloco.
Exemplo de um bloco no esquema de parcelas divididas:
Bloco I
3 (60%)
1 (20%)
2 (40%)
3-C 3-A
3-D 3-B 1-D 1-A
1-B 1-C 2-B 2-C
2-D 2-A
Observe que no esquema
fatorial,
a instalação
é difícil
No esquema
de parcelas
(talvez
atéa inviável).
divididas,
lâmina de água
Possivelmente,
a cada123
será mudada a cada
metros
metros, teríamos
facilitandoque
a mudar
ainstalação
lâmina dedoágua.
experimento.
Características:
Geralmente são utilizados como opção a um ensaio fatorial
com o objetivo de facilitar a instalação do experimento.
- quando um dos fatores requer um tamanho de amostra (quantidade
de material experimental) maior que outro;
- quando for de interesse um maior grau de precisão para a
comparação das categorias de um dos fatores;
- para a incorporação de outro fator em experimentos em andamento;
- para facilitar a instalação de experimentos, em geral.
Aleatorização:
A estrutura dos fatores não é alterada, apenas a aleatorização
das parcelas na área experimental é diferente em relação a um
ensaio fatorial correspondente.
- primeiramente são sorteados as categorias do fator A nas
parcelas , em cada repetição;
- em seguida, as categorias do fator B são sorteadas nas subparcelas, em cada parcela.
Ensaios com
Parcelas Divididas
CASOS MAIS COMUNS
Parcelas Sub-divididas
Parcelas Sub-divididas no
Tempo
Ensaios em Faixa
Parcelas Sub-Subdivididas
Parcelas Sub-divididas com
fatorial nas parcelas
Parcelas Sub-divididas com
fatorial nas sub-parcelas
Modelo Estatístico para Parcelas Sub-divididas
Parcelas Sub-divididas
O fator A tem I categorias e o
fator B tem J categorias;
DIC
DBC
As categorias do Fator A são
sorteadas primeiro formando I
parcelas em cada uma das K
repetições;
DQL
: representa o efeito da categoria i do fator A;
: representa o efeito da categoria j do fator B;
: representa o efeito da interação entre os fatores A e B;
ou
ou
As categorias do fator B são
sorteadas dentro de cada parcela
formando J sub-parcelas em cada
parcela:
: representa o resíduo das parcelas;
: representa o resíduo das sub-parcelas;
No de parcelas = IxK
No de sub-parcelas = IxKxJ
TABELAS DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA
FV
DIC
Fator A
Resíduo a
Sub-Total
Fator B
AxB
Resíduo b
Total
FV
DBC
Fator A
Repetições
Resíduo a
Sub-Total
Fator B
AxB
Resíduo b
Total
FV
DQL
Fator A
Linhas
Colunas
Resíduo a
Sub-Total
Fator B
AxB
Resíduo b
Total
GL
I-1
K(I - 1)
IK – 1
J–1
(I - 1)(J - 1)
I(J - 1)(K - 1)
IJK - 1
GL
I-1
K–1
(I - 1)(K - 1)
IK – 1
J–1
(I - 1)(J - 1)
I(J - 1)(K - 1)
IJK - 1
GL
I-1
I-1
I-1
(I - 1)(I - 2)
I2 - 1
J-1
(I - 1)(J - 1)
I(I – 1)(J – 1)
I 2J - 1
Parcelas Sub-divididas
SQ
Observe que:
SQSub-Total
SQ
SQSub-Total
SQ
SQSub-Total
- A tabela da análise da variância
é dividida em duas partes;
- O controle local afeta apenas
a parte superior da tabela da
análise de variância;
- Os testes para a parte
superior da tabela são feitos
com o Resíduo a da parte
inferior com o Resíduo b;
- No DQL, o no de repetições
é igual ao no de categorias do
fator A, isto é: K = I.
Veja nos exemplos o cálculo
prático de SQSub-total.
EXEMPLO 1
Um experimento foi montado para comparar a produtividade de 4 cultivares (A, B, C e D)
de uma cultura em 3 diferentes épocas de colheita. Foi utilizado o esquema de parcelas
sub-divididas com as cultivares nas parcelas. Os dados de produção em toneladas por
hectare são apresentadas na tabela seguinte:
Bloco I
Bloco II
Bloco III
Bloco IV
D-2
2,23
A-3
2,01
D-1
1,99
C-2
1,91
D-3
2,27
A-2
1,88
D-3
2,01
C-3
1,54
D-1
1,56
A-1
1,95
D-2
1,82
C-1
1,56
A-1
1,75
C-2
1,60
B-1
1,80
B-2
1,59
A-3
2,33
C-3
1,70
B-2
1,22
B-1
1,37
A-2
2,17
C-1
1,61
B-3
1,85
B-3
1,09
B-3
1,38
D-1
1,72
A-2
1,62
A-1
1,78
B-1
1,52
D-2
2,01
A-1
2,13
A-2
2,34
B-2
1,58
D-3
1,81
A-3
1,70
A-3
1,78
C-2
2,29
B-2
1,26
C-2
1,67
D-3
1,40
C-1
1,55
B-1
1,47
C-3
1,81
D-2
2,10
C-3
1,86
B-3
1,30
C-1
1,82
D-1
1,55
Tabela Auxiliar de Totais para cálculo de SQSub-total
Cultivares
Blocos
A
B
C
D
Totais
I
6,25(3)
4,48
5,71
6,06
22,50(12)
II
5,84
4,03
4,91
5,54
20,32
III
5,45
4,87
5,30
5,82
21,44
IV
5,90
4,05
5,01
5,05
20,01
Totais
23,44(12)
17,43
20,93
22,47
84,27(48)
A SQSub-total corresponde à soma de quadrados entre
parcelas ou SQ(Fator A e Repetições):
EXEMPLO 1
Para a análise de ensaios
em esquema de parcelas
sub-divididas , vamos
precisar de duas tabelas
auxiliares de totais: uma
para os cálculos das somas
de quadrados dos fatores e
da interação e outra para o
cálculo da SQSub-total.
Na tabela para o cálculo da
SQSub-total colocamos o
Fator A e as Repetições.
Tabela Auxiliar de Totais para cálculo das somas de
quadrados dos Fatores e da Interação.
Cultivares
Épocas
A
B
C
D
EXEMPLO 1
Totais
1
7,61(4)
6,16
6,55
6,82
27,14(16)
2
8,01
5,65
7,47
8,16
29,29
3
7,82
5,62
6,91
7,49
27,84
Totais
23,44(12)
17,43
20,93
22,47
84,27(48)
SQSub-total = 2,3224
SQCultivares = 1,7372
SQÉpocas = 0,1503
SQE
xC
0,2477
SQSub-total
==2,3224
Tabela da Análise de Variância
FV
GL
SQ
QM
EXEMPLO 1
Fc
Cultivares
3
1,7372
0,5791
19,90 *
Repetições
3
0,3233
0,1074
3,69
Resíduo a
9
0,2619
0,0291
Sub-total
15
2,3224
Épocas
2
0,1503
0,0752
1,13
ExC
6
0,2477
0,0413
0,62
Resíduo b
24
1,5980
0,0666
Total
47
4,3174
SQResíduo a = SQSub-total – SQRepetições - SQCultivares
SQResíduo b = SQTotal – SQÉpocas – SQE x C – SQSub-total
Se o delineamento fosse o DIC não teríamos a
Fonte de Variação: “Repetições” e a
SQResíduo a seria calculada como:
SQResíduo a = SQSub-total – SQCultivares
SQSub-total = 2,3224
SQCultivares = 1,7372
SQÉpocas = 0,1503
SQE x C
= 0,2477
Tabela da Análise de Variância
FV
GL
SQ
QM
EXEMPLO 1
Fc
Cultivares
3
1,7372
0,5791
19,90 *
Repetições
3
0,3233
0,1074
3,69
Resíduo a
9
0,2619
0,0291
Sub-total
15
2,3224
Épocas
2
0,1503
0,0752
1,13
ExC
6
0,2477
0,0413
0,62
Resíduo b
24
1,5980
0,0666
Total
47
4,3174
Produções Médias para
as Cultivares
Produções Médias para
as Épocas
Cultivares
Médias (*)
ÉPOCAS
Médias (*)
A
1,95 a
1
1,70 a
B
1,45 b
2
1,83 a
C
1,74 a
3
1,74 a
D
1,87 a
Tukey para Cultivares:
Como a interação não
foi significativa,
devemos estudar os
fatores
separadamente
Tukey para Épocas:
Tabela da Análise de Variância
FV
GL
SQ
QM
EXEMPLO 1
Fc
Cultivares
3
1,7372
0,5791
19,90 *
Repetições
3
0,3233
0,1074
3,69
Resíduo a
9
0,2619
0,0291
Sub-total
15
2,3224
Épocas
2
0,1503
0,0752
1,13
ExC
6
0,2477
0,0413
0,62
Resíduo b
24
1,5980
0,0666
Total
47
4,3174
Produções Médias para
as Cultivares
Produções Médias para
as Épocas
Cultivares
Médias (*)
ÉPOCAS
Médias (*)
A
1,95 a
1
1,70 a
B
1,45 b
2
1,83 a
C
1,74 a
3
1,74 a
D
1,87 a
(*) As médias seguidas da mesma
letra, não diferem entre si pelo
teste Tukey, ao nível de 5% de
probabilidade.
EXEMPLO 2
Um experimento foi instalado no delineamento Inteiramente casualizado
em esquema de parcelas divididas para avaliar a altura de plantas de
milho. Estudou-se adubação de cobertura (0, 45 e 90 Kg/ha) nas
parcelas e duas variedades nas sub-parcelas. As alturas obtidas (em
metros) foram:
ADUBAÇÃO VARIEDADES Repetição I
0
A
2,16
B
2,78
C
2,90
D
3,41
45
A
2,10
B
2,59
C
4,03
D
3,90
90
A
2,30
B
2,96
C
3,54
D
4,20
Repetição II Repetição III
2,95
2,70
3,03
2,99
3,32
3,40
3,55
3,50
2,00
2,09
2,26
2,30
4,50
3,95
4,10
3,81
2,24
2,25
2,64
2,80
2,95
3,10
4,15
4,00
Tabela Auxiliar de Totais para cálculo de SQSub-total
Repetições
Adubação
0
I
II
III
Totais
11,25(4)
12,85
12,59
36,67(12)
45
12,62
12,86
12,15
37,63
90
13,00
11,98
12,15
37,13
36,87(12)
37,69
36,89
111,45(36)
Totais
Tabela Auxiliar de Totais para os fatores
Variedades
Adubação
0
45
90
Totais
A
7,81(3)
6,19
6,79
20,79(9)
B
C
D
Totais
8,80
7,15
8,40
24,35
9,62
12,48
9,59
31,69
10,46
11,81
12,35
34,62
36,69(12)
37,63
37,13
111,45(36)
EXEMPLO 2
Tabela da Análise de Variância
FV
GL
Adubação
SQ
QM
Resíduo a
2
6
0,0369
0,5831
0,0184
0,0972
Sub-total
8
0,6200
Variedades
AxV
3
6
13,6302
3,3730
4,5434
0,5622
Resíduo b
18
0,4879
0,0271
Total
35
18,1111
Fc
0,19
167,61*
20,74 *
Estudo das Adubações
em cada variedade
Estudo das Variedades
em cada dose
FV
GL
Variedades sem adubo
3
Variedades com a dose
45
Variedades com a dose
90
Resíduo b
3
3
18
FV
Adubações na variedade A
Efeito 1º Grau
Efeito 2º Grau
Adubações na variedade B
Efeito 1º Grau
Efeito 2º Grau
Adubações na variedade C
Efeito 1º Grau
Efeito 2º Grau
Adubações na variedade D
Efeito 1º Grau
Efeito 2º Grau
Resíduo combinado
EXEMPLO2
GL
(2)
1
1
(2)
1
1
(2)
1
1
(2)
1
1
GLRcomb.
Como a interação foi
significativa, devemos
estudar os fatores
simultaneamente:
as variedade em cada
dose de adubo ou a
adubação em cada
variedade.
Observe que para o estudo das
variedades em cada dose de
adubo o resíduo apropriado é o
b.
Já para o estudo das doses de
adubo em cada variedade, o
resíduo apropriado é uma
combinação dos resíduos a e
b (Resíduo combinado).
EXEMPLO 2
Vamos apresentar o estudo dos efeitos
das variedades em cada dose de adubo
na altura de plantas em cada variedade.
Estudo das Variedades em cada dose
FV
GL
SQ
QM
EXEMPLO 2
Fc
Variedades : 0
3
1,2844
0,4281
15,79 *
Variedades : 45
3
10,2203
3,4068
125,68 *
Variedades : 90
3
5,4985
1,8328
67,61 *
18
0,4879
0,0271
Resíduo b
Estudo das
Variedades em
cada dose do adubo
Tabela Auxiliar de Totais para os fatores
Variedades
Adubação
0
45
90
Totais
A
7,81(3)
6,19
6,79
20,79(9)
B
C
D
Totais
8,80
7,15
8,40
24,35
9,62
12,48
9,59
31,69
10,46
11,81
12,35
34,62
36,69(12)
37,63
37,13
111,45(36)
Vejamos as médias das
Variedades em cada dose
de adubo na tabela
seguinte.
Estudo das Variedades em cada dose do adubo
EXEMPLO 2
Teste Tukey para Variedades
em cada dose de Adubação:
VA R I E DA D E S
Adubação
A
B
C
D
0
2,60 c
2,93 bc
3,21 ab
3,49 a
45
2,06 b
2,38 b
4,16 a
3,94 a
90
2,26 d
2,80 c
3,20 b
4,12 a
As médias seguidas da mesma letra nas linhas, não diferem entre si pelo teste
Tukey, ao nível de 5% de probabilidade.
EXEMPLO 2
A seguir, vamos apresentar o estudo dos
efeitos das doses de adubo na altura de
plantas em cada variedade.
Tabela da Análise de Variância
FV
Adubação
GL
SQ
Resíduo a
2
6
0,0369
0,5831
Sub-total
8
0,6200
Variedades
AxV
3
6
Resíduo b
Total
QM
Fc
0,0184
0,0972
0,19
13,6302
3,3730
4,5434
0,5622
167,61*
20,74 *
18
0,4879
0,0271
35
18,1111
EXEMPLO 2
Estudo das Adubações
em cada variedade
FV
Adubações na variedade A
(2)
Efeito 1º Grau
1
Efeito 2º Grau
1
Adubações na variedade B
Cálculos para o Resíduo combinado:
GL
(2)
Efeito 1º Grau
1
Efeito 2º Grau
1
Adubações na variedade C
(2)
Efeito 1º Grau
1
Efeito 2º Grau
1
Adubações na variedade D
(2)
Efeito 1º Grau
1
Efeito 2º Grau
1
Resíduo combinado
GLRcomb.
Tabela da Análise de Variância
FV
Adubação
GL
SQ
Resíduo a
2
6
0,0369
0,5831
Sub-total
8
0,6200
Variedades
AxV
3
6
Resíduo b
Total
FV
Adubações : A
Efeito 1º Grau
Efeito 2º Grau
Adubações : B
Efeito 1º Grau
Efeito 2º Grau
Adubações : C
Efeito 1º Grau
Efeito 2º Grau
Adubações : D
Efeito 1º Grau
Efeito 2º Grau
Resíduo comb.
QM
Fc
0,0184
0,0972
0,19
13,6302
3,3730
4,5434
0,5622
167,61*
20,74 *
18
0,4879
0,0271
35
18,1111
GL
(2)
1
1
(2)
1
1
(2)
1
1
(2)
1
1
16
SQ
0,4472
0,1734
0,2738
0,4939
0,0267
0,4672
1,8370
0,0002
1,8368
0,6318
0,5954
0,0365
0,7140
QM
0,2236
0,1734
0,2738
0,2469
0,0267
0,4672
0,9185
0,0002
1,8368
0,3159
0,5954
0,0365
0,0446
Fc
5,01 *
3,89
6,14 *
5,53 *
<1
10,47 *
20,58 *
<1
41,16 *
7,08 *
13,34 *
<1
R2(%)
100,0
EXEMPLO 2
Estudo das
Adubações em
cada variedade
O efeito das doses de adubo
nas variedades A, B e C pode
ser explicado por equações
do 2º grau. Na variedade D, o
efeito é explicado por um
polinômio do 1º grau.
Vejamos a figura seguinte.
100,0
100,0
94,2
O estudo de regressão foi
feito com o software SISVAR
Estudo das Adubações em cada variedade
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
FIGURA 1. Equações de Regressão para Altura de
Plantas de Variedades de Milho em função
de
Doses de Adubo.
EXEMPLO 2
ENSAIOS COM PARCELAS SUBDIVIDIDAS
NO TEMPO
Observe que nos exemplos vistos até aqui as parcelas são
divididas em partes distintas e em cada uma das partes são
feitas as observações relativas ao segundo fator.
Este esquema experimental é denominado Parcelas
Subdivididas no Espaço ou Parcelas Subdivididas.
O segundo fator pode ser inclusive um fator
em que as categorias são diferentes tempos de
observação.
No caso do esquema de Parcelas
Subdivididas no Tempo, não
Em alguns casos, as observações das categorias do segundo
existe a possibilidade da
fator podem ser medidas sucessivas na mesma parcela, isto
aleatorização do fator tempo: as
é, as sub-parcelas são obtidas ao longo de um período de
observações são feitas em uma
tempo, nos mesmos indivíduos.
sequência temporal e são
obtidas na mesma amostra das
Neste caso, o esquema experimental é conhecido como
observações anteriores.
Parcelas Subdivididas no Tempo.
Veja o esquema de análise de
variância a seguir.
EXEMPLO 3
Os dados são as produções de um experimento com 3
variedades de alfafa (A, B e C) obtidas em 4 épocas de
corte consecutivas (1º, 2º, 3º e 4º anos) e anotadas no
próprio croqui de campo (da maneira como foi instalado o
ensaio):
B
BLOCO I
A
C
BLOCO II
B
C
A
1º ANO
2,83
2,49
1,75
1,95
3,15
1,88
2º ANO
2,88
1,58
1,73
1,48
1,80
1,28
3º ANO
2,89
2,29
1,55
1,61
2,85
2,98
4º ANO
1,75
1,56
0,56
0,72
1,31
1,01
PARCELAS SUBDIVIDIDAS
NO TEMPO
Observe que as observações das
sub-parcelas são feitas no mesmo
local, em uma sequencia temporal
(um ano após o corte anterior).
Esquema da Análise de Variância para o
EXEMPLO 3
FV
Variedades (V)
GL
Blocos
Resíduo a
1
Sub-total
Anos (A)
AxV
A x Blocos
Resíduo b
Total
2
2
5
3
6
3
6
23
PARCELAS SUBDIVIDIDAS
NO TEMPO
EXEMPLO 3
Experimento com 3
variedades de alfafa (A,
B e C) obtidas em 4
épocas de corte
consecutivas (1º, 2º, 3º e
4º anos), num DBC com
2 repetições
Tabelas auxiliares de totais para os cálculos das somas de quadrados do sub-total e
da interação Anos x Blocos - EXEMPLO 3
Variedades
Blocos
A
B
C
Totais
I
II
Totais
7,92(4)
7,15
15,07(8)
10,35
9,11
19,46
5,59
5,76
11,35
23,86(12)
22,02
45,88(24)
Anos
Blocos
1º
2º
3º
4º
I
II
Totais
7,07(3)
6,98
14,05(6)
6,19
4,56
10,75
6,73
7,44
14,17
3,87
3,04
6,91
Totais
23,86(12)
22,02
45,88(24)
Análise de Variância para o EXEMPLO 3
FV
Variedades (V)
GL
2
4,1201
2,0601
31,97 *
Blocos
Resíduo a
1
0,1411
0,1411
2,19
2
5
3
0,1289
4,3901
5,8764
0,0644
1,9588
11,71 *
6
0,9194
0,1532
1,42
0,5019
0,6463
12,3341
0,1673
0,1077
1,55
Sub-total
Anos (A)
AxV
A x Blocos
Resíduo b
Total
3
6
23
Produções médias para os anos
1º
2,34 a
2º
1,79 ab
3º
2,36 a
4º
1,15 b
SQ
QM
Fc
Produções médias para as
variedades
A
1,88 ab
B
2,43 a
C
1,42 b
PARCELAS SUBDIVIDIDAS
NO TEMPO
Veja os cálculos das somas de
quadrados para o sub-total e
para a interação A x Blocos a
seguir.
A DMS do teste Tukey
para ANOS é 0,66 t/ha.
A DMS do teste Tukey
para VARIEDADES é 0,75
t/ha.
ATÉ A PRÓXIMA!