Mecânica Quântica
Carlos Eduardo Aguiar
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física
Instituto de Física - UFRJ
1º período letivo, 2014
Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
• Dificuldades conceituais
–
–
–
–
–
Superposição quântica
Probabilidade subjetiva x objetiva
Complementaridade
O problema da medida
Realismo vs. localidade
• Dificuldades matemáticas
–
–
–
–
–
Vetores
Números complexos
Espaços vetoriais complexos
Operadores, autovalores, autovetores
Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais
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2
Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
•
•
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•
•
•
•
D. F. Styer, Common misconceptions regarding quantum mechanics, American Journal of Physics
64 , 31, 1996.
I. D. Johnston, K. Crawford, P. R. Fletcher, Student difficulties in learning quantum mechanics,
International Journal of Science Education 20 , 427, 1998.
S. Vokos, P. S. Shaffer, B. S. Ambrose, L. C. McDermott, Student understanding of the wave nature
of matter: Diffraction and interference of particles, American Journal of Physics 68, S42, 2000.
G. Ireson, The quantum understanding of pre-university physics students, Physics Education 35, 15,
2000.
M. A. Moreira, I. M. Greca, Uma revisão da literatura sobre estudos relativos ao ensino da
mecânica quântica introdutória, Investigações em Ensino de Ciências 6, 29, 2001.
I. M. Greca, M. A. Moreira, V.E. Herscovitz, Uma proposta para o ensino de mecânica quântica,
Revista Brasileira de Ensino de Física 33, 444, 2001.
C. Singh, Student understanding of quantum mechanics, American Journal of Physics 69, 885, 2001.
E. Cataloglu, R. W. Robinett, Testing the development of student conceptual and visualization
understanding in quantum mechanics through the undergraduate career, American Journal of
Physics 70, 238, 2002.
K. Mannila, I. T. Koponen, J. A. Niskanen, Building a picture of students’ conceptions of wave- and
particle-like properties of quantum entities, European Journal of Physics 23, 45, 2002.
R. Müller, H. Wiesner, Teaching quantum mechanics on an introductory level, American Journal of
Physics 70, 200, 2002; ver também Am. J. Phys. 70, 887, 2002.
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Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I. M. Greca, O. Freire Jr, Does an emphasis on the concept of quantum states enhance students’
understanding of quantum mechanics?, Science & Education 12 , 541, 2003.
F. Ostermann, T. F. Ricci, Construindo uma unidade didática conceitual sobre mecânica quântica:
um estudo na formação de professores de física, Ciência & Educação 10, 235, 2004.
D. T. Brookes, E. Etkina, Using conceptual metaphor and functional grammar to explore how
language used in physics affects student learning, Physical Review Special Topics - Physics
Education Research 3, 010105, 2007.
S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Why we should teach the Bohr model and how to
teach it effectively, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 4, 10103, 2008.
C. Singh, Student understanding of quantum mechanics at the beginning of graduate instruction,
American Journal of Physics 76, 277, 2008.
C. Singh, Interactive learning tutorials on quantum mechanics, American Journal of Physics 76,
400, 2008.
L. D. Carr, S. B. McKagan, Graduate quantum mechanics reform, American Journal of Physics 77,
308, 2009.
M. Dubson, S. Goldhaber, S. Pollock, K. Perkins, Faculty Disagreement about the Teaching of
Quantum Mechanics, 2009 Physics Education Research Conference, AIP Conference
Proceedings 1179, 137, 2009.
C. Baily, N. D. Finkelstein, Development of quantum perspectives in modern physics, Physical
Review Special Topics - Physics Education Research 5, 10106, 2009.
C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching and understanding of quantum interpretations in modern
physics courses, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 10101, 2010.
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Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
•
•
•
•
•
•
•
•
•
S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Design and validation of the Quantum Mechanics
Conceptual Survey, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 020121, 2010.
L. Deslauriers, C. E. Wieman, Learning and retention of quantum concepts with different teaching
methods, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, 010101, 2011.
M. Ayene, J. Kriek, B. Damtie, Wave-particle duality and uncertainty principle: Phenomenographic
categories of description of tertiary physics students’ depictions, Physical Review Special Topics Physics Education Research 7, 020113, 2011.
G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum mechanics via the Stern–Gerlach
experiment, American Journal of Physics 79, 499, 2011.
G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. I. Investigation of
difficulties, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, 101117, 2012.
G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. II. Development of
research-based learning tools, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8,
101118, 2012.
O. Levrini, P. Fantini, Encountering Productive Forms of Complexity in Learning Modern Physics,
Science & Education 22,1895, 2013.
A. Kohnle et al., A new introductory quantum mechanics curriculum, European Journal of Physics
35, 015001, 2014.
J. Castrillon, O. Freire Jr, B. Rodriguez, Mecánica cuántica fundamental, una propuesta didáctica,
Revista Brasileira de Ensino de Física 36, 1505, 2014.
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Leituras recomendadas
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Lições de Física de Feynman, vol. III, Bookman, 2008.
R. P. Feynman, QED - A estranha teoria da luz e da matéria, Gradiva, 1988.
H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica, Blucher, 2002.
O. Pessoa Jr, Conceitos de Física Quântica, Livraria da Física, 2003.
A. Zeilinger, A Face Oculta da Natureza, Globo, 2005.
M. Le Bellac, The Quantum World, World Scientific, 2013.
T. Hey, P. Walters, The New Quantum Universe, Cambridge UP, 2003.
V. Scarani, Quantum physics: a first encounter, Oxford UP, 2006.
B. Rosenblum , F. Kuttner , Quantum Enigma: Physics Encounters Consciousness, Oxford UP,
2006.
L. Susskind, A. Friedman, Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum, Basic Books, 2014
A. Rae, Quantum Physics: Illusion or Reality?, Cambridge UP, 2012.
J. Polkinghorne, Quantum Theory: A Very Short Introduction, Oxford UP, 2002.
D. F. Styer, The Strange World of Quantum Mechanics, Cambridge UP, 2000.
D. McIntyre, C. A. Manogue, J. Tate, Quantum Mechanics: A Paradigms Approach, AddisonWesley, 2012.
M. Le Bellac, Quantum Physics, Cambridge UP, 2006.
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Simulações
•
•
•
•
•
•
Interferômetro de Mach-Zehnder (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)
http://www.if.ufrgs.br/~fernanda/
Experiência de Stern-Gerlach (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)
http://www.if.ufrgs.br/~betz/quantum/SGtexto.htm
QuantumLab (Universität Erlangen-Nürnberg)
http://www.didaktik.physik.uni-erlangen.de/quantumlab/english/index.html
PhET (University of Colorado)
http://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/category/physics/quantumphenomena
SPINS (Oregon State University)
http://www.physics.orst.edu/~mcintyre/ph425/spins/index_SPINS_OSP.html
Quantum physics (École Polytechnique)
http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/index.html
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7
Internet
•
Quantum Physics (IoP)
http://quantumphysics.iop.org/
•
Quantum Mechanics (Leonard Susskind)
http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-mechanics/2012/winter
•
Quantum Entanglement (Leonard Susskind)
http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-entanglement/2006/fall
•
Advanced Quantum Mechanics (Leonard Susskind)
http://theoreticalminimum.com/courses/advanced-quantum-mechanics/2013/fall
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8
Sumário
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Fenômenos quânticos
Princípios da mecânica quântica
Sistemas quânticos simples: aplicações
Realismo, contextualidade e não-localidade
Partículas idênticas
Operadores, autovalores e autovetores
não estão
Simetrias
nestas notas
Posição e momentum
Partícula em uma dimensão
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9
Fenômenos Quânticos
Charles Addams, New Yorker, 1940
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10
Um experimento com a luz
detetores
de luz
D1
espelho
D2
feixe luminoso
pouco intenso
espelho
semiespelho (50-50%)
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11
Resultado do experimento
• Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo:
apenas um, ou D1 ou D2, é ativado a cada vez.
D1
D1
D2
D2
ou
50%
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probabilidade
50%
12
Se a luz fosse uma onda
D1
D2
... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo.
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13
Se a luz é composta por partículas
D1
D1
D2
D2
ou
... ou D1 dispara, ou D2 dispara.
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14
Conclusão
• A luz é composta por partículas: os fótons.
• O detector que dispara aponta “qual caminho”
o fóton tomou.
D1
D2
caminho 2
caminho 1
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15
O experimento de Grangier, Roger & Aspect
• Experimento realizado pela primeira vez em 1986 por Philippe
Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect.
• A fonte luminosa de “pouco intensa” usada no experimento não é
fácil de construir.
ν1
átomo de
cálcio
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τ = 4,7 ns
ν2
16
O experimento de Grangier, Roger & Aspect
w = 9 ns
P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a
beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)
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17
Resultado do experimento de Grangier et al.
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18
Sobre o ensino do conceito de fóton
• Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência
simples e direta da natureza corpuscular da luz.
• Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio)
que o efeito fotoelétrico.
• Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton
não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e
Compton.
– G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927)
– E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927)
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19
Outro experimento com a luz
D1
D2
segundo
semiespelho
feixe luminoso
“fóton a fóton”
interferômetro de Mach-Zehnder
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20
Preliminares: um feixe bloqueado
25%
50%
25%
2
1
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21
O outro feixe bloqueado
25%
25%
2
50%
1
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22
Resultado fácil de entender com partículas
25%
50%
25%
2
1
= caminho do fóton
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23
De volta ao interferômetro
D1
D2
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24
Resultado do experimento:
100%
D1
0%
D2
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25
Difícil de entender se os fótons seguem caminhos
definidos
caminho 2
caminho 1
25%
25%
25%
25%
2
1
Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferença
se o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto vale
o resultado do experimento preliminar.
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26
Proposição:*
Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2
consequência:
PDn  PD(1n)  PD( 2n )
probabilidade do
detetor Dn disparar
apenas o caminho
1 aberto
apenas o caminho
2 aberto
* The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5
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27
Teste da Proposição
Experimentalmente:
P  25%
(1)
D1
( 2)
D1
P
 25%
PD1  100%
P  25%
(1)
D2
( 2)
D2
P
 25%
PD2  0%
PDn  PD(1n)  PD( 2n )
a proposição é falsa!
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28
Repetindo:
A afirmativa
“o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2”
é falsa.
“… um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível,
de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o
coração da mecânica quântica.”
R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1
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29
Por onde vai o fóton?
2
1
1e2
nem 1 nem 2
ou 1 ou 2
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30
Por onde vai o fóton?
• Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa.
• Se os dois caminhos forem fechados, nenhum
fóton chega aos detetores. Logo, “nem 1 nem 2”
também não é aceitável.
• Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fóton
segue os dois caminhos ao mesmo tempo.
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31
Uma resposta melhor
• Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro,
pois a montagem experimental não permite distinguir os
caminhos 1 e 2.
• A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a um
aparato capaz de produzir uma resposta.
Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com
as palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron
(em um sistema de referência), ele deve especificar
experimentos determinados com os quais pretende medir tal
posição; do contrário essas palavras não terão significado.
- W. Heisenberg,
The physical content of quantum kinematics and mechanics
(o artigo de1927 sobre o princípio da incerteza)
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32
Fácil de entender num modelo ondulatório
interferência
construtiva
D1
D2
interferência
destrutiva
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33
Comprimentos variáveis
PD1
PD2
L2
L1
L1, L2 = comprimentos ajustáveis
dos “braços” do interferômetro
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34
Resultado experimental:
PD1
PD2
1
1
0
0
L1 – L 2
L1 – L2
(linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ PD(1) + PD(2))
• Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda.
• Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere com
ele mesmo”.
• Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), o
comprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado.
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35
O experimento de Grangier, Roger & Aspect
P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a
beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
36
O experimento de Grangier, Roger & Aspect
L1 – L2 (λ/50)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
L1 – L2 (λ/50)
37
Interferência de nêutrons
interferômetro de nêutrons
S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980)
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38
Interferência de átomos
interferômetro de átomos
A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometry
with atoms and molecules, Reviews of Modern Physics 81, 1051 (2009)
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39
Interferência de elétrons
A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up
of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
40
E se os caminhos forem distinguíveis?
interferência
desaparece !
diferença de “caminhos” (ajustável)
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
41
E se os caminhos forem distinguíveis?
• Massa = 0
• caminho
identificado
• não há padrão de
interferência
• Massa  ∞
• caminho não
identificado
• padrão de
interferência
N  Massa
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
43
E se a informação sobre o caminho for apagada?
impossível determinar
o caminho
interferência
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
44
Quando há interferência?
Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas,
indistinguíveis experimentalmente
interferência
(“1 e 2”)
Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas,
distinguíveis experimentalmente
(“ou 1 ou 2”)
não há interferência
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45
Princípios da Mecânica Quântica
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46
Princípios da Mecânica Quântica
• Vetores de estado e o princípio da superposição
• A regra de Born
• Complementaridade e o princípio da incerteza
• Colapso do vetor de estado
• Evolução unitária
• Sistemas de N estados
• Sistemas compostos. Emaranhamento
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47
Vetores de Estado
eo
Princípio da Superposição
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48
Sistemas de dois estados
• esquerda / direita
• horizontal / vertical
• para cima / para baixo
• sim / não
• 0/1
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49
Sistemas de dois estados
fóton refletido
cara
coroa
fóton transmitido
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50
Sistemas de dois estados
 a1
grandeza física observável: A  
a 2
a1
a1
A=?
a2
medidor de “A”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
a2
ou
a1
a2
51
Sistemas clássicos
• Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2.
• Representação dos estados: pontos no “eixo A”
sistema tem
A = a2
sistema tem
A = a1
a1
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a2
A
52
Sistemas quânticos: vetores de estado
• Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2.
• Representação dos estados: vetores ortogonais
(e de comprimento unitário) em um espaço de
duas dimensões
a2
sistema tem
A = a2
a1
sistema tem A = a1
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53
A notação de Dirac
vetor ↔ 
identificação
a1
exemplos:
a2
0
1




esquerda
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direita
54
O que muda?
Passar de dois pontos em uma reta para dois
vetores perpendiculares não parece ser mais do
mudar o sistema de “etiquetagem” dos estados.
?
a1
a2
a2
A
a1
O que muda é o seguinte:
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55
O Princípio da Superposição
Qualquer combinação linear dos vetores |a1e |a2
representa um estado físico do sistema.
  c1 a1  c 2 a 2
a2

a1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
56
Significado de |
a2

a1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
•
•
•
•
•
A = a 1 e A = a2 ?
esquerda e direita?
horizontal e vertical?
sim e não?
0 e 1?
57
O espaço de estados é grande
• Um sistema quântico de dois estados tem muito
mais que dois estados, tem infinitos estados.
• Os estados |a1 e |a2 formam uma “base” do
espaço de estados.
a2
a1
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58
Princípio da Superposição: formulação geral
Se |e | são vetores de estado, qualquer combinação
linear deles representa um estado físico do sistema.
    



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59
Uma complicação
• As constantes c1 e c2 podem ser números
complexos (o espaço de estados é um
espaço vetorial complexo).
• Deve-se ter cuidado com figuras como
esta:

c2
a2
a1
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c1
60
Outras complicações
• Qual o significado de “ortogonalidade”
num espaço vetorial complexo?
• Como se define “comprimento” de um
vetor nesse espaço?
a2
?
a1
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61
Produto escalar
O produto escalar | dos vetores | e | é um
número complexo com as seguintes propriedades:
1. | = |1 + |2  | = |1 + |2
2. | = c |  | = c |
3. | = |* (* indica o conjugado complexo)
4. |  0
(note que (3) implica em | real)
5. | = 0  | = 0 (“0” é o vetor nulo)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
62
Produto escalar
Forçando um pouco a notação de Dirac,
podemos escrever as propriedades (1) e
(2) como
1. |1+2 = |1 + |2
2. |c = c |
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
63
Produto escalar
• É importante notar que num espaço vetorial complexo
o produto escalar não é comutativo; pela propriedade
(3), a ordem dos fatores altera o produto.
• Uma consequência disso é que o produto escalar é
antilinear no primeiro argumento:
 c| = c*|
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
64
Ortogonalidade
Os vetores | e | são ortogonais se
seu produto escalar é zero:
  0
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
65
Norma
A norma |||| do vetor | é definida por
 

• |||| é o “comprimento”, “tamanho”, “módulo” do
vetor |
• | = c |  |||| = |c| ||||
• |||| = 0  | = 0
• outra notação: |||||  ||||
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
66
O produto escalar em termos das componentes
  c1 a1  c 2 a 2
  d1 a1  d2 a 2
• Usando as propriedades (1), (2) e (3):
   d1*c1 a1 a1  d*2c 2 a2 a2  d1*c 2 a1 a2  d*2c1 a2 a1
• Como |a1 e |a2 são ortogonais, a1|a2 = a2|a1 = 0 e portanto
   d1*c1 a1 a1  d*2c 2 a2 a2
• Como |a1 e |a2 têm comprimento unitário, a1|a1 = a2|a2 = 1,
temos finalmente que:
   d1*c1  d*2c 2
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67
As componentes em termos do produto escalar
  c1 a1  c 2 a 2
• Usando as propriedades (1) e (2) temos
a1   c1 a1 a1  c 2 a1 a2
• Como a1|a1 = 1 e a1|a2 = 0,
c1  a1 
• Da mesma forma,
c 2  a2 
• Ou seja:
cn  an  , n  1, 2
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68
A norma em termos das componentes
   d1*c1  d*2c 2
   c c  c c  c1  c 2
*
1 1
 
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2
*
2 2
c1  c 2
2
2
2
69
A Regra de Born
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70
A Regra de Born

c2
  c1 a1  c 2 a 2
a2
a1
c1
A probabilidade de uma medida da
grandeza física A resultar em A = an é
P(an ) 
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cn
c1  c 2
2
(n = 1, 2)
2
2
71
A Regra de Born
  c1 a1  c 2 a 2
a1
|
a1
P(a1) 
2
c1  c 2
2
2
a2
medidor de “A”
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a2
c1
a1
a2
P(a 2 ) 
c2
2
c1  c 2
2
2
72
A regra de Born
Como
cn  an 
e
 
c1  c 2
2
2
a regra de Born pode ser escrita de forma
independente das coordenadas:
P(an ) 
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an 

2
2
73
Probabilidade total
P(a1)  P(a 2 ) 
c1
2
c1  c 2
2
2

c2
2
c1  c 2
2
2
1
Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2.
A probabilidade da medida resultar
ou em a1 ou em a2 é 1 (100%)
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74
Normalização do vetor de estado
 

  c1 a1  c 2 a 2
  c1 a1  c 2 a 2
  
P (an ) 
c n
2
c 1  c 2
2
2

cn
2
c1  c 2
2
2
 P (an )
|e | têm normas diferentes mas
representam o mesmo estado físico!
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75
Normalização do vetor de estado
Todos os vetores ao longo de uma dada
“direção” representam o mesmo estado
físico.
Podemos trabalhar apenas
com vetores “normalizados”:
 1
ou seja,   c1 a1  c 2 a 2 ,
c1  c 2  1
2
2
Note que |a1 e |a2 já estão normalizados: a1  a 2
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1
76
Vetores normalizados: a Regra de Born
  c1 a1  c 2 a 2 (normalizado)
|
a1
a1
a2
P(a1)  c1
a1
a2
P(a 2 )  c 2
2
2
a2
medidor de “A”
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P(an )  c n
2
77
Vetores normalizados: a Regra de Born
Em termos do produto escalar, se | está normalizado
a probabilidade é dada por:
P(an )  an 
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2
78
Amplitude de probabilidade
cn = an|  amplitude de probabilidade
probabilidade = |amplitude de probabilidade|2
função de onda: ( x n )  x n 
P(x n )  (x n )
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2
79
Amplitude de probabilidade
De forma mais geral:
• | = amplitude de probabilidade de uma medida
resultar em |, para um sistema no estado |
• P(  ) = |||2 = probabilidade de uma
medida resultar em |, para um sistema no estado |
• P(  ) = P(  )
embora |  | (| = |*)
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80
Frequência dos resultados de medidas


a1
a2
a1
a2




a1
N medidas de A
(N )
N1  a1
N2  a2
  c1 a1  c 2 a 2
N1
2
 P(a1)  c1
N
a2
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podemos prever
a frequência dos
N2
2
resultados:
 P(a 2 )  c 2
N
81
Valor médio dos resultados


a1
a2
a1
a2
  c1 a1  c 2 a 2




valor médio de A:
N a  N2 a 2
A  1 1
N
A  c1 a1  c 2 a 2
2
a1
a2
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2
82
Incerteza
a2
  c1 a1  c 2 a 2

c2
c1, c2  0
a1
impossível prever o
resultado de uma medida
c1
  a1  c1  1, c 2  0
Se
ou
  a 2  c1  0, c 2  1
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possível prever o resultado
(probabilidade = 100%):
valor de A “bem definido”
83
Incerteza
  c1 a1  c 2 a 2
 A = incerteza de A no estado |
( A)  A  A
2

2
 A  A
2
2
  a1
A = 0
ou
  a2
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84
Complementaridade
eo
Princípio da Incerteza
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85
Complementaridade
a2
a1
a2
a1
duas grandezas
físicas: A e B
A
b2
b1
b2
b1
B
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86
Grandezas compatíveis e incompatíveis
b2
a2
A e B compatíveis
b1
a1
b2
A e B incompatíveis
a2
b1
a1
A e B complementares: incompatibilidade “máxima”
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87
O Princípio da Incerteza
A bem definido, B incerto
( A = 0,  B  0)
a2
b2
A e B incertos
( A  0,  B  0)

B bem definido, A incerto
( B = 0,  A  0)
b1
a1
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88
O Princípio da Incerteza
A e B incompatíveis 
nenhum estado | com  A = 0 e  B = 0
a2
b2

b1
a1
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89
Exemplo: posição e momentum
x2
x1
X
duas posições: |x1, |x2 (“aqui”, “ali”)
dois estados de movimento: |p1, |p2 (“repouso”, “movimento”)
x2
p2
p1
impossível ter um estado com
posição e momentum bem definidos
x1
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90
Resumo da “cinemática” quântica
estado físico
grandeza física
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vetor no espaço
de estados
sistema de eixos
(uma “base”) no
espaço de estados
91
Resumo da “cinemática” quântica
a2
projeção do vetor de
estado no eixo |an
probabilidade de uma
medida da grandeza
A resultar em A = a1
ou A = a2

a1
grandezas físicas
incompatíveis
(complementares)
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probabilidade da
medida resultar
em A = an
diferentes sistemas
de eixos no espaço
de estados
92
Como o vetor de estado muda com o tempo?
• “Colapso” durante uma medida
• Evolução unitária (equação de
Schroedinger)
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93
Colapso do Vetor de Estado
Colapso do vetor de estado

a1
a1
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antes da
medida
a2
a2
a2
depois da
medida
95
Colapso do vetor de estado
a2
resultado
A = a2

resultado
A = a1
a1
medida de A resulta em an  logo após a
medida o vetor de estado do sistema é |an
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96
Colapso do vetor de estado
• O colapso garante que a medida é repetível: se obtemos A = an e
imediatamente refazemos a medida, encontramos A = an novamente com
100% de probabilidade.
• O estado | an  é o único em que a nova medida resultará em A = an com
100% de probabilidade.
• |  |an: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do
estado quântico; versão moderna do “salto quântico”.
• O colapso aplica-se a medidas “ideais” (medidas de von Neuman, ou
projetivas). Na prática, muitas vezes não faz sentido falar em colapso. Por
exemplo:
– Um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção – não há mais
fóton após a primeira medida.
– Medidas de grandezas contínuas como posição e momentum não têm
resultados absolutamente precisos; os detectores necessariamente
possuem uma resolução finita.
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97
Medidas simultâneas de duas grandezas
b1
( A  0,  B  0)

a1
b2
a2
 ( A = 0,  B = 0)
(A, B)
Se A e B são incompatíveis (complementares), não
existe estado | com  A = 0 e  B = 0.
É impossível realizar um experimento no qual A e B são
medidos simultaneamente (de forma reprodutível).
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98
Evolução Unitária
A equação de Schroedinger
• Evolução temporal do vetor de estado:
|(0)  |(t)
• Dinâmica quântica: determinada pela
energia do sistema (o conceito de força
é pouco relevante).
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100
A (solução da) equação de Schroedinger
E2
Sistema de dois estados
Dois níveis de energia: E1, E2
E1
(t  0)  c1 E1  c 2 E2
(t)  c1e iE1 t /  E1  c 2e iE2 t /  E2
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101
A (solução da) equação de Schroedinger
• ћ = constante de Planck ( 2)  110-34 Js
• Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as
componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0,
para t  0 elas serão complexas:
cn (t)  cne iEn t / 
• A evolução |(0)  |(t) ditada pela equação de
Schroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) e
determinista (sem elementos probabilísticos).
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102
Propriedades da equação de Schroedinger
• Linearidade:
a (0)  a ( t)
b (0)  b ( t)
(0)   a (0)   b (0)
(t)   a (t)   b (t)
t=0
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t0
103
Demonstração da linearidade
a (0)  c1 E1  c 2 E2
b (0)  d1 E1  d2 E2
(0)   a (0)   b (0)
 (c1  d1) E1  (c 2  d2 ) E2
( t)  (c1  d1)e i E1 t /  E1  (c 2  d2 )e i E 2 t /  E2
 c1e i E1 t /  E1  c 2e i E 2 t /  E2   c1e i E1 t /  E1  c 2e i E 2 t /  E2

  a ( t)   b ( t)
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104
Propriedades da equação de Schroedinger
• Conservação da norma do vetor de estado:
( t )
(t)  (0)
(0)
tamanho não muda
• Conservação da ortogonalidade entre vetores:
( t )
 (0 )
( t )
dois vetores perpendiculares
continuam perpendiculares
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(0)
105
Conservação do produto escalar
(t)  c1e i E1 t /  E1  c 2e i E 2 t /  E2
(t)  d1e i E1 t /  E1  d2e i E 2 t /  E2
( t) ( t)  (d1*e  i E1 t /  )(c1e i E1 t /  )  (d*2e i E 2 t /  )(c 2e i E 2 t /  )
 d1*c1  d*2c 2
(t) (t)  (0) (0)
conservação da norma: ( t)  (0)
conservação da ortogonalidade: (0) (0)  0  ( t) ( t)  0
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106
Propriedades da equação de Schroedinger
•
•
•
•
•
Determinismo
Continuidade
Linearidade
Conservação da norma
Conservação da ortogonalidade
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“evolução
unitária”
107
Estados estacionários
• Estado de energia bem definida En:
(0)  En
(t)  e iEn t /  En
mesma “direção” que |En
• |(0) e |(t) representam o mesmo estado físico.
• Estados de energia bem definida são “estacionários”.
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108
Conservação da energia
(t)  c1e iE1 t /  E1  c 2e iE2 t /  E2
P(En, t)  cne
E
i En t /  2
 cn
2
 P(E1, t) E1  P(E2 , t) E2  c1 E1  c 2 E2
2
( t )
2
P(En, t)  P(En, t  0)
E
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( t )
 E
( 0)
109
Eq. de Schroedinger x Processos de medida
• Equação de Schroedinger:
– contínua
– determinista
– válida enquanto não se faz uma medida
• Colapso do vetor de estado:
– descontínuo
– probabilístico
– ocorre durante a medida
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110
Eq. de Schroedinger x Processos de medida
Dois tipos de evolução temporal?
• Equação de Schroedinger:
– interação do sistema quântico com outros
sistemas quânticos.
– A = a1 e A = a2
• Colapso do vetor de estado:
– interação do sistema quântico com um aparato
clássico, o aparelho de medida (o “observador”).
– A = a1 ou A = a2
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111
O “problema da medida”
Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger?
Descrição quântica do aparelho de medida:
a2
a1
|
aparelho de medida:
a1  a1
a 2  a 2
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a1
a2
| 
a1
a2
| 
equação de Schroedinger:
c1 a1  c 2 a 2  c1 a1
 c 2 a2
o ponteiro aponta em duas
direções ao mesmo tempo !
112
O “problema da medida”
• Porque as superposições quânticas não são encontradas
no mundo macroscópico?
– Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em
duas direções ao mesmo tempo.
– Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto.
• Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados
com a observação de apenas alguns poucos estados
macroscópicos?
Uma descrição do processo de medida
baseada na equação de Schroedinger
deve dar respostas a essas questões.
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113
Física quântica x física clássica
• Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer
processo de interação entre objetos clássicos e quânticos…
L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics
• … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal,
não podem ser propriamente incluídos no domínio de
aplicação da mecânica quântica.
N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935
• …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo em
uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não
fosse governado pela mecânica quântica.
J. Bell, Against measurement
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114
Física quântica x física clássica
física
clássica
física
quântica
…a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teorias
físicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas ao
mesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação...
- L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics
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115
Sistemas de N Estados
Você está em
todo lugar
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116
Sistemas de 3 estados
Três valores possíveis
para a grandeza A:
a2
a1
a 1 a2 a 3
a3
  c1 a1  c 2 a2  c 3 a3
P(an )  | cn |2 , n  1, 2, 3
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117
Sistemas de N estados
a2
N valores possíveis
para a grandeza A:
a1
a3
... a
a1
a2
...
aN
N
(impossível desenhar
N eixos perpendiculares)
N
   c n an
n 1
P(an )  | c n |2 , n  1, 2,  N
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118
Sistemas de infinitos estados
• N pode ser infinito:

   c n an
n1
• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:
   da c(a) a
densidade de probabilidade: p(a)  | c(a) |
2
a 
probabilidade:
P(a, a)   da | c(a) |2
a
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119
Sistemas de infinitos estados
Exemplo: a = x = posição de uma partícula
   dx (x ) x
função de onda: (x)
densidade de probabilidade: p( x )  | ( x ) |
2
x2
probabilidade: P( x1, x 2 ) 
2
dx
|

(
x
)
|

x1
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120
Sistemas de infinitos estados
• A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos:
   c n an   da c(a) a
n
Exemplo: a = E = energia de uma partícula
   cn En   dE c(E) E
n
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121
Produto escalar
N
   c n an ,
n 1

   c n an ,
n 1
N
N
    b* n c n
   bn an
n 1
n 1


   bn an
   dx ( x ) x ,
    b*n c n
n 1
n 1
   dx ( x ) x
    dx * ( x )( x )
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122
Produto escalar
   c n En   dE c(E) E
n
   bn En   dE b(E) E
n
    b*n c n   dE b*(E) c(E)
n
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123
Sistemas Compostos
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124
Sistemas compostos
|anI
|bsII
sistema I
sistema II
 I   n an
n
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I
 II   s bs
II
s
125
Sistemas compostos
|an, bs 
subsistema I
subsistema II
sistema composto
   cn,s an, bs
n,s
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126
Produto tensorial
an, bs  an I bs
II
 an I  bs
II
A notação do produto tensorial torna
evidentes algumas propriedades que os
estados do sistema composto devem ter.
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127
Produto tensorial
Por exemplo:
• sistema I no estado  I 

an
I
   s bs
II
n
n
• sistema II no estado 
II
s
sistema composto no estado



,    I  II    n an I    s bs II 
 n
 s

  ns an I bs II
n,s
  ns an , bs
n,s
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128
Produto tensorial
Note que
an, bs ,   n s  I an  I II bs  II
ou, de maneira geral,









 ,  ,    (n s )* (n s )    n* n   s* s 
 n
 s

n,s
 I   I II   II
Uma consequência disso é
P(an , bs )  PI (an ) PII (bs )
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129
Estados separáveis
Estado geral do sistema composto:    cn,s an, bs
n,s
• Estados separáveis (estados “produto” ou “fatorizáveis”):
  I
II

sistema I no estado |, sistema II no estado |
   n s an, bs
n,s
cn,s  n s
Nem todo estado é separável, pois nem sempre cn,s  n s.
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130
Estados emaranhados
Exemplo: o estado
1
1
 
a1, b1 
a 2 , b2
2
2
não é separável, do contrário deveríamos ter
1 1  2 2 
1
2
e
1 2  2 1  0
o que é impossível. A primeira equação diz que todos
os ’s e ’s são diferentes de 0 e a segunda diz que
pelo menos dois deles são nulos.
Estados não-separáveis são chamados de
estados emaranhados.
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131
Estados emaranhados
Outro exemplo: a função de onda de duas partículas
   dx 1dx 2 (x1, x 2 ) x1, x 2
O estado | é separável se
(x1, x 2 )  (x1) (x 2 )
pois nesse caso
 
 dx (x ) x   dx (x ) x   
1
1
1
I
2
2
2 II
I
  II
Se (x1, x 2 )  (x1) (x 2 ) o estado | é emaranhado.
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132
Emaranhamento
• Não é possível associar vetores de estado aos subsistemas
individuais.
• O emaranhamento pode ocorrer mesmo quando os
subsistemas estão separados por distâncias macroscópicas,
• Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos da
mecânica quântica.
“O melhor conhecimento possível de um todo não inclui o
melhor conhecimento possível de suas partes, nem mesmo
quando essas estão completamente separadas umas das
outras e no momento não influenciam umas às outras.”
- E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics
(o artigo de 1935 onde apareceu o gato de Schroedinger)
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133
Aplicações a sistemas simples
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134
Informação quântica
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135
Aplicações a sistemas simples
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Interferômetro de Mach-Zehnder
Medida sem interação
O problema de Deutsch
Molécula de H2+
Benzeno, amônia
Polarização do fóton
ainda não estão
nestas notas
Oscilação de neutrinos
Spin ½
Informação quântica
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136
Interferômetro de Mach-Zehnder
•
•
•
•
Interferência de uma partícula
Descrição quântica do interferômetro
Interferência e indistinguibilidade
Defasagem
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137
O interferômetro de Mach-Zehnder
100%
interferência
construtiva
“ondas”
D1
0%
interferência
destrutiva
D2
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138
O interferômetro de Mach-Zehnder
25%
50%
25%
2
1
D1 e D2 nunca disparam em coincidência
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“partículas”
139
Descrição quântica do interferômetro
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1
(caminho 1)
2
(caminho 2)
140
Espaço de estados
2
  c1 1  c 2 2
1
 P1  c1 2
probabilidades: 
2
P2  c 2
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141
Semiespelho
2
1
1
1
1
1 
1 
2
2
2
evolução
unitária
2
1
1
1
2 
1 
2
2
2
2
probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2
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142
Semiespelho
2
1
1
1 
2
2
2
1
sinal negativo: evolução
unitária conserva a
ortogonalidade
1
1
1 
2
2
2
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143
Interferômetro
D1
D2
2
1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
1
144
Interferômetro
Estado inicial: 1
1
1
1 
2
Primeiro semiespelho: 1 
2
2
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145
Interferômetro
Segundo semiespelho:
1
1
1  1
1
1
 1  1

1 
2 
1

2

1

2




2
2
2 2
2 
2 2
2 
ou seja, o estado final é
 1 1
 1 1
  1    2  1
 2 2
 2 2
interferência
construtiva
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interferência
destrutiva
P1 = 100%
P2 = 0%
146
O que interfere?
 1 1
 1 1

1



  2
 2 2
 2 2
(1-1-1)
(1-1-2)
(1-2-1)
(1-2-2)
1
2
2
1
1
1
2
1
soma das amplitudes de probabilidade associadas
a caminhos alternativos indistinguíveis
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147
Caminho bloqueado
D1
D2
2
1
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148
Caminho bloqueado
Estado inicial: 1
1
1
1 
2
Primeiro semiespelho: 1 
2
2
Bloqueio:
1
1
1
1
1 
2 
1 

2
2
2
2
fóton bloqueado
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149
Caminho bloqueado
Segundo semiespelho:
1
1
1  1
1
 1
1 
 
1 
2 


2
2
2 2
2 
2
ou seja, o estado final é
1
1
1
1  2 

2
2
2
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P1 = 25%
P2 = 25%
P = 50%
150
Por que não há interferência?
1
1
1
1  2 

2
2
2
(1-1-1)
(1-2-)
(1-1-2)
1
2
1
1
1
1
2

1
não há caminhos alternativos para cada um dos
estados finais  não há interferência
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151
Caminhos alternativos distinguíveis
D1
D2
mola
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152
Caminhos alternativos distinguíveis
1R , 2 R , 1M , 2 M
Estado inicial:
1R
Primeiro semiespelho:
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• 1, 2: caminho do fóton
• R: espelho em repouso
• M: espelho em movimento
1R 
1
1
1R 
2M
2
2
153
Caminhos alternativos distinguíveis
Segundo semiespelho:
1
1
1  1
1
1R 
2M 
1R 
2R

2
2
2 2
2
1
 1  1

1M 
2M 


2 2
2


ou seja, o estado final é
1
1
1
1
1R  1M  2 R  2 M
2
2
2
2
P1 = P(1, R) + P(1, M) = 50%
P2 = P(2, R) + P(2, M) = 50%
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soma de probabilidades,
não de amplitudes
154
Apagando a informação sobre o caminho
D1 100%
D2 0%
mola
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155
Apagando a informação sobre o caminho
Segundo semiespelho:
1
1
1  1
1
1R 
2M 
1R 
2M

2
2
2 2
2
1
 1  1

1R 
2M 


2 2
2


ou seja, o estado final é
1R
a informação sobre o caminho foi apagada
e a interferência restabelecida
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156
Defasagem
As probabilidades P1 e P2 dependem
de diferenças entre os dois caminhos.
L1 – L2 (λ/50)
distância
percorrida
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densidade do material
atravessado
157
Defasagem
características do caminho percorrido  “fase”
1
2
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1
ei1 1
2
ei2 2
158
Defasagem
D1
D2
2
1
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159
Defasagem
Estado inicial: 1
1
1
1 
2
Primeiro semiespelho: 1 
2
2
Defasadores:
1
1
1 i1
1 i2
1 
2 
e 1 
e 2
2
2
2
2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
160
Defasagem
Segundo semiespelho:
i 2
e i1
e i 2
e i1  1
1
e
1

 1

1 
2 
1

2

1

2




2
2
2 2
2 
2 2
2 
ou seja,
 ei1  ei2 
 ei1  ei2 
ei1
ei2
1 
2  
 1  
 2
2
2
2
2




C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
161
Defasagem
• Após o segundo semiespelho:   c1 1  c 2 2
ei1  ei2
c1 
2
ei1  ei2
c2 
2
• Probabilidades:
P1  c1 
2
1
1  cos1  2 
2
P2  c 2 
2
P1
P2
1
0
1
1  cos(1  2 )
2
1

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1 – 2
0

1 – 2
162
Defasagem

2
n 
Ln  k Ln

L1 – L2 (λ/50)
após uma distância “extra” x: n  ei kx n
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163
Medida sem interação
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
164
O palito de fósforo quântico
• fósforo “bom”
fóton
• fósforo “ruim”
fóton
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165
O palito de fósforo quântico
palitos bons e ruins misturados
Problema: como encher uma caixa de
fósforos apenas com palitos bons?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
166
Teste clássico
palito bom
queimado
palito ruim
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
167
Teste quântico
D1
D2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
168
Palito ruim
D1 100%
transparente
D2 0%
palito ruim  D2 nunca dispara
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
169
Palito bom
D1 25%
50%
D2 25%
palito bom  D2 dispara em 25% das vezes,
e o fósforo permanece intacto
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
170
Teste quântico
• D2  fósforo bom intacto
• D1  fósforo bom intacto ou fósforo ruim
• Fósforo acende  fósforo bom queimado
Dos fósforos bons:
• 25% estão identificados e intactos
• 50% foram queimados
• 25% em dúvida
Retestando os casos duvidosos é possível
identificar 1/3 dos fósforos bons.
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171
O problema de Deutsch
Como saber se uma moeda é honesta ou viciada?
1ª lado
2ª lado
moeda honesta
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
1ª lado
2ª lado
moeda viciada
172
O problema de Deutsch
Resposta “clássica”: olhando os dois lados
1ª lado
2ª lado
honesta
4 possibilidades
viciada
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
173
O problema de Deutsch
Podemos espiar os dois lados da moeda
com um único fóton?
Aparentemente, não!
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
174
Vendo os dois lados da moeda com um único fóton
D1
cara:  = 0
coroa:  = 
D2
2
1
2
1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
175
Vendo os dois lados da moeda com um único fóton
cara:  = 0
coroa:  = 
D1
D2
2
2
1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
1
176
Vendo os dois lados da moeda com um único fóton
P1  c1
2
P2  c 2
2
1
 1  cos1  2 
2
moeda viciada:
1  2
1  2  0
1
 1  cos(1  2 )
2
D1
fóton em D1
moeda honesta:
D2
2
2
1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
1
1   2
1  2  
fóton em D2
177
O início da computação quântica
f : {0,1}  {0,1}
x=0
x=1
f1
0
0
f2
1
1
f3
0
1
f4
1
0
f constante
f “balanceada”
É possível descobrir se a função é constante
com um único cálculo de f ?
• D. Deutsch, Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer,
Proceedings of the Royal Society A 400, p. 97-117 (1985).
• D. Deutsch, R. Jozsa. Rapid solutions of problems by quantum computation, Proceedings of the
Royal Society of London A 439, p. 553-558 (1992).
• R. Cleve, A. Ekert, C. Macchiavello, M. Mosca, Quantum algorithms revisited, Proceedings of the
Royal Society of London A 454, p. 339-354 (1998).
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
178
Realismo, Contextualidade e Localidade
“Eu só gostaria de saber que diabos está acontecendo, é só! Eu gostaria de saber
que diabos está acontecendo! Você sabe que diabos está acontecendo?”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
181
Variáveis ocultas
Medidas:
• revelam um valor preexistente?
• criam o resultado encontrado?
A()
grandeza medida
no experimento
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
variável “oculta” que
determina o valor de A
182
Experimentos com um sistema composto
AI = 1
AII = 1
I
II
BI = 1
incompatíveis
BII = 1
compatíveis
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
183
Quatro experimentos com um sistema composto
Quatro experimentos possíveis:
1) Medida de AI e AII
AI = +1 e AII = +1  encontrado algumas vezes
2) Medida de AI e BII
AI = +1 e BII = +1  nunca encontrado
3) Medida de BI e AII
BI = +1 e AII = +1  nunca encontrado
4) Medida de BI e BII
BI = -1 e BII = -1  nunca encontrado
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184
Quatro experimentos com um sistema composto
1) P(AI, AII)
(em %)
grau de emaranhamento
2) P(AI, BII) = 0
3) P(BI, AII) = 0
4) P(BI, BII) = 0
A. G. White, D. F. V. James, P. H. Eberhard, P. G. Kwiat,
Nonmaximally Entangled States: Production, Characterization,
and Utilization, Physical Review Letters 83, 3013 (1999)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
185
Experimentos com um sistema composto
Se os valores de AI, AII, BI e BII já
existiam antes das medidas:
AI = +1
AII = +1
sempre
BI = -1
BII = -1
!!
Mas BI = BII = -1 nunca é encontrado (exp. 4)!
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186
Estados de Hardy
1
 BI ,BII   BI ,BII   BI ,BII 
 
3

estado emaranhado
P(BI, BII) = 0  experimento 4
L. Hardy, Quantum Mechanics, Local Realistic Theories, and LorentzInvariant Realistic Theories, Physical Review Letters 68, 2981 (1992).
L. Hardy, Nonlocality for two particles without inequalities for almost all
entangled states, Physical Review Letters 71, 1665 (1993)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
187
Estados de Hardy
Experimentos 1, 2 e 3:
A
1
 A  A 
B 
2
1
 A   A  
B 
2
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B
B
A
188
Estados de Hardy
Experimentos 1, 2 e 3:
1
2 BI , AII   BI , AII   BI , AII 
3)  
6

2)  
1
2 AI ,BII   AI ,BII   AI ,BII 
6

1)  
1
 AI , AII   AI , AII   AI , AII   3 AI , AII 
12
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
189

Contextualidade
A1(, C2 )
b1
b2
a1
a2
B1(, C2 )
(A, B)
o que está sendo
medido em 2 (A2 ou B2)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
190
Contextualidade
BI (, CII )
AI (, CII )
o que está sendo
medido em II (AII ou BII)
BII (, CI )
AII (, CI )
o que está sendo
medido em I (AI ou BI)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
191
Não-localidade
AI
AII
I
BI
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II
BII
192
O teorema de Bell
Qualquer teoria de variáveis ocultas
compatível com a mecânica quântica
é necessariamente não-local.
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193
Pauli
• The first question is . . . why not the p's as well as the q's
can be prescribed with arbitrary precision . . . One can
look at the world with the p-eye and one can look at it
with the q-eye but when one would like to open both
eyes, then one gets dizzy.
W. Pauli, letter to W. Heisenberg, 19 October 1926, p. 340
(ver A. Pais, Niels Bohr’s times, p. 304)
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204
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219
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220
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221
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222