Mecânica – Aula 7
Maria Augusta Constante Puget (Magu)
Energia (1)

Um dos conceitos mais importantes desenvolvidos
na física é o de energia.
◦ É preciso energia para executar qualquer movimento:
arremessar uma bola, transportar um equipamento para o
último andar de um edifício, atravessar o Oceano Atlântico
de avião, etc.
◦ Gasta-se verdadeiras fortunas para se obter e utilizar
energia.
◦ Guerras foram travadas por causa de fontes de energia.
◦ Guerras foram decididas pelo uso de armas que liberam
grande quantidades de energia de forma explosiva.
2
Energia (2)
A energia se manifesta na natureza sob duas formas
básicas:
1. Energia cinética: Energia associada ao estado de
movimento de um objeto.
2. Energia potencial:

◦ Quando um sistema de corpos está numa situação que lhe
permite entrar em movimento a qualquer instante,
dizemos que ele armazena energia potencial.
◦ A energia potencial pode se manifestar de várias formas:
gravitacional, elétrica, elástica.
3
Conservação de Energia (1)



Os vários tipos de energia podem se transformar uns
nos outros. Estas transformações são muito importantes
para o homem. Pode-se dizer que a própria vida se
fundamenta numa cadeia de transformações de energia.
Investigando uma grande variedade de fenômenos, os
cientistas constataram que a energia nunca desaparece e
nem é criada do nada.
Isto levou à formulação do Princípio da Conservação
de Energia:
Em um sistema energeticamente isolado,
a energia total permanece constante.
4
Trabalho (1)


Significado cotidiano da palavra trabalho: Qualquer
atividade que necessita de um esforço físico ou
intelectual.
Na física, este conceito possui uma definição mais
precisa. Vamos considerar inicialmente a seguinte
situação:
◦ Um corpo se desloca (por enquanto, vamos considerar que seja
em um movimento retilíneo) por uma distância s.
◦ O corpo se move sob a ação de uma força de módulo constante
F, que atua sobre ele na mesma direção e sentido de seu
deslocamento.
◦ Nestas condições, o trabalho W realizado pela força constante
F que atua sobre o corpo é definido como:
W = Fs
5
Trabalho – Unidade (1)
W = Fs

O trabalho realizado é tanto maior
quanto maior for a força F e/ou quanto
maior for o deslocamento s.

A unidade de trabalho é o Joule (J), em
homenagem a James Prescott Joule
(1818 – 1889), físico britânico que deu
importantes contribuições ao estudo da
natureza do calor e suas relações com o
trabalho mecânico.
1J = 1N∙m
6
Trabalho – Exemplo (1)
O carro de José morre no meio de um
cruzamento. Enquanto sua companheira gira o
volante, José empurra o carro 19 m para
desimpedir o cruzamento.
 Sabendo que ele empurra o carro com uma força
de 210 N na mesma direção e no mesmo sentido
do deslocamento, qual é o trabalho realizado por
esta força sobre o carro?

W = Fs = (210 N)(19 m) = 4,0 X 103 J
7
Trabalho – Força e Deslocamento com Direções
Diferentes (1)

Se José empurrasse o carro mantendo um ângulo 
com a direção do deslocamento, apenas a
componente da força na direção do
movimento do carro seria a força efetiva para
deslocar o carro.

Assim, quando a força 𝐹 e o deslocamento 𝑠
possuem direções diferentes, tomamos o
componente de 𝐹 na direção do deslocamento 𝑠 e
definimos o trabalho como o produto deste
componente pelo módulo do deslocamento:
W = Fs cos 
8
Trabalho – Força e Deslocamento com Direções
Diferentes (2)
W = Fs cos 

Esta equação possui a forma de um produto escalar
entre dois vetores:
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠

Assim, podemos escrever a definição de trabalho de
uma forma mais genérica:
𝑊 =𝐹∙𝑠

Deve-se observar que o resultado do produto escalar
entre dois vetores é uma grandeza escalar.
9
Trabalho – Força e Deslocamento com Direções
Diferentes (3)

Para calcular o trabalho que uma força
realiza sobre um objeto quando este sofre
um deslocamento, usamos apenas a
componente da força na direção do
deslocamento do objeto.

A componente da força perpendicular
ao deslocamento não realiza trabalho.
10
Trabalho – Força e Deslocamento (1)
O trabalho de uma força pode ser positivo, negativo ou
nulo.
 Verificando a expressão:
W = Fs cos 
temos as seguintes possibilidades:
1. Se a força possui uma componente na mesma
direção e no mesmo sentido do deslocamento:

◦ O ângulo  é agudo (00    900) e cos  é positivo.
◦ O trabalho é positivo. Dizemos que o trabalho da força é
motor.
𝐹

𝑠
11
Trabalho – Força e Deslocamento (2)
2.
Se a força possui uma componente na
mesma direção e no sentido oposto ao do
deslocamento:
◦ O ângulo  é obtuso (900    1800) e cos  é negativo.
◦ O trabalho é negativo. Dizemos que o trabalho da
força é resistente.
𝐹

𝑠
12
Trabalho – Força e Deslocamento (3)
3.
Se a força
deslocamento:
é
perpendicular
ao
◦  = 900 e cos  é nulo.
◦ O trabalho é nulo.
𝐹
.

𝑠
13
Trabalho e Energia Cinética (1)

Consideremos uma partícula de massa m movendo-se
ao longo do eixo Ox sob a ação de uma força
resultante constante de módulo F, orientada no
sentido positivo do eixo Ox, conforme figura abaixo:
m
𝐹

A aceleração da partícula, neste caso, é constante
e é dada pela segunda lei de Newton, F = ma.

Suponha que a velocidade varie de v1 a v2 enquanto a
partícula vai do ponto x1 a x2, realizando um
deslocamento s = x2 – x1.
14
Trabalho e Energia Cinética (2)
A partir da equação de Torricelli:
v22 = v12 + 2∙a∙s
conseguimos expressar a aceleração em termos das
velocidades inicial e final e do deslocamento:
v22−v12
𝑎=
2𝑠
 Assim:
v22−v12
𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚
2𝑠

e o trabalho W é dado por:
W = Fs = 𝑚
v22−v12
2
15
Trabalho e Energia Cinética (3)

Assim:
W
1
1
2
= 𝑚v2 - 𝑚v12
2
2
1
𝑚v2
2
A grandeza K =
denomina-se energia
cinética da partícula.
 A energia cinética é uma grandeza escalar que
depende apenas da massa e do módulo da
velocidade da partícula.
 A energia cinética nunca pode ser negativa,
sendo igual a zero apenas quando a partícula está
em repouso.

16
Trabalho e Energia Cinética (4)

Na equação:
W
1
1
2
= 𝑚v2 - 𝑚v12
2
2
O primeiro termo do membro direito é
1
K2= 𝑚v22 , a energia cinética final da partícula,
2
após o deslocamento.
 O segundo termo do membro direito é a energia
1
cinética inicial K1= 𝑚v12.

2

A diferença entre os dois termos é a variação da
energia cinética.
17
Trabalho e Energia Cinética (5)

Desta forma, a equação:
W
1
1
2
= 𝑚v2 - 𝑚v12
2
2
mostra que:
 O trabalho realizado pela força resultante
sobre a partícula fornece a variação da
energia cinética da partícula.

Este resultado é conhecido como Teorema do
trabalho-energia:
WTOT = K2 – K1 = K
18
Trabalho e Energia Cinética (6)
1.
Quando WTOT > 0 : K2 > K1 , isto é, a energia
cinética aumenta e a velocidade final da partícula
é maior do que a sua velocidade inicial.
2.
Quando WTOT < 0 : K2 < K1 , isto é, a energia
cinética diminui e a velocidade final da partícula é
menor do que a sua velocidade inicial.
3.
Quando WTOT = 0 : K2 = K1 e a velocidade não
se altera.
19
Trabalho e Energia Cinética (7)
Unidades:
 Pela equação WTOT = K2 – K1 = K, vemos
que trabalho e energia cinética têm as
mesmas unidades.

A unidade no SI, tanto para a energia
cinética como para o trabalho é o Joule.
20
Trabalho Realizado pela Força Gravitacional (1)

Consideremos uma bola de massa m sendo
arremessada para cima com velocidade inicial v0, como
mostra a figura ao lado.
Sua energia cinética inicial será dada por

Na subida a bola é desacelerada pela força gravitacional
𝐹 g.
O trabalho realizado pela força gravitacional cujo
módulo é dado por Fg = mg é dado por:
Wg = mgd cos


𝑑
1
𝑚v02.
2


𝑣0
𝐹g
Durante a subida, a força gravitacional tem sentido
contrário ao do deslocamento: logo  = 1800 e temos:
Wg = -mgd
O sinal negativo indica que, durante a subida, a força
gravitacional remove uma energia mgd da energia
cinética do objeto. Isto está de acordo com o fato de
que o objeto perde velocidade na subida.
21
Trabalho Realizado pela Força Gravitacional (2)


Depois que o objeto atinge a altura máxima e começa a
descer, o ângulo  entre a força 𝐹 g e o deslocamento 𝑑
é zero. Assim:
Wg=mgd cos 00
Ou seja:
Wg= +mgd

𝑑
𝐹g
O sinal positivo indica que, na descida, a força
gravitacional transfere uma energia mgd para a energia
cinética do objeto. Isto está de acordo com o fato de
que o objeto ganha velocidade na descida.
22
Trabalho Realizado para Levantar e Baixar um
Objeto (1)
Vamos supor que levantamos um objeto, aplicando
sobre ele uma força vertical 𝐹. Esta força, sendo na
mesma direção do deslocamento, realiza um trabalho
positivo Wa sobre o objeto.
 Ao mesmo tempo, a força gravitacional, que atua no
sentido contrário ao deslocamento realiza um trabalho
negativo Wg sobre o objeto.
 A variação K na energia cinética do objeto, devido a
estas duas transferências de energia (a força aplicada
transfere energia para o objeto e a força gravitacional
remove energia do objeto) é:
K = Kf – Ki = Wa + Wg
onde:
Kf  Energia cinética no fim do deslocamento.
Ki  Energia cinética no início do deslocamento.

𝐹
𝑑
𝐹g
23
Trabalho Realizado para Levantar e Baixar um
Objeto (2)

Note-se que a mesma equação:
K = Kf – Ki = Wa + Wg
também se aplica à descida do objeto, mas neste caso:
 A força gravitacional realiza um trabalho positivo, pois
atua no mesmo sentido do deslocamento.
 A força aplicada realiza um trabalho negativo, pois atua
no sentido contrário ao do deslocamento.

𝐹
𝑑
𝐹g
Em muitos casos, o objeto está em repouso antes e
depois do levantamento. Exemplo: Quando você
levanta um livro do chão e o coloca sobre uma mesa.
Neste caso, Kf e Ki são nulas e temos:
Wa + Wg = 0
Wa = -Wg
Wa = -mgd cos 
24
Trabalho Realizado para Levantar e Baixar um
Objeto (3)

De:
Wa = -mgd cos 

Se o deslocamento é verticalmente para cima:  = 1800 e o trabalho
realizado pela força aplicada é:
Wa = mgd.

Se o deslocamento é verticalmente para baixo:  = 00 e o trabalho
realizado pela força aplicada é:
Wa = -mgd.

Estas equações se aplicam a qualquer situação em que o objeto é
levantado ou baixado, com o objeto em repouso antes e depois do
deslocamento. Exemplo: Se você levanta um copo que estava no chão
acima da sua cabeça, a força que você exerce sobre o copo varia
consideravelmente durante o levantamento. Mesmo assim, como o copo
está em repouso antes e depois do levantamento, o trabalho que a força
aplicada por você ao copo realiza é dado por Wa = mgd.
25
Força Elástica (1)




A figura ao lado mostra uma
mola no seu estado relaxado,
ou seja, nem comprimida nem
alongada.
Uma das extremidades está fixa
e, na outra extremidade, tem-se
um bloco preso a ela.
Se alongarmos a mola, puxando
o bloco para a direita, a mola
puxa o bloco para a esquerda.
Se comprimirmos a mola
empurrando o bloco para a
esquerda, a mola empurra o
bloco para a direita.
26
Força Elástica (2)
Como uma boa aproximação para muitas molas, a força 𝐹𝑒𝑙 de
uma mola é proporcional ao deslocamento 𝑑 da extremidade
livre a partir da posição que ocupa quando a mola está no estado
relaxado.
 Assim, a força é dada por:
𝐹𝑒𝑙 = −𝑘𝑑

conhecida como Lei de Hooke, em homenagem a Robert Hooke,
cientista inglês do final do século XVII.

O sinal negativo indica que o sentido da força elástica é
sempre oposto ao sentido do deslocamento da
extremidade livre da mola.

A constante k é chamada de constante elástica e é uma
medida da rigidez da mola. Sua unidade no SI é o newton por
metro.
27
Força Elástica (3)

Adotando o eixo x como aquele ao longo do qual
ocorre o deslocamento, podemos escrever:
Fx = -kx

Nesta equação:
◦ Se x é positivo (ou seja, a mola está alongada para a direita), Fx é
negativa (é um puxão para a esquerda).
◦ Se x é negativo (ou seja, a mola está comprimida para a esquerda), Fx
é positiva (é um empurrão para a direita).

Deve-se notar que a força elástica é uma força variável, uma
vez que depende de x, a posição da extremidade livre.
28
Trabalho Realizado por uma Força Elástica (1)
Para determinar o trabalho realizado pela mola
quando o bloco preso a ela se move, vamos fazer
as seguintes hipóteses:
1. A mola não tem massa: sua massa é desprezível
em relação à massa do bloco.
2. A mola é ideal, isto é, obedece exatamente à lei
de Hooke.


Também vamos supor que não exista atrito entre o
bloco e o piso.
29
Trabalho Realizado por uma Força Elástica (2)
Vamos agora dar ao bloco um impulso para a
direita, apenas para colocá-lo em movimento.
 Quando o bloco se move para a direita a força
elástica Fx realiza trabalho sobre ele, diminuindo a
energia cinética e desacelerando o bloco.
 Entretanto, não podemos calcular o trabalho
usando a expressão W = Fd cos  porque essa
equação supõe que a força F é constante. E
sabemos que a força elástica é variável.
 Para efetuar este cálculo, precisamos do cálculo
integral.

30
Trabalho Realizado por uma Força Elástica (3)
Seja xi a posição inicial do bloco e xf a posição do
bloco em um instante posterior.
 Obtemos o trabalho da força elástica
calculando:

𝑥𝑓
𝑊𝑒𝑙 =
𝑥𝑓
𝑊𝑒𝑙 = −
𝑥𝑖
𝑊𝑒𝑙 =
𝐹𝑥 𝑑𝑥
𝑥𝑖
−𝑘𝑥 2 xf
𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
|
2 xi
1
𝑘𝑥𝑖 2
2
-
1
𝑘𝑥𝑓 2
2
31
Trabalho Realizado por uma Força Elástica (4)

O trabalho realizado pela mola pode ser negativo ou
positivo, dependendo do fato de a transferência total de
energia ser do bloco para a mola ou da mola para o bloco
quando este se move de xi para xf.
Trabalho Realizado por uma Força Aplicada
Vamos supor que deslocamos o bloco ao longo do eixo x,
mantendo uma força 𝐹𝑎 aplicada ao bloco.
 Durante o deslocamento a força aplicada realiza sobre o
bloco um trabalho Wa, enquanto a força elástica realiza um
trabalho Wel.
 A variação K da energia cinética do bloco devido a estas
duas transferências de energia é:
K = Kf – Ki = Wa+Wel

32
Trabalho Realizado por uma Força Elástica (5)

Avaliando esta expressão:
K = Kf – Ki = Wa+Wel
se o bloco está em repouso no início e no fim do
deslocamento, Ki e Kf são iguais a zero e temos:
Wa = - Wel

Assim, se um bloco que está preso a uma mola se
encontra em repouso antes e depois de um
deslocamento, o trabalho realizado sobre o bloco pela
força aplicada responsável pelo deslocamento é o
negativo do trabalho realizado sobre o bloco pela força
elástica.
33
Trabalho Realizado por uma Força Variável
Genérica (1)

Considerando uma força variável F(x) unidimensional
qualquer, o trabalho realizado por esta força sobre uma
partícula quando ela se desloca de uma posição inicial xi
para uma posição final xf é dado por:
𝑥𝑓
𝑊=
𝐹(𝑥) 𝑑𝑥
𝑥𝑖

Geometricamente, o trabalho é igual à área entre a curva
de F(x) e o eixo x, entre os limites xi e xf:
34
Trabalho Realizado por uma Força Variável
Genérica (2)

Se a força for tridimensional, podemos expressá-la como:
𝐹 = 𝐹𝑥𝒊 + 𝐹𝑦𝒋 + 𝐹𝑧𝒌

Supondo que
incremental:
a
partícula
sofra
um
deslocamento
d𝑟 = 𝑑𝑥𝒊 + 𝑑𝑦𝒋 + 𝑑𝑧𝒌
e teremos que:

dW = 𝐹 ∙ 𝑑𝑟
O trabalho realizado pela força 𝐹 enquanto a partícula se
move de uma posição inicial ri = (xi, yi, zi) para uma posição
final rf = (xf, yf, zf) é, portanto:
𝑟𝑓
𝑊=
𝑥𝑓
𝑑𝑊 =
𝑟𝑖
𝑦𝑓
𝐹𝑥 𝑑𝑥 +
𝑥𝑖
𝑧𝑓
𝐹𝑦 𝑑𝑥 +
𝑦𝑖
𝐹𝑧 𝑑𝑥
𝑧𝑖
35
Potência (1)



A taxa de variação com o tempo do trabalho realizado por
uma força recebe o nome de potência.
Se uma força realiza um trabalho W em um intervalo de
tempo t, a potência média desenvolvida durante esse
intervalo de tempo é:
𝑊
𝑃𝑚𝑒𝑑 =
∆𝑡
A potência instantânea P é a taxa de variação instantânea
com a qual o trabalho é realizado, podendo ser expressa
como:
𝑑𝑊
𝑃=
𝑑𝑡
36
Potência (2)


Também podemos expressar a taxa com a qual uma força
realiza trabalho sobre uma partícula em termos da força e
da velocidade da partícula.
Para uma partícula que se move em linha reta (ao longo do
eixo x, digamos) sob a ação de uma força que faz um ângulo
 com a direção do movimento da partícula, temos:
𝑑𝑊 𝐹 𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑃=
=
= 𝐹 𝑐𝑜𝑠
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑃 = 𝐹 𝑣 𝑐𝑜𝑠
ou ainda:
𝑃 =𝐹∙𝑣
37
Potência – Unidade (1)

No SI, a unidade de potência é o
watt (W) que equivale ao voltampère:
1 V∙A = (1 J/C) ∙ (1 C/s)
= (1 J/s) = 1 W
James Watt (Greenock, Escócia, 19
de Janeiro de 1736 — Heathfield
Hall, Inglaterra, 25 de Agosto de
1819) foi um matemático e
engenheiro escocês.
 Construtor
de
instrumentos
científicos,
destacou-se
pelos
melhoramentos que introduziu no
motor a vapor, que se
constituíram
num
passo
fundamental para a Revolução
Industrial.

38