CIÊNCIA E ENG MATERIAIS
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
A célula unitária é a base, com o sistema de
coordenadas com três eixos.
Em todos os sistemas cristalinos, à exceção do sistema
hexagonal, os planos cristalográficos são especificados por
três índices de Miller como (hkl).
Quaisquer dois planos paralelos
equivalentes e possuem índices idênticos.
entre
si
são
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Procedimento para determinação dos valores dos
índices h, k e l:
1) Se o plano passa pela origem selecionada, um outro plano
paralelo deve ser construído no interior da célula unitária
mediante uma translação apropriada ou uma nova origem
deve ser estabelecida no vértice de uma outra célula
unitária.
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
2. Feito isso, o plano cristalográfico ou interceptará cada um
dos três eixos ou será paralelo a algum dos eixos; o
comprimento da interseção do plano com cada eixo é
determinado em termos dos parâmetros da rede cristalina
a, b e c.
3. Os valores inversos desses números são calculados. Um
plano que é paralelo a um eixo pode ser considerado como
tendo uma interseção no infinito e, portanto, um índice igual
a zero.
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
4. Se necessário, esses três números são modificados para o
conjunto de menores números inteiros pela multiplicação ou
divisão por um fator comum.
5. Finalmente, os índices inteiros, não separados por vírgulas,
são colocados entre parênteses, obtendo-se (hkl)
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Uma interseção no lado negativo da origem é indicada
por uma barra ou por um sinal de menos posicionado sobre o
índice apropriado.
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Representações de uma série de planos cristalográficos equivalentes
Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008
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Representações de uma série de planos cristalográficos equivalentes
Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Uma característica interessante e exclusiva dos cristais
cúbicos é o fato de que os planos e as direções que possuem
os mesmos índices são perpendiculares entre si; para os
demais sistemas cristalinos não existem relações geométricas
simples entre planos e direções com os mesmos índices.
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
1) Determine os índices de Miller para o plano mostrado na figura a
seguir:
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
1) Determine os índices de Miller para o plano mostrado na
figura a seguir:
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
1) Determine os índices de Miller para o plano mostrado na figura a
seguir:
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
2) Construa o plano (011) no interior de uma célula unitária
cúbica.
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
2) Construa o plano (011) no interior de uma célula unitária
cúbica.
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Arranjos atômicos
O arranjo atômico depende da estrutura cristalina.
Os plano atômicos (110) para as estruturas cristalinas
CFC e CCC estão representados abaixo, pelo modelo de
esferas reduzidas.
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Arranjos atômicos
O arranjo atômico depende da estrutura cristalina.
Os plano atômicos (110) para as estruturas cristalinas
CFC e CCC estão representados abaixo, pelo modelo de
esferas reduzidas.
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Nas figuras vê-se que o empacotamento atômico é
diferente para cada caso.
Os círculos representam os átomos localizados nos
planos cristalográficos, da forma como eles seriam obtidos de
um corte feito através dos centros das esferas rígidas se
tocando.
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Uma família de planos contém todos aqueles planos que
são cristalograficamente equivalentes, ou seja, que possuem o
mesmo empacotamento atômico; e uma família é designada
por índices que são colocados entre chaves, tal como {100}.
Por exemplo, nos cristais cúbicos, os plano (111), (111),
(111), (111), (111), (111), (111) e (111) pertencem todos à
família {111}.
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Por outro lado, para estruturas cristalinas tetragonais, a
família {100} conteria apenas os planos (100), (100), (010) e
(0 1 0), uma vez que os planos (001) e (00 1 ) não são
cristalograficamente equivalentes.
Apenas no sistema cúbico, os planos que possuem os
mesmos índices, independentemente de sua ordem e do seu
sinal, são equivalentes. Por exemplo, tanto (123) como (312)
pertencem à família {123}.
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
1) Quais são os índices para os dois planos representados na
figura que se segue?
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
2. Esboce no interior de uma célula unitária cúbica os
seguintes planos:
a) (101)
c) (012)
e) (111)
g) (312)
b) (211)
d) (313)
f) (212)
h) (301)
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
3) Determine os índices de Miller para os planos que estão
mostrados na seguinte célula unitária:
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
4) Determine os índices de Miller para os planos que estão
mostrados na seguinte célula unitária:
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
5) Determine os índices de Miller para os planos que estão
mostrados na seguinte célula unitária:
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PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
6) Esboce o empacotamento atômico para:
a) O plano (100) da estrutura cristalina CFC;
b) O plano (111) da estrutura cristalina CCC
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DENSIDADE LINEAR E PLANAR
A equivalência direcional está relacionada à densidade
linear no sentido de que, para um material específico, direções
equivalentes possuem densidades lineares idênticas.
O
parâmetro
correspondente
para
planos
cristalográficos é a densidade planar e planos com mesmos
valores para a densidade planar também são equivalentes.
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DENSIDADE LINEAR E PLANAR
A densidade linear (DL) é definida como o número de
átomos por unidade de comprimento cujos centros estão sobre
o vetor direção para uma direção cristalográfica específica.
número de átomos centrados no vetor direção
DL =
comprimento do vetor direção
A unidade no SI para densidade linear é m-1.
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DENSIDADE LINEAR E PLANAR
Por exemplo, vamos determinar a densidade linear da
direção [110] para a estrutura cristalina CFC.
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DENSIDADE LINEAR E PLANAR
Por exemplo, vamos determinar a densidade linear da
direção [110] para a estrutura cristalina CFC.
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DENSIDADE LINEAR E PLANAR
Estão representados na figura anterior os cinco átomos
da face inferior da célula unitária; o vetor direção [110] passa
do centro do átomo X, através do átomo Y, até finalmente o
centro do átomo Z.
Em relação ao número de átomos, é necessário levar
em consideração o compartilhamento de átomos com células
unitárias adjacentes.
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DENSIDADE LINEAR E PLANAR
Cada um dos átomos de vértice X e Z também é
compartilhado com uma outra célula unitária adjacente ao
longo dessa direção [110].
Dessa forma, existe uma equivalência de dois átomos
ao longo do vetor direção [110] na célula unitária.
O comprimento do vetor direção é igual a 4R.
DL110
2 átomos
1
=
=
4R
2R
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DENSIDADE LINEAR E PLANAR
A densidade planar é definida como o número de
átomos por unidade de área que estão contidos em um plano
cristalográfico específico, ou seja:
número de átomos no plano
DP =
área do plano
A unidade da densidade planar no SI é m-2.
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DENSIDADE LINEAR E PLANAR
Por exemplo seja a seção de um plano (110) no interior
de uma célula unitária CFC.
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DENSIDADE LINEAR E PLANAR
Embora seis átomos tenham centros localizados nesse
plano, apenas um quarto de cada um dos átomos A, C, D e F e
metade dos átomos B e E, para uma equivalência total de
apenas 2 átomos, estão sobre aquele plano.
A área dessa seção retangular é igual ao produto do seu
comprimento pela largura, isto é, 4R e 2R 2, respectivamente.
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DENSIDADE LINEAR E PLANAR
Dessa forma :
𝐷𝑃110 =
2 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠
4𝑅. 2𝑅 2
=
1
4R2 2
As densidades linear e planar são considerações
importantes relacionadas ao processo de escorregamento, ou
seja, ao mecanismo pelo qual os metais se deformam
plasticamente. O escorregamento ocorre nos planos
cristalográficos mais compactos e, nesses planos, ao longo
das direções que possuem maior empacotamento atômico.
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DENSIDADE LINEAR E PLANAR
1) Faça o que se pede:
a) Desenvolva expressões para a densidade linear para as
direções [100] e [111] em estruturas cristalinas CFC em
termos do raio atômico R.
b) Calcule e compare os valores da densidade linear para
essas mesmas duas direções no cobre.
Dado Rcu = 0,1278 nm
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DENSIDADE LINEAR E PLANAR
2) Faça o que se pede:
a) Desenvolva expressões para a densidade linear para as
direções [110] e [111] em estruturas cristalinas CCC em
termos do raio atômico R.
b) Calcule e compare os valores da densidade linear para
essas mesmas duas direções no ferro.
Dado: Rfe = 0,1241 nm
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DENSIDADE LINEAR E PLANAR
3) Faça o que se pede:
a) Desenvolva expressões para a densidade planar para os
planos (100) e (111) em estruturas cristalinas CFC em
termos do raio atômico R.
b) Calcule e compare os valores da densidade planar para
essas mesmos dois planos no alumínio.
Dado Ral = 0,1431 nm
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DENSIDADE LINEAR E PLANAR
4) Faça o que se pede:
a) Desenvolva expressões para a densidade planar para os
planos (100) e (110) em estruturas cristalinas CCC em
termos do raio atômico R.
b) Calcule e compare os valores da densidade planar para
essas mesmas dois planos no molibdênio.
Dado Rmo 0,1363 nm