Determinação de Vazões Extremas
1
PROF. BENEDITO C. SILVA
Conteúdo
2
 Conceitos básicos
 Funções de probabilidade
 Função de distribuição empírica
 Distribuições teóricas de probabilidade
 Procedimento geral de ajuste
Conceitos básicos
3

Probabilidade: A probabilidade é a chance de ocorrência de
uma variável. Esta probabilidade pode ser individual ou
cumulativa. Ex. No lançamento de um dado, a probabilidade
de sair o número 3 é de 1/6 (individual); a chance de que
ocorra um número maior que 3 é de 3/6 ou ½ (cumulativa)
 O objetivo da análise de frequência ou probabilidades é
obter a relação entre a variável estudada e a probabilidade de
ocorrerem valores maiores ou iguais, quando se examinam
valores extremos superiores, e menores ou iguais em caso
contrário. Ou seja, obter a Função de Probabilidade
Conceitos básicos
4
A série de dados (amostra) utilizada na análise de
probabilidade deve possuir as seguintes características:
 Série de valores independentes entre si
 A série deve ser estacionária, ou homogênea, no tempo
 A série deve ser uma amostra representativa
Conceitos básicos
• Valores independentes: Os eventos são considerados
independentes quando não existe correlação entre os valores
da série
Ex.: Vazões máximas:
i. Valores máximos diários de cada ano
ii. Um valor para cada ano hidrológico
iii. O ano hidrológico corresponde ao período de 12
meses, começando no início do período
chuvoso e
terminando ao final da estação seca. Para o Sudeste do
Brasil inicia em outubro e termina em setembro do
ano seguinte
5
Conceitos básicos
Vazões diárias em Morpará (Rio São Francisco)
6000
5000
Máx. de
1996
Máx. de
1995/96
Máx. de
1995
3
Vazão (m /s)
4000
3000
2000
1000
Ano civil
0
31/12/94
31/12/95
6
Ano hidrológico
31/12/96
31/12/97
Conceitos básicos
• Série estacionária: as estatísticas da série não
podem se alterar ao longo do tempo
12000
Vazões do rio Paraná em Concórdia
10000
Vazão (m3/s)
8000
6000
4000
2000
0
1890
1900
1910
1920
1930
1940
7
1950
1960
1970
1980
1990
2000
Conceitos básicos
• Séries não-estacionárias
2500
1500
Vazões do rio Paraguai
1000
6000
500
0
jul-69
jul-71
jul-73
jul-75
jul-77
jul-79
jul-81
Vazões do rio Taquari (MT)
Vazão m édia m ens al (m 3/s )
Vazão (m3/s)
2000
5000
4000
3jul-83
000
2000
1000
0
8
D e z/6 2
D e z/6 4
D e z/6 6
D e z/6 8
D e z/7 0
D e z/7 2
D e z/7 4
D e z/7 6
D e z/7 8
D e z/8 0
D e z/8 2
Conceitos básicos
Amostra representativa: as estatísticas da
amostras devem ser representativas da
população. O número de anos de uma amostra
de valores é importante, mas não significa tudo
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Funções de probabilidade
Seja uma amostra com n valores da variável aleatória X,
dividida em classes com largura igual a ∆x
O número de observações no intervalo i é ni , cobrindo os
valores [xi - ∆x, xi]. A função de freqüência relativa será:
ni
f x i  
n
f(x)
Graficamente:
x
Histograma
10
f  xi   
xi
xi  x
Amostra
(a) Função de frequência
relativa
f (xi)
f x dx
População
(d) Função densidade de
probabilidade
f (xi)
1
x
0
Fx i    f x j 
x
0
xi
x
f x  
i
j1
(b) Função de frequência
acumulada
(c) Função distribuição de
probabilidade
F(x i)
F(xi)
1
F(x i)
F(xi)
F(xi-1)
0
x i-1 x i
x
F x  
0
lim
n  , x 0
F11
s x 
dF(x)
dx
xi
x
dF  x 
dx
Funções de probabilidade
Para uma variável aleatório contínua X, a função densidade de
probabilidade é uma função tal que
1)
f xi   0
2)
 f xdx  1


3) Pa  X  b 
 f xdx  área sob f(x) de a a b, para qualquer a e b
b
a
f (x)
12
a
b
x
Função distribuição de probabilidade
acumulada
Probabilidade de não-excedência
F x   P X  x 
Probabilidade da variável X ser
menor ou igual ao valor x
Probabilidade de excedência
P X  x   1  F  x 
Probabilidade da variável X ser
maior ou igual ao valor x
13
Tempo de retorno
• O tempo de retorno (TR) em hidrologia é utilizado para
caracterizar a freqüência de repetição de um evento. É
dado por:
1
TR 
P X  x 
• Ex. Uma inundação que tem a chance de ser maior
ou igual num ano qualquer de 0,05 ou 5%, tem um
tempo de retorno de 1/0,05 = 20 anos.
Significa que, em média, a inundação ocorrerá a cada
20 anos
Não significa repetição cíclica.
14
Risco hidrológico
O risco hidrológico (R) é a probabilidade de que um
evento com determinada magnitude será igualado ou
superado ao menos uma vez em um dado período de
anos (N). É calculado por:
R  1  1  P
N
Onde, P é a probabilidade anual de excedência.
15
Risco hidrológico
Exemplo:
O vertedor de uma barragem foi dimensionado para
uma vazão com TR de 50 anos. Qual o risco de sua
capacidade seja excedida nos próximos 20 anos? E
nos próximos 50 anos?
• Solução:
1
1
1
TR   P 

 0.02
P
TR 50
20anos
R  1  1  P   1  1  0.02  0.332
N
20
50anos
R  1  1  P   1  1  0.02  0.636
N
50
16
Função de distribuição empírica
17
• Ajuste gráfico dos pontos da amostra, utilizando
equações de posição de locação ou plotagem para
estimativa da probabilidade de excedência. Exemplo:
m
P (Q  qm ) 
n 1
Onde m é ordem dos valores (decrescente) da amostra
n é o tamanho da amostra.
Exemplo de ajuste empírico
18
Ano
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
Vazão
Máxima
145.5
183.8
289.5
131.3
227.3
167.3
104.3
263.3
157.5
240
170.3
210.8
184.5
Ordem
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Vazão
Máxima
289.5
263.3
240.0
227.3
210.8
184.5
183.8
170.3
167.3
157.5
145.5
131.3
104.3
Probabilidade
empírica
0.0714
0.1429
0.2143
0.2857
0.3571
0.4286
0.5000
0.5714
0.6429
0.7143
0.7857
0.8571
0.9286
Tempo
Retorno
14.0
7.0
4.7
3.5
2.8
2.3
2.0
1.8
1.6
1.4
1.3
1.2
1.1
1
1
TR 

 7.0
Para o segundo valor:
P(Q  q) 0.1429
m
2
PQ  q  

 0.1429
n  1 13  1
Exemplo de ajuste empírico
300.0
3
Vazão máxima (m /s)
250.0
200.0
150.0
100.0
50.0
0.0
0.00
0.20
0.40
0.60
19
Probabilidade
acumulada
0.80
1.00
Exemplo de ajuste empírico
300.0
3
Vazão máxima (m /s)
250.0
200.0
150.0
100.0
50.0
0.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
Tempo de retorno, TR (ano)
20
12.0
14.0
Distribuições teóricas de probabilidade
Distribuições usuais em hidrologia
• Normal (simétrica e utilizada para vazões médias ou
precipitações médias)
• Log-Normal (vazões máximas)
• Gumbel (extremo tipo I) (vazões máximas)
• Extremo Tipo III ou Weibull (vazões mínimas)
• Log Pearson Tipo III (vazões máximas) adotada em
alguns países como padrão . Utiliza três parâmetros
21
Distribuições teóricas de probabilidade
22
Distribuições teóricas de probabilidade
23
Distribuição de Gumbel (Extremos I)
24
A função densidade de probabilidade acumulada é
PQ  q  e
e y
Ou, passando para probabilidade de excedência
PQ  q  1  e
Onde,
y
e  y
q

  0,78s
  x  0,5772
s - desvio padrão da
série
x - média da série
Distribuição de Gumbel (Extremos I)
PQ  q  1  e
e  y
1
e  y
 1 e
TR
1
e  y
e
 1
TR
Passando o logaritmo 2 vezes

1 

y   ln  ln1 

 TR 

q


1 

qTR     ln  ln1 

 TR 

25

1 

  ln  ln1 

 TR 

Distribuição Log-Pearson Tipo III
Função densidade de probabilidade:
Fórmula alternativa:
A vazão para um tempo de retorno TR é calculada por,
logQTR  logQ  KSlogQ
SlogQ
= Desvio padrão dos logaritmos da vazões
26
Distribuição Log-Pearson Tipo III
O parâmetro K é calculado por:
3


2 
G  G  

K   k1     1  1
G
6
6



 




Com,
2,515517 0,802853t  0,010328t 2
k1  t 
1  1,432788t  0,189269t 2  0,001308t 3
t  2 ln T
G é o coeficiente de assimetria
27
Exemplo de ajuste de função teórica
Distribuição
Normal
28
Ano
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
Vazão
Máxima
145.5
183.8
289.5
131.3
227.3
167.3
104.3
263.3
157.5
240
170.3
210.8
184.5
Média
190.4 m3/s
Desvio
padrão
53.5 m3/s
Tempo
de retorno
100
90
80
70
60
50
40
30
20
14
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1.01
Probabilidade
0.010
0.011
0.013
0.014
0.017
0.020
0.025
0.033
0.050
0.071
0.100
0.111
0.125
0.143
0.167
0.200
0.250
0.333
0.500
0.990
Vazão (m3/s)
Distrib. Normal
314.9
312.8
310.4
307.6
304.3
300.3
295.3
288.6
278.5
268.8
259.0
255.7
252.0
247.5
242.2
235.4
226.5
213.4
190.4
65.6
Exemplo de ajuste de função teórica
Distribuição Normal
350.0
250.0
3
Vazão máxima (m /s)
300.0
200.0
Empírica
Normal
150.0
100.0
50.0
0.0
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
Tempo de retorno, TR (ano)
29
25.0
30.0
Exemplo de ajuste de função teórica
Distribuição Gumbel
Ano
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
Média
Desvio
padrão
Vazão
Máxima
145.5
183.8
289.5
131.3
227.3
167.3
104.3
263.3
157.5
240
170.3
210.8
184.5
Tempo
de retorno
100
90
80
70
60
50
40
30
20
14
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1.01
Probabilidade
0.010
0.011
0.013
0.014
0.017
0.020
0.025
0.033
0.050
0.071
0.100
0.111
0.125
0.143
0.167
0.200
0.250
0.333
0.500
0.990
Vazão (m3/s)
Distrib. Gumbel
358.39
353.97
349.02
343.41
336.92
329.23
319.81
307.62
290.32
274.95
q
260.26
255.61
250.36
244.37
237.36
228.92
218.31
203.98
181.59
102.41
190.4 m3/s
53.5 m3/s
Alfa
Mi
41.76223
30 166.2795
TR    ln  ln1 


1 

TR 
Exemplo de ajuste de função teórica
Distribuição Gumbel
350.0
250.0
3
Vazão máxima (m /s)
300.0
200.0
Empírica
Normal
Gumbel
150.0
100.0
50.0
0.0
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
Tempo31
de retorno, TR (ano)
25.0
30.0
Procedimento geral para ajuste de
distribuição teórica
• Verificar se a série de dados atende às condições
básicas de ajuste
• Escolher as distribuições mais prováveis, em
função do tipo de variável a ser ajustada
• Ajustar a distribuição empírica
• Determinar os valores dos parâmetros das
distribuições teóricas
• Verificar o ajuste por:
Inspeção visual
Teste de aderência
32
Cálculo de Vazões Mínimas (Q7/10)
• Vazão Q7/10 significa a vazão mínima média de
7 dias com 10 anos de tempo de retorno
• Calcula-se a média móvel de 7 dias das vazões
diárias, para toda a série de dados
• Escolhe-se o menor valor de cada ano. Para a
região Sudeste deve-se usar o ano civil
• Para o calculo das probabilidades acumuladas e
tempos de retorno os dados devem ser
organizados em ordem crescente
• O valor da Q7/10 pode ser estimado com a
distribuição empírica, por interpolação dos
valores
33
Vazão máxima para locais sem dados
observados: método racional
Qp=0,278 C I A
Qp: vazão máxima (m3/s)
C: coeficiente de run-off
I: intensidade em mm/h
A: área em km2
Área < 2 km2
34
35
Sequência de cálculo
36
• Delimitar a bacia hidrográfica;
• Divisão de áreas quanto a cobertura da bacia (C1, C2,
C3, etc.);
• Cálculo do C (média ponderada)
• Determinação do comprimento do curso principal L e a
sua declividade S (ou H, que
é o desnível entre o ponto mais afastado da
bacia e o exutório);
Sequência de cálculo
37
Exemplo
38
39
40
Solução
41
Solução
42