UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
PIC/PIBIC
BC&T
Estrelas de Nêutrons: Estrutura e
Propriedades
2009 -2010
Aluna: Fernanda M. Araújo
Orientadora: Cecilia Chirenti
“Um pouquinho sobre o projeto...”
Estrelas de Nêutrons são objetos astrofísicos cujas características são
previstas pela teoria da evolução estelar.
Abundante evidência observacional (pulsares, magnetares e sistemas binários)
Observações atuais em rádio e Raios-X, com perspectiva de detecção de
ondas gravitacionais em sistemas contendo estrelas de nêutrons.
Modelos acurados dessas estrelas ainda estão em elaboração. A equação de
estado da matéria nas condições extremas encontradas nos centros desses objetos
ainda é desconhecida.
O estudo de estrelas de nêutrons é extremamente interdisciplinar,
envolvendo diversas áreas da Física. Por ser um objeto de alta compacidade, é
natural que sejam estudadas segundo o âmbito da Teoria da Relatividade Geral.
Objetivos
Comparação das propriedades de estrelas de nêutrons obtidas a partir de
diferentes modelos.
Aquisição de noções básicas de Relatividade Geral.
Elaboração de um programa para integração numérica das equações de estrutura
e diferentes equações de estado para investigação de propriedades termodinâmicas
e mecânicas.
(inicialmente utilização do Excel para posterior passagem ao MatLab)
Utilização de equações de estado politrópicas e eventual passagem para
equações de estado realistas.
Metodologia
Métodos numéricos padrão para integração de sistemas de equações
diferenciais acopladas (Método de Euler e Runge-Kutta de ordem 4).
No tratamento relativístico, as equações relevantes são as equações
de Tolman-Oppenheimer-Volkoff.
Modelando Estrelas Politrópicas
O objetivo do estudo da estrutura estelar é determinar as variações internas
das principais propriedades físicas das estrelas.
Modelos mais simplificados permitem a obtenção de soluções analíticas ou
numéricas. Esses modelos são denominados estrelas politrópicas ou
politropos.
Um politropo é uma estrela que possui equação de estado da seguinte forma:
P = κργ
Em que
γ = (n + 1)/n
e n é o índice politrópico.
Modelando Estrelas Politrópicas
Entretanto, estrelas politrópicas só admitem soluções analíticas para
n = 0, n = 1 e n = 5.
A equação de estado politrópica é útil na descrição da matéria em anãs-brancas
e estrelas de nêutrons, variando-se apenas os índices politrópicos em cada caso.
A construção de um modelo de estrela politrópica é baseada em um conjunto de
equações capazes de descrever o material constituinte da estrela juntamente com
sua estrutura.
Usa-se, então, dois grupos de equações. A equação de estado, relacionando pressão,
densidade de matéria e temperatura; e as equações de estrutura.
Equações de Estrutura Estelar
As equações de estrutura são compostas por duas equações:
Equação de Equilíbrio Hidrostático
Equação de Continuidade
da Massa
Equação de Equilíbrio Hidrostático
O equilíbrio hidrostático representa um balanço entre a força gravitacional e
a pressão interna da estrela.
Se esse equilíbrio é alterado, podemos dizer que
Pressão interna
a estrela poderá expandir ou contrair.
empurra para fora
Auto-gravidade
puxa para dentro
Se a força gravitacional for maior, a estrela
se contrai.
Se a pressão interna for superior, a estrela
se expande.
Derivação da Equação de Equilíbrio Hidrostático
Denominando P, a pressão exercida na face à altura r e
P+dP a pressão exercida na face à altura r+dr, temos
PdA – (P+dP)dA = gdm, onde g = g(r) é a aceleração da
gravidade devida à matéria interior a r.
Portanto, dPdA = -gdm. Como dm = ρdAdr, obtemos:
dP/dr = -ρg
Para uma estrela esférica,
g(r) = GM(r)/r2, de modo que:
dP/dr = - GM(r)ρ(r)/r2
Equação de Equilíbrio Hidrostático
Equação de continuidade da Massa
As quantidades M(r), (r) e r ,que aparecem na equação de equilíbrio hidrostático,
não são independentes. A massa M(r) interior ao raio r será determinada pela
densidade do material estelar.
Para relacionar todas essas variáveis, consideramos uma camada
fina de espessura dr e massa dm no raio r a partir do centro.
Como a camada é fina, seu volume é simplesmente
a área superficial vezes sua espessura, de modo que
sua massa é:

dr
r
dm = ρ(r) X Vol.esfera = ρ(r) X 4πr2dr
Rearranjando essa expressão obtém-se:
dm/dr = 4πr2ρ(r)
Equação de continuidade da Massa
r +dr
Equação de Continuidade da Massa
Algumas considerações:
A massa da estrela a ser modelada possui um papel importante na competição
entre força gravitacional e pressão.
Quanto mais massiva a estrela, maior será a pressão necessária para compensar
a gravidade. A pressão e temperatura serão mais altas no núcleo e vizinhanças.
Por outro lado, uma estrela de baixa massa terá temperatura e pressão centrais
mais baixas.
Etapa 1
Integração numérica das equações de estrutura para uma densidade de energia
constante.
Obs.: A densidade de energia E(r) é dada por E(r) = ρ(r)c2. Se impormos c = 1, E(r) = ρ(r)
Para se resolver as equações de estrutura para P(r) e M(r), deve-se integrar desde
a origem (r = 0) até o ponto r = R, onde a pressão cai a zero. Este ponto define R
como o raio da estrela. Para isso é necessário um valor inicial da pressão em r = 0,
chamado p0.
O raio da estrela R e a massa total da estrela M(r) = M dependerão de p0. Para
realizar a integração, precisa-se saber a densidade de energia E(r) em termos da
pressão P(r). Essa relação é a equação de estado para a matéria constituinte da
estrela. Entretanto, neste caso, estamos considerando a densidade de energia
constante ao longo da estrela e não se faz necessário o uso da equação de estado.
Etapa 1
Sejam as nossas equações diferenciais da forma:
dP/dr = -GE(r)M(r)/r2
dM/dr = 4πr2E(r)
As condições de contorno são:
M(0) = 0
P(0) = p0
Como a densidade de energia é constante, tem-se que:
E(r) = E, 0 ≤ r ≤ R
0, r > R
A partir da equação de continuidade da massa pode-se descobrir M(r) pelo método de
Euler. Adotou-se como passo de integração o valor de 0,5 km e Rmáx = 10 km.
Com a solução de M(r) obtida, pode-se integrar a equação de equilíbrio hidrostático e
achar a solução P(r).
Resultados Etapa 1
Simulação com Ec = 6x10-4 Msolc2/km3 e p0 = 2x107 Msol/kms2
Densidade de Energia E(r) em função do raio.
7.00E-04
Valores de E(r) (Msol c2/km3)
6.00E-04
5.00E-04
4.00E-04
Densidade de Energia E(r)
3.00E-04
2.00E-04
1.00E-04
0.00E+00
0
2
4
6
8
Axis Title
10
12
14
16
Resultados Etapa 1
Comportamento da Massa em função do Raio
3.00
2.50
Massa (Msol)
2.00
1.50
f(ri) = 4πri2 E(r)
y(xi) = y(xi-1) + f(xi-1)*(xi-xi-1)
1.00
M(r)= 4πr3 E(r)/3
0.50
0.00
0
-0.50
2
4
6
Raio (km)
8
10
12
Resultados Etapa 1
Comportamento da Pressão em função do Raio
2.50E+07
Pressão (Msol/kms2)
2.00E+07
1.50E+07
Solução numérica para p(r)
1.00E+07
Solução analítica p(r)
5.00E+06
0.00E+00
0
2
4
6
8
10
12
Raio (km)
Resultado: Estrela de nêutrons de raio 10 km, massa 2,33 Msol, Ec= 6x10-4 Msolc2/km3 e
p0 = 2x107 Msol/kms2
Resultados Etapa 1
Para as diversas simulações feitas, podemos sintetizar os resultados, expressos na tabela abaixo:
Tabela de resultados
Raio (km)
Massa (Msol)
Ec
p0
10
2,72
7x10-4
2x107
10
2,33
6x10-4
2x107
10
1,94
5x10-4
8x106
10
1,55
4x10-4
8x106
Conclusão: A partir das diversas variações de Ec e p0, a melhor solução representando
uma estrela de nêutrons é aquela cuja massa é 2,33 Msol, uma vez que é a solução numérica
que mais se aproxima dos valores teóricos.
Etapa 2
Integração numérica das equações de estrutura para uma densidade de energia
variável ao longo da estrela.
Introdução da equação de estado
P = κργ
Simulações para valores de γ = 5/3 e γ = 1
Introdução de dois novos parâmetros a e b nas equações de estrutura, para relacionar a
dependência da variação da densidade de energia ao longo da estrela.
dP(r)/dr = -(aP(r)1/γM(r))/r2
dM/dr = br2P(r)1/γ
Etapa 2
Para o caso γ = 5/3, o fluido no interior da estrela é não relativístico. Portanto, para a
resolução das equações de estrutura, devemos considerar valores não relativísticos para
algumas constantes.
Os parâmetros a e b são bem explicitados, isto é, há uma equação que os caracteriza.
Entretanto, interessa-nos, somente o valor que assumem para o caso não relativístico.
a=1
O parâmetro a tem dimensão de km
b = 0,7636
O parâmetro b tem dimensão de 1/km3
A constante κ tem seu valor próprio não relativístico.
κnão-relativístico = 9,55 km2/(Msolc2)2/3
Portanto, com os valores de constantes e parâmetros definidos, pode-se efetuar a integração.
Resultados Etapa 2 para γ = 5/3
Densidade de Energia e Pressão em função do Raio
1.00E+00
Valores de densidade de energia e pressão
1.00E-01
1.00E-02
1.00E-03
Pressão (p)
Densidade de Energia E(r)
1.00E-04
1.00E-05
1.00E-06
0
2
4
6
Raio (km)
8
10
12
Resultados Etapa 2 para γ = 5/3
Comportamento da grandeza Massa em função do Raio
Valores de Massa (Msol)
1
0.5
M(r) em Msol
0
0
2
4
6
Raio (km)
8
10
12
Resultados Etapa 2 para γ = 5/3
Comportamento da Pressão p(r) em função do Raio
1.00E-05
9.00E-06
8.00E-06
Valores de p(r)
7.00E-06
6.00E-06
5.00E-06
P(r)
4.00E-06
3.00E-06
2.00E-06
1.00E-06
0
0.00E+00
2
4
6
Raio (km)
8
10
12
Resultados Etapa 2 para γ = 5/3
Comportamento de p(r) e Zn em função do raio
1.00E+00
Valores de p(r) e zn
1.00E-01
1.00E-02
1.00E-03
Zn
P(r)
1.00E-04
1.00E-05
1.00E-06
0
2
4
6
8
10
12
Raio (km)
Conclusão: Obteve-se uma estrela de raio igual a 10 km, massa 0.76 Msol e pressão
aproximadamente nula na superfície.
Etapa 2 para γ = 1
Para o caso de γ =1, o fluido intra-estelar é relativístico. Dessa forma, os valores de constantes
e parâmetros são:
κrelativístico = 1/3 km2/(Msolc2)2/3 ; a = 4,428 km e b = 3,374 1/km3
Comportamento da Pressão e Densidade de Energia em função do raio
Valores de densidade de energia e pressão
1.00E+00
1.00E-01
1.00E-02
p(r)
E(r)
1.00E-03
1.00E-04
0
2
4
6
Raio (km)
8
10
12
Resultados Etapa 2 para γ = 1
Comportamento das grandeza Massa em função do Raio
3
2.5
Valores de Massa (Msol)
2
1.5
M(r) em Msol
1
0.5
0
0
2
4
6
Raio (km)
8
10
12
Resultados Etapa 2 para γ = 1
Comportamento da Pressão p(r) em função do Raio
3.00E-04
2.50E-04
Valores de p(r)
2.00E-04
1.50E-04
P(r)
1.00E-04
5.00E-05
0.00E+00
0
2
4
6
Raio (km)
8
10
12
Resultados Etapa 2 para γ = 1
Comportamento de p(r) e zn em função do raio
1.00E+00
Valores de p(r) e zn
1.00E-01
1.00E-02
P(r)
Zn adimensional
1.00E-03
1.00E-04
0
2
4
6
8
10
12
Raio (km)
Conclusão: Obteve-se uma estrela de raio igual a 10 km, massa 2,47 Msol e pressão
também aproximadamente nula na superfície.
Etapa 3
Introdução e utilização da equação de Lane-Emden
A equação de Lane-Emden é uma equação diferencial ordinária, não-linear, de 2ª ordem
e grau n. Sua solução determina a estrutura interna das estrelas politrópicas.
Em Astrofísica, a equação de Lane-Emden modela a estrutura de um sistema
termodinâmico cuja equação de estado é a de um fluido politrópico e permite
determinar o perfil da pressão, densidade e temperatura em função da distância ao
centro.
d2y/dx2 + (2/x)dy/dx + yn = 0
Equação de Lane-Emden
Etapa 3
Na equação de Lane-Emden as variáveis x e y são definidas por:
r = ax
Obs.: ρc é a densidade de matéria central da estrela.
ρ = ρcyn
Por simetria esférica, para r → 0, devemos ter dρ/dr → 0, de modo a evitar uma
singularidade no centro. Portanto, as condições de contorno da equação de Lane-Emden
no centro da estrela são:
Para x → 0, y → 1 e y’ = dy/dx → 0.
Assim, obtida a solução y(x) para a equação de Lane-Emden, para um dado n, é
necessário obter as variáveis físicas ρ, T e P.
A obtenção da solução y(x) é feita por integração numérica, utilizando-se o método de
resolução de EDO’s de ordem n.
Etapa 3
A equação de Lane-Emden é obtida a partir das equações de continuidade da massa e
equilíbrio hidrostático, eliminando-se a massa M(r) nessas equações. Assim, obtém-se:
d/dr [(r2/ρ)*dP/dr] = -4πGr2ρ
(I)
A partir da equação de estado, podemos escrever:
dP/dr = [(n+1)/n]κρ1/ndρ/dr
(II)
Substituindo (II) em (I), obtemos:
d/dr (r2ρ(1/n)-1dρ/dr = -(n/n+1)4πGr2ρ/κ
(III)
Com a introdução das variáveis r = ax e ρ = byn em que b pode ser convenientemente
definido como a densidade ρc no centro da estrela, de modo que y → 1 para x → 0,
pode-se reescrever (III) da seguinte forma:
1/x2 d/dx (x2dy/dx) = -4πGρc(n-1)/n a2yn/κ(n+1)
Definindo-se a2 como a2 = (n+1)κ/4πGρc(n-1)/n, obtemos a equação de Lane-Emden:
d2y/dx2 + (2/x)dy/dx + yn = 0
Resultados Etapa 3
Integração de Lane-Emden para n = 3.
Obs.: O índice politrópico n = 3 representa o modelo padrão de uma estrela. Este valor
aplica-se ao caso degenerado relativístico, onde P(r) é proporcional a ρ4/3.
A simulação foi feita baseada em uma estrela de raio 10 km e 2,5 Msol
R = ax(r)
Comportamento da função raio da estrela
12
10
Valores de R
8
6
r
4
2
0
0
1
2
3
4
x(r)
5
6
7
8
Resultados Etapa 3
ρ(r) = ρcy3
Comportamento da densidade (ρ) da estrela
7.00E+16
6.00E+16
Valores de ρ (g/cm3)
5.00E+16
4.00E+16
ρ
3.00E+16
2.00E+16
1.00E+16
0.00E+00
0
2
4
6
Raio (km)
8
10
12
Resultados Etapa 3
P(r) = κρ4/3
Comportamento da pressão (P) da estrela
2.00E+22
1.80E+22
1.60E+22
Pressão (N/cm2)
1.40E+22
1.20E+22
1.00E+22
P
8.00E+21
6.00E+21
4.00E+21
2.00E+21
0.00E+00
0
2
4
6
Raio (km)
8
10
12
Resultados Etapa 3
T = μmHκρ/k
em que μ é o peso molecular médio do gás, mH é a massa do átomo de H e k = R(constante dos gases perfeitos)/Na
(número de Avogadro).
Comportamento da Temperatura (T) no interior da estrela
2.50E+31
Temperatura (K)
2.00E+31
1.50E+31
T
1.00E+31
5.00E+30
0.00E+00
0
2
4
6
Raio (km)
8
10
12
Etapa 4
Utilização de valores fixos de n e κ e variação dos valores de densidade central (ρc) para
obtenção do comportamento da variação das massas de acordo com a variação dos
valores de raio para estrelas distintas.
Verificar o comportamento de uma estrela Newtoniana e procurar a constatação de
massas máximas.
Para esse estudo, utilização do caso n = 3, por ser o modelo padrão e n = 1,5.
Relação única entre a constante a e ρc, de forma a garantir a manutenção do valor
constante de κ.
Utilização das equações:
a = (κ(n+1)/(4πGρc1-1/n))1/2
R = ax(R)
M = -4πa3ρcx(R)2y'(R)
Relação única entre a e ρc
Resultados Etapa 4
Comportamento Newtoniano das massas em função dos raios para n = 1,5
M x R (n = 1,5 e K = 5,38x109)
1.4
1.2
M(Msol)
1
0.8
0.6
M(Msol)
0.4
0.2
0
10
15
20
25
30
35
40
R(km)
Conclusão: Na análise Newtoniana de estrelas, não é possível constatar um valor para o qual
a massa atinge um valor máximo finito. A massa crescerá indefinidamente.
Resultados Etapa 4
Comportamento Newtoniano das massas em função dos raios para n = 3
Pelas equações abaixo, verifica-se que para n = 3, a massa independe da densidade
central ρc. Isto implica em a massa ser constante para todos os valores de raios simulados.
Comportamento dos diversos valores de ρc
para raios distintos
a = (κ(n+1)/(4πGρc1-1/n))1/2
R = ax(R)
M = -4πa3ρcx(R)2y'(R)
7.00E+15
6.00E+15
Valores de ρc (g/cm3)
Conforme aumenta-se o raio
das estrelas, observa-se que
os valores de ρc diminuem.
Para valores mais altos de ρc,
mais massivas serão as
estrelas. Portanto, mais compactas
elas terão de ser, de forma que a
pressão seja capaz de suportar o
colapso gravitacional.
8.00E+15
5.00E+15
4.00E+15
ρc (g/cm3)
3.00E+15
2.00E+15
1.00E+15
0.00E+00
0.00E+00
5.00E+06
1.00E+07
1.50E+07
Raio (cm)
2.00E+07
2.50E+07
Resultados Etapa 4
Comportamento dos valores da Massa para raios distintos
(n = 3)
6.00E+33
5.00E+33
Massa (g)
4.00E+33
3.00E+33
M (g)
2.00E+33
1.00E+33
0.00E+00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Raio (cm)
A massa independe dos valores de ρc e apresenta o mesmo valor para qualquer raio.
O que isso significa?
Resultados Etapa 4
O índice n = 3 representa uma estrela de matéria degenerada relativística. Portanto
a constância da massa para diferentes valores de raio significa a obtenção de uma massa
máxima, i.e, o único valor de massa possível.
O limite de massa obtido representa que as estrelas governadas por n = 3 não podem
assumir um valor maior de massa, caso contrário, sofrerão um colapso gravitacional.
Dessa forma, podemos simular novamente o comportamento das massas das estrelas
para diferentes valores de κ, de forma a obter o limite de Chandrasekhar, a massa
máxima para anãs-brancas (1,4 Msol).
Essa simulação implica ao variarmos κ e mantermos n constante, em descobrir as diversas
massas máximas das estrelas segundo os valores de κ. Portanto, cada ponto na simulação
corresponderá a uma estrela diferente.
Resultados Etapa 4
Comportamento dos valores das Massas para variação de κ
Comportamento da Massa em função de K
2
1.8
1.6
1.4
M (Msol)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.00E+00
2.00E+14
4.00E+14
K ( cm3/(g1/3*s2)
6.00E+14
8.00E+14
Resultados Etapa 4
Comportamento da Massa em função do Raio
2
1.8
1.6
Massa (Msol)
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.00E+00
5.00E+06
1.00E+07
1.50E+07
Raio (cm)
2.00E+07
2.50E+07
Resultados Etapa 4
Comportamento de R em função de K
2.50E+07
2.00E+07
Raio (cm)
1.50E+07
1.00E+07
5.00E+06
0.00E+00
0.00E+00
2.00E+14
4.00E+14
K(
cm3/(g1/3*s2)
6.00E+14
8.00E+14
Resultados Etapa 4
Limite de Chandrasekhar
1.405
1.4
1.395
Massa (Msol)
1.39
1.385
1.38
M em Msol
1.375
1.37
1.365
1.36
1.355
4.68E+14
4.70E+14
4.72E+14
4.74E+14
4.76E+14
4.78E+14
4.80E+14
K ( cm3/(g1/3*s2)
O gráfico ilustra o comportamento das massas para uma variação mínima de κ.
Conclusão: O valor de κ que melhor representa o limite de Chandrasekhar para
anãs-brancas (1,4 Msol) é 4,78999 x 1014 cm3/(g1/3s2)
Etapa 5
Solução de Lane-Emden para os índices politrópicos n = -1, n = 5 e n = 2.
Verificação de algumas propriedades dadas pelos valores de índices politrópicos.
Índices Politrópicos
Propriedades
n = -1
Politropo de pressão constante
n=0
Politropo de densidade constante
n = 1,5
Caso de um politropo adiabático e de um gás degenerado não relativístico (γ = 5/3)
n=3
Modelo padrão. Caso degenerado relativístico (γ = 4/3).
n=5
Politropo de raio infinito
n=∞
Politropo de temperatura constante
Resultados Etapa 5
Simulação da Equação de Lane-Emden para n = -1
Função Raio para n = -1
1200000
Valores do Raio (cm)
1000000
800000
600000
r
400000
200000
0
0
0.5
1
1.5
Valores de x
2
2.5
Resultados Etapa 5
Comportamento da densidade (ρ) em função do Raio para n = -1
4.50E+16
4.00E+16
Valores de ρ (g/cm3)
3.50E+16
3.00E+16
2.50E+16
2.00E+16
ρ
1.50E+16
1.00E+16
5.00E+15
0.00E+00
0
200000
400000
600000
Raio (cm)
800000
1000000
1200000
Resultados Etapa 5
Comportamento da Pressão em função do Raio para n = -1
9E+36
8E+36
Valores de P (dinas/cm2)
7E+36
6E+36
5E+36
4E+36
P
3E+36
2E+36
1E+36
0
0
200000
400000
600000
Raio (cm)
800000
1000000
1200000
Resultados Etapa 5
Comportamento da Temperatura em função do Raio para n = -1
3.00E-21
2.50E-21
Temperatura (K)
2.00E-21
1.50E-21
T
1.00E-21
5.00E-22
0.00E+00
0
200000
400000
600000
Raio (cm)
800000
1000000
1200000
Resultados Etapa 5
Simulação da Equação de Lane-Emden para n = 5
Como o politropo de n = 5 possui raio infinito, podemos truncar a solução até um
determinado ponto e analisar seu comportamento. Truncou-se até y = 0,030704.
Comportamento da função y(x)
1.2
1
Valores de y(x)
0.8
0.6
y(x)
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
Valores de x
50
60
70
Resultados Etapa 5
Função Raio para n = 5
7E+11
6E+11
Raio (cm)
5E+11
4E+11
r
3E+11
2E+11
1E+11
0
0
10
20
30
40
Valores de x
50
60
70
Resultados Etapa 5
Comportamento da densidade (ρ) em função do Raio
1.00E+03
1.00E+02
1.00E+01
Densidade (g/cm3)
1.00E+00
1.00E-01
1.00E-02
ρ
1.00E-03
1.00E-04
1.00E-05
1.00E-06
0
1E+11
2E+11
3E+11
4E+11
Raio (cm)
5E+11
6E+11
7E+11
Resultados Etapa 5
Comportamento da Pressão em função do Raio
1.00E+09
1.00E+08
1.00E+07
1.00E+06
Pressão
1.00E+05
1.00E+04
P
1.00E+03
1.00E+02
1.00E+01
1.00E+00
1.00E-01
0
1E+11
2E+11
3E+11
4E+11
Raio (cm)
5E+11
6E+11
7E+11
Resultados Etapa 5
Comportamento da Temperatura em função do Raio
1.00E+24
1.00E+23
1.00E+22
Temperatura (K)
1.00E+21
1.00E+20
1.00E+19
T
1.00E+18
1.00E+17
1.00E+16
1.00E+15
0
1E+11
2E+11
3E+11
4E+11
Raio (cm)
5E+11
6E+11
7E+11
Resultados Etapa 5
Simulação da Equação de Lane-Emden para n = 2
Função Raio para n = 2
1200000
1000000
Valores de R (cm)
800000
600000
r
400000
200000
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Valores de x
3
3.5
4
4.5
5
Resultados Etapa 5
Comportamento da densidade (ρ) em função do Raio para n = 2
1.60E+16
1.40E+16
Valores da densidade (g/cm3)
1.20E+16
1.00E+16
8.00E+15
ρ
6.00E+15
4.00E+15
2.00E+15
0.00E+00
0
200000
400000
600000
Raio (cm)
800000
1000000
1200000
Resultados Etapa 5
Comportamento da Pressão em função do Raio para n = 2
3.00E+36
2.50E+36
Pressão (dinas/cm2)
2.00E+36
1.50E+36
P
1.00E+36
5.00E+35
0.00E+00
0
200000
400000
600000
Raio (cm)
800000
1000000
1200000
Resultados Etapa 5
Comportamento da Temperatura em função do Raio para n = 2
5.00E+31
Temperatura (K)
4.00E+31
3.00E+31
T
2.00E+31
1.00E+31
0.00E+00
0
200000
400000
600000
Raio (cm)
800000
1000000
1200000
Resultados Etapa 5
Para o caso n = 2, será feita a variação do valor de κ de forma a observar o comportamento
das massas e raios das estrelas. Para isso, ρc e n serão mantidos fixos.
Comportamento de M em função dos diferentes valores de K para n = 2
3.00E+35
2.50E+35
Massa (g)
2.00E+35
1.50E+35
M
1.00E+35
5.00E+34
0.00E+00
0.00E+00
5.00E+12
1.00E+13
1.50E+13
Valores de K
2.00E+13
2.50E+13
3.00E+13
Resultados Etapa 5
Comportamento das Massas em função dos Raios para n = 2
1.60E+02
1.40E+02
1.20E+02
Massa(Msol)
1.00E+02
8.00E+01
M em Msol
6.00E+01
4.00E+01
2.00E+01
0.00E+00
0.00E+00
5.00E+05
1.00E+06
1.50E+06
2.00E+06
Raio (cm)
2.50E+06
3.00E+06
3.50E+06
4.00E+06
Conclusões
Resolução da equação de Lane-Emden é um mecanismo fundamental para a
determinação da estrutura interna de estrelas politrópicas.
Há uma boa relação entre as simulações obtidas e as estrelas observadas na
natureza.
O estudo do politropo de índice n = 3 permitiu determinar características físicas
como o limite máximo de massa e relacioná-lo a um fenômeno bem conhecido
(anãs-brancas).
Compreensão do conceito de matéria degenerada e sua relação com o colapso
gravitacional.
Equações Newtonianas não explicam corretamente o comportamento das massas
para diferentes raios. As massas das estrelas tendem a crescer indefinidamente
enquanto a Relatividade Geral prevê a obtenção de um valor limite máximo de
massa para cada equação de estado.
Perspectivas Futuras
Desenvolvimento de um programa em MatLab
Implementação das soluções obtidas em Euler e Runge-Kutta
Aquisição de conhecimentos em Relatividade Geral
Introdução de correções relativísticas nas equações.
Referências Bibliográficas
 W. J. MACIEL, “Introdução à Estrutura e Evolução Estelar”, Edusp, São Paulo, 1999.
R.R. SILBAR e S. REDDY, “Neutron stars for undergraduate students”, Am. J. Phys. 72, 7 (2004)
 B. F. SCHUTZ, “Gravity from the ground up”, Cambridge, 2003.