e
iml
Harmônicos Esféricos
Y00
Y11
Y10
z
y
x
Re[Y11 ]
l  1, m  0
l  0, m  0
1
Y00 
4
Y10 
l  1, m  1
Y11  
3
sin  exp(i )
8
(Images from http://odin.math.nau.edu/~jws/dpgraph/Yellm.html)
3
cos 
4
Harmônicos Esféricos(2)
Y22
Y21
Y20
Re[Y22 ]
Re[Y21 ]
z
y
x
l  2, m  0
Y20 
l  2, m  2
Y22 
15
sin 2  exp(2i )
32
5
(3cos 2   1)
16
l  2, m  1
Y21  
15
sin  cos  exp(i )
8
(Images from http://odin.math.nau.edu/~jws/dpgraph/Yellm.html)
7.4: Efeitos do campo magnético nos espectros
atômicos— Efeito Zeeman
t = m x B = dL/dt
imã
Experimento de Stern-Gerlach
Acústica (1803)
Figuras de Chladni
E. F. F. Chladni
em 2 Dimensões
(1756-1827)
A areia
acumula-se
nos nós
Toque em
Lugares
diferentes
Arco de violino em
várias posicões
diferentes
Ondas estacionárias
Gelo
seco
Placa de bronze
CO2
Click for Longer Chladni Movie (9.5MB)
3 Circles
3 Diameters / 1 Circle
Crude Chladni Figures
1 Diameter / 2 Circles
4 Diameters / 1 Circle
from
in-class demo
Figuras de
Chladni
para um
disco fino
(1,2)
Posicão no interior do nó circular externo
Cf. http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/MembraneCircle/Circle.html
Figuras de
Chladni
para um
disco fino
Número de nós diametrais
Número de Nós Circulares
PITCH
47 Patterns!
1 Circle
Number of Circles
4 Circles
2 Lines
Number of Diameters
3 Circles
2 Lines
2 Circles
4 Lines
1 Circle
6 Lines
8 Lines
Frequência ≈ (Nós diametrais + 2  Nós circulares) 2
Nota: Para frequências mais altas, aumenta o número de
maneiras de se obter a mesma frequência com padrões de
ondas estacionárias diferentes (figuras de Chladni diferentes,
mas com mesmas frequências)
Great Mathematicians Worked
on Chladni’s 2-D Problems:
e.g.
Daniel
Bernoulli
(1700-1782)
2/x2 + 2/x2 + 2/x2
(abbreviated 2)
the Laplacian Operator
s para átomos com um
elétron envolvem os
“Harmonicos Esféricos” de
Laplace
(Análogo - 3D das Figuras de
Chladni)
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J. M. McBride, Chem 125. License: Creative Commons BY-NC-SA 3.0