Prática de Ensino de Matemática I
Aula 03
Curso de Licenciatura em Matemática – 1º Ano
Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreira
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Os Sistemas de Numeração - Histórico
Desde os tempos mais antigos a humanidade sentiu a necessidade de realizar contagens.
No início utilizou-se pedrinhas (calculus) para realizar contagem, em seguida foram as
marcações em ossos, passando pela criação de palavras-número. Finalmente criou-se a
notação de certas quantidades através de símbolos.
Sistema de Numeração Egípcio (Antigo)
Os antigos egípcios utilizavam um sistema de numeração em que cada símbolo podia repetir-se, no máximo,
nove vezes. O valor dos numerais era definido adicionando o valor de cada símbolo, o que dava um caráter
aditivo ao sistema. Outro fator era que os símbolos podiam ser escritos em qualquer ordem (era um
sistema não-posicional) sendo que os egípcios não possuíam um símbolo para o zero.
1
10
100
1 000
10 000
100 000
5
54
1240
30
123
2050
1 000 000
Sistema de Numeração Romano
Os antigos romanos utilizavam algumas letras do alfabeto para escrever seus numerais. As letras eram
separadas em dois grupos: o primeiro com letras cujo valor começavam em 1 e o segundo cujo valor das
letras começavam com 5. As letras do primeiro grupo podiam repetir-se, no máximo, três vezes; enquanto
que as do segundo grupo não podiam repetir-se. Quando uma letra de valor menor era colocada antes de
outra, seu valor era subtraído; enquanto que ao ser posta depois de outra seu valor era adicionado.
1º Grupo
I=1
X = 10
C = 100
2º Grupo
V=5
L = 50
D = 500
M = 1 000
3
III
6
VI
41
XLI
132
CXXXII
4
IV
12
XII
83
LXXXIII
968
CMLXVIII
Sistema de Numeração Indo-Arábico (Decimal)
O sistema de numeração mais utilizado atualmente originou-se na Índia e aperfeiçoou-se na Arábia. Ele
possui uma base de contagem decimal, sendo que a posição em que cada algarismo ocupa na escrita
determina seu valor (posicional). Vale lembrar que este sistema não é aditivo (para representar três não
escrevemos 111) e que a existência do zero é fundamental para indicar que a ordem encontra-se vazia.
Com a publicação de Liber Abaci em 1202 por
Leonardo de Pisa (vulgo Fibonacci) os povos
europeus começaram a conhecer os tais “algarismos
que vieram das Índias” e a operar com regras
semelhantes as utilizadas atualmente.
Bases de contagem
Provavelmente a primeira base de contagem utilizada pela humanidade foi a base cinco, pois temos cinco
dedos em cada mão. Apesar de atualmente utilizarmos a base 10 (sistema decimal) para realizar as contagens
em algumas tribos ainda utiliza-se a base 20 (vigesimal) e há reminiscências da base 60 (sexagesimal)
utilizada pelos antigos babilônios em medidas de tempo (a cada sessenta segundos formamos um minuto).
Lembramos também que a base binária (dois) é utilizada pelos sistemas eletrônicos.
Conversões entre bases - Exemplos
Escreva o numeral (37)10 na base cinco.
Escreva o numeral (5)10 na base binária.
5
2
1
2
2
0
1
Logo o numeral é (101)2.
1x8
4
5
2
7
5
2
1
Logo o numeral é (122)5.
Escreva o numeral (1011)2 na base decimal.
8
37
Escreva o numeral (2304)5 na base decimal.
2
1
125
25
5
1
1x2
1x1
2 x 125
3 x 25
0x5
4x1
Logo temos, 8 + 2 + 1 = (11)10.
Logo temos, 250 + 75 + 4 = (329)10.
1ª Situação-problema
A Base Decimal (Slide 1)
Juninho está participando de uma promoção: a cada 10 tampinhas de garrafas ele troca por 1 selo da
promoção. Caso ele consiga juntar 10 selos da promoção ele ganha 1 bola de futebol. Quantas tampinhas de
garrafa ele deverá juntar para conseguir ganhar a bola de futebol?
1ª Troca
2ª Troca
(. . .)
10ª Troca
Troca
Final
A Base Decimal (Slide 2)
Resumindo o que Juninho fez:
10 tampinhas = 1 selo
10 selos = 1 bola
1 selo
1 selo
1 selo
1 selo
1 selo
1 selo
1 selo
1 selo
1 selo
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
tampinhas tampinhas tampinhas tampinhas tampinhas tampinhas tampinhas tampinhas tampinhas tampinhas
=
10 selos
=
100
tampinhas
=
1 selo
Resposta: Juninho precisou juntar 100 tampinhas para trocar pelos 10 selos e, depois, trocar pela bola.
10 unidades = 1 dezena
Em nosso sistema de numeração temos algo semelhante:
10 dezenas = 1 centena
10 centenas = 1 milhar
O material dourado (Slide 1)
O material dourado representa bem estas quantidades.
A cada 10 unidades formamos uma dezena. As unidades simples são:
0
Zero
1
Um
2
Dois
3
Três
4
Quatro
5
Cinco
6
Seis
7
Sete
8
Oito
9
Nove
O material dourado (Slide 2)
A cada 10 dezenas formamos uma centena. As dezenas são:
1 dezena 2 dezenas 3 dezenas 4 dezenas 5 dezenas 6 dezenas 7 dezenas 8 dezenas 9 dezenas
10
Dez
20
Vinte
30
Trinta
40
Quarenta
50
Cinquenta
60
Sessenta
70
Setenta
80
Oitenta
90
Noventa
O material dourado (Slide 3)
A cada 10 centenas formamos um milhar. As centenas são:
1 centena
2 centenas
3 centenas
4 centenas
5 centenas
6 centenas
7 centenas
8 centenas
9 centenas
100
Cem
200
Duzentos
300
Trezentos
400
Quatrocentos
500
Quinhentos
600
Seiscentos
700
Setecentos
800
Oitocentos
900
Novecentos
As palavras unidade, dezena e centena são conhecidas como ordens do sistema de numeração.
2ª Situação-problema
Para expressar os membros de uma família geralmente precisamos compor um numeral com 1
algarismo (só as unidades). Para contar quantos alunos têm numa sala de aula usamos numerais com 2
algarismos (dezenas e unidades). Se quisermos saber quantos alunos têm em nossa escola vamos
precisar usar 3 algarismos para compor o numeral (centenas, dezenas e unidades).
Compondo numerais (Slide 1)
• A família de Patrícia possui 5 pessoas (5 unidades);
5 unidades
• Na sala de aula de Patrícia existem 32 alunos (3 dezenas e 2 unidades);
3 dezenas
2 unidades
= 32 unidades
Compondo numerais (Slide 2)
• Na escola de Patrícia em que Patrícia estuda há 461 crianças (4 centenas, 6 dezenas e 1 unidade);
4 centenas
6 dezenas
1 unidade
= 461 unidades
Ordens e Classes
A cada três ordens formamos uma classe. As classes são infinitas no sistema de numeração decimal.
CLASSE DOS
MILHÕES
CLASSE DOS
MILHARES
CLASSE DAS
UNIDADES SIMPLES
centena
de milhão
dezena
de milhão
unidade
de milhão
centena
de milhar
dezena
de milhar
unidade
de milhar
centena
simples
dezena
simples
unidade
simples
100 000 000
10 000 000
1 000 000
100 000
10 000
1 000
100
10
1
a) No meu bairro moram 2 583 pessoas, ou seja, 2 unidades de milhar, 5 centenas, 8 dezenas e 3 unidades.
b) Na cidade de Cambuci (RJ) existem 14 368 habitantes, ou seja, 1 dezena de milhar, 4 unidades de milhar, 3 centenas,
6 dezenas e 8 unidades.
c) A população de Ribeirão Preto (SP) é 547 407 habitantes, ou seja, 5 centenas de milhar, 4 dezenas de milhar, 7
unidades de milhar, 4 centenas e 7 unidades.
d) No Brasil existe cerca de 191 270 987 habitantes, ou seja, 1 centena de milhão, 9 dezenas de milhão, 1 unidade de
milhão, 2 centenas de milhares, 7 dezenas de milhares, 9 centenas, 8 dezenas e 7 unidades
Valor Absoluto e Valor Relativo
Todo algarismo possui seu próprio valor, chamado valor absoluto. Por exemplo, o algarismo 8 vale 8
unidades. Dependendo do lugar onde o algarismo se encontra ele possui um valor diferente. Este valor
é chamado de valor relativo. Caso o algarismo 8 se encontre na ordem das dezenas, por exemplo, seu
valor será 80 unidades.
a) Em 2 583, o algarismo 2 vale 2 000, o 5 vale 500, o 8 vale 80 e o 3 vale 3.
Resumindo: 2 583 = 2 000 + 500 + 80 + 3
b) Em 14 386, o algarismo 1 vale 10 000, o 4 vale 4 000, o 3 vale 300, o 8 vale 80 e o 6 vale 6.
Resumindo: 14 386 = 10 000 + 4 000 + 300 + 80 + 6
Para refletir
1) Por quê a etimologia da palavra calcular refere-se à pedra?
2) Quais são as principais características do sistema de numeração egípcio (antigo)?
3) Em quais situações ainda utilizamos o sistema de numeração romano?
4) Caracterize o sistema de numeração decimal indo-arábico.
5) Cite algumas utilizações das bases binária, decimal e sexagesimal nos dias atuais.
6) Descreva como ocorrem os agrupamentos no sistema de numeração decimal.
7) Quais são as ordens no sistema de numeração decimal? O que são classes?
8) Diferencie valor absoluto de valor relativo de um algarismo utilizando exemplos numéricos.