Mecânica Quântica:
uma abordagem (quase) conceitual
Carlos Eduardo Aguiar
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física
Instituto de Física - UFRJ
I Jornada de Científica do MNPEF
UFPA, setembro de 2015
Sumário
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
Fenômenos quânticos
Princípios da mecânica quântica
Sistemas quânticos simples: aplicações
Emaranhamento
Realismo, contextualidade e não-localidade
Como seguir em frente: operadores, etc.
Comentários finais
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
2
Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
3
Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
• Dificuldades conceituais
–
–
–
–
–
–
Superposição quântica
Probabilidade subjetiva x objetiva
Complementaridade
O problema da medida
Realismo vs. localidade
...
• Dificuldades matemáticas
–
–
–
–
–
–
Vetores
Números complexos
Espaços vetoriais complexos
Operadores, autovalores, autovetores
Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais
...
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
4
Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
• Entre os alunos as dificuldades matemáticas ganham
proeminência pela necessidade de adquirir um domínio
operacional da teoria, essencial a aplicações.
• Como veremos, é possível expor a teoria quântica – sem
descaracterizá-la – reduzindo as ferramentas matemáticas a
vetores e um pouco de números complexos. Com isso,
torna-se viável dar mais atenção aos aspectos conceituais.
• Tal abordagem pode ser de interesse a alunos para os quais
o aspecto operacional não é o mais importante (licenciandos
em física, por exemplo).
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
5
Fenômenos Quânticos
Charles Addams, New Yorker, 1940
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
6
Um experimento com a luz
detectores
de luz
D1
espelho
D2
feixe luminoso
pouco intenso
espelho
semiespelho (50-50%)
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7
Resultado do experimento
• Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo:
apenas um, ou D1 ou D2, é ativado a cada vez.
D1
D1
D2
D2
ou
50%
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
probabilidade
50%
8
Se a luz fosse uma onda
D1
D2
... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo.
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9
Se a luz é composta por partículas
D1
D1
D2
D2
ou
... ou D1 dispara, ou D2 dispara.
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10
Conclusão
• A luz é composta por partículas: os fótons.
• O detector que dispara aponta “qual caminho”
o fóton tomou.
D1
D2
caminho 2
caminho 1
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11
O experimento de Grangier, Roger & Aspect
• Experimento realizado pela primeira vez em 1986 por Philippe
Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect.
• A fonte luminosa de “pouco intensa” usada no experimento não é
fácil de construir.
ν1
átomo de
cálcio
τ = 4,7 ns
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ν2
12
O experimento de Grangier, Roger & Aspect
w = 9 ns
P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a
beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)
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13
Resultado do experimento de Grangier et al.
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14
Sobre o ensino do conceito de fóton
• Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência
simples e direta da natureza corpuscular da luz.
• Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio)
que o efeito fotoelétrico.
• Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton
não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e
Compton.
– G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927)
– E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927)
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15
Outro experimento com a luz
D1
D2
segundo
semiespelho
feixe luminoso
“fóton a fóton”
interferômetro de Mach-Zehnder
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16
Preliminares: um feixe bloqueado
25%
50%
25%
2
1
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17
O outro feixe bloqueado
25%
25%
2
50%
1
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18
Resultado fácil de entender com partículas
25%
50%
25%
2
1
= caminho do fóton
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19
De volta ao interferômetro
D1
D2
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20
Resultado do experimento:
100%
D1
0%
D2
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21
Difícil de entender se os fótons seguem caminhos
definidos
caminho 2
caminho 1
25%
25%
25%
25%
2
1
Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferença
se o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto vale
o resultado do experimento preliminar.
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22
Proposição*
Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2
consequência:
PDn  PD(1n)  PD( 2n )
probabilidade do
detector Dn disparar
apenas o caminho
1 aberto
apenas o caminho
2 aberto
* The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5
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23
Teste da Proposição
Experimentalmente:
P  25%
(1)
D1
( 2)
D1
P
 25%
PD1  100%
P  25%
(1)
D2
( 2)
D2
P
 25%
PD2  0%
PDn  PD(1n)  PD( 2n )
a proposição é falsa!
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24
Repetindo:
A afirmativa
“o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2”
é falsa.
“… um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível,
de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o
coração da mecânica quântica.”
R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1
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25
Por onde vai o fóton?
• Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa.
• Se os dois caminhos forem fechados, nenhum
fóton chega aos detectores. Logo, “nem 1 nem 2”
também não é aceitável.
• Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fóton
segue os dois caminhos ao mesmo tempo.
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26
Uma resposta melhor
• Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro,
pois a montagem experimental não permite distinguir os
caminhos 1 e 2.
• A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a um
aparato capaz de produzir uma resposta.
Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com
as palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron
(em um sistema de referência), ele deve especificar
experimentos determinados com os quais pretende medir tal
posição; do contrário essas palavras não terão significado.
- W. Heisenberg,
The physical content of quantum kinematics and mechanics
(o artigo de1927 sobre o princípio da incerteza)
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27
Fácil de entender num modelo ondulatório
interferência
construtiva
D1
D2
interferência
destrutiva
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28
Comprimentos variáveis
PD1
PD2
L2
L1
L1, L2 = comprimentos ajustáveis
dos “braços” do interferômetro
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29
Resultado experimental:
PD1
PD2
1
1
0
0
L1 – L 2
L1 – L2
(linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ PD(1) + PD(2))
• Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda.
• Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere com
ele mesmo”.
• Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), o
comprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado.
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30
O experimento de Grangier, Roger & Aspect
P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a
beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
31
O experimento de Grangier, Roger & Aspect
L1 – L2 (λ/50)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
L1 – L2 (λ/50)
32
Interferência de nêutrons
interferômetro de nêutrons
S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980)
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33
Interferência de átomos
interferômetro de átomos
A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometry
with atoms and molecules, Reviews of Modern Physics 81, 1051 (2009)
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34
Interferência de elétrons
A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up
of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
35
E se os caminhos forem distinguíveis?
interferência
desaparece !
diferença de “caminhos” (ajustável)
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
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36
E se os caminhos forem distinguíveis?
• Massa = 0
• caminho
identificado
• não há padrão de
interferência
• Massa  ∞
• caminho não
identificado
• padrão de
interferência
N  Massa
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
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37
E se a informação sobre o caminho for apagada?
impossível determinar
o caminho
interferência
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
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38
Quando há interferência?
Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas,
indistinguíveis experimentalmente
interferência
(“1 e 2”)
Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas,
distinguíveis experimentalmente
(“ou 1 ou 2”)
não há interferência
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39
Princípios da Mecânica Quântica
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40
Princípios da Mecânica Quântica
• Vetores de estado e o princípio da superposição
• A regra de Born
• Complementaridade e o princípio da incerteza
• Colapso do vetor de estado
• Evolução unitária
• Sistemas de N estados
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41
Vetores de Estado
eo
Princípio da Superposição
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42
Sistemas de dois estados
• esquerda / direita
• horizontal / vertical
• para cima / para baixo
• sim / não
• 0/1
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43
Sistemas de dois estados
fóton refletido
cara
coroa
fóton transmitido
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44
Sistemas de dois estados
 a1
grandeza física observável: A  
a 2
a1
A=?
a1
a2
medidor de “A”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
a2
ou
a1
a2
45
Sistemas clássicos
• Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2.
• Representação dos estados: pontos no “eixo A”
sistema tem
A = a2
sistema tem
A = a1
a1
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a2
A
46
Sistemas quânticos: vetores de estado
• Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2.
• Representação dos estados: vetores ortogonais
(e de comprimento unitário) em um espaço de
duas dimensões
a2
sistema tem
A = a2
a1
sistema tem A = a1
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47
A notação de Dirac
vetor ↔ 
identificação
a1
exemplos:
a2
0
1




esquerda
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direita
48
O que muda?
Passar de dois pontos em uma reta para dois
vetores perpendiculares não parece ser mais do
mudar o sistema de “etiquetagem” dos estados.
?
a1
a2
a2
A
a1
O que muda é o seguinte:
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49
O Princípio da Superposição
Qualquer combinação linear dos vetores |a1e |a2
representa um estado físico do sistema.
  c1 a1  c 2 a 2
a2

a1
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50
Significado de |
a2

a1
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•
•
•
•
•
A = a 1 e A = a2 ?
esquerda e direita?
horizontal e vertical?
sim e não?
0 e 1?
51
O espaço de estados é grande
• Um sistema quântico de dois estados tem muito
mais que dois estados, tem infinitos estados.
• Os estados |a1 e |a2 formam uma “base” do
espaço de estados.
a2
a1
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52
Princípio da Superposição: formulação geral
Se |e | são vetores de estado, qualquer combinação
linear deles representa um estado físico do sistema.
    



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53
Um ‘detalhe técnico’
• As constantes c1 e c2 podem ser números
complexos (o espaço de estados é um
espaço vetorial complexo).
• Deve-se ter cuidado com figuras como
esta:

c2
a2
a1
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c1
54
Outro ‘detalhe técnico’
• Qual o significado de “ortogonalidade”
num espaço vetorial complexo?
• Como se define “comprimento” de um
vetor nesse espaço?
a2
?
a1
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55
A Regra de Born
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56
A Regra de Born

c2
  c1 a1  c 2 a 2
a2
a1
c1
A probabilidade de uma medida da
grandeza física A resultar em A = an é
P(an ) 
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
cn
c1  c 2
2
(n = 1, 2)
2
2
57
A Regra de Born
  c1 a1  c 2 a 2
a1
?
a1
a2
P(a1) 
c1
2
c1  c 2
2
2
a2
medidor de “A”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
a1
a2
P(a 2 ) 
c2
2
c1  c 2
2
2
58
Probabilidade total
P(a1)  P(a 2 ) 
c1
2
c1  c 2
2
2

c2
2
c1  c 2
2
2
1
Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2.
A probabilidade da medida resultar
ou em a1 ou em a2 é 1 (100%)
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59
Normalização do vetor de estado

c2
a2
Norma de |:
 
c1  c 2
2
2
(tamanho do vetor |)
a1
c1
Com essa definição:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
a1  a 2
1
60
Normalização do vetor de estado
 

  c1 a1  c 2 a 2
  c1 a1  c 2 a 2
  
P (an ) 
c n
2
c 1  c 2
2
2

cn
2
c1  c 2
2
2
 P (an )
|e | têm normas diferentes mas
representam o mesmo estado físico!
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61
Normalização do vetor de estado
Todos os vetores ao longo de uma
dada direção representam o mesmo
estado físico.
Podemos trabalhar apenas
com vetores “normalizados”:
 1
ou seja,   c1 a1  c 2 a 2 ,
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
2
c1  c 2
2
1
62
Vetores normalizados: a Regra de Born
  c1 a1  c 2 a 2 (normalizado)
?
a1
P(an )  c n
2
a1
a2
P(a1)  c1
a1
a2
P(a 2 )  c 2
2
2
a2
medidor de “A”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
63
Amplitude de probabilidade
cn  amplitude de probabilidade
probabilidade = |amplitude de probabilidade|2
  c1 x 1  c 2 x 2
“função de onda” (xn )  cn
P( x n )  ( x n )
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
2
64
Frequência dos resultados de medidas


a1
a2
a1
a2




a1
N medidas de A
(N )
N1  a1
N2  a2
  c1 a1  c 2 a 2
N1
2
 P(a1)  c1
N
a2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
podemos prever
a frequência dos
N2
2
resultados:
 P(a 2 )  c 2
N
65
Valor médio dos resultados


a1
a2
a1
a2
  c1 a1  c 2 a 2




valor médio de A:
N a  N2 a 2
A  1 1
N
A  c1 a1  c 2 a 2
2
a1
a2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
2
66
Incerteza
a2
  c1 a1  c 2 a 2

c2
c1, c2  0
a1
impossível prever o
resultado de uma medida
c1
  a1  c1  1, c 2  0
Se
ou
  a 2  c1  0, c 2  1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
possível prever o resultado
(probabilidade = 100%):
valor de A “bem definido”
67
Incerteza
  c1 a1  c 2 a 2
 A = incerteza de A no estado |
( A)  A  A
2

2
 A  A
2
2
  a1
A = 0
ou
  a2
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68
Complementaridade
eo
Princípio da Incerteza
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69
Complementaridade
a2
a1
a2
a1
duas grandezas
físicas: A e B
A
b2
b1
b2
b1
B
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70
Grandezas compatíveis e incompatíveis
b2
a2
A e B compatíveis
b1
a1
b2
A e B incompatíveis
a2
b1
a1
A e B complementares: incompatibilidade “máxima”
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71
O Princípio da Incerteza
A bem definido, B incerto
( A = 0,  B  0)
a2
b2
A e B incertos
( A  0,  B  0)

B bem definido, A incerto
( B = 0,  A  0)
b1
a1
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72
O Princípio da Incerteza
A e B incompatíveis 
nenhum estado | com  A = 0 e  B = 0
a2
b2

b1
a1
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73
Exemplo: posição e momentum
x2
x1
X
duas posições: |x1, |x2 (“aqui”, “ali”)
dois estados de movimento: |p1, |p2 (“repouso”, “movimento”)
x2
p2
p1
impossível ter um estado com
posição e momentum bem definidos
x1
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74
Resumo da “cinemática” quântica
estado físico
grandeza física
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vetor no espaço
de estados
sistema de eixos
(uma “base”) no
espaço de estados
75
Resumo da “cinemática” quântica
a2
projeção do vetor de
estado no eixo |an
probabilidade de uma
medida da grandeza
A resultar em A = a1
ou A = a2

a1
grandezas físicas
incompatíveis
(complementares)
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probabilidade da
medida resultar
em A = an
diferentes sistemas
de eixos no espaço
de estados
76
Como o vetor de estado muda com o tempo?
• “Redução” durante uma medida
• Evolução unitária (equação de
Schroedinger)
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77
Redução do Vetor de Estado
Redução do vetor de estado

a1
a1
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antes da
medida
a2
a2
a2
depois da
medida
79
Redução do vetor de estado
a2
resultado
A = a2

resultado
A = a1
a1
medida de A resulta em an  logo após a
medida o vetor de estado do sistema é |an
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80
Redução do vetor de estado
• A redução garante que a medida é repetível: se obtemos
A = an e imediatamente refazemos a medida, encontramos
A = an novamente com 100% de probabilidade.
• O estado | an  é o único em que a nova medida resultará
em A = an com 100% de probabilidade.
• |  |an: a medida causa uma alteração imprevisível
e incontrolável do estado quântico; versão moderna do
“salto quântico”.
• A redução aplica-se a medidas “ideais” (medidas projetivas
ou de von Neuman, ). Na prática, muitas vezes não faz sentido
falar em redução a | an . Por exemplo, um fóton geralmente é
absorvido durante sua detecção; não há mais fóton após a
primeira medida.
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81
Evolução Unitária
A equação de Schroedinger
• Evolução temporal do vetor de estado:
|(0)  |(t)
• Dinâmica quântica: determinada pela
energia do sistema (o conceito de força
é pouco relevante).
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83
A (solução da) equação de Schroedinger
E2
Sistema de dois estados
Dois níveis de energia: E1, E2
E1
(t  0)  c1 E1  c 2 E2
(t)  c1e iE1 t /  E1  c 2e iE2 t /  E2
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84
A (solução da) equação de Schroedinger
• ћ = constante de Planck ( 2)  110-34 Js
• Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as
componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0,
para t  0 elas serão complexas:
cn (t)  cne iEn t / 
• A evolução |(0)  |(t) ditada pela equação de
Schroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) e
determinista (sem elementos probabilísticos).
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85
Propriedades da equação de Schroedinger
• Linearidade:
a (0)  a ( t)
b (0)  b ( t)
(0)   a (0)   b (0)
(t)   a (t)   b (t)
t=0
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t0
86
Propriedades da equação de Schroedinger
• Conserva a norma do vetor de estado:
( t )
(t)  (0)
(0)
tamanho não muda
• Conserva o ortogonalidade entre vetores:
( t )
 (0 )
( t )
dois vetores perpendiculares
continuam perpendiculares
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(0)
87
Demonstração da linearidade
a (0)  c1 E1  c 2 E2
b (0)  d1 E1  d2 E2
(0)   a (0)   b (0)
 (c1  d1) E1  (c 2  d2 ) E2
( t)  (c1  d1)e i E1 t /  E1  (c 2  d2 )e i E 2 t /  E2
 c1e i E1 t /  E1  c 2e i E 2 t /  E2   c1e i E1 t /  E1  c 2e i E 2 t /  E2

  a ( t)   b ( t)
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88
Demonstração da conservação da norma
(0)  c1 E1  c 2 E2
(t)  c1 e i E1 t /  E1  c 2 e i E2 t /  E2
( t )
2
 c1 e
i E1 t /  2
2
 c1  c 2
 (0)
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 c2 e
 i E2 t /  2
2
2
89
Demonstração da conservação da ortogonalidade
 (0 )
( t )
(0)
( t)
( t )
(0)
|(0) e |(0) ortogonais
(0)  (0)  (0)  2
(t)  (t)  (t)  2
|(t) e |(t) ortogonais
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90
Propriedades da equação de Schroedinger
•
•
•
•
•
Determinismo
Continuidade
Linearidade
Conservação da norma
Conservação da ortogonalidade
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“evolução
unitária”
91
Estados estacionários
• Estado de energia bem definida En:
(0)  En
(t)  e iEn t /  En
mesma “direção” que |En
• |(t) e |(0) representam o mesmo estado físico.
• Estados de energia bem definida são “estacionários”.
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92
Conservação da energia
(t)  c1e iE1 t /  E1  c 2e iE2 t /  E2
P(En, t)  cne
i En t /  2
 cn
2
P(En, t)  P(En, t  0)
E
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( t )
 E
( 0)
93
Eq. de Schroedinger x processos de medida
• Equação de Schroedinger:
– contínua
– determinista
– válida enquanto não se faz uma medida
• Redução do vetor de estado:
– descontínua
– probabilística
– ocorre durante a medida
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94
Eq. de Schroedinger x processos de medida
Dois tipos de evolução temporal?
• Equação de Schroedinger:
– interação do sistema quântico com outros
sistemas quânticos.
– A = a1 e A = a2
• Colapso do vetor de estado:
– interação do sistema quântico com um aparato
clássico, o aparelho de medida (o “observador”).
– A = a1 ou A = a2
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95
O “problema da medida”
Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger?
Descrição quântica do aparelho de medida:
a1
a2
|
aparelho de medida:
a1  a1
a 2  a 2
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a1
a2
| 
a1
a2
| 
equação de Schroedinger:
c1 a1  c 2 a 2  c1 a1
 c 2 a2
o ponteiro aponta em duas
direções ao mesmo tempo !
96
O “problema da medida”
• Porque as superposições quânticas não são encontradas
no mundo macroscópico?
– Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em
duas direções ao mesmo tempo.
– Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto.
• Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados
com a observação de apenas alguns poucos estados
macroscópicos?
Uma descrição do processo de medida
baseada na equação de Schroedinger
deve dar respostas a essas questões.
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97
Física quântica x física clássica
• Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer
processo de interação entre objetos clássicos e quânticos…
L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics
• … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal,
não podem ser propriamente incluídos no domínio de
aplicação da mecânica quântica.
N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935
• …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo em
uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não
fosse governado pela mecânica quântica.
J. Bell, Against measurement
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98
Física quântica x física clássica
física
clássica
física
quântica
…a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teorias
físicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas ao
mesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação...
- L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics
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99
Os gatos de Schroedinger
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100
Sistemas de N Estados
Você está em
todo lugar
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101
Sistemas de 3 estados
Três valores possíveis
para a grandeza A:
a2
a1
a 1 a2 a 3
a3
  c1 a1  c 2 a2  c 3 a3
P(an )  | cn |2 , n  1, 2, 3
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102
Sistemas de N estados
a2
N valores possíveis
para a grandeza A:
a1
a3
... a
a1
a2
...
aN
N
(impossível desenhar
N eixos perpendiculares)
N
   c n an
n 1
P(an )  | c n |2 , n  1, 2,  N
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103
Sistemas de infinitos estados
• N pode ser infinito:

   c n an
n1
• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:
   da c(a) a
densidade de probabilidade: p(a)  | c(a) |
2
a 
probabilidade:
P(a, a)   da | c(a) |2
a
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104
Sistemas de infinitos estados
Exemplo: a = x = posição de uma partícula
   dx (x ) x
função de onda: (x)
densidade de probabilidade: p( x )  | ( x ) |
2
x2
probabilidade: P( x1, x 2 ) 
2
dx
|

(
x
)
|

x1
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105
Sistemas de infinitos estados
• A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos:
   c n an   da c(a) a
n
Exemplo: a = E = energia de uma partícula
   cn En   dE c(E) E
n
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106
Aplicações a sistemas simples
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107
Interferômetro de Mach-Zehnder
• Interferência de uma partícula
• Descrição quântica do interferômetro
• Interferência e indistinguibilidade
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108
O interferômetro de Mach-Zehnder
100%
interferência
construtiva
“ondas”
D1
0%
interferência
destrutiva
D2
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109
O interferômetro de Mach-Zehnder
25%
50%
25%
2
1
D1 e D2 nunca disparam em coincidência
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“partículas”
110
Descrição quântica do interferômetro
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1
(caminho 1)
2
(caminho 2)
111
Espaço de estados
2
  c1 1  c 2 2
1
 P1  c1 2
probabilidades: 
2
P2  c 2
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112
Semiespelho
2
1
1
1
1
1 
1 
2
2
2
evolução
unitária
2
1
1
1
2 
1 
2
2
2
2
probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2
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113
Semiespelho
2
1
1
1 
2
2
2
1
sinal negativo: evolução
unitária conserva a
ortogonalidade
1
1
1 
2
2
2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
114
Interferômetro
D1
D2
2
1
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1
115
Interferômetro
Estado inicial: 1
1
1
1 
2
Primeiro semiespelho: 1 
2
2
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116
Interferômetro
Segundo semiespelho:
1
1
1  1
1
1
 1  1

1 
2 
1

2

1

2




2
2
2 2
2 
2 2
2 
ou seja, o estado final é
 1 1
 1 1
  1    2  1
 2 2
 2 2
interferência
construtiva
interferência
destrutiva
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P1 = 100%
P2 = 0%
117
O que interfere?
 1 1
 1 1

1



  2
 2 2
 2 2
(1-1-1)
(1-1-2)
(1-2-1)
(1-2-2)
1
2
2
1
1
1
2
1
soma das amplitudes de probabilidade associadas
a caminhos alternativos indistinguíveis
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118
Caminho bloqueado
D1
D2
2
1
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119
Caminho bloqueado
Estado inicial: 1
1
1
1 
2
Primeiro semiespelho: 1 
2
2
Bloqueio:
1
1
1
1
1 
2 
1 

2
2
2
2
fóton bloqueado
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120
Caminho bloqueado
Segundo semiespelho:
1
1
1  1
1
 1
1 
 
1 
2 


2
2
2 2
2 
2
ou seja, o estado final é
1
1
1
1  2 

2
2
2
P1 = 25%
P2 = 25%
P = 50%
não há caminhos alternativos, logo não há interferência
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121
Por que não há interferência?
1
1
1
1  2 

2
2
2
(1-1-1)
(1-2-)
(1-1-2)
1
2
1
1
1
1
2

1
não há caminhos alternativos para cada um dos
estados finais  não há interferência
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122
Caminhos alternativos distinguíveis
D1
D2
mola
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123
Caminhos alternativos distinguíveis
1R , 2 R , 1M , 2 M
Estado inicial:
• 1, 2: caminho do fóton
• R: espelho em repouso
• M: espelho em movimento
1R
Primeiro semiespelho:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
1R 
1
1
1R 
2M
2
2
124
Caminhos alternativos distinguíveis
Segundo semiespelho:
1
1
1  1
1
1R 
2M 
1R 
2R

2
2
2 2
2
1
 1  1

1M 
2M 


2 2
2


ou seja, o estado final é
1
1
1
1
1R  1M  2 R  2 M
2
2
2
2
P1 = P(1, R) + P(1, M) = 50%
P2 = P(2, R) + P(2, M) = 50%
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soma de probabilidades,
não de amplitudes
125
Apagando a informação sobre o caminho
D1 100%
D2 0%
mola
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126
Apagando a informação sobre o caminho
Segundo semiespelho:
1
1
1  1
1
1R 
2M 
1R 
2M

2
2
2 2
2
1
 1  1

1R 
2M 


2 2
2


ou seja, o estado final é
1R
a informação sobre o caminho foi apagada
e a interferência restabelecida
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127
O palito de fósforo quântico
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015
128
O palito de fósforo quântico
• fósforo “bom”
fóton
• fósforo “ruim”
fóton
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129
O palito de fósforo quântico
palitos bons e ruins misturados
Problema: como encher uma caixa de
fósforos apenas com palitos bons?
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130
Teste clássico
palito bom
queimado
palito ruim
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131
Teste quântico
D1
D2
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132
Palito ruim
D1 100%
transparente
D2 0%
palito ruim  D2 nunca dispara
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133
Palito bom
D1 25%
50%
D2 25%
palito bom  D2 dispara em 25% das vezes,
e o fósforo permanece intacto
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134
Teste quântico
• D2  fósforo bom intacto
• D1  fósforo bom intacto ou fósforo ruim
• Fósforo acende  fósforo bom queimado
Dos fósforos bons:
• 25% estão identificados e intactos
• 50% foram queimados
• 25% em dúvida
Retestando os casos duvidosos é possível
identificar 1/3 dos fósforos bons.
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135
Mais aplicações a sistemas simples
•
•
•
•
•
•
•
O problema de Deutsch
Molécula de H2+
Benzeno
Oscilação de neutrinos
Polarização do fóton
Spin ½
Informação quântica
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136
Emaranhamento
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137
Emaranhamento
|
|
sistema I
sistema II
|
|
subsistema I
subsistema II
sistema composto
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138
Emaranhamento
• Estados do sistema composto:
,    I 
II
,    I 
II
 sistema I no estado |, sistema II no estado |
 sistema I no estado |, sistema II no estado |
• Superposição  estado emaranhado:
1
1
,  
, 
2
2
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139
Emaranhamento
• Não é possível associar vetores de estado aos subsistemas
individuais.
• O emaranhamento pode ocorrer mesmo quando os
subsistemas estão separados por distâncias macroscópicas.
• Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos da
mecânica quântica.
“O melhor conhecimento possível de um todo não inclui o
melhor conhecimento possível de suas partes, nem mesmo
quando essas estão completamente separadas umas das
outras e no momento não influenciam umas às outras.”
- E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics
(o artigo de 1935 onde apareceu o gato de Schroedinger)
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140
Realismo, Contextualidade e Localidade
“Eu só gostaria de saber que diabos está acontecendo, é só! Eu gostaria de saber
que diabos está acontecendo! Você sabe que diabos está acontecendo?”
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141
Variáveis ocultas
Medidas:
• revelam um valor preexistente?
• criam o resultado encontrado?
A()
grandeza medida
no experimento
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variável “oculta” que
determina o valor de A
142
Experimentos com um sistema composto
AI = 1
AII = 1
I
II
BI = 1
incompatíveis
BII = 1
compatíveis
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143
Quatro experimentos com um sistema composto
Quatro experimentos possíveis:
1) Medida de AI e AII
AI = +1 e AII = +1  encontrado algumas vezes
2) Medida de AI e BII
AI = +1 e BII = +1  nunca encontrado
3) Medida de BI e AII
BI = +1 e AII = +1  nunca encontrado
4) Medida de BI e BII
BI = -1 e BII = -1  nunca encontrado
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144
Quatro experimentos com um sistema composto
1) P(AI, AII)
(em %)
grau de emaranhamento
2) P(AI, BII) = 0
3) P(BI, AII) = 0
4) P(BI, BII) = 0
A. G. White, D. F. V. James, P. H. Eberhard, P. G. Kwiat,
Nonmaximally Entangled States: Production, Characterization,
and Utilization, Physical Review Letters 83, 3013 (1999)
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145
Experimentos com um sistema composto
Se os valores de AI, AII, BI e BII já
existiam antes das medidas:
AI = +1
AII = +1
sempre
BI = -1
BII = -1
!!
Mas BI = BII = -1 nunca é encontrado (exp. 4)!
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146
Estados de Hardy
1
 BI ,BII   BI ,BII   BI ,BII 
 
3

estado emaranhado
P(BI, BII) = 0  experimento 4
L. Hardy, Quantum Mechanics, Local Realistic Theories, and LorentzInvariant Realistic Theories, Physical Review Letters 68, 2981 (1992).
L. Hardy, Nonlocality for two particles without inequalities for almost all
entangled states, Physical Review Letters 71, 1665 (1993)
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147
Estados de Hardy
Experimentos 1, 2 e 3:
A
1
 A  A 
B 
2
1
 A   A  
B 
2
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B
B
A
148
Estados de Hardy
Experimentos 1, 2 e 3:
1
2 BI , AII   BI , AII   BI , AII 
3)  
6

2)  
1
2 AI ,BII   AI ,BII   AI ,BII 
6

1)  
1
 AI , AII   AI , AII   AI , AII   3 AI , AII 
12
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149

Contextualidade
BI (, CII )
AI (, CII )
o que está sendo
medido em II (AII ou BII)
BII (, CI )
AII (, CI )
o que está sendo
medido em I (AI ou BI)
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150
Não-localidade
AI
AII
I
BI
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II
BII
151
O teorema de Bell
Qualquer teoria de variáveis ocultas
compatível com a mecânica quântica
é necessariamente não-local.
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152
Como chegar aos operadores,
autovalores e autovetores
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153
Conexão com os operadores
• Produto escalar: |
• Projetores: ||
• Operador associado à grandeza A:
A  a1 a1 a1  a2 a2 a2
• Autovalores e autovetores de A:
  a1 ,   a1
A 
ou
  a2 ,   a2
É mais fácil encontrar (postular) o operador A
do que os “eixos” |an e valores an.
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154
Em seguida:
• Simetrias e grandezas conservadas
• Posição e momentum
• Partícula em 1 dimensão: aplicações
– Partícula livre
– Potenciais constantes por partes: estados ligados,
tunelamento, etc.
– Oscilador harmônico
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155
E se houver tempo:
•
•
•
•
Partículas idênticas
Partícula em 3 dimensões
Descoerência
Muitos-mundos, de Broglie-Bohm
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156
Comentários finais
• É possível apresentar alguns dos princípios básicos da
mecânica quântica utilizando apenas matemática
acessível a professores (e alunos?) do ensino médio.
• Essa abordagem permite descrever apropriadamente a
mecânica quântica de sistemas simples.
• Aspectos conceituais da mecânica quântica podem ser
discutidos sem as dificuldades criadas por um formalismo
matemático pouco familiar.
• “Experimento didático” em desenvolvimento. Críticas e
sugestões são bem-vindas.
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Funciona?
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Curtiu?
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