Equipe Matemática GRE Recife Sul:
Ana Amara
Andréia Simoni
Fernanda Nascimento
Samuel Justino
RESOLUÇÃO : ENSINO MÉDIO
6º Encontro – 28/07/2015
(‘E)10 horas.
01) Em uma pesquisa realizada, constatou- se que a população A de determinada
bactéria cresce segundo a expressão : A(t) = 25x2 t , onde t representa o tempo
em horas. Neste caso, podemos afirmar que Para atingir uma população de 400
bactérias, será Necessário um tempo de:
(A) 2 horas.
(B) 4 horas.
(C) 6 horas. (D) 8 horas.
At = População das bactérias
t = Tempo de crescimento das bactérias em horas
Sendo a população final = 400 bactérias
Então A(t) = 400
Pela Expressão : A(t) = 25x2 t
400 = 25 . 2 t
400 /25 = 2 t
16 = 2t
Resolvendo a equação exponencial:
16 = 2 t
24 = 2t
Logo t = 4 horas.
Resposta letra B
02) Entre os seguintes gráficos, aquele que representa adequadamente a função y = 7 x é
y
Tabela :
7
Parâmetro x
Função : y = 7x
Variável Gerada : Y
-2
Y=7-2
1/49 = 0,03
-1
Y=7-1
1/7 = 0,14
0
Y=70
1
1
Y= 71
7
2
y=72
49
1
0,14
-2
-1
0
0,03
1
2
Resposta Letra E
x
03) Em uma escola, há 400 estudantes do sexo masculino e 800 do sexo feminino.
Escolhendo se ao acaso um estudante dessa escola, qual a probabilidade de ele ser do sexo
feminino?
a)1/4
b) 1/3
c) 2/5
d) 1 /2
e) 2 /3
Total de Alunos na sala = 1200
Espaço amostral
Nº de Alunos sexo feminino = 800
Evento favorável n(a)
P(a) = Probabilidade ser do sexo Feminino
P(a) = n(a)
e
P(a) = 800
1200
P(a) = 4
6
P(a) = 2
3
Resposta Letra e
04) Um pintor dispõe de 6 cores diferentes de tinta para pintar uma casa e precisa escolher
uma cor para o interior e outra diferente para o exterior, sem fazer nenhuma mistura de
tintas. De quantas maneiras diferentes essa casa pode ser pintada usando-se apenas as 6
cores de tinta que ele possui?
a) 6
b) 15
c) 20
d) 30
e) 60
A6,2 = 6!
4!
A ORDEM IMPORTA
A6,2 = 6.5 . 4!
4!
A6,2 = 30
Resposta Letra d
Interior
Exterior
05) Isabel, Helena e Carla saíram às compras e adquiriram mercadorias iguais, porém, em
quantidades diferentes. Isabel comprou uma sandália, duas saias e três camisetas, gastando
um total de R$ 119,00. Helena comprou duas sandálias, três saias e cinco camisetas,
gastando um total de R$ 202,00. Carla comprou duas sandálias, uma saia e duas camisetas,
gastando um total de R$ 118,00. Para determinar os preços x, y e z da sandália, da saia e da
camiseta, respectivamente, resolve-se o sistema dado por
O sistema associado a essa matriz é
(A) x + 2y + 2z = 119; 2x + 3y + z = 202 e 3x + 5y + 2z = 118.
(B) 3x + 2y + z = 119; 5x + 3y + 2z = 202 e 2x + y + 2z = 118.
(C) 2x + 2y + z = 119; x + 3y + 2z = 202 e 2x + 5y + 3z = 118.
(D) 3x + 5y + 2z = 119; 2x + 3y + z = 202 e x + 2y + 2z = 118.
(E) x + 2y + 3z = 119; 2x + 3y + 5z = 202 e 2x + y + 2z = 118.
Associando os coeficientes a matriz temos
x + 2y + 3z = 119
2x + 3y + z = 202
2x + y + 2z = 118.
Resposta Letra E
(D) y = sen2x
(E) y = 2 senx
06) Observe o gráfico a seguir.
Valor médio
F(x) = A + Bsen (Cx + D)
Amplitude
Período
Amplitude
Deslocamento
horizontal
Qual a função que melhor representa esse gráfico no intervalo [0 , 2π ]
(A) y = -cos x
(B) 2cos(x/2) (C) y = sen(-x)
Valor Médio
C = 2π
Mas : T = 2 π
Logo C=1
T = 2π
T
C
A forma da função apresentada é f(x) = sen(x) com inversão de fase
Assim, a forma da função apresentada de f(x), é f(x) = -sen(x)
Pela identidade trigonométrica –sen(x) = sen (-x)
Logo a função representada é y= sen(-x)
Resposta Letra C
07) Qual dos gráficos, abaixo, representa a função y = 2cosx?
Amplitude
T = 2π
C
Valor Médio
C = 2π
2π
C=1
X
0
π/2
π
3π/2
2
Y =2COS(X)
Y = 2 COS(0)
Y = 2 COS(π/2)
Y = 2COS(π)
Y = 2COS(3π/2 )
Y = 2COS(2)
Y
Y
Y
Y
Y
Y
= 2
= 0
= -2
=0
= 2
Y=2cos(x)
Resposta Letra A
08) (Saeb). Um caixa eletrônico disponibiliza cédulas de R$ 20,00 e R$ 50,00. Um cliente sacou neste
caixa um total de R$ 980,00, totalizando 25 cédulas. Essa situação está representada pelo gráfico abaixo
sabendo que r1 representa a reta de equação : x + y = 25 e r2 a reta de equação : 20x + 50y =980 onde x
representa a quantidade de cédulas de R$ 20,00 e y a quantidade de cédulas de R$ 50,00, a solução do
sistema formado pelas equações de r1 e r2 é o par ordenado
(A) (8,17). (B) (9,16). (C) (7,18). (D) (11,14). (E) (12,13).
x+
x
y = 25
-20
20x + 50y =980
-20 x - 20 y = -500
20x + 50y =
980
30y = 480
y= 16
x + 16 = 25
x= 9
Resposta Letra B
A) 02/01
B) 05/01
C) 10/01 D) 12/01 E) 15/01
09) João registrou na tabela abaixo a sua movimentação financeira durante a
primeira quinzena do mês de janeiro, com base nesses registros, a maior saída de
dinheiro dessa conta ocorreu no dia :
A) 02/01 B) 05/01
C) 10/01 D) 12/01 E) 15/01
Saída igual a pagamento
12/01 Transferência de Dinheiro = 345,00
12/01 Cheque Descontado = 245,00
Resposta Letra D
(E) estava sempre a menos de 12 m da toca nesse, nesse período.
10) O gráfico abaixo mostra a distância, em metros, que um pequeno roedor está de sua
toca, no período de 17h até às 23h.
Os dados indicam que o animal
(A) está mais longe da toca às 23 horas.
(B) está 8 metros longe da toca às 20 horas.
(C) está sempre afastando-se da toca entre 18 e 20 horas.
(D) estava na toca uma única vez entre 17 e 23 horas.
Está a 8m da toca ás 20 hrs
Resposta Letra B
11) Um marceneiro fixou uma tábua de passar roupa perpendicular a uma parede, a 0,90
metros do chão.Para aumentar a resistência, ele colocou dois apoios, como mostra a figura
abaixo.
O comprimento “x” do apoio menor é
A) 0,42 B) 0,48 C) 0,72 D) 0,75 E) 0,87
Proporcionalidade e Semelhança
1,2m
B
0,9m
0,9m
1,5m
1,5
0,9
A
Triângulo Maior
=
C
1,2
x
1,5 . x = 0,9 . 1,2
x= 0,72m
B
x
Triângulo Menor
C
Resposta Letra C
A
12) A figura abaixo mostra um poliedro regular formado por 20 faces triangulares e 12
vértices. Sabendo que V é o número de vértices, F é o número de faces, A o número de
arestas. E se pela relação de EULER temos a seguinte igualdade: A + 2 = F + V
Então quantos arestas tem esse poliedro?
A) 8
B) 9
C) 12 D) 30 E) 42
Nº Faces = 20
Relação de Euler: V+ F= A + 2
Nº Vértices =12
Pela Relação de Euler: 12 + 20 = A + 2
32 = A + 2
A= 30
Resposta Letra D
13) (Saresp 2007). A medida do diâmetro da base do reservatório 2, representado na figura,
é o triplo da medida do diâmetro da base do reservatório 1, e ambos têm mesma altura.
Se a capacidade do reservatório 1 é de 0,5l, qual é, em litros, a
capacidade do reservatório 2?
(A) 1,5 (B) 3,0 (C) 4,0 (D) 4,5 (E) 5,0
h1 = h2
v1 = π(r1)². h1
v2 = π(r2)².h2
Como r2 = 3r1 , temos :
r1
r2 =3r1
v1 = πr1 . h1
v2 = π(3r1)².h2
v1 = πr1 . h1
v2 = π9r1².h2
h1 = h2
h1 = v 1
π (r1
h2 = v 2
)2
9π(r1)²
assim,
v1
π (r1)2
=
v2
Resposta Letra D
V2 =9v1
V2 =9 .0,5
9π(r1)²
V2 =4,5 l
14) Um empresário produz sólidos pedagógicos de plástico, como por exemplo, pirâmides.
Ele quer embalá-las em caixas no formato de um cubo, sabendo que a pirâmide está
inscrita, como mostra a figura abaixo.
Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6m³, então o volume
do cubo, em m³, é igual a:
(A) 9 (B) 12 (C) 15 (D) 18 (E) 21
V pirâmide = 6m³
Vcubo = 3 . Vpirâmide
Vcubo = 3 . 6
Vcubo = 18 m³
Resposta Letra D
(A) (8,17).
(B) (9,16). (C) (7,18). (D) (11,14). (E) (12,13).
20
x x y =5025
y = 980
15) Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de tevê que habitualmente assistem,
obteve-se o seguinte resultado: 280 pessoas assistem ao canal A, 250 assistem ao canal B
e 70 assistem a outros canais, distintos de A e B. Escolhida uma pessoa ao acaso, a
probabilidade de que ela assista: o canal A ou ao canal B é igual a :
(A) 43/50
(B) 43/70
(C) 25/50
(D) 28/50
(E) 10/50
S=500
Espaço Amostral n(s) = 500
Evento : Assistir Canal (A) =280
Evento Assistir Canal (B) =250
A
B
100
Evento Assistir Canais diferentes de (A) e (B) =70
Evento : Assistir A ∩ B = 100
A∩B
(280 + 250) – ( 500 -70) = 100
70
Probabilidade de Assistir ou o canal A ou o canal B = P (AUB)
P (AUB) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)
P (AUB) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)
P(A) = 280/500 = 14/25
P(A) =14/25
P (AUB) = 14/25 + ½ + 1/5
P(B) = 250/500 = 1/2
P(B) =1/2
P (A ∩ B) = 100/500 = 1/5
P (A ∩ B) = 1/5
P (AUB) = 43/50
16) Em uma bolsa há 2 cubos vermelhos e 4 cubos azuis. Se dois cubos são selecionados
aos acaso, Um de cada vez, e o primeiro cubo retirado não é reposto na bolsa, calcular a
probabilidade de ambos os cubos serem vermelhos.
a) 1/15
b) 1/5
c) 1/3
d) 3/5
Produto de Probabilidades
Neste caso os eventos são simultâneos : A Probabilidade de ocorrer A e B será dada por: P (A B) = P(A) . P(B)
Evento A – o primeiro cubo é vermelho, então P(A) = 2/6 ; P(A) = 1/3
Evento B – o segundo cubo é vermelho, a probabilidade da ocorrência de B
depende da ocorrência de A, pois se o primeiro cubo retirado for vermelho,
haverá somente um cubo vermelho na sacola, então P(B/A) = 1/5
A probabilidade de A e B ocorrerem Será dado por P (A B) = P(A) . P(B/A) :
P (A B) = 1/3 . 1/5 = 1/15
Resposta Letra A
17) UERJ ) A Superfície de uma antena parabólica pode ser gerada pela rotação completa de uma
Parábola ao redor do seu eixo. A interseção dessa superfície com qualquer plano perpendicular
ao eixo é um círculo observe a figura baixo. Sendo a parábola formada de foco (B) contida no
plano CAD, e o seu vértice (A) estando na origem do sistema cartesiano e que o eixo das
abscissas esta paralelo ao diâmetro CD, como mostra a figura, neste caso,podemos afirmar que
a equação cartesiana da parábola é
Considere um circulo de centro
E e diâmetro CD de 4metros de
comprimento, cuja medida da
distância do centro (E) ao
vértice A do paraboloide é 0,5
metros
a) As coordenadas do vértice são: A(0,0).
b) A concavidade é para cima . A parábola tem equação: x² = 2py, o ponto D(2,1/2) pertence a parábola
Para determinar a equação da parábola precisamos determinar o valor de “p” , então :
Pelo ponto D(2,1/2) x=2 e y=1/2, substituindo na equação x² = 2py , temos:
2² = 2 p (1/2)
4 = 2 p (1/2)
p=4
x² = 2. 4 .y =
x² = 8y
y=
1 x²
8
e) suas assíntotas são + /- √3x - -3y =0
18 )(UPE) Em relação à hipérbole de equação X² - 3y² = 12 , assinale a alternativa falsa:
a) seu eixo real mede 4 √3
b) seu eixo imaginário mede 4
c) sua distância focal mede 8
d) sua excentricidade é √3
e) suas assíntotas são + /- √3x - 3y =0
2c
B1
Assíntotas:
s1= bx
a
X² - 3y² = 12
X² - 3y² = 12
12
12
12
X² - y² = 1
12
4
a² =12
c² = a² + b²
c² = 16
b
c
F1
s2= -bx
a
b=2
c=4
c² = 12 + 4
A2
a
F2
2b
B2
2a
a = 2. √3
a² = 4. 3
b² = 4
A1
c
Resposta Letra D
Excentricidade = e = c/a
2a= eixo real = 4 √3
e = 4 / 2.√3
2b= eixo imaginário= 4
e = 2 / √3
e = 2 √3 / 3
2c= distância focal= 8
Excentricidade = 2√3 /3
19) (Saresp 2007). A reta r, representada no plano cartesiano da figura, corta o eixo y no
ponto (0, 4) e corta o eixo x no ponto(–2, 0). Qual é a equação dessa reta?
A) Y= X+4
B) Y = 4X +2
C) Y= X -2
D) Y = 2X + 4
E) Y = -X +2
Dados dois pontos, para estabelecer a equação
da reta temos:
xy
y
Declividade da reta : m = y – y0
x - xx0
P1( 0, 4)
m= 4–0
0 – (-2)
P2(-2, 0)
Por Laplace:
4x – 2y +8 =0
m=2
Equação da reta: y – y0 = m(x – x0)
y
x0 y0
X Y 1
0 4 1 =0
-2 0 1
m= 4
2
Equação da reta: y – 0 = 2(x – (-2))
2x –y +4 =0
y = 2x + 4
Equação da reta: y = 2x + 4
Resposta Letra D
20) Considere 7 pontos distintos sobre uma reta e 4 pontos, também distintos sobre outra reta, paralela
a primeira. Quantos triângulos podemos obter ligando 3 pontos desses 11 pontos?
a) 129
b) 126 c) 120
d) 100
e)140
A regra para construção de um triangulo é que os três pontos não podem ser colineares, pelo menos
1 tem que está em outra reta, os outros dois seria uma combinação do que está na outra reta
Se pegarmos 2 pontos da reta que possui 7 temos os seguintes Triângulos : 4 . C (7,2)
Se pegarmos 2 pontos da reta que possuí 4 pontos, teremos : 7 . C(4,2)
O total de triângulos será : 4 . C(7,2) + 7 . C(4,2)
C(7,2) = 7! / 2!.5! = 21
C(4,2) = 4! / 2!.! = 6
O total de triângulos será : 4 . 21 + 7 . 6
O total de triângulos será = 126
Resposta Letra B