Ondas
Eletromagnéticas
e Linhas
EE-49887/5
EE-49887/5 (2011.2)
UFMA/CCET/Dept. EE (DEE)
CADASTRO NA DISCIPLINA
Enviar e-mail: [email protected]
Assunto: OEL Semestre 2011.2
Corpo do e-mail: Nome completo - Código
EE-49887/5
Propagação de Ondas
Eletromagnéticas
Ondas
Eletromagnéticas e Linhas
Unidade II
Propagação de Ondas Eletromagnéticas
 Introdução, Histórico e Motivação
 Ondas Planas e a Solução das Equações de Ondas
 Propagação de Ondas Planas
 Meios Dielétricos
 Espaço Livre
 Meios Condutores
 Potência e Vetor de Poynting
 Reflexão de Ondas Planas em Incidência Normal
Franc Souza (DEE-UFMA)
Propagação de Ondas Eletromagnéticas
Introdução, Histórico e Motivação
 Primeira aplicação das equações de Maxwell
Propagação de ondas eletromagnéticas (EM).
 A existência de ondas EM, previstas pelas
equações de Maxwell foi inicialmente investigada
por Heinrich Hertz.
 Depois de vários cálculos e experimentos, Hertz
teve sucesso na geração e detecção de ondas de
rádio.
 As ondas EM são chamadas de ondas hertzianas.

Franc Souza (DEE-UFMA)
Propagação de Ondas Eletromagnéticas
Introdução, Histórico e Motivação
 Aplicações Diretas da Teoria de Ondas EM
 Área: Telecomunicações
 Canal de comunicação = Espaço livre
Franc Souza (DEE-UFMA)
Propagação de Ondas Eletromagnéticas
Introdução, Histórico e Motivação
 Aplicações Diretas da Teoria de Ondas EM
• GPS
• Radiodifusão
• Telefonia
celular
• Comunicações
via satélite
em geral
Franc Souza (DEE-UFMA)
Ondas
 O que são Ondas?
 Definições não formais
 Dicionário Houaiss
Acepções interessantes
■ substantivo feminino
1 Rubrica: hidrologia, oceanografia
Cada uma das elevações formadas nos mares,
rios, lagos etc. pelos movimentos de vento,
marés etc.
Franc Souza, DEE-UFMA
Ondas
2
Uso: formal
As águas do mar; o mar, o oceano
3
Derivação: por metáfora
Grande quantidade de algo (esp. de líquido)
que aflui, se espalha ou derrama
4
Derivação: por metáfora
Grande quantidade, afluência
(de pessoas, animais ou coisas em
movimento ou que se sucedem)
Ex.: <Os torcedores deixavam o estádio em
grandes o.>
Franc Souza, DEE-UFMA
Ondas
5 Derivação: por metáfora
Força impetuosa; agitação,
movimento intenso; ímpeto, torrente, tumulto
Ex.: O. progressista
7 Derivação: por extensão de sentido
Movimento sinuoso, ondulatório;
ondulação, sinuosidade
Ex.: As o. de um campo de trigo
Franc Souza, DEE-UFMA
Ondas
8
Derivação: por metáfora
Sensação que, após atingir um ponto
alto, se dissipa
Ex.: uma febre acompanhada de ondas
de calor e frio
9
Derivação: por metáfora.
Excesso, intensidade, profusão
(de sentimentos, sensações, emoções, etc.)
Ex.: Uma o. de tristeza invadiu sua alma
Franc Souza, DEE-UFMA
Ondas
10 Rubrica: física
Perturbação periódica que se propaga
num meio material ou no espaço
11 Regionalismo: Brasil. Uso: informal
Estado de tumulto, agitação, desarmonia;
confusão, embrulhada, alvoroço.
Ex.: Armou uma o. tremenda na festa de ontem
Franc Souza, DEE-UFMA
Ondas
12 Regionalismo: Brasil. Uso: informal.
O que está em moda; o estilo em voga
Ex.: Calça boca-de-sino não é mais a o.
13 Regionalismo: Brasil. Uso: informal
Artifício que visa iludir, enganar ou
impressionar; fingimento, engodo, ostentação
Ex.: A vasta cultura dele é pura o.
Ele apenas está tirando uma onda com você
Franc Souza, DEE-UFMA
Ondas Eletromagnéticas
Carga
estacionária,
ve = 0
• Campo elétrico, E (r)
• Natureza estática
Corrente
estacionária,
ve = cte
• Campo magnético, H (r)
• Natureza estática
Correntes
variantes no
tempo, ae = cte
• Campos (ou ondas)
eletromagnéticos, E (r, t) e H (r, t)
• Ondas interdependentes
Franc Souza, DEE-UFMA
Uma Onda EM não necessita de
um meio para se propagar



Ondas de som necessitam de um
meio como o ar ou a água para
se propagarem.
A onda EM não, pois podem
viajar no espaço livre na
completa ausência de matéria.
Observe a “onda de vento” que
precisam das massas de ar para
se propagarem (as plantas
permanecem no mesmo lugar).
Franc Souza, DEE-UFMA
Uma Onda
 E  E  0
2
2
Seja um caso especial por simplicidade e
sem perda de generalidade:
•O campo elétrico tem somente component x
•O campo viaja na direction + z
Então, tem-se E ( z , t )
cuja solução geral é
E(z)  Eo e  z  Eo' e  z
Franc Souza, DEE-UFMA
Voltando para o domíno do tempo

Da forma fasorial
Exs ( z)  Eoe

z
 Eoe
 z (  j )
… para o domínio do tempo
E( z, t )  Eoe
z

cos(t  z) x
Franc Souza, DEE-UFMA
Vários Tipos de Meios
1.
2.
3.
4.
Espaço livre
(  0,    o ,   o )
Dielétrico sem perdas
(  0,    r  o ,    r o or    )
Dielétrico com perdas (  0,    r  o ,    r o )
Bom condutor
(  ,    o ,    r o or    )
Lembrar: Permissividade
o=8.854 x 10-12[ F/m]
Permeabilidade
o= 4p x 10-7 [H/m]
Franc Souza, DEE-UFMA
Impedância Intrínseca, h

Dividindo E (V/m) por H (A/m), obtém-se
unidades de ohms. Assim, a definição de
impedância intrínseca de um meio em uma
dada freqüência é obtidada da seguinte froma:
Dado E  Eo e z x
Determine H
E ( z , t )  Eo e
H ( z, t ) 
Eo
h
z
|E|
j
h

|H|
  j

cos(t   z ) x
e z cos(t   z  h ) yˆ
 h h
[]
*Não em fase
para um meio
com perdas
Franc Souza, DEE-UFMA
Note …
E ( z , t )  Eo e
H ( z, t ) 
Eo
h
z
e

cos(t   z ) x
z
cos(t   z  h ) yˆ
E ( z )  Eo e
H ( z) 
Eo
h
 z  j (  z )
e
e z e

x
 j (  z h )
yˆ

E e H são perpendiculares entre si
 E e H são perpendiculares à direção de
propagação  Onda TEM (Transv. Eletrom.)
 A amplitude está relacionada à imped. intrín.
 A fase está relacionada à imped. intrín.
Franc Souza, DEE-UFMA
1. Espaço livre
Não há perdas, por exemplo.

E ( z, t )  A sin(t  z ) x
Define-se
 Fase da onda, (t   z )
 Freqüência angular, 
 Constante de fase,    / u
 Comprimento de onda, velocidade e período
  uT (s  vt da cinemática) . Veja espectro de freq.
 Freqüência da onda, f  1/ T  u   / T   f    2p / 
 Unidades? Lembrar que (t   z )
é dado em rad
Franc Souza, DEE-UFMA
2. Dielétrico sem perdas
(  0,    r o ,   r o or    )
 Substituindo
na equação geral:
  0,    

1
2p
u 




h
 o
0

Franc Souza, DEE-UFMA
3. Dielétricos com Perdas
(Caso Geral)

Em geral, temos
E( z, t )  Eoe
    j


cos(t  z) x
 2  j(  j)
Dessas expressões, obtemos
2



 

 1 
 
  1
2 

  



z
 
 

 

 1 
  1
2 
 




2
Assim, para material e freqüência conhecidos, pode-se
determinar j.
Franc Souza, DEE-UFMA
Revisão: 1. Espaço Livre
(  0,    o ,   o )

Substituindo nas expressões gerais:
  0,       / c

1
2p
u 
c



 o o
h
o o
0  120p   377 
o

E ( z, t )  Eo cos(t  z ) x V / m
H ( z, t ) 
Eo
ho
cos(t  z ) yˆ
A/ m
Franc Souza, DEE-UFMA
4. Bons Condutores
(  ,    o ,   r o )

Substituindo nas expressões gerais:
  

2

2
u 


h

2p
A água é um bom
condutor???


45o

E ( z , t )  Eo e  z cos(t   z ) x [V / m]
H ( z, t ) 
Eo


e  z cos(t   z  45o ) yˆ [ A / m]
Franc Souza, DEE-UFMA
 Campo elétrico E(z, t) com componente na direção x
 Instantes: t  0 e t  Dt
 viajando (propagando-se) na direção z
 Flexas: indicam o valor instantaneo de E(z, t)
Propagação de Ondas Eletromagnéticas
Franc Souza (DEE-UFMA)
Propagação de Ondas Eletromagnéticas
Franc Souza (DEE-UFMA)
ONDA PLANA
Profundidade pelicular (Skin depth), d
E( z, t )  Eoe
z

cos(t  z) x [V / m]
A onda sofre atenuação em um meio com perdas até
desaparecer; mas quão profundo ela penetra?
Define-se a profundidade
na qual a amplitude do
campo elétrico da onda
decresce para 37% …
Espaço Livre

Eoe z  0.37 Eo
e1  0.37  (37%)
e z  e1 at z  1/   d
d  1 /  [m]
Condutor
Franc Souza, DEE-UFMA
ONDAS PLANAS EM BONS CONDUTORES
E  Eoez cos  t  z  a x
• Amplitude
Eoe
z
 Eoe
d
 Eoe 1

1
d

Prof. pelicular (Skin depth)
Propagação de Ondas Eletromagnéticas
ONDAS PLANAS EM BONS
CONDUTORES
UMA REVISÃO
Franc Souza (DEE-UFMA)
ONDAS PLANAS EM BONS CONDUTORES
Bom condutor ou perfeito

 


 
  ,   o ,   o r
Franc Souza (DEE-UFMA)
ONDAS PLANAS EM BONS CONDUTORES
Bom condutor ou perfeito
  ,   o ,   o r
2


 
  

1 
  1
2 

  


2


 
  

1 
  1
2 

  



  
 pf 
2
Franc Souza (DEE-UFMA)
ONDAS PLANAS EM BONS CONDUTORES
Bom condutor ou perfeito

 
 pf 
2

2
 u 


2p
2p
 


pf 
Franc Souza (DEE-UFMA)
ONDAS PLANAS EM BONS CONDUTORES
Bom condutor ou perfeito
  ,   o ,   o r
j
h
  j

j



o

90 
45o


h h
Franc Souza (DEE-UFMA)
ONDAS PLANAS EM BONS CONDUTORES
Bom condutor ou perfeito
h

h h 
45o

E  Eoez cos  t  z  a x


Eo z
H
e cos t  z  h a y
h


Eo z
H
e cos t  z  45o a y


• E está adiantado de H por 45°
Franc Souza (DEE-UFMA)
ONDAS PLANAS EM BONS CONDUTORES
Bom condutor ou perfeito
E  Eoez cos  t  z  a x


Eo z
H
e cos t  z  45o a y


• E está adiantado de H por 45°
• Suas amplitudes são atenuadas pelo fator
ez
Franc Souza (DEE-UFMA)
ONDAS PLANAS EM BONS CONDUTORES
1
d ,

E  Eoez cos  t  z  a x
d: Medida da profundidade na qual
a onda pode penetrar em meio.
  pf 
1
 d
pf 
Franc Souza (DEE-UFMA)
ONDAS PLANAS EM BONS CONDUTORES
PROFUNDIDADE PELICULAR
(skin depth)
1
 d
pf 
Franc Souza (DEE-UFMA)
ONDAS PLANAS EM BONS CONDUTORES
PROFUNDIDADE PELICULAR
(skin depth)
• Diferentes aspectos do efeito pelicular
- Atenuação em guias de ondas
- Resistência efetiva ou AC de
linhas de transmissão
- Blindagem eletromagnética (shielding)
ONDAS PLANAS EM BONS CONDUTORES
EFEITO PELICULAR
(skin effect)
 Exploração (vantagens) em muitas aplicações:
 Antenas externas de TV
- Condutor tubular oco (vazado) são usados
no lugar de condutores sólidos
 Blindagem eletromagnética efetiva
de dispositivos elétricos
- Encapsulamento metálico ou condutivo
Condutores ou Dielétricos?
Lei de Ampère
Para uma onda viajando na direção x com componente
apenas na direção y, temos
Franc Souza, DEE-UFMA
Condutores ou Dielétricos?
Análise dimensional da equação de Maxwell
   V   1   V   V/   A 
E        2    2    2 
m m  m   m  m 
Franc Souza, DEE-UFMA
Condutores ou Dielétricos?
Análise dimensional da equação de Maxwell
DENSIDADES
CORRENTE
TOTAL
CORRENTE
DE
CONDUÇÃO
CORRENTE
DE
DESLOCAMENTO
Franc Souza, DEE-UFMA
Condutores ou Dielétricos?
CORRENTE
TOTAL
CORRENTE
DE
CONDUÇÃO
CORRENTE
DE
DESLOCAMENTO
Taxa de variação espacial de Hz é
igual à soma das densidades de
corrente de condução e de deslocamento
Franc Souza, DEE-UFMA
Condutores ou Dielétricos?
Dependendo dos valores de  e , o meio pode
se comportar de diferentes maneiras, tais como
 Dielétrico perfeito (sem perdas)
 Meio com perdas (dielétrico imperfeito)
 Condutor
Franc Souza, DEE-UFMA
Condutores ou Dielétricos?
(1)  O meio se comporta como um dielétrico.
Se  = 0, o meio é um dielétrico perfeito
ou sem perdas.
Franc Souza, DEE-UFMA
Condutores ou Dielétricos?
(3)  O meio ser classificado como um condutor.
Franc Souza, DEE-UFMA
Condutores ou Dielétricos?
Pode-se ser mais específico e classificar o meio
de acordo com a razão


Franc Souza, DEE-UFMA
Condutores ou Dielétricos?
Critério (Kraus, 4a Edição)
Franc Souza, DEE-UFMA
Condutores ou Dielétricos?
Exemplo: Solo de rural de Ohio (Kraus, 4a Edição)
 r  14
OBS.: A freqüência tem papel fundamental ...
Franc Souza, DEE-UFMA
Elements of Electromagnetics
Fourth Edition
Sadiku
54
CADASTRO NA DISCIPLINA
Enviar e-mail: [email protected]
Assunto: OEL Semestre 2011.2
Corpo do e-mail: Nome completo - Código
EE-49887/5
Propagação de Ondas
Eletromagnéticas
CADASTRO NA DISCIPLINA
Enviar e-mail: [email protected]
Assunto: OEL Semestre 2011.2
Corpo do e-mail: Nome completo - Código
EE-49887/5
Potência e Vetor de
Poynting
Potência e Vetor de Poynting
 Energia pode ser transportada de um
ponto (transmissor) a outro ponto ( receptor)
através de ondas EM.
 A taxa de tal transporte de energia pode
ser obtido a partir das Equações de
Maxwell.
Franc Souza, DEE-UFMA
Potência e Vetor de Poynting
 Vetor de Poynting
 É o vetor fluxo de potência cuja
direção é a mesma da propagação da
onda.
 A sua magnitude é a quantidade de
potência fluindo através de uma área
unitária normal à direção de
propagação da onda.
Franc Souza, DEE-UFMA
Investigating Radiation Hazard
and Safety Aspects
of Handheld Mobile
Franc Souza, DEE-UFMA
Investigating Radiation Hazard and Safety
Aspects of Handheld Mobile
Franc Souza, DEE-UFMA
Investigating Radiation Hazard and Safety
Aspects of Handheld Mobile
Franc Souza, DEE-UFMA
Investigating Radiation Hazard and Safety
Aspects of Handheld Mobile
SAR: Taxa de Absorção Específica
: Conductividade do tecido, S/m ou mho/m
: densidade do tecido, kg/m3
Franc Souza, DEE-UFMA
Investigating Radiation Hazard and Safety
Aspects of Handheld Mobile
Análise dimensional
: Conductividade do tecido, S/m ou mho/m
: densidade do tecido, kg/m3
2
2  3



V
kg
1
V
m
2
 
  

E    2  /  3  
 2  

2
 m   m   m   m   m   kg 
 V2   V2 

    /  kg    W  /  kg 
 kg    
Franc Souza, DEE-UFMA
Potência em uma onda

Uma onda transporta potência (e/ou informação)
à medida que se propaga em um meio.
Potência transportada por uma
onda por unidade de área:
DENSIDADE DE POTÊNCIA
(Vetor de Poynting)
Franc Souza, DEE-UFMA
Derivação do Vetor de Poynting

A partir das Equações de Maxwell

Lei de faraday

Lei de Ampère
Franc Souza, DEE-UFMA
Derivação do Vetor de Poynting

Começar com: E produto escalar Lei de Ampère
E 

E    H   E  
t 


E
 E     H   E  E  E  
t
Aplicar a identidade vetorial
   A1  A2   A2     A1   A1     A2 
    H  E   E    H   H    E 
Franc Souza, DEE-UFMA
Derivação do Vetor de Poynting

Começar com: E produto escalar Lei de Ampère
E
 E     H   E  E  E  
t

Aplicar a identidade vetorial
    H  E   E    H   H    E 
Franc Souza, DEE-UFMA
Derivação do Vetor de Poynting

Começar com: E produto escalar Lei de Ampère
E
 E     H   E  E  E  
t

Aplicar a identidade vetorial
    H  E   E    H   H    E 

Terminar com:
2
1

E
2
H    E     H  E   E  
2 t
Franc Souza, DEE-UFMA
Derivação do Vetor de Poynting
2
1

E
H    E     H  E   E 2  
2 t

Substituir a Lei de Faraday no 1o termo

H

 H   
t

Lei de faraday
2
1

E

2



H

E


E
 



2 t

H

OBS.: Derivada da função quadrática: H    
t

 H  H 


2
t

Franc Souza, DEE-UFMA
Derivação do Vetor de Poynting
H

H   
t

2

2 1 E
  H  E   E  
2 t

H

H   
t

 H  H 


2
t

e se inverter a ordem, fica (-)
   H  E      E  H 

 H
2 t
Rearranjando,
2
 E  H    E 
2
 E
2
2 t
  E 2  H 2 
2
 E  H   

  E
2 t 
 2 t
Franc Souza, DEE-UFMA
Derivação do Vetor de Poynting

  E 2  H 2 
  E 2
  E  H   

2 t 
 2 t
Tomando a integral de volume, temos
   E  H dv  
v

Aplicando o Teorema da Divergência
  E  H   dS  
S
Potência total através
da superfície do volume

  2  2 
2
E

H
dv


E
dv




t v  2
2

v
=
  2  2
2
E

H
dv


E
dv




t v  2
2

v
Taxa de mudança da
energia armazenada em
E or H
_
Perdas ôhmicas
devido à corrente de
condução
Teorema de Poynting: A potência total saindo de um
volume é devido à variação da energia armazenada
nos campos elétrico e/ou magnético menos as perdas
ôhmicas.
Franc Souza, DEE-UFMA
Derivação do
Vetor de Poynting
Potência total através
da superfície do
volume
Teorema de Poynting
Balanço de Potência
Perdas
ôhmicas
Energia
Armazenada
em E
Energia
Armazenada
em H




2
2
2
E

H

dS


E

H
dv


E
dv







t  2
2

S
v
v
Franc Souza, DEE-UFMA
Derivação do Vetor de Poynting

Onda transporta energia e informação
 Poynting afirma que a potência líquida fluindo
para fora de um dado volume é = ao decréscimo
no tempo da energia armazenada menos as
perdas de condução.
  
2
P  E  H [W/m ]
REPRESENTA O VETOR
DENSIDADE DE POTÊNCIA
INSTANTÂNEA ASSOCIADO À
ONDA ELETROMAGNÉTICA.
Franc Souza, DEE-UFMA
Potência Média no Tempo

O vetor de Poynting médio no tempo é
T
Pave

T



1
1
1
  P dt   E  H dt  Re Es  H s*
T0
T0
2

Para uma onda no caso geral:
Es  Eo e z e  jz xˆ [V / m]
Hs 
Eo
h
e z e  jz yˆ [ A / m]
Pave
Eo2 2z

e cosh zˆ
2h
[W/m2 ]
Franc Souza, DEE-UFMA
Potência Total em W
A potência total através de uma superfície S é
Pave

  Pave  dS
[W ]
S



Note que a unidade agora está em Watts.
Note que P, nomenclatura de potência, é não cursivo.
Note que o produto escalar indica que a área da
superfície precisa ser perpendicular ao vetor de
Poynting tal que toda a potência atravesse-a.
Ondas Eletromagnéticas e Linhas
Franc Souza, DEE-UFMA
AE: III.1 – Power 1
At microwave frequencies, the power density considered
safe for human exposure is 1 mW/cm2. A radar radiates
a wave with an electric field amplitude E that decays
with distance as |E(R)|=3000/R [V/m], where R is the
distance in meters. What is the radius of the unsafe
region?
 Answer: 34.64 m
(1 ponto)
Ondas Eletromagnéticas e Linhas
Franc Souza, DEE-UFMA
AE: III.2 – Power 2
A 5GHz wave traveling In a nonmagnetic medium with
r=9 is characterized by

E  yˆ 3 cos(t  x)  zˆ2 cos(t  x)[V/m]

Determine the direction of wave travel and the average
power density carried by the wave
Answer:

Eo2 2
Pave 
e cosh aˆk   xˆ 0.05[W/m2 ]
2h1
(1 ponto)
Ondas Eletromagnéticas e Linhas
Franc Souza, DEE-UFMA
CADASTRO NA DISCIPLINA
Enviar e-mail: [email protected]
Assunto: OEL Semestre 2011.2
Corpo do e-mail: Nome completo - Código
EE-49887/5
Propagação de Ondas
Eletromagnéticas
CADASTRO NA DISCIPLINA
Enviar e-mail: [email protected]
Assunto: OEL Semestre 2011.2
Corpo do e-mail: Nome completo - Código
EE-49887/5
Polarização de uma
Onda TEM
Onda TEM
x
x
z
z
y
Transverse ElectroMagnetic = Onda plana
Ondas Eletromagnéticas e Linhas
Franc Souza, DEE-UFMA
ONDA PLANA
Onda TEM
x
x
z
z
y
Transverse ElectroMagnetic = Onda plana
 Não há campos paralelos à direção de
propagação
 Somente perpendicular (=transversal)
Ondas Eletromagnéticas e Linhas
Franc Souza, DEE-UFMA
Onda TEM
x
x
z
z
y
 Se

A

há um campo elétrico Ex (z)
… então deve haver um correspondente
campo magnético HY (z)
direção de propagação
aE x aH = ak = az
Ondas Eletromagnéticas e Linhas
Franc Souza, DEE-UFMA
Polarização:
“Why do we care” … ?
Aplicações:
 Antenas
 “Remote
Sensing” e Radar
 Absorção
Ondas Eletromagnéticas e Linhas
Franc Souza, DEE-UFMA
Antenas
• Transmissão (TX) e
Recepção (RX) eficientes
Polarização:
Why do we care? Aplicações: Antenas,
Remote Sensing e Radar
Absorção
 Antenas

Transmissão (TX) e
Recepção (RX) eficientes
A antena somente TX ou RX
a polarização para a qual
foi projetada.
Franc Souza, DEE-UFMA
Polarização:
Why do we care? Aplicações: Antenas,
Remote Sensing e Radar
Absorção
 Remote Sensing e Radar

Clima, Tempo, Topografia, ...

Dinâmica de populações

Qualidade e quantidade de terras aráveis

Energia

Aspectos ambientais
Franc Souza, DEE-UFMA
REMOTE SENSING E RADAR
Franc Souza, DEE-UFMA
REMOTE SENSING
Franc Souza, DEE-UFMA
Polarização:
Why do we care? Aplicações: Antenas,
Remote Sensing e Radar
Absorção

Remote Sensing e Radar


Muitos alvos (targets) refletem ou absorvem ondas
EM diferentemente de acordo com o tipo de
polarização.
Usando múltipla polarização pode-se obter mais
informação e melhorar os resultados.
Ondas Eletromagnéticas e Linhas
Franc Souza, DEE-UFMA
Polarização:
Why do we care? Aplicações: Antenas,
Remote Sensing e Radar
Absorção
 Absorção

O corpo humano, por exemplo, absorve
mais a irradiação de uma onda com o
campo E orientado da cabeça aos pés
(polarização linear vertical) do que com
polarização horizontal.
Franc Souza, DEE-UFMA
Polarização:
Why do we care? Aplicações: Antenas,
Remote Sensing e Radar
Absorção
 Absorção

Também, a freqüência na qual a máxima
absorção ocorre é diferente para
diferentes tipos de polarização.
Franc Souza, DEE-UFMA
Polarização:
Why do we care? Aplicações: Antenas,
Remote Sensing e Radar
Absorção
 Absorção

Todos esses aspectos concernentes à
absorção são determinantes no estudo
dos efeitos da absorção e na
determinação de recomendações de
segurança (safety guidelines).
Franc Souza, DEE-UFMA
Polarização de uma wave
x
x
Definição - IEEE
“The trace of the tip of the
E-field vector as a function
of time seen from behind”.
z
Casos simples
 Vertical, Ex
y
y
x
E x ( z )  Eo cos( t   z ) xˆ
x
E xs ( z )  Eo e  jz
z

Horizontal, Ey
y
y
Franc Souza, DEE-UFMA
POLARIZAÇÃO
• De acordo com o
IEEE Standard Definitions for Antennas,
a polarização de uma onda irradiada é definida
como:
THE TIME-VARYING DIRECTION OF
THE ELECTRIC FIELD VECTOR
POLARIZAÇÃO DE UMA ONDA PLANA
E y  A sin( x /   t )
A: amplitude
y
: comprimento
de onda
z
x  cte
: freqüência
angular
x: direção de
propagação
y: direção vertical
Onda polarizada verticalmente (eixo y)
Vertical
E y  A sin( x /   t )
Horizontal
E z  A sin( x /   t )
Polarização

Ondas Eletromagnéticas e Linhas
Franc Souza, DEE-UFMA
Em geral, ondas planas têm 2 componentes: x & y
ˆ x  yE
ˆ y
E( z)  xE

A componente y pode estar fora de fase wrt componente x
d: diferença de fase entre x e y
E x  Eox e  j z
x
E y  Eoy e j z d
Ex
y
Ey
Front View
Vários Casos de Polarização
 Linear
: d  dy – dx = 0o ou ± 180o
 Circular: dy – dx
= ± 90o & Eox = Eoy
 Elíptica: dy – dx =
± 90o & Eox ≠ Eoy,
ou d ≠ 0o ou ≠ 180o mesmo se Eox = Eoy
 Não
polarizada: radiação natural
Ondas Eletromagnéticas e Linhas
Franc Souza, DEE-UFMA
Ondas Eletromagnéticas e Linhas
Franc Souza, DEE-UFMA
Polarização Linear

Front View
d =0
x
E x  Eo e  j z
E y  Eo e
Ex
 j z
y
Ey

@ z = 0 no domínio do tempo
Ex  Exocos(t)
E y  E yocos(t)
Franc Souza, DEE-UFMA
Polarização Circular

Ambas as componentes têm a
mesma amplitude Eox = Eoy
 d = d y – d x = – 90o
= Right circular polarized
(RCP)
 d = + 90o = LCP
E x  E xo cos(t)
E y  E yo cos(t  90o )
in phasor:
E  xˆE xo  yˆ E yo e  j 90  xˆE xo  jE yo yˆ
ONDA PLANA
Polarização Circular
Circular à direta
E y  A sin( x /   t  90)
E z  A sin( x /   t )
Circular à esquerda
E y  A sin( x /   t  90)
E z  A sin( x /   t )
"Em outras palavras, polarização
é a curva traçada pela ponta da seta
que representa o campo elétrico
instantâneo.
105
Polarização Elíptica

As componentes X e Y têm diferentes amplitudes Eox ≠ Eoy, e
d = ± 90o, ou d ≠ ± 90o e Eox = Eoy


Ou d ≠ 0, 180o
Ou qualquer outra diferença de fase, por exemplo d =56o
Franc Souza, DEE-UFMA
sin(  90 o )   cos(  )
Exemplo
o
cos (  90 )   sin( )

sin(  180 )  sin( )
o
cos(  180 )   cos( )
o
Determine a polarização da onda plana com
campo elétrico dado por:
a. E( z, t )  xˆ3cos(t - z  30o ) - y
ˆ 4sin(t - z  45o )
ˆ 10sin(t - z  45o )
b. E( z, t )  xˆ5cos(t - z  45o )  y
ˆ 4sin(t - z  45 )
c. E( z, t )  xˆ 4cos(t - z  45 ) - y
o
-jz
d. Es ( z)  14( xˆ-jyˆ )e
Franc Souza, DEE-UFMA
o
a.
d = 105, Elíptica
b.
d = 0, linear a 30o
c.
+180, LP a 45o
d.
-90, RCP
CADASTRO NA DISCIPLINA
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Assunto: OEL Semestre 2011.2
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EE-49887/5
Propagação de Ondas
Eletromagnéticas
FIM
OBRIGADO