Ciências da Natureza e
suas Tecnologias - Física
Ensino Médio - 1ª Série
Força no movimento circular
FÍSICA - 1ª Série
Força no movimento circular
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Movimento de um corpo numa
trajetória curva
Uma pedra amarrada a um barbante, que fazemos girar sobre a cabeça; um carro fazendo uma curva
em uma estrada; os planetas girando em torno do Sol; e os elétrons se movimentando ao redor do
núcleo de um átomo são alguns exemplos de movimentos com trajetórias curvas.(1)
Mas, o que faz um corpo descrever uma trajetória curva?
Imagem: (a) US Army. Photo credit: Phil Sussman / Public Domain, (b) Hubert Crhistiaen / GNU Free Documentation License e (c) derivative work:3Emichan
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Dinâmica numa trajetória curva

a
 c
FR
c
 
a t FR

a
t

FR


FR  m.a

V


FR  m.a t
t
A força resultante tangencial é
responsável pela mudança do
módulo do vetor velocidade.(1)


FR  m.a c
c
A força resultante centrípeta
é
responsável
pela
mudança da direção e
sentido do vetor velocidade.
Imagem: Brews ohare / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.
Tradução Nossa.
Condição para que um corpo realize uma curva
A força resultante e o vetor velocidade
instantânea formem um ângulo  de tal forma
que:
DINÂMICA DO M.C.U.
a
90º
V

FR
V1
F
F
V2
Fr
r
Fr
Velocidade e aceleração no MCU
M.C.U  FRt = 0
FR = FRC
m
V

FR
ac
FR = FRC = m. v² / R
ac

FR
m
V
R
(1)
6
Trajetórias curvas em planos horizontais
FRc  T
T
R
Na figura, a resultante centrípeta (horizontal)
corresponde à força de tração do fio sobre o
corpo (as forças verticais, normal e peso, estão
em equilíbrio). Nesse caso:
v2
T  m.
R
(1)
7
Na figura , a resultante centrípeta do pêndulo cônico é
horizontal e corresponde ao vetor soma das forças
atuantes (tração e peso). Pelo triângulo retângulo de
forças, temos(1):
Ө
T
tgӨ = FR/P => FR = P . tg Ө
FR
R
P
Pêndulo cônico
m . ac = mg . tg Ө => ac = g . tg Ө
v²/R = g . tg Ө => v = √R . g . tg Ө
T
Ө
P
FR
Exemplo 1
Uma pessoa está em uma cadeira,
presa por um cabo a um
poste central vertical, a uma
altura constante e com velocidade
constante. O ângulo que o
cabo faz em relação ao polo é 60°,
o comprimento do cabo é de
15m, e a massa combinada da
cadeira e pessoa é 179 kg.
Dado g=10m/s²
60.0º
15.0m
a) Qual é a tensão no cabo?
b) Encontre a velocidade da
cadeira.(1)
9
Considere um carro de massa m descrevendo uma curva horizontal de raio R, com
velocidade escalar constante v, como indica a figura . Despreze o efeito do ar.
N
fa
R
Na figura a resultante centrípeta
(horizontal) corresponde à força
de atrito estático, que impede o
seu escorregamento lateral. As
forças verticais, normal e peso,
estão em equilíbrio. (1)
P
2
vmáx
FR  fat máx  m.
 e .m.g
R
C
v máx  e .g.R
10
Exemplo 2
Imagem: The National Guard / Creative
Commons Attribution 2.0 Generic.
Jeff Gordon lidera sua corrida e tem que dirigir em uma
curva em alta velocidade para não perder tempo. O raio da
curva é 1000 m e o coeficiente de atrito estático entre os
pneus e o pavimento seco é 0,5. Encontre a velocidade
máxima que ele pode ter e ainda fazer a curva.(1)
n
fs
fs
mg
11
Curva inclinada ou sobrelevada
F
Ө
P
FR
tg 
Pelas mesmas razões apresentadas nos estudos do pêndulo
cônico, pode-se entender o motivo de um avião ter suas asas
inclinadas no momento em que efetua uma curva horizontal
de raio R. A força de sustentação aerodinâmica, normal às
asas, e o peso do avião geram, por composição, a sua
resultante centrípeta horizontal.(1)
FR C
P
 FRC  P.tg
v2
m.  m.g.tg
R
v  R.g.tg
12
Imagens: SEE-PE, redesenhado a
partir de ilustração de Autor
Desconhecido.
Curva inclinada ou sobrelevada
tg 
FR
C
P
 FR  P.tg
C
v2
m.  m.g.tg
R
Pelas mesmas razões apresentadas nos estudos do pêndulo
cônico e da curva do avião, pode-se entender também a
curva sobrelevada. A força normal e peso geram, por
composição, a sua resultante centrípeta horizontal.(1)
v  R.g.tg
13
O Rotor
Um rotor é um espaço cilíndrico oco que pode rodar em torno do eixo vertical central. Uma pessoa entra no rotor,
fecha a porta, e fica de pé contra a parede em repouso; o cilindro começa a rodar até atingir uma certa velocidade;
quando o chão se abre, abaixo da pessoa, ela vê um poço profundo, mas a pessoa não cai, permanecendo presa à
parede do rotor. Qual é a velocidade mínima necessária para impedir a queda?
f at  P  m.g  e .N  m.g
e
N
m.g
e
v 2 m.g
FR  N  m. 
R
e
c
v min 
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de
ilustração de Autor Desconhecido.
R.g
e
(1)
14
Trajetórias curvas em planos verticais
Considere um corpo de massa m, suspenso por um fio ideal,
oscilando no plano vertical sob a ação da gravidade e livre dos
efeitos do ar. Ao passar pelo ponto mais baixo de sua trajetória
circular de raio R, animado com velocidade horizontal, o corpo
pendular deve possuir uma força resultante centrípeta orientada
para cima. Logo, nesse ponto, a força de tração do fio sobre o
corpo deve ser mais intensa que o valor de seu peso para gerar
essa resultante. O valor dessa tração pode ser deduzido assim:
FR  T  P
C
Pêndulo simples
Imagens: SEE-PE, redesenhado a partir de
ilustração de Autor Desconhecido.
2
v
m.  T  m.g
R
v2
T  m.g  m.
R
(1)
15
Imagens: SEE-PE, redesenhado a partir de
ilustração de Autor Desconhecido.
Depressão circular
FRc = NB – P = m · aC
(1)
16
Imagens: SEE-PE, redesenhado a partir de
ilustração de Autor Desconhecido.
Lombada circular
FRc = P – NC = m · aC
(1)
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.
Globo da morte
Situação 1
Situação 3
FRc = N - P = m · aC
FRc = N + P = m · aC
v2
N  m.g  m.
R
v2
N  m.  m.g
R
v2
N  m.g  m.
R
v2
N  m.  m.g
R
(1)
18
velocidade mínima
vMÍN  N  0
(iminência de perda de contato)
v2
m.g  m.
R
vMÍN  R.g
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.
(1)
EXEMPLO 3
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de
ilustração de Autor Desconhecido.
Um motociclista está andando internamente numa faixa vertical, como
mostrado. O raio da pista é 10m. Qual é a velocidade mínima da moto para não
cair quando estiver no topo do curso?
(1)
20
Gravidade Simulada em Naves
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de
Autor Desconhecido.
(1)
Para nós, aqui na Terra, a
sensação de ter peso está
associada à presença da força
normal que recebemos no contato
com pisos horizontais, quando em
equilíbrio:
N = P = mg
Já no espaço sideral, podemos
evitar a flutuação de astronautas
no interior de uma nave espacial
criando uma gravidade aparente.
Esta gravidade é simulada pela
rotação da nave espacial, que
obriga os astronautas a trocarem
forças normais com ela.
21
Exemplo 4
A estação espacial tem a
forma de um grande
tambor cilíndrico, girand
o com velocidade
constante. Astronautas vi
vem
na superfície interna da
estação. Se o raio de
uma secção circular é de
100m, quantas rotações
por minuto sobre o eixo
do cilindro deve fazer a
estação para simular a
força da gravidade na
Terra?
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.
(1)
22
N = m · ac
N  m.w².R
w
g
R
(1)
Imagens: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de
Autor Desconhecido.
Forças inerciais
As pseudo-forças (ou forças inerciais) são forças fictícias (não reais)
utilizadas para "transformar" referenciais não inerciais em inerciais. As
forças inerciais são acrescentadas aos cálculos para permitir o emprego das
Leis de Newton e a descrição dos movimentos quando são vistos e descritos
a partir de referenciais não inerciais. Não se consegue estabelecer um par
ação-reação para uma força inercial. São (pseudo)forças solitárias. São
exemplos a força centrífuga e a força de Coriolis.(2)
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.
Tabela de Imagens
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el_Goulian.jpg
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13 a SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Acervo SEE-PE
25 Autor Desconhecido.
Data do
Acesso
16/03/2012
16/03/2012
16/03/2012
16/03/2012
16/03/2012
16/03/2012
19/03/2012
21/03/2012